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title: "Topologia dos espaços métricos"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos
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# Capítulo 4 — Topologia dos espaços métricos

A topologia da reta real (volume do primeiro ano de graduação) generaliza-se, quase sem mudar uma palavra, a qualquer conjunto munido de uma distância. O ganho é enorme: sequências de funções, de matrizes, de curvas — todas se tornam pontos de [espaços métricos](#def-b2-metric-def), e os três pilares aqui demonstrados — a [completude](#def-b2-metric-complete) com o teorema do ponto fixo de Banach, a [compacidade](#def-b2-metric-compact), a [conexidade](#def-b2-metric-connected) — aplicam-se a elas uniformemente. Este capítulo é a espinha dorsal de toda a metade analítica do livro.

## 4.1 Espaços métricos

**Definição 4.1.**

Um *espaço métrico* é um conjunto $X$ munido de uma aplicação $d
\colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todos $x, y, z$:

$$
d(x,y) = 0 \iff x = y,
\qquad
d(x,y) = d(y,x),
\qquad
d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).
$$

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ ([aberta](#def-b2-metric-topology)), $\overline B(a,r) =
\{x : d(a,x) \leq r\}$ (fechada). Uma parte $A \subseteq X$ torna-se um espaço métrico com a distância induzida.

**Exemplo 4.2.**

$\R$ com $\abs{x - y}$; $\R^n$ com qualquer uma das distâncias

$$
d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i},
\quad
d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2},
\quad
d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};
$$

o conjunto $C(\intcc{a}{b})$ das funções [contínuas](#def-b2-metric-continuity) com a *distância do sup* $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f -
g}$ (finita: $f - g$ é limitada); qualquer conjunto com a distância *discreta* ($d(x,y) = 1$ para $x \neq y$). As distâncias provenientes de normas são o assunto do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs).

**Definição 4.3 (Topologia de um espaço métrico).**

$U \subseteq X$ é *aberto* quando todo ponto de $U$ é centro de uma bola contida em $U$; $F$ é *fechado* quando seu complementar é aberto. Vizinhanças, interior, fecho, densidade e fronteira definem-se exatamente como na reta real (volume do primeiro ano de graduação), com bolas no lugar de intervalos, e os enunciados aí demonstrados — uniões e interseções de abertos, caracterizações do interior e do fecho, o fecho como menor fechado que contém o conjunto — transferem-se com as mesmas demonstrações. As bolas abertas são abertas, as bolas fechadas são fechadas (desigualdade triangular).

**Exemplo 4.4 (Interior, fecho e fronteira num só conjunto).**

Em $\R$, seja $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ — em torno de qualquer $x \in \intoo01$ uma bola pequena permanece em $A$; em torno de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ vaza para fora de $A$ pela direita, logo $1$ não é interior; e o ponto isolado $2$ também não é interior. Fecho: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (o ponto $0$ é limite de $A$, e nada mais se acrescenta). Fronteira (fecho menos interior): $\{0, 1, 2\}$. Note as assimetrias que vale a pena guardar: uma extremidade pode pertencer a um conjunto sem ser interior ($1$), pode ser aderente sem pertencer ($0$), e um ponto isolado é sua própria fronteira ($2$). A mesma contabilidade roda palavra por palavra em qualquer [espaço métrico](#def-b2-metric-def), com bolas no lugar de intervalos.

**Definição 4.5 (Limites, continuidade).**

$x_n \to x$ em $X$ quando $d(x_n, x) \to 0$. Uma aplicação $f \colon X \to Y$ entre [espaços métricos](#def-b2-metric-def) é *contínua* em $a$ quando

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad
d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq
\varepsilon ;
$$

equivalentemente (mesma demonstração que em $\R$), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sequência $x_n \to a$. $f$ é *lipschitziana* de constante $k$ quando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ sempre — e então é uniformemente contínua, logo contínua.

**Teorema 4.6 (Caracterização global da continuidade).**

$f \colon X \to Y$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) (em todo ponto) se e somente se a imagem inversa de todo [aberto](#def-b2-metric-topology) é um [aberto](#def-b2-metric-topology) — se e somente se a imagem inversa de todo fechado é fechada.

**Demonstração.** ($\Rightarrow$) Seja $V \subseteq Y$ um [aberto](#def-b2-metric-topology) e $a \in f^{-1}(V)$: alguma bola $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$; a [continuidade](#def-b2-metric-continuity) em $a$ fornece $\delta$ com $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a),
\varepsilon)$, logo $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$.

($\Leftarrow$) Dados $a$ e $\varepsilon$: $f^{-1}\bigl(B(f(a),
\varepsilon)\bigr)$ é [aberto](#def-b2-metric-topology) e contém $a$, logo contém uma bola $B(a, \delta)$: essa é a definição de [continuidade](#def-b2-metric-continuity) em $a$. Conjuntos fechados: complementares ([Proposição 1.1](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#prop-b2-structures-images)). ∎

## 4.2 Espaços completos

**Definição 4.7.**

Uma sequência $(x_n)$ é *de Cauchy* quando $\sup_{p, q \geq N} d(x_p,
x_q) \to 0$ com $N \to \infty$. Um [espaço métrico](#def-b2-metric-def) é *completo* quando toda sequência de Cauchy converge. Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy, sempre; as partes fechadas de espaços completos são completas, e as partes completas de qualquer espaço são fechadas (mesmas demonstrações que em $\R$: volume do primeiro ano de graduação).

**Exemplo 4.8 (De Cauchy sem limite).**

Em $X = \Q$ com a distância usual, os truncamentos decimais de $\sqrt2$,

$$
x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414,
\quad\dots
$$

satisfazem $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: são de Cauchy em $\Q$. Um limite em $\Q$ seria também o limite em $\R$, a saber $\sqrt2 \notin \Q$: não existe limite em $X$. A incompletude é a presença desses “limites fantasmas”; a [completude](#def-b2-metric-complete) de $\R$ foi projetada no volume do primeiro ano de graduação precisamente para dar a toda sequência de Cauchy um lar.

**Teorema 4.9.**

$\R^n$ (com qualquer uma das três distâncias do [Exemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples)) e $\bigl(C(\intcc{a}{b}),
d_\infty\bigr)$ são [completos](#def-b2-metric-complete).

**Demonstração.** $\R^n$: uma sequência de Cauchy é de Cauchy em cada coordenada (cada $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ para as três distâncias), logo cada coordenada converge ([completude](#def-b2-metric-complete) de $\R$, volume do primeiro ano de graduação), e a convergência coordenada a coordenada implica a convergência para $d_\infty$ (um número finito de coordenadas), logo para as três (as três distâncias se dominam mutuamente a menos de fatores constantes: $d_\infty
\leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$).

$C(\intcc{a}{b})$: seja $(f_n)$ de Cauchy para $d_\infty$. Para cada $x$, $(f_n(x))$ é de Cauchy em $\R$ ($\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq
d_\infty(f_p, f_q)$): converge para algum $f(x)$. Passando ao limite em $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (válido para $p, q
\geq N_\varepsilon$, todos os $x$) quando $q \to \infty$: $\abs{f_p(x) -
f(x)} \leq \varepsilon$ para todo $x$, isto é, $d_\infty(f_p, f) \leq
\varepsilon$: convergência uniforme. O limite é [contínuo](#def-b2-metric-continuity): dado $\varepsilon$, escolha $p$ com $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$, e depois use a [continuidade](#def-b2-metric-continuity) de $f_p$ em $a$ e a decomposição em três termos

$$
\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)}
+ \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon
$$

para $x$ próximo de $a$. (Esse “argumento dos $3\varepsilon$” reaparece como o teorema do limite uniforme do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq).) ∎

**Exemplo 4.10 (Abertos e fechados reconhecidos pela continuidade).**

A caracterização global ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)) é a ferramenta cotidiana da contabilidade topológica. Em $\R^2$: o conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2
< 1,\ y > x^3\}$ é [aberto](#def-b2-metric-topology) — é $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1})
\cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para a função [contínua](#def-b2-metric-continuity) $g(x,y) =
x^2 + y^2$ e $h(x, y) = y - x^3$, uma interseção de duas imagens inversas de [abertos](#def-b2-metric-topology). Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: o conjunto das funções com $f(0) = f(1)$ e $\int_0^1 f = 0$ é fechado — é a imagem inversa de $\{(0,0)\}$ pela aplicação [contínua](#def-b2-metric-continuity) $f \mapsto
\bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ com valores em $\R^2$ (cada coordenada é $1$-lipschitziana, como no [Exercício 4.3](#exo-b2-metric-3)). O método nunca desenha figura: exiba uma aplicação [contínua](#def-b2-metric-continuity), leia o conjunto como imagem inversa, cite o teorema.

**Exemplo 4.11 (Um fechado definido por uma infinidade de condições).**

Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$, o conjunto

$$
L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y}
\ \text{para todos } x, y\}
$$

das funções $1$-lipschitzianas é fechado, embora seja recortado por uma quantidade não [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) de condições: para cada par fixo $(x, y)$, a aplicação $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) (as avaliações são $1$-lipschitzianas), de modo que cada condição isolada define um fechado, e $L$ é a *interseção* dessa família — e uma interseção arbitrária de fechados é fechada. O mesmo molde certifica que são fechados os conjuntos de funções monótonas, de funções convexas, de funções limitadas por um $g$ fixo: os limites uniformes herdam toda propriedade que se exprima como família de restrições pontuais fechadas. O que os limites uniformes *não* herdam automaticamente — a derivabilidade, por exemplo — é exatamente aquilo pelo que o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) terá de penar.

