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title: "Redução de endomorfismos"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos
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# Capítulo 3 — Redução de endomorfismos

Para entender um endomorfismo, procure as direções que ele apenas estica. Este capítulo constrói a maquinaria — [autovalores](#def-b2-reduction-eigen), polinômios característico e minimal, o lema da decomposição em núcleos — e suas recompensas: critérios de diagonalização e de triangularização, Cayley–Hamilton, a [decomposição de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford) e o cálculo de potências e exponenciais de que o [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) se alimentará. Em todo o capítulo, $E$ é um $K$-espaço vetorial de dimensão finita ($K = \R$ ou $\C$) e $u \in
\mathcal{L}(E)$, $n = \dim E$.

## 3.1 Autovalores e autovetores

**Definição 3.1.**

$\lambda \in K$ é um *autovalor* de $u$ quando $u(x) = \lambda x$ para algum $x \neq 0$ (um *autovetor*); o *autoespaço* é $E_\lambda(u) =
\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$. O conjunto dos autovalores é o *espectro* $\operatorname{Sp}(u)$. Um subespaço $F$ é *estável* quando $u(F) \subseteq F$; os autoespaços são estáveis, e os subespaços estáveis permitem endomorfismos induzidos $u|_F$.

**Teorema 3.2 (Independência dos autoespaços).**

[Autovetores](#def-b2-reduction-eigen) associados a [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) dois a dois distintos formam uma família livre; equivalentemente, a soma dos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_r}$ ($\lambda_i$ distintos) é direta. Em particular, $u$ tem no máximo $n$ [autovalores](#def-b2-reduction-eigen).

**Demonstração.** Por indução sobre $r$. Suponha $x_1 + \dots + x_r = 0$ com $x_i \in
E_{\lambda_i}$, sendo o enunciado conhecido para $r - 1$. Aplique $u$ e subtraia $\lambda_r$ vezes a relação:

$$
\sum_{i=1}^{r-1} (\lambda_i - \lambda_r)\, x_i = 0 ,
$$

logo, por indução, cada $(\lambda_i - \lambda_r)x_i = 0$, isto é, $x_i =
0$ para $i < r$, e então $x_r = 0$. Somas diretas de espaços não nulos num espaço de dimensão $n$ têm no máximo $n$ parcelas. ∎

![A matriz A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix agindo no plano: o vetor genérico e_1 é tirado de sua reta, mas as direções próprias v_1 = (1,1) e v_2 = (1,-1) são apenas esticadas — por 3 e por 1 (de modo que Av_2 = v_2: a imagem tracejada coincide com v_2). A diagonalização é a mudança para a base (v_1, v_2), na qual A se torna diag(3, 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-reduction/fig-d4dd394c1370.svg)

*A matriz $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$ agindo no plano: o vetor genérico $e_1$ é tirado de sua reta, mas as direções próprias $v_1 =
(1,1)$ e $v_2 = (1,-1)$ são apenas esticadas — por $3$ e por $1$ (de modo que $Av_2 = v_2$: a imagem tracejada coincide com $v_2$). A diagonalização é a mudança para a base $(v_1, v_2)$, na qual $A$ se torna $\operatorname{diag}(3, 1)$.*

**Definição 3.3 (Polinômio característico).**

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — calculado em qualquer base como $\det(XI_n - A)$, um polinômio mônico de grau $n$, invariante por semelhança ([Teorema 2.17](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#thm-b2-linalg-detrules)). Suas raízes em $K$ são exatamente os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) ($\lambda$ é [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ não injetivo $\iff \chi_u(\lambda) = 0$), e

$$
\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots +
(-1)^n \det u .
$$

A *multiplicidade algébrica* $m_\lambda$ de um [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) é sua multiplicidade como raiz de $\chi_u$; a *multiplicidade geométrica* é $\dim E_\lambda$, e $1 \leq \dim E_\lambda \leq
m_\lambda$.

**Demonstração dos fatos enunciados.** As afirmações sobre os coeficientes: desenvolva $\det(XI - A)$ pela fórmula das permutações; a permutação identidade contribui com $\prod_i (X - a_{ii})
= X^n - (\sum a_{ii})X^{n-1} + \dots$, e toda outra permutação fixa no máximo $n - 2$ posições diagonais, contribuindo com grau $\leq
n - 2$: os dois coeficientes de topo são os anunciados; $X = 0$ dá o termo constante $\det(-A) = (-1)^n\det A$.

Geométrica $\leq$ algébrica: seja $d = \dim E_\lambda$ e complete uma base de $E_\lambda$ numa base de $E$; a matriz de $u$ é triangular superior por blocos com bloco superior esquerdo $\lambda I_d$, logo $\chi_u(X) =
(X - \lambda)^d\, \chi_{\text{(bloco inferior)}}(X)$: a multiplicidade de $\lambda$ vale ao menos $d$. ∎

**Exemplo 3.4 (Mesmo χ\chiχ, geometria diferente).**

As matrizes

$$
\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
\qquad\text{e}\qquad
\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
$$

têm o mesmo [polinômio característico](#def-b2-reduction-charpoly) $(X - 2)^2$, o mesmo traço, o mesmo [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det), o mesmo [espectro](#def-b2-reduction-eigen) — e no entanto não são semelhantes: a primeira tem $E_2$ de dimensão $2$ ([multiplicidade geométrica](#def-b2-reduction-charpoly) $2$), a segunda de dimensão $1$. O [polinômio característico](#def-b2-reduction-charpoly) enxerga apenas [multiplicidades algébricas](#def-b2-reduction-charpoly); as dimensões dos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) são o invariante mais fino, e o [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu) arbitra ($X - 2$ contra $(X - 2)^2$). Moral para toda discussão de [diagonalizabilidade](#def-b2-reduction-diag): $\chi$ seleciona os candidatos, mas são os núcleos que depositam os votos.

**Definição 3.5 (Diagonalizável, triangularizável).**

$u$ é *diagonalizável* quando $E$ tem uma base de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) (matricialmente: semelhante a uma matriz diagonal); *triangularizável* quando sua matriz em alguma base é triangular superior.

**Teorema 3.6 (Critérios de diagonalizabilidade).**

As afirmações seguintes são equivalentes:

1. $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ;
2. $E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} u} E_\lambda$ ;
3. $\chi_u$ se decompõe sobre $K$ e $\dim E_\lambda = m_\lambda$ para todo [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) ;
4. (suficiente, não necessária) $\chi_u$ tem $n$ raízes distintas em $K$ .

**Demonstração.** (1 $\iff$ 2): uma base de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) se separa em bases dos $E_\lambda$ e, reciprocamente, concatenar bases das parcelas diretas dá uma base de $E$ (o [Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence) torna a soma direta; a igualdade de dimensões faz dela o espaço todo).

(2 $\iff$ 3): na base diagonal, $\chi_u = \prod (X -
\lambda)^{\dim E_\lambda}$ se decompõe com multiplicidades correspondentes. Reciprocamente, suponha que $\chi_u$ se decomponha com $\dim E_\lambda =
m_\lambda$ em toda parte; então a soma direta dos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) (direta pelo [Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)) tem dimensão

$$
\sum_{\lambda}\dim E_\lambda = \sum_{\lambda} m_\lambda =
\deg\chi_u = n ,
$$

a igualdade do meio porque o grau de um polinômio que se decompõe é a soma das multiplicidades de suas raízes: a soma é todo o $E$. Note onde cada hipótese trabalhou: a decomposição preencheu o grau, a igualdade das multiplicidades preencheu as dimensões.

(4 $\Rightarrow$ 1): $n$ [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) distintos dão $n$ [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) independentes ([Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)): uma base. ∎

**Método 3.7 (Decidir a diagonalizabilidade).**

Na prática, teste nesta ordem — cada etapa pode encerrar o serviço. (1) Um polinômio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) com raízes simples e que se decompõe se apresenta sozinho ($u^2 = \mathrm{id}$, $u^2 = u$, $u^k =
\mathrm{id}$)? Se sim: [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), sem cálculo algum ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) adiante). (2) Calcule $\chi_u$; se ele tiver $n$ raízes distintas em $K$: [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (4)). (3) Caso contrário, apenas para cada raiz múltipla $\lambda$, compare $\dim\ker(u -
\lambda\,\mathrm{id})$ com a multiplicidade $m_\lambda$: qualquer déficit mata a [diagonalizabilidade](#def-b2-reduction-diag); a igualdade em toda parte a demonstra. Nunca calcule [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) de raízes simples (sua dimensão está forçada a ser $1$), e nunca triangularize só para decidir.

**Exemplo 3.8 (A diagonalização posta a trabalhar).**

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$, com $J$ a matriz de uns: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ ([Exemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix)), $\operatorname{Sp}(A) = \{4,
1\}$, com [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) $\R(1,1,1)$ e o plano $\{x + y + z =
0\}$: dimensões $1 + 2 = 3$, [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (2)). Potências sem nenhuma matriz de mudança de base: com $\Pi = J/3$ o projetor sobre $\R(1,1,1)$,

$$
A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi)
\quad\Longrightarrow\quad
A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi)
= \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .
$$

(Confira $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) A lição final: quando os [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) estão visíveis, os *projetores* espectrais calculam potências mais depressa do que $PDP^{-1}$ jamais fará — e a fórmula exibe a dinâmica: $A^k$ cresce como $4^k$ ao longo de $(1,1,1)$ e fica parado no plano ortogonal.

