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title: "Integração"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao
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# Capítulo 9 — Integração

O volume do primeiro ano de graduação construiu a integral num segmento. Este capítulo a estende a intervalos arbitrários ([integrais impróprias](#def-b2-integration-improper), com toda a caixa de ferramentas de comparação) e depois estuda integrais *que dependem de um parâmetro* — [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e derivação sob o sinal de integral — movidas pelo teorema da convergência dominada, o único resultado deste capítulo aceito por confiança. A função $\Gamma$ serve de exemplo condutor e de portal para metade das funções especiais da matemática.

## 9.1 Integrais num intervalo arbitrário

**Definição 9.1.**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes em $\intco{a}{b}$ ($b \in \R$ ou $+\infty$), com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes. A integral *converge* quando $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ existe; escreve-se então $\int_a^b f$ para o limite. (Analogamente em $\intoc{a}{b}$, e em $\intoo{a}{b}$ separando num ponto interior — a escolha não importa, por Chasles.) A integral *converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def)* quando $\int_a^b \abs f$ converge; a convergência absoluta implica a convergência, pelo critério de Cauchy:

$$
\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f
$$

e pela [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) de $\R$ (a primitiva tem a propriedade de Cauchy). Em detalhe: sejam $F(x) = \int_a^x f$ e $G(x) = \int_a^x \abs
f$. Se $\int^b\abs f$ converge, $G$ tem limite em $b^-$, de modo que, para todo $\varepsilon > 0$, existe $c < b$ com $G(y) - G(x)
\leq \varepsilon$ sempre que $c \leq x \leq y < b$; a fórmula exibida transfere essa propriedade de Cauchy a $F$. Para qualquer sequência $x_n
\to b^-$, os valores $F(x_n)$ formam então uma sequência de Cauchy de reais, convergente pela [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete), e intercalar duas dessas sequências mostra que o limite é o mesmo para todas: $F$ tem limite em $b^-$.

**Teorema 9.2 (Caixa de ferramentas de comparação positiva).**

Para $f, g \geq 0$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes em $\intco{a}{b}$, com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes:

1. $\int_a^b f$ [converge](#def-b2-integration-improper) se e somente se a primitiva $x \mapsto \int_a^x  f$ é limitada;
2. $f \leq g$ : a convergência de $\int g$ força a de $\int f$ ; a divergência se transfere no outro sentido;
3. $f \sim g$ em $b$ : as duas integrais têm a mesma natureza;
4. as escalas de referência: em $+\infty$ , $\int^{\infty}  \frac{\dd t}{t^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) se e somente se $\alpha > 1$ , e $\int^\infty \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ se e somente se $\beta > 1$ ; numa extremidade finita $b$ , $\int^b \frac{\dd t}{(b -  t)^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) se e somente se $\alpha < 1$ .

**Demonstração.** (1) A primitiva $F(x) = \int_a^x f$ é não decrescente ($f \geq
0$). Se ela é limitada, $\ell = \sup_{x < b}F$ é finito e $F(x) \to \ell$: dado $\varepsilon > 0$, algum $F(x_0) > \ell -
\varepsilon$, e a monotonicidade prende $F(x) \in
\intoc{\ell - \varepsilon}{\ell}$ para $x_0 \leq x < b$. Se ela é ilimitada, $F \to +\infty$: divergência.

(2) De $f \leq g$: $\int_a^x f \leq \int_a^x g$ para todo $x$; se $\int^b g$ [converge](#def-b2-integration-improper), o membro da direita é limitado, logo o da esquerda também, e (1) conclui. A contraposição transfere a divergência no outro sentido.

(3) $f \sim g$ em $b$ fornece $c < b$ com

$$
\tfrac12\,g(t) \;\leq\; f(t) \;\leq\; 2\,g(t)
\qquad (c \leq t < b) :
$$

por (2) aplicado nos dois sentidos em $\intco{c}{b}$, as duas integrais têm a mesma natureza; a peça inicial $\intcc{a}{c}$ é uma integral própria e nada muda.

(4) Primitivas explícitas: para $\alpha \neq 1$ e $\beta \neq 1$,

$$
\int_c^x \frac{\dd t}{t^\alpha}
= \frac{x^{1-\alpha} - c^{1-\alpha}}{1 - \alpha},
\qquad
\int_c^x \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}
= \frac{(\ln x)^{1-\beta} - (\ln c)^{1-\beta}}{1 - \beta},
$$

com logaritmos nos casos excluídos: limitadas quando $x \to
+\infty$ exatamente se $\alpha > 1$, resp. $\beta > 1$. Numa extremidade finita, a substituição $u = b - t$ reduz à escala $\int_0 u^{-\alpha}\,\dd u$, limitada se e somente se $\alpha < 1$. Aplique (1) em cada caso. ∎

**Exemplo 9.3 (Dois aquecimentos, levados até o fim).**

*(a)* $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$: o integrando explode em $0^+$, mas $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ aí (os logaritmos perdem para as potências), e $\int_0 t^{-1/2}$ [converge](#def-b2-integration-improper): convergência absoluta. O valor, por partes em $\intcc{\varepsilon}{1}$:

$$
\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t
= \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1
= -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon
\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .
$$

*(b)* $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 +
t^2}\,\dd t$: problema nas duas pontas, logo separe em $1$. Perto de $0$: $\abs{\ln t}$, integrável como em (a); perto de $\infty$: $\frac{\ln
t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$: [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) convergente. A substituição $t = \frac1u$ leva $\intoo{0}{1}$ em $\intoo{1}{\infty}$ e

$$
\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t
= \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot
\frac{\dd u}{u^2}
= -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :
$$

as duas metades se cancelam, e a integral vale $0$. Lição final: a simetria sob $t \mapsto \frac1t$ vale uma página de cálculo — o mesmo truque já movia o [Exercício 9.3](#exo-b2-integration-3).

**Exemplo 9.4 (Um valor, três integrais).**

Estude $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos
t}{t^2}\,\dd t$. Em $0$: $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$, de modo que o integrando se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) pelo valor $\frac12$ — não há singularidade alguma. Em $\infty$: $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2}
\leq \frac{2}{t^2}$: convergência absoluta ([Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison)). Valor: integre por partes em $\intcc{\varepsilon}{M}$ com $u = 1 - \cos t$, $v' =
t^{-2}$:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t
= \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .
$$

O colchete se anula nas duas pontas ($\frac{1 -
\cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$; numerador limitado em $M$), e a integral tende ao valor de Dirichlet $\frac\pi2$ ([Exercício 9.10](#exo-b2-integration-10)): $I = \frac\pi2$. Lição final: com $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ e $u =
\frac t2$,

$$
I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u
= \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :
$$

os três clássicos $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$, $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ ([Exercício 9.11](#exo-b2-integration-11)) e $I$ compartilham o valor $\frac\pi2$, passado adiante por partes e substituição — e só o primeiro é semiconvergente: a integração por partes trocou a convergência absoluta por um integrando mais simples.

**Exemplo 9.5 (Uma integral semiconvergente).**

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper): integre por partes,

$$
\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t
= \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos
t}{t^2}\dd t ,
$$

em que o colchete tem limite e a última integral converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) ($\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$). Mas não [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def): de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$,

$$
\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t
\;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t
= \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x
\ \to\ \infty}
\;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd
t}_{\text{convergente}} ,
$$

em que a última integral [converge](#def-b2-integration-improper) pela *mesma* integração por partes acima (com $\sin 2t$ no colchete): uma peça divergente menos uma convergente diverge. Assim $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) sem convergir [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) — o análogo integral das séries alternadas, com a integração por partes fazendo o papel do critério das alternadas.

## 9.2 O teorema de convergência

**Teorema 9.6 (Convergência dominada).**

Sejam $(f_n)$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes num intervalo $I$, com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, convergindo pontualmente para uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, e suponha que exista uma função integrável fixa $\varphi \geq 0$ ($\int_I \varphi < \infty$) com

$$
\abs{f_n(t)} \leq \varphi(t) \qquad (t \in I,\ n \in \N).
$$

Então todas as $\int_I f_n$ e $\int_I f$ convergem [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def), e

$$
\int_I f_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_I f .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 9.7.**

A demonstração honesta pertence à teoria da integração de Lebesgue do terceiro ano; o enunciado, porém, é usado constantemente daqui em diante. A hipótese de *dominação* é o ponto todo: a convergência pontual sozinha não basta ($f_n = n\,\mathbf{1}_{\intoo{0}{1/n}}$, corcovas deslizantes: $\int f_n = 1 \not\to 0 = \int f$). O teorema também vale para um parâmetro [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ($f_\lambda$, $\lambda \to
\lambda_0$), pela caracterização sequencial dos limites.

