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title: "Integrais de linha e integrais múltiplas"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas
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# Capítulo 20 — Integrais de linha e integrais múltiplas

Este capítulo estende a integração de intervalos a curvas e a domínios do plano e do espaço. As [integrais de linha](#def-b2-multint-lineint) integram uma *[forma diferencial](#def-b2-multint-lineint)* $P\,\dd x + Q\,\dd y$ ao longo de um arco orientado; as integrais duplas e triplas integram funções sobre domínios de dimensão dois e três. As duas teorias se encontram no *teorema de Green–Riemann*, o teorema fundamental do cálculo em dimensão dois, e a principal ferramenta de cálculo em todo o capítulo é a *fórmula de mudança de variáveis*, cujo fator de distorção é o valor absoluto do [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) jacobiano.

## 20.1 Integrais de linha

**Definição 20.1 (Forma diferencial; integral de linha).**

Seja $U \subseteq \R^2$ um [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology). Uma *forma diferencial* de grau $1$ e classe $\mathcal{C}^0$ em $U$ é uma expressão $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ com $P, Q \colon U \to \R$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — formalmente, uma aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $U$ no [dual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual) de $\R^2$, $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$. Para um arco $\gamma \colon [a, b] \to U$ de classe $\mathcal{C}^1$, $\gamma(t) =
(x(t), y(t))$, a *integral de linha* de $\omega$ ao longo de $\gamma$ é

$$
\int_\gamma \omega
= \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t)
+ Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .
$$

As definições se estendem literalmente a $\R^3$ (formas $P\,\dd x +
Q\,\dd y + R\,\dd z$) e a arcos $\mathcal{C}^1$ por pedaços (soma sobre os pedaços).

**Proposição 20.2 (Invariância e orientação).**

A [integral de linha](#def-b2-multint-lineint) não muda sob uma [mudança de parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) $\mathcal{C}^1$ crescente, e muda de sinal sob uma decrescente. Ela depende portanto apenas do [arco geométrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) *orientado*.

**Demonstração.** Se $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ é uma [mudança de parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) e $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$, então, pela regra da cadeia e pela mudança de variáveis a uma variável $t = \theta(u)$,

$$
\int_{\tilde\gamma}\omega
= \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u))
+ Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u
= \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,
$$

com sinal $+$ se $\theta$ é crescente ($\theta(c) = a$) e $-$ se for decrescente (os limites se trocam). ∎

**Exemplo 20.3 (Trabalho de uma força; circulação).**

Se $F = (P, Q)$ é um campo de forças, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y =
\int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ é o *trabalho* de $F$ ao longo de $\gamma$. Para $\omega = -y\,\dd x +
x\,\dd y$ ao longo do círculo unitário $\gamma(t) =
(\cos t, \sin t)$ percorrido no sentido anti-horário:

$$
\int_\gamma \omega
= \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t)
+ \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,
$$

o dobro da [área](#def-b2-multint-domain) encerrada — um primeiro indício de Green–Riemann.

**Exemplo 20.4 (Uma integral, duas parametrizações, uma armadilha de sinal).**

Calcule $\int_\gamma x\,\dd y$ ao longo do semicírculo unitário superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$. Com $\gamma(t) =
(\cos t, \sin t)$, $t \in \intcc0\pi$:

$$
\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .
$$

Com a parametrização por gráfico $x \mapsto (x, \sqrt{1 -
x^2})$, $x$ indo de $1$ a $-1$ (atenção ao sentido!):

$$
\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \frac\pi2
$$

($x = \sin u$ a reduz a uma [integral de Wallis](#pb-b2-multint-1)). Mesmo valor, como a [Proposição 20.2](#prop-b2-multint-lineinv) garante — mas só porque os dois percursos vão de $(1,0)$ a $(-1,0)$; inverter o sentido troca o sinal. Fechar o caminho ao longo do eixo $x$ (em que $\dd y = 0$) não acrescenta nada, e o total $\frac\pi2$ é a [área](#def-b2-multint-domain) do semidisco: a primeira instância das fórmulas de [área](#def-b2-multint-domain) pelo bordo de Green–Riemann abaixo.

**Definição 20.5 (Formas exatas e fechadas).**

A forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de classe $\mathcal{C}^0$ é *exata* em $U$ se existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (um *potencial*) com $\omega = \dd f$, isto é, $P = f_x$ e $Q
= f_y$. Uma forma $\mathcal{C}^1$ é *fechada* se $P_y = Q_x$ em $U$.

**Teorema 20.6 (Teorema fundamental para integrais de linha).**

Se $\omega = \dd f$ é [exata](#def-b2-multint-exact) e $\gamma$ é um arco $\mathcal{C}^1$ por pedaços em $U$ de $A$ a $B$, então

$$
\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .
$$

Em particular, a integral de uma [forma exata](#def-b2-multint-exact) ao longo de qualquer arco fechado é nula, e toda forma $\mathcal{C}^1$ [exata](#def-b2-multint-exact) é fechada.

**Demonstração.** $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) +
f_y(\gamma(t))y'(t)$ pela regra da cadeia ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)), de modo que o integrando em [Definição 20.1](#def-b2-multint-lineint) é a derivada de $t \mapsto
f(\gamma(t))$, e o teorema fundamental do cálculo dá o resultado em cada pedaço; os valores intermediários se telescopam. Que as formas $\mathcal{C}^1$ [exatas](#def-b2-multint-exact) sejam fechadas é o teorema de Schwarz: $P_y =
f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. ∎

**Exemplo 20.7 (Reconstruindo um potencial).**

Seja $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ em $\R^2$. Ela é fechada: ambas as derivadas cruzadas valem $\eu^{xy}(1 + xy)$. Para achar um [potencial](#def-b2-multint-exact), integre $P$ em $x$ com $y$ fixo:

$$
f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),
$$

depois ajuste $c$ igualando $f_y$: $x\,\eu^{xy} + c'(y) =
x\,\eu^{xy} + 2y$ dá $c(y) = y^2$. Assim $f(x,y) = \eu^{xy} +
y^2$ e, para qualquer arco $\mathcal C^1$ por pedaços de $(0,0)$ a $(1,1)$,

$$
\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,
$$

independentemente do caminho — a receita em dois passos (integrar em $x$, corrigir em $y$) é a recíproca prática do [Teorema 20.6](#thm-b2-multint-ftc) em domínios em que as [formas fechadas](#def-b2-multint-exact) são [exatas](#def-b2-multint-exact).

**Exemplo 20.8 (Fechada não implica exata).**

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$, a *forma ângulo*

$$
\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}
$$

é fechada (cálculo direto: tanto $P_y$ quanto $Q_x$ valem $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), mas sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$ (mesmo cálculo do [Exemplo 20.3](#ex-b2-multint-work), dividido por $1$): $\omega$ não é [exata](#def-b2-multint-exact) em $U$. Localmente, $\omega = \dd\theta$ para uma determinação $\theta$ do ângulo polar; a falha é global — o ângulo não pode ser definido [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em torno do furo. Em domínios sem buracos a patologia desaparece: num [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) *estrelado*, toda forma $\mathcal{C}^1$ fechada é [exata](#def-b2-multint-exact) (lema de Poincaré, [Exercício 20.8](#exo-b2-multint-8)).

