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title: "Álgebra linear"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear
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# Capítulo 2 — Álgebra linear

A álgebra linear do volume do primeiro ano de graduação trabalhava sobre $\R$ ou $\C$ em dimensão finita e admitia o [determinante](#def-b2-linalg-det) geral. Este capítulo suprime as três restrições: a teoria é enunciada sobre um corpo arbitrário $K$, o jogo entre um espaço e seu *[dual](#def-b2-linalg-dual)* é desenvolvido sistematicamente ([bases duais](#def-b2-linalg-dual), [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator), [transpostas](#def-b2-linalg-transpose)) e o [determinante](#def-b2-linalg-det) é enfim *construído* a partir das formas multilineares [alternadas](#def-b2-linalg-alternating) e da assinatura de [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#ch-b2-structures) — quitando todas as admissões do primeiro ano.

Em todo o capítulo, $K$ é um corpo ($\Q$, $\R$, $\C$ ou $\Z/p\Z$ — a teoria não se importa) e, salvo menção contrária, os espaços têm dimensão finita sobre $K$. Os resultados do primeiro ano (bases, dimensão, teorema do núcleo e da imagem, matrizes) transferem-se palavra por palavra: suas demonstrações nunca usaram nada além dos axiomas de corpo.

## 2.1 Espaço dual

**Definição 2.1 (Espaço dual, base dual).**

O *dual* de $E$ é $E^* = \mathcal{L}(E,
K)$, o espaço das formas lineares. Se $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ é uma base de $E$, as *formas coordenadas* $e_1^*, \dots, e_n^*$ definidas por $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (Kronecker: $1$ se $i = j$, e $0$ caso contrário) formam a *base dual* $\mathcal{B}^*$ de $E^*$; em particular $\dim E^* = \dim E$, e

$$
x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E),
\qquad
\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in
E^*).
$$

**Demonstração de que $\mathcal{B}^*$ é uma base.** Livre: aplicando uma combinação nula $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ a $e_j$ obtém-se $\lambda_j = 0$. Geradora: para $\varphi \in E^*$, a forma $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ anula todo $e_j$, logo é nula (uma aplicação linear que se anula numa base é nula). As duas fórmulas exibidas acima são os mesmos cálculos lidos no sentido direto. ∎

**Exemplo 2.2.**

Em $K_n[X]$ com a base $(1, X, \dots, X^n)$: a [base dual](#def-b2-linalg-dual) é $P
\mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coeficientes de Taylor). Outra base do [dual](#def-b2-linalg-dual): as avaliações $P \mapsto P(x_i)$ em $n + 1$ pontos distintos — sua base “[pré-dual](#def-b2-linalg-dual)” em $K_n[X]$ é exatamente a família dos polinômios de Lagrange $L_i$ (volume do primeiro ano de graduação), pois $L_i(x_j) =
\delta_{ij}$. A interpolação *é* dualidade.

**Método 2.3 (Bases duais e anteduais na prática).**

Para desenvolver uma forma $\varphi$ numa base $(e_i)$ de $E$: as coordenadas são os *valores* $\varphi(e_i)$ — não há sistema a resolver. Para achar a base $(u_j)$ de $E$ cuja [dual](#def-b2-linalg-dual) é uma dada base $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ (a *antedual*): resolva os $n$ sistemas lineares

$$
\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),
$$

uma coluna $u_j$ de cada vez; em termos matriciais, se as linhas de $M$ listam os coeficientes dos $\varphi_i$ numa base conhecida de $E^*$, as colunas de $M^{-1}$ são os $u_j$. A existência e a unicidade da antedual são demonstradas no problema de fim de semana deste capítulo; o cálculo é sempre essa inversão.

**Exemplo 2.4 (Uma base dual de R2\R^2R2, inteiramente calculada).**

Para a base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$: a [base dual](#def-b2-linalg-dual) $(b_1^*, b_2^*)$ deve satisfazer $b_i^*(b_j) =
\delta_{ij}$. Escrevendo $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, as condições $\alpha + \beta = 1$ e $\alpha - \beta = 0$ dão

$$
b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2},
\qquad\text{e do mesmo modo}\qquad
b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .
$$

Verificações de bom senso: $b_1^*$ *não* é $e_1^* + e_2^*$ avaliado ingenuamente — a [base dual](#def-b2-linalg-dual) depende da base inteira, e não de cada vetor separadamente (substituir $b_2$ por $(0, 1)$ transforma $b_1^*$ em $x \mapsto x$). E a fórmula de desenvolvimento funciona: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, a decomposição par/ímpar de um par — as [bases duais](#def-b2-linalg-dual) são extratoras de coordenadas, e esta extrai as partes simétrica e antissimétrica.

**Definição 2.5 (Anulador).**

Para um subespaço $F \subseteq E$, o *anulador* é

$$
F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},
$$

um subespaço de $E^*$.

**Teorema 2.6 (Dimensão do anulador).**

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$. Além disso, $F \mapsto F^\circ$ inverte as inclusões, e $F$ é recuperado a partir de seu [anulador](#def-b2-linalg-annihilator):

$$
F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.
$$

Por consequência, todo subespaço de dimensão $p$ em dimensão $n$ é o conjunto solução de $n - p$ equações lineares independentes — e reciprocamente.

**Demonstração.** Escolha uma base $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ completada numa base de $E$. Uma forma $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ anula $F$ se e somente se seus $p$ primeiros coeficientes se anulam: $F^\circ =
\operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$, de dimensão $n - p$. A inversão das inclusões é imediata. Para a recuperação: o membro da direita contém $F$; reciprocamente, se $x \notin F$, complete uma base de $F$ com $x$ e outros vetores; a forma coordenada de $x$ nessa base anula $F$ mas não $x$. A leitura em “equações” toma uma base $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ de $F^\circ$: então $F =
\bigcap \ker\varphi_j$, uma interseção de $n - p$ hiperplanos independentes. ∎

**Exemplo 2.7 (Um anulador, nos dois sentidos).**

Seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr)
\subseteq \R^3$. Uma forma $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ anula $F$ se e somente se

$$
a + 2b + c = 0
\qquad\text{e}\qquad
a - c = 0 ,
$$

isto é, $c = a$ e $b = -a$: $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* +
e_3^*)$, de dimensão $3 - 2 = 1$ como exige o [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator). Lendo no sentido inverso: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — o plano recuperado como núcleo da única forma que gera $F^\circ$. Passar de uma família geradora a equações *é* calcular um [anulador](#def-b2-linalg-annihilator); passar de equações a uma parametrização é calcular um [pré-anulador](#def-b2-linalg-annihilator). (Verificação: os dois vetores geradores satisfazem $x - y +
z = 0$.)

**Definição 2.8 (Aplicação transposta).**

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$, a *transposta* $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ é

$$
u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .
$$

Ela satisfaz $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf
T}$ e, em [bases duais](#def-b2-linalg-dual), a matriz de $u^{\mathsf T}$ é a matriz transposta de $u$ — o que finalmente *explica* a [transposição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) do primeiro ano.

**Exemplo 2.9 (A transposta, entrada por entrada).**

Seja $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A =
\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ nas bases canônicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^*
\in (\R^3)^*$, calcule $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ na base de $\R^2$:

$$
(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3,
\qquad
(\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .
$$

Logo $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 +
b_2)\,e_2^*$ e, nas [bases duais](#def-b2-linalg-dual), a matriz de $u^{\mathsf T}$ é

$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
= A^{\mathsf T} :
$$

a [transposta](#def-b2-linalg-transpose) abstrata *é* a matriz virada, sem nenhum cálculo que reste a aceitar por fé. Note o mecanismo: a $j$-ésima *coluna* de $A$ tornou-se a $j$-ésima *linha* da nova matriz porque $\psi \circ u$ lê as saídas de $u$ através dos coeficientes de $\psi$.

**Proposição 2.10.**

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ e $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$. Por consequência, $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$: o posto por linhas é igual ao posto por colunas, demonstrado estruturalmente.

