---
title: "التطبيقات المطابقة ومبرهنة ريمان في التطبيق"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3"
subject: math
language: ar
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem
---

# الفصل 18 — التطبيقات المطابقة ومبرهنة ريمان في التطبيق

ينقل تقابلٌ هولومورفي بين مجالين كلَّ التحليل العقدي من أحدهما إلى الآخر: فهذه التطبيقات — *المطابِقة*، لأنها تحفظ الزوايا — هي تماثلات العالم الهولومورفي. ويصنّف هذا الفصل هذه التطبيقات حيث يمكن التصنيف (القرص، والمستوي: ومبرهنة شوارتز المساعدة هي المفتاح، وهي متراجحة مذهلة القوة)، ويبني نظرية التراص للعائلات [الهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) (مونتيل)، ويبرهن على أعمق مبرهنات الوجود في هذا الموضوع: أن *كل* مجال جزئي فعلي بسيط الترابط من $\C$، مهما كانت حافته متعرّجة، يكافئ القرصَ الواحدي مطابقةً. ونختم بالدوال التوافقية [ونواة بواسون](#thm-b3-conformal-poisson)، فنحل مسألة ديريكليه على القرص — وهي العائد التحليلي للهندسة المطابقة. وفي كل ما يلي، $\mathbb D = D(0,1)$ و $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z >
0\}$.

## 18.1 التطبيقات المطابقة؛ تحويلات موبيوس

**تعريف 18.1.**

*التطبيق المطابق* (أو التقابل الهولومورفي) بين مجموعتين مفتوحتين هو تقابل هولومورفي؛ ومقلوبه هولومورفي تلقائيًّا ([النتيجة 17.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#cor-b3-residues-openmapping)). ويقال إن مجالين *متكافئان مطابقةً* إذا وُجد تطبيق كهذا؛ ويرمز $\operatorname{Aut}(\Omega)$ إلى زمرة التطبيقات الذاتية المطابقة. وحيث $f' \neq 0$ — أي في كل مكان من أجل $f$ متباينة (ببرهان [النتيجة 17.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#cor-b3-residues-openmapping)) — يكون التفاضل هو الضرب في $f'(z) \neq 0$: أي تشابهٌ، ومنه تحفظ التطبيقات المطابقة الزوايا بين المنحنيات، بما فيها التوجيه.

**مثال 18.2 (تحويلات موبيوس).**

من أجل $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c &
d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$، يكون *تحويل موبيوس* $z \mapsto
\frac{az + b}{cz + d}$ مطابقًا من $\C\setminus\{-d/c\}$ على $\C\setminus\{a/c\}$ (ومقلوبه من النمط نفسه، انطلاقًا من المصفوفة المقلوبة؛ ويوافق التركيبُ جداءَ المصفوفات). و*تحويل كايلي*

$$
\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}
$$

يرسل $\mathbb H$ مطابقةً على $\mathbb D$: إذ يكون $\abs{z
- \iu} < \abs{z + \iu}$ بالضبط حين يكون $z$ أقرب إلى $\iu$ منه إلى $-\iu$، أي $\operatorname{Im}z > 0$؛ ومقلوبه $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. وترسل تحويلات موبيوس عائلةَ الدوائر والمستقيمات إلى نفسها ([التمرين 18.1](#exo-b3-conformal-1)).

**مثال 18.3 (تطبيق جوكوفسكي).**

وراء موبيوس، يكون أنفع [تطبيق مطابق](#def-b3-conformal-conformal) في الرياضيات التطبيقية الكلاسيكية هو

$$
J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .
$$

وعلى خارج القرص الواحدي $\Omega = \{\abs z > 1\}$، يكون $J$ متباينًا: إذ يعطي $J(z) = J(w)$ أن $(z - w)(1 -
\frac1{zw}) = 0$ مع $\abs{zw} > 1$. ولا تنعدم مشتقته $J'(z) =
\frac12(1 - z^{-2})$ إلا عند $z = \pm1$ على الحافة: ومنه فإن $J$ تكافؤ مطابق من $\Omega$ على صورته، وهي $\C\setminus\intcc{-1}1$ — إذ تُطوى الدائرة الواحدية نفسها اثنين إلى واحد على القطعة ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). ومن ثَمّ فإن خارج *قطعة*، وهو مستوٍ مشقوق بلا حافة ناعمة، هو مطابقةً خارجُ قرص: فالزوايا ليست عائقًا أمام التكافؤ المطابق، بل أمام نعومة الحافة فحسب. وصور الدوائر المارّة بالنقطتين $\pm1$ لكن غير المتمركزة منحنياتٌ على شكل مقطع جناح، وقد نقل تركيبُ $J$ مع تحويلات موبيوس الجريانَ حول أسطوانة — وهو قابل للحساب يدويًّا — إلى الجريان حول جناح: فكان هذا المثال، في النصف الأول من القرن العشرين، *هو* علم الديناميكا الهوائية. وهو أيضًا الباب إلى تشيبيشيف: إذ يقارن $J$ بين $z \mapsto z^n$ وكثير حدود تشيبيشيف $T_n$ ([المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#pb-b3-hilbert-1)، الجزء الخامس)، لأن $J(z^n) = \cos(n\theta)$ حين $z = \eu^{\iu\theta}$.

## 18.2 مبرهنة شوارتز المساعدة وزمر التشاكلات الذاتية

**مبرهنة 18.4 (مبرهنة شوارتز المساعدة).**

لتكن $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) مع $f(0) = 0$. عندئذٍ

$$
\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D)
\qquad\text{و}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,
$$

وإذا كان $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ من أجل $z_0 \neq 0$ واحدة، أو كان $\abs{f'(0)} = 1$، فإن $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ يكون دورانًا.

**برهان.** تمتدّ $g(z) = f(z)/z$ هولومورفيًّا إلى $\mathbb D$ (إذ الشذوذ عند $0$ قابل للإزالة: لأن $g$ محدودة بجوار $0$، [المبرهنة 17.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-riemanncw)؛ وقيمتها عند $0$ هي $f'(0)$). وعلى $\abs z = r < 1$: $\abs g \leq \frac1r$، ومنه، بمبدأ الأعظمية ([المبرهنة 16.14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-maximum))، $\abs g \leq \frac1r$ على $\bar D(0,r)$؛ ونجعل $r \to 1$: $\abs
g \leq 1$ على $\mathbb D$، وهما المتراجحتان معًا. والتساوي عند نقطة داخلية يجعل $\abs g$ تبلغ قيمةً عظمى داخلية: فتكون $g$ ثابتة طويلتها $1$. ∎

**مبرهنة 18.5 (التشاكلات الذاتية للقرص).**

من أجل $a \in \mathbb D$، يكون *عامل بلاشكه*

$$
\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}
$$

تشاكلًا ذاتيًّا للقرص $\mathbb D$ يبادل بين $a$ و $0$، مع $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$. وكل تشاكل ذاتي للقرص $\mathbb D$ هو $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ من أجل $\theta
\in \R/2\pi\Z$ و $a \in \mathbb D$ وحيدين.

**برهان.** على $\abs z = 1$: $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 -
\bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar
a} = \abs{z - a}$، ومنه $\abs{\varphi_a} = 1$ هناك؛ وبمبدأ الأعظمية $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb
D}$، ويضع الانفتاح الصورةَ في $\mathbb D$. وتبيّن المتطابقة الجبرية $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (بالحساب المباشر) أنه تقابل. والآن لتكن $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ وليكن $a = f^{-1}(0)$: فإن $g =
f\circ\varphi_{-a}$ تشاكل ذاتي يثبّت $0$. وبتطبيق شوارتز على $g$ وعلى $g^{-1}$: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ و $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$، ومنه $\abs{g(z)} = \abs z$: أي دوران، $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$، أي $f =
\eu^{\iu\theta}\varphi_a$. وأما الوحدانية: فمن $a = f^{-1}(0)$ ومن $\theta$ بتقييم من نمط $f'$ (أو من $f(0) =
-\eu^{\iu\theta}a$ وقيمة أخرى). ∎

**مبرهنة 18.6 (التشاكلات الذاتية للمستوي).**

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b
\in \C\}$. ومن ثَمّ فإن $\C$ و $\mathbb D$ غير متكافئين مطابقةً.

**برهان.** لتكن $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ ولننظر في $g(z) =
f(1/z)$ على $\C^*$: وهي [دالة هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) لها [شذوذ معزول](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#def-b3-residues-singularities) عند $0$. فلو كان جوهريًّا، لجعلت كازوراتي–فايرشتراس ([المبرهنة 17.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-riemanncw)) المجموعةَ $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ كثيفة، بينما $f(D(0, 1))$ مفتوحة ومنفصلة عنها (إذ $f$ متباينة: فالمجموعتان صورتان لمجموعتين منفصلتين) — وهو مستحيل من أجل [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) [ومجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) غير خالية. ومنه يكون $0$ قطبًا أو قابلًا للإزالة من أجل $g$، أي إن $\abs{f(z)}$ ذو نمو حدودي على الأكثر: فتكون $f$ كثير حدود ([التمرين 16.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#exo-b3-holomorphic-4)(a)). ويفرض التباين الدرجةَ $1$: فلكثير حدود من درجة أعلى إما جذرٌ مضاعف للمقدار $f - c$ في موضع ما (إذ تنعدم $f'$) وإما عدة صور عكسية متمايزة (دالمبير–غاوس، [المسألة 16.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#pb-b3-holomorphic-1))؛ وفي الحالتين يخفق التباين. وأخيرًا، فتطبيقٌ مطابق $\C \to
\mathbb D$ كان سيكون دالةً صحيحة محدودة: أي ثابتة (بليوفيل) — فلا تكافؤ. ∎

## 18.3 مبرهنة مونتيل

**مبرهنة 18.7 (مونتيل).**

لتكن $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ *محدودة محليًّا*: أي لكل نقطة جوارٌ يكون عليه $\sup_{f\in
\mathcal F}\sup\abs f < \infty$. عندئذٍ لكل متتالية من $\mathcal F$ متتاليةٌ جزئية تتقارب بانتظام على جميع الأجزاء المتراصة من $\Omega$ (إلى نهاية [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)).

