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title: "Espaços vetoriais normados"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados
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# Capítulo 5 — Espaços vetoriais normados

Quando o [espaço métrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-def) é um espaço vetorial e a distância provém de uma [norma](#def-b2-nvs-norm), topologia e álgebra linear começam a interagir: as aplicações lineares são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) exatamente quando são limitadas na bola unitária, a dimensão finita obriga todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) a coincidirem, e a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) transforma séries absolutamente convergentes em séries convergentes. A divisão entre dimensão finita e infinita — cristalizada no teorema de Riesz — é a lição mais profunda do capítulo.

Em todo o capítulo, $E, F$ são espaços vetoriais sobre $K = \R$ ou $\C$.

## 5.1 Normas

**Definição 5.1.**

Uma *norma* em $E$ é uma aplicação $\norm{\,\cdot\,} \colon E
\to \R_+$ tal que, para todos $x, y \in E$, $\lambda \in K$:

$$
\norm x = 0 \iff x = 0,
\qquad
\norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x,
\qquad
\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .
$$

Então $d(x, y) = \norm{x - y}$ é uma distância, e tudo o que está no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric) se aplica. A desigualdade triangular invertida $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ torna a própria norma $1$-lipschitziana; a adição e a multiplicação por escalar são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) (estimativas $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x -
x'} + \norm{y - y'}$, etc.).

**Exemplo 5.2.**

Em $K^n$:

$$
\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i},
\qquad
\norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2},
\qquad
\norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}
$$

($\norm\cdot_2$ é uma [norma](#def-b2-nvs-norm) por Cauchy–Schwarz, volume do primeiro ano de graduação). Em $C(\intcc{a}{b})$:

$$
\norm f_\infty = \sup \abs f,
\qquad
\norm f_1 = \int_a^b \abs f,
\qquad
\norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},
$$

sendo as duas últimas [normas](#def-b2-nvs-norm) graças à positividade estrita da integral e à desigualdade de Cauchy–Schwarz integral (volume do primeiro ano de graduação). Sobre matrizes: qualquer [norma](#def-b2-nvs-norm) em $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$; as [normas de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) adiante são as estruturalmente importantes.

**Definição 5.3 (Normas equivalentes).**

Duas [normas](#def-b2-nvs-norm) $N_1, N_2$ em $E$ são *equivalentes* quando existem constantes $c, C > 0$ com

$$
c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .
$$

[Normas](#def-b2-nvs-norm) equivalentes têm os mesmos [abertos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology), as mesmas sequências convergentes e de Cauchy, as mesmas partes [compactas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) e [completas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete): a mesma análise.

**Exemplo 5.4 (Não equivalência em dimensão infinita).**

Em $C(\intcc{0}{1})$: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ sempre, mas nenhuma cota recíproca vale: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Logo $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ mas não para $\norm\cdot_\infty$: as duas [normas](#def-b2-nvs-norm) discordam sobre a própria convergência.

**Exemplo 5.5 (Constantes explícitas em dimensão nnn).**

Em $K^n$ as três [normas](#def-b2-nvs-norm) clássicas são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) com constantes ótimas:

$$
\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1
\leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,
$$

vindo a cota do meio $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ de Cauchy–Schwarz contra o vetor de uns. Vetores extremais: $e_1$ torna as duas primeiras desigualdades igualdades, e $(1, 1,
\dots, 1)$ as duas últimas. A dimensão $n$ aparece visivelmente nas constantes — a semente quantitativa do fracasso em dimensão infinita: quando $n \to \infty$ nenhuma constante uniforme sobrevive, que é exatamente o que o [Exemplo 5.4](#ex-b2-nvs-nonequivalent) exibe em espaços de funções.

![As bolas unitárias das três normas clássicas de ℝ2, encaixadas como ditam as desigualdades do : bola menor, norma maior. A redondeza importa: os lados retos do losango e do quadrado são exatamente as falhas de convexidade estrita exploradas no problema de fim de semana do e no deste capítulo (questão 4).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-nvs/fig-89dd87920119.svg)

*As bolas unitárias das três [normas](#def-b2-nvs-norm) clássicas de $\R^2$, encaixadas como ditam as desigualdades do [Exemplo 5.5](#ex-b2-nvs-constants): bola menor, [norma](#def-b2-nvs-norm) maior. A redondeza importa: os lados retos do losango e do quadrado são exatamente as falhas de convexidade estrita exploradas no problema de fim de semana do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun) e no deste capítulo (questão 4).*

## 5.2 Aplicações lineares contínuas

**Teorema 5.6 (Caracterização).**

Para uma aplicação linear $u \colon E \to F$ entre espaços normados, as afirmações seguintes são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent):

1. $u$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ;
2. $u$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $0$ ;
3. $u$ é limitada na bola unitária fechada: $\sup_{\norm x \leq  1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
4. existe $C \geq 0$ com $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ para todo $x$ ;
5. $u$ é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) .

O menor tal $C$ é a *norma de operador* $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0}
\frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$; ela faz do espaço $\mathcal{L}_c(E,
F)$ das aplicações lineares [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) um espaço normado, com

$$
\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .
$$

**Demonstração.** (1 $\Rightarrow$ 2) trivial. (2 $\Rightarrow$ 3): a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $0$ com $\varepsilon = 1$ dá $\delta$ com $\norm x \leq \delta
\Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$; a homogeneidade então reduz qualquer $x$ com $\norm x \leq 1$ para dentro dessa bola e de volta:

$$
\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq
\frac1\delta ,
$$

pois $\norm{\delta x} \leq \delta$. (3 $\Rightarrow$ 4): para $x \neq 0$, aplique a cota a $\frac{x}{\norm x}$. (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq
C\norm{x - y}$. (5 $\Rightarrow$ 1) conhecido.

Axiomas de [norma](#def-b2-nvs-norm) para $\vertiii\cdot$: a homogeneidade e a separação são claras ($\vertiii u = 0$ força $u = 0$ na bola, logo em toda parte); a desigualdade triangular vem de $\norm{(u + v)(x)} \leq
\norm{u(x)} + \norm{v(x)}$. Submultiplicatividade: $\norm{v(u(x))}
\leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$. ∎

**Exemplo 5.7.**

Em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$: a avaliação $f \mapsto f(0)$ tem [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) $1$; a integração $f \mapsto
\int_0^1 f$ tem [norma](#def-b2-nvs-norm) $1$; a aplicação $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ tem [norma](#def-b2-nvs-norm) $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (cota superior pela desigualdade triangular para integrais; atingida em $f \equiv 1$). Mas a derivação, de $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ em $(C^0,
\norm\cdot_\infty)$, *não* é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity): $\norm{\sin(nx)}_\infty
= 1$ enquanto a derivada tem [norma](#def-b2-nvs-norm) do sup $n$. Linear não implica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em dimensão infinita.

**Exemplo 5.8 (Duas normas, dois veredictos sobre uma sequência).**

Em $C(\intcc01)$, seja $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$. Então

$$
\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0,
\qquad
\norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12,
\qquad
\norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :
$$

uma sequência, três [normas](#def-b2-nvs-norm), três comportamentos — convergência para zero, ausência de convergência (as [normas](#def-b2-nvs-norm) se estabilizam em $\frac1{\sqrt2}$ mas o limite pontual é $0$) e explosão. A massa que se concentra perto de $x = 1$ é invisível para $\norm\cdot_1$, meio visível para $\norm\cdot_2$ e dominante para $\norm\cdot_\infty$. Em dimensão infinita, “isso converge?” não é uma pergunta sobre uma sequência: é uma pergunta sobre uma sequência *e* uma [norma](#def-b2-nvs-norm).

