--- title: "المعادلات التفاضلية العادية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 19 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/19-ordinary-differential-equations --- # الفصل 19 — المعادلات التفاضلية العادية حلّت السنة الجامعية 2 المعادلات التفاضلية الخطية وصاغت مبرهنة كوشي–ليبشيتز؛ ويبرهن هذا الفصل عليها — مرتين: الوجود والوحدانية بنقطة باناخ الصامدة، والبنية الشاملة بنظرية الحلول الأعظمية ومبرهنة [الهروب من المتراصات](#thm-b3-ode-maximal). ثم يُعاد بناء النظرية الخطية على أسس أمينة ([المُحلِّل](#thm-b3-ode-linearstructure)، [والفرونسكياني](#thm-b3-ode-linearstructure)، [والأُسّي المصفوفي](#thm-b3-ode-matrixexp)، ودوهاميل)، ويفتح النصف الثاني من الفصل النظرية *النوعية* — الانسيابات، ومواضع التوازن، ودوال ليابونوف، [والاستقرار بالخطّية](#thm-b3-ode-linearization): أي كيف نفهم حلولًا لن نحسبها أبدًا. والنواس، في مسألة نهاية الأسبوع، هو دراسة الحالة الأبدية. وفي كل ما يلي، تكون $U \subseteq \R\times\R^d$ مفتوحة وتكون $f \colon U \to \R^d$ متصلة؛ و*الحل* للمعادلة $x' = f(t, x)$ هو تطبيق $x \colon I \to \R^d$ من الصنف $\mathcal C^1$ (حيث $I$ فترة) منحنيه البياني في $U$ ويحقق المعادلة. ## 19.1 كوشي–ليبشيتز **تعريف 19.1.** تكون $f$ *ليبشيتزية محليًّا في $x$* إذا كان لكل نقطة من $U$ جوارٌ $V$ وثابتٌ $L$ يحققان $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ من أجل $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. وإذا كانت $f$ من الصنف $\mathcal C^1$ (أو مجرّد وجود $\partial_xf$ واتصالها)، كانت ليبشيتزية محليًّا في $x$: أي على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) محدّب متراص، بمتراجحة القيم المتوسطة مع $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$. **مبرهنة 19.2 (كوشي–ليبشيتز، الصيغة المحلية).** لتكن $f$ متصلة [وليبشيتزية محليًّا](#def-b3-ode-lipschitz) في $x$، ولتكن $(t_0, x_0) \in U$. يوجد $T > 0$ بحيث يكون لمسألة كوشي $$ x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0 $$ حلٌّ واحد بالضبط على $[t_0 - T, t_0 + T]$. **برهان.** نختار $a, b > 0$ بحيث $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$، ويكون عليه $\norm f \leq M$ وتكون $f$ ليبشيتزية بالثابت $L$ في $x$. والدالة من الصنف $\mathcal C^1$ حلٌّ إذا وفقط إذا حققت المعادلة التكاملية $$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s $$ (بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل، بالاتجاهين). ولتكن $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ و $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ و $$ \mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{على} I\}, $$ وهي جزء مغلق من فضاء باناخ $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$: أي تام ([التعريف 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). ونعرّف $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$: فمن أجل $x \in \mathcal E$، $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — ومنه يرسل $\Phi$ المجموعةَ $\mathcal E$ في نفسها — ومن أجل $x, y \in \mathcal E$: $$ \norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty : $$ أي تقلّص. وتعطي نقطة باناخ الصامدة ([المبرهنة 7.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) نقطةً صامدة وحيدة في $\mathcal E$: أي الوجود، والوحدانية بين الحلول التي تبقى في $\bar B(x_0, b)$ — لكن كل حل على $I$ يبقى هناك ($\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ ما دام المنحني البياني في $Q$، بحجة اتصال): أي الوحدانية على $I$. ∎ **مبرهنة مساعدة 19.3 (غرونوال).** لتكن $u \colon I \to \intco0\infty$ متصلة، ولتكن $t_0 \in I$، ولنفترض أن $$ u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I) $$ مع $\alpha \geq 0$ و $\beta > 0$. عندئذٍ $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ على $I$. **برهان.** من أجل $t \geq t_0$: لتكن $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$، ومنه $u \leq v$ و $v' = \beta u \leq \beta v$ و $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$: أي $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$. ومن أجل $t \leq t_0$ نطبّق الشيء نفسه على $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$. ∎ **نتيجة 19.4 (الوحدانية والتعلّق الاتصالي).** تحت فرضيات [المبرهنة 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz)، يتوافق حلّان للمعادلة $x' = f(t,x)$ يتوافقان عند نقطة واحدة على فترة تعريفهما المشتركة. وكمّيًّا، إذا كان $x, y$ حلّين منحنياهما البيانيان في منطقة تكون فيها $f$ ليبشيتزية بالثابت $L$ في $x$، فإن $$ \norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} . $$ **برهان.** التقدير: يحقق $u = \norm{x - y}$ أن $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (بطرح المعادلتين التكامليتين)؛ ثم غرونوال. وأما الوحدانية الشاملة: فمجموعة التوافق $\{t : x(t) = y(t)\}$ مغلقة في الفترة المشتركة، وغير خالية، ومفتوحة — إذ حول أي نقطة توافق، نغطّي قطعةً متراصة من المنحني البياني المشترك بعدد منتهٍ من صناديق ليبشيتز ونطبّق التقدير مع $u(t_1) = 0$ على كلٍّ منها: فيكون $x \equiv y$ محليًّا. وجزءٌ غير خالٍ مفتوح ومغلق من فترة هو الفترة كلها. ∎ ## 19.2 الحلول الأعظمية **مبرهنة 19.5 (الحلول الأعظمية؛ الهروب من المتراصات).** لنفترض أن $f$ متصلة [وليبشيتزية محليًّا](#def-b3-ode-lipschitz) في $x$. 1. لكل مسألة كوشي حلٌّ *أعظمي* وحيد $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : وكل حل آخر يمرّ بالنقطة $(t_0, x_0)$ هو تضييقٌ له. والفترة مفتوحة. 2. ( *الهروب* ) من أجل كل متراصة $K \subseteq U$ يوجد $\varepsilon > 0$ بحيث $(t, x(t)) \notin K$ من أجل كل $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (وبالتناظر عند $T_-$ ): أي إن *المنحني البياني [لحل أعظمي](#thm-b3-ode-maximal) يغادر في النهاية كل جزء متراص من $U$* . وعلى وجه الخصوص، من أجل $U = \R\times\R^d$ و $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ حين $t \to T_+^-$ (أي *الانفجار* ). **برهان.** (1) لتكن $\mathcal S$ مجموعةَ جميع الحلول المارّة بالنقطة $(t_0, x_0)$؛ فحسب [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) يتوافق أي اثنين منها على تقاطع فترتيهما، ومنه تلتحم: فعلى $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$، نعرّف $x(t) = y(t)$ من أجل أي $y$ معرَّف عند $t$: وهو حلٌّ معرَّف جيدًا، وأعظمي ووحيد بداهةً. و $J$ مفتوح: إذ حلٌّ معرَّف عند طرف كان سيُمدَّد بواسطة [المبرهنة 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) عند ذلك الطرف. (2) لنفترض أن الادعاء يخفق عند $T_+$: فتوجد $t_n \to T_+$ تحقق $(t_n, x(t_n)) \in K$؛ ولاحظ أن هذا يفرض $T_+ < \infty$، أو، إذا كان $T_+ = \infty$، فلا شيء نبرهن عليه ($K$ محدودة زمنيًّا). فليكن $T_+ < \infty$. وأما التراص: فالثوابت المنتظمة $M, L, a, b$ تصلح من أجل جميع معطيات كوشي في جوار للمتراصة $K$ — وعمليًّا، نغطي $K$ بعدد منتهٍ من الصناديق $Q_i$ كما في برهان المبرهنة المحلية وليكن $T^* > 0$ أصغرَ أزمنة الوجود الموافقة: فكل معطى كوشي في $K$ يطلق حلًّا يعيش $T^*$ على الأقل بعد زمنه الابتدائي. وبتطبيق ذلك عند $(t_n, x(t_n))$ مع $t_n > T_+ - T^*/2$ يمتدّ $x$ وراء $T_+$ (ويتوافق التمديد مع $x$ بالوحدانية، ثم يمدّده): وهو تناقض مع الأعظمية. ومنه يغادر المنحني البياني $K$ نهائيًّا قبل $T_+$. ومن أجل $U = \R\times\R^d$: إذا كان $\norm{x(t)}\not\to\infty$، أبقت متتالية $t_n \to T_+$ النقاطَ $(t_n, x(t_n))$ في المتراصة $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$: وهو مستبعد. ∎ **نتيجة 19.6 (الوجود الشامل تحت النمو الخطي).** إذا كان $U = I\times\R^d$ ($I$ فترة مفتوحة) و $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ مع $\alpha, \beta$ متصلتين، فإن كل [حل أعظمي](#thm-b3-ode-maximal) معرَّف على $I$ كله. **برهان.** على متراصة $[t_0, T] \subseteq I$: $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$، ومنه بغرونوال (مع $\alpha, \beta$ محدودتين بالعددين $A, B$ هناك) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$: أي محدود. وإذا كان $T_+ < \sup I$، بقي المنحني البياني في متراصة من $I\times\R^d$ بجوار $T_+$: وهو يناقض الهروب ([المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). ∎ ## 19.3 الجمل الخطية في هذا المقطع تكون $A \colon I \to M_d(\R)$ و $b \colon I \to \R^d$ متصلتين؛ والجملة هي $x' = A(t)x + b(t)$ — أي نموّ خطي: فجميع الحلول الأعظمية تعيش على $I$ كله ([النتيجة 19.6](#cor-b3-ode-globallinear)). **مبرهنة 19.7 (البنية).