## 20.2 Integrais duplas

Tomamos por adquirida a teoria da integral de Riemann a uma variável (volume do primeiro ano de graduação e [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration)) e esboçamos sua versão a duas variáveis. Uma função $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num retângulo $R = [a, b] \times [c, d]$ tem uma integral dupla $\iint_R f$, definida por somas de Riemann sobre grades exatamente como a uma variável, e calculada por iteração:

**Teorema 20.9 (Fubini num retângulo).**

Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$
\iint_R f
= \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .
$$

**Demonstração.** Ponha $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$. A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme de $f$ no [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) $R$ torna $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) (estimativa dominada: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$). Subdivida agora $[a,b]$ e $[c,d]$ em $n$ partes iguais, o que dá uma grade de células $R_{ij}$ de [área](#def-b2-multint-domain) $\Delta x\,\Delta y$. Em cada célula, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq
\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq
\sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ pela monotonia da integral a uma variável (aplicada duas vezes). Somando sobre as células, a integral iterada $\int_a^b F$ fica espremida entre as somas de Riemann inferior e superior da grade; pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme, ambas as somas convergem ao valor comum que define $\iint_R f$ quando $n \to
\infty$. O mesmo argumento se aplica com os papéis de $x$ e $y$ trocados, de modo que ambas as integrais iteradas valem $\iint_R f$. ∎

**Observação 20.10.**

A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num retângulo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) faz trabalho de verdade na demonstração de Fubini: ela fornece a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme que espreme as somas de Riemann. Para integrandos mais selvagens o enunciado realmente falha — há funções cujas duas integrais iteradas existem e diferem. O teorema geral honesto, com a integrabilidade como única hipótese, é o teorema de Fubini para a integral de Lebesgue, demonstrado no volume do terceiro ano de graduação; tudo neste capítulo permanece no quadro [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em que a demonstração elementar acima é [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete).

**Definição 20.11 (Domínios elementares).**

Um domínio $D \subseteq \R^2$ é *elementar em $y$* se

$$
D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\
\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}
$$

com $\varphi_1 \leq \varphi_2$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $[a,b]$ (elementar em $x$: simetricamente). Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num $D$ elementar em $y$,

$$
\iint_D f
= \int_a^b\Bigl(
\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,
$$

e verifica-se (estendendo $f$ por um argumento de aproximação, ou subdividindo) que, quando $D$ é elementar nos dois sentidos, as duas integrais iteradas coincidem. Domínios recortados em finitos pedaços elementares são tratados por aditividade, e a *área* de $D$ é $\operatorname
{Area}(D) = \iint_D 1$.

**Exemplo 20.12.**

No triângulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

$$
\iint_D xy \,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .
$$

Trocando a ordem ($x$ de $y$ a $1$): $\int_0^1
y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1
y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — mesmo valor, cálculo diferente: escolher bem a ordem de integração é metade do ofício.

**Exemplo 20.13 (Quando só uma ordem funciona).**

Calcule $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1
\eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Como está escrita, a integral interna $\int\eu^{y^2}\dd y$ não tem primitiva elementar: o cálculo trava. Mas o domínio é o triângulo $0 \leq
x \leq y \leq 1$, que é elementar nos dois sentidos; trocando a ordem,

$$
I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y
= \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .
$$

A variável interna $x$ não aparecia em lugar algum do integrando, de modo que integrá-la primeiro produziu exatamente o fator $y$ que torna imediata a integral externa. Moral: Fubini não é apenas uma licença para iterar — é uma licença para *escolher*, e a ordem certa pode transformar uma integral impossível numa única linha. Esboce sempre o domínio e leia as duas descrições antes de começar.

**Teorema 20.14 (Mudança de variáveis).**

Seja $\Phi \colon U' \to U$ um difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre [abertos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de $\R^2$, seja $K \subseteq U$ um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) recortado em pedaços elementares com $K' = \Phi^{-1}(K)$, e seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $K$. Então

$$
\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\,
\abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 20.15.**

A demonstração completa — aproximar $\Phi$ por sua [diferencial](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) numa grade fina e controlar as células do bordo — é longa, embora não profunda; ela é feita por inteiro na teoria da medida do terceiro ano, como consequência da teoria de Lebesgue. A heurística é a imagem já usada para a [área](#def-b2-multint-domain) de superfícies: um pequeno quadrado de lado $\dd u$ em $(u, v)$ é aplicado, em primeira ordem, sobre o paralelogramo [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por $\Phi_u\,\dd u$ e $\Phi_v\,\dd v$, cuja [área](#def-b2-multint-domain) é $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ ([Lema 19.18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#lem-b2-surfaces-lagrange)).

**Observação 20.16 (Método: escolhendo a mudança de variáveis).**

Três reflexos cobrem a maioria dos casos. *Simetria do integrando*: $x^2 + y^2$ pede polares, uma estrutura de produto pede que se mantenham os eixos cartesianos. *Forma do bordo*: bordos $u(x,y) = c_1$, $v(x,y) = c_2$ imploram pelas próprias coordenadas $(u, v)$, como no exemplo da região hiperbólica abaixo — o domínio se torna um retângulo, o que já é toda a vitória. *Estrutura linear*: expressões em $x + y$ e $x - y$ convidam à rotação de $45$ graus ou a um cisalhamento ([Exemplo 20.18](#ex-b2-multint-affine)). Em todos os casos, três caixas a marcar antes de integrar: a aplicação é uma bijeção do novo domínio sobre o antigo; seu jacobiano é calculado *no sentido efetivamente usado* (inverta no fim, se for mais fácil); e o jacobiano entra com seu valor absoluto.

**Exemplo 20.17 (Coordenadas polares).**

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ tem

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\
\sin\alpha & \rho\cos\alpha
\end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = \rho ,
$$

logo $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$. Para o disco $D_R$ de raio $R$:

$$
\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr)
\xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .
$$

Comparando com o quadrado $[-R, R]^2$ (que fica espremido entre os discos $D_R$ e $D_{R\sqrt2}$, todos os integrandos positivos) obtém-se $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$:

$$
\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }
$$

— de novo a integral de Gauss, agora por sua demonstração mais famosa (compare com a dedução a uma variável em [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration)).

**Exemplo 20.18 (Mudanças de variáveis afins).**

Para uma [aplicação afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ com $M$ invertível, o jacobiano é a matriz constante $M$: as [áreas](#def-b2-multint-domain) são multiplicadas pelo fator constante $\abs{\det M}$ — a promessa feita no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#ch-b2-affine) é agora um teorema. Dois usos imediatos. A elipse $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} \leq 1$ é a imagem do disco unitário por $(u, v) \mapsto (au, bv)$, de modo que sua [área](#def-b2-multint-domain) é $ab \cdot \pi$ — sem cálculo algum. E, para a integral de $f(x + y)$ sobre o quadrado $K = \intcc01^2$, o cisalhamento $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ ([determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $1$) a transforma numa integral de $f(u)$ sobre um paralelogramo, que Fubini fatia a $u$ constante: com $f =
\exp$,

$$
\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y
= \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,
$$

como a estrutura de produto confirma. Escolher coordenadas adaptadas ao integrando — e não ao domínio — é a outra metade do ofício.