**Exemplo 9.8 (Um limite gaussiano, por dominação).**

Calcule $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n$, em que $I_n =
\int_0^\infty \Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}\dd t$. Pontualmente, $(1 + t^2/n)^n \to \eu^{t^2}$ (o limite dos juros compostos), de modo que os integrandos tendem a $\eu^{-t^2}$. Dominação: a sequência $n \mapsto (1 + u/n)^n$ é não decrescente para $u \geq 0$ (MA–MG nos $n + 1$ fatores $1, 1 + \frac un, \dots, 1 +
\frac un$ dá $(1 + \frac u{n+1})^{n+1} \geq (1 + \frac
un)^n$), logo, para $n \geq 2$:

$$
\Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}
\leq \Bigl(1 + \frac{t^2}{2}\Bigr)^{\!-2},
$$

um dominante integrável ($\sim 4t^{-4}$ no infinito). Convergência dominada:

$$
I_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t
= \frac{\sqrt\pi}{2}
$$

(a integral gaussiana de [Exercício 9.8](#exo-b2-integration-8)). Verificação final: a substituição $t = \sqrt n\tan\theta$ calcula $I_n$ exatamente, $I_n = \sqrt n\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,\dd\theta
= \sqrt n\,W_{2n-2}$, e a assintótica de Wallis $W_m \sim
\sqrt{\pi/(2m)}$ ([Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#lem-b2-comparison-wallis)) dá $\sqrt
n\,W_{2n-2} \to \frac{\sqrt\pi}2$ de novo: os dois pilares deste capítulo e do anterior concordam.

**Exemplo 9.9 (Convergência dominada, parâmetro contínuo).**

Calcule

$$
\lim_{x\to+\infty}\int_0^\infty
\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t .
$$

Para cada $t > 0$, $\arctan(xt) \to \frac\pi2$ quando $x \to \infty$; e a dominação

$$
\Bigl|\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\Bigr|
\leq \frac{\pi/2}{1+t^2},
\qquad\text{integrável, independente de } x,
$$

vale para todo $x$. Pela forma com parâmetro [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) do [Teorema 9.6](#thm-b2-integration-dominated) (caracterização sequencial: teste ao longo de toda $x_n \to \infty$),

$$
\int_0^\infty\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t
\xrightarrow[x\to+\infty]{}
\frac\pi2\int_0^\infty\frac{\dd t}{1+t^2}
= \frac{\pi^2}{4} .
$$

Lição final: o único ponto $t = 0$, onde o limite pontual vale $0$ em vez de $\frac\pi2$, nada muda — a função limite só entra por sua integral, uma das misericórdias silenciosas do teorema.

## 9.3 Integrais com parâmetro

**Teorema 9.10 (Continuidade sob o sinal de integral).**

Seja $f \colon A \times I \to \R$ ($A$ um [espaço métrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-def), $I$ um intervalo) com: $t \mapsto f(x, t)$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes para cada $x$, com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes; $x \mapsto f(x, t)$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) para cada $t$; e uma *dominação* $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ ($\varphi$ integrável em $I$, independente de $x$). Então

$$
F(x) = \int_I f(x, t)\,\dd t
$$

está definida e é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $A$.

**Demonstração.** Boa definição: a dominação dá a convergência absoluta. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $x_0$: para toda sequência $x_n \to x_0$, as funções $g_n(t) =
f(x_n, t)$ convergem pontualmente para $f(x_0, t)$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $x$) sob a dominação fixa $\varphi$: a convergência dominada dá $F(x_n) \to F(x_0)$; conclua pela caracterização sequencial da [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Definição 4.5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)). ∎

**Teorema 9.11 (Derivação sob o sinal de integral).**

Seja $f \colon J \times I \to \R$ ($J$ um intervalo de parâmetros) com: $t \mapsto f(x,t)$ integrável em $I$ para cada $x$; $x \mapsto
f(x,t)$ de classe $C^1$ para cada $t$, sendo a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes em $t$, com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, e dominada: $\bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigr| \leq
\psi(t)$ com $\psi$ integrável. Então $F(x) = \int_I f(x,t)\dd t$ é $C^1$ em $J$ e

$$
F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\dd t .
$$

**Demonstração.** Fixe $x$ e $h_n \to 0$. Os quocientes de diferenças

$$
\frac{F(x + h_n) - F(x)}{h_n}
= \int_I \frac{f(x + h_n, t) - f(x, t)}{h_n}\,\dd t
$$

têm integrandos convergindo pontualmente para $\frac{\partial f}{\partial
x}(x, t)$ e dominados por $\psi(t)$: pela desigualdade do valor médio aplicada em $x$ com $t$ fixo,

$$
\Bigl|\frac{f(x + h_n, t) - f(x,t)}{h_n}\Bigr|
\leq \sup_{\xi} \Bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, t)\Bigr|
\leq \psi(t) .
$$

A convergência dominada dá o limite $\int_I \frac{\partial
f}{\partial x}(x,t)\dd t$ dos quocientes: $F$ é derivável com a derivada anunciada, que é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) pelo [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity) aplicado a $\frac{\partial
f}{\partial x}$. ∎

**Exemplo 9.12 (Uma integral com parâmetro conferida contra uma fórmula).**

Seja $F(x) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{t^2 + x}$ para $x > 0$. Em todo $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$, o integrando é dominado por $\frac{1}{t^2 + a}$, integrável e independente de $x$: $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity)). Aqui o teorema pode ser conferido contra um valor explícito:

$$
F(x) = \Bigl[\frac{1}{\sqrt x}\arctan\frac{t}{\sqrt
x}\Bigr]_0^\infty = \frac{\pi}{2\sqrt x} ,
$$

visivelmente [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Derive agora sob a integral: a derivada em $x$, $-\frac{1}{(t^2+x)^2}$, é dominada em $\intcc ab$ por $\frac{1}{(t^2+a)^2}$, integrável: o [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) dá

$$
F'(x) = -\int_0^\infty \frac{\dd t}{(t^2 + x)^2}
\qquad\text{enquanto}\qquad
F'(x) = -\frac{\pi}{4}\,x^{-3/2} ,
$$

de modo que *calculamos* uma integral nova de graça: $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+x)^2} = \frac{\pi}{4x^{3/2}}$. Lição final: derivar uma [integral com parâmetro](#thm-b2-integration-continuity) conhecida é uma fábrica de fórmulas novas — iterando obtém-se $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+1)^n}$ para todo $n$, sem nenhuma substituição trigonométrica.

**Método 9.13 (Estudar uma integral imprópria).**

Dada $\int_a^b f$:

1. Localize o problema: liste as extremidades (ou pontos interiores) em que $f$ é ilimitada ou o intervalo é infinito, e separe de modo que cada peça tenha exatamente uma ponta problemática.
2. Se $f$ tem sinal constante perto dessa ponta, ache um equivalente e compare com as escalas de referência do [Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison) .
3. Se $f$ oscila, teste $\abs f$ primeiro (convergência absoluta). Se $\int\abs f$ diverge, tente a integração por partes para trocar a oscilação por decaimento, como no [Exemplo 9.5](#ex-b2-integration-sint) ; minorações do tipo $\abs{\sin t} \geq \sin^2t$ detectam a semiconvergência genuína.
4. Para um valor, e não apenas a natureza: partes, substituição ou um parâmetro (derive uma integral mais simples, como no [Exemplo 9.12](#ex-b2-integration-arctanparam) e no [Exemplo 9.21](#ex-b2-integration-laplace) ).
5. Verificações de bom senso em qualquer valor calculado: sinal e ordem de grandeza contra uma cota bruta ( $\int_0^\infty  \eu^{-t^2}\dd t \in \intoo{0}{1 + \int_1^\infty  \eu^{-t}}$ , logo $\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0.886$ é plausível); e coerência dimensional por reescalamento ( $t \mapsto \lambda t$ deve reescalar os dois lados do mesmo jeito — o detector mais rápido de um fator perdido).