**Teorema 4.12 (Teorema do ponto fixo de Banach).**

Seja $X$ um [espaço métrico completo](#def-b2-metric-complete) não vazio e $f \colon X \to X$ uma *contração*: [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) de constante $k < 1$. Então $f$ tem um único ponto fixo $\ell$, e toda órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ converge para $\ell$, com

$$
d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .
$$

**Demonstração.** Unicidade: dois pontos fixos estão a uma distância $\leq k$ vezes ela mesma. Existência: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ por indução, logo, para $q > p$,

$$
d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j)
\leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j
= \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :
$$

de Cauchy, logo convergente para algum $\ell$; a [continuidade](#def-b2-metric-continuity) de $f$ passa $x_{n+1} = f(x_n)$ ao limite: $\ell = f(\ell)$. A cota de erro é a estimativa exibida com $q \to \infty$. ∎

**Exemplo 4.13 (Uma equação integral).**

Em $X = C(\intcc{0}{1})$ ([completo](#def-b2-metric-complete), [Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), considere $T(f)(x) = 1 + \frac12
\int_0^x f(t)\,\dd t$. Para $f, g \in X$:

$$
\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq
\frac12\, d_\infty(f, g),
$$

de modo que $T$ é uma $\frac12$-contração: ela tem um único ponto fixo [contínuo](#def-b2-metric-continuity) — a solução de $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, a saber $\eu^{x/2}$. Esse esquema, industrializado, torna-se o teorema de Cauchy–Lipschitz do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq).

**Exemplo 4.14 (Um ponto fixo numérico: x=cos⁡xx = \cos xx=cosx).**

No [completo](#def-b2-metric-complete) $X = \intcc{0}{1}$, a aplicação $f = \cos$ leva $X$ em $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ e é uma contração: pela desigualdade do valor médio,

$$
\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr)
\abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y},
\qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .
$$

Banach: uma única solução de $x = \cos x$ em $\intcc01$ (logo em $\R$: todo ponto fixo real está em $\intcc{-1}{1}$ e depois em $\intcc{\cos 1}{1}$ após uma aplicação), e a iteração $x_{n+1} = \cos x_n$ converge para ela a partir de qualquer início: $x_\infty
\approx 0.739085$, o famoso número obtido martelando a tecla do cosseno de uma calculadora. A cota de erro prevê um decaimento em $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — cerca de um algarismo a cada $13$ toques; a cota a posteriori do problema de fim de semana deste capítulo (questão 14) certifica cada passo em tempo real.

## 4.3 Compacidade

**Definição 4.15.**

Um [espaço métrico](#def-b2-metric-def) $X$ é *compacto* quando toda sequência em $X$ tem uma subsequência que converge *em* $X$ (a propriedade de Bolzano–Weierstrass). Uma parte é compacta quando o é com a distância induzida.

**Teorema 4.16 (Primeiras propriedades).**

1. Uma parte [compacta](#def-b2-metric-compact) é fechada e limitada; uma parte fechada de um espaço [compacto](#def-b2-metric-compact) é [compacta](#def-b2-metric-compact) .
2. Em $\R^n$ , vale a recíproca: [compacta](#def-b2-metric-compact) $\iff$ fechada e limitada.
3. A imagem [contínua](#def-b2-metric-continuity) de um espaço [compacto](#def-b2-metric-compact) é [compacta](#def-b2-metric-compact) ; uma função real [contínua](#def-b2-metric-continuity) num espaço [compacto](#def-b2-metric-compact) não vazio é limitada e atinge seus extremos.
4. (Heine) Uma aplicação [contínua](#def-b2-metric-continuity) num espaço [compacto](#def-b2-metric-compact) é uniformemente contínua.
5. Produtos: se $X, Y$ são [compactos](#def-b2-metric-compact) , então $X \times Y$ também é (com $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

**Demonstração.** (1) Mesmos argumentos que na reta (volume do primeiro ano de graduação): uma sequência que escapa para o infinito, ou que converge para fora, não tem subsequência que convirja dentro; para a segunda afirmação, extraia no [compacto](#def-b2-metric-compact) ambiente e use que o conjunto é fechado.

(2) As sequências limitadas de $\R^n$ têm subsequências convergentes componente a componente: extraia na primeira coordenada (Bolzano–Weierstrass em $\R$), depois, dessa subsequência, na segunda, e assim por diante ($n$ extrações sucessivas); ser fechado mantém o limite dentro.

(3) Dada $(f(x_n))$, extraia $x_{\varphi(n)} \to x \in X$; a [continuidade](#def-b2-metric-continuity) dá $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$. Caso real: a [compacidade](#def-b2-metric-compact) de $f(X) \subseteq \R$ o torna fechado e limitado, e $\sup f(X) \in f(X)$ (o supremo de um conjunto é aderente a ele, e $f(X)$ é fechado).

(4) A demonstração do primeiro ano se transfere palavra por palavra; ei-la, em roupagem métrica. Suponha $f \colon X \to Y$ [contínua](#def-b2-metric-continuity) no [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$ mas não uniformemente contínua: algum $\varepsilon > 0$ admite, para cada $n$, pontos com

$$
d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1}
\qquad\text{e}\qquad
d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .
$$

Extraia $x_{\varphi(n)} \to a \in X$; então $y_{\varphi(n)} \to
a$ também (as distâncias mútuas tendem a $0$). A [continuidade](#def-b2-metric-continuity) em $a$ manda as duas sequências de imagens para $f(a)$, logo $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — contradizendo o afastamento uniforme $> \varepsilon$. A [compacidade](#def-b2-metric-compact) forneceu exatamente uma coisa: o ponto de acumulação $a$ no qual aplicar a [continuidade](#def-b2-metric-continuity) simples.

(5) Extraia nas coordenadas de $X$, depois de novo nas coordenadas de $Y$. ∎

**Exemplo 4.17 (O teorema de Heine, com e sem compacidade).**

Em $\intcc{0}{1}$, a função $x \mapsto x^2$ é uniformemente contínua — Heine o afirma sem cálculo algum, mas a estimativa direta é instrutiva:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},
$$

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ serve *para todos os pontos de uma vez*. Em $\R$ a mesma função não é uniformemente contínua: com $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$, o afastamento $\abs{x_n - y_n}
= \frac1n \to 0$ enquanto $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2}
\geq 2$: nenhum $\delta$ único serve para $\varepsilon = 1$. O mecanismo é visível: a constante [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) local $\abs{x + y}$ é limitada num [compacto](#def-b2-metric-compact) e ilimitada em $\R$ — o teorema de Heine é exatamente a afirmação de que a [compacidade](#def-b2-metric-compact) limita tais constantes locais uniformemente.

**Método 4.18 (Demonstrar que um conjunto é compacto).**

Três caminhos, em ordem de frequência. (1) *Reconhecimento no ambiente:* em $\R^n$ (ou em qualquer espaço normado de dimensão finita, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)), verifique que é fechado — tipicamente como imagem inversa, [Exemplo 4.10](#ex-b2-metric-recognize) — e limitado. (2) *Herança:* uma parte fechada de um [compacto](#def-b2-metric-compact) conhecido é [compacta](#def-b2-metric-compact); uma união finita ou um produto de [compactos](#def-b2-metric-compact) é [compacto](#def-b2-metric-compact); a imagem [contínua](#def-b2-metric-continuity) de um [compacto](#def-b2-metric-compact) é [compacta](#def-b2-metric-compact). (3) *Na unha:* extraia uma subsequência convergente de uma sequência arbitrária — em geral por extrações sucessivas coordenada a coordenada. Para provar a *não* [compacidade](#def-b2-metric-compact), basta uma testemunha: uma sequência sem subsequência convergente, quase sempre pontos a distância mútua $\geq \varepsilon$.

**Exemplo 4.19 (Distâncias entre conjuntos: a compacidade ganha o pão).**

Sejam $K$ [compacto](#def-b2-metric-compact), $F$ fechado, $K \cap F = \emptyset$ num [espaço métrico](#def-b2-metric-def). Então

$$
d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :
$$

a função $x \mapsto d(x, F)$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) ([Exercício 4.11](#exo-b2-metric-11)) e positiva em $K$ ($d(x, F) = 0$ poria $x \in \overline F = F$), logo atinge um mínimo positivo no [compacto](#def-b2-metric-compact) $K$ ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (3)). A [compacidade](#def-b2-metric-compact) não é decorativa: para dois *fechados* o ínfimo pode se anular sem ser atingido — em $\R^2$, a hipérbole $F_1 = \{xy
= 1\}$ e o eixo $F_2 = \{y = 0\}$ são fechados disjuntos com $d(F_1, F_2) = 0$ (os pontos $(n, \frac1n)$ se aproximam do eixo). A fuga para o infinito é exatamente o que a [compacidade](#def-b2-metric-compact) proíbe.

**Teorema 4.20 (Borel–Lebesgue).**

Um [espaço métrico](#def-b2-metric-def) $X$ é [compacto](#def-b2-metric-compact) se e somente se toda cobertura de $X$ por [abertos](#def-b2-metric-topology) admite uma subcobertura *finita*.

**Demonstração.** ($\Leftarrow$) Suponha que $(x_n)$ não tenha subsequência convergente. Afirmamos que todo $x \in X$ tem uma bola $B(x, r_x)$ que contém $x_n$ apenas para um número finito de índices $n$: caso contrário, toda bola $B(x, \frac1{k+1})$ conteria uma infinidade de termos e, escolhendo índices

$$
\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots
\quad\text{com}\quad
x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)
$$

(possível em cada passo precisamente porque restam infinitos candidatos), construiríamos uma subsequência convergindo para $x$. As bolas $B(x, r_x)$ cobrem $X$; se um número finito delas cobrisse $X$, o conjunto de índices $\N$ seria uma união finita de conjuntos finitos: absurdo.