**Método 5.9 (Calcular uma norma de operador).**

Sempre em dois movimentos. *Cota superior:* estime $\norm{u(x)}$ por $C\norm x$ usando desigualdades triangulares, Cauchy–Schwarz ou cotas integrais — isso demonstra $\vertiii u
\leq C$. *Testemunha:* exiba ou um $x_0 \neq 0$ específico com $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (a cota é atingida), ou uma sequência de vetores unitários $x_n$ com $\norm{u(x_n)} \to C$ (a cota é aproximada). Os dois movimentos são obrigatórios: só a cota superior dá apenas $\vertiii u \leq C$, e só a testemunha dá apenas $\vertiii u \geq C$. Em dimensão infinita a testemunha pode ter de ser uma sequência — o supremo não precisa ser atingido ([Exercício 5.8](#exo-b2-nvs-8)).

**Exemplo 5.10 (Os operadores diagonais veem todas as normas do mesmo jeito).**

Para $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ em $K^n$ com *qualquer* uma das [normas](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2,
\norm\cdot_\infty$: de $\abs{d_ix_i} \leq
\bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ coordenada a coordenada, $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$; e $x = e_{j_0}$ (um índice que maximiza) a atinge. Logo $\vertiii D =
\max_j\abs{d_j}$ nos três casos: para aplicações diagonais, todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) razoáveis contam a mesma história, o maior fator de alongamento. Tudo o que é difícil nas [normas de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) diz respeito ao comportamento *não* diagonal — e é por isso que as [normas](#def-b2-nvs-norm) adaptadas do problema de fim de semana deste capítulo (questão 22) funcionam forçando primeiro a matriz a ficar diagonal.

**Exemplo 5.11 (Somas por colunas: o gêmeo em 111 do Exercício 5.4).**

Em $(\R^n, \norm\cdot_1)$, a [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) de uma matriz $A$ é a maior soma de valores absolutos por *coluna*. Rode o método: para $\norm x_1 \leq 1$,

$$
\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr|
\leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}}
\leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,
$$

e a cota é atingida em $x = e_{j_0}$ para uma coluna $j_0$ que maximize — a testemunha mais arrumada que se pode imaginar. Assim, para $A =
\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$, ao passo que $\vertiii A_\infty = 4$ também (linhas) — uma coincidência aqui, não uma lei: transponha as entradas da matriz de forma assimétrica e as duas [normas](#def-b2-nvs-norm) se separam. Linhas para $\norm\cdot_\infty$, colunas para $\norm\cdot_1$: a mnemônica é que os vetores unitários de cada [norma](#def-b2-nvs-norm) (padrões de sinais, resp. vetores da base) selecionam as somas correspondentes.

**Proposição 5.12 (Aplicações bilineares).**

Uma aplicação bilinear $b \colon E \times F \to G$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) se e somente se $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ para algum $C$; e então ela é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em conjuntos limitados. (Mesmo padrão de demonstração; o produto $(u, v) \mapsto v \circ u$ e a multiplicação de matrizes são os exemplos principais.)

**Demonstração.** Se a cota vale:

$$
b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),
$$

logo $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y +
C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$: [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $(x_0, y_0)$, e uma cota [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) onde $\norm x, \norm y \leq R$. Reciprocamente, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $(0,0)$ dá $\delta$ com $\norm{b(x,y)} \leq 1$ em $\norm x, \norm y \leq \delta$; reescale as duas variáveis. ∎

## 5.3 Dimensão finita

**Teorema 5.13 (Equivalência das normas em dimensão finita).**

Num espaço de dimensão finita, *todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent)*. Por consequência, em dimensão finita: convergência, abertura, [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) e [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) são noções independentes da [norma](#def-b2-nvs-norm); [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) $=$ fechado e limitado; o espaço é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete); e toda aplicação linear (ou multilinear) *a partir de* um espaço de dimensão finita é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demonstração.** Fixe uma base e identifique $E \simeq K^n$; basta comparar uma [norma](#def-b2-nvs-norm) qualquer $N$ com $\norm\cdot_\infty$.

*Uma direção é álgebra:* $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq
\sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ com $C = \sum N(e_i)$. Isso também mostra que $N$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (ela é $C$-lipschitziana: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$).

*A outra é topologia:* a esfera unitária $S = \{x :
\norm{x}_\infty = 1\}$ é fechada e limitada em $(K^n,
\norm\cdot_\infty)$, logo [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-compactprops) (2), válido para $\C^n \simeq
\R^{2n}$). A função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $N$ atinge seu mínimo $c$ em $S$; $c > 0$, pois $N$ só se anula em $0 \notin S$. A homogeneidade espalha a cota: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ para todo $x$.

Consequências: todos os enunciados se reduzem a $(K^n,
\norm\cdot_\infty)$, onde são conhecidos ([Teorema 4.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-rncomplete), [Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-compactprops)); uma aplicação linear $u$ a partir de $E$ de dimensão finita satisfaz $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i}
\norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$: cota (4) do [Teorema 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear). ∎

**Corolário 5.14.**

Todo subespaço de dimensão finita de um espaço normado é fechado.

**Demonstração.** Ele é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) para a [norma](#def-b2-nvs-norm) induzida ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)), e as partes [completas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) são fechadas ([Definição 4.7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete)). ∎

**Exemplo 5.15 (Uma melhor aproximação calculada por simetria).**

Em $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$, a que distância está $f(x) = \abs x$ do subespaço (fechado, de dimensão dois) das funções afins $a + bx$? Por simetria, substituir $a + bx$ por $a - bx$ deixa $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ inalterada, e o ponto médio $a$ vai pelo menos tão bem (desigualdade triangular na média): basta considerar as constantes. Para uma constante $a$:

$$
\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a)
\geq \frac12 ,
$$

minimizada em $a = \frac12$: a distância é $\frac12$, atingida pela constante $\frac12$. Note a curva de erro $\abs x -
\frac12$: ela atinge $\pm\frac12$ alternadamente em $x = -1, 0,
1$ — três extremos de sinais alternados para uma melhor aproximação por uma família de dois parâmetros. Esse padrão de *equioscilação* não é acaso; é a assinatura da otimalidade que o problema de fim de semana deste capítulo transforma no teorema de Chebyshev.

**Exemplo 5.16 (Subespaços fechados contra subespaços densos).**

Em $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$: cada $\R_n[X]$ (polinômios de grau $\leq n$, restritos a $\intcc01$) é um subespaço de dimensão finita, logo *fechado* — um limite uniforme de polinômios de grau $\leq n$ ainda é um deles. Mas a união $\R[X]$ de todos eles é *densa* em $E$ (o teorema de aproximação de Weierstrass, demonstrado no [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq)), e subespaços próprios densos são o mais não fechado que se pode imaginar. A moral: o fechamento dos subespaços é um privilégio da dimensão finita; empilhar andares fechados pode construir um arranha-céu denso.

**Teorema 5.17 (Riesz).**

A bola unitária fechada de um espaço normado $E$ é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) *se e somente se* $\dim E < \infty$.

**Demonstração.** Dimensão finita: fechada e limitada basta ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)).

Reciprocamente, suponha $\dim E = \infty$. *Lema de Riesz:* para todo subespaço fechado próprio $F \subsetneq E$ e todo $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$, existe um vetor unitário $x$ com $d(x, F) \geq 1 -
\varepsilon$. Demonstração: escolha $y \notin F$, ponha $\delta = d(y, F) > 0$ ($F$ fechado), escolha $f \in F$ com $\norm{y - f} \leq
\frac{\delta}{1 - \varepsilon}$ e ponha $x = \frac{y - f}{\norm{y -
f}}$: para todo $g \in F$,

$$
\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}}
\geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,
$$

sendo o numerador uma distância de $y$ a um ponto de $F$.