**Exemplo 20.19 (Coordenadas adaptadas a um domínio curvilíneo).**

Seja $D$ a região do primeiro quadrante limitada pelas hipérboles $xy = 1$ e $xy = 3$ e pelas retas $y = x$ e $y = 3x$. Nas coordenadas $u = xy$, $v = y/x$ o domínio se torna o quadrado $\intcc13 \times \intcc13$; invertendo,

$$
x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv},
\qquad
\det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}
$$

(um cálculo de duas linhas com $x = u^{1/2}v^{-1/2}$, $y =
u^{1/2}v^{1/2}$). Portanto

$$
\operatorname{Area}(D)
= \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v}
= 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .
$$

Tentar fatiar $D$ em coordenadas cartesianas significa recortá-lo em três pedaços com bordos hiperbólicos e lineares — factível, sem alegria e propenso a erros. A moral repete a [Exemplo 20.18](#ex-b2-multint-affine) com força total: leia as equações do bordo e deixe que *elas* escolham as coordenadas; o jacobiano então converte a [área](#def-b2-multint-domain) da célula da malha curvilínea, exatamente como o $\rho$ fez para as coordenadas polares.

**Exemplo 20.20 (Valores médios).**

O *valor médio* de $f$ num domínio $D$ é $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$. Amostra: a distância média ao centro para um ponto escolhido uniformemente no disco de raio $R$ é

$$
\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,
$$

e não $R/2$: a [área](#def-b2-multint-domain) uniforme põe mais massa nos raios grandes (a coroa de raio $\rho$ tem peso proporcional a $\rho$), de modo que a média fica além da metade. Acertar esse fator é exatamente o jacobiano polar em ação, e a mesma ponderação explica o centroide $\bar z = 3R/8$ da meia-bola calculado adiante no capítulo, em vez de $R/2$.

## 20.3 O teorema de Green–Riemann

**Teorema 20.21 (Green–Riemann).**

Seja $K \subseteq \R^2$ um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) elementar nos dois sentidos (ou uma união finita de tais domínios colados ao longo de segmentos), com bordo $\partial K$ uma curva fechada $\mathcal{C}^1$ por pedaços orientada no sentido *anti-horário* (o domínio fica à esquerda). Para $P, Q$ de classe $\mathcal{C}^1$ numa vizinhança de $K$:

$$
\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y
= \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}
- \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .
$$

**Demonstração.** Primeiro, ambos os membros são aditivos quando se corta $K$ ao longo de um segmento em dois pedaços $K_1, K_2$: as integrais duplas se somam pela aditividade de $\iint$; quanto às integrais de bordo, os bordos anti-horários de $K_1$ e de $K_2$ percorrem cada um o corte interior uma vez, em sentidos *opostos*, de modo que, na soma

$$
\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2}
= \oint_{\partial K} + (\text{corte, nos dois sentidos})
= \oint_{\partial K},
$$

as duas passagens ao longo do corte se cancelam ([Proposição 20.2](#prop-b2-multint-lineinv)) e só o bordo exterior sobrevive. Iterando finitos cortes, basta tratar um domínio elementar. Demonstramos $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ num domínio $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y
\leq \varphi_2(x)\}$ elementar em $y$; a identidade $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ é [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) (elementar em $x$), e o teorema é a soma das duas.

Calcule a integral dupla por Fubini e pelo teorema fundamental a uma variável:

$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y
= \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr)
\,\dd x .
$$

Ora, o bordo de $D$, no sentido anti-horário, consiste em: o gráfico inferior $y = \varphi_1(x)$ percorrido da esquerda para a direita, o segmento vertical direito $x = b$ (para cima), o gráfico superior $y =
\varphi_2(x)$ percorrido *da direita para a esquerda*, o segmento vertical esquerdo $x = a$ (para baixo). Ao longo dos segmentos verticais $x$ é constante, de modo que eles contribuem com $0$ para $\oint P\,\dd x$; os gráficos, parametrizados por $x$, dão

$$
\oint_{\partial D} P\,\dd x
= \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x
- \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x
= -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y .
\qedhere
$$

∎

**Corolário 20.22 (Área pelo bordo).**

Sob as hipóteses do [Teorema 20.21](#thm-b2-multint-green),

$$
\operatorname{Area}(K)
= \oint_{\partial K} x\,\dd y
= -\oint_{\partial K} y\,\dd x
= \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .
$$

**Demonstração.** Aplique Green–Riemann a $(P, Q) = (0, x)$, $(-y, 0)$ e $\frac12(-y, x)$: de cada vez, $Q_x - P_y = 1$. ∎

**Observação 20.23 (Escolhendo entre as três fórmulas de área).**

As três fórmulas de bordo são iguais, mas não intercambiáveis na prática. Use $\oint x\,\dd y$ quando a parametrização torna $\dd y$ simples (gráficos sobre o eixo $y$), $-\oint y\,\dd x$ simetricamente, e a semissoma [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) quando a parametrização trata $x$ e $y$ de modo equilibrado — para a elipse ela produziu um integrando constante, sem nenhuma linearização trigonométrica. Em bordos poligonais a semissoma se torna a fórmula do cadarço do [Exercício 20.12](#exo-b2-multint-12), o algoritmo dos agrimensores. E quando o bordo é percorrido no sentido horário pela parametrização dada, as três fórmulas devolvem *menos* a [área](#def-b2-multint-domain): um resultado negativo não é um erro de cálculo, mas um relatório de orientação — inverta o sinal, ou a parametrização.

**Exemplo 20.24 (Área da elipse).**

Para $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $t \in [0, 2\pi]$:

$$
\operatorname{Area}
= \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t
- b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t
= \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .
$$

**Exemplo 20.25 (Green–Riemann como verificação cruzada).**

Tome $P = -y^3$, $Q = x^3$ no disco unitário fechado $D$. Lado do bordo, com $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$:

$$
\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t
= 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,
$$

por linearização ($\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 +
\tfrac14\cos4t$). Lado do interior:

$$
\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y
= 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{3\pi}2 .
$$

Mesmo número, dois cálculos muito diferentes — e esse é o uso prático: o lado da identidade de Green que for mais fácil torna-se o cálculo, o outro uma verificação. Para circulações de campos polinomiais em torno de curvas fechadas, a integral dupla é quase sempre o lado fácil.

**Observação 20.26.**

Green–Riemann explica o [Exemplo 20.8](#ex-b2-multint-angleform): para uma [forma fechada](#def-b2-multint-exact) ($Q_x = P_y$), a integral em torno do bordo de qualquer domínio contido em $U$ se anula. A forma ângulo deixa de ser [exata](#def-b2-multint-exact) apenas porque o furo na origem impede que o disco limitado pelo círculo unitário esteja dentro de $U$ — as [integrais de linha](#def-b2-multint-lineint) de [formas fechadas](#def-b2-multint-exact) detectam os buracos do domínio. (Levada mais longe, essa observação se torna a cohomologia de de Rham.)