**Demonstração.** $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ anula $\operatorname{im} u$: a primeira identidade. Para a segunda: $u^{\mathsf
T}(\psi) = \psi \circ u$ anula $\ker u$ sempre, logo $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$; as dimensões coincidem pelo teorema do núcleo e da imagem e por [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator):

$$
\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr)
= \operatorname{rk} u
= \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere
$$

∎

**Exemplo 2.11 (O posto lido dos dois lados).**

Seja

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} .
$$

*Posto por colunas:* a terceira linha é a soma das duas primeiras, logo $\operatorname{rk} A \leq 2$; as colunas $1$ e $2$ são livres: $\operatorname{rk} A = 2$. *O núcleo da [transposta](#def-b2-linalg-transpose):* resolvendo $A^{\mathsf T}y = 0$ obtém-se $y \in \R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker
A^{\mathsf T}$ tem dimensão $1 = 3 - 2$: exatamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ sob a identificação de $(\R^3)^*$ com os vetores linha, como afirma a [Proposição 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank) — a única relação “linha$_3$ = linha$_1$ + linha$_2$” *é* o [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) do espaço das colunas. O posto por linhas ($2$ linhas livres) e o posto por colunas coincidem não por acaso, mas porque ambos valem $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

**Exemplo 2.12 (A dualidade lê uma regra de quadratura).**

Por que uma regra como a de Simpson ([Exercício 2.4](#exo-b2-linalg-4)) existe e por que ela é única? A dualidade responde antes de qualquer cálculo. Em $E = \R_2[X]$, a integral $P \mapsto \int_0^1 P$ é um vetor específico do [dual](#def-b2-linalg-dual) tridimensional $E^*$; as avaliações em $0$, $\frac12$, $1$ formam uma *base* de $E^*$; logo a integral se desenvolve de modo único sobre elas — esse desenvolvimento *é* a regra de Simpson, com coeficientes e tudo. Uma contagem de dimensões também calibra as expectativas: em $\R_3[X]$, quatro dimensões de formas não podem em geral ser [geradas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por três avaliações, de modo que a exatidão sobre as cúbicas não é devida pela dualidade; que Simpson integre as cúbicas exatamente assim mesmo é uma simetria de brinde (cancelamento de grau ímpar em torno de $\frac12$), a ser verificada à mão. As regras com $n + 1$ nós são desenvolvimentos da forma integração numa base de avaliações de $\R_n[X]^*$: a existência e a unicidade custam um teorema de [base dual](#def-b2-linalg-dual); só os graus de brinde custam trabalho.

## 2.2 Formas multilineares alternadas

**Definição 2.13.**

Uma aplicação $f \colon E^n \to K$ é *$n$-linear* quando é linear em cada variável, e *alternada* quando se anula sempre que dois argumentos são iguais. Ser alternada implica ser *antissimétrica*: trocar dois argumentos muda o sinal (desenvolva $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$); mais geralmente, para $\sigma \in \mathfrak{S}_n$,

$$
f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) =
\varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),
$$

decompondo $\sigma$ em [transposições](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) ([Teorema 1.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#thm-b2-structures-signature)).

**Teorema 2.14 (Teorema fundamental dos determinantes).**

Sejam $\dim E = n$ e $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ uma base. O espaço das formas $n$-lineares [alternadas](#def-b2-linalg-alternating) sobre $E$ tem dimensão $1$: toda forma desse tipo é um múltiplo de

$$
\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i},
\qquad
x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,
$$

e $\det_{\mathcal{B}}$ é a única que assume o valor $1$ em $\mathcal{B}$.

**Demonstração.** Seja $f$ uma forma $n$-linear [alternada](#def-b2-linalg-alternating). Desenvolvendo cada argumento em $\mathcal{B}$ pela multilinearidade,

$$
f(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\,
f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).
$$

Os termos com índice repetido se anulam (é [alternada](#def-b2-linalg-alternating)); as listas sobreviventes $(i_1, \dots, i_n)$ são as injetivas, isto é, $i_k =
\sigma(k)$ para uma permutação $\sigma$, e a antissimetria reordena $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)
f(e_1, \dots, e_n)$. Logo

$$
f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :
$$

toda [forma alternada](#def-b2-linalg-alternating) é esse múltiplo, desde que $\det_{\mathcal{B}}$ ela mesma (a soma exibida) *seja* $n$-linear [alternada](#def-b2-linalg-alternating) e assuma o valor $1$ em $\mathcal B$. A multilinearidade é clara (cada parcela é linear em cada coluna). Valor em $\mathcal B$: o único termo não nulo é $\sigma =
\mathrm{id}$. [Alternada](#def-b2-linalg-alternating): suponha $x_j = x_k$ ($j \neq k$), de modo que as colunas de coordenadas satisfazem $a_{i j} = a_{i k}$ para todo $i$. Emparelhe cada $\sigma$ com $\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ — uma involução sem ponto fixo em $\mathfrak{S}_n$. Os produtos emparelhados coincidem:

$$
\prod_i a_{\sigma'(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= \prod_i a_{\sigma(i),\,i},
$$

usando a igualdade das colunas $j$ e $k$; ao passo que $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$. Cada par contribui com zero: a soma se anula. ∎

**Exemplo 2.15 (Sarrus, deduzido e demolido).**

Para $n = 3$ a fórmula das permutações tem exatamente $3! = 6$ termos. Listando $\mathfrak{S}_3$ por assinatura — $\mathrm{id}$, $(1\,2\,3)$, $(1\,3\,2)$ pares; $(1\,2)$, $(1\,3)$, $(2\,3)$ ímpares — obtém-se

$$
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} +
a_{31}a_{12}a_{23}
- a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} -
a_{11}a_{32}a_{23} :
$$

precisamente a regra das “diagonais” de Sarrus ensinada na escola — agora um teorema, com os sinais misteriosos identificados como assinaturas. A demolição: para $n = 4$ há $24$ permutações, das quais apenas $8$ são capturadas por qualquer esquema de diagonais; Sarrus não tem versão em grau $4$, e o desenvolvimento por cofatores ([Teorema 2.17](#thm-b2-linalg-detrules) (4)) assume o comando. Contar termos também é um aviso: a fórmula das permutações tem $n!$ parcelas, de modo que ela é uma *definição*, e não um algoritmo — o escalonamento calcula $\det$ em $O(n^3)$ operações.

**Definição 2.16 (Determinantes).**

O *determinante de uma família* numa base é $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$; o *determinante de uma matriz* $A$ é o determinante de suas colunas na base canônica — a fórmula das permutações acima; o *determinante de um endomorfismo* $u$ é o escalar $\det u$ tal que

$$
\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr)
= \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
\quad \text{para todo } x_i
$$

(o membro da esquerda é $n$-linear alternado, logo um múltiplo de $\det_\mathcal{B}$ pelo [Teorema 2.14](#thm-b2-linalg-detspace); o fator não depende de $\mathcal{B}$).

**Teorema 2.17 (O cálculo dos determinantes, demonstrado).**

1. $\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
2. $u$ é invertível $\iff \det u \neq 0$ ; uma família é uma base $\iff$ seu [determinante](#def-b2-linalg-det) em alguma base é não nulo.
3. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
4. O desenvolvimento por cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna, como enunciado no volume do primeiro ano de graduação, vale; matrizes semelhantes têm o mesmo [determinante](#def-b2-linalg-det) .

**Demonstração.** (1) Aplique duas vezes a relação de definição: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal
B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$.

(2) Se $u$ é invertível, $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} =
1 \neq 0$. Se não, as imagens $u(e_i)$ são ligadas; exprimindo uma pelas outras e desenvolvendo, $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (ser [alternada](#def-b2-linalg-alternating) mata as direções repetidas), logo $\det u = 0$. O critério de base é o mesmo enunciado para famílias.

(3) Na fórmula das permutações, reindexe cada produto por $j =
\sigma(i)$, isto é, $i = \tau(j)$ com $\tau = \sigma^{-1}$: os fatores são os mesmos números em outra ordem, logo

$$
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n}
a_{j,\,\tau(j)} ,
$$

e $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} =
\varepsilon(\sigma)$ (os valores são $\pm1$; $\varepsilon$ é um morfismo). Somar sobre $\sigma$ é o mesmo que somar sobre $\tau$ (a inversão é uma bijeção de $\mathfrak{S}_n$):

$$
\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)}
= \det(A^{\mathsf T}),
$$

sendo a última soma a fórmula das permutações aplicada às entradas [transpostas](#def-b2-linalg-transpose) $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$.

