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title: "Superfícies"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies
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# Capítulo 19 — Superfícies

Depois das curvas, as superfícies: objetos a dois parâmetros em $\R^3$. O cálculo diferencial de [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) fornece tudo o que precisamos — as derivadas parciais dão vetores tangentes, o produto vetorial dá a normal, os [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) dão [áreas](#def-b2-surfaces-area). Definimos as [superfícies parametrizadas](#def-b2-surfaces-param) regulares, seus [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) e a *[primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff)*, que codifica todas as medidas de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) e de [área](#def-b2-surfaces-area) sobre a superfície. Superfícies também surgem como conjuntos de nível $f(x, y, z) = c$; o gradiente então dirige a normal.

## 19.1 Superfícies parametrizadas

**Definição 19.1 (Superfície parametrizada regular).**

Seja $U \subseteq \R^2$ um [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology). Uma *superfície parametrizada* de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) é uma aplicação $\sigma \colon U \to
\R^3$, $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$, de classe $\mathcal{C}^k$. Um ponto é *regular* se os vetores derivadas parciais

$$
\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v),
\qquad
\sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)
$$

forem linearmente independentes, isto é, $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$; a superfície é *regular* se todos os seus pontos o forem.

**Exemplo 19.2 (As três descrições padrão).**

1. *Gráfico:* $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Sempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ e $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ são independentes.
2. *Esfera (coordenadas esféricas):* para a esfera de raio $R$, $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$ com $\theta$ a longitude e $\varphi$ a latitude. Verifica-se que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: regular fora dos polos (que esta carta omite).
3. *Conjunto de nível:* $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ em que $f$ é $\mathcal{C}^1$ e $\nabla f \neq 0$ em $S$ . Perto de cada ponto, uma coordenada pode ser expressa como função das outras duas pelo teorema da função implícita ( [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) ), de modo que $S$ é localmente um gráfico.

**Exemplo 19.3 (Do conjunto de nível ao gráfico).**

O teorema da função implícita do item 3 merece uma passagem explícita. Tome a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ perto de seu polo norte $(0, 0, R)$: ali $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z =
2R \neq 0$ e, resolvendo em $z$, obtém-se a carta gráfico

$$
z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2},
\qquad x^2 + y^2 < R^2 ,
$$

regular em todo o seu domínio ([aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology)) — inclusive no polo que a carta esférica perdia. Perto de um ponto do equador como $(R, 0, 0)$, o mesmo teorema resolve em $x$ ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). A regra prática: uma superfície de nível é um gráfico sobre o plano coordenado *ortogonal à maior componente do gradiente* e, cobrindo a esfera com seis dessas cartas gráfico, verifica-se sua suavidade em toda parte sem trigonometria alguma.

## 19.2 Plano tangente e normal

**Definição 19.4 (Plano tangente).**

Seja $\sigma$ regular em $(u_0, v_0)$, $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$. O *plano tangente* $T_{M_0}S$ é o plano por $M_0$ dirigido por $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (derivadas parciais em $(u_0, v_0)$). A *normal unitária* é

$$
n(u_0, v_0)
= \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v}
       {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .
$$

**Proposição 19.5 (Vetores tangentes são vetores velocidade).**

A direção de $T_{M_0}S$ é exatamente o conjunto dos vetores $\gamma'(0)$, em que $\gamma = \sigma \circ c$ percorre as curvas $\mathcal{C}^1$ desenhadas sobre a superfície passando por $M_0$ (isto é, $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ é $\mathcal{C}^1$ com $c(0) = (u_0, v_0)$).

**Demonstração.** Se $c(t) = (u(t), v(t))$, a regra da cadeia ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)) dá

$$
\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v
\in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).
$$

Reciprocamente, o vetor $a\sigma_u + b\sigma_v$ é atingido pela curva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$, que permanece no [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $U$ para $\abs t$ pequeno. ∎

**Exemplo 19.6 (O plano tangente do helicoide).**

Para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, no ponto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

$$
\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0),
\qquad
\sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),
$$

de modo que o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) é $a\,y = z$. Ele contém toda a geratriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (direção $\sigma_v$): como no cone do [Exercício 19.1](#exo-b2-surfaces-1), uma superfície regrada por retas tem cada geratriz contida no [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) ao longo dela. A outra direção tangente $\sigma_u$ é a velocidade da hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$: uma carta, duas curvas desenhadas, e o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) inteiro é [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) — a [Proposição 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity) em ação.

**Proposição 19.7 (Normal de uma superfície de nível).**

Seja $S = \{f = c\}$ com $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ e $\nabla
f(M_0) \neq 0$. Então o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) de $S$ em $M_0$ é o plano por $M_0$ ortogonal a $\nabla f(M_0)$:

$$
T_{M_0}S :\quad
\langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .
$$

**Demonstração.** Para qualquer curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ passando por $M_0$, $f(\gamma(t)) =
c$ identicamente, logo a regra da cadeia dá $\langle
\nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$: todos os vetores velocidade são ortogonais ao gradiente, de modo que a direção tangente está contida no plano $\nabla f(M_0)^\perp$. Ambos são subespaços de dimensão $2$ — a direção tangente porque $S$ é localmente um gráfico regular ([Exemplo 19.2](#ex-b2-surfaces-standard)) e o complemento ortogonal porque $\nabla f(M_0) \neq 0$ — logo são iguais. ∎

**Exemplo 19.8.**

Para a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: $\nabla f = 2(x, y, z)$, de modo que o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) em $M_0$ é ortogonal ao raio $\vect{OM_0}$ — o fato clássico de que raio e [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) são perpendiculares, com equação $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

**Exemplo 19.9 (Plano tangente de um gráfico).**

Para $z = f(x, y)$ em $(x_0, y_0)$: aplicando a [Proposição 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

$$
z = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0)(x - x_0)
+ f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,
$$

a parte [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) do desenvolvimento de Taylor de primeira ordem — o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) é o gráfico da [diferencial](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential), como deve ser.

**Exemplo 19.10 (O ponto mais próximo de uma superfície).**

Qual ponto do paraboloide $z = x^2 + y^2$ está mais próximo de $P = (0, 0, 1)$? Minimize a distância ao quadrado ao longo da superfície: com $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2,
\qquad
g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0
\iff \rho^2 = \tfrac12 ,
$$

o que dá o círculo dos pontos de altura $z = \frac12$ e distância $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$. A assinatura geométrica da minimalidade: num tal ponto $M$, o vetor $\vect{MP}$ tem de ser *normal* à superfície — caso contrário, deslizar ao longo de uma curva desenhada com velocidade tendo uma componente na direção de $P$ diminuiria a distância. Confira: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ em $M = (x, y,
\tfrac12)$, enquanto $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) =
\tfrac12(-2x, -2y, 1)$: paralelos, como previsto. A condição de primeira ordem “pé da perpendicular” é a mesma que governará os extremos sobre conjuntos de nível no [Exercício 19.12](#exo-b2-surfaces-12).

**Exemplo 19.11 (Planos tangentes de quádricas: a regra da polarização).**

Sejam $S : xy + yz + zx = 1$ e $M_0 = (1, 1, 0) \in S$. Aqui $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$, logo $\nabla f(M_0) = (1,
1, 2)$ e o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) é

$$
(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0,
\qquad\text{i.e.}\qquad x + y + 2z = 2 .
$$

A mesma resposta vem da *regra de [polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def)* que generaliza [Exemplo 19.8](#ex-b2-surfaces-spheretangent) e [Exercício 19.2](#exo-b2-surfaces-2): na equação da [quádrica](#pb-b2-surfaces-1), substitua $x^2$ por $x_0x$ e cada produto $xy$ por $\frac{x_0y +
y_0x}2$ (e ciclicamente):

$$
\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x +
x_0z}2 = 1
\;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\;
\frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,
$$

que é de novo $x + y + 2z = 2$. A regra funciona porque $\nabla$ de uma [forma quadrática](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) é a forma bilinear associada avaliada contra o ponto base — tangência a uma [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) é [polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def), mais uma face do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic).