($\Rightarrow$) Duas etapas. *Número de Lebesgue:* para uma cobertura [aberta](#def-b2-metric-topology) $(U_i)$ de um [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$, existe $\rho > 0$ tal que toda bola de raio $\rho$ está contida em algum $U_i$. Caso contrário, para cada $n$ escolha $x_n$ com $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ contida em nenhum $U_i$; extraia $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$; para $n$ grande, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r)
\subseteq U_{i_0}$: contradição. *Precompacidade:* para todo $\rho > 0$, um número finito de bolas de raio $\rho$ cobre $X$. Caso contrário, escolha indutivamente $x_{n+1}$ fora de $B(x_0, \rho) \cup
\dots \cup B(x_n, \rho)$: a sequência tem distâncias mútuas $\geq
\rho$, logo nenhuma subsequência de Cauchy — e portanto nenhuma convergente: contradição. Combinando: cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $\rho$ (o número de Lebesgue), cada uma dentro de algum $U_i$: uma subcobertura finita. ∎

**Exemplo 4.21 (Uma ε\varepsilonε-rede, contada).**

A precompacidade (extraída da demonstração do [Teorema 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue)) é bem concreta em $\intcc{0}{1}$: para $\varepsilon > 0$, as $\lceil
\frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas centradas em $\varepsilon,
3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de raio $\varepsilon$ o cobrem — cerca de $\frac1{2\varepsilon}$ bolas, e nenhuma cobertura consegue usar menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ delas (cada bola cobre comprimento no máximo $2\varepsilon$). Em $\intcc01^2$ a contagem eleva-se ao quadrado, da ordem de $\varepsilon^{-2}$: os números de recobrimento crescem como $\varepsilon^{-d}$ em dimensão $d$ — uma face quantitativa da [compacidade](#def-b2-metric-compact), e a razão pela qual as bolas unitárias de dimensão infinita de [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs) (onde não existe nenhuma $\frac13$-rede finita) não podem ser [compactas](#def-b2-metric-compact).

**Exemplo 4.22 (Lendo a compacidade nas coberturas).**

O intervalo [semiaberto](#def-b2-metric-topology) $\intoc{0}{1}$ é coberto pelos [abertos](#def-b2-metric-topology) $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; qualquer subfamília finita tem um maior índice $N$ e deixa de fora $\intoc{0}{\frac1N}$: não há subcobertura finita, logo $\intoc{0}{1}$ não é [compacto](#def-b2-metric-compact) — o que a definição sequencial enxerga por meio de $x_n = \frac1n$, cujo limite $0$ escapa. Por outro lado, acrescentar o único ponto $0$ repara os dois diagnósticos de uma vez: em $\intcc{0}{1}$ toda cobertura desse tipo deve conter um conjunto que contém $0$, o qual engole todo um segmento inicial, e um número finito de conjuntos termina o resto. As duas linguagens do [Teorema 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue) sempre falham ou funcionam juntas — as coberturas detectam a fuga exatamente onde as sequências detectam.

**Observação 4.23 (Perspectivas dentro deste volume).**

Este capítulo é a parede de sustentação do volume; observe onde cada pilar carrega peso. *[Completude](#def-b2-metric-complete)*: o critério de Cauchy torna-se o teste de convergência para séries em espaços de Banach ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series)), a convergência uniforme do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) é exatamente a convergência no [completo](#def-b2-metric-complete) $\bigl(C, d_\infty\bigr)$, e Cauchy–Lipschitz ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)) é o teorema do ponto fixo de Banach vestido de equação integral. *[Compacidade](#def-b2-metric-compact)*: ela demonstra a equivalência das normas ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)), a obtenção dos extremos para a otimização do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) e a existência das melhores aproximações (problema de fim de semana do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)). *[Conexidade](#def-b2-metric-connected)*: ela globaliza enunciados locais — a unicidade das soluções de equações diferenciais, o teorema do valor intermediário sobre curvas ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#ch-b2-curves)) e as duas componentes de $GL_n(\R)$ que a teoria da orientação ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)) manterá separadas.

**Observação 4.24 (Armadilhas comuns).**

(i) “Fechado e limitado implica [compacto](#def-b2-metric-compact)” é um teorema sobre $\R^n$, não sobre [espaços métricos](#def-b2-metric-def): um conjunto infinito com a métrica discreta é fechado e limitado em si mesmo e no entanto não é [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Exercício 4.4](#exo-b2-metric-4)), e a bola unitária fechada de $C(\intcc01)$ também falha ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)). (ii) A [completude](#def-b2-metric-complete) é uma propriedade da *distância*, não da topologia: $\R$ com $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ tem as mesmas sequências convergentes de sempre, mas é incompleto ([Exercício 4.1](#exo-b2-metric-1)). (iii) Uma bijeção [contínua](#def-b2-metric-continuity) não precisa ser um homeomorfismo — a parametrização do círculo do [Exercício 4.7](#exo-b2-metric-7); a [compacidade](#def-b2-metric-compact) da fonte conserta isso. (iv) O teorema de Banach precisa de $k < 1$ *uniformemente*: a condição $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ sozinha nada garante num espaço não [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Exercício 4.5](#exo-b2-metric-5)). (v) [Conexo](#def-b2-metric-connected) não implica [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos em geral — mas para os [abertos](#def-b2-metric-topology) de espaços normados encontrados neste livro, as duas noções coincidem ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)).

**Observação 4.25 (Onde este capítulo é usado).**

Em toda parte na metade analítica. A [completude](#def-b2-metric-complete) de $C(\intcc{a}{b})$ move os teoremas de convergência do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) e a teoria de Cauchy–Lipschitz do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) (o problema de fim de semana deste capítulo já demonstra o teorema local de Picard–Lindelöf); a [compacidade](#def-b2-metric-compact) dá a equivalência das normas em dimensão finita ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs)) e a existência de extremos no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc); a [conexidade](#def-b2-metric-connected) sustenta os argumentos de valor intermediário do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun) e a globalização da unicidade para equações diferenciais. No volume do terceiro ano de graduação, a [compacidade](#def-b2-metric-compact) em espaços de funções (o teorema de Arzelà–Ascoli) e o teorema de Baire ([Exercício 4.12](#exo-b2-metric-12) aqui) tornam-se ferramentas de uso diário.

![As primeiras etapas do conjunto de Cantor (): cada nível apaga o terço médio aberto de cada segmento. A interseção C = _n C_n é compacta, tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é equipotente a ℝ — e ela reaparece como ponto fixo de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-a9e39f8f0d70.svg)

*As primeiras etapas do conjunto de Cantor ([Exercício 4.8](#exo-b2-metric-8)): cada nível apaga o terço médio [aberto](#def-b2-metric-topology) de cada segmento. A interseção $C = \bigcap_n C_n$ é [compacta](#def-b2-metric-compact), tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) a $\R$ — e ela reaparece como *ponto fixo* de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22).*

## 4.4 Conexidade

**Definição 4.26.**

$X$ é *conexo* quando não admite partição em dois [abertos](#def-b2-metric-topology) não vazios — equivalentemente, quando suas únicas partes simultaneamente [abertas](#def-b2-metric-topology) e fechadas são $\emptyset$ e $X$. $X$ é *conexo por caminhos* quando quaisquer dois pontos são ligados por uma aplicação [contínua](#def-b2-metric-continuity) $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$.

**Teorema 4.27.**

1. As partes [conexas](#def-b2-metric-connected) de $\R$ são exatamente os intervalos.
2. A imagem [contínua](#def-b2-metric-continuity) de um [espaço conexo](#def-b2-metric-connected) é [conexa](#def-b2-metric-connected) — donde o teorema do valor intermediário geral: uma função real [contínua](#def-b2-metric-continuity) num [espaço conexo](#def-b2-metric-connected) assume todo valor entre dois quaisquer de seus valores.
3. [Conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos $\Rightarrow$ [conexo](#def-b2-metric-connected) . (A recíproca é falsa em geral; ela vale para os [abertos](#def-b2-metric-topology) de espaços normados, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs) .)

**Demonstração.** (1) Um $A$ que não é intervalo deixa de fora algum $z$ situado entre dois de seus pontos: $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ o reparte em duas peças não vazias e [abertas](#def-b2-metric-topology) (em $A$). Reciprocamente, seja $I$ um intervalo e $I = U \cup V$ uma partição em conjuntos não vazios relativamente [abertos](#def-b2-metric-topology); escolha $a \in U$, $b \in V$, digamos $a < b$, e ponha $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$, um ponto de $\intcc{a}{b}
\subseteq I$. Se $s \in U$: então $s \neq b$, e a abertura relativa de $U$ põe todo um intervalo em torno de $s$ (intersectado com $I$) dentro de $U$ — de modo que há pontos de $U \cap \intcc{a}{b}$ maiores que $s$, contradizendo o supremo. Se $s \in V$: a abertura relativa de $V$ põe um intervalo $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dentro de $V$; mas o supremo é aderente a $U \cap \intcc{a}{b}$, que deve encontrar esse intervalo — contradição com $U \cap V = \emptyset$. (Esse é o argumento aberto-fechado do primeiro ano para $\R$, rodado dentro de $I$.)

(2) Se $f(X) = U' \cup V'$ se reparte em conjuntos não vazios relativamente [abertos](#def-b2-metric-topology), então $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ reparte $X$ ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)). TVI: $f(X) \subseteq \R$ é [conexo](#def-b2-metric-connected), logo um intervalo por (1).