(4) Fixe a coluna $j$ e decomponha $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ por linearidade: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$, e levar $e_i$ à última posição ($n - i$ [transposições](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) de linhas, $n - j$ de colunas, via (3)) identifica $\det(\dots, e_i, \dots) =
(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ com o menor: exatamente a regra dos cofatores do primeiro ano. Semelhança: $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P =
\det A$ por (1). ∎

**Exemplo 2.18 (Desenvolvimento por cofatores, executado).**

Calcule

$$
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1\\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$

ao longo da primeira coluna (dois zeros de preguiça: um). Os sinais seguem o tabuleiro de damas $(-1)^{i+j}$:

$$
2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}
- 0
+ 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix}
= 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .
$$

Confira por Sarrus ([Exemplo 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)): $0 + 1 + 0
- 12 - 0 - 4 = -15$. Estratégia, e não doutrina: desenvolva ao longo da linha com mais zeros e, quando nenhuma tiver nenhum, fabrique alguns primeiro por operações elementares — uma rodada de eliminação custa menos do que duas camadas de cofatores.

**Exemplo 2.19 (Um determinante pelas regras).**

Seja $J \in \mathcal{M}_n(K)$ a matriz de uns e $a \in K$; calculamos $\det(aI_n + J)$ com as ferramentas recém-demonstradas. Toda coluna de $aI_n + J$ soma da mesma maneira: some todas as linhas à primeira (o [determinante](#def-b2-linalg-det) não muda — somar um múltiplo de uma linha a outra acrescenta um termo de direção repetida, morto pela alternância). A primeira linha torna-se $(a + n, a + n, \dots, a + n)$; ponha $a + n$ em evidência pela linearidade nessa linha, depois subtraia a primeira coluna de todas as demais: o que resta é triangular com diagonal $(1, a, \dots, a)$. Logo

$$
\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.
$$

A lição final: as raízes $a = 0$ (multiplicidade $n - 1$) e $a = -n$ dizem que $J$ tem autovalor $0$ com multiplicidade $n - 1$ e autovalor $n$ uma vez — o espectro da matriz de posto um $J$, um capítulo antes da hora (o [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction) tornará isso sistemático).

**Exemplo 2.20 (Um determinante pela fórmula das permutações).**

Para uma matriz com muitos zeros a fórmula é prática por si só: em

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 0\\
0 & 0 & 0 & c\\
d & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$$

a única permutação que colhe entradas não nulas é o $4$-ciclo $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ que leva a coluna $1 \to$ na linha $4$, etc.; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$, logo $\det A = -abcd$. (Confira por três trocas de colunas até chegar a uma matriz diagonal.)

**Exemplo 2.21 (Uma Vandermonde pela fórmula do produto).**

Para os nós $0, 1, 2$ (usados por regras de quadratura como a de [Exercício 2.4](#exo-b2-linalg-4)), o [determinante](#def-b2-linalg-det) de Vandermonde de [Exercício 2.11](#exo-b2-linalg-11) se calcula num relance:

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
= (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,
$$

e por desenvolvimento direto ao longo da primeira coluna: $1\cdot(4 - 2)
= 2$: coincidem. A não anulação para nós distintos é toda a teoria da interpolação em um só [determinante](#def-b2-linalg-det): as formas de avaliação $P \mapsto P(a_i)$ são uma base do [dual](#def-b2-linalg-dual) exatamente quando esse [determinante](#def-b2-linalg-det) é não nulo, isto é, sempre que os $a_i$ são distintos — o [Exemplo 2.2](#ex-b2-linalg-dualexamples) quantificado.

## 2.3 O traço, revisitado

**Proposição 2.22.**

O traço $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ é a única forma linear com $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$ e $\operatorname{tr}(I_n) = n$ (para $\operatorname{char} K = 0$); o traço de um endomorfismo está bem definido por qualquer representação matricial, e

$$
\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)
$$

em qualquer base — a dualidade escreve o traço sem base.

**Demonstração.** $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ e a invariância por mudança de base foram demonstradas no primeiro ano. Unicidade: uma forma linear $t$ com $t(AB) =
t(BA)$ anula todo comutador $AB - BA$. Afirmamos que os comutadores geram o hiperplano de traço nulo, de dimensão $n^2 - 1$. Bastam duas famílias de comutadores. A regra de multiplicação das matrizes elementares é $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$. Para $i \neq j$ ela dá

$$
E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}
$$

(o segundo produto é $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$, pois $j \neq i$): toda $E_{ij}$ fora da diagonal é um comutador. E

$$
E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .
$$

As $E_{ij}$ ($i \neq j$, em número de $n^2 - n$) junto com as $E_{11} - E_{jj}$ ($j \geq 2$, em número de $n - 1$) são $n^2 - 1$ matrizes de traço nulo linearmente independentes: elas geram o hiperplano $\ker\operatorname{tr}$. Assim $t$ se anula onde $\operatorname{tr}$ se anula e se fatora por ela: $t =
c\operatorname{tr}$; então $t(I) = n$ obriga $c = 1$. A fórmula exibida: a $i$-ésima entrada diagonal da matriz de $u$ é precisamente $e_i^*(u(e_i))$. ∎

**Observação 2.23 (Armadilhas comuns).**

(i) O [determinante](#def-b2-linalg-det) é $n$-linear nas *colunas*, e não linear na matriz: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ em geral, e $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, e não $\lambda\det A$. (ii) A [transposição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) inverte os produtos: $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$; esquecer a inversão arruína todo cálculo que envolva inversas. (iii) O [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ vive em $E^*$, e não em $E$: ele só se torna o familiar “complemento ortogonal” depois que um produto interno identifica $E$ com $E^*$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic)); nenhuma identificação dessas é canônica. (iv) “Posto por linhas igual a posto por colunas” não significa que o *espaço* das linhas seja igual ao espaço das colunas — os dois vivem em espaços diferentes ($K^n$ e $K^m$) e estão relacionados por [Proposição 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank), não são iguais. (v) A fórmula das permutações é um instrumento de demonstração: para números, use operações elementares e cofatores ([Exemplo 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)).

**Exemplo 2.24 (O emparelhamento traço reparte o espaço de matrizes).**

Em $\mathcal{M}_2(\R)$ com o emparelhamento $\langle A, B\rangle =
\operatorname{tr}(AB)$ do [Exercício 2.9](#exo-b2-linalg-9): decomponha $M =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ em parte simétrica e parte antissimétrica,

$$
M = S + A, \qquad
S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix},
\qquad
A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
$$

Então $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}
\left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: as duas partes são “ortogonais” para o emparelhamento traço — um caso do fato geral (demonstrado no problema de fim de semana deste capítulo) de que as matrizes antissimétricas formam exatamente o [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) das simétricas. A dualidade enxerga a decomposição $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus
\mathcal{A}_n$ antes que qualquer produto interno seja escolhido.

**Observação 2.25 (Perspectivas dentro deste volume).**

Observe as três construções deste capítulo trocarem de figurino adiante. A *[transposta](#def-b2-linalg-transpose)* volta no [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction): $u$ e $u^{\mathsf T}$ têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades geométricas (problema de fim de semana deste capítulo, questão 15), e é por isso que as análises por linhas e por colunas de uma matriz nunca discordam. O *[determinante](#def-b2-linalg-det)* torna-se função de um parâmetro no [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction) ($\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$) e um jacobiano no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint), onde sua multilinearidade vira o fator de mudança de variáveis. O *traço* semeia os invariantes de semelhança: é o segundo coeficiente de $\chi_u$, a soma dos autovalores e, no fim das contas, a integral da diagonal em identidades ao estilo [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier). Um capítulo de álgebra linear, três longas sombras.