## 20.4 Integrais triplas

A teoria se estende a três variáveis sem ideia nova alguma: Fubini reduz $\iiint$ a três integrais a uma variável (seja por *fatiamento*: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z}
f\bigr)\dd z$ sobre as fatias horizontais $K_z$, seja por *empilhamento*: integrando primeiro em $z$ ao longo de varetas verticais), e a fórmula de mudança de variáveis vale com o jacobiano $3 \times 3$.

**Exemplo 20.27 (Coordenadas cilíndricas e esféricas).**

*Cilíndricas* $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha,
z)$: $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$. *Esféricas* $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\
r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ($\theta$ a longitude, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ a latitude): desenvolvendo o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $3
\times 3$ pela última linha,

$$
\det J = r^2\cos\varphi ,
\qquad
\dd x\,\dd y\,\dd z
= r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .
$$

[Volume da bola](#pb-b2-multint-1) de raio $R$:

$$
V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2}
r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r
= \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2
= \boxed{\frac43\pi R^3} ,
$$

quitando enfim a fórmula admitida nos capítulos de volume dos livros anteriores.

**Exemplo 20.28 (O tetraedro, duas vezes).**

O volume de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$, por empilhamento: para $(x, y)$ fixo no triângulo $x + y \leq 1$, $z$ percorre $\intcc0{1 - x - y}$, logo

$$
V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .
$$

Por fatiamento: a seção à altura $z$ é o triângulo $\{x, y
\geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\frac{(1-z)^2}2$, e $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ de novo — os dois cálculos são as mesmas integrais em ordem diferente, que é tudo o que Fubini afirma. O valor $\frac16 =
\frac13\cdot\frac12\cdot1$ é a fórmula do cone ([Exemplo 20.30](#ex-b2-multint-cone)) com base triangular, e a versão em dimensão $n$, $1/n!$, é demonstrada exatamente por esse fatiamento no problema de fim de semana.

**Exemplo 20.29 (Centroide de uma meia-bola).**

Para a meia-bola superior $H$ de raio $R$ ($z \geq 0$), a altura do centroide é $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$, com $V =
\frac23\pi R^3$. Em coordenadas esféricas ($z =
r\sin\varphi$, $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$):

$$
\iiint_H z
= \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,
$$

logo

$$
\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :
$$

o ponto de equilíbrio de um hemisfério maciço fica a três oitavos do raio acima da face plana — abaixo da meia-altura $R/2$, como deve ser, pois o sólido é mais gordo perto da base. Todo cálculo de centroide tem essa forma: uma integral de momento, um volume, uma razão e uma verificação de plausibilidade contra a geometria.

**Exemplo 20.30 (Volume por fatiamento: o cone).**

Um cone de [área](#def-b2-multint-domain) de base $A$ e altura $h$ (vértice em cima, base em $z = 0$): a fatia à altura $z$ é a base escalada pelo fator $(1 -
z/h)$, de [área](#def-b2-multint-domain) $A(1 - z/h)^2$. Portanto

$$
V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :
$$

o um terço das fórmulas da escola, válido para *qualquer* forma de base — o fatiamento o transforma na integral de um quadrado.

**Exemplo 20.31 (Limiares de integrabilidade no plano).**

Para quais $\alpha > 0$ a integral $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd
x\,\dd y$ converge no disco unitário perfurado $D$ (limite sobre coroas $\varepsilon \leq \rho \leq 1$)? Em coordenadas polares,

$$
\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\,
\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,
$$

que converge quando $\varepsilon \to 0$ se e somente se $1 - \alpha > -1$, isto é, $\alpha < 2$: em dimensão $2$ o expoente crítico de singularidade é a própria dimensão, o $\rho$ suplementar vindo do jacobiano suavizando a singularidade em uma potência. (Do mesmo modo, $\alpha < 3$ para uma singularidade [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) no espaço, via $r^2$.) Contabilidade radial desse tipo é como a integrabilidade é decidida num relance no quadro de Lebesgue do terceiro ano — e é a razão pela qual $\iiint 1/r$ convergiu sem esforço no [Exercício 20.7](#exo-b2-multint-7).

**Observação 20.32 (Armadilhas comuns).**

(i) *Orientação*: uma [integral de linha](#def-b2-multint-lineint) muda de sinal com o sentido de percurso, e Green–Riemann exige o bordo no sentido anti-horário (domínio à esquerda); para um domínio com um buraco, o bordo interno é percorrido no sentido *horário*. (ii) *O jacobiano entra com valor absoluto*: a mudança de variáveis nunca produz [área](#def-b2-multint-domain) negativa, e esquecer $\abs{\det}$ tipicamente inverte sinais exatamente quando a aplicação inverte a orientação. (iii) *O fator polar $\rho$*: $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$, e não $\dd\rho\,\dd\alpha$ — o erro mais comum de todo o capítulo; a análise dimensional o pega, pois $\dd\rho\,\dd\alpha$ tem dimensão de comprimento, não de [área](#def-b2-multint-domain). (iv) *Integrais duplas impróprias*: os limites sobre discos crescentes e sobre quadrados crescentes coincidem aqui porque os integrandos são positivos (aperto); para integrandos que mudam de sinal o limite pode depender da exaustão, e nenhuma afirmação é feita sem convergência absoluta. (v) *Domínios contra integrandos*: um integrando produto num domínio que não é produto *não* fatora a integral — a fatoração precisa dos dois, como no quadrado do [Exemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar).

**Observação 20.33 (Perspectivas dentro deste volume).**

A integral de Gauss aqui calculada está discretamente em toda parte nos capítulos de probabilidade: a constante $\sqrt\pi$ dentro da fórmula de Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#thm-b2-comparison-stirling)) é a integral deste capítulo e, através de Stirling, ela fixa a assintótica em $1/\sqrt{\pi n}$ das probabilidades de retorno do passeio aleatório no [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#ch-b2-proba). As [integrais de Wallis](#pb-b2-multint-1) do problema de fim de semana reaparecem lá também, movendo as mesmas estimativas do binomial central. Na outra direção, os elementos de [área](#def-b2-multint-domain) e de volume deste capítulo completam a geometria do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces), e a fórmula de Green recalcula as [áreas](#def-b2-multint-domain) das [envoltórias](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#ch-b2-curves) (o [astroide](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1), no [Exercício 20.5](#exo-b2-multint-5)). Um capítulo, três serviços: medida para a geometria, constantes para a probabilidade e a disciplina da mudança de variáveis usada pelas duas.

## 20.5 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Calcule $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ ao longo de: (a) o segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$; (b) o arco de parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$. A forma é [exata](#def-b2-multint-exact)?

**Solução de Exercício 20.1.**

(a) Segmento $\gamma(t) = (t, t)$, $t \in [0,1]$:

$$
\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y
= \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .
$$

(b) Parábola $\gamma(t) = (t, t^2)$:

$$
\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t
= \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .
$$

Os dois valores diferem, de modo que a integral depende do caminho: a forma *não* é [exata](#def-b2-multint-exact) — coerentemente, $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$, logo ela não é sequer fechada.

**Exercício 20.2 ★.**

Mostre que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ é fechada em $\R^2$, determine um [potencial](#def-b2-multint-exact) e calcule $\int_\gamma\omega$ ao longo de qualquer arco de $(0, 0)$ a $(1, 2)$.

