--- title: "فضاءات Lp" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp --- # الفصل 12 — فضاءات Lp بُني تكامل لوبيغ من أجل التحليل؛ وفضاءات $L^p$ هي المكان الذي يسكنه ذلك التحليل. فهي فضاءات باناخ (ريس–فيشر) — أي الإتمامات التي بيّن [التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1) أن الدوال المتصلة تفتقر إليها — وهي تحمل تقنية تنعيم، هي *الالتفاف مع المليِّفات*، تقرّب كل دالة من $L^p$ بدوال $\mathcal C^\infty$. ويبرهن هذا الفصل على صيغتي هولدر ومينكوفسكي التكامليتين، وعلى التمام، ومبرهنات الكثافة، وآلة التنظيم، وينتهي بجغرافيا الاحتواء والاستيفاء في سلّم $L^p$. وفي كل ما يلي، يكون $(X, \mathcal A, \mu)$ فضاءً قياسيًّا وتكون الدوال ذات قيم عقدية؛ وعلى $\R^d$ يكون [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) هو $\lambda_d$. ## 12.1 التعريف؛ هولدر ومينكوفسكي **تعريف 12.1.** من أجل $1 \leq p < \infty$، تكون $\mathcal L^p(\mu)$ مجموعة الدوال القابلة [للقياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $f$ التي تحقق $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$، وتكون $\mathcal L^\infty(\mu)$ مجموعة الدوال $f$ المحدودة خارج مجموعة معدومة [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)، مع $\norm f_\infty$ *السوپريموم الجوهري* — أي أصغر عدد $M$ يحقق $\abs f \leq M$ في كل مكان تقريبًا (والإنفيموم مبلوغ: يكفي مقاطعة المجموعات المعدومة الموافقة للأعداد $M + \frac1n$). وبما أن $\norm f_p = 0$ لا يفرض إلا $f = 0$ *في كل مكان تقريبًا* ([التمرين 10.5](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#exo-b3-lebesgue-5))، نعرّف $$ L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ في كل مكان تقريبًا}\} : $$ فتكون العناصر أصنافَ دوال بترديد المجموعات المعدومة، ويكون $\norm\cdot_p$ معيارًا فعليًّا على $L^p$. **مبرهنة 12.2 (متراجحة هولدر).** ليكن $1 \leq p, q \leq \infty$ مع $\frac1p + \frac1q = 1$ (أي أُسّين مترافقين). من أجل دالتين قابلتين [للقياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $f, g$: $$ \norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q , $$ مع التساوي (من أجل $1 < p < \infty$، ونظائم منتهية، و $f,g\ne0$) إذا وفقط إذا كان $\abs f^p$ و $\abs g^q$ متناسبين في كل مكان تقريبًا. **برهان.** الحالتان $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ مباشرتان ($\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ في كل مكان تقريبًا). وليكن $1 < p < \infty$؛ نعيِّر $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (بالتجانس؛ فالنظائم المعدومة أو اللانهائية بديهية). وتعطي متراجحة يونغ $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ (حيث $a, b \geq 0$؛ بتقعّر $\ln$، كما في [المسألة 8.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#pb-b3-banach-1)) نقطةً نقطة أن $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$؛ ونكامل: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$. ويفرض التساوي تساويًا في متراجحة يونغ في كل مكان تقريبًا، أي $\abs f^p = \abs g^q$ في كل مكان تقريبًا (بعد التعيير؛ وبالرجوع عنه، التناسب). ∎ **مبرهنة 12.3 (متراجحة مينكوفسكي).** من أجل $1 \leq p \leq \infty$: $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$. **برهان.** الحالتان $p = 1, \infty$: بمتراجحة المثلث نقطةً نقطة أو في كل مكان تقريبًا. ومن أجل $1 < p < \infty$، نفترض أن $\norm{f+g}_p < \infty$ (وإلا استعملنا $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$، الناتجة عن تحدّب $t^p$، لنرى أن الطرف الأيسر منتهٍ حين يكون الأيمن كذلك). عندئذٍ $$ \norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q $$ بهولدر، و $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ لأن $(p-1)q = p$؛ ثم نقسم على $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (إن لم يكن معدومًا؛ وإلا فالنتيجة بديهية) ونستعمل $p - \frac pq = 1$. ∎ ## 12.2 التمام وما يصحبه **مبرهنة 12.4 (ريس–فيشر).** من أجل $1 \leq p \leq \infty$، يكون $L^p(\mu)$ فضاء باناخ. وأكثر من ذلك، لكل متتالية متقاربة في $L^p$ متتاليةٌ جزئية متقاربة *في كل مكان تقريبًا* (مع مهيمِن في $L^p$ في حالة $p < \infty$). **برهان.** حالة $p = \infty$: كل متتالية كوشية بالمعنى $\norm\cdot_\infty$ هي، خارج مجموعة معدومة واحدة (أي اتحاد عدد قابل للعدّ منها)، كوشيةٌ بانتظام: فتتقارب بانتظام خارجها؛ وانتهى. وليكن $p < \infty$. فحسب [التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) يكفي جمع المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا: ليكن $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$. نضع $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ و $G = \sum_k\abs{f_k}$ (نقطةً نقطة في $[0,\infty]$): فبمينكوفسكي $\norm{G_n}_p \leq M$، وتعطي مبرهنة التقارب الرتيب ($G_n^p \nearrow G^p$) أن $\int G^p \leq M^p$: أي $G < \infty$ في كل مكان تقريبًا، ومنه تتقارب المتسلسلة $\sum f_k(x)$ تقاربًا مطلقًا من أجل $x$ في كل مكان تقريبًا؛ ولنسمّ مجموعها $S(x)$ (بأي قيمة على المجموعة المعدومة). عندئذٍ $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$، وتعطي مبرهنة التقارب المهيمن أن $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$: أي إن المتسلسلة تتقارب في $L^p$. وأما عبارة المتتالية الجزئية: فإذا كان $f_n \to f$ في $L^p$، اخترنا $n_k$ تحقق $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$؛ فتقع المتسلسلة $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ تحت الحجة السابقة: إذ تتقارب تقاربًا مطلقًا في كل مكان تقريبًا، وتُهيمَن بمقدار $G \in L^p$، ومنه $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ في كل مكان تقريبًا، ولا بد أن تكون هذه النهاية ممثلًا للدالة $f$ (إذ كلتاهما نهاية في $L^p$). وأما المهيمِن: فهو $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$. ∎ **ملاحظة 12.5.** لا يستلزم التقارب في $L^p$ التقاربَ في كل مكان تقريبًا (كما في متتالية *الآلة الكاتبة*، [التمرين 12.3](#exo-b3-lp-3))، ولا العكس (كما في النتوءات الهاربة): فالنمطان لا يرتبطان إلا عبر المتتاليات الجزئية والهيمنة. واستحضار الأمثلة المضادة في [التمرين 12.3](#exo-b3-lp-3) خير لقاح ضد الخلط. ## 12.3 مبرهنات الكثافة **مبرهنة 12.6.** ليكن $1 \leq p < \infty$. 1. الدوال البسيطة (ذات الحوامل المنتهية [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) ) كثيفةٌ في $L^p(\mu)$ . 2. في $L^p(\R^d)$ ، تكون الدوال المتصلة ذات الحامل المتراص $\mathcal C_c(\R^d)$ كثيفة. 3. الانسحاب متصل على $L^p(\R^d)$ : فبكتابة $\tau_hf = f(\cdot - h)$ ، يكون $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ حين $h \to 0$ . ولا تصح أي واحدة من الثلاث من أجل $p = \infty$. **برهان.** (1) من أجل $f \geq 0$: تحقق الدوال الثنائية $s_n \nearrow f$ من [المبرهنة 10.