**Observação 9.14 (Armadilhas comuns).**

Três erros recorrentes. *(i) Dominantes que dependem do parâmetro:* a dominação $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ tem de ser uniforme em $x$ no conjunto considerado; ela costuma valer em segmentos $\intcc ab$ mas não globalmente — para $\int_0^\infty\eu^{-xt}\dd t$ não há dominante integrável válido para todo $x > 0$, e no entanto dominar em $x \geq a > 0$ basta para trabalhar em toda a semirreta [aberta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology), pois [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e derivadas são noções locais. *(ii) Comparar integrandos com sinal:* a caixa de ferramentas de comparação é para funções *não negativas*; de $\abs f \leq g$ com $\int g$ divergente nada se pode concluir — $\int_1^\infty\frac{\sin t}t\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) embora toda comparação com $\frac1t$ falhe. *(iii) Esquecer metade do problema:* em $\intoo{0}{\infty}$ estude sempre as duas pontas separadamente; $\int_0^\infty\frac{\dd t}{t}$ diverge em *ambas*, e uma separação de aparência convergente pode cancelar silenciosamente dois infinitos. O reflexo seguro é a lista de verificação do [Método 9.13](#met-b2-integration-study).

**Exemplo 9.15 (Um caso de fronteira de Bertrand, até o algarismo).**

A escala $\int^\infty\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ do [Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison) fica exatamente na borda das escalas de potências; seus casos de fronteira merecem um cálculo [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete). Para $\beta = 2$:

$$
\int_\eu^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{\ln t}\Bigr]_\eu^{\infty}
= 0 - (-1) = 1 ,
$$

uma integral convergente de valor agradavelmente exato; ao passo que, para $\beta = 1$,

$$
\int_\eu^{x}\frac{\dd t}{t\ln t}
= \bigl[\ln\ln t\bigr]_\eu^{x} = \ln\ln x
\longrightarrow \infty ,
$$

divergente — mas tão devagar que atingir $\ln\ln x = 10$ exige $x = \eu^{\eu^{10}} \approx 10^{9566}$. Lição final: entre “toda potência $t^{-1-\varepsilon}$ [converge](#def-b2-integration-improper)” e “$t^{-1}$ diverge” mora uma escada infinita de escalas logarítmicas, cada uma refinando a anterior; a substituição $u = \ln t$ colapsa cada degrau sobre o anterior, e é por isso que os critérios de Bertrand ecoam os de Riemann um nível acima.

**Observação 9.16 (Perspectivas dentro deste volume).**

As ferramentas deste capítulo estão prestes a aparecer em toda parte. A convergência dominada é o motor por trás das identidades aproximadas do capítulo seguinte (núcleos deslizantes, tanto Bernstein quanto Fejér); a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e a derivação sob o sinal de integral produzem o cálculo dos coeficientes de Fourier no capítulo de Fourier, onde todo $c_n(f)$ é uma [integral com parâmetro](#thm-b2-integration-continuity) disfarçada. A função $\Gamma$ volta duas vezes: no capítulo sobre integrais múltiplas, em que uma integral dupla finalmente demonstra a fórmula Beta–Gama de Euler por inteiro, e nos capítulos de probabilidade, em que integrais do tipo $\Gamma$ normalizam as densidades padrão e calculam seus momentos. E a semiconvergente $\int\frac{\sin t}{t}$ ressurge como a constante de Gibbs do capítulo de Fourier — a mesma integral, medindo a ultrapassagem das somas parciais num salto.

**Definição 9.17 (A função Γ\GammaΓ).**

Para $x > 0$:

$$
\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}\,\eu^{-t}\,\dd t ,
$$

convergente nas duas pontas ($t^{x-1}$ integrável em $0^+$ para $x > 0$; decaimento exponencial em $\infty$).

**Teorema 9.18.**

$\Gamma$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intoo{0}{+\infty}$, satisfaz a equação funcional

$$
\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x),
\qquad \Gamma(1) = 1,
\qquad\text{logo}\qquad \Gamma(n + 1) = n! ,
$$

e é de classe $C^1$ (na verdade $C^\infty$) com $\Gamma'(x) =
\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\ln t\,\dd t$.

**Demonstração.** Equação funcional: integre por partes em $\intcc{\varepsilon}{M}$ e faça as pontas irem ao limite: $\int t^{x}\eu^{-t} = [-t^x\eu^{-t}] + x\int
t^{x-1}\eu^{-t}$, anulando-se os termos de bordo — de fato, $\varepsilon^x\eu^{-\varepsilon} \to 0$ quando $\varepsilon \to
0^+$, pois $x > 0$, e $M^x\eu^{-M} \to 0$ quando $M \to \infty$, pois a exponencial vence toda potência; as duas integrais truncadas convergem para seus valores impróprios pela convergência estabelecida na [Definição 9.17](#def-b2-integration-gamma). $\Gamma(1) = \int
\eu^{-t} = 1$; a indução dá o fatorial.

[Continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$: domine $t^{x-1}\eu^{-t}$ por $\varphi(t) = (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$, integrável e independente de $x \in \intcc{a}{b}$: o [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity) se aplica em todo segmento desse tipo, logo em toda a semirreta. Derivabilidade: a derivada em $x$, $t^{x-1}\eu^{-t}\ln t$, é dominada em $\intcc{a}{b}$ por $(t^{a-1}
+ t^{b-1})\eu^{-t}\,\abs{\ln t}$, ainda integrável: [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule); iterando obtêm-se todas as derivadas (cada uma acrescenta uma potência de $\ln t$, inofensiva). ∎

**Exemplo 9.19 (Fatoriais semi-inteiros).**

A equação funcional e $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) =
\sqrt\pi$ (a uma substituição de [Exercício 9.8](#exo-b2-integration-8): ponha $t = u^2$ na integral que define) geram todos os valores semi-inteiros:

$$
\Gamma\Bigl(\frac32\Bigr) = \frac12\,\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{\sqrt\pi}{2},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac52\Bigr) = \frac32\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}
= \frac{3\sqrt\pi}{4},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac72\Bigr) = \frac{15\sqrt\pi}{8} .
$$

Como $\Gamma(n+1) = n!$, é justo dizer “$\frac12! =
\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0.886$”: o fatorial foi interpolado, e a curva interpoladora mergulha abaixo de $1$ entre $0! = 1$ e $1! = 1$ (seu mínimo $\approx 0.8856$ em $x \approx 1.4616$ combina com o retrato de convexidade da Parte I do problema de fim de semana). Lição final: nada na integral $\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\dd t$ privilegia os inteiros — a discretude do fatorial era um acidente da contagem, e $\sqrt\pi$ é o que vive entre $1$ e $1$.

**Observação 9.20 (Para onde vai Γ\GammaΓ daqui).**

O problema de fim de semana deste capítulo constrói todo o cálculo de Euler em torno de $\Gamma$: a [função Beta](#pb-b2-integration-1), suas recursões por integração por partes, as integrais de Wallis como valores de Beta e a fórmula-limite de Gauss. O capítulo sobre integrais múltiplas demonstra a fórmula Beta–Gama de Euler para todos os argumentos por uma integral dupla; os capítulos de probabilidade reencontram $\Gamma$ na normalização das densidades mais comuns e nos momentos dos tempos de espera. O volume do terceiro ano de graduação reconstrói $\Gamma$ sobre fundamentos de Lebesgue, demonstra o teorema de unicidade de Bohr–Mollerup e estende a fórmula de Stirling dos inteiros à semirreta real por convergência dominada.

**Exemplo 9.21 (Um cálculo clássico por derivação).**

Para $x \in \R$, seja $F(x) = \int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd
t$ ([absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) convergente, dominada por $\eu^{-t^2}$). Pelo [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) (dominação da derivada em $x$ por $t\,\eu^{-t^2}$, integrável):

$$
F'(x) = -\int_0^\infty t\,\eu^{-t^2}\sin(xt)\,\dd t
= \Bigl[\frac{\eu^{-t^2}}{2}\sin(xt)\Bigr]_0^\infty
- \frac x2\int_0^\infty \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd t
= -\frac x2\,F(x),
$$

(partes com $u' = t\eu^{-t^2}$). A equação diferencial $F' =
-\frac x2 F$ integra-se em $F(x) = F(0)\,\eu^{-x^2/4}$: a integral do tipo gaussiano se reproduz. A constante $F(0) =
\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2}$ é calculada no [Exercício 9.8](#exo-b2-integration-8) — e de novo, por integração dupla, no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint).

## 9.4 Exercícios

**Exercício 9.1 ★.**

Natureza de: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$; $\;\displaystyle\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}\dd t$; $\;\displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$ *(compare com o comportamento divergente do tipo harmônico perto de $t =
n\pi$)*.

**Solução de Exercício 9.1.**

$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$: perto de $0$, $\sim t^{-1/2}$ ($\alpha = \frac12 < 1$: [converge](#def-b2-integration-improper)); perto de $1$, $\sim
(1-t)^{-1/2}$: [converge](#def-b2-integration-improper). Convergente (seu valor é $\pi$, pela substituição $t = \sin^2\theta$).