** تشكّل حلول الجملة المتجانسة $x' = A(t)x$ فضاءً متجهيًّا $S_H$ بُعده $d$؛ ومن أجل كل $t_0$، يكون التقييم $x \mapsto x(t_0)$ تماثلًا $S_H \to \R^d$. و*المُحلِّل* $R(t, s) \in GL_d(\R)$، المعرَّف بالشرط: أن $t \mapsto R(t, s)v$ هو الحل الذي قيمته $v$ عند $s$، يحقق $$ R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s), $$ وتُحلّ المسألة غير المتجانسة بواسطة *صيغة دوهاميل*: $$ x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s . $$ وأخيرًا يخضع *الفرونسكياني* $w(t) = \det R(t, s)$ لصيغة ليوفيل $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$، ومنه $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$. **برهان.** تجعل خطية المعادلة الحلولَ فضاءً متجهيًّا؛ والتقييم خطي، ومتباين (بالوحدانية: إذ حلٌّ ينعدم عند $t_0$ هو $\equiv 0$)، وغامر (بالوجود): فالبُعد $d$. وخصائص [المُحلِّل](#thm-b3-ode-linearstructure) تعيد صياغة الوحدانية (إذ يحل طرفا كل متطابقة مسألةَ كوشي نفسها)؛ والقابلية للقلب من $R(s,t)R(t,s) = I$. وأما دوهاميل: فنشتقّ الصيغة — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (والاشتقاق تحت علامة التكامل مشروع: إذ المقدار المكامَل من الصنف $\mathcal C^1$ في $t$ بمشتقة متصلة في $(t,s)$؛ أو نتحقق بالمعادلة التكاملية). وأما ليوفيل: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ و $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (من المعادلة التكاملية)، ومنه $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (بنشر $\det$ عند $I$): أي $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$؛ ثم نكامل المعادلة التفاضلية الخطية السلّمية. ∎ **مبرهنة 19.8 (الأُسّي المصفوفي).** من أجل $A \in M_d(\C)$، تتقارب المتسلسلة $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ (تقاربًا مطلقًا، بأي معيار شبه ضربي)، ويكون $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ كلما كان $AB = BA$، ويكون $t \mapsto \eu^{tA}$ مُحلِّل الجملة الثابتة: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$؛ وهو من الصنف $\mathcal C^\infty$ مع $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$. وفوق ذلك: إذا كان $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ من أجل كل قيمة ذاتية $\lambda$ للمصفوفة $A$، فإن $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ من أجل $t \geq 0$. **برهان.** التقارب: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$، وهي قابلة للجمع ([التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) في جبر باناخ $M_d$). ومن أجل $A, B$ متبادلتين: يُعاد ترتيب جداء كوشي للمتسلسلتين المتقاربتين تقاربًا مطلقًا، عبر مبرهنة ذات الحدين (الصحيحة حين $AB = BA$)، إلى $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$. وأما القابلية للاشتقاق فمباشرةً: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ لأن $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$. ومنه يحل $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ مسألةَ كوشي المعرِّفة للمقدار $R(t,s)v$. وأما الحدّ الطيفي: فبصيغة جوردان ([المبرهنة 3.18](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#thm-b3-modules-jordan))، $A = P(D + N)P^{-1}$ حيث $D$ قطرية تحمل القيم الذاتية، و $N$ معدومة القوة، و $DN = ND$. عندئذٍ $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ مع $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ من أجل $\delta > 0$ ما (حيث $t \geq 0$)، ويكون $\eu^{tN}$ كثير حدود في $t$ (بانعدام القوة): فيكون الجداء $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (إذ يغلب $\eu^{-\delta t}$ كثيرَ الحدود). ∎ **مثال 19.9 (المستوي، مصنَّفًا).** من أجل $x' = Ax$ مع $A \in M_2(\R)$ قابلة للقلب، تتحدّد صورة الطور بجوار $0$ بالعددين $\tau = \operatorname{tr}A$ و $\delta = \det A$، عبر القيمتين الذاتيتين $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$: - $\delta < 0$ : قيمتان ذاتيتان حقيقيتان مختلفتا الإشارة — أي *سرج* ؛ فيدخل مساران ويخرج مساران، وتمرّ البقية مرورًا. وهو غير مستقر دائمًا. - $\delta > 0$ و $\tau^2 \geq 4\delta$ : قيمتان ذاتيتان حقيقيتان بالإشارة نفسها ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — أي *عقدة* ، مستقرة إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$ ؛ والمسارات مماسّة للاتجاه الذاتي البطيء. - $\delta > 0$ و $\tau^2 < 4\delta$ و $\tau \neq 0$ : قيمتان ذاتيتان عقديتان مرافقتان $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — أي *حلزون* (بؤرة)، مستقر إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$ ؛ والحلول دورانات $\eu^{\tau t/2}\times$ بالدور $\frac{2\pi}\omega$ . - $\tau = 0$ و $\delta > 0$ : قيمتان ذاتيتان تخيّليتان محضتان — أي *مركز* : بمدارات مغلقة (قطوع ناقصة)، واستقرارٌ دون استقرار مقارب، وهو بالضبط الحدّ الفاصل الذي لا تستطيع [المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization) البتّ فيه من أجل الجمل غير الخطية (وهنا يجلس موضع توازن النواس السفلي، [المسألة 19.1](#pb-b3-ode-1) ). ويحمل القطع المكافئ الحدّي $\tau^2 = 4\delta$ العقدَ المنحلّة (أي كتل جوردان: بمسارات ذات اتجاه مماس واحد). وكل شيء يُقرأ من عددين — ولهذا يكون أول ردّ فعل قبل أي صورة طور مستوية هو حساب $\operatorname{tr}$ و $\det$؛ فمثلًا $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (المذبذب المخمَّد): $\delta = 1 > 0$ و $\tau = -c$: أي حلزون مستقر من أجل $0 < c < 2$، وعقدة مستقرة من أجل $c \geq 2$ — أي التخميد الناقص مقابل التخميد الزائد، في لمحة واحدة. ## 19.4 الانسيابات ومواضع التوازن والاستقرار ننظر الآن في المعادلة *الذاتية* $x' = F(x)$، حيث $F \colon \Omega \to \R^d$ [ليبشيتزية محليًّا](#def-b3-ode-lipschitz) على المفتوحة $\Omega \subseteq \R^d$. ونكتب $\varphi_t(x_0) = x(t)$ [للحل الأعظمي](#thm-b3-ode-maximal) الذي يحقق $x(0) = x_0$ (أي *انسياب* الحقل المتجهي)؛ وتعطي الذاتية خاصية الزمرة $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ حيثما عُرِّفت (إذ يحل الطرفان المسألة نفسها عند الزمن $s$). **تعريف 19.10.** *موضع التوازن* نقطةٌ $\bar x$ تحقق $F(\bar x) = 0$ (ومنه $\varphi_t(\bar x) = \bar x$). ويكون *مستقرًّا* إذا وُجد من أجل كل $\varepsilon > 0$ عددٌ $\delta > 0$ بحيث يستلزم $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ وجود الحل من أجل كل $t \geq 0$ مع $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$؛ ويكون *مستقرًّا مقاربًا* إذا كان فوق ذلك $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ من أجل كل $x_0$ بجوار $\bar x$. **مبرهنة 19.11 (دوال ليابونوف).** ليكن $\bar x$ موضع توازن ولتكن $V \colon \mathcal V \to \R$ دالةً من الصنف $\mathcal C^1$ على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للنقطة $\bar x$ تحقق: $$ V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ من أجل} x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 . $$ عندئذٍ يكون $\bar x$ [مستقرًّا](#def-b3-ode-stability). وإذا كان فوق ذلك $\dot V < 0$ خارج $\bar x$، كان $\bar x$ [مستقرًّا](#def-b3-ode-stability) مقاربًا. **برهان.** على امتداد حل، $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$: أي إن $V$ متناقصة. وبإعطاء $\varepsilon$ (صغير بما يكفي بحيث $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$)، لتكن $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (بالتراص والإيجابية) ونختار $\delta < \varepsilon$ بحيث $V < m$ على $B(\bar x, \delta)$ (بالاتصال). فحلٌّ ينطلق من $B(\bar x, \delta)$ يحقق $V(x(t)) < m$ من أجل كل الأزمنة اللاحقة، ومنه لا يمكنه أن يبلغ الكرة $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (حيث $V \geq m$): فيبقى في الكرة — وعندئذٍ يوجد من أجل كل $t \geq 0$: إذ يبقى الحل في المتراصة $\bar B$، ومنه تفرض [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) ([الهروب من المتراصات](#thm-b3-ode-maximal)) أن $T_+ = +\infty$. وهذا هو الاستقرار. وأما الحالة المقاربة: فليكن $x(t)$ منطلقًا من $B(\bar x, \delta)$؛ تتناقص $V(x(t))$ إلى $c \geq 0$ ما. فإذا كان $c > 0$: بقي المسار في $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$، وهي مجموعة متراصة تستبعد جوارًا للنقطة $\bar x$ (إذ $V$ متصلة مع $V(\bar x) = 0 < c$). وعلى $K$ تكون الدالة $\dot V$ متصلة وسالبة تمامًا، ومنه $\mu = \max_K\dot V < 0$ (بالتراص)؛ عندئذٍ $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$: وهو محال لأن $V \geq 0$. ومنه $c = 0$، و $x(t) \to \bar x$ (إذ للنقاط التي تبعد $\geq \rho$ عن $\bar x$ داخل الكرة $V \geq m_\rho > 0$). ∎ **مبرهنة 19.12 (الاستقرار بالخطّية).