Construa agora vetores unitários $x_1, x_2, \dots$ por indução: $F_k =
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ tem dimensão finita, logo é fechado ([Corolário 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) e próprio; o lema de Riesz com $\varepsilon = \frac12$ fornece um unitário $x_{k+1}$ com $d(x_{k+1},
F_k) \geq \frac12$. A sequência satisfaz $\norm{x_p - x_q} \geq
\frac12$ para $p \neq q$: nenhuma subsequência convergente — a bola unitária não é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). ∎

**Exemplo 5.18 (Riesz como detector de dimensão).**

$C(\intcc01)$ tem dimensão finita? Riesz responde sem exibir nenhuma família livre infinita explícita: a sequência $f_n(x) = x^n$ está na bola unitária fechada e satisfaz, para $m > n$, $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ em pontos adequados — quantificado com limpeza no problema de fim de semana deste capítulo (questão 16), onde uma subsequência permanece a distância mútua $\geq \frac14$. Nenhuma subsequência convergente, logo a bola não é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact), logo $\dim C(\intcc01) = \infty$ pelo [Teorema 5.17](#thm-b2-nvs-riesz). A [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) da bola unitária é uma dicotomia perfeita: vale em dimensão finita, falha em dimensão infinita, sem meio-termo — só a geometria já lê o tipo de dimensão.

## 5.4 Espaços de Banach

**Definição 5.19.**

Um *espaço de Banach* é um espaço normado [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete). Exemplos: todo espaço normado de dimensão finita ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)); $\bigl(C(\intcc{a}{b}),
\norm\cdot_\infty\bigr)$ ([Teorema 4.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-rncomplete)); $\mathcal{L}_c(E, F)$ com $F$ de Banach (mesmo padrão de demonstração que para as funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)). Contraexemplo: $\bigl(C(\intcc{0}{1}),
\norm\cdot_1\bigr)$ ([Exercício 5.7](#exo-b2-nvs-7)).

**Exemplo 5.20 (A norma de operador da integração).**

Em $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, seja $T(f)(x) =
\int_0^x f(t)\,\dd t$ (um endomorfismo: $T(f)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)). Rode o [Método 5.9](#met-b2-nvs-opnorm). Cota superior:

$$
\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq
\norm f_\infty ,
$$

logo $\vertiii T \leq 1$. Testemunha: $f \equiv 1$ dá $T(f)(x) =
x$ e $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: atingida, $\vertiii T = 1$. Mas note que $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq
\vertiii T^2$: de fato $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ tem $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, atingida de novo em $f \equiv 1$; e, em geral, $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — a cota submultiplicativa $\vertiii T^n = 1$ erra por um fatorial. Esse é exatamente o fenômeno que o truque do iterado do problema de fim de semana do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric) converte em resolubilidade global de equações diferenciais lineares.

**Teorema 5.21 (Convergência absoluta em espaços de Banach).**

Num [espaço de Banach](#def-b2-nvs-banach), se $\sum \norm{u_n} < \infty$ então $\sum u_n$ converge, e $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$. (A teoria completa das séries em espaços normados é o [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series).)

**Demonstração.** Somas parciais $S_N$: para $q > p$, $\norm{S_q - S_p} \leq
\sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$, que tende a $0$ (critério de Cauchy para a série real das [normas](#def-b2-nvs-norm)): $(S_N)$ é de Cauchy, logo convergente. A desigualdade passa ao limite a partir da desigualdade triangular finita. ∎

**Exemplo 5.22 (Exponencial de matriz, primeiro contato).**

A *exponencial de matriz*: $\mathcal{M}_n(K)$ com qualquer [norma](#def-b2-nvs-norm) submultiplicativa ($\vertiii{AB}
\leq \vertiii A \vertiii B$) é de Banach (dimensão finita). Então, para toda $A$,

$$
\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}
$$

converge absolutamente ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, somável): está bem definida. O [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) a explora sistematicamente.

**Exemplo 5.23 (Uma série de Neumann que termina).**

Para $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 &
0\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A < 1$ em qualquer [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) construída sobre as [normas](#def-b2-nvs-norm) do [Exemplo 5.2](#ex-b2-nvs-examples), e $A^2 = 0$, de modo que a série geométrica desaba:

$$
(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A =
\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},
$$

verificado por $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$. A nilpotência trunca a série exatamente como truncou a exponencial no [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction); e o exemplo calibra as expectativas: a inversa de Neumann é uma série infinita em geral, e um polinômio precisamente quando a perturbação é nilpotente, sendo o erro após $N$ termos sempre majorado pela cauda geométrica $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$.

**Exemplo 5.24 (A exponencial de um gerador de rotações).**

Tome $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta &
0\end{smallmatrix}\right)$. Então $A^2 = -\theta^2 I$, de modo que as potências ciclam com período quatro, e a série se separa em partes pares e ímpares:

$$
\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!}
= \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I
+ \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr)
\frac{A}{\theta}
= \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix},
$$

sendo todos os rearranjos autorizados pela convergência absoluta. A exponencial de um gerador antissimétrico é uma rotação — calculada aqui apenas a partir da série, três capítulos antes de a equação diferencial $x' = Ax$ ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)) explicar *por quê*: $\eu^{tA}$ é movimento circular uniforme. A lição final: as identidades entre séries de matrizes demonstram-se exatamente como as escalares, uma vez que uma [norma](#def-b2-nvs-norm) submultiplicativa certifique a convergência absoluta.

**Exemplo 5.25 (Norma do sup significa uniforme: o dicionário).**

A afirmação $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ *é* a convergência uniforme: um único número, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$, majora o erro em todos os pontos simultaneamente. O dicionário em ação para $f_n(x) = x^n$ em $\intcc{0}{1}$: pontualmente, $f_n
\to 0$ em $\intco{0}{1}$ e $f_n(1) = 1$; na [norma](#def-b2-nvs-norm), $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$ e, de fato, o limite pontual é descontínuo, logo fora do alcance de um limite em $\norm\cdot_\infty$ dentro de $C(\intcc01)$ (que é fechado para limites uniformes, [Teorema 4.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-rncomplete)). Em $\intcc{0}{a}$, $a < 1$: $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — a convergência uniforme é restaurada ao encolher o domínio. Todo enunciado de convergência do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) é um enunciado sobre essa única [norma](#def-b2-nvs-norm); ter o dicionário em mente reduz aquele capítulo à metade.

**Observação 5.26 (Armadilhas comuns).**

(i) Uma [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) depende *das duas* [normas](#def-b2-nvs-norm) escolhidas: a mesma matriz tem $\vertiii\cdot_\infty$ dada pelas somas por linha ([Exercício 5.4](#exo-b2-nvs-4)) e uma $\vertiii\cdot_1$ diferente (somas por coluna); citar “a” [norma](#def-b2-nvs-norm) de uma matriz sem nomear as [normas](#def-b2-nvs-norm) subjacentes não significa nada. (ii) $\vertiii{AB} \leq
\vertiii A\,\vertiii B$ é uma desigualdade, em geral estrita — as potências podem encolher muito mais depressa do que a cota $\vertiii A^k$ sugere, e é justamente esse o propósito das [normas](#def-b2-nvs-norm) adaptadas (problema de fim de semana deste capítulo, questão 22). (iii) “Linear implica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)” é um privilégio da dimensão finita: a derivação sobre polinômios é linear e ilimitada ([Exemplo 5.7](#ex-b2-nvs-operatornorms)). (iv) A convergência absoluta de $\sum u_n$ só ajuda quando o espaço é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) (o [Exercício 7.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#exo-b2-series-9) constrói o contraexemplo). (v) Em dimensão infinita, um supremo sobre a bola unitária é um supremo genuíno: não suponha que ele seja atingido ([Exercício 5.8](#exo-b2-nvs-8)).

**Observação 5.27 (Perspectivas dentro deste volume).**

Três encontros ficam marcados. Com o [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series): num [espaço de Banach](#def-b2-nvs-banach), as séries absolutamente convergentes convergem, de modo que as séries geométrica e exponencial de operadores tornam-se ferramentas cotidianas — inverter $I - A$, definir $\eu^{A}$ ([Exemplo 7.2](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ex-b2-series-neumann)). Com os [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) e [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries): a convergência de sequências de funções e de séries de potências é a convergência em $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ ([Exemplo 5.25](#ex-b2-nvs-uniformdictionary)), e o raio de convergência é um enunciado sobre quais séries geométricas dominam. Com o [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier): as [normas](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_2$ e $\norm\cdot_\infty$ discordam de verdade em $C(\intcc{0}{1})$ ([Exemplo 5.8](#ex-b2-nvs-sqrtnxn)), e é exatamente por isso que a convergência em média quadrática das séries de Fourier e a convergência uniforme são dois teoremas distintos com dois preços distintos.