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-approximation) أن $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$: بالتقارب المهيمن. (وكل $s_n \leq f$ ينتمي إلى $L^p$، ومجموعات مستوياته منتهية [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) حيث تكون القيمة موجبة: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$.) ثم نشطر $f$ العامة إلى أربعة أجزاء غير سالبة. (2) حسب (1) يكفي تقريب $\mathbf 1_A$، حيث $A$ بوريلية تحقق $\lambda_d(A) < \infty$. ويعطي الانتظام (بالبرهان نفسه كما في [المبرهنة 9.13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-regularity)) متراصةً $K \subseteq A \subseteq U$ ومفتوحةً تحققان $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$؛ ودالة أوريسون $$ \varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)} $$ متصلة، وتساوي $1$ على $K$ و $0$ خارج $U$، ويمكن أخذها ذات حامل متراص (بتقليص $U$ إلى مفتوحة محدودة أولًا). عندئذٍ $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$. (3) من أجل $g \in \mathcal C_c$: يعطي الاتصال المنتظم أن $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$، مع حوامل في متراصة ثابتة من أجل $\abs h \leq 1$: ومنه $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$. وأما من أجل $f$ عامة: فنختار $g \in \mathcal C_c$ تحقق $\norm{f - g}_p < \varepsilon$؛ عندئذٍ $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (بصمود المعيار بالانسحاب). وأما من أجل $p = \infty$: فالتقريب المنتظم للدالة $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ بدوال متصلة مستحيل (بسبب القفزة)، ويكون $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ من أجل $h \neq 0$. ∎ ## 12.4 الالتفاف والتنظيم **مبرهنة 12.7 (متراجحة يونغ).** ليكن $1 \leq p \leq \infty$، $f \in L^1(\R^d)$، $g \in L^p(\R^d)$. عندئذٍ تكون $f * g$ معرَّفة في كل مكان تقريبًا، وتنتمي إلى $L^p$، و $$ \norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p . $$ **برهان.** حالة $p = \infty$: بالحد المباشر. وحالة $p = 1$: هي [المبرهنة 11.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution). وليكن $1 < p < \infty$ وليكن $q$ المرافق. نشطر $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ ونطبّق هولدر: $$ \int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} . $$ ثم نرفع إلى القوة $p$ ونكامل في $x$؛ وتعطي تونيلي على العامل الثاني أن $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$، أي $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — ويبرّر انتهاءُ تكامل تونيلي التقاربَ المطلق في كل مكان تقريبًا كما في [المبرهنة 11.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution). ∎ **تعريف 12.8 (المليِّفات).** الدالة $$ \rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases} $$ حيث يعيِّر $c$ الشرط $\int\rho = 1$، هي $\mathcal C^\infty$ على $\R^d$: إذ المهم أن $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ دالة $\mathcal C^\infty$ على $\R$، وأن جميع مشتقاتها عند $0^+$ معدومة (فكل مشتقة من الشكل $P(1/t)\eu^{-1/t}$ من أجل كثير حدود $P$، وهو يؤول إلى $0$؛ بالتراجع). ومن أجل $\varepsilon > 0$ نضع $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$: فحاملها في $\bar B(0, \varepsilon)$، وتكاملها لا يزال $1$. **مبرهنة 12.9 (التنظيم).** ليكن $1 \leq p < \infty$ و $f \in L^p(\R^d)$. عندئذٍ: 1. $f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ ، مع $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ؛ 2. $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ حين $\varepsilon \to 0$ ؛ 3. ومن ثَمّ تكون $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ كثيفة في $L^p(\R^d)$ . **برهان.** (1) بالاشتقاق تحت علامة التكامل ([المبرهنة 10.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) في $x$: فمن أجل $x$ في كرة $B$، يكون $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ حيث $K$ متراصة (أي النقاط $y$ البعيدة عن $B$ بأقل من $\varepsilon$)، ويكون $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (بهولدر مقابل $\mathbf 1_K$): فتنطبق المبرهنة؛ ونكرّر من أجل المشتقات العليا. (2) بما أن $\int\rho_\varepsilon = 1$: $$ (f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y , $$ ومتراجحة مينكوفسكي *التكاملية* — أو مباشرةً: هولدر أو ينسن مع [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) الاحتمالي $\rho_\varepsilon\dd y$ ثم تونيلي — $$ \norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ (والخطوة الوسطى: نطبّق متراجحة ينسن، [التمرين 12.10](#exo-b3-lp-10)، على التكامل الداخلي في $y$، ثم تونيلي). وحامل المقدار المكامَل في $\norm y \leq \varepsilon$، وهو يؤول إلى $0$ هناك بانتظام حين $\varepsilon \to 0$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)): ومنه يؤول التعبير كله إلى $0$. (3) نقرّب $f$ بدالة $g \in \mathcal C_c$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density)(2))، ثم نقرّب $g$ بالمقدار $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (وحامله متراص: لأنه مجموع الحاملين). ∎ **مثال 12.10 (تمليف ∣x∣\abs x∣x∣، مع المعدلات).** لنأخذ $f(x) = \abs x$ على $\R$ (وهي في $L^1$ محليًّا؛ فتنطبق المبرهنة على كل نافذة محدودة) ومليِّفًا متناظرًا $\rho_\varepsilon$. عندئذٍ $$ f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ تكون $\mathcal C^\infty$؛ وبعيدًا عن الانكسار لا يحدث شيء: فمن أجل $\abs x \geq \varepsilon$، يكون $\abs{x - y}$ خطيًّا في $x$ على حامل $\rho_\varepsilon$، ومنه $f_\varepsilon(x) = \abs x$ *بالضبط* (إذ يلغي التناظر التصحيح). وبجوار $0$، يكلّف التنعيم بالضبط $$ 0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon : $$ أي إن خطأ التقريب محصور في جوار السويّة $\varepsilon$ للشذوذ، وهو من حجمه. وفي الوقت نفسه $f_\varepsilon'' \geq 0$ في كل مكان (لأن $f$ محدّبة، والالتفاف مع $\rho_\varepsilon \geq 0$ يحفظ التحدّب)، مع $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: فالمشتقة الثانية نتوءٌ كتلته $2$ مضغوطٌ في عرض $O(\varepsilon)$، ومنه $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. فالتنعيم مقايضة: خطأ منتظم من رتبة $O(\varepsilon)$ مقابل انفجار المشتقة $O(\varepsilon^{-1})$ — وهو سعر الصرف الدقيق الذي يصوغه التحليل الكمّي (متراجحات الاستيفاء، ودائرة الأفكار في [المسألة 12.1](#pb-b3-lp-1)). **نتيجة 12.11 (المبرهنة المساعدة الأساسية في حساب التغيّرات).** لتكن $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ ([قابلة للمكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) على المتراصات) وتحقق $\int f\varphi = 0$ من أجل كل $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$. عندئذٍ $f = 0$ في كل مكان تقريبًا. **برهان.** نثبّت كرة $B = B(0, R)$ ولتكن $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$. من أجل $x \in B$ ومن أجل $\varepsilon < 1$: $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$، ودالة الاختبار هي $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$. لكن $g * \rho_\varepsilon \to g$ في $L^1$ ([المبرهنة 12.9](#thm-b3-lp-regularization)): ومنه $g = 0$ في كل مكان تقريبًا على $B$؛ ثم نستنفد $\R^d$. ∎ ## 12.5 جغرافيا $L^p$ **قضية 12.12.** (a) إذا كان $\mu(X) < \infty$ و $1 \leq p \leq q \leq \infty$، فإن $L^q \subseteq L^p$ مع $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$. (b) وعلى $\R^d$ (ذي [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) اللانهائي) لا توجد أي احتواءات: فمن أجل $p \neq q$ توجد دوال في $L^p\setminus L^q$. (c) (الاستيفاء) إذا كان $p < r < q$ وعُرِّف $\alpha \in \intoo01$ بالعلاقة $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$، فإن $$ \norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ; $$ وعلى وجه الخصوص $L^p \cap L^q \subseteq L^r$. **برهان.