**Solução de Exercício 20.2.**

$P = 2xy + y^3$, $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$: $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$, fechada em $\R^2$. Procure $f$ com $f_x = P$: $f = x^2y + xy^3
+ g(y)$; então $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ força $g'(y) = 1$, digamos $g(y) = y$. Assim

$$
f(x, y) = x^2y + xy^3 + y
$$

é um [potencial](#def-b2-multint-exact) ($\R^2$ é estrelado, de modo que um [potencial](#def-b2-multint-exact) tinha de existir pelo lema de Poincaré — mas exibi-lo é mais rápido). Pelo [Teorema 20.6](#thm-b2-multint-ftc), para qualquer arco de $(0,0)$ a $(1,2)$:

$$
\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .
$$

**Exercício 20.3 ★.**

Calcule $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ em que $D$ é o domínio limitado por $y = x^2$ e $y = x$ ($0 \leq x \leq 1$), nas duas [ordens](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) de integração.

**Solução de Exercício 20.3.**

O domínio é $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$. Primeiro em $y$:

$$
\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\Bigl(x(x - x^2)
+ \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .
$$

Primeiro em $x$: a fatia à altura $y \in [0, 1]$ é $y \leq x \leq
\sqrt y$, logo

$$
\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2}
+ y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y
= \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .
$$

**Exercício 20.4 ★★.**

Usando coordenadas polares, calcule $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 +
x^2 + y^2)^2}$ em todo o plano (como limite sobre discos) e $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ no quarto de disco $D' = \{x, y
\geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$.

**Solução de Exercício 20.4.**

*Primeira integral.* No disco $D_R$, em coordenadas polares:

$$
\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2}
= 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R
= \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr)
\xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .
$$

*Segunda integral.* O quarto de disco é $0 \leq \alpha \leq
\frac\pi2$, $0 \leq \rho \leq 1$, e $xy =
\rho^2\cos\alpha\sin\alpha$:

$$
\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha
\int_0^1 \rho^3\,\dd\rho
= \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .
$$

**Exercício 20.5 ★★.**

Calcule a [área](#def-b2-multint-domain) encerrada pelo [astroide](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) $x = \cos^3 t$, $y =
\sin^3 t$, $t \in [0, 2\pi]$, usando o [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area). *(Linearize $\sin^2 t\cos^2 t$.)*

**Solução de Exercício 20.5.**

Pelo [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area) com $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$: $x' = -3\cos^2 t\sin t$, $y' = 3\sin^2 t\cos t$, logo

$$
xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t
= 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t
= \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .
$$

Portanto

$$
A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t
= \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .
$$

(O [astroide](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) cabe no disco unitário de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi$; três oitavos de $\pi$ é plausível para sua forma de estrela de quatro cúspides.)

**Exercício 20.6 ★★.**

Calcule o volume do sólido limitado abaixo pelo paraboloide $z
= x^2 + y^2$ e acima pelo plano $z = 1$, pelos dois métodos: empilhamento (integre $1 - x^2 - y^2$ sobre o disco unitário, coordenadas polares) e fatiamento (as fatias horizontais são discos de raio $\sqrt z$).

**Solução de Exercício 20.6.**

*Empilhamento:* acima de cada $(x, y)$ do disco unitário $D$, $z$ vai de $x^2 + y^2$ a $1$:

$$
V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .
$$

*Fatiamento:* a fatia à altura $z \in [0, 1]$ é o disco $x^2 + y^2 \leq z$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi z$:

$$
V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .
$$

**Exercício 20.7 ★★.**

(Atração gravitacional de uma bola — teorema de Newton, caso particular) Mostre que o volume da casca esférica $a \leq r \leq
b$ é $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ e calcule $\iiint_{B}
\frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ na bola $B$ de raio $R$ ($r$ a distância à origem). *(Coordenadas esféricas.)*

**Solução de Exercício 20.7.**

Em coordenadas esféricas o elemento de volume é $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Exemplo 20.27](#ex-b2-multint-spherical)), e a parte angular integra a $4\pi$ ($2\pi$ vindo de $\theta$, $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$). O volume da casca é

$$
\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).
$$

Para a segunda integral, o integrando $1/r$ depende apenas de $r$:

$$
\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}
= \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r
= 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .
$$

(O integrando explode na origem, mas inofensivamente: $r^2/r = r$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — a integral sobre as cascas $\varepsilon \leq r
\leq R$ converge quando $\varepsilon \to 0$, que é o sentido preciso do enunciado. Esse tipo de cálculo é o primeiro passo rumo ao teorema de Newton segundo o qual uma bola homogênea atrai como uma massa pontual em seu centro.)

**Exercício 20.8 ★★★.**

(Lema de Poincaré, caso estrelado) Seja $U$ estrelado em relação a $0$ (isto é, $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$) e seja $\omega = P\dd x + Q\dd y$ uma forma $\mathcal{C}^1$ fechada em $U$. Defina

$$
f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Usando a derivação sob o sinal de integral ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration)) e $P_y = Q_x$, mostre que $f_x = P$ e $f_y = Q$: toda [forma fechada](#def-b2-multint-exact) num [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) estrelado é [exata](#def-b2-multint-exact).

**Solução de Exercício 20.8.**

O integrando $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ é $\mathcal{C}^1$ em $(x, y)$, [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $t$, com derivadas parciais [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $[0,1] \times U$; a derivação sob o sinal de integral ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration), aplicada no intervalo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $t$, $[0,1]$, sendo a dominação automática ali) dá

$$
f_x(x, y)
= \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty)
+ ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Usando o fato de a forma ser fechada, $Q_x = P_y$:

$$
tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty)
= t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,
$$

de modo que o integrando é $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) =
\frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ e

$$
f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .
$$

Simetricamente, $f_y = Q$ (mesmo cálculo com $P_y = Q_x$ usado no outro sentido). Note onde a hipótese entra: $f$ é definida integrando ao longo do segmento $[0, M]$, que está em $U$ precisamente porque $U$ é estrelado.

**Exercício 20.9 ★★★.**

(Integral de Dirichlet por integração dupla) Justifique e explore

$$
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x
\quad\text{vs}\quad
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y
$$

em $[0, A] \times [0, \infty)$: mostre que $\int_0^A \frac{\sin
x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty
e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ e recupere $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$, comparando com a demonstração por [integral com parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-continuity) do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration).

**Solução de Exercício 20.9.**

Na faixa $[0, A] \times [0, \infty)$ a função $(x, y)
\mapsto e^{-xy}\sin x$ não é [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) integrável até $y =
\infty$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) num sentido ingênuo, mas cada integral iterada converge e sua igualdade decorre de Fubini em $[0, A]
\times [0, B]$ mais um limite $B \to \infty$ (a cauda $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq
\int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx}
\dd x\to 0$, usando $\abs{\sin x} \leq x$).

*Primeiro em $y$:* $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ para $x
> 0$, de modo que a primeira integral vale $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$.

