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title: "Funções de uma variável real"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real
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# Capítulo 8 — Funções de uma variável real

Antes que a análise passe às funções de funções ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#ch-b2-funcseq)), compensa conhecer a paisagem de uma variável com mais detalhe do que o primeiro ano exigia: quão descontínua pode ser uma função monótona, quão regular deve ser uma função convexa, e de que propriedades especiais gozam as derivadas (Darboux). Esses resultados estruturais são curtos, afiados e muito queridos pelos examinadores.

## 8.1 Funções monótonas

**Teorema 8.1 (Regularidade das funções monótonas).**

Seja $f \colon I \to \R$ crescente num intervalo.

1. Em todo ponto interior $a$, existem os limites laterais: $$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\;  f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$$ toda descontinuidade é um *salto*.
2. O conjunto das descontinuidades de $f$ é no máximo [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) .

**Demonstração.** (1) O conjunto $\{f(x) : x < a\}$ é não vazio e majorado por $f(a)$: seu supremo $s$ satisfaz $f(x) \to s$ quando $x \to a^-$ (dado $\varepsilon$, algum $f(x_0) > s - \varepsilon$, e a monotonicidade prende $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ para $x \in
\intoo{x_0}{a}$). Simetricamente à direita.

(2) A cada descontinuidade $a$ associe o intervalo [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) não vazio $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (um salto genuíno). Para $a < b$ descontinuidades, $J_a$ e $J_b$ são disjuntos: $f(a^+) \leq f(c)
\leq f(b^-)$ para qualquer $c$ entre elas. Cada $J_a$ contém um racional; descontinuidades distintas recebem racionais distintos: uma injeção do conjunto das descontinuidades em $\Q$, que é [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) ([Proposição 1.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#prop-b2-structures-countablestable)). ∎

**Exemplo 8.2.**

A cota é ótima: fixe uma enumeração $(r_n)$ de $\Q \cap
\intoo{0}{1}$ e ponha $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (uma definição por [família somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable), [Definição 7.8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable)). Então $f$ é crescente em $\intcc{0}{1}$ e descontínua exatamente em cada racional de $\intoo{0}{1}$ (salto $2^{-n}$ em $r_n$): uma função monótona *pode* ser descontínua num [conjunto enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) denso.

**Exemplo 8.3 (Os saltos não podem superar a subida).**

Para $f$ crescente em $\intcc{a}{b}$, os saltos têm um orçamento: se $a < c_1 < \dots < c_m < b$ são descontinuidades com saltos $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$, então, escolhendo pontos intercalados $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ e usando a monotonicidade em cada pedaço,

$$
\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :
$$

a subida total majora o salto total. Consequência: para cada $k$, no máximo $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ descontinuidades têm salto $\geq \frac1k$ — um refinamento quantitativo do [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) (2), pois o conjunto das descontinuidades é a união [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) sobre $k$ desses conjuntos finitos. Na função de saltos racionais acima, o orçamento é gasto exatamente: os saltos $2^{-n}$ somam $1 = f(1^+) - f(0^-)$ no sentido estendido óbvio. As funções monótonas podem saltar densamente, mas apenas com uma mesada estrita.

## 8.2 Funções convexas

**Lema 8.4 (Desigualdade das inclinações).**

Seja $f$ convexa em $I$ e $x < y < z$ em $I$. Então

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :
$$

as inclinações das cordas crescem nas duas extremidades.

**Demonstração.** Escreva $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$: uma combinação convexa, pois os dois coeficientes são positivos e somam $1$. A convexidade dá

$$
f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).
$$

Para a desigualdade da esquerda, subtraia $f(x)$ dos dois lados, usando $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$:

$$
f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

e divida por $y - x > 0$. Para a desigualdade da direita, subtraia em vez disso de $f(z)$:

$$
f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) -
\frac{y-x}{z-x}f(z)
= \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

e divida por $z - y > 0$. Os dois passos exibidos são a mesma identidade baricêntrica lida contra uma extremidade diferente. ∎

**Teorema 8.5 (Regularidade das funções convexas).**

Seja $f$ convexa num intervalo $I$.

1. Em todo ponto interior, $f$ tem derivadas laterais finitas $f'_g \leq f'_d$ ; ambas são funções crescentes do ponto; em particular, $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) no interior de $I$ (mas possivelmente não nas extremidades).
2. $f$ fica acima de cada *reta de suporte*: para $a$ interior e qualquer $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$, $$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$$
3. (Jensen, com pesos) Para $x_i \in I$ e pesos $\lambda_i  \geq 0$, $\sum\lambda_i = 1$: $$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i  f(x_i) .$$

**Demonstração.** (1) Fixe $a$ interior. Pelo [Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes), a inclinação $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ é uma função crescente de $h$ (dos dois lados, e $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ para $h_- < 0 <
h_+$). Logo $\tau$ tem limite finito quando $h \to 0^-$ (crescente, majorada por qualquer inclinação à direita) — esse é $f'_g(a)$ — e quando $h \to 0^+$ ($f'_d(a)$), com $f'_g(a) \leq f'_d(a)$. Derivadas laterais finitas forçam a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $a$. Monotonicidade no ponto: para $a < b$ interiores, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b -
a} \leq f'_g(b)$, de novo pela desigualdade das inclinações.

(2) Para $x > a$: $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$; para $x < a$: $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$. As duas se rearranjam na afirmação.

(3) Indução no número de pontos exatamente como no volume do primeiro ano de graduação (o caso de dois pontos é a definição) — ou de um golpe só: aplique (2) em $a = \sum\lambda_i x_i$ e faça a média das desigualdades das retas de suporte nos pontos $x_i$ com pesos $\lambda_i$: $\sum_i
\lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$. ∎

![A convexidade numa só figura: entre -1.5 e 2 o gráfico de f(x) = x2 fica abaixo de sua corda (a definição) e acima da reta de suporte em x = 0.5 ( (2)) — toda desigualdade do problema de fim de semana deste capítulo é um rearranjo dessas duas posições.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-c3660fbf94f1.svg)

*A convexidade numa só figura: entre $-1.5$ e $2$ o gráfico de $f(x) = x^2$ fica abaixo de sua corda (a definição) e acima da reta de suporte em $x = 0.5$ ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)) — toda desigualdade do problema de fim de semana deste capítulo é um rearranjo dessas duas posições.*

**Exemplo 8.6 (Descontinuidade na extremidade).**

Em $\intcc{0}{1}$, a função $f(0) = 1$, $f(x) = 0$ para $x > 0$, é convexa mas descontínua na extremidade $0$: a afirmação (1) é ótima.

