---
title: "نظرية الزمر"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3"
subject: math
language: ar
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory
---

# الفصل 1 — نظرية الزمر

لم تكن الزمر في مجلد السنة الجامعية 2 سوى أدوات للإحصاء: مبرهنة لاغرانج، والزمر الدائرية، والزمرة المتناظرة وإشارتها. يحوّل هذا الفصل نظرية الزمر إلى *طريقة*. والمحرّك هو مفهوم زمرة *تفعل* على مجموعة: فإحصاء المدارات والنقط الصامدة يعطي [معادلة الأصناف](#cor-b3-groups-classeq)، ومبرهنة كوشي، ومبرهنات سيلو الثلاث — وهي المبدأ الأساسي الذي ينقل الخاصية المحلية إلى الخاصية الشاملة في نظرية الزمر المنتهية. ثم نتعلّم كيف نركّب الزمر (الجداءات المباشرة ونصف المباشرة) وكيف نفكّكها (السلاسل التركيبية، والزمر [القابلة للحل](#def-b3-groups-derived))، ونبرهن على المبرهنة التي ستُغلق في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) مسألة عمرها ثلاثة قرون حول المعادلات كثيرة الحدود: [الزمرة المتناوبة](#thm-b3-groups-ansimple) $A_n$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple) من أجل $n
\geq 5$.

## 1.1 زمر القسمة ومبرهنات التماثل

في كل ما يلي، $G$ زمرة مكتوبة ضربيًا وعنصرها المحايد $e$. نذكّر بما ورد في مجلد السنة الجامعية 2: الزمر الجزئية، والصفوف المجاورة $gH$، ومبرهنة لاغرانج ($\abs G = [G:H]\,\abs H$ من أجل $G$ منتهية)، ورتبة عنصر، والزمر الدائرية، والزمرة المتناظرة $S_n$ بتشاكل إشارتها $\varepsilon \colon S_n \to \{\pm1\}$.

**تعريف 1.1.**

تكون زمرة جزئية $N$ من $G$ *ناظمية* (ونكتب $N \trianglelefteq G$) إذا كان $gNg^{-1} = N$ من أجل كل $g
\in G$ — وهذا يكافئ أن يتطابق الصفان المجاوران الأيسر والأيمن: $gN =
Ng$ من أجل كل $g$.

**مبرهنة 1.2 (زمرة القسمة).**

لتكن $N \trianglelefteq G$. مجموعة الصفوف المجاورة $G/N$، مزوّدةً بالضرب $(gN)(hN) = ghN$، زمرةٌ معرَّفة تعريفًا سليمًا، تُسمّى *زمرة القسمة*، ويكون *الإسقاط القانوني* $\pi \colon G \to G/N$، $g \mapsto gN$، تشاكلًا شاملًا نواته $N$. وبالعكس، كل نواة تشاكل زمر [ناظمية](#def-b3-groups-normal): فالزمر الجزئية [الناظمية](#def-b3-groups-normal) هي بالضبط النوى.

**برهان.** سلامة التعريف هي بيت القصيد. إذا كان $gN = g'N$ و $hN = h'N$، فلنكتب $g' = gn$ و $h' = hm$ حيث $n, m \in N$. عندئذٍ $g'h' = gnhm =
gh\,(h^{-1}nh)\,m \in ghN$ لأن $h^{-1}nh \in N$ [بالناظمية](#def-b3-groups-normal): فجداء الصفين لا يتعلق بالممثّلين المختارين. أما التجميعية والعنصر المحايد $eN = N$ والمقلوبات $(gN)^{-1} = g^{-1}N$ فموروثة من $G$. ومن الواضح أن $\pi$ تشاكل شامل وأن $\pi(g) = N \iff g \in N$.

وإذا كان $f \colon G \to H$ تشاكلًا وكان $k \in \ker f$، فإن $f(gkg^{-1}) = f(g)f(k)f(g)^{-1} = e$: أي أن النوى [ناظمية](#def-b3-groups-normal). ∎

**مبرهنة 1.3 (الخاصية الشمولية؛ مبرهنة التماثل الأولى).**

ليكن $f \colon G \to H$ تشاكلًا ولتكن $N \trianglelefteq G$ بحيث $N \subseteq \ker f$. يوجد تشاكل وحيد $\bar f \colon G/N
\to H$ يحقق $f = \bar f \circ \pi$. وعلى وجه الخصوص، بأخذ $N = \ker
f$:

$$
G/\ker f \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \operatorname{im} f,
\qquad gN \mapsto f(g).
$$

**برهان.** الوحدانية: يجب أن يكون $\bar f(gN)$ مساويًا $f(g)$. الوجود: إذا كان $gN = g'N$ فإن $g^{-1}g' \in N \subseteq \ker f$، ومنه $f(g) = f(g')$، فيكون $\bar
f(gN) = f(g)$ معرَّفًا تعريفًا سليمًا؛ وهو تشاكل لأن $f$ تشاكل. وفي حالة $N = \ker f$: يكون $\bar f$ متباينًا، لأن $\bar f(gN) = e$ يعني $g \in \ker f$، أي $gN = N$؛ وصورته هي صورة $f$. ∎

**مبرهنة 1.4 (مبرهنتا التماثل الثانية والثالثة).**

لتكن $H \leq G$ ولتكن $N \trianglelefteq G$.

1. $HN = \{hn : h \in H,\, n \in N\}$ زمرة جزئية، و $N  \trianglelefteq HN$، و $H \cap N \trianglelefteq H$، و $$H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N .$$
2. وإذا كان علاوة على ذلك $N \subseteq K \trianglelefteq G$ ، فإن $K/N  \trianglelefteq G/N$ و $(G/N)\big/(K/N) \cong G/K$ .

**برهان.** (1) إن $HN$ زمرة جزئية: $(hn)(h'n') = hh'\,(h'^{-1}nh')n' \in HN$ و $(hn)^{-1} = h^{-1}(hn^{-1}h^{-1}) \in HN$، باستعمال [ناظمية](#def-b3-groups-normal) $N$. نركّب $H \hookrightarrow HN \xrightarrow{\pi} HN/N$: هذا التشاكل شامل ($hnN = hN$) ونواته $\{h \in H : h \in
N\} = H \cap N$؛ ثم نطبّق [المبرهنة 1.3](#thm-b3-groups-firstiso).

(2) الإسقاط $G/N \to G/K$، $gN \mapsto gK$، معرَّف تعريفًا سليمًا ($N \subseteq K$)، وشامل، ونواته $K/N$؛ ونطبّق [المبرهنة 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) مرة أخرى. ∎

**مبرهنة 1.5 (مبرهنة التقابل).**

لتكن $N \trianglelefteq G$. التطبيق $H \mapsto H/N$ تقابلٌ بين الزمر الجزئية من $G$ الحاوية على $N$ والزمر الجزئية من $G/N$، وهو يحفظ الاحتواءات والأدلّة [والناظمية](#def-b3-groups-normal) (في الاتجاهين).

**برهان.** تطبيقه العكسي هو $\bar H \mapsto \pi^{-1}(\bar H)$. وكلا التطبيقين يرسل الزمر الجزئية إلى زمر جزئية، وهما عكسيان أحدهما للآخر: $\pi^{-1}(H/N) =
HN = H$ لأن $N \subseteq H$، و $\pi(\pi^{-1}(\bar H)) = \bar H$ بشمولية $\pi$. ومن الواضح أن الاحتواءات محفوظة؛ و $[G:H] = [G/N : H/N]$ لأن $gH \mapsto (gN)(H/N)$ تقابلٌ معرَّف تعريفًا سليمًا بين فضاءي الصفوف المجاورة؛ وأخيرًا يكون $gHg^{-1} = H$ من أجل كل $g$ إذا وفقط إذا كان $(gN)(H/N)(gN)^{-1} = H/N$ من أجل كل $gN$، وذلك بشمولية $\pi$ أيضًا. ∎

**مثال 1.6.**

$\varepsilon \colon S_n \to \{\pm 1\}$ يعطي $S_n/A_n \cong
\{\pm1\}$؛ و $\det \colon GL_n(K) \to K^\times$ يعطي $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^\times$؛ و $t \mapsto \eu^{2\iu\pi t}$ يعطي $\R/\Z \cong \mathbb U$، وهي زمرة الدائرة. ومبرهنة التماثل الأولى هي الوسيلة التي تُحسب بها زمر القسمة *عمليًا*: نبحث عن تطبيق شامل له النواة المطلوبة.

**طريقة 1.7.**

لإثبات $N \trianglelefteq G$، إليك الطرائق مرتّبة تنازليًا حسب أناقتها: نُظهر $N$ على أنها نواة تشاكل معرَّف على $G$؛ أو نتحقق من $gNg^{-1} \subseteq N$ من أجل كل $g$ (وهذا كافٍ: إذ يعطي تطبيقه على $g^{-1}$ ثم الاقتران الاحتواء المعاكس)؛ أو نتحقق من أن $N$ اتحاد أصناف اقتران؛ أو نلاحظ أن $[G:N] = 2$ (وعندئذٍ يُفرض $gN = Ng$ — [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)).

## 1.2 أفعال الزمر

**تعريف 1.8.**

*فعل* للزمرة $G$ على مجموعة $X$ هو تشاكل $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ إلى زمرة تقابلات $X$؛ ونكتب $g \cdot x$ بدل $\varphi(g)(x)$. وبصيغة مكافئة: تطبيق $G \times X \to X$ يحقق $e \cdot x = x$ و $g
\cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$. و*مدار* النقطة $x$ هو $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$، و*مثبِّتها* هو الزمرة الجزئية $G_x = \{g :
g\cdot x = x\}$، و $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ هي مجموعة *النقط الصامدة*. ويكون الفعل *متعدّيًا* إذا وُجد مدار واحد لا غير، و*أمينًا* إذا كان $\varphi$ متباينًا، و*حرًّا* إذا كانت جميع المثبِّتات تافهة.

**مثال 1.9.**

خمسة أفعال تدير نظرية الزمر المنتهية بأكملها:

1. [فعل](#def-b3-groups-action) $G$ على نفسها عن طريق *الانسحاب الأيسر* $g \cdot x = gx$ : وهو حر ومتعدٍّ.
2. [فعل](#def-b3-groups-action) $G$ على نفسها عن طريق *الاقتران* $g \cdot x = gxg^{-1}$ : مداراته هي *أصناف الاقتران* ، ومثبِّتاته هي *المُرَكِّزات* $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ ، ونقطه الصامدة هي *مركز* الزمرة $Z(G)$ .
3. [فعل](#def-b3-groups-action) $G$ على فضاء الصفوف المجاورة $G/H$ حسب القاعدة $g \cdot xH = gxH$ : وهو متعدٍّ، ومثبِّت الصف $H$ هو $H$ نفسها. وكل [فعل](#def-b3-groups-action) متعدٍّ من هذا الشكل ( [التمرين 1.8](#exo-b3-groups-8) ).
4. [فعل](#def-b3-groups-action) $G$ على مجموعة زمرها الجزئية بالاقتران: مثبِّت $H$ هو *الناظِم* $N_G(H) =  \{g : gHg^{-1} = H\}$ ، وهو أكبر زمرة جزئية من $G$ تكون $H$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) فيها.
5. [فعل](#def-b3-groups-action) $S_n$ على $\intint{1}{n}$ : وهو أمّ الأمثلة جميعًا.

**مبرهنة 1.10 (المدار والمثبِّت).**

التطبيق $gG_x \mapsto g \cdot x$ تقابلٌ معرَّف تعريفًا سليمًا $G/G_x \to \mathcal O_x$. وعلى وجه الخصوص، من أجل $G$ منتهية،

$$
\abs{\mathcal O_x} = [G : G_x] \quad\text{يقسم } \abs G,
$$

ولأن المدارات تجزّئ $X$ (فهي أصناف علاقة التكافؤ $x \sim y \iff y \in \mathcal O_x$)،

$$
\abs X = \sum_{i} \,[G : G_{x_i}]
\qquad (x_i\colon \text{نقطة واحدة في كل مدار}).
$$

**برهان.** سلامة التعريف والتباين: $gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x \iff
h^{-1}g \cdot x = x \iff g \cdot x = h \cdot x$؛ ويُقرأ التسلسل في الاتجاهين. أما الشمولية فهي تعريف [المدار](#def-b3-groups-action) عينه. وتنتج عبارات الإحصاء من مبرهنة لاغرانج ومن تجزئة $X$ إلى مدارات. ∎

**نتيجة 1.11 (معادلة الأصناف).**

من أجل زمرة منتهية $G$، وباختيار ممثّل واحد $x_i$ في كل [صنف اقتران](#ex-b3-groups-actions) يضم أكثر من عنصر واحد:

$$
\abs G = \abs{Z(G)} + \sum_i \,[G : Z_G(x_i)],
\qquad\text{كل } [G : Z_G(x_i)] > 1 \text{ يقسم } \abs G.
$$

**برهان.** نطبّق [المبرهنة 1.10](#thm-b3-groups-orbitstab) على [فعل](#def-b3-groups-action) الاقتران: فالمدارات الأحادية هي بالضبط عناصر $Z(G)$. ∎

**مبرهنة 1.12 (النقط الصامدة لزمر ppp).**

ليكن $p$ عددًا أوليًا. *$p$-زمرة* هي زمرة منتهية رتبتها قوة للعدد $p$. إذا فعلت $p$-زمرة $G$ على مجموعة منتهية $X$، فإن

$$
\abs{X^G} \equiv \abs X \pmod p .
$$

ومن نتائج ذلك: كل $p$-زمرة غير تافهة لها مركز غير تافه، وكل زمرة رتبتها $p^2$ أبيلية.

**برهان.** عدد عناصر كل [مدار](#def-b3-groups-action) هو $[G:G_x]$، وهو قوة للعدد $p$؛ وتكون هذه القوة مساوية $1$ على النقط الصامدة بالضبط، وقابلة للقسمة على $p$ فيما عدا ذلك. وبالجمع على المدارات نحصل على المطابقة. أما المركز: [ففعل](#def-b3-groups-action) اقتران $G$ على نفسها يعطي $X^G = Z(G)$، ومنه $\abs{Z(G)} \equiv
\abs G \equiv 0 \pmod p$، ووجود $Z(G) \ni e$ يفرض $\abs{Z(G)} \geq
p$. وأما الرتبة $p^2$: فإذا كان $Z(G) \neq G$ فإن $\abs{Z(G)} = p$ وتكون $G/Z(G)$ دائرية رتبتها $p$، وهذا يفرض أن تكون $G$ أبيلية ([التمرين 1.2](#exo-b3-groups-2)) — وهو تناقض. ∎

**مبرهنة 1.13 (كوشي).**

إذا قسم عدد أولي $p$ العدد $\abs G$، فإن $G$ تحتوي على عنصر رتبته $p$.

**برهان (ماكاي).** لتكن $X = \{(g_1, \dots, g_p) \in G^p : g_1 g_2 \cdots g_p = e\}$. اختيار $g_1, \dots, g_{p-1}$ اختيارًا حرًّا يحدّد $g_p$: ومنه $\abs X =
\abs G^{p-1}$، وهو قابل للقسمة على $p$. تفعل الزمرة الدائرية $\Z/p\Z$ على $X$ بالإزاحة الدائرية $(g_1, \dots, g_p) \mapsto (g_2, \dots, g_p,
g_1)$ — وهذا يحفظ $X$، لأن $g_2 \cdots g_p g_1 =
g_1^{-1}(g_1 \cdots g_p)g_1 = e$. وحسب [المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)، $\abs{X^{\Z/p\Z}} \equiv \abs X \equiv 0 \pmod p$. والنقط الصامدة هي المرتّبات الثابتة $(g, \dots, g)$ التي تحقق $g^p = e$؛ والمرتّبة $(e,
\dots, e)$ إحداها، فعددها $p$ على الأقل، ومنه يوجد على الأقل عنصر واحد $g \neq e$ يحقق $g^p = e$: ورتبته $p$ بالضبط. ∎

**مبرهنة 1.14 (كايلي).**

كل زمرة رتبتها $n$ تنغمر في $S_n$.