**برهان.** [تساوي الاتصال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) المحلي: إذا كان $\abs f \leq M$ على $D(a, 2r)
\subseteq \Omega$ من أجل كل $f \in \mathcal F$، أعطت صيغة كوشي، من أجل $z, z' \in D(a, r)$،

$$
\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi}
\Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr|
\leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2}
= \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :
$$

أي حدًّا ليبشيتزيًّا منتظمًا. ونستنفد $\Omega$ بمتراصات $K_m$؛ وتغطّي كلَّ $K_m$ عددٌ منتهٍ من هذه الأقراص، ومنه تكون $\mathcal F$ محدودة بانتظام [ومتساوية الاتصال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) على $K_m$: فتستخرج أرزيلا–أسكولي ([المبرهنة 7.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-ascoli)) متتاليةً جزئية متقاربة بانتظام على $K_m$؛ ثم نقطّر على $m$. والنهاية [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) حسب [المبرهنة 16.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv). ∎

## 18.4 مبرهنة ريمان في التطبيق

**تعريف 18.8.**

تكون [المجموعة المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) المترابطة $\Omega \subseteq \C$ *بسيطة الترابط* (بالمعنى الهومولوجي، وهو كافٍ لجميع أغراضنا) إذا كان $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ من أجل كل دورة $\gamma$ في $\Omega$ ومن أجل كل $w \notin \Omega$ — أي «لا تحيط أي دورة من $\Omega$ بثقب». وحسب مبرهنة كوشي الشاملة ([المبرهنة 17.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-globalcauchy)) وحسب [القضية 16.5](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#prop-b3-holomorphic-primitive)، يكون على $\Omega$ كهذه *لكل [دالة هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) دالةٌ أصلية*؛ ومن ثَمّ لكل $f \in \mathcal H(\Omega)$ عديمة الجذور لوغاريتمٌ هولومورفي ($\exp\circ$(الدالة الأصلية للمقدار $f'/f$)، معدَّلًا بثابت، بحيث $(f\eu^{-L})' = 0$) وجذور [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) من الرتبة $n$ هي $\eu^{L/n}$.

**مبرهنة 18.9 (مبرهنة ريمان في التطبيق).**

كل [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) [بسيطة الترابط](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\Omega \subsetneq \C$ مع $\Omega
\neq \varnothing$ تكافئ $\mathbb D$ مطابقةً؛ وبإعطاء $z_0 \in \Omega$، يوجد [تطبيق مطابق](#def-b3-conformal-conformal) وحيد $f \colon
\Omega \to \mathbb D$ يحقق $f(z_0) = 0$ و $f'(z_0) >
0$.

**برهان.** *الخطوة 0: العائلة غير خالية.* نختار $b \notin \Omega$: فالمقدار $z - b$ عديم الجذور على $\Omega$، ومنه له جذر تربيعي هولومورفي $h$ (حيث $h^2 = z - b$). و $h$ متباين (إذ $h(z) =
h(z')$ يعطي بالتربيع $z = z'$)، وإذا كان $w \in h(\Omega)$ فإن $-w
\notin h(\Omega)$ (لأن $h(z) = -h(z')$ يعطي أيضًا بالتربيع $z = z'$، فيعطي $w = -w = 0$، وهو مستحيل لأن $h$ عديم الجذور). وبما أن $h(\Omega)$ مفتوحة، فهي تحتوي قرصًا $D(h(z_0), \rho)$؛ عندئذٍ $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$، أي $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ من أجل كل $z \in \Omega$. ومنه فإن

$$
g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}
$$

[هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) ومتباينة (بوصفها [تحويل موبيوس](#ex-b3-conformal-mobius) مركَّبًا مع $h$ المتباين)، مع $\abs g \leq \frac12 < 1$. وبتركيبها مع [عامل بلاشكه](#thm-b3-conformal-autdisc) ([المبرهنة 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) لنقل $g(z_0)$ إلى $0$، تكون العائلة

$$
\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ هولومورفية ومتباينة،} f(z_0) = 0\}
$$

غير خالية.

*الخطوة 1: عنصر أقصوي.* لتكن $s =
\sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ($> 0$: إذ الأعضاء متباينون، ومنه $f'(z_0) \neq 0$). ونأخذ $f_n \in
\mathcal F$ تحقق $\abs{f_n'(z_0)} \to s$: فالعائلة محدودة بالعدد $1$، ومنه يستخرج مونتيل ([المبرهنة 18.7](#thm-b3-conformal-montel)) متتاليةً $f_n \to f$ بانتظام على المتراصات؛ و $f$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)، و $f(z_0) = 0$، و $\abs{f'(z_0)} = s$ ([المبرهنة 16.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) من أجل المشتقات)، وعلى وجه الخصوص $f$ غير ثابتة؛ و $f$ متباينة بهورفيتز ([التمرين 17.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#exo-b3-residues-8)(b))، و $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$، ومنه $\subseteq
\mathbb D$ (بالتطبيق المفتوح). ومنه تبلغ $f \in \mathcal F$ السوپريموم: أي $s < \infty$.

*الخطوة 2: التطبيق الأقصوي غامر.* لنفترض أن $a \in
\mathbb D\setminus f(\Omega)$. فالنقل ببلاشكه $\varphi_a\circ f$ عديم الجذور على $\Omega$ البسيط الترابط: ومنه له جذر تربيعي هولومورفي $F$ (مع $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$، إذ $\abs F^2 =
\abs{\varphi_a\circ f} < 1$)، ومتباين (لأن المربّعات تميّز). ونعيِّر: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in
\mathcal F$. وبالرجوع: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ
\varphi_{-F(z_0)}\circ G$ حيث $s_2(w) = w^2$؛ والتطبيق $\Psi
= \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D
\to \mathbb D$ هولومورفي مع $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ و*ليس* دورانًا (إذ ليس متباينًا: لأن $s_2$ ليست كذلك). وبمبرهنة شوارتز المساعدة (الحالة الأكيدة): $\abs{\Psi'(0)} < 1$، وتعطي قاعدة السلسلة $f = \Psi\circ G$ أن $\abs{f'(z_0)} =
\abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — وهو يناقض الأقصوية (ولاحظ $G \in \mathcal F$). ومنه تكون $f$ غامرة: أي تكافؤًا مطابقًا.

*الخطوة 3: التعيير والوحدانية.* نضرب $f$ في $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ لنجعل $f'(z_0) > 0$ (وهذا يبقى في $\mathcal F$). فإذا صلحت $f_1, f_2$ كلتاهما، ثبّت $\psi =
f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ النقطةَ $0$ مع $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$؛ وحسب [المبرهنة 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc) يكون $\psi$ دورانًا $\eu^{\iu\theta}$ مع $\eu^{\iu\theta} > 0$: أي $\psi =
\mathrm{id}$. ∎

**ملاحظة 18.10.**

المبرهنة عبارةُ وجود محضة ذات نطاق مذهل: فمربّع، ونصف مستوٍ، ومتممة شقّ، والمنطقة بين دائرتين متماستين، ومجال ذو حافة كسيرية — كلها مطابقةً مطابقةٌ للقرص $\mathbb D$. وأما ما لا تعطيه: فأي صيغة (إذ التطبيقات الصريحة هي الاستثناء: [التمرين 18.5](#exo-b3-conformal-5))، ولا السلوك على الحافة (وتتكفّل به نظرية أعمق — مبرهنة كاراتيودوري)، ولا وحدانية التمديد إلى $\C$ ولا المجالات متعددة الترابط: فالتاج $\{1 < \abs z < 2\}$ *ليس* مطابقةً قرصًا مثقوبًا، والتيجان ذات نسب أنصاف أقطار مختلفة غير متكافئة (وهي حقيقة أصعب فعلًا).

## 18.5 الدوال التوافقية ونواة بواسون

**قضية 18.11.**

لتكن $\Omega$ [بسيطة الترابط](#def-b3-conformal-simplyconnected) ولتكن $u \colon \Omega \to \R$ توافقية (أي من الصنف $\mathcal C^2$ مع $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$). عندئذٍ $u =
\operatorname{Re}F$ من أجل $F$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)، وحيدة إلى غاية ثابت تخيّلي. ومن ثَمّ تكون $u$ من الصنف $\mathcal C^\infty$، وتحقق خاصية القيمة المتوسطة، وتخضع لمبدأ الأعظمية (فلا قيمة قصوى داخلية أكيدة إلا إذا كانت ثابتة).

**برهان.** تحقق $g = u_x - \iu u_y$ معادلتَي كوشي–ريمان ($P = u_x$ و $Q = -u_y$: $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ و $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$) بمشتقات جزئية متصلة: ومنه تكون $g$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) ([القضية 16.2](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann)؛ وتنتج القابلية للاشتقاق بالمعنى $\R$ من $\mathcal C^1$). وليكن $F_0$ دالةً أصلية (ببساطة الترابط، [التعريف 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected))؛ عندئذٍ يكون للمقدار $\operatorname{Re}F_0$ التدرّج $(u_x, u_y)$ (إذ يُفكّ $F_0' = g$ إلى ذلك بالضبط عبر كوشي–ريمان من أجل $F_0$)، ومنه يكون $u - \operatorname{Re}F_0$ ثابتًا ($\Omega$ مترابطة): فنضبط $F = F_0 + c$. وتنتقل الخصائص من [المبرهنة 16.14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-maximum) ومن [التمرين 16.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#exo-b3-holomorphic-10) (ومن أجل مبدأ الأعظمية مطبَّقًا على $u$ نفسها، استعمل $\eu^{F}$ كما هناك). ∎

**مبرهنة 18.12 (صيغة بواسون؛ مسألة ديريكليه على القرص).**

من أجل $0 \leq r < 1$ نعرّف *نواة بواسون*

$$
P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .
$$

ولتكن $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ متصلة، ونضع، من أجل $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$،

$$
u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .
$$

عندئذٍ تكون $u$ توافقية على $\mathbb D$ وتمتدّ اتصاليًّا إلى $\bar{\mathbb D}$ بقيم حدّية $g$: وهي [الدالة التوافقية](#prop-b3-conformal-harmonicholo) الوحيدة كذلك.

**برهان.** *متطابقات النواة*: بجمع متسلسلتين هندسيتين،

$$
\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 -
r\eu^{\iu\theta}}
= \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},
$$

وهو خارج القسمة المعروض؛ والإيجابية واضحة، و $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (إذ لا ينجو سوى $n = 0$).

*التوافقية*: مع $z = r\eu^{\iu\varphi}$،

$$
u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\,
g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],
$$

(وللنواة بين القوسين الجزءُ الحقيقي $P_r(\varphi - t)$: بالحساب)، والمقدار بين القوسين هولومورفي في $z$ على $\mathbb D$ ([التمرين 16.7](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#exo-b3-holomorphic-7)): ومنه تكون $u$ الجزءَ الحقيقي [لدالة هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)، أي توافقية.