** لتكن $F$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع $F(\bar x) = 0$ و $A = DF(\bar x)$. إذا كان لكل قيمة ذاتية للمصفوفة $A$ الشرطُ $\operatorname{Re}\lambda < 0$، فإن $\bar x$ مستقر مقاربًا. **برهان.** ننقل $\bar x$ إلى $0$ ونكتب $F(x) = Ax + g(x)$ مع $g(x) = o(\norm x)$ (بالقابلية للاشتقاق من الصنف $\mathcal C^1$). ونختار $\alpha > 0$ يحقق $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ (حيث $t \geq 0$؛ [المبرهنة 19.8](#thm-b3-ode-matrixexp)) و $r > 0$ يحقق $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ من أجل $\norm x \leq r$. وبدوهاميل مع $b(s) = g(x(s))$: $$ x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s, $$ وهي صحيحة ما دام $\norm{x(s)} \leq r$. عندئذٍ يحقق $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ $$ u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s , $$ ومنه تعطي غرونوال أن $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$، أي $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$. وإذا كان $\norm{x_0} < r/C$، أبقى الحدّ القبلي $\norm{x(t)} < r$ من أجل كل $t$ (بحجة اتصال أو ترقية: إذ مجموعة الأزمنة التي يكون فيها $\norm x \leq r$ مفتوحة ومغلقة في $\intco0{T_+}$ بحكم التقدير الأكيد)، ويكون الحل شاملًا، ويتقارب إلى $0$ أُسّيًّا: أي استقرار مقارب. ∎ **طريقة 19.13.** حين تواجه معادلة تفاضلية: (1) الوجود والوحدانية — تحقق من الليبشيتزية المحلية (وهي عادةً $\mathcal C^1$)؛ (2) الشمول — بالنمو الخطي، أو الحدّية، أو متراصة صامدة عبر [دالة ليابونوف](#thm-b3-ode-lyapunov) أو تكامل أول؛ وإن لم يكن، فاشتبه بالانفجار واختبر على الكاريكاتير السلّمي $x' = x^2$؛ (3) الجمل الخطية — [المُحلِّل](#thm-b3-ode-linearstructure)، ودوهاميل، وبنيةُ القيم الذاتية للمصفوفة $A$ من أجل المعاملات الثابتة؛ (4) الأسئلة النوعية — مواضع التوازن، والخطّية، وصيدُ [دالة ليابونوف](#thm-b3-ode-lyapunov) (أي الطاقة حين تكون الجملة ميكانيكية) أو تكاملٍ أول تحبس مجموعاتُ مستوياته المسارات. وتمشي مسألة نهاية الأسبوع بالطريقة كلها عبر النواس. ![صورة الطور للنواس x'' = - x في المستوي (x, x'): أي المنحنيات المستوية للطاقة E = x'22 - x. والمنحنيات المغلقة (بالأزرق): تذبذبات، E < 1؛ والمنحنيات الجارية (بالبرتقالي): دورات كاملة، E > 1؛ وبينهما الفاصلة (بالأحمر)، E = 1، الواصلة بين موضعَي التوازن غير المستقرين (±π, 0). وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على كل ما توحي به هذه الصورة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-ode/fig-dd339003c539.svg) *صورة الطور للنواس $x'' = -\sin x$ في المستوي $(x, x')$: أي المنحنيات المستوية للطاقة $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$. والمنحنيات المغلقة (بالأزرق): تذبذبات، $E < 1$؛ والمنحنيات الجارية (بالبرتقالي): دورات كاملة، $E > 1$؛ وبينهما *الفاصلة* (بالأحمر)، $E = 1$، الواصلة بين موضعَي التوازن غير المستقرين $(\pm\pi, 0)$. وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على كل ما توحي به هذه الصورة.* ## 19.5 تمارين **تمرين 19.1 ★.** حُلّ صراحةً وعيّن الفترة الأعظمية: (a) $x' = x^2$ مع $x(0) = 1$؛ (b) $x' = 1 + x^2$ مع $x(0) = 0$؛ (c) $x' = x(1-x)$ مع $x(0) = \frac12$. ووفّق بين كل جواب و[المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) و[النتيجة 19.6](#cor-b3-ode-globallinear). **حل التمرين 19.1.** (a) بفصل المتغيّرات: $x(t) = \frac1{1 - t}$ على $\intoo{-\infty}1$: أي انفجار عند $T_+ = 1$ مع $x(t) \to +\infty$ — وهو بالضبط [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2). (b) $x(t) = \tan t$ على $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$: أي انفجار عند الطرفين. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$، وهو شامل: إذ يبقى الحل في $\intoo01$، وهي مجموعة محدودة، ومنه لا يمكن للمنحني البياني أن يهرب من كل متراصة من $\R\times\R$ في زمن منتهٍ — $T_\pm = \pm\infty$. ولاحظ أن (a) و(b) لا تناقضان [النتيجة 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): إذ للمقدارين $x^2$ و $1 + x^2$ نموٌّ فوق خطي. **تمرين 19.2 ★.** ليكن $x, y$ حلّين للمعادلة $x' = f(t,x)$ حيث $f$ ليبشيتزية شاملًا بالثابت $L$ في $x$ على $\R\times\R^d$. (a) برهن على $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$، وبيّن بمثال (خطي!) أن العامل $\eu^{L\abs t}$ مبلوغ. (b) استنتج أن تطبيق الانسياب $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ متصل، بل ليبشيتزي على المجموعات المحدودة. **حل التمرين 19.2.** (a) هذا هو تقدير [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) مع $t_0 = 0$. وأما الضبط: فمن أجل $x' = Lx$ (وهي ليبشيتزية شاملًا بالثابت $L$)، يختلف حلّان بالمقدار $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ بالضبط. (b) ويُقرأ التقدير: أن تطبيق الانسياب عند الزمن $t$ ليبشيتزي بالثابت $\eu^{L\abs t}$ في الشرط الابتدائي — أي الاتصال، بانتظام من أجل $t$ في المتراصات؛ وعلى المجموعات المحدودة من أجل $f$ غير الليبشيتزية شاملًا، نجري الشيء نفسه على أنبوب متراص حول المسارات بالثابت المحلي. **تمرين 19.3 ★★.** برهن على أن لكلٍّ مما يلي حلولًا أعظمية شاملة على $\R$، مستشهدًا بالمبرهنة الصحيحة: (a) $x' = \sin(tx)$؛ (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$؛ (c) $x'' + q(t)x = 0$ مع $q$ متصلة (بالتحويل إلى جملة من الرتبة الأولى)؛ (d) $x' = A(t)x$ مع $A$ متصلة ومحدودة — وأعطِ حدّ غرونوال للمقدار $\norm{x(t)}$. **حل التمرين 19.3.** (a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$: أي محدود، وهو نمو خطي مع $\alpha = 0$ و $\beta = 1$: [النتيجة 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) على $U = \R\times\R$. (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$: وهو تحت خطي مرة أخرى (بل محدود على المتراصات الزمنية): فشامل. (c) $X = (x, x')$: $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$: أي خطية بمعاملات متصلة: فشاملة (في إطار [المبرهنة 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure)). (d) شامل؛ وغرونوال كما في [النتيجة 19.6](#cor-b3-ode-globallinear): $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ مع $M = \sup\vertiii{A}$. **تمرين 19.4 ★★.** (a) احسب $\eu^{tA}$ من أجل $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$، و $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$، و $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$. (b) حُلّ المذبذب المُقحَم $x'' + x = \cos(\omega t)$ بدوهاميل (بصيغة الجملة)، من أجل $\omega \neq 1$ ومن أجل $\omega = 1$: فيظهر الرنين بوصفه الحدّ الدنيوي $t\sin t$. **حل التمرين 19.4.** (a) $A^2 = -I$ من أجل الأولى: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$. وكتلة جوردان: إذ تتبادل $\lambda I$ و $N$: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. والثالثة: $A^2 = I$: $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$. (b) الجملة $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$؛ ويعطي دوهاميل مع مُحلِّل الدوران الحلولَ الخاصة: فمن أجل $\omega \neq 1$، $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (تحقق مباشرةً)؛ ومن أجل $\omega = 1$ ينتج التكامل $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ النموَّ *الدنيوي* $x_p = \frac t2\sin t$: أي الرنين — إذ يضخّ الإقحام الطاقة عند التردد الطبيعي فتنمو السعة خطيًّا. **تمرين 19.5 ★★.** من أجل المعادلة السلّمية $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$: (a) برهن على أن [الفرونسكياني](#thm-b3-ode-linearstructure) $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ لحلّين يحقق $w' = -p\,w$ (أبيل)، واستنتج أن حلّين يكون $w \neq 0$ من أجلهما في موضع ما يشكّلان أساسًا. (b) وبإعطاء حل واحد غير منعدم $x_1$، جد الحل العام *بتخفيض الرتبة*: ضع $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ وتحقق. وطبّق ذلك على $t^2x'' - 2x = 0$ على $\intoo0{+\infty}$ مع $x_1(t) = t^2$. **حل التمرين 19.5.** (a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$: $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$، وهو لا ينعدم أبدًا ولا ينعدم انعدامًا تامًّا. وإذا كان $w \neq 0$، كانت المتجهتان $(x_i, x_i')(t_0)$ مستقلتين في $\R^2$، وبما أن فضاء الحلول ذو البُعد $2$ ([المبرهنة 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure) من أجل الجملة)، تكون $(x_1, x_2)$ أساسًا. (b) مع $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$: $x_2 = x_1u$، و $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$، و $$ x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0 $$ (إذ تتلاشى الحدود المتقاطعة بالضبط؛ فانشر بعناية). ومن أجل $t^2x'' - 2x = 0$، أي $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ (حيث $p = 0$) مع $x_1 = t^2$: $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$، ومنه $x_2 = -\frac1{3t}$: فالحل العام $at^2 + \frac bt$. **تمرين 19.6 ★★.