--- title: "المتنوعات الجزئية في ℝn" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 20 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn --- # الفصل 20 — المتنوعات الجزئية في ℝn الكرات، والحلقات الدائرية، وزمر الدوران: ليست الموائل الطبيعية للهندسة والميكانيكا فضاءاتٍ متجهية، بل *مجموعاتٍ منحنية تبدو مسطّحة عن قرب*. ويعطي هذا الفصل تلك العبارة معنًى دقيقًا — أي المتنوعات الجزئية في $\R^n$ — ويعطي حسابها التفاضلي. والأساس هو مبرهنة الدالة العكسية، مبرهَنًا عليها هنا بنقطة باناخ الصامدة؛ وكل ما عداها تغييرُ إحداثيات: أي الأوصاف الأربعة المتكافئة [للمتنوعة الجزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) (التسوية المحلية، ومجموعات المستويات، والمنحنيات البيانية، والوسطنات)، والفضاءات المماسّة، والأمثلة المقيَّدة [بمضاعفات لاغرانج](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — التي تعيد، بوصفها عرضًا وداعيًّا، البرهانَ على المبرهنة الطيفية للمصفوفات المتناظرة في ثلاثة أسطر من الهندسة. وتبني مسألة نهاية الأسبوع زمرة الدوران $SO(3)$ وغطاءها المزدوج الرباعي: أي الجبر (وقد كبرت $Q_8$ في [الفصل 1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ch-b3-groups)) يلاقي الهندسة. ## 20.1 مبرهنة الدالة العكسية **مبرهنة 20.1 (مبرهنة الدالة العكسية).** لتكن $U \subseteq \R^n$ مفتوحة، ولتكن $f \colon U \to \R^n$ من الصنف $\mathcal C^1$، وليكن $a \in U$ بحيث يكون $Df(a)$ قابلًا للقلب. عندئذٍ توجد مجموعتان مفتوحتان $V \ni a$ و $W \ni f(a)$ بحيث يكون $f \colon V \to W$ تقابلًا بمقلوب من الصنف $\mathcal C^1$، و $$ D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W). $$ وإذا كانت $f$ من الصنف $\mathcal C^k$، كان $f^{-1}$ كذلك. **برهان.** نعيِّر: فباستبدال $f$ بالمقدار $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$، يمكننا أن نفترض $a = 0$ و $f(0) = 0$ و $Df(0) = I$ (وتنتج العبارة العامة بالتركيب مع التقابلات التآلفية). ونكتب $f(x) = x + g(x)$: فإن $Dg(0) = 0$، وباتصال $Dg$ نختار $r > 0$ بحيث $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ على $\bar B(0, r)$؛ وتعطي متراجحة القيم المتوسطة أن $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ هناك. *التقابل على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology).* من أجل $y \in B(0, \frac r2)$، يعني حل $f(x) = y$ إيجادَ نقطة صامدة للتطبيق $\Phi_y(x) = y - g(x)$؛ ويرسل $\Phi_y$ الكرة $\bar B(0, r)$ في نفسها ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$) وهو ليبشيتزي بالثابت $\frac12$: فتعطي باناخ ([المبرهنة 7.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) حلًّا وحيدًا $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$. وفوق ذلك تكون $f$ متباينة على $\bar B(0,r)$: $$ \norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$} $$ ونضع $W = B(0, \frac r2)$ و $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$: فهما مفتوحتان (بالاتصال)، مع $f \colon V \to W$ تقابليًّا. *اتصال المقلوب وقابليته للاشتقاق.* يقول $(*)$ إن $\varphi = f^{-1}$ ليبشيتزي بالثابت $2$. ونثبّت $y_0 = f(x_0) \in W$؛ فتعطي قابلية $A = Df(x_0)$ للقلب (إذ مسافته إلى $I$ هي $\leq \frac12$: بنويمان، [القضية 8.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#prop-b3-banach-neumann)) وقابليةُ $f$ للاشتقاق، من أجل $y = f(x)$ بجوار $y_0$: $$ \varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}), $$ باستعمال $(*)$ لتحويل $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$: فتكون $\varphi$ قابلة للاشتقاق عند $y_0$ بالتفاضل المقلوب. وأما اتصال $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$: فبتركيب تطبيقات متصلة (إذ القلب متصل، [القضية 8.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#prop-b3-banach-neumann)): أي $\varphi \in \mathcal C^1$؛ وترقيةُ الصيغة نفسها تعطي $\mathcal C^k$. ∎ **مبرهنة 20.2 (مبرهنة الدوال الضمنية).** لتكن $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ من الصنف $\mathcal C^1$ بجوار $(a, b)$، مع $F(a,b) = 0$، ولنفترض أن التفاضل الجزئي $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ قابل للقلب. عندئذٍ توجد جواران $A \ni a$ و $B \ni b$ وتطبيقٌ $\psi \colon A \to B$ من الصنف $\mathcal C^1$ يحقق $$ \bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\}, $$ و $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$. **برهان.** نطبّق [المبرهنة 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) على $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$: فتفاضله عند $(a,b)$، وهو كتلي مثلثي بكتلتين قطريتين قابلتين للقلب $I$ و $D_yF$، قابلٌ للقلب. وللمقلوب المحلي الشكلُ $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$؛ ونضع $\psi(x) = h(x, 0)$: عندئذٍ يكون $F(x, y) = 0$ إذا وفقط إذا كان $\Theta(x,y) = (x, 0)$، إذا وفقط إذا كان $y = \psi(x)$، محليًّا. وأما الصيغة: فباشتقاق $F(x, \psi(x)) = 0$ بقاعدة السلسلة. ∎ ## 20.2 المتنوعات الجزئية: أربعة تعاريف **مبرهنة 20.3 (التمييزات المتكافئة).** لتكن $M \subseteq \R^n$، و $d \in \{0, \dots, n\}$، و $k \geq 1$. تتكافأ العبارات التالية، من أجل كل نقطة $a \in M$ (وتكون $M$ *متنوعةً جزئية ذات بُعد $d$ من الصنف $\mathcal C^k$* إذا صحّت عند كل $a \in M$): 1. (*التسوية*) يوجد تماثل تفاضلي $\Phi$ من الصنف $\mathcal C^k$ من مفتوحة $\Omega \ni a$ على مفتوحة $\Omega' \subseteq \R^n$ يحقق $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$ 2. ( *مجموعة المستوى* ) يوجد *غمرٌ غامر* $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ من الصنف $\mathcal C^k$ (أي إن $DF(x)$ غامر) على مفتوحة $\Omega \ni a$ يحقق $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ . 3. ( *المنحني البياني* ) إلى غاية تبديل الإحداثيات، تكون $M$ محليًّا المنحنيَ البياني لتطبيق $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ من الصنف $\mathcal C^k$ . 4. ( *الوسطنة* ) يوجد *غمرٌ* $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ من الصنف $\mathcal C^k$ (أي إن $D\varphi(u)$ متباين) مع $A$ مفتوحة، و $\varphi$ تماثلٌ طوبولوجي من $A$ على $M \cap \Omega$ من أجل مفتوحة $\Omega \ni a$ ما. **برهان.** (1)$\Rightarrow$(2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (أي الإحداثيات الأخيرة للتطبيق $\Phi$): وهو غمرٌ غامر (لأن $D\Phi$ قابل للقلب). (2)$\Rightarrow$(3): $DF(a)$ غامر: ومنه يكون محدّدٌ جزئي ما من الرتبة $q \times q$ للمصفوفة الياكوبية قابلًا للقلب (حيث $q = n - d$)؛ وبعد تبديل الإحداثيات، يكون $D_yF(a)$ قابلًا للقلب، وتعبّر مبرهنة الدوال الضمنية ([المبرهنة 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) عن $M$ محليًّا بوصفها منحنيًا بيانيًّا $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: وهو غمرٌ (إذ تفاضله $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ متباين)، وتماثلٌ طوبولوجي على المنحني البياني (ومقلوبه: الإسقاط، وهو متصل). (4)$\Rightarrow$(1): لتكن $\varphi(u_0) = a$؛ نكمّل $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ بمتمم $E$ (حيث $\dim E = n - d$) ونعرّف $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ على $A\times E$: فيكون $D\Theta(u_0, 0)$ تقابليًّا (إذ تحتوي الصورة $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ و $E$)، ومنه يكون $\Theta$ تماثلًا تفاضليًّا محليًّا ([المبرهنة 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift))؛ ويسوّي مقلوبه $\Phi$: أي إن نقاط $M$ بجوار $a$ هي بالضبط $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — ومن أجل ذلك، تضمن فرضية [التماثل الطوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) في (4) أن $M\cap\Omega$، من أجل $\Omega$ صغيرة، لا تحتوي أي صفائح أخرى (إذ يجب استبعاد $\varphi(u') + v = m \in M$ القريبة من $a$ مع $v \neq 0$ صغيرة: فإن $m = \varphi(u'')$ من أجل $u''$ ما بجوار $u_0$ بخاصية [التماثل الطوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، ويفرض التباين المحلي للتطبيق $\Theta$ أن $v = 0$). عندئذٍ $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ إلى غاية التقليص. ∎ **مثال 20.4.