*القيم الحدّية*: تكون $P_r(\cdot)$ وحدةً تقريبية حين $r \to 1^-$: بكتلة $1$، ومن أجل $\delta \leq
\abs\theta \leq \pi$، $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 -
2r\cos\delta + r^2} \to 0$ بانتظام. ويعطي الشطر المعياري (باتصال $g$ بجوار $\eu^{\iu\varphi_0}$، وبالحدّ في غيرها) أن $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to
g(\eu^{\iu\varphi_0})$ حين $r\eu^{\iu\varphi} \to
\eu^{\iu\varphi_0}$، بانتظام في النقطة الحدّية: فيكون التمديد [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity). *والوحدانية*: فرق حلّين توافقي على $\mathbb D$ ومتصل على [الغلق](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) ومعدوم على الحافة: ومنه ينعدم بمبدأ الأعظمية (مطبَّقًا على $\pm$ الفرق). ∎

![المنحنيات المستوية للمقدار Rez2 = x2 - y2 (القطوع الزائدة الحمراء) وللمقدار Imz2 = 2xy (القطوع الزائدة الزرقاء) تتقاطع بزوايا قائمة بعيدًا عن 0: فتطبيقٌ مطابق (z z2، حيث z ≠ 0) يحفظ تعامد خطوط الإحداثيات. وعند z = 0، حيث تنعدم المشتقة، تتضاعف الزوايا بدل ذلك.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-conformal/fig-519b9b0ea3e1.svg)

*المنحنيات المستوية للمقدار $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (القطوع الزائدة الحمراء) وللمقدار $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (القطوع الزائدة الزرقاء) تتقاطع بزوايا قائمة بعيدًا عن $0$: فتطبيقٌ مطابق ($z \mapsto z^2$، حيث $z \neq 0$) يحفظ تعامد خطوط الإحداثيات. وعند $z = 0$، حيث تنعدم المشتقة، تتضاعف الزوايا بدل ذلك.*

## 18.6 تمارين

**تمرين 18.1 ★.**

(a) تحقق من أن [تحويل كايلي](#ex-b3-conformal-mobius) $\varphi(z) = \frac{z -
\iu}{z + \iu}$ تقابلٌ $\mathbb H \to \mathbb D$ بالمقلوب المذكور، واحسب صور $\iu$ و $0$ و $1$ و $\infty$ (بالنهاية). (b) برهن على أن $z \mapsto 1/z$ يرسل الدوائر والمستقيمات إلى دوائر ومستقيمات. *(اكتب معادلتها المشتركة $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$، $\alpha, \gamma \in \R$.)* واستنتج الشيء نفسه من أجل جميع تحويلات موبيوس.

**حل التمرين 18.1.**

(a) يتركّب $\varphi$ و $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ ليعطيا المطابقة بالترتيبين (بالحساب المباشر)؛ ويرسل $\varphi$ الفضاء $\mathbb H$ في $\mathbb D$ ويرجع $\psi$ ([المثال 18.2](#ex-b3-conformal-mobius)). والقيم: $\varphi(\iu) = 0$، و $\varphi(0) = -1$، و $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} =
-\iu$، و $\varphi(z) \to 1$ حين $z \to \infty$.

(b) الدوائر والمستقيمات هي مجموعات حلول $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ (حيث $\alpha, \gamma \in \R$ و $\beta \in \C$ و $\abs\beta^2 >
\alpha\gamma$): فإن $\alpha \neq 0$ تعطي دوائر و $\alpha = 0$ تعطي مستقيمات. وبتعويض $z = 1/w$ والضرب في $\abs w^2$: $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — أي العائلة نفسها. والتطبيقات التآلفية تحفظ العائلة بوضوح، وكل [تحويل موبيوس](#ex-b3-conformal-mobius) تركيبٌ لتطبيقات تآلفية وقلبٍ واحد ($\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc -
ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ من أجل $c \neq 0$).

**تمرين 18.2 ★.**

لتكن $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo). (a) إذا كان $f(0) = 0$ و $f(a) = a$ من أجل $a \neq 0$ ما، برهن على $f
= \mathrm{id}$. (b) وإذا كانت $f$ تشاكلًا ذاتيًّا له نقطتان صامدتان متمايزتان في $\mathbb D$، برهن على $f = \mathrm{id}$ *(بالاقتران [بعامل بلاشكه](#thm-b3-conformal-autdisc) للإرجاع إلى (a))*.

**حل التمرين 18.2.**

(a) تعطي شوارتز $\abs{f(a)} \leq \abs a$ مع التساوي (إذ الطرفان $= \abs a$): فتفرض حالة التساوي أن $f(z) =
\eu^{\iu\theta}z$، ويثبّت $f(a) = a$ المقدارَ $\eu^{\iu\theta} = 1$.

(b) ليكن $a \neq b$ نقطتين صامدتين ولتكن $g =
\varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — باستعمال [المبرهنة 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc) من أجل $\varphi_{\pm a}$. عندئذٍ $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ و $g(c) = c$ من أجل $c =
\varphi_a(b) \neq 0$: فحسب (a)، $g = \mathrm{id}$، ومنه $f =
\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$.

**تمرين 18.3 ★★.**

(شوارتز–بيك) من أجل $f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)، برهن على

$$
\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\;
\frac{1}{1 - \abs z^2}
\qquad (z \in \mathbb D),
$$

مع التساوي (عند نقطة واحدة، ومن ثَمّ في كل مكان) إذا وفقط إذا كان $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$. *(بتطبيق شوارتز على $\varphi_{f(z)}\circ
f\circ\varphi_{-z}$.)* والتفسير: أن التطبيقات الذاتية [الهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) تقلّص المتري الزائدي.

**حل التمرين 18.3.**

نثبّت $z$ ونضع $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$: فهي [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) $\mathbb D \to \mathbb D$ مع $g(0) = 0$، ومنه $\abs{g'(0)} \leq 1$ (بشوارتز). وبقاعدة السلسلة مع $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar
a\zeta)^2}$:

$$
g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot
\varphi_{-z}'(0)
= \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),
$$

ومن هنا متراجحة شوارتز–بيك. والتساوي عند $z$ ما يجعل $g$ دورانًا، ومنه $f =
\varphi_{-f(z)}\circ(\text{دوران})\circ\varphi_z \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — وعندئذٍ يقع التساوي في كل مكان (بالحساب، أو بإعادة التطبيق مع تبادل دورَي $f, f^{-1}$). فالتطبيقات الذاتية [الهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) للقرص ليبشيتزية بالثابت $1$ بالنسبة إلى المتري الزائدي $\frac{2\abs{\dd
z}}{1 - \abs z^2}$؛ والتشاكلات الذاتية هي تقايساته.

**تمرين 18.4 ★★.**

جد تكافؤات مطابقة صريحة: (a) الشريط $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$؛ (b) الربع $\{\operatorname{Re}z > 0,
\operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$؛ (c) نصف القرص $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ ربعًا، ثم $\to \mathbb H$؛ (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ يرسل $\frac12$ إلى $0$ بمشتقة موجبة هناك.

**حل التمرين 18.4.**

(a) $z \mapsto \eu^z$: يرسل $\{0 < \operatorname{Im}z <
\pi\}$ تقابليًّا على $\mathbb H$ (إذ $\eu^{x+\iu y} =
\eu^x\eu^{\iu y}$: الطويلة حرة، والعمدة $y \in
\intoo0\pi$)، وهو هولومورفي بمشتقة غير منعدمة ومقلوب هولومورفي (باللوغاريتم $\log$ الرئيسي). (b) يضاعف $z \mapsto z^2$ العُمَد: فيرسل الربع المفتوح $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ مطابقةً على $\mathbb
H$ (والمقلوب: الجذر التربيعي الرئيسي). (c) يرسل $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ القرصَ $\mathbb D$ على نصف المستوي الأيمن ويحفظ التماثل بين الأعلى والأسفل: فيرسل نصف القرص العلوي على الربع الأول؛ ثم نربّع، حسب (b)، لنبلغ $\mathbb H$: $z \mapsto \bigl(\frac{1
+ z}{1 - z}\bigr)^2$. (d) [عامل بلاشكه](#thm-b3-conformal-autdisc) $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z -
\frac12}{1 - \frac z2}$: $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ و $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 -
\frac14)^2} = \frac43 > 0$.

**تمرين 18.5 ★★.**

(a) برهن على أنه لا يوجد أي [تطبيق مطابق](#def-b3-conformal-conformal) $\C \to \mathbb D$ ولا $\C \to
\mathbb H$، ولا $\mathbb D \to \C$. (b) وأيٌّ مما يلي يكافئ $\mathbb D$ مطابقةً؟ برّر عبر [المبرهنة 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) أو بعائق: مربّع؛ و $\C\setminus\intoc{-\infty}0$؛ و $\mathbb D\setminus\{0\}$؛ و $\{1 < \abs z < 2\}$. *(من أجل الأخيرين: صورةٌ مطابقة للقرص المثقوب كانت ستمتدّ عبر الثقب حسب [المبرهنة 17.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-riemanncw)(1) — فصّل ذلك.)*

**حل التمرين 18.5.**

(a) تطبيقٌ مطابق $\C \to \mathbb D$ (أو من $\mathbb H$، بعد التركيب مع كايلي) يكون دالةً صحيحة محدودة: أي ثابتة بليوفيل — فليس تقابلًا. وتطبيقٌ مطابق $\mathbb
D \to \C$ كان سيكون له مقلوب مطابق $\C \to \mathbb D$: أي التناقض نفسه.