** (اللوجستية) من أجل $x' = x(1 - x)$: عيّن جميع مواضع التوازن واستقرارها (بواسطة [المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization) ومباشرةً)؛ وبرهن على أن كل حل يحقق $x(0) \in \intoo01$ متزايدٌ وشامل، بنهايتين $0$ و $1$ عند $\mp\infty$؛ وحُلّ صراحةً للتأكيد. وبرهن عمومًا على أن الحلول الذاتية السلّمية رتيبة، واخلص: أنه لا حلول دورية غير ثابتة في البُعد $1$. **حل التمرين 19.6.** مواضع التوازن $0, 1$؛ و $f'(x) = 1 - 2x$: فإن $f'(0) = 1 > 0$ (غير مستقر — إذ تبتعد الحلول المجاورة، كما تبيّن الصيغة الصريحة)، و $f'(1) = -1 < 0$: أي مستقر مقاربًا ([المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization) في البُعد $1$). ومن أجل $x(0) \in \intoo01$: يكون $f > 0$ هناك، ومنه يتزايد الحل ما دام في $\intoo01$؛ ولا يمكنه أبدًا أن يبلغ $0$ أو $1$ (بالوحدانية: إذ هما مساران)، ومنه يبقى، ويكون محدودًا — ومن ثَمّ شاملًا — ويتزايد إلى نهاية $L \in \intoc{x(0)}1$. فإذا كان $f(L) \neq 0$، كان $x' \geq c > 0$ بجوار النهاية، فيدفع $x$ وراء $L$: ومنه $f(L) = 0$، أي $L = 1$؛ وبالتناظر $x \to 0$ عند $-\infty$. ويؤكد الحل الصريح $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ كلَّ ذلك. وعمومًا: لو كان لحلٍّ ذاتي سلّمي $x'(t_0) = 0$، لكان $x(t_0)$ موضعَ توازن ولجعلت الوحدانية $x$ ثابتة؛ وإلا احتفظ $f(x(t))$ بإشارة ثابتة (إذ لا ينعدم أبدًا، و $t \mapsto f(x(t))$ متصلة): فتكون $x$ رتيبة تمامًا — ومنه يستحيل وجود حل دوري غير ثابت. **تمرين 19.7 ★★.** (التكاملات الأولى) لتكن $H \colon \Omega \to \R$ من الصنف $\mathcal C^1$ ولننظر في الجملة الهاملتونية المستوية $x' = \partial_yH$، $y' = -\partial_xH$. (a) برهن على أن $H$ ثابتة على امتداد الحلول. (b) ومن أجل $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$: برهن على أن جميع الحلول شاملة ومحدودة، وعلى أن المبدأ مستقر (بليابونوف: $H$) رغم أن الخطّية ($\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$) *ليست* مستقرة مقاربًا: فالخطّية قد تكون غير حاسمة. **حل التمرين 19.7.** (a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$. (b) مجموعات المستويات للمقدار $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ متراصة (إذ $H$ قسرية)، ومنه تُحبس الحلول في متراصات: فهي شاملة ومحدودة ([المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). وأما استقرار $(0,0)$: فإن $V = H$ معيَّنة موجبةً (إذ $H = 0$ عند المبدأ وحده) مع $\dot V = 0$: [المبرهنة 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov). والخطّية $x' = y$ و $y' = 0$ لها المصفوفة المعدومة القوة غير القابلة للقُطرنة بقيمة ذاتية $0$: فتصمت [المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization) (إذ تخفق فرضيتها $\operatorname{Re}\lambda < 0$)، وبالفعل تكون الجملة المخطَّطة غير مستقرة (إذ ينجرف $y_0 \ne 0$) بينما تكون غير الخطية مستقرة: فالخطّية عند موضع توازن غير زائدي لا تبرهن على شيء. **تمرين 19.8 ★★★.** (النواس المخمَّد) $x'' + cx' + \sin x = 0$ مع $c > 0$؛ وبصيغة الجملة: $x' = y$ و $y' = -\sin x - cy$. (a) برهن على أن $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ يحقق $\dot V = -cy^2 \leq 0$: أي إن المبدأ مستقر. (b) وينعدم $\dot V$ على المحور $y = 0$ كله: فيخفق محك ليابونوف الأكيد. برهن على الاستقرار المقارب رغم ذلك، بالخطّية ([المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization)): احسب القيم الذاتية للمصفوفة المخطَّطة عند $(0,0)$ وتحقق من $\operatorname{Re} < 0$ من أجل كل $c > 0$. (c) وماذا يحدث عند موضع التوازن $(\pi, 0)$؟ احسب الخطّية واخلص (إذ قيمة ذاتية واحدة موجبة: أي عدم استقرار — ولك أن تستعمل عبارة عدم الاستقرار بصورة غير رسمية أو تنتج حلًّا هاربًا صريحًا للجملة الخطية). **حل التمرين 19.8.** (a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$، و $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ معيَّنة موجبةً على $\{\abs x < 2\pi\}$ حول المبدأ: أي مستقر ([المبرهنة 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov)). (b) المصفوفة المخطَّطة عند $(0,0)$ هي $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$، وكثير حدودها المميِّز $\lambda^2 + c\lambda + 1$: بجذرين $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — وكلاهما حقيقي سالب إذا كان $c \geq 2$، وعقديان بجزء حقيقي $-\frac c2 < 0$ إذا كان $0 < c < 2$. وفي جميع الحالات $\operatorname{Re}\lambda < 0$: فتعطي [المبرهنة 19.12](#thm-b3-ode-linearization) الاستقرار المقارب (رغم انحلال $\dot V$). (c) وعند $(\pi, 0)$: $\sin(\pi + u) = -\sin u$، والخطّية $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$، والمميِّز $\lambda^2 + c\lambda - 1$: بجذرين مختلفَي الإشارة ($\lambda_+\lambda_- = -1$). وعلى امتداد المتجهة الذاتية غير المستقرة، للجملة الخطية الحلُّ الهارب صراحةً $\eu^{\lambda_+t}v_+$ مع $\lambda_+ > 0$: فالنواس المقلوب غير مستقر من أجل كل تخميد. **تمرين 19.9 ★★.** (حدود الوحدانية) من أجل $\alpha \in \intoo01$، برهن على أن للمسألة $x' = \abs x^{\alpha}$ مع $x(0) = 0$ عددًا لانهائيًّا من الحلول (بتكييف [المسألة 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1)، الجزء الثالث). وبرهن بالعكس على أنه من أجل $\alpha = 1$ (أي $x' = \abs x$) يكون الحل المارّ بالنقطة $0$ وحيدًا، وعيّن بالضبط أي فرضية من [المبرهنة 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) تميّز بين الحالتين. **حل التمرين 19.9.** من أجل $\alpha \in \intoo01$: إضافةً إلى $x \equiv 0$، تكون كل $$ x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases} $$ من الصنف $\mathcal C^1$ وتحل المعادلة (إذ يجعل الأُسّ $\frac1{1-\alpha} > 1$ المشتقةَ منعدمة عند $c$): أي متصلٌ من الحلول المارّة بالنقطة $(0,0)$. ومن أجل $\alpha = 1$: تكون $x \mapsto \abs x$ ليبشيتزية شاملًا بالثابت $1$ ($\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$)، ومنه تنطبق [المبرهنة 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) ويكون الحل الوحيد المارّ بالنقطة $0$ هو $x \equiv 0$. والحدّ الفاصل هو بالضبط شرط الليبشيتزية المحلية عند $0$: إذ لنسب فروق $\abs x^\alpha$ هناك عدمُ حدّية من أجل $\alpha < 1$. **تمرين 19.10 ★★★.** (الحدود القبلية تحبس الحلول) لتكن $F \colon \R^d \to \R^d$ [ليبشيتزية محليًّا](#def-b3-ode-lipschitz) مع $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ كلما كان $\norm x \geq R$. (a) برهن على أن الكرة المغلقة $\bar B(0, R)$ صامدة إيجابيًّا: أي إن الحلول التي تنطلق من الداخل تبقى فيه من أجل $t \geq 0$. *(إذا كان $\norm{x(t_2)} > R$، فانظر في آخر زمن $t_1 < t_2$ يحقق $\norm{x(t_1)} = R$ وادرس $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ على $\intcc{t_1}{t_2}$.)* (b) استنتج الوجود الأمامي الشامل من أجل المعطيات في الكرة. ثم عالج الجملة التدرّجية $x' = -\nabla G(x)$، $G \in \mathcal C^2$ مع $G(x) \to +\infty$ حين $\norm x \to \infty$: برهن على أن $G$ متناقصة على امتداد الحلول، وعلى أن كل حل يبقى في مجموعة المستوى الأدنى (المحدودة) $\{G \leq G(x_0)\}$، واخلص إلى الوجود الأمامي الشامل. **حل التمرين 19.10.** (a) لنفترض أن $\norm{x(t_2)} > R$ من أجل $t_2 > 0$ ما مع $\norm{x(0)} \leq R$، ولتكن $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$: عندئذٍ $\norm{x(t_1)} = R$ و $\norm{x(t)} > R$ على $\intoc{t_1}{t_2}$. وعلى تلك الفترة يحقق $g(t) = \norm{x(t)}^2$ أن $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (إذ تنطبق الفرضية: $\norm{x(t)} \geq R$)، ومنه $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$: وهو تناقض. فالكرة صامدة إيجابيًّا. (b) ولا يمكن لحلٍّ محبوس في الكرة المتراصة أن يحقق $T_+ < \infty$ ([المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)): أي شامل أماميًّا. وأما الجملة التدرّجية: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$: فتتناقص $G$، ومنه يبقى الحل في $\{G \leq G(x_0)\}$، وهي محدودة (بالقسرية: إذ خارج كرة كبيرة يكون $G > G(x_0)$) ومغلقة: أي متراصة. فالهروب مستحيل: أي إن كل حل لجملة تدرّجية قسرية شامل أماميًّا، منزلقًا إلى أسفل إلى الأبد. **تمرين 19.11 ★★.