**برهان.** الانسحاب الأيسر $\varphi \colon G \to \mathfrak S(G) \cong S_n$ تشاكل؛ و $\varphi(g) = \mathrm{id}$ يفرض $g = ge = e$: فهو أمين. ∎

**طريقة 1.15.**

إحصاء النقط الصامدة هو الافتتاح الشامل لنظرية الزمر المنتهية. لإثبات *وجود* شيء ما (عنصر مركزي، أو عنصر رتبته $p$، أو [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal)، أو نقطة صامدة)، نجعل زمرةً مختارةً بعناية تفعل على مجموعة منتهية مختارة بعناية، ثم نقارن $\abs{X^G}$ مع $\abs X$ بترديد $p$، أو نستفيد من أن أعداد عناصر المدارات تقسم رتبة الزمرة. وبراهين المبرهنات [1.12](#thm-b3-groups-pfixed) و[1.13](#thm-b3-groups-cauchy) ومبرهنات سيلو الثلاث الآتية خمسُ صياغات لهذه الفكرة الواحدة.

## 1.3 مبرهنات سيلو

تقول مبرهنة لاغرانج إن رتبة كل زمرة جزئية تقسم $\abs G$؛ والعكس خاطئ ($A_4$، ورتبتها $12$، ليس لها زمرة جزئية رتبتها $6$ — [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)). تُنقذ مبرهنات سيلو هذا العكس في حالة قوى الأعداد الأولية، وبندُ الإحصاء فيها هو أمضى أداة عامة نملكها لإنتاج زمر جزئية [ناظمية](#def-b3-groups-normal).

**تعريف 1.16.**

نكتب $\abs G = p^a m$ حيث $p \nmid m$. *زمرة سيلو الجزئية من النمط $p$* في $G$ هي زمرة جزئية رتبتها $p^a$ — أي $p$-زمرة جزئية أكبر رتبةً ممكنة. ويُرمَز إلى عدد زمر سيلو الجزئية من النمط $p$ في $G$ بالرمز $n_p$.

**مبرهنة مساعدة 1.17.**

إذا كان $\abs G = p^a m$ مع $p \nmid m$، فإن $\dbinom{p^a m}{p^a}
\equiv m \pmod p$.

**برهان.** في $\mathbb F_p[X]$، يتكرر «حلم المبتدئ» $(1+X)^p = 1 + X^p$ (فالمعاملات $\binom pk$ من أجل $0<k<p$ قابلة للقسمة على $p$: إذ يقسم $p$ بسط $\frac{p!}{k!(p-k)!}$ ولا يقسم مقامه) ليعطي $(1+X)^{p^a} = 1 + X^{p^a}$، ومنه

$$
(1+X)^{p^a m} = \bigl(1 + X^{p^a}\bigr)^m
= \sum_{k=0}^{m} \binom mk X^{k p^a} \quad\text{في } \mathbb
F_p[X].
$$

ثم نطابق معامل $X^{p^a}$: فنجد في الطرف الأيسر $\binom{p^a
m}{p^a} \bmod p$، وفي الطرف الأيمن $\binom m1 = m$. ∎

**مبرهنة 1.18 (سيلو 1: الوجود).**

من أجل كل عدد أولي $p$، توجد في $G$ زمر سيلو جزئية من النمط $p$.

**برهان (فيلانت).** لتكن $\Omega$ مجموعة *أجزاء* $G$ التي عدد عناصرها $p^a$؛ تفعل $G$ على $\Omega$ بالانسحاب الأيسر $g \cdot S = gS$. وحسب [المبرهنة المساعدة 1.17](#lem-b3-groups-binom) لدينا $\abs\Omega = \binom{p^a m}{p^a}
\equiv m \not\equiv 0 \pmod p$، ومنه يوجد [مدار](#def-b3-groups-action) $\mathcal O_S$ عددُ عناصره أولي مع $p$ (إذ لو قسم $p$ عدد عناصر كل [مدار](#def-b3-groups-action) لقسم $\abs\Omega$). لتكن $H = G_S$ مثبِّت مثل هذا $S$. وبما أن $[G : H] = \abs{\mathcal O_S}$ أولي مع $p$ وأن $p^a \mid
\abs G = [G:H]\,\abs H$، فإن $p^a \mid \abs H$. وبالعكس، لنثبّت $s \in S$: فالتطبيق $H \to S$، $h \mapsto hs$، متباين وصورته داخل $S$ لأن $hS = S$؛ ومنه $\abs H \leq \abs S = p^a$. إذن $\abs H = p^a$. ∎

**مبرهنة 1.19 (سيلو 2: الهيمنة والاقتران).**

لتكن $P$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ ولتكن $Q$ أي $p$-زمرة جزئية من $G$. عندئذٍ $Q \subseteq gPg^{-1}$ من أجل $g \in G$ ما. وعلى وجه الخصوص، جميع زمر سيلو الجزئية من النمط $p$ مقترنة، و $P \trianglelefteq G \iff
n_p = 1$.

**برهان.** لتفعل $Q$ على فضاء الصفوف المجاورة $X = G/P$، وعدد عناصره $m
\not\equiv 0 \pmod p$. وبتطبيق [المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) على $p$-زمرة $Q$ نجد $\abs{X^Q} \equiv m \not\equiv 0 \pmod p$: أي يوجد صف صامد $gP$، أي $QgP = gP$، أي $g^{-1}Qg \subseteq
P$. وإذا كانت $Q$ نفسها زمرة سيلو جزئية، فتساوي الرتبتين يحوّل $Q \subseteq gPg^{-1}$ إلى تساوٍ. وأخيرًا يتحقق $P
\trianglelefteq G$ إذا وفقط إذا تقلّصت مقترناتها $\{gPg^{-1}\}$ — وهي حسب ما سبق *جميع* زمر سيلو الجزئية من النمط $p$ — إلى $\{P\}$. ∎

**مبرهنة 1.20 (سيلو 3: الإحصاء).**

$n_p \equiv 1 \pmod p$، و $n_p = [G : N_G(P)]$، وهو يقسم $m$.

**برهان.** لتكن $\mathrm{Syl}_p$ مجموعة زمر سيلو الجزئية من النمط $p$؛ تفعل $G$ عليها فعلًا متعدّيًا بالاقتران ([المبرهنة 1.19](#thm-b3-groups-sylow2))، ومثبِّت $P$ هو [الناظِم](#ex-b3-groups-actions) $N_G(P) \supseteq P$: ومنه $n_p = [G :
N_G(P)]$، ويُظهر $m = [G:P] = [G:N_G(P)]\,[N_G(P):P]$ أن $n_p \mid
m$.

نقصر الآن [الفعل](#def-b3-groups-action) على $P$ ونحصي النقط الصامدة. إذا كانت $Q \in
\mathrm{Syl}_p$ صامدة تحت [فعل](#def-b3-groups-action) $P$، فإن $P \subseteq N_G(Q)$؛ وتكون كلٌّ من $P$ و $Q$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في الزمرة $N_G(Q)$، ومنه فهما مقترنتان فيها ([المبرهنة 1.19](#thm-b3-groups-sylow2) مطبَّقة على $N_G(Q)$)؛ لكن $Q \trianglelefteq N_G(Q)$، ومنه فإن $Q$ هي مقترنها الوحيد هناك: أي $P = Q$. إذن النقطة الصامدة الوحيدة هي $P$ نفسها، وتعطي [المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) أن $n_p = \abs{\mathrm{Syl}_p}
\equiv \abs{\mathrm{Syl}_p^P} = 1 \pmod p$. ∎

**طريقة 1.21.**

لتحليل زمرة رتبتها $n = p^a m$: نسرد قواسم $m$ الموافقة للعدد $1$ بترديد $p$ — فهذه هي المرشّحة لتكون $n_p$. فإذا كان المرشّح الوحيد هو $1$، كانت [زمرة سيلو الجزئية](#def-b3-groups-sylow) من النمط $p$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal). وإذا فُرض على $n_p > 1$ أن يكون صغيرًا، فلنفعل بالاقتران على $\mathrm{Syl}_p$ للحصول على تشاكل $G \to S_{n_p}$ نواته صغيرة. ولنُحصِ العناصر أيضًا: فزمر سيلو الجزئية المتمايزة ذات الرتبة *الأولية* $p$ تتقاطع تقاطعًا تافهًا، ومنه فهي تحمل $n_p(p-1)$ عنصرًا رتبته $p$ بالضبط؛ وكثيرًا ما تفرض الإحصاءات المتداخلة من أجل أعداد أولية مختلفة تناقضًا ([التمرين 1.7](#exo-b3-groups-7)).

**مثال 1.22.**

ليكن $\abs G = pq$ حيث $p < q$ عددان أوليان و $p \nmid q - 1$. عندئذٍ يفرض $n_q \mid p$ و $n_q \equiv 1 \bmod q$ أن $n_q = 1$ (لأن $p <
q$)؛ ويفرض $n_p \mid q$ و $n_p \equiv 1 \bmod p$ أن $n_p = 1$ (لأن $q
\not\equiv 1 \bmod p$). ولتكن $P$ و $Q$ زمرتَي سيلو الناظميتين: عندئذٍ $P
\cap Q = \{e\}$ (لتباين الرتبتين)، ومنه $\abs{PQ} = pq$ ([التمرين 1.4](#exo-b3-groups-4)) و $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z
\times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ حسب [القضية 1.24](#prop-b3-groups-direct) الآتية. فكل زمرة رتبتها $15$ أو $33$ أو $35$ أو … دائرية. أما الحالة المستثناة $p \mid q - 1$ فتُنتج زمرة واحدة إضافية بالضبط، غير أبيلية — انظر مسألة نهاية الأسبوع ([المسألة 1.1](#pb-b3-groups-1)).

**مثال 1.23 (إحصاء سيلو كاملًا: S4S_4S4​).**

لنطبّق الطريقة على $G = S_4$، حيث $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$. *سيلو $3$:* لدينا $n_3 \mid 8$ و $n_3 \equiv 1 \bmod 3$، ومنه $n_3
\in \{1, 4\}$؛ وبما أن $\langle(123)\rangle$ و $\langle(124)\rangle$ متمايزتان، فإن $n_3 = 4$ — وهي الزمر الجزئية الأربع $\langle(abc)\rangle$، واحدة من أجل كل جزء ثلاثي $\{a, b, c\}$، وهي تستوعب الدورات الثلاثية الثماني. وهي مقترنة حسب سيلو 2، وتشاكل الاقتران $S_4 \to
S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ تماثلٌ هنا (إذ نواته محتواة في $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ ورتبتها $24/4 =
6$، وكل [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) من $S_4$ داخل $N$ الشبيهة بالزمرة $S_3$ لا بد أن تكون تافهة: إذ ستتألف من تبديلات زوجية تُثبّت زمر سيلو الأربع، ولا يفعل ذلك سوى $e$). *سيلو $2$:* لدينا $n_2 \mid 3$ و $n_2
\equiv 1 \bmod 2$: ومنه $n_2 \in \{1, 3\}$. والزمرة الجزئية $D =
\langle(1234), (13)\rangle$ رتبتها $8$ (وهي [زمرة ثنائية السطوح](#ex-b3-groups-semidirectexamples) $D_4$: تناظرات المربع ذي الرؤوس $1, 2, 3, 4$)، وليست [ناظمية](#def-b3-groups-normal) (إذ يولّد $(12)(1234)(12) = (2134)$ زمرة دورات رباعية مغايرة)، ومنه $n_2 = 3$: فنسخ $D_4$ الثلاث توافق الطرق الثلاث لتزويج $4$ نقط في «مربع». ولاحظ العبرة من هذا الإحصاء: إن $\abs{S_4} = 24$ يترك مجالًا لأيٍّ من زمرتَي سيلو ألّا تكون [ناظمية](#def-b3-groups-normal)، وكلتاهما كذلك [بالفعل](#def-b3-groups-action) — قارن ذلك بالرتبة $12$، حيث يفرض الإحصاء [ناظمية](#def-b3-groups-normal) إحداهما (الجزء الرابع من [المسألة 1.1](#pb-b3-groups-1)).

## 1.4 الجداءات المباشرة ونصف المباشرة

**قضية 1.24 (التعرّف على جداء مباشر).**

لتكن $H, K \trianglelefteq G$ بحيث $H \cap K = \{e\}$ و $HK = G$. عندئذٍ يكون $(h,k) \mapsto hk$ تماثلًا $H \times K \to
G$.

**برهان.** من أجل $h \in H$ و $k \in K$، ينتمي [المبدِّل](#def-b3-groups-derived) $hkh^{-1}k^{-1}$ إلى $K$ (بقراءته على الصورة $(hkh^{-1})k^{-1}$، باستعمال [ناظمية](#def-b3-groups-normal) $K$) وإلى $H$ (بقراءته على الصورة $h(kh^{-1}k^{-1})$): إذن هو $e$، فتتبادل عناصر $H$ مع عناصر $K$ ويكون التطبيق تشاكلًا. وهو شامل لأن $HK = G$، ومتباين لأن $hk = e$ يعطي $h = k^{-1} \in
H \cap K = \{e\}$. ∎

والذي يخفق في أغلب الأحيان هو [ناظمية](#def-b3-groups-normal) *كلا* العاملين: ففي $S_3
= \langle (1\,2\,3)\rangle \,\langle(1\,2)\rangle$ يتقاطع العاملان تقاطعًا تافهًا ويولّدان الزمرة، ومع ذلك $S_3 \not\cong \Z/3\Z \times
\Z/2\Z$. وأما المفهوم الملائم حين يكون عامل واحد ناظميًا فهو التالي:

**تعريف 1.25.**

لتكن $H$ و $K$ زمرتين وليكن $\varphi \colon K \to
\operatorname{Aut}(H)$ تشاكلًا. *الجداء نصف المباشر* $H \rtimes_\varphi K$ هو المجموعة $H \times K$ مزوّدةً بالقانون

$$
(h, k)\,(h', k') = \bigl(h\,\varphi(k)(h'),\; kk'\bigr).
$$

**قضية 1.26.**

إن $H \rtimes_\varphi K$ زمرة؛ و $H \times \{e\}$ [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) تماثل $H$، و $\{e\} \times K$ زمرة جزئية تماثل $K$؛ وهما تتقاطعان تقاطعًا تافهًا وتولّدان الزمرة. وبالعكس، إذا كانت $G =
NK$ بحيث $N \trianglelefteq G$ و $K \leq G$ و $N \cap K = \{e\}$، فإن $G \cong N \rtimes_\varphi K$ حيث $\varphi(k) = (n \mapsto
knk^{-1})$.

**برهان.** تحقّق مباشر: فالتجميعية ترجع إلى $\varphi(kk') =
\varphi(k)\circ\varphi(k')$ وإلى كون كل $\varphi(k)$ تشاكلًا؛ والعنصر المحايد هو $(e,e)$ و $(h,k)^{-1} =
\bigl(\varphi(k^{-1})(h^{-1}), k^{-1}\bigr)$. والإسقاط $(h,k)
\mapsto k$ تشاكل على $K$ نواته $H \times \{e\}$، ومنه فهذه الأخيرة [ناظمية](#def-b3-groups-normal). أما العكس: فكل $g \in G$ يُكتب *بطريقة وحيدة* على الصورة $nk$ حيث $n \in N$ و $k \in K$ (الوجود: $G =
NK$؛ والوحدانية: $nk = n'k'$ يعطي $n'^{-1}n = k'k^{-1} \in N \cap
K$)، ويُظهر

$$
(nk)(n'k') = n\,(kn'k^{-1})\;kk'
$$

أن $nk \mapsto (n, k)$ ينقل قانون $G$ إلى قانون $N \rtimes_\varphi K$. ∎

**مثال 1.27.**

(a) *الزمرة ثنائية السطوح* $D_n$ ($n \geq
3$) المؤلَّفة من تناظرات المضلع المنتظم ذي $n$ أضلاع وعددها $2n$: تشكّل الدورانات [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) دليلها $2$، ويولّد أي انعكاس متمّمًا لها، ويقلب اقترانُ دورانٍ بانعكاسٍ ذلك الدوران: $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ حيث $\varphi(1) = (x
\mapsto -x)$. (b) الزمرة التآلفية لمستقيم، $\{x \mapsto ax + b : a \in
K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: الانسحابات [ناظمية](#def-b3-groups-normal)، والتحاكيات متمّم لها. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (المتمّم: أي مبادلة). (d) [زمرة الرباعيات](#pb-b3-groups-1) $Q_8$ *ليست* جداءً نصف مباشر لزمرتين جزئيتين فعليتين: إذ تحتوي كل زمرة جزئية غير تافهة على $-1$ ([المسألة 1.1](#pb-b3-groups-1))، ومنه لا تتقاطع زمرتان جزئيتان فعليتان تقاطعًا تافهًا.