**Observação 5.28 (Onde este capítulo é usado).**

As [normas de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) e a série geométrica movem os argumentos de perturbação do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) (teorema da função inversa) e a [exponencial de matriz](#ex-b2-nvs-matrixexp) do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq); a [equivalência das normas](#thm-b2-nvs-finitedim) autoriza silenciosamente todo argumento do tipo “escolha sua [norma](#def-b2-nvs-norm) preferida” no [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq) e adiante; e a divisão finito/infinito do teorema de Riesz — tornada quantitativa no problema de fim de semana deste capítulo — é a razão pela qual o volume do terceiro ano de graduação precisa de ferramentas novas (convergência fraca, Arzelà–Ascoli, projeções em espaços de Hilbert) onde este volume ainda podia extrair subsequências convergentes.

## 5.5 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Em $\R^2$, desenhe as bolas unitárias de $\norm\cdot_1$, $\norm\cdot_2$, $\norm\cdot_\infty$ e demonstre as desigualdades $\norm x_\infty
\leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ com as melhores constantes em dimensão $2$.

**Solução de Exercício 5.1.**

Bolas unitárias: um losango ($\norm\cdot_1$), um disco ($\norm\cdot_2$), um quadrado ($\norm\cdot_\infty$), encaixados nessa ordem. Desigualdades: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (um quadrado é no máximo a soma); $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (elevando ao quadrado: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1}
+ \abs{x_2})^2$); $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (dois termos, cada um $\leq \max$). Otimalidade: $(1, 0)$ torna as duas primeiras igualdades; $(1, 1)$ dá $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ e mostra também que $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ e $\norm x_1 = \sqrt2 \norm
x_2$ são as razões extremas no outro sentido.

**Exercício 5.2 ★.**

$N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ é uma [norma](#def-b2-nvs-norm) em $C^1(\intcc{0}{1})$? Compare-a com $\norm{f}_\infty$: uma desigualdade vale, a outra falha (exiba).

**Solução de Exercício 5.2.**

Axiomas de [norma](#def-b2-nvs-norm): a homogeneidade e a desigualdade triangular são herdadas termo a termo; separação: $N(f) = 0$ força $f' = 0$ (logo $f$ constante) e $f(0) = 0$: $f = 0$. É uma [norma](#def-b2-nvs-norm).

Comparação: $\norm f_\infty \leq N(f)$, pois $\abs{f(x)} \leq
\abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} +
\norm{f'}_\infty$. A recíproca falha: tome $f_n(x) = \frac1n
\sin(nx)$: então $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ enquanto $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$. Nenhuma constante $C$ dá $N \leq C\norm\cdot_\infty$.

**Exercício 5.3 ★.**

Calcule a [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) de $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$, e a do deslocamento $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ em $(K^n, \norm\cdot_\infty)$.

**Solução de Exercício 5.3.**

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu -
1)\norm f_\infty$, com igualdade para $f \equiv 1$: $\vertiii u =
\eu - 1$.

Deslocamento: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq
\norm x_\infty$, com igualdade em $x = e_2$: $\vertiii S = 1$ (para $n
\geq 2$).

**Exercício 5.4 ★★.**

Em $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$, prove que a [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) de uma matriz $A$ é $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (a maior soma de valores absolutos por linha). Calcule-a para $\begin{pmatrix} 1 & -2\\
3 & 1\end{pmatrix}$.

**Solução de Exercício 5.4.**

Cota superior: para $\norm x_\infty \leq 1$,

$$
\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j
\abs{a_{ij}},
$$

logo $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$. Atingida: seja $i_0$ um índice que realiza o máximo e tome $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0
j})$ (entradas de módulo $1$): então $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0
j}}$. Daí a fórmula. Para a matriz dada: somas por linha $3$ e $4$: $\vertiii A_\infty = 4$.

**Exercício 5.5 ★★.**

Prove que $GL_n(K)$ é [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) em $\mathcal{M}_n(K)$ e que $A
\mapsto A^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) nele. *Sugestão: para a abertura, se $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ então $A + H = A(I +
A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H} < 1$, e $I + B$ é invertível para $\vertiii B < 1$ pela série geométrica ([Teorema 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)); para a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), majore $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ usando a mesma série.*

**Solução de Exercício 5.5.**

*Série geométrica:* para $\vertiii B < 1$, a série $\sum
B^k$ converge absolutamente no [espaço de Banach](#def-b2-nvs-banach) $\mathcal{M}_n(K)$ ([Teorema 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence), $\vertiii{B^k} \leq
\vertiii B^k$), e

$$
(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :
$$

pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) do produto ([Proposição 5.12](#prop-b2-nvs-bilinear)), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$, logo $I - B$ é invertível com inversa igual à soma (e $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$).

*Abertura:* para $A$ invertível e $\vertiii H <
\frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$: $A + H = A(I + A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$: invertível. Logo uma bola em torno de $A$ permanece em $GL_n$.

*[Continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) da inversão:* com $B = -A^{-1}H$,

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1}
= \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},
$$

de [norma](#def-b2-nvs-norm) $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}}
\to 0$ quando $H \to 0$.

**Exercício 5.6 ★★.**

Seja $\varphi$ uma forma linear num espaço normado $E$. Prove que $\varphi$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) se e somente se $\ker\varphi$ é fechado. *(Se $\ker\varphi$ é fechado e $\varphi \neq 0$, escolha $a$ com $\varphi(a) = 1$ e $r > 0$ com $B(a, r) \cap \ker\varphi =
\emptyset$; deduza $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ por um argumento de reescalamento em $a - \frac{h}{\varphi(h)}$.)*

**Solução de Exercício 5.6.**

[Contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\Rightarrow$ núcleo fechado: imagem inversa do fechado $\{0\}$ ([Teorema 4.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-globalcontinuity)).

Reciprocamente, suponha $\ker\varphi$ fechado e $\varphi \neq 0$. Escolha $a$ com $\varphi(a) = 1$; como $a \notin \ker\varphi$ e o núcleo é fechado, alguma bola $B(a, r)$ não o encontra. Seja agora $h \in E$ com $\varphi(h) \neq 0$: o vetor $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ está em $\ker\varphi$, logo fora de $B(a, r)$:

$$
\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r
\quad\Longrightarrow\quad
\abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},
$$

desigualdade trivialmente verdadeira também quando $\varphi(h) = 0$: cota (4) do [Teorema 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear): [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Exercício 5.7 ★★.**

Prove que $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ não é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete): mostre que as funções $f_n$, rampas afins de $0$ a $1$ em $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (valendo $0$ antes e $1$ depois), formam uma sequência de Cauchy sem limite [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\norm\cdot_1$.

**Solução de Exercício 5.7.**

Seja $f_n$ igual a $0$ em $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$, afim até o valor $1$ em $\frac12$, e depois $1$ em $\intcc{\frac12}{1}$. Para $m
\geq n$, $f_m - f_n$ tem suporte num intervalo de comprimento $\frac1n$ com valores em $\intcc{-1}{1}$: $\norm{f_m - f_n}_1 \leq
\frac1n$: de Cauchy.

Suponha $f_n \to f$ em $\norm\cdot_1$ com $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Em $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ ($\delta$ fixo): $\int \abs{f} =
\int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ para $n >
\frac1\delta$, logo $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$ e, pela positividade estrita, $f = 0$ aí — para todo $\delta$: $f = 0$ em $\intoo{0}{\frac12}$. Do mesmo modo, $f = 1$ em $\intcc{\frac12}{1}$ (as $f_n$ valem todas $1$ aí). Pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\frac12$: $0 =
1$, absurdo. Não existe limite: o espaço não é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete).