** (الانفجار بالمقارنة) لننظر في $x' = x^2 + t^2$ مع $x(0) = 1$. (a) برهن على أن [الحل الأعظمي](#thm-b3-ode-maximal) موجود على $\intco0{T_+}$ ما مع $T_+ < \infty$: بالمقارنة مع $y' = y^2$ و $y(0) = 1$ *(وبرهن على المبرهنة المساعدة للمقارنة التي تحتاجها: أنه إذا كان $x' \geq F(x)$ وكان $y' = F(y)$ مع $x(0) \geq y(0)$، فإن $x \geq y$ حيثما يعيش كلاهما)*، واستنتج $T_+ \leq 1$. (b) وحُدّ $T_+$ من الأسفل: فعلى $\intcc01$، $x' \leq x^2 + 1$؛ وقارن مع الحل الأعلى $z' = z^2 + 1$ مع $z(0) = 1$، المحلول بواسطة $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$، واخلص إلى $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) اجمع $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ وصُغ العبرة: أن النمو الفوق خطي للطرف الأيمن هو ما يقتل الوجود الشامل ([التمرين 19.3](#exo-b3-ode-3) بوصفه النقيض)، والحدّ الفاصل هو تقارب $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$. **حل التمرين 19.11.** (a) المبرهنة المساعدة للمقارنة: لتكن $w = x - y$ على الفترة المشتركة؛ فإن $w(0) \geq 0$ و $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ مع $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ محدودة على الفترات الزمنية المتراصة (لأن $F$ [ليبشيتزية محليًّا](#def-b3-ode-lipschitz))؛ عندئذٍ $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$، ومنه $w \geq 0$ في كل مكان. ومع $F(x) = x^2$: ينفجر $y(t) = \frac1{1 - t}$ عند $1$، و $x \geq y$ ما دام $x$ حيًّا؛ فإذا كان $T_+ > 1$، لكان $x$ منتهيًا عند $t = 1$ بينما يهيمن على $y \to \infty$: وهو محال. ومنه $T_+ \leq 1$. (b) والمقارنة المعكوسة (بالمبرهنة نفسها، بتبادل الدورين): على $\intcc01\cap\intco0{T_+}$، يعطي $t^2 \leq 1$ أن $x' \leq x^2 + 1$، بينما يحقق $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ أن $z' = z^2 + 1$ و $z(0) = 1 = x(0)$: ومنه $x \leq z$ ما دام كلاهما معرَّفًا. وبما أن $z$ منتهٍ على $\intco0{\frac\pi4}$، لا يمكن للحل $x$ أن ينفجر قبل $\frac\pi4$: أي $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) ومعًا: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (وعدديًّا $T_+ \approx 0.96$). والعبرة: أنه من أجل $x' = F(t, x)$ مع $F$ فوق خطية في $x$، تنفجر الحلول في زمن منتهٍ كلما كان $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (إذ يبلغ حل المقارنة اللانهاية في ذلك الزمن المنتهي)؛ وأما النمو الخطي، حيث يتباعد التكامل، فيفرض الوجودَ الشامل ([التمرين 19.3](#exo-b3-ode-3)). وهو تكامل أوسغود نفسه كما في [المسألة 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1)، لكنه يحكم الآن الهروبَ إلى اللانهاية بدل الهروب من الصفر. **تمرين 19.12 ★★★.** (مبرهنة شتورم في المقارنة) ليكن $q_1 \leq q_2$ متصلتين على فترة $I$، ولتكن $u \neq 0$ حلًّا للمعادلة $u'' + q_1u = 0$، ولتكن $v \neq 0$ حلًّا للمعادلة $v'' + q_2v = 0$. (a) أثبت متطابقة [الفرونسكياني](#thm-b3-ode-linearstructure): أنه مع $W = uv' - u'v$، $W' = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) (شتورم) برهن على أنه بين جذرين متتاليين $a < b$ للدالة $u$، إما أن تنعدم $v$ في موضع ما من $\intoo ab$، وإما أن يكون $q_1 = q_2$ و $v \propto u$ هناك *(افترض $u > 0$ على $\intoo ab$ و $v > 0$ أيضًا؛ وكامل (a) من $a$ إلى $b$ وافحص إشارتَي الحدّين الحدّيين $W(a), W(b)$)*. (c) استنتج: أن حلول $u'' + qu = 0$ مع $q \geq m > 0$ تنعدم مرة واحدة على الأقل في كل فترة طولها $\pi/\sqrt m$ (بالمقارنة مع $v'' + mv = 0$)؛ وأن الحلول مع $q \leq 0$ تنعدم مرة واحدة على الأكثر على $\R$. واختبر كليهما على $q \equiv \pm1$. **حل التمرين 19.12.** (a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) ليكن $a < b$ جذرين متتاليين للدالة $u$؛ ونعيِّر بحيث $u > 0$ على $\intoo ab$ (ومنه $u'(a) > 0$ و $u'(b) < 0$ — وهما غير معدومين بالوحدانية، إذ كان $u(a) = u'(a) = 0$ سيفرض $u \equiv 0$). ولنفترض أن $v$ لا تقبل أي جذر في $\intoo ab$؛ ونعيِّر $v > 0$ هناك (ومنه $v(a), v(b) \geq 0$ بالاتصال). ونكامل (a): $$ W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 . $$ لكن $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ و $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$: ومنه $W(b) - W(a) \geq 0$. والتساوي في كل المراحل: فإن $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ مع $uv > 0$ على الفترة المفتوحة يفرض $q_1 = q_2$ هناك؛ ويفرض $W(a) = W(b) = 0$ أن $v(a) = v(b) = 0$؛ عندئذٍ $W \equiv 0$ على $\intcc ab$ (لأن مشتقته منعدمة)، أي $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ على $\intoo ab$: أي $v \propto u$. (c) نأخذ $q_1 = m$ و $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$، وجذوره المتتالية تتباعد بمقدار $\pi/\sqrt m$، و $q_2 = q \geq m$: فحسب (b) تنعدم كل حل $v$ للمعادلة $v'' + qv = 0$ في كل فترة مفتوحة طولها $\pi/\sqrt m$ (وفي البديل المنحلّ $q \equiv m$، تنعدم $v \propto u$ أيضًا). وإذا كان $q \leq 0$ بدلًا من ذلك: طبّقنا (b) مع $q_1 = q$ و $u = v$، ومع $q_2 = 0$ والحل العديم الجذور $\mathbf 1$ للمعادلة $v'' = 0$. فلو قبلت $v$ جذرين متتاليين، لفرضت (b) إما جذرًا للمقدار $\mathbf 1$ بينهما وإما الحالة المنحلّة $\mathbf 1 \propto v$ — وكلاهما محال: ومنه تنعدم $v$ مرة واحدة على الأكثر. والفحوص: من أجل $q = 1$، ينعدم $\sin t$ كل $\pi = \pi/\sqrt1$، كما تنبّأنا؛ ومن أجل $q = -1$، ينعدم $\sinh t$ مرة واحدة بالضبط ولا ينعدم $\eu^t$ أبدًا — أي جذر واحد على الأكثر، كما تنبّأنا. ## 19.6 مسألة: النواس، محلولًا تمامًا **مسألة 19.1.** مسألة نهاية الأسبوع — التذبذبات والدورانات والفاصلة والدور معادلة النواس $x'' = -\sin x$ — وبصيغة الجملة: $x' = y$، $y' = -\sin x$ على $\R^2$ — هي ذبابة الفاكهة في الديناميكا: سهلة الكتابة، مستحيلة الحل بالصيغ الابتدائية، ومع ذلك مفهومة تمامًا بالطريقة النوعية. ولتكن $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (أي *الطاقة*). **الجزء الأول — البنية الشاملة.** 1. برهن على أن جميع الحلول الأعظمية شاملة (معرَّفة على $\R$ ): باستعمال $\dot E = 0$ و [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal) . ومواضع التوازن: $(k\pi, 0)$ ؛ صنّف خطّياتها (من نمط المركز من أجل $k$ زوجي، ومن نمط السرج من أجل $k$ فردي). 2. برهن على أن المسارات محتواة في مجموعات المستويات $\{E = E_0\}$ ، وارسم أو صف هذه المسارات حسب قيمة $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (مواضع التوازن)، و $-1 < E_0 < 1$ (منحنيات مغلقة حول $(2k\pi, 0)$ )، و $E_0 = 1$ (الفاصلة المارّة بالنقطتين $(\pm\pi, 0)$ )، و $E_0 > 1$ (منحنيات بيانية فوق $x$ : أي دورانات). 3. برهن على أن موضع التوازن السفلي $(0,0)$ مستقر لكنه *ليس* [مستقرًّا](#def-b3-ode-stability) مقاربًا. *(بليابونوف مع $V = E + 1$؛ وعدم الاستقرار المقارب: إذ يحبس حفظُ الطاقة المداراتِ على منحنيات مستوية بعيدة عن المبدأ.)* **الجزء الثاني — التذبذبات ودورها.** نثبّت $-1 < E_0 < 1$ ونكتب $E_0 = -\cos a$ مع $a \in \intoo0\pi$ (أي السعة). 4. برهن على أن الحل الذي يحقق $x(0) = a$ و $y(0) = 0$ يتذبذب: $x(t) \in \intcc{-a}a$ ، ويكون المدار المنحني المغلق $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . وبرّر أن الحل دوري: فالمدار منحنٍ متراص بلا مواضع توازن، ويُجرى بسرعة محدودة من الأسفل — اجعل هذا حجةً (إذ يعود الحل إلى نقطته الابتدائية في زمن منتهٍ، ثم تفرض الوحدانية الدورية). 5. أثبت صيغة الدور $$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$$ *(على ربع مدار، $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ ثم افصل المتغيّرات؛ وبرّر التقارب المعتلّ عند $x = a$)*. 6. (التذبذبات الصغيرة) عوّض $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ وبرهن على $$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$$ (وهو تكامل إهليلجي تام). واستنتج بالتقارب المهيمن أن $T(a) \to 2\pi$ حين $a \to 0^+$: أي النهاية التوافقية، المستقلة عن السعة — أي تساوي الأزمنة التقريبي عند غاليليو، مع تصحيحه المضبوط $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (بنشر المقدار المكامَل والمكاملة حدًّا حدًّا، مبرّرًا ذلك بالتقارب الناظمي). 7. برهن على $T(a) \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$ *(بحدّ المقدار المكامَل من الأسفل بجوار $\varphi = \frac\pi2$ حين $k \to 1$، أو بتطبيق التقارب الرتيب)* : فباقتراب النواس من الفاصلة، يتباطأ دون حدّ. **الجزء الثالث — الفاصلة.** 8. من أجل $E_0 = 1$، $y = 2\cos\frac x2$ على الفرع العلوي: افصل المتغيّرات وكامل لتجد الحل الصريح $$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$$ (مع $x(0) = 0$ و $y(0) = 2$). وتحقق مباشرةً من أنه يحل معادلة النواس، واحسب نهاياته ونهايات $y(t)$ حين $t \to \pm\infty$. 