## 1.5 الزمر القابلة للحل؛ بساطة $A_n$

**تعريف 1.28.**

*المبدِّل* للعنصرين $x, y \in G$ هو $[x,y]
= xyx^{-1}y^{-1}$؛ و*الزمرة المشتقة* $D(G)$ هي الزمرة الجزئية المولَّدة بجميع المبدِّلات. و*السلسلة المشتقة* هي $D^0(G) = G$ و $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$، وتكون $G$ *قابلة للحل* إذا كان $D^n(G) =
\{e\}$ من أجل $n$ ما.

**قضية 1.29.**

إن $D(G)$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) (بل هي صامدة تحت كل تماثل ذاتي)، و $G/D(G)$ أبيلية، ومن أجل $N \trianglelefteq G$: تكون $G/N$ أبيلية $\iff
D(G) \subseteq N$. وعلاوة على ذلك، تكون $G$ [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) إذا وفقط إذا وُجدت سلسلة $G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq \dots
\trianglerighteq G_n = \{e\}$ بحيث تكون كل $G_{i+1} \trianglelefteq
G_i$ وكل زمرة قسمة $G_i/G_{i+1}$ أبيلية. والزمر الجزئية من [زمرة قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) وزمر قسمتها [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived)؛ وبالعكس، إذا كانت $N$ و $G/N$ قابلتين للحل فكذلك $G$.

**برهان.** يرسل التماثل الذاتي $\alpha$ العنصر $[x,y]$ إلى $[\alpha x, \alpha y]$: فهو يبدّل المبدِّلات فيما بينها، ومنه يحفظ الزمرة الجزئية التي تولّدها؛ والاقترانات تماثلات ذاتية، ومن هنا تأتي [الناظمية](#def-b3-groups-normal). وفي $G/D(G)$ لدينا $\bar x\bar y \bar x^{-1}\bar y^{-1} = \overline{[x,y]} = \bar e$: [فزمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) أبيلية. وإذا كانت $G/N$ أبيلية فإن كل $[x,y] \in
N$، ومنه $D(G) \subseteq N$؛ وبالعكس، إذا كان $D(G) \subseteq N$ فإن $G/N$، وهي زمرة قسمة للزمرة الأبيلية $G/D(G)$ حسب مبرهنة التماثل الثالثة، أبيليةٌ.

فإذا كانت $G$ [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived)، كانت [السلسلة المشتقة](#def-b3-groups-derived) سلسلةً من هذا النوع. وبالعكس، إذا أُعطيت سلسلة كهذه، فإن $D^i(G) \subseteq G_i$ بالتراجع: إذ تعطي أبيلية $G_i/G_{i+1}$ أن $D(G_i) \subseteq G_{i+1}$، ومنه $D^{i+1}(G) = D(D^i G)
\subseteq D(G_i) \subseteq G_{i+1}$؛ وبالتالي $D^n(G) = \{e\}$.

الوراثة: لدينا $D^i(H) \subseteq D^i(G)$ من أجل $H \leq G$ (بالتراجع)، و $D^i(G/N) = \pi(D^i(G))$ لأن $\pi$ يرسل المبدِّلات على المبدِّلات؛ وهذا يعطي العبارتين الخاصتين بالزمر الجزئية وزمر القسمة. أما التمديد: فإذا كان $D^m(G/N) = \{e\}$ فإن $D^m(G) \subseteq N$، ويعطي $D^n(N) = \{e\}$ أن $D^{m+n}(G) = D^n(D^m(G)) \subseteq D^n(N)
= \{e\}$. ∎

**مثال 1.30.**

الزمر الأبيلية [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived). و$p$-الزمر [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived)، بالتراجع على الرتبة: إذ $Z(G) \neq \{e\}$ وتكون $G/Z(G)$ $p$-زمرة أصغر. و $S_3$ و $S_4$ قابلتان للحل: إذ $S_4 \trianglerighteq A_4
\trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ حيث $V = \{e,
(1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ هي زمرة كلاين المؤلَّفة من المبادلات المزدوجة (وهي [ناظمية](#def-b3-groups-normal) في $S_4$: لأنها اتحاد أصناف اقتران)، وزمر القسمة أبيلية وهي $\Z/2\Z$ و $\Z/3\Z$ و $V$. وفي [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois)، ستعني عبارة «المعادلة العامة من الدرجة $n$ [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) بالجذور» *حرفيًا* أن «$S_n$ [زمرة قابلة للحل](#def-b3-groups-derived)». ومن هنا تأتي أهمية التعريف التالي.

**تعريف 1.31.**

تكون الزمرة $G \neq \{e\}$ *بسيطة* إذا لم تكن لها زمر جزئية [ناظمية](#def-b3-groups-normal) سوى $\{e\}$ و $G$. والزمرة البسيطة غير الأبيلية ليست [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived): إذ إن $D(G) \trianglelefteq G$ ليست $\{e\}$ (وإلا كانت $G$ أبيلية)، ومنه $D(G) = G$ وتكون [السلسلة المشتقة](#def-b3-groups-derived) ثابتة. أما الزمر البسيطة الأبيلية فهي بالضبط الزمر $\Z/p\Z$ حيث $p$ أولي (فالزمرة الأبيلية بسيطة إذا وفقط إذا لم تكن لها زمرة جزئية فعلية غير تافهة، أي إذا وفقط إذا كانت دائرية ذات رتبة أولية حسب لاغرانج).

**مبرهنة مساعدة 1.32.**

من أجل $n \geq 3$، تتولّد $A_n$ بالدورات الثلاثية؛ ومن أجل $n \geq 5$، تكون جميع الدورات الثلاثية مقترنة *داخل $A_n$*.

**برهان.** كل عنصر من $A_n$ جداءُ عدد زوجي من المبادلات؛ نزاوج بينها ونستعمل (بالتركيب من اليمين إلى اليسار)

$$
(a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d), \qquad
(a\,b)(b\,c) = (a\,b\,c), \qquad
(a\,b)(a\,b) = e
$$

من أجل الأزواج المنفصلة والمتراكبة والمتساوية على الترتيب: فكل زوج من المبادلات جداءُ دورات ثلاثية.

الاقتران: لدينا $\sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1} = (\sigma a\; \sigma b\;
\sigma c)$، ومنه فأي دورتين ثلاثيتين مقترنتان بواسطة $\sigma \in
S_n$ ما. وإذا كان $\sigma$ فرديًا، فلنستبدل به $\sigma' = \sigma (d\,e)$ حيث $d, e$ نقطتان خارج $\{a, b, c\}$ — وهما موجودتان لأن $n \geq 5$؛ عندئذٍ يكون $\sigma'$ زوجيًا و $\sigma'(a\,b\,c)
\sigma'^{-1} = \sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1}$، لأن $(d\,e)$ تتبادل مع $(a\,b\,c)$. ∎

**مبرهنة 1.33 (بساطة الزمرة المتناوبة).**

الزمرة $A_n$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple) من أجل $n \geq 5$.

**برهان.** لتكن $N \trianglelefteq A_n$ بحيث $N \neq \{e\}$. حسب [المبرهنة المساعدة 1.32](#lem-b3-groups-threecycles) يكفي أن نبيّن أن $N$ تحتوي على دورة ثلاثية *واحدة*: [فالناظمية](#def-b3-groups-normal) واقتران الدورات الثلاثية داخل $A_n$ يضعان عندئذٍ جميع الدورات الثلاثية في $N$، ومنه $N = A_n$.

من أجل $\rho \in S_n$، لتكن $F(\rho) = \{x : \rho(x) \neq x\}$ *حاملها* ولتكن $f(\rho) = \abs{F(\rho)}$. نختار $\sigma \in N
\setminus \{e\}$ بحيث يكون $f(\sigma)$ *أصغريًا*. ونلاحظ أن كل تبديلة زوجية غير تافهة تحقق $f \geq 3$، وأن $f(\sigma) =
4$ مستحيل من أجل $\sigma \in A_n$ إلا إذا كان $\sigma$ مبادلة مزدوجة (فالدورة الرباعية فردية). وسنبيّن أن $\sigma$ دورة ثلاثية.

*الحالة أ: $\sigma$ جداءُ مبادلات منفصلة*، وليكن $\sigma = (a\,b)(c\,d)\cdots$ حيث $f(\sigma) \geq 4$. نختار $e'
\notin \{a, b, c, d\}$ (وهذا ممكن لأن $n \geq 5$)، ونضع $\tau =
(c\,d\,e')$ و

$$
\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\,\sigma^{-1} \in N
\qquad (\tau\sigma\tau^{-1} \in N \text{ بالناظمية}).
$$

وبما أن $\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} = (\sigma c\;\sigma e'\;\sigma
d) = (d\;\sigma e'\;c)$ (باستعمال $\sigma c = d$ و $\sigma d = c$)، نحصل على $\sigma' = (c\,d\,e')(d\;\sigma e'\;c)$.

إذا كان $\sigma e' = e'$ (وهذا يتحقق خاصةً حين $f(\sigma) =
4$، أي $\sigma = (a\,b)(c\,d)$): فإن $(d\,e'\,c) =
(c\,d\,e')$ و $\sigma' = (c\,d\,e')^2 = (c\,e'\,d)$، وهي دورة ثلاثية تقع في $N$ وتحقق $f(\sigma') = 3 < 4 \leq f(\sigma)$ — وهذا يناقض الأصغرية.

وإذا كان $\sigma e' \neq e'$: فإن $\sigma e' \notin \{a, b, c, d,
e'\}$ ($\sigma$ يبادل بين $a,b$ وبين $c,d$، و $e' \notin \{a,b,c,d\}$ مع تباين $\sigma$)، ومنه يحرّك $\sigma$ النقط الست $a, b,
c, d, e', \sigma e'$: أي $f(\sigma) \geq 6$. ومن جهة أخرى، فإن $\sigma'$، وهو جداءُ دورتين ثلاثيتين حاملاهما داخل $\{c, d,
e', \sigma e'\}$، يحقق $f(\sigma') \leq 4$؛ كما أن $\sigma' \neq
e$، لأن $\sigma'(d) = \tau\sigma\tau^{-1}(c) = \tau\sigma(e') =
\sigma e' \neq d$ ($\tau$ يُثبّت $\sigma e' \notin \{c,d,e'\}$). إذن $\sigma' \in N \setminus\{e\}$ مع $f(\sigma') \leq 4 <
f(\sigma)$: وهذا يناقض الأصغرية.

*الحالة ب: لإحدى دورات $\sigma$ طول $\geq 3$*، وليكن $\sigma(a) = b$ و $\sigma(b) = c$ حيث $a, b, c$ متمايزة. فإذا كان $\sigma$ هو هذه الدورة الثلاثية بالضبط، فقد انتهينا. وإلا فإن $f(\sigma) \geq 5$ (فحالة $f(\sigma) = 4$ مع دورة طولها $\geq3$ هي الدورة الرباعية الفردية، وهي مستثناة)، ومنه يمكننا أن نختار $d, e' \in
F(\sigma) \setminus \{a, b, c\}$. نضع $\tau = (c\,d\,e')$ و $\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} \in N$. وكما سبق، فإن $\sigma' = (c\,d\,e')\,(\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d)$ لا يحرّك سوى نقط

$$
M = \{c, d, e'\} \cup \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\}
\subseteq F(\sigma)
$$

(فصور النقط المتحرّكة متحرّكة: إذ يعطي $\sigma(x) \ne x$ أن $\sigma(\sigma x) \neq \sigma x$، لتباين $\sigma$). كذلك $b \notin M$: فالنقط الخمس $a, b, c, d, e'$ متمايزة، ومنه $b
\notin \{c, d, e'\}$؛ ولو كان $b \in \{\sigma c, \sigma d, \sigma
e'\}$ لفُرض $a \in \{c, d, e'\}$ (بتطبيق $\sigma^{-1}$ واستعمال $\sigma a = b$)، وهذا خاطئ. إذن يُثبّت $\sigma'$ النقطة $b$ بينما يحرّكها $\sigma$؛ و $F(\sigma') \subseteq F(\sigma)$. وأخيرًا $\sigma' \neq e$: إذ $\sigma^{-1}(c) = b$ و $\tau^{-1}(b) = b$ و $\sigma(b) = c$ و $\tau(c) = d$، ومنه $\sigma'(c) = d \neq c$. إذن $\sigma' \in N
\setminus \{e\}$ مع $f(\sigma') \leq f(\sigma) - 1$، وهذا يناقض الأصغرية.

وبما أن كلتا الحالتين مستحيلة، فإن $\sigma$ دورة ثلاثية. ∎

**نتيجة 1.34.**

من أجل $n \geq 5$: لا تكون $A_n$ ولا $S_n$ [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived)، والزمر الجزئية [الناظمية](#def-b3-groups-normal) الوحيدة من $S_n$ هي $\{e\}$ و $A_n$ و $S_n$.

**برهان.** الزمرة $A_n$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple) وغير أبيلية، ومنه فهي غير [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) ([التعريف 1.31](#def-b3-groups-simple))؛ وكل زمرة تحتوي على زمرة جزئية غير [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) ليست [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) ([القضية 1.29](#prop-b3-groups-derived)). لتكن $N
\trianglelefteq S_n$: عندئذٍ تساوي $N \cap A_n \trianglelefteq A_n$ إما $\{e\}$ وإما $A_n$. فإذا كان $N \cap A_n = A_n$، فإن $A_n \subseteq N$ و $N \in \{A_n, S_n\}$ بالدليل. وإذا كان $N \cap A_n = \{e\}$، فإن قصر الإسقاط $S_n \to S_n/A_n \cong
\Z/2\Z$ على $N$ متباين، ومنه $\abs N \leq 2$؛ فإذا كان $N = \{e, \sigma\}$، فإن [الناظمية](#def-b3-groups-normal) تجعل [صنف اقتران](#ex-b3-groups-actions) $\sigma$ مساويًا $\{\sigma\}$، أي $\sigma \in Z(S_n)$. لكن $Z(S_n) = \{e\}$ من أجل $n \geq 3$: إذ لو حرّك $\sigma \ne e$ النقطة $a$ إلى $b \neq a$، فلنختر $c
\notin \{a, b\}$؛ عندئذٍ يرسل $(b\,c)\sigma(b\,c)^{-1}$ النقطة $a$ إلى $c
\ne b$، ومنه فهو يخالف $\sigma$. إذن $N = \{e\}$. ∎

**مبرهنة 1.35 (جوردان–هولدر).**

تقبل كل زمرة منتهية $G \neq \{e\}$ *سلسلة تركيبية*

$$
\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots
\trianglelefteq G_r = G,
\qquad G_{i}/G_{i-1} \text{ بسيطة},
$$

ولا تتعلق المجموعة المتعدّدة *للعوامل التركيبية* $G_i/G_{i-1}$، إلى حدود التماثل، بالسلسلة المختارة. وتكون الزمرة المنتهية [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) إذا وفقط إذا كانت جميع عواملها التركيبية دائرية ذات رتبة أولية.

**برهان.** *الوجود*: بالتراجع على $\abs G$. إذا كانت $G$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple)، أخذنا $\{e\} \trianglelefteq G$. وإلا اخترنا [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) فعلية أعظمية $N$ (فعدد الزمر الجزئية منتهٍ)؛ وتكون $G/N$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple) حسب مبرهنة التقابل (إذ إن [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) فعلية غير تافهة من $G/N$ سترتفع إلى [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) من $G$ محصورة تمامًا بين $N$ و $G$). ثم نلحق $N \trianglelefteq G$ [بسلسلة تركيبية](#thm-b3-groups-jordanholder) للزمرة $N$.

