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title: "Funções geradoras de probabilidade"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade
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# Capítulo 23 — Funções geradoras de probabilidade

As séries de potências do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries) voltam com uma missão probabilística: a uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) com valores em $\N$ associamos a série de potências de coeficientes $\P(X = n)$. Essa *[função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci)* converte somas de variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) em produtos, momentos em derivadas em $1$ e identidades combinatórias difíceis em multiplicações de uma linha. O capítulo fecha o livro com duas peças de exibição: a aproximação de Poisson de [eventos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) raros e o critério de extinção para [processos de ramificação](#pb-b2-genfun-1) — um cálculo probabilístico genuinamente infinito resolvido inteiramente pela geometria de uma curva [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex).

## 23.1 Definição e propriedades básicas

**Definição 23.1 (Função geradora de probabilidade).**

Seja $X$ uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) com valores em $\N$, $p_n = \P(X = n)$. A *função geradora de probabilidade* de $X$ é a soma da série de potências

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**Exemplo 23.2 (Primeiros reflexos).**

Uma variável constante $X = c$ tem $G_X(t) = t^c$; um deslocamento obedece a $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; e avaliar em pontos especiais extrai informação sem desenvolvimento algum: $G_X(0) = \P(X
= 0)$, $G_X(1) = 1$ e $G_X(-1) = \P(X\text{ par}) -
\P(X\text{ ímpar})$, o balanço de paridades explorado no [Exercício 23.10](#exo-b2-genfun-10). Essas frases de uma linha são usadas silenciosamente em toda parte abaixo — e a avaliação $G_X(0)$ é exatamente como as probabilidades de extinção serão extraídas de [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) iteradas no fim do capítulo.

**Proposição 23.3 (Raio e primeiras propriedades).**

A série que define $G_X$ tem [raio de convergência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) $\geq 1$; $G_X$ está definida e é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{-1}{1}$, $\mathcal{C}^\infty$ em $\intoo{-1}{1}$, com $G_X(1) = 1$ e $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ali. Além disso, $G_X$ determina a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de $X$:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**Demonstração.** Como $\sum p_n = 1$ converge, os termos $p_n\,1^n$ são limitados, de modo que o raio é $\geq 1$ (lema de Abel, [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)); em $t = \pm1$ a série converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) ($\sum p_n = 1$ a domina); melhor, em todo o intervalo $\intcc{-1}1$,

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{com}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

a série converge *[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series)* em $\intcc{-1}1$, de modo que sua soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ali (Teoremas [10.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-weierstrass) e [10.4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-continuity)). A suavidade no interior e a fórmula dos coeficientes são a teoria geral das séries de potências; sendo os coeficientes recuperáveis, duas variáveis com a mesma [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) têm a mesma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law). ∎

**Exemplo 23.4 (As leis clássicas).**

- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- Binomial $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (teorema binomial).
- Geométrica $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (raio $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (raio $\infty$ ).

**Exemplo 23.5 (Integrando a função geradora).**

As derivadas de $G_X$ em $1$ dão momentos positivos; a *integral* dá um momento negativo. De $\int_0^1t^k\dd t
= \frac1{k+1}$ e da integração termo a termo ([convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em $\intcc01$):

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

recuperando numa linha o cálculo em séries do [Exemplo 22.10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ex-b2-randomvar-transferex). A [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) é um instrumento de mão dupla: derive em $1$ para os momentos $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, integre em $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — um só objeto [analítico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-analytic), consultado na direção de que o problema precisa.

**Exemplo 23.6 (Uma lei de raio exatamente um).**

Seja $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ para $k \geq 1$ — uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de probabilidade pela identidade de Basileia ([Exemplo 14.12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel)). Sua [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tem [raio de convergência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) exatamente $1$: a cota geral “raio $\geq
1$” da [Proposição 23.3](#prop-b2-genfun-radius) não pode ser melhorada. E a média vale

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

$G$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{-1}1$, suave no interior, mas sua derivada explode em $1^-$ — o gráfico chega ao ponto $(1, 1)$ com tangente vertical. As caudas pesadas são visíveis *geometricamente* na [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), no único ponto $t = 1$; o teorema dos momentos abaixo torna essa correspondência exata.

**Teorema 23.7 (Momentos a partir da função geradora).**

$X$ tem [esperança](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) se e somente se $G_X$ é [diferenciável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) em $1^-$ (derivada à esquerda, finita), e então $\E(X) = G_X'(1)$. Do mesmo modo, $X$ tem momento de segunda ordem se e somente se $G_X$ é duas vezes [diferenciável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) em $1^-$, e então

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**Demonstração.** Para $t \in \intoo{0}{1}$, a derivação termo a termo dentro do disco dá $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$, uma série com coeficientes não negativos: $t \mapsto G_X'(t)$ é não decrescente em $\intoo{0}{1}$ e, por convergência monótona das somas parciais (ou pelo teorema de Abel para coeficientes não negativos, [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)),

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

cada membro finito exatamente quando o outro o é. Quando finito, o teorema do valor médio espreme os quocientes de diferenças $\frac{G_X(1) -
G_X(t)}{1 - t}$ entre valores de $G_X'$, de modo que $G_X$ é [diferenciável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) em $1^-$ com $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (por transferência). O enunciado de segunda ordem repete o argumento um nível acima: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ é não decrescente em $\intoo01$ com limite monótono $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$, finito exatamente quando $X$ tem momento de segunda ordem. A fórmula da [variância](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) segue então de König–Huygens:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**Exemplo 23.8.**

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, logo $\E(X) = \lambda$; $G''(1) = \lambda^2$, logo $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — os cálculos do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar) em uma linha cada.

**Exemplo 23.9 (A moda de uma lei de Poisson).**

Onde $\P(X = k)$ é maior para $X \sim \mathcal
P(\lambda)$? Pesos consecutivos se comparam pela razão

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

que excede $1$ enquanto $k < \lambda - 1$ e cai abaixo de $1$ assim que $k > \lambda - 1$: os pesos sobem e depois descem, com moda $\floor\lambda$ (e um empate entre $\lambda - 1$ e $\lambda$ quando $\lambda$ é inteiro: para $\lambda = 3$, $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). Testes de razão sobre os coeficientes são muitas vezes a via mais rápida para fatos qualitativos sobre uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) discreta — sem precisar de [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), mas os coeficientes *são* a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), lida termo a termo.

## 23.2 Somas de variáveis independentes

**Teorema 23.10 (Multiplicatividade).**

Se $X$ e $Y$ são [variáveis aleatórias](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) com valores em $\N$, então

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

e, por indução, $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ para $X_1, \dots, X_n$ [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence).