** (a) بهولدر مع الأُسّين $\frac qp$ ومرافقه: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ (وحالة $q = \infty$ مباشرة). (b) بجوار $0$ وبجوار $\infty$، تعاير القوى $x^{-\alpha}$ الوضع: [التمرين 12.2](#exo-b3-lp-2). (c) نكتب $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ ونطبّق هولدر مع الزوج المترافق $\frac p{r\alpha}$ و $\frac q{r(1-\alpha)}$ (وهما مترافقان بحكم تعريف $\alpha$ بالضبط): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$. ∎ **طريقة 12.13.** عدّة $L^p$، كما تُستعمل في كل ما يأتي: لتبرهن على متطابقة أو متراجحة من أجل كل $f \in L^p$ — برهن عليها على صنف كثيف ($\mathcal C_c^\infty$ عبر [المبرهنة 12.9](#thm-b3-lp-regularization)) ومدّدها بالاتصال ([المبرهنة 7.2](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)، إذ الطرفان متصلان بالمعنى $L^p$)؛ ولتبرهن على أن $f = 0$، اختبر مقابل $\mathcal C_c^\infty$ ([النتيجة 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma))؛ ولتكسب نعومة، التفّ؛ ولتقايض الأُسّ، استعمل هولدر والاستيفاء. ونظرية فورييه في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform) تطبيقٌ واحد طويل لهذه الطريقة. ## 12.6 تمارين **تمرين 12.1 ★.** (a) صُغ متراجحة كوشي–شوارتز في $L^2(\mu)$ وبرهن عليها بوصفها حالة $p = q = 2$ من هولدر. (b) على فضاء *احتمالي*، برهن على أن $p \mapsto \norm f_p$ متزايدة بالمعنى الواسع. (c) متى تكون هولدر تساويًا من أجل $p = 1$ و $q = \infty$؟ **حل التمرين 12.1.** (a) هي حالة $p = q = 2$ في [المبرهنة 12.2](#thm-b3-lp-holder): $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — أي كوشي–شوارتز، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\abs f, \abs g$ متناسبين وكانت الأطوار متوافقة. (b) على فضاء احتمالي، ومن أجل $p \leq q$: نطبّق ينسن ([التمرين 12.10](#exo-b3-lp-10)) بالدالة المحدّبة $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ على الدالة $\abs f^p$: $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$، أي $\norm f_p \leq \norm f_q$. (c) يكون $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ إذا وفقط إذا كان $\abs{g} = \norm g_\infty$ في كل مكان تقريبًا على $\{f \neq 0\}$ (إذ يجب أن تكون المتراجحة $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ تساويًا في كل مكان تقريبًا). **تمرين 12.2 ★.** من أجل أي $p \in \intco1\infty$ تنتمي الدوال التالية إلى $L^p$؟ $$ x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{على} \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{على} \R . $$ واخلص إلى: أن $p$ الصغير أيسر على $\intoo01$، وأن $p$ الكبير أيسر على $\intoo1\infty$، وأنه لا يحتوي أي $L^p$ آخرَ على $\R$. **حل التمرين 12.2.** يكون $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p < 2$: فالأولى في $L^p$ من أجل $p \in \intco12$. ويكون $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p > 2$: فالثانية من أجل $p \in \intoo2\infty$ (ومن أجل $p = \infty$: فهي محدودة — ونضمّها). والثالثة: من أجل $p < 2$، تُهيمَن بالمقدار $x^{-p/2}$: فهي [قابلة للمكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1)؛ ومن أجل $p = 2$، نعوّض $u = -\ln x$: $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$؛ ومن أجل $p > 2$ تهيمن القوة: فتتباعد. ومنه $p \in \intcc12$. والرابعة: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p > 1$؛ وهي محدودة، ومنه فهي في $L^\infty$ أيضًا: $p \in \intoc1\infty$. والعبرة: أن القابلية للمكاملة عند $0$ تحب $p$ الصغير، وعند $\infty$ تحب $p$ الكبير؛ وبضمّ العائقين لا يوجد أي احتواء بين فضاءات $L^p(\R)$. **تمرين 12.3 ★★.** (الآلة الكاتبة) عدّد الفترات الثنائية $I_1 = \intcc01$، $I_2 = \intcc0{\frac12}$، $I_3 = \intcc{\frac12}1$، $I_4 = \intcc0{\frac14}$، … ولتكن $f_n = \mathbf 1_{I_n}$. (a) برهن على أن $f_n \to 0$ في كل $L^p(\intcc01)$ حيث $p < \infty$، لكن $(f_n(x))$ تتباعد من أجل *كل* $x \in \intcc01$. (b) أبرز المتتالية الجزئية المتقاربة في كل مكان تقريبًا التي تعد بها [المبرهنة 12.4](#thm-b3-lp-complete). (c) وبالعكس، أعطِ متتالية تتقارب في كل مكان تقريبًا دون أن تتقارب في $L^1$، وأخرى تتقارب في $L^1$ دون أن تتقارب في أي $L^p$ حيث $p > 1$. **حل التمرين 12.3.** (a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (فعند المستوى الثنائي $k$ يكون الطول $2^{-k}$). لكن كل $x$ يقع في فترة واحدة من كل مستوى ثنائي: ومنه $f_n(x) = 1$ عددًا لانهائيًّا من المرات و $= 0$ عددًا لانهائيًّا من المرات (في فترات المستوى نفسه التي لا تحتوي $x$): فلا تقارب في أي نقطة. (b) المتتالية $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (أي الفترة الأولى من كل مستوى) تتقارب إلى $0$ عند كل $x > 0$: أي في كل مكان تقريبًا. (c) في كل مكان تقريبًا دون $L^1$: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ في كل مكان تقريبًا، وتكاملها $1$. وفي $L^1$ دون أي $L^p$ (حيث $p > 1$): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$: فيكون $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$، بينما $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ من أجل كل $p > 1$. **تمرين 12.4 ★★.** ليكن $\mu(X) < \infty$ و $f \in L^\infty(\mu)$، مع $f \neq 0$. برهن على أن $\norm f_p \to \norm f_\infty$ حين $p \to \infty$. *(الحدّ الأعلى من (a) في [القضية 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)؛ والحدّ الأدنى بالمكاملة على $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$، وهي ذات [قياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) موجب.)* **حل التمرين 12.4.** الحدّ الأعلى: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ ([القضية 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)(a) مع $q = \infty$)، و $\mu(X)^{1/p} \to 1$. والحدّ الأدنى: من أجل $\varepsilon > 0$، تحقق $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ أن $\mu(A) > 0$ (بتعريف السوپريموم الجوهري)، و $$ \norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon . $$ **تمرين 12.5 ★★.** (a) أين بالضبط يستعمل برهان [المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density)(3) الفرضيةَ $p < \infty$؟ (b) برهن على أن $f \in L^\infty(\R)$ تحقق $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ إذا وفقط إذا كان للدالة $f$ ممثّل متصل بانتظام. **حل التمرين 12.5.** (a) مرتين: فالتحويل $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (بحامل منتهي [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)) لا ينحلّ من أجل $p = \infty$ إلا من حيث إخفاق *كثافة $\mathcal C_c$* هناك — وتلك هي الفجوة الحقيقية: إذ ليس للخطوة (2) من [المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density) نظيرٌ في $L^\infty$. (b) إذا كان للدالة $f$ ممثّل متصل بانتظام $g$: فإن $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$. وبالعكس، لنفترض أن $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$. تكون التمليفات $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ متصلة، ويكون $$ \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0 $$ (إذ الالتفاف متوسطٌ للمنسحبات). وكل $f_\varepsilon$ متصلة بانتظام ($\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$، بالتوسيط)، والنهاية المنتظمة لدوال متصلة بانتظام هي كذلك: ومنه توافق $f$ في كل مكان تقريبًا دالةً متصلة بانتظام. **تمرين 12.6 ★★.