(3) Suponha $X = U \cup V$, ambos [abertos](#def-b2-metric-topology) não vazios, e ligue $a \in U$ a $b \in V$ por um caminho $\gamma$: então $\gamma^{-1}(U),
\gamma^{-1}(V)$ repartem $\intcc{0}{1}$, contradizendo (1). ∎

**Exemplo 4.28.**

$GL_n(\R)$ não é [conexo](#def-b2-metric-connected): $\det$ é [contínuo](#def-b2-metric-continuity) (um polinômio nas entradas) sobre $\R^*$, que não é [conexo](#def-b2-metric-connected); as imagens inversas de $\R_+^*$ e de $\R_-^*$ repartem $GL_n(\R)$. (Cada peça é de fato [conexa](#def-b2-metric-connected) por caminhos — um exercício agradável, além das nossas necessidades.) Em contraste, $GL_n(\C)$ *é* [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos: [Exercício 4.10](#exo-b2-metric-10).

**Exemplo 4.29 (Um ponto fixo só pela conexidade).**

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ [contínua](#def-b2-metric-continuity) tem um ponto fixo — sem hipótese de contração, sem iteração. Considere $g(x) = f(x) - x$, [contínua](#def-b2-metric-continuity) no [conexo](#def-b2-metric-connected) $\intcc01$:

$$
g(0) = f(0) \geq 0,
\qquad
g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,
$$

e o teorema do valor intermediário ([Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (2)) entrega um zero de $g$, isto é, um ponto fixo de $f$. Contraste com Banach ([Teorema 4.12](#thm-b2-metric-banach)): aqui a existência é topológica e gratuita, mas a unicidade e o algoritmo se perdem — $f =
\mathrm{id}$ tem todo ponto fixo, e a iteração de uma $f$ não contrativa pode ciclar para sempre. Os dois teoremas de ponto fixo deste capítulo respondem a perguntas diferentes com moedas diferentes.

**Exemplo 4.30 (R\RR e R2\R^2R2 não são homeomorfos).**

A [conexidade](#def-b2-metric-connected) é uma impressão digital topológica. Suponha que $h \colon
\R^2 \to \R$ fosse um homeomorfismo (uma bijeção [contínua](#def-b2-metric-continuity) de inversa [contínua](#def-b2-metric-continuity)). Retire um ponto $a \in \R^2$: a restrição $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to
\R\setminus\{h(a)\}$ continua sendo um homeomorfismo. Mas $\R^2$ menos um ponto é [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos — ligue dois pontos quaisquer por um segmento, desviando por um segundo segmento através de um ponto auxiliar se $a$ bloquear o caminho direto — logo [conexo](#def-b2-metric-connected) ([Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (3)); ao passo que $\R$ menos um ponto se reparte em duas semirretas [abertas](#def-b2-metric-topology) não vazias: não é [conexo](#def-b2-metric-connected). A [conexidade](#def-b2-metric-connected) é preservada por aplicações [contínuas](#def-b2-metric-continuity): contradição. O plano e a reta são genuinamente diferentes *como espaços topológicos* — um fato que a cardinalidade sozinha (bijeções ao estilo [Exercício 1.3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#exo-b2-structures-3) realmente existem!) é grosseira demais para enxergar.

## 4.5 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Em $\R$, verifique que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ e $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ são distâncias. Quais sequências convergem para cada uma? $(\R, d)$ é [completo](#def-b2-metric-complete)?

**Solução de Exercício 4.1.**

$\delta$: a simetria e a separação são claras; desigualdade triangular: $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ para $u, v \geq 0$ (se um dos mínimos vale $1$, o membro da direita vale $\geq 1$; caso contrário, ele vale $u + v$). $d$: é o transporte de $\abs{\cdot}$ pela aplicação injetiva $\arctan$: os três axiomas se transferem.

Convergência: para $\delta$, $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x}
\to 0$ (para valores pequenos as duas distâncias coincidem): as mesmas sequências convergentes de sempre. Para $d$: $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to
\arctan x \iff x_n \to x$ ([continuidade](#def-b2-metric-continuity) e monotonicidade estrita de $\arctan$ e de sua inversa nos intervalos pertinentes): novamente a convergência usual.

$(\R, d)$ *não* é [completo](#def-b2-metric-complete): $x_n = n$ satisfaz $d(x_p, x_q)
= \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (ambos tendem a $\frac\pi2$): de Cauchy; mas $(x_n)$ não converge para $d$ (seu limite para $d$ seria um limite ordinário). A [completude](#def-b2-metric-complete) é uma propriedade da *distância*, e não apenas das sequências convergentes.

**Exercício 4.2 ★.**

Num [espaço métrico](#def-b2-metric-def), prove que uma sequência convergente é de Cauchy e limitada, e que uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge. Deduza de novo que os [espaços métricos compactos](#def-b2-metric-compact) são [completos](#def-b2-metric-complete).

**Solução de Exercício 4.2.**

Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) +
d(\ell, x_q)$. Limitada: a partir de $N$, $d(x_n, \ell) \leq 1$; os poucos primeiros termos também cabem em algum raio.

De Cauchy $+$ subsequência convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$: dado $\varepsilon$, para $n$ grande, $d(x_n, \ell) \leq d(x_n,
x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (o primeiro termo pela condição de Cauchy, pois $\varphi(n) \geq n$).

[Compacto](#def-b2-metric-compact) $\Rightarrow$ [completo](#def-b2-metric-complete): uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente ([compacidade](#def-b2-metric-compact)), logo converge.

**Exercício 4.3 ★.**

Em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$, calcule a distância entre $f(x) = x$ e $g(x) = x^2$; descreva a bola fechada $\overline B(0, 1)$; e prove que o conjunto $\{f : f(0) = 0\}$ é fechado, enquanto $\{f : f(0) > 0\}$ é [aberto](#def-b2-metric-topology).

**Solução de Exercício 4.3.**

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (máximo de $x - x^2$ em $x = \frac12$).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$: as funções [contínuas](#def-b2-metric-continuity) com valores em $\intcc{-1}{1}$.

$\{f : f(0) = 0\}$ é a imagem inversa de $\{0\}$ pela *avaliação* $f \mapsto f(0)$, que é $1$-lipschitziana ($\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$), logo [contínua](#def-b2-metric-continuity): o conjunto é fechado ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)). Do mesmo modo, $\{f :
f(0) > 0\}$ é a imagem inversa do [aberto](#def-b2-metric-topology) $\intoo{0}{+\infty}$: é [aberto](#def-b2-metric-topology).

**Exercício 4.4 ★★.**

Prove que o [espaço métrico](#def-b2-metric-def) discreto $X$ (conjunto qualquer) é [completo](#def-b2-metric-complete) e que ele é [compacto](#def-b2-metric-compact) se e somente se $X$ é finito. Quais partes são [conexas](#def-b2-metric-connected)?

**Solução de Exercício 4.4.**

*[Completo](#def-b2-metric-complete):* uma sequência de Cauchy com $\varepsilon = \frac12$ é constante a partir de certa ordem, logo convergente.

*[Compacto](#def-b2-metric-compact) se e somente se finito:* se $X$ é finito, toda sequência assume algum valor uma infinidade de vezes (subsequência constante). Se $X$ é infinito, uma sequência de pontos dois a dois distintos tem todas as distâncias mútuas $1$: nenhuma subsequência de Cauchy, logo nenhuma convergente.

*Partes [conexas](#def-b2-metric-connected):* os conjuntos unitários (e $\emptyset$). Toda $A$ com dois pontos $x \neq y$ se reparte como $\{x\} \cup (A
\setminus\{x\})$, ambos [abertos](#def-b2-metric-topology) em $A$ (toda parte de um espaço discreto é [aberta](#def-b2-metric-topology) — as bolas de raio $\frac12$ são conjuntos unitários).

**Exercício 4.5 ★★.**

Sejam $X$ [compacto](#def-b2-metric-compact) e $f \colon X \to X$ com

$$
d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{para todo } x \neq y .
$$

Prove que $f$ tem um único ponto fixo *(minimize $x \mapsto
d(x, f(x))$)* e dê um exemplo em $X = \intco{1}{+\infty}$ (não [compacto](#def-b2-metric-compact)) sem ponto fixo.

**Solução de Exercício 4.5.**

A função $g(x) = d(x, f(x))$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) no [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$ ($\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ por duas desigualdades triangulares), logo atinge seu mínimo em algum $a$ ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops)). Se $f(a) \neq a$:

$$
g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),
$$

contradizendo a minimalidade. Logo $f(a) = a$; a unicidade como sempre (dois pontos fixos $a \neq b$ dão $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$).

Exemplo não [compacto](#def-b2-metric-compact): $f(x) = x + \frac1x$ em $\intco{1}{+\infty}$: $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x -
y}$ para $x \neq y$ (pois $xy > 1$), e no entanto $f(x) > x$ em toda parte.

**Exercício 4.6 ★★.**

([Compactos](#def-b2-metric-compact) encaixados) Seja $(K_n)$ uma sequência decrescente de partes [compactas](#def-b2-metric-compact) não vazias de um [espaço métrico](#def-b2-metric-def). Prove que $\bigcap_n K_n \neq
\emptyset$ *(escolha $x_n \in K_n$ e extraia)*. Mostre por um exemplo que fechados encaixados não vazios em $\R$ podem ter interseção vazia.