**Demonstração.** Duas demonstrações, ambas instrutivas. *Via [esperanças](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation):* $t^X$ e $t^Y$ são variáveis limitadas [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence), de modo que ([Teorema 22.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*Via [produtos de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini):* a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de $X + Y$ é a convolução $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$, e o teorema do [produto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini) para séries [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) convergentes ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series)) multiplica as duas séries de potências exatamente ao longo dessa convolução. ∎

**Exemplo 23.11 (Estabilidade das leis clássicas).**

Binomiais [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) com o mesmo $p$ se somam: $(1 - p + pt)^m(1 -
p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, logo $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — em particular, uma soma de $n$ variáveis de Bernoulli [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) é binomial, redemonstrando a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) do número de sucessos. Poissons [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) se somam: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$, logo $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda +
\mu)$ — o cálculo de convolução do [Exercício 22.2](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#exo-b2-randomvar-2), agora sem cálculo algum.

**Exemplo 23.12 (Dois dados, um polinômio ao quadrado).**

Para um dado honesto, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$; para a soma de dois,

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) triangular das somas de dados ($7$ é a moda, com probabilidade $\frac6{36} = \frac16$), lida num quadrado de polinômio que se multiplica uma vez na vida. A fórmula de convolução teria exigido onze argumentos de contagem separados; a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) os faz todos simultaneamente, porque multiplicar polinômios *é* convoluir coeficientes. Essa tradução mecânica — [leis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) em coeficientes, somas em produtos — é todo o modelo de negócios do capítulo, e o [Exercício 23.11](#exo-b2-genfun-11) o leva até os surpreendentes dados de Sicherman.

**Exemplo 23.13 (Três dados e uma extração de coeficiente).**

Para a soma $S$ de três dados honestos, $\P(S = 10)$ é o coeficiente de $t^{10}$ em $\bigl(\frac{t + \dots +
t^6}6\bigr)^3$. Fatore e desenvolva com as séries binomial e geométrica:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

O coeficiente de $t^{10}$ exige $t^7$ do produto: $j = 7$ com o termo $1$, e $j = 1$ com o termo $-3t^6$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

A enumeração direta das $27$ triplas é propensa a erros; a álgebra é mecânica e escala para qualquer número de dados — a inclusão–exclusão visível em $(1 - t^6)^3$ faz a análise de casos automaticamente.

**Exemplo 23.14 (Lendo uma lei em sua função geradora).**

Que [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) tem $G(t) = \dfrac1{2 - t}$? Desenvolva em série de potências:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

coeficientes não negativos de soma $G(1) = 1$, de modo que essa é uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) genuína, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ em $\N$ — uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica começando em $0$. Por unicidade ([Proposição 23.3](#prop-b2-genfun-radius)), nenhuma outra [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) compartilha essa $G$. Reconhecer [leis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) a partir de suas [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) é uma habilidade que vale treinar: é assim que o iterado crítico de ramificação $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ do problema de fim de semana é desmascarado como uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica condicionada à sobrevivência.

**Observação 23.15.**

A estabilidade vale num sentido só: somas de Poissons [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) são Poisson, mas diferenças não são — $X - Y$ assume valores negativos, de modo que não tem [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) alguma, e sua [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) (a [distribuição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Skellam) fica fora do instrumental deste capítulo. Do mesmo modo, $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ com $p \neq p'$ *não* é binomial: o produto $(1 - p +
pt)^m(1 - p' + p't)^n$ tem duas localizações de raiz distintas, ao passo que toda [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) binomial tem uma única raiz repetida. Ler a estabilidade nos padrões de raízes é uma pequena antevisão de quanta estrutura o polinômio codifica.

**Observação 23.16 (O filtro das raízes da unidade).**

Avaliar em $-1$ separa pares de ímpares; avaliar em todas as raízes $m$-ésimas da unidade separa cada classe de resto: com $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$,

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

pois a média de $\omega^{j(k-r)}$ sobre $j$ dá $1$ se $k
\equiv r$ e $0$ caso contrário. Dividendo de amostra: para a soma $S$ de dois dados honestos, cada $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ para $j \neq 0$ (as sete raízes sétimas da unidade somam zero), logo

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

confirmando a contagem do [Exemplo 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) — e o método escala para questões em que a contagem direta não escala.

**Teorema 23.17 (Somas aleatórias: identidade de Wald para funções geradoras).**

Sejam $(X_k)_{k\geq1}$ variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) com valores em $\N$, de mesma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) e [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, e seja $N$ uma variável com valores em $\N$ [independente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) das $X_k$, de [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$. Então a soma aleatória $S = X_1 + \dots + X_N$ (com $S = 0$ quando $N = 0$) tem [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

Em particular, se $N$ e $X_1$ têm [esperança](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation), $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$.

**Demonstração.** Condicione a $N$ (probabilidade total, [Teorema 21.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#thm-b2-proba-bayes)): para $\abs t \leq 1$,

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

usando a multiplicatividade para cada $n$ fixo e a [somabilidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) de toda a família dupla ($\abs{G_X(t)} \leq 1$). A troca de somas é Fubini para [famílias somáveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series)). Derivando em $1^-$ pela regra da cadeia e [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments): $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1)
= G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**Exemplo 23.18 (Poisson composta: perdas anuais de seguro).**

Uma seguradora recebe $N \sim \mathcal P(\lambda)$ sinistros num ano, custando cada sinistro $X_k$ (unidades inteiras, i.i.d., com [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, média $\mu$, independentes de $N$). Pelo [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), a perda total $S$ tem

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

e, derivando duas vezes em $1^-$:

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

A [variância](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) envolve o *segundo* momento de um único sinistro, não sua [variância](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance): uma soma de Poisson composta sente o sinistro grande ocasional duas vezes — uma pelo quantos, outra pelo quão grande. Para $\lambda = 10$ sinistros de [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica de média $2$ ($\E X^2 = 6$): $\E S = 20$, $V(S) = 60$, e Chebyshev ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)) já fornece margens de solvência utilizáveis. Esse padrão de “soma parada aleatoriamente” é o mesmo que moverá a recursão de ramificação do [Proposição 23.23](#prop-b2-genfun-branching): a composição de [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) é a [álgebra](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) das populações aleatórias.

**Observação 23.19.**

A [independência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) de $N$ em relação às parcelas não é decorativa. Tome $X_k \in \{0, 2\}$ com probabilidades iguais e ponha $N =
X_1$ (flagrantemente dependente): então $S = X_1 + \dots + X_N$ vale $0$ quando $X_1 = 0$, e $2 + X_2$ quando $X_1 = 2$, de modo que $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$, enquanto $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 =
1$: a identidade de Wald falha. Quando o número de parcelas pode *reagir* às próprias parcelas, a estrutura limpa de produto desmorona — a teoria completa dessas regras de “parada” é o capítulo de martingais do volume do terceiro ano de graduação.

## 23.3 Aproximação de Poisson

**Teorema 23.20 (Lei dos eventos raros).**

Seja $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ com $n\,p_n \to \lambda > 0$. Então, para todo $k \in \N$:

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) binomial de muitos [eventos independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) raros converge à [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Poisson de parâmetro $\lambda$.