**Exercício 5.8 ★★★.**

Em $E = C(\intcc{0}{1})$ com $\norm\cdot_\infty$, considere

$$
\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).
$$

Prove que $\varphi$ é uma forma linear [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) bem definida com $\vertiii\varphi = 1$, mas que o supremo que define $\vertiii\varphi$ *não é atingido* na bola unitária fechada. *(Cota superior: desigualdade triangular. [Norma](#def-b2-nvs-norm) $= 1$: construa $f_K$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ e $f_K(\frac1n)
= (-1)^n$ para $n \leq K$ — os pontos $\frac1n$ estão isolados uns dos outros. Não atingimento: a igualdade forçaria $f(\frac1n) =
(-1)^n$ para todo $n$, incompatível com a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f$ em $0$, pois $\frac1n \to 0$.)*

**Solução de Exercício 5.8.**

Boa definição e [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity): $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n}
\norm f_\infty = \norm f_\infty$, logo $\varphi$ é uma forma linear com $\vertiii\varphi \leq 1$ (a série converge absolutamente para cada $f$).

[Norma](#def-b2-nvs-norm) $1$: fixe $K$; os pontos $1, \frac12, \dots, \frac1K$ são dois a dois distintos, logo existe uma $f_K$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), $\norm{f_K}_\infty
\leq 1$, com $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ (interpolação afim por partes, constante perto de $0$). Então

$$
\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n}
= 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .
$$

Não atingida: se $\norm f_\infty \leq 1$ e $\varphi(f) = 1$, cada termo tem de contribuir com seu máximo: $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ para todo $n$ (caso contrário, o déficit estrito de um termo não pode ser compensado, sendo todos os termos $\leq 2^{-n}$). Logo $f(\frac1n) = (-1)^n$; mas $\frac1n \to 0$ e $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $0$, o que forçaria a convergência contraditória de $(-1)^n$. Portanto o supremo não é máximo — impossível em dimensão finita, onde a bola unitária fechada é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).

**Exercício 5.9 ★★★.**

Seja $E$ um espaço normado no qual a bola unitária fechada é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). Redemonstre, sem citar o [Teorema 5.17](#thm-b2-nvs-riesz), que toda sequência limitada tem subsequência convergente, e prove que toda forma linear em $E$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) se e somente se $\dim E < \infty$. *(Para a dimensão infinita, construa uma forma descontínua definindo-a livremente numa sequência normalizada linearmente independente e estendendo — admitindo a existência de um complemento algébrico.)*

**Solução de Exercício 5.9.**

*Sequências limitadas:* uma sequência limitada está em alguma bola fechada $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$, [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) (imagem da bola unitária [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) pelo homeomorfismo $x \mapsto Rx$): extraia aí.

*Formas lineares:* se $\dim E < \infty$, toda aplicação linear de $E$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)). Reciprocamente, suponha $\dim E = \infty$ (o que, pelo [Teorema 5.17](#thm-b2-nvs-riesz), está de fato excluído pela hipótese de [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) — o ponto desta questão é a implicação entre as duas propriedades em espaços normados gerais): escolha uma sequência normalizada linearmente independente $(e_n)$, complete-a numa base algébrica (admitida) e defina $\varphi(e_n) = n$, $\varphi = 0$ nos demais vetores da base, estendendo por linearidade. Então $\abs{\varphi(e_n)} = n$ com $\norm{e_n} = 1$: ilimitada na bola unitária, descontínua. Assim “todas as formas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)” força a dimensão finita.

**Exercício 5.10 ★★.**

Em $C(\intcc{0}{1})$, prove $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm
f_\infty$ *(Cauchy–Schwarz para a primeira)* e mostre, com a família $f_n(x) = x^n$, que nenhuma das desigualdades pode ser invertida a menos de constante: as três [normas](#def-b2-nvs-norm) são duas a duas não [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent).

**Solução de Exercício 5.10.**

Cauchy–Schwarz com a função constante $1$: $\norm f_1 =
\int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1
f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$. E $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$. Para $f_n(x) =
x^n$:

$$
\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad
\norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad
\norm{f_n}_\infty = 1 .
$$

Então $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to
\infty$ e $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to
\infty$: nenhuma desigualdade recíproca, nenhum par é equivalente.

**Exercício 5.11 ★★.**

(Distância a um hiperplano) Seja $\varphi$ uma forma linear [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) não nula num espaço normado $E$. Prove que

$$
d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) =
\frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi}
\qquad (x \in E),
$$

e verifique em [Exercício 5.8](#exo-b2-nvs-8) que o ínfimo não precisa ser atingido por nenhum ponto do hiperplano.

**Solução de Exercício 5.11.**

*Cota inferior para a distância:* para $h \in \ker\varphi$, $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq
\vertiii\varphi\,\norm{x - h}$; tome o ínfimo sobre $h$: $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$.

*Cota superior:* podemos supor $\varphi(x) \neq 0$. Dado $\varepsilon > 0$, escolha um unitário $u$ com $\abs{\varphi(u)} \geq
\vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ e ponha $h = x -
\frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$: então $\varphi(h) = 0$ e

$$
\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}}
\leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.
$$

Faça $\varepsilon \to 0$: $d(x, \ker\varphi) \leq
\abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$; igualdade.

*Não atingimento:* tome $\varphi$ como no [Exercício 5.8](#exo-b2-nvs-8) ($\vertiii\varphi = 1$, não atingida) e qualquer $x$ com $\varphi(x) \neq 0$. Se algum $h \in \ker\varphi$ realizasse $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$, o vetor unitário $v = (x -
h)/\norm{x - h}$ satisfaria $\abs{\varphi(v)} =
\abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$: a [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) seria atingida — contradição.

**Exercício 5.12 ★★★.**

Em $E = \R[X]$ (todos os polinômios), sejam $N_1(P) =
\sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ e $N_2(P) =
\sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$. Mostre que $N_1 \leq N_2$ mas que $N_1$ e $N_2$ *não* são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent); deduza que a identidade $(E, N_2) \to (E, N_1)$ é uma bijeção linear [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) cuja inversa é descontínua. Mostre por fim que $(E, N_1)$ não é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) *(somas parciais de Taylor de $\eu^x$)*. Os três fenômenos são impossíveis em dimensão finita — diga por quê.

**Solução de Exercício 5.12.**

$N_1 \leq N_2$ é a monotonicidade do sup no domínio, de modo que a identidade $(E, N_2) \to (E, N_1)$ é $1$-lipschitziana. Para $P_n(x) =
(x/2)^n$: $N_2(P_n) = 1$ (atingida em $x = 2$) enquanto $N_1(P_n) =
2^{-n}$: uma cota $N_2 \leq CN_1$ daria $1 \leq C2^{-n}$ para todo $n$: impossível. Logo as [normas](#def-b2-nvs-norm) não são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) e a identidade inversa é uma bijeção linear descontínua.

*Incompletude:* seja $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$. Para $m > n$, $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$: de Cauchy para $N_1$. Se $S_n \to P$ em $(E, N_1)$, então pontualmente $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ em $\intcc{0}{1}$; mas um polinômio de grau $d$ não pode ser igual a $\eu^x$ num intervalo (derive $d + 1$ vezes: o membro da esquerda morre, $\eu^x$ não). Nenhum limite em $E$: não é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete).

Em dimensão finita os três fenômenos são impossíveis: todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent), todo espaço normado é [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete), e a inversa de uma bijeção linear é linear a partir de um espaço de dimensão finita, logo [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)).