** الكرة $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: مجموعة مستوى للغمر الغامر $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ على $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$): أي [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) $\mathcal C^\infty$ بُعدها $n - 1$. والحلقة الدائرية في $\R^3$: مجموعة مستوى للمقدار $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ (حيث $0 < r < R$). والمخروط $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ *ليس* [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) عند $0$ ([التمرين 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). وزمر المصفوفات: $SL_n$ و $O_n$ متنوعتان جزئيتان في $M_n(\R)$ (التمارين [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) و[20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — وهي نقطة انطلاق نظرية لي. ## 20.3 الفضاءات المماسّة **تعريف 20.5.** لتكن $M$ متنوعةً جزئية ذات بُعد $d$ وليكن $a \in M$. *الفضاء المماسّ* $T_aM$ هو مجموعة متجهات السرعة $\gamma'(0)$ للمنحنيات $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ من الصنف $\mathcal C^1$ التي تحقق $\gamma(0) = a$. **قضية 20.6.** $T_aM$ فضاء متجهي جزئي من $\R^n$ بُعده $d$، و: 1. إذا كان $M = F^{-1}(0)$ محليًّا مع $F$ غمرًا غامرًا: $T_aM = \ker DF(a)$ ؛ 2. وإذا كانت $M$ موسطَنة بالغمر $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ . **برهان.** تحقق المنحنيات في $M$ أن $F(\gamma(t)) = 0$؛ وتعطي قاعدة السلسلة عند $0$ أن $DF(a)\gamma'(0) = 0$: أي $T_aM \subseteq \ker DF(a)$. وبالعكس، تنقل التسوية ([المبرهنة 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) مستقيماتِ $\R^d\times\{0\}$ إلى منحنيات من $M$: فتتحقق كل متجهة من فضاء جزئي ذي بُعد $d$؛ وبمقارنة الأبعاد ($\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$) يُفرض التساوي في (1)، وتعطي حجة النقل نفسها (2) (بتطبيق $D\varphi(u_0)$ على المستقيمات في $A$؛ وبالأبعاد مرة أخرى). ∎ **مبرهنة 20.7 (مضاعفات لاغرانج).** ليكن $M = F^{-1}(0)$ مع $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ غمرًا غامرًا من الصنف $\mathcal C^1$، ولتكن $f \colon \Omega \to \R$ من الصنف $\mathcal C^1$. إذا كان للتضييق $f\restriction_M$ قيمةٌ قصوى محلية عند $a \in M$، فتوجد أعداد حقيقية وحيدة $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (أي *[مضاعفات لاغرانج](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) تحقق $$ \nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) . $$ **برهان.** من أجل كل منحنٍ $\gamma$ في $M$ يمرّ بالنقطة $a$: يكون للمقدار $t \mapsto f(\gamma(t))$ قيمةٌ قصوى محلية عند $0$، ومنه $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$: أي $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([القضية 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). والآن $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (أي متطابقة الرتبة أو التعامد في السنة الجامعية 2، أو [التمرين 13.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#exo-b3-hilbert-8) في البُعد المنتهي: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$)، وهو مولَّد بالتدرّجات $\nabla F_i(a)$ — وهي مستقلة لأن $DF(a)$ غامر: فتوجد المضاعفات وتكون وحيدة. ∎ **مثال 20.8 (المبرهنة الطيفية، هندسيًّا).** لتكن $A$ مصفوفةً حقيقية متناظرة من الرتبة $n\times n$ ولنعظّم $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ على الكرة $S^{n-1}$ (وهي متراصة: فتُبلَغ القيمة العظمى عند $v_1$ ما). وبلاغرانج مع $F(x) = \norm x^2 - 1$: يعطي $\nabla f = 2Ax$ و $\nabla F = 2x$ أن $Av_1 = \lambda_1v_1$ — أي متجهة ذاتية، مع $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$. ثم نضيّق $A$ على $v_1^\perp$ (وهو صامد: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) ونكرّر: فنجد أساسًا متعامدًا متجانسًا من المتجهات الذاتية. وهي المبرهنة الطيفية في السنة الجامعية 2، معادًا البرهان عليها بالأمثلة المحضة — وظلّ الحجة نفسها في البُعد اللانهائي برهن على [المبرهنة المساعدة 15.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#lem-b3-spectral-existence). **طريقة 20.9.** لتبرهن على أن مجموعةً متنوعةٌ جزئية: أبرزها محليًّا بوصفها $F^{-1}(0)$ مع $DF$ غامرًا *على المجموعة* (وهو الطريق الأشيع)، أو بوصفها منحنيًا بيانيًّا. ولتحسب بُعدها وفضاءها المماسّ: $d = n - q$ و $T_a = \ker DF(a)$. ولتُمثِّل عليها: لاغرانج — وتحقق دائمًا من التراص (أو القسرية) أولًا، بحيث توجد قيمة قصوى يمكن للمبرهنة أن تنطبق عليها، وتذكّر أن معادلة المضاعفات *لازمة* فحسب: فاجمع كل النقاط الحرجة، ثم قارن القيم. وأما زمر المصفوفات، فاشتقّ المنحنيات عند المطابقة لتعيّن الفضاءات المماسّة. ## 20.4 تمارين **تمرين 20.1 ★.** (a) تحقق من أن ما يلي متنوعات جزئية $\mathcal C^\infty$ وأعطِ أبعادها: $S^{n-1}$؛ والقطع الزائد $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$؛ والحلقة الدائرية في [المثال 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) برهن على أن المخروط $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ ليس [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $2$ عند $0$: عيّن عدد المركّبات المترابطة للمجموعة $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$، وقارنه بالعدد الذي كانت التسوية ([المبرهنة 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) ستفرضه على مستوٍ منزوعةً منه نقطة. **حل التمرين 20.1.** (a) كلٌّ منها $F^{-1}(0)$ من أجل غمر غامر: $\norm x^2 - 1$ على $\R^n\setminus\{0\}$ (بتدرّج $2x \neq 0$): البُعد $n-1$؛ و $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (بتدرّج $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ على القطع الزائد، حيث $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): البُعد $2$؛ ودالة الحلقة الدائرية $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$، $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$، من الصنف $\mathcal C^\infty$ بجوار الحلقة (إذ $\rho \geq R - r > 0$ هناك) مع $\nabla G \neq 0$ (إذ مركّبتها على $z$ هي $2z$، وحيث $z = 0$ تكون المركّبة الشعاعية $2(\rho - R)\ne0$ لأن $\abs{\rho - R} = r$): البُعد $2$. (b) من أجل $\varepsilon$ صغير، للمجموعة $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ عددٌ من المركّبات المترابطة يساوي $2$ بالضبط (أي الصفيحتان العليا والسفلى المثقوبتان، وكلٌّ منهما مترابطة بالمسارات: بالوصل عبر دوائر وأنصاف مستقيمات). ولو كانت $C$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $2$ عند $0$، لأعطت التسوية تماثلًا طوبولوجيًّا من $C\cap\Omega$ على قطعة مفتوحة من مستوٍ يرسل $0$ إلى نقطة $p$؛ ولجوارات مستوية مثقوبة صغيرة للنقطة $p$ مركّبةٌ *واحدة*، والتماثلات الطوبولوجية تحفظ عدد مركّبات الجوارات المثقوبة: وهو تناقض. **تمرين 20.2 ★.** احسب الفضاءات المماسّة: (a) $T_aS^{n-1}$ من أجل أي $a$ (والجواب: $a^\perp$)؛ (b) المستوي المماسّ للحلقة الدائرية في [المثال 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) عند نقطة كيفية من خط الاستواء الخارجي $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$؛ (c) المستقيم المماسّ للولب $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ عند $\varphi(t_0)$، متحققًا من [القضية 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2). **حل التمرين 20.2.