**Observação 2.26 (Onde este capítulo é usado).**

O [espaço dual](#def-b2-linalg-dual) não é uma abstração pela abstração: os [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) e as [transpostas](#def-b2-linalg-transpose) governam a teoria da resolubilidade dos sistemas lineares (o problema de fim de semana deste capítulo deduz deles a alternativa de Fredholm em dimensão finita), os emparelhamentos não degenerados reaparecem como a forma polar no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic) e o adjunto no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#ch-b2-hermitian), e o [determinante](#def-b2-linalg-det) aqui construído move todo o [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction). No volume do terceiro ano de graduação, a mesma dualidade, transportada para dimensão infinita, torna-se o teorema de representação de Riesz e a teoria de Fredholm em espaços de Hilbert — com a compacidade substituindo as contagens de dimensão usadas aqui.

## 2.4 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Em $\R^3$, sejam $\varphi_1(x,y,z) = x + y$, $\varphi_2 = y + z$, $\varphi_3 = x + z$. Prove que $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ é uma base de $(\R^3)^*$ e determine a base de $\R^3$ da qual ela é a [dual](#def-b2-linalg-dual).

**Solução de Exercício 2.1.**

Três formas num [dual](#def-b2-linalg-dual) de dimensão $3$: basta a liberdade. Uma relação $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ avaliada em $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ dá $\alpha + \gamma = 0$, $\alpha +
\beta = 0$, $\beta + \gamma = 0$, donde $\alpha = \beta = \gamma =
0$.

Base [pré-dual](#def-b2-linalg-dual) $(u_1, u_2, u_3)$: resolva $\varphi_i(u_j) =
\delta_{ij}$. Escrevendo $u_j = (x, y, z)$: para $u_1$: $x + y = 1$, $y + z = 0$, $x + z = 0$ dá $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12,
-\tfrac12\bigr)$; simetricamente $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12,
\tfrac12\bigr)$, $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$.

**Exercício 2.2 ★.**

Calcule pela fórmula das permutações os [determinantes](#def-b2-linalg-det) de

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0\\
c & d & 0 & 0\\
0 & 0 & e & f\\
0 & 0 & g & h
\end{pmatrix},
$$

e enuncie a regra de blocos diagonais que a segunda sugere.

**Solução de Exercício 2.2.**

Primeira matriz: a única permutação de produto não nulo leva $1 \mapsto
3$, $2 \mapsto 2$, $3 \mapsto 1$ — a [transposição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) $(1\,3)$, de assinatura $-1$: [determinante](#def-b2-linalg-det) $-abc$.

Segunda: uma permutação com produto não nulo não pode misturar os dois blocos (uma entrada que os ligue vale $0$), logo ela se separa numa permutação de $\{1,2\}$ vezes uma de $\{3,4\}$, e a assinatura é o produto das duas assinaturas: a soma se fatora como

$$
(ad - bc)(eh - fg) .
$$

Regra geral sugerida (e verdadeira, com a mesma demonstração): o [determinante de uma matriz](#def-b2-linalg-det) diagonal por blocos é o produto dos [determinantes](#def-b2-linalg-det) dos blocos.

**Exercício 2.3 ★.**

Seja $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ e } x = 2y\}$. Dê uma base de $F^\circ$ e confira o [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) nas dimensões.

**Solução de Exercício 2.3.**

$F$ é definido pelas duas equações independentes $\varphi_1(x,y,z,t)
= x + y - z - t = 0$ e $\varphi_2 = x - 2y = 0$: pelo [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) lido no sentido inverso, $F^\circ =
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — elas pertencem a $F^\circ$ por construção, são livres (não proporcionais), e $\dim F^\circ
= 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ pois $\dim F = 2$ (duas equações independentes em $\R^4$). Base: $(\varphi_1, \varphi_2)$; dimensões: $2 + 2 = 4$, como exige o teorema.

**Exercício 2.4 ★★.**

Sejam $a_0, \dots, a_n$ pontos distintos de $K$ e $\varphi_i \colon
P \mapsto P(a_i)$ em $K_n[X]$. Prove que $(\varphi_0, \dots,
\varphi_n)$ é uma base de $K_n[X]^*$, identifique sua base [pré-dual](#def-b2-linalg-dual) e desenvolva a forma $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (para $K = \R$, $n = 2$, $a_i = 0, \frac12, 1$) nessa base — reconhecendo a regra de Simpson.

**Solução de Exercício 2.4.**

As $\varphi_i$ são $n + 1$ formas num espaço de dimensão $(n+1)$: basta a liberdade. Se $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$, avalie no polinômio de Lagrange $L_j$ dos nós: $\lambda_j = 0$. A base [pré-dual](#def-b2-linalg-dual) é $(L_0, \dots, L_n)$, pois $\varphi_i(L_j) =
L_j(a_i) = \delta_{ij}$.

Para a forma integral com nós $0, \frac12, 1$ em $\R_2[X]$: $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ com $c_i = \int_0^1 L_i$. Calcule: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$, $\int_0^1 L_0 = \frac16$; $L_1 =
-4X(X-1)$, $\int_0^1 L_1 = \frac46$; $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$, $\int_0^1 L_2 = \frac16$. Logo

$$
\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) +
P(1)\Bigr)
\quad (P \in \R_2[X]) :
$$

a regra de Simpson, exata sobre as quadráticas — um enunciado sobre [bases duais](#def-b2-linalg-dual).

**Exercício 2.5 ★★.**

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ com $\dim E = n$ e $\operatorname{rk} u
= 1$. Prove que $u = \varphi(\cdot)\, a$ para um vetor $a$ e uma forma $\varphi$; que $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$; e que $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$. Deduza $\det(I + u) = 1 +
\operatorname{tr} u$.

**Solução de Exercício 2.5.**

$\operatorname{im} u = Ka$ para algum $a \neq 0$; então $u(x) =
\varphi(x)\,a$, em que $\varphi(x)$ é a coordenada de $u(x)$ em $a$ — linear em $x$. Traço: complete $a = e_1$ numa base; a matriz de $u$ tem colunas $\varphi(e_j)\,e_1$, de modo que sua única entrada diagonal é $\varphi(e_1) = \varphi(a)$: $\operatorname{tr} u =
\varphi(a)$. Então

$$
u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a
= (\operatorname{tr} u)\, u(x).
$$

[Determinante](#def-b2-linalg-det), em dois casos. *Se $\varphi(a) \neq 0$:* tome uma base qualquer do hiperplano $\ker\varphi$ e acrescente $a$. Então $u$ anula $\ker\varphi$ (aí $u(x) = \varphi(x)a = 0$) e $u(a) =
\varphi(a)\,a$: a matriz de $I + u$ é diagonal, $(1, \dots, 1,\,
1 + \varphi(a))$, logo $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 +
\operatorname{tr} u$. *Se $\varphi(a) = 0$:* então $a \in
\ker\varphi$; tome uma base de $\ker\varphi$ cujo primeiro vetor seja $a$ e acrescente um vetor $b$ com $\varphi(b) = 1$. Então $I + u$ fixa a base de $\ker\varphi$ e leva $b \mapsto b + a$: triangular com diagonal de uns, $\det(I + u) = 1 = 1 +
\operatorname{tr} u$. Os dois casos concordam com a fórmula.

**Exercício 2.6 ★★.**

Prove que todo hiperplano de $\mathcal{M}_n(K)$ ($n \geq 2$) contém uma matriz invertível. *Sugestão: um hiperplano é $\{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ para algum $A \neq 0$ ([Exercício 2.9](#exo-b2-linalg-9)). Se $A$ é escalar, exiba uma matriz invertível de traço nulo; caso contrário, ache uma $M$ invertível que faça $AM$ ter diagonal nula — uma matriz do tipo permutação resolve.*

**Solução de Exercício 2.6.**

Pelo [Exercício 2.9](#exo-b2-linalg-9), o hiperplano é $H_A = \{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ com $A \neq 0$.

*Se $A = \lambda I$:* $H_A$ é o hiperplano de traço nulo; a matriz da permutação $n$-ciclo (uns nas posições $(i, i+1)$ e $(n, 1)$) é invertível (seu [determinante](#def-b2-linalg-det) vale $\pm 1$ pelo cálculo do [Exemplo 2.20](#ex-b2-linalg-permexample)) e tem traço nulo.