**Teorema 3.9 (Triangularização).**

$u$ é [triangularizável](#def-b2-reduction-diag) sobre $K$ se e somente se $\chi_u$ se decompõe sobre $K$. Em particular, todo endomorfismo de um $\C$-espaço vetorial é [triangularizável](#def-b2-reduction-diag).

**Demonstração.** ($\Rightarrow$) O [polinômio característico](#def-b2-reduction-charpoly) de uma matriz triangular é $\prod(X - t_{ii})$: decompõe-se.

($\Leftarrow$) Indução sobre $n$. Como $\chi_u$ se decompõe, ele tem uma raiz $\lambda$: escolha um [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) $e_1$. Numa base que começa por $e_1$, a matriz é $\begin{pmatrix} \lambda & \ast\\ 0 &
B\end{pmatrix}$, e $\chi_u = (X - \lambda)\chi_B$: $\chi_B$ também se decompõe. Pela hipótese de indução aplicada à matriz $(n-1) \times
(n-1)$ $B$, existe uma $Q$ invertível com $Q^{-1}BQ$ triangular superior; conjugar a matriz inteira por $\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & Q\end{pmatrix}$ a triangulariza. ∎

**Exemplo 3.10 (Triangularizando à mão).**

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, e $\ker(B - 2I) =
\ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ é a reta [gerada](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por $e_1' = (1, 1)$: um único [autovalor](#def-b2-reduction-eigen), um [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) de dimensão um — não [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), mas [triangularizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)). Complete a base com $e_2' = (1, 0)$ e calcule:

$$
u(e_1') = (2, 2) = 2e_1',
\qquad
u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,
$$

de modo que, na base $(e_1', e_2')$, a matriz é $T =
\left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. A lição final: a diagonal de $T$ estava forçada (as duas entradas têm de ser o [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) duplo $2$); só a entrada do canto dependia da escolha de $e_2'$, e reescalar $e_2'$ pode torná-la qualquer valor não nulo — o resistente “$1$” é a sombra da parte nilpotente que Dunford vai isolar.

## 3.2 Polinômios de um endomorfismo

**Definição 3.11.**

Para $P = \sum a_k X^k \in K[X]$, ponha $P(u) = \sum a_k u^k \in
\mathcal{L}(E)$. A aplicação $P \mapsto P(u)$ é um morfismo de [álgebras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ ([Definição 1.33](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra)); seu núcleo $\{P : P(u) = 0\}$ é um [ideal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-ideal) de $K[X]$, não nulo (a família $(\mathrm{id}, u, \dots, u^{n^2})$ é ligada no $n^2$ de dimensão $\mathcal{L}(E)$), logo [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por um único polinômio mônico $\mu_u$: o *polinômio minimal* ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#thm-b2-structures-principal)).

**Proposição 3.12.**

1. $P(u) = 0 \iff \mu_u \mid P$ ; os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ são raízes de todo polinômio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) , e as raízes de $\mu_u$ são *exatamente* os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) .
2. Se $F$ é estável, $\mu_{u|_F} \mid \mu_u$ .

**Demonstração.** (1) A divisibilidade é a definição de gerador. Se $u(x) =
\lambda x$, $x \neq 0$, então $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$, logo $P(\lambda) = 0$: os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) são raízes dos [anuladores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator), em particular de $\mu_u$. Reciprocamente, se $\lambda$ é raiz, $\mu_u =
(X - \lambda)Q$ com $Q(u) \neq 0$ (o grau de $\mu_u$ é mínimo): escolha $y$ com $Q(u)(y) \neq 0$; então $(u - \lambda)(Q(u)(y)) = \mu_u(u)(y)
= 0$ exibe o [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) $Q(u)(y)$.

(2) $\mu_u(u|_F) = \mu_u(u)|_F = 0$, e aplique (1) a $u|_F$. ∎

**Exemplo 3.13 (Polinômios minimais achados à mão).**

O [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu) se calcula testando graus sucessivos. Para a matriz de uns $J \in \mathcal{M}_3(\R)$: $J \neq \lambda I$ (o grau $1$ está fora), e $J^2 = 3J$, logo

$$
\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :
$$

grau $2$, decompõe-se, raízes simples — $J$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) com [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\{0, 3\}$ ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) adiante), confirmando [Exemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix) sem um único [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det). Para a matriz de troca $A$ de [Exemplo 3.15](#ex-b2-reduction-projectorswork): $A \neq \pm I$ e $A^2
= I$ dão $\mu_A = X^2 - 1$. Nos dois casos o padrão é o mesmo: adivinhe uma identidade de grau baixo a partir da estrutura (o posto um força $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; uma involução força $A^2 = I$) e depois verifique que nenhum divisor próprio anula. Os [polinômios minimais](#def-b2-reduction-polyu) são em geral *achados*, e não calculados a partir de $\chi$.

**Teorema 3.14 (Lema da decomposição em núcleos).**

Se $P = P_1 P_2 \cdots P_r$ com os $P_i$ dois a dois coprimos, então

$$
\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u),
$$

e as projeções sobre as parcelas são polinômios em $u$.

**Demonstração.** Basta tratar o caso $r = 2$ e fazer indução. Bézout em $K[X]$ ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#thm-b2-structures-principal)): $U P_1 + V P_2 = 1$, de modo que, para todo $x$,

$$
x = \underbrace{U(u)P_1(u)(x)}_{=:\,x_2}
+ \underbrace{V(u)P_2(u)(x)}_{=:\,x_1}.
$$

Se $x \in \ker P(u)$: $P_2(u)(x_2) = U(u)\,P(u)(x) = 0$ (polinômios em $u$ comutam), logo $x_2 \in \ker P_2(u)$ e, simetricamente, $x_1
\in \ker P_1(u)$: a soma preenche $\ker P(u)$; as duas parcelas ficam dentro de $\ker P(u)$ ($P_i \mid P$). Diretividade: $x \in \ker P_1(u)
\cap \ker P_2(u)$ dá $x = U(u)P_1(u)x + V(u)P_2(u)x = 0$. As fórmulas para $x_1, x_2$ exibem as projeções como $V(u)P_2(u)$ e $U(u)P_1(u)$. ∎

**Exemplo 3.15 (O lema dos núcleos com projetores explícitos).**

Seja $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
1\end{smallmatrix}\right)$ (troca as duas primeiras coordenadas). Então $A^2
= I$: o polinômio $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ anula $A$, seus fatores são coprimos e Bézout é explícito:

$$
\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .
$$

Seguindo a demonstração do [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels), as projeções sobre $\ker(A - I)$ e $\ker(A + I)$ são os polinômios em $A$

$$
\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
\qquad
\pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
$$

Verificação: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 =
\pi_\pm$, e as imagens são o plano $\{x = y\}$ (vetores simétricos, [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $1$) e a reta $\R(1, -1, 0)$ (antissimétricos, [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $-1$). O lema dos núcleos não é um enunciado de existência: os coeficientes de Bézout *são* as fórmulas dos projetores.

**Exemplo 3.16 (Os projetores também calculam a exponencial).**

A mesma matriz de troca, um dividendo adiante. Como $A = \pi_+ -
\pi_-$ com projetores ortogonais no sentido algébrico ($\pi_+\pi_- = 0$), toda potência obedece a $A^k = \pi_+ +
(-1)^k\pi_-$, e a série exponencial se reagrupa por projetor:

$$
\eu^{tA} = \sum_k \frac{t^k}{k!}\bigl(\pi_+ +
(-1)^k\pi_-\bigr)
= \eu^{t}\,\pi_+ + \eu^{-t}\,\pi_- =
\begin{pmatrix}
\cosh t & \sinh t & 0\\
\sinh t & \cosh t & 0\\
0 & 0 & \eu^{t}
\end{pmatrix}.
$$

(Confira $t = 0$: a identidade; derivada em $0$: $A$.) A decomposição espectral converte uma série de matrizes em duas séries escalares — exatamente o mecanismo que o [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) vai acionar em todo sistema [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), e a razão pela qual as funções hiperbólicas governam acoplamentos simétricos.

**Corolário 3.17 (Diagonalizabilidade pelo polinômio minimal).**

$u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) $\iff$ $\mu_u$ se decompõe sobre $K$ com raízes *simples* $\iff$ algum polinômio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) de $u$ se decompõe com raízes simples.

**Demonstração.** Se $P(u) = 0$ com $P = \prod_{i}(X - \lambda_i)$ ($\lambda_i$ distintos), o lema dá $E = \ker P(u) = \bigoplus_i \ker(u -
\lambda_i)$: uma soma direta de [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen), logo $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Reciprocamente, um $u$ [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) é anulado por $\prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}u}(X -
\lambda)$ (que anula cada [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen)), o qual se decompõe com raízes simples; e $\mu_u$ o divide tendo as mesmas raízes ([Proposição 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)): $\mu_u$ é exatamente esse produto. ∎

**Exemplo 3.18.**

As projeções satisfazem $p^2 = p$: anuladas por $X(X-1)$, que se decompõe com raízes simples — [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) com [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{0, 1\}$, e $E =
\ker p \oplus \ker(p - \mathrm{id})$: a análise geométrica do primeiro ano, redemonstrada em uma linha. As simetrias ($s^2 = \mathrm{id}$, [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) $X^2 - 1$): [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) quando $\operatorname{char} K
\neq 2$, [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{\pm 1\}$. Um endomorfismo com $u^3 =
u^2$ e $u^2 \neq u$: anulado por $X^2(X - 1)$, *não* necessariamente [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) — o critério o detecta (a raiz dupla $0$ precisa ser testada: [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) se e somente se além disso $\ker u^2 = \ker
u$).