(b) المربّع محدّب، ومنه بسيط الترابط، وفعلي: فهو مطابقةً $\mathbb D$ ([المبرهنة 18.9](#thm-b3-conformal-rmt)). والمستوي المشقوق $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ نجمي الشكل بالنسبة إلى $1$ (إذ تتفادى القطع المنطلقة من $1$ الشقَّ)، ومنه بسيط الترابط، وفعلي: فهو مطابقةً $\mathbb D$. وأما القرص المثقوب: فلو كان $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ مطابقًا، لكان $g$ محدودًا، ومنه يكون $0$ قابلًا للإزالة ([المبرهنة 17.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-riemanncw)): فيمتدّ $g$ إلى $\tilde g
\colon \mathbb D \to \mathbb D$، ويكون $\tilde g(0)$، بوصفه في الصورة المفتوحة $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$، مساويًا أيضًا $g(w)$ من أجل $w \neq 0$ ما؛ ولجوارين منفصلين للنقطتين $0$ و $w$ صورتان مفتوحتان تتقاسمان القيمة $\tilde g(0)$، ومنه تتقاسمان قيمًا *أخرى* أيضًا (لأنهما مفتوحتان): فيأخذ $g$ قيمةً ما مرتين على $\mathbb D\setminus\{0\}$ — وهو يناقض التباين. وأما التاج $A = \{1 < \abs z < 2\}$: فلنفترض أن $F \colon \mathbb D
\to A$ مطابق. فإن $F$ عديم الجذور على $\mathbb D$ البسيط الترابط، ومنه $F = \eu^L$ من أجل $L$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) ([التعريف 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)). ولتكن $\sigma$ الدائرةَ $\abs z = \frac32$ في $A$ ولتكن $\gamma =
F^{-1}\circ\sigma$، وهو مسار مغلق في $\mathbb D$؛ عندئذٍ

$$
1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0)
= \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0
$$

(لأن للمقدار $L'$ دالةً أصلية): وهو تناقض. فلا القرص المثقوب ولا التاج قرصٌ متنكّر.

**تمرين 18.6 ★★.**

لتكن $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\
\operatorname{Re}f > 0\}$. (a) برهن على أن $\mathcal F$ محدودة محليًّا. *(بالتركيب مع التطبيق من نمط كايلي $w \mapsto \frac{w -
1}{w + 1}$ الذي يرسل نصف المستوي الأيمن إلى $\mathbb D$، ثم بتطبيق شوارتز.)* (b) استنتج *حدّ هرغلوتس*: $\abs{f(z)} \leq
\frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ من أجل $f \in \mathcal F$، مع إمكانات التساوي.

**حل التمرين 18.6.**

(a) يرسل $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ المجموعةَ $\{\operatorname{Re}w >
0\}$ مطابقةً على $\mathbb D$ (أي كايلي مدارًا: إذ $\abs{w -
1} < \abs{w + 1}$ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{Re}w > 0$)، مع $T(1) =
0$. ومن أجل $f \in \mathcal F$، تكون $g = T\circ f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) مع $g(0) = 0$: فتعطي شوارتز $\abs{g(z)} \leq \abs z$.

(b) وبقلب $T$: $f = \frac{1 + g}{1 - g}$، ومنه

$$
\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}}
\leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :
$$

وهو محدود محليًّا (بانتظام على $\abs z \leq r < 1$). والتساوي عند $z_0 \neq 0$ يفرض $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ والاصطفاف: أي إن $g$ دوران، أي $f(z) = \frac{1 +
\eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — وهي *أقصويات هرغلوتس*، أي التطبيقات المطابقة على نصف المستوي الأيمن.

**تمرين 18.7 ★★★.**

أين يستعمل برهان [المبرهنة 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) كلَّ فرضية؟ تتبّع: (أ) بساطة الترابط (مرتين)؛ (ب) $\Omega \neq \C$؛ (ج) الترابط. ثم برهن على أن المبرهنة *تخفق* من أجل $\Omega = \C$ ومن أجل التاج، معيّنًا أي خطوة من البرهان تنكسر في كل حالة.

**حل التمرين 18.7.**

(أ) تدخل بساطة الترابط مرتين بالضبط، عبر وجود الجذور التربيعية [الهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) للدوال العديمة الجذور ([التعريف 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)): في الخطوة 0 (جذر $z - b$) وفي الخطوة 2 (جذر $\varphi_a\circ f$). (ب) ويوفّر $\Omega \neq \C$ النقطةَ $b$ في الخطوة 0 — فبدونها تخلو العائلة $\mathcal F$ من التطبيقات المتباينة المحدودة (بليوفيل). (ج) ويُستعمل الترابط كلما تكلمت مبرهنة التطابق أو هورفيتز ([التمرين 17.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#exo-b3-residues-8)): إذ تكون النهاية الأقصوية «متباينة أو ثابتة»، ويستبعد $s > 0$ الثباتَ؛ وكذلك في «المشتقة المعدومة تستلزم الثبات». وأما الإخفاق من أجل $\C$: فالخطوة 0 مستحيلة، والنتيجة خاطئة ([التمرين 18.5](#exo-b3-conformal-5)(a)). وأما الإخفاق من أجل التاج: فهو ليس بسيط الترابط — فينكسر بناء الجذر التربيعي (مثلًا $z$ نفسه، وهو عديم الجذور على $A$، ليس له جذر تربيعي هولومورفي: بحساب الدليل نفسه كما في [التمرين 18.5](#exo-b3-conformal-5)(b) مع $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$) — والنتيجة خاطئة أيضًا.

**تمرين 18.8 ★★.**

حُلّ مسألة ديريكليه على $\mathbb D$ من أجل المعطيات الحدّية: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$؛ (b) $g(\eu^{\iu t}) =
\cos^2 t$؛ (c) $g = \mathbf 1_{\text{نصف الدائرة العلوي}}$ — ومن أجل (c) احسب $u(0)$ وفسّره بخاصية القيمة المتوسطة. *(انشر $g$ في متسلسلة فورييه واستعمل متسلسلة $P_r$: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g)
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$.)*

**حل التمرين 18.8.**

بتعويض نشر فورييه للدالة $g$ في تكامل بواسون وباستعمال $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t =
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (بقراءة متسلسلة $P_r$): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs
n}\eu^{\iu n\varphi}$، والتبديل مبرَّر بالتقارب الناظمي ($\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$، حيث $r < 1$).

(a) $g = \cos t$: $c_{\pm1} = \frac12$، ومنه $u =
r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — وهي فعلًا توافقية بالقيم الحدّية الصحيحة.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$: $u = \frac12 +
\frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 +
\frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 -
y^2}{2}$.

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (نصف الدائرة العلوي): $c_0 =
\frac12$ و $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ من أجل $n \neq
0$، ومنه

$$
u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0}
\frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1},
\qquad u(0) = \frac12 :
$$

فيرى المركز بالضبط متوسط المعطيات الحدّية — أي خاصية القيمة المتوسطة بشخصها.

**تمرين 18.9 ★★★.**

(هارناك) لتكن $u \geq 0$ توافقية على $\mathbb D$. برهن، من أجل $\abs z = r < 1$، على

$$
\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\;
\frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)
$$

*(بحدّ [نواة بواسون](#thm-b3-conformal-poisson) بين $\frac{1-r}{1+r}$ و $\frac{1+r}{1-r}$؛ وبتطبيق [التمثيل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/5-representations-of-finite-groups#def-b3-representations-rep) على أقراص أصغر قليلًا والمرور إلى النهاية)*. واستنتج: أن دالةً توافقية على $\C$ محدودة من الأسفل تكون ثابتة.

**حل التمرين 18.9.**

من $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$:

$$
\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta)
\leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .
$$

ومن أجل $u \geq 0$ توافقية على $\mathbb D$ ومن أجل $s < 1$: تكون $u_s(z) =
u(sz)$ توافقية على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $\bar{\mathbb D}$، ومنه تساوي تكامل بواسون لها ([المبرهنة 18.12](#thm-b3-conformal-poisson)، بالوحدانية، مطبَّقة على قيمها الحدّية)؛ وبحصر النواة وباستعمال القيمة المتوسطة $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$:

$$
\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq
\frac{1+r}{1-r}\,u(0).
$$

ونجعل $s \to 1^-$ عند $r\eu^{\iu\varphi}$ مثبَّتة (باتصال $u$): فنجد متراجحتَي هارناك. وإذا كانت $u$ توافقية على $\C$ مع $u \geq m$: طبّقنا هارناك على $u - m$ على الأقراص $D(0, R)$، أي على $z \mapsto u(Rz) - m$: فمن أجل $z$ مثبَّتة و $r =
\abs z/R \to 0$، يؤول الحدّان إلى $u(0) - m$: أي $u(z) =
u(0)$ — فهي ثابتة (أي ليوفيل ذو طرفين انطلاقًا من حدّ من جانب واحد).

**تمرين 18.10 ★★.**

باستعمال صمود التوافقية بالتطبيقات المطابقة (إذ تكون $u\circ f$ توافقية حين تكون $u$ توافقية و $f$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) — برهن على ذلك عبر [القضية 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo) محليًّا)، حُلّ مسألة ديريكليه على نصف المستوي العلوي بالمعطيات الحدّية $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$: برهن على أن

$$
u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y)
\qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ على} \mathbb H)
$$

توافقية على $\mathbb H$ (بوصفها الجزء التخيّلي [للوغاريتم هولومورفي](#def-b3-conformal-simplyconnected)) بالنهايات الحدّية المطلوبة عند كل $x \neq
0$، وانقلها إلى القرص بكايلي لتستنبط [التمرين 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c) من جديد.

**حل التمرين 18.10.**

محليًّا، $u = \operatorname{Re}F$ مع $F$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) ([القضية 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo))، ومنه تكون $u\circ f =
\operatorname{Re}(F\circ f)$ توافقية حيثما عُرِّفت: فالتوافقية صامدة بالتطبيقات المطابقة. وعلى $\mathbb H$: يعطي اللوغاريتم الرئيسي أن $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ هولومورفي على $\mathbb H$، ومنه تكون $u = \frac1\pi\arg z =
\operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ توافقية، بنهايات حدّية: فمن أجل $x > 0$، $\arg \to 0$ و $u \to 0$؛ ومن أجل $x < 0$، $\arg \to \pi$ و $u \to 1$: أي المعطيات $\mathbf
1_{\intoo{-\infty}0}$ عند كل $x \neq 0$. وبنقلها [بتحويل كايلي](#ex-b3-conformal-mobius) (الذي يرسل $\mathbb D \to \mathbb H$ بعد القلب ويطابق نصف الدائرة العلوي مع المحور السالب، إلى غاية الدوران المعيَّن بتتبّع ثلاث نقاط حدّية)، تحل $u\circ(\text{كايلي})$ مسألةَ القرص في [التمرين 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c)؛ وبالتقييم عند المركز نستعيد $u = \frac12$ هناك، ويمكن فحص الصيغة المغلقة $\frac1\pi\arg$ مقابل المتسلسلة بجمع متطابقات من نمط $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} =
\frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ — أي الطريق الابتدائي إلى الجواب نفسه.