*Primeiro em $x$:* duas integrações por partes (ou tomar a parte imaginária de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$) dão

$$
\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x
= \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .
$$

Integrando em $y$ sobre $[0, \infty)$, o termo $\int_0^\infty
\frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se destaca:

$$
\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x
= \frac{\pi}{2}
- \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .
$$

O resto é majorado por $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y +
1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2}
\,\dd y \to 0$ quando $A \to \infty$ (convergência dominada, ou a majoração grosseira $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$, que dá $\frac{3}{2A}$). Portanto $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x =
\frac\pi2$ — o mesmo valor obtido no [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration) derivando uma [integral com parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-continuity); aqui Fubini faz o trabalho no lugar.

**Exercício 20.10 ★★★.**

(Desigualdade isoperimétrica via Wirtinger) Seja $\gamma$ uma curva fechada simples $\mathcal{C}^1$ de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi$, parametrizada por [comprimento de arco](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) em $[0, 2\pi]$, encerrando [área](#def-b2-multint-domain) $A$. Usando o [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area), Parseval e a desigualdade de Wirtinger (exercícios do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier)), demonstre que $A \leq \pi$, com igualdade para o círculo. *(Normalize $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s
= 0$; escreva $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ e majore $2A \leq
\int (x^2 + y'^2)$ com cuidado via $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd
s$ e $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$.)*

**Solução de Exercício 20.10.**

Parametrize por [comprimento de arco](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $s \in [0, 2\pi]$, de modo que $x'^2 + y'^2 = 1$, e translade para que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$. Pelo [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area),

$$
2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x
= \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .
$$

Integrando $\oint y\,\dd x$ por partes sobre o período (os termos de bordo se cancelam por periodicidade), $-\int yx' = \int y'x$, de modo que, de fato, $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$. Então $2xy' \leq x^2 + y'^2$ dá

$$
2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s
= \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr)
= 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .
$$

A desigualdade de Wirtinger (exercícios do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier): para uma função $\mathcal{C}^1$ de período $2\pi$ e média nula, $\int x^2 \leq \int x'^2$) torna a última integral não negativa: $A \leq \pi$. A igualdade exige igualdade em Wirtinger ($x(s) =
a\cos s + b\sin s$) e em $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ($y' = x$ [pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def)), o que força $y = a\sin s - b\cos s + c$: a curva é o círculo unitário (convenientemente centrado). Como uma curva de [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $L$ se reescala para [comprimento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi$, o enunciado geral é $A \leq
\frac{L^2}{4\pi}$: entre todas as curvas fechadas de perímetro dado, o círculo encerra a maior [área](#def-b2-multint-domain).

**Exercício 20.11 ★★.**

(Momentos da bola) Para a bola $B$ de raio $R$ em $\R^3$, calcule $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ em coordenadas esféricas e deduza $\iiint_B (x^2 + y^2 +
z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ por simetria. Confira o último resultado contra o cálculo por cascas $\int_0^R r^2\cdot4\pi
r^2\,\dd r$.

**Solução de Exercício 20.11.**

Em coordenadas esféricas $z = r\sin\varphi$ e $\dd x\,\dd
y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$:

$$
\iiint_B z^2
= \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot
\Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \frac{4\pi R^5}{15}.
$$

Pela simetria da bola sob permutação das coordenadas, $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$, logo $\iiint_B(x^2
+ y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$. Verificação por cascas: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi
R^5}5$ — o integrando $r^2$ é constante na esfera de raio $r$, de [área](#def-b2-multint-domain) $4\pi r^2$.

**Exercício 20.12 ★★.**

(Fórmula do cadarço) Seja $K$ um polígono de vértices $(x_1,
y_1), \dots, (x_m, y_m)$ em ordem anti-horária (índices módulo $m$). Deduza do [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area) que

$$
\operatorname{Area}(K)
= \frac12\sum_{i=1}^m
\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,
$$

e confira a fórmula no triângulo $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$.

**Solução de Exercício 20.12.**

Parametrize a aresta de $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ por $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)$. Sua contribuição a $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ é

$$
\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i +
tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,
$$

e, como $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u +
v}2$, isso vale

$$
\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i +
y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr)
= \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),
$$

cancelando-se os termos cruzados. Somando sobre as $m$ arestas obtém-se a fórmula do cadarço, pelo [Corolário 20.22](#cor-b2-multint-area). Triângulo $(0,0), (1,0), (0,1)$: $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) +
(1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$, a [área](#def-b2-multint-domain) correta.

## 20.6 Problema: o volume da bola em dimensão $n$

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — $V_n =
\pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, e a estranheza das dimensões altas

O disco tem [área](#def-b2-multint-domain) $\pi$, o [volume da bola](#pb-b2-multint-1) vale $\frac43\pi$ — e depois? Este problema calcula o volume da bola unitária de $\R^n$ para todo $n$, duas vezes (por uma recursão de fatiamento movida pelas [integrais de Wallis](#pb-b2-multint-1), depois via a função $\Gamma$ e a integral de Gauss do [Exemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar)), e depois lê a geometria: os volumes atingem o máximo na dimensão cinco e correm para zero, e quase toda a bola de dimensão alta se esconde numa casca fina perto de seu bordo. Para uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) numa bola de $\R^n$, a integral é entendida como a integral iterada $n$ vezes (fatiando uma coordenada de cada vez, como no capítulo para $n
\leq 3$); escrevemos $B_n(R)$ para a bola fechada de raio $R$ centrada em $0$, $v_n(R)$ para seu volume e $V_n =
v_n(1)$, com $V_0 = 1$ por convenção.

**Parte I — A recursão de fatiamento.**

1. Substituindo $x_i = Ru_i$ em cada uma das $n$ integrais iteradas, mostre que $v_n(R) = V_nR^n$ .
2. Fatiando $B_n(1)$ ao longo de sua última coordenada, mostre que $$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 -  t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$$
3. Com $t = \sin\theta$ , identifique a integral como uma [integral de Wallis](#pb-b2-multint-1) : $\int_{-1}^1(1 -  t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , em que $W_n =  \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta =  \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
4. Demonstre as duas identidades de Wallis (integre por partes; depois telescope $nW_nW_{n-1}$): $$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2),  \qquad  W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$$

**Parte II — A recursão resolvida.**

5. Combine as questões 2–4 na recursão de dois passos $$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2}  \qquad (n \geq 2).$$
6. Deduza as [formas fechadas](#def-b2-multint-exact), para $k \geq 0$: $$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!},  \qquad  V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots  (2k+1)} .$$
7. Tabule $V_1, \dots, V_7$ numericamente. Usando a razão $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ e os valores de $2W_5$ e de $2W_6$ , demonstre que a sequência $(V_n)$ cresce até seu máximo $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx  5.26$ e decresce a partir daí.
8. Mostre que $V_n \to 0$ mais rápido que qualquer sequência geométrica, e que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge: todas as bolas unitárias juntas têm volume total finito.
9. Demonstre a identidade geradora $$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2}  \qquad (x \in \R),$$ e deduza $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx  23.14$.