**Exemplo 8.7 (Bicos e o feixe de retas de suporte).**

Para $f(x) = \abs x$ em $a = 0$: as derivadas laterais são $f'_g(0) = -1$ e $f'_d(0) = +1$, e o [Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2) entrega uma reta de suporte para *cada* inclinação $m \in \intcc{-1}{1}$:

$$
\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),
$$

cada uma sendo igualdade exatamente numa semirreta ou em $0$. Uma função convexa é derivável em $a$ precisamente quando o feixe colapsa numa única reta ($f'_g(a) = f'_d(a)$); os bicos carregam um intervalo de tangentes. Esse feixe é o germe em dimensão finita do *subdiferencial* da otimização convexa — e a razão pela qual as funções convexas são tão robustas: mesmo onde a derivada falha, a geometria de suporte sobrevive, e é só isso que a demonstração de Jensen usou.

**Exemplo 8.8 (Desigualdade das médias de potência).**

Para $0 < p < q$ e $x_i$ positivos com pesos $\lambda_i$ somando $1$, aplicando Jensen à função convexa $t \mapsto t^{q/p}$ nos pontos $x_i^p$:

$$
\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p}
\leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :
$$

as médias de potência crescem com o expoente — contendo MA–MQ e, no limite $p \to 0$ ([Exercício 8.6](#exo-b2-realfun-6)), a desigualdade MA–MG mais uma vez.

![A média de potência M_p dos valores 1, 2, 4 (pesos iguais), como função do expoente p: crescente de = 1 (quando p -∈fty) até = 4 (quando p +∈fty), passando pelas médias harmônica (p = -1), geométrica (o vão em p = 0, valor 2), aritmética (p = 1) e quadrática (p = 2). Toda a cadeia clássica das desigualdades entre médias é uma única curva crescente — demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo, Parte III.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-251ea49e8840.svg)

*A média de potência $M_p$ dos valores $1, 2, 4$ (pesos iguais), como função do expoente $p$: crescente de $\min = 1$ (quando $p \to -\infty$) até $\max = 4$ (quando $p \to
+\infty$), passando pelas médias harmônica ($p = -1$), geométrica (o vão em $p = 0$, valor $2$), aritmética ($p = 1$) e quadrática ($p
= 2$). Toda a cadeia clássica das desigualdades entre médias é uma única curva crescente — demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo, Parte III.*

**Exemplo 8.9 (Entropia máxima).**

Para um vetor de probabilidade $(p_1, \dots, p_n)$ (positivo, somando $1$), a entropia $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ satisfaz

$$
H(p) \leq \ln n ,
\qquad\text{com igualdade se e somente se } p_i = \frac1n \text{ para todo }
i .
$$

Demonstração por Jensen ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) aplicado à função *côncava* $\ln$ com pesos $p_i$ nos pontos $\frac{1}{p_i}$:

$$
H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i}
\leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,
$$

forçando a igualdade que todos os pontos $\frac1{p_i}$ sejam iguais (concavidade estrita), isto é, $p$ uniforme. Equivalentemente, isso é [Exercício 8.7](#exo-b2-realfun-7) com $q$ uniforme. A incerteza é maximizada pela ignorância uniformemente espalhada — o princípio variacional por trás da codificação, da mecânica estatística e das aparições da entropia no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar).

**Método 8.10 (Achar a função convexa por trás de uma desigualdade).**

A maioria das desigualdades clássicas é Jensen fantasiado; para despi-lo: (1) normalize de modo que apareça uma *média ponderada* (pesos positivos, somando $1$ — divida por uma massa total se preciso); (2) veja que função é aplicada dentro e fora da média: a afirmação “$f(\text{média}) \leq$ média de $f$” nomeia a convexa $f$; (3) certifique a convexidade pela segunda derivada e trate a igualdade pela estrita; (4) se nenhuma média está visível, tome logaritmos primeiro — produtos e potências viram médias, e a concavidade de $\ln$ carrega MA–MG, Young e seus parentes (o problema de fim de semana deste capítulo roda os passos 1–4 em cada um deles). Se nem os logaritmos revelam uma média, tente ler a desigualdade como monotonicidade das inclinações ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) — enunciados de superaditividade como [Exercício 8.9](#exo-b2-realfun-9) moram ali.

**Observação 8.11 (Armadilhas comuns).**

(i) A convexidade não é preservada por produtos: $x$ e $(x - 1)^2$ são convexas em $\intcc{0}{2}$, mas seu produto $x(x-1)^2$ tem segunda derivada $6x - 4$, negativa em $\intco{0}{\frac23}$ — não é convexo; nem a convexidade é preservada por composição sem monotonicidade ([Exercício 8.10](#exo-b2-realfun-10)). (ii) Jensen se inverte para funções côncavas: metade das desigualdades clássicas é a versão côncava com $\ln$; aplicar a forma convexa a $\ln$ é o modo mais rápido de demonstrar MA–MG *de trás para a frente*. (iii) A convexidade no ponto médio sozinha não implica convexidade — é preciso [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) (ou mera limitação) ([Exercício 8.8](#exo-b2-realfun-8)); os contraexemplos patológicos vivem além dos axiomas deste livro. (iv) Uma função convexa num intervalo *[aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology)* é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), e até localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Exercício 8.12](#exo-b2-realfun-12)); nas extremidades, nada é de graça. (v) As derivadas obedecem a Darboux mas não precisam ser [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Exemplo 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation)): “$f'$ não tem saltos” nunca significa “$f'$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)”.