*الوحدانية*: بالتراجع على $\abs G$، وحالة $G$ [البسيطة](#def-b3-groups-simple) واضحة. نأخذ سلسلتين تركيبيتين حداهما قبل الأخير $M \trianglelefteq G$ و $N \trianglelefteq G$ (ومنه $G/M$ و $G/N$ بسيطتان). فإذا كان $M = N$، انتهينا بالتراجع المطبَّق على $M$. وإلا فإن $MN$، وهي [ناظمية](#def-b3-groups-normal) في $G$ وتحتوي $M$ احتواءً تامًّا، تساوي $G$ (إذ إن $M$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) أعظمية: فأي زمرة [ناظمية](#def-b3-groups-normal) $M \subsetneq L
\subsetneq G$ سترسَل إلى [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) فعلية غير تافهة من $G/M$ [البسيطة](#def-b3-groups-simple)). وتعطي مبرهنة التماثل الثانية

$$
G/M = MN/M \cong N/(M \cap N),
\qquad
G/N = MN/N \cong M/(M \cap N).
$$

نضع $K = M \cap N$ ($\trianglelefteq G$) ونثبّت [سلسلة تركيبية](#thm-b3-groups-jordanholder) للزمرة $K$. عندئذٍ تحمل $M$ سلسلتين تركيبيتين: سلسلتها الأصلية، وسلسلة $K$ متبوعةً بالحد $K \trianglelefteq
M$ ([فزمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) $M/K \cong G/N$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple)). وبالتراجع (المطبَّق على $M$)، تكون عوامل السلسلة الأصلية للزمرة $M$ هي $\{\text{عوامل } K\} \cup \{G/N\}$؛ والأمر نفسه من أجل $N$. ومنه فإن لسلسلتَي $G$ العوامل

$$
\{\text{عوامل } K\} \;\cup\; \{\,G/N,\; G/M\,\},
$$

أي المجموعة المتعدّدة نفسها.

القابلية للحل: إذا كانت جميع العوامل من الشكل $\Z/p_i\Z$، كانت السلسلة سلسلةً ذات زمر قسمة أبيلية، ومنه فإن $G$ [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) ([القضية 1.29](#prop-b3-groups-derived)). وبالعكس، فإن كل عامل تركيبي [لزمرة قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) هو قابل للحل (لأنه زمرة قسمة لزمرة جزئية) وبسيط؛ وكل [زمرة بسيطة](#def-b3-groups-simple) [قابلة للحل](#def-b3-groups-derived) أبيلية (إذ يفرض $D(G) \ne G$ أن $D(G) = \{e\}$)، ومنه فهي من الشكل $\Z/p\Z$. ∎

**ملاحظة 1.36.**

تقول مبرهنة جوردان–هولدر إن كل زمرة منتهية مبنيّة من زمر [بسيطة](#def-b3-groups-simple)، مع قائمة أجزاء محدَّدة تحديدًا سليمًا — أي إنها حسابٌ للزمر تلعب فيه الزمر [البسيطة](#def-b3-groups-simple) دور الأعداد الأولية، وتحلّ فيه *كيفيةُ لصق الأجزاء* (معطيات التمديد، كما في [الجداء نصف المباشر](#def-b3-groups-semidirect)) محلّ الضرب المجرّد. أما تصنيف الزمر [البسيطة](#def-b3-groups-simple) المنتهية — الزمر الدائرية $\Z/p\Z$، والزمر المتناوبة $A_{n \geq
5}$، وستّ عشرة عائلة من نمط لي، و $26$ زمرة شاذة — فهو أحد معالم رياضيات القرن العشرين؛ وبرهانه، الممتد على نحو عشرة آلاف صفحة من صفحات الدوريات، يتجاوز هذا المقرَّر بكثير.

![الزمر الجزئية العشر للزمرة ثنائية السطوح D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. والزمر الجزئية الثلاث ذات الدليل 2 (في الصف الأوسط) ناظمية، وكذلك المركز r2 (المميَّز بالتظليل)؛ أما زمر الانعكاسات الأربع فتنقسم إلى صنفَي اقتران من زمرتين. وتعطي السلاسل الممتدة من الأسفل إلى الأعلى سلاسل تركيبية، مثل \e\ r2 r D_4: وعواملها ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — وهي دائمًا المجموعة المتعدّدة نفسها، كما تقتضي مبرهنة جوردان–هولدر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-groups/fig-3655fe380ff7.svg)

*الزمر الجزئية العشر [للزمرة ثنائية السطوح](#ex-b3-groups-semidirectexamples) $D_4 = \langle r,
s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$. والزمر الجزئية الثلاث ذات الدليل $2$ (في الصف الأوسط) [ناظمية](#def-b3-groups-normal)، وكذلك المركز $\langle r^2\rangle$ (المميَّز بالتظليل)؛ أما زمر الانعكاسات الأربع فتنقسم إلى صنفَي اقتران من زمرتين. وتعطي السلاسل الممتدة من الأسفل إلى الأعلى سلاسل تركيبية، مثل $\{e\} \trianglelefteq \langle
r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$: وعواملها $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — وهي دائمًا المجموعة المتعدّدة نفسها، كما تقتضي مبرهنة جوردان–هولدر.*

## 1.6 تمارين

**تمرين 1.1 ★.**

(a) برهن على أن كل زمرة جزئية دليلها $2$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal). (b) برهن على أنه إذا كان $[G : H] = 2$، فإن $x^2 \in H$ من أجل كل $x \in
G$. (c) استنتج أن $A_4$ ليس لها زمرة جزئية رتبتها $6$: أي أن عكس مبرهنة لاغرانج خاطئ. *(أحصِ مربّعات الدورات الثلاثية.)*

**حل التمرين 1.1.**

(a) ليكن $[G:H] = 2$. من أجل $g \in H$، لدينا $gH = H = Hg$. ومن أجل $g \notin
H$: الصفان المجاوران الأيسران هما $H$ و $gH$، ومنه $gH = G \setminus H$؛ وبالمثل $Hg = G \setminus H$. إذن $gH = Hg$ من أجل كل $g$: أي $H
\trianglelefteq G$.

(b) حسب (a)، تكون $G/H$ زمرة رتبتها $2$؛ ويحقق الصنف $\bar x$ العلاقة $\bar x^2 = \bar e$، أي $x^2 \in H$.

(c) لنفترض $H \leq A_4$ مع $\abs H = 6$، ومنه دليلها $2$. حسب (b) لدينا $\sigma^2 \in H$ من أجل كل $\sigma \in A_4$. وكل دورة ثلاثية مربّعٌ من هذا النوع: إذ إن $\sigma^3 = e$ يعطي $\sigma =
\sigma^4 = (\sigma^2)^2$. إذن تحتوي $H$ على الدورات الثلاثية الثماني كلها الموجودة في $A_4$: ومنه $\abs H \geq 8 > 6$، وهو تناقض. (فعكس مبرهنة لاغرانج يخفق في أول فرصة سانحة: $6 \mid 12$.)

**تمرين 1.2 ★.**

برهن على أنه إذا كانت $G/Z(G)$ دائرية فإن $G$ أبيلية. واستنتج مرة أخرى أن كل زمرة رتبتها $p^2$ أبيلية، ثم أعطِ، من أجل كل عدد أولي $p$، مثالًا على زمرة غير أبيلية رتبتها $p^3$. *(فكّر في المصفوفات المثلثية العليا ذات القطر الواحدي على $\mathbb F_p$.)*

**حل التمرين 1.2.**

لنفترض $G/Z(G) = \langle gZ(G) \rangle$. عندئذٍ يُكتب كل $x \in G$ على الصورة $x = g^k z$ حيث $k \in \Z$ و $z \in Z(G)$. ومن أجل $x = g^kz$ لدينا $y =
g^l z'$:

$$
xy = g^k z\, g^l z' = g^{k+l} z z' = g^l z'\, g^k z = yx,
$$

فالعناصر المركزية تتبادل مع كل شيء: إذن $G$ أبيلية.

الرتبة $p^2$: لدينا $Z(G) \neq \{e\}$ ([المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed))، ومنه $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. ولو كانت $p$، لكانت رتبة $G/Z(G)$ مساوية $p$، فتكون دائرية، وهذا يفرض أن تكون $G$ أبيلية وأن تكون $Z(G) =
G$ رتبتها $p^2$ — وهو تناقض. إذن $Z(G) = G$.

زمرة غير أبيلية رتبتها $p^3$: هي *زمرة هايزنبرغ*

$$
H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\}
\leq GL_3(\mathbb F_p),
$$

ورتبتها $p^3$ (اختيار $a, b, c$ حر؛ والانغلاق والمقلوبات بحساب مباشر). وهي غير أبيلية: فمبدِّل المصفوفتين الأوليتين $I + E_{12}$ و $I + E_{23}$ هو $I + E_{13} \neq I$.

**تمرين 1.3 ★.**

(a) برهن على أن $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$. (b) برهن على أن التماثلات الذاتية الداخلية $\iota_g \colon x \mapsto
gxg^{-1}$ تشكّل [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) $\operatorname{Inn}(G)
\trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$، مع $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$.

**حل التمرين 1.3.**

(a) يتحدّد كل تشاكل $f \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ بالقيمة $k =
f(\bar 1)$ (وعندئذٍ $f(\bar m) = m\bar k$)، وكل $\bar k$ يعرّف واحدًا. ويكون تقابليًا إذا وفقط إذا ولّد $\bar k$ الزمرة $\Z/n\Z$، أي إذا وفقط إذا كان $\gcd(k,n) = 1$، أي إذا وفقط إذا كان $\bar k \in (\Z/n\Z)^\times$. ويوافق التركيبُ الضربَ: $f_k \circ f_l = f_{kl}$. ومنه $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$.

(b) التطبيق $\iota\colon G \to \operatorname{Aut}(G)$، $g \mapsto
\iota_g$، تشاكل: إذ $\iota_g \circ \iota_h = \iota_{gh}$. وصورته هي $\operatorname{Inn}(G)$؛ ونواته هي $\{g : gxg^{-1} =
x\ \forall x\} = Z(G)$. وتعطي مبرهنة التماثل الأولى $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$. أما [الناظمية](#def-b3-groups-normal) في $\operatorname{Aut}(G)$: فمن أجل $\alpha \in \operatorname{Aut}(G)$ لدينا

$$
(\alpha \circ \iota_g \circ \alpha^{-1})(x)
= \alpha\bigl(g\,\alpha^{-1}(x)\,g^{-1}\bigr)
= \alpha(g)\, x\, \alpha(g)^{-1} = \iota_{\alpha(g)}(x).
$$

**تمرين 1.4 ★★.**

لتكن $H, K$ زمرتين جزئيتين من زمرة منتهية $G$. (a) برهن على *صيغة الجداء* $\abs{HK}\,\abs{H\cap K} =
\abs H\, \abs K$، بإحصاء ألياف التطبيق $H \times K
\to HK$، $(h,k) \mapsto hk$. (b) برهن على أن $HK$ زمرة جزئية إذا وفقط إذا كان $HK = KH$ (وهذا يتحقق تلقائيًا حين تكون إحداهما [ناظمية](#def-b3-groups-normal)). (c) إذا كان $H, K \trianglelefteq G$ و $H \cap K = \{e\}$، فبرهن على أن $hk = kh$ من أجل كل $h \in H$ و $k \in K$.

**حل التمرين 1.4.**

(a) لننظر في $\mu \colon H \times K \to HK$، $(h,k) \mapsto hk$، وهو شامل بحكم التعريف. لنثبّت $h_0k_0 \in HK$: عندئذٍ $hk = h_0k_0
\iff h_0^{-1}h = k_0 k^{-1} \in H \cap K$. وبكتابة $u =
h_0^{-1}h$، تكون ليف $h_0k_0$ هي $\{(h_0u,\, u^{-1}k_0) : u
\in H \cap K\}$، وعدد عناصرها $\abs{H \cap K}$. ومنه $\abs
H\,\abs K = \abs{H\times K} = \abs{HK}\,\abs{H \cap K}$.

(b) إذا كانت $HK$ زمرة جزئية: فإن $KH \subseteq HK$ لأن $kh =
\bigl(h^{-1}k^{-1}\bigr)^{-1} \in (HK)^{-1} = HK$؛ و $HK
\subseteq KH$ بأخذ المقلوبات في $HK = (HK)^{-1} \subseteq
(KH)^{-1}\dots$ وبصورة أكثر مباشرة، من أجل $hk \in HK$ لدينا $(hk)^{-1} =
k^{-1}h^{-1} \in KH$، ومنه $HK = (HK)^{-1} \subseteq KH$؛ ويعطي الاحتواءان $HK = KH$. وبالعكس، إذا كان $HK = KH$: فالانغلاق، $(hk)(h'k') = h(kh')k' \in h(HK)k' = (hH)(Kk') \subseteq HK$؛ والمقلوبات، $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH = HK$؛ و $e \in HK$: إذن زمرة جزئية. وإذا كان مثلًا $K \trianglelefteq G$، فإن $hK = Kh$ من أجل كل $h$، ومنه $HK = KH$ تلقائيًا.

(c) من أجل $h \in H$ و $k \in K$، يساوي [المبدِّل](#def-b3-groups-derived) $[h,k] = hkh^{-1}
k^{-1}$ المقدارَ $(hkh^{-1})k^{-1} \in K$ (لأن $K$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal)) والمقدارَ $h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$ (لأن $H$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal))، ومنه فهو ينتمي إلى $H \cap K =
\{e\}$: أي $hk = kh$.

**تمرين 1.5 ★★.**

(مبرهنة بيرنسايد المساعدة في الإحصاء) لتفعل زمرة منتهية $G$ على مجموعة منتهية $X$. برهن على أن عدد المدارات هو *المتوسط الحسابي لعدد النقط الصامدة*:

$$
\#\{\text{مدارات}\} = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G}
\abs{\operatorname{Fix}(g)},
\qquad \operatorname{Fix}(g) = \{x \in X : g \cdot x = x\},
$$

وذلك بإحصاء المجموعة $\{(g,x) : g\cdot x = x\}$ بطريقتين. تطبيق: تفعل $\Z/p\Z$ ($p$ أولي) بالدوران على قلائد مؤلَّفة من $p$ خرزة، مع $a$ لونًا متاحًا؛ استنتج مبرهنة فيرما الصغرى $a^p \equiv a \pmod p$.

**حل التمرين 1.5.**

نحصي $E = \{(g,x) \in G \times X : g \cdot x = x\}$ بطريقتين:

$$
\abs E = \sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)}
= \sum_{x \in X} \abs{G_x}
= \sum_{x \in X} \frac{\abs G}{\abs{\mathcal O_x}}
= \abs G \sum_{\mathcal O \text{ مدار}} \sum_{x \in \mathcal O}
\frac{1}{\abs{\mathcal O}}
= \abs G \cdot \#\{\text{مدارات}\},
$$

باستعمال مبرهنة [المدار](#def-b3-groups-action) والمثبِّت ($\abs{G_x} = \abs G/\abs{\mathcal O_x}$) وتجزئة المجموعة إلى مدارات.

القلائد: لتكن $X$ مجموعة التطبيقات $\Z/p\Z \to
\{1, \dots, a\}$ (أي تلوينات المواضع $p$)، وعدد عناصرها $\abs X = a^p$، ولتفعل $\Z/p\Z$ عليها بالدوران. يُثبّت العنصر المحايد جميع التلوينات وعددها $a^p$. وكل دوران $\bar k \neq \bar 0$ يولّد $\Z/p\Z$ (لأن $p$ أولي)، ومنه فكل تلوين يُثبّته يكون صامدًا تحت *جميع* الدورانات، أي ثابتًا: فعدد التلوينات الصامدة $a$. وحسب بيرنسايد:

$$
\#\{\text{مدارات}\} = \frac{a^p + (p-1)a}{p} \in \N ,
$$

ومنه $p \mid a^p + (p-1)a$، أي $p \mid a^p - a$: وهي مبرهنة فيرما الصغرى، بمحض الإحصاء.

**تمرين 1.6 ★.**

باستعمال مبرهنات سيلو، برهن على أن كل زمرة رتبتها $15$ دائرية وأن كل زمرة رتبتها $45$ أبيلية.

**حل التمرين 1.6.**

الرتبة $15 = 3 \cdot 5$: يفرض $n_3 \mid 5$ و $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ أن $n_3 = 1$؛ ويفرض $n_5 \mid 3$ و $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ أن $n_5 = 1$. وزمرتا سيلو $P_3, P_5$ ناظميتان، وتتقاطعان تقاطعًا تافهًا (لتباين الرتبتين)، و $\abs{P_3P_5} = 15$ ([التمرين 1.4](#exo-b3-groups-4)(a)): ومنه حسب [القضية 1.24](#prop-b3-groups-direct) نجد $G
\cong \Z/3\Z \times \Z/5\Z \cong \Z/15\Z$ (الباقي الصيني).