**Demonstração.** Cálculo direto com $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n
\to \lambda$:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

Quando $n \to \infty$ com $k$ fixo: o primeiro fator tende a $1$ (produto de $k$ fatores $\to 1$); $\lambda_n^k \to \lambda^k$; e $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to
e^{-\lambda}$ pois $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)
\sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ch-b2-comparison)). Alternativamente, no nível das [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci): $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ para cada $t \in [0, 1]$ fixo — convergência de [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) que (para variáveis com valores em $\N$) é equivalente à convergência de cada $\P(X_n = k)$; veja o [Exercício 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**Observação 23.21.**

É por isso que as [leis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Poisson modelam contagens de [eventos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) raros — erros de digitação por página, decaimentos radioativos por segundo, acidentes por dia num cruzamento: cada oportunidade é quase desprezível, as oportunidades são muitas, e só a taxa média $\lambda$ sobrevive no limite.

**Exemplo 23.22 (Vendo o limite de Poisson convergir).**

Fixe $\lambda = 2$ e faça $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. A probabilidade de nenhum [evento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) é exatamente $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

contra o limite $\eu^{-2} \approx 0.135$. A convergência é monótona e de velocidade $O(1/n)$ — desenvolvendo, $(1 -
2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — de modo que, para $n$ na casa das centenas, o modelo de Poisson já é preciso até o terceiro dígito. Esse é o conteúdo prático da lei dos eventos raros: quem modela nunca conhece $n$ e $p$ separadamente (quantas micro-oportunidades de erro de digitação uma página contém?), mas apenas seu produto $\lambda$, e a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) limite misericordiosamente não depende de mais nada.

## 23.4 Processos de ramificação

Considere uma população que parte de um único ancestral; cada indivíduo, independentemente, tem um número aleatório de filhos com [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k
\in \N}$ e [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (a *[distribuição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência*). Seja $Z_n$ o tamanho da geração $n$ ($Z_0 =
1$), e seja $m = G'(1) = \E(Z_1)$ o número médio de filhos.

**Proposição 23.23.**

A [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de $Z_n$ é o $n$-ésimo iterado $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ($n$ vezes), e as probabilidades de extinção $q_n = \P(Z_n = 0)$ satisfazem

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

e crescem para a probabilidade $q$ de extinção eventual, que é um ponto fixo de $G$.

**Demonstração.** A geração $n + 1$ é a soma aleatória da descendência dos $Z_n$ membros da geração $n$, com contagens [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) entre si e de $Z_n$: o [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) dá $G_{Z_{n+1}} =
G_{Z_n} \circ G$, e a indução a partir de $G_{Z_0}(t) = t$ dá o iterado $n$ vezes — que, pela associatividade da composição, pode igualmente ser lido como $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$. Avaliando essa segunda forma em $0$: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. Os [eventos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ crescem (populações extintas permanecem extintas), de modo que $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona ([Teorema 21.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#thm-b2-proba-continuity)), e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $G$ em $[0, 1]$ transforma $q_{n+1} = G(q_n)$ em $q =
G(q)$ no limite. ∎

**Exemplo 23.24 (Vendo a extinção convergir).**

Para a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ de [Exemplo 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample), $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ e a iteração $q_{n+1} = G(q_n)$ dá

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

subindo rumo à probabilidade de extinção $q = \tfrac12$. As diferenças $q - q_n$ valem $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$: cada uma é aproximadamente $\tfrac34$ da anterior e, de fato, o teorema do valor médio dá $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q
- q_n)$ com $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$. Duas morais: uma linhagem ainda viva na geração $n$ tem, embutida no mesmo cálculo, probabilidade $q - q_n$ de estar condenada mais tarde; e a taxa de convergência da escada da figura abaixo é a derivada no ponto fixo — o problema de fim de semana transforma ambas as observações em teoremas.

**Teorema 23.25 (Critério de extinção).**

Suponha $p_1 \neq 1$. A probabilidade de extinção $q$ é o *menor* ponto fixo de $G$ em $\intcc{0}{1}$, e:

- se $m \leq 1$ (subcrítico ou crítico), $q = 1$ : a extinção é certa;
- se $m > 1$ (supercrítico), $q < 1$ : a população sobrevive para sempre com probabilidade positiva $1 - q$ .

**Demonstração.** $G$ é [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex) em $\intcc{0}{1}$ (série de potências com coeficientes não negativos: $G'' \geq 0$), não decrescente, com $G(1) = 1$.

*Menor ponto fixo:* seja $r \in \intcc{0}{1}$ um ponto fixo qualquer. Então $q_0 = 0 \leq r$ e, indutivamente, $q_{n+1} = G(q_n)
\leq G(r) = r$ (monotonia): logo $q = \lim q_n \leq r$.

*Caso $m \leq 1$:* suponha que $r < 1$ seja um ponto fixo. Pelo teorema do valor médio em $[r, 1]$, existe $c \in \intoo{r}{1}$ com $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$. Mas $G'$ é não decrescente (convexidade) com $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$, logo $G' \leq 1$ em $\intoo{0}{1}$; a igualdade $G'(c) =
1$ força então $G'$ a ser constante igual a $1$ em $\intco{c}{1}$, portanto $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ ali. Uma série de potências com coeficientes não negativos que se anula num intervalo tem todos esses coeficientes nulos: $p_n = 0$ para $n \geq 2$, de modo que $G(t) = p_0
+ p_1t$ e $1 = G'(c) = p_1$ — contradizendo a hipótese $p_1 \neq 1$. Assim, $1$ é o único ponto fixo: $q = 1$.

*Caso $m > 1$:* perto de $1$, $G(t) - t$ tem derivada $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ quando $t \to 1^-$, logo $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ em algum intervalo $\intoo{1 - \delta}{1}$: a função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $G(t) - t$ vale $\geq 0$ em $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) e é $< 0$ logo abaixo de $1$, de modo que ela se anula em algum $r < 1$ (teorema do valor intermediário). O menor ponto fixo é então $q \leq r < 1$. ∎

![Probabilidades de extinção como iteração de ponto fixo q_n+1 = G(q_n) começando em q_0 = 0 (escada vermelha). À esquerda: uma lei de descendência subcrítica — a curva convexa fica acima da diagonal, e a iteração sobe até o ponto fixo único 1. À direita: uma lei supercrítica — a curva cruza a diagonal em q < 1, onde a iteração para: a sobrevivência tem probabilidade 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![Probabilidades de extinção como iteração de ponto fixo q_n+1 = G(q_n) começando em q_0 = 0 (escada vermelha). À esquerda: uma lei de descendência subcrítica — a curva convexa fica acima da diagonal, e a iteração sobe até o ponto fixo único 1. À direita: uma lei supercrítica — a curva cruza a diagonal em q < 1, onde a iteração para: a sobrevivência tem probabilidade 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***Figura 23.1.** Probabilidades de extinção como iteração de ponto fixo $q_{n+1} = G(q_n)$ começando em $q_0 = 0$ (escada vermelha). À esquerda: uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência subcrítica — a curva [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex) fica acima da diagonal, e a iteração sobe até o ponto fixo único $1$. À direita: uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) supercrítica — a curva cruza a diagonal em $q < 1$, onde a iteração para: a sobrevivência tem probabilidade $1 -
q > 0$.*

**Observação 23.26 (Como ler o diagrama de teia).**

Na figura, um movimento vertical aplica $G$ (de $(q_n, q_n)$ até $(q_n, G(q_n))$), e um movimento horizontal até a diagonal converte saída em entrada: a escada *é* a recursão $q_{n+1} = G(q_n)$. A convexidade de $G$ e $G(1) = 1$ deixam apenas duas geometrias. Ou a curva fica acima da diagonal em $\intco01$ (média $m \leq 1$): a escada não tem onde parar antes de $1$. Ou a curva cruza em algum $q <
1$ ($m > 1$): a escada fica presa abaixo do cruzamento e converge para ele, à taxa geométrica $G'(q) < 1$ quantificada no [Exemplo 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics). Toda a análise do teorema de extinção é visível nessa única imagem — e é por isso que vale a pena desenhá-la antes de calcular.