** ليكن $p, q$ مترافقين، وليكن $f \in L^p(\R^d)$ و $g \in L^q(\R^d)$. برهن على أن $f * g$ معرَّفة *في كل نقطة*، ومحدودة، مع $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$، و*متصلة بانتظام*. *(باتصال الانسحاب في $L^p$؛ وعالج $p \in \{1, \infty\}$ على حدة — إذ من أجل $p = \infty$ يُستعمل اتصال الانسحاب على العامل الذي في $L^1$.)* **حل التمرين 12.6.** بهولدر، يكون المقدار المكامَل $y \mapsto f(x - y)g(y)$ من أجل كل $x$ في $L^1$ مع $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$: فهي معرَّفة في كل نقطة ومحدودة. وأما الاتصال المنتظم ($p < \infty$): $$ \abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0, $$ بانتظام في $x$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)). وإذا كان $p = \infty$، فإن $q = 1$: نكتب $f * g = g * f$ ونجري الحد نفسه مع فعل الانسحاب على $g \in L^1$. **تمرين 12.7 ★★.** لتكن $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ تحقق $\int f\varphi' = 0$ من أجل كل $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$. برهن على أن $f$ تساوي ثابتًا في كل مكان تقريبًا. *(ثبّت $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ تحقق $\int\chi = 1$؛ فكل $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ تحقق $\int\psi = 0$ هي $\varphi'$ ما؛ ثم اكتب دالة اختبار عامة على الشكل $\psi + (\int\psi)\chi$ وطبّق [النتيجة 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) على $f - c$ حيث $c = \int f\chi$.)* **حل التمرين 12.7.** نثبّت $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ تحقق $\int\chi = 1$، ونضع $c = \int f\chi$. ولتكن $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ كيفما اتفق ولتكن $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$: عندئذٍ $\int\psi = 0$، ومنه تعرّف $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ دالةً $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (تنعدم بجوار الطرفين: بجوار $a$ بداهةً، وبجوار $b$ لأن التكامل الكلي $0$) مع $\Phi' = \psi$. وتعطي الفرضية أن $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$، ومنه $$ \int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{من أجل كل} \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 . $$ وحسب [النتيجة 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) (موضَّعةً على $\intoo ab$)، يكون $f = c$ في كل مكان تقريبًا. **تمرين 12.8 ★★★.** (أوريسون الناعمة) ليكن $K \subseteq U \subseteq \R^d$، مع $K$ متراصة و $U$ مفتوحة. أنشئ $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ تحقق $0 \leq \varphi \leq 1$، و $\varphi = 1$ على $K$، و $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$. *(بتمليف الدالة المميّزة [لجوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) السويّة $\delta$ للمجموعة $K$، أي $K_\delta$، [بالمليِّف](#def-b3-lp-mollifier) $\rho_{\delta/2}$، من أجل $\delta$ صغير.)* واستنتج عبارة تجزئة الوحدة من الصنف $\mathcal C^\infty$ من أجل متراصة مغطّاة بعدد منتهٍ من المفتوحات. **حل التمرين 12.8.** ليكن $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (وهو موجب: [التمرين 6.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-6)(b)؛ وإذا كان $U = \R^d$ صلح أي $\delta$)، ولتكن $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$، و $$ \varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} . $$ عندئذٍ $\varphi \in \mathcal C^\infty$ ([المبرهنة 12.9](#thm-b3-lp-regularization)(1)؛ لأن الدالة المميّزة في $L^1$)، و $0 \leq \varphi \leq 1$ (لأن $\int\rho = 1$)، و $\varphi = 1$ على $K$ (فمن أجل $x \in K$ يكون $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$، ومنه يكامل الالتفاف $\rho$ كاملةً)، و $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$: وحاملها متراص (لأن $K_\delta$ محدودة). وأما تجزئة الوحدة: فبإعطاء $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$، نختار (بالتراص) متراصات $K_i \subseteq U_i$ تحقق $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$، ونأخذ $\varphi_i$ كما سبق من أجل $(K_i, U_i)$، ونضع $\psi_i = \varphi_i\prod_{j p_0$. **تمرين 12.10 ★★.** (ينسن) ليكن $\mu$ قياسًا *احتماليًّا*، ولتكن $f \in L^1(\mu)$ حقيقية، ولتكن $\Phi \colon \R \to \R$ محدّبة. برهن على $$ \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu $$ *(بمستقيم الإسناد للدالة $\Phi$ عند النقطة $m = \int f$)*. واستنتج متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي، ورتابةَ المقدار $p \mapsto \norm f_p$ في [التمرين 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **حل التمرين 12.10.** ليكن $m = \int f\,\dd\mu \in \R$. يوفّر التحدّب مستقيمَ إسناد عند $m$: أي يوجد $s$ يحقق $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ من أجل كل $t$ (بأخذ $s$ بين المشتقتين من الجانبين، وهما موجودتان من أجل الدوال المحدّبة). ثم نعوّض $t = f(x)$ ونكامل بالنسبة إلى [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) الاحتمالي $\mu$: $$ \int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) $$ (وأما القابلية [للقياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure): فلأن $\Phi$ متصلة؛ وأما قابلية الجزء السالب من $\Phi\circ f$ للمكاملة فيضمنها مستقيم الإسناد). وأما متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي: فعلى مجموعة منتهية بأوزان $w_i$، نأخذ $\Phi = \exp$ و $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$: $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$، أي $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$. وأما رتابة المعيار فهي [التمرين 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **تمرين 12.11 ★★★.** (متراجحة يونغ للالتفاف) ليكن $1 \leq p, q, r \leq \infty$ مع $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$، وليكن $f \in L^p(\R^d)$ و $g \in L^q(\R^d)$. (a) برهن على $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$. *(اكتب، من أجل الأُسّين المترافقين المستخرجين من $p, q, r$، $$\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$$ وطبّق متراجحة هولدر ذات العوامل الثلاثة بالأُسس $r$ و $\frac{pr}{r - p}$ و $\frac{qr}{r - q}$؛ ثم كامل في $x$ بتونيلي.)* (b) تحقق من الحالات الخاصة الثلاث المعروفة سلفًا: $r = \infty$ (هولدر، [التمرين 12.6](#exo-b3-lp-6))؛ و $q = 1$ (أي استقرار $L^p$ بالالتفاف مع نواة [قابلة للمكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1))؛ و $p = q = 1$ (أي إن $L^1$ جبرٌ التفافي، [المبرهنة 11.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution)). (c) ولماذا لا توجد متراجحة مع $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$؟ *(اختبر على التمدّدات $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ وقارن تحجيم الطرفين.)* **حل التمرين 12.11.