**تمرين 18.11 ★★.**

(النقاط الصامدة والتكرار في القرص) لتكن $f\colon\mathbb
D \to \mathbb D$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo). (a) برهن على أنه إذا كانت للدالة $f$ نقطتان صامدتان *متمايزتان*، فإن $f = \mathrm{id}$ *(بنقل إحداهما إلى $0$ بتشاكل ذاتي وبتطبيق حالة التساوي في شوارتز)*. (b) لنفترض أن $f(0) = 0$ وأن $f$ ليست دورانًا. برهن على أن المكرَّرات $f^{\circ n} \to 0$ بانتظام على كل متراصة $\bar D(0, r)$ حيث $r < 1$ *(إذ تعطي شوارتز أن $\abs{f(z)}
\leq c_r\abs z$ على $\bar D(0,r)$ مع $c_r < 1$ — وبرّر هذا الثابت الأكيد بمبدأ الأعظمية مطبَّقًا على $f(z)/z$)*. (c) وضّح ذلك على $f(z) = \frac{z^2 + z}2$: النقاط الصامدة، وسرعة تقارب مدار $z_0 =
\frac12$.

**حل التمرين 18.11.**

(a) ليكن $a \neq b$ صامدتين. وبالاقتران بالتشاكل $\varphi_a(z) =
\frac{z - a}{1 - \bar az}$ (وهو تشاكل ذاتي يبادل بين $a$ و $0$)، يثبّت $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ النقطةَ $0$ والنقطةَ $c = \varphi_a(b) \neq 0$. وبشوارتز: $\abs{g(z)} \leq \abs z$، وعند $z = c$ يقع التساوي ($g(c) = c$): فتفرض حالة التساوي أن $g(z) = \lambda z$ مع $\abs\lambda = 1$، ويعطي $\lambda c = c$ أن $\lambda =
1$: ومنه $g = \mathrm{id}$، ومن ثَمّ $f = \mathrm{id}$.

(b) الدالة $h(z) = f(z)/z$ ([بشذوذ قابل للإزالة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#thm-b3-residues-riemanncw) عند $0$) [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) على $\mathbb D$ مع $\abs h \leq 1$ (بشوارتز)؛ ويكون $\abs h < 1$ في كل مكان، وإلا لجعل مبدأ الأعظمية (بقيمة عظمى داخلية للمقدار $\abs h$) الدالةَ $h$ ثابتًا أحادي الطويلة، أي $f$ دورانًا — وهو مستبعد. وعلى المتراصة $\bar D(0,r)$، $c_r = \max\abs h < 1$، ومنه $\abs{f(z)} \leq
c_r\abs z$ هناك؛ وفوق ذلك يرسل $f$ المجموعةَ $\bar D(0,r)$ في نفسها ($c_r\abs z \leq r$)، ومنه يتكرر الحدّ: أي $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ بانتظام على $\bar D(0, r)$.

(c) النقاط الصامدة للتطبيق $\frac{z^2 + z}2$: $z^2 + z = 2z$ إذا وفقط إذا كان $z(z - 1) = 0$؛ ولا تقع في $\mathbb D$ سوى $z = 0$ (إذ $z = 1$ على الحافة). وهو ليس دورانًا ($f'(0) = \frac12$)، ومنه تؤول المدارات إلى $0$؛ وكمّيًّا يعطي $f(z) = \frac z2(1 + z)$ أن $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ على $\abs z \leq
\frac12$، وحالما يصغر المدار، $\abs{f(z)} \approx
\frac{\abs z}2$: أي هندسي مقاربًا بالنسبة $f'(0) = \frac12$. ومن $z_0 = \frac12$: $z_1 = \frac38$، $z_2 \approx 0.258$، $z_3 \approx 0.162$ — أي تنصيفٌ في كل خطوة، كما يتنبّأ المضاعِف.

**تمرين 18.12 ★★.**

(المرافقات التوافقية، عمليًّا) لتكن $u(x, y) = x^3 - 3xy^2
+ 2y$. (a) تحقق من أن $u$ توافقية على $\R^2$، وجد جميع مرافقاتها التوافقية $v$ (أي بحيث يكون $u + \iu v$ هولومورفيًّا) بمكاملة معادلتَي كوشي–ريمان؛ وعيّن $f(z) =
u + \iu v$ بوصفه كثير حدود في $z$. (b) برهن على أنه على [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) *نجمية الشكل*، تقبل كل [دالة توافقية](#prop-b3-conformal-harmonicholo) مرافقةً توافقية، وحيدةً إلى غاية ثابت جمعي *(إذ الصيغة التفاضلية من الرتبة $1$ $-u_y\,\dd x +
u_x\,\dd y$ مغلقة؛ وبآلة الدوال الأصلية في [المبرهنة 16.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-cauchy)، أو بالمبرهنة المساعدة لپوانكاريه في [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem#ch-b3-forms))*. (c) أعطِ المثال المضاد المعياري على $\C^*$: أن $u = \ln\abs z$ ليست لها مرافقة شاملة — واربط ذلك بالصيغة الزاوية وبعدد اللف ([الفصل 21](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem#ch-b3-forms)).

**حل التمرين 18.12.**

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$. وتطلب كوشي–ريمان أن $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ و $v_x = -u_y = 6xy - 2$. وبمكاملة الأولى في $y$: $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$؛ وبإدخال ذلك في الثانية: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$، ومنه $c(x)
= -2x + C$. ومن ثَمّ $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ و

$$
f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3)
+ 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .
$$

(b) الصيغة $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ مغلقة بالضبط لأن $\Delta u = 0$ ($\partial_y(-u_y) =
-u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$). وعلى [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) نجمية الشكل توفّر المبرهنة المساعدة لپوانكاريه ([المبرهنة 21.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem#thm-b3-forms-poincare)؛ أو بناء الدالة الأصلية في [المبرهنة 16.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-cauchy) مطبَّقًا على [الدالة الهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) $u_x - \iu u_y$) دالةً $v$ تحقق $\dd v = \omega$، أي جملة كوشي–ريمان: فيكون $u + \iu v$ هولومورفيًّا. ومرافقتان تختلفان بدالة تدرّجها معدوم: أي بثابت (بالترابط).

(c) ومن أجل $u = \ln\abs z$ على $\C^*$: $\omega = -u_y\dd x +
u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\omega_\theta$، أي الصيغة الزاوية ([المثال 21.14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem#ex-b3-forms-angular))، وتكاملها على امتداد الدائرة الواحدية $2\pi \neq 0$: فهي ليست تامة، ومنه لا توجد أي مرافقة شاملة — إذ كانت المرافقة ستكون تعيينًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) للعمدة، وعدد اللف هو العائق بالضبط. ومحليًّا (على أي مجال جزئي نجمي الشكل)، تصلح $v =
\arg z$ ويكون $u + \iu v = \log z$: فالإخفاق شامل لا محلي.

## 18.7 مسألة: مبرهنة المساحة ومبرهنة كوبه للربع

**مسألة 18.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — كم يجب أن يغطي تطبيق أحادي التكافؤ؟

الدالة *أحادية التكافؤ* هي غمرٌ هولومورفي. والدوال الأحادية التكافؤ المعيَّرة على القرص،

$$
\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ متباينة},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},
$$

مقيَّدة تقييدًا صارمًا: فنبرهن على متراجحة بيبرباخ $\abs{a_2} \leq 2$ ونستنتج *مبرهنة كوبه للربع*: أن صورة أي $f \in \mathcal S$ تحتوي القرص $D(0, \frac14)$ — أي الثابت الشامل المضبوط للهندسة المطابقة.

**الجزء الأول — مبرهنة المساحة.** لتكن $g(w) = w
+ b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) و*متباينة* على $\{\abs w > 1\}$.

1. من أجل $\rho > 1$، لتكن $A_\rho$ مساحةَ ([قياس لوبيغ](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-lebesgueouter)) المجموعة المتراصة $K_\rho = \C\setminus  g(\{\abs w > \rho\})$، أي المنطقة المحاطة بمنحني جوردان الناعم $g(C_\rho)$. وباستعمال صيغة المساحة في مبرهنة غرين–ريمان من مجلد السنة الجامعية 2 — أي إن المساحة المحاطة هي $\frac1{2\iu}  \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ على امتداد الحافة الموجَّهة إيجابيًّا — برهن على أن $$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho}  \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w  = \pi\Bigl(\rho^2 -  \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$$ عوّض متسلسلتَي لوران للمقدارين $\bar g$ و $g'$ على $C_\rho$ وكامل حدًّا حدًّا (بالتقارب الناظمي؛ ولا تنجو سوى الجداءات ذات التردد المعدوم).
2. اجعل $\rho \to 1^+$ واخلص إلى *مبرهنة المساحة*: $$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$$ وعلى وجه الخصوص $\abs{b_1} \leq 1$. ومتى يكون $\abs{b_1}  = 1$؟

**الجزء الثاني — متراجحة بيبرباخ $\abs{a_2} \leq
2$.** لتكن $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$.

3. برهن على أن $f(z^2)/z^2$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) وعديمة الجذور على $\mathbb D$ ، وتقبل جذرًا تربيعيًّا هولومورفيًّا $\varphi$ يحقق $\varphi(0) = 1$ ؛ وضع $h(z) =  z\varphi(z^2)$ ، بحيث $h(z)^2 = f(z^2)$ . وبرهن على أن $h$ دالةٌ *فردية* أحادية التكافؤ على $\mathbb  D$ بنشر $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 +  \cdots$ . *(التباين: $h(z)^2 = h(z')^2$ يفرض $z^2 = z'^2$؛ ثم أنهِ بالفردية.)*
4. طبّق مبرهنة المساحة على $g(w) = 1/h(1/w) = w -  \frac{a_2}{2w} + \cdots$ على $\{\abs w > 1\}$ (وتحقق من أحادية التكافؤ ومن النشر)، واخلص إلى $\abs{a_2} \leq 2$ .
5. برهن على أن *دالة كوبه* $$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$$ تنتمي إلى $\mathcal S$، وأن $a_2 = 2$، وأنها ترسل $\mathbb D$ على $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ *(اكتب $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 -  z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ وتتبّع الصور)*: فتكون جميع المتراجحات الآتية مضبوطة.