**Solução de Exercício 4.6.**

Escolha $x_n \in K_n$. Todos os termos a partir do posto $n$ estão em $K_n$; em particular a sequência inteira está no [compacto](#def-b2-metric-compact) $K_0$: extraia $x_{\varphi(k)} \to \ell$. Para cada $n$ fixo, os termos $x_{\varphi(k)}$ com $\varphi(k) \geq n$ estão no *fechado* $K_n$, logo o limite $\ell \in K_n$. Portanto $\ell \in \bigcap K_n$.

Contraexemplo com fechados: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ em $\R$: encaixados, fechados, não vazios, de interseção vazia.

**Exercício 4.7 ★★.**

Sejam $K$ [compacto](#def-b2-metric-compact) e $f \colon K \to Y$ [contínua](#def-b2-metric-continuity) e bijetiva. Prove que $f^{-1}$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) *(use conjuntos fechados: [Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity) e [Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops))*. Dê um contraexemplo sem [compacidade](#def-b2-metric-compact) ($\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ em $\intco{0}{2\pi}$).

**Solução de Exercício 4.7.**

A [continuidade](#def-b2-metric-continuity) de $f^{-1}$ significa: as imagens $f(F)$ de fechados $F
\subseteq K$ são fechadas (as imagens inversas por $f^{-1}$ são imagens por $f$). Um fechado $F$ do [compacto](#def-b2-metric-compact) $K$ é [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (1)); sua imagem [contínua](#def-b2-metric-continuity) $f(F)$ é [compacta](#def-b2-metric-compact), logo fechada. Assim $f^{-1}$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity): $f$ é um homeomorfismo.

Contraexemplo: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (não [compacto](#def-b2-metric-compact)) sobre o círculo unitário é uma bijeção [contínua](#def-b2-metric-continuity), mas $\gamma^{-1}$ é descontínua em $(1,0)$: os pontos do círculo logo abaixo do eixo têm parâmetros próximos de $2\pi$, e não de $0$.

**Exercício 4.8 ★★.**

O *conjunto de Cantor* $C$ obtém-se de $\intcc{0}{1}$ apagando repetidamente os terços médios [abertos](#def-b2-metric-topology). Prove que $C$ é [compacto](#def-b2-metric-compact), tem interior vazio e é infinito — de fato [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) a $\{0,1\}^{\N}$ *(expansões ternárias com algarismos $0,2$; [Exercício 1.3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#exo-b2-structures-3))*.

**Solução de Exercício 4.8.**

$C = \bigcap_n C_n$, em que cada $C_n$ (união de $2^n$ intervalos fechados de comprimento $3^{-n}$) é fechado: $C$ é fechado e limitado em $\R$, logo [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

Interior vazio: $C$ não contém intervalo de comprimento $> 3^{-n}$ (ele está dentro de $C_n$, cujas componentes têm esse comprimento), para todo $n$.

Cardinalidade: os pontos de $C$ são exatamente os reais $\sum_{n\geq1}
a_n 3^{-n}$ com algarismos $a_n \in \{0, 2\}$ (em cada etapa, o terço médio apagado elimina o algarismo $1$); a aplicação $(a_n) \mapsto
\sum a_n 3^{-n}$ é uma bijeção de $\{0,2\}^{\N^*}$ sobre $C$ (injetividade como no [Exercício 1.3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#exo-b2-structures-3)). Logo $C$ é [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) a $\{0,1\}^{\N}$: não [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable), embora de “comprimento zero”.

**Exercício 4.9 ★★★.**

Seja $X$ um *[espaço métrico compacto](#def-b2-metric-compact)* e $f \colon X \to X$ uma isometria: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$. Prove que $f$ é sobrejetiva. *Sugestão: se $a \notin f(X)$, então $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (por quê?); estude a órbita $a, f(a), f^2(a), \dots$ e mostre que seus pontos estão dois a dois a distância $\geq \varepsilon$ — contradição com a [compacidade](#def-b2-metric-compact).*

**Solução de Exercício 4.9.**

Suponha $a \notin f(X)$. A imagem $f(X)$ é [compacta](#def-b2-metric-compact) (imagem [contínua](#def-b2-metric-continuity)), logo fechada; assim

$$
\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr)
= \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0
$$

(o ínfimo de uma função [contínua](#def-b2-metric-continuity) num [compacto](#def-b2-metric-compact) é atingido; se fosse $0$, $a$ seria aderente ao fechado $f(X)$, logo pertenceria a ele).

Considere a órbita $x_n = f^n(a)$ ($x_0 = a$). Para $p < q$:

$$
d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr)
= d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,
$$

(isometria iterada $p$ vezes; e $f^{q-p}(a) \in f(X)$, pois $q - p
\geq 1$). Uma sequência com distâncias mútuas $\geq \varepsilon$ não tem subsequência convergente — contradizendo a [compacidade](#def-b2-metric-compact). Logo $f(X) =
X$.

**Exercício 4.10 ★★★.**

Prove que $GL_n(\C)$ é [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos. *Sugestão: dada $A, B$ invertível, considere $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ para $z
\in \C$: um polinômio em $z$, não identicamente nulo, logo com um número finito de raízes; ligue $0$ a $1$ em $\C$ por um caminho que as evite.*

**Solução de Exercício 4.10.**

Sejam $A, B \in GL_n(\C)$ e $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$: um polinômio em $z$ (cada entrada é afim em $z$; o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) é um polinômio nas entradas). $p(0) = \det A \neq 0$: $p$ não é identicamente nulo, logo tem um número finito de raízes $z_1, \dots, z_m$ (nenhuma igual a $0$ nem a $1$: $p(1) = \det B \neq 0$). O plano $\C$ menos um número finito de pontos é [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos: existe um caminho de $0$ a $1$ que evita os $z_i$ (tome uma linha quebrada por um ponto distante de todas as raízes, ou um arco de círculo; há apenas um número finito de obstáculos). Ao longo de tal caminho $\gamma$, $t \mapsto (1 - \gamma(t))A +
\gamma(t)B$ é um caminho [contínuo](#def-b2-metric-continuity) *dentro* de $GL_n(\C)$, de $A$ a $B$ (o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) nunca se anula sobre ele). Logo $GL_n(\C)$ é [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminhos — ao contrário de seu primo real ([Exemplo 4.28](#ex-b2-metric-glnr)): o plano complexo tem espaço para contornar os obstáculos.

**Exercício 4.11 ★★.**

Para $\emptyset \neq A \subseteq X$, ponha $d(x, A) = \inf_{a \in A}
d(x, a)$. Prove que $x \mapsto d(x, A)$ é $1$-lipschitziana, que $d(x, A) = 0$ se e somente se $x \in \overline A$, e que, para fechados não vazios *disjuntos* $A, B$, a função

$$
\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}
$$

está bem definida, é [contínua](#def-b2-metric-continuity), vale $0$ exatamente em $A$ e $1$ exatamente em $B$ — um “interruptor” [contínuo](#def-b2-metric-continuity) que separa dois fechados disjuntos quaisquer.

**Solução de Exercício 4.11.**

*[Lipschitziana](#def-b2-metric-continuity):* para $a \in A$, $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y,
a)$; tome o ínfimo sobre $a$: $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y,
A)$, e troque $x, y$: $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$.

*Anulamento:* $d(x, A) = 0$ se e somente se existem $a_n \in A$ com $d(x, a_n) \to 0$, se e somente se $x$ é limite de pontos de $A$, se e somente se $x \in
\overline A$.

*O interruptor:* para $A, B$ fechados disjuntos: o denominador $d(x,A) + d(x,B)$ nunca se anula (isso obrigaria $x \in \overline
A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$), logo $\varphi$ está bem definida e é [contínua](#def-b2-metric-continuity) como quociente de funções [contínuas](#def-b2-metric-continuity) com denominador não nulo. $\varphi(x) = 0$ se e somente se $d(x, A) = 0$, se e somente se $x \in A$; $\varphi(x) = 1$ se e somente se $d(x, B) = 0$, se e somente se $x \in B$; e $0 \leq \varphi \leq 1$ em toda parte.

**Exercício 4.12 ★★★.**

(Baire) Sejam $X$ um [espaço métrico completo](#def-b2-metric-complete) e $(U_n)_{n\geq1}$ uma sequência de [abertos](#def-b2-metric-topology) densos. Prove que $\bigcap_n U_n$ é denso em $X$ *(dentro de uma bola qualquer, construa bolas fechadas encaixadas $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ com $r_n \to 0$ e use a [completude](#def-b2-metric-complete))*. Deduza que $\R$ não é união [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) de fechados de interior vazio e recupere — mais uma vez — que $\R$ não é [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable).

**Solução de Exercício 4.12.**

Seja $B(x_0, r_0)$ uma bola qualquer; vamos achar nela um ponto de $\bigcap U_n$. Como $U_1$ é denso e [aberto](#def-b2-metric-topology), $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ é não vazio e [aberto](#def-b2-metric-topology): ele contém uma bola fechada $\overline B(x_1,
r_1)$ com $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (encolha o raio). Indutivamente, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ é [aberto](#def-b2-metric-topology) não vazio: escolha $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n,
r_n)$ com $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$. Para $p, q \geq n$, ambos $x_p, x_q$ estão em $B(x_n, r_n)$ com $r_n \leq 2^{-n}r_0$: a sequência é de Cauchy e converge para algum $\ell$ pela [completude](#def-b2-metric-complete). Para cada $n$, a cauda da sequência está na bola *fechada* $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1}
\cap B(x_0, r_0)$, logo $\ell \in U_{n+1}$ para todo $n$ e $\ell
\in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$. Portanto $\bigcap_n U_n$ encontra toda bola: é denso.

