--- title: "المؤثرات المتراصة والمبرهنة الطيفية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem --- # الفصل 15 — المؤثرات المتراصة والمبرهنة الطيفية القُطرنة درّة تاج الجبر الخطي المنتهي البُعد: إذ لمصفوفة متناظرة أساسٌ متعامد متجانس من المتجهات الذاتية. وفي البُعد اللانهائي يخفق هذا من أجل المؤثرات المحدودة ذاتية المرافقة عمومًا — فالضرب في $x$ على $L^2(\intcc01)$ ليست له *أي* قيمة ذاتية البتة ([التمرين 15.6](#exo-b3-spectral-6)) — لكنه ينجو، في صورة تامة، من أجل المؤثرات التي هي *شبه منتهية البُعد*: أي المتراصة. والمبرهنة الطيفية للمؤثرات المتراصة ذاتية المرافقة أكثرُ مبرهنات التحليل الدالي التطبيقي استعمالًا على الإطلاق: فهي تقطرن المعادلات التكاملية، وتقود [بديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm)، و(في مسألة نهاية الأسبوع) تحل الوتر المهتز، منتجةً أساسَ الجيوب في تحليل فورييه من نظرية المؤثرات المحضة — مع سقوط مجموع أولير $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ من صيغة أثرٍ هديةً عند الوداع. وفي كل ما يلي، يكون $H$ [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) على $\C$ (أو على $\R$؛ وتتكيّف العبارات)، وتكون المؤثرات محدودة. ## 15.1 المؤثرات المتراصة **تعريف 15.1.** يكون $T \in \mathcal L(E, F)$ (حيث $E, F$ فضاءا باناخ) *متراصًّا* إذا كانت صورة الكرة الواحدية $T(B)$ متراصةً نسبيًّا في $F$ — أي، بالتكافؤ، إذا كان لكل متتالية محدودة $(x_n)$ متتاليةٌ جزئية تجعل $(Tx_{n_k})$ متقاربة. والمؤثرات المنتهية الرتبة متراصة (لأن المجموعات المحدودة في البُعد المنتهي كذلك)؛ ومطابقة فضاء لانهائي البُعد ليست متراصة أبدًا (مبرهنة ريس، السنة الجامعية 2). **قضية 15.2.** تشكّل المؤثرات المتراصة $\mathcal K(E, F)$ فضاءً جزئيًّا مغلقًا من $\mathcal L(E, F)$، ومثاليًّا ذا جانبين: فإذا كان $S$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ كان $AS$ و $SB$ متراصَّين من أجل $A, B$ محدودين. وأكثر من ذلك، في [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner)، يكون كل [مؤثر متراص](#def-b3-spectral-compact) نهايةً بالمعيار لمؤثرات منتهية الرتبة. **برهان.** الفضاء الجزئي: واضح من تمييز المتتاليات. [والمثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal): إذ ترسل التطبيقات المحدودة المتتالياتِ المتقاربة إلى متقاربة والمحدودة إلى محدودة. والإغلاق: ليكن $T_n \to T$ مع $T_n$ متراصة، ولتكن $(x_k)$ محدودة بالعدد $1$؛ يجعل استخراج قطري $(T_nx_{k_j})_j$ متقاربة من أجل كل $n$؛ عندئذٍ تكون $(Tx_{k_j})$ كوشية، لأن $$ \norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} , $$ باختيار $n$ أولًا ثم الأدلّة. وأما التقريب في فضاءات هيلبرت: فليكن $T$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact)، و $K = \overline{T(B)}$ متراصة؛ وبإعطاء $\varepsilon$، نغطي $K$ بعدد منتهٍ من الكرات $B(y_i, \varepsilon)$ وليكن $P$ الإسقاطَ المتعامد على $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (وهو مغلق: لأنه منتهي البُعد). عندئذٍ يكون للمؤثر $PT$ رتبةٌ منتهية، ومن أجل $\norm x \leq 1$: باختيار $y_i$ تحقق $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$، $$ \norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon $$ ($y_i = Py_i$؛ $\vertiii P \leq 1$): ومنه $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$. ∎ **مثال 15.3.** (a) المؤثرات القطرية على $\ell^2$: يكون $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) إذا وفقط إذا كان $\lambda_n \to 0$ ([التمرين 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) مؤثرات النواة على $\mathcal C(\intcc01)$: متراصة بأسكولي ([التمرين 7.7](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *مؤثرات هيلبرت–شميدت*: من أجل $k \in L^2(\intcc01^2)$، $$ (T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y $$ يعرّف مؤثرًا [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) على $L^2(\intcc01)$ مع $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([التمرين 15.4](#exo-b3-spectral-4): إذ يُبرز بترُ نشر $k$ في الأساس المؤثرَ $T_k$ نهايةً لمؤثرات منتهية الرتبة). ## 15.2 المؤثرات ذاتية المرافقة **تعريف 15.4.** يكون $T \in \mathcal L(H)$ *ذاتي المرافقة* إذا كان $T = T^*$ ([التمرين 13.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#exo-b3-hilbert-8))، أي $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ من أجل كل $x, y$. عندئذٍ يكون $\langle x, Tx\rangle \in \R$ من أجل كل $x$ (لأنه يساوي مرافقه). **قضية 15.5.** من أجل $T$ [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint): $$ \vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} . $$ والقيم الذاتية للمؤثر $T$ حقيقية، والمتجهات الذاتية الموافقة لقيم ذاتية متمايزة متعامدة. **برهان.** ليكن $M$ السوپريموم؛ فإن $M \leq \vertiii T$ بكوشي–شوارتز. وبالعكس، تعطي المتطابقة من نمط الاستقطاب $$ \langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle $$ (بالنشر؛ إذ تتلاشى الحدود المتقاطعة $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ بذاتية المرافقة)، مع قاعدة متوازي الأضلاع، $$ 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr). $$ ومن أجل $\norm x = 1$ مع $Tx \neq 0$، نأخذ $y = Tx/\norm{Tx}$: $4\norm{Tx} \leq 4M$. ومنه $\vertiii T \leq M$. وأما القيم الذاتية: فإن $Tx = \lambda x$ مع $x \ne 0$ يعطي $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$. وأما التعامد: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ مع $\lambda \neq \mu$ حقيقيتين. ∎ ## 15.3 المبرهنة الطيفية **مبرهنة مساعدة 15.6 (وجود قيمة ذاتية قصوى).** ليكن $T \neq 0$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint). عندئذٍ يكون $\vertiii T$ أو $-\vertiii T$ قيمةً ذاتية للمؤثر $T$. **برهان.** حسب [القضية 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)، نختار متجهات واحدية $x_n$ تحقق $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$، حيث $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (وننتقل إلى متتالية جزئية لتثبيت الإشارة). عندئذٍ $$ \norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 . $$ وبالتراص، تكون متتالية جزئية $Tx_{n_k} \to y$؛ عندئذٍ $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$، ومنه $x_{n_k} \to x = y/\mu$، وهي متجهة واحدية، ويعطي الاتصال $Tx = \mu x$. ∎ **مبرهنة 15.7 (المبرهنة الطيفية للمؤثرات المتراصة ذاتية المرافقة).** ليكن $T$ مؤثرًا [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) على [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H$. 1. يقبل $H$ نظامًا متعامدًا متجانسًا $(e_n)_{n \in N}$ (حيث $N$ منتهٍ أو قابل للعدّ) من المتجهات الذاتية للمؤثر $T$، بقيم ذاتية حقيقية غير معدومة $(\lambda_n)$، بحيث $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$$ و $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$. 2. وإذا كان $N$ لانهائيًّا، فإن $\lambda_n \to 0$ ؛ ومن أجل كل $\delta > 0$ لا يحقق إلا عددٌ منتهٍ من $n$ الشرطَ $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ ، ويكون كل فضاء ذاتي $\ker(T - \lambda)$ ، حيث $\lambda \neq 0$ ، منتهي البُعد. 3. وبإكمال $(e_n)$ بأساس متعامد متجانس للنواة $\ker T$ نحصل، حين يكون $H$ قابلًا للفصل، على أساس متعامد متجانس للفضاء $H$ مؤلَّف من متجهات ذاتية: أي إن $T$ مقطرن. **برهان.