**Parte III — Segunda via: $\Gamma$ e a integral de Gauss.**

10. Mostre, por Fubini (o integrando é um produto), que $$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm  x^2}\dd x  = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}  \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$$ a integral de Gauss em dimensão $n$, entendida como limite sobre cubos $\intcc{-R}{R}^n$.
11. Recorde $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd  t$ ([Definição 9.17](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#def-b2-integration-gamma)). A partir de $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ ([Teorema 9.18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-gammaprops)) e de $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (substitua $t = u^2$ e invoque a integral de Gauss), calcule $$\Gamma(k + 1) = k!,  \qquad  \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) =  \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$$
12. Demonstre, por indução através da recursão da questão 5, a fórmula única $$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 +  1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$$ e verifique que ela reproduz ambas as [formas fechadas](#def-b2-multint-exact) da questão 6.
13. Mostre que $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r =  \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ e deduza a identidade $$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$$ Interprete-a: a massa gaussiana de $\R^n$ é recolhida ao longo de cascas esféricas cuja “[área](#def-b2-multint-domain) em dimensão $(n-1)$” no raio $r$ vale $nV_nr^{n-1}$ — ambos os membros estão agora demonstrados independentemente, de modo que a interpretação não custa nada.
14. Ponha $s_{n-1} = nV_n$ (a [área](#def-b2-multint-domain) da esfera unitária $S^{n-1}$ , coerentemente com $v_n(R) = \int_0^R  s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabule $s_0, \dots, s_3$ e verifique $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

**Parte IV — As dimensões altas são estranhas.**

15. A partir da fórmula de Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#thm-b2-comparison-stirling)) aplicada a $k!$, mostre que, para $n = 2k$ par: $$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}  \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2}  \qquad (n \to \infty, \ n \text{ par}),$$ e explique por que a mesma cota de decaimento supergeométrico se estende aos $n$ ímpares via a recursão.
16. A bola unitária está no cubo $\intcc{-1}1^n$ de volume $2^n$ . Calcule a razão de preenchimento $V_n/2^n$ para $n = 2, 3, 10$ e mostre que ela tende a $0$ : em dimensão alta, essencialmente todo o cubo está em seus cantos.
17. Mostre que a fração de $v_n(1)$ situada a distância no máximo $\varepsilon$ da esfera de bordo é $1 -  (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; numericamente, que fração de uma bola de dimensão $100$ está na casca externa de espessura $1\%$ ?
18. Demonstre a assintótica de Wallis $W_n \sim  \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ *(monotonia de $(W_n)$, a razão $W_n/W_{n-2} \to 1$ e $W_nW_{n-1}  = \frac\pi{2n}$)* , e a cota inferior $W_n \geq  \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ para todo $n$ .
19. (Concentração numa faixa) A fração da bola unitária com primeira coordenada além de $\delta$ vale $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\,  (2W_n)$. Usando $1 - u \leq \eu^{-u}$ e a cota de cauda $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq  \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$, mostre que essa fração é no máximo $$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta}  \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$$ e conclua: para $\delta = s/\sqrt{n-1}$, tudo salvo uma fração $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ da bola está na faixa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$. Uma bola de dimensão alta é, estatisticamente, uma panqueca fina em todas as direções ao mesmo tempo.
20. Reúna as questões 16–19 num parágrafo: onde está o volume de $B_n(1)$ (perto da esfera de bordo, e no entanto dentro de faixas $O(1/\sqrt n)$ de todo hiperplano pelo centro), e por que essas duas afirmações não se contradizem.

**Parte V — Outros corpos, e síntese.**

21. (Simplexo) Seja $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\  \sum x_i \leq 1\}$ . Mostre, por fatiamento e indução, que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
22. (Politopo cruzado) Deduza que $C_n = \{x :  \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ tem volume $\frac{2^n}{n!}$ e verifique o sanduíche $C_n \subseteq B_n(1)  \subseteq \intcc{-1}1^n$ ao nível dos volumes: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
23. Calcule $V_4$ de uma terceira maneira: fatie $\R^4 = \R^2 \times  \R^2$ , integre a [área](#def-b2-multint-domain) do disco em $(z, w)$ sobre o disco em $(x, y)$ em coordenadas polares e recupere $V_4 = \frac{\pi^2}2$ .
24. (Monte Carlo em apuros) Sorteia-se um ponto [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) no cubo $\intcc{-1}1^{20}$ . Mostre que a probabilidade de ele cair na bola inscrita é $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , de modo que cerca de quarenta milhões de sorteios são necessários antes que o primeiro acerto seja esperado: estimar $V_n$ por amostragem por rejeição desmorona em dimensão alta (a maldição da dimensionalidade).
25. Síntese. Duas deduções independentes se encontraram em $V_n =  \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : liste qual teorema deste capítulo cada uma usou (Fubini, mudança de variáveis, a integral de Gauss em polares) e quais insumos a uma variável (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). Onde o volume do terceiro ano de graduação refaz esse cálculo com a teoria de Lebesgue, e o que ela acrescenta?

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** A bola $B_n(R)$ é descrita por cotas iteradas $-R \leq x_n \leq R$, depois $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 -
x_n^2}$ e assim por diante; substituir $x_i = Ru_i$ em cada uma das $n$ integrais a uma variável multiplica cada uma por $R$ e leva as cotas nas de $B_n(1)$: $v_n(R) = R^n\,v_n(1) =
V_nR^n$.

**2.** Fatiando ao longo de $x_n = t$: a fatia de $B_n(1)$ é a bola $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$, logo, pela questão 1,

$$
V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t
= V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .
$$

**3.** Com $t = \sin\theta$, $\dd t =
\cos\theta\,\dd\theta$ e $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} =
\cos^{n-1}\theta$ em $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$:

$$
\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,
$$

e $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ troca as formas em seno e cosseno de $W_n$.

**4.** Escreva $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ e integre $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ por partes ($v =
\frac{\sin^{n-1}}{n-1}$):

$$
W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1}
\quad\Longrightarrow\quad
W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.
$$

Portanto $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$: a sequência $(nW_nW_{n-1})$ é constante, igual a $1\cdot W_1W_0 =
1\cdot\frac\pi2$, logo $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$.

**5.** As questões 2–3 dão $V_n = 2W_nV_{n-1}$, duas vezes:

$$
V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2}
= 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.
$$

**6.** De $V_0 = 1$: $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2}
= \frac\pi kV_{2k-2}$, logo $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ por indução. De $V_1 = 2$: $V_{2k+1} =
\frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$, logo

$$
V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1}
= \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .
$$

**7.** $V_1 = 2$, $V_2 = \pi \approx 3.142$, $V_3 =
\frac{4\pi}3 \approx 4.189$, $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx
4.935$, $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$, $V_6 =
\frac{\pi^3}6 \approx 5.168$, $V_7 = \frac{16\pi^3}{105}
\approx 4.725$. A razão de um passo é $V_n/V_{n-1} = 2W_n$, e $(W_n)$ é decrescente ($\sin^n \leq \sin^{n-1}$ [pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def)). Ora, $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 =
\frac{16}{15} > 1$ enquanto $2W_6 =
2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 =
\frac{5\pi}{16} < 1$: as razões excedem $1$ até $n = 5$ e ficam abaixo de $1$ a partir de $n = 6$ — $(V_n)$ cresce até seu máximo $V_5$ e depois decresce.