## 19.3 A primeira forma fundamental

**Definição 19.12 (Primeira forma fundamental).**

Seja $\sigma \colon U \to \R^3$ uma superfície $\mathcal{C}^1$ regular. Sua *primeira forma fundamental* em $(u,v)$ é a [forma quadrática](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) positiva definida em $\R^2$

$$
I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2
= E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,
$$

em que

$$
E = \norm{\sigma_u}^2,
\qquad
F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle,
\qquad
G = \norm{\sigma_v}^2 .
$$

**Observação 19.13.**

$I$ é a restrição do produto escalar euclidiano ambiente ao [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent), lida na base $(\sigma_u, \sigma_v)$: ela é positiva definida precisamente porque $\sigma_u, \sigma_v$ são independentes ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic)). Toda quantidade métrica sobre a superfície — [comprimentos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de curvas desenhadas, ângulos entre elas, [áreas](#def-b2-surfaces-area) — é calculada só a partir de $E, F, G$. Duas superfícies com a mesma $E,
F, G$ em parâmetros adequados são *isométricas* mesmo que estejam dispostas de modos diferentes no espaço: esse é o ponto de partida da geometria intrínseca.

**Exemplo 19.14 (Ângulos entre as curvas coordenadas).**

A [primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) mede também ângulos: as curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ e $v \mapsto
\sigma(u_0, v)$ se encontram sob o ângulo $\theta$ com

$$
\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u,
\sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}}
= \frac{F}{\sqrt{EG}} :
$$

o único coeficiente $F$ decide a ortogonalidade da rede de parâmetros. Para a carta da esfera e para o helicoide, $F =
0$: meridianos cortam paralelos, e hélices cortam as geratrizes horizontais, em ângulo reto — e é por isso que seus integrandos de [área](#def-b2-surfaces-area) colapsaram em $\sqrt{EG}$. Para uma carta gráfico, $F = f_xf_y$ se anula apenas onde uma derivada parcial se anula: a rede coordenada de um gráfico inclinado *não* é ortogonal, embora a rede em $(x, y)$ lá embaixo o seja. Quando os cálculos sobre uma superfície ficam pesados, o primeiro movimento é procurar uma carta com $F = 0$.

**Exemplo 19.15 (A carta da sela).**

Para a sela $z = xy$ com carta $\sigma(u, v) = (u, v,
uv)$:

$$
\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u),
\qquad
E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,
$$

e $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$: regular em toda parte. As duas curvas coordenadas por um ponto são *retas* de $\R^3$ (fixe $u$ ou fixe $v$: as geratrizes da sela duplamente regrada), e no entanto $F \neq 0$ fora dos eixos: as geratrizes por um ponto genérico não são ortogonais. Ambas as geratrizes estão no [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent), que elas geram — de modo que o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) corta a superfície ao longo de duas retas inteiras, o extremo oposto da esfera, cujos [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) tocam num único ponto. O sinal do “contato de segunda ordem” entre uma superfície e seus [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) é uma história de [curvatura](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#thm-b2-curves-frenet2d), retomada no volume do terceiro ano de graduação.

**Proposição 19.16 (Comprimento de uma curva desenhada sobre uma superfície).**

Se $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$, $t \in [a, b]$, é $\mathcal{C}^1$, então

$$
L(\gamma) = \int_a^b
\sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,
$$

com $E, F, G$ avaliados em $(u(t), v(t))$.

**Demonstração.** $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ pela regra da cadeia, logo $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$; integre $\norm{\gamma'}$ ([Definição 18.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)). ∎

**Exemplo 19.17 (Por que os aviões de linha voam sobre o polo).**

Dois aeroportos estão na latitude $\varphi_0$ e em longitudes opostas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ e $B = \sigma(\pi,
\varphi_0)$ na esfera de raio $R$. Ao longo do paralelo ($\varphi \equiv \varphi_0$), o [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) é $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Ao longo da rota sobre o polo (subindo o meridiano $\theta = 0$, descendo o meridiano $\theta = \pi$), ele vale $2R(\frac\pi2 -
\varphi_0)$. Na latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sessenta graus): rota do paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, rota polar $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — um terço mais curta. De fato, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ em $\intcc0{\pi/2}$ (a função $\pi\cos\varphi - \pi +
2\varphi$ se anula nas duas extremidades e sua derivada $2 -
\pi\sin\varphi$ muda de sinal uma única vez, logo ela é primeiro crescente e depois decrescente, portanto não negativa): a rota polar nunca perde. A [primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) transformou uma questão de navegação em duas integrais de uma linha; o [Exercício 19.6](#exo-b2-surfaces-6) leva a ideia até uma verdadeira demonstração de minimalidade para os meridianos.

**Lema 19.18 (Identidade de Lagrange).**

Para todos $a, b \in \R^3$: $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$. Em particular

$$
\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.
$$

**Demonstração.** Ambos os membros ficam inalterados se substituirmos $b$ por sua componente $b_\perp
= b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ ortogonal a $a$ (para $a \neq 0$; o caso $a = 0$ é trivial): o membro da esquerda porque $a \wedge a = 0$, o da direita desenvolvendo $\norm
{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ e $\langle a, b_\perp\rangle = 0$. Basta portanto demonstrar a identidade para $a, b$ ortogonais, em que ela se lê $\norm{a \wedge
b} = \norm a \norm b$: verdadeiro, pois para vetores ortogonais o produto vetorial tem [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$. A fórmula exibida é o caso $a = \sigma_u$, $b = \sigma_v$. ∎

**Observação 19.19.**

A identidade de Lagrange diz que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix}
E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ é o *[determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) de Gram* de $(\sigma_u, \sigma_v)$: a [área](#def-b2-surfaces-area) ao quadrado do paralelogramo por eles [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated). Regularidade, positividade definida da [primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) e positividade do [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) de Gram são três formulações de uma só condição — e é por isso que o integrando de [área](#def-b2-surfaces-area) abaixo nunca se anula numa carta regular.

**Definição 19.20 (Área).**

Sejam $\sigma \colon U \to \R^3$ uma superfície $\mathcal{C}^1$ regular e injetiva e $K \subseteq U$ um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) sobre o qual as integrais duplas façam sentido ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)). A *área* do pedaço $\sigma(K)$ é

$$
\mathcal{A}
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v
= \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
$$

**Observação 19.21 (Por que essa fórmula).**

O retângulo $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ é aplicado, em primeira ordem, sobre o paralelogramo [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por $\sigma_u\,\dd u$ e $\sigma_v\,\dd v$, cuja [área](#def-b2-surfaces-area) vale $\norm{\sigma_u \wedge
\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$: a definição integra o fator local de distorção de [área](#def-b2-surfaces-area), exatamente como o [comprimento de arco](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) integra a velocidade local. A compatibilidade com [mudanças de parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) é o [Exercício 19.8](#exo-b2-surfaces-8); a compatibilidade com a fórmula de mudança de variáveis para integrais duplas é discutida no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint).