** نبدأ بالجزء (2). لو كان لعدد لانهائي من المتجهات الذاتية المتعامدة المتجانسة $x_k$ أن يحقق $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$: لكان $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (بالتعامد وفيثاغورس): فلا توجد أي متتالية جزئية متقاربة من $(Tx_k)$، وهو يناقض تراص $T$ على المتتالية المحدودة $(x_k)$. وهذا يحدّ بعدد منتهٍ، من أجل كل $\delta$، الترافقَ الكلي للقيم الذاتية خارج $\intoo{-\delta}\delta$؛ وينتج من ذلك العدُّ و $\lambda_n \to 0$. (1) ليكن $H_0$ الفضاء المولَّد المغلق بواسطة *جميع* المتجهات الذاتية ذات القيم الذاتية غير المعدومة، منظَّمةً (حسب (2) وغرام–شميدت داخل كل فضاء ذاتي منتهي البُعد، مع التعامد بين الفضاءات الذاتية من [القضية 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) في نظام متعامد متجانس $(e_n)$ بقيم ذاتية $\lambda_n \neq 0$. ويرسل $T$ الفضاءَ $H_0$ في $H_0$، كما يرسل $H_0^\perp$ في $H_0^\perp$: إذ من أجل $y \perp H_0$ ومن أجل $e$ متجهة ذاتية، $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. والتضييق $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ متراص [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) على [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$؛ فإذا كان $T' \neq 0$، أنتجت [المبرهنة المساعدة 15.6](#lem-b3-spectral-existence) متجهةً ذاتية للمؤثر $T$ بقيمة ذاتية غير معدومة داخل $H_0^\perp$ — وهو مستحيل، إذ تسكن هذه المتجهات في $H_0$. ومنه $T' = 0$: أي $H_0^\perp \subseteq \ker T$. وبالعكس $\ker T \perp$ كل $e_n$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$): أي $\ker T \subseteq H_0^\perp$، ومنه $\ker T = H_0^\perp$ والتفكيك المتعامد. وأما النشر: فمن أجل $x = z + \sum_nc_ne_n$ (حيث $z \in \ker T$ و $c_n = \langle e_n, x\rangle$؛ [المبرهنة 13.7](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval)(1) على $H_0$)، يعطي اتصال $T$ أن $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$. (3) النواة $\ker T$، وهي فضاء جزئي مغلق من فضاء قابل للفصل، قابلةٌ للفصل: فلها أساس متعامد متجانس ([القضية 13.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#prop-b3-hilbert-gramschmidt))؛ والاتحاد أساسٌ متعامد متجانس للفضاء $H$ بحكم التفكيك في (1). ∎ **مبرهنة 15.8 (بديل فريدهولم).** ليكن $T$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) وليكن $\lambda \in \R\setminus \{0\}$. 1. إذا لم يكن $\lambda$ قيمةً ذاتية، فإن $T - \lambda I$ تقابلٌ ذو مقلوب محدود: أي إن للمعادلة $Tx - \lambda x = f$ ، من أجل كل $f$ ، حلًّا واحدًا بالضبط يتعلق اتصاليًّا بالدالة $f$ . 2. وإذا كان $\lambda$ قيمةً ذاتية، فإن $Tx - \lambda x = f$ [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) إذا وفقط إذا كان $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ، ويكون الحل وحيدًا إلى غاية تلك النواة (المنتهية البُعد). **برهان.** نفكّك $x = z + \sum c_ne_n$ و $f = w + \sum d_ne_n$ على امتداد [المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$). فتُقرأ المعادلة $$ -\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N). $$ (1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: فحسب (2) من المبرهنة الطيفية، $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (إذ لا تتراكم القيم الذاتية إلا عند $0 \neq \lambda$). ونحل: $z = -w/\lambda$ و $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$، مع $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: أي حلٌّ وحيد يحقق $\norm x \leq C\norm f$. (2) $\lambda = \lambda_{n}$ من أجل $n$ في مجموعة منتهية $F$: فتقتضي قابلية $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ للحل من أجل $n \in F$ أن يكون $d_n = 0$، أي $f \perp e_n$ (حيث $n \in F$)، أي $f \perp \ker(T - \lambda I)$؛ وتكون المعاملات $c_n$ من أجل $n \in F$ حرةً عندئذٍ. ∎ **مثال 15.9.** على $L^2(\intcc01)$، لتكن $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: وهي [مؤثر هيلبرت–شميدت](#ex-b3-spectral-examples) ذو نواة حقيقية متناظرة: فهو متراص [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint). وبحل $Tf = \lambda f$: تبيّن العلاقة $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ أن $u = Tf$ يحقق $u'' = -f$ (باشتقاقين، وهو مشروع من أجل $f$ متصلة، و $Tf$ متصلة من أجل $f \in L^2$: بالتقارب المهيمن)، مع $u(0) = 0$ و $u'(1) = 0$. ومنه تحل الدوال الذاتية $\lambda u'' = -u$ مع $u(0) = 0$ و $u'(1) = 0$: $$ u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0), $$ وتؤكد المبرهنة الطيفية — دون أي نظرية فورييه — أن هذه الجيوب تشكّل، بعد التعيير، أساسًا متعامدًا متجانسًا للفضاء $L^2(\intcc01)$ (إذ نواة $T$ هي $0$: إذ إن $Tf = 0$ يفرض، بالاشتقاقين، أن $f = 0$ في كل مكان تقريبًا). وتجري مسألة نهاية الأسبوع دائرة الأفكار نفسها من أجل الوتر المهتز وتستخرج $\zeta(2)$ من الأثر. **طريقة 15.10.** بإعطاء معادلة تكاملية أو تفاضلية: (1) أعد صياغتها على الصورة $(I - \lambda K)u = f$ أو $Ku = \lambda u$ حيث $K$ مؤثر تكاملي؛ (2) تحقق من تراص $K$ (بنواة هيلبرت–شميدت، أو بأسكولي) ومن ذاتية مرافقته إن أمكن (بنواة حقيقية متناظرة)؛ (3) قطرِنه بالمبرهنة الطيفية أو استدعِ [بديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm) للقابلية للحل؛ (4) واقرأ الوجود والوحدانية والاستقرار وصيغ المتسلسلات للحلول في الأساس الذاتي. والمؤثرات التفاضلية غير محدودة، لكن *مقلوباتها* (أي مؤثرات غرين) متراصة: فاقلب أولًا دائمًا. ## 15.4 تمارين **تمرين 15.1 ★.** (a) برهن على أن مؤثرًا محدودًا مجالُه منتهي البُعد متراصٌّ. (b) برهن على أن مطابقة فضاء معياري متراصة إذا وفقط إذا كان البُعد منتهيًا (ريس، السنة الجامعية 2). واستنتج أن مؤثرًا [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) على فضاء لانهائي البُعد لا يكون أبدًا قابلًا للقلب بمقلوب محدود. **حل التمرين 15.1.** (a) المجموعة $T(B)$ جزء محدود من الفضاء المنتهي البُعد $\operatorname{im}T$: فهي متراصة نسبيًّا بهاينه–بوريل ([النتيجة 6.17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel)، منقولةً [بتماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) خطي مع $\R^n$). (b) وكون $I$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) يعني تراص الكرة الواحدية المغلقة، وهو يقع، حسب مبرهنة ريس (السنة الجامعية 2)، في البُعد المنتهي بالضبط. ولو كان [لمؤثر متراص](#def-b3-spectral-compact) $T$ مقلوبٌ محدود $T^{-1}$، لكان $I = T^{-1}T$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) ([القضية 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): وهو مستحيل في البُعد اللانهائي. **تمرين 15.2 ★.** لتكن $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ على $\ell^2$، مع $(\lambda_n)$ محدودة. (a) برهن على $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) برهن على أن $T$ متراص إذا وفقط إذا كان $\lambda_n \to 0$. *(من أجل $\Leftarrow$، ابتر؛ ومن أجل $\Rightarrow$، اختبر على $(e_n)$.)* (c) متى يكون $T$ [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint)؟ وتحقق من المبرهنة الطيفية بالمعاينة في تلك الحالة. **حل التمرين 15.2.** (a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$، مع مقاربة التساوي على المتجهات $e_n$ التي تحقق السوپريموم. (b) ($\Leftarrow$) للبتور $T_N$ (بالاحتفاظ بالأدلّة $n \leq N$ والإلغاء بعدها) رتبةٌ منتهية و $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: فهي متراصة حسب [القضية 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) وإذا كان $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ على امتداد متتالية جزئية: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: فلا توجد أي متتالية جزئية متقاربة من $(Te_{n_k})$. (c) المؤثر $T^*$ هو القطري بالمعاملات $(\bar\lambda_n)$: فهو [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) إذا وفقط إذا كانت جميع $\lambda_n \in \R$. عندئذٍ يكون الأساس المعياري $(e_n)$ أساسًا متعامدًا متجانسًا من المتجهات الذاتية، بقيم ذاتية $\lambda_n \to 0$: أي المبرهنة الطيفية حرفيًّا. **تمرين 15.3 ★★.** أعطِ تفاصيل خاصية [المثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) ([القضية 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): أنه إذا كان $S$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) وكان $A, B$ محدودين، فإن $ASB$ متراص. واستنتج أنه إذا كان $ST = TS = I$ من أجل $S$ محدود ما، وكان $\dim H = \infty$، فإن $T$ ليس [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) — ووفّق بين ذلك وبين [التمرين 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b). **حل التمرين 15.3.