**Exemplo 3.19 (O corpo decide: uma rotação em R3\R^3R3).**

Seja $R$ o quarto de volta em torno do eixo $z$:

$$
R = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\chi_R = (X - 1)(X^2 + 1).
$$

Sobre $\R$: o único [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) é $1$, com [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) igual ao eixo $\R e_3$ — uma reta de vetores fixos e nenhuma outra redução: $R$ não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) nem [triangularizável](#def-b2-reduction-diag) em $\mathcal{M}_3(\R)$ ($\chi_R$ não se decompõe). Sobre $\C$: três [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) distintos $1, \iu, -\iu$, de modo que $R$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), com [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) $e_3$ e $e_1 \mp \iu e_2$. A geometria era audível na álgebra: as rotações do plano não têm direções invariantes reais, e os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) complexos $\pm\iu$ de módulo $1$ guardam o ângulo ($\pm\frac\pi2$) que a matriz real só consegue exprimir misturando coordenadas.

**Exemplo 3.20 (Minimal contra característico).**

Para $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X -
3)$ mas $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, pois $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (verifique na base canônica), ao passo que nenhum dos fatores sozinho anula $D$. Para o bloco de deslocamento $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 &
0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, isto é, $N' =
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
3\end{smallmatrix}\right)$: $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ *e* $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — a raiz dupla é genuinamente necessária, pois $N'$ não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) do lado $\ker$ ($N'e_2 =
e_1 \neq 0$). Regra prática: $\mu$ e $\chi$ têm as mesmas raízes ([Proposição 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)); a multiplicidade em $\mu$ mede o tamanho do maior bloco nilpotente, e a de $\chi$ a dimensão total do subespaço característico.

**Teorema 3.21 (Cayley–Hamilton).**

$\chi_u(u) = 0$; por consequência, $\mu_u \mid \chi_u$ e $\deg \mu_u
\leq n$.

**Demonstração.** Fixe $x \neq 0$ e seja $d$ maximal com $(x, u(x), \dots,
u^{d-1}(x))$ livre; escreva

$$
u^d(x) = -a_0 x - a_1 u(x) - \dots - a_{d-1}u^{d-1}(x),
$$

e ponha $P_x = X^d + a_{d-1}X^{d-1} + \dots + a_0$, de modo que $P_x(u)(x) =
0$. Complete a família livre numa base de $E$: nela, $u$ tem a forma por blocos $\begin{pmatrix} C & \ast\\ 0 & D\end{pmatrix}$, em que $C$ é a matriz companheira de $P_x$, cujo [polinômio característico](#def-b2-reduction-charpoly) é $P_x$ (desenvolva $\det(XI - C)$ ao longo da primeira coluna, por indução sobre $d$). Logo $\chi_u = P_x \cdot \chi_D$, e

$$
\chi_u(u)(x) = \chi_D(u)\bigl(P_x(u)(x)\bigr) = 0 .
$$

O argumento vale para todo $x$: $\chi_u(u) = 0$. ∎

**Exemplo 3.22 (Cayley–Hamilton em ação).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
5X - 2$, logo $A^2 = 5A + 2I$. Toda potência de $A$ desaba para uma combinação de $I$ e $A$:

$$
A^4 = (5A + 2I)^2 = 25A^2 + 20A + 4I = 145A + 54I =
\begin{pmatrix} 199 & 290\\ 435 & 634\end{pmatrix},
$$

e a inversa vem de brinde: $A(A - 5I) = 2I$ dá

$$
A^{-1} = \tfrac12(A - 5I)
= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{pmatrix}.
$$

A lição final: Cayley–Hamilton comprime toda a [álgebra](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) $K[A]$ em $\operatorname{Vect}(I, A, \dots, A^{n-1})$ — $\dim K[A] = \deg\mu_A \leq n$, por maiores que sejam as potências de que você precise.

**Observação 3.23 (Armadilhas comuns).**

(i) [Autovalores](#def-b2-reduction-eigen) não se somam: $\operatorname{Sp}(A + B)$ não é $\operatorname{Sp}A + \operatorname{Sp}B$, e uma soma de matrizes [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) não precisa ser [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) — $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) +
\left(\begin{smallmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ é soma de duas matrizes [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) (cada uma com [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) distintos) e não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag); só as famílias *que comutam* se comportam bem ([Exercício 3.9](#exo-b2-reduction-9)). (ii) “$\chi_u$ se decompõe” é uma hipótese sobre o *corpo*: uma rotação plana tem $\chi =
X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, que se decompõe sobre $\C$, não sobre $\R$ — [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) em $\mathcal{M}_2(\C)$, não [triangularizável](#def-b2-reduction-diag) em $\mathcal{M}_2(\R)$. (iii) A desigualdade vai da geométrica $\leq$ à algébrica, nunca ao contrário; testar apenas $\dim E_\lambda \geq
1$ nada prova sobre a [diagonalizabilidade](#def-b2-reduction-diag). (iv) $\mu_u$ não é $\chi_u$: a igualdade vale exatamente quando cada [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) tem uma única cadeia de blocos (por exemplo, as matrizes companheiras, no problema de fim de semana deste capítulo); usar $\chi$ onde $\mu$ é necessário infla todo cálculo de potências. (v) As partes $d$ e $\nu$ de Dunford são polinômios em $u$ — uma decomposição $u = d' + \nu'$ com as propriedades certas mas com $d'\nu' \neq \nu'd'$ *não* é a de Dunford e nunca é única.

**Observação 3.24 (Onde este capítulo é usado).**

A redução é o cavalo de batalha do resto do livro: potências e exponenciais de matrizes movem os sistemas diferenciais lineares do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq); o teorema espectral do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic) é a diagonalização tornada ortogonal; as funções geradoras ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade#ch-b2-genfun)) redemonstram analiticamente as assintóticas de recorrência do problema de fim de semana deste capítulo. No volume do terceiro ano de graduação, o mesmo programa roda em dimensão infinita: a teoria espectral dos operadores compactos autoadjuntos, na qual sequências de [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) substituem os [espectros](#def-b2-reduction-eigen) finitos, e a teoria de Perron–Frobenius das matrizes positivas, que explica *por que* os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) dominantes de problemas de contagem são positivos e simples.

## 3.3 Nilpotentes e a decomposição de Dunford

**Proposição 3.25 (Endomorfismos nilpotentes).**

Para $u$ com $\chi_u$ que se decompõe, as afirmações seguintes são equivalentes: $u^n =
0$; $u^k = 0$ para algum $k$; $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$; $\chi_u
= X^n$; $u$ é [triangularizável](#def-b2-reduction-diag) com diagonal nula. Um [endomorfismo nilpotente](#prop-b2-reduction-nilpotent) tem $\mu_u = X^{\text{(índice de nilpotência)}}$, e o índice satisfaz $\leq n$.

**Demonstração.** $u^k = 0$ faz de todo [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) uma raiz de $X^k$: [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\{0\}$ (não vazio quando $\chi$ se decompõe — sobre $\C$ sempre). Então $\chi_u =
X^n$ (todas as raízes nulas) e Cayley–Hamilton dá $u^n = 0$; a triangularização ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)) põe zeros na diagonal (a diagonal carrega os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen)). Reciprocamente, seja $A$ estritamente triangular superior: $a_{ij} = 0$ para $j \leq i$. Mostramos por indução que

$$
(A^k)_{ij} = 0 \qquad \text{sempre que } j \leq i + k - 1,
$$

isto é, cada potência empurra a região nula uma diagonal acima. Para $k = 1$ essa é a hipótese. Para o passo,

$$
(A^{k+1})_{ij} = \sum_{\ell} (A^k)_{i\ell}\,a_{\ell j} ,
$$

e cada termo se anula: ou $\ell \leq i + k - 1$ (o primeiro fator é $0$ por indução), ou $\ell \geq i + k$, e nesse caso $j \leq i + k \leq \ell$ mata o segundo fator. Em $k = n$ a condição $j \leq i + n - 1$ vale para todos $i, j \leq n$: $A^n =
0$. O [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu) divide $X^n$ e a anulação define o índice. ∎

**Teorema 3.26 (Decomposição de Dunford).**

Suponha que $\chi_u$ se decomponha sobre $K$ (automático para $K = \C$). Então existe um *único* par $(d, \nu)$ com

$$
u = d + \nu, \qquad d \text{ diagonalizável}, \quad \nu
\text{ nilpotente}, \quad d\nu = \nu d ,
$$

e além disso $d$ e $\nu$ são polinômios em $u$.

**Demonstração.** *Existência.* Escreva $\chi_u = \prod_{i=1}^{r} (X -
\lambda_i)^{m_i}$ ($\lambda_i$ distintos) e ponha $N_i = \ker(u -
\lambda_i)^{m_i}$, os *subespaços característicos*. Por Cayley–Hamilton e pelo lema dos núcleos ([Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels)),

$$
E = N_1 \oplus \dots \oplus N_r ,
$$

com projeções $\pi_i$ polinomiais em $u$; cada $N_i$ é estável (polinômios em $u$ comutam com $u$). Defina $d = \sum_i \lambda_i
\pi_i$: um polinômio em $u$, [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) (ele age como $\lambda_i$ em $N_i$, logo $E$ se decompõe em seus [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen)). Então $\nu = u -
d$ é um polinômio em $u$ (logo comuta com $d$) e, em cada $N_i$, age como $u - \lambda_i$, com $(u - \lambda_i)^{m_i} = 0$ aí: $\nu^{\max m_i} = 0$ em cada parcela, logo $\nu$ é nilpotente.