9. اخلص: أن مدار الفاصلة يصل بين السرج $(-\pi, 0)$ (حين $t \to -\infty$ ) والسرج $(\pi, 0)$ (حين $t \to +\infty$ ) لكنه لا يبلغ أيًّا منهما في زمن منتهٍ — وهو متسق مع الوحدانية (ولماذا كان بلوغُ سرجٍ في زمن منتهٍ سيناقض [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ؟). **الجزء الرابع — الدورانات، والصورة الكاملة.** 10. من أجل $E_0 > 1$: برهن على أن $y$ لا ينعدم أبدًا، وأن $x$ رتيبة تمامًا وشاملة مع $x(t) \to \pm\infty$، وأن $t \mapsto y(t)$ دورية بالدور $$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$$ 11. ركّب صورة الطور الكاملة (أي شكل الفصل) مع تبرير كامل لكل سمة، واكتب ملخصًا من عشرة أسطر للطريقة: الطاقة، ومجموعات المستويات، والتراص، والوحدانية — وكيف دخلت كل مبرهنة من مبرهنات الفصل. وأين احتجنا يومًا إلى صيغة للحل العام؟ **الجزء الخامس — دالة الدور تحت المجهر.** 12. برهن على عزوم واليس $$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$ بالتراجع (بالمكاملة بالتجزئة)، وانشر المقدار المكامَل في السؤال 6 بمتسلسلة ذات الحدين، وبرّر المكاملة حدًّا حدًّا لتحصل على المتسلسلة الكاملة $$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$$ 13. حوّل إلى السعة: $$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$$ *(بتعويض نشر $\sin\frac a2$ والتجميع)*. فيخفق تساوي الأزمنة من الرتبة $a^2$، وقد صار الإخفاق الآن مكمَّمًا حتى الرتبة $a^4$. 14. برهن على أن $a \mapsto T(a)$ متصلة ومتزايدة تمامًا على $\intoo0\pi$ ، واخلص مع السؤالين 6 و7 إلى أن $T$ تقابل من $\intoo0\pi$ على $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : أي إن كل دور فوق حرج تحققه سعةٌ واحدة بالضبط. 15. (حساب صانع الساعات) نواسٌ مضبوط عند سعة متلاشية يحفظ الزمن [المثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) ؛ برهن على أنه إذا شُغّل عند السعة $a$ تأخّر بالكسر $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ من الزمن [المثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) ، واحسب الانحراف من أجل $a = 0.2$ راديان: نحو $216$ ثانية في اليوم. (وخدّا هويغنس الدويريان والسعات الثابتة الصغيرة في الميزانات جوابان على هذا العدد.) 16. عُد إلى دور الدوران $\tau$ في السؤال 10: برهن على أن $\tau$ متناقص تمامًا على $\intoo1{+\infty}$ ، وأن $\tau(E_0) \to +\infty$ حين $E_0 \to 1^+$ (بالتقارب الرتيب)، وأن $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ حين $E_0 \to +\infty$ (بالتقارب المهيمن): أي إن الدوران السريع هو مقاربًا دورانٌ حر بالسرعة الزاوية $\sqrt{2E_0}$ . **الجزء السادس — الطريقة مصدَّرةً: لوتكا–فولتيرا.** وصفة النواس — تكاملٌ أول، ومنحنيات مستوية متراصة، ووحدانية — تحل نظامًا بيئيًّا. نثبّت $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ وننظر، على الربع المفتوح $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$، في $$ x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma) $$ (حيث $x$ الفريسة و $y$ المفترسات). 17. برهن على أن $Q$ صامدة — إذ المحوران اتحادان لمدارات قابلة للحساب صراحةً، لا يمكن لأي حل أن يعبرها ( [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ) — وعلى أن موضع التوازن الوحيد في $Q$ هو $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ . 18. برهن على أن $$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$$ تكاملٌ أول، وعلى أن $H = f(x) + g(y)$ مع $f, g$ محدّبتين تمامًا وسويّتين على $\intoo0{+\infty}$ بأصغريتين عند $x_*$ و $y_*$، واستنتج أن جميع الحلول الأعظمية في $Q$ شاملة. 19. برهن على أنه من أجل $h > h_* = H(x_*, y_*)$ تكون مجموعة المستوى $\{H = h\}\cap Q$ منحنيًا مغلقًا حول موضع التوازن: أي فرعان متصلان $y_\pm(x)$ فوق فترة متراصة $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ ، ملتحمان عند الطرفين — وهو نظير بيضاويات النواس. 20. برهن على أن كل مدار غير توازني في $Q$ دوري: أثبت الدوران عكس عقارب الساعة عبر المناطق الأربع التي يقطعها المستقيمان $x = x_*$ و $y = y_*$ ، وحُدّ زمن عبور كل قوس بتكامل ذي شذوذ جذري تربيعي متقارب (كما في السؤال 5)، ثم أغلق بالوحدانية (كما في السؤال 4). 21. (قانون فولتيرا في المتوسطات) إذا كان $T$ دورَ مدار كهذا، برهن على أن $$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$$ أي إن المتوسطات الزمنية تساوي قيم التوازن، مهما كانت السعة *(بمكاملة $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ على دور واحد)*. 22. (مفارقة الصيد) اصطد النوعين بالمعدل $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : فتحتفظ الجملة بشكلها مع $\alpha - \varepsilon$ و $\gamma + \varepsilon$ بدل $\alpha$ و $\gamma$ . فماذا يحدث لمتوسطَي التعداد؟ واشرح ملاحظة دانكونا (1914–1918): أنه لما تناقص الصيد في الأدرياتيك أثناء الحرب، *ازدادت* نسبة المفترسات (أسماك القرش) في المصيد — ولماذا يفضّل الصيدُ المعتدل الفريسةَ. 23. اكتب العبرة في عشرة أسطر: أي مبرهنات الفصل تشغّل كل خطوة، وما الذي يحلّ محل طاقة النواس، ولماذا لم تحتج أي من الجملتين — ولا تقبل — حلًّا ابتدائيًّا بصيغة مغلقة. 24. (تضمين السرعة) في نظام الدوران $E_0 > 1$ ، برهن على أن $y = x'$ يتذبذب بين $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (عند $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) و $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (عند $x \equiv 0$ )، وعلى أن المتوسط الزمني للمقدار $y$ على دور واحد يساوي $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ بالضبط، وعلى أن نسبة التضمين $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ حين $E_0 \to \infty$ : أي إن الدوران السريع منتظمٌ مقاربًا. 25. (رتابة دور الدوران) برهن على أن $\tau(E_0)$ من الصنف $\mathcal C^1$ ومتناقص تمامًا على $\intoo1{+\infty}$ *(بالاشتقاق تحت علامة التكامل، مع الهيمنة على كل $\intco{1 + \delta}\infty$)* ، مع $\tau \to \infty$ حين $E_0 \to 1^+$ و $\tau \to 0$ حين $E_0 \to \infty$ . وركّب صورة التشعّب الكاملة للنواس على امتداد محور الطاقة: مواضع التوازن عند $E_0 = -1$ ، والتأرجحات بدور يتزايد من $2\pi$ إلى $\infty$ على $-1 < E_0 < 1$ ، والفاصلة عند $E_0 = 1$ ، والدورانات بدور يتناقص من $\infty$ إلى $0$ بعدها. **حل المسألة 19.1.** **1.** $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$: أي إن الطاقة تكامل أول. وعلى [حل أعظمي](#thm-b3-ode-maximal)، $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$: فيكون $y$ محدودًا؛ عندئذٍ ينمو $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ خطيًّا على الأكثر: فعلى أي فترة زمنية منتهية يبقى المسار في متراصة من $\R^2$، ومنه تفرض [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) أن $T_\pm = \pm\infty$. ومواضع التوازن $(k\pi, 0)$؛ والخطّية $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ مع $-\cos(k\pi) = \mp1$: بقيمتين ذاتيتين $\pm\iu$ من أجل $k$ زوجي (من نمط المركز، وهو غير حاسم بذاته) و $\pm1$ من أجل $k$ فردي (سرج). **2.** ثبات $E$ على امتداد الحلول يحصر كل مسار في مجموعة مستوى $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$. فمن أجل $E_0 = -1$: النقاط $(2k\pi, 0)$ وحدها. ومن أجل $-1 < E_0 < 1$: بكتابة $E_0 = -\cos a$، تكون المجموعة اتحادًا منفصلًا لمنحنيات مغلقة $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ فوق $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$، واحدٍ حول كل موضع توازن مستقر. ومن أجل $E_0 = 1$: المنحنيات $y = \pm2\cos\frac x2$ الواصلة بين السروج المتتالية — أي الفاصلة — مع السروج نفسها. ومن أجل $E_0 > 1$: منحنيان بيانيان $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$، معرَّفان من أجل كل $x$، ولا يمسّان $y = 0$ أبدًا. **3.** ينعدم $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ عند $(0,0)$، وهو موجب على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) مثقوب (حيث $\abs x < 2\pi$)، و $\dot V = 0 \leq 0$: فتعطي [المبرهنة 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov) الاستقرار. وليس مقاربًا: إذ يبقى الحل المارّ بالنقطة $(a, 0)$ (حيث $0 < a$ صغير) على المنحني المستوي $E = -\cos a$، ومسافته إلى المبدأ موجبة (إذ لا يلاقي المنحني محور السينات إلا عند $\pm a$): أي $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$. **4.** على المنحني المستوي $C_a$: لا مواضع توازن (إذ $y = 0$ يفرض $x = \pm a$ مع $\sin(\pm a) \neq 0$ من أجل $0 < a < \pi$)، ومنه للسرعة $\norm{(y, -\sin x)}$ أصغريةٌ موجبة $m$ على المتراصة $C_a$. ونتتبّع الحل من $(a, 0)$: ففي نصف المستوي السفلي $x' = y < 0$، ومنه يتناقص $x$ من $a$ إلى $-a$ في زمن منتهٍ (إذ تتقارب تكاملات ربع الدور ونصفه: بتحليل السؤال 5)، فيبلغ $(-a, 0)$؛ وبالتماثل $(x, y) \mapsto (x, -y)$، $t \mapsto -t$ للمعادلة، يُجرى النصف العلوي رجوعًا في الزمن نفسه $\frac T2$: فيرجع الحل إلى $(a, 0)$ عند الزمن $T$. ثم تنتشر الوحدانية ([النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)): أي $x(t + T) = x(t)$ من أجل كل $t$: فهو دوري. **5.