** لتكن $(x_n)$ محدودة. عندئذٍ تكون $(Bx_n)$ محدودة ($\vertiii B < \infty$)؛ ويستخرج تراص $S$ المتتاليةَ $SBx_{n_k} \to y$؛ ويعطي اتصال $A$ أن $ASBx_{n_k} \to Ay$: أي إن $ASB$ متراص. وإذا كان $ST = TS = I$ مع $T$ متراص وكان $\dim H = \infty$: لكان $I = ST$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact)، وهو يناقض [التمرين 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — وهي العبارة نفسها منظورًا إليها من الجهة الأخرى. **تمرين 15.4 ★★.** (هيلبرت–شميدت) لتكن $k \in L^2(\intcc01^2)$ ولتكن $(e_n)$ [أساسًا هيلبرتيًّا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) للفضاء $L^2(\intcc01)$. (a) برهن على أن $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(بكوشي–شوارتز في المتغيّر $y$، ثم بتونيلي)*. (b) انشر $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ في $L^2$ للمربّع (وبرّر أن الجداءات تشكّل [أساسًا هيلبرتيًّا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) هناك)، وبرهن على أن بتر المجموع يعطي مؤثرات منتهية الرتبة تتقارب إلى $T_k$ بمعيار المؤثرات: أي إن $T_k$ متراص. **حل التمرين 15.4.** (a) بكوشي–شوارتز في $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$؛ ثم نكامل في $x$ (بتونيلي): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$. (b) العائلة $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ متعامدة متجانسة في $L^2(\intcc01^2)$ (إذ تفصل تونيلي التكاملَ المزدوج). وأما الشمول: فإذا كانت $h \perp$ جميع $e_{mn}$، فإنه من أجل كل $m$ تكون الدالة $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (وهي في $L^2$ بكوشي–شوارتز وتونيلي) متعامدةً مع كل $\overline{e_n}$ — والمرافقات $(\overline{e_n})$ تشكّل [أساسًا هيلبرتيًّا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb) كلما فعلت $(e_n)$ ذلك (إذ المرافقة تقابل متقايس للفضاء $L^2$ يحفظ التعامد والشمول) — ومنه فهي $0$ في كل مكان تقريبًا؛ ثم من أجل $y$ في كل مكان تقريبًا، $h(\cdot, y) \perp$ كل $e_m$: أي $h(\cdot, y) = 0$ في كل مكان تقريبًا: ومنه $h = 0$ (بتونيلي). فتكون $(e_{mn})$ [أساسًا هيلبرتيًّا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb)؛ وننشر $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. ويعطي البتر $k_N$ (بالأدلّة $\leq N$) مؤثرًا $T_{k_N}$ منتهي الرتبة (مجاله في $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$)، وحسب (a)، $$ \vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 : $$ فيكون $T_k$ نهايةً بالمعيار لمؤثرات منتهية الرتبة: أي [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) ([القضية 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)). **تمرين 15.5 ★★.** ليكن $T$ [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) مع $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ من أجل كل $x$ (أي مؤثر *موجب*). (a) برهن على أن القيم الذاتية $\geq 0$ وعلى أن $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) برهن على متراجحة كوشي–شوارتز المعمَّمة $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$. **حل التمرين 15.5.** (a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ على متجهة ذاتية. والصيغة هي [القضية 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) مع جميع القيم $\langle x, Tx\rangle \geq 0$: فالقيمة المطلقة زائدة. (b) المقدار $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ شكلٌ نصف خطي إرميتي موجب (وقد يكون منحلًّا)؛ وبرهان كوشي–شوارتز المعتاد (بنشر $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ وأخذ المميِّز) لا يستعمل التعيين البتة. **تمرين 15.6 ★★.** على $L^2(\intcc01)$، ليكن $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) برهن على أن $M$ محدود [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) مع $\vertiii M = 1$، لكن ليست له *أي* قيمة ذاتية. (b) برهن على أن $M$ ليس [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) *(أبرز متتالية محدودة ليس لصورتها أي متتالية جزئية متقاربة، مثلًا الدوال المميّزة المعيَّرة لفترات متقلّصة بجوار $1$ — أو استدعِ المبرهنة الطيفية)*. (c) وأين ينكسر برهان [المبرهنة المساعدة 15.6](#lem-b3-spectral-existence) من أجل $M$؟ **حل التمرين 15.6.** (a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$، وعلى $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (وهي متجهات واحدية)، $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: ومنه $\vertiii M = 1$؛ وهو [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) لأن عامل الضرب حقيقي. وأما القيم الذاتية: فإن $xf(x) = \lambda f(x)$ في كل مكان تقريبًا يفرض $f = 0$ في كل مكان تقريبًا خارج المجموعة المعدومة $\{x = \lambda\}$: أي $f = 0$ في $L^2$. (b) وبالدوال $f_n$ نفسها: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$، بينما $f_n \rightharpoonup 0$ (إذ من أجل $g \in L^2$ مثبَّتة، $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ بالتقارب المهيمن). فإذا كان $Mf_{n_k} \to h$ بالمعيار، لكان $f_{n_k} \to h$، وهو يفرض $h = 0$ (بالنهاية الضعيفة) مع أن $\norm h = 1$: فلا توجد أي متتالية جزئية متقاربة. (c) في [المبرهنة المساعدة 15.6](#lem-b3-spectral-existence)، يستعمل التراصَ بالضبط الاستخراجُ «$Tx_{n_k} \to y$»؛ ومن أجل $M$ تتركّز المتتاليات المعظِّمة بجوار $x = 1$ وتتقارب صورها ضعيفًا إلى $0$ ولا تتقارب بالمعيار أبدًا: فببساطة لا توجد المتجهة الذاتية عند قمة المجال العددي. **تمرين 15.7 ★★.** (فولتيرا) على $L^2(\intcc01)$، ليكن $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$. (a) برهن على أن $V$ متراص (فهو هيلبرت–شميدت بالنواة $\mathbf 1_{y < x}$) لكنه ليس [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint)؛ واحسب $V^*$. (b) برهن على أنه ليست للمؤثر $V$ أي قيمة ذاتية غير معدومة. *(انطلاقًا من $Vf = \lambda f$: تقبل $f$ ممثّلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، ثم تكون من الصنف $\mathcal C^1$، وتحل $\lambda f' = f$ مع $f(0) = 0$.)* (c) اخلص إلى أن التراص وحده لا يعطي أي متجهات ذاتية: فذاتية المرافقة في [المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) جوهرية. **حل التمرين 15.7.** (a) $V = T_k$ مع $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$: فهو متراص ([التمرين 15.4](#exo-b3-spectral-4)). ومرافقه مؤثر النواة ذو النواة $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$: أي $V^*f(x) = \int_x^1f$؛ و $V \neq V^*$ (بالاختبار على $f = \mathbf 1$). (b) إذا كان $Vf = \lambda f$ مع $\lambda \ne 0$: فإن $Vf$ متصلة على $\intcc01$ (بالتقارب المهيمن في $\int_0^x f$)، ومنه تقبل $f = \frac1\lambda Vf$ ممثّلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)؛ عندئذٍ تكون $Vf$ من الصنف $\mathcal C^1$ (بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل من أجل مقادير مكامَلة متصلة)، ومنه تكون $f$ من الصنف $\mathcal C^1$، و $\lambda f' = f$ مع $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: أي $f = C\eu^{x/\lambda}$ مع $C = f(0) = 0$. (c) فالمؤثر $V$ متراص وليست له أي قيمة ذاتية البتة عدا $0$ ربما (إذ يفرض $Vf = 0$ أن $f = 0$ في كل مكان تقريبًا باشتقاق التكامل — ومنه ولا حتى $0$): أي إن الآلة الطيفية تتطلب فعلًا ذاتية المرافقة، لا التراص وحده. **تمرين 15.8 ★★★.** (كورانت–فيشر) ليكن $T$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) و*موجبًا*، بقيم ذاتية $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (مكرَّرة حسب الترافق، بمتجهات ذاتية $e_1, e_2, \dots$). برهن على: $$ \mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle . $$ *(اختبر $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$؛ ومن أجل الحدّ الأعلى قاطع أي $V$ مع فضاءات من نمط $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$: فيفرض عدُّ الأبعاد تقاطعًا غير معدوم.)