*Unicidade.* Seja $u = d' + \nu'$ outro par desse tipo. Como $d'$ e $\nu'$ comutam entre si, eles comutam com $u = d' +
\nu'$, logo com todo polinômio em $u$ — em particular com $d$ e $\nu$. Então $d - d'$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) (duas aplicações [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) que comutam são simultaneamente [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag): [Exercício 3.9](#exo-b2-reduction-9)) e é igual a $\nu' - \nu$, que é nilpotente: se $\nu^k = 0$ e $\nu'^{k'} = 0$, a comutatividade autoriza o desenvolvimento binomial

$$
(\nu' - \nu)^{k + k' - 1}
= \sum_{j=0}^{k+k'-1}\binom{k + k' - 1}{j}
\,\nu'^{\,j}\,(-\nu)^{k + k' - 1 - j} ,
$$

no qual todo termo morre: ou $j \geq k'$ (primeiro fator nulo), ou $k + k' - 1 - j \geq k$ (segundo fator nulo), e uma das duas condições sempre vale. Um nilpotente [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) é nulo (seu [espectro](#def-b2-reduction-eigen) é $\{0\}$ e ele é diagonal em alguma base): $d = d'$, $\nu = \nu'$. ∎

**Exemplo 3.27 (Potências e exponenciais).**

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
4X + 4 = (X-2)^2$, um único [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $2$, [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) de dimensão $1$: não [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag). Dunford: $D = 2I$, $N = A - 2I =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Então

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N ,
\qquad
\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN),
$$

pelo binômio de Newton para elementos que comutam, resp. pela série exponencial ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)) separada em parcelas que comutam. A redução transforma dinâmica matricial em dinâmica escalar.

**Observação 3.28 (Perspectivas dentro deste volume).**

A redução é um entroncamento; eis os quatro ramais a observar. No [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs), normas adaptadas transformam “todos os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de módulo $< 1$” em “alguma norma de operador $< 1$”, fazendo os [espectros](#def-b2-reduction-eigen) governarem a convergência de potências e séries. No [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq), a receita do [Exemplo 3.27](#ex-b2-reduction-powers) torna-se a solução geral de $X' = AX$: Dunford separa $\eu^{tA}$ em blocos do tipo polinômio vezes exponencial, e a estabilidade se lê nas partes reais dos [autovalores](#def-b2-reduction-eigen). No [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic), um produto escalar impõe o que a mera álgebra linear não consegue: as matrizes simétricas tornam-se *ortogonalmente* [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag), sem nenhuma parte nilpotente. E no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade#ch-b2-genfun), as assintóticas de [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) dominante do problema de fim de semana deste capítulo reaparecem analiticamente, como a menor singularidade de uma função geradora — duas línguas para uma mesma taxa de crescimento.

## 3.4 Exercícios

**Exercício 3.1 ★.**

Diagonalize ([autovalores](#def-b2-reduction-eigen), bases dos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen), $P$ invertível):

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$

**Solução de Exercício 3.1.**

$A$: $\chi_A = X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$. [Autovetores](#def-b2-reduction-eigen): para $3$: $(1,1)$; para $-1$: $(1,-1)$. Logo $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1
& -1\end{pmatrix}$ dá $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(3, -1)$.

$B = J - I$, em que $J$ é a matriz de uns. $J$ tem posto $1$ com $Jv = 3v$ para $v = (1,1,1)$ e $Jw = 0$ no plano $x + y + z =
0$: o [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $B$ é $\{2, -1\}$ com [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ (dimensão $1$) e $\{x + y + z = 0\}$ (dimensão $2$, base $(1,-1,0), (1,0,-1)$). $P$ com essas três colunas dá $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$.

**Exercício 3.2 ★.**

Mostre que $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), de duas maneiras: pelos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) e pelo [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu).

**Solução de Exercício 3.2.**

*[Autoespaços](#def-b2-reduction-eigen):* $\chi_C = (X-1)^2$, único [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $1$; $\ker(C - I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ é a reta $\operatorname{Vect}(e_1)$: dimensão $1 < 2 = m_1$, logo não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)).

*[Polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu):* $\mu_C$ divide $(X-1)^2$ e $C \neq I$, logo $\mu_C = (X-1)^2$: uma raiz dupla, logo não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Exercício 3.3 ★.**

Seja $u$ tal que $u^2 - 5u + 6\,\mathrm{id} = 0$. Prove que $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), determine os [espectros](#def-b2-reduction-eigen) possíveis e calcule $u^k$ como combinação de $\mathrm{id}$ e $u$.

**Solução de Exercício 3.3.**

$X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$: decompõe-se com raízes simples, logo $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)), com $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{2, 3\}$. [Espectros](#def-b2-reduction-eigen) possíveis: $\{2\}$ ($u = 2\,\mathrm{id}$), $\{3\}$ ($u = 3\,\mathrm{id}$) ou $\{2, 3\}$.

Potências: procure $u^k = a_k\,\mathrm{id} + b_k\,u$. Nos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen), isso se lê $2^k = a_k + 2b_k$ e $3^k = a_k + 3b_k$: resolvendo, $b_k
= 3^k - 2^k$, $a_k = 3\cdot2^k - 2\cdot 3^k$:

$$
u^k = (3\cdot 2^k - 2\cdot 3^k)\,\mathrm{id} + (3^k - 2^k)\, u .
$$

(Válido para os três [espectros](#def-b2-reduction-eigen): as identidades valem [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) a [autovalor](#def-b2-reduction-eigen).)

**Exercício 3.4 ★★.**

Seja $u$ [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) e $F$ um subespaço estável. Prove que $u|_F$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) *(restrinja um polinômio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) com raízes simples e que se decompõe)*.

**Solução de Exercício 3.4.**

$u$ [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag): $P = \prod_{\lambda}(X - \lambda)$ sobre o [espectro](#def-b2-reduction-eigen) anula $u$, decompõe-se e tem raízes simples. Então $P(u|_F) =
P(u)|_F = 0$: a restrição é anulada por um polinômio que se decompõe com raízes simples, logo é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Exercício 3.5 ★★.**

(Fibonacci) Seja $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Diagonalize $A$ sobre $\R$ e deduza a fórmula de Binet para a sequência de Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n +
F_{n-1}$):

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5},
\qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1 -
\sqrt5}{2}.
$$

**Solução de Exercício 3.5.**

$\chi_A = X^2 - X - 1$, de raízes $\varphi$ e $\psi$ (distintas): [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), com [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) $(\varphi, 1)$ e $(\psi, 1)$. A recorrência dá $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} =
A^n \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$. Decomponha $(1, 0)$ nos [autovetores](#def-b2-reduction-eigen): $(1,0) = \frac{1}{\varphi - \psi}\bigl((\varphi, 1) -
(\psi, 1)\bigr)$ com $\varphi - \psi = \sqrt5$. Aplicar $A^n$ multiplica cada componente própria pela $n$-ésima potência de seu [autovalor](#def-b2-reduction-eigen); lendo a segunda coordenada:

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} .
$$

(Confira: $n = 1$ dá $\frac{\varphi - \psi}{\sqrt5} = 1$.)

**Exercício 3.6 ★★.**

Sejam $u \in \mathcal{L}(E)$ com $u^2$ [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) e $u$ invertível ($K = \C$). Prove que $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag). Dê um contraexemplo quando $u$ não é invertível.

**Solução de Exercício 3.6.**

Seja $P = \prod_i (X - \mu_i)$ um [anulador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator) de $u^2$ que se decompõe com raízes simples $\mu_i$ (o [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $u^2$). Como $u$ é invertível, $0$ não é [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) de $u^2$ ($\det u^2 = (\det u)^2 \neq 0$), logo todos os $\mu_i \neq 0$. Então

$$
Q(X) = \prod_i (X^2 - \mu_i) = \prod_i (X - \sqrt{\mu_i})(X +
\sqrt{\mu_i})
$$

anula $u$: $\;Q(u) = \prod_i (u^2 - \mu_i\,\mathrm{id}) =
P(u^2) = 0$. Suas raízes $\pm
\sqrt{\mu_i}$ (raízes quadradas complexas) são duas a duas distintas porque os $\mu_i$ são distintos e não nulos ($\sqrt{\mu_i} = -\sqrt{\mu_j}$ daria $\mu_i = \mu_j$). Decompõe-se com raízes simples: $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag).

Contraexemplo sem invertibilidade: $u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix}$: $u^2 = 0$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag), $u$ não é.

**Exercício 3.7 ★★.**

Calcule a [decomposição de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford), $A^k$ e $\eu^{tA}$ para

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**Solução de Exercício 3.7.**

$A = 2I + N$ com $N$ o deslocamento ($N e_2 = e_1$, $Ne_3 = e_2$), $N^3 = 0$, $N^2 = E_{13}$: isso *é* a [decomposição de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford) ($2I$ diagonal, $N$ nilpotente, e comutam; a unicidade faz dela a decomposição). Binômio com termos que comutam:

$$
A^k = 2^k I + k 2^{k-1} N + \binom k2 2^{k-2} N^2
= \begin{pmatrix}
2^k & k2^{k-1} & \binom k2 2^{k-2}\\
0 & 2^k & k2^{k-1}\\
0 & 0 & 2^k
\end{pmatrix},
$$

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}
1 & t & t^2/2\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Exercício 3.8 ★★.**

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ com $A^k = I$ para algum $k \geq 1$. Prove que $A$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) e que seus [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) são raízes $k$-ésimas da unidade. Deduza que uma matriz complexa invertível de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) finita semelhante a uma matriz triangular com diagonal de uns é a identidade.