**Exemplo 19.22 (Dois gráficos diferentes, uma só área).**

Sobre o disco unitário, compare a tigela $z = \frac12(x^2 + y^2)$ e a sela $z = xy$. Seus integrandos de [área](#def-b2-surfaces-area) ([Exercício 19.5](#exo-b2-surfaces-5)) são

$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}
\qquad\text{e}\qquad
\sqrt{1 + y^2 + x^2} :
$$

idênticos. As duas superfícies — uma se curvando do mesmo modo em todas as direções, a outra em forma de sela — têm exatamente as mesmas [áreas](#def-b2-surfaces-area) sobre todo domínio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre o disco unitário. O elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) só enxerga o *[comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)* do gradiente, não a disposição da flexão; distinguir a tigela da sela exige dados de segunda ordem (a estrutura de sinais exibida no [Figura 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle)), que nenhuma medida de [área](#def-b2-surfaces-area) detecta. [Primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff): métrica, cega à forma; a segunda forma, que vê a forma, pertence ao terceiro ano.

**Exemplo 19.23 (Área da esfera).**

Para a carta esférica de [Exemplo 19.2](#ex-b2-surfaces-standard):

$$
\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\
\cos\theta\cos\varphi,\ 0),
\qquad
\sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\
-\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),
$$

logo $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ e $\sqrt{EG - F^2}
= R^2\cos\varphi$. Portanto

$$
\mathcal{A}
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \boxed{4\pi R^2} .
$$

**Exemplo 19.24 (O cone, conferido contra a fórmula da escola).**

Para o cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre a coroa $a \leq
\rho \leq b$, a fórmula do gráfico do [Exercício 19.5](#exo-b2-surfaces-5) dá $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcule $f_x = x/\rho$, $f_y = y/\rho$), logo

$$
\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .
$$

Verificação de coerência com a fórmula da geratriz $\pi\rho\ell$ do [Exemplo 19.26](#ex-b2-surfaces-revolution): os cones [completos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) de raios de base $b$ e $a$ têm [áreas](#def-b2-surfaces-area) laterais $\pi b\cdot b\sqrt2$ e $\pi a\cdot a\sqrt2$, cuja diferença é exatamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$. Duas cartas, duas fórmulas, uma só [área](#def-b2-surfaces-area) — a invariância demonstrada no [Exercício 19.8](#exo-b2-surfaces-8), vista em pleno funcionamento.

**Observação 19.25 (Verificações de bom senso para áreas).**

Três verificações instantâneas pegam a maioria dos erros num cálculo de [área](#def-b2-surfaces-area). *Escala*: dilatar uma superfície por $\lambda$ multiplica $E, F, G$ por $\lambda^2$ e a [área](#def-b2-surfaces-area) por $\lambda^2$ — uma resposta cuja dependência em $R$ não seja quadrática (como $4\pi R^2$) está errada. *Positividade do elemento*: $\sqrt{EG - F^2}$ tem de ser estritamente positivo no interior da carta; um valor nulo sinaliza uma degenerescência da carta, a ser excisada como nos polos da esfera. *Simetria*: um cálculo sobre um pedaço [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) tem de ser compatível com a soma de suas partes congruentes — é bom que o hemisfério dê $2\pi R^2$.

**Exemplo 19.26 (Superfície de revolução).**

Rode a curva $z \mapsto (r(z), 0, z)$, $r > 0$ de classe $\mathcal{C}^1$, em torno do eixo $z$:

$$
\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).
$$

Então $E = r(z)^2$, $F = 0$, $G = 1 + r'(z)^2$, logo

$$
\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi}
r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z
= 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,
$$

a fórmula clássica (circunferência $2\pi r$ vezes o elemento de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) da geratriz). Para o cone $r(z) = kz$, $z \in [0, h]$: $\mathcal
A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ com $\rho = kh$ o raio da base e $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ a geratriz — a fórmula da escola, agora demonstrada e não admitida.

**Exemplo 19.27 (O catenoide).**

Rode a catenária $r(z) = \cosh z$, $z \in \intcc{-1}{1}$, em torno de seu eixo: o *catenoide* resultante tem, pela fórmula de revolução e pelo $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$,

$$
\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\,
\dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z
= \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},
$$

isto é

$$
\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .
$$

O fator da geratriz $\sqrt{1 + r'^2}$ fundiu-se com o raio num quadrado perfeito — a mesma identidade que tornou elementar o [comprimento de arco](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) da catenária no capítulo das curvas. Isso não é um acaso algébrico: entre todas as superfícies de revolução que se apoiam nos dois círculos de bordo, o catenoide minimiza a [área](#def-b2-surfaces-area) (é a forma de uma película de sabão entre dois anéis), e essa propriedade variacional é precisamente o que singulariza $\cosh$; o volume do terceiro ano de graduação a demonstra com o cálculo das variações.

![A sela z = x2 - y2 perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas u em azul, curvas v em verde), o plano tangente em M_0 = (0,0,0) (tracejado) e a normal unitária n. A superfície atravessa seu plano tangente — o análogo bidimensional de uma inflexão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-b28608515b89.svg)

***Figura 19.1.** A sela $z = x^2 - y^2$ perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas $u$ em azul, curvas $v$ em verde), o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) em $M_0 = (0,0,0)$ (tracejado) e a normal unitária $n$. A superfície atravessa seu [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) — o análogo bidimensional de uma inflexão.*

**Observação 19.28 (Armadilhas comuns).**

(i) *Singularidades da carta não são singularidades da superfície*: a carta esférica degenera nos polos ($\cos\varphi = 0$), mas a esfera é perfeitamente suave ali — outra carta (troque os papéis dos eixos) é regular nos polos. Antes de declarar um ponto singular, tente uma segunda parametrização. (ii) *A regularidade de $\sigma$ diz respeito à parametrização, não à imagem*: $\sigma(u, v) = (u^3, v,
0)$ não é regular ao longo de $u = 0$ embora sua imagem seja um plano. (iii) A fórmula da [área](#def-b2-surfaces-area) exige $\sigma$ *injetiva* em $K$: uma carta que cobre um pedaço duas vezes o conta duas vezes ($\theta$ percorrendo $\intcc0{4\pi}$ duplica a [área](#def-b2-surfaces-area) da esfera). (iv) A normal unitária é definida a menos de sinal pela superfície, mas é *escolhida* pela carta ([ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) de $u, v$); enunciados que envolvem orientação têm de fixar essa escolha. (v) Por fim, $EG - F^2 > 0$ não é uma hipótese suplementar: é exatamente a regularidade, pela identidade de Lagrange — se ela se anula em algum lugar, o problema é a carta, e nenhuma fórmula de [área](#def-b2-surfaces-area) ou de [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) se aplica ali.

**Observação 19.29 (Perspectivas dentro deste volume).**

Elos para a frente a partir daqui. O elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $\sqrt{EG -
F^2}\,\dd u\,\dd v$ é um jacobiano bidimensional disfarçado, e o [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint) torna a analogia exata com o teorema de mudança de variáveis — as integrais de superfície de lá são as [áreas](#def-b2-surfaces-area) deste capítulo com um integrando a bordo. A [primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) é um campo de [formas quadráticas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) positivas, tratado [pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) pelas ferramentas do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic), cujo teorema espectral também move a classificação das [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) do problema de fim de semana. E a reta normal governa problemas de extremo sobre conjuntos de restrição ([Exemplo 19.10](#ex-b2-surfaces-closest)), o germe geométrico do método dos multiplicadores de Lagrange esboçado com o [Teorema 15.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#thm-b2-diffcalc-extrema).

![Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-daa07e991473.svg)

![Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-8acfb6f12a0d.svg)

![Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-460a5b06a590.svg)

![Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-9851a9457302.svg)

*Quatro das nove superfícies [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.*

**Observação 19.30 (Onde isso é usado).**

O elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ é a medida das integrais de superfície do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint), em que ele encontra a fórmula de Green; a [primeira forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) é o protótipo de um campo de [formas quadráticas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def), estudado [pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) com as ferramentas do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic); e o problema de fim de semana deste capítulo classifica todas as superfícies [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) com o teorema espectral. O volume do terceiro ano de graduação volta às superfícies com formas [diferenciais](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) e o teorema da divergência, e a [curvatura](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#thm-b2-curves-frenet2d) intrínseca — o que $E, F, G$ sabem sobre a flexão — é a porta de entrada da geometria diferencial propriamente dita.

## 19.4 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Mostre que os [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) do cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (menos seu vértice) passam todos pelo vértice. *(Parametrize por $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$, $r > 0$.)*

**Solução de Exercício 19.1.**

Com $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$:

$$
\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0),
\qquad
\sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),
$$

independentes para $r > 0$. O [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) em $M_0 =
\sigma(\theta_0, r_0)$ passa por $M_0$ com direções $\sigma_\theta, \sigma_r$. Ora, $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0,
\sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ é ele próprio uma direção tangente: o vértice $O$ está no [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent). (Esse é o comportamento geral dos cones: eles são regrados por retas passando pelo vértice, e um [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) contém a reta geratriz que passa pelo ponto de tangência.)

**Exercício 19.2 ★.**

Determine o [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) do elipsoide $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ num ponto $(x_0, y_0,
z_0)$ da superfície.

**Solução de Exercício 19.2.**

Aplique a [Proposição 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) a $f(x,y,z) =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$: $\nabla
f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sobre a superfície. O [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) é

$$
\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0)
+ \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0,
\qquad\text{i.e.}\qquad
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,
$$

usando que $(x_0, y_0, z_0)$ satisfaz a equação do elipsoide — a regra de “desdobrar os quadrados” que generaliza o $\langle
M_0, M \rangle = R^2$ da esfera.

**Exercício 19.3 ★.**

Calcule $E, F, G$ para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\
v\sin u,\ au)$, $a > 0$, e a [área](#def-b2-surfaces-area) do pedaço $0 \leq u \leq
2\pi$, $0 \leq v \leq 1$, como uma integral (avalie-a usando $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} +
a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$).

**Solução de Exercício 19.3.**

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ e $\sigma_v = (\cos u,\
\sin u,\ 0)$, logo

$$
E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1,
\qquad
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0
$$

(o helicoide é regular em toda parte, inclusive sobre seu eixo $v =
0$). [Área](#def-b2-surfaces-area) do pedaço:

$$
\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1
\sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u
= 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2}
+ a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,
$$

isto é, $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} +
a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$.

**Exercício 19.4 ★★.**

(Toro) Parametrize o toro obtido girando o círculo de centro $(R, 0, 0)$ e raio $r < R$ no plano $xz$ em torno do eixo $z$:

$$
\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\
(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).
$$

Calcule $E, F, G$, verifique a regularidade e mostre que a [área](#def-b2-surfaces-area) vale $4\pi^2 R r$ (Pappus: circunferência média $2\pi R$ vezes o [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) do círculo $2\pi r$).

**Solução de Exercício 19.4.**

Derivadas:

$$
\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\
(R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr),
\qquad
\sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\
-r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).
$$

Então

$$
E = (R + r\cos\psi)^2,
\qquad
F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi)
\bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0,
\qquad
G = r^2 ,
$$

logo $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$: regular em toda parte. [Área](#def-b2-surfaces-area):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi)
\,\dd\theta\,\dd\psi
= 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr)
= 4\pi^2 R r ,
$$

o termo em $\cos\psi$ integrando a zero — teorema de Pappus: [área](#def-b2-surfaces-area) $=$ ([comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) do círculo girado) $\times$ (distância percorrida por seu centro).

**Exercício 19.5 ★★.**

Mostre que a [área](#def-b2-surfaces-area) do gráfico de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ é $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ e calcule-a para o pedaço de paraboloide $z = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre o disco $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordenadas polares, [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)).

**Solução de Exercício 19.5.**

Para $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$: $\sigma_x = (1, 0, f_x)$, $\sigma_y = (0, 1, f_y)$, logo $E = 1 + f_x^2$, $F = f_xf_y$, $G = 1
+ f_y^2$ e

$$
EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2
= 1 + f_x^2 + f_y^2 ,
$$

o que dá a fórmula de [área](#def-b2-surfaces-area) anunciada. Para $f = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre o disco unitário: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ e, em coordenadas polares ($x = \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$, jacobiano $\rho$, [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho
\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1
= \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).
$$

**Exercício 19.6 ★★.**

Uma curva desenhada $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sobre a esfera de raio $R$ (carta esférica) tem $u = \theta(t)$, $v =
\varphi(t)$. Escreva seu [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) como uma integral em $\theta, \varphi$ e demonstre que, entre as curvas que ligam dois pontos de um mesmo meridiano $\theta = \theta_0$, o arco de meridiano é a mais curta. *(Minore o integrando por $R\abs{\varphi'}$.)*

**Solução de Exercício 19.6.**

Pelo cálculo do [Exemplo 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea), $E =
R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$, logo, pela [Proposição 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength)

$$
L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2
+ \varphi'(t)^2}\;\dd t .
$$

Sejam os extremos $(\theta_0, \varphi_1)$ e $(\theta_0,
\varphi_2)$, $\varphi_1 < \varphi_2$. Para qualquer curva que os una,

$$
L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t
\geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr|
= R\,(\varphi_2 - \varphi_1),
$$

descartando o termo não negativo $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ e usando a desigualdade triangular para integrais. O arco de meridiano $\theta \equiv \theta_0$, com $\varphi$ crescendo de $\varphi_1$ a $\varphi_2$, tem [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) exatamente $R(\varphi_2 - \varphi_1)$: ele é o mais curto. (Meridianos são círculos máximos; esse é o primeiro caso, elementar, do fato de que as geodésicas da esfera são círculos máximos.)

**Exercício 19.7 ★★★.**

(Retas normais de uma esfera) Seja $S$ uma superfície de nível regular $\{f = c\}$, [conexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected), cujas retas normais passam todas por um ponto fixo $\Omega$. Mostre que $S$ está contida numa esfera centrada em $\Omega$. *(Mostre que $\norm{M - \Omega}^2$ tem derivada nula ao longo de toda curva desenhada sobre $S$.)*

**Solução de Exercício 19.7.**

Fixe uma curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ e ponha $g(t) = \norm{\gamma(t)
- \Omega}^2$. Então $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) -
\Omega\rangle$. A reta normal em $M = \gamma(t)$ passa por $\Omega$ por hipótese, de modo que $\gamma(t) - \Omega$ é um vetor *normal*, ortogonal ao [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent), em particular à velocidade $\gamma'(t)$ ([Proposição 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity)): $g' =
0$, e $g$ é constante ao longo de toda curva desenhada.

Ora, o conjunto $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ é fechado em $S$; ele também é [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) em $S$: perto de qualquer de seus pontos, $S$ é um gráfico regular, de modo que todo ponto vizinho de $S$ liga-se a ele por uma curva desenhada (um segmento levantado), ao longo da qual $g$ é constante. Como $S$ é [conexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected) e $S_c$ é não vazio para o $c$ adequado, $S = S_c
\subseteq$ a esfera de centro $\Omega$ e raio $\sqrt c$ ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric): argumento de [conexidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected)).