الرتبة $45 = 3^2 \cdot 5$: يعطي $n_3 \mid 5$ و $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ أن $n_3 = 1$؛ ويعطي $n_5 \mid 9$ و $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ أن $n_5 =
1$. ومنه $G \cong P_3 \times P_5$ مع $\abs{P_3} = 9 = 3^2$ و $\abs{P_5} = 5$: وكلتاهما أبيلية ([المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) من أجل $p^2$؛ والرتبة الأولية تعطي زمرة دائرية)، ومنه $G$ أبيلية كذلك.

**تمرين 1.7 ★★.**

برهن على أنه لا توجد [زمرة بسيطة](#def-b3-groups-simple) رتبتها $30$، ولا [زمرة بسيطة](#def-b3-groups-simple) رتبتها $56$. *(من أجل $30$: إذا كان $n_3 \neq 1$ و $n_5 \neq 1$، فأحصِ العناصر ذات الرتبتين $3$ و $5$. ومن أجل $56$: أحصِ العناصر ذات الرتبة $7$.)*

**حل التمرين 1.7.**

الرتبة $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. لدينا $n_5 \mid 6$ و $n_5 \equiv 1 \pmod
5$: ومنه $n_5 \in \{1, 6\}$؛ ولدينا $n_3 \mid 10$ و $n_3 \equiv 1 \pmod 3$: ومنه $n_3 \in \{1, 10\}$. لنفترض $G$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple)، فيكون $n_5 = 6$ و $n_3 =
10$. وزمرتان جزئيتان متمايزتان ذواتا رتبة أولية $p$ تتقاطعان تقاطعًا تافهًا (لأن التقاطع زمرة جزئية فعلية من $\Z/p\Z$)، ومنه تحمل زمر سيلو الست من النمط $5$ عددًا قدره $6 \times 4 = 24$ من العناصر ذات الرتبة $5$، وتحمل زمر سيلو العشر من النمط $3$ عددًا قدره $10 \times 2 = 20$ من العناصر ذات الرتبة $3$: أي $24 + 20 = 44 > 30 - 1$ عنصرًا مغايرًا للمحايد — وهذا سخف. إذن $n_5 = 1$ أو $n_3 = 1$: أي توجد زمرة سيلو [ناظمية](#def-b3-groups-normal).

الرتبة $56 = 2^3 \cdot 7$. لدينا $n_7 \mid 8$ و $n_7 \equiv 1 \pmod 7$: ومنه $n_7 \in \{1, 8\}$. فإذا كان $n_7 = 8$، حملت زمر سيلو من النمط $7$ عددًا قدره $8
\times 6 = 48$ من العناصر ذات الرتبة $7$، فلا يبقى سوى $56 - 48 =
8$ عنصرًا آخر بالضبط. [وزمرة سيلو الجزئية](#def-b3-groups-sylow) من النمط $2$ رتبتها $8$ وتتألف من هذه العناصر، ومنه فهي مجموعتها *بعينها*: أي $n_2 = 1$. إذن $n_7 = 1$ أو $n_2 = 1$: فلا تكون [بسيطة](#def-b3-groups-simple) أبدًا.

**تمرين 1.8 ★★.**

(a) لتكن $H \leq G$ ذات الدليل $n$. برهن على أن [فعل](#def-b3-groups-action) $G$ على $G/H$ يعطي تشاكلًا $G \to S_n$ نواته $\bigcap_{g \in
G} gHg^{-1}$ هي أكبر [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) من $G$ محتواة في $H$. (b) استنتج: إذا كانت $G$ منتهية وكان $p$ *أصغر* قاسم أولي للعدد $\abs G$، فإن كل زمرة جزئية دليلها $p$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal). (c) برهن على أن كل [فعل](#def-b3-groups-action) متعدٍّ للزمرة $G$ على مجموعة $X$ مماثل [للفعل](#def-b3-groups-action) على فضاء صفوف مجاورة: أي يوجد تقابل $X
\to G/G_x$ يتبادل مع الفعلين.

**حل التمرين 1.8.**

(a) يعطي [الفعل](#def-b3-groups-action) $g \cdot xH = gxH$ تشاكلًا $\rho \colon G
\to \mathfrak S(G/H) \cong S_n$. ونواته هي

$$
\ker\rho = \{g : \forall x \in G,\ gxH = xH\}
= \{g : \forall x,\ x^{-1}gx \in H\}
= \bigcap_{x \in G} xHx^{-1},
$$

وهي [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) (لأنها نواة) محتواة في $H$ (بأخذ $x = e$). وإذا كان $N \trianglelefteq G$ و $N \subseteq H$، فإن من أجل كل $x$ لدينا $N
= xNx^{-1} \subseteq xHx^{-1}$، ومنه $N \subseteq \ker\rho$: أي إن النواة هي الأكبر من بين هذه الزمر.

(b) ليكن $[G:H] = p$ حيث $p$ أصغر عدد أولي يقسم $\abs G$، ولتكن $K =
\ker\rho \subseteq H$. عندئذٍ تنغمر $G/K$ في $S_p$، ومنه فإن $[G:K]$ يقسم $p!$. ولدينا أيضًا $[G:K] = [G:H]\,[H:K] = p\,[H:K]$، ومنه فإن $[H:K]$ يقسم $(p-1)!$. لكن $[H:K]$ يقسم $\abs G$، وجميع قواسمه الأولية $\geq p$، بينما جميع القواسم الأولية للعدد $(p-1)!$ أصغر تمامًا من $p$: إذن $[H:K] = 1$، أي إن $H = K = \ker \rho$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal).

(c) ليكن [الفعل](#def-b3-groups-action) متعدّيًا وليكن $x \in X$. التطبيق $\Phi
\colon G/G_x \to X$، $gG_x \mapsto g \cdot x$، معرَّف تعريفًا سليمًا وتقابلي (حسب مبرهنة [المدار](#def-b3-groups-action) والمثبِّت؛ [فالمدار](#def-b3-groups-action) هو $X$ كلها)، وهو يتبادل مع الفعلين: $\Phi(h \cdot gG_x) = \Phi(hgG_x) = (hg)
\cdot x = h \cdot \Phi(gG_x)$.

**تمرين 1.9 ★★.**

(a) برهن على أن $D(G)$ هي أصغر [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) من $G$ ذات زمرة قسمة أبيلية، وأن كل تشاكل من $G$ إلى زمرة أبيلية يتحلّل بطريقة وحيدة عبر *الزمرة الأبيلية المرافقة* $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$. (b) احسب $D(S_n)$ و $S_n^{\mathrm{ab}}$ من أجل $n \geq 2$، ثم $D(Q_8)$ و $Q_8^{\mathrm{ab}}$.

**حل التمرين 1.9.**

(a) الزمرة $D(G)$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) وزمرة قسمتها أبيلية ([القضية 1.29](#prop-b3-groups-derived))؛ وإذا كانت $N \trianglelefteq G$ بحيث $G/N$ أبيلية، أعطت القضية نفسها $D(G) \subseteq N$: ومنه فإن $D(G)$ هي الأصغر. أما الخاصية الشمولية: فليكن $f \colon G \to A$ حيث $A$ أبيلية. عندئذٍ $f([x,y]) = [f(x), f(y)] = e$، ومنه $D(G)
\subseteq \ker f$، وتحلّل [المبرهنة 1.3](#thm-b3-groups-firstiso) التشاكل $f =
\bar f \circ \pi$ عبر $G^{\mathrm{ab}}$، بطريقة وحيدة لأن $\pi$ شامل.

(b) المبدِّلات تبديلات زوجية، ومنه $D(S_n) \subseteq A_n$. وبالعكس، كل دورة ثلاثية مبدِّل:

$$
\bigl[(a\,b),\,(a\,c)\bigr] = (a\,b)(a\,c)(a\,b)(a\,c) =
(a\,b\,c),
$$

(بتحقّق مباشر على $a, b, c$)، والدورات الثلاثية تولّد $A_n$ ([المبرهنة المساعدة 1.32](#lem-b3-groups-threecycles)): إذن $D(S_n) = A_n$ من أجل $n \geq 3$، و $S_n^{\mathrm{ab}} \cong S_n/A_n \cong \Z/2\Z$. (ومن أجل $n = 2$: تكون $S_2$ أبيلية و $D(S_2) = \{e\}$ و $S_2^{\mathrm{ab}} = S_2
\cong \Z/2\Z$ — فالصيغة $S_n^{\mathrm{ab}} \cong \Z/2\Z$ صحيحة من أجل كل $n \geq 2$.)

الزمرة $Q_8$: رتبة [زمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) $Q_8/\{\pm 1\}$ هي $4$، ومنه فهي أبيلية، ومنه $D(Q_8) \subseteq \{\pm 1\}$؛ و $[\mathrm i, \mathrm
j] = \mathrm i \mathrm j \mathrm i^{-1}\mathrm j^{-1} = \mathrm
i\mathrm j(-\mathrm i)(-\mathrm j) = (\mathrm i \mathrm j)^2 =
\mathrm k^2 = -1$، ومنه $D(Q_8) = \{\pm 1\}$ و $Q_8^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2\Z)^2$ (الرتبة $4$ والأُسّ $2$: إذ إن مربّعات أصناف $\mathrm i, \mathrm j$ تساوي $\bar 1$).

**تمرين 1.10 ★★.**

لتكن $G$ $p$-زمرة ولتكن $H \subsetneq G$ زمرة جزئية فعلية. برهن على أن $H \subsetneq N_G(H)$ («النواظم تكبر»)، واستنتج أن كل زمرة جزئية أعظمية من $p$-زمرة [ناظمية](#def-b3-groups-normal) ودليلها $p$. *(بالتراجع على $\abs G$، باستعمال $Z(G) \neq \{e\}$: عالج على حدة الحالتين $Z(G) \subseteq H$ و $Z(G) \not\subseteq H$.)*

**حل التمرين 1.10.**

بالتراجع على $\abs G$؛ ففي حالة $\abs G = p$ تكون الزمرة الجزئية الفعلية الوحيدة هي $H = \{e\}$، ولدينا $N_G(\{e\}) = G \supsetneq
\{e\}$. لتكن $Z = Z(G) \neq \{e\}$ ([المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)).

*إذا كان $Z \not\subseteq H$*: نختار $z \in Z \setminus H$؛ فالعنصر $z$ يتبادل مع $H$، ومنه $zHz^{-1} = H$ و $z \in N_G(H) \setminus
H$.

*وإذا كان $Z \subseteq H$*: ننتقل إلى $\bar G = G/Z$، وهي $p$-زمرة أصغر رتبةً، ولدينا $\bar H = H/Z \subsetneq \bar G$ (حسب مبرهنة التقابل). وحسب التراجع، $N_{\bar G}(\bar H) \supsetneq \bar H$؛ نختار $\bar g \in N_{\bar G}(\bar H) \setminus \bar H$ ورفعًا $g$ له. عندئذٍ $g \notin H$ و $gHg^{-1} \subseteq HZ = H$: إذ إن $\overline{ghg^{-1}} = \bar g \bar h \bar g^{-1} \in \bar H$ يعني $ghg^{-1} \in HZ = H$ (لأن $Z \subseteq H$). ومنه $g \in
N_G(H)\setminus H$.

الزمر الجزئية الأعظمية: إذا كانت $M$ أعظمية، فإن $N_G(M) \supsetneq M$ يفرض $N_G(M) = G$: أي $M \trianglelefteq G$. وعندئذٍ تكون $G/M$ زمرةً $p$ ليس لها زمرة جزئية فعلية غير تافهة (بمبرهنة التقابل والأعظمية). نأخذ $\bar x \neq \bar e$ في $G/M$، ورتبته $p^k$؛ عندئذٍ يولّد $\bar x^{p^{k-1}}$ زمرة جزئية رتبتها $p$، ولا بد أن تكون الزمرة كلها: أي $\abs{G/M} = p$.

**تمرين 1.11 ★★★.**

(بساطة $A_5$، بالممارسة) (a) برهن على أن أعداد عناصر [أصناف الاقتران](#ex-b3-groups-actions) في $A_5$ هي $1$ و $15$ و $20$ و $12$ و $12$. وانتبه إلى انشطار صنف الدورات الخماسية في $S_5$: من أجل دورة خماسية $\sigma$، قارن مُرَكِّزَي $\sigma$ في $S_5$ وفي $A_5$. (b) استنتج أن $A_5$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple): [فالزمرة الجزئية الناظمية](#def-b3-groups-normal) اتحادُ أصناف اقتران، وتحتوي على $e$، وعدد عناصرها يقسم $60$. (c) برهن على أن كل [زمرة بسيطة](#def-b3-groups-simple) رتبتها $60$ تحقق بالضرورة $n_5 =
6$.

**حل التمرين 1.11.**

(a) لدينا $\abs{A_5} = 60$. وأنماط الدورات في $A_5$ هي: $e$؛ والمبادلات المزدوجة وعددها $\frac{1}{2}\binom{5}{1}\binom{4}{2}\cdot 1 = 15$ (وذلك بعدد $5 \cdot 3$ من الطرق: نختار النقطة الصامدة ثم نزاوج)؛ والدورات الثلاثية وعددها $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3} = 20$؛ والدورات الخماسية وعددها $4! =
24$.

وصنفٌ من أصناف $S_5$ محتوًى في $A_5$ إما أن يبقى صنفًا واحدًا في $A_5$ وإما أن ينشطر إلى صنفين، بحسب احتواء مُرَكِّز عنصر منه في $S_5$ على تبديلة فردية أو عدمه ($\abs{\text{الصنف في }A_5} =
60/\abs{Z_{A_5}(\sigma)}$ و $Z_{A_5} = Z_{S_5} \cap A_5$). من أجل $\sigma = (1\,2)(3\,4)$: لدينا $\abs{Z_{S_5}(\sigma)} = 120/15 = 8$، والعنصر $(1\,2) \in Z_{S_5}(\sigma)$ فردي، ومنه $\abs{Z_{A_5}} = 4$ ويضم الصنف $60/4 = 15$ عنصرًا: فلا انشطار. ومن أجل $\sigma =
(1\,2\,3)$: لدينا $Z_{S_5}(\sigma) \supseteq \langle \sigma \rangle
\times \langle (4\,5)\rangle$، ورتبته $6 = 120/20$، ومنه فهو مساوٍ لها؛ وهو يحتوي على $(4\,5)$ الفردية: فالصنف يضم $60/3 = 20$ عنصرًا: فلا انشطار. ومن أجل $\sigma$ دورةً خماسية: $Z_{S_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ (ورتبته $120/24 = 5$)، وجميع عناصره زوجية: ومنه $Z_{A_5}(\sigma) = \langle
\sigma\rangle$ ويضم صنف $A_5$ عدد $60/5 = 12$ عنصرًا — أي إن الدورات الخماسية وعددها $24$ تنشطر إلى *صنفين* من $12$ عنصرًا. وأعداد عناصر الأصناف هي: $1, 15, 20, 12, 12$.

(b) [الزمرة الجزئية الناظمية](#def-b3-groups-normal) $N$ اتحادُ أصناف اقتران يضم $\{e\}$، مع $\abs N \mid 60$. والمجاميع الممكنة $1 +
(\text{جزء من } \{15, 20, 12, 12\})$ هي

$$
1,\ 13,\ 13,\ 16,\ 21,\ 25,\ 28,\ 28,\ 33,\ 36,\ 40,\ 40,\ 45,\
48,\ 48,\ 60 ;
$$

والقواسم الوحيدة للعدد $60$ في هذه القائمة هي $1$ و $60$: ومنه $N =
\{e\}$ أو $A_5$.

(c) لتكن $G$ [بسيطة](#def-b3-groups-simple) مع $\abs G = 60$. لدينا $n_5 \mid 12$ و $n_5
\equiv 1 \pmod 5$: ومنه $n_5 \in \{1, 6\}$. ولو كان $n_5 = 1$ لكانت [زمرة سيلو الجزئية](#def-b3-groups-sylow) من النمط $5$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal)، وهذا يناقض البساطة ($1 < 5 <
60$). إذن $n_5 = 6$.