** (a) نفترض أولًا أن $p, q, r < \infty$ وأن $f, g \geq 0$ (وإلا استعضنا بالقيم المطلقة). تحقق الأُسس الثلاثة $r$ و $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ و $\beta = \frac{qr}{r-q}$ أن $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (أي علاقة التحجيم). ثم نشطر، من أجل $x$ مثبَّت، $$ f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r}, $$ وتعطي هولدر بالأُسس الثلاثة أن $$ (f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots $$ وبمزيد من الدقة: العامل الثاني هو $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ لأن $(1 - \frac pr)\alpha = p$، وبالمثل العامل الثالث هو $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$. ثم نرفع إلى القوة $r$ ونكامل في $x$ (بتونيلي على العامل الأول): $$ \norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r . $$ وأما الحالات الحدّية ($r = \infty$ أو أن يساوي أحد الأُسس حدّه) فهي هولدر صرفة أو تقديرات مباشرة. (b) الحالة $r = \infty$ تفرض $q = p'$: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — أي هولدر بعد الانسحاب والانعكاس. والحالة $q = 1$ تعطي $r = p$: $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$، وهي حصان التمليف (أي محرّك [المبرهنة 12.9](#thm-b3-lp-regularization)). والحالة $p = q = 1$ تعطي $r = 1$: أي الجبر الالتفافي ([المبرهنة 11.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-convolution)). (c) نستعيض عن $f, g$ بالدالتين $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ و $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$: عندئذٍ $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$، وبمقارنة النظائم، $$ \text{الطرف الأيسر} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{الطرف الأيمن} \sim \lambda^{-d/p - d/q} : $$ فمتراجحة صحيحة من أجل كل $f, g$ تفرض توافق أُسّي التحجيم، أي $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ بالضبط. وأي تركيبة أخرى تموت عند $\lambda \to 0$ أو $\infty$: فعلاقة يونغ ليست تسهيلًا بل قانون تحجيم. **تمرين 12.12 ★★.** (حالات التساوي) (a) في متراجحة هولدر $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ (حيث $1 < p < \infty$)، برهن على أن التساوي يقع إذا وفقط إذا كان $\abs f^p$ و $\abs g^q$ متناسبين في كل مكان تقريبًا. *(بتتبّع حالة التساوي في متراجحة يونغ $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$، وهي $a^p = b^q$.)* (b) وفي متراجحة مينكوفسكي $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ (حيث $1 < p < \infty$)، برهن على أن التساوي مع $f, g \neq 0$ يفرض $g = cf$ في كل مكان تقريبًا مع $c > 0$. (c) وقابل ذلك بالحالتين $p = 1$ و $p = \infty$: صف حالات التساوي (الأوسع بكثير) هناك، على أمثلة. **حل التمرين 12.12.** (a) نعيِّر $\norm f_p = \norm g_q = 1$. يكامل برهان هولدر متراجحةَ يونغ $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$؛ ويفرض تساوي التكاملين تساويًا في كل مكان تقريبًا في يونغ، وهو يعني (بالتحدّب الأكيد للدالة $\exp$؛ إذ التساوي يقع إذا وفقط إذا كان $a^p = b^q$) أن $\abs f^p = \abs g^q$ في كل مكان تقريبًا. وبالرجوع عن التعيير: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ في كل مكان تقريبًا — أي التناسب. (b) مينكوفسكي تطبيقان لهولدر على $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ و $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$؛ ويفرض التساوي تناسبَ (a) في كليهما: أي إن $\abs f^p$ و $\abs g^p$ يتناسب كلٌّ منهما مع $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$، ومنه $\abs g = t\abs f$ في كل مكان تقريبًا من أجل ثابت $t \geq 0$؛ كما يجب أن تكون متراجحة المثلث النقطية الأولى $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ تساويًا في كل مكان تقريبًا أيضًا، وهو يعني في الحالة العقدية أن للدالتين $f$ و $g$ العمدةَ نفسها في كل مكان تقريبًا حيث لا تنعدمان. وبالضمّ: $g = tf$ في كل مكان تقريبًا مع $t > 0$ (إذ كلتاهما غير معدومة). (c) الحالة $p = 1$: يقع التساوي في $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ كلما كان للدالتين $f, g$ نسق الإشارة نفسه (أي العمدة نفسها في كل مكان تقريبًا) — دون حاجة إلى أي تناسب: فتصلح $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ و $g = \mathbf 1_{\intcc02}$. والحالة $p = \infty$: يقع $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ بمجرد أن تبلغ الدالتان ذروتيهما توافقيًّا عند نقطة مشتركة (أو على امتداد متتالية مشتركة): إذ يكفي أن تكون $f = g\,$ بجوار نقطة واحدة أيًّا كان سلوكهما في غيرها. والتحدّب الأكيد لكرات $L^p$ من أجل $1 < p < \infty$ — وإخفاقه عند الطرفين — هو بالضبط ما تشهد به حالات التساوي هذه. ## 12.7 مسألة: متراجحة هاردي **مسألة 12.1.** مسألة نهاية الأسبوع — متراجحة هاردي وثابتها الأمثل من أجل $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ حيث $1 < p < \infty$، نعرّف *مؤثر هاردي* $$ (Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t . $$ وتؤكد متراجحة هاردي (1920) أن $$ \norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p , $$ وأن الثابت $\frac p{p-1}$ أمثلي وغير مبلوغ. وتبرهن هذه المسألة على كل ذلك، ثم تمدّده إلى المتسلسلات. **الجزء الأول — المتراجحة.** نفترض أولًا أن $f \geq 0$ متصلة ذات حامل متراص في $\intoo0{+\infty}$، ولتكن $F(x) = \int_0^xf$. 1. برهن على أن $Hf \in L^p$ : فبجوار $0$ تنعدم $F$ على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للصفر؛ وبجوار $\infty$ تكون $F$ محدودة، ومنه $(Hf)(x) = O(1/x)$ ، وينتمي $x \mapsto \frac1x$ إلى $L^p(\intoo1{+\infty})$ من أجل $p > 1$ . 2. كامل بالتجزئة لتبرهن على $$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$$ *(اشتقّ $x^{1-p}F^p$؛ وتنعدم الحدود الحدّية — وبرّر ذلك عند الطرفين.)* 3. طبّق هولدر على الطرف الأيمن واستنتج $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ من أجل هذه $f$ . 4. مدّد إلى $L^p$ كله: من أجل $f \geq 0$ ، أنشئ $f_n$ متصلة ذات حامل متراص في $\intoo0{+\infty}$ ، مع $0 \leq f_n \nearrow f$ في كل مكان تقريبًا *(ابتر، ثم قرّب رتيبًا — وبرّر البناء)* ؛ عندئذٍ $Hf_n \nearrow Hf$ نقطةً نقطة (بمبرهنة التقارب الرتيب داخل المتوسط) وتنقل مبرهنة التقارب الرتيب المتراجحةَ إلى النهاية. وأما من أجل $f$ ذات إشارة أو عقدية، فاخلص بواسطة $\abs{Hf} \leq H\abs f$ . **الجزء الثاني — الأمثلية.** 5. من أجل $A > 1$ لتكن $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$. احسب $\norm{f_A}_p^p = \ln A$، ومن أجل $1 \leq x \leq A$، $$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$$ 6. استنتج $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ ، واخلص إلى أن الثابت أمثلي. 7. برهن على أن التساوي $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ مع $f \neq 0$ مستحيل. *(بتتبّع حالة التساوي في هولدر في السؤال 3: فهي تفرض سلوكًا من نمط $f = cx^{-1/p}$، وهو ليس في $L^p$.)* **الجزء الثالث — المتراجحة المتقطّعة.** 8. من أجل $g \geq 0$ متناقصة بالمعنى الواسع على $(0,\infty)$ ومن أجل $a_n = g(n)$، قارن $\sum a_n^p$ بالمقدار $\int g^p$، وقارن متوسطات $H$ تبعًا لذلك، لتستنتج من الجزء الأول *متراجحة هاردي المتقطّعة*: من أجل $a_n \geq 0$، $$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$$ — وبرهن عليها أولًا من أجل $(a_n)$ المتناقصة بالمعنى الواسع عبر المقارنة أعلاه، ثم أرجع الحالة العامة إلى المتناقصة بإعادة الترتيب *(وسلّم، مع تبرير من سطر واحد، بأن ترتيب $(a_n)$ تنازليًّا لا يمكن إلا أن يزيد الطرف الأيسر مع إبقاء الأيمن على حاله)*. 