## 8.3 A propriedade de Darboux

**Teorema 8.12 (Darboux).**

Seja $f$ derivável num intervalo $I$. Então $f'$ assume todo valor entre dois quaisquer de seus valores — ainda que $f'$ não precise ser [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demonstração.** Sejam $a < b$ em $I$ e $v$ estritamente entre $f'(a)$ e $f'(b)$, digamos $f'(a) < v < f'(b)$. A função $g(x) = f(x) - vx$ é derivável com $g'(a) < 0 < g'(b)$: seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ (atingido: [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact)) não está em $a$ (logo após $a$, $g$ decresce abaixo de $g(a)$) nem em $b$ (logo antes de $b$, $g$ está abaixo de $g(b)$): ele é interior, e aí $g'(c)
= 0$, isto é, $f'(c) = v$. (Isso era um exercício com estrela do primeiro ano; seu lugar na teoria é aqui.) ∎

**Exemplo 8.13 (Que funções são derivadas?).**

O teorema de Darboux é uma máquina de não existência. A função piso $\lfloor x\rfloor$ não é a derivada de nenhuma função em $\R$: ela assume os valores $0$ e $1$ mas pula $\frac12$ em $\intcc{0}{1}$, o que o [Teorema 8.12](#thm-b2-realfun-darboux) proíbe para derivadas. O mesmo veredicto atinge toda função com salto — sinal, Heaviside, todas as funções escada — por mais inocentes que pareçam; suas “primitivas” ($\abs x$ para o sinal, etc.) existem apenas longe do salto e se atam ali com um bico. Contraste: a função $f'$ selvagemente descontínua do [Exemplo 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation) *é* uma derivada — sua descontinuidade é uma oscilação, que Darboux tolera. A fronteira entre os dois comportamentos é exatamente o corolário sem saltos a seguir.

**Corolário 8.14.**

Uma derivada não tem descontinuidades de salto: se $f'(a^-)$ e $f'(a^+)$ existem, eles valem $f'(a)$. As descontinuidades de uma derivada são sempre do tipo oscilação (a derivada de $x^2\sin\frac1x$ em $0$, volume do primeiro ano de graduação).

**Demonstração.** Se $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe e difere de $f'(a)$, os valores estritamente entre eles seriam pulados por $f'$ numa vizinhança à direita — contradizendo Darboux nos intervalos $\intcc{a}{a + h}$. (Alternativamente: o teorema do valor médio força $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$, sendo o quociente de diferenças um valor de $f'$ num ponto intermediário.) O mesmo à esquerda. ∎

**Exemplo 8.15 (A derivada oscilante canônica).**

Seja $f(x) = x^2\sin\frac1x$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Em $0$: $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h}
\leq \abs h \to 0$, logo $f'(0) = 0$ existe. Fora de $0$,

$$
f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,
$$

cujo primeiro termo tende a $0$ enquanto $\cos\frac1x$ oscila por $\intcc{-1}{1}$ em todo intervalo $\intoo{0}{\delta}$: o limite $f'(0^+)$ não existe. Assim $f'$ está definida em toda parte mas é descontínua em $0$ — e, exatamente como o [Corolário 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps) prevê, a descontinuidade é uma oscilação, e não um salto: em cada $\intoo{0}{\delta}$, $f'$ ainda varre um intervalo inteiro em torno de $0$. As derivadas podem ser selvagens, mas só do jeito compatível com Darboux.

**Observação 8.16 (Onde este capítulo é usado).**

A convexidade é o motor da indústria de desigualdades: o problema de fim de semana deste capítulo fabrica dela Young, Hölder, Minkowski e a cadeia das médias de potência, que a teoria das [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs) e as estimativas integrais do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration) consomem; Jensen reaparece em probabilidade como as desigualdades de momentos do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar). A regularidade monótona volta no [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration) (funções monótonas são integráveis) e, no volume do terceiro ano de graduação, como a derivabilidade em quase toda parte das funções monótonas — onde “uma quantidade [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) de saltos” se torna o primeiro passo da teoria de Lebesgue.

## 8.4 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Determine os conjuntos de descontinuidade e os tamanhos dos saltos: $\lfloor x
\rfloor$; $\;x - \lfloor x\rfloor$; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x
- \lfloor x\rfloor}$; a função do exemplo que segue o [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) restrita aos racionais diádicos $r_n$.

**Solução de Exercício 8.1.**

$\lfloor x\rfloor$: saltos de tamanho $1$ em todo inteiro. $x -
\lfloor x\rfloor$: saltos de tamanho $-1$ nos inteiros (limite à esquerda $1$, valor $0$). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$: num inteiro $n$, limite à esquerda $(n - 1) + 1 = n$ e valor $n$: *[contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)* em toda parte (a raiz quadrada conserta o salto), embora não derivável nos inteiros. A função de saltos racionais: restringindo a construção a uma enumeração dos diádicos, ela salta $2^{-n}$ exatamente no $n$-ésimo racional diádico e é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) nos demais pontos.

**Exercício 8.2 ★.**

Prove que uma função crescente $f \colon I \to \R$ com a propriedade do valor intermediário (a imagem de todo subintervalo é um intervalo) é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Solução de Exercício 8.2.**

Suponha que $f$ crescente tenha uma descontinuidade num ponto interior $a$: então $f(a^-) < f(a^+)$ ([Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)) e a imagem de $I$ deixa de fora o intervalo [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) não vazio $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$, salvo possivelmente o único valor $f(a)$: a imagem de qualquer subintervalo que contenha $a$ em seu interior não é um intervalo (há uma lacuna de ao menos um lado de $f(a)$). Isso contradiz a propriedade do valor intermediário. As descontinuidades nas extremidades são excluídas do mesmo modo, com lacunas de um só lado.

**Exercício 8.3 ★.**

Quais das seguintes são convexas em seu domínio? $x \mapsto
x\ln x$ ($x > 0$); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$; $\;x \mapsto
\sqrt{1 + x^2}$; $\;x \mapsto x^3$.

**Solução de Exercício 8.3.**

$x\ln x$: segunda derivada $\frac1x > 0$: convexa. $\ln(1 +
\eu^x)$: derivada $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 +
\eu^x}$, crescente: convexa. $\sqrt{1 + x^2}$: segunda derivada $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$: convexa. $x^3$: não é convexa em $\R$ ($f'' =
6x$ muda de sinal); convexa apenas em $\R_+$.