**Exercício 19.8 ★★★.**

(A [área](#def-b2-surfaces-area) é geométrica) Seja $\Phi \colon U' \to U$ um difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre [abertos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de $\R^2$ e $\tilde\sigma =
\sigma \circ \Phi$. Mostre que

$$
\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
= \abs{\det J_\Phi}\,
\norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,
$$

e deduza, usando a fórmula de mudança de variáveis do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint), que a [área](#def-b2-surfaces-area) de [Definição 19.20](#def-b2-surfaces-area) não depende da parametrização regular escolhida.

**Solução de Exercício 19.8.**

Escreva $\Phi(u', v') = (u, v)$. Pela regra da cadeia,

$$
\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v,
\qquad
\tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,
$$

com as parciais de $\sigma$ avaliadas em $\Phi(u',v')$. Desenvolvendo o produto vetorial bilinearmente e usando $\sigma_u \wedge \sigma_u =
\sigma_v \wedge \sigma_v = 0$, $\sigma_v \wedge \sigma_u =
-\sigma_u \wedge \sigma_v$:

$$
\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}
= \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'}
\frac{\partial v}{\partial v'}
- \frac{\partial v}{\partial u'}
\frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\,
\sigma_u \wedge \sigma_v
= \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .
$$

Tomando [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) obtém-se a identidade. Então, pela fórmula de mudança de variáveis ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)) aplicada à aplicação $\Phi$ em $K' =
\Phi^{-1}(K)$:

$$
\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
\,\dd u'\dd v'
= \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\;
\abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v'
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :
$$

as duas parametrizações atribuem a mesma [área](#def-b2-surfaces-area) ao mesmo pedaço de superfície.

**Exercício 19.9 ★.**

(Teorema da caixa de chapéu de Arquimedes) Na esfera de raio $R$, a *zona* entre as latitudes com $z_1 \leq z \leq z_2$ ($-R \leq z_1 < z_2 \leq R$) tem [área](#def-b2-surfaces-area) $2\pi R\,(z_2 - z_1)$: demonstre-o com a carta esférica e conclua que a [área](#def-b2-surfaces-area) de uma zona depende apenas de sua altura — fatiar uma laranja em fatias de espessura igual dá quantidades iguais de casca.

**Solução de Exercício 19.9.**

Na carta esférica, $z = R\sin\varphi$, e a zona corresponde a $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ com $z_i = R\sin\varphi_i$. Com o elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Exemplo 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea)):

$$
\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)
= 2\pi R\,(z_2 - z_1) .
$$

O resultado depende apenas da altura $z_2 - z_1$: fatias de espessura igual carregam [áreas](#def-b2-surfaces-area) iguais, sejam cortadas no equador ou no polo — o teorema da caixa de chapéu de Arquimedes, e a razão pela qual a [área](#def-b2-surfaces-area) lateral do cilindro circunscrito ($2\pi R \cdot
2R = 4\pi R^2$) é igual à [área](#def-b2-surfaces-area) da esfera.

**Exercício 19.10 ★★.**

Mostre que toda reta normal de uma superfície de revolução $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ($r > 0$ de classe $\mathcal C^1$) encontra o eixo de revolução, e localize o ponto de interseção.

**Solução de Exercício 19.10.**

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ e $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$, logo

$$
\sigma_\theta \wedge \sigma_z
= (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,
$$

um vetor normal em $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$. A reta normal é

$$
t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\
z - t\,r\,r'\bigr),
$$

que em $t = -1$ atinge $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$: toda reta normal encontra o eixo, na altura $z + rr'$. (Essa é a razão tridimensional pela qual a simetria de rotação sobrevive no campo normal.)

**Exercício 19.11 ★★.**

(Desenrolando o cilindro) A carta $\sigma(u, v) = (\cos u,\
\sin u,\ v)$ do cilindro unitário tem $E = G = 1$, $F = 0$: verifique isso e explique por que toda curva desenhada $t \mapsto
\sigma(u(t), v(t))$ tem o mesmo [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) que a curva plana $t
\mapsto (u(t), v(t))$. Deduza que a hélice que vai de $(1, 0, 0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando uma volta tem [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ e que nenhuma curva desenhada com os mesmos extremos e uma volta completa é mais curta.

**Solução de Exercício 19.11.**

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$, $\sigma_v = (0, 0, 1)$: $E
= 1$, $F = 0$, $G = 1$. Pela [Proposição 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength), o [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de uma curva desenhada é $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — o [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de sua sombra de parâmetros $(u(t), v(t))$ no plano: a carta é uma isometria local (o desenrolamento do cilindro). A hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$, $t \in \intcc0{2\pi}$, tem por sombra o segmento de $(0,0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$, de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$. Toda curva desenhada de $(1,0,0)$ a $(1,
0, 2\pi c)$ dando uma volta completa tem uma sombra [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ligando $(0, 0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$, de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) no plano $\geq$ o do segmento reto; como os [comprimentos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) coincidem, a hélice é a mais curta.

**Exercício 19.12 ★★★.**

Sejam $S = \{f = c\}$ uma superfície de nível regular [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) e $M_0 \in S$ um ponto à distância máxima da origem. Mostre que $\nabla f(M_0)$ é colinear com $\vect{OM_0}$ — a normal no ponto mais distante é radial. Aplique ao elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($a >
b > c > 0$): determine todos os pontos em que a normal é radial e identifique os mais distantes.

**Solução de Exercício 19.12.**

A função $g(M) = \norm{M}^2$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) no [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) $S$, logo atinge seu máximo em algum $M_0$. Para toda curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ com $\gamma(0) = M_0$, a função $t
\mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ tem um máximo em $t = 0$, de modo que sua derivada $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ se anula: $M_0$ é ortogonal a todo vetor tangente, isto é, normal a $S$ em $M_0$. Como $\nabla f(M_0) \neq 0$ também dirige a reta normal ([Proposição 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient)), $\nabla f(M_0)$ e $\vect{OM_0}$ são colineares. Para o elipsoide, radialidade significa

$$
\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :
$$

cada coordenada satisfaz $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ etc.; como $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ são distintos, no máximo uma coordenada é não nula, e as soluções sobre a superfície são os seis extremos dos eixos $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0,
0, \pm c)$. Os pontos mais distantes são $(\pm a, 0, 0)$, à distância $a = \max(a,b,c)$.

## 19.5 Problema: a classificação das quádricas de $\R^3$

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — toda superfície quádrica, ordenada pelo teorema espectral

Uma *quádrica* é o conjunto de zeros em $\R^3$ de um polinômio de grau dois

$$
q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c,
\qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\
c \in \R .
$$

As superfícies das figuras deste capítulo — esferas, elipsoides, selas, cones, cilindros — são todas [quádricas](#pb-b2-surfaces-1). Este problema as classifica *todas*: o teorema espectral ([Teorema 12.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-spectral)) endireita a parte quadrática, translações [afins](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#ch-b2-affine)) absorvem a parte linear, e o que resta é uma lista curta e [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) de formas normais.

**Parte I — A máquina de redução.**

1. Seja $X = PY + t$ com $P \in O(3)$ e $t \in \R^3$ (uma mudança rígida de coordenadas). Mostre que $q(PY + t) =  Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ com $$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad  b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad  c' = q(t) .$$ Deduza que o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ (logo seu posto e sua assinatura) é um invariante rígido da equação e explique por que a equação de uma dada [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) só é determinada a menos de um fator escalar não nulo.
2. Usando o teorema espectral, mostre que, após uma rotação, a equação se torna $\sum_i \lambda_i y_i^2 +  2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ com $\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3$ os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ .
3. Para todo $i$ com $\lambda_i \neq 0$ , absorva $\beta_iy_i$ por uma translação ( $y_i \mapsto y_i -  \beta_i/\lambda_i$ ). Escreva a equação reduzida quando $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i  z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
4. Um *centro* da [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) de equação $q = 0$ é um ponto $\Omega$ com $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ : a simetria [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) em $\Omega$ preserva a equação, logo a superfície. Mostre que $q(2\Omega - X)  - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle  A\Omega + b, \Omega\rangle$ e deduza: os centros são exatamente as soluções de $A\Omega = -b$ ; eles existem se e somente se $b \in \operatorname{im}A$ , e o centro é único se e somente se $A$ é invertível.