*Se $A$ não é escalar:* primeiro ache uma $P$ invertível tal que $B = P^{-1}AP$ tenha uma entrada não nula fora da diagonal $b_{ji}$ ($j \neq
i$). De fato, se $A$ já tem uma, tome $P = I$; se $A$ é diagonal com duas entradas distintas $d_1 \neq d_2$, conjugar pela transvecção $P = I + E_{12}$ produz a entrada fora da diagonal $d_1 - d_2 \neq 0$ (calcule: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$); e uma matriz diagonal com todas as entradas iguais é escalar, caso excluído. Ponha agora $M' = I + tE_{ij}$ com $t =
-\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$: então

$$
\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,
$$

e $M'$ é invertível (triangular com diagonal de uns). Desfazendo a conjugação, $M = PM'P^{-1}$ é invertível e $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$: $M \in H_A$.

**Exercício 2.7 ★★.**

(Derivada do [determinante](#def-b2-linalg-det)) Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, prove a partir da multilinearidade que

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,
$$

e deduza $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ admitindo a diferenciabilidade de $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ e a propriedade de grupo $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (estabelecida no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)).

**Solução de Exercício 2.7.**

$\det(I + tA)$ é, pela fórmula das permutações, um polinômio em $t$; seu termo constante é $1$ ($t = 0$). Seu coeficiente em $t$: desenvolva $\det$ como [forma alternada](#def-b2-linalg-alternating) das colunas $e_j + t\,c_j(A)$; pela multilinearidade, os termos lineares em $t$ substituem exatamente uma $e_j$ por $c_j(A)$:

$$
\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n)
= \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,
$$

(o [determinante](#def-b2-linalg-det) com todas as colunas canônicas exceto $c_j(A)$ na posição $j$ colhe a $j$-ésima entrada diagonal). Logo a derivada em $0$ vale $\operatorname{tr} A$.

Seja $g(t) = \det(\eu^{tA})$. A propriedade de grupo dá $g(s + t) =
g(s)g(t)$ (multiplicatividade do $\det$), $g$ é derivável e $g'(0) = \operatorname{tr} A$ pelo que precede ($\eu^{tA} = I + tA +
O(t^2)$). Um morfismo derivável $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ satisfaz $g' = g'(0)\,g$ (derive $g(s+t)$ em $s$ no ponto $0$), logo $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ pela unicidade das soluções de $y' = cy$ com $y(0) = 1$ (volume do primeiro ano de graduação).

**Exercício 2.8 ★★.**

(Circulante, $3 \times 3$) Sejam $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ e

$$
C = \begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).
$$

Verifique que as colunas da matriz de Vandermonde de $1, j, j^2$ são autovetores de $C$ e deduza

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Solução de Exercício 2.8.**

Seja $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ para $k = 0, 1, 2$. Usando $1
+ j + j^2 = 0$ e $j^3 = 1$:

$$
C v_k =
\begin{pmatrix}
a + b j^k + c j^{2k}\\
c + a j^k + b j^{2k}\\
b + c j^k + a j^{2k}
\end{pmatrix}
= (a + b j^k + c j^{2k})
\begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},
$$

(confira a segunda linha: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} +
cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$). Logo $v_k$ é autovetor com autovalor $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$. Os $v_k$ formam uma base (Vandermonde dos $1, j, j^2$ distintos), logo $C$ é diagonalizável com esses autovalores e

$$
\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2
= (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Exercício 2.9 ★★★.**

Prove que toda forma linear $t$ em $\mathcal{M}_n(K)$ é $M \mapsto
\operatorname{tr}(AM)$ para uma única $A$: a aplicação $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ é um isomorfismo de $\mathcal{M}_n(K)$ sobre seu [dual](#def-b2-linalg-dual). Deduza de novo o enunciado de unicidade da [Proposição 2.22](#prop-b2-linalg-trace).

**Solução de Exercício 2.9.**

A aplicação $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ é linear de $\mathcal{M}_n(K)$ em seu [dual](#def-b2-linalg-dual), entre espaços de mesma dimensão $n^2$: basta a injetividade. Se $\operatorname{tr}(AM) =
0$ para toda $M$, tome $M = E_{ji}$: $\operatorname{tr}(A E_{ji}) =
a_{ij} = 0$ para todos $i, j$: $A = 0$. Logo $\Theta$ é um isomorfismo.

Unicidade do traço ([Proposição 2.22](#prop-b2-linalg-trace)): uma forma $t$ que anula todos os comutadores é $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ para alguma $A$ com $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ para todos $M, N$, isto é, $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ para todos $N$ (ciclicidade), isto é, $AM = MA$ para toda $M$ (injetividade de $\Theta$): $A$ comuta com tudo, logo é escalar ($A$ comuta com todas as $E_{ij}$ força as entradas fora da diagonal a serem $0$ e as entradas diagonais a serem iguais), logo $t = c
\operatorname{tr}$.

**Exercício 2.10 ★★★.**

Seja $u, v \in \mathcal{L}(E)$ com $u \circ v - v \circ u = u$. Prove que $u$ é nilpotente. *Sugestão: mostre $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para todo $k \geq 1$ (calcule $u^k v -
v u^k$ por indução) e use em seguida o fato a seguir, a ser demonstrado pelas identidades de Newton ou por indução sobre a dimensão: um endomorfismo de um $\C$-espaço vetorial cujas potências têm todas traço nulo é nilpotente. Trabalhe sobre $\C$.*

**Solução de Exercício 2.10.**

Trabalhe sobre $\C$ (uma matriz real é nilpotente se e somente se o é como matriz complexa: a nilpotência é $u^n = 0$).

*Etapa 1: $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para $k \geq 1$.* Por indução, $u^k v - v u^k = k\, u^k$: para $k = 1$ é a hipótese; para o passo,

$$
u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u
= u^{k+1} + k\,u^{k+1} .
$$

Tomando traços: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) -
\operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$, logo $\operatorname{tr}(u^k) = 0$.

*Etapa 2: traços de potências nulos implicam nilpotência (sobre $\C$).* Sejam $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ os autovalores não nulos distintos de $u$ com multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ (no polinômio característico, que se decompõe sobre $\C$ — [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)). Os traços das potências valem $\operatorname{tr}(u^k) =
\sum_i m_i \lambda_i^k$ (trigonalize: a diagonal da $k$-ésima potência de uma matriz triangular é formada pelas $k$-ésimas potências). O sistema $\sum_i m_i
\lambda_i^k = 0$ para $k = 1, \dots, r$ é invertível à Vandermonde nas incógnitas $m_i\lambda_i$ (matriz $(\lambda_i^{k-1})$ vezes a diagonal $\lambda_i$, com todos os $\lambda_i \neq 0$ distintos): todo $m_i
\lambda_i = 0$, impossível com $m_i \geq 1$ a menos que $r = 0$. Logo $u$ não tem autovalor não nulo: seu polinômio característico é $(-X)^n$, e Cayley–Hamilton ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)) dá $u^n
= 0$: nilpotente.

**Exercício 2.11 ★★.**

(Vandermonde) Para $a_0, \dots, a_n \in K$, prove

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n
\end{pmatrix}
= \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).
$$

*(Veja o [determinante](#def-b2-linalg-det) como polinômio em $a_n$: identifique seu grau, suas raízes e seu coeficiente dominante; faça indução.)*

**Solução de Exercício 2.11.**

Escreva $V(a_0, \dots, a_n)$ para o [determinante](#def-b2-linalg-det) e faça indução sobre $n$; $V(a_0) = 1$ inicia. Fixe $a_0, \dots, a_{n-1}$ e considere $D(T) =
V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$, o [determinante](#def-b2-linalg-det) de última coluna $(1,
T, \dots, T^n)$: desenvolvendo ao longo dessa coluna, $D$ é um polinômio de grau $\leq n$ em $T$ cujo coeficiente em $T^n$ é o menor $V(a_0, \dots, a_{n-1})$. Suponha primeiro que $a_0, \dots,
a_{n-1}$ sejam distintos. Para cada $T = a_i$ ($i < n$) duas colunas coincidem, logo $D(a_i) = 0$: com $n$ raízes distintas e grau $\leq n$,

$$
D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),
$$

e $T = a_n$ mais a hipótese de indução dão a fórmula do produto. Se dois dos $a_0, \dots, a_{n-1}$ coincidem, os dois membros valem $0$ (colunas repetidas; um fator repetido), e a fórmula vale trivialmente.