* واستنتج أن القيم الذاتية تتعلق رتيبًا بالمؤثر $T$ ($T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$). **حل التمرين 15.8.** نكتب $x = \sum_ic_ie_i + z$ حيث $z \in \ker T$، ومنه $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *الحدّ الأدنى*: على الكرة الواحدية للفضاء $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$، $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: ومنه يكون الأعظم على $V$ للأصغر $\geq \mu_k$. *الحدّ الأعلى*: ليكن $\dim V = k$ ولتكن $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$، وبُعدها المتمم $k - 1$ (إذ متممها المتعامد هو $V_{k-1}$)؛ فإن $V \cap W_k \neq \{0\}$ (لأن لتطبيق خطي $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ رتبته $\leq k - 1$ نواةً غير بديهية)، ولمتجهة واحدية $x \in V\cap W_k$ يكون $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: ومنه يكون الأصغر على $V$ $\leq \mu_k$. وبضمّ ذلك: نجد الصيغة الأولى؛ والثانية تُبرهَن بالتناظر (باختبار $W = W_k$؛ ومن أجل $W$ كيفية ذات بُعد متمم $k-1$، يعطي $W \cap V_k \neq 0$ متجهةً واحدية تحقق $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). وأما الرتابة: فينتقل $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ نقطةً نقطة عبر $\max\min$. **تمرين 15.9 ★★.** باستعمال [المبرهنة 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) من أجل $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([المثال 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): من أجل أي $\lambda \in \R$ يكون للمعادلة التكاملية $$ f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x) $$ حلٌّ وحيد $f \in L^2$ من أجل كل $g \in L^2$؟ وماذا يحدث عند القيم الاستثنائية؟ **حل التمرين 15.9.** نعيد كتابة $f - \lambda Tf = g$. ومن أجل $\lambda = 0$: يكون $f = g$، وهو قابل للحل بكيفية وحيدة دائمًا. ومن أجل $\lambda \neq 0$: تصير $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$، وحسب [بديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm) ([المبرهنة 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) مع القيم الذاتية $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ للمؤثر $T$ ([المثال 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): تكون قابلية الحل الوحيد من أجل كل $g$ متحققةً إذا وفقط إذا كان $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ من أجل كل $n$، أي $$ \lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). $$ وعند قيمة استثنائية $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$: توجد الحلول إذا وفقط إذا كان $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$، وتكون عندئذٍ وحيدة إلى غاية إضافة مضاعفات لذلك الجيب. **تمرين 15.10 ★★★.** ليكن $S$ الإزاحةَ على $\ell^2$ ([التمرين 8.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#exo-b3-banach-1)). (a) برهن على أنه ليست للمؤثر $S$ أي قيمة ذاتية، بينما كل $\lambda$ يحقق $\abs\lambda < 1$ قيمةٌ ذاتية للمؤثر $S^*$ (وجد المتجهات الذاتية صراحةً، وهي متتاليات هندسية). (b) وليس $S$ ولا $S^*$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact): تحقق من ذلك باختبار على $(e_n)$ على غرار [التمرين 15.2](#exo-b3-spectral-2). (c) علّق: أن مشهد القيم الذاتية، من أجل المؤثرات غير ذاتية المرافقة وغير المتراصة، قد يكون أي شيء من الخالي إلى قرص كامل — والمفهوم الذي ينجو هو *الطيف*، وهو مدروس في مقرر لاحق. **حل التمرين 15.10.** (a) $Sx = \lambda x$: بمقارنة الإحداثيات، $0 = \lambda x_1$ و $x_n = \lambda x_{n+1}$؛ فإذا كان $\lambda \ne 0$ فإن $x_1 = 0$ وبالتراجع $x = 0$؛ وإذا كان $\lambda = 0$، فإن $Sx = 0$ يفرض $x = 0$ (لأن $S$ متقايس). فلا قيم ذاتية. وتُقرأ $S^*x = \lambda x$ على الصورة $x_{n+1} = \lambda x_n$: أي $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$، وهي في $\ell^2$ إذا وفقط إذا كان $\abs\lambda < 1$: أي قرص مفتوح كامل من القيم الذاتية. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: فليس لصورة المتتالية المحدودة $(e_n)$ أي متتالية جزئية كوشية؛ وبالمثل $S^*e_{n+1} = e_n$. فلا هذا ولا ذاك متراص. (c) من أجل المؤثرات المتراصة ذاتية المرافقة تلتقط القيم الذاتية كل شيء ([المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral))؛ وبإسقاط أي من الفرضيتين، قد تختفي القيم الذاتية تمامًا ($S$، وفولتيرا) أو تملأ قرصًا ($S^*$): فالكائن المتين هو الطيف $\{\lambda : T - \lambda I \text{ غير قابل للقلب}\}$، ونظريته تنتمي إلى مقرر لاحق. **تمرين 15.11 ★★.** (الجذور التربيعية) ليكن $T$ [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) وموجبًا ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) على [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-inner) $H$، بتفكيك طيفي $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ (حيث $\mu_n > 0$). (a) عرّف $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$؛ وبرهن على أن $S$ متراص [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) وموجب مع $S^2 = T$. (b) برهن على الوحدانية: أن كل [مؤثر متراص](#def-b3-spectral-compact) موجب [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) $R$ يحقق $R^2 = T$ يحفظ الفضاءات الذاتية للمؤثر $T$ *(إذ $RT = R^3 = TR$: ومنه يتبادل $R$ مع $T$، ومنه $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)*، وعلى $\ker(T - \mu)$ يكون $R$ مؤثرًا موجبًا مربّعه $\mu\,\mathrm{id}$ على فضاء منتهي البُعد: فقطرِنه هناك واخلص إلى $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ على كل فضاء ذاتي، ومنه $R = S$. (c) احسب $\sqrt G$ من أجل مؤثر الوتر $G$ في [المسألة 15.1](#pb-b3-spectral-1): أي نواة لها القيم الذاتية $\frac1{n\pi}$ في أساس الجيوب؟ (عبّر عن $\sqrt G$ بوصفه نهاية نوى بالمعنى $L^2$؛ ولا تُطلب أي صيغة مغلقة.) **حل التمرين 15.11.** (a) المؤثر $S$ هو المؤثر القطري بالمعاملات $\sqrt{\mu_n} \to 0$: فهو متراص ([التمرين 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b)، منقولًا إلى الأساس $(e_n)$ مكمَّلًا بالنواة $\ker T$ حيث $S = 0$)، [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) (لأنه قطري حقيقي)، وموجب ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$)، و $S^2 = T$ حدًّا حدًّا. (b) يتبادل $R$ مع $T = R^2$؛ ومن أجل متجهة ذاتية $x$ للمؤثر $T$ بقيمة ذاتية $\mu$: $T(Rx) = RTx = \mu Rx$، ومنه يكون الفضاء الذاتي المنتهي البُعد $E_\mu = \ker(T - \mu)$ مستقرًّا بالمؤثر $R$. وعلى $E_\mu$، يكون $R$ متناظرًا موجبًا مع $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$: فتحقق قيمه الذاتية $\rho$ أن $\rho^2 = \mu$ مع $\rho \geq 0$: ومنه تساوي كلها $\sqrt\mu$، ومؤثر قابل للقُطرنة بقيمة ذاتية واحدة سلّميٌّ: أي $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ على $E_\mu$. وعلى $\ker T$: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. فيتوافق $R$ مع $S$ على $\ker T$ وعلى كل فضاء ذاتي، والفضاء المولَّد المغلق بها هو $H$ (بالمبرهنة الطيفية): ومنه $R = S$. (c) يفعل $\sqrt G$ بالمقدار $\frac1{n\pi}$ على $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$: فهو مؤثر النواة ذو $$ k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi}, $$ والمتسلسلة متقاربة في $L^2(\intcc01^2)$ (بمعاملات $\frac1{n\pi} \in \ell^2$؛ وتعطي نوى المجاميع الجزئية التقريبات المنتهية الرتبة). ولا حاجة إلى أي صيغة مغلقة ابتدائية: فالجانب الطيفي *هو* المؤثر. **تمرين 15.12 ★★★.