**Parte II — [Quádricas](#pb-b2-surfaces-1) centrais ($\operatorname{rank}A = 3$).** Aqui a equação reduzida é $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$.

5. Multiplicando por $-1$ se necessário, suponha ao menos dois $\lambda_i > 0$ . Enumere as possibilidades: assinatura $(3, 0)$ com $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , e assinatura $(2, 1)$ com $\delta > 0$ , $= 0$ , $<  0$ ; nomeie os seis conjuntos resultantes (elipsoide, ponto, conjunto vazio, hiperboloide de uma folha, cone, hiperboloide de duas folhas) e ponha cada um em sua forma normal euclidiana ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +  \frac{z^2}{c^2} = 1$ etc.).
6. Classifique $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : mostre que $A = 2J - I$ com $J$ a matriz de uns, calcule o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ e identifique um hiperboloide de duas folhas de revolução em torno do eixo $\R(1,1,1)$ .
7. (Geratrizes) Para o hiperboloide de uma folha $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}  = 1$, fatore $$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr)  \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr)  = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$$ e produza duas famílias a um parâmetro de retas contidas na superfície.
8. Mostre que por todo ponto do hiperboloide de uma folha passa exatamente uma reta de cada família: a superfície é *duplamente regrada* .
9. O *cone assintótico* do hiperboloide de uma folha é $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Com $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2}  + \frac{y^2}{b^2}$ , mostre que todo ponto do hiperboloide está à distância no máximo $c\bigl(\rho -  \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho +  \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , de modo que a superfície se cola ao seu cone no infinito. Quais são as seções do hiperboloide pelos planos $x = \pm a$ ?

**Parte III — Posto $2$ e posto $1$: paraboloides, cilindros, planos.**

10. Suponha $\operatorname{rank}A = 2$, digamos $\lambda_1,  \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$. Partindo da questão 3, separe em dois casos conforme $\beta_3 \neq 0$ (sem centro, pela questão 4) ou $\beta_3 = 0$ (uma reta de centros), e reduza a $$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0  \qquad\text{ou}\qquad  \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$$ paraboloides elípticos/hiperbólicos no primeiro caso, cilindros sobre cônicas centrais (ou pares de planos concorrentes, uma reta, o conjunto vazio) no segundo.
11. Mostre que a sela $z = xy$ é um paraboloide hiperbólico: rode de $\pi/4$ no plano $xy$ para chegar a $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , a superfície do [Figura 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) a menos de escala.
12. Mostre que a sela $z = xy$ carrega as duas famílias de retas $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ e $\{y = y_0,\ z  = xy_0\}$ , com exatamente uma reta de cada uma passando por todo ponto: a segunda [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) duplamente regrada.
13. Classifique $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ em $\R^3$ (complete os quadrados; identifique um cilindro circular reto e dê seu eixo e seu raio).
14. Suponha agora $\operatorname{rank}A = 1$, digamos $\lambda_1  \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$. Rodando dentro do plano do núcleo e transladando, reduza a $$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0)  \qquad\text{ou}\qquad  \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$$ um cilindro parabólico, ou um par de planos paralelos, um plano duplo, ou o conjunto vazio. Classifique $(x + y)^2 =  z$ completamente (forma normal, eixo de invariância por translação).

**Parte IV — O teorema de classificação.**

15. Reúna as Partes I–III num teorema: *toda [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) de $\R^3$ é levada por um movimento rígido sobre exatamente uma forma normal* . Liste os dezessete tipos [afins](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) (conte as variantes vazias e os conjuntos degenerados) e destaque as nove *superfícies* [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) : elipsoide, hiperboloides de uma e de duas folhas, cone, paraboloides elíptico e hiperbólico, cilindros elíptico, hiperbólico e parabólico.
16. Escreva o *algoritmo* de classificação: dados $(A,  b, c)$ , que quantidades você calcula, em que [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) , e qual ramificação decide qual tipo? Justifique que cada passo é efetivo ( [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de uma matriz $3\times3$ [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) , posto, resolubilidade de $A\Omega = -b$ ).
17. Rode o algoritmo em $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz -  2zx = 1$ : mostre que $A = 2I - J$ tem [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 2,  -1\}$ e conclua: um hiperboloide de uma folha de revolução em torno de $\R(1,1,1)$ .
18. Rode-o em $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : determine o centro e identifique a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) .
19. Rode-o em $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonalize o bloco $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v =  \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) e identifique a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) .
20. Euclidiano contra [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) . Mostre que duas [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) centrais em forma normal são *rigidamente* equivalentes se e somente se têm as mesmas listas de coeficientes (a menos de permutação e de um escalar positivo comum sobre a equação), enquanto *afimmente* só sobrevivem os dados de assinatura: todo elipsoide é imagem [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) da esfera redonda. Que teorema garante que a assinatura não pode mudar pelo caminho ( [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-sylvester) )?

**Parte V — Dividendos.**

21. Mostre que toda seção de uma [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) por um plano [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) é uma cônica (possivelmente degenerada) desse plano. Identifique as seções da sela $z = xy$ pelos planos $z = c$ ( $c \neq 0$ e $c = 0$ ).
22. Que superfícies [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) contêm retas? Mostre que o elipsoide, o hiperboloide de duas folhas e o paraboloide elíptico não contêm nenhuma *(restrinja $q$ a uma reta e use a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o caso de duas folhas)* ; que cone e cilindros são regrados por uma família; e conclua que as superfícies [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) duplamente regradas são exatamente o hiperboloide de uma folha e o paraboloide hiperbólico.
23. Quando se quer apenas o tipo *[afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace)* , a [redução de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) ( [Teorema 12.5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) ) é mais barata que diagonalizar. Refaça a questão 17 com o algoritmo de Gauss e confira a assinatura $(2, 1)$ ; que informação euclidiana Gauss perde?
24. Todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de uma matriz [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) são reais; mostre que, em consequência, os *sinais* dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ podem ser lidos no [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) pela regra dos sinais de Descartes, e verifique-o na questão 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2  - 9\lambda - 5$ tem exatamente uma mudança de sinal, logo assinatura $(1, 2)$ .
25. Síntese. Resuma o algoritmo em algumas linhas; enuncie o papel exato desempenhado (i) pelo teorema espectral, (ii) pela equação do centro $A\Omega = -b$ , (iii) pelo teorema da inércia de Sylvester, (iv) pela [redução de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) . O que a mesma máquina dá em $\R^2$ , e o que muda em $\R^n$ ?

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** Desenvolvendo, e usando a simetria de $A$ ($t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$):

$$
q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY +
2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At +
2b^{\mathsf T}t + c\bigr),
$$

que é a tripla exibida. $A' = P^{\mathsf T}\!AP =
P^{-1}AP$ é semelhante a $A$: mesmo [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly), mesmo [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), mesmo posto, mesma assinatura. Por fim, $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ para $s \neq 0$, de modo que só a equação *a menos de um escalar* está ligada ao conjunto; multiplicar por $s$ multiplica todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) por $s$.

**2.** O teorema espectral fornece $P \in O(3)$ com $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3)$; a questão 1 com $t = 0$ transforma a equação em $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$, em que $\beta =
P^{\mathsf T}b$.