$\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}$: $\frac{\ln t}{t^2} = o(t^{-3/2})$: convergente (valor $1$ por partes).

$\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$: divergente. Perto de $t =
n\pi$, escreva $t = n\pi + u$: $\sin^2 t = \sin^2 u \leq u^2$, logo, em $\abs u \leq \frac{1}{n}$, $1 + t^2\sin^2 t \leq 1 + (n\pi +
1)^2u^2 \leq C n^2 u^2 + 1$; portanto

$$
\int_{n\pi - 1/n}^{n\pi + 1/n} \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}
\geq \int_{-1/n}^{1/n} \frac{\dd u}{1 + Cn^2u^2}
= \frac{2\arctan\sqrt C}{\sqrt C}\cdot\frac{1}{n} ,
$$

um termo de uma série divergente do tipo harmônico: somando sobre $n$, a primitiva é ilimitada.

**Exercício 9.2 ★.**

Calcule $\displaystyle\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\,\dd t$ ($\lambda > 0$) via $\Gamma$, e $\displaystyle\int_0^1 (\ln t)^n \dd t$ pela substituição $t =
\eu^{-u}$.

**Solução de Exercício 9.2.**

Substitua $u = \lambda t$:

$$
\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\dd t
= \frac{1}{\lambda^{n+1}}\int_0^\infty u^n\eu^{-u}\dd u
= \frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n+1}} = \frac{n!}{\lambda^{n+1}} .
$$

Com $t = \eu^{-u}$ ($\dd t = -\eu^{-u}\dd u$):

$$
\int_0^1 (\ln t)^n \dd t = \int_0^{\infty} (-u)^n \eu^{-u}\,\dd u
= (-1)^n\, n! .
$$

**Exercício 9.3 ★.**

Prove que $\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\dd t}{(1 +
t^2)(1 + t^x)}$ está bem definida para todo $x \in \R$ e é independente de $x$. *(Substitua $t \mapsto \frac1t$ e faça a média das duas expressões.)* Qual é seu valor?

**Solução de Exercício 9.3.**

Convergência: o integrando é $\leq \frac{1}{1+t^2}$ perto de $\infty$ e limitado perto de $0$ (os dois fatores são minorados longe de $0$): [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) convergente, para todo $x$. Substituindo $t = \frac1u$ ($\dd t = -\frac{\dd u}{u^2}$):

$$
I(x) = \int_0^\infty \frac{1}{\bigl(1 +
\frac1{u^2}\bigr)\bigl(1 + u^{-x}\bigr)}\cdot\frac{\dd u}{u^2}
= \int_0^\infty \frac{u^x}{(1 + u^2)(1 + u^x)}\,\dd u .
$$

Somando as duas expressões de $I(x)$:

$$
2I(x) = \int_0^\infty \frac{1 + t^x}{(1+t^2)(1+t^x)}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2} :
$$

$I(x) = \frac\pi4$, independente de $x$.

**Exercício 9.4 ★★.**

(Integrais de Bertrand numa extremidade finita) Para quais $(\alpha,
\beta)$ a integral $\displaystyle\int_0^{1/2}
\frac{\dd t}{t^\alpha\,\abs{\ln t}^\beta}$ [converge](#def-b2-integration-improper)?

**Solução de Exercício 9.4.**

Perto de $0^+$, com $u = \abs{\ln t} \to \infty$. Se $\alpha < 1$: convergência qualquer que seja $\beta$ (compare com $t^{-\alpha'}$ para $\alpha < \alpha' < 1$: o fator logarítmico é vencido). Se $\alpha > 1$: divergência qualquer que seja $\beta$ (compare com $t^{-\alpha''}$, $1 < \alpha'' < \alpha$). Se $\alpha = 1$: substitua $t =
\eu^{-u}$:

$$
\int_0^{1/2} \frac{\dd t}{t\,\abs{\ln t}^\beta}
= \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{\dd u}{u^\beta},
$$

convergente se e somente se $\beta > 1$. Resumo: convergência se e somente se $\alpha < 1$, ou ($\alpha = 1$ e $\beta > 1$) — o espelho das séries de Bertrand.

**Exercício 9.5 ★★.**

Seja $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\eu^{-xt}}{1 +
t^2}\,\dd t$ para $x \geq 0$. Prove que $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intco{0}{\infty}$, de classe $C^2$ em $\intoo{0}{\infty}$, satisfaz $F'' +
F = \frac1x$ aí, e que $F(x) \to 0$ quando $x \to +\infty$.

**Solução de Exercício 9.5.**

[Continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intco{0}{\infty}$: dominação $\bigl|\frac{\eu^{-xt}}{1+t^2}\bigr| \leq \frac{1}{1+t^2}$, integrável, uniforme em $x \geq 0$: [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity).

$C^2$ em $\intoo{0}{\infty}$: em $x \geq a > 0$, as duas primeiras derivadas em $x$, $\frac{-t\,\eu^{-xt}}{1+t^2}$ e $\frac{t^2\eu^{-xt}}{1+t^2}$, são dominadas por $t\,\eu^{-at}$ e $\eu^{-at}$: duas aplicações do [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule). Então

$$
F''(x) + F(x) = \int_0^\infty \frac{t^2 + 1}{1 + t^2}\,\eu^{-xt}\dd
t = \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x .
$$

Limite: $0 \leq F(x) \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to
0$.

**Exercício 9.6 ★★.**

(Frullani) Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intco{0}{+\infty}$ com limite finito $f(\infty)$ em $+\infty$. Prove que, para $a, b > 0$:

$$
\int_0^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t}\,\dd t
= \bigl(f(0) - f(\infty)\bigr)\,\ln\frac ba .
$$

*(Em $\intcc{\varepsilon}{M}$, substitua em cada peça e reagrupe em $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} -
\int_{aM}^{bM}$ de $\frac{f(u)}u\,\dd u$; confronte usando a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $0$ e o limite em $\infty$.)* Calcule $\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} - \eu^{-2t}}{t}\dd t$.

**Solução de Exercício 9.6.**

Em $\intcc{\varepsilon}{M}$, substitua $u = at$ e $u = bt$ nas duas metades:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{f(at) - f(bt)}{t}\dd t
= \int_{a\varepsilon}^{aM}\frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{b\varepsilon}^{bM}\frac{f(u)}{u}\dd u
= \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{aM}^{bM} \frac{f(u)}{u}\dd u .
$$

Primeira peça: $f(u) = f(0) + o(1)$ perto de $0$, e $\int_{a\varepsilon}
^{b\varepsilon} \frac{\dd u}{u} = \ln\frac ba$: a peça tende a $f(0)\ln\frac ba$. Segunda peça: $f(u) \to f(\infty)$, mesmo cálculo: tende a $f(\infty)\ln\frac ba$. Logo a [integral imprópria](#def-b2-integration-improper) [converge](#def-b2-integration-improper) para $\bigl(f(0) - f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$.

Com $f(t) = \eu^{-t}$ ($f(0) = 1$, $f(\infty) = 0$), $a = 1$, $b
= 2$:

$$
\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} - \eu^{-2t}}{t}\dd t = \ln 2 .
$$

**Exercício 9.7 ★★.**

Justifique e calcule $\lim_{n\to\infty} \displaystyle\int_0^n
\Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t$ para $x > 0$ *(convergência dominada com $\varphi(t) = \eu^{-t}t^{x-1}$, usando $(1 - t/n)^n \leq \eu^{-t}$; o limite é $\Gamma(x)$)*.

**Solução de Exercício 9.7.**

Estenda o integrando por $0$ além de $t = n$: $g_n(t) = (1 -
\frac tn)^n t^{x-1}\mathbf{1}_{t \leq n}$. Pontualmente, $g_n(t) \to
\eu^{-t}t^{x-1}$ (o limite dos juros compostos, volume do primeiro ano de graduação). Dominação: $\ln(1 - u) \leq -u$ dá $(1 - \frac tn)^n \leq
\eu^{-t}$ em $\intcc{0}{n}$, logo $\abs{g_n(t)} \leq
\eu^{-t}t^{x-1} = \varphi(t)$, integrável. Convergência dominada:

$$
\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^n t^{x-1}\dd t
\xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t}t^{x-1}\dd t
= \Gamma(x) .
$$

(Calcular o membro da esquerda por partes repetidas dá a forma de produto de Euler $\Gamma(x) = \lim \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.)