**Exemplo 23.27.**

[Lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência: nenhum filho, um filho, dois filhos com probabilidades $\frac14, \frac14, \frac12$. Então $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ e $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. Pontos fixos: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, isto é, $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$. A linhagem se extingue com probabilidade $\frac12$ — e com probabilidade $\frac12$ ela vive para sempre.

**Observação 23.28 (Perspectivas dentro deste volume).**

O capítulo é o entroncamento do livro, e cada ingrediente chegou de um lugar com nome: a [álgebra](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) de séries do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series) e do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries), a probabilidade do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#ch-b2-proba) (a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona demonstra $q_n \uparrow q$) e do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar) ($G_X =
\E(t^X)$ é uma [esperança](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation), a multiplicatividade é o teorema do produto), a convexidade do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun) via o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#ch-b2-affine). Até as patologias de cauda pesada se conectam: a variável de São Petersburgo do capítulo anterior tem $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$, uma série perfeitamente convergente em $\intcc01$ cuja derivada em $1^-$ diverge — média infinita, visível num relance. Um só objeto, todas as ferramentas do ano: um último capítulo à altura.

**Observação 23.29 (Armadilhas comuns).**

(i) As [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) se aplicam apenas a variáveis com valores em $\N$: para variáveis com sinal ou não inteiras, o objeto $\E(t^X)$ perde sua estrutura de série de potências (o terceiro ano o substitui por transformadas adaptadas a $\R$). (ii) A primeira verificação de bom senso de qualquer $G$ calculada é $G(1) = 1$; a segunda é que os coeficientes sejam não negativos — um coeficiente negativo significa um deslize algébrico, não uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) nova. (iii) Em somas aleatórias, a ordem da composição importa: $G_S = G_N \circ G_X$, sendo a função *externa* a que conta as parcelas; compor na outra ordem não faz sentido ($G_X \circ G_N$ contaria itens de itens). (iv) A multiplicatividade exige [independência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) e fontes distintas de aleatoriedade: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$, e não $G_X(t)^2$. (v) Derivar em $1$ é uma operação de bordo: quando o raio é exatamente $1$, como no [Exemplo 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail), $G'(1^-)$ pode ser infinita, e a formulação por limite monótono do teorema dos momentos não é um preciosismo pedante, mas o enunciado honesto.

## Encerrando o volume

A [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) é um objeto final à altura deste livro: ela é simultaneamente uma série de potências ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), uma ferramenta de [famílias somáveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series)), uma [esperança](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)), uma função [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex) cuja geometria decide a extinção ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun)) e uma iteração de ponto fixo ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric)). A matemática do segundo ano é um só assunto. O volume do terceiro ano de graduação abrirá as portas deliberadamente deixadas fechadas aqui: a integração de Lebesgue (quitando o teorema da convergência dominada do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration)), a probabilidade em espaços não [enumeráveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) à luz da teoria da medida e a demonstração completa do teorema da função inversa ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)) no contexto da geometria diferencial.

## 23.5 Exercícios

**Exercício 23.1 ★.**

Calcule a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) da [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) uniforme em $\{1, 2,
\dots, 6\}$ (um dado honesto). Mostre que a soma de dois dados honestos *não* pode ser uniforme em $\{2, \dots, 12\}$: fatore $G_{X+Y}$ e conte raízes. *(Uma soma uniforme forçaria $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$, cujas raízes não nulas são as raízes $11$-ésimas da unidade distintas de $1$ — nenhuma delas real — enquanto $G_X/t$ e $G_Y/t$ são polinômios reais de grau $5$, cada um com ao menos uma raiz real.)*

**Solução de Exercício 23.1.**

Dado honesto: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t
+ \dots + t^5)$. Se a soma de dois dados honestos fosse uniforme em $\{2, \dots, 12\}$, então

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

Ora, $h$ é um polinômio real de grau ímpar $5$, de modo que tem raiz real (teorema do valor intermediário; concretamente $h(-1) = 0$), donde $h^2$ tem uma raiz real. Mas $\sum_{k=0}^{10}t^k$ não tem nenhuma: ele é positivo para $t \geq 0$ e, para $t < 0$, vale $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$, um quociente de dois números negativos. Contradição — a soma de dois dados honestos nunca é uniforme (como confirma a familiar [distribuição](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) triangular das somas de dados).

**Exercício 23.2 ★.**

Usando [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), recupere $\E$ e $V$ para as [leis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) binomial e geométrica ([Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**Solução de Exercício 23.2.**

*Binomial:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, logo

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*Geométrica* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, logo $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ e $G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$; em $t = 1$ (usando $1 - q = p$):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

coincidindo com o [Exercício 22.1](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#exo-b2-randomvar-1) com menos trabalho.

**Exercício 23.3 ★.**

Dois dados viciados: é possível viciar dois dados (independentemente, de modo idêntico ou não) para que sua soma seja uniforme em $\{2, \dots,
12\}$? *(A mesma obstrução por fatoração do [Exercício 23.1](#exo-b2-genfun-1): a resposta é não mesmo com viciamentos diferentes, pois cada fator $G_X(t)/t$ tem grau ímpar $5$, logo uma raiz real, enquanto o alvo não tem nenhuma.)*

**Solução de Exercício 23.3.**

Não, nem mesmo com viciamentos diferentes. Suponha que $X, Y$ sejam [leis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) em $\{1, \dots, 6\}$ de soma uniforme. Então $G_X(t) = t\,a(t)$ e $G_Y(t) = t\,b(t)$ com $a, b$ polinômios reais de grau *no máximo* $5$ — e seus graus devem somar $10$ (a soma atinge $12$ com probabilidade positiva), logo $\deg a = \deg b = 5$, ambos ímpares. Como no [Exercício 23.1](#exo-b2-genfun-1),

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

forçaria uma raiz real à esquerda (todo polinômio real de grau ímpar tem uma) e nenhuma à direita. Assim, nenhum viciamento de dois dados [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) — iguais ou não — produz soma uniforme.

**Exercício 23.4 ★★.**

Sejam $X_1, X_2, \dots$ variáveis de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) e $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ [independente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) delas. Mostre, via o [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), que $S = X_1 + \dots + X_N
\sim \mathcal{P}(\lambda p)$: um número de Poisson de itens, cada um mantido com probabilidade $p$, deixa um número de Poisson — o *afinamento*. Calcule também a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) da contagem descartada e admire: ela é $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$, e pode-se mostrar que é independente de $S$.