**Exercício 8.4 ★★.**

Seja $f$ convexa em $\R$ e majorada. Prove que $f$ é constante. *(Se $f(a) \neq f(b)$, a desigualdade das inclinações propaga a inclinação não nula da corda: além do ponto de maior valor, $f$ cresce ao menos linearmente — contradizendo a limitação. Trate os dois sinais da inclinação.)* Deduza que uma função convexa em $\R$ com assíntota nas duas pontas é afim.

**Solução de Exercício 8.4.**

Suponha $f(a) \neq f(b)$, digamos $f(b) > f(a)$ com $a < b$ (o caso $f(b) < f(a)$ é simétrico, olhando para a esquerda). Para $x > b$, a desigualdade das inclinações ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) em $a < b < x$ dá

$$
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,
$$

contradizendo a limitação superior. Logo $f$ é constante.

Assíntotas: se $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ em $+\infty$ e $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ em $-\infty$, a função convexa $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ é majorada perto de $+\infty$; a convexidade mais uma assíntota em $-\infty$ (o que força $\alpha' \leq \alpha$ e depois $\alpha' = \alpha$ ao comparar inclinações em $\mp\infty$: as inclinações de uma função convexa crescem) faz $g$ ser majorada em todo o $\R$, logo constante $= 0$ no limite: $f$ é afim.

**Exercício 8.5 ★★.**

Seja $f$ derivável em $I$ com $f'$ monótona. Prove que $f'$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) *(combine o [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) e o [Corolário 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps))*.

**Solução de Exercício 8.5.**

$f'$ é monótona, logo, pelo [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone), suas únicas descontinuidades possíveis são saltos, existindo limites laterais em toda parte. Pelo [Corolário 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps), uma derivada não tem descontinuidades de salto. Logo $f'$ não tem descontinuidade alguma: é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Exercício 8.6 ★★.**

(A média geométrica como limite) Para $x_i$ positivos e pesos $\lambda_i$ somando $1$, prove que

$$
\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p}
= \prod_i x_i^{\lambda_i} ,
$$

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$, e deduza a desigualdade MA–MG com pesos a partir do [Exemplo 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans).

**Solução de Exercício 8.6.**

Tome logaritmos:

$$
\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)
= \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i +
O(p^2)\Bigr)
= \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p)
\xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,
$$

usando $\sum\lambda_i = 1$ e $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$. Exponenciando, obtém-se a média geométrica. Ora, para todo $p \in
\intoo{0}{1}$, a desigualdade das médias de potência ([Exemplo 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans), expoentes $p < 1$) dá

$$
\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;
$$

fazendo $p \to 0^+$ à esquerda obtém-se $\prod_i x_i^{\lambda_i}
\leq \sum_i \lambda_i x_i$: a desigualdade MA–MG com pesos.

**Exercício 8.7 ★★.**

(Desigualdade da entropia) Usando a convexidade estrita de $t \mapsto t\ln t$, prove que, para $p_i, q_i$ positivos com $\sum p_i = \sum q_i = 1$:

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,
$$

com igualdade se e somente se $p = q$. *(Escreva o membro da esquerda como $\sum q_i\,
\varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ com $\varphi(t) = t\ln t$ e aplique Jensen com pesos $q_i$.)*

**Solução de Exercício 8.7.**

Com $\varphi(t) = t\ln t$ (convexa: $\varphi'' = \frac1t > 0$) e pesos $q_i$ nos pontos $t_i = \frac{p_i}{q_i}$:

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i}
= \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr)
\;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr)
= \varphi(1) = 0 ,
$$

por Jensen ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)). A igualdade em Jensen para uma função *estritamente* convexa força que todos os pontos $t_i$ coincidam: $\frac{p_i}{q_i}$ constante e, somando, a constante vale $1$: $p = q$. (Essa quantidade — a divergência de Kullback–Leibler — volta no mundo do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar).)

**Exercício 8.8 ★★★.**

(Convexidade no ponto médio) $f \colon I \to \R$ é *convexa no ponto médio* quando $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ sempre. Prove que uma função *[contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)* convexa no ponto médio é convexa. *(Estabeleça a desigualdade de convexidade para pesos diádicos $\frac{k}{2^m}$ por indução sobre $m$ e depois passe ao limite usando densidade e [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).)*

**Solução de Exercício 8.8.**

*Pesos diádicos.* Por indução sobre $m$: o caso $m = 1$ é a hipótese. Para o peso $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ ($k$ ímpar), escreva $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ com $\lambda_j =
\frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$, ambos de denominador $2^m$ após simplificação; então

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
= f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr)
\leq \frac{f(u) + f(v)}{2}
\leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),
$$

em que $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ e $v = \lambda_2 x +
(1-\lambda_2)y$, usando a convexidade no ponto médio e depois a hipótese de indução em $u, v$.

*Passagem ao limite.* Para $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ arbitrário, tome diádicos $\lambda_n \to \lambda$: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f$ e das aplicações afins passa a desigualdade $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) +
(1-\lambda_n)f(y)$ ao limite: $f$ é convexa.

**Exercício 8.9 ★★★.**

Seja $f$ convexa em $\intco{0}{+\infty}$ com $f(0) \leq 0$. Prove que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ é crescente em $\intoo{0}{+\infty}$, e deduza que, para $f$ convexa com $f(0) =
0$: $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para $x, y \geq 0$ (superaditividade).

**Solução de Exercício 8.9.**

Para $0 < x < y$: a desigualdade das inclinações ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) nos pontos $0 < x < y$ dá

$$
\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y},
\qquad\text{i.e.}\qquad
\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} +
f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).
$$

Como $f(0) \leq 0$ e $\frac1x - \frac1y > 0$, o último termo é $\leq 0$: $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$. Logo $x \mapsto
\frac{f(x)}x$ cresce.

Superaditividade para $f(0) = 0$: para $x, y > 0$ (os casos com uma variável nula são triviais),

$$
f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y},
\qquad
f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},
$$

pela monotonicidade recém-demonstrada; somando, obtém-se $f(x) + f(y) \leq
f(x+y)$.