** (a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) عند $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$: $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$، ومنه يكون المستوي المماسّ $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$: أي المستوي الشاقولي المماسّ لخط الاستواء الخارجي. (c) الولب منحنٍ مغمور مع $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: فالمستقيم المماسّ عند $\varphi(t_0)$ هو $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$، كما تقرّر [القضية 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2). **تمرين 20.3 ★★.** لتكن $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (أي $z \mapsto z^2$). (a) عند أي النقاط تنطبق [المبرهنة 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)؟ (b) برهن على أن $f$ قابلة للقلب محليًّا لا شاملًا على $\R^2\setminus\{0\}$، وأبرز صراحةً المقلوبين المحليين المعرَّفين على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للنقطة $(1, 0)$ (أي فرعَي الجذر التربيعي). (c) والمناقشة نفسها من أجل تطبيق [الإحداثيات القطبية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ex-b3-product-polar) $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$. **حل التمرين 20.3.** (a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$، $\det = 4(x^2 + y^2)$: فتنطبق المبرهنة عند كل نقطة عدا المبدأ. (b) $f(-z) = f(z)$: فليست متباينة أبدًا على مجموعة متناظرة حول $0$؛ وعلى $\R^2\setminus\{0\}$ تكون تماثلًا تفاضليًّا محليًّا في كل مكان ومع ذلك اثنين إلى واحد شاملًا. وبجوار $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$، يكون المقلوبان فرعَي الجذر التربيعي: أي بالاصطلاح العقدي $w \mapsto \pm\sqrt w$ (بالفرع الرئيسي)، أي $$ (u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr). $$ (c) المحدد الياكوبي $r > 0$: أي تماثل تفاضلي محلي على $\intoo0\infty\times\R$، لكن $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ يعطي النقطة نفسها: فهي قابلة للقلب محليًّا (إذ تتعيّن الزاوية إلى غاية $2\pi$ على نصف مستوٍ)، ولا شاملًا أبدًا. **تمرين 20.4 ★★.** (ورقة ديكارت) لتكن $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ و $\mathcal C = F^{-1}(0)$. (a) برهن على أنه بجوار كل نقطة من $\mathcal C$ غير المبدأ، تكون $\mathcal C$ متنوعةً جزئية ذات بُعد $1$، وهي محليًّا منحنٍ بياني في $x$ أو في $y$ (فأيهما، وأين؟). (b) احسب المستقيم المماسّ عند $(\frac32, \frac32)$. (c) وماذا يحدث عند المبدأ؟ (إذ يتقاطع فرعان: أبرز منحنيين من الصنف $\mathcal C^1$ في $\mathcal C$ يمرّان بالنقطة $0$ بسرعتين مستقلتين، واخلص إلى أنه لا توجد أي تسوية.) **حل التمرين 20.4.** (a) ينعدم $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ إذا وفقط إذا كان $y = x^2$ و $x = y^2$، أي $x^4 = x$: عند $(0,0)$ وعند $(1,1)$؛ ولا تقع على $\mathcal C$ سوى $(0,0)$ (إذ $F(1,1) = -1$). ومنه على $\mathcal C\setminus\{0\}$ يكون $F$ غمرًا غامرًا: أي [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $1$، وهي محليًّا منحنٍ بياني $y = \psi(x)$ حيث $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$، و $x = \chi(y)$ حيث $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (ويصح أحدهما على الأقل خارج المبدأ). (b) عند $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$: فالمستقيم المماسّ $x + y = 3$. (c) الوسطنة الناطقة $x = \frac{3t}{1 + t^3}$، $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ تمرّ بالنقطة $0$ عند $t = 0$ بسرعة $(3, 0)$؛ وبتبادل $x \leftrightarrow y$ (فالمنحني متناظر، أو أعد الوسطنة بالمقدار $1/t$) نجد منحنيًا ثانيًا من الصنف $\mathcal C^1$ يمرّ بالنقطة $0$ بسرعة $(0, 3)$. واتجاهان مماسّان مستقلان مستحيلان من أجل [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $1$ (إذ فضاؤها المماسّ مستقيم، [القضية 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): فليست $\mathcal C$ متنوعةً جزئية عند المبدأ — أي تقاطع ذاتي مستعرض. **تمرين 20.5 ★★.** لتكن $F(M) = M^{\mathsf T}M$ من $M_n(\R)$ إلى فضاء المصفوفات المتناظرة $S_n$. (a) برهن على $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ وعلى أن $DF(M)$ غامر على $S_n$ عند كل $M \in O_n$ *(بإعطاء $S \in S_n$، جرّب $H = \frac12MS$)*. (b) اخلص إلى أن $O_n = F^{-1}(I)$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) متراصة $\mathcal C^\infty$ بُعدها $\frac{n(n-1)}2$، مع $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$، أي المصفوفات المتخالفة. (c) برهن على $\eu^{tH} \in O_n$ من أجل كل $H$ متخالفة: أي إن الاتجاهات المماسّة تتكامل إلى منحنيات في الزمرة. **حل التمرين 20.5.** (a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$. ومن أجل $M \in O_n$ ومن أجل $S$ متناظرة، يعطي $H = \frac12MS$ أن $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: أي غامر على $S_n$. (b) $O_n = F^{-1}(I)$ مع $F$ غمرًا غامرًا (على $S_n$، وبُعده $\frac{n(n+1)}2$) عند كل نقطة من نقاطها: أي [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) بُعدها $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$. ومتراصة: مغلقة (لأن $F$ متصلة) ومحدودة (إذ الأعمدة متجهات واحدية). والمماسّ عند $I$: $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$. (c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (إذ يمرّ المنقول عبر المتسلسلة؛ وتُضرب أُسّيات المصفوفات المتبادلة، [المبرهنة 19.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/19-ordinary-differential-equations#thm-b3-ode-matrixexp)). **تمرين 20.6 ★★.** (a) برهن على أن للمقدار $\det \colon M_n(\R) \to \R$ التفاضلَ $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$، وهو غير معدوم عند كل $M \in SL_n$. (b) اخلص إلى أن $SL_n(\R)$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) بُعدها $n^2 - 1$ مع $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) وهل $GL_n(\R)$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations)؟ وما بُعدها؟ **حل التمرين 20.6.** (a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ من أجل $M$ قابلة للقلب (بنشر $\det$ بجوار $I$: أي الحدّ الخطي للمقدار $\prod(1 + \lambda_i)$)؛ ومع $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$، وتمتدّ الصيغة إلى كل $M$ بالكثافة والاتصال. وعلى $SL_n$، $\det M = 1$: ومنه $D\det(M) \ne 0$ (إذ قيمته عند $H = M$ هي $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$). (b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ مع $\det$ غمرًا غامرًا هناك (بقيم في $\R$): فالبُعد $n^2 - 1$؛ و $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) و $GL_n$ جزء *مفتوح* من $M_n(\R)$ ([التمرين 6.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-8)): أي [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) بالبُعد الكامل $n^2$ (والتسوية: خريطة المطابقة). **تمرين 20.7 ★★.** [بمضاعفات لاغرانج](#thm-b3-submanifolds-lagrange): (a) جد القيم القصوى للدالة $f(x,y) = xy$ على الدائرة $x^2 + y^2 = 1$؛ (b) برهن على أنه من بين جميع المتجهات الاحتمالية $(p_1, \dots, p_n)$ (الموجبة التي مجموعها $1$)، تُعظَّم الإنتروبيا $-\sum p_i\ln p_i$ عند التوزيع المنتظم بالضبط؛ (c) جد نقطة القطع الناقص $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ الأقرب إلى $(1, 0)$، وتحقق من معادلة المضاعفات هندسيًّا (باصطفاف الناظم). **حل التمرين 20.7.