**Solução de Exercício 3.8.**

$X^k - 1$ anula $A$ e se decompõe sobre $\C$ com as $k$ raízes distintas $\eu^{2\iu\pi j/k}$: $A$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Corolário 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)) e seus [autovalores](#def-b2-reduction-eigen), raízes de $X^k - 1$, são raízes $k$-ésimas da unidade.

Se além disso $A$ é semelhante a uma matriz triangular com diagonal de uns: todos os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) valem $1$, e $A$, [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) com único [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $1$, é $P\,I\,P^{-1} = I$.

**Exercício 3.9 ★★★.**

(Diagonalização simultânea) Sejam $u, v$ [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag) e que comutam. Prove que eles são *simultaneamente* [diagonalizáveis](#def-b2-reduction-diag): alguma base diagonaliza os dois. *(Cada [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ é estável por $v$; diagonalize aí as restrições de $v$, usando [Exercício 3.4](#exo-b2-reduction-4).)*

**Solução de Exercício 3.9.**

Escreva $E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Cada $E_\lambda(u)$ é estável por $v$: para $x \in E_\lambda$, $u(v(x)) = v(u(x)) = \lambda
v(x)$. A restrição de $v$ a $E_\lambda(u)$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Exercício 3.4](#exo-b2-reduction-4)): escolha uma base de $E_\lambda(u)$ formada de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) de $v$. Concatenando essas bases sobre todos os $\lambda$ obtém-se uma base de $E$ cujos vetores são [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) de *ambos* $u$ (por pertencerem a $E_\lambda(u)$) e $v$ (por construção).

**Exercício 3.10 ★★★.**

Seja $u \in \mathcal{L}(\C^n)$. Prove que $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) se e somente se todo subespaço $u$-estável tem um subespaço suplementar $u$-estável. *(Para $\Leftarrow$: aplique a propriedade a $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$, a soma de todos os [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen); se um suplementar estável $G$ fosse não nulo, triangularizar $u|_G$ produziria um [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ dentro de $G$ — contradizendo $G \cap
F = \{0\}$.)*

**Solução de Exercício 3.10.**

($\Rightarrow$) Seja $u$ [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) e $F$ estável. Então $u|_F$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Exercício 3.4](#exo-b2-reduction-4)): $F$ tem uma base de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen), que se estende, dentro de cada [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) global $E_\lambda$, a uma base de $E_\lambda$ (teorema da base incompleta dentro de $E_\lambda$, partindo da parte da base de $F$ que aí se encontra — note que $F = \bigoplus_\lambda (F \cap E_\lambda)$, pois $u|_F$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag)). Os vetores acrescentados geram um suplementar estável (cada um está em algum $E_\lambda$, logo o espaço que geram é estável por $u$).

($\Leftarrow$) Seja $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ (um subespaço estável) e $G$ um suplementar estável. Se $G \neq \{0\}$: $\chi_{u|_G}$ se decompõe sobre $\C$, logo $u|_G$ tem um [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) $x \in G$ ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization) ou diretamente a existência de uma raiz); mas todo [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ está em $F$, logo $x \in F
\cap G = \{0\}$: contradição. Portanto $G = \{0\}$ e $E = F$: os [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) preenchem $E$, isto é, $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag).

**Exercício 3.11 ★★★.**

(Raio espectral à la Gelfand, $2\times2$ aperitivo da análise que vem) Seja $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ com os dois [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de módulo $< 1$. Prove que $A^k \to 0$ entrada a entrada quando $k \to \infty$. *(Triangularize: $A = P(T)P^{-1}$ com $T$ triangular superior; calcule $T^k$ explicitamente — distinga [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) iguais e distintos — e majore.)*

**Solução de Exercício 3.11.**

Triangularize: $A = PTP^{-1}$, $T = \begin{pmatrix} \lambda & c\\ 0 &
\mu\end{pmatrix}$, $\abs\lambda, \abs\mu < 1$. Então $A^k =
PT^kP^{-1}$, e basta que $T^k \to 0$.

*[Autovalores](#def-b2-reduction-eigen) distintos:* a indução dá

$$
T^k = \begin{pmatrix}
\lambda^k & c\,\dfrac{\lambda^k - \mu^k}{\lambda - \mu}\\[4pt]
0 & \mu^k
\end{pmatrix},
$$

e cada entrada tende a $0$ ($\abs{\lambda}^k, \abs\mu^k \to 0$).

*[Autovalores](#def-b2-reduction-eigen) iguais ($\mu = \lambda$):* $T = \lambda I + cE_{12}$ e $T^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}cE_{12}$; a entrada $k\lambda^{k-1} \to 0$, pois $\abs\lambda < 1$ (a geométrica vence a polinomial). Nos dois casos $T^k \to 0$ entrada a entrada, logo $A^k =
PT^kP^{-1} \to 0$ (a multiplicação matricial por $P, P^{-1}$ fixas é contínua nas entradas — cada entrada do produto é uma combinação linear fixa).

**Exercício 3.12 ★★.**

Seja $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ com $\operatorname{rk} u = 1$ ($n
\geq 2$). Mostre que $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$ e que $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) se e somente se $\operatorname{tr} u
\neq 0$. *(Lembre do [Exercício 2.5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-5) que $u^2 =
(\operatorname{tr} u)\,u$.)*

**Solução de Exercício 3.12.**

$\ker u$ tem dimensão $n - 1$ (teorema do núcleo e da imagem), logo $0$ é [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) de [multiplicidade geométrica](#def-b2-reduction-charpoly) $n - 1$, e $\chi_u$ é divisível por $X^{n-1}$ ([Definição 3.3](#def-b2-reduction-charpoly): geométrica $\leq$ algébrica). Escreva $\chi_u = X^{n-1}(X - \alpha)$; sendo o coeficiente de $X^{n-1}$ igual a $-\operatorname{tr} u$, obtemos $\alpha =
\operatorname{tr} u$: $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr}
u)$.

Se $\operatorname{tr} u \neq 0$: o [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{tr} u$ é raiz de $\chi_u$, logo carrega um [autovetor](#def-b2-reduction-eigen); os [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) de $0$ e de $\operatorname{tr} u$ têm dimensões $n - 1$ e $\geq 1$, com soma $\geq n$: eles preenchem $E$, e $u$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Se $\operatorname{tr} u = 0$: pelo [Exercício 2.5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-5), $u^2 = (\operatorname{tr} u)u = 0$ com $u \neq 0$: $u$ é um nilpotente não nulo, e um nilpotente [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) é nulo ([Proposição 3.25](#prop-b2-reduction-nilpotent)): não é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag).

## 3.5 Problema: recorrências lineares e matrizes companheiras

Uma recorrência linear $u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_0 u_n$ é uma potência de matriz disfarçada, e a redução a converte em fórmulas fechadas, taxas de crescimento e estimativas de erro. Este problema de fim de semana desenvolve o dicionário — matrizes companheiras de um lado, o operador de deslocamento no espaço das sequências do outro — demonstra o *teorema fundamental das recorrências lineares* (a solução geral é $\sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ sobre as raízes do [polinômio característico](#def-b2-reduction-charpoly)) e gasta os dividendos em aproximação diofantina de $\sqrt2$, na contagem de passeios e palavras, e num anel de sequências acopladas que só a diagonalização simultânea consegue desembaraçar.

**Problema 3.1.**

Problema de fim de semana — o teorema fundamental das recorrências lineares

Fixe $k \geq 1$, escalares $a_0, \dots, a_{k-1} \in \C$ com $a_0
\neq 0$, o polinômio mônico $P = X^k - a_{k-1}X^{k-1} - \dots -
a_1 X - a_0$ e a recorrência

$$
(\mathcal R)\colon\quad u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots +
a_1 u_{n+1} + a_0 u_n \qquad (n \geq 0).
$$

A *matriz companheira* de $P$ é

$$
C =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
 & \ddots & \ddots & \\
 & & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{k-1}
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_k(\C).
$$

**Parte I — O dicionário companheiro.**

1. Mostre que uma sequência $(u_n)$ satisfaz $(\mathcal R)$ se e somente se os vetores $v_n = (u_n, u_{n+1}, \dots,  u_{n+k-1})^{\mathsf T}$ satisfazem $v_{n+1} = Cv_n$ , e portanto $v_n = C^n v_0$ .
2. Prove que $\chi_C = P$ (desenvolva $\det(XI - C)$ ao longo da primeira coluna e faça indução sobre $k$ ), e depois que também $\mu_C = P$ *(passe a $C^{\mathsf T}$, para o qual $e_1$ é [cíclico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated), e note que uma matriz e sua [transposta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-transpose) têm o mesmo [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu))* .
3. Mostre que, para cada raiz $\lambda$ de $P$ , o vetor $(1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ gera o [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ associado a $\lambda$ ; deduza que *todo* [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ tem dimensão $1$ e que $C$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) se e somente se $P$ tem $k$ raízes distintas.
4. Suponha que $P$ tenha raízes distintas $\lambda_1, \dots,  \lambda_k$ . Mostre que as sequências geométricas $(\lambda_i^n)_n$ formam uma base do espaço das soluções de $(\mathcal R)$ , de modo que toda solução é $u_n = \sum_i  c_i\lambda_i^n$ para constantes $c_i$ únicas.
5. Resolva completamente: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ .

**Parte II — O operador de deslocamento e o teorema fundamental.** Seja $\mathcal{S}$ o $\C$-espaço vetorial de todas as sequências complexas e $S \in
\mathcal{L}(\mathcal{S})$ o deslocamento, $S\bigl((u_n)_n\bigr) =
(u_{n+1})_n$.