**Exercício 2.12 ★★★.**

Seja $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ com $K$ infinito, e suponha $CD = DC$. Prove que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}
= \det(AD - BC).
$$

*(Trate primeiro o caso $D$ invertível, multiplicando à direita por $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$; depois substitua $D$ por $D + tI$ e compare dois polinômios em $t$.)*

**Solução de Exercício 2.12.**

*$D$ invertível.* Multiplique à direita pela matriz por blocos $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$, que é triangular por blocos com diagonal de uns, $\det T = 1$ (seu [determinante](#def-b2-linalg-det), pela fórmula das permutações, só colhe os blocos diagonais — a regra de blocos do [Exercício 2.2](#exo-b2-linalg-2)):

$$
\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},
$$

cujo [determinante](#def-b2-linalg-det) é $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A -
BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$. Como $CD = DC$, $BD^{-1}CD = BC$: o [determinante](#def-b2-linalg-det) vale $\det(AD - BC)$.

*$D$ qualquer.* Seja $D_t = D + tI$; então $CD_t = D_tC$ ainda vale. Ambos

$$
f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix}
\qquad\text{e}\qquad
g(t) = \det(AD_t - BC)
$$

são funções polinomiais de $t$. O polinômio $\det(D + tI)$ é mônico de grau $n$, logo tem no máximo $n$ raízes: para todo $t$ salvo um número finito, $D_t$ é invertível e $f(t) = g(t)$ pelo primeiro caso. Dois polinômios sobre um corpo infinito que coincidem em infinitos pontos são iguais: $f = g$, e $t = 0$ conclui.

## 2.5 Problema: a alternativa de Fredholm

Quando o sistema linear $u(x) = b$ tem solução? A resposta completa é um enunciado de dualidade: *exatamente quando $b$ é anulado por toda forma linear que anula a imagem de $u$* — e essas formas são calculáveis, por serem o núcleo da [transposta](#def-b2-linalg-transpose). Este problema de fim de semana constrói o dicionário completo da dualidade em dimensão finita (fatoração de formas, bidualidade, cálculo de [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator), a [transposta](#def-b2-linalg-transpose)), demonstra a *alternativa de Fredholm* em dimensão finita e fecha com a forma traço e uma caracterização: o traço é o único invariante linear da semelhança. Em todo o problema, $E$ e $F$ são $K$-espaços vetoriais de dimensão finita, $n = \dim E$.

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — dualidade em dimensão finita e a alternativa de Fredholm

Notação: para $S \subseteq E^*$, o *[pré-anulador](#def-b2-linalg-annihilator)* é $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ para todo } \varphi
\in S\}$; os [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ e as [transpostas](#def-b2-linalg-transpose) $u^{\mathsf T}$ são os de [Definição 2.5](#def-b2-linalg-annihilator) e [Definição 2.8](#def-b2-linalg-transpose).

**Parte I — O lema de fatoração.** Seja $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$.

1. Sejam $\Phi \colon E \to K^p$, $x \mapsto (\varphi_1(x),  \dots, \varphi_p(x))$. Identifique $\ker\Phi$, mostre que $\Phi^{\mathsf T}$ leva as formas coordenadas de $K^p$ nas $\varphi_i$, e deduza $$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap  \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim  \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$$
2. (Lema de fatoração) Prove a equivalência: $$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,  \varphi_p)  \iff  \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq  \ker\varphi .$$
3. Deduza: $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ é livre se e somente se $\bigcap_i \ker\varphi_i$ tem dimensão $n - p$ ; e um subespaço de codimensão $p$ é uma interseção de $p$ hiperplanos, nunca de menos.
4. Em $\R^4$ , sejam $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y +  z - t$ , $\psi = x + 2y - t$ e $\psi' = x + y + t$ . Decida, pelo lema de fatoração, se $\psi$ e $\psi'$ pertencem a $\operatorname{Vect}(\varphi_1,  \varphi_2)$ .
5. Em $E = \R_2[X]$ , mostre que $\psi_0 \colon P \mapsto  P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ , $\psi_2 \colon P  \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ formam uma base de $E^*$ , calcule a base $(P_0, P_1, P_2)$ de $E$ da qual ela é a [dual](#def-b2-linalg-dual) e determine o único $P \in \R_2[X]$ com $P(0)  = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

**Parte II — Bidualidade e o cálculo dos [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator).**

6. Mostre que a *aplicação de avaliação* $J \colon E \to  E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , é linear e injetiva, logo um isomorfismo em dimensão finita.
7. (Duplo [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) ) Mostre que $J(F) = F^{\circ\circ} :=  (F^\circ)^\circ$ para todo subespaço $F \subseteq E$ : sob a identificação $J$ , o [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) do [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) é o próprio subespaço.
8. Prove o cálculo dos [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) : $(F + G)^\circ = F^\circ  \cap G^\circ$ e $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ .
9. Deduza (e demonstre também diretamente): duas formas não nulas com o mesmo núcleo são proporcionais.
10. (Base antedual) Mostre que, para toda base $(\varphi_1,  \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ , existe uma única base $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ com $\varphi_i(u_j) =  \delta_{ij}$ .

**Parte III — O cálculo das [transpostas](#def-b2-linalg-transpose).**

11. Mostre que $u \mapsto u^{\mathsf T}$ é uma bijeção linear de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ , e que $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ quando $u$ é invertível.
12. (Naturalidade) Mostre que $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E  = J_F \circ u$ : sob os isomorfismos de avaliação, a dupla [transposta](#def-b2-linalg-transpose) *é* $u$ .
13. Mostre: $u$ é sobrejetiva se e somente se $u^{\mathsf T}$ é injetiva; $u$ é injetiva se e somente se $u^{\mathsf T}$ é sobrejetiva.
14. Para $u \in \mathcal{L}(E)$ : um subespaço $F$ é estável por $u$ se e somente se $F^\circ$ é estável por $u^{\mathsf T}$ .
15. Mostre que $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\,  \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\,  \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ e deduza que $u$ e $u^{\mathsf T}$ têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades geométricas.

**Parte IV — A alternativa de Fredholm.**

16. Prove que $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf  T})_\circ$ para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , e deduza a *alternativa de Fredholm* em dimensão finita: a equação $u(x) = b$ tem solução se e somente se toda $\psi \in F^*$ com $u^{\mathsf T}\psi = 0$ satisfaz $\psi(b) = 0$ .
17. Forma matricial: para $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ e $b \in  K^m$ , exatamente uma das afirmações vale: (i) $Ax = b$ tem solução; (ii) existe $y \in K^m$ com $A^{\mathsf T}y = 0$ e $y^{\mathsf T}b = 1$ . Prove tanto o “no máximo uma” quanto o “ao menos uma”.
18. Determine todos os $b \in \R^3$ para os quais o sistema $$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$$ tem solução, calculando o núcleo da matriz [transposta](#def-b2-linalg-transpose).
19. (Um problema de Neumann discreto) Em $E = \R^n$ ( $n \geq 3$ ), defina $L$ por $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} +  x_{k+1})$ , índices módulo $n$ . Mostre que $L^{\mathsf T} = L$ (identificações canônicas), mostre que $\ker L$ é a reta dos vetores constantes *(olhe uma coordenada máxima)* e conclua: $Lx = b$ é resolúvel se e somente se $\sum_k b_k = 0$ .

**Parte V — A forma traço e o teorema de invariância.** Lembre do [Exercício 2.9](#exo-b2-linalg-9) que $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ identifica $\mathcal{M}_n(K)$ com seu [dual](#def-b2-linalg-dual). Suponha $\operatorname{char} K = 0$ (por exemplo, $K = \Q, \R,
\C$).