**Solução de Exercício 23.4.**

Pelo [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) com $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ e $G_X(t) = 1 - p + pt$:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. A contagem descartada $D = N - S$ conta os mesmos itens mantidos com probabilidade $1 - p$, de modo que, pelo mesmo cálculo, $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. [Independência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence), diretamente: para $j, k \in \N$,

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

com $q = 1 - p$: a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) conjunta se fatora como $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. Um fluxo de Poisson dividido ao acaso dá fluxos de Poisson *[independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence)* — um pequeno milagre constantemente usado na teoria das filas.

**Exercício 23.5 ★★.**

(Binomial negativa) Seja $T_r$ o número de lançamentos para obter $r$ caras (probabilidade de cara $p$). Escreva $T_r$ como soma de $r$ variáveis geométricas [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence), deduza

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

e desenvolva $G_{T_r}$ para achar $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$.

**Solução de Exercício 23.5.**

Os tempos de espera entre caras consecutivas são variáveis geométricas $\mathcal{G}(p)$ [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence) (ausência de memória: após cada cara o jogo recomeça), de modo que $T_r = W_1 + \dots + W_r$ e a multiplicatividade ([Teorema 23.10](#thm-b2-genfun-product)) dá

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$; as [variâncias](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) se somam por [independência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence)). Desenvolvimento: pela série binomial generalizada ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, de modo que o coeficiente de $t^n$ em $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ é (com $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) *binomial negativa* — combinatoriamente: a $r$-ésima cara cai no lançamento $n$ se e somente se as $r - 1$ caras anteriores escolhem seus lugares entre os $n - 1$ primeiros lançamentos.

**Exercício 23.6 ★★.**

Para a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência $p_0 = \frac18$, $p_1 = \frac38$, $p_2 =
\frac38$, $p_3 = \frac18$: calcule $m$, decida a supercriticalidade e calcule exatamente a probabilidade de extinção $q$. *(Fatore a raiz $t = 1$ de $G(t) - t$.)*

**Solução de Exercício 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: supercrítico. A [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) é

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

de modo que os pontos fixos resolvem $(1 + t)^3 = 8t$, isto é, $t^3 + 3t^2 - 5t + 1
= 0$. Fatorando a raiz garantida $t = 1$:

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

e $t^2 + 4t - 1 = 0$ dá $t = -2 \pm \sqrt5$. A raiz em $\intco{0}{1}$ é $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$: pelo [Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction),

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(Uma verificação agradável: a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência é a de $3$ moedas honestas [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence), $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$.)

**Exercício 23.7 ★★★.**

(Prole total) Num [processo de ramificação](#pb-b2-genfun-1) subcrítico ($m < 1$), seja $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ o número total de indivíduos jamais nascidos. Mostre que $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justifique a troca de somas) e demonstre que a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ satisfaz a equação funcional $H(t) = t\,G(H(t))$. *(O ancestral, mais as proles totais de cada um de seus filhos, que são cópias independentes de $Y$.)*

**Solução de Exercício 23.7.**

*[Esperança](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation).* Primeiro $\E(Z_n) = m^n$: pelo [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, e $\E(Z_0) = 1$. A família $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ é não negativa, de modo que Fubini para famílias se aplica sem condições:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(em particular, $Y$ é quase certamente finita: coerente com a extinção certa no caso subcrítico).

*Equação funcional.* Decomponha a população pelos filhos do ancestral: se o ancestral tem $Z_1 = k$ filhos, a prole total é $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$, em que $Y_i$ é a prole total da linhagem do $i$-ésimo filho — e as $Y_i$ são cópias independentes de $Y$, independentes de $Z_1$ (linhagens distintas usam [eventos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) de reprodução disjuntos e [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence)). Condicionando a $Z_1$ como no [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound):

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

com o fator $t$ contabilizando o próprio ancestral. (Para a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ da ramificação binária, essa equação quadrática em $H$ pode ser resolvida explicitamente e desenvolvida — os [números de Catalan](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan) do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries) contam as árvores genealógicas.)

**Exercício 23.8 ★★★.**

Seja $X$ com [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ de [raio de convergência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) $>
1$. Demonstre a *cota exponencial de cauda*: existem $C > 0$ e $\rho \in \intoo{0}{1}$ com $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(Markov aplicado a $t^X$ para um $t > 1$ fixo dentro do disco.)* Reciprocamente, mostre que, se $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ com $\rho < 1$, o raio de $G$ é $\geq 1/\rho > 1$.

**Solução de Exercício 23.8.**

Seja $R > 1$ o raio e fixe $t \in \intoo{1}{R}$. Então $\E(t^X) = G(t) < \infty$, e a desigualdade de Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-markov)) aplicada à variável não negativa $t^X$ no nível $t^n$:

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*Recíproca:* se $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, então $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, de modo que, para $\abs t < \frac1\rho$, a série $\sum p_n\abs t^n$ é dominada pela série geométrica convergente $C\sum(\rho\abs t)^n$: o raio é ao menos $\frac1\rho > 1$. O raio da [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) e o decaimento geométrico da cauda são duas faces da mesma propriedade.

**Exercício 23.9 ★★★.**

(Teorema de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), caso elementar) Sejam $X, X_1, X_2, \dots$ variáveis com valores em $\N$ tais que $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ para todo $t \in
\intco{0}{1}$. Mostre que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ para todo $k$. *(Indução em $k$: para $k = 0$ tome $t \to 0$ — com cuidado: fixe $t$ pequeno, use $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$, válido pois a cauda $\sum_{j \geq 1}p_jt^j
\leq \frac{t}{1 - t}$; depois diagonalize. Para o passo de indução, considere $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$, a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) deslocada.)*

**Solução de Exercício 23.9.**

Escreva $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$, $p_k = \P(X = k)$.

*Caso $k = 0$.* Para $t \in \intoo{0}{1}$ e qualquer [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ com $\sum_j q_j \leq 1$:

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

Portanto

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

Dado $\varepsilon > 0$, escolha $t$ com $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$ e depois $n_0$ tal que o último termo seja $<
\frac\varepsilon2$ para $n \geq n_0$: logo $p_0^{(n)} \to p_0$.

*Passo de indução.* Suponha $p_j^{(n)} \to p_j$ para $j < k$. Considere as funções *deslocadas*

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

[funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) das sequências de subprobabilidade $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (massa total $\leq 1$, que é tudo o que o argumento de $k = 0$ usou). Para $t \in \intoo{0}{1}$ fixo, $g_n(t)
\to g(t)$ por hipótese e pelo caso $k = 0$. Aplicar o argumento de $k =
0$ a $g_n$ dá $p_1^{(n)} \to p_1$; iterar o deslocamento $k$ vezes dá $p_k^{(n)} \to p_k$ para todo $k$. (Essa é a instância discreta e elementar do teorema da [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de Lévy, cuja forma geral — para funções características — é um marco do terceiro ano.)