6. Mostre que o conjunto solução de $(\mathcal R)$ é $\ker  P(S)$ e que ele tem dimensão exatamente $k$ *(leve uma solução a seus valores iniciais)* .
7. Explique por que o lema da decomposição em núcleos ( [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) ) se aplica a $S$ no espaço $\mathcal{S}$ de dimensão infinita sem nenhuma mudança, e escreva a decomposição resultante de $\ker P(S)$ para $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ ( $\lambda_i$ distintos, todos não nulos pois $a_0 \neq 0$ ).
8. Para $\lambda \neq 0$ e $m \geq 1$, mostre que $$\ker\,(S - \lambda\,\mathrm{id})^m  = \bigl\{\,\bigl(Q(n)\,\lambda^n\bigr)_n : Q \in  \C_{m-1}[X]\,\bigr\},$$ de dimensão $m$. *(Calcule $(S -  \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =  \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ com $\Delta Q = Q(X + 1) -  Q(X)$ e use que $\Delta$ baixa o grau; para a dimensão, majore-a por $m$ pelos valores iniciais.)*
9. (O teorema fundamental das recorrências lineares) Conclua: se $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ com os $\lambda_i$ distintos e não nulos, as soluções de $(\mathcal R)$ são exatamente as sequências $$u_n = \sum_{i=1}^{r} Q_i(n)\,\lambda_i^n,  \qquad Q_i \in \C_{m_i - 1}[X],$$ com polinômios $Q_i$ unicamente determinados.
10. Resolva completamente: $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$ , $u_0 =  1$ , $u_1 = 0$ , e confira a resposta em $u_2$ .

**Parte III — Raízes dominantes e dividendos diofantinos.**

11. Suponha as raízes simples com $\abs{\lambda_1} >  \abs{\lambda_i}$ para $i \geq 2$ , e $u_n = \sum_i c_i  \lambda_i^n$ com $c_1 \neq 0$ . Mostre que $u_n \sim  c_1\lambda_1^n$ e $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ .
12. (Pell) Defina $a_{n+1} = a_n + 2b_n$ , $b_{n+1} = a_n +  b_n$ , $a_0 = b_0 = 1$ . Mostre que $q(a, b) = a^2 - 2b^2$ satisfaz $q(a_{n+1}, b_{n+1}) = -q(a_n, b_n)$ , logo $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ ; relacione isso com o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) de $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 1 &  1\end{smallmatrix}\right)$ .
13. Deduza a estimativa de erro $$\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|  = \frac{1}{b_n\,(a_n + \sqrt2\,b_n)}  \leq \frac{1}{2b_n^2},$$ e mostre que ela decai geometricamente com razão $3 -  2\sqrt2$ *(ache os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $M$ e o crescimento de $b_n$)*.
14. (Crescimento geral) A partir da questão 9, prove: (a) se toda raiz satisfaz $\abs{\lambda_i} \leq \rho$ , então $\abs{u_n} \leq C\,n^{m-1}\rho^n$ com $m = \max_i m_i$ ; (b) se existe uma única raiz $\lambda_1$ de módulo máximo e $Q_1 \neq 0$ , então $u_{n+1}/u_n \to  \lambda_1$ — confira isso na solução da questão 10.

**Parte IV — Contando passeios e palavras.** Para um grafo finito com conjunto de vértices $\{1, \dots, N\}$, a *matriz de adjacência* $A$ tem $A_{ij} = 1$ se $ij$ é uma aresta, e $0$ caso contrário.

15. Prove que $(A^n)_{ij}$ é o número de passeios de comprimento $n$ de $i$ até $j$ (sequências de $n$ arestas, cada passo ao longo de uma aresta).
16. (O triângulo) Para o grafo completo com $3$ vértices, $A = J - I$: usando o [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $J$ ([Exemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix)), mostre que $$(A^n)_{ii} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3},  \qquad  (A^n)_{ij} = \frac{2^n - (-1)^n}{3} \quad (i \neq j),$$ e confira os dois em $n = 2$ listando os passeios.
17. (Palavras sem $11$ ) Seja $w_n$ o número de palavras binárias de comprimento $n$ sem dois $1$ consecutivos. Codifique as palavras por sua última letra para obter uma matriz de transferência, mostre que $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ , deduza $w_n =  F_{n+2}$ (Fibonacci, [Exercício 3.5](#exo-b2-reduction-5) ) e dê a taxa de crescimento $\lim w_{n+1}/w_n$ .
18. (O caminho) Para o grafo caminho $1 - 2 - 3$ , mostre que os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $A$ são $\sqrt2, 0, -\sqrt2$ com [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ e $(1, 0, -1)$ , e deduza que o número de passeios de comprimento $n$ de uma ponta à outra é $\bigl((\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n\bigr)/4$ : zero para $n$ ímpar, e $2^{\,n/2 - 1}$ para $n$ par. Confira em $n = 4$ .
19. (Fórmula do traço) Mostre que o número total de passeios fechados de comprimento $n$ (todos os pontos de partida) é $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i \lambda_i^n$ , e verifique-o no triângulo.

**Parte V — Um anel de sequências: diagonalização simultânea.** Fixe $k \geq 3$, seja $\omega = \eu^{2\iu\pi/k}$ e seja $W \in \mathcal{M}_k(\C)$ o deslocamento [cíclico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated): $W e_i =
e_{i+1}$ (índices módulo $k$, colunas indexadas por $0, \dots, k-1$).

20. Mostre que $W^{\mathsf T}$ é a matriz companheira de $X^k - 1$ , deduza $\chi_W = \mu_W = X^k - 1$ e que $W$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) com os $k$ [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) simples $\omega^j$ e [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) $f_j = (1, \omega^{-j},  \omega^{-2j}, \dots, \omega^{-(k-1)j})^{\mathsf T}$ .
21. Uma matriz *circulante* é $C = c_0 I + c_1 W + \dots  + c_{k-1}W^{k-1}$ . Mostre que todas as circulantes comutam, que a base $(f_0, \dots, f_{k-1})$ diagonaliza *todas* elas simultaneamente, e que os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ são $\widehat c(\omega^j) = \sum_m  c_m \omega^{jm}$ , $j = 0, \dots, k-1$ .
22. Deduza $\det C = \prod_{j=0}^{k-1} \widehat  c(\omega^j)$ e verifique que $k = 3$ recupera a fatoração de [Exercício 2.8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-8) .
23. (A média do colar) Seja $x^{(n+1)} = Mx^{(n)}$ com $M = \frac12(W + W^{-1})$ : cada um de $k$ números dispostos em anel é substituído pela média de seus dois vizinhos. Mostre que os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $M$ são $\cos(2\pi j/k)$ e que o coeficiente de $x^{(0)}$ em $f_0$ é a média $\frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ *(some as coordenadas dos $f_j$)* .
24. Conclua: para $k$ ímpar, $x^{(n)}$ converge para o vetor constante cujo valor é a média dos valores iniciais; para $k = 4$ , exiba o [autovalor](#def-b2-reduction-eigen) responsável pela não convergência e a obstrução exata (um coeficiente de média alternada que deve se anular).
25. (Síntese) Em uma frase cada: como a matriz companheira converte a análise de $(\mathcal R)$ em redução; onde o lema da decomposição em núcleos não precisou de dimensão finita; por que os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) dominantes governam as taxas de crescimento e o erro diofantino; por que as potências da matriz de adjacência contam passeios; e o que se ganha com matrizes que comutam. Nomeie os dois cumes: o teorema fundamental das recorrências lineares e — para as matrizes positivas da Parte IV, no volume do terceiro ano de graduação — o teorema de Perron–Frobenius.

**Solução de Problema 3.1.**

**1.** As $k - 1$ primeiras coordenadas de $Cv_n$ são $u_{n+1},
\dots, u_{n+k-1}$ (a superdiagonal desloca), e a última é $a_0 u_n + \dots + a_{k-1}u_{n+k-1}$. Assim $v_{n+1} = Cv_n$ vale para todo $n$ se e somente se as últimas coordenadas coincidem para todo $n$, isto é, se e somente se $(\mathcal R)$ vale. Iterando, $v_n = C^nv_0$.

**2.** Desenvolva $D_k(X) = \det(XI_k - C)$ ao longo da primeira coluna: as duas entradas não nulas são $X$ (posição $(1,1)$) e $-a_0$ (posição $(k,1)$). O primeiro menor tem a forma $D_{k-1}$ para os coeficientes $a_1, \dots, a_{k-1}$; o segundo menor é triangular superior com diagonal $-1$: [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $(-1)^{k-1}$, com sinal $(-1)^{k+1}$ vindo da posição. A indução sobre $k$ (base $k = 1$: $X - a_0$) dá

$$
D_k(X) = X\bigl(X^{k-1} - a_{k-1}X^{k-2} - \dots - a_1\bigr) -
a_0 = P(X).
$$

Para $\mu_C$: como $Q(C^{\mathsf T}) = Q(C)^{\mathsf T}$ para qualquer polinômio, $C$ e $C^{\mathsf T}$ têm os mesmos [anuladores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-annihilator), logo o mesmo [polinômio minimal](#def-b2-reduction-polyu). Para $C^{\mathsf T}$: as colunas se leem $C^{\mathsf T}e_1 = e_2$, …, $C^{\mathsf
T}e_{k-1} = e_k$, de modo que $(e_1, C^{\mathsf T}e_1, \dots, (C^{\mathsf
T})^{k-1}e_1)$ é a base canônica: livre. Um polinômio $Q
\neq 0$ de grau $< k$ tem então $Q(C^{\mathsf T})e_1 \neq 0$ (é uma combinação não trivial de vetores da base): $\deg\mu \geq
k$. Como $\mu \mid \chi = P$ com $\deg P = k$: $\mu_C = P$.