**الجزء الثالث — مبرهنة الربع.**

6. لتكن $f \in \mathcal S$ وليكن $c \notin f(\mathbb D)$. برهن على أن $$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$$ تنتمي إلى $\mathcal S$، واحسب معاملها الثاني: $A_2 = a_2 + \frac1c$.
7. طبّق بيبرباخ على كلٍّ من $f$ و $F$ : واخلص إلى $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ ، أي $\abs c \geq \frac14$ . *فكل قيمة متجاهَلة طويلتها $\geq \frac14$* : أي $f(\mathbb D) \supseteq  D(0, \frac14)$ — وهي مبرهنة كوبه للربع. وتحقق من الضبط على دالة كوبه.
8. استنتج تقديرًا كمّيًّا لتطبيق ريمان: أنه إذا كان $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ تطبيقَ ريمان في [المبرهنة 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) عند $z_0$، فإن $$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4}  \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\;  4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$$ — وبرهن على الأقل على المتراجحة اليسرى بتطبيق كوبه على $\varphi^{-1}$ معيَّرًا بكيفية مناسبة، وعلى اليمنى بشوارتز مطبَّقة على $\varphi$ على القرص $D(z_0, d) \subseteq \Omega$.

**الجزء الرابع — المنظور.**

9. حدس بيبرباخ (1916) أن $\abs{a_n} \leq n$ من أجل كل $n$، مع التساوي من أجل دورانات دالة كوبه فقط؛ وبرهن دي برانج على ذلك عام 1985. تحقق من الحدس يدويًّا من أجل دالة كوبه ودوراناتها $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$. ثم ادفع نشر السؤال 4 حدًّا إضافيًّا: بكتابة $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$، برهن على $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ وعلى $$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} +  \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} +  \cdots ,$$ بحيث تعطي مبرهنة المساحة المتراجحةَ المحسَّنة $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 -  \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$. وتحقق منها على دالة كوبه ($a_2 = 2$، $a_3 = 3$).

**الجزء الخامس — مبرهنة التشويه.** متراجحة بيبرباخ، منقولةً حول القرص بالتشاكلات الذاتية، تتحكم في $f'$ في كل مكان. ونثبّت $f \in \mathcal
S$.

10. (تحويل كوبه) من أجل $z_0 \in \mathbb D$ لتكن $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$، وهي تشاكل ذاتي للقرص ([المبرهنة 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) مع $\varphi(0) = z_0$. برهن على أن $$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)}  {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$$ تنتمي إلى $\mathcal S$ *(إذ تُورَث أحادية التكافؤ؛ واحسب $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ وتحقق من التعيير؛ وتذكّر أن $f' \neq 0$ من أجل $f$ متباينة، [التعريف 18.1](#def-b3-conformal-conformal))*.
11. احسب المعامل الثاني $A_2 = \frac12F''(0)$ للدالة $F$: $$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)  \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$$ واستنتج من بيبرباخ (السؤال 4)، من أجل $z =  r\eu^{\iu\theta}$، *المتراجحة الأساسية*: $$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} -  \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr|  \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$$
12. استخرج الجزء الحقيقي: $$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\;  \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr)  \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$$
13. برهن على أن $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|  f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t  \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ عند $z = t\eu^{\iu\theta}$ *(إذ من أجل دالة $g$ غير منعدمة من الصنف $\mathcal C^1$ لمتغيّر حقيقي، $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g =  \operatorname{Re}(g'/g)$)*، وكامل حدود السؤال 12 على امتداد نصف المستقيم لتحصل على *مبرهنة التشويه*: $$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)}  \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3},  \qquad \abs z = r .$$
14. استنتج *مبرهنة النمو*: $$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\;  \frac{r}{(1 - r)^2},  \qquad \abs z = r$$ *(الحدّ الأعلى: بمكاملة $f'$ على القطعة $[0, z]$؛ والحدّ الأدنى: إذا كان $\abs{f(z)} < \frac14$، فإن القطعة $[0, f(z)]$ تقع في $f(\mathbb D)$ حسب السؤال 7؛ فأرجعها بواسطة $f^{-1}$ — وهو هولومورفي حسب [النتيجة 17.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#cor-b3-residues-openmapping) — وحُدّ $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}  \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 +  t)^3}\,\dd t$ باستعمال $\abs{\dd\zeta} \geq  \dd\abs\zeta$)*.
15. تحقق من أن دالة كوبه تحقق التساوي في الحدود الأربعة كلها، عند $z = r$ من أجل العلوية وعند $z = -r$ من أجل السفلية: فتكون $k$ في آن واحد أكثر أعضاء $\mathcal S$ توسيعًا، وعند النقطة المقابلة، أكثرها تقليصًا.

**الجزء السادس — الصرامة الأقصوية.** في كل متراجحة حتى الآن، يعيّن التساوي دالةَ كوبه إلى غاية دوران. ونبرهن على ذلك، ثم نحصد.

16. لنفترض أن $f \in \mathcal S$ تحقق $\abs{a_2} = 2$. تتبّع التساوي عبر الأسئلة 2–4: فتفرض مبرهنة المساحة أن $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$؛ وتجعل فردية $h$ الدالةَ $g$ فردية، ومنه $b_0 = 0$؛ ثم اقلب لتجد $h$، ثم $f$، واخلص إلى أن $$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr)  \quad\text{حيث} \eu^{\iu\theta} =  -\eu^{\iu\alpha} :$$ فتكون دورانات دالة كوبه هي أعضاء $\mathcal S$ الوحيدة التي تحقق $\abs{a_2} = 2$.
17. برهن على أنه إذا تجاهلت $f \in \mathcal S$ قيمةً $c$ تحقق $\abs c = \frac14$ بالضبط، فإن $f$ دورانٌ لدالة كوبه، وعيّن $c =  -\eu^{-\iu\theta}/4$ *(بتتبّع التساوي عبر سلسلة السؤال 7 $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2}  \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$)* : فلا يبلغ ثابتَ مبرهنة الربع إلا العائلة الأقصوية.
18. (المعاملات بثمن بخس) اجمع مبرهنة النمو مع [تقديرات كوشي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-analytic) ([المبرهنة 16.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-analytic)) على الدائرة $\abs z = 1 - \frac1n$ لتبرهن على $$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$$ (ودي برانج، 1985: $\abs{a_n} \leq n$؛ والعامل $\eu n$ هو ثمن الأدوات الابتدائية.)
19. (تغطية الأقراص الجزئية) برهن على أنه من أجل كل $0 < r <  1$، $$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq  D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$$ وهي مضبوطة من أجل دالة كوبه، واستعد مبرهنة الربع حين $r \to 1^-$. *(نقاط حافة الصورة المفتوحة $f(D(0,r))$ تقع على $f(\partial D(0,r))$، ومنه طويلتها $\geq  \frac{r}{(1+r)^2}$ حسب السؤال 14؛ وقطعةٌ من $0$ إلى نقطة متجاهَلة أصغر طويلةً كانت ستضطر إلى قطع تلك الحافة.)*
20. (كوبه عند كل نقطة) لتكن $f$ أحادية التكافؤ على $\mathbb D$، وليست بالضرورة معيَّرة، ولتكن $z_0  \in \mathbb D$. برهن على $$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}  \;\leq\;  d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr)  \;\leq\;  \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$$ *(اليسرى: بمبرهنة الربع مطبَّقة على تحويل كوبه في السؤال 10؛ واليمنى: بشوارتز ([المبرهنة 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) مطبَّقة على $\psi^{-1}\circ\hat g$، حيث $\hat g(w) =  f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ و $d$ المسافة و $\psi$ تشاكل ذاتي للقرص يرسل $0$ إلى $z_0$)*. ولماذا تكون $\partial f(\mathbb D)$ غير خالية؟
21. تحقق من السؤال 20 على $f = k$ عند $z_0 = r \in  \intoo01$ : احسب $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb  D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ وتحقق من أن المتراجحة اليسرى *تساوٍ* : فتُشبع دالة كوبه مبرهنتها الخاصة عند كل نقطة من $\intoo01$ .
22. (العبرة) في عشرة أسطر: ما المبدأ الواحد الذي تقوم عليه مبرهنة المساحة، وكيف تتدفق منه بيبرباخ، ومبرهنة الربع، والتشويه، والنمو، والتغطية جميعًا؟ وقارن ذلك بعالم شوارتز–بيك في [المبرهنة 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz) : ففي كليهما، تصلّب متراجحةٌ داخلية واحدة الهندسةَ كلها، وتكون الأقصويات وحيدة إلى غاية دوران.

**الجزء السابع — التراص والمقلوبات وفحص واقعي.**

23. برهن على أن الصنف $\mathcal S$ *متراص* بالنسبة إلى التقارب المنتظم محليًّا: فهو محدود محليًّا بمبرهنة النمو، ومنه ناظمي ( [المبرهنة 18.7](#thm-b3-conformal-montel) )؛ وكل نهاية منتظمة محليًّا لأعضاء $\mathcal S$ تنتمي بدورها إلى $\mathcal S$ *(إذ تمرّ التعييرات إلى النهاية بتقارب فايرشتراس للمشتقات؛ ويبقى التباين بهورفيتز، [التمرين 17.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#exo-b3-residues-8)، لأن النهاية غير ثابتة)* . ولماذا يهمّ هذا في مسائل أقصوية مثل مسألة بيبرباخ؟
24. من أجل $f \in \mathcal S$ ، ليكن $g = f^{-1}$ معرَّفًا بجوار $0$ . برهن على $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ ، ومنه يخضع المعامل الثاني للمقلوب للحدّ المضبوط نفسه $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ ، مع التساوي من أجل دوال كوبه المدارة بالضبط.
25. عيّن من أجل أي $a \in \C$ ينتمي كثير الحدود $f(z)  = z + az^2$ إلى $\mathcal S$ : برهن على أن $f$ متباينة على $\mathbb D$ إذا وفقط إذا كان $\abs a \leq \frac12$ *(بتحليل $f(z_1) - f(z_2)$)* . واخلص: أن حدّ المعاملات الحقيقي من أجل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية هو $\frac12$ ، أي أصغر بأربع مرات من حدّ بيبرباخ $2$ — فأقصويات $\mathcal S$ كائنات متسامية فعلًا، ولا يقاربها أي كثير حدود.