** على الفرع الذي يكون فيه $y > 0$: $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ و $\dd t = \frac{\dd x}{y}$؛ وبمكاملة $x$ من $-a$ إلى $a$ نجد نصف الدور، ويناصف التماثل $x \mapsto -x$ التكاملَ مرة أخرى: $$ T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} . $$ وأما التقارب عند $x = a^-$: فإن $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ مع $\sin a > 0$: ومنه يسلك المقدار المكامَل مثل $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$، وهو قابل للمكاملة. **6.** مع $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ و $k = \sin\frac a2$: $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ و $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$، ومنه $$ T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} . $$ وحين $a \to 0^+$ يكون $k \to 0$: فمن أجل $k \leq k_0 < 1$ يُهيمَن على المقدار المكامَل بالمقدار $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$، وهو متصل على $\intcc0{\pi/2}$: فيعطي التقارب المهيمن $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$. وبنشر $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ مع $u = k^2\sin^2\varphi$ (بتقارب ناظمي من أجل $k < 1$) ومع $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$: $$ T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) : $$ فلا يصح تساوي الأزمنة إلا من الرتبة الأولى؛ ويتزايد الدور مع السعة. **7.** حين $k \uparrow 1$ تتزايد المقادير المكامَلة إلى $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$، وتكامله متباعد: فبالتقارب الرتيب، $T(a) \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$. **8.** على الفرع $y = 2\cos\frac x2$ ($\abs x < \pi$): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$؛ ومع $u = \frac x2$ و $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$، يكون $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$، أي $$ x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} . $$ وأما التحقق بالطاقة: فمع $\theta = \arctan\eu^t$، $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$، ومنه $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ و $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$: فيقع المسار على الفاصلة، ويعيد اشتقاق $y^2 = 2(1 + \cos x)$ حيث $y > 0$ إنتاجَ $y' = -\sin x$. والنهايات: $x \to \pm\pi$ و $y \to 0$ حين $t \to \pm\infty$. **9.** يؤول المدار إلى السرج $(\pi, 0)$ أمامًا وإلى $(-\pi, 0)$ خلفًا لكنه لا يصل أبدًا: فلو بلغ $(\pi, 0)$ عند زمن منتهٍ $t^*$، لمرّ حلّان أعظميان متمايزان — حل الفاصلة والحل الثابت عند السرج — بالنقطة نفسها $(t^*, (\pi, 0))$، وهو يناقض [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness). فلا تُقارَب السروج إلا مقاربًا. **10.** من أجل $E_0 > 1$: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$: فيحتفظ $y$ بإشارته، و $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$: فتكون $x$ رتيبة تمامًا وشاملة (السؤال 1) مع $x(t) \to \pm\infty$. وبما أن $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ و $\cos$ دورية بالدور $2\pi$، يرجع $y$ إلى قيمته كلما تقدّم $x$ بمقدار $2\pi$؛ والزمن اللازم هو $$ \tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} $$ (بالتعويض؛ وبالدورية): فيكون $y$ دوريًّا بالدور $\tau$ — أي إن النواس يدور بمعدل دوران ثابت مقاربًا $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ من أجل الطاقات الكبيرة. **11.** الطريقة، بالترتيب: *الطاقة* ($\dot E = 0$) تختزل الانسياب ذا البُعدين إلى منحنيات مستوية ذات بُعد واحد؛ و*حدّية* $y$ على كل مستوى مع [الهروب من المتراصات](#thm-b3-ode-maximal) تعطي الوجود الشامل؛ و*تراص* المستويات المغلقة يعطي حدود السرعة ومن ثَمّ الدورية؛ و*الوحدانية* تحوّل العودة الأولى إلى دورية مضبوطة، وتمنع الوصول إلى السروج في زمن منتهٍ، وتفصل أنماط المدارات؛ و*الخطّية وليابونوف* تصنّفان مواضع التوازن؛ و*تكامل الدور* يُحلَّل بمبرهنات التقارب في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue). ولم نمتلك في أي لحظة — ولم نحتج — إلى حل عام بصيغة مغلقة: إذ استخرجت النظرية النوعية كل سمة من سمات الحركة من المعادلة نفسها. **12.** بالتجزئة: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$، ومنه $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$؛ ومع $W_0 = \frac\pi2$ و $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (بشطر $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$)، يعطي التراجع القيمةَ المعروضة. ومتسلسلة ذات الحدين: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ مع $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$، ونصف القطر $1$. ومن أجل $k \leq k_0 < 1$ و $u = k^2\sin^2\varphi$، تتقارب المتسلسلة $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ تقاربًا ناظميًّا في $\varphi$ ($c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$)، ومنه تكون المكاملة حدًّا حدًّا في صيغة السؤال 6 مشروعة: $$ T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} . $$ ومع $c_0 = 1$ و $c_1 = \frac12$ و $c_2 = \frac38$: $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$، والباقي منتظم من أجل $k \leq k_0$ (إذ يُهيمَن على الذيل بمتسلسلة هندسية). **13.** $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$، ومنه $$ k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) , $$ و $$ \frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) , $$ لأن $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$. **14.** في الصيغة الإهليلجية للسؤال 6، يكون $a \mapsto k = \sin\frac a2$ تقابلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) متزايدًا تمامًا من $\intoo0\pi$ على $\intoo01$، ومن أجل كل $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ يكون المقدار المكامَل $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ متزايدًا تمامًا في $k$: فيكون $T$ متزايدًا تمامًا. وأما الاتصال: فعلى $k \leq k_0 < 1$ يُهيمَن على المقدار المكامَل بالدالة المتصلة $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$، ومنه ينطبق التقارب المهيمن على امتداد $k' \to k$. ومع النهايتين $T \to 2\pi$ حين $a \to 0^+$ (السؤال 6) و $T \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$ (السؤال 7)، تجعل الرتابة الأكيدة ومبرهنة القيم الوسطى $T$ تقابلًا من $\intoo0\pi$ على $\intoo{2\pi}{+\infty}$. **15.** تعدّ الساعة التأرجحات؛ وحين تُضبط عند سعة متلاشية، تقيّد الدور التوافقي $2\pi$ لكل تأرجحة (بوحدة زمن النواس). وحين تُشغَّل عند السعة $a$، يكون الدور الحقيقي $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$: فتقيّد الساعة $2\pi$ بينما ينقضي فعلًا $T(a)$، ومنه تتأخّر بالكسر $$ \frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) . $$ ومن أجل $a = 0.2$ راديان (نحو $11.5$ درجة): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$، ولليوم $86400$ ثانية: فتفقد الساعة $86400/400 = 216$ ثانية — أي نحو ثلاث دقائق ونصف — في اليوم. ومن هنا العلاجان التاريخيان: فرضُ سعة ثابتة ضئيلة (بالميزان)، أو ثنيُ القيد بحيث يكون الدور مستقلًّا عن السعة تمامًا (خدّا هويغنس الدويريان، 1657). **16.** في $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ يكون المقدار المكامَل، من أجل كل $x$ مثبَّت، متناقصًا تمامًا في $E_0$: فيكون $\tau$ متناقصًا تمامًا. وحين $E_0 \downarrow 1$ تتزايد المقادير المكامَلة نقطةً نقطة إلى $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$، وتكامله على $\intoo{-\pi}\pi$ متباعد (إذ ينعدم $\cos\frac x2$ من الرتبة الأولى عند $\pm\pi$): فيعطي التقارب الرتيب $\tau(E_0) \to +\infty$. وحين $E_0 \to +\infty$: $$ \sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi $$ بالتقارب المهيمن (إذ من أجل $E_0 \geq 2$ يكون المقدار المكامَل على الأكثر $\sqrt2$). ومنه $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$: أي إن الدورة الواحدة تستغرق زمن الدوران الحر بالسرعة $\sqrt{2E_0}$، وقد اختُزل الكمون إلى تموّج — وهو يوافق معدل الدوران في السؤال 10. **17.