20. Sob essa identificação, mostre que o [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) do subespaço $\mathcal{S}_n$ das matrizes simétricas é o subespaço $\mathcal{A}_n$ das matrizes antissimétricas, e reciprocamente.
21. Mostre que o [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) do hiperplano $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ é a reta $K I_n$ ; equivalentemente, uma forma linear que se anula em todas as matrizes de traço nulo é um múltiplo do traço.
22. Mostre que toda matriz de $\mathcal{M}_n(K)$ é a soma de duas matrizes invertíveis.
23. (O traço é o único invariante linear de semelhança) Seja $t$ uma forma linear em $\mathcal{M}_n(K)$ com $t(PMP^{-1}) = t(M)$ para toda $M$ e toda $P$ invertível. Mostre primeiro que $t(PX) = t(XP)$ para $P$ invertível, depois que $t(BX) = t(XB)$ para *toda* $B$ , e conclua que $t = c  \operatorname{tr}$ para algum $c \in K$ .
24. Mostre que $\operatorname{rk} u \leq r$ se e somente se $u$ é uma soma de $r$ aplicações de posto $\leq 1$ , isto é, $u =  \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ com $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ ; deduza $\operatorname{rk}(u + v) \leq  \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
25. (Síntese) Redija o dicionário demonstrado neste problema: subespaços versus [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) , somas versus interseções, aplicações versus [transpostas](#def-b2-linalg-transpose) , resolubilidade versus ortogonalidade ao núcleo [transposto](#def-b2-linalg-transpose) , traço versus semelhança. Para cada entrada, cite a questão que a demonstrou e diga em uma frase o que substitui as contagens de dimensão quando a dimensão se torna infinita (o volume do terceiro ano de graduação torna isso preciso em espaços de Hilbert).

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** $\Phi$ é linear com $\ker\Phi = \bigcap_i
\ker\varphi_i$ (uma $p$-upla se anula se e somente se cada entrada se anula). Para as formas coordenadas $\varepsilon_i$ de $K^p$: $\Phi^{\mathsf
T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$, logo $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq
\operatorname{Vect}(\varphi_i)$; reciprocamente $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ é [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) pelas $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (as $\varepsilon_i$ geram $(K^p)^*$). Logo $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk}
\Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,
\varphi_p) =: r$ ([Proposição 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), e o teorema do núcleo e da imagem dá $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$.

**2.** ($\Leftarrow$) Guarde uma subfamília livre maximal, digamos $\varphi_1, \dots, \varphi_r$, que gera o mesmo espaço (de modo que a hipótese continua a ler-se $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq
\ker\varphi$: a interseção sobre todos os $i$ é igual à interseção sobre $i \leq r$, sendo cada forma descartada uma combinação). A aplicação $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ é sobrejetiva (questão 1: seu posto vale $r$). Se $\Psi(x) = \Psi(y)$ então $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$, logo $\varphi(x) =
\varphi(y)$: $\varphi$ se fatora como $\varphi = \lambda \circ \Psi$ com $\lambda \colon K^r \to K$ bem definida; $\lambda$ é linear porque $\Psi$ é linear e sobrejetiva (para $t = \Psi(x)$, $t' =
\Psi(x')$: $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') =
\lambda(t) + \alpha\lambda(t')$). Escrevendo $\lambda = \sum c_i
\varepsilon_i$: $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$. ($\Rightarrow$) Se $\varphi = \sum c_i \varphi_i$, toda $x$ que anula todo $\varphi_i$ anula $\varphi$.

**3.** Pela questão 1, $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ com $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$, e $r = p$ se e somente se a família é livre. Um subespaço $F$ de codimensão $p$: seu [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) tem dimensão $p$ ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)); uma base $(\varphi_1, \dots,
\varphi_p)$ de $F^\circ$ dá $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (a fórmula de recuperação). Menos que isso: uma interseção de $q$ hiperplanos tem dimensão $\geq n - q > n - p$ pela questão 1.

**4.** Calcule $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$: de $x
+ y - z = 0$ e $y + z - t = 0$, parametrize por $(y, z)$: $x = z
- y$, $t = y + z$, dando o plano dos vetores $(z - y,\; y,\;
z,\; y + z)$. Nele, $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z)
= 0$: pelo lema de fatoração $\psi \in
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — de fato $\psi =
\varphi_1 + \varphi_2$. Mas $\psi' = x + y + t = (z - y) + y +
(y + z) = y + 2z$ não é identicamente nula aí ($y = 1, z = 0$ dá $1$): $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1,
\varphi_2)$.

**5.** Três formas num espaço de dimensão $3$: basta a liberdade. Se $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$, teste em $1, X,
X^2$: $a + b + c = 0$, $b + \frac c2 = 0$, $b + \frac c3 = 0$; subtraindo as duas últimas obtém-se $c = 0$, depois $b = 0$, $a = 0$. Base antedual: escrevendo $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ e resolvendo $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ ($P(0) = \alpha$, $P(1) =
\alpha + \beta + \gamma$, $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 +
\frac\gamma3$):

$$
P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad
P_1 = -2X + 3X^2, \qquad
P_2 = 6X - 6X^2 .
$$

(Confira, por exemplo: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$, $P_2(0) = P_2(1) = 0$.) O problema de interpolação se resolve pelas coordenadas na base antedual:

$$
P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X
$$

(coeficiente em $X$ igual a $-4 - 4 + 9 = 1$, coeficiente em $X^2$ igual a $3 + 6 - 9 =
0$); de fato $P(0) = 1$, $P(1) = 2$, $\int_0^1 P = \frac32$.

**6.** Linearidade: para toda $\varphi$, $J(x + \alpha
y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha
J(y)(\varphi)$, isto é, $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$. Injetividade: se $x \neq 0$, complete $x = e_1$ numa base; a forma coordenada $e_1^*$ tem $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$. Como $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim
E$, injetiva implica bijetiva.

**7.** Inclusão: para $x \in F$ e $\varphi \in F^\circ$, $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$, logo $J(F) \subseteq
F^{\circ\circ}$. Dimensões ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) duas vezes):

$$
\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ
= n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),
$$

sendo $J$ injetiva. Portanto $J(F) = F^{\circ\circ}$.

**8.** Primeira identidade: $\varphi$ anula $F + G$ se e somente se anula tanto $F$ quanto $G$ (ela anula somas se e somente se anula as parcelas): $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$. Segunda: a inclusão $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ é clara (cada parcela anula $F \cap G$). Dimensões, usando a primeira identidade e Grassmann:

$$
\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ -
\dim(F^\circ \cap G^\circ)
= (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F +
G)\bigr),
$$

o que, por Grassmann em $E$, é igual a $n - \dim(F \cap G) = \dim(F
\cap G)^\circ$: igualdade.

**9.** Pelo lema: $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ com $p = 1$ dá $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$, e $\varphi \neq 0$ torna o escalar não nulo. Diretamente: escolha $x_0$ com $\psi(x_0) \neq 0$; todo $x$ se escreve $x = \bigl(x -
\frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}
x_0$ com o primeiro termo em $\ker\psi = \ker\varphi$; aplicando $\varphi$: $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$.

**10.** Tome a [base dual](#def-b2-linalg-dual) $(\varphi_1^*, \dots,
\varphi_n^*)$ de $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ dentro de $E^{**}$ ([Definição 2.1](#def-b2-linalg-dual) aplicado a $E^*$) e ponha $u_j =
J^{-1}(\varphi_j^*)$: uma base de $E$ ($J$ é um isomorfismo, questão 6), com $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) =
\varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$. Unicidade: as condições $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ determinam $J(u_j)$ na base $(\varphi_i)$, logo determinam $u_j$.

**11.** Linearidade: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi
\circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf
T}\psi$. Injetividade: se $u \neq 0$, escolha $x$ com $u(x) \neq 0$ e $\psi$ com $\psi(u(x)) \neq 0$ (o truque da forma coordenada da questão 6): $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$. Os espaços $\mathcal{L}(E,F)$ e $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ têm ambos dimensão $\dim E \dim F$: bijetiva. Se $u$ é invertível, a regra de inversão $(vu)^{\mathsf
T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ dá $u^{\mathsf
T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} =
\mathrm{id}_{E^*}$ e $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} =
(uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$, logo $(u^{\mathsf
T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$.

**12.** Para $x \in E$ e $\psi \in F^*$:

$$
\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi)
= (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr)
= (u^{\mathsf T}\psi)(x)
= \psi\bigl(u(x)\bigr)
= \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).
$$

Como $\psi$ é arbitrária, $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F
\circ u$.