**Exercício 23.10 ★.**

(Truque da paridade) Mostre que, para uma variável $X$ com valores em $\N$,

$$
\P(X \text{ par}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

e calcule essa probabilidade para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ e $X \sim \mathcal B(n, p)$. O que significa $G_X(-1) \to 0$ probabilisticamente?

**Solução de Exercício 23.10.**

[Pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def), $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ vale $1$ quando $X$ é par e $0$ quando é ímpar, de modo que, tomando [esperanças](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) (transferência),

$$
\P(X \text{ par}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ quando $\lambda$ cresce. Binomial: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. Nos dois casos, $G_X(-1) \to 0$ diz que a paridade de $X$ se torna uma moeda honesta: a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) se espalha por muitos inteiros e esquece sua paridade.

**Exercício 23.11 ★★.**

(Dados de Sicherman) Verifique a fatoração da [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) do dado honesto

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

e mostre que os dois dados de faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ e $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ têm [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ e $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$, cujo produto é o de dois dados padrão: esses dados exóticos produzem todo total $2,
\dots, 12$ com exatamente as probabilidades padrão.

**Solução de Exercício 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ e $1 - t^6 =
(1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, o que dá a fatoração anunciada. Para o primeiro dado, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 +
2t + 2t^2 + t^3$, logo $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t +
2t^2 + 2t^3 + t^4}6$: faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. Para o segundo, desenvolvendo

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

logo $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4
+ t^5 + t^6 + t^8}6$: faces $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. O produto das duas [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) reagrupa os seis fatores em $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6
\bigr)^2$, o quadrado da função do dado padrão: o par de Sicherman tem exatamente a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) padrão para o total — as [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) classificam todos esses reagrupamentos.

**Exercício 23.12 ★★★.**

(Esperando duas caras seguidas) Uma moeda com probabilidade de cara $p$ é lançada até aparecerem duas caras consecutivas; seja $T$ o número de lançamentos (o jogo do [Exercício 21.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#exo-b2-proba-6)). Condicionando aos primeiros lançamentos, deduza um sistema linear para as [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) a partir dos estados “nenhuma cara corrente” e “uma cara corrente”, e conclua que

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

verifique $G_T(1) = 1$ e $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ($= 6$ para uma moeda honesta).

**Solução de Exercício 23.12.**

Sejam $A$ e $B$ as [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) da duração restante a partir de “nenhuma cara corrente” e de “uma cara corrente”. Gasta-se um lançamento e então: do estado $0$, coroa retorna ao estado $0$ e cara move ao estado $1$; do estado $1$, cara encerra o jogo e coroa retorna ao estado $0$:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

Substituindo: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, logo

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

Em $t = 1$ o denominador vale $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$: $G_T(1) = 1$, o jogo termina quase certamente (como o [Exercício 21.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#exo-b2-proba-6) mostrou por recursão). Derivação logarítmica em $1$: $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ com $D(t) = 1 - qt - pqt^2$, $D'(1) = -q - 2pq$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

que vale $6$ para $p = \frac12$.

## 23.6 Problema: o processo de Galton–Watson, resolvido

**Problema 23.1.**

Problema de fim de semana — taxas de crescimento, soluções exatas, prole total e a estimativa crítica de Kolmogorov

O critério de extinção ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) separa os [processos de ramificação](#pb-b2-genfun-1) em subcríticos, críticos e supercríticos — mas nada diz sobre *taxas*: quão rápido morre uma linhagem condenada, quão grande cresce uma sobrevivente. Este problema as calcula. Mantemos a notação do capítulo: [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência $(p_k)$ com [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$, média $m = G'(1)$, tamanhos de geração $Z_n$ ($Z_0 = 1$), iterados $G_n = G_{Z_n}$, probabilidades de extinção $q_n = \P(Z_n = 0)
\uparrow q$; supomos sempre $p_1 \neq 1$ e, onde aparecem momentos de segunda ordem, $G''(1) < \infty$, e escrevemos $\sigma^2 =
V(Z_1)$.

**Parte I — Momentos das gerações.**

1. Mostre que $\E(Z_n) = m^n$ *(regra da cadeia em $G_n = G  \circ G_{n-1}$ em $1^-$, usando $G_{n-1}(1) = 1$ e [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. Estabeleça a recursão $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ e resolva-a: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ para $m \neq 1$ , e $G_n''(1) = n\,G''(1)$ para $m =  1$ .
3. Deduza $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (Taxa subcrítica, cota superior) Para $m < 1$ , mostre que $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(Markov na variável $Z_n$ com valores inteiros)* : a extinção é certa com uma taxa geométrica — um refinamento quantitativo do critério do capítulo.
5. (Taxa subcrítica, cota inferior) Usando Cauchy–Schwarz em $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$, mostre que $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{com}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ a taxa geométrica $m^n$ é exata a menos de constantes.

**Parte II — A família geométrica, resolvida exatamente.** Seja a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência geométrica em $\N$: $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$), com $0 < p < 1$, $q = 1 - p$.

6. Calcule $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ e $m = \dfrac  pq$ ; localize os três regimes em termos de $p$ .
7. Resolva $G(t) = t$ : mostre que os pontos fixos são $1$ e $q/p = 1/m$ , e recupere a probabilidade de extinção $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
8. Demonstre por indução as formas fechadas $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. Deduza as taxas exatas: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ no caso subcrítico, e $q_{\mathrm{ext}} - q_n  \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ no caso supercrítico; verifique que a razão de contração supercrítica é $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
10. Caso crítico ( $p = \tfrac12$ ): calcule $\sigma^2 =  2$ e note que $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : a sobrevivência decai como $\frac1n$ — nem geométrica nem [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) .
11. Ainda no caso crítico: demonstre por indução o iterado [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ e deduza que, condicionado à sobrevivência, $Z_n$ é geométrico em $\N^*$ de parâmetro $\frac1{n+1}$: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ A linhagem média morre, mas as linhagens sobreviventes têm tamanho da ordem de $n$.

**Parte III — Prole total.** Seja $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ o número total de indivíduos jamais nascidos, e $H(t) =
\sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$.

12. Justifique $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ e recorde do [Exercício 23.7](#exo-b2-genfun-7) a equação funcional $H(t) = t\,G(H(t))$ (cuja dedução não usou $m < 1$ ).
13. (Ramificação binária) Para $p_0 = p_2 = \frac12$ (crítico), resolva a equação funcional: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ e desenvolva com [Exemplo 11.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan) para obter $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ confira os valores $\P(Y = 1) = \frac12$ e $\P(Y = 3)  = \frac18$ por contagem direta.
14. Derivando a equação funcional em $1^-$ , mostre que $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ para $m < 1$ , enquanto a criticalidade força $\E(Y) = \infty$ : a prole total crítica é finita quase certamente com média infinita.
15. Com a assintótica do binomial central ([Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial)), mostre que $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ uma cauda pesada em $k^{-3/2}$, e deduza $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (cotas superior e inferior dessa ordem bastam).
16. Compare com o [passeio aleatório](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#pb-b2-proba-1) honesto (o problema de fim de semana do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#ch-b2-proba) ): lá tempos de retorno certos mas de média infinita, aqui prole total certa mas de média infinita, ambos com leis locais em $n^{-3/2}$ . Um parágrafo sobre por que a criticalidade produz essa assinatura.