**3.** Para $\lambda_i \neq 0$: $\lambda_iy_i^2 +
2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i +
\frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 -
\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$; a translação $z_i = y_i +
\beta_i/\lambda_i$ (e $z_i = y_i$ para $i > r$) dá

$$
\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i +
c'' = 0, \qquad
c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.
$$

**4.** $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T}
A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$; desenvolvendo e subtraindo $q(X)$, os termos quadráticos se cancelam e

$$
q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle +
4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .
$$

Se $A\Omega + b = 0$, isso se anula identicamente: a simetria [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) preserva $q$, logo a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1). Reciprocamente, “$q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$” diz que a função [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) acima se anula em todo $\R^3$, o que força sua parte linear $A\Omega + b$ a ser nula. Assim, centros $=$ soluções de $A\Omega = -b$: um conjunto não vazio se e somente se $b \in \operatorname{im}A$ (um subespaço [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) dirigido por $\ker A$), e um único ponto se e somente se $A$ é invertível.

**5.** Assinatura $(3,0)$ (todos os $\lambda_i > 0$): $\delta >
0$ dá $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}
= 1$ com $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ etc. — um elipsoide; $\delta = 0$: o único ponto $O$; $\delta < 0$: vazio. Assinatura $(2,1)$ ($\lambda_1, \lambda_2 > 0 >
\lambda_3$): $\delta > 0$: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
- \frac{z^2}{c^2} = 1$, o hiperboloide de uma folha; $\delta =
0$: o cone $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}$; $\delta < 0$: $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, o hiperboloide de duas folhas ($\abs z \geq c$: duas componentes).

**6.** A parte quadrática tem matriz $A$ com diagonal $1$ e fora da diagonal $2$: $A = 2J - I$. Como $J$ tem [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 0, 0\}$ ([autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(1,1,1)$ para $3$), $A$ tem [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$, sendo o [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $5$ carregado por $\R(1,1,1)$. Nas coordenadas rodadas: $5u^2 - v^2 - w^2 =
1$, isto é, $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$: um hiperboloide de duas folhas, de revolução ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) iguais $-1$) em torno do eixo $\R(1,1,1)$.

**7.** A superfície é $\bigl(\frac xa - \frac
zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac
yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$. Para $(\lambda : \mu) \neq
(0:0)$ defina a reta

$$
D_{\lambda:\mu} :\quad
\lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac
yb\Bigr), \qquad
\mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac
yb\Bigr)
$$

(duas equações [afins](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) independentes: uma reta). Multiplicando as duas equações vê-se que todo ponto de $D_{\lambda:\mu}$ está sobre a superfície quando $\lambda\mu \neq 0$; os casos $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$ verificam-se diretamente (por exemplo $\lambda = 0$: $y =
b$, $\frac xa = -\frac zc$, o que satisfaz a equação). A segunda família $D'_{\lambda:\mu}$ troca os dois fatores do membro da direita.

**8.** Fixe $M$ sobre a superfície. As condições para $M \in
D_{\lambda:\mu}$ formam um sistema linear homogêneo $2\times2$ em $(\lambda, \mu)$ cujo [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) vale

$$
\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 -
\frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0
$$

precisamente porque $M$ está sobre a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1): existe uma solução não trivial $(\lambda : \mu)$. A matriz de coeficientes nunca é nula (isso forçaria $1 - \frac yb = 1 + \frac yb =
0$), de modo que seu posto é $1$ e a solução é única a menos de escala: exatamente uma reta da família passa por $M$. O mesmo vale para a segunda família, e as duas retas são distintas (em $(a, 0, 0)$ elas são $\{x = a,\ \frac zc = \frac
yb\}$ e $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$): o hiperboloide de uma folha é duplamente regrado.

**9.** Seja $M = (x, y, z)$ sobre o hiperboloide, $\rho^2 =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq
1$. O ponto $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ com $\varepsilon$ o sinal de $z$ satisfaz $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$: $N \in C$, e

$$
d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho}
= c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr)
= \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .
$$

Se $\norm M \to \infty$, então $\rho \to \infty$ (as três coordenadas são limitadas por múltiplos de $\rho$), logo $d(M, C)
\to 0$. A seção $x = a$: $\frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 0$, o par de retas concorrentes da questão 8 — e do mesmo modo em $x = -a$.

**10.** Com $\lambda_3 = 0$, a questão 3 deixa $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$. Na base de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2)$, de modo que, pela questão 4, existem centros se e somente se $\beta_3 = 0$. Se $\beta_3 \neq 0$: a translação $z_3 \mapsto z_3 -
c''/(2\beta_3)$ elimina a constante, deixando $\lambda_1z_1^2
+ \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$, isto é, $z_3 = px^2 +
qy^2$ após renomear: um *paraboloide elíptico* se $\lambda_1\lambda_2 > 0$, um *paraboloide hiperbólico* se $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — e, de fato, nenhum centro. Se $\beta_3 = 0$: a equação $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 +
c'' = 0$ não envolve $z_3$: a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) é um cilindro sobre a cônica plana correspondente — cilindro elíptico, reta ou conjunto vazio quando $\lambda_1\lambda_2 > 0$; cilindro hiperbólico ou par de planos concorrentes quando $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — com toda uma reta de centros $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$.

**11.** $xy - z = 0$. Substituindo $x = \frac{u +
v}{\sqrt2}$, $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotação de $\pi/4$): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$, de modo que a equação se torna $z =
\frac12(u^2 - v^2)$: um paraboloide hiperbólico — a sela da figura, a menos do fator $\frac12$.

**12.** A reta $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (parametrizada por $y$) está claramente sobre $z = xy$, assim como $\{y = y_0,\ z =
xy_0\}$; por $(x_0, y_0, x_0y_0)$ passam as duas. Unicidade: se $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 +
tv_3)$ permanece sobre a superfície, o coeficiente de $t^2$ em $(x_0
+ tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ dá $v_1v_2 = 0$, logo $v_1 = 0$ ou $v_2 = 0$, caindo em uma das duas famílias: uma reta de cada uma por cada ponto — a segunda [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) duplamente regrada.

**13.** Completando os quadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$, sem condição alguma sobre $z$: um cilindro circular reto de raio $\sqrt2$ e eixo a reta vertical $\{(1, -2, z) : z \in
\R\}$ — uma reta de centros, como a questão 10 prevê.

**14.** Com $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$, a equação reduzida é $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c''
= 0$. Uma rotação do plano do núcleo $(z_2, z_3)$ alinha a forma linear: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ com $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$. Se $\beta \neq 0$, transladar $w$ absorve $c''$: $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w =
0$, um *cilindro parabólico*; se $\beta = 0$: $\lambda_1z_1^2 = -c''$ dá dois planos paralelos ($c''
\lambda_1 < 0$), um plano duplo ($c'' = 0$) ou o conjunto vazio. Para $(x + y)^2 = z$: com $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ a equação se lê $z = 2u^2$: um cilindro parabólico, invariante por translações ao longo de $(1, -1, 0)$.

**15.** Toda [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) é levada por uma rotação mais translações sobre uma de: (posto 3) elipsoide, ponto, conjunto vazio, hiperboloide de uma folha, cone, hiperboloide de duas folhas; (posto 2) paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cilindro elíptico, reta, conjunto vazio, cilindro hiperbólico, par de planos concorrentes; (posto 1) cilindro parabólico, par de planos paralelos, plano duplo, conjunto vazio. Identificando as três variantes vazias como *tipos [afins](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace)* distintos de equações, a contagem é dezessete; entre eles nove são superfícies de verdade: elipsoide, os dois hiperboloides, o cone, os dois paraboloides e os três cilindros.