** (تفكيك القيم المفردة) ليكن $T \in \mathcal L(H)$ *[متراصًّا](#def-b3-spectral-compact)*، وليس بالضرورة [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) برهن على أن $T^*T$ متراص [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) وموجب؛ ولتكن $(e_n)$ عائلةً متعامدة متجانسة من المتجهات الذاتية تحقق $T^*Te_n = s_n^2e_n$ مع $s_n > 0$ (أي *القيم المفردة*)، مكمَّلةً بالفضاء $\ker(T^*T) = \ker T$ (وبرهن على هذا التساوي). (b) ضع $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$؛ وبرهن على أن $(f_n)$ متعامدة متجانسة، وأثبت *تفكيك القيم المفردة*: $$ Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H), $$ مع التقارب في $H$. (c) استنتج: أن $\vertiii T = \max_ns_n$؛ وأن $T$ نهايةٌ بالمعيار لمؤثرات منتهية الرتبة (فيُعاد البرهان على عكس [القضية 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) من أجل فضاءات هيلبرت)؛ ومن أجل مؤثر فولتيرا $V$ في [التمرين 15.7](#exo-b3-spectral-7)، الذي ليست له أي قيمة ذاتية، اشرح لماذا يوجد تفكيك القيم المفردة رغم ذلك وما مكوّناته (وعيّن $V^*V$ بوصفه مؤثر نواة من نمط الوتر — وحساب قيمه الذاتية صراحةً من اختصاص [التمرين 15.9](#exo-b3-spectral-9)). **حل التمرين 15.12.** (a) المؤثر $T^*T$ متراص (لأنه جداء مؤثر محدود [ومؤثر متراص](#def-b3-spectral-compact)، [التمرين 15.3](#exo-b3-spectral-3))، [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$)، وموجب ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$). وأما النواة: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$، وبالعكس: $\ker T^*T = \ker T$. وتوفّر المبرهنة الطيفية العائلةَ المتعامدة المتجانسة $(e_n)$ مع $T^*Te_n = s_n^2e_n$ و $s_n > 0$، المولِّدةَ للفضاء $(\ker T)^\perp$. (b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$. وننشر $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ مع $x_0 \in \ker T$ ([ببارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) في الفضاء المولَّد المغلق مع النواة)؛ وبتطبيق $T$ المتصل: $$ Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n, $$ والمتسلسلة متقاربة لأن مجاميعها الجزئية كوشية ($\norm{\sum_{NN}s_n^2\cdot\norm x^2$، و $s_n \to 0$). (c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$، وهو مبلوغ عند $e_n$ المعظِّمة: $\vertiii T = \max s_n$. وببتر تفكيك القيم المفردة عند الرتبة $N$ يبقى مؤثر معياره $\sup_{n>N}s_n \to 0$: أي التقريب المنتهي الرتبة. وليست لمؤثر فولتيرا أي قيمة ذاتية ([التمرين 15.7](#exo-b3-spectral-7))، لكن للمؤثر $V^*V$ قيمًا ذاتية: إذ $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ مؤثر نواة متناظر موجب (بالنواة $1 - \max(x,y)$، وهي نواة غرين من نمط الوتر)، وأزواجه الذاتية — المحسوبة عبر مسألة الشروط الحدّية $-u'' = \lambda^{-1}u$ مع $u'(0) = u(1) = 0$، أي عائلة [التمرين 15.9](#exo-b3-spectral-9) — تعطي القيم المفردة $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$. ويعيش تفكيك القيم المفردة على عائلتين متعامدتين متجانستين *اثنتين* بالضبط لأن $V$ يدير هندسته الذاتية بعيدًا: فلا متجهات ذاتية، ومع ذلك بنيةٌ قطرية تامة بين أساسين مختلفين. ## 15.5 مسألة: الوتر المهتز و $\zeta(2)$ **مسألة 15.1.** مسألة نهاية الأسبوع — مؤثر غرين، وأساس الجيوب، وصيغة أثر نحل مسألة القيم الذاتية للوتر المهتز ذي الطرفين المثبَّتين — $-u'' = \nu u$ مع $u(0) = u(1) = 0$ — بنظرية المؤثرات، فنحصل على أساس الجيوب المتعامد المتجانس دون أي حساب فورييهي، ونقيّم $\zeta(2)$ بمقارنة عبارتين عن *أثر* مؤثر غرين. ونعرّف، على $L^2(\intcc01)$، $$ (Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr). $$ **الجزء الأول — مؤثر غرين.** 1. برهن على أن $g$ متصلة ومتناظرة مع $0 \leq g \leq \frac14$ ، وعلى أن $G$ متراص [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) ( [المثال 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)). 2. من أجل $f$ متصلة، برهن على أن $u = Gf$ من الصنف $\mathcal C^2$ مع $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(اكتب $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ واشتقّ مرتين)*. وبالعكس، إذا كان $u \in \mathcal C^2$ مع $u(0) = u(1) = 0$، فإن $G(-u'') = u$: أي إن $G$ يقلب مؤثر الوتر. 3. برهن على أن $\ker G = \{0\}$ *(إذا كان $Gf = 0$ مع $f \in L^2$: اختبر مقابل $\varphi$ متصلة، وانقل $G$ بالتناظر أو بفوبيني إلى $\varphi$، واستعمل المبرهنة المساعدة الأساسية [النتيجة 12.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — أو نظِّم)* ، وعلى أن $G$ مؤثر موجب: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(من أجل $f$ متصلة: $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ مع $u = Gf$، بالتجزئة؛ ثم اخلص بالكثافة.)* **الجزء الثاني — القُطرنة: أساس الجيوب.** 4. برهن على أن الدوال الذاتية للمؤثر $G$ بقيمة ذاتية $\lambda \ne 0$ هي، إلى غاية سلّميات، حلول $-\lambda u'' = u$ مع $u(0) = u(1) = 0$ *(إذ تقبل الدالة الذاتية ممثّلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) — لأن $Gf$ متصلة من أجل $f \in L^2$، ولماذا؟ — ومنه تكون من الصنف $\mathcal C^2$ بترقية السؤال 2)* . 5. حل مسألة الشروط الحدّية: فالقيم الذاتية للمؤثر $G$ هي $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ (حيث $n \geq 1$ )، بدوال ذاتية معيَّرة $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ؛ وتحقق من التعامد والتجانس بالمكاملة المباشرة بوصفه فحصًا للسلامة. 6. اخلص من [المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ومن السؤال 3 إلى أن $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ *أساسٌ* متعامد متجانس للفضاء $L^2(\intcc01)$ — دون حاجة إلى ستون–فايرشتراس ولا إلى متسلسلات فورييه. وانشر $f(x) = x(1-x)$ في هذا الأساس واكتب [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) من أجلها. **الجزء الثالث — صيغة الأثر و $\zeta(2)$.** 7. برهن على المتطابقتين $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{و}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ وأما الثانية (أي *صيغة الأثر*): فانشر $g(x, \cdot)$، من أجل $x$ مثبَّت، في الأساس $(e_n)$ — وبرهن على أن المعاملات هي $\lambda_ne_n(x)$، بحيث يكون $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ في $L^2$. وهنا تكون الجيوب صريحة: فتحقق مباشرةً من أن $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ يتقارب *بانتظام* على المربّع (بالمقارنة مع $\sum \frac2{n^2\pi^2}$)، ومنه يكون مجموعه [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، وبكونه ذا النشرات $L^2$ نفسها في $y$ من أجل كل $x$، يساوي $g(x,y)$ في كل مكان. ثم ضع $y = x$ وكامل حدًّا حدًّا. 8. احسب $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$، واخلص إلى $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{أي}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ أي مجموع أولير من أثر مؤثر. 9. استنبط $\zeta(2)$ بطريقة ثالثة: طبّق [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) في أساس الجيوب على الدالة الثابتة $\mathbf 1$ ، واحسب $\sum_{n \text{ فردي}}\frac1{n^2}$ ، واخلص. ثم قارن الآليتين: بأي معنى تكون حجة الأثر في السؤالين 7 و8 « [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) مطبَّقة على النواة كلها دفعةً واحدة»؟ **الجزء الرابع — الوتر يهتز.** 10. (فصل المتغيّرات، مركَّبًا) من أجل $f \in L^2$، نعرّف $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ برهن على أن المتسلسلة تتقارب في $L^2(\intcc01)$ من أجل كل $t$، وعلى أن $t\mapsto u(t, \cdot)$ متصلة بقيم في $L^2$، وعلى أنه من أجل $f$ في الفضاء المولَّد بعدد منتهٍ من $e_n$ تحل معادلة الأمواج $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ مع $u(0) = f$ و $\partial_tu(0) = 0$، بطرفين مثبَّتين. والقيم الذاتية $n^2\pi^2$ هي مربّعات الترددات: أي توافقيات الوتر — اشرح التفسير الموسيقي للمبرهنة [المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) في فقرة واحدة. **الجزء الخامس — عوائد تغيّرية: طريقة القوى، واستقرار فايل، وحدٌّ صارم على $\pi$.