**Exercício 9.8 ★★★.**

(A integral gaussiana por um truque de parâmetro) Para $x \geq 0$ ponha

$$
G(x) = \Bigl(\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!2},
\qquad
H(x) = \int_0^1 \frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1 + t^2}\,\dd t .
$$

Prove que $G' + H' = 0$ (derive $H$ sob a integral e substitua $u = xt$ na integral resultante), deduza $G(x) + H(x)
= \frac\pi4$ para todo $x$ e conclua

$$
\int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\,\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

**Solução de Exercício 9.8.**

$H$ é derivável em $x$ (integrando $C^1$ em $x$, derivada $-2x(1+t^2)\cdot\frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} =
-2x\,\eu^{-x^2}\eu^{-x^2t^2}$, [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e limitada nos [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $x$, dominação sobre $t \in \intcc{0}{1}$ trivial):

$$
H'(x) = -2x\,\eu^{-x^2}\int_0^1 \eu^{-x^2t^2}\,\dd t
\overset{u = xt}{=} -2\,\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-u^2}\,\dd u
= -G'(x),
$$

pois $G'(x) = 2\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t$ (regra da cadeia no quadrado, teorema fundamental do cálculo). Logo $G + H$ é constante, igual a $G(0) + H(0) = 0 + \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t^2}
= \frac\pi4$.

Quando $x \to \infty$: $0 \leq H(x) \leq \eu^{-x^2}\int_0^1 \dd t \to
0$, logo $G(x) \to \frac\pi4$:

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \sqrt{\frac\pi4} =
\frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

(Por consequência, $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = 2\int_0^\infty
\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$, pela substituição $t = \sqrt u$.)

**Exercício 9.9 ★★★.**

Prove que $\Gamma$ é *log-convexa*: $\ln\Gamma$ é convexa em $\intoo{0}{\infty}$. *(A desigualdade de Cauchy–Schwarz para integrais aplicada a $t^{(x+y)/2 - 1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}
\bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$ dá $\Gamma\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr)^2 \leq \Gamma(x)\Gamma(y)$; combine com a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e [Exercício 8.8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#exo-b2-realfun-8).)*

**Solução de Exercício 9.9.**

Cauchy–Schwarz (volume do primeiro ano de graduação, válida em $\intcc{\varepsilon}{M}$ e passada ao limite) aplicada à fatoração $t^{\frac{x+y}{2}-1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}
\bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$:

$$
\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq
\Gamma(x)^{1/2}\,\Gamma(y)^{1/2}
\quad\Longrightarrow\quad
\ln\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq \frac{\ln\Gamma(x) +
\ln\Gamma(y)}{2} :
$$

$\ln\Gamma$ é convexa no ponto médio; sendo [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)), ela é convexa ([Exercício 8.8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#exo-b2-realfun-8)). (A log-convexidade fixa $\Gamma$ de modo único entre as interpolações do fatorial — o teorema de Bohr–Mollerup, uma pérola do terceiro ano.)

**Exercício 9.10 ★★★.**

(Integral de Dirichlet) Ponha $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}
\frac{\sin t}{t}\,\eu^{-xt}\,\dd t$ para $x > 0$.

1. Justifique $F'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}$ (derive sob a integral; calcule $\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd  t$ por duas integrações por partes).
2. Prove que $F(x) \to 0$ quando $x \to +\infty$ e deduza $F(x) =  \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. Admitindo a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $F$ em $0^+$ (um teorema do tipo Abel), conclua o valor da integral semiconvergente: $$\int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t = \frac{\pi}{2}.$$

**Solução de Exercício 9.10.**

1. Em $x \geq a > 0$: a derivada em $x$ do integrando é $-\sin t\,\eu^{-xt}$, dominada por $\eu^{-at}$: o [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) dá $F'(x) =  -\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t$. Duas integrações por partes (ou a exponencial complexa): $$\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t  = \Im \int_0^\infty \eu^{(-x+\iu)t}\dd t  = \Im\frac{1}{x - \iu} = \frac{1}{1 + x^2} .$$
2. $\abs{F(x)} \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to  0$ . Integrando $F' = -\frac{1}{1+x^2}$ de $x$ a $\infty$ : $0 - F(x) = -\bigl(\frac\pi2 - \arctan x\bigr)$ , logo $F(x) = \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. Fazendo $x \to 0^+$ com a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) admitida: $F(0^+) =  \frac\pi2$ , e $F(0) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd  t$ (a integral semiconvergente de Dirichlet, [Exemplo 9.5](#ex-b2-integration-sint) ): seu valor é $\frac\pi2$ .

**Exercício 9.11 ★★.**

Justifique a convergência de $\displaystyle\int_0^\infty
\Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t$ e depois calcule-a por uma integração por partes e [Exercício 9.10](#exo-b2-integration-10):

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac{\pi}{2} .
$$

(O mesmo valor do $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd t$ — mas desta vez a convergência é absoluta.)

**Solução de Exercício 9.11.**

Convergência: perto de $0$ o integrando se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) pelo valor $1$ ($\sin t \sim t$); no infinito ele é $\leq t^{-2}$: convergência absoluta. Em $\intcc{\varepsilon}{M}$, integre por partes com $u = \sin^2 t$, $v' = t^{-2}$:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{\sin^2 t}{t^2}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{2\sin t\cos t}{t}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_{2\varepsilon}^{2M} \frac{\sin u}{u}\dd u
$$

($u = 2t$ na última integral). O colchete tende a $0$ nas duas pontas ($\sin^2\varepsilon/\varepsilon \leq \varepsilon$; $\sin^2 M/M \leq 1/M$), e a última integral tende a $\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\dd u = \frac\pi2$ ([Exercício 9.10](#exo-b2-integration-10)). Logo

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac\pi2 .
$$

**Exercício 9.12 ★★★.**

(A cauda gaussiana) Para $x > 0$ ponha $T(x) = \displaystyle
\int_x^\infty \eu^{-t^2}\dd t$.

1. Escrevendo $\eu^{-t^2} = \frac{1}{-2t}\cdot(-2t\,\eu^{-t^2})$, integre por partes duas vezes para obter $$T(x) = \eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} -  \frac{1}{4x^3}\Bigr) +  \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\,\dd t .$$
2. Majore o resto: $0 \leq \frac34\int_x^\infty  t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t \leq \frac{3}{8x^5}\,\eu^{-x^2}$, e deduza o enquadramento $$\eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} - \frac{1}{4x^3}\Bigr)  \leq T(x) \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x},  \qquad\text{logo}\qquad  T(x) \sim \frac{\eu^{-x^2}}{2x} \quad (x \to +\infty).$$
3. Por que a série alternada [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) obtida iterando as partes nunca pode convergir para $x$ fixo? *(Compare o crescimento dos coeficientes $1\cdot3\cdots(2k-1)$ com as potências $(2x^2)^k$.)*

**Solução de Exercício 9.12.**

1. Partes com $u = \frac{-1}{2t}$, $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$ (de modo que $v = \eu^{-t^2}$): $$T(x) = \Bigl[\frac{-\eu^{-t^2}}{2t}\Bigr]_x^\infty  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x}  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t .$$ Mesmo dispositivo na nova integral ($u = \frac{-1}{4t^3}$, $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$): $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{4x^3}  - \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t ,$$ donde a identidade anunciada.
2. Mais uma integração por partes majora o resto: $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5}  - \frac52\int_x^\infty\frac{\eu^{-t^2}}{t^6}\dd t  \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5},$$ logo $0 \leq \frac34\int_x^\infty t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t  \leq \frac{3}{8x^5}\eu^{-x^2}$. Descartar o resto (positivo) na identidade da questão 1 dá a cota inferior; descartar o segundo termo (negativo) da primeira integração por partes dá $T(x) \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$. Dividindo o enquadramento por $\frac{\eu^{-x^2}}{2x}$: a razão fica espremida entre $1 - \frac{1}{2x^2}$ e $1$, logo $T(x)  \sim \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$.
3. Iterar as partes produz a série formal $$T(x) \approx \frac{\eu^{-x^2}}{2x}\Bigl(1 -  \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot3}{(2x^2)^2} -  \frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3} + \cdots\Bigr),$$ cujo $k$-ésimo coeficiente $1\cdot3\cdots(2k-1) =  \frac{(2k)!}{2^k k!}$ cresce mais depressa do que qualquer sequência geométrica: para $x$ fixo os termos $\frac{1\cdot3\cdots(2k-1)}{(2x^2)^k}$ tendem a infinito (sua razão é $\frac{2k+1}{2x^2} \to \infty$), de modo que a série diverge para todo $x$. Trata-se de um desenvolvimento *assintótico*: truncado em qualquer [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) fixa, o erro é da ordem do primeiro termo omitido quando $x \to \infty$ — mas nunca de uma série convergente. (Essa estimativa de cauda é a cota padrão da cauda gaussiana dos capítulos de probabilidade.)