** يحمل المحوران الحلين الصريحين $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ و $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$، مع موضع التوازن $(0, 0)$: فهما اتحادان لمدارات. والحقل $\mathcal C^1$، ومنه ليبشيتزي محليًّا؛ وحلٌّ ينطلق من $Q$ ويلمس محورًا كان سيمرّ بنقطة من أحد تلك المدارات، فيتوافق معه حسب [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) — وهو مستحيل، إذ يعيش أحدهما على المحور والآخر لا. ومنه فإن $Q$ صامدة في اتجاهَي الزمن. وأما مواضع التوازن في $Q$: فإن $x > 0$ يفرض $\alpha - \beta y = 0$ و $y > 0$ يفرض $\delta x - \gamma = 0$: أي النقطة الوحيدة $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$. **18.** على امتداد حل، $$ \dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 . $$ وللمقدار $f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ المشتقةُ $f'' = \gamma/x^2 > 0$، ولا تنعدم $f'$ إلا عند $x_*$، و $f \to +\infty$ عند $0^+$ وعند $+\infty$ معًا: أي محدّبة تمامًا وسويّة، بأصغرية $f(x_*)$؛ وبالمثل $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$، بأصغرية $g(y_*)$. ومنه $H \geq h_*$ مع التساوي عند $(x_*, y_*)$ وحدها، وتكون كل مجموعة مستوى أدنى $\{H \leq h\}\cap Q$ متراصة: إذ يحصر $f(x) \leq h - g(y_*)$ المتغيّرَ $x$ في فترة متراصة من $\intoo0{+\infty}$ بالسويّة، وبالمثل $y$، والمجموعة مغلقة في $\R^2$ لأن $H \to +\infty$ عند حافة $Q$. ويبقى [الحل الأعظمي](#thm-b3-ode-maximal) على مجموعة مستواه المتراصة، ومنه لا يمكنه أن يغادر كل متراصة في زمن منتهٍ: فتجعله [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal) شاملًا. **19.** نثبّت $h > h_*$ ونضع $c = h - g(y_*) > f(x_*)$. وبما أن $f$ تتناقص تمامًا من $+\infty$ إلى $f(x_*)$ على $\intoc0{x_*}$ وتتزايد تمامًا راجعةً إلى $+\infty$ على $\intco{x_*}{+\infty}$، يكون للمعادلة $f(x) = c$ جذران بالضبط $x_- < x_* < x_+$، مع $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$. ومن أجل $x \in \intoo{x_-}{x_+}$: للمعادلة $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ جذران بالضبط $y_-(x) < y_* < y_+(x)$، متصلان في $x$ (بوصفهما مقلوبَي التضييقين المتصلين الرتيبين تمامًا للدالة $g$ على جانبَي $y_*$)، مع $y_\pm(x) \to y_*$ حين $x \to x_\pm$؛ وعند $x = x_\pm$ يكون الحل الوحيد $y = y_*$. ومنه فإن $\{H = h\}\cap Q$ اتحادُ منحنيَي $y_+$ و $y_-$ فوق $\intcc{x_-}{x_+}$، ملتحمين عند $(x_\pm, y_*)$: أي منحنٍ مغلق حول $(x_*, y_*)$ — وهو نظير بيضاويات النواس. **20.** لتكن $C_h = \{H = h\}\cap Q$ مع $h > h_*$: فموضع التوازن الوحيد في $Q$ خارج $C_h$، ومنه لا ينعدم الحقل عليه أبدًا. وأما الإشارات: $x' = \beta x(y_* - y)$، $y' = \delta y(x - x_*)$: فتسير الحركة يمينًا تحت المستقيم $y = y_*$، وصعودًا يمين $x = x_*$، ويسارًا فوقه، ونزولًا على اليسار — أي دوران عكس عقارب الساعة. ونتتبّع الحل من نقطة $(x_0, y_-(x_0))$ من الفرع السفلي المفتوح، حيث $x' > 0$: فيكون زمن بلوغ الزاوية اليمنى $B = (x_+, y_*)$ $$ \int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} . $$ وبجوار $x_+$ نختار $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$؛ فمن أجل $x \in \intcc{x'}{x_+}$، $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ (إذ $f'$ متزايدة وموجبة بعد $x_*$)، بينما تعطي علاقة المستوى ومتراجحة تايلور أن $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ على مجال $y$ المتراص للمنحني $C_h$: ومنه $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ مع $c > 0$، ويكون المقدار المكامَل $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$: أي قابلًا للمكاملة — وهو تقارب السؤال 5، منقولًا. وفي غير ذلك من الفرع يكون المقدار المكامَل [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity). ومنه تُبلَغ $B$ في زمن منتهٍ؛ وهناك $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$، فيدخل المدار المنطقة $x > x_*$ و $y > y_*$، ويصعد إلى الزاوية العليا $(x_*, y_+)$ بالتقدير المتناظر (بتبادل دورَي $f$ و $g$)، وهكذا حول الأقواس الأربعة: فبعد زمن منتهٍ $T > 0$ يرجع الحل إلى نقطة انطلاقه. وحسب [النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) يكون دوريًّا بالدور $T$ — أي حجة السؤال 4 حرفيًّا. **21.** على مدار دوري بالدور $T$ في $Q$، تكون $t \mapsto \ln x(t)$ من الصنف $\mathcal C^1$ ودورية بالدور $T$، ومنه $$ 0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t , $$ فنجد $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$؛ وبالمثل يعطي $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ أن $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$. فالمتوسطات الزمنية هي قيم التوازن، من أجل كل مدار مهما كانت السعة — أي قانون حفظ لم يضعه أحد باليد. **22.** مع الصيد تعود الجملة من نمط لوتكا–فولتيرا، بالوسائط $\alpha - \varepsilon$ و $\beta$ و $\gamma + \varepsilon$ و $\delta$ (ويستمر موضع التوازن الداخلي لأن $\varepsilon < \alpha$). وبتطبيق السؤال 21 على الجملة الجديدة: $$ \bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{متوسط الفريسة يرتفع}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{متوسط المفترس ينخفض}) : $$ فيزيح الصيدُ العشوائي التوازنَ لصالح الفريسة. وتقرأ معطيات دانكونا ذلك بالعكس: فقد قلّصت الحرب الصيد، فانخفض $\varepsilon$، ومنه ارتفع متوسط المفترس $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ وانخفض متوسط الفريسة — أي نسبة أكبر من أسماك القرش في المصيد، وهو بالضبط ما سجّلته أسواق سمك الأدرياتيك. وهذا مبدأ فولتيرا، وهو الآلية نفسها وراء مفارقات المبيدات: فقتلُ المستويين الغذائيين معًا يفيد المستوى المأكول. **23.** الوصفة، في الحالتين: (أ) تكاملٌ أول — $E$ من أجل النواس و $H$ هنا، يُوجد بفصل $\dd y/\dd x$ — يطوي المستوي إلى منحنيات؛ (ب) والسويّة وتراص مجموعات المستويات يعطيان الوجود الشامل عبر [المبرهنة 19.5](#thm-b3-ode-maximal)؛ (ج) وهندسة المستويات — بيضاويات، من شكل $\cos$ هناك ومن التحدّب الأكيد للدالتين $f$ و $g$ هنا — تُقرأ من التكامل لا من الانسياب؛ (د) وحقلٌ غير منعدم على بيضاوي متراص مع شذوذات زاوية [قابلة للمكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#def-b3-lebesgue-l1) يفرض زمن عودة منتهيًا؛ (ه) والوحدانية ([النتيجة 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) تحوّل العودة إلى دورية وتمنع الوصول إلى مواضع التوازن في زمن منتهٍ؛ (و) والعوائد — نشرات الدور، وقوانين المتوسطات — تأتي من مبرهنات التقارب مطبَّقةً على التكاملات الناتجة. ولا $x'' = -\sin x$ ولا لوتكا–فولتيرا يقبل حلًّا ابتدائيًّا بصيغة مغلقة (تكاملات إهليلجية في حالة، ومنحنيات مستوية متسامية في الأخرى)، ولم يُحتَج إلى ذلك في أي لحظة: إذ سلّمت المعادلةُ نفسها، مستجوَبةً نوعيًّا، الحركةَ بكاملها. **24.** على مستوى طاقة $E_0 > 1$: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$: فتقع القيم القصوى للمقدار $y^2$ عند $\cos x = \pm1$، فتعطي الحدود المذكورة، وهي مبلوغة عند $x \equiv 0, \pi$. والمتوسط الزمني على دور واحد $\tau = \tau(E_0)$: إذ يتقدّم $x$ بمقدار $2\pi$ بالضبط، ومنه $$ \frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau . $$ ونسبة السرعتين القصويين هي $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$: أي إنه عند الطاقة العالية يكون تموّج الكمون $\pm1$ مهملًا أمام $E_0$، فيدور النواس دورانًا شبه منتظم — فتستوي لوحة الغسيل. **25.** على $E_0 \geq 1 + \delta$، يُهيمَن على المقدار المكامَل في $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ بالمقدار $(2\delta)^{-1/2}$، وعلى مشتقته بالنسبة إلى $E_0$ $$ \partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}} $$ بالمقدار $(2\delta)^{-3/2}$، وكلاهما قابل للمكاملة على المتراصة $\intcc{-\pi}\pi$: فينطبق الاشتقاق تحت علامة التكامل ([المبرهنة 10.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) ويعطي $\tau'(E_0) < 0$ (إذ المقدار المكامَل سالب تمامًا): أي متناقص تمامًا ومن الصنف $\mathcal C^1$. وأما النهايات: فحين $E_0 \to \infty$، $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$؛ وحين $E_0 \to 1^+$: نكتب $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$؛ فيتزايد المقدار المكامَل حين يتناقص $E_0$، ومنه بالتقارب الرتيب $$ \tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty, $$ والتكامل الحدّي متباعد عند $x = \pm\pi$ (إذ هناك $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$، وهو $\frac1{\abs\cdot}$ غير قابل للمكاملة): فينفجر الدور باقتراب الفاصلة، موافقًا $T(a) \to \infty$ في الجزء الثاني من جهة التأرجح. ويُقرأ محور الطاقة: سكونٌ عند $E_0 = -1$؛ وتأرجحات، $2\pi \nearrow \infty$، على $\intoo{-1}1$؛ والفاصلة البطيئة لانهائيًّا عند $E_0 = 1$؛ ودورانات، $\infty \searrow 0$، بعدها. تكاملٌ واحد، وحياة النواس بأسرها.