**Parte IV — A estimativa de Kolmogorov na criticalidade.** Suponha $m = 1$, $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$.

17. Mostre que $G''$ se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) a $\intcc01$ *(não negativa, crescente e com limite finito)* e deduza o desenvolvimento de Taylor em $1$: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. Para $t \in \intco01$, ponha $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$. Mostre que $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. Telescope ao longo da iteração $q_{j+1} = G(q_j)$: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ e conclua, com um argumento de Cesàro, que $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — a *estimativa de Kolmogorov*: todo [processo de ramificação](#pb-b2-genfun-1) crítico morre à taxa universal $1/n$, com apenas a constante lembrando a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência.
20. Confira a estimativa contra o caso geométrico crítico da questão 10.
21. Deduza $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(note que $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* e confira-a contra a questão 11: condicionada à sobrevivência, a população cresce *linearmente* — a corda bamba crítica entre a morte e a explosão.

**Parte V — Aplicações e síntese.**

22. (Epidemias, reações em cadeia) Para uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ — cada caso infecta $\mathcal P(\lambda)$ novos casos — escreva a equação de extinção $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ e resolva-a numericamente para $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) e $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): partindo de um único caso, um surto grande *não* é certo nem mesmo quando $\lambda > 1$ . Explique por que a iteração $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ a partir de $q_0 = 0$ converge para a raiz certa.
23. Partindo de $k$ ancestrais em vez de um, mostre que a probabilidade de extinção é $q^k$ . Aplicação: com $\lambda = 1.5$ , quantos casos iniciais tornam um surto ao menos $99\%$ provável?
24. (Condicionando um processo supercrítico à extinção) Para $m > 1$ com probabilidade de extinção $q \in  \intoo01$ : demonstre primeiro, por convexidade, que $G'(q) < 1$ no menor ponto fixo, e deduza $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergência geométrica, como exemplificou a questão 9). Mostre então que $\widehat G(t) = G(qt)/q$ é a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de uma [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência legítima, de média $\widehat m =  G'(q) < 1$ : um processo companheiro subcrítico. Verifique na família geométrica: condicionar o processo supercrítico em $(p, q)$ à extinção troca $p$ e $q$ . (O enunciado completo — o processo condicionado *é* o processo companheiro — é demonstrado no volume do terceiro ano de graduação; aqui você verificou sua sombra em [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) .)
25. Síntese: monte a tabela da tricotomia — para $m <  1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : valor de $q$ ; taxa de $\P(Z_n >  0)$ ou de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; tamanho de uma geração sobrevivente. Enuncie, em uma frase por ferramenta, como a composição de [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) , a convexidade, Taylor em $1^-$ e a média de Cesàro carregaram todo o problema, e o que o volume do terceiro ano de graduação acrescenta (o martingal $Z_n/m^n$ e a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) limite exponencial de Yaglom).

**Solução de Problema 23.1.**

**1.** Para $t \in \intoo01$, a regra da cadeia em $G_n = G
\circ G_{n-1}$ dá $G_n'(t) =
G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. Quando $t \to 1^-$, $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, e $G'$ é não decrescente com limite à esquerda $m$ em $1$, de modo que o primeiro fator tende a $m$; por indução o segundo tende a $m^{n-1}$. Pelo [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments), $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** Derivando mais uma vez,

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

e fazendo $t \to 1^-$: $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\,
a_{n-1}$ com $a_n = G_n''(1)$, $a_1 = G''(1)$. Para $m \neq
1$ verifica-se por indução que $a_n = G''(1)\,m^{n-1}
\frac{m^n - 1}{m - 1}$ (a recursão acrescenta $G''(1)m^{2n-2}$ a $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$, e $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$); para $m = 1$, $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ e $G''(1) =
\sigma^2 + m^2 - m$. Para $m \neq 1$, a parcela $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ cancela $m^n -
m^{2n}$ exatamente, deixando $V(Z_n) =
\sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$. Para $m = 1$: $V(Z_n) =
nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ é uma variável inteira não negativa, de modo que $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ por Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-markov)). Para $m < 1$ isso decai geometricamente — e de modo [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable), de sorte que Borel–Cantelli dá até que apenas finitas gerações são não vazias, o que é de novo a extinção.

**5.** Cauchy–Schwarz: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. Com a questão 3 e $m < 1$:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

de modo que, dividindo $m^{2n}$ por essa cota e simplificando por $m^n$,

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

usando $m^n \leq 1$ no denominador. Com a questão 4: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, e $m
= G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. Subcrítico para $p
< \frac12$, crítico para $p = \frac12$, supercrítico para $p
> \frac12$.

**7.** $G(t) = t$ se lê $pt^2 - t + q = 0$, com raízes $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$, isto é, $1$ e $\frac qp =
\frac1m$. A probabilidade de extinção é o menor ponto fixo em $\intcc01$ ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ se $m \leq 1$, e $\frac1m$ se $m >
1$.

**8.** Para $m \neq 1$, com $p = \frac m{m+1}$, $q =
\frac1{m+1}$: se $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, então

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

logo $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} -
1}{m^{n+2} - 1}$; o caso base $q_0 = 0$ vale. Para $m = 1$: $G(t) = \frac1{2 - t}$ e $q_{n+1} = \frac1{2 -
\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$, com $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. Para $m < 1$ o denominador tende a $-1$: $1 - q_n \sim (1 -
m)\,m^n$. Para $m > 1$:

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

E $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ avaliada em $t = \frac
qp$ (em que $1 - pt = 1 - q = p$) dá $G'(q_{\mathrm{ext}})
= \frac qp = \frac1m$: a razão observada $m^{-1}$ é exatamente a derivada no ponto fixo atrator.

**10.** Para $p = \frac12$: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$, logo $G''(1) = 2$ e $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 =
2$. A [forma fechada](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#def-b2-multint-exact) dá $1 - q_n = \frac1{n+1}$: a probabilidade de sobrevivência decai como $1/n$ — lentamente demais para ser [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable), ao contrário de qualquer taxa subcrítica.

**11.** Indução: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ coincide com a fórmula para $n = 1$, e

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

Então

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

a [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) da [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1}
\bigr)$ em $\N^*$ ([Exemplo 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): dada a sobrevivência, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) =
\frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, com média condicional $n + 1$. A média incondicional $1 = \E(Z_n)$ é o produto de uma probabilidade de sobrevivência que se anula por um tamanho condicional que cresce linearmente.

**12.** Se a linhagem se extingue na geração $n$, então $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ é finita; se ela nunca se extingue, $Y \geq \sum_n 1 = \infty$. Assim, $\{Y < \infty\}$ é o [evento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) de extinção e $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$. A dedução de $H(t) = tG(H(t))$ no [Exercício 23.7](#exo-b2-genfun-7) — o ancestral contribui com o fator $t$, seus filhos fundam cópias independentes de $Y$ contadas por $G$ — usou apenas [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), válido em todo regime.