**3.** Para $v = (1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf
T}$: as linhas $1$ a $k-1$ de $Cv$ dão $\lambda, \lambda^2, \dots,
\lambda^{k-1}$, isto é, $\lambda$ vezes as primeiras $k - 1$ entradas de $v$; a última linha dá $\sum_m a_m\lambda^m = \lambda^k -
P(\lambda) = \lambda^k = \lambda\cdot\lambda^{k-1}$. Logo $Cv =
\lambda v$. Reciprocamente, as equações $(Cx)_i = \lambda x_i$ para $i < k$ leem-se $x_{i+1} = \lambda x_i$: todo [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) é proporcional a $v$ — todo [autoespaço](#def-b2-reduction-eigen) tem dimensão exatamente $1$. [Diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) se e somente se as dimensões dos [autoespaços](#def-b2-reduction-eigen) somam $k$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)), se e somente se há $k$ [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) distintos, se e somente se $P$ tem $k$ raízes distintas (os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) são as raízes de $\chi_C = P$).

**4.** Cada $(\lambda_i^n)_n$ resolve $(\mathcal R)$: $\lambda_i^{n+k} = \lambda_i^n\,\lambda_i^k =
\lambda_i^n\sum_m a_m\lambda_i^m$. Liberdade: uma combinação nula $\sum_i c_i\lambda_i^n = 0$ para $n = 0, \dots, k-1$ é um sistema de Vandermonde ([Exercício 2.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-11)) nos $c_i$: todos os $c_i = 0$. O espaço das soluções tem dimensão $k$ (questão 6, cuja demonstração é elementar e independente): $k$ soluções livres formam uma base, e as coordenadas são únicas.

**5.** $P = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$: solução geral $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$. Condições iniciais: $A + B = 1$, $3A -
2B = 8$: $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

(Confira: $u_2 = u_1 + 6u_0 = 14$ e $2\cdot9 - 4 = 14$.)

**6.** $P(S)\bigl((u_n)\bigr)$ é a sequência $n \mapsto
u_{n+k} - a_{k-1}u_{n+k-1} - \dots - a_0u_n$: ela se anula se e somente se $(\mathcal R)$ vale, de modo que o conjunto solução é $\ker P(S)$, um subespaço. A aplicação $\ker P(S) \to \C^k$, $u \mapsto (u_0, \dots,
u_{k-1})$, é linear, injetiva (a recorrência determina $u_{k}, u_{k+1}, \dots$ a partir dos $k$ primeiros valores, por indução) e sobrejetiva (defina $u_n$ recursivamente a partir de dados iniciais quaisquer): dimensão $k$.

**7.** A demonstração do [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) usa apenas: a identidade de Bézout em $\C[X]$ e o fato de que polinômios num endomorfismo fixo comutam. Nenhum dos dois menciona a dimensão do espaço ambiente: o lema vale palavra por palavra para $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$. Logo

$$
\ker P(S) = \bigoplus_{i=1}^{r}
\ker\,(S - \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}.
$$

**8.** Para $Q \in \C[X]$: $(S -
\lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr)_n$ tem $n$-ésimo termo $Q(n{+}1)\lambda^{n+1} - \lambda Q(n)\lambda^n =
\lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$, com $\Delta Q = Q(X{+}1) - Q(X)$ de grau $\deg Q - 1$ (os termos dominantes se cancelam). Iterando, $(S - \lambda)^m\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =
\bigl(\lambda^{n+m}(\Delta^m Q)(n)\bigr)_n$, e $\Delta^m Q = 0$ quando $\deg Q \leq m - 1$: o conjunto da direita está contido no núcleo. Ele é um subespaço de dimensão $m$: as sequências $(n^j\lambda^n)_n$, $0 \leq j < m$, são livres, pois $\sum_j c_j n^j\lambda^n = 0$ para todo $n$ força (dividindo por $\lambda^n \neq 0$) o polinômio $\sum_j c_jX^j$ a se anular em todo $n \in \N$, logo a ser nulo. Reciprocamente, $\dim\ker(S -
\lambda)^m \leq m$: desenvolvendo $(S - \lambda)^m = \sum_j
\binom mj(-\lambda)^{m-j}S^j$, a equação $(S - \lambda)^m u =
0$ é uma recorrência linear de ordem $m$ (coeficiente dominante $1$), de modo que $u$ fica determinada por $u_0, \dots, u_{m-1}$ como na questão 6. A igualdade das dimensões conclui.

**9.** Combine as questões 7 e 8: toda solução se decompõe de modo único como soma de elementos dos $\ker(S -
\lambda_i)^{m_i}$, isto é, $u_n = \sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ com $\deg Q_i \leq m_i - 1$; os $Q_i$ são únicos porque a decomposição é direta e, dentro de cada parcela, os coeficientes de $Q_i$ são coordenadas na base $(n^j\lambda_i^n)_j$ (questão 8). Verificação de bom senso nas dimensões: $\sum_i m_i = k$.

**10.** $P = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$: soluções $(a +
bn)2^n$. Dados iniciais: $a = 1$, $2(a + b) = 0$, logo $b = -1$:

$$
u_n = (1 - n)\,2^n .
$$

Confira: $u_2 = 4u_1 - 4u_0 = -4$ e $(1 - 2)\cdot4 = -4$.

**11.** Escreva $u_n = \lambda_1^n\bigl(c_1 + \sum_{i\geq2}
c_i(\lambda_i/\lambda_1)^n\bigr)$; cada razão tem módulo $< 1$, logo o colchete tende a $c_1 \neq 0$: $u_n \sim c_1\lambda_1^n$. Em particular $u_n \neq 0$ para $n$ grande, e

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} =
\lambda_1\,\frac{c_1 + o(1)}{c_1 + o(1)} \longrightarrow
\lambda_1 .
$$

**12.** Calcule:

$$
q(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n)^2 - 2(a_n + b_n)^2
= -a_n^2 + 2b_n^2 = -q(a_n, b_n).
$$

Com $q(a_0, b_0) = 1 - 2 = -1$: $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$. Estruturalmente: $q(a, b) = (a - \sqrt2\,b)(a + \sqrt2\,b)$ e a aplicação linear $M$ multiplica o fator $a + \sqrt2 b$ por $1 +
\sqrt2$ e o fator $a - \sqrt2 b$ por $1 - \sqrt2$ (calcule: $a_{n+1} + \sqrt2 b_{n+1} = (1 + \sqrt2)(a_n + \sqrt2 b_n)$); o produto é multiplicado por $(1 + \sqrt2)(1 - \sqrt2) = -1 =
\det M$ a cada passo.

**13.** Como $a_n^2 - 2b_n^2 = (a_n - \sqrt2 b_n)(a_n +
\sqrt2 b_n) = (-1)^{n+1}$,

$$
\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|
= \frac{\abs{a_n^2 - 2b_n^2}}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)}
= \frac{1}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} \leq \frac1{2b_n^2},
$$

usando $a_n \geq b_n \geq 1$ (indução: ambos crescem), logo $a_n +
\sqrt2 b_n \geq (1 + \sqrt2)b_n \geq 2b_n$. [Autovalores](#def-b2-reduction-eigen) de $M$: $\chi_M = X^2 - 2X - 1$, de raízes $1 \pm \sqrt2$; como $(a_0, b_0)$ tem componente não nula no [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) dominante (todas as entradas positivas), $b_n \sim c(1 + \sqrt2)^n$ com $c > 0$ (questão 11). Logo o erro é $\asymp (1 + \sqrt2)^{-2n} = (3 +
2\sqrt2)^{-n}$: decaimento geométrico de razão $1/(3 + 2\sqrt2) = 3
- 2\sqrt2 \approx 0.172$.

**14.** (a) Da questão 9: $\abs{u_n} \leq \sum_i
\abs{Q_i(n)}\abs{\lambda_i}^n \leq \bigl(\sum_i
\abs{Q_i(n)}\bigr)\rho^n$, e cada $\abs{Q_i(n)} \leq C_i
n^{m_i - 1} \leq C_i n^{m-1}$ para $n \geq 1$: some as constantes. (b) Sejam $\rho' = \max_{i \geq 2}\abs{\lambda_i} <
\abs{\lambda_1}$ e $d = \deg Q_1$, de coeficiente dominante $c
\neq 0$. Então $u_n = Q_1(n)\lambda_1^n + R_n$ com $\abs{R_n}
\leq Cn^{m-1}\rho'^n$, e

$$
\frac{R_n}{Q_1(n)\lambda_1^n} = O\Bigl(n^{m-1-d}
\bigl(\rho'/\abs{\lambda_1}\bigr)^n\Bigr) \longrightarrow 0
$$

(a geométrica vence a polinomial). Logo

$$
u_n \sim Q_1(n)\,\lambda_1^n \sim c\,n^d\lambda_1^n,
\qquad
\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \lambda_1
\quad\text{(pois } Q_1(n{+}1)/Q_1(n) \to 1\text{)}.
$$

Confira na questão 10: para $u_n = (1-n)2^n$ a razão é

$$
\frac{(-n)2^{n+1}}{(1-n)2^n} = 2\,\frac{-n}{1-n}
\longrightarrow 2 = \lambda_1 .
$$

**15.** Indução sobre $n$. Para $n = 1$, $A_{ij}$ conta os passeios de comprimento $1$. Passo: um passeio de comprimento $n + 1$ de $i$ a $j$ é um passeio de comprimento $n$ de $i$ até algum vértice $\ell$ seguido de uma aresta $\ell j$:

$$
\#\{\text{passeios}\} = \sum_{\ell} (A^n)_{i\ell}A_{\ell j} =
(A^{n+1})_{ij}.
$$

**16.** $J = 3\Pi$, em que $\Pi = J/3$ é a projeção sobre $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ ao longo do plano $x + y + z = 0$ ($\Pi^2 = \Pi$, pois $J^2 = 3J$). Então $A = J - I = 2\Pi - (I -
\Pi)$ e, como $\Pi$ e $I - \Pi$ são projeções complementares,

$$
A^n = 2^n\,\Pi + (-1)^n (I - \Pi),
\qquad\text{i.e.}\qquad
(A^n)_{ij} = \frac{2^n}3 + (-1)^n\Bigl(\delta_{ij} -
\frac13\Bigr),
$$

o que dá as duas fórmulas exibidas. Em $n = 2$: diagonal $(4 + 2)/3 = 2$ (passeios $i \to \ell \to i$ para os dois vizinhos $\ell$); fora da diagonal $(4 - 1)/3 = 1$ (o único passeio $i \to
\ell \to j$ pelo terceiro vértice).