**تمرين 1.12 ★★.**

(نواظم زمر سيلو الجزئية ناظمة لنفسها) لتكن $P$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في زمرة منتهية $G$ ولتكن $H =
N_G(P)$. (a) برهن على أن $P$ هي [زمرة سيلو الجزئية](#def-b3-groups-sylow) *الوحيدة* من النمط $p$ في $H$. (b) استنتج أن $N_G(H) = H$. *(من أجل $g \in N_G(H)$: تكون $gPg^{-1}$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في $H$، ومنه $gPg^{-1} = P$.)* (c) استنتج أنه ليس هناك ناظِمُ زمرةِ سيلو محتوًى في [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) فعلية من $G$، وأن كل زمرة جزئية أعظمية تحتوي على $N_G(P)$ ناظمةٌ لنفسها.

**حل التمرين 1.12.**

(a) الزمرة $P$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) في $H = N_G(P)$ بحكم تعريف [الناظِم](#ex-b3-groups-actions)، وهي زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في $H$ (لأن رتبتها هي أصلًا الجزء الكامل من النمط $p$ في $\abs G$، ومن باب أولى في $\abs H$). وزمرة سيلو [الناظمية](#def-b3-groups-normal) وحيدة: فأي زمرة أخرى ستكون مقترنة بها (سيلو 2 داخل $H$)، ومنه مساوية لها.

(b) ليكن $g \in N_G(H)$. عندئذٍ تكون $gPg^{-1} \subseteq gHg^{-1} = H$ زمرة جزئية من $H$ لها رتبة $P$ نفسها: أي زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في $H$، ومنه $gPg^{-1} = P$ حسب (a). إذن $g \in
N_G(P) = H$: أي $N_G(H) \subseteq H$، والاحتواء المعاكس بديهي.

(c) لنفترض $H \subseteq N \trianglelefteq G$ حيث $N$ فعلية. عندئذٍ تكون $P$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$ في $N$؛ ومن أجل أي $g \in G$، تكون $gPg^{-1} \subseteq N$ زمرةً أخرى كذلك، ومنه $gPg^{-1} = nPn^{-1}$ من أجل $n \in N$ ما (سيلو 2 داخل $N$)، وهذا يعطي $n^{-1}g \in N_G(P)
\subseteq N$ ثم $g \in N$: أي $N = G$، وهو تناقض (وهذه هي *حجّة فراتيني*). ومن أجل زمرة جزئية أعظمية $M \supseteq
N_G(P)$: يكون $N_G(M) \supseteq M$ إما $M$ وإما $G$؛ فإذا كان $G$، فإن $M \trianglelefteq G$ [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) فعلية تحتوي على $N_G(P)$ — وهذا مستبعَد بحسب النقطة السابقة. إذن $N_G(M) = M$.

## 1.7 مسألة: الزمر ذات الرتبة 15 على الأكثر

**مسألة 1.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تصنيف الزمر الصغيرة

الهدف هو تصنيف كامل، ببراهين تامة، للزمر ذات الرتبة $\leq 15$ إلى حدود التماثل. الرتب $1, 2, 3, 5,
7, 11, 13$ تحسمها مبرهنة لاغرانج (فالزمرة دائرية)، والرتبتان $4$ و $9$ تحسمهما [المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed) مع التحليل الآتي للرتبة $p^2$: فتبقى الرتب $6, 8, 10, 12, 14, 15$.

**الجزء الأول — أدوات.**

1. برهن على أن كل زمرة يحقق فيها كل عنصر $x^2 =  e$ أبيليةٌ؛ واستنتج أن رتبة زمرة منتهية كهذه هي $2^k$ وأنها تماثل $(\Z/2\Z)^k$ . *(انظر إليها على أنها فضاء متجهي على $\mathbb F_2$.)*
2. برهن على أن كل زمرة رتبتها $p^2$ تماثل $\Z/p^2\Z$ أو $(\Z/p\Z)^2$ . واسرد الزمر الأبيلية ذات الرتبة $8$ إلى حدود التماثل: $\Z/8\Z$ و $\Z/4\Z \times  \Z/2\Z$ و $(\Z/2\Z)^3$ — وبرهن على أن القائمة تامة وخالية من التكرار *دون* استعمال مبرهنة البنية الواردة في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#ch-b3-modules) (ناقش حسب الرتبة العظمى لعنصر).
3. ليكن $\varphi, \varphi' \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ فعلين. برهن على أنه إذا كان $\varphi' = \varphi \circ  \alpha$ مع $\alpha \in \operatorname{Aut}(K)$ ، فإن $H  \rtimes_{\varphi} K \cong H \rtimes_{\varphi'} K$ .
4. عيّن $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z)$ من أجل $n = 3, 4, 5,  7$ تعيينًا صريحًا، وبرهن على أن $\operatorname{Aut}\bigl((\Z/2\Z)^2  \bigr) \cong S_3$ .

**الجزء الثاني — الرتب $2p$ ($6$ و $10$ و $14$) والرتب $pq$.**

5. ليكن $\abs G = 2p$ حيث $p$ عدد أولي فردي. برهن على أن في $G$ [زمرة جزئية ناظمية](#def-b3-groups-normal) $N = \langle r \rangle$ رتبتها $p$ ، وعنصرًا $s$ رتبته $2$ خارج $N$ .
6. استنتج $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ ، حيث $\varphi(1) \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ عنصر تقابلي، ثم اخلص إلى: $G \cong \Z/2p\Z$ أو $G \cong  D_p$ ؛ وتحقق من أن هاتين غير مماثلتين. وهذا يحسم الرتب $6$ و $10$ و $14$ .
7. وبصورة أعمّ، ليكن $\abs G = pq$ حيث $p < q$ عددان أوليان. برهن على أنه إذا كان $p \nmid q-1$ فإن $G$ دائرية ( [المثال 1.22](#ex-b3-groups-pq) )، وأنه إذا كان $p \mid q - 1$ فتوجد، إضافةً إلى $\Z/pq\Z$ ، زمرة غير أبيلية *واحدة بالضبط* $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ إلى حدود التماثل — استعمل السؤال 3 وكون $\operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong  (\Z/q\Z)^\times$ دائرية رتبتها $q - 1$ ، وهي نتيجة نقبلها هنا وتُبرهَن في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois) (دائرية $\mathbb F_q^\times$ ). ثم اخلص إلى نتيجة من أجل الرتبة $15$ .

**الجزء الثالث — الرتبة $8$.** لتكن $G$ زمرة غير أبيلية رتبتها $8$.

8. برهن على أن في $G$ عنصرًا $r$ رتبته $4$ (استعمل السؤال 1) وأن $N = \langle r\rangle$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) .
9. ليكن $s \notin N$ . برهن على أن $s^2 \in N$ ( [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1) (b))، وأن $srs^{-1} = r^{-1}$ (افحص الصور الممكنة للعنصر $r$ بالاقتران، وهي لا بد أن تكون من الرتبة 4، واستبعد $srs^{-1} = r$ )، وأن $s^2 \in \{e, r^2\}$ *(ماذا يحدث لو كان $s^2 = r$ أو $r^3$؟ ولماذا يجب أن يتبادل $s^2$ مع $s$؟)* .
10. في الحالة $s^2 = e$ ، برهن على أن $G \cong D_4$ .
11. في الحالة $s^2 = r^2$، برهن على أن جدول الضرب محدَّد بالكامل؛ والزمرة الناتجة هي *زمرة الرباعيات* $Q_8 =  \{\pm 1, \pm \mathrm i, \pm \mathrm j, \pm \mathrm k\}$، $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm i\,  \mathrm j\,\mathrm k = -1$ (ضع $r = \mathrm i$ و $s =  \mathrm j$). تحقق من وجود $Q_8$، مثلًا داخل $GL_2(\C)$ عن طريق $$\mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu  \end{pmatrix},  \qquad  \mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0  \end{pmatrix}.$$
12. برهن على أن كل زمرة جزئية غير تافهة من $Q_8$ تحتوي على $-1$ ؛ واستنتج أن كل زمرة جزئية من $Q_8$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal) ، وأن $D_4 \not\cong Q_8$ (أحصِ العناصر ذات الرتبة $2$ )، وأن $Q_8$ ليست جداءً نصف مباشر لزمرتين جزئيتين فعليتين.

**الجزء الرابع — الرتبة $12$.** ليكن $\abs G = 12$ و $P_3
\in \mathrm{Syl}_3(G)$ و $P_2 \in \mathrm{Syl}_2(G)$.

13. برهن على أن $n_3 \in \{1, 4\}$ و $n_2 \in \{1, 3\}$ ، وأن $n_3  = 4$ يفرض $n_2 = 1$ *(أحصِ العناصر ذات الرتبة $3$)* .
14. لنفترض $n_3 = 4$ . يعطي [فعل](#def-b3-groups-action) الاقتران على $\mathrm{Syl}_3$ تشاكلًا $\rho \colon G \to S_4$ . برهن على أن $\ker \rho$ ، المحتوى في كل $N_G(P_3)$ ومنه فرتبته تقسم $3$ ، تافهٌ *(لماذا لا يمكن أن تكون رتبته $3$؟)* ؛ وأن الصورة، وهي زمرة جزئية رتبتها $12$ من $S_4$ ، هي بالضرورة $A_4$ *(الزمر الجزئية ذات الدليل 2 [ناظمية](#def-b3-groups-normal) وتحتوي على جميع المربّعات — [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)؛ أحصِ المربّعات في $S_4$)* ؛ ثم اخلص إلى $G \cong A_4$ .
15. لنفترض $n_3 = 1$ ، ومنه $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ مع $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z)  \cong \Z/2\Z$ . اسرد الحالات: يعطي $\varphi$ التافه الزمرتين $\Z/12\Z$ و $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ ؛ ويعطي $P_2 =  \Z/4\Z$ مع $\varphi$ شامل *الزمرة ثنائية الدائرية* $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes  \Z/4\Z$ ؛ ويعطي $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ مع $\varphi$ شامل، إلى حدود التكافؤ الوارد في السؤال 3، زمرةً واحدة — برهن على أنها $D_6$ ، مثلًا بإظهار عنصر رتبته $6$ وعنصر تقابلي شبيه بانعكاس.
16. برهن على أن $\Z/12\Z$ و $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ و $D_6$ و $A_4$ و $\mathrm{Dic}_3$ غير مماثلة مثنى مثنى *(أحصِ العناصر ذات الرتبة $2$، أو استعمل $n_3$)* . وهذا يحسم الرتبة $12$ .

**الجزء الخامس — تركيب.**

17. كوِّن جدول التصنيف: من أجل كل رتبة $n \leq  15$ ، القائمة الكاملة للزمر إلى حدود التماثل، مع الأعداد $1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1$ .

**الجزء السادس — إلى ما هو أبعد: الزمر ذات الرتبة $p^3$ من أجل $p$ فردي.** لتحليل الرتبة $8$ في الجزء الثالث نظيرٌ بديع من أجل الأعداد الأولية الفردية، مع ظاهرة جديدة تمامًا. ليكن $p$ عددًا أوليًا فرديًا ولتكن $G$ غير أبيلية رتبتها $p^3$.

18. برهن على أن $\abs{Z(G)} = p$ ، وأن $G/Z(G) \cong  (\Z/p\Z)^2$ *(زمرة قسمة دائرية على المركز تفرض الأبيلية: [التمرين 1.2](#exo-b3-groups-2))* ، وأن $D(G) =  Z(G)$ *(من أجل $D(G) \subseteq Z(G)$، استعمل أن $G/Z(G)$ أبيلية؛ وأما التساوي فلأن $G$ غير أبيلية و $D(G) \neq \{e\}$)* . استنتج أن كل مبدِّل $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ مركزيٌّ ورتبته تقسم $p$ .
19. (المتطابقة المفتاحية) ليكن $x, y \in G$ وليكن $z = [y, x]$، وهو مركزي. برهن بالتراجع على $k$: $$(xy)^k = x^k y^k z^{k(k-1)/2} .$$ *(انقل كل $y$ عبر كل $x$؛ وكل عبور يكلّف عاملًا مركزيًا $z$ واحدًا.)*
20. استنتج أنه من أجل $p$ فردي يكون التطبيق $\theta\colon x \mapsto  x^p$ تشاكل زمر من $G$ إلى $Z(G)$ *(لماذا يكون $x^p$ مركزيًا؟ ولماذا تستلزم $z^{p(p-1)/2} = e$ أن يكون $p$ فرديًا؟)* ، ثم اخلص إلى أن أُسّ $G$ هو $p$ أو $p^2$ ، وأن الحالتين تتمايزان بحسب تفاهة $\theta$ .
21. (الأُسّ $p$) لنفترض أن كل عنصر يحقق $x^p = e$. اختر $x, y$ يولّد صنفاهما $G/Z(G)$ وضع $z =  [y, x]$. برهن على أن $z \neq e$، وأن كل عنصر من $G$ يُكتب بطريقة وحيدة على الصورة $x^ay^bz^c$ ($0 \leq a, b, c < p$)، وأن الضرب محدَّد بالكامل بالعلاقات $x^p = y^p = z^p = e$، و $z$ مركزي، و $[y, x] =  z$. وتحقق من أن *زمرة هايزنبرغ* $$H_p = \left\{  \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\}  \subseteq GL_3(\mathbb F_p)$$ تحقّق هذه العلاقات وأن أُسّها $p$ (احسب $(I + N)^p$ حيث $N$ مثلثية عليا تامة، باستعمال $N^3 = 0$ و $p \geq 3$): فكل زمرة غير أبيلية رتبتها $p^3$ وأُسّها $p$ تماثل $H_p$.
22. (الأُسّ $p^2$ ) لنفترض أن لعنصر ما $r \in G$ رتبةً تساوي $p^2$ ، ونضع $N = \langle r\rangle$ ، وهي [ناظمية](#def-b3-groups-normal) (لأن دليلها $p$ : [التمرين 1.10](#exo-b3-groups-10) ). برهن على أنه يوجد $s \notin N$ يحقق $s^p = e$ *(خذ أي $t \notin N$؛ وباستعمال السؤال 20، صحّحه: $\theta(t) = t^p \in Z(G) \subseteq N$ — برّر $Z(G) = \langle r^p\rangle$ — ثم اختر $a$ بحيث يحقق $s = tr^{a}$ الشرط $s^p = e$؛ وأين استُعملت فردية $p$؟)* . وبرهن على أن $srs^{-1} = r^{1+p}$ ، إلى حدود استبدال $s$ بقوة له، ثم اخلص إلى أنه توجد زمرة غير أبيلية *واحدة* بالضبط رتبتها $p^3$ وأُسّها $p^2$ ، وهي $\Z/p^2\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ حيث $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$ *(استعمل السؤال 3؛ والزمرة $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ دائرية رتبتها $p(p-1)$، وهي نتيجة نقبلها هنا، ومنه لها زمرة جزئية وحيدة رتبتها $p$)* .
23. اخلص إلى الإحصاء: من أجل $p$ فردي توجد $5$ زمر بالضبط رتبتها $p^3$ (ثلاث أبيلية واثنتان غير أبيليتين)، تمامًا كما في حالة $p = 2$ — غير أن غير الأبيليتين لم تعودا $D_4$ و $Q_8$ . وحدّد بدقة موضع انهيار برهان $p$ الفردي عند $p = 2$ : ففي متطابقة السؤال 19، يساوي $z^{k(k-1)/2}$ من أجل $k = p = 2$ المقدارَ $z^1 \neq  e$ ، فلا يكون التربيع تشاكلًا — وبالفعل، في $Q_8$ عنصر وحيد رتبته $2$ بينما وفي $D_4$ ذات الأُسّ $4$ خمسةُ عناصر كهذه.

**الجزء السابع — تكملات.**

24. من أجل $p$ فردي، أحصِ العناصر ذات الرتبة $p$ في كلٍّ من الزمرتين غير الأبيليتين ذات الرتبة $p^3$ : برهن على أن في $H_p$ منها $p^3 - 1$ بالضبط، بينما في $M_p =  \Z/p^2\Z \rtimes \Z/p\Z$ منها $p^2 - 1$ بالضبط *(استعمل التشاكل $\theta$ من السؤال 20: عيّن صورته، ثم رتبة نواته)* . وتحقق عدديًا من أجل $p = 3$ : $26$ مقابل $8$ . وفسّر لماذا لا يمكن لأي حجّة من نوع تشاكل التربيع أن تفصل $D_4$ عن $Q_8$ ، وأيُّ إحصاء يفصل بينهما.
25. نقول عن عدد صحيح $n \geq 1$ إنه *دائري* إذا كانت كل زمرة رتبتها $n$ دائرية. برهن على أنه إذا كان $p^2 \mid n$ من أجل عدد أولي $p$ ما، أو إذا كان للعدد $n$ قاسمان أوليان $p < q$ بحيث $p \mid q - 1$ ، فإن $n$ ليس دائريًا *(في كل حالة أعطِ زمرة غير دائرية رتبتها $n$، مستعملًا الجزء الثاني في الحالة الثانية)* . استنتج أن دائرية $n$ تفرض $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ ، حيث $\varphi$ دالة أويلر، وتحقق من ذلك في جدول السؤال 17: فمن بين $n \leq 15$ ، الرتب التي تحمل زمرة واحدة هي بالضبط $n \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15\}$ ، وهي بعينها الرتب التي تحقق $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ .

**حل المسألة 1.1.**

**1.** من أجل $x, y \in G$: يعطي $(xy)^2 = e$ أن $xy = (xy)^{-1} =
y^{-1}x^{-1} = yx$ (فكل عنصر مقلوب نفسه): إذن الزمرة أبيلية. ومثل هذه الزمرة $G$، مكتوبةً جمعيًا، فضاءٌ متجهي على $\mathbb
F_2$ (إذ $2x = 0$، والبديهيات هي بديهيات الزمرة الأبيلية)؛ فإذا كانت منتهية، كان لها أساس منتهٍ: أي $G \cong (\Z/2\Z)^k$، ورتبتها $2^k$.

**2.** الرتبة $p^2$: الزمرة $G$ أبيلية ([المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)). فإذا كانت رتبة أحد العناصر $p^2$، كانت $G$ دائرية. وإلا فرتبة كل $x \neq e$ تساوي $p$؛ وعندئذٍ تكون $G$، مكتوبةً جمعيًا، فضاءً متجهيًا على $\mathbb F_p$ (إذ $px = 0$) بُعده $2$ (لأن عدد عناصرها $p^2$): أي $G \cong (\Z/p\Z)^2$.

الزمر الأبيلية ذات الرتبة $8$، حسب الرتبة العظمى $m$ لعنصر: $m =
8$: دائرية $\Z/8\Z$. و $m = 2$: تعطي $(\Z/2\Z)^3$ حسب السؤال 1. و $m = 4$: ليكن $x$ من الرتبة $4$ وليكن $y \notin \langle x \rangle$؛ عندئذٍ $y^2 \in
\langle x\rangle$ (لأن الدليل $2$). ولو كان $y^2 \in \{x, x^3\}$ لكانت رتبة $y$ تساوي $8$؛ إذن $y^2 \in \{e, x^2\}$. فإذا كان $y^2 = x^2$، استبدلنا بالعنصر $y$ العنصر $xy$: عندئذٍ $(xy)^2 = x^2y^2 = x^4 = e$ (لأن $G$ أبيلية) و $xy \notin
\langle x\rangle$. ومنه يمكننا أن نفترض $y^2 = e$: فيكون $\langle x
\rangle \cap \langle y \rangle = \{e\}$، وكلتاهما [ناظمية](#def-b3-groups-normal) (لأبيلية $G$)، و $\abs{\langle x\rangle \langle y\rangle} = 8$: وتعطي [القضية 1.24](#prop-b3-groups-direct) أن $G \cong \Z/4\Z \times \Z/2\Z$. وهذه القائمة خالية من التكرار: فأعداد حلول $x^2 = e$ في الزمر الثلاث هي $2$ و $4$ و $8$.

**3.** نعرّف $\psi \colon H \rtimes_{\varphi'} K \to H
\rtimes_{\varphi} K$ بالعلاقة $\psi(h, k) = (h, \alpha(k))$، وهو تقابل. وهو تشاكل:

$$
\psi\bigl((h,k)(h',k')\bigr)
= \bigl(h\,\varphi'(k)(h'),\, \alpha(kk')\bigr)
= \bigl(h\,\varphi(\alpha k)(h'),\, \alpha(k)\alpha(k')\bigr)
= \psi(h,k)\,\psi(h',k').
$$

**4.** لدينا $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$ ([التمرين 1.3](#exo-b3-groups-3)): فمن أجل $n = 3$: $\{\pm 1\} \cong \Z/2\Z$؛ ومن أجل $n = 4$: $\{\bar 1, \bar 3\} \cong \Z/2\Z$؛ ومن أجل $n = 5$: $\{\bar 1,
\bar 2, \bar 3, \bar 4\}$، وهي دائرية رتبتها $4$ ويولّدها $\bar
2$ (أي $2, 4, 3, 1$)؛ ومن أجل $n = 7$: دائرية رتبتها $6$ ويولّدها $\bar
3$ ($3, 2, 6, 4, 5, 1$). ومن أجل $V = (\Z/2\Z)^2$: كل تماثل ذاتي خطي على $\mathbb F_2$ (لأنه يحفظ الجمع، والسلَّميات هي $0,
1$)، ومنه $\operatorname{Aut}(V) = GL_2(\mathbb F_2)$، ورتبتها $(4-1)(4-2) = 6$؛ وهي تفعل فعلًا أمينًا على المتجهات الثلاث غير المعدومة، فيعطي ذلك تشاكلًا متباينًا إلى $S_3$ بين زمرتين رتبة كلٍّ منهما $6$: أي $\operatorname{Aut}(V) \cong S_3$.

**5.** تعطي مبرهنة كوشي عنصرًا $r$ رتبته $p$؛ و $N = \langle r
\rangle$ دليلها $2$، ومنه فهي [ناظمية](#def-b3-groups-normal) ([التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)). وتعطي مبرهنة كوشي أيضًا عنصرًا $s$ رتبته $2$، ويكون $s \notin N$ (لأن رتب جميع عناصر $N$ المغايرة للمحايد فردية وتساوي $p$).

**6.** لدينا $N \cap \langle s \rangle = \{e\}$ و $\abs{N\langle
s\rangle} = 2p$ ([التمرين 1.4](#exo-b3-groups-4)(a)): ومنه حسب [القضية 1.26](#prop-b3-groups-semidirect) نجد $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi
\Z/2\Z$ حيث $\varphi(1) = (x \mapsto sxs^{-1})$ تماثل ذاتي رتبته تقسم $2$. وفي $(\Z/p\Z)^\times$، ليس للمعادلة $k^2 = 1$ سوى الحلين $k = \pm 1$ (لأن $X^2 - 1$ له جذران على الأكثر في الحقل $\mathbb F_p$). فإذا كان $\varphi(1) = \mathrm{id}$: كان الجداء مباشرًا، $G \cong \Z/p\Z \times \Z/2\Z \cong \Z/2p\Z$. وإذا كان $\varphi(1) = -\mathrm{id}$: فإن $G = \langle r, s \mid r^p = s^2 = e,
\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle \cong D_p$ ([المثال 1.27](#ex-b3-groups-semidirectexamples)). وهما غير مماثلتين: إذ إن $D_p$ غير أبيلية من أجل $p \geq 3$ ($srs^{-1} = r^{-1} \neq r$).

**7.** إن $n_q \equiv 1 \pmod q$ يقسم $p < q$: ومنه $n_q = 1$، فتكون $N \cong \Z/q\Z$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal). ولتكن $P \cong \Z/p\Z$ زمرة سيلو جزئية من النمط $p$: عندئذٍ $N \cap P = \{e\}$ و $NP = G$ (لأن الرتبة $pq$)، ومنه $G
\cong \Z/q\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ مع $\varphi \colon \Z/p\Z
\to \operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong \Z/(q-1)\Z$ (دائرية، نقبلها هنا). فإذا كان $p \nmid q - 1$: كانت رتبة صورة $\varphi$ تقسم كلًّا من $p$ و $q-1$، ومنه فهي تافهة، ويكون $G \cong
\Z/pq\Z$ ([المثال 1.22](#ex-b3-groups-pq)). وإذا كان $p \mid q - 1$: فإلى جانب $\varphi$ التافه، يكون كل $\varphi$ غير تافه متباينًا (لأن نواته، وهي زمرة جزئية من $\Z/p\Z$، تافهة) وصورته هي الزمرة الجزئية *الوحيدة* $C$ ذات الرتبة $p$ من الزمرة الدائرية $\Z/(q-1)\Z$. وعندئذٍ يكون أي فعلين غير تافهين $\varphi, \varphi'$ تماثلين $\Z/p\Z \to C$، ومنه فإن $\alpha =
\varphi^{-1}\circ\varphi' \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ يحقق $\varphi' = \varphi\circ\alpha$: وحسب السؤال 3 يكون الجداءان نصف المباشرين متماثلين. إذن توجد زمرة غير أبيلية واحدة بالضبط رتبتها $pq$ (وهي غير أبيلية لأن $\varphi \neq
\mathrm{id}$ يجعل أحد الاقترانات غير تافه). أما الرتبة $15$: فلدينا $p =
3$ و $q = 5$ و $3 \nmid 4$: فالزمرة دائرية لا غير.

**8.** ليست رتبة كل عنصر $\leq 2$ (وإلا كانت الزمرة أبيلية حسب السؤال 1)، وليست رتبة أي عنصر $8$ (وإلا كانت دائرية، ومنه أبيلية): ومنه توجد $r$ رتبتها $4$، وتكون $N = \langle r\rangle$، ذات الدليل $2$، [ناظمية](#def-b3-groups-normal).

**9.** لدينا $s^2 \in N$ حسب [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)(b). ورتبة المقترن $srs^{-1} \in N$ تساوي $4$، ومنه $srs^{-1} \in \{r,
r^3\}$؛ ولو كان $srs^{-1} = r$ لتبادل $r$ و $s$ ولكانت $G =
\langle r, s\rangle$ أبيلية — وهذا مستبعَد. إذن $srs^{-1} =
r^{-1}$. ولو كان $s^2 = r$ أو $r^3$ لكانت رتبة $s$ تساوي $8$: وهذا مستبعَد. (أو بصيغة أخرى: يتبادل $s^2$ مع $s$، لكن $s r s^{-1} =
r^{-1}$ و $s r^3 s^{-1} = r^{-3} = r$: فلا $r$ ولا $r^3$ صامد تحت الاقتران بالعنصر $s$.) إذن $s^2 \in \{e, r^2\}$.

**10.** إذا كان $s^2 = e$: فإن $G = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\
srs^{-1} = r^{-1}\rangle$. والعناصر الثمانية $r^is^j$ (حيث $0 \leq i
< 4$ و $0 \leq j < 2$) متمايزة ($s \notin \langle r\rangle$)، وتحدّد العلاقات جميع الجداءات: فالإرسال $r
\mapsto$ (دوران بزاوية $\pi/2$) و $s \mapsto$ (انعكاس) يعرّف تشاكلًا شاملًا على $D_4$ بين زمرتين رتبة كلٍّ منهما $8$: أي إنه تماثل.

**11.** إذا كان $s^2 = r^2$: فمرة أخرى $G = \{r^i s^j\}$، وتفرض العلاقات $r^4 = e$ و $s^2 = r^2$ و $srs^{-1} = r^{-1}$ الجدولَ بأكمله. وبوضع $\mathrm i = r$ و $\mathrm j = s$ و $\mathrm k =
rs$ و $-1 = r^2$، نجد $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = -1$ و $\mathrm k^2 =
rsrs = r r^{-1} s s = s^2 = -1$ (باستعمال $sr = r^{-1}s$) و $\mathrm i \mathrm j \mathrm k = r\,s\,rs = r\,r^{-1}s\,s = s^2 =
-1$. أما الوجود: فالمصفوفتان

$$
A = \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}
$$

تحققان $A^4 = I$ و $B^2 = -I = A^2$ و $BAB^{-1} = A^{-1}$ — ومن أجل هذه الأخيرة نتحقق من

$$
BA = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0 \end{pmatrix} = A^{-1}B .
$$

ومنه فإن $\{\pm I, \pm A, \pm B, \pm AB\}$ زمرة رتبتها $8$ تحقّق الجدول: أي إن $Q_8$ موجودة.

**12.** لتكن $H \neq \{e\}$ زمرة جزئية وليكن $x \in H
\setminus \{e\}$. إذا كان $x \neq -1$ فإن $x \in \{\pm\mathrm i,
\pm\mathrm j, \pm\mathrm k\}$ و $x^2 = -1 \in H$. إذن $-1 \in H$ دائمًا. والزمر الجزئية هي $\{e\}$ و $\{\pm 1\}$ (المركز) و $\langle \mathrm i\rangle, \langle \mathrm j\rangle, \langle
\mathrm k\rangle$ (ذات الدليل $2$) و $Q_8$: وكلها [ناظمية](#def-b3-groups-normal) ($\{e\}$ والمركز بداهةً، وذوات الدليل $2$ حسب [التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)، و $Q_8$ نفسها). وفي $D_4$ خمسة عناصر رتبتها $2$ ($r^2$ والانعكاسات الأربعة)، وفي $Q_8$ عنصر واحد فقط ($-1$): فهما غير مماثلتين. [والجداء نصف المباشر](#def-b3-groups-semidirect) $H \rtimes K$ مع $H, K \neq \{e\}$ يستلزم $H \cap K =
\{e\}$، وهذا مستحيل لأن كلتيهما تحتوي على $-1$.

**13.** لدينا $n_3 \mid 4$ و $n_3 \equiv 1 \pmod 3$: ومنه $n_3 \in \{1,
4\}$؛ ولدينا $n_2 \mid 3$ وهو فردي: ومنه $n_2 \in \{1, 3\}$. فإذا كان $n_3 = 4$: تقاطعت زمر سيلو الأربع من النمط $3$ مثنى مثنى تقاطعًا تافهًا (لأن رتبتها أولية)، فأعطت $4 \times 2 = 8$ عناصر رتبتها $3$؛ ولا بد أن تشكّل العناصر الأربعة الباقية زمرة سيلو الوحيدة من النمط $2$: أي $n_2 = 1$.

**14.** إن $\ker\rho$ ينظّم كل زمرة سيلو جزئية من النمط $3$، ومنه $\ker \rho \subseteq N_G(P_3)$، ودليل هذه الأخيرة $n_3 = 4$، أي رتبتها $3$: ومنه $\abs{\ker\rho} \in \{1, 3\}$. ولو كانت الرتبة $3$ لكانت $\ker\rho$ زمرة سيلو جزئية *[ناظمية](#def-b3-groups-normal)* من النمط $3$، وهذا يناقض $n_3
= 4$. إذن $\rho$ متباين وصورته $H \leq S_4$ رتبتها $12$ ودليلها $2$: ومنه $H \trianglelefteq S_4$ وتحتوي $H$ على جميع المربّعات ([التمرين 1.1](#exo-b3-groups-1)(b)). ومربّعات $S_4$ تضم $e$ والدورات الثلاثية الثماني كلها (لأن $\sigma = (\sigma^2)^2$ من أجل دورة ثلاثية)، وهي تولّد $A_4$ (فهي تقع في $A_4$، وتعطي مع جداءاتها العناصر الاثني عشر جميعًا؛ أو: [المبرهنة المساعدة 1.32](#lem-b3-groups-threecycles) في شقّها المتعلق بالتوليد من أجل $n = 4$، وهو لا يحتاج إلا إلى $n \geq 3$). إذن $A_4 \subseteq H$ و $\abs{A_4}
= \abs H$: أي $G \cong H = A_4$.

**15.** لدينا $P_3 \trianglelefteq G$ و $P_3 \cap P_2 = \{e\}$ و $P_3P_2 = G$: ومنه $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ ([القضية 1.26](#prop-b3-groups-semidirect)) و $\varphi \colon P_2 \to
\operatorname{Aut}(\Z/3\Z) = \{\pm\mathrm{id}\} \cong \Z/2\Z$.