*Aplicação:* se $\R = \bigcup_n F_n$ com $F_n$ fechados de interior vazio, então os $U_n = \R \setminus F_n$ são densos ($\overline{U_n} = \R$ se e somente se $F_n$ tem interior vazio) e [abertos](#def-b2-metric-topology), e Baire fornece um ponto em $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup
F_n$: contradição. Em particular, $\R \neq \bigcup_{x \in D}
\{x\}$ para $D$ [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) (os conjuntos unitários são fechados de interior vazio): $\R$ não é [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) — [Teorema 1.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#thm-b2-structures-cantor) por outro caminho.

## 4.6 Problema: a iteração de Picard

[Completude](#def-b2-metric-complete) mais contração é uma máquina de resolver: alimente-a com uma equação escrita como problema de ponto fixo e ela devolve existência, unicidade, um algoritmo e barras de erro. Este problema de fim de semana roda a máquina a plena potência na equação $y' = f(t,
y)$: demonstramos o *teorema local de Picard–Lindelöf* (o coração não linear da teoria de Cauchy–Lipschitz do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)), vemos cada hipótese ganhar o pão por meio de contraexemplos e colhemos dividendos puramente métricos — a dependência [contínua](#def-b2-metric-continuity) dos dados, a equação de Kepler e a autossemelhança do conjunto de Cantor.

![Iterados de Picard para y' = y, y(0) = 1: cada passagem por T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y acrescenta um termo de Taylor, e a contração comprime toda a sequência uniformemente sobre \,t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-ca7ff92a0207.svg)

*Iterados de Picard para $y' = y$, $y(0) = 1$: cada passagem por $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ acrescenta um termo de Taylor, e a contração comprime toda a sequência uniformemente sobre $\eu^{\,t}$.*

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — o teorema de Picard–Lindelöf

Em todo o problema, $t_0 \in \R$, $y_0 \in \R$, $a, b > 0$, e $f$ é uma função [contínua](#def-b2-metric-continuity) no retângulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 +
a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$, limitada por $M =
\sup_R\,\abs f$ e *$L$-lipschitziana na segunda variável*: $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ sempre que os dois pontos estejam em $R$. Ponha

$$
h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{com } h = a
\text{ se } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.
$$

**Parte I — O palco [completo](#def-b2-metric-complete).**

1. Demonstre os dois enunciados citados na [Definição 4.7](#def-b2-metric-complete) : uma parte fechada de um [espaço métrico completo](#def-b2-metric-complete) é [completa](#def-b2-metric-complete) , e uma parte [completa](#def-b2-metric-complete) de um [espaço métrico](#def-b2-metric-def) qualquer é fechada. Deduza que toda parte fechada de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ é um [espaço métrico completo](#def-b2-metric-complete) .
2. Mostre que a aplicação $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t  \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , é $h$ -lipschitziana para $d_\infty$ .
3. (Os pontos fixos se movem menos que as aplicações) Seja $g \colon X  \to X$ uma $k$-contração de um [espaço métrico](#def-b2-metric-def) com ponto fixo $\ell_g$, e seja $\widetilde g \colon X \to X$ *uma* aplicação qualquer com ponto fixo $\ell_{\widetilde g}$. Demonstre $$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq  \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}),  \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k}  \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde  g(x)\bigr)}{1 - k}.$$
4. (O truque do iterado) Seja $X$ [completo](#def-b2-metric-complete) não vazio e $g  \colon X \to X$ uma aplicação — não suposta [contínua](#def-b2-metric-continuity) — tal que algum iterado $g^m$ seja uma $k$ -contração. Prove que $g$ tem um único ponto fixo $\ell$ e que *toda* órbita $x_{n+1} = g(x_n)$ converge para $\ell$ . *(Os pontos fixos de $g$ são pontos fixos de $g^m$; reciprocamente, $g(\ell)$ é ponto fixo de $g^m$; separe a órbita segundo os restos módulo $m$.)*

**Parte II — O teorema de Picard–Lindelöf.**

5. Mostre que uma função $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0  + b}$ é $C^1$ com $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t, y)$ em $I$ se e somente se ela é [contínua](#def-b2-metric-continuity) e satisfaz a equação integral $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s  \qquad (t \in I).$$
6. Sejam $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b  \text{ em } I\}$ e $T$ definida por $T(y)(t) =  y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Mostre que $X_h$ é uma parte fechada não vazia de $C(I)$ , logo [completa](#def-b2-metric-complete) , e que $T$ leva $X_h$ em $X_h$ — é aqui que $h \leq  b/M$ trabalha.
7. Mostre que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq  Lh\,d_\infty(y, z)$ em $X_h$ : se $Lh < 1$ , o teorema de Banach já conclui. Removemos essa condição de pequenez a seguir.
8. Prove por indução sobre $n$: $$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq  \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\,  d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$$ de modo que algum iterado de $T$ é uma contração. Conclua com a questão 4 (*o teorema de Picard–Lindelöf*): o problema de Cauchy $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tem exatamente uma solução em $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$.
9. Mostre que a restrição “com valores em $\intcc{y_0 -  b}{y_0 + b}$ ” é automática: toda solução do problema de Cauchy definida em $I$ cujo gráfico começa em $R$ permanece em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ *(considere o primeiro instante de saída e majore $\abs{y(t) - y_0}$ por $M\abs{t -  t_0}$)* . Logo a unicidade vale entre todas as soluções em $I$ .
10. Rode a máquina em $y' = y$ , $y(0) = 1$ , partindo da constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calcule os iterados de Picard $y^{(n)}$ , identifique-os e descreva a convergência.

**Parte III — Cada hipótese ganha o pão.**

11. (A condição [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) falha, a unicidade falha) Para $y' =  2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ : verifique que $y \equiv 0$ e que, para todo $c \geq 0$ , a função $y_c(t) = 0$ para $t \leq c$ , $y_c(t) = (t - c)^2$ para $t > c$ , são todas soluções $C^1$ em $\R$ . Onde exatamente $y \mapsto  2\sqrt{\abs y}$ deixa de ser [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) ?
12. (A localidade é real) Para $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : resolva explicitamente, dê o intervalo maximal de existência e calcule o melhor $h$ que o teorema consegue certificar sobre todas as escolhas do retângulo ( $a$ grande, $b$ livre): mostre que $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , enquanto a solução verdadeira vive em $\intoo{-\infty}{1}$ .
13. (A [completude](#def-b2-metric-complete) não é enfeite) Em $X = \Q \cap  \intcc{1}{2}$ com a distância usual, seja $g(x) =  \frac x2 + \frac1x$ . Mostre que $g(X) \subseteq X$ , que $g$ é uma $\frac12$ -contração *(desigualdade do valor médio)* e que $g$ não tem ponto fixo em $X$ . Qual hipótese do teorema de Banach falha, e qual é o ponto fixo no completado?
14. (Barras de erro) Para uma $k$ -contração $g$ num espaço [completo](#def-b2-metric-complete) , demonstre a estimativa *a posteriori* $d(x_n,  \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . Para a aplicação de Heron $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ em $\intcc{1}{2}$ (ponto fixo $\sqrt2$ ), partindo de $x_0 = \frac32$ : quantos passos a cota *a priori* $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ exige para uma precisão $10^{-6}$ , e quantos passos bastam na realidade? (Calcule $x_1, x_2, x_3$ e seus erros; a cota da contração é honesta, mas pessimista — Heron converge quadraticamente.)

**Parte IV — Dependência [contínua](#def-b2-metric-continuity).** Nesta parte $Lh < 1$, de modo que o próprio $T$ é uma contração em $X_h$ (questão 7); escreva $y[\,y_0\,]$ para a solução de valor inicial $y_0$.

15. (Dependência do valor inicial) Seja $z_0$ outro valor inicial com $\abs{z_0 - y_0}$ pequeno o bastante para que os dois problemas caibam no retângulo. Usando a questão 3, demonstre $$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq  \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$$
16. (Intervalos longos por encadeamento) Suponha que as soluções existam num segmento longo cortado em $m$ pedaços consecutivos em cada um dos quais a cota anterior se aplica com $Lh \leq  \frac12$ . Mostre que o desvio cresce por um fator no máximo $2$ por pedaço, logo $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ no total — uma cota exponencial no comprimento, a sombra discreta do $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ do lema de Gronwall ( [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) ).
17. (Dependência do campo) Seja $g$ outro campo em $R$ , também $L$ -lipschitziano em $y$ , com $\sup_R \abs{f - g}  \leq \varepsilon$ . Prove que as soluções correspondentes satisfazem $d_\infty \leq  \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : o erro de modelagem se propaga linearmente.
18. (Parâmetros) Se uma família $f_\lambda$ de campos é $L$ -lipschitziana em $y$ uniformemente e $\sup_R\abs{f_\lambda  - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , deduza que $\lambda \mapsto y_\lambda$ é [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) do espaço de parâmetros em $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
19. (Sistemas não custam nada) Explique por que as Partes I, II e IV valem palavra por palavra para $y$ com valores em $\R^n$ (distâncias do sup construídas sobre qualquer uma das distâncias do [Exemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples) ), e depois calcule todos os iterados de Picard para o sistema $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1,  c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 &  0\end{smallmatrix}\right)$ : mostre que a iteração se torna estacionária na solução exata após um passo.