**17.** Sejam $w_n^{(0)}, w_n^{(1)}$ o número de palavras admissíveis de comprimento $n$ terminadas em $0$, resp. em $1$. Acrescentando uma letra: um $0$ pode seguir qualquer coisa, um $1$ só pode seguir um $0$:

$$
\begin{pmatrix} w_{n+1}^{(0)}\\ w_{n+1}^{(1)}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} w_n^{(0)}\\ w_n^{(1)}\end{pmatrix}.
$$

Somando, $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ (ou: condicione na primeira letra). Com $w_1 = 2$, $w_2 = 3$: $w_n = F_{n+2}$ por indução ($F_3 = 2$, $F_4 = 3$, mesma recorrência). Crescimento: as raízes de $X^2 - X - 1$ são $\varphi > \abs\psi$ ([Exercício 3.5](#exo-b2-reduction-5)), e a componente em $\varphi$ é não nula (os $w_n$ são positivos e $\psi^n \to 0$), logo a questão 11 dá $w_{n+1}/w_n \to \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\
0&1&0\end{smallmatrix}\right)$. Verificação:

$$
A(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T}
= (\pm\sqrt2, 2, \pm\sqrt2)^{\mathsf T}
= \pm\sqrt2\,(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T},
\qquad
A(1, 0, -1)^{\mathsf T} = 0 :
$$

[autovalores](#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt2, -\sqrt2, 0$ ($= 2\cos\frac\pi4,
2\cos\frac{3\pi}4, 2\cos\frac\pi2$). Decomponha $e_1$ na base de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen) e leia a terceira coordenada, ou use a simetria: com $v_\pm = (1, \pm\sqrt2, 1)$, $v_0 = (1, 0, -1)$, verifica-se $e_1
= \frac14 v_+ + \frac14 v_- + \frac12 v_0$, de modo que, para $n \geq 1$,

$$
(A^n)_{13} = \Bigl(\tfrac14(\sqrt2)^n v_+ +
\tfrac14(-\sqrt2)^n v_- + 0\Bigr)_{\!3}
= \frac{(\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n}{4},
$$

zero para $n$ ímpar (grafo bipartido: as pontas estão a distância par), e $2\cdot 2^{n/2}/4 = 2^{n/2 - 1}$ para $n$ par. Em $n = 4$: $2^{1} = 2$, o que corresponde aos dois passeios $1\,2\,1\,2\,3$ e $1\,2\,3\,2\,3$.

**19.** Os passeios fechados de comprimento $n$ a partir de $i$ são $(A^n)_{ii}$; somando sobre $i$ obtém-se $\operatorname{tr}(A^n)$. Triangularizando $A$ (sobre $\C$), $A^n$ é triangular com diagonal $\lambda_i^n$: $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i\lambda_i^n$. Triângulo: $\operatorname{tr}(A^n) = 3\,\frac{2^n + 2(-1)^n}3 =
2^n + 2(-1)^n = 2^n + (-1)^n + (-1)^n$: o [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\{2, -1,
-1\}$, coerente com a questão 16.

**20.** As colunas de $W^{\mathsf T}$: $W^{\mathsf T}e_i =
e_{i-1}$ para $i \geq 1$ e $W^{\mathsf T}e_0 = e_{k-1}$; renomeando na ordem $e_0, e_1, \dots$ isso é exatamente a matriz companheira de $X^k - 1$ ($a_0 = 1$, os demais $a_m = 0$). Questão 2: $\chi_{W} = \chi_{W^{\mathsf T}} = X^k - 1 =
\mu_{W}$. As raízes $\omega^j$ ($j = 0, \dots, k-1$) são as $k$ raízes $k$-ésimas distintas da unidade: $W$ é [diagonalizável](#def-b2-reduction-diag) (questão 3, ou [Exercício 3.8](#exo-b2-reduction-8): $W^k = I$). [Autovetores](#def-b2-reduction-eigen): $Wf_j
= \sum_m \omega^{-jm}e_{m+1} = \sum_{m'}\omega^{-j(m'-1)}e_{m'}
= \omega^j f_j$.

**21.** As circulantes são polinômios em $W$, e polinômios numa matriz fixa comutam entre si. Cada $f_j$ é [autovetor](#def-b2-reduction-eigen) de toda potência: $W^m f_j = \omega^{jm}f_j$, logo

$$
Cf_j = \sum_m c_m\omega^{jm} f_j = \widehat c(\omega^j)\,f_j :
$$

a base $(f_0, \dots, f_{k-1})$ (livre: Vandermonde nos $\omega^{-j}$ distintos, [Exercício 2.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-11)) diagonaliza todas as circulantes de uma só vez, com os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) enunciados.

**22.** O [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) é o produto dos [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) (diagonalize): $\det C = \prod_{j}\widehat c(\omega^j)$. Para $k
= 3$, $c_0 = a$, $c_1 = b$, $c_2 = c$ e $\omega = j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj^4),
$$

e $j^4 = j$: exatamente a fatoração de [Exercício 2.8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#exo-b2-linalg-8).

**23.** $M = \frac12(W + W^{-1})$ é uma circulante ($W^{-1} =
W^{k-1}$), com [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) $\frac12(\omega^j + \omega^{-j}) =
\cos\frac{2\pi j}k$ na mesma base $f_j$. Coordenadas: escreva $x^{(0)} = \sum_j \alpha_j f_j$. As coordenadas de $f_j$ somam $\sum_m \omega^{-jm}$, o que vale $k$ para $j = 0$ e $0$ caso contrário (soma geométrica de razão $\omega^{-j} \neq 1$). Somando as coordenadas de $x^{(0)}$: $\sum_m x^{(0)}_m =
\alpha_0\,k$, logo $\alpha_0 = \frac1k\sum_m x^{(0)}_m$, a média.

**24.** $x^{(n)} = M^nx^{(0)} = \sum_j
\alpha_j\cos^n\bigl(\tfrac{2\pi j}k\bigr)f_j$. Para $k$ ímpar, $\abs{\cos(2\pi j/k)} < 1$ para todo $j \neq 0$ (o ângulo nunca vale $0$ nem $\pi$), de modo que todos os termos exceto $j = 0$ tendem a $0$: $x^{(n)} \to \alpha_0 f_0$, o vetor constante igual à média — promediar num anel ímpar iguala tudo. Para $k = 4$ os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) são $1, 0, -1, 0$: o termo $j = 2$ $\alpha_2(-1)^nf_2$ com $f_2 = (1, -1, 1, -1)^{\mathsf T}$ oscila para sempre. A obstrução é a média alternada: multiplicando as coordenadas de $x^{(0)}$ por $(-1)^m$ e somando, o mesmo cálculo de soma geométrica dá $\sum_m
(-1)^mx^{(0)}_m = 4\alpha_2$: o processo converge se e somente se $x^{(0)}_0 - x^{(0)}_1 + x^{(0)}_2 - x^{(0)}_3 = 0$, e então converge para a média.

**25.** A matriz companheira converte uma recorrência escalar de ordem $k$ numa recorrência vetorial de primeira ordem, de modo que as fórmulas fechadas viram enunciados sobre $C^n$ — o terreno de casa da redução (questões 1–5). O lema da decomposição em núcleos é álgebra polinomial pura (Bézout mais comutação), logo ele reparte $\ker P(S)$ mesmo com $\mathcal{S}$ de dimensão infinita (questões 7–9). Os [autovalores](#def-b2-reduction-eigen) dominantes governam o crescimento porque toda outra contribuição é geometricamente desprezível após a normalização — e é também por isso que o erro de Pell decai como o quadrado da raiz dominante (questões 11–14). As potências da matriz de adjacência contam passeios porque a multiplicação de matrizes soma sobre os vértices intermediários, de modo que os [espectros](#def-b2-reduction-eigen) contam passeios fechados (questões 15–19). Matrizes que comutam compartilham uma base de [autovetores](#def-b2-reduction-eigen), e uma única base de Fourier diagonaliza toda a [álgebra](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) das circulantes de um golpe só (questões 20–24). Cumes: o teorema fundamental das recorrências lineares (questão 9); e, para matrizes não negativas, a razão pela qual raízes dominantes como $\varphi$ ou $1 +
\sqrt2$ são automaticamente reais, positivas e simples é o teorema de Perron–Frobenius, demonstrado no volume do terceiro ano de graduação.