**Exercício 8.10 ★.**

Seja $f$ convexa em $I$ e $g$ convexa *crescente* num intervalo contendo $f(I)$. Prove que $g \circ f$ é convexa e mostre, por um contraexemplo, que a monotonicidade de $g$ não pode ser dispensada.

**Solução de Exercício 8.10.**

Para $x, y \in I$ e $\lambda \in \intcc01$: convexidade de $f$, depois monotonicidade de $g$, depois convexidade de $g$:

$$
g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr)
\leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr)
\leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).
$$

Contraexemplo sem monotonicidade: $g(t) = -t$ é convexa (afim) mas decrescente, $f(x) = x^2$ é convexa, e $g \circ f =
-x^2$ é estritamente côncava.

**Exercício 8.11 ★★.**

(Hermite–Hadamard) Seja $f$ convexa e [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{a}{b}$. Prove

$$
f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b -
a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .
$$

*(À esquerda: integre uma reta de suporte no ponto médio. À direita: majore $f$ pela corda.)*

**Solução de Exercício 8.11.**

*Desigualdade da esquerda:* seja $m = \frac{a+b}2$ e tome uma reta de suporte em $m$ ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)): $f(t) \geq
f(m) + \mu(t - m)$ para todo $t \in \intcc ab$. Integrando em $\intcc{a}{b}$: o termo linear integra $\mu\int_a^b(t -
m)\dd t = 0$ (simetria em torno de $m$), logo $\int_a^b f \geq (b -
a)f(m)$.

*Desigualdade da direita:* em $\intcc ab$, a convexidade majora $f$ por sua corda: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$. Integrando: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b -
a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$. Divida por $b - a$.

**Exercício 8.12 ★★★.**

Prove que uma função convexa num intervalo *[aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology)* $I$ é localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity): para todo segmento $\intcc{a}{b} \subseteq I$ e toda margem $\delta > 0$ com $\intcc{a - \delta}{b + \delta}
\subseteq I$, a restrição de $f$ a $\intcc{a}{b}$ é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), com constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|,
\bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ *(prenda toda inclinação de corda entre essas duas pela desigualdade das inclinações)*.

**Solução de Exercício 8.12.**

Sejam $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$, todos em $I$. Duas aplicações da desigualdade das inclinações ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)), primeiro a $a - \delta < a \leq x <
y$ e depois a $x < y \leq b < b + \delta$:

$$
\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}
\leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}
$$

(as inclinações das cordas crescem quando as duas extremidades se movem para a direita). Logo toda inclinação de corda dentro de $\intcc ab$ fica presa entre dois números fixos, e

$$
\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x},
\qquad
K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|,
\Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):
$$

$f$ é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc ab$. Todo ponto do [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $I$ tem um tal segmento com margem à sua volta: localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), logo (de novo) [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $I$.

## 8.5 Problema: a caixa de ferramentas da convexidade

Uma definição — a corda acima do gráfico — gera toda a caixa de ferramentas das desigualdades clássicas. Este problema de fim de semana a constrói em ordem lógica: critérios de convexidade e Jensen estrito, depois Young, Hölder e Minkowski (as certidões de nascimento das [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$), a cadeia [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) das médias de potência, do mínimo ao máximo, e dois dividendos de coroa — a desigualdade de Carleman e Hölder lido como uma dualidade. Tudo é demonstrado; nada é importado.

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — Young, Hölder, Minkowski e a cadeia das médias de potência

Em todo o problema, $p, q > 1$ são *expoentes conjugados*: $\frac1p +
\frac1q = 1$; os vetores são $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$; os pesos $\lambda_i > 0$ satisfazem $\sum_i\lambda_i = 1$.

**Parte I — Critérios e Jensen estrito.**

1. Seja $f$ derivável num intervalo $I$ . Prove que $f$ é convexa se e somente se $f'$ é crescente *(uma direção passando ao limite na desigualdade das inclinações [Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes); a outra pelo teorema do valor médio)* . Deduza o critério $C^2$ : $f'' \geq 0$ .
2. Suponha $f''> 0$ em $I$ . Prove que $f$ é *estritamente* convexa (desigualdade estrita para $x \neq y$ e $\lambda \in \intoo01$ ) e que uma função estritamente convexa satisfaz a desigualdade de Jensen ( [Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) com igualdade *somente* quando todos os $x_i$ coincidem.
3. Certifique as matérias-primas da caixa: $-\ln$ é estritamente convexa em $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ é estritamente convexa aí para $r > 1$ e estritamente côncava para $0 < r < 1$ ; $\exp$ é estritamente convexa em $\R$ .
4. (Desigualdade de Young) Para $a, b \geq 0$, prove $$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$ com igualdade se e somente se $a^p = b^q$ *(aplique a concavidade de $\ln$ aos dois pontos $a^p, b^q$ com pesos $\frac1p, \frac1q$)*.
5. Redemonstre MA–MG com pesos em uma linha a partir da concavidade de $\ln$: $$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad  (x_i > 0),$$ com o caso de igualdade; compare com o caminho por limites do [Exercício 8.6](#exo-b2-realfun-6).

**Parte II — Hölder e Minkowski.** Escreva $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ e $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$.