**13.** Pela [Proposição 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank): $\ker
u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$, logo $u$ sobrejetiva $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ =
\{0\}$ ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)) $\iff u^{\mathsf T}$ injetiva. E $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker
u)^\circ$, logo $u$ injetiva $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker
u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ sobrejetiva.

**14.** Se $u(F) \subseteq F$ e $\varphi \in F^\circ$: $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ para $x \in F$, logo $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$. Reciprocamente, se $u(F)
\not\subseteq F$, escolha $x \in F$ com $u(x) \notin F$; pela fórmula de recuperação do [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) existe $\varphi \in F^\circ$ com $\varphi(u(x)) \neq 0$: então $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ embora $x \in F$, logo $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$: $F^\circ$ não é estável.

**15.** $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u -
\lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (a [transposição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn) é linear e $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$), logo seu núcleo é $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ ([Proposição 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), de dimensão

$$
n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id})
= \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})
$$

pelo teorema do núcleo e da imagem. Em particular, um núcleo é não nulo se e somente se o outro o é: mesmos autovalores, mesmas multiplicidades geométricas.

**16.** Inclusão: se $b = u(x)$ e $u^{\mathsf T}\psi =
0$, então $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$: logo $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$. Dimensões: para um subespaço $S \subseteq F^*$, $S_\circ =
J_F^{-1}(S^\circ)$ (desdobre: $y \in S_\circ$ se e somente se toda $\psi \in
S$ anula $y$, se e somente se $J_F(y) \in S^\circ$), logo $\dim S_\circ = \dim
F - \dim S$. Com $S = \ker u^{\mathsf T}$:

$$
\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ
= \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :
$$

igualdade de dimensões, logo $\operatorname{im} u = (\ker
u^{\mathsf T})_\circ$. Reformulando: $b \in \operatorname{im} u$ se e somente se $\psi(b) = 0$ para toda $\psi$ com $u^{\mathsf T}\psi = 0$ — a alternativa de Fredholm.

**17.** Identifique $(K^m)^*$ com $K^m$ por $y \mapsto \psi_y$, $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$; então $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) =
y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$, logo $u^{\mathsf
T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$: a [transposta](#def-b2-linalg-transpose) é a matriz [transposta](#def-b2-linalg-transpose). *No máximo uma:* se $Ax = b$ e $A^{\mathsf T}y = 0$, então $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax =
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$. *Ao menos uma:* se (i) falha, a questão 16 fornece $\psi_y$ com $A^{\mathsf T}y
= 0$ e $y^{\mathsf T}b \neq 0$; reescale $y$ para torná-lo $1$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (terceira linha = primeira + segunda, logo $A$ é singular). Resolva $A^{\mathsf T}y = 0$: $y_1 + y_3 = 0$, $y_1
+ y_2 + 2y_3 = 0$, $y_2 + y_3 = 0$ dão $y_1 = y_2 = -y_3$: a reta [gerada](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por $y = (1, 1, -1)$. Fredholm: resolúvel se e somente se $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$, isto é, $b_3 = b_1 + b_2$ — visivelmente a condição certa, pois a terceira equação é a soma das duas primeiras.

**19.** A matriz de $L$ tem $1$ na diagonal e $-\frac12$ nas posições $(k, k\pm1)$ (módulo $n$): simétrica, logo $L^{\mathsf T} = L$ sob a identificação da questão 17. *Núcleo:* se $Lx = 0$ então cada $x_k = \frac12(x_{k-1} +
x_{k+1})$. Seja $k_0$ um índice que maximiza $x_k$; a média dos dois vizinhos, ambos $\leq x_{k_0}$, é igual a $x_{k_0}$ somente se ambos forem iguais a $x_{k_0}$; propagando ao longo do [ciclo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn), $x$ é constante. Reciprocamente, as constantes são anuladas. Logo $\ker L^{\mathsf T} = \ker L
= \R(1, \dots, 1)$, e a alternativa de Fredholm diz: $Lx = b$ é resolúvel se e somente se $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — a condição de compatibilidade discreta: uma “distribuição de calor” num anel pode ser realizada por um potencial se e somente se seu fluxo total se anula.

**20.** Se $A$ é antissimétrica e $S$ simétrica:

$$
\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf
T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) =
-\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),
$$

logo $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ e ($\operatorname{char} K \neq
2$) $\operatorname{tr}(AS) = 0$: $\mathcal{A}_n \subseteq
\mathcal{S}_n^\circ$ (identificando o [dual](#def-b2-linalg-dual) com as matrizes). Dimensões: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$: igualdade. Trocando os papéis (mesmo cálculo), $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$.

**21.** $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ para $M \in \mathfrak{sl}_n$: a reta $KI_n$ está no [anulador](#def-b2-linalg-annihilator), cuja dimensão é $n^2 - (n^2 - 1) = 1$: igualdade. Traduzido pelo isomorfismo $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$: uma forma que se anula em $\mathfrak{sl}_n$ é $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) =
\lambda\operatorname{tr}$.

**22.** Seja $M \in \mathcal{M}_n(K)$. O polinômio $t
\mapsto \det(M - tI)$ é não nulo de grau $n$, logo tem no máximo $n$ raízes; $K$ tem característica $0$, logo é infinito: escolha $\lambda \neq 0$ que não seja raiz. Então $M = (M - \lambda I) +
\lambda I$ escreve $M$ como soma de duas matrizes invertíveis.

**23.** *Etapa 1:* para $P$ invertível e $X$ qualquer, aplique a invariância a $M = XP$: $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$, isto é, $t(PX) = t(XP)$. *Etapa 2:* fixe $X$; os dois membros de $t(BX) = t(XB)$ são lineares em $B$ e coincidem nas $B$ invertíveis; pela questão 22 toda $B$ é soma de duas invertíveis, logo eles coincidem em toda parte. *Etapa 3:* $t$ anula todo comutador $XB
- BX$; os comutadores geram $\mathfrak{sl}_n$ (mostrado na demonstração da [Proposição 2.22](#prop-b2-linalg-trace)), logo $t$ se anula em $\mathfrak{sl}_n$ e a questão 21 dá $t =
c\operatorname{tr}$. (Reciprocamente, toda $c\operatorname{tr}$ é invariante por semelhança: o traço é *o* invariante linear de semelhança.)

**24.** Se $\operatorname{rk} u = r' \leq r$: tome uma base $(f_1, \dots, f_{r'})$ de $\operatorname{im} u$ e escreva $u(x)
= \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$; cada coordenada $\psi_i(x)$ de $u(x)$ é linear em $x$ (composição de $u$ com uma forma coordenada), logo $u$ é soma de $r' \leq r$ aplicações de posto $\leq1$ (complete com zeros). Reciprocamente, se $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$, então $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1,
\dots, f_r)$: $\operatorname{rk} u \leq r$. Subaditividade: escreva $u$ com $\operatorname{rk} u$ termos e $v$ com $\operatorname{rk} v$ termos; a soma tem $\operatorname{rk} u +
\operatorname{rk} v$ termos, logo $\operatorname{rk}(u + v) \leq
\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$.

**25.** O dicionário: um subespaço $F$ corresponde a $F^\circ$ de dimensão complementar ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)), e de volta pela bidualidade (questões 6–7); as somas trocam com as interseções (questão 8); uma aplicação $u$ corresponde a $u^{\mathsf T}$ com $\ker u^{\mathsf T}
= (\operatorname{im}u)^\circ$, $\operatorname{im}u^{\mathsf T} =
(\ker u)^\circ$, postos iguais, injetividade e sobrejetividade trocadas, subespaços estáveis e autovalores em correspondência (questões 11–15); a equação $u(x) = b$ é resolúvel se e somente se $b$ é ortogonal a $\ker u^{\mathsf T}$ (questões 16–19); e em $\mathcal{M}_n$ o emparelhamento traço realiza todo o dicionário concretamente, com o traço como único invariante linear de semelhança (questões 20–23) e o posto como comprimento mínimo de uma decomposição em tensores elementares (questão 24). Em dimensão infinita as contagens de dimensão falham e são substituídas por hipóteses de *fechamento* sobre imagens e por completude — em espaços de Hilbert isso se torna o teorema de representação de Riesz e a teoria de Fredholm dos operadores compactos, demonstrada honestamente no volume do terceiro ano de graduação.