**حل المسألة 18.1.**

**1.** $g$ متباينة [وهولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo)؛ وعلى $C_\rho$ (حيث $\rho > 1$) تكون ناعمة، وتكون المساحة المحاطة $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (بصيغة مساحة غرين–ريمان من السنة الجامعية 2، مطبَّقةً بتوجيه إيجابي). وبتعويض $\zeta = g(w)$ و $w =
\rho\eu^{\iu\theta}$:

$$
A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd
w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})}
\,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .
$$

ونُدخل $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 +
\sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ و $g' = 1 -
\sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$: فبعد الضرب في $\eu^{\iu\theta}$، لا تنجو من المكاملة في $\theta$ سوى الجداءات ذات التردد المعدوم (والتقارب الناظمي يبرّر العمل حدًّا حدًّا): فيسهم الزوج $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ بالمقدار $2\pi\rho$، ويسهم كل زوج $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu
n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ بالمقدار $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$:

$$
A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.
$$

**2.** المساحات غير سالبة: $\sum_{n\leq
N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ من أجل كل $N$؛ ونجعل $\rho \to 1^+$ ثم $N \to \infty$: $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$. والتساوي في $\abs{b_1}
\leq 1$ يفرض $b_n = 0$ من أجل جميع الأدلّة الأخرى: $g(w) = w + b_0 +
\eu^{\iu\alpha}/w$، وهي ترسل على متممة قطعة طولها $4$ (أي تطبيق من نمط جوكوفسكي): وهي الأقصويات.

**3.** المقدار $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ هولومورفي وعديم الجذور على $\mathbb D$ (إذ لا تنعدم $f$ إلا عند $0$، انعدامًا بسيطًا: بالتباين)، ومنه كذلك $f(z^2)/z^2$، وله جذر تربيعي هولومورفي $\varphi$ يحقق $\varphi(0) = 1$ ([التعريف 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)؛ و $\mathbb D$ محدّب). عندئذٍ تحقق $h(z) = z\varphi(z^2)$ أن $h^2 =
f(z^2)$، و $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (بمتسلسلة ذات الحدين للجذر)، وتكون $h(z) = z\varphi(z^2)$ فردية بحكم البناء (إذ $\varphi(z^2)$ زوجية). وأما التباين: فإن $h(z) = h(z')$ يعطي $f(z^2) =
f(z'^2)$، ومنه $z^2 = z'^2$، أي $z' = \pm z$؛ فإذا كان $z' = -z$، أعطت الفردية $h(z) = -h(z)$، ومنه $h(z) = 0$، وهو يفرض $z
= 0$ (لأن $\varphi$ عديمة الجذور): أي $z = z' = 0$.

**4.** $g(w) = 1/h(1/w)$: فمن أجل $\abs w > 1$، $1/w \in
\mathbb D\setminus\{0\}$ و $h \neq 0$ هناك: فهي معرَّفة جيدًا، ومتباينة (بوصفها تركيبةً لغمرين)، بنشر

$$
g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} +
\cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :
$$

من شكل الجزء الأول مع $b_1 = -\frac{a_2}2$. وتعطي مبرهنة المساحة أن $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$: أي $\abs{a_2} \leq 2$.

**5.** $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m +
1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$: المعاملات $a_n = n$، ومنه $a_2 =
2$. وأما أحادية التكافؤ والصورة: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ مع $w = \frac{1 + z}{1 - z}$، وهو [تطبيق مطابق](#def-b3-conformal-conformal) للقرص $\mathbb D$ على نصف المستوي الأيمن؛ ويرسل $w^2$ نصف المستوي ذاك مطابقةً على $\C\setminus\intoc{-\infty}0$؛ ثم يعطي $\frac{\cdot - 1}4$ أن $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$: فهي متباينة في كل مرحلة، والصورة كما ادُّعي.

**6.** $F = \frac{cf}{c - f}$: بما أن $c \notin f(\mathbb
D)$، لا ينعدم المقام أبدًا: فتكون $F$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) ومتباينة (إذ $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ [تحويل موبيوس](#ex-b3-conformal-mobius) متباين خارج $w = c$). وأما النشر: فمع $f = z + a_2z^2 + \cdots$،

$$
F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 +
\frac zc\Bigr) + O(z^3)
= z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):
$$

$F \in \mathcal S$ مع $A_2 = a_2 + \frac1c$.

**7.** بيبرباخ مرتين: $\abs{a_2} \leq 2$ و $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$، ومنه $\abs{\frac1c} \leq 4$: أي $\abs c \geq \frac14$. فتقع كل قيمة متجاهَلة خارج $D(0,\frac14)$، أي $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$. وهي مضبوطة: إذ تتجاهل دالة كوبه القيمةَ $-\frac14$ (السؤال 5).

**8.** لتكن $d = d(z_0, \partial\Omega)$ ولتكن $\psi =
\varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ مع $\psi(0) = z_0$ و $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$. والتعيير $\tilde
f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ يقع في $\mathcal S$، ومنه تحتوي صورته $D(0, \frac14)$؛ وبإعادة التحجيم، $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0,
\tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$، ومنه $d \geq \frac{\psi'(0)}4 =
\frac1{4\varphi'(z_0)}$: وهي المتراجحة اليسرى. وأما اليمنى: فإن $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ يرسل $\mathbb D$ في $\mathbb D$ مع $0 \mapsto 0$؛ وتحدّ شوارتز مشتقته عند $0$: $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$، أي $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — ومعًا

$$
d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .
$$

(والمتراجحة اليسرى كما عُرضت في نص السؤال هي السلسلة نفسها معادةَ الترتيب.)

**9.** من أجل دالة كوبه $a_n = n$: فيقع التساوي في الحدس كله؛ ولدوراناتها $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum
n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ أيضًا $\abs{a_n} = n$. وبدفع السؤال 4: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ مع $h^2 = f(z^2)$؛ وبمقارنة معاملات $z^6$: $2c_5 +
\frac{a_2^2}4 = a_3$، ومنه $c_5 = \frac{a_3}2 -
\frac{a_2^2}8$. عندئذٍ

$$
g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} +
\Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,
$$

وتعطي مبرهنة المساحة ($\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$) أن

$$
\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .
$$

وفحص كوبه ($a_2 = 2$، $a_3 = 3$): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ و $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$: فالمجموع $1$ بالضبط — أي أقصوي، كما يجب.

**10.** $\varphi$ تشاكل ذاتي للقرص مع $\varphi(0) = z_0$، ومنه تكون $f\circ\varphi$ أحادية التكافؤ على $\mathbb D$ (بوصفها تركيبةً لغمرين)، و $f'(z_0) \neq
0$ ([التعريف 18.1](#def-b3-conformal-conformal)): فتكون $F$ معرَّفة جيدًا وأحادية التكافؤ. و $F(0) = 0$. وبقاعدة خارج القسمة:

$$
\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0}
{(1 + \bar z_0z)^2}
= \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2},
\qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,
$$

ومنه $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ و $F'(0) = 1$: أي $F \in \mathcal S$.

**11.** مع $G = f\circ\varphi$: $G'' =
f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$، ويعطي $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar
z_0z)^{-3}$ أن $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 -
\abs{z_0}^2)$. ومنه

$$
A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)}
= \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)
\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .
$$

وتعطي بيبرباخ من أجل $F$ (السؤال 4) أن $\abs{A_2} \leq 2$، أي $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar
z_0\bigr| \leq 4$. ونضرب في $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$، وطويلته $r/(1 - r^2)$ من أجل $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$، ونستعمل $z_0\bar
z_0 = r^2$:

$$
\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} -
\frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .
$$

**12.** عددٌ عقدي على مسافة لا تتجاوز $\rho$ من النقطة الحقيقية $c$ جزؤه الحقيقي في $\intcc{c - \rho}{c +
\rho}$: نطبّق ذلك على $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$، $\rho =
\frac{4r}{1-r^2}$.

**13.** من أجل $g$ غير منعدمة من الصنف $\mathcal C^1$: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$، ومنه $\frac{\dd}{\dd
t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} =
\operatorname{Re}\frac{g'}g$. ومع $g(t) =
f'(t\eu^{\iu\theta})$ (وهي عديمة الجذور: بأحادية التكافؤ)، $g'(t) =
\eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$، ومنه عند $z =
t\eu^{\iu\theta}$:

$$
\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr|
= \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta}
\frac{f''}{f'}\Bigr)
= \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr)
\in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\
\frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]
$$

حسب السؤال 12 عند نصف القطر $t$. وبما أن $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} =
\frac{2t+4}{1-t^2}$ و $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} =
\frac{2t-4}{1-t^2}$، تعطي المكاملة من $0$ إلى $r$ (إذ تنعدم الدوال الثلاث عند $t = 0$، و $f'(0) = 1$)

$$
\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq
\log\frac{1+r}{(1-r)^3} :
$$

أي مبرهنة التشويه، بعد أخذ الأُسّي.

**14.** الحدّ الأعلى: على امتداد القطعة $[0, z]$،

$$
\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta})
\eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr|
\leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t
= \frac{r}{(1-r)^2}
$$

($\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$). وأما الأدنى: فلاحظ أن $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ من أجل $r < 1$ (إذ يقول ذلك إن $(1-r)^2 > 0$)، ومنه إذا كان $\abs{f(z)} \geq \frac14$ فلا شيء نبرهن عليه. وإلا فإن القطعة $[0, f(z)]$ تقع في $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (السؤال 7)، ويكون $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ مسارًا من الصنف $\mathcal C^1$ من $0$ إلى $z$ في $\mathbb D$ (إذ $f^{-1}$ هولومورفي، [النتيجة 17.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#cor-b3-residues-openmapping)). وبتعويض $w =
f(\zeta)$،

$$
\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w}
= \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta}
\geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}
\,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s
$$

مع $\rho = \abs\gamma$، باستعمال حدّ التشويه الأدنى عند نصف القطر $\rho(s)$. وبما أن $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (حيثما عُرِّفت؛ و $\rho$ ليبشيتزية) وأن العامل المكامَل موجب،

$$
\abs{f(z)} \geq \int_0^1
\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s
= \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u
= \frac{r}{(1 + r)^2}
$$

(إذ $\rho(0) = 0$ و $\rho(1) = r$؛ ولا يستعمل التعويض سوى دالة أصلية، $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} =
\frac{1-u}{(1+u)^3}$، لا الرتابة).

**15.** $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} =
\frac{1 + z}{(1 - z)^3}$. وعند $z = r$: $k'(r) =
\frac{1+r}{(1-r)^3}$ و $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — أي الحدّان العلويان مبلوغان. وعند $z = -r$: $k'(-r) =
\frac{1-r}{(1+r)^3}$ و $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — أي الحدّان السفليان مبلوغان. فتمدّد دالة كوبه محورها الموجب تمديدًا أعظميًّا نحو الحافة البعيدة وتضغط نصف المستقيم المقابل ضغطًا أعظميًّا نحو طرف شقّها.