** ليكن $A$ مؤثرًا [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) *موجبًا* بقيم ذاتية $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ ومتجهات ذاتية متعامدة متجانسة $(u_n)$؛ و $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$. وصيغ الأصغري–الأعظمي هي [التمرين 15.8](#exo-b3-spectral-8)؛ وهنا ننفقها. 11. (طريقة القوى) من أجل $x \neq 0$ نكتب $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. برهن على $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (بكوشي–شوارتز)، واستنتج السلسلة $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ وبرهن على أنه إذا كان $\langle u_1, x\rangle \neq 0$، فإن $R(A^kx) \to \mu_1$: أي إن تكرار المؤثر على أي متجهة عامة يحسب القيمة الذاتية العليا — أي طريقة القوى في التحليل العددي، مصدَّقةً. 12. (استقرار فايل) من أجل $A, B$ متراصَّين ذاتيَي المرافقة موجبَين، استنتج من [التمرين 15.8](#exo-b3-spectral-8) أن $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{من أجل كل} n :$$ أي إن الطيف كله ليبشيتزي بالثابت $1$ بالنسبة إلى معيار المؤثرات — فيمكن حساب القيم الذاتية لجمل متناظرة كبيرة من تقريبات بخطأ مضمون. 13. طبّق حدّ رايلي على $G$ بدالة الاختبار $u(x) = x(1-x)$: حُلّ $-w'' = u$ مع $w(0) = w(1) = 0$ لتحصل على $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$، واحسب $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ واخلص إلى الحدّ *الصارم* $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$، أي $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$. 14. خطوةٌ واحدة من سلسلة السؤال 11، على دالة الاختبار نفسها: باستعمال $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$، احسب $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$$ واخلص إلى $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$: أي تكاملان، وأربعة أرقام صحيحة. (وكل تكرار إضافي يربّع الدقة تقريبًا: إذ تقود فجوة المتجهات الذاتية $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ التقاربَ الهندسي.) **الجزء السادس — أثر $G^2$ و $\zeta(4)$.** 15. برهن على أن $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(انشر $g$ في الأساس الجدائي $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ للفضاء $L^2(\intcc01^2)$ — وهو [أساس هيلبرتي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#def-b3-hilbert-onb)، قارن [التمرين 15.5](#exo-b3-spectral-5) — وطبّق [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) على المربّع؛ ويعيّن السؤال 7 المعاملات)* . 16. احسب التكامل المزدوج: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$ 17. اخلص إلى $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ؛ واشرح، دون حساب، كيف تنتج آثار القوى العليا $G^k$ المقاديرَ $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ من أجل كل $k \geq 1$ ، ولماذا تكون القيم الفردية $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ بعيدةً بنيويًّا عن متناول هذه الآلة. 18. ($\pi$ من الأسفل) استنتج من $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ أن $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$، واجمعه مع السؤال 14 لتحصل على الحكم ذي الطرفين $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ محصَّلًا عليه كليًّا من حساب الوتر المهتز. وأي الطرفين يتقارب أسرع إذا استُعملت آثار عليا $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$، ولماذا؟ **الجزء السابع — الإقحام والرنين.** نثبّت $\nu \in \R$ وننظر في الوتر المُقحَم $-u'' - \nu u = f$ مع $u(0) = u(1) = 0$، حيث $f \in L^2$ و $c_n = \langle e_n, f\rangle$. 19. لنفترض أن $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. برهن على أن $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ تتقارب في $L^2$ وبانتظام على $\intcc01$ *(بكوشي–شوارتز بين $(c_n)$ وذيول $\sum n^{-4}$، مع $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$)*، وعلى أنها تحقق $u = Gf + \nu Gu$ — وهي صورة [بديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm) ([المبرهنة 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) بالإحداثيات الصريحة، مع الوحدانية. 20. لنفترض أن $\nu = m^2\pi^2$ . برهن على أن للمعادلة $u = Gf + \nu Gu$ حلًّا إذا وفقط إذا كان $c_m = 0$ ، وهو وحيد إلى غاية إضافة مضاعفات للدالة $e_m$ . والقراءة الفيزيائية: دفع أرجوحة عند ترددها الخاص بالضبط. 21. من أجل $\nu < \pi^2$ ، برهن على أن مؤثر الحل $R_\nu\colon f \mapsto u$ محدود على $L^2$ بمعيار $\frac1{\pi^2 - \nu}$ ، ومتراص، [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) ، وموجب: فيبدأ التحليل الطيفي كله من جديد، مزاحًا بمقدار $\nu$ . 22. (تركيب) اجمع معجم هذه المسألة: القيمة الذاتية $\leftrightarrow$ مربّع التردد (التوافقيات)؛ والأثر $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ؛ ومعيار هيلبرت–شميدت $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ؛ [وبديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ الرنين؛ والأصغري–الأعظمي $\leftrightarrow$ الحدود التغيّرية ( $\pi < 3.1437$ من كثير حدود واحد). مؤثر تكاملي واحد، وخمسة فصول من التحليل مصروفة. **الجزء الثامن — ثلاثة أصداء أخيرة.** 23. ($\zeta(6)$، مجانًا) أعطت متطابقة [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) في السؤال 6 المقدارَ $\sum_{n\text{ فردي}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. اشطر $\zeta(6)$ إلى $n$ فردية وزوجية واخلص إلى $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ دون أي تكامل جديد: فكانت آلة السؤال 17 (أي آثار $G^3$) ستعطي القيمة نفسها بكلفة نواة مكرَّرة — [وبارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) على دالة واحدة حسنة الاختيار هي الطريق الأرخص هنا. 24. (الحالة الأساسية موجبة) ليكن $A$ مؤثرًا [متراصًّا](#def-b3-spectral-compact) [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) موجبًا على $L^2(\intcc01)$ معطًى بنواة متصلة متناظرة $k > 0$ على $\intoo01^2$ ، بأكبر قيمة ذاتية $\mu_1$ . برهن على: (a) أن كل معظِّم لنسبة رايلي دالةٌ ذاتية للقيمة $\mu_1$ ؛ (b) وأنه إذا كانت $u$ كذلك، فإن $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ ، مع متراجحة *أكيدة* إذا كانت $u$ تأخذ الإشارتين على مجموعات ذات [قياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) موجب — ومنه تكون للدالة $u$ إشارة ثابتة في كل مكان تقريبًا، ولا ينعدم $u = \mu_1^{-1}Au$ أبدًا على $\intoo01$ ؛ (c) وأن $\mu_1$ قيمة ذاتية *بسيطة* . وتحقق من كل ادعاء على $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ ، وكل $e_n$ حيث $n \geq 2$ ، بكونها متعامدة مع $e_1$ ، يجب أن تغيّر إشارتها (وهي تفعل: لها $n - 1$ جذرًا داخليًّا). 25. (المسافة إلى الطيف، وثمن الرنين) من أجل $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$، برهن على أن مؤثر الحل $R_\nu$ في السؤال 19 محدود [وذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) ومتراص، مع $$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ والمعيار مبلوغ على النمط الأقرب. ثم كمِّم أرجوحة السؤال 20: فالإقحام بالدالة $f = e_1$ عند $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ ينتج $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$، أي تضخيمٌ بالعامل $\frac1\varepsilon$ للاستجابة الساكنة $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — فعند واحد في المئة تحت التردد الأساسي ($\varepsilon = 10^{-2}$)، يجيب الوتر أعلى بمئة مرة. **حل المسألة 15.1.** **1.** الاتصال: لأن $\min$ و $\max$ متصلتان؛ والتناظر: لأن تبديل $x, y$ لا يغيّر $\min(x,y)$ ولا $1 - \max(x,y)$. والحدود: $0 \leq g$، وتعطي حدود من نمط $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ أن $g \leq \frac14$ (فمن أجل $u = \max$: $\min \leq u$ ومنه $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). و $g \in L^2(\square)$: أي هيلبرت–شميدت، ومنه $G$ متراص ([التمرين 15.4](#exo-b3-spectral-4))؛ والنواة حقيقية متناظرة: ومنه $G$ [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint). **2.