## 5.6 Problema: melhor aproximação e o teorema de Chebyshev

Quão bem uma função pode ser aproximada por polinômios de um dado grau, e qual polinômio faz isso melhor? Do lado da existência, a resposta pertence a este capítulo: a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) em dimensão finita faz as melhores aproximações existirem. Do lado explícito, um caso não trivial pode ser resolvido inteiramente na unha — entre todos os polinômios *mônicos* de grau $n$, o de menor [norma](#def-b2-nvs-norm) do sup em $\intcc{-1}{1}$ é o polinômio de Chebyshev (normalizado), de [norma](#def-b2-nvs-norm) $2^{1-n}$: o *teorema extremal de Chebyshev*. O problema demonstra os dois lados e depois mede quão mal a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) falha em dimensão infinita: a bola unitária de $C(\intcc{0}{1})$ contém constelações infinitas de pontos a distância mútua $1$.

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — o teorema extremal de Chebyshev e a geometria da bola unitária

As [normas](#def-b2-nvs-norm) sem índice são [normas](#def-b2-nvs-norm) do sup no segmento indicado.

**Parte I — Melhor aproximação em espaços normados.**

1. Seja $F$ um subespaço de dimensão finita de um espaço normado $E$ e $x \in E$ . Prove que a distância $d(x,  F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ é *atingida* *(reduza a uma parte fechada e limitada de $F$ e use o [Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))* .
2. Uma [norma](#def-b2-nvs-norm) é *estritamente convexa* quando $\norm u = \norm v  = 1$ e $u \neq v$ implicam $\bigl\Vert\frac{u +  v}2\bigr\Vert < 1$ . Mostre que $\norm\cdot_2$ em $\R^n$ é estritamente convexa *(identidade do paralelogramo)* e que $\norm\cdot_1$ e $\norm\cdot_\infty$ não o são para $n \geq 2$ .
3. Prove que, para uma [norma](#def-b2-nvs-norm) estritamente convexa, a melhor aproximação da questão 1 é *única* .
4. Em $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ , calcule todas as melhores aproximações de $x = (0, 1)$ pela reta $F =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : um intervalo de minimizantes.
5. Em $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , mostre que a melhor aproximação de $f$ por *constantes* é única, igual a $c^* = \frac{\max f  + \min f}{2}$ , com distância $\frac{\max f - \min  f}{2}$ ; calcule as duas para $f(x) = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ .

**Parte II — Polinômios de Chebyshev.**

6. Mostre que existe exatamente um polinômio $T_n$ com $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ *(recorrência $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ a partir da fórmula de adição do cosseno)* , que $\deg T_n = n$ , e que seu coeficiente dominante é $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ .
7. Mostre que $\abs{T_n} \leq 1$ em $\intcc{-1}{1}$ , com $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ nos $n + 1$ pontos $\eta_k =  \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), e que as raízes de $T_n$ são os $n$ pontos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , que se intercalam com os $\eta_k$ .
8. Calcule $T_2, T_3, T_4$ e verifique a alternância de $T_3$ em $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12,  -1$ por avaliação direta.
9. Para $\abs x \geq 1$, prove $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n +  \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$$ e deduza $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 -  1}\bigr)^n \to \infty$ geometricamente para $x > 1$ fixo.
10. Prove a lei de composição $T_m \circ T_n = T_{mn}$ *(verifique em $\intcc{-1}{1}$ e invoque a rigidez dos polinômios)* .

**Parte III — O teorema extremal de Chebyshev.** Escreva $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (mônico, pela questão 6).

11. Seja $P$ mônico de grau $n \geq 1$ com $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$. Avaliando $D  = Q_n - P$ nos pontos $\eta_k$ e contando as trocas de sinal, obtenha uma contradição. Conclua: $$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n}  \qquad\text{para todo } P \text{ mônico de grau } n.$$
12. (Caso de igualdade) Suponha $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P =  2^{1-n}$ com $P$ mônico de grau $n$ , e ponha $D = Q_n  - P \neq 0$ . Mostre que $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ para todo $k$ ; mostre que cada um dos $n$ intervalos $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ contém um zero de $D$ , e que um zero comum a dois intervalos consecutivos é um ponto *interior* $\eta_k$ no qual também $D' = 0$ . Conclua que $D$ tem $n$ zeros contados com multiplicidade, logo $D = 0$ : o minimizante é exatamente $Q_n$ — o *teorema extremal de Chebyshev* .
13. Reformule o teorema como uma distância: em $\intcc{-1}{1}$, $$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$$ com melhor aproximação única $X^n - Q_n$; e mostre, pela substituição afim $x = \frac{1+t}2$, que em $\intcc{0}{1}$ a distância se torna $2^{1-2n}$.
14. (Nós de interpolação ótimos) Para $n$ nós $x_1, \dots,  x_n \in \intcc{-1}{1}$ , o polinômio nodal $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ é mônico de grau $n$ . Deduza da questão 12 qual escolha de nós minimiza $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ , o fator dependente dos nós na cota clássica do erro de interpolação, e dê o valor mínimo.
15. Verifique à mão o caso $n = 2$ do teorema (ache $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ diretamente) e calcule numericamente a distância da questão 13 em $\intcc{0}{1}$ para $n = 10$ . O que o tamanho dela diz sobre o gráfico de $x^{10}$ ?

**Parte IV — A bola unitária de $C(\intcc{0}{1})$.**

16. Seja $g_k(x) = x^{2^k}$ . Mostre que $\norm{g_k}_\infty = 1$ e $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para $j > k$ *(avalie no ponto em que $x^{2^k} =  \frac12$)* : uma sequência limitada explícita sem subsequência convergente — a bola unitária fechada não é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) , na unha.
17. (Lema de Riesz, refinado) Seja $F$ um subespaço próprio *de dimensão finita* de um espaço normado $E$ . Usando a questão 1, produza um vetor unitário $x$ com $d(x, F) = 1$ exatamente — e não apenas $\geq 1 -  \varepsilon$ como no lema do [Teorema 5.17](#thm-b2-nvs-riesz) .
18. Deduza: em todo espaço normado de dimensão infinita existe uma sequência de vetores unitários com distâncias mútuas $\geq 1$ , e redemonstre com isso o teorema de Riesz.
19. Em $C(\intcc{0}{1})$ , exiba explicitamente uma tal constelação: as funções tenda $h_n$ com suporte em $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ e valor de pico $1$ . Verifique $\norm{h_n} = 1$ , $\norm{h_n - h_m} = 1$ para $n  \neq m$ , e note que $h_n \to 0$ pontualmente mas não uniformemente.
20. (A precompacidade falha) Mostre que a bola unitária fechada de $C(\intcc{0}{1})$ não pode ser coberta por um número finito de bolas de raio $\frac13$ *(cada uma dessas bolas contém no máximo um $h_n$)* — em contraste com a etapa de precompacidade na demonstração do [Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue) .

**Parte V — [Normas](#def-b2-nvs-norm) em ação sobre matrizes, e síntese.**

21. Prove que todo [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\lambda$ de $A \in  \mathcal{M}_n(\C)$ satisfaz $\abs\lambda \leq  \vertiii A$ para toda [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) ; aplique o [Exercício 5.4](#exo-b2-nvs-4) para majorar os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ e compare com o módulo verdadeiro deles.
22. ( [Normas](#def-b2-nvs-norm) adaptadas) Seja $A$ [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) , $A =  P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Mostre que $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ é uma [norma](#def-b2-nvs-norm) cuja [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) satisfaz $\vertiii A_{N_P} =  \max_i\abs{\lambda_i}$ .
23. Deduza: para $A$ [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) , $A^k \to 0$ se e somente se todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) satisfazem $\abs{\lambda_i} < 1$ — a [equivalência das normas](#thm-b2-nvs-finitedim) torna a conclusão independente da [norma](#def-b2-nvs-norm) . Verifique em $A =  \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 &  1\end{smallmatrix}\right)$ .
24. (As constantes de equivalência explodem) Em $\R_n[X]$ , compare $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coeficientes) e $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : ambas são [normas](#def-b2-nvs-norm) , logo são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) para cada $n$ fixo; mas mostre, usando o minimizante mônico da questão 13 em $\intcc{0}{1}$ , que a melhor constante $C_n$ em $N_c \leq  C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ satisfaz $C_n \geq  2^{2n-1}$ . Conclua em uma frase por que “todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) ” morre em dimensão infinita.
25. (Síntese) Uma frase para cada: onde a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) das bolas de dimensão finita trabalhou (questões 1 e 12); o que a convexidade estrita governa; o que a constelação das questões 18–19 destrói; e como a questão 24 quantifica o fracasso. Nomeie o cume (o teorema extremal de Chebyshev) e diga onde a melhor aproximação encontra sua casa moderna (o teorema da projeção em espaços de Hilbert, volume do terceiro ano de graduação, onde a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) substitui a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ).