**Parte V — Dividendos métricos e síntese.**

20. (Perturbação da identidade) Seja $X$ um palco [completo](#def-b2-metric-complete) do tipo espaço normado: tome $X = C(I)$ ou $\R^n$ . Se $\eta \colon X \to X$ é $k$ -lipschitziana com $k < 1$ , prove que $x \mapsto x + \eta(x)$ é uma bijeção de $X$ cuja inversa é $\frac1{1-k}$ -lipschitziana *(para cada $y$, aplique Banach a $x \mapsto y - \eta(x)$)* . Esse é o coração métrico do teorema da função inversa ( [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) ).
21. (Equação de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ e $m \in \R$ , prove que $x = m + e\sin x$ tem exatamente uma solução, que a iteração $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge para ela a partir de qualquer início, e estime: para $e = \frac12$ , $m = 1$ , quantas iterações garantem um erro $\leq  10^{-3}$ pela cota a priori? (A solução é $x  \approx 1.4987$ .)
22. (O conjunto de Cantor é um ponto fixo) Sejam $S_1(x) = \frac  x3$ e $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ em $\R$ , e seja $C$ o conjunto de Cantor do [Exercício 4.8](#exo-b2-metric-8) . Prove que $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ e explique em uma frase por que nenhum *outro* [compacto](#def-b2-metric-compact) não vazio satisfaz essa equação (a aplicação $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ é uma contração para uma distância entre [compactos](#def-b2-metric-compact) — a distância de Hausdorff, tornada honesta no volume do terceiro ano de graduação).
23. (A [conexidade](#def-b2-metric-connected) globaliza a unicidade) Seja $f$ localmente [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) em $y$ num [aberto](#def-b2-metric-topology) , e sejam $y, z$ duas soluções de $y' = f(t, y)$ num intervalo comum $J$ com $y(t_0) = z(t_0)$ . Prove que $y = z$ em $J$ : mostre que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ é não vazio, fechado em $J$ e [aberto](#def-b2-metric-topology) em $J$ (pela unicidade local), e use a [conexidade](#def-b2-metric-connected) dos intervalos ( [Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) ).
24. (Nada de pequenez para equações lineares) Para $y' =  \alpha(t)y + \beta(t)$ com $\alpha, \beta$ [contínuas](#def-b2-metric-continuity) num segmento $\intcc{A}{B}$ , adapte a questão 8 para mostrar que a cota fatorial vale no segmento *inteiro* , de modo que existência e unicidade são globais aí — o caso escalar do teorema de Cauchy–Lipschitz do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) , sem restrição alguma sobre o comprimento $B - A$ .
25. (Síntese) Uma frase para cada: o que a [completude](#def-b2-metric-complete) contribuiu; o que a contração contribuiu; o que o truque do iterado comprou em comparação com o Banach simples; onde entrou a [conexidade](#def-b2-metric-connected) ; e qual contraexemplo da Parte III guarda qual hipótese. Nomeie o teorema-cume e diga o que substitui a contração quando $f$ é apenas [contínua](#def-b2-metric-continuity) (o teorema de Peano, via [compacidade](#def-b2-metric-compact) em espaços de funções — o Arzelà–Ascoli do volume do terceiro ano de graduação).

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** Seja $F$ fechado no [completo](#def-b2-metric-complete) $X$ e $(x_n)
\subseteq F$ de Cauchy: ela converge em $X$ para algum $\ell$, e $\ell \in F$ porque $F$ é fechado (os limites de sequências de $F$ permanecem em $\overline F = F$): $F$ é [completo](#def-b2-metric-complete). Reciprocamente, seja $A
\subseteq X$ [completo](#def-b2-metric-complete) e $x \in \overline A$: alguma sequência de $A$ converge para $x$; ela é de Cauchy, logo converge *em* $A$; os limites são únicos, logo $x \in A$: $A$ é fechado. Como $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ é [completo](#def-b2-metric-complete) ([Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), suas partes fechadas são [completas](#def-b2-metric-complete).

**2.** Para $y, z \in C(I)$ e $t \in I$:

$$
\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq
\abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),
$$

e tome o sup sobre $t$.

**3.** Usando as duas equações de ponto fixo e a desigualdade triangular:

$$
d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})
= d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)
\leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr)
\leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr),
$$

e resolva em $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (o coeficiente $1 - k$ é positivo). A segunda desigualdade majora a diferença avaliada pela diferença uniforme.

**4.** $g^m$ é uma contração num espaço [completo](#def-b2-metric-complete) não vazio: ela tem um único ponto fixo $\ell$ ([Teorema 4.12](#thm-b2-metric-banach)). Então $g^m(g(\ell)) =
g(g^m(\ell)) = g(\ell)$: $g(\ell)$ é ponto fixo de $g^m$, logo $g(\ell) = \ell$ pela unicidade. Todo ponto fixo de $g$ é ponto fixo de $g^m$: unicidade para $g$. Órbitas: fixe $r \in \{0, \dots,
m-1\}$; a subsequência $(x_{qm + r})_q$ é a órbita de $g^m$ iniciada em $x_r$, logo ela converge para $\ell$ quando $q \to \infty$ (Banach de novo). Todas as $m$ subsequências convergem para o mesmo $\ell$, logo $x_n \to \ell$: dado $\varepsilon$, cada classe de restos fica, a partir de certa ordem, a menos de $\varepsilon$, e há um número finito de classes.

**5.** Se $y$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) com valores em $\intcc{y_0 -
b}{y_0 + b}$, o integrando $s \mapsto f(s, y(s))$ é [contínuo](#def-b2-metric-continuity) em $I$ (composição), de modo que o membro da direita é $C^1$ com derivada $f(t, y(t))$ (teorema fundamental do cálculo, volume do primeiro ano de graduação). Se $y$ satisfaz a equação integral, ela é essa função $C^1$, $y(t_0) = y_0$, e $y' = f(t, y)$. Reciprocamente, integrar $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ a $t$ dá a equação integral.

**6.** $X_h$ contém a constante $y_0$; é fechado como imagem inversa de $\intcc{0}{b}$ pela aplicação [contínua](#def-b2-metric-continuity) $y
\mapsto d_\infty(y, y_0)$ (as distâncias são $1$-lipschitzianas), logo [completo](#def-b2-metric-complete) pela questão 1. Estabilidade: para $y \in X_h$ e $t \in
I$,

$$
\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr|
\leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,
$$

o último passo por $h \leq b/M$ (ou $M = 0$, trivial). E $T(y)$ é [contínua](#def-b2-metric-continuity) ($C^1$, até melhor, questão 5): $T(y) \in X_h$.

**7.** Para $t \in I$:

$$
\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) -
f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z)
\leq Lh\,d_\infty(y,z).
$$

Se $Lh < 1$: $T$ é uma contração do [completo](#def-b2-metric-complete) não vazio $X_h$, e Banach dá um único ponto fixo — pela questão 5, a única solução.

**8.** Indução; o caso $n = 1$ é a desigualdade do meio da questão 7. Supondo a cota para $n$, para $t \geq t_0$ (o caso $t \leq t_0$ é simétrico):

$$
\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)}
\leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s
\leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\;
d_\infty(y,z),
$$

e a integral vale $\frac{L^n(t -
t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$: a cota com $n + 1$. Logo $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$, e $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (a série exponencial converge): algum $T^m$ é uma contração. A questão 4 se aplica no [completo](#def-b2-metric-complete) $X_h$: $T$ tem um único ponto fixo, isto é, o problema de Cauchy tem exatamente uma solução em $I$ com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$.

**9.** Seja $y$ uma solução do problema em $I$ e suponha que o conjunto $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ seja não vazio (o lado $t < t_0$ é simétrico); seja $\tau = \inf E$. Por [continuidade](#def-b2-metric-continuity), $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ para $s \in
\intcc{t_0}{\tau}$, de modo que o gráfico está em $R$ aí, a equação integral vale até $\tau$, e

$$
\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s,
y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .
$$

Se $\tau < t_0 + h$, pontos de $E$ arbitrariamente próximos de $\tau$ pela direita dão, por [continuidade](#def-b2-metric-continuity), $\abs{y(\tau) - y_0} \geq
b$, logo $= b$; mas então a fórmula exibida força $M(\tau - t_0) =
Mh$, isto é, $\tau = t_0 + h$: contradição. Logo $\tau = t_0 + h$, $E \subseteq \{t_0 + h\}$, e a fórmula (em $\tau = t_0 + h$) dá $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$, contradizendo o fato de estar em $E$. Portanto $E = \emptyset$: toda solução em $I$ permanece na faixa, é ponto fixo de $T$ em $X_h$, e a unicidade é incondicional.

**10.** $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$. De $y^{(0)} \equiv
1$:

$$
y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad
y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad
y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}
$$

(indução: integrar a soma parcial acrescenta o termo seguinte). Essas são as somas parciais de Taylor de $\eu^{\,t}$; em qualquer $I$ limitado elas convergem uniformemente para $\eu^{\,t}$ (a cauda é dominada pela série numérica convergente $\sum h^k/k!$), que é de fato a única solução.

**11.** $y \equiv 0$ é solução. Para $y_c$: ela é $C^1$ (as duas peças o são, e em $t = c$ as derivadas coincidem: $0$ e $2(t - c) \to 0$), e para $t > c$: $y_c' = 2(t - c) =
2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$; para $t \leq c$ os dois membros se anulam. Logo o problema de Cauchy $y(0) = 0$ tem uma infinidade de soluções ($c \geq 0$ arbitrário, e $y \equiv 0$). O campo $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ não é [lipschitziano](#def-b2-metric-continuity) perto de $0$: $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to
+\infty$ quando $y \to 0^+$: nenhuma constante $L$ serve em qualquer vizinhança de $0$ — exatamente onde todas as soluções se ramificam.