6. (Hölder) Prove $$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\;  \norm a_p\,\norm b_q ,$$ com igualdade se e somente se os vetores $(\abs{a_i}^p)$ e $(\abs{b_i}^q)$ são proporcionais *(normalize $\norm a_p = \norm b_q = 1$ e aplique Young termo a termo)*.
7. Identifique os casos particulares: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz) e o par extremo $(p, q) = (1,  \infty)$ : enuncie e prove $\sum\abs{a_ib_i} \leq  \norm a_1\norm b_\infty$ .
8. (Minkowski) Para $p \geq 1$, prove $$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$$ *(escreva $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i +  b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ e aplique Hölder a cada produto)*. Conclua: $\norm\cdot_p$ é uma [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) em $\R^n$ para todo $p \in \intco{1}{+\infty}$, completando o quadro do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs).
9. Versões integrais: para $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{a}{b}$ , enuncie e prove Hölder e Minkowski para $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs  f^p\bigr)^{1/p}$ *(mesmas demonstrações, com a positividade estrita da integral para a discussão do caso de igualdade)* .
10. Prove a monotonicidade $\norm a_q \leq \norm a_p$ para $1  \leq p \leq q$, o limite $\norm a_p \to  \norm a_\infty$ quando $p \to \infty$, e a comparação recíproca com a constante ótima: $$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$$ *(Hölder contra o vetor constante)*. Identifique os vetores que realizam cada igualdade.
11. (Interpolação) Para $1 \leq p < r < q$ e $\theta \in  \intoo01$ com $\frac1r = \frac\theta p +  \frac{1-\theta}q$, prove $$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\,  \norm a_q^{1-\theta}$$ *(aplique Hölder com os expoentes $\frac{p}{\theta  r}$ e $\frac{q}{(1-\theta)r}$ a $\abs{a_i}^{\theta  r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$)*.

**Parte III — A cadeia das médias de potência, [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete).** Para $p \neq 0$ ponha $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i
x_i^p\bigr)^{1/p}$ ($x_i > 0$) e $M_0 = \prod_i
x_i^{\lambda_i}$.

12. Prove que $p \mapsto M_p$ é crescente em todo o $\R^*$ : trate $p < q < 0$ pela identidade dos inversos $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ e faça a ponte por $0$ mostrando que $M_p \leq M_0 \leq M_q$ para $p < 0 < q$ *(aplique a concavidade de $\ln$ a $x_i^q$ e a desigualdade invertida para expoentes negativos)* .
13. Prove os limites $M_p \to \max_i x_i$ quando $p \to  +\infty$ e $M_p \to \min_i x_i$ quando $p \to -\infty$ .
14. Escreva a cadeia $\min \leq \mathrm{HM} \leq  \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq  \max$ para pesos iguais e prove a consequência clássica: para $a_1, \dots, a_n$ positivos, $$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr)  \geq n^2 .$$
15. Relacione médias e [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) : para pesos iguais $\lambda_i =  \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Concilie as duas monotonicidades — as médias *crescem* com $p$ enquanto as [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) *decrescem* (questão 10) — em uma frase sobre o fator $n^{-1/p}$ .
16. Determine os casos de igualdade ao longo de toda a cadeia da questão 14 (pesos positivos): a igualdade em qualquer ponto força todos os $x_i$ iguais — a convexidade estrita compensa.

**Parte IV — Dividendos.**

17. (Young com um botão de ajuste) Para $a, b \geq 0$ e $\varepsilon >  0$, prove $$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} +  \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$$ e o caso cavalo de batalha $ab \leq \varepsilon a^2 +  \frac{b^2}{4\varepsilon}$: o truque de absorção usado em toda a análise.
18. (Rumo a Carleman) Seja $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$. Prove a identidade telescópica $\prod_{k=1}^{n}c_k =  (n+1)^n$ e deduza, pela MA–MG aplicada aos números $c_ka_k$, $$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq  \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k  \qquad (a_k > 0).$$
19. (Desigualdade de Carleman) Some sobre $n$, troque a ordem de somação (famílias positivas [somáveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable), [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini)) e use $\sum_{n \geq  k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ e $c_k/k = \bigl(1 +  \frac1k\bigr)^k < \eu$ para concluir: para toda série convergente $\sum a_k$ de termos positivos, $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}  \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$$
20. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e positiva em $\intcc{0}{1}$, prove $$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr)  \geq 1,$$ com igualdade se e somente se $f$ é constante *(Cauchy–Schwarz em $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt  f}$)*.
21. (Geometria das bolas) Usando o caso de igualdade de Minkowski, mostre que, para $1 < p < \infty$ , a esfera unitária de $\norm\cdot_p$ não contém segmento (a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) é estritamente convexa no sentido do [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#pb-b2-nvs-1) ), ao passo que, para $p = 1$ e $p =  \infty$ , ela contém: exiba as partes retas.

**Parte V — Dualidade e síntese.**

22. (Hölder como dualidade) Prove que, para todo $a \in  \R^n$, $$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$$ exibindo explicitamente um $b$ maximizante. (A [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$ é a [dual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual) da [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $q$ — o germe em dimensão finita da dualidade $L^p$.)
23. (Momentos) Seja $X$ uma variável aleatória que assume um número finito de valores positivos $x_i$ com probabilidades $\lambda_i$ . Reformule a questão 12 como: $r \mapsto  \E[X^r]^{1/r}$ é crescente — a desigualdade dos momentos (Lyapunov), a ser reutilizada no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar) .
24. Resolva com ferramentas nomeadas, em duas linhas cada: (i) para $a, b, c$ positivos: $a^3 + b^3 + c^3 \geq  \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) para $x_1, \dots,  x_n$ positivos: $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq  n\sum_i x_i$ .
25. (Síntese) Trace a genealogia em cinco frases: da definição por cordas ao lema das inclinações; das inclinações às retas de suporte e a Jensen; da concavidade de $\ln$ a Young, a Hölder, a Minkowski e às [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$ ; de Jensen à cadeia das médias de potência e aos momentos; de MA–MG a Carleman. Nomeie os cumes (Hölder–Minkowski; Carleman) e diga para onde a caixa de ferramentas se dirige: os espaços $L^p$ do volume do terceiro ano de graduação, cujos axiomas são exatamente as questões 6 e 8.

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** *Convexa $\Rightarrow$ $f'$ crescente:* para $a <
b$, a desigualdade das inclinações dá, para $h > 0$ pequeno, $\frac{f(a+h)
- f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) -
f(b-h)}{h}$; fazendo $h \to 0$: $f'(a) \leq \frac{f(b) -
f(a)}{b - a} \leq f'(b)$. *Reciprocamente*, se $f'$ cresce e $x < y < z$: o teorema do valor médio dá $c_1 \in
\intoo{x}{y}$, $c_2 \in \intoo yz$ com

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2)
= \frac{f(z) - f(y)}{z - y},
$$

e essa desigualdade de inclinações em três pontos, aplicada com $y = \lambda
x + (1 - \lambda)z$, se rearranja na desigualdade de convexidade. Para $C^2$: $f'' \geq 0$ se e somente se $f'$ cresce.