## 9.5 Problema: as integrais de Euler — Beta, Gama e a fórmula-limite de Gauss

**Problema 9.1.**

A função $\Gamma$ da [Definição 9.17](#def-b2-integration-gamma) é uma metade do cálculo de integrais de Euler; a outra metade é a *função Beta*

$$
B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1 - t)^{y-1}\,\dd t .
$$

Este problema desenvolve o par $(\Gamma, B)$ apenas com as ferramentas deste capítulo — integração por partes, substituição, convergência dominada — e culmina na *fórmula Beta–Gama de Euler* $B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}
{\Gamma(x+y)}$ nos semi-inteiros e na *fórmula-limite de Gauss* para $\Gamma$. Pelo caminho, as integrais de Wallis do [Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#lem-b2-comparison-wallis) reaparecem como valores de Beta, e a fórmula de duplicação de Legendre cai no colo.

**Parte I — Estrutura fina de $\Gamma$.**

1. Relembre por que $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\dd  t$ [converge](#def-b2-integration-improper) exatamente para $x > 0$ e mostre que $$\Gamma(x) \sim \frac1x \qquad (x \to 0^+)$$ *(equação funcional mais [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\Gamma$ em $1$)*.
2. Prove $\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) = \sqrt\pi$ *(substitua $t = u^2$ e invoque o [Exercício 9.8](#exo-b2-integration-8))* e deduza $\int_\R \eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ .
3. Mostre por indução, para $n \in \N$: $$\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)  = \frac{(2n)!}{4^n\,n!}\,\sqrt\pi .$$
4. Justifique $\Gamma''(x) = \int_0^\infty  t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t > 0$ e deduza que $\Gamma$ é estritamente convexa, atinge um mínimo único em algum $x_0 \in \intoo{1}{2}$ *($\Gamma(1) = \Gamma(2)  = 1$ e Rolle)* , decresce em $\intoo{0}{x_0}$ e cresce em $\intoo{x_0}{\infty}$ .
5. Mostre que $\Gamma$ vence toda potência: para cada $k \in  \N$ , $x^k = o\bigl(\Gamma(x)\bigr)$ quando $x \to +\infty$ *(confronte $x$ entre inteiros e use $\Gamma(n+1)  = n!$ com a monotonicidade da questão 4)* .

**Parte II — A [função Beta](#pb-b2-integration-1), por partes.**

6. Mostre que $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exatamente para $x > 0$ e $y >  0$ , e que $B(x,y) = B(y,x)$ .
7. Calcule $B(x, 1) = \frac1x$ e prove, por integração por partes, para $x, y > 0$: $$B(x, y+1) = \frac{y}{x}\,B(x+1, y) .$$
8. Da decomposição $t^{x-1}(1-t)^{y-1} =  t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y}$ deduza $B(x,y) =  B(x+1,y) + B(x,y+1)$ e combine com a questão 7 nas *relações de descida* $$B(x, y+1) = \frac{y}{x+y}\,B(x,y),  \qquad  B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}\,B(x,y) .$$
9. Deduza, para $m, n \geq 1$ inteiros: $$B(m, n) = \frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}  = \frac{1}{(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}} .$$
10. Demonstre a *fórmula de Euler com um argumento inteiro*: para todo $x > 0$ e $n \in \N^*$, $$B(x, n) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(n)}{\Gamma(x + n)}$$ *(indução sobre $n$: os dois lados valem $\frac1x$ em $n  = 1$ e obedecem à mesma relação de descida)*.

**Parte III — As integrais de Wallis como valores de Beta.**

11. Substitua $t = \sin^2\theta$ para obter a forma trigonométrica $$B(x, y) = 2\int_0^{\pi/2}  \sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,\dd\theta .$$
12. Deduza $W_n = \frac12\,B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr)$ para a integral de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n  \theta\,\dd\theta$ e recupere a recorrência $W_n =  \frac{n-1}{n}W_{n-2}$ do [Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#lem-b2-comparison-wallis) só a partir das relações de descida da questão 8.
13. Calcule $B\bigl(\frac12, \frac12\bigr) = 2W_0 = \pi$ e confira contra $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1)$ : a fórmula de Euler vale em $\bigl(\frac12,  \frac12\bigr)$ .
14. Deduza a forma fechada $W_{2n} = \frac\pi2\,  \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ da recorrência e verifique $$B\Bigl(n + \frac12, \frac12\Bigr)  = \frac{\Gamma\bigl(n + \frac12\bigr)\Gamma\bigl(  \frac12\bigr)}{\Gamma(n+1)} .$$ Conclua, por indução com as relações de descida, que a fórmula de Euler $B(x,y) =  \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ vale sempre que $2x$ e $2y$ são inteiros positivos.
15. Substitua $u = \frac{t}{1-t}$ para obter a terceira forma clássica $$B(x,y) = \int_0^\infty  \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u ,$$ e confira o caso $x = y = \frac12$ diretamente ($u = v^2$ reduz a $\int_0^\infty\frac{2\,\dd v}{1+v^2}$).

**Parte IV — A fórmula-limite de Gauss.**

16. Para $x > 0$ e $n \in \N^*$, prove por $n$ integrações por partes sucessivas: $$\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t  = \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .$$
17. Conclua com [Exercício 9.7](#exo-b2-integration-7) (convergência dominada) a *fórmula-limite de Gauss*: $$\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}  \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}  \qquad (x > 0).$$
18. Tomando logaritmos, mostre que, para $x > 0$: $$\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x +  \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac xk -  \ln\Bigl(1 + \frac xk\Bigr)\Bigr),$$ em que $\gamma$ é a constante de Euler ([Exemplo 6.7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-harmonic)); justifique a convergência da série *(o termo geral é $\sim \frac{x^2}{2k^2}$)*.
19. Use a fórmula de Gauss em $x = \frac12$ e a assintótica do binomial central $\binom{2n}{n} \sim  \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ( [Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial) ) para recalcular $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = \sqrt\pi$ : a constante de Stirling e a integral gaussiana são o mesmo número em dois disfarces.
20. Verifique que a fórmula de Gauss redemonstra a equação funcional: da identidade exata $$\frac{n!\,n^{x+1}}{(x+1)\cdots(x+n+1)}  = \frac{n!\,n^{x}}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot  \frac{n\,x}{x+n+1},$$ conclua $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$ mais uma vez. (A fórmula de Gauss determina $\Gamma$ de imediato; o volume do terceiro ano de graduação demonstra o teorema mais fino de Bohr–Mollerup: a equação funcional mais a log-convexidade já fixam $\Gamma$.)

**Parte V — Dividendos.**

21. Para $a > 0$ mostre que $\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t =  \Gamma\bigl(1 + \frac1a\bigr)$ e calcule o limite quando $a \to +\infty$ por convergência dominada *(limite pontual $\mathbf 1_{t < 1}$; domine por $1$ em $\intoc{0}{1}$ e por $\eu^{-t^2}$ além, para $a \geq  2$)* . Confira a resposta contra a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\Gamma$ .
22. Para $n \geq 1$ mostre que $$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1 - t^n}}  = \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr),$$ e recupere os valores $2$ ($n = 1$) e $\frac\pi2$ ($n  = 2$). (Para $n = 4$ essa é a *constante da lemniscata*, que não tem forma fechada elementar; sua história pertence à teoria das integrais elípticas.)
23. (Momentos) Para $x > 0$ e $k \in \N$, mostre que $$\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty  t^{k}\,t^{x-1}\eu^{-t}\,\dd t  = \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}  = x(x+1)\cdots(x+k-1),$$ o fatorial ascendente; confira que $x = 1$ dá $k!$. (Nos capítulos de probabilidade esse é o $k$-ésimo momento de uma densidade padrão de tempo de espera.)
24. Demonstre a identidade Beta, válida para *todos* $x > 0$: $$B(x, x) = 2^{1-2x}\,B\Bigl(x, \frac12\Bigr)$$ *(substitua $t = \frac{1+s}2$, explore a simetria em $s$ e depois ponha $s = \sqrt v$)*. Deduza, para $2x \in \N^*$, a *fórmula de duplicação de Legendre* $$\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x + \frac12\Bigr)  = 2^{1-2x}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2x),$$ e verifique-a diretamente em $x = n$ pela questão 3. (Para $x$ geral ela decorre da mesma identidade uma vez conhecida a fórmula de Euler para todos os argumentos — a demonstração por integral dupla no capítulo sobre integrais múltiplas.)
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) onde a integração por partes carregou toda a Parte II; (ii) onde a convergência dominada entrou nas Partes IV e V; (iii) quais insumos assintóticos foram importados do capítulo de comparação; (iv) o que está agora demonstrado da fórmula de Euler $B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ , e o que resta para a integral dupla resolver.