** (a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ و $x^2 + y^2 = 1$: فيعطي $y = 2\lambda x$ و $x = 2\lambda y$ أن $x^2 = y^2 = \frac12$. وقيم $xy$: $\pm\frac12$: فالقيمة العظمى $\frac12$ عند $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$، والصغرى $-\frac12$ عند $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (ومجموعة القيد متراصة: فتوجد القيم القصوى). (b) على داخل المُبسَّط (حيث $p_i > 0$)، تعطي لاغرانج من أجل $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ بالقيد $\sum p_i = 1$ أن $-\ln p_i - 1 = \lambda$ من أجل كل $i$: أي إن كل $p_i$ متساوية، $p_i = \frac1n$، مع $H = \ln n$. وتُبلَغ القيمة العظمى على المُبسَّط المتراص؛ ولو بُلغت على الحافة (بأن كان $p_i = 0$ ما)، لعاش التوزيع على $\leq n - 1$ نقطة ولكان بالتراجع $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: فالنقطة الحرجة الداخلية هي القيمة العظمى الشاملة — أي إن الجهل المنتظم يعظّم الإنتروبيا. (c) نصغّر $(x-1)^2 + y^2$ على القطع الناقص المتراص: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. فإذا كان $y \neq 0$: $\lambda = 1$، ثم يعطي $2(x - 1) = \frac x2$ أن $x = \frac43$ و $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: فمربّع المسافة $= \frac19 + \frac59 = \frac23$. وإذا كان $y = 0$: $x = \pm2$، والمسافتان $1$ و $3$. فأقرب النقاط: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$، على المسافة $\sqrt{2/3} < 1$. وتقول معادلة المضاعفات إن القطعة من $(1,0)$ إلى أقرب نقطة موازية للمقدار $\nabla$(القطع الناقص): أي إنها تلاقي القطع الناقص تعامديًّا، كما تقتضي الهندسة. **تمرين 20.8 ★★★.** اكتب [المثال 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) كاملًا: برهن بالتراجع على أن مصفوفةً حقيقية متناظرة تقبل أساسًا متعامدًا متجانسًا من المتجهات الذاتية، مع $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ القيمَ القصوى المقيَّدة المتتالية لنسبة رايلي. ثم استنتج صيغ كورانت–فيشر في [التمرين 15.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#exo-b3-spectral-8) في البُعد المنتهي مباشرةً من هذا البناء. **حل التمرين 20.8.** بالتراجع على $n$؛ والحالة $n = 1$ بديهية. تبلغ دالة رايلي $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ قيمتها العظمى $\lambda_1$ على المتراصة $S^{n-1}$ عند $v_1$ ما؛ وتعطي لاغرانج ([المبرهنة 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange)، بالكرة بوصفها مجموعة مستوى) أن $2Av_1 = 2\lambda v_1$، و $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$. والفضاء الفائق $v_1^\perp$ صامد بالمصفوفة $A$ (بالتناظر: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$)؛ والتضييق متناظر، ويعطي التراجع أساسًا ذاتيًّا متعامدًا متجانسًا $v_2, \dots, v_n$ للفضاء $v_1^\perp$ بقيم ذاتية $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$، كلٌّ منها القيمةَ العظمى للدالة $f$ على كرة المتمم المتعامد الباقي. وتنتج كورانت–فيشر تمامًا كما في [التمرين 15.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#exo-b3-spectral-8): بنشر $x = \sum c_iv_i$؛ وعلى فضاء اختبار ذي بُعد $k$ نقاطع مع $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (بعدّ الأبعاد في $\R^n$) لنجد $\min \leq \lambda_k$، ويحقق $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ المقدارَ $\min = \lambda_k$. **تمرين 20.9 ★★★.** (متراجحة هادامار) من أجل $M \in GL_n(\R)$ ذي الأعمدة $c_1, \dots, c_n$: $$ \abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 , $$ مع التساوي إذا وفقط إذا كانت الأعمدة متعامدة. *(أرجع إلى أعمدة معيارها $1$ بالتحجيم؛ وعظّم $\det$ على الجداء المتراص للكرات $(S^{n-1})^n$؛ وعند معظِّم، تعطي لاغرانج في كل عمود على حدة $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$، ويكون $\nabla_{c_i}\det$ العمودَ ذا الرتبة $i$ من $\operatorname{com}(M)$: فاستنتج أن $M^{\mathsf T}M$ قطرية، ومنه $= I$، ومنه $\det = \pm1$.)* والقراءة الهندسية: أن حجم متوازي السطوح لا يتجاوز جداء أطوال حروفه. **حل التمرين 20.9.** تحجيم كل عمود إلى معيار واحدي يقسم $\abs{\det}$ على $\prod\norm{c_i}$: فيكفي أن نبرهن على $\abs{\det M} \leq 1$ حين تكون جميع الأعمدة واحدية، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $M \in O_n$. والدالة $\det$ متصلة على المتراصة $(S^{n-1})^n$: فتبلغ قيمةً عظمى $m \geq \det I = 1 > 0$ عند $M$ ما. وبتثبيت جميع الأعمدة عدا ذي الرتبة $i$، يكون $\det$ خطيًّا في $c_i$ بتدرّج هو العمود ذو الرتبة $i$ من $\operatorname{com}(M)$؛ وتعطي لاغرانج على الكرة ذات الرتبة $i$: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. وتُقرأ المتطابقة $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ على الصورة $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$، أي $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$؛ وبأخذ $j = i$: $\lambda_i = \det M = m \neq 0$، ثم يعطي $j \neq i$ أن $\langle c_i, c_j\rangle = 0$: أي إن الأعمدة متعامدة متجانسة، و $M \in O_n$، و $m = \abs{\det M} = 1$. ومنه $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ دائمًا، مع التساوي من أجل الأعمدة المتعامدة بالضبط (بإعادة التحجيم): أي إن حجم متوازي السطوح أكبر ما يكون، من أجل أطوال حروف معطاة، حين تكون الحروف متعامدة. **تمرين 20.10 ★★.** بجوار أي من نقاطها تكون الدائرة $S^1$ منحنيًا بيانيًّا $y = \psi(x)$؟ ومنحنيًا بيانيًّا $x = \chi(y)$؟ تحقق من تمييز المنحني البياني ([المبرهنة 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) صراحةً عند $(1, 0)$، واشرح في جملة واحدة لماذا يكفي دائمًا تبديلٌ *ما* للإحداثيات لكن لا يصلح تبديل واحد دائمًا. **حل التمرين 20.10.** تصلح $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ بجوار كل نقطة تحقق $y \neq 0$؛ وتصلح $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ بجوار كل نقطة تحقق $x \neq 0$؛ وعند $(1, 0)$: المنحني البياني $x = \sqrt{1 - y^2}$ فوق $y \in \intoo{-1}1$، وهي [المبرهنة 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) بالإحداثيات مبدَّلة. ويصلح تبديلٌ ما دائمًا لأن المستقيم المماسّ، بكونه ذا بُعد واحد، لا يمكن أن يكون شاقوليًّا وأفقيًّا معًا — لكنه قد يكون أيًّا منهما، ومنه لا يخدم أي اختيار ثابت للإحداثي «التابع» عند كل نقطة. **تمرين 20.11 ★★.** (الزمرة المتعامدة بوصفها [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations)، كمّيًّا) (a) برهن على أن $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ متراصة: محدودة (إذ كل عمود متجهة واحدية، ومنه $\norm M \leq \sqrt n$ بالمعيار المصفوفي الإقليدي) ومغلقة. (b) برهن على أن فضاءها المماسّ عند $I$ هو فضاء المصفوفات المتخالفة، وبُعده $\frac{n(n-1)}2$، وعند $A \in O_n$ عام: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$. (c) استنتج أن التطبيق $t \mapsto A\exp(tK)$ هو، من أجل كل $K$ متخالفة، منحنٍ في $O_n$ يمرّ بالنقطة $A$ بسرعة $AK$ *(تحقق من $\exp(tK) \in O_n$ باستعمال $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ و $\exp(-X)\exp(X) = I$)*: فتتحقق كل متجهة مماسّة بمنحنٍ صريح، دون حاجة إلى مبرهنة الدوال الضمنية. **حل التمرين 20.11.** (a) التطبيق المعرِّف $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ متصل: ومنه $O_n = F^{-1}(0)$ مغلقة؛ وأعمدة مصفوفة متعامدة متجهاتٌ واحدية، ومنه يكون المعيار الإقليدي (معيار فروبنيوس) $\sqrt n$ بالضبط: أي محدودة. فمتراصة بهاينه–بوريل في $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$. (b) و $O_n$ مجموعة المستوى $F = 0$ المدروسة في الفصل: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$، وهو غامر على المصفوفات المتناظرة عند كل $A \in O_n$ (بإعطاء $S$ متناظرة، نأخذ $H = \frac12AS$)، ومنه تكون $O_n$ متنوعةً جزئية بُعدها $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ مع $$ T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ متخالفة}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ; $$ وعند $A = I$ تكون هذه المصفوفات المتخالفة. (c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (إذ تتبادل المصفوفتان $\pm tK$، ومنه يكون جداء الأُسّيين أُسّيَ المجموع): أي $\exp(tK) \in O_n$، ويكون $\gamma(t) = A\exp(tK)$ منحنيًا في $O_n$ مع $\gamma(0) = A$ و $\gamma'(0) = AK$. وحين تجول $K$ على المصفوفات المتخالفة، يمسح $AK$ الفضاءَ $T_AO_n$: فيحقق الأُسّي الفضاءَ المماسّ كله بمنحنيات صريحة — أي اختصار زمر لي الذي تستثمره [المسألة 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) من أجل $SO(3)$. **تمرين 20.12 ★★.