** بالشطر عند $y = x$: $$ u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y . $$ ومن أجل $f$ متصلة، نشتقّ (بقاعدة الجداء والمبرهنة الأساسية): $$ u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(إذ تتلاشى الحدود الحدّية)}, $$ و $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$؛ ومن الواضح أن $u(0) = u(1) = 0$. وبالعكس إذا كانت $u \in \mathcal C^2$ منعدمة عند الطرفين، فإن $w = u - G(-u'')$ يحقق $w'' = 0$ مع $w(0) = w(1) = 0$: ومنه $w$ تآلفي وينعدم مرتين، فيكون $w = 0$. **3.** ليكن $Gf = 0$ مع $f \in L^2$. من أجل $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$: $\psi = G(-\psi'')$ حسب السؤال 2، ومنه $$ \langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0 $$ (لأن $G$ [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint)): وحسب المبرهنة المساعدة الأساسية ([النتيجة 12.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#cor-b3-lp-fundlemma))، يكون $f = 0$ في كل مكان تقريبًا. وأما الإيجابية: فمن أجل $f$ متصلة، مع $u = Gf$، $$ \langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ; $$ ومن أجل $f \in L^2$، نقرّب في $L^2$ بدوال متصلة $f_n$: فينتقل الطرفان إلى النهاية (لأن $G$ محدود). **4.** إذا كان $Gu = \lambda u$ مع $\lambda \neq 0$: فإن $Gu$ متصلة ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$، والنواة متصلة بانتظام)، ومنه تقبل $u$ ممثّلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)؛ عندئذٍ تبيّن صيغ السؤال 2 أن $Gu \in \mathcal C^2$، ومنه $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ مع $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ و $u(0) = u(1) = 0$. **5.** $-\lambda u'' = u$ مع $u(0) = 0$: $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ (و $\lambda$ موجب: حسب السؤال 3، $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ على المتجهات الذاتية). ويفرض $u(1) = 0$ أن $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$: أي $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$، بدوال ذاتية $\sin(n\pi x)$، معيَّرة $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ($\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$). وفحص التعامد: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ يكامَل إلى $0$ من أجل $m \neq n$. **6.** $\ker G = \{0\}$ (السؤال 3)، ومنه تعطي [المبرهنة 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) أن $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$: أي إن الجيوب أساسٌ هيلبرتي للفضاء $L^2(\intcc01)$. ومن أجل $f(x) = x(1 - x)$: $$ c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ فردي},\\ 0 & n \text{ زوجي},\end{cases} $$ (بمكاملتين بالتجزئة). وببارسيفال: $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ فردي}}\frac{32}{n^6\pi^6}$، أي $\sum_{n\text{ فردي}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. **7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$. ومن أجل $x$ مثبَّت، تكون معاملات $g(x, \cdot)$ هي $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$، ومنه $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ في $L^2$. والمتسلسلة الصريحة $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ تتقارب تقاربًا ناظميًّا على المربّع ($\abs{\text{الحدّ}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): فيكون مجموعها [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، وله من أجل كل $x$ معاملات $L^2(\dd y)$ نفسها التي للدالة $g(x, \cdot)$: ومنه تتوافق الدالتان المتصلتان من أجل كل $(x, y)$. وبوضع $y = x$ والمكاملة (إذ يسمح التقارب الناظمي بالمكاملة حدًّا حدًّا): $$ \int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n . $$ **8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$، ومنه $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$: $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **9.** من أجل $f = \mathbf 1$: $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$: أي $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ من أجل $n$ فردي، و $0$ من أجل الزوجي. وببارسيفال: $1 = \sum_{n\text{ فردي}}\frac{8}{n^2\pi^2}$، ومنه $\sum_{n\text{ فردي}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$، و $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (لأن الحدود الزوجية هي $\frac14\zeta(2)$). وأما المقارنة: [فبارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) من أجل $f$ واحدة تجمع $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$؛ بينما تكامل صيغة الأثر قطرَ *النواة*، وهو يعادل جمع [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) على عائلة متعامدة متجانسة كاملة دفعةً واحدة — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — ومنه فهي عمياء عن أي اختيار خاص لدالة الاختبار. **10.** $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ مع $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$: فمن أجل كل $t$ تتقارب المتسلسلة في $L^2$ (بالنشر المتعامد المتجانس، [المبرهنة 13.7](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval)(3))؛ وحدّ الذيل $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ منتظم في $t$، وكل مجموع جزئي متصل في $t$ (لأنه عدد منتهٍ من الجيبتماميات): ومنه $t \mapsto u(t,\cdot)$ متصلة بقيم في $L^2$. ومن أجل $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$: يحقق كل نمط $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ المعادلةَ $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ مطبَّقةً عليه، وينعدم عند $x = 0, 1$، وقيمته $\sin(n\pi x)$ ومشتقته الزمنية $0$ عند $t = 0$: فيحل المجموع المنتهي كل شيء. وموسيقيًّا: تكون حركة الوتر تراكبًا من *أمواج قائمة* $e_n$ تردداتها $n\pi$ هي التردد الأساسي وتوافقياته؛ وتقول المبرهنة الطيفية إن كل شكل ابتدائي يتفكّك بكيفية وحيدة إلى هذه النغمات الصافية، وتكون المعاملات $c_n$ هي طابع الصوت. فسماع وتر هو حسابُ نشر متعامد متجانس. **11.** مع $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$: $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (بكوشي–شوارتز في $\ell^2$). ومنه تكون النسب $m_{p+1}/m_p$ متزايدة بالمعنى الواسع في $p$؛ وبما أن $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$ و $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ و $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$، تنتج السلسلة، وكل حدّ منها $\leq \mu_1$ لأن $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ حدًّا حدًّا. وأما التقارب: فإذا كان $a_1 > 0$ (بكتابة الوزن الكلي للقيمة الذاتية العليا $a_1$)، فإن $$ \mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1, $$ بالتقارب المهيمن للمجاميع (إذ النسب $< 1$): فتتقارب طريقة القوى من أجل كل متجهة انطلاق غير متعامدة مع الفضاء الذاتي الأعلى. **12.** نقطةً نقطة، $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$، ومنه $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ من أجل كل $x$. وبإدخال ذلك في صيغة الأعظم–الأصغر في [التمرين 15.8](#exo-b3-spectral-8): $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$، وبالتناظر في $A, B$: $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ من أجل كل $n$ دفعةً واحدة. **13.** يُكامل $-w'' = x - x^2$ ليعطي $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (مع $w(0) = 0$)، ويعطي $w(1) = 0$ أن $c = \frac1{12}$: $$ w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu . $$ ثم $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$، ومع $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$: $$ \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} . $$ ومنه $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$، أي $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: أي $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (والقيمة الحقيقية $\pi^2 = 9.8696$). كثير حدود، وتكامل، ورقم. **14.