**8.** Para $n \geq 13 > 4\pi$: $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n <
\tfrac12$, logo $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ com uma constante fixa; melhor, para todo $q > 0$, $2\pi/n < q^2$ para $n$ grande, de modo que $V_n/q^n \to 0$: o decaimento bate toda sequência geométrica. A convergência de $\sum V_n$ decorre da razão $V_n/V_{n-2} \to 0$ (compare com uma série geométrica a partir de certa ordem).

**9.** $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} =
\sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$, a série exponencial ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), convergente para todo $x$. Em $x = 1$: $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx
23.14$.

**10.** No cubo $\intcc{-R}R^n$ o integrando é o produto $\prod_i\eu^{-x_i^2}$, de modo que a integral iterada se fatora: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$. Fazendo $R \to \infty$ e usando $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ ([Exemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar)): $I_n = \pi^{n/2}$.

**11.** $t = u^2$ dá $\Gamma(\tfrac12) =
\int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t =
2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$. Iterando $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$: $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) =
k!$, e

$$
\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr)
= \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots
\frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .
$$

**12.** Ponha $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$. Como $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) =
\frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$, obtemos $F_n =
\frac{2\pi}nF_{n-2}$: a mesma recursão de $V_n$ (questão 5). Bases: $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) =
\sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ e $F_2 =
\pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$. Por indução, $V_n = F_n$ para todo $n$; a questão 11 transforma isso de volta nas duas [formas fechadas](#def-b2-multint-exact) da questão 6.

**13.** Com $r = \sqrt t$: $\int_0^\infty
\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty
t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$. Portanto

$$
n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r
= V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr)
= V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .
$$

Estando ambos os membros demonstrados, a identidade pode ser *lida* como a decomposição em cascas da integral gaussiana: a esfera de raio $r$ carrega [área](#def-b2-multint-domain) $nV_nr^{n-1}$, e o peso gaussiano $\eu^{-r^2}$ é integrado sobre as cascas.

**14.** $s_0 = V_1 = 2$ (a esfera de dimensão $0$ são dois pontos), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$, $s_2 = 3V_3 = 4\pi$, $s_3 = 4V_4 =
2\pi^2$; e $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n =
v_n(R)$: a [área](#def-b2-multint-domain) é a derivada radial do volume.

**15.** Para $n = 2k$, Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#thm-b2-comparison-stirling)) dá $k! \sim
\sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$, logo

$$
V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}
\sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}}
= \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2}
\qquad (n = 2k).
$$

Para $n$ ímpar: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$, de modo que valem as mesmas cotas de decaimento supergeométrico (a menos de um fator $2$ e de um deslocamento de um no expoente) — para todo $q >
0$, $V_n = o(q^n)$.

**16.** $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$; $V_3/8 = \pi/6
\approx 0.524$; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024}
\approx 0.0025$. Em geral $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}}
= \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$: a razão tende a $0$ (supergeometricamente). A bola inscrita ocupa uma fração que se anula: o volume do cubo migra para seus cantos.

**17.** Pela questão 1, a bola interna de raio $1 -
\varepsilon$ tem volume $V_n(1-\varepsilon)^n$, de modo que a casca externa carrega a fração $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$. Para $n = 100$, $\varepsilon = 0.01$: $(0.99)^{100} =
\eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$: cerca de $63\%$ da bola está a menos de $1\%$ de sua superfície.

**18.** $(W_n)$ decresce, logo $W_n \leq W_{n-1} \leq
W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$: espremendo, $W_{n-1}/W_n \to 1$. Multiplicando por $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$: $W_n^2 \sim
\frac\pi{2n}$, isto é, $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$. Cota inferior: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$, logo $W_n \geq
\sqrt{\pi/(2(n+1))}$ para todo $n$.

**19.** Numerador: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ dá $(1 -
x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ e, com $a =
\frac{n-1}2$,

$$
\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x
= \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}
= \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.
$$

Denominador: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ pela questão 18. Dividindo obtém-se a cota exibida. Para $\delta =
s/\sqrt{n-1}$ ela se torna $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl(
\eu^{-s^2/2}/s\bigr)$, uniformemente em $n$: fora da faixa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ quase não há volume, para $s$ moderadamente grande — e, por simetria, o mesmo vale para toda direção.

**20.** As duas afirmações coexistem porque descrevem coordenadas diferentes do mesmo ponto. Quase todo ponto de $B_n(1)$ tem [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) próxima de $1$ (questão 17: concentração radial perto da esfera) e, no entanto, cada uma de suas $n$ coordenadas é pequena, da ordem de $1/\sqrt n$ (questão 19), o que é coerente, pois $n$ coordenadas de tamanho $1/\sqrt n$ têm [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) da ordem de $1$. O volume em dimensão alta se concentra onde todas as coordenadas repartem igualmente o orçamento de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) — perto da esfera, mas longe de todo polo dos eixos coordenados.

**21.** Fatie $\Delta_n$ em $x_n = t \in \intcc01$: a fatia é $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 -
t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$, de volume $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ por homogeneidade. Assim

$$
\operatorname{vol}(\Delta_n) =
\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t =
\frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n}
\quad\Longrightarrow\quad
\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.
$$

**22.** Os $2^n$ ortantes de sinais recortam $C_n$ em $2^n$ cópias de $\Delta_n$ (com sobreposições desprezíveis nos hiperplanos coordenados): $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$. Se $\sum\abs{x_i} \leq 1$, então $\sum x_i^2 \leq
\bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$: $C_n \subseteq B_n(1)$; e $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ pois $\abs{x_i} \leq
\norm x$. Portanto $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — coerente com a questão 15, que situa $V_n$ entre as escalas fatorial e geométrica.

**23.** Para $(x, y)$ no disco unitário, a fatia de $B_4(1)$ é o disco de raio $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ no plano $(z, w)$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi(1 - x^2 - y^2)$. Em coordenadas polares:

$$
V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y
= \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\,
\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,
$$

em acordo com a questão 6.

**24.** A probabilidade é a razão de volumes $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}}
\approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx
2.5\cdot10^{-8}$. O número de sorteios até o primeiro acerto é da ordem do inverso, cerca de $4\cdot10^7$: um amostrador por rejeição que funcionava lindamente para o disco ($\pi/4$ de acertos) é inútil em dimensão $20$ — a maldição da dimensionalidade em uma linha.

**25.** A primeira via (Partes I–II) usou: fatiamento à Fubini da integral iterada, substituição a uma variável em cada coordenada (homogeneidade) e as [integrais de Wallis](#pb-b2-multint-1) — cálculo a uma variável puro mais indução. A segunda via (Parte III) usou: Fubini para a estrutura de produto de $I_n$, a mudança de variáveis polar através da integral de Gauss do [Exemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar) e a equação funcional da função $\Gamma$. Elas se encontram em $V_n =
\pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, com Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#thm-b2-comparison-stirling)) convertendo a fórmula em assintótica. O volume do terceiro ano de graduação reconstrói tudo isso sobre a integral de Lebesgue: lá Fubini e a mudança de variáveis são teoremas para funções integráveis gerais, as coordenadas esféricas existem em toda dimensão e os mesmos [volumes de bolas](#pb-b2-multint-1) reaparecem como dividendos trabalhados dos problemas de medida-produto e de Stirling — com a convergência dominada substituindo nossos apertos artesanais.