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** Os candidatos que vale a pena considerar formam $K = \{f \in F
: \norm{x - f} \leq \norm x\}$: não vazio ($0 \in K$), fechado (imagem inversa de um intervalo fechado pela aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $f \mapsto
\norm{x - f}$, intersectada com o fechado $F$, [Corolário 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)), limitado ($\norm f \leq
\norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$). No espaço $F$ de dimensão finita, fechado e limitado significa [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)); a função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $f
\mapsto \norm{x - f}$ atinge em $K$ seu ínfimo, que é igual ao ínfimo sobre todo o $F$ (todo $f \notin K$ dá $\norm{x -
f} > \norm x \geq \inf$).

**2.** Identidade do paralelogramo em $(\R^n,
\norm\cdot_2)$: $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 +
2\norm v^2$ (desenvolva os quadrados das somas de coordenadas). Para $u \neq v$ unitários:

$$
\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u -
v}^2}{4} < 1 .
$$

Não estritamente convexas: para $\norm\cdot_\infty$, tome $u = (1, 1, 0,
\dots)$, $v = (1, -1, 0, \dots)$: vetores unitários cujo ponto médio $(1, 0, \dots)$ tem [norma](#def-b2-nvs-norm) $1$; para $\norm\cdot_1$, tome $u = (1,
0, \dots)$, $v = (0, 1, 0, \dots)$: ponto médio $(\frac12,
\frac12, 0, \dots)$ de [norma](#def-b2-nvs-norm) $1$.

**3.** Seja $d = d(x, F)$. Se $d = 0$: $x \in \overline F =
F$ e o único minimizante é $x$. Se $d > 0$ e $f_1 \neq f_2$ minimizam ambos: $u = \frac{x - f_1}{d}$ e $v = \frac{x -
f_2}{d}$ são vetores unitários distintos, logo

$$
\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert
= d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,
$$

com $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$: contradiz a definição de $d$. Minimizante único.

**4.** $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1)
\geq 1$, com igualdade se e somente se $\abs t \leq 1$: os minimizantes formam o segmento $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$, todos à distância $1$ — a unicidade falha exatamente porque a bola quadrada tem lados retos (questão 2).

**5.** Sejam $M = \max f$, $m = \min f$ (atingidos: [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact)). Para qualquer constante $c$: $\sup\abs{f - c} \geq
\max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$, a última desigualdade porque as duas quantidades têm média $\frac{M-m}2$; a igualdade em ambas força $M - c = c - m$, isto é, $c = c^* = \frac{M + m}2$. Reciprocamente, $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) =
\frac{M - m}2$. Melhor constante única. Para $f(x) = x^2$ em $\intcc01$: $c^* = \frac12$, distância $\frac12$.

**6.** De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta =
2\cos\theta\cos n\theta$: os polinômios definidos por $T_0 = 1$, $T_1 = X$, $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ satisfazem $T_n(\cos\theta)
= \cos n\theta$ por indução. Unicidade: dois polinômios que coincidem em $\intcc{-1}{1}$ (uma infinidade de pontos) são iguais. Indução de novo: $\deg T_n = n$ tem coeficiente dominante $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ($T_1$: coeficiente $1 = 2^0$; a recorrência o dobra).

**7.** Todo $x \in \intcc{-1}{1}$ é $\cos\theta$, e $\abs{\cos n\theta} \leq 1$. Em $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$: $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$, e $1 = \eta_0 > \eta_1 >
\dots > \eta_n = -1$. Raízes: $\cos n\theta = 0$ se e somente se $\theta =
\frac{(2k-1)\pi}{2n}$: os $n$ pontos distintos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e, como $\frac{(k-1)\pi}n <
\frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$, cada raiz fica estritamente entre dois extremos consecutivos.

**8.** $T_2 = 2X^2 - 1$, $T_3 = 4X^3 - 3X$, $T_4 = 8X^4 -
8X^2 + 1$. Para $T_3$: $T_3(1) = 1$, $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 -
\tfrac32 = -1$, $T_3(-\tfrac12) = 1$, $T_3(-1) = -1$: alternância perfeita.

**9.** Sejam $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ para $x \geq 1$: as raízes de $z^2 - 2xz + 1$, com $u_+u_- = 1$. A sequência $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ satisfaz $s_{n+1} = 2x\,s_n -
s_{n-1}$ (recorrência do tipo Newton vinda da quadrática), $s_0 = 1$, $s_1 = x$: mesma recorrência e mesmos valores iniciais que $n \mapsto
T_n(x)$, logo $s_n = T_n(x)$ para todo $n$. Como $0 < u_- \leq 1
\leq u_+$ com $u_+ > 1$ para $x > 1$: $T_n(x) \geq
\frac{u_+^n}2 \to \infty$ e $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x +
\sqrt{x^2-1}\bigr)^n$. (Para $x \leq -1$ use a paridade $T_n(-x)
= (-1)^nT_n(x)$, clara pela recorrência.)

**10.** Para todo $\theta$: $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr)
= T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta =
T_{mn}(\cos\theta)$. Os polinômios $T_m \circ T_n$ e $T_{mn}$ coincidem em $\intcc{-1}{1}$, logo são iguais.

**11.** $D = Q_n - P$ tem grau $\leq n - 1$ (os termos dominantes mônicos se cancelam). Nos extremos: $(-1)^kD(\eta_k) =
2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ por hipótese. Logo $D$ assume valores não nulos de sinais alternados nos $n + 1$ pontos decrescentes $\eta_0 > \dots > \eta_n$: pelo teorema do valor intermediário, ele tem ao menos $n$ raízes distintas, uma em cada intervalo [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$. Um polinômio não nulo de grau $\leq n - 1$ não pode ter $n$ raízes; e $D = 0$ contradiz os sinais estritos. Contradição: $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ para todo $P$ mônico de grau $n$.

**12.** Agora $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k)
\geq 0$, pois $\abs{P} \leq 2^{1-n}$. Em cada $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ($k = 1, \dots, n$), os valores de $D$ nas extremidades têm sinais fracos opostos: o teorema do valor intermediário fornece um zero $z_k$ no intervalo fechado. Se os $z_k$ puderem ser escolhidos dois a dois distintos, $D \neq 0$, de grau $\leq n-1$, tem $n$ raízes: contradição. Dois intervalos consecutivos só podem compartilhar o zero $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ com $0 < k < n$ (interior). Aí, $D(\eta_k) = 0$ significa $P(\eta_k) =
(-1)^k2^{1-n}$, um valor extremo de $P$ em $\intcc{-1}{1}$ atingido num ponto *interior*: $P'(\eta_k) = 0$; e $\eta_k$ é também um extremo interior de $T_n$: $Q_n'(\eta_k) =
0$. Logo $D'(\eta_k) = 0$: $\eta_k$ é raiz de multiplicidade $\geq 2$, compensando o intervalo compartilhado. Em todos os casos $D$ tem ao menos $n$ raízes contadas com multiplicidade, e grau $\leq n -
1$, logo $D = 0$: $P = Q_n$. O teorema extremal de Chebyshev está demonstrado: o único minimizante mônico é $2^{1-n}T_n$, de [norma](#def-b2-nvs-norm) do sup $2^{1-n}$.