** نكتب $u = x - x^2$، ومنه $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$، وباستعمال $\int u^2 = \frac1{30}$ و $\int u^3 = \frac1{140}$ و $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$: $$ \norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} . $$ ومنه $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$، وحسب السؤال 11 يبقى هذا $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$: أي $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$، أي $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — أربعة أرقام (والتكرار التالي كان سيعطي نحو ثمانية، إذ ينكمش الخطأ بالعامل $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ في كل خطوة). **15.** العائلة $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ أساسٌ هيلبرتي للفضاء $L^2(\intcc01^2)$ (بالتعامد والتجانس بتونيلي؛ وبالشمول كما في [التمرين 15.5](#exo-b3-spectral-5)). وحسب السؤال 7، من أجل $x$ مثبَّت: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$، ومنه يكون معامل $g$ على $e_m\otimes e_n$ هو $$ \langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} . $$ وببارسيفال في المربّع: $$ \iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 . $$ **16.** بتناظر $g$، $$ \iint g^2 = 2\iint_{y 0$ من أجل كل $n$ (إذ تتفادى المتتالية $n^2\pi^2 \to \infty$ القيمةَ $\nu$ بهامش)، و $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ من أجل $n$ كبير. وأما التقارب في $L^2$: فالمعاملات $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ قابلة للجمع بالمربّع (مهيمَنًا عليها بالمقدار $\frac{\abs{c_n}}\delta$). وأما التقارب المنتظم: فتُحدّ نظائم سوپريموم الذيول بالمقدار $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (بكوشي–شوارتز). وأما التحقق: فللمقدار $Gf + \nu Gu$ المعاملُ على $e_n$ $$ \lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} : $$ وهي بالضبط معاملات $u$، ومنه $u = Gf + \nu Gu$؛ وأما الوحدانية فلأن فرق حلّين $v$ يحقق $v = \nu Gv$، أي $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ من أجل كل $n$: ومنه $v = 0$. **20.** كما في السؤال 19، تكافئ المعادلة $u = Gf + \nu Gu$ عائلةَ معادلات المعاملات $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$، $n \geq 1$. ومن أجل $n = m$ يكون الطرف الأيسر $0$: فتفرض قابلية الحل أن $c_m = 0$، ويكون عندئذٍ $\langle e_m, u\rangle$ حرًّا بينما تتعيّن جميع المعاملات الأخرى: فتشكّل الحلول المستقيم $u_0 + \R e_m$. وأما الرنين: فإقحامٌ ذو مركّبة على النمط الذاتي يضخّ فيه الطاقة بلا حدّ — أي الأرجوحة المدفوعة عند ترددها الخاص. **21.** من صيغة السؤال 19، $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (إذ من أجل $\nu < \pi^2$ تكون القيمة الذاتية الأقرب هي $\pi^2$)، مع مقاربة التساوي عند $f = e_1$: أي [معيار المؤثر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$. وأما التراص: فإن $R_\nu$ نهايةٌ بالمعيار لبتوره المنتهية الرتبة (إذ معاملات الذيل $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$)؛ وتُقرأ ذاتية المرافقة والإيجابية من الصورة القطرية (إذ جميع المعاملات $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). وللمؤثر $R_\nu$ القيمُ الذاتية $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$: فيبدأ تحليل الأجزاء من الأول إلى السادس من جديد حرفيًّا. **22.** المعجم: *القيمة الذاتية* $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ مربّع التردد $n^2\pi^2$ للتوافقي ذي الرتبة $n$؛ و*الأثر* $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$؛ و*معيار هيلبرت–شميدت* $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$؛ و*[بديل فريدهولم](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ رنين الوتر المُقحَم؛ و*الأصغري–الأعظمي* $\leftrightarrow$ التقديرات التغيّرية، وصولًا إلى $\pi < 3.1437$ من كثير حدود واحد. ووراء كل اقتران، الكائن نفسه: [مؤثر متراص](#def-b3-spectral-compact) [ذاتي المرافقة](#def-b3-spectral-selfadjoint) واحد، مقطرن مرة واحدة، مستثمَر خمس مرات. **23.** بالشطر على التماثل وبالتعويض $n = 2m$ في الجزء الزوجي، $$ \zeta(6) = \sum_{n\text{ فردي}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64}, $$ ومنه $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ و $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. وكان طريق الأثر سيحسب $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ بوصفه $\iint g\,g_2$ بالنواة المكرَّرة $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — أي ثلاث مكاملات لكثيرات حدود بالقطع؛ بينما لم تحتج [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval) على $x(1-x)$ إلا إلى واحدة. **24.** (a) نقطرن: $v = \sum_na_nu_n$ (مع مركّبة نواة ممكنة، ولا يكسب عليها $\langle v, Av\rangle$ شيئًا بينما ينمو $\norm v^2$، ومنه لا تكون لمعظِّم أي مركّبة منها). عندئذٍ $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $a_n = 0$ كلما كان $\mu_n < \mu_1$: أي إن المعظِّم يقع في الفضاء الذاتي الموافق للقيمة $\mu_1$. (b) ومن أجل أي $u$، $$ \langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0, $$ لأن المقدار المكامَل غير سالب نقطةً نقطة. وإذا كان لكلٍّ من $P = \{u > 0\}$ و $N = \{u < 0\}$ قياسٌ موجب، فإن المقدار المكامَل يساوي على $P\times N$ المقدارَ $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ على مجموعة ذات [قياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) موجب: أي متراجحة أكيدة. ودالةٌ ذاتية $u$ للقيمة $\mu_1$ تعظّم نسبة رايلي، وللمقدار $\abs u$ المعيار نفسه، ومنه كانت الأكيدية ستُبرز $R(\abs u) > \mu_1$ — وهو مستحيل؛ فتكون للدالة $u$ إشارة ثابتة في كل مكان تقريبًا، ولنقل $u \geq 0$. عندئذٍ $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ من أجل كل $x \in \intoo01$ (لأن $k(x,\cdot) > 0$ و $u \neq 0$). (c) ولو كان بُعد الفضاء الذاتي $\geq 2$، لاحتوى دالتين ذاتيتين *متعامدتين* $u, v$، لكلٍّ منهما إشارة ثابتة ولا تنعدم داخليًّا حسب (b)؛ لكن عندئذٍ $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — وهو تناقض. وعلى الوتر: $k = g > 0$ على المربّع المفتوح، و $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ بسيطة فعلًا، و $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ موجبة على $\intoo01$؛ وكل $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ حيث $n \geq 2$، بكونها متعامدة مع $e_1$ الموجبة، يجب أن يكون تكاملها مقابلها معدومًا، ومنه تغيّر إشارتها — كما تؤكد جذورها الداخلية $n - 1$ عند $\frac kn$. **25.** بما أن $n^2\pi^2 \to \infty$، تُبلَغ الأصغرية $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ عند نمط $m$ ما، ويكون $d > 0$ لأن $\nu$ يتفادى الطيف. وتعطي صيغة السؤال 19 القطرية أن $$ \norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2, $$ مع التساوي من أجل $f = e_m$: أي $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$، وهو مقلوب المسافة من $\nu$ إلى الطيف — أي مبدأ المُحلِّل العام، هنا بالإحداثيات الصريحة. وتُقرأ ذاتية المرافقة من المعاملات القطرية الحقيقية؛ وينتج التراص كما في السؤال 21 (إذ تؤول المعاملات إلى $0$، ومنه تتقارب البتور المنتهية الرتبة بالمعيار). وأما ثمن الرنين: فمن أجل $f = e_1$ و $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$، تعطي الصيغة $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$، مقابل الاستجابة الساكنة $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$: أي تضخيم $\frac1\varepsilon$. وعند $\varepsilon = 10^{-2}$ تكون الاستجابة $100$ ضعف الساكنة — وهي تتباعد حين $\varepsilon \to 0$، وذلك هو بديل السؤال 20 منظورًا إليه من الجهة المحدودة: فكلما اقترب تردد الإقحام من تردد طبيعي، قلّ حدّ المقلوب.