**12.** Separando as variáveis (ou verificando diretamente), a única solução local é $y(t) = \frac1{1 - t}$, definida em $\intoo{-\infty}{1}$ e explodindo em $t = 1$. Para o retângulo $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$: $M =
\sup y^2 = (1 + b)^2$, de modo que a semilargura certificada é $h =
\min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$. Maximizando $\frac{b}{(1+b)^2}$: derivada nula em $b = 1$, valor $\frac14$. Assim o teorema garante vida apenas em $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ — corretamente menos que a verdadeira duração $1$ para a frente, e infinitamente menos para trás: o teorema é local por natureza, e a explosão mostra que não poderia ser de outro jeito.

**13.** $g$ leva $\intcc12$ em si mesmo: $g$ decresce em $\intcc{1}{\sqrt2}$ e cresce depois (estude $g'(x) = \frac12
- \frac1{x^2}$), com $g(1) = g(2) = \frac32$ e mínimo $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$: $g(\intcc12) \subseteq
\intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$; e $g$ leva racionais em racionais. Contração: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12
- \frac1{x^2}} \leq \frac12$ em $\intcc12$ ($\frac1{x^2} \in
\intcc{\frac14}{1}$), de modo que a desigualdade do valor médio dá $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$. Um ponto fixo satisfaz $\frac x2 = \frac1x$, isto é, $x^2 = 2$: impossível em $\Q$. A hipótese que falha é a [completude](#def-b2-metric-complete) de $X$ ($\Q \cap
\intcc12$ não é [completo](#def-b2-metric-complete)); no completado $\intcc12$ o ponto fixo é $\sqrt2$ — o teorema de Banach rodado sobre os racionais *cria* o irracional.

**14.** A posteriori: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) +
d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$, donde $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$. Heron a partir de $x_0 = \frac32$: $x_1 = \frac{17}{12}$, $d(x_1, x_0) =
\frac1{12}$, $k = \frac12$: a cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ cai abaixo de $10^{-6}$ pela primeira vez em $n = 18$. Na realidade $x_1 = \frac{17}{12}
\approx 1.41667$ (erro $2.5\cdot10^{-3}$), $x_2 =
\frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (erro $2.1\cdot10^{-6}$), $x_3 \approx 1.41421356237469$ (erro $1.6\cdot10^{-12}$): três passos bastam. Cada passo de Heron aproximadamente *eleva ao quadrado* o erro (convergência quadrática, um fenômeno de Newton: [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun)); a estimativa da contração, que apenas o divide por dois, é honesta no pior caso mas pessimista aqui.

**15.** Aplique a questão 3 com $g = T_{y_0}$ (uma $Lh$-contração, $Lh < 1$) e $\widetilde g = T_{z_0}$, cujo ponto fixo é $y[z_0]$. Para todo $y$,

$$
\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},
$$

(as integrais são idênticas), logo $\sup_y
d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$, e a questão 3 dá

$$
d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .
$$

**16.** Em cada pedaço, a questão 15 aplicada com os valores na extremidade esquerda como dados iniciais majora o desvio na extremidade direita:

$$
d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{desvio à esquerda})
= 2\,(\text{desvio à esquerda}) .
$$

Por indução sobre os $m$ pedaços, o desvio final é no máximo $2^m\abs{y_0 - z_0}$, e o desvio uniforme em todo o segmento obedece à mesma cota (o sup de cada pedaço é controlado em sua etapa). Com pedaços de comprimento $h \asymp \frac1{2L}$, o fator é $2^m = 2^{\,\text{comprimento}\cdot 2L}$: exponencial no comprimento do intervalo, exatamente como prevê a cota de Gronwall $\eu^{L\abs{t-t_0}}$, com constantes melhores.

**17.** Mesmo esquema: para $y \in X_h$,

$$
\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) -
g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,
$$

logo a questão 3 (com $T_f$ a contração e $T_g$ a aplicação perturbada) fornece $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$.

**18.** Pela questão 17 aplicada a $f = f_\lambda$, $g =
f_\mu$: $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 -
Lh}\abs{\lambda - \mu}$: a aplicação solução é [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) de constante $\frac{Ch}{1-Lh}$.

**19.** Todos os argumentos usaram apenas: os axiomas de métrica, a [completude](#def-b2-metric-complete) do palco, a cota $\abs{\int} \leq
\int\abs{\cdot}$ e a propriedade [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) de $f$ — tudo disponível para funções com valores em $\R^n$ e $d_\infty$ construída sobre qualquer uma das distâncias equivalentes do [Exemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples) ([completo](#def-b2-metric-complete) pelo [Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)). Para $y' = Ay$ com o nilpotente $A$: $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$,

$$
y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s
= (c_1 + tc_2,\; c_2),
$$

e $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ de novo: $y^{(2)} = y^{(1)}$. A iteração é estacionária a partir de $n = 1$, na solução exata $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ — a nilpotência trunca a série exponencial, e Picard percebe.

**20.** Fixe $y \in X$ e ponha $g_y(x) = y - \eta(x)$: uma $k$-contração do [completo](#def-b2-metric-complete) $X$, logo existe exatamente um $x$ com $x + \eta(x) = y$: a aplicação $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ é bijetiva. Inversa [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity): se $\Phi(x) = y$ e $\Phi(x') =
y'$,

$$
d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr)
\leq d(y, y') + k\,d(x, x'),
$$

logo $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$. (As distâncias aqui vêm da estrutura de norma, de modo que $d(a - c, b - c) = d(a, b)$, o que a primeira desigualdade usou.)

**21.** $g(x) = m + e\sin x$ é $e$-lipschitziana no [completo](#def-b2-metric-complete) $\R$ (desigualdade do valor médio, $\abs{g'} = \abs{e\cos x}
\leq e < 1$): Banach dá uma única solução e a convergência global da iteração. Para $e = \frac12$, $m = 1$, $x_0
= 1$: $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$, $d(x_1, x_0)
\approx 0.4207$, e a cota a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ vale pela primeira vez em $n = 10$: dez iterações certificadas (o valor verdadeiro $x \approx
1.4987$ é de fato atingido com $10^{-3}$ já por volta de $n =
5$).

**22.** Use a descrição por algarismos ([Exercício 4.8](#exo-b2-metric-8)): $C$ é o conjunto das somas $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$, $a_n \in \{0, 2\}$. Então $S_1(C) =
\{x/3 : x \in C\}$ é o subconjunto com $a_1 = 0$, e $S_2(C) =
\{x/3 + 2/3\}$ o subconjunto com $a_1 = 2$: a união dos dois, na escolha livre dos $a_1$, é exatamente $C$. Unicidade em uma frase: no espaço dos [compactos](#def-b2-metric-compact) não vazios de $\intcc01$ munido da distância de Hausdorff, $A \mapsto
S_1(A) \cup S_2(A)$ é uma $\frac13$-contração de um espaço [completo](#def-b2-metric-complete), de modo que Banach só permite um conjunto fixo — o volume do terceiro ano de graduação torna a métrica de Hausdorff e esse argumento rigorosos.

**23.** Seja $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$: não vazio ($t_0 \in Z$), fechado em $J$ (igualador de duas aplicações [contínuas](#def-b2-metric-continuity): imagem inversa de $\{0\}$ por $y - z$). [Aberto](#def-b2-metric-topology): se $t_1 \in Z$, aplique o teorema local (questão 8) no ponto $(t_1, y(t_1))$, num retângulo em que $f$ é [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity): num intervalo pequeno em torno de $t_1$, tanto $y$ quanto $z$ resolvem o mesmo problema de Cauchy, logo coincidem aí (unicidade incondicional da questão 9): uma vizinhança de $t_1$ está em $Z$. Uma parte não vazia do intervalo $J$ que é ao mesmo tempo [aberta](#def-b2-metric-topology) e fechada em $J$ é todo o $J$ (os intervalos são [conexos](#def-b2-metric-connected), [Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness)): $y = z$ em $J$.

**24.** Aqui $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ é $L$-lipschitziana em $y$ em todo o $\intcc AB \times \R$ com $L =
\sup\abs\alpha$ (finito: $\alpha$ [contínuas](#def-b2-metric-continuity) num segmento), e não é preciso faixa $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ alguma: tome $X = C(\intcc
AB)$ inteiro, no qual $T$ está bem definida. A indução da questão 8 roda palavra por palavra e dá $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq
\frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$: um iterado é uma contração qualquer que seja o comprimento $B - A$, e a questão 4 conclui: uma e só uma solução no segmento inteiro. A linearidade entra exatamente uma vez: ela torna a cota [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) global em $y$, removendo o retângulo e seu $h \leq b/M$.

**25.** A *[completude](#def-b2-metric-complete)* transformou a sequência de Cauchy de iterados numa solução de verdade (questões 1, 6, 8), e sua ausência deixou $\sqrt2$ escapar de $\Q$ (questão 13). A *contração* deu a unicidade, o algoritmo e as barras de erro (questões 7, 14). *O truque do iterado* removeu a condição de pequenez $Lh < 1$, de modo que o intervalo certificado depende apenas de $M$, e não de $L$ — e tornou globais as equações lineares (questões 8, 24). A *[conexidade](#def-b2-metric-connected)* promoveu a unicidade local a unicidade global (questão 23). Os contraexemplos: $2\sqrt{\abs y}$ guarda a condição [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) (questão 11), $y^2$ guarda a localidade (questão 12), $\Q$ guarda a [completude](#def-b2-metric-complete) (questão 13). O cume é o teorema de Picard–Lindelöf (questão 8); quando $f$ é apenas [contínua](#def-b2-metric-continuity), a existência sobrevive mas a unicidade morre, e a demonstração troca a contração pela [compacidade](#def-b2-metric-compact) de conjuntos de funções — o teorema de Peano via Arzelà–Ascoli, no volume do terceiro ano de graduação.