**13.** Os polinômios mônicos de grau $n$ são exatamente os $X^n - R$ com $R \in \R_{n-1}[X]$, logo

$$
d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{
mônico}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},
$$

unicamente em $R^* = X^n - Q_n$. Substituição $x = \frac{1+t}2$: se $P$ é mônico de grau $n$ em $\intcc01$, então $t \mapsto
2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ é mônico em $\intcc{-1}{1}$ com sup igual a $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$: logo $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$, com igualdade exatamente para $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$: em $\intcc{0}{1}$ a distância é $2^{1-2n}$.

**14.** $\omega$ é mônico de grau $n$, logo $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ com igualdade se e somente se $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$, isto é, se e somente se os nós forem as $n$ raízes de $T_n$: $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — os *nós de Chebyshev*. Valor mínimo: $2^{1-n}$. Os nós equidistantes são estritamente piores; o fator de erro de interpolação é minimizado agrupando os nós perto das extremidades.

**15.** $n = 2$ à mão: $x^2$ percorre $\intcc01$, logo $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c})
\geq \frac12$, minimizada em $c = \frac12$: quadrática mônica minimal $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$, de valor $\frac12 = 2^{1-2}$. Para $n = 10$ em $\intcc{0}{1}$: $2^{1-20} =
2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$. Algum polinômio de grau $9$ fica a menos de dois milionésimos de $x^{10}$ em todo o $\intcc01$: nessa escala os dois gráficos são indistinguíveis — a planura de $x^{10}$ perto de $0$ deixa que graus menores façam todo o trabalho.

**16.** $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$. Para $j > k$ ponha $a = 2^k$, $b = 2^j \geq 2a$, e avalie em $x_0 = 2^{-1/a}$ (de modo que $x_0^a = \frac12$):

$$
g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a}
\geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .
$$

Assim $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para todos $j \neq k$: nenhuma subsequência é de Cauchy, nenhuma converge. A bola unitária fechada de $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ não é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).

**17.** $F$ é fechado ([Corolário 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) e próprio: escolha $y \notin F$, de modo que $\delta = d(y, F) > 0$. Pela questão 1 a distância é atingida em algum $f^* \in F$. Ponha $x
= \frac{y - f^*}{\delta}$, um vetor unitário ($\norm{y - f^*} =
\delta$). Para todo $g \in F$:

$$
\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta}
\geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,
$$

pois $f^* + \delta g \in F$. Logo $d(x, F) \geq 1$; e $d(x,
F) \leq \norm{x - 0} = 1$: exatamente $1$.

**18.** Num $E$ de dimensão infinita, construa vetores unitários por indução: $x_1$ arbitrário; dados $x_1, \dots, x_k$, o subespaço $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ tem dimensão finita, logo é próprio, e a questão 17 dá um unitário $x_{k+1}$ com $d(x_{k+1}, F_k) = 1$: em particular $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ para $i \leq k$. A sequência tem distâncias mútuas $\geq 1$: a bola unitária contém uma sequência sem subsequência convergente, logo não é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) — o teorema de Riesz, com a constante ótima $1$.

**19.** Seja $h_n$ afim em cada metade de $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$, subindo de $0$ até $1$ no ponto médio e voltando a $0$, e nula fora daí: [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), $\norm{h_n}_\infty = 1$. Para $n \neq m$ os suportes se encontram no máximo numa extremidade comum, onde ambas se anulam; no pico de $h_n$, $h_m = 0$: $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ exatamente. Para $x > 0$ fixo: $h_n(x) = 0$ assim que $\frac1n < x$, e $h_n(0) = 0$ sempre: $h_n \to 0$ pontualmente; mas $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$: não uniformemente. Uma constelação explícita a distância mútua $1$ dentro da bola unitária.

**20.** Uma bola de raio $\frac13$ tem diâmetro $\leq
\frac23 < 1$, logo contém no máximo uma das $h_n$ (duas delas estão a distância $1$). Um número finito dessas bolas contém um número finito das infinitas $h_n$: elas não podem cobrir a bola unitária. A precompacidade — que os [espaços métricos compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) possuem, pela demonstração do [Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue) — falha do modo mais [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) possível.

**21.** Se $Ax = \lambda x$ com $x \neq 0$: $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$, logo $\abs\lambda \leq \vertiii A$. Para $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ ([Exercício 5.4](#exo-b2-nvs-4)), de modo que todo [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) tem módulo $\leq
4$; de fato $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ dá $\lambda = 1 \pm
\iu\sqrt6$ de módulo $\sqrt7 \approx 2.65$: a cota é válida, mas não ótima.

**22.** $N_P$ é uma [norma](#def-b2-nvs-norm): $N_P(x) = 0$ força $P^{-1}x = 0$, logo $x = 0$; a homogeneidade e a desigualdade triangular são herdadas de $\norm\cdot_\infty$ pela aplicação linear $P^{-1}$. [Norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear): com $y = P^{-1}x$ e $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$,

$$
N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,
$$

de modo que $\vertiii A_{N_P}$ é a [norma de operador](#thm-b2-nvs-continuouslinear) $\norm\cdot_\infty$ de $D$, que é sua maior soma de valores absolutos por linha ([Exercício 5.4](#exo-b2-nvs-4)): $\max_i\abs{\lambda_i}$.

**23.** Se todos os $\abs{\lambda_i} < 1$: $N_P(A^kx) \leq
\rho^kN_P(x)$ com $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$, logo $A^kx
\to 0$ para todo $x$, e $A^k \to 0$ em qualquer [norma](#def-b2-nvs-norm) de $\mathcal{M}_n$ (todas [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) em dimensão finita, [Teorema 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim); a convergência de $A^ke_j$ para cada $j$ é a convergência entrada a entrada). Se algum $\abs{\lambda} \geq 1$ com [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $x$: $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x
\not\to 0$. Para $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 &
1\end{smallmatrix}\right)$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\frac14(1 \pm 2) =
\frac34, -\frac14$, ambos de módulo $< 1$: $A^k \to 0$.

**24.** As duas são [normas](#def-b2-nvs-norm) no espaço de dimensão finita $\R_n[X]$, logo [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) para cada $n$. Tome o mônico minimal $P^*_n$ da questão 13 em $\intcc01$: seu coeficiente de $X^n$ é $1$, logo $N_c(P^*_n) \geq 1$, enquanto $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$. Portanto

$$
C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}}
\geq 2^{2n-1} .
$$

As constantes de equivalência explodem com a dimensão: na união $\R[X]$ nenhuma constante única serve, que é exatamente a não equivalência vista no [Exercício 5.12](#exo-b2-nvs-12) — “todas as [normas](#def-b2-nvs-norm) são [equivalentes](#def-b2-nvs-equivalent)” é um teorema sobre uma dimensão de cada vez, e a dimensão infinita é onde ele morre.

**25.** A [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) dos fechados limitados em dimensão finita produziu a existência das melhores aproximações (questão 1) e alimentou a contagem de zeros nos $n + 1$ pontos extremais (questões 11–12, via supremos atingidos). A convexidade estrita governa a unicidade da melhor aproximação — bolas redondas dão um minimizante, bolas de lados retos dão segmentos deles (questões 2–4). A constelação de vetores unitários a distância mútua $1$ (questões 17–19) destrói a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) da bola unitária e, com ela, a precompacidade (questão 20). A questão 24 quantifica o colapso: as constantes que relacionam duas [normas](#def-b2-nvs-norm) em $\R_n[X]$ crescem como $4^n$, de modo que nenhuma comparação uniforme sobrevive à passagem a $\R[X]$. O cume é o teorema extremal de Chebyshev (questões 11–12): o único minimizante mônico $2^{1-n}T_n$. A melhor aproximação encontra sua casa moderna nos espaços de Hilbert, onde o teorema da projeção substitui a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) pela [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) mais a identidade do paralelogramo — demonstrado honestamente no volume do terceiro ano de graduação.