9. استنتج: أنه إذا كان $\sum a_n^p < \infty$ فإن متوسطات تشيزارو للمتتالية $(a_n)$ تنتمي بدورها إلى $\ell^p$ — وأعطِ مثالًا (حيث $p = 2$ ) يكون فيه $(a_n) \in \ell^2$ دون أن تكون $a_n$ قابلة للجمع، ومع ذلك تظل هاردي تتحكم في المتوسطات. **الجزء الرابع — خاتمة.** 10. برهن على أن متراجحة هاردي تخفق من أجل $p = 1$ : فمع $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ ، احسب $Hf$ ولاحظ أن $Hf \notin L^1$ . وأين ينكسر البرهان؟ **الجزء الخامس — الدالة العظمى، ومبرهنة لوبيغ في الاشتقاق.** تأخذ هاردي المتوسطات انطلاقًا من المبدأ؛ أما هاردي–ليتلوود فيأخذانها *حول كل نقطة*. من أجل $f \in L^1(\R)$ نعرّف $$ Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda . $$ 11. (فيتالي، الصيغة المنتهية) لتكن $B_1, \dots, B_N$ فترات مفتوحة. برهن على وجود عائلة جزئية منفصلة $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ تحقق $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ ، حيث يرمز $3B$ إلى الفترة ذات المركز نفسه وثلاثة أمثال الطول *(بالجشع: اختر تكرارًا أطول فترة منفصلة عن المختارة سلفًا)* . 12. (النمط الضعيف $(1,1)$) برهن على أنه من أجل كل $t > 0$، $$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$$ فكل $x$ يحقق $Mf(x) > t$ يملك فترةً مركزيةً $B_x$ تحقق $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$؛ خذ متراصة $K \subseteq \{Mf > t\}$ (بالانتظام الداخلي)، وغطّها بعدد منتهٍ من الفترات $B_x$، وطبّق السؤال 11، ثم استنفد. 13. احسب $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ من أجل $x > 1$ واستنتج أن $Mf \notin L^1$ من أجل كل $f \neq 0$ (لأن $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ عند اللانهاية): أي إن المتراجحة الضعيفة في السؤال 12 هي، عند $p = 1$ ، أفضل عبارة ممكنة. 14. (النمط القوي من أجل $p > 1$) من أجل $f \in L^p$: اشطر $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$، ولاحظ $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$، واجمع السؤال 12 مع صيغة كعكة الطبقات ([القضية 11.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-layercake)) وتونيلي لتبرهن على $$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$$ (والانفجار حين $p \downarrow 1$ هو إخفاق السؤال 13، مكمَّمًا.) 15. (مبرهنة لوبيغ في الاشتقاق) برهن على أنه من أجل $f \in L^1(\R)$، $$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{في كل مكان تقريبًا من أجل}x .$$ *(وهذا واضح من أجل $f$ متصلة. وأما في الحالة العامة فاكتب $f = g + h$، حيث $g$ متصلة ذات حامل متراص، مع $\norm h_1 < \varepsilon$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density))؛ فتقع المجموعة التي يتجاوز فيها $\limsup_{r\to0}$ للتذبذب الممتوسط العددَ $\delta$ داخل $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$، وقياسها $O(\varepsilon/\delta)$؛ ثم اجعل $\varepsilon \to 0$، ثم $\delta \to 0$ على امتداد متتالية.)* 16. استنتج: (a) أن كل نقطة تقريبًا *نقطة لوبيغ* للدالة $f$ ؛ (b) وأنه من أجل $f \in L^1$ ، تكون الدالة الأصلية $F(x) = \int_0^xf$ قابلة للاشتقاق في كل مكان تقريبًا مع $F' = f$ في كل مكان تقريبًا — أي النصف التكاملي للمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل في عالم لوبيغ، فتُغلق بذلك الدائرة التي فتحها السلّم ( [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1) )، إذ بيّن أن النصف العكسي قد يخفق. 17. (نقاط الكثافة) من أجل $A \subseteq \R$ قابلة [للقياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) ، برهن على أن كل $x \in A$ تقريبًا يحقق $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : أي إن المجموعات القابلة [للقياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) ممتلئة محليًّا عند كل نقاطها تقريبًا. واشرح، في سطرين، كيف يعطي هذا برهانًا آخر على مبرهنة شتاينهاوس ( [التمرين 9.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#exo-b3-measure-8) ). **الجزء السادس — تنويعات على موضوع المتوسطات.** 18. (هاردي الموزونة) من أجل $\alpha < p - 1$ ومن أجل $f \geq 0$، برهن على $$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$$ بالمكاملة بالتجزئة نفسها، وتحقق من أن الحالة الحدّية $\alpha = p - 1$ ممنوعة فعلًا (بتكييف المثال المضاد في السؤال 10). 19. (المؤثر المرافق) ليكن $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . برهن على $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ من أجل $f, g$ غير سالبتين (بتونيلي)، وبرهن على $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ *(مباشرةً بالتجزئة، أو من هاردي على الأُسّ المرافق بالثنوية — وانتبه إلى أي أُسّ يلتقط أي ثابت)* . 20. (متراجحة من نمط هيلبرت) استنتج أنه من أجل $f \in L^p$ و $g \in L^q$ غير سالبتين: $$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$$ *(بالشطر على امتداد $y < x$ و $y \geq x$: فكل نصف اقترانٌ لإحدى الدالتين مع تحويل هاردي للأخرى)*. 21. (الأمثلية، الحالة المتقطّعة) برهن على أن الثابت $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ في السؤال 8 أمثلي أيضًا: اختبر على $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ ، وقارن الطرفين بالتكاملات، ثم اجعل $N \to \infty$ (أي مرآة الجزء الثاني في الحالة المتقطّعة). 22. (تركيب) ظهرت في هذه المسألة ثلاثة مؤثرات متوسطات: مؤثر هاردي $H$ ، ومتوسط تشيزارو المتقطّع، والمؤثر الأعظم $M$ . صُغ في سطر واحد لكلٍّ منها ما يقوله كونه محدودًا، ولاحظ أن الثلاثة تخفق جميعًا عند $p = 1$ بالضبط، واشرح لماذا هو الإخفاق نفسه ثلاث مرات (أي الذيل التوافقي $\frac1x$ ). **الجزء السابع — متراجحة كارلمان، وكم يبلغ «الأمثل» من مضاء.** 23. (متراجحة كارلمان) ليكن $a_n \geq 0$ مع $\sum a_n < \infty$. طبّق متراجحة هاردي المتقطّعة في السؤال 8 على $b_n = a_n^{1/p}$، واستعمل متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي، ثم اجعل $p \to \infty$ (وبرهن على أن $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ تتناقص إلى $\eu$) لتحصل على $$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$$ أي إن المتوسطات الهندسية لمتتالية قابلة للجمع قابلةٌ للجمع، بكلفة لا تتجاوز $\eu$. 24. (الثابت $\eu$ أمثلي) اختبر على $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : باستعمال حصر ستيرلنغ في [المسألة 11.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#pb-b3-product-1) ، برهن على $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ ، واستنتج أن طرفي كارلمان ينموان مثل $\eu\ln N$ ، واخلص إلى أنه لا يصلح أي ثابت أصغر من $\eu$ . (ولاحظ النسق: فأمثِلات هاردي وكارلمان كلتاهما متتاليات من النمط التوافقي تكاد تنتمي إلى الفضاء دون أن تنتمي إليه.) 25. (كم يبطؤ بلوغ «الأمثل»؟) خذ $p = 2$. من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$، احسب $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$، مقابل الحدّ $2$. ومن أجل الأمثِلات التقريبية $f_A$ في السؤال 5، برهن على المتطابقة المضبوطة $$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{ومنه}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$$ وقيّمها عند $A = \eu^{10}$ (فتكون النسبة $\approx 1.790$) وعلّق: فالسوپريموم $2$ لا يُبلَغ إلا بسرعة $1/\ln A$ — ومن ثَمّ قد يكون الثابت الأمثل شبه غير مرئي عدديًّا. **حل المسألة 12.1.** **1.** للدالة $f$ حاملٌ في فترة ما $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$، ومنه $F = 0$ على $[0, \alpha]$ و $F \equiv F(\beta)$ على $[\beta, \infty)$: فتنعدم $Hf$ بجوار $0$ وتكون من رتبة $O(1/x)$ عند اللانهاية؛ ويكون $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ من أجل $p > 1$، و $Hf$ متصلة: ومنه $Hf \in L^p$. **2.