**16.** Algoritmo. (i) Leia $(A, b, c)$; calcule o [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) de $A$, seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (reais, pelo teorema espectral) e $r = \operatorname{rank}A$. (ii) Resolva $A\Omega = -b$ (eliminação gaussiana): solúvel ou não — há centros ou não. (iii) Se for solúvel, transladar para um centro: a equação se torna $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ com $c''
= c + \langle b, \Omega\rangle$; classifique por $r$, pela assinatura e pelo sinal de $c''$, usando as questões 5, 10 e 14. (iv) Se não for solúvel ($r \leq 2$), rode e reduza como nas questões 10 e 14: paraboloide ($r = 2$) ou cilindro parabólico ($r = 1$), elíptico/hiperbólico conforme o sinal de $\lambda_1\lambda_2$. Cada passo é um cálculo finito: raízes de uma cúbica de raízes reais, postos, sistemas lineares.

**17.** $A$ tem diagonal $1$ e fora da diagonal $-1$: $A = 2I
- J$, [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ com $-1$ em $\R(1,1,1)$. Assinatura $(2,1)$, $b = 0$, membro da direita $\delta = 1 > 0$: $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$, um hiperboloide de uma folha de revolução em torno do eixo $\R(1,1,1)$.

**18.** Complete os quadrados: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 +
(-1 - 4 + 1 + 4) = 0$, isto é,

$$
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :
$$

a constante desapareceu — um *cone* circular reto de vértice (e centro único) $(1, -2, 1)$ e eixo paralelo a $Oz$.

**19.** A parte quadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tem matriz $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (no plano $xy$), [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ (em $(1,1)$) e $-1$ (em $(1,-1)$): com $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$, $v =
\frac{x-y}{\sqrt2}$ ela vale $3u^2 - v^2$, e a [quádrica](#pb-b2-surfaces-1) é

$$
z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :
$$

um paraboloide hiperbólico ($A$ tem posto $2$ e $b$ tem uma componente ao longo de $\ker A = \R e_z$: sem centro).

**20.** Um movimento rígido transforma os dados da equação por $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mesmos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)) e as formas normais não têm liberdade residual além de permutar coordenadas e multiplicar a equação inteira por um escalar ($> 0$ para preservar a escrita): duas formas normais centrais coincidem a menos de isometria se e somente se as listas de coeficientes coincidem a menos de permutação e de um fator positivo comum — para o elipsoide, se e somente se os semieixos $(a, b, c)$ coincidem. Afimmente, pode-se também escalonar cada coordenada separadamente ($z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs
{\lambda_i}}$), o que apaga os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) e deixa apenas seus sinais: todo elipsoide se torna $u^2 + v^2 + w^2 = 1$, a esfera. O teorema da inércia de Sylvester ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-sylvester)) garante que a assinatura sobrevive a qualquer mudança linear invertível: os tipos [afins](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) da questão 15 são genuinamente distintos.

**21.** Parametrize o plano afimmente: $M = P + su +
tv$. Então $q(P + su + tv)$ é um polinômio de grau $\leq 2$ em $(s, t)$ (desenvolva a [forma quadrática](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) bilinearmente), de modo que a seção $\{q = 0\}$ é uma cônica do plano, possivelmente degenerada. Para $z = xy$ e o plano $z = c$: $xy = c$, uma hipérbole para $c \neq 0$ e, para $c = 0$, as duas retas coordenadas — o par de geratrizes pela origem.

**22.** *Elipsoide*: limitado, não contém reta alguma. *Hiperboloide de duas folhas* $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$: restrinja a $p + tv$; o coeficiente de $t^2$, $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2}
- \frac{v_2^2}{b^2}$, tem de se anular, logo $v_3 \neq 0$ (senão $v =
0$); o coeficiente de $t$ dá $\frac{p_3v_3}{c^2} =
\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ e Cauchy–Schwarz fornece

$$
\frac{p_3^2}{c^2}
= \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} +
\frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2
\leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} +
\frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2}
= \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},
$$

de modo que o termo constante é $\leq 0 \neq 1$: nenhuma reta. *Paraboloide elíptico* $z = \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2}$: o coeficiente de $t^2$ força $v_1 = v_2 =
0$ e então a equação é linear não constante em $t$: nenhuma reta. *Cone* $x^2 + y^2 = z^2$: uma reta sobre ele satisfaz $q(p) =
q(v) = B(p, v) = 0$ para a forma de Lorentz; a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz plana $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} =
\sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ força $(p_1, p_2)
\parallel (v_1, v_2)$ e então $p = kv$: todas as retas passam pelo vértice — uma só família. *Cilindros*: para os cilindros elíptico e parabólico o coeficiente de $t^2$ força $v_1 = v_2 = 0$ (só as geratrizes); para o cilindro hiperbólico $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, $\frac{v_1}a = \pm
\frac{v_2}b$ com $v_2 \neq 0$ leva, pelo coeficiente de $t$, a $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$, contradizendo o termo constante $1$: de novo só as geratrizes verticais. Assim, as superfícies [quádricas](#pb-b2-surfaces-1) duplamente regradas são exatamente o hiperboloide de uma folha e o paraboloide hiperbólico.

**23.** Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 -
z^2 - 2yz$, logo

$$
q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y +
z)^2 :
$$

três quadrados independentes com sinais $(+, +, -)$ — assinatura $(2, 1)$, coincidindo com a questão 17, sem cálculo algum de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). Gauss perde os dados métricos: as novas coordenadas não são ortonormais, de modo que os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (a forma do hiperboloide, seus eixos e seus [comprimentos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)) se foram; só resta o tipo [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace).

**24.** Sejam $p$, $n$, $z$ os números de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos, negativos e nulos, $p + n + z = 3$. A regra de Descartes limita $p$ pelo número $V$ de mudanças de sinal de $\chi_A$, e $n$ pelo número $V'$ de mudanças de sinal de $\chi_A(-\lambda)$; além disso, cada par de coeficientes não nulos consecutivos produz uma mudança em exatamente um dos dois polinômios, de modo que $V + V' \leq 3 - z$ (as raízes nulas são visíveis como coeficientes finais que se anulam). Então $p + n = 3 - z \geq
V + V' \geq p + n$: igualdade, logo $p = V$ exatamente — os sinais dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) podem ser lidos diretamente. Para $\chi_A(\lambda)
= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$: os sinais $+,-,-,-$ dão $V = 1$, e $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2
+ 9\lambda - 5$ tem sinais $-,-,+,-$: $V' = 2$. Assinatura $(1,
2)$ — coerente com a fatoração exata $\chi_A =
(\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ da questão 6.

**25.** Algoritmo: diagonalizar ortonormalmente a parte quadrática (teorema espectral: esse é o único passo analiticamente profundo, e é o que torna a classificação *euclidiana*); resolver $A\Omega = -b$ para decidir entre tipos centrais e parabólicos e para eliminar por translação a parte linear quando possível (geometria [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace)); ler o tipo a partir do posto, da assinatura e da constante (Sylvester garante que esses são invariantes); quando só importa o tipo [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace), a [redução de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) substitui o teorema espectral ao custo da informação métrica. Em $\R^2$ a mesma máquina classifica as cônicas: elipse, hipérbole, parábola, mais pares de retas, uma reta, um ponto e conjuntos vazios. Em $\R^n$ nada muda a não ser a contabilidade: os tipos são indexados pela assinatura de $A$, pela posição de $b$ em relação a $\operatorname{im}A$ e por uma constante — com a matriz orlada de dimensão $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ fornecendo um invariante [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).