**Solução de Problema 9.1.**

**1.** Em $0^+$ o integrando é $\sim t^{x-1}$: a escala de extremidade finita [converge](#def-b2-integration-improper) se e somente se $1 - x < 1$, isto é, $x > 0$ (e, para $x \leq 0$, $t^{x-1} \geq t^{-1}$ diverge); em $+\infty$, $t^{x-1}\eu^{-t} = o(t^{-2})$ [converge](#def-b2-integration-improper) para todo $x$. Então $\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x}$ e $\Gamma(x+1)
\to \Gamma(1) = 1$ quando $x \to 0^+$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), [Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)): $\Gamma(x) \sim
\frac1x$.

**2.** Com $t = u^2$, $\dd t = 2u\,\dd u$:

$$
\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \int_0^\infty
t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\eu^{-u^2}}{u}\,2u\,\dd u
= 2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi
$$

pelo [Exercício 9.8](#exo-b2-integration-8). Com $u = v/\sqrt2$:

$$
\int_\R \eu^{-v^2/2}\dd v
= 2\sqrt2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u
= \sqrt2\,\sqrt\pi = \sqrt{2\pi} .
$$

**3.** Verdadeiro para $n = 0$ (os dois lados valem $\sqrt\pi$). Se $\Gamma(n + \frac12) = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi$, a equação funcional dá

$$
\Gamma\Bigl(n + 1 + \frac12\Bigr)
= \Bigl(n + \frac12\Bigr)\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)
= \frac{2n+1}{2}\cdot\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi
= \frac{(2n+2)!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt\pi ,
$$

o último passo porque $\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$ e $\frac{2n+1}{2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)}$.

**4.** O [Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops) dá $\Gamma''(x) = \int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t$ (duas aplicações da regra de Leibniz, com dominações como na demonstração do teorema); o integrando é $\geq 0$ e não identicamente nulo, logo $\Gamma'' > 0$: $\Gamma$ é estritamente convexa e $\Gamma'$ é estritamente crescente. Como $\Gamma(1) = \Gamma(2)
= 1$, Rolle fornece $x_0 \in \intoo12$ com $\Gamma'(x_0) =
0$; a monotonicidade estrita de $\Gamma'$ faz de $x_0$ seu único zero, com $\Gamma' < 0$ antes e $\Gamma' > 0$ depois: $\Gamma$ decresce em $\intoo0{x_0}$, cresce em $\intoo{x_0}\infty$, e $x_0$ é o mínimo único.

**5.** Sejam $k \in \N$ e $x \geq 3$; escolha o inteiro $n$ com $n + 1 \leq x < n + 2$ (de modo que $n \geq 1$). Pela monotonicidade da questão 4 (válida a partir de $x_0 < 2$): $\Gamma(x)
\geq \Gamma(n + 1) = n!$, enquanto $x^k \leq (n+2)^k$. Como $\frac{n!}{(n+2)^k} \to \infty$ (os fatoriais vencem as potências, volume do primeiro ano de graduação), $\frac{\Gamma(x)}{x^k} \geq \frac{n!}{(n+2)^k} \to
\infty$ quando $x \to \infty$: $x^k = o(\Gamma(x))$.

**6.** Perto de $0$ o integrando é $\sim t^{x-1}$ (convergente se e somente se $x > 0$), perto de $1$ ele é $\sim (1-t)^{y-1}$ (se e somente se $y > 0$); as duas comparações são entre funções positivas, logo $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exatamente para $x, y > 0$. A substituição $t \mapsto 1 - t$ troca os dois fatores: $B(x,y) = B(y,x)$.

**7.** $B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\dd t = \frac1x$. Partes em $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$ com $u = (1-t)^y$, $v =
\frac{t^x}{x}$:

$$
\int t^{x-1}(1-t)^{y}\dd t
= \Bigl[\frac{t^x(1-t)^y}{x}\Bigr]
+ \frac{y}{x}\int t^{x}(1-t)^{y-1}\dd t ;
$$

o colchete se anula nas duas pontas quando $\varepsilon \to 0$ ($x >
0$ em $0$, $y > 0$ em $1$), restando $B(x, y+1) = \frac
yx\,B(x+1, y)$.

**8.** Como $t + (1-t) = 1$:

$$
t^{x-1}(1-t)^{y-1} = t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y},
$$

logo $B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)$. A questão 7 se lê $B(x+1,y) =
\frac xy B(x,y+1)$; substituindo,

$$
B(x,y) = \Bigl(\frac xy + 1\Bigr)B(x,y+1)
= \frac{x+y}{y}\,B(x,y+1),
$$

isto é, $B(x,y+1) = \frac{y}{x+y}B(x,y)$; a relação gêmea segue da simetria da questão 6.

**9.** Indução sobre $n$ com $m$ fixo: $B(m,1) = \frac1m =
\frac{(m-1)!\,0!}{m!}$ e, se a fórmula vale em $n$,

$$
B(m, n+1) = \frac{n}{m+n}\,B(m,n)
= \frac{n}{m+n}\cdot\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}
= \frac{(m-1)!\,n!}{(m+n)!} .
$$

Reescrevendo: $B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} =
\bigl[(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}\bigr]^{-1}$.

**10.** Os dois lados de $B(x,n) =
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)}$ valem $\frac1x$ em $n =
1$ ($\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$). Se eles coincidem em $n$, então, pela relação de descida e pela equação funcional:

$$
B(x, n+1) = \frac{n}{x+n}\,B(x,n), \qquad
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)}
= \frac{n}{x+n}\cdot
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)} :
$$

as duas sequências obedecem à mesma recursão a partir da mesma semente, logo coincidem para todo $n \in \N^*$ e todo $x > 0$.

**11.** Com $t = \sin^2\theta$ ($\theta \in
\intoo0{\pi/2}$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$), $t^{x-1} = \sin^{2x-2}\theta$ e $(1-t)^{y-1} =
\cos^{2y-2}\theta$:

$$
B(x,y) = \int_0^{\pi/2}\sin^{2x-2}\theta\,\cos^{2y-2}\theta
\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,
\dd\theta .
$$

**12.** Tome $y = \frac12$ (matando o fator cosseno) e $2x - 1 = n$: $B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr) = 2W_n$, isto é, $W_n = \frac12 B\bigl(\frac{n+1}2,\frac12\bigr)$. A relação de descida na primeira variável dá

$$
\frac{W_n}{W_{n-2}}
= \frac{B\bigl(\frac{n-1}2 + 1, \frac12\bigr)}
{B\bigl(\frac{n-1}2, \frac12\bigr)}
= \frac{\frac{n-1}2}{\frac{n-1}2 + \frac12}
= \frac{n-1}{n} :
$$

a recorrência de Wallis, desta vez sem nenhuma integração por partes sobre senos — a Parte II fez o trabalho de uma vez por todas.

**13.** $B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = 2W_0 =
2\cdot\frac\pi2 = \pi$, enquanto $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1) = (\sqrt\pi)^2 = \pi$: a fórmula de Euler vale em $\bigl(\frac12,\frac12\bigr)$.

**14.** Iterando $W_{2n} = \frac{2n-1}{2n}W_{2n-2}$ a partir de $W_0 = \frac\pi2$:

$$
W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}
= \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2},
$$

pois $\prod(2k-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ e $\prod 2k = 2^n
n!$. Logo, usando a questão 3:

$$
B\Bigl(n+\frac12, \frac12\Bigr) = 2W_{2n}
= \pi\,\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}
= \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!}\cdot\frac{\sqrt\pi}{n!}
= \frac{\Gamma\bigl(n+\frac12\bigr)\Gamma\bigl(\frac12\bigr)}
{\Gamma(n+1)} .
$$

Fixe agora $x \in \frac12\N^*$. A fórmula de Euler vale em $(x,
\frac12)$: para $x$ inteiro isso é a questão 10 (com a simetria), para $x = n + \frac12$ é a fórmula acima. Os dois lados da fórmula de Euler obedecem à recursão de descida $y \mapsto y + 1$ (questão 8 à esquerda, equação funcional à direita, como na questão 10): a indução propaga a fórmula de $y =
\frac12$ e $y = 1$ a todo $y \in \frac12\N^*$. A fórmula de Euler vale, portanto, sempre que $2x, 2y \in \N^*$.