** $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$. وتنعدم القيمتان الحدّيتان: عند $0$ لأن $F = 0$ بجوار $0$؛ وعند $\infty$ لأن $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ (حيث $p > 1$). وبمكاملة المتطابقة على $\intoo0\infty$: $$ 0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x, $$ وهي العلاقة المعروضة. **3.** هولدر بالأُسّين $q = \frac p{p-1}$ و $p$: $$ \int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p , $$ ومنه $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$؛ ثم نقسم (والمقدار منتهٍ حسب السؤال 1، وإن كان $0$ فلا شيء نبرهن عليه). **4.** ليكن $f \in L^p$ مع $f \geq 0$. نختار $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ تحقق $\varphi_k \to f$ في $L^p$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density)(2)، مقاطعةً مع نصف المستقيم المفتوح — بتقريب $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ ثم بالتقطير)، ونستعيض عن $\varphi_k$ بالمقدار $\abs{\varphi_k}$ (وهو لا يزال [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، وأقرب إلى $f \geq 0$). ومن أجل كل $x > 0$ مثبَّت، تعطي هولدر على $\intoo0x$ أن $$ \abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 : $$ أي $H\varphi_k \to Hf$ نقطةً نقطة. وبفاتو وبالسؤال 3: $$ \int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p . $$ وأما من أجل $f$ ذات إشارة أو عقدية: فإن $\abs{Hf} \leq H\abs f$ نقطةً نقطة، وتنطبق الحالة غير السالبة على $\abs f$. **5.** $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$. ومن أجل $1 \leq x \leq A$: $$ (Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr). $$ **6.** نثبّت $\varepsilon > 0$ و $X_0$ بحيث يكون $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ من أجل $x \geq X_0$. عندئذٍ $$ \norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0), $$ ومنه $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ حين $A \to \infty$: فالثابت غير قابل للتحسين. **7.** يفرض التساوي في السؤال 3 تساويًا في هولدر: أي أن يتناسب $f^p$ مع $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ في كل مكان تقريبًا، أي $f = \gamma\,\frac Fx$ في كل مكان تقريبًا من أجل $\gamma \geq 0$ ما. وبما أن $F(x) = \int_0^xf$ متصلة اتصالًا مطلقًا مع $F' = f$ في كل مكان تقريبًا، فإن $F$ تحل $F' = \gamma F/x$: فعلى أي فترة تكون فيها $F > 0$، يكون $(\ln F)' = \gamma/x$، ومنه $F = c\,x^{\gamma}$ و $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ هناك. لكن لا تنتمي أي قوة غير معدومة $x^{\gamma-1}$ إلى $L^p(\intoo0\infty)$ (إذ يلزم $p(\gamma - 1) < -1$ عند $\infty$ و $> -1$ عند $0$: وهما متنافيان)، ولا يمكن أن تنعدم $F$ انعدامًا تامًّا إلا إذا كان $f = 0$. ومنه يقتضي التساوي أن $f = 0$. **8.** بإعطاء $(a_n)$ متناقصة بالمعنى الواسع وغير سالبة $\geq 0$، نعرّف الدالة السلّمية $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ على $\intoo0{+\infty}$: فهي متناقصة بالمعنى الواسع، مع $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ و $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$، ومنه $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$. ومتوسط دالة متناقصة بالمعنى الواسع متناقص بالمعنى الواسع، ومنه كذلك $Hg$، و $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p $$ حسب الجزء الأول. وأما من أجل متتالية غير سالبة عامة، فلتكن $(a_n^*)$ إعادةَ ترتيبها المتناقصة بالمعنى الواسع (وهي ممكنة حين $a_n \to 0$، ولنا أن نفترض ذلك — وإلا فالطرفان لانهائيان): فلا يتغيّر الطرف الأيمن، ويكون كل مجموع جزئي $a_1 + \dots + a_n$ أصغر من أو يساوي $a_1^* + \dots + a_n^*$ (أي الحدود الكبرى $n$): ومنه لا يزيد الطرف الأيسر إلا نموًّا. فتصح المتراجحة إذًا من أجل كل $(a_n)$. **9.** إذا كان $(a_n) \in \ell^p$، فإن متتالية متوسطات تشيزارو في $\ell^p$ بمعيار $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$. ومثال (حيث $p = 2$): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ (أي $n \geq 2$): فيكون $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$، ومع ذلك $\sum a_n = \infty$ (باختبار التكامل)؛ ومع ذلك تظل هاردي تضمن $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$. **10.** من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: يكون $Hf(x) = 1$ على $\intoc01$ و $= \frac1x$ من أجل $x \geq 1$: ومنه $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$، بينما $\norm f_1 = 1$. وينهار البرهان عند نقطتين: إذ ينفجر الثابت $\frac p{p-1}$ حين $p \to 1$، ولم يعد الحدّ الحدّي $x^{1-p}F^p$ ينعدم عند اللانهاية من أجل $p = 1$. فمتراجحة هاردي ظاهرة صادقة من ظواهر $p > 1$. **11.** نختار أطول فترة $B_{i_1}$؛ ونطرح كل فترة تقاطعها؛ ثم نختار أطول ناجٍ $B_{i_2}$؛ ونكرّر (والفترات منتهية العدد). فتكون المختارة منفصلة بحكم البناء، وكل فترة $B$ مطروحة قد قاطعت فترةً مختارةً لا تقلّ عنها طولًا: وفترةٌ تقاطع فترةً أطول منها أو مساويةً لها محتواةٌ في ثلاثة أمثالها، $B \subseteq 3B_{i_l}$. **12.** المجموعة $\{Mf > t\}$ مفتوحة: إذ كل متوسط $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ متصل (بالتقارب المهيمن في $x$)، وسوپريموم دوال متصلة نصفُ متصل من الأسفل. وكل $x$ فيها يملك $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ يحقق $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$. ومن أجل متراصة $K \subseteq \{Mf > t\}$: يغطّي $K$ عددٌ منتهٍ من الفترات $B_x$، وتستخرج فيتالي (السؤال 11) فترات منفصلة $B_1', \dots, B_k'$ تحقق $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$، ومنه $$ \lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1 $$ بالانفصال؛ ويخلص الانتظام الداخلي ([المبرهنة 9.13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#thm-b3-measure-regularity)) إلى النتيجة. **13.** من أجل $x > 1$: مع $r \in \intcc{x-1}x$، يكون المتوسط $\frac{r - x + 1}{2r}$، وهو متزايد في $r$؛ ومن أجل $r \geq x$ يكون $\frac1{2r}$، وهو متناقص: فالسوپريموم هو $\frac1{2x}$، وهو مبلوغ عند $r = x$. ومنه $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$. وعمومًا، إذا كان $\int_I\abs f = c > 0$ على فترة محدودة $I \subseteq \intcc{-C}C$، فإن $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ من أجل كل $x$: فلا تكون [قابلة للمكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) أبدًا إلا إذا كان $f = 0$ في كل مكان تقريبًا. **14.** مع $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$: $M(f - f_t) \leq \frac t2$، ومنه $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$، ويعطي السؤال 12 أن $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$. وبكعكة الطبقات ([القضية 11.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#prop-b3-product-layercake)) وتونيلي: $$ \norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p . $$ **15.