**13.** Com $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ a equação se lê $tH^2 - 2H + t = 0$, logo $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (a raiz com $H(0) = 0$). Comparando com a série de Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([Exemplo 11.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan)): $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, isto é, $\P(Y =
2k+1) = C_k2^{-2k-1}$. Verificações: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (o ancestral não tem filho); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (dois filhos, ambos sem filhos: $\frac12\cdot\frac12\cdot
\frac12$).

**14.** Derivando $H = tG(H)$ em $\intoo01$ e fazendo $t \to 1^-$ (limites monótonos como no [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr)
= G(H(1))$. No caso subcrítico, $H(1) = 1$ e $\E(Y) =
H'(1) = \frac1{1 - m}$. No caso crítico, $G'(1) = 1$ faz o fator da esquerda se anular enquanto o membro da direita é $1$: nenhum $H'(1)$ finito pode existir, logo $\E(Y) = \infty$ — e no entanto $\P(Y <
\infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ pelo [Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial), logo

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

Somando a cauda (comparação com $\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$, por cima e por baixo): $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$, isto é, $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — uma cauda pesada de média infinita, quantificando a questão 14.

**16.** Ambos os objetos críticos — o tempo de retorno do passeio honesto (o problema de fim de semana do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#ch-b2-proba)) e a prole total crítica — são quase certamente finitos com média infinita, com leis locais de expoente $-3/2$ e caudas de expoente $-1/2$. Isso não é coincidência: explorar uma árvore genealógica filho a filho produz um caminho $\pm1$ (um passo para cima por nascimento, um para baixo por morte) que é exatamente um passeio honesto, e $Y$ se torna um tempo de primeira passagem. Criticalidade significa deriva nula: o processo está sempre à beira tanto da extinção quanto da explosão, e as flutuações na escala $\sqrt{}$ da aleatoriedade sem deriva produzem precisamente esses expoentes.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ tem termos não negativos, de modo que é não decrescente em $\intco01$ com limite finito $G''(1) = \sigma^2$ (a criticalidade faz $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$); uma função não decrescente com limite igual ao valor de bordo é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $1$. Taylor com resto integral no ponto $1$:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

pois $G''(s) = G''(1) + o(1)$ quando $s \to 1^-$.

**18.** Reduzindo ao denominador comum, $h(t) =
\frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. Pela questão 17, o numerador vale $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ e $1 - G(t) = (1 -
t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$, logo $h(t) \to b$.

**19.** Pela definição de $h$ em $t = q_j$ e $G(q_j) =
q_{j+1}$: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$; somar a partir de $j = 0$ ($q_0 = 0$) dá o resultado exibido. Como o processo crítico se extingue, $q_j \uparrow 1$, logo $h(q_j) \to
b$ e a média de Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$: $\frac1{1-q_n} \sim bn$, isto é,

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** Caso geométrico crítico: $\sigma^2 = 2$ (questão 10), de modo que Kolmogorov prevê $1 - q_n \sim \frac1n$ — e o valor exato é $\frac1{n+1}$.

**21.** Como $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, $\E(Z_n
\mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 -
q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$. No caso geométrico isso vale $n + 1$, coincidindo exatamente com a questão 11 ($\sigma^2 = 2$). O retrato crítico: a extinção é certa, o tamanho médio fica congelado em $1$, e as raras linhagens sobreviventes têm tamanho crescendo linearmente — cada fator equilibrando o outro.

**22.** Para descendência $\mathcal P(\lambda)$, $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ e a probabilidade de extinção é a menor raiz de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. Numericamente: $\lambda = 1.5$ dá $q \approx 0.417$ (itere $q \mapsto
\eu^{1.5(q-1)}$: $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$); $\lambda = 2$ dá $q \approx 0.203$. Assim, um caso índice desencadeia um surto grande com probabilidade $58\%$ ($\lambda = 1.5$) ou $80\%$ ($\lambda = 2$) — provável, não certo. A iteração a partir de $q_0 = 0$ converge à *menor* raiz porque $G$ é não decrescente: por indução $q_n \leq r$ para qualquer ponto fixo $r$, e $(q_n)$ cresce (ela é $\P(Z_n = 0)$), de modo que seu limite é um ponto fixo abaixo de todos os outros.

**23.** Os $k$ ancestrais fundam árvores genealógicas [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence), e a extinção total é a interseção de $k$ [eventos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) de extinção [independentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-independence): probabilidade $q^k$. Para $\lambda = 1.5$: uma probabilidade de surto $1 - q^k \geq 0.99$ exige $q^k \leq 0.01$, isto é, $k \geq
\frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$: seis casos iniciais tornam o surto $99\%$ certo.

**24.** *$G'(q) < 1$:* $G - \mathrm{id}$ é [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex) e se anula em $q$ e $1$, de modo que é $\leq 0$ em $\intcc
q1$; se $G'(q) = 1$, a tangente em $q$ (que a convexidade coloca abaixo de $G$) forçaria $G(t) \geq t$ em $\intcc q1$, portanto $G \equiv \mathrm{id}$ ali, matando todos os coeficientes $p_n$ ($n \geq 2$) e contradizendo $m > 1$. *Convergência geométrica:* $q_n < q$ para todo $n$ (indução, $G$ crescente), e o teorema do valor médio dá $q - q_{n+1} =
G'(c_n)(q - q_n)$ com $c_n \in \intoo{q_n}q$, de modo que $G'(c_n)
\leq G'(q) < 1$ e $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *Processo companheiro:* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ tem coeficientes não negativos e $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$: uma [função geradora](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci); sua média é $\widehat
G'(1) = G'(q) < 1$: subcrítica. Família geométrica: $G(t) =
\frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$, e

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendência geométrica com $p$ e $q$ trocados — o processo supercrítico visto sobre seu [evento](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/21-probabilidade-em-espacos-enumeraveis#def-b2-proba-space) de extinção é o subcrítico espelhado.

**25.** A tabela: $m < 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$ (questões 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, gerações sobreviventes de média condicional limitada. $m = 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ com $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$, sobreviventes de tamanho $\sim \frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$: $q < 1$ é o menor ponto fixo, $q - q_n = O(G'(q)^n)$, crescimento $\E(Z_n) = m^n$ e, condicionado a morrer, o processo é o companheiro subcrítico (questão 24). As ferramentas: a composição de [funções geradoras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) transformou a recursão populacional em iteração de funções; a convexidade fixou a geometria dos pontos fixos; Taylor em $1^-$ converteu hipóteses de momentos em desenvolvimentos locais; e a média de Cesàro extraiu o $1/n$ de Kolmogorov de uma soma telescópica. O volume do terceiro ano de graduação acrescenta o martingal $Z_n/
m^n$ — cujo limite quase certo refina $\E(Z_n) = m^n$ numa taxa de crescimento trajetória a trajetória — e o teorema de Yaglom, a [lei](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) limite por trás da geometria condicional observada na questão 11.