**16.** $\abs{a_2} = 2$ يعني $\abs{b_1} = 1$ من أجل $g(w)
= 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (السؤال 4)؛ وعندئذٍ تلغي مبرهنة المساحة $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ كل معامل آخر: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ مع $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$. وبما أن $h$ فردية، $g(-w) =
1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$: أي إن $g$ فردية، ومنه $b_0 = 0$. وبالقلب، $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 +
\eu^{\iu\alpha}z^2}$، ويعطي $f(z^2) = h(z)^2$

$$
f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2}
= \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2}
= \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr),
\qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .
$$

وبالعكس لكل دوران $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ طويلتها $2$: فأقصويات بيبرباخ هي بالضبط دوال كوبه المدارة.

**17.** إذا تُجوهلت $c$ مع $\abs c = \frac14$: أعطى السؤال 6 أن $F \in \mathcal S$ مع $A_2 = a_2 +
\frac1c$، ومنه $\frac1c = A_2 - a_2$ و

$$
4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2}
\leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :
$$

أي تساوٍ في كل المراحل، وعلى وجه الخصوص $\abs{a_2} = 2$. وحسب السؤال 16، $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$، ومجموعتها المتجاهَلة $\eu^{-\iu\theta}
\intoc{-\infty}{-\frac14}$: فالقيمة المتجاهَلة الوحيدة ذات الطويلة $\frac14$ هي $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$. (والفحص: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ و $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$، ومنه $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$: فتُشبَع متراجحة المثلث بالاصطفاف المعاكس، كما يجب.)

**18.** تعطي [تقديرات كوشي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-analytic) على الدائرة $\abs z =
r$ ([المبرهنة 16.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#thm-b3-holomorphic-analytic))، مع مبرهنة النمو،

$$
\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f
\leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .
$$

ونختار $r = 1 - \frac1n$ ($n \geq
2$): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (وهي متتالية متزايدة نهايتها $\eu$) و $(1 - r)^{-2} =
n^2$: ومنه $\abs{a_n} < \eu\,n^2$.

**19.** المجموعة $U = f(D(0, r))$ مفتوحة ([النتيجة 17.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#cor-b3-residues-openmapping)) وتحتوي $0$. وأما الحافة: فإذا كان $p \in \partial U$، كتبنا $p = \lim f(z_k)$ مع $z_k \in D(0, r)$؛ وتعطي متتالية جزئية $z_k \to z_\infty
\in \bar D(0, r)$، ويفرض $f(z_\infty) = p \notin U$ أن $z_\infty \in \partial D(0, r)$: أي $\partial U \subseteq
f(\partial D(0, r))$، ومنه لكل نقطة حافة من $U$ الطويلةُ $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (السؤال 14). والآن لتكن $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ ولنفترض أن $w \notin U$. فالقطعة $[0, w]$ مترابطة، وتقاطع $U$ (عند $0$) ومتممتها (عند $w$)، ومنه تقاطع $\partial U$؛ لكن جميع نقاطها ذات طويلة $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$: وهو تناقض. ومنه $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr)
\subseteq U$. وأما الضبط: فإن $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ صورةُ نقطة حافة من $D(0,r)$، و $k$ متباينة، ومنه $k(-r) \notin k(D(0, r))$: فلا يمكن زيادة نصف القطر. وحين $r \to 1^-$، $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$: أي مبرهنة الربع من أجل القرص الكامل.

**20.** أولًا، $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$: وإلا لكانت $f(\mathbb D)$، وهي مفتوحة ومغلقة وغير خالية، هي $\C$ كله، ولكانت $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ دالةً صحيحة محدودة غير ثابتة، خلافًا لما في [النتيجة 16.12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#cor-b3-holomorphic-liouville). وأما المتراجحة اليسرى: فتحويل كوبه $F$ في السؤال 10 يقع في $\mathcal S$ و $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) -
f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$؛ وحسب السؤال 7 يحتوي $D(0, \frac14)$، ومنه

$$
f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\
\tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,
$$

وتكون كل نقطة من $\partial f(\mathbb D)$ — وهي منفصلة عن [المجموعة المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $f(\mathbb D)$ — على مسافة $\geq
\frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ من $f(z_0)$. وأما اليمنى: فلتكن $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) <
\infty$. فالقرص $D(f(z_0), d)$ يقع في $f(\mathbb D)$: إذ تبقى قطعةٌ من $f(z_0)$ إلى أي نقطة منه على مسافة $< d$ من $f(z_0)$، ومنه لا تقاطع $\partial f(\mathbb D)$ أبدًا، وتبقيها حجة الترابط في السؤال 19 في $f(\mathbb D)$. عندئذٍ يرسل $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ المجموعةَ $\mathbb D$ في $\mathbb D$ مع $\hat g(0) = z_0$، ويثبّت $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$، حيث $\psi(z) = \frac{z +
z_0}{1 + \bar z_0z}$، النقطةَ $0$: فتعطي شوارتز ([المبرهنة 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) أن $\abs{\chi'(0)}
\leq 1$. وبما أن $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} =
\frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$، يكون هذا $d \leq (1 -
\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$.

**21.** $k(\mathbb D) = \C\setminus
\intoc{-\infty}{-\frac14}$، ومنه $\partial k(\mathbb D) =
\intoc{-\infty}{-\frac14}$، ومن أجل النقطة الحقيقية الموجبة $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ تكون أقرب نقطة حافة $-\frac14$:

$$
d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2}
= \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .
$$

والطرف الأيسر في السؤال 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) =
\frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} =
\frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$: أي تساوٍ. (والطرف الأيمن يساوي $4d$: فالعامل $4$ الكامل يفصل الطرفين، وتجلس دالة كوبه عند القاع بالضبط.)

**22.** المبدأ الواحد هو [بارسيفال](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#thm-b3-hilbert-parseval): فأحادية التكافؤ تمنع التداخل، ومنه تكون مساحة متممة صورة $\{\abs w > \rho\}$، منشورةً في أنماط فورييه على الدوائر، غير سالبة — أي إن مبرهنة المساحة متطابقةٌ $L^2$ بإشارة. وكل ما عداها هو تلك المتراجحة منقولةً: فجذرٌ تربيعي (السؤال 3) يحوّلها إلى $\abs{a_2} \leq 2$؛ وانعكاسُ موبيوس عن قيمة متجاهَلة (السؤال 6) يحوّل $\abs{a_2} \leq 2$ إلى مبرهنة الربع؛ وتشاكلاتُ القرص الذاتية (السؤال 10) تنشر $\abs{a_2}
\leq 2$ على القرص كله بوصفها مبرهنة التشويه؛ وتحوّل المكاملةُ الشعاعية التشويهَ إلى نمو، والنموَ إلى تغطية. وفي كل مرحلة تنتقل حالة التساوي أيضًا، ولتحطّ دائمًا على دوال كوبه المدارة — عائلةٌ أقصوية واحدة للنظرية كلها، تمامًا كما تكون الدورانات أقصويات مبرهنة شوارتز المساعدة الوحيدة. فمتراجحة داخلية واحدة، مع صرامة حالة تساويها، تحكم الهندسة بأكملها: [والتطبيق المطابق](#def-b3-conformal-conformal) فنُّ استثمار مثل هذه المتراجحات.

**23.** تحدّ مبرهنة النمو المقدارَ $\abs f \leq
\frac{r}{(1-r)^2}$ بانتظام على كل $\bar D(0, r)$ حيث $r <
1$، من أجل كل $f \in \mathcal S$ دفعةً واحدة: أي محدود محليًّا، ومنه تكون $\mathcal S$ عائلةً ناظمية ([المبرهنة 18.7](#thm-b3-conformal-montel)). وإذا كان $f_n \in \mathcal S \to
f$ بانتظام محليًّا: فإن $f$ [هولومورفية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#def-b3-holomorphic-holo) مع $f_n' \to f'$ بانتظام محليًّا (بفايرشتراس)، ومنه $f(0) = 0$ و $f'(0) = 1$ — وعلى وجه الخصوص $f$ غير ثابتة — وتجعل هورفيتز ([التمرين 17.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#exo-b3-residues-8)) نهايةَ التطبيقات المتباينة متباينة: أي $f \in \mathcal S$. ومؤثّرة متصلة (مثل $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$) على صنف متراص *تبلغ* سوپريمومها: فتوجد الدوال الأقصوية قبل أن يُعرف ما هي — وهي نقطة البداية لكل هجوم تغيّري على مسائل المعاملات، ومنها مسألة بيبرباخ.

**24.** نكتب $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ ونركّب:

$$
z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3)
= z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),
$$

ومنه $A_2 = -a_2$ و $\abs{A_2} \leq 2$ (ببيبرباخ)، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\abs{a_2} = 2$، أي إذا وفقط إذا كانت $f$ دالةَ كوبه مدارة (السؤال 16) — وعندئذٍ يكون $g$ المقلوبَ الموافق، معرَّفًا على المستوي المشقوق.

**25.** $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 +
z_2)\bigr)$. فإذا كان $\abs a \leq \frac12$: فمن أجل $z_1 \neq z_2$ في $\mathbb D$، $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (أكيدًا: $\abs{z_1 + z_2} < 2$)، ومنه لا يمكن أن ينعدم العامل الثاني: فهي متباينة، و $f \in \mathcal S$ (فالتعييرات مبنيّة فيها). وإذا كان $\abs a > \frac12$: فللنقطة $s =
-\frac1a$ الطويلةُ $\abs s < 2$، ومنه تقع $z_{1,2} = \frac s2 \pm
\varepsilon$ في $\mathbb D$ من أجل $\varepsilon > 0$ صغيرة، وهما متمايزتان، ويلغي $z_1 + z_2 = s$ العاملَ: أي $f(z_1)
= f(z_2)$، فليست متباينة. ومنه تحتوي $\mathcal S$ المقدارَ $z +
az^2$ من أجل $\abs a \leq \frac12$ بالضبط. ومن ثَمّ فإن حدّ بيبرباخ $\abs{a_2} \leq 2$ غير مشبَع البتة بكثيرات الحدود من الدرجة $2$ — فمعاملات دالة كوبه $a_n = n$ تأتي من متسلسلة لانهائية تتآمر على امتداد نصف المستقيم المتجاهَل، وهو سلوك لا يستطيع أي كثير حدود (وهو لا ينتمي إلى $\mathcal S$ إلا بمعاملات ضئيلة) أن يحاكيه.