** نكتب $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$. ومن أجل $g$ متصلة: $A_rg(x) \to g(x)$ في كل مكان. وبإعطاء $\varepsilon > 0$، نشطر $f = g + h$ حيث $g$ متصلة ذات حامل متراص و $\norm h_1 < \varepsilon$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b3-lp-density))؛ عندئذٍ $$ \limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)}, $$ ومنه يكون [قياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ أصغر من أو يساوي $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (بالسؤال 12؛ وبماركوف). و $\varepsilon$ كيفما اتفق: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$؛ وبالاتحاد على $\delta = \frac1k$: يكون $A_rf \to f$ في كل مكان تقريبًا. **16.** (a) من أجل كل $q \in \Q$، يعطي السؤال 15 مطبَّقًا على $\abs{f - q}$ أن $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ في كل مكان تقريبًا؛ وعلى تقاطع هذه المجموعات التامة [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)، نختار $q$ يحقق $\abs{f(x) - q} < \eta$: فيكون $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ من أجل كل $\eta$: أي إن كل نقطة تقريبًا نقطةُ لوبيغ. (b) وعند نقطة لوبيغ، $$ \Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 : $$ أي $F' = f$ في كل مكان تقريبًا — فالدوال الأصلية لدوال $L^1$ تشتقّ فعلًا رجوعًا؛ والسلّم ([المسألة 9.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#pb-b3-measure-1)) مثال مضاد للاتجاه *العكسي* وحده. **17.** نطبّق السؤال 15 على $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ ونترك $n$ ينمو: فمن أجل $x \in A$ في كل مكان تقريبًا تكون الكثافة $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$. وأما شتاينهاوس: فحول نقطة كثافة نأخذ $r$ بكثافة $> \frac34$؛ ومن أجل $\abs t < \frac r2$، تملأ كلٌّ من $A$ و $A + t$ أكثر من $\frac32r$ من فترة طولها $\leq \frac52r$، ومنه تتقاطعان: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$. **18.** لتكن $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$: تنعدم $G$ عند $0$ (لأن $F$ تنعدم بجوار $0$) وعند $\infty$ (لأن $F$ محدودة، و $\alpha + 1 - p < 0$)، ومنه $\int_0^\infty G' = 0$ مع $$ G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha . $$ ومنه $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$؛ وتنهي هولدر بالنسبة إلى [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) $x^\alpha\dd x$ (بالأُسّين $\frac p{p-1}$ و $p$) البرهانَ كما في السؤال 3. وأما الحالة الحدّية $\alpha = p - 1$: فمع $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$، يكون الطرف الأيمن $\ln A$ بينما يحتوي الأيسر على $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$: فلا يصمد أي ثابت حين $A \to \infty$. **19.** بتونيلي على $\{0 < t < x\}$: $$ \langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle . $$ وأما بالثنوية: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$، إذ تُستدعى هاردي في $L^q$، وثابتها $\frac q{q-1}$ يساوي $p$. **20.** نشطر على امتداد القطر (المعدوم [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure)). فعلى $\{y \leq x\}$: $$ \iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q, $$ لأن هاردي في $L^q$ تحمل الثابت $\frac q{q-1} = p$. وبالتناظر، $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ($\frac p{p-1} = q$). وفي المجموع: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$. **21.** من أجل $a_n = n^{-1/p}$ حيث $n \leq N$: يكون الطرف الأيمن $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$. وعلى اليسار، من أجل $n \leq N$: $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$، ومنه يكون متوسط تشيزارو ذو الرتبة $n$ مساويًا $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ بانتظام من أجل $n$ في أي مجال $n \geq n_0(\eta)$؛ وبالرفع إلى القوة $p$ والجمع، يكون الطرف الأيسر $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$. وبالقسمة وبجعل $N \to \infty$ ثم $\eta \to 0$: لا يصلح أي ثابت أصغر من $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$. **22.** كون $H$ محدودًا على $L^p$: أي إن المتوسطات التراكمية لا تضخّم النظائم من النمط $p$ (بثابت $\frac p{p-1}$)؛ وتشيزارو على $\ell^p$: الشيء نفسه، متقطّعًا؛ وكون $M$ محدودًا على $L^p$: أي إن أفضل متوسط محلي يظل تحت السيطرة (بثابت $O(\frac1{p-1})$). وتخفق الثلاثة جميعًا عند $p = 1$، ولسبب واحد: أن توسيط وحدة كتلة مركَّزة ينتج ذيلًا من الشكل $\frac1x$ (السؤالان 10 و13)، والمقدار $\frac1x$ ينتمي إلى كل $L^p$ بجوار اللانهاية عدا $L^1$. فالتنعيم ينشر الكتلة إلى حدود القابلية للمكاملة التوافقية بالضبط. **23.** نضع $b_n = a_n^{1/p}$، ومنه $\sum b_n^p = \sum a_n$. ويعطي السؤال 8 $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n, $$ وتحدّ متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي كل حدّ من الأسفل: $$ \Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}. $$ ومنه $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ من أجل *كل* $p > 1$. ومع $m = p - 1$، $$ \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1}, $$ وهو يتناقص إلى $\eu$ حين $m \to \infty$ (وهي المتتالية الرتيبة الكلاسيكية العليا للعدد $\eu$). وبأخذ الإنفيموم على $p$ نحصل على متراجحة كارلمان بالثابت $\eu$. **24.** من أجل $a_n = \frac1n$، $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$. ويعطي حصر [المسألة 11.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#pb-b3-product-1) أن $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$، ومنه $$ (n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr), $$ لأن $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$. وبالقلب، $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$، وبالجمع على $n \leq N$: $$ \sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1) $$ (إذ تتقارب متسلسلة الخطأ $\sum\frac{\ln n}{n^2}$). ومتراجحة كارلمان بثابت $c$ تفرض $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$، ومنه $c \geq \eu$ بالقسمة على $\ln N$. وتصطفّ المتتاليات المُمثِّلة: فثابت هاردي يُبلَغ بالمتتالية $n^{-1/p}$ (السؤال 21)، وثابت كارلمان بالمتتالية $n^{-1}$ — وفي كل حالة تكون المتتالية من النمط التوافقي جالسةً خارج الفضاء المتوسَّط عليه بقليل. **25.** من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: يكون $Hf(x) = 1$ على $\intoc01$ و $Hf(x) = \frac1x$ من أجل $x > 1$، ومنه $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$، وتكون النسبة $\sqrt2 \approx 1.414$، أي نحو $71\%$ من الحدّ الأمثل. وأما من أجل $f_A$ (حيث $p = 2$): فإن $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ على $\intcc1A$، ومنه على هذا المجال $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$، ومن أجل $x > A$ يكون $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$. وبالتربيع والمكاملة، $$ \begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*} $$ ومنه $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$؛ وبالقسمة على $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ نحصل على المتطابقة المذكورة. وعند $A = \eu^{10}$: $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$، ومنه تكون النسبة $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$. والنقص $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ لا يتناقص إلا لوغاريتميًّا: فلبلوغ النسبة $1.99$ يلزم $\ln A \approx 200$، أي $A \approx 10^{87}$. فالثوابت المثلى مبرهنات لا تجارب.