- $\varphi$ تافه: نحصل على الجداءين المباشرين $\Z/3\Z \times \Z/4\Z  \cong \Z/12\Z$ و $\Z/3\Z \times (\Z/2\Z)^2 \cong \Z/6\Z  \times \Z/2\Z$ .
- $P_2 = \Z/4\Z$ مع $\varphi$ شامل: يكون بالضرورة $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ (وهو الاختيار غير التافه الوحيد): فنحصل على زمرة واحدة، $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ .
- $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ مع $\varphi$ شامل: تكون $\ker\varphi$ إحدى الزمر الجزئية الثلاث ذات الرتبة $2$ ؛ والتطبيقات $\varphi$ الثلاثة الناتجة تختلف بتماثلات ذاتية للزمرة $(\Z/2\Z)^2$ تبدّل بين هذه الزمر الجزئية (السؤال 4: تفعل $\operatorname{Aut}  \cong S_3$ فعلًا متعدّيًا على العناصر التقابلية الثلاثة)، ومنه فهي تعطي حسب السؤال 3 صنف تماثل واحدًا. وهذا الصنف هو $D_6$ : نختار $t$ يولّد $\ker\varphi$ و $x$ يولّد $\Z/3\Z$ ؛ فالعنصر $\rho = (x, t)$ يحقق $\rho^2 = (2x, 0)$ و $\rho^3 = (0, t)$ و $\rho^6 = e$ ولا تساوي أي قوة أصغر $e$ : فرتبته $6$ ؛ ومن أجل $s = (0, u)$ حيث $u  \notin \ker\varphi$ : لدينا $s^2 = e$ و $s\rho s^{-1} = (-x, t)  = \rho^{-1}$ . وبما أن رتبة $\langle \rho, s\rangle$ تساوي $12$ ، فإن $G \cong D_6$ .

**16.** بإحصاء العناصر ذات الرتبة $2$: في $\Z/12\Z$ عنصر واحد؛ وفي $\Z/6\Z\times\Z/2\Z$ ثلاثة؛ وفي $D_6$ سبعة (ستة انعكاسات والدوران النصفي $\rho^3$)؛ وفي $A_4$ ثلاثة؛ وفي $\mathrm{Dic}_3$ عنصر واحد (هو $(0, 2)$ لا غير: إذ إن رتبة عنصر $(h, k)$ يكون فيه $k$ من الرتبة $4$ في $\Z/4\Z$ تساوي $4$). وهذا يفصل بين الجميع عدا الزوجين $\{\Z/12\Z, \mathrm{Dic}_3\}$ و $\{\Z/6\Z\times\Z/2\Z, A_4\}$: فالأولان أبيليان والآخران ليسا كذلك ($\mathrm{Dic}_3$: لأن [الفعل](#def-b3-groups-action) غير تافه؛ و $A_4$: لأن $(1\,2\,3)$ و $(1\,2)(3\,4)$ لا تتبادلان). إذن خمس زمر متمايزة؛ وتُظهر الأجزاء من الثاني إلى الرابع أن القائمة تامة.

**17.** جدول التصنيف:

| $n$ | الزمر ذات الرتبة $n$ | # |
| --- | --- | --- |
| $1$ | $\{e\}$ | $1$ |
| $2$ | $\Z/2\Z$ | $1$ |
| $3$ | $\Z/3\Z$ | $1$ |
| $4$ | $\Z/4\Z$, $(\Z/2\Z)^2$ | $2$ |
| $5$ | $\Z/5\Z$ | $1$ |
| $6$ | $\Z/6\Z$, $S_3 = D_3$ | $2$ |
| $7$ | $\Z/7\Z$ | $1$ |
| $8$ | $\Z/8\Z$, $\Z/4\Z{\times}\Z/2\Z$, $(\Z/2\Z)^3$, $D_4$, $Q_8$ | $5$ |
| $9$ | $\Z/9\Z$, $(\Z/3\Z)^2$ | $2$ |
| $10$ | $\Z/10\Z$, $D_5$ | $2$ |
| $11$ | $\Z/11\Z$ | $1$ |
| $12$ | $\Z/12\Z$, $\Z/6\Z{\times}\Z/2\Z$, $D_6$, $A_4$, $\mathrm{Dic}_3$ | $5$ |
| $13$ | $\Z/13\Z$ | $1$ |
| $14$ | $\Z/14\Z$, $D_7$ | $2$ |
| $15$ | $\Z/15\Z$ | $1$ |

الرتب $6, 10, 14$ من الجزء الثاني مع $p = 3, 5, 7$؛ والرتبة $15$ من السؤال 7؛ والرتبة $8$ من الجزء الثالث مع السؤال 2؛ والرتبة $12$ من الجزء الرابع؛ والرتب الأولية من لاغرانج؛ والرتبتان $4$ و $9$ من السؤال 2.

**18.** المركز $Z = Z(G)$ غير تافه ([المبرهنة 1.12](#thm-b3-groups-pfixed)) و $Z \neq G$ (لأن الزمرة غير أبيلية)، ومنه $\abs Z \in \{p, p^2\}$. ولو كان $\abs Z = p^2$، لكانت $G/Z$ دائرية رتبتها $p$ ولجعلت [التمرين 1.2](#exo-b3-groups-2) الزمرةَ $G$ أبيلية: وهذا مستبعَد، إذن $\abs Z = p$ و $\abs{G/Z} = p^2$. وحسب السؤال 2، تكون $G/Z$ إما $\Z/p^2\Z$ وإما $(\Z/p\Z)^2$؛ والحالة الدائرية مستبعَدة مرة أخرى حسب [التمرين 1.2](#exo-b3-groups-2): ومنه $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$. وبما أن $G/Z$ أبيلية، فإن كل مبدِّل يقع في $Z$: أي $D(G) \subseteq Z$؛ و $D(G) \neq \{e\}$ (لأن $G$ غير أبيلية)، ومنه $D(G) = Z$ (إذ لا يترك $\abs Z = p$ مجالًا لغير ذلك). فالمبدِّلات مركزية ورتبتها تقسم $\abs Z = p$.

**19.** بالتراجع على $k$، وحالة $k = 1$ بديهية. باستعمال $yx = xyz^{-1}\cdot$ — وبدقة أكبر، يعطي $z = [y, x] =
yxy^{-1}x^{-1}$ أن $yx = zxy$، أي إن نقل عنصر $y$ واحد إلى يسار عنصر $x$ واحد يُنتج عاملًا واحدًا $z$، وهو مركزي فيمكن إيداعه في أي موضع. عندئذٍ

$$
(xy)^{k+1} = (xy)^k\,xy = x^ky^kz^{k(k-1)/2}\,xy
= x^k\,(y^kx)\,y\,z^{k(k-1)/2}
= x^{k+1}y^{k+1}\,z^{k(k-1)/2 + k},
$$

لأن نقل $x$ عبر $y^k$ يكلّف $k$ عاملًا من $z$ ($y^kx =
z^kxy^k$، وذلك بتطبيق $yx = zxy$ عدد $k$ مرة)؛ و $k(k-1)/2 + k
= k(k+1)/2$.

**20.** من أجل $k = p$: $(xy)^p = x^py^pz^{p(p-1)/2}$. ومن أجل $p$ فردي، يكون $(p-1)/2$ عددًا صحيحًا، ومنه $z^{p(p-1)/2} =
(z^p)^{(p-1)/2} = e$ (السؤال 18: رتبة $z$ تقسم $p$): أي $\theta(xy) = \theta(x)\theta(y)$، وهو تشاكل. وقيمه مركزية: إذ إن رتبة صنف $x$ في $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$ تقسم $p$، ومنه $x^p \in Z$. فإذا كان $\theta$ تافهًا، كانت رتبة كل عنصر تقسم $p$: أي الأُسّ $p$ (وليس $1$: $G \neq
\{e\}$). وإلا فإن $x^p \neq e$ من أجل $x$ ما، ورتبة $x$ تساوي $p^2$ (لأنها تقسم $p^3$، ولا يمكن أن تكون $p^3$: وإلا كانت $G$ دائرية ومنه أبيلية): أي الأُسّ $p^2$.

**21.** ليكن الصنفان $\bar x, \bar y$ مولِّدين [لزمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) $G/Z$: فمبدِّلهما $z = [y, x]$ مغاير للمحايد، وإلا لولّد $x, y, Z$ زمرةً $G$ أبيلية (لأن صنفيهما يولّدان [زمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) و $Z$ مركزية) — ويولّد $z$ المركزَ $Z$ (لأن $\abs Z = p$). ولكل $g \in G$ صنفٌ $\bar x^a\bar y^b$ من أجل $0 \leq a, b <
p$ وحيدين، ومنه $g = x^ay^bz^c$ مع $0 \leq c < p$ وحيد: أي $p^3$ عنصرًا، وقد أُحصيت جميعًا. وتُحسب جداءات هذه الصيغ [الناظمية](#def-b3-groups-normal) باستعمال $yx = zxy$ و $z$ المركزي و $x^p = y^p =
z^p = e$ لا غير: فالجدول مفروض، ومنه فإن أي زمرتين غير أبيليتين رتبتهما $p^3$ وأُسّهما $p$ متماثلتان (بمطابقة المولِّدات). وتحقّق زمرة هايزنبرغ هذه العلاقات: فبوضع $X = I + E_{12}$ و $Y = I + E_{23}$ نحسب $[Y, X] = I -
E_{13}$ (وهو مركزي في $H_p$)، ومن أجل أي مصفوفة $N$ مثلثية عليا تامة يعطي $N^3 = 0$ أن

$$
(I + N)^p = I + pN + \binom p2N^2 = I
\qquad\text{في المميّز } p,\ p \geq 3,
$$

لأن $p \mid p$ و $p \mid \binom p2$ من أجل $p$ فردي: أي الأُسّ $p$. إذن الزمرة ذات الأُسّ $p$ هي $H_p$.

**22.** لدينا $Z(G) = \langle r^p\rangle$: فالعنصر $r^p$ مركزي [بالفعل](#def-b3-groups-action) (بحجّة السؤال 20: صنف $r$ في [زمرة القسمة](#thm-b3-groups-quotient) $G/Z$ ذات الأُسّ $p$ يعطي $r^p \in Z$) وهو مغاير للمحايد، ومنه فهو يولّد المركز ذا الرتبة $p$. نأخذ أي $t \notin N$. فإذا كان $t^p = e$، وضعنا $s = t$. وإلا فإن $\theta(t) = t^p \in Z =
\langle r^p\rangle$، وليكن $t^p = r^{pb}$؛ نضع $s = tr^{-b}$: فحسب السؤال 20 ($\theta$ تشاكل و $p$ فردي) نجد $s^p =
t^pr^{-pb} = e$، ويكون $s \notin N$. أما الاقتران: فرتبة $srs^{-1} \in
N$ ($N$ [ناظمية](#def-b3-groups-normal)) تساوي $p^2$، ومنه $srs^{-1} = r^m$ مع $p
\nmid m$؛ كما يفرض $s^p = e$ أن $m^p \equiv m \pmod{p^2}$ — إذ يعيد الاقتران $p$ مرة العنصرَ $r$، ومنه $m^p \equiv 1 \pmod
{p^2}$، و $m \equiv m^p \equiv 1 \pmod p$ (فيرما): أي $m = 1 +
ap$. ويعطي عدم التفاهة (لأن $G$ غير أبيلية) أن $a \not\equiv 0$؛ واستبدال $s$ بالقوة $s^{a'}$ حيث $aa' \equiv 1 \pmod p$ يحوّل [الفعل](#def-b3-groups-action) إلى $r \mapsto r^{1+p}$. وهذا يقدّم $G$ على الصورة $\Z/p^2\Z\rtimes_\varphi\Z/p\Z$ مع $\varphi(1)\colon r
\mapsto r^{1+p}$؛ وحسب السؤال 3، فإن أي تشاكلين غير تافهين $\Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ لهما الصورة نفسها — والصورة هي الزمرة الجزئية *الوحيدة* ذات الرتبة $p$ من الزمرة الدائرية $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ — يعطيان جداءين نصف مباشرين متماثلين: ومن هنا الوحدانية.

**23.** الأبيلية: $\Z/p^3\Z$ و $\Z/p^2\Z\times\Z/p\Z$ و $(\Z/p\Z)^3$ (بحجّة السؤال 2، مرفوعةً درجةً واحدة: نصنّف حسب الرتبة العظمى). وغير الأبيلية: هي بالضبط $H_p$ (ذات الأُسّ $p$، السؤال 21) و $\Z/p^2\Z\rtimes\Z/p\Z$ (ذات الأُسّ $p^2$، السؤال 22)، وتتمايزان بأُسّيهما. المجموع: خمس. أما من أجل $p = 2$ فتنهار حجّة التشاكل في السؤال 20: إذ $z^{p(p-1)/2} = z^{1} = z \neq e$، فلا يكون التربيع تشاكلًا، وبالفعل فإن أُسّ كلٍّ من الزمرتين غير الأبيليتين ذات الرتبة $8$ يساوي $4$ — والثابت الذي يفصل $D_4$ عن $Q_8$ هو عدد العناصر ذات الرتبة $2$ (خمسة مقابل واحد)، لا الأُسّ. فعالم $p$ الفردي، لمرة واحدة، أكثر انتظامًا من المميّز $2$.

**24.** في $H_p$ رتبة كل عنصر $\neq e$ تساوي $p$ (الأُسّ $p$، السؤال 21): أي $p^3 - 1$ عنصرًا رتبته $p$. وفي $M_p$، يكون التطبيق $\theta \colon x \mapsto x^p$ تشاكلًا $M_p \to Z(M_p) = \langle r^p\rangle$ (السؤال 20، $p$ فردي)؛ ولدينا $\theta(r) = r^p \neq e$، ومنه فالصورة هي المركز كله ذو الرتبة $p$، ورتبة $\ker\theta = \{x : x^p = e\}$ تساوي $p^3/p =
p^2$. والعناصر ذات الرتبة $p$ هي عناصر هذه النواة المغايرة للمحايد: وعددها $p^2 - 1$. ومن أجل $p = 3$: في $H_3$ عدد $27 - 1 = 26$ عنصرًا رتبته $3$، وفي $M_3 = \Z/9\Z \rtimes
\Z/3\Z$ عدد $9 - 1 = 8$. أما من أجل $p = 2$ فتموت الحجّة منذ البداية: فالتربيع ليس تشاكلًا على زمرة غير أبيلية رتبتها $8$ (السؤال 23)، وبالفعل فإن المجموعة $\{x : x^2 = e\}$ تضم $6$ عناصر في $D_4$ — وهذا ليس رتبةَ زمرة جزئية من $D_4$. والإحصاء الذي يفصل بينهما فعلًا هو عدد العناصر ذات الرتبة $2$: خمسة في $D_4$ وواحد في $Q_8$ (السؤال 11).

**25.** إذا كان $p^2 \mid n$، فإن رتبة الزمرة $\Z/p\Z \times
\Z/(n/p)\Z$ تساوي $n$ وهي ليست دائرية: إذ إن رتبة كل عنصر تقسم $\operatorname{lcm}(p, n/p) = n/p < n$، لأن $p \mid n/p$. وإذا كان $p < q$ عددين أوليين يقسمان $n$ مع $p \mid
q - 1$، أعطى السؤال 7 زمرةً غير أبيلية $\Z/q\Z \rtimes
\Z/p\Z$ رتبتها $pq$؛ وعندئذٍ تكون رتبة $(\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z) \times
\Z/(n/pq)\Z$ مساوية $n$ وتكون غير أبيلية، ومنه غير دائرية. ولنفترض الآن $\gcd(n, \varphi(n)) > 1$ ولنأخذ عددًا أوليًا $p$ يقسمهما معًا. بكتابة $\varphi(n) = \prod_{q^a \parallel
n} q^{a-1}(q - 1)$، تعني القابلية للقسمة $p \mid \varphi(n)$ إما أن $p^2 \mid n$ (بأخذ العامل $q^{a-1}$ مع $q = p$ و $a \geq 2$) وإما أن $p \mid q - 1$ من أجل عدد أولي $q \mid n$ ما، $q
\neq p$: وفي الحالتين لا يكون $n$ دائريًا حسب ما سبق. وبعكس النقيض، تفرض دائرية $n$ أن $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$. ولنتحقق من أجل $n \leq 15$: قيم $\varphi(n)$ من أجل $n = 1,
\dots, 15$ هي $1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6,
8$، ويتحقق $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ من أجل $n = 1, 2, 3, 5,
7, 11, 13, 15$ بالضبط — وهي بالضبط مدخلات جدول السؤال 17 التي تحمل زمرة واحدة. أما الرتب الأخرى فقد تبيّن أنها غير دائرية كما سبق: $4, 8, 9, 12$ بسبب عامل مربّع، و $6, 10, 12, 14$ بسبب $2 \mid q - 1$. (والعكس — أي إن $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ يستلزم دائرية $n$ — صحيح أيضًا؛ ويبرهن السؤال 7 على أول حالة غير تافهة منه، وهي $n = pq$ مع $p \nmid q - 1$.)