** (النقاط الحرجة للمسافة) لتكن $M \subseteq \R^n$ متنوعةً جزئية وليكن $p \notin M$. برهن على أنه إذا صغّرت $x_0 \in M$ المسافة إلى $p$ (وتوجد نقطة كهذه حين تكون $M$ مغلقة وغير خالية — ولماذا؟)، فإن $$ p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M $$ *(باشتقاق $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ على امتداد منحنيات في $M$)*. واستنتج: أن أقرب نقطة على كرة تقع على نصف المستقيم المارّ بالمركز؛ واستعمل الشرط لحساب المسافة من $p = (2, 0)$ إلى القطع المكافئ $y = x^2$ (بالإرجاع إلى معادلة من الدرجة الثالثة وحلّها عدديًّا بثلاثة أرقام). **حل التمرين 20.12.** الوجود: نقاطع $M$ مع كرة مغلقة كبيرة حول $p$ لنجد متراصةً غير خالية؛ فتبلغ المسافةُ المتصلة أصغريتها هناك، والنقاط خارج الكرة أبعد. وأما الشرط من الرتبة الأولى: فمن أجل منحنٍ $\gamma$ في $M$ يحقق $\gamma(0) = x_0$، تكون الدالة $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ قابلة للاشتقاق بأصغرية عند $0$: $$ 0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle, $$ و $\gamma'(0)$ يمسح $T_{x_0}M$: أي $p - x_0 \perp T_{x_0}M$. والكرة $S(c, r)$: [فالفضاء المماسّ](#def-b3-submanifolds-tangent) عند $x_0$ هو $(x_0 - c)^\perp$، ومنه $p - x_0 \parallel x_0 - c$: أي إن $x_0$ تقع على المستقيم المارّ بالنقطتين $c$ و $p$، على مسافة $r$ من $c$ — أي نقطة نصف المستقيم، كما تصرّ الهندسة. وأما القطع المكافئ: فعند $x_0 = (x, x^2)$ يكون المماسّ مولَّدًا بالمتجهة $(1, 2x)$؛ ويُقرأ التعامد مع $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ $$ (2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{أي}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0, $$ بجذر حقيقي وحيد (إذ $x \mapsto 2x^3 + x$ متزايد تمامًا) $x \approx 0.835$؛ ثم $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ و $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$. ## 20.5 مسألة: $SO(3)$ والرباعيات **مسألة 20.1.** مسألة نهاية الأسبوع — الدورانات، وزمرة $S^3$، والغطاء المزدوج الرباعيات $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — أي الجبر الذي تحتوي زمرةُ عناصره القابلة للقلب $Q_8$ في [المسألة 1.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#pb-b3-groups-1) — توسطن الدورانات الثلاثية الأبعاد مرتين: فتطبيق «الاقتران برباعية واحدية» تشاكلٌ غامر $S^3 \to SO(3)$ نواته $\{\pm1\}$. ونبني كل شيء. تذكيرًا أو تعريفًا: الضرب ثنائي الخطية بالمعنى $\R$ مع $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$؛ ومرافق $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ هو $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$؛ و $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$. **الجزء الأول — الجبر $\mathbb H$ والزمرة $S^3$.** 1. تحقق من أن $\mathbb H$ جبرٌ تجميعي على $\R$ مركزه $\R$ ، ومن أن $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ ، ومن أن $N(pq) = N(p)N(q)$ *(وطريق نظيف واحد: مثّل $q$ بالمصفوفة العقدية من الرتبة $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$، $q = \alpha + \beta\mathrm j$، واستعمل $\det$)* . 2. استنتج أن كل $q \neq 0$ قابل للقلب ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): فيكون $\mathbb H$ حقلًا (غير تبديلي)، وتكون $S^3 = \{N(q) = 1\}$ زمرةً — ومتنوعةً جزئية متراصة ذات بُعد $3$ في $\R^4$ ( [المثال 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ). **الجزء الثاني — تشاكل الدوران.** نطابق $\R^3$ مع *الرباعيات الصرفة* $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$، ونعرّف من أجل $q \in S^3$ المقدارَ $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$. 3. برهن على أن $\rho_q$ يرسل $P$ في $P$ *(إذ الرباعيات الصرفة هي التي تحقق $\bar v = -v$)* ، وأنه خطي بالمعنى $\R$ ، ويحفظ المعيار، وأن $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ تشاكل زمر $S^3 \to O(3)$ . 4. احسب النواة: $\rho_q = \mathrm{id}$ إذا وفقط إذا كان $q$ يتبادل مع $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ ، إذا وفقط إذا كان $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ . 5. اكتب $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ مع $u \in P$ و $N(u) = 1$ (ولماذا يكون هذا ممكنًا دائمًا من أجل $q \in S^3$ ؟). برهن على أن $\rho_q$ يثبّت $u$ ، وأنه على المستوي $u^\perp\cap P$ يفعل بوصفه الدورانَ بالزاوية $\theta$ *(احسب $\rho_q(w)$ من أجل $w \perp u$ باستعمال $uw = -wu$ من أجل الوحدات الصرفة المتعامدة — وبرهن على هذه المتطابقة من جدول الضرب، أو من $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$)* . 6. اخلص: أن $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (إذ كل $\rho_q$ دورانٌ بمحور وزاوية كما حُسبا — ومحدده $+1$ باتصال $q \mapsto \det\rho_q$ على $S^3$ المترابطة، أو مباشرةً)، وأن $\rho$ *غامر* على $SO(3)$: أي إن لكل دوران في $\R^3$ محورًا (برهن: أن لمصفوفة حقيقية متعامدة من الرتبة $3\times3$ تحقق $\det = 1$ القيمةَ الذاتية $1$ — بالنظر في كثير الحدود المميِّز) ومن ثَمّ يكون $\rho_q$ ما. والخلاصة: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$ **الجزء الثالث — $SO(3)$ بوصفها [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations)؛ رودريغ.** 7. برهن على أن $SO(3)$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) متراصة ذات بُعد $3$ في $M_3(\R)$ مع $T_ISO(3) =$ المصفوفات المتخالفة ( [التمرين 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ؛ ويختار شرط المحدد اتحادَ مركّبات). 8. من أجل المصفوفة المتخالفة $A_u$ المرافقة للمتجهة $u \in \R^3$ ($A_uv = u\wedge v$، أي الجداء المتجهي)، برهن على *صيغة رودريغ*: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(انطلاقًا من $A_u^3 = -A_u$: اشطر المتسلسلة الأُسّية على امتداد قوى $A_u$)*، وعيّنها بوصفها الدورانَ بالمحور $u$ والزاوية $\theta$. واستنتج أن $\exp$ يرسل المصفوفات المتخالفة *على* $SO(3)$. 9. اربط بين الوسطنتين: برهن على أن $t \mapsto \rho_{q(t)}$ مع $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ زمرةٌ ذات وسيط واحد من الدورانات مشتقتها عند $t = 0$ هي $A_u$ — فالأُسّيان الرباعي والمصفوفي يرويان القصة نفسها بنصف السرعة وبالسرعة الكاملة على التوالي. **الجزء الرابع — الغطاء المزدوج، محسوسًا.** 10. برهن على أن المسار $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ ، حيث $t \in \intcc0{2\pi}$ ، حلقةٌ في $SO(3)$ (إذ ترجع صورته $\rho_{q(t)}$ إلى المطابقة) لكن رفعه الرباعي *ليس* حلقة: $q(2\pi) = -q(0)$ . وبالمتابعة إلى $t = 4\pi$ ينغلق الرفع. واشرح في فقرة قصيرة ما يقوله ذلك: أن دورانًا بمقدار $2\pi$ غير قابل للفك اتصاليًّا بينما دورانًا بمقدار $4\pi$ قابل لذلك (خدعة الحزام)، لأن حلقات $SO(3)$ تُكشف في غطائها المزدوج $S^3$ . 11. واستنتج أيضًا العائد العملي: أن تركيب الدورانات $=$ ضرب الرباعيات (أي ما يعادل $4$ عمليات ضرب من المعطيات بدل $9$ ، ودون انجراف عن التعامد) — وتحقق من ذلك على تركيب ربعَي دورة حول $\mathrm i$ و $\mathrm j$ : احسب محور الجداء وزاويته. **الجزء الخامس — المصفوفة الصريحة: أولير–رودريغ.** نكتب $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$، بحيث $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$. 