**2.** Se $f'' > 0$, $f'$ é estritamente crescente, e o cálculo do valor médio acima dá uma desigualdade *estrita* entre as duas inclinações de corda: convexidade estrita. *Suporte estrito:* num $a$ interior com inclinação de suporte $m$, se $f(x_0) =
f(a) + m(x_0 - a)$ para algum $x_0 \neq a$, então, no segmento de $a$ a $x_0$, a reta de suporte e a corda coincidem, e a convexidade estrita no ponto médio dá $f\bigl(\frac{a +
x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$, contradizendo a desigualdade de suporte. Logo $f(x) > f(a) + m(x - a)$ para todo $x \neq
a$. *Jensen estrito:* com $a = \sum\lambda_ix_i$, fazer a média das desigualdades de suporte dá $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$, com igualdade se e somente se cada termo é uma igualdade, isto é, se e somente se todo $x_i
= a$.

**3.** $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$; $(t^r)'' = r(r -
1)t^{r-2}$, positiva para $r > 1$ e negativa para $0 < r < 1$; $\exp'' = \exp > 0$. Todas estritas pela questão 2.

**4.** Os casos $ab = 0$ são triviais. Para $a, b > 0$, a concavidade de $\ln$ nos pontos $a^p, b^q$ com pesos $\frac1p, \frac1q$:

$$
\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq
\frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),
$$

e $\ln$ é crescente: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$. Igualdade se e somente se os dois pontos coincidem (concavidade estrita): $a^p =
b^q$.

**5.** Concavidade de $\ln$ com pesos $\lambda_i$: $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i =
\ln\prod x_i^{\lambda_i}$; exponencie. Igualdade se e somente se todos os $x_i$ forem iguais (questão 2). O caminho do [Exercício 8.6](#exo-b2-realfun-6) obteve a mesma desigualdade como limite de médias de potência; aqui ela é uma única aplicação de Jensen — a caixa de ferramentas tem redundância embutida.

**6.** Se $a = 0$ ou $b = 0$, a desigualdade é trivial. Normalize: substituindo $a$ por $a/\norm a_p$ e $b$ por $b/\norm
b_q$, podemos supor $\norm a_p = \norm b_q = 1$ e devemos mostrar $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$. Young termo a termo:

$$
\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq
\sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} +
\frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .
$$

Igualdade se e somente se cada desigualdade de Young é apertada: $\abs{a_i}^p =
\abs{b_i}^q$ para todo $i$ — desfazendo a normalização, $(\abs{a_i}^p)$ proporcional a $(\abs{b_i}^q)$.

**7.** $p = q = 2$ é Cauchy–Schwarz com o mesmo caso de igualdade (proporcionalidade). Extremo: $\sum\abs{a_ib_i}
\leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} =
\norm a_1\norm b_\infty$, imediato termo a termo.

**8.** Para $p = 1$ é a desigualdade triangular termo a termo. Para $p > 1$, com $q$ conjugados:

$$
\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p
\leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} +
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},
$$

e Hölder em cada soma, notando que $(p - 1)q = p$:

$$
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p
= \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,
$$

e do mesmo modo com $b$. Logo $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a +
b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$; se $a + b \neq 0$, divida por $\norm{a+b}_p^{p/q}$ e use $p - \frac pq = 1$. Com a homogeneidade e a separação (claras), $\norm\cdot_p$ é uma [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) em $\R^n$.

**9.** Para $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc ab$: Hölder

$$
\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs
f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}
$$

pela mesma normalização mais Young pontual, integrado; e Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ pela mesma decomposição, com Hölder em cada peça. A separação da [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) usa a positividade estrita: uma $\abs f^p$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com integral nula se anula identicamente (volume do primeiro ano de graduação).

**10.** *Monotonicidade:* podemos supor $\norm a_p = 1$; então cada $\abs{a_i} \leq 1$, logo $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ e $\norm a_q^q \leq 1$: $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$. A igualdade exige $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ para todo $i$, isto é, cada $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$; com $\sum\abs{a_i}^p = 1$ isso deixa exatamente uma coordenada de módulo $1$: igualdade se e somente se $a$ tem no máximo uma coordenada não nula. *Limite:* $\norm a_\infty \leq
\norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$, e $n^{1/p} \to 1$. *Comparação recíproca:* Hölder com os expoentes $\frac
qp$ e seu conjugado $\frac{q}{q-p}$, aplicado a $\abs{a_i}^p\cdot 1$:

$$
\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q}
= \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},
$$

donde $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$, com igualdade se e somente se todos os $\abs{a_i}$ são iguais (o caso de igualdade de Hölder contra o vetor constante).

**11.** Escreva $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta
r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ e aplique Hölder com os expoentes conjugados $\frac{p}{\theta r}$ e $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugados precisamente porque $\frac{\theta
r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$):

$$
\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}
\leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p}
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q}
= \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .
$$

Tome raízes $r$-ésimas: as [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$ são log-convexas em $\frac1p$.

**12.** *Ambos negativos:* se $p < q < 0$ então $0 < -q <
-p$, e $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ para os expoentes positivos (caso do curso, [Exemplo 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans)) aplicado a $y =
(1/x_i)$; inverter a identidade $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ reverte a desigualdade para $M_p(x) \leq M_q(x)$. *Ponte:* para $q > 0$, a concavidade de $\ln$ dá $\ln M_q =
\frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq
\frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$; para $p < 0$, a mesma concavidade dá $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq
p\sum\lambda_i\ln x_i$, e dividir por $p < 0$ inverte: $\ln M_p
\leq \ln M_0$. Logo $M_p \leq M_0 \leq M_q$ sempre que $p < 0 <
q$: com os dois casos de mesmo sinal, $M$ cresce em todo o $\R^*$ (e através de $0$).

**13.** Seja $x_{\max} = \max x_i$, atingido em $i^*$. Para $p > 0$:

$$
\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},
$$

e $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$: $M_p \to x_{\max}$. Para $p \to
-\infty$: $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to
\bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$.

**14.** Com $\lambda_i = \frac1n$, a cadeia $M_{-\infty}
\leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ se lê

$$
\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod
a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq
\sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .
$$

MA–MH ($M_{-1} \leq M_1$) se rearranja diretamente em $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$.

**15.** Com pesos iguais, $M_p(x) =
\bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$. Quando $p$ cresce, $\norm x_p$ decresce (questão 10), mas o normalizador $n^{-1/p}$ cresce mais depressa, e o produto cresce (questão 12): as médias promediam, as [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) acumulam, e o fator $n^{-1/p}$ é exatamente a taxa de câmbio entre as duas convenções contábeis.

**16.** Cada elo é um caso do Jensen estrito (questão 2) com as funções estritamente convexas ou côncavas da questão 3 ($t^{q/p}$, $\ln$), de modo que a igualdade em qualquer elo força todos os $x_i$ iguais; e $\min = M_p$ ou $M_p = \max$ do mesmo modo força todos os valores iguais ao extremo comum. A cadeia é estrita assim que dois $x_i$ diferem.

**17.** Aplique Young (questão 4) ao par $\varepsilon^{1/p}a$ e $\varepsilon^{-1/p}b$:

$$
ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b)
\leq \varepsilon\,\frac{a^p}p +
\varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .
$$

Para $p = q = 2$, substituindo $\varepsilon$ por $2\varepsilon$: $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — a desigualdade de absorção: um produto é trocado por um pequeno múltiplo de um quadrado mais um grande múltiplo do outro.

**18.** Telescopagem:

$$
\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k}
{\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}}
= \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}}
= (n+1)^n,
$$

cancelando cada fator $(k+1)^k$ do numerador contra o termo seguinte do denominador. MA–MG nos $n$ números $c_ka_k$:

$$
(a_1\cdots a_n)^{1/n} =
\frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)}
\leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .
$$

**19.** Somando sobre $n$ e trocando as duas somações (todos os termos positivos: [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini)):

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n}
\leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k
= \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)}
= \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},
$$

usando a telescopagem $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n -
\frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$. Por fim, $\frac{c_k}k =
\frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (sequência crescente de limite $\eu$, volume do primeiro ano de graduação):

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq
\eu\sum_{k\geq1}a_k :
$$

a desigualdade de Carleman. (A constante $\eu$ é ótima, embora não o demonstremos.)

**20.** Cauchy–Schwarz (questão 9, $p = q = 2$) aplicada a $\sqrt f$ e $\frac1{\sqrt f}$:

$$
1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2}
\leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).
$$

Igualdade se e somente se $\sqrt f$ e $\frac1{\sqrt f}$ são proporcionais, isto é, $f^2$ constante, isto é, $f$ constante ($f > 0$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)).

**21.** Sejam $1 < p < \infty$, $\norm a_p = \norm b_p = 1$, $a \neq b$, e suponha $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$, isto é, que Minkowski seja igualdade para $a, b$. Percorrendo a demonstração da questão 8, a igualdade força a igualdade nas duas aplicações de Hölder e nas desigualdades triangulares termo a termo: $(\abs{a_i}^p)$ e $(\abs{b_i}^p)$ ambos proporcionais a $(\abs{a_i + b_i}^p)$, e $a_i, b_i$ de mesmo sinal — logo $b = ta$ para algum $t \geq
0$, e $\norm b_p = \norm a_p$ dá $t = 1$: $b = a$, contradição. Assim a esfera $p$ não contém ponto médio de pontos distintos da esfera: nenhum segmento. Para $p = \infty$ em $\R^2$: todos os $(1, t)$, $\abs t \leq 1$, estão na esfera unitária — uma aresta reta; para $p = 1$: o segmento $(t, 1 - t)$, $t \in \intcc01$, está.

**22.** Para $a = 0$ os dois membros se anulam. Caso contrário, Hölder majora todo $\sum a_ib_i$ por $\norm a_p\norm b_q \leq \norm
a_p$. Atingimento: tome

$$
b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}}
{\norm a_p^{p/q}} :
\qquad
\norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}}
= \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1,
\quad
\sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} =
\norm a_p ,
$$

usando $(p-1)q = p$ e $p - \frac pq = 1$. Assim o supremo é um máximo, igual a $\norm a_p$: cada [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$ é a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) [dual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual) de sua conjugada — o germe da dualidade $L^p$–$L^q$.

**23.** $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$, logo $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$, crescente em $r$ pela questão 12 (e através de $r \to 0, \pm\infty$ pelas questões 12–13): a desigualdade dos momentos de Lyapunov, puramente um enunciado sobre médias de potência com pesos. Ela volta para variáveis aleatórias de verdade no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar).

**24.** (i) Médias de potência $M_1 \leq M_3$ com pesos iguais: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$; eleve ao cubo e multiplique por $3$: $a^3 + b^3 + c^3 \geq
\frac{(a+b+c)^3}9$. (ii) Cauchy–Schwarz contra o vetor constante: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq
\bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$; eleve ao quadrado.

**25.** A definição por cordas fornece o lema das inclinações por um rearranjo algébrico; inclinações comprimidas num ponto produzem derivadas laterais e retas de suporte, cuja média ponderada é Jensen. Aplicado a $-\ln$, Jensen torna-se Young, que somado contra vetores normalizados é Hölder, que separado e reabsorvido é Minkowski — e as [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $p$ do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs) nascem, com sua dualidade (questão 22) e sua geometria (questão 21). Jensen aplicado ao longo da escala das potências encadeia todas as médias de $\min$ a $\max$ (questões 12–14), o que, lido em variáveis aleatórias, é a desigualdade dos momentos (questão 23). E MA–MG, ponderada por um truque telescópico, fornece a cota de Carleman com sua constante irredutível $\eu$ (questões 18–19). Cumes: Hölder–Minkowski e Carleman. Destino: os espaços $L^p$ do volume do terceiro ano de graduação, cujos axiomas fundadores são exatamente as questões 6 e 8 com integrais no lugar de somas.