**15.** Com $u = \frac{t}{1-t}$, isto é, $t =
\frac{u}{1+u}$, $1 - t = \frac{1}{1+u}$, $\dd t =
\frac{\dd u}{(1+u)^2}$:

$$
B(x,y) = \int_0^\infty
\Bigl(\frac{u}{1+u}\Bigr)^{x-1}
\Bigl(\frac{1}{1+u}\Bigr)^{y-1}
\frac{\dd u}{(1+u)^2}
= \int_0^\infty \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u .
$$

Em $x = y = \frac12$, com $u = v^2$:

$$
\int_0^\infty \frac{u^{-1/2}}{1+u}\dd u
= \int_0^\infty \frac{2\,\dd v}{1+v^2} = \pi
= B\Bigl(\frac12,\frac12\Bigr) . \checkmark
$$

**16.** Uma integração por partes, para $1 \leq k \leq n$ e $s > 0$ ($u = (1 - t/n)^k$, $v = t^s/s$; os termos de bordo se anulam):

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k} t^{s-1}\dd t
= \frac{k}{ns}\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k-1}
t^{s}\dd t .
$$

Partindo de $k = n$, $s = x$ e iterando $n$ vezes:

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\dd t
= \frac{n(n-1)\cdots1}{n^n\,x(x+1)\cdots(x+n-1)}
\int_0^n t^{x+n-1}\dd t
= \frac{n!}{n^n}\cdot
\frac{n^{x+n}}{x(x+1)\cdots(x+n)} ,
$$

que é $\dfrac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.

**17.** Pelo [Exercício 9.7](#exo-b2-integration-7) o membro da esquerda tende a $\Gamma(x)$ (convergência dominada com dominante $t^{x-1}\eu^{-t}$); o membro da direita é o quociente de Gauss:

$$
\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .
$$

**18.** Tomando logaritmos no quociente da questão 16, $G_n(x)$, e separando $\ln(x+k) = \ln k + \ln(1 + x/k)$ para $k
\geq 1$:

$$
\ln G_n(x) = x\ln n - \ln x - \sum_{k=1}^n
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)
= -\ln x + x(\ln n - H_n)
+ \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr).
$$

Para $u \geq 0$, $u - \frac{u^2}2 \leq \ln(1+u) \leq u$, de modo que o termo geral está em $\intcc{0}{x^2/(2k^2)}$: a série [converge](#def-b2-integration-improper) (comparação com $\sum k^{-2}$). Como $\ln n - H_n
\to -\gamma$ ([Exemplo 6.7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-harmonic)) e $\ln G_n(x)
\to \ln\Gamma(x)$ (questão 17 e [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\ln$):

$$
\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x
+ \sum_{k=1}^\infty\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr) .
$$

**19.** Em $x = \frac12$, o denominador é $\prod_{k=0}^n\bigl(k+\frac12\bigr) =
\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}$ (desenvolvendo as metades), logo

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{n!\,\sqrt n\;2^{2n+1}n!}{(2n+1)!}
= \frac{2\sqrt n\;4^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}} .
$$

Com $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ([Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial)):

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
\sim \frac{2\sqrt n\,\sqrt{\pi n}}{2n+1}
\longrightarrow \sqrt\pi = \Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) .
$$

O $\sqrt\pi$ do coeficiente binomial central (que veio de Wallis, logo da constante de Stirling) e o $\sqrt\pi$ da integral gaussiana são o mesmo número.

**20.** A identidade é álgebra direta: multiplique $\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$ por $\frac{nx}{x+n+1}$ e absorva $x$ no produto e $n$ em $n^x$. Fazendo $n \to
\infty$: o membro da esquerda tende a $\Gamma(x+1)$ (Gauss em $x+1$), o da direita a $\Gamma(x)\cdot x\cdot 1$, pois $\frac{n}{x+n+1} \to 1$: $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ — recuperado sem uma única integração por partes.

**21.** Com $u = t^a$, $t = u^{1/a}$, $\dd t = \frac1a
u^{1/a - 1}\dd u$:

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t
= \frac1a\int_0^\infty u^{\frac1a - 1}\eu^{-u}\dd u
= \frac1a\,\Gamma\Bigl(\frac1a\Bigr)
= \Gamma\Bigl(1 + \frac1a\Bigr) .
$$

Quando $a \to +\infty$ (ao longo de qualquer sequência): $\eu^{-t^a} \to 1$ para $0 < t < 1$, $\to \eu^{-1}$ em $t = 1$, $\to 0$ para $t > 1$; para $a \geq 2$ domine por $\mathbf 1_{t \leq 1} +
\eu^{-t^2}\mathbf 1_{t > 1}$ ($t^a \geq t^2$ para $t \geq 1$), integrável. Convergência dominada: a integral tende a $\int_0^1 1\,\dd t = 1$ — como tinha de ser, pois $\Gamma(1 +
\frac1a) \to \Gamma(1) = 1$ pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**22.** Com $u = t^n$, $\dd t = \frac1n u^{1/n - 1}\dd
u$:

$$
\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1-t^n}}
= \frac1n\int_0^1 u^{\frac1n-1}(1-u)^{-1/2}\dd u
= \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr) .
$$

$n = 1$: $B\bigl(1,\frac12\bigr) = B\bigl(\frac12,1\bigr) = 2$, coincidindo com $\int_0^1\frac{\dd t}{\sqrt{1-t}} = 2$. $n = 2$: $\frac12 B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = \frac\pi2 = \arcsin 1$. Para $n = 4$ o valor $\frac14 B\bigl(\frac14,\frac12\bigr)$ é a constante da lemniscata: nenhuma forma fechada elementar.

**23.** Iterando a equação funcional:

$$
\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty t^{x+k-1}\eu^{-t}\dd t
= \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}
= (x+k-1)(x+k-2)\cdots x ,
$$

o fatorial ascendente com $k$ fatores. Em $x = 1$: $\Gamma(1+k)/\Gamma(1) = k!$, os momentos de $\eu^{-t}$ vindos do [Exercício 9.2](#exo-b2-integration-2).

**24.** Substitua $t = \frac{1+s}2$ ($s \in
\intoo{-1}1$, $\dd t = \frac{\dd s}2$, $t(1-t) =
\frac{1-s^2}4$):

$$
B(x,x) = \int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{1-s^2}{4}\Bigr)^{x-1}
\frac{\dd s}{2}
= 4^{1-x}\int_0^1 (1-s^2)^{x-1}\dd s
$$

(o integrando é par). Depois $s = \sqrt v$ ($\dd s =
\frac{\dd v}{2\sqrt v}$):

$$
B(x,x) = \frac{4^{1-x}}{2}\int_0^1
v^{-1/2}(1-v)^{x-1}\dd v
= 2^{1-2x}\,B\Bigl(\frac12, x\Bigr) .
$$

Para $2x \in \N^*$ todos os argumentos à vista estão em $\frac12\N^*$, de modo que a fórmula de Euler (questão 14) se aplica aos dois lados:

$$
\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
= 2^{1-2x}\,
\frac{\Gamma\bigl(\frac12\bigr)\Gamma(x)}
{\Gamma\bigl(x+\frac12\bigr)}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x+\frac12\Bigr)
= 2^{1-2x}\sqrt\pi\;\Gamma(2x) .
$$

Verificação direta em $x = n$: o membro da esquerda é $(n-1)!\cdot
\frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!} = \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n}$, o da direita $2\cdot4^{-n}\sqrt\pi\,(2n-1)! =
\frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n}$: iguais.

**25.** (i) A integração por partes produziu $B(x,y+1) =
\frac yx B(x+1,y)$, a única identidade da qual decorrem toda relação de descida, os valores inteiros e semi-inteiros e a recorrência de Wallis. (ii) A convergência dominada transformou as integrais elementares $\int_0^n(1-t/n)^n t^{x-1}$ em $\Gamma(x)$ (fórmula de Gauss, questão 17) e calculou o limite $a \to \infty$ na questão 21. (iii) Do capítulo de comparação importamos a constante de Euler ($\ln n - H_n \to
-\gamma$, questão 18) e a assintótica do binomial central (questão 19) — isto é, a fórmula de Stirling disfarçada. (iv) A fórmula de Euler $B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ está agora demonstrada para $y \in \N^*$ com $x > 0$ arbitrário (questão 10) e para todos os pares semi-inteiros (questão 14); o caso geral $x, y > 0$ aguarda o cálculo por integral dupla do capítulo sobre integrais múltiplas, que fatoriza $\Gamma(x)\Gamma(y)$ sobre um quarto de plano.