12. احسب $\rho_q(\mathrm i)$ كاملًا من جدول الضرب؛ ثم احصل على $\rho_q(\mathrm j)$ و $\rho_q(\mathrm k)$ بالتعويض الدوري $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$، $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(وبرّر ذلك: أن تدوير $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ يمتدّ إلى تشاكل ذاتي للجبر $\mathbb H$، لأن العلاقات المعرِّفة متناظرة دوريًّا)*. واخلص إلى أن مصفوفة $\rho_q$ في الأساس $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ هي *مصفوفة أولير–رودريغ* $$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$$ 13. (قراءة دوران عكسيًّا) برهن على $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$$ باصطلاح السؤالين 5 و8. واستنتج خوارزمية تستعيد $\pm q$ من مصفوفة دوران $R$: الزاوية من الأثر؛ والمحور من الجزء المتخالف حين $0 < \theta < \pi$؛ وحين $\theta = \pi$، برهن على المتطابقة $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ واستعملها. 14. قيّم $R_q$ من أجل الجداء $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ في السؤال 11: فتظهر مصفوفة تبديل. عيّن الدوران ووفّق بينه وبين المحور والزاوية المحسوبين في السؤال 11. **الجزء السادس — داخل $S^3$: $SU(2)$، [وأصناف الاقتران](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions)، والأُسّيات.** 15. برهن على أن [التمثيل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/5-representations-of-finite-groups#def-b3-representations-rep) المصفوفي في السؤال 1 (ولنسمّه $\Phi$) يتضيّق إلى تماثل زمر من $S^3$ على *الزمرة الواحدية الخاصة* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$$ *(من أجل الغمر، اكتب المعادلتين $U^{-1} = U^*$ و $\det U = 1$ من أجل مصفوفة عقدية عامة من الرتبة $2\times2$)*. 16. برهن على أن الجزء الحقيقي صامدٌ بالاقتران على $S^3$ — أي $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ من أجل كل $p \in S^3$ — وبالعكس، على أن رباعيتين واحديتين لهما الجزء الحقيقي نفسه مقترنتان في $S^3$ *(بالإرجاع إلى نقل محور صرف واحدي على آخر، وهو ما يوفّره الجزء الثاني)* . وصف أصناف اقتران $S^3$ هندسيًّا؛ وترجم ذلك إلى $SU(2)$ (أي مجموعات مستويات الأثر)؛ وأسقط بواسطة $\rho$ : فيكون دورانان مقترنين في $SO(3)$ إذا وفقط إذا كانت لهما الزاوية نفسها $\theta \in \intcc0\pi$ . 17. عرّف $\exp$ على $\mathbb H$ بالمتسلسلة الأُسّية؛ وتحقق من التقارب المطلق، باستعمال $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ من أجل $\abs q = \sqrt{N(q)}$. وبرهن، من أجل $u$ صرفة واحدية ومن أجل $\theta \in \R$، على $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ واستنتج أن $\exp$ يرسل الفضاء الفائق $P$ على $S^3$، وتحقق من أن $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$: أي ظاهرة نصف الزاوية في السؤال 9 من جديد. 18. من أجل رباعيتين صرفتين $v, w$ برهن على قاعدة الجداء $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ ، ومن ثَمّ على متطابقة [المبدِّل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ؛ وبرهن أيضًا على $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ من أجل مصفوفات السؤال 8. واخلص إلى أن مشتقة $\rho$ عند $1$ على امتداد المنحنيات $t \mapsto \exp(tv)$ هي التماثل الخطي $v \mapsto 2A_v$ من $P$ على المصفوفات المتخالفة، وأنه ينقل مبدِّل الرباعيات إلى مبدِّل المصفوفات. **الجزء السابع — البنية الشاملة.** 19. (لا مقطع متصل) لنفترض أن $s \colon SO(3) \to S^3$ متصل مع $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . ومن أجل الحلقة $R(t) = \rho_{q(t)}$ في السؤال 10، ضع $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ من أجل $t \in \intcc0{2\pi}$ . برهن على أن $\varepsilon$ متصل بقيم في $\{\pm1\}$ ، واستنتج تناقضًا: أي إنه لا يوجد أي اختيار شامل متصل لرباعية واحدية تمثّل كل دوران. 20. (نموذج الكرة) لتكن $\bar B \subseteq \R^3$ الكرةَ المغلقة ذات نصف القطر $\pi$ ولتكن $E(v) = \eu^{A_v}$ ، مع $E(0) = I$ . برهن على أن $E$ يرسل $\bar B$ على $SO(3)$ ، وأنه متباين على الكرة المفتوحة، وأنه على كرة الحافة يطابق المتقابلين بالضبط: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ ، دون أي تصادفات أخرى. ومن ثَمّ تكون $SO(3)$ هي الكرةَ وقد أُلصقت نقاط حافتها المتقابلة — أي الفضاء الإسقاطي $\mathbb{RP}^3$ — ويصير القطر حلقةَ السؤال 10 غير القابلة للتقلّص. 21. برهن على أن $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ؛ وعلى أن قلوب $SO(3)$ (أي المصفوفات $R \neq I$ التي تحقق $R^2 = I$ ) هي بالضبط أنصاف الدورات $\rho_w$ حيث $w$ رباعية صرفة واحدية؛ وعلى أن مركز $SO(3)$ بديهي. 22. برهن على أن كل دوران جداءٌ لنصفَي دورة: فمن أجل $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ ، اختر رباعية صرفة واحدية $w \perp u$ ، وتحقق من أن $w' = qw$ رباعية صرفة واحدية أيضًا، وتحقق من $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . وأين يقع المحوران، وما الزاوية بينهما؟ 23. اخلص إلى الملخص الطوبولوجي: أن $SO(3)$ متراصة ومترابطة بالمسارات (بأعطِ برهانين: صورة متصلة للكرة $S^3$ بالتطبيق $\rho$ ؛ وصورة $\exp$ )، بينما تملك $O(3)$ مركّبتين مترابطتين بالضبط، كلٌّ منهما مطابقة طوبولوجيًّا للزمرة $SO(3)$ . 24. (تركيب، بثلاث طرق) ليكن $R_1$ الدورانَ بالزاوية $\frac\pi2$ حول محور $z$ وليكن $R_2$ الدورانَ بالزاوية $\frac\pi2$ حول محور $x$ . احسب محور $R_2R_1$ وزاويته: (أ) بضرب المصفوفتين من الرتبة $3\times3$ واستعمال الأثر والجزء المتخالف (الجزء الخامس)؛ (ب) بضرب الرباعيتين الواحديتين الموافقتين $q_2q_1$ . وتحقق من توافق الجوابين: الزاوية $\frac{2\pi}3$ ، والمحور $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . 25. ([تحويل كايلي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ex-b3-conformal-mobius)) من أجل $K$ متخالفة، برهن على أن $I + K$ قابل للقلب وعلى أن $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ مع عدم كون $-1$ قيمةً ذاتية للمقدار $C(K)$ أبدًا؛ وبرهن على أن $K \mapsto C(K)$ تقابل من المصفوفات المتخالفة على $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$، بمقلوب $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$. (وهي خريطة ناطقة للزمرة $SO(n)$، رفيقةٌ للأُسّي $\exp$ المتسامي في [التمرين 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).) **حل المسألة 20.1.** **1.** نرسل $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ بالمقدار $\alpha = t + \iu x$، $\beta = y + \iu z$: ويُتحقَّق من أن $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ تذهب إلى $I$ و $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ و $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ و $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$، وجداءاتها تعيد إنتاج جدول الرباعيات: فالتطبيق تشاكل جبور متباين، ومنه يرث $\mathbb H$ التجميعية؛ و $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ ضربي، وتوافق المرافقةُ منقولَ [المصفوفة المرافقة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain#def-b3-modules-companion)، فيعطي $\overline{pq} = \bar q\bar p$. وأما المركز: فالتبادل مع $\mathrm i$ يفرض $y = z = 0$، ومع $\mathrm j$ يفرض $x = 0$: أي $\R$. **2.** $q\bar q = N(q)$: فمن أجل $q \neq 0$، $q^{-1} = \bar q/N(q)$: أي جبر قسمة. وعلى $S^3$: $N(pq) = 1$ و $N(q^{-1}) = 1$: أي زمرة؛ و $S^3 \subseteq \R^4$ هي الكرة الواحدية: أي [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) متراصة ذات بُعد $3$. **3.** تكون $v$ صرفة إذا وفقط إذا كان $\bar v = -v$؛ عندئذٍ $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: فيحفظ $\rho_q$ الفضاءَ $P$. والخطية واضحة؛ و $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$: أي تقايس للفضاء $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$: $\rho_q \in O(3)$. و $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$: أي تشاكل. **4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ إذا وفقط إذا كان $qv = vq$ من أجل كل $v$ صرفة، إذا وفقط إذا كان $q$ يتبادل مع $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$، إذا وفقط إذا كان $q$ مركزيًّا (السؤال 1): أي $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$. **5.** نكتب $q = t + p$ (حيث $t \in \R$ و $p$ صرفة): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$، ومنه $t = \cos\frac\theta2$ و $p = \sin\frac\theta2\,u$ مع $N(u) = 1$ من أجل $\theta$ ما (وإذا كان $p = 0$، فإن $q = \pm1$ يفعل بداهةً). وبما أن $u^2 = -N(u) = -1$، يتبادل $q$ و $u$، و $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$: أي المحور. ومن أجل الوحدات الصرفة $w \perp u$: تعطي قاعدة الجداء $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (بالنشر بالإحداثيات من الجدول) أن $uw = u\wedge w = -wu$. عندئذٍ $$ \rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w), $$ باستعمال $uwu = -u^2w = w$ وصيغ الزاوية المضاعفة: أي الدوران بالزاوية $\theta$ في المستوي الموجَّه $(w, u\wedge w)$. **6.** كل $\rho_q$ دورانٌ حول $u$ بالزاوية $\theta$: ففي الأساس المتعامد المتجانس $(u, w, u\wedge w)$ يكون محدد مصفوفته $+1$: أي $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$. وأما الغمر: فللمصفوفة $R \in SO(3)$ القيمةُ الذاتية $1$، لأن $$ \det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I), $$ ومنه $\det(R - I) = 0$. ونأخذ متجهة ذاتية واحدية $u$؛ فيحفظ $R$ الفضاءَ $u^\perp$ ويتضيّق هناك إلى دوران بزاوية $\theta$ ما (لأنه متعامد مستوي بمحدد $1$): أي $R = \rho_q$ من أجل $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$. ومع السؤال 4 ومبرهنة التماثل الأولى ([المبرهنة 1.3](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#thm-b3-groups-firstiso)): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$. **7.** $O_3$ [متنوعة جزئية](#thm-b3-submanifolds-characterizations) متراصة ذات بُعد $3$ ([التمرين 20.5](#exo-b3-submanifolds-5))؛ و $\det$ متصل عليها بقيم في $\{\pm1\}$، ومنه تكون $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ مفتوحة ومغلقة في $O_3$: أي اتحادَ مركّبات مترابطة، ومن ثَمّ متنوعةً جزئية متراصة ذات بُعد $3$ بدورها، [بالفضاء المماسّ](#def-b3-submanifolds-tangent) نفسه عند $I$: أي المصفوفات المتخالفة. **8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ (حيث $u$ واحدية)، ومنه $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: أي $A_u^3 = -A_u$. وبشطر المتسلسلة الأُسّية حسب بواقي القوى بترديد العلاقة $A^3 = -A$: $$ \eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 . $$ وعلى $u$: $A_uu = 0$: أي صامدة. وعلى $w \perp u$: $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: أي الدوران بالمحور $u$ والزاوية $\theta$ — وهي رودريغ. ولكل دوران هذا الشكل (السؤال 6): ومنه $\exp$ غامر على $SO(3)$ من المصفوفات المتخالفة. **9.** مع $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$: يبيّن السؤال 5 أن $\rho_{q(t)}$ هو الدوران بالمحور $u$ والزاوية $t$، أي $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$، ومشتقته عند $t = 0$ هي $A_u$. فتجري الرباعية بنصف الزاوية — وهو الأثر التحليلي للغطاء المزدوج. **10.** $\rho_{q(t)}$ هو الدوران حول $\mathrm k$ بالزاوية $t$: فعند $t = 2\pi$ يرجع إلى المطابقة — أي حلقة في $SO(3)$. لكن رفعه يحقق $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$: فالمسار المرفوع *ليس* مغلقًا؛ ولا يرجع $q$ إلى $1$ إلا عند $t = 4\pi$. والتفسير: أن حلقة الدورانات الكاملة غير قابلة للتقلّص في $SO(3)$ — إذ ينتهي رفعها عند الصفيحة الأخرى من الغطاء — بينما الحلقة المضاعفة قابلة لذلك؛ فجسمٌ موصول بمحيطه بأشرطة (خدعة الحزام) يرجع إلى حالة غير ملتوية بعد $4\pi$ لا بعد $2\pi$. فزمر الدوران تتذكّر تماثل عدد الدورات الكاملة؛ و $S^3$، بكونها [بسيطة الترابط](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#def-b3-conformal-simplyconnected)، هي حيث تسكن تلك الذاكرة. **11.** ربعا الدورة: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$، $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$. والجداء (بتطبيق دورة $\mathrm j$ أولًا): $$ q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr), $$ ومعياره $1$، مع $\cos\frac\theta2 = \frac12$: أي $\theta = \frac{2\pi}3$، والمحور $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (أي الجزء الصرف معيَّرًا). فربعا دورة متتاليان حول محورين متعامدين يعطيان دورانًا بمقدار $120^\circ$ حول القطر الرئيسي للمكعب — أي محاسبةٌ بقدر أربع عمليات ضرب حقيقية، مع حفظ التعامد بالضبط: ولهذا تركّب برمجيات الطيران ومحرّكات الرسوميات الدورانات عبر الرباعيات. **12.** من الجدول، $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ و $\mathrm{ki} = \mathrm j$، ومنه $$ q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k . $$ وبالضرب في $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ بقاعدة السلّمي والمتجهي $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$، حيث $p_1 = (a, d, -c)$ و $p_2 = (-b, -c, -d)$: يكون الجزء السلّمي $-ab - (-ab) = 0$ (صرفًا، كما يجب)، ويكون الجزء المتجهي $$ b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr): $$ أي العمود الأول من $R_q$. والتطبيق الدوري $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$، $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$، $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ يحفظ العلاقات $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (إذ الكلمة $\mathrm{ijk}$ صامدة دوريًّا إلى غاية العلاقة $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$، وهي صحيحة في أي حلقة: باقتران $\mathrm{ijk} = -1$ بالعنصر القابل للقلب $\mathrm i$)، ومنه يمتدّ $\sigma$ إلى تشاكل ذاتي للجبر على $\R$، و $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. وبالفكّ، تكون صورة $\mathrm j$ صيغةَ العمود الأول بعد التعويض $(b, c, d) \to (c, d, b)$ مع إعادة تسمية الأساس $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$، وهو بالضبط العمود الثاني المعروض؛ ودورةٌ أخرى تعطي الثالث. **13.** بجمع القطر، $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (بالمعيار الواحدي)، ومع $a = \cos\frac\theta2$: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$. وأما الجزء المتخالف: فالعناصر الثلاثة المستقلة للمقدار $R_q - R_q^{\mathsf T}$ هي $4ab, 4ac, 4ad$ (في المواضع $(3,2), (1,3), (2,1)$)، ومنه $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ مع $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$. والخوارزمية: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$؛ فإذا كان $0 < \theta < \pi$، قرأنا $u$ من $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ ووضعنا $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$؛ وإذا كان $\theta = 0$، فإن $q = \pm1$. ومن أجل $\theta = \pi$: $a = 0$، وتعطي رودريغ (السؤال 8) أن $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$، أي $R + I = 2uu^{\mathsf T}$؛ وأي عمود غير معدوم من $R + I$، معيَّرًا، هو $\pm u$، ويكون $q = \pm u$. **14.** مع $a = b = c = d = \frac12$: تنعدم جميع عناصر القطر، و $2(bc - ad) = 0$، و $2(bd + ac) = 1$، و $2(bc + ad) = 1$، و $2(cd - ab) = 0$، و $2(bd - ac) = 0$، و $2(cd + ab) = 1$: $$ R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, $$ أي التبديلة الدورية $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. وأثرها $0 = 1 + 2\cos\theta$، ومنه $\theta = \frac{2\pi}3$، وهي تثبّت $(1,1,1)$: أي الدوران بمقدار $120^\circ$ حول القطر الرئيسي — وهو بالضبط جواب السؤال 11، ظاهرًا الآن بوصفه المصفوفة التي تدوّر محاور الإحداثيات. **15.** على الأساس يُتحقَّق من $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (إذ لمصفوفة $\bar q$ المقدارُ $\alpha' = \bar\alpha$، $\beta' = -\beta$، وهو المنقول المرافق للمقدار $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). ومنه $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ و $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: فمن أجل $q \in S^3$، $\Phi(q) \in SU(2)$، ويكون $\Phi$ تشاكلًا متباينًا (السؤال 1). وأما الغمر: فلتكن $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ مع $\det U = 1$؛ عندئذٍ $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$، ويفرض $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ أن $\delta = \bar\alpha$ و $\gamma = -\bar\beta$، ومن ثَمّ $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: أي $U = \Phi(q)$ من أجل الرباعية الواحدية $q$ ذات الإحداثيات $\alpha = a + \iu b$، $\beta = c + \iu d$. ومنه $S^3 \cong SU(2)$. **16.** السلّميات الحقيقية مركزية و $N(p) = 1$ يعطي $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$، ومنه $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: أي إن الجزء الحقيقي صامد. وبالعكس لتكن $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$؛ عندئذٍ يكون للجزأين الصرفين المعيار نفسه $\sqrt{1 - a^2} = s$. فإذا كان $s = 0$، فإن $q = q' = \pm1$. وإذا كان $s > 0$، كتبنا $q = a + su$ و $q' = a + su'$ مع $u, u'$ صرفتين واحديتين؛ ويوفّر السؤال 6 دورانًا يحمل $u'$ إلى $u$، أي $p \in S^3$ يحقق $\rho_p(u') = u$، وعندئذٍ $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$. ومنه تكون أصناف $S^3$ هي $\{1\}$ و $\{-1\}$، ومن أجل كل $a \in \intoo{-1}1$ الكرةُ الثنائية $\{a + su : u \text{ صرفة واحدية}\}$ ذات نصف القطر $s$. وبالتطبيق $\Phi$، $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$: فأصناف $SU(2)$ هي مجموعات مستويات الأثر. وبالإسقاط: إذا كان $q' = pq\bar p$ فإن $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$؛ وبالعكس يفرض $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ أن $q' = \pm pq\bar p$ (بالنواة)، ومنه $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$، أي $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ من أجل الزوايا في $\intcc0\pi$: فللدورانات المقترنة الزوايا نفسها. وبالعكس، تسمح الزوايا المتساوية بممثِّلين لهما الجزء الحقيقي غير السالب نفسه، وهما مقترنان بما سبق: ففي $SO(3)$، [صنف اقتران](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) دوران هو زاويته بالضبط. **17.** $N$ ضربي، ومنه يكون $\abs\cdot$ معيارًا ضربيًّا على $\mathbb H \cong \R^4$ و $\abs{q^k} = \abs q^k$: فتتقارب المتسلسلة $\sum q^k/k!$ تقاربًا مطلقًا في الفضاء المنتهي البُعد (ومن ثَمّ التام)، مهيمَنًا عليها بالمقدار $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. ومن أجل $u$ صرفة واحدية: $u^2 = -1$، ومنه $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ و $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$؛ وبشطر المتسلسلة، $$ \exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u . $$ وكل $q \in S^3$ هو $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ مع $\alpha \in \intcc0\pi$ (السؤال 5): ومنه $q = \exp(\alpha u)$، فيكون $\exp(P) = S^3$. وأخيرًا $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ باصطلاح السؤال 9، و $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ هناك: أي $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$. **18.** بنشر $vw$ بالإحداثيات من الجدول: تعطي الجداءات $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ و… السلّميَّ $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$، وتعطي الجداءات المختلطة ($\mathrm{ij} = \mathrm k$، $\mathrm{ji} = -\mathrm k$، …) المتجهيَّ $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$: أي $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$. وبطرح الجداء المعكوس: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (إذ تتلاشى الأجزاء السلّمية، ويُجمع الجداءان المتجهيان). وأما من أجل المصفوفات، فمع $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$: $$ [A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x . $$ وأما المشتقة: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (إذ الاقتران متصل ويعكس إشارة الرباعيات الصرفة)، ومنه $$ \frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx : $$ فيكون التفاضل $v \mapsto 2A_v$، وهو تقابل خطي من $P$ على المصفوفات المتخالفة، ويبيّن $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ أنه يحمل مبدِّل الرباعيات إلى مبدِّل المصفوفات. **19.** بتطبيق $\rho$: $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$، ومنه $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (السؤال 4). وبوصفه جداءً للتطبيقين المتصلين $t \mapsto s(R(t))$ و $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$، يكون $\varepsilon$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) على الفترة المترابطة $\intcc0{2\pi}$ بقيم في الزوج المتقطّع $\{\pm1\}$: فيكون ثابتًا، ولنقل $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$. لكن $R(0) = R(2\pi) = I$، ومنه $s(R(0)) = s(R(2\pi))$، بينما $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ و $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$: وهو تناقض. فلا يوجد أي مقطع متصل: أي إن التباس الإشارة $\pm q$ شامل، لا عيبٌ في صيغة بعينها. **20.** *الغمر:* كل $R \in SO(3)$ هو $\eu^{\theta A_u}$ من أجل $u$ واحدية ما ومن أجل $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (السؤالان 6 و8)؛ وإذا كان $\theta > \pi$، أعطت رودريغ $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (إذ يتساويان بالمقدار $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$، و $A_{-u} = -A_u$ مع $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$، $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$)، ومنه $R = E(v)$ مع $\norm v \leq \pi$. *والتباين في الداخل:* إذا كان $E(v) = E(v') \neq I$ مع $\norm v, \norm{v'} < \pi$، استعاد السؤال 13 الزاويةَ نفسها $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ من الأثر، وبما أن $\sin\theta \neq 0$، استعاد المحورَ نفسه من الجزء المتخالف: أي $v = v'$؛ ويفرض $E(v) = I$ أن $\theta \in \{0\}$ على الكرة المفتوحة. *والحافة:* يتعلق $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ بالمتجهة $u$ عبر $uu^{\mathsf T}$ وحده، ومن هنا $E(\pi u) = E(-\pi u)$؛ وبالعكس يعطي $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ مطبَّقًا على $u$ أن $u = \langle u', u\rangle u'$، ومنه $u' = \pm u$. ولا يتصادم الداخل والحافة أبدًا (إذ الأثر $> -1$ مقابل $= -1$). ومنه يستحث $E$ تقابلًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) من الكرة الملصقة الحافة المتقابلة — وهي متراصة — على $SO(3)$: أي تماثلًا طوبولوجيًّا، و $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$. وقطرٌ من $\pi u$ إلى $-\pi u$ طرفاه ملصوقان: فهو حلقة في $SO(3)$، ووصفه بالتطبيق $E$ يوافق عائلة السؤال 10 من الدورانات حول $u$ وهي تمسح دورة كاملة. **21.** $\rho$ تشاكل و $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$، ومنه $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$؛ وحسب السؤال 16، يحفظ اقتران دوران زاويتَه ويدوّر محورَه بالتطبيق $\rho_p$. وأما القلوب: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ إذا وفقط إذا كان $q^2 = \pm1$. فإذا كان $q^2 = 1$، فإن $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (بالسلّميات المركزية، فالتحليل مشروع) و $q = \pm1$ في [حلقة القسمة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) $\mathbb H$، فيعطي $\rho_q = I$، وهو مستبعد؛ وإذا كان $q^2 = -1$ مع $q = a + su$، أعطى $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$، ومنه $a = 0$ و $s = 1$: أي إن $q$ صرفة واحدية $w$، ويكون $\rho_w$ نصف الدورة حول $w$ (بالزاوية $\pi$، السؤال 5). وأما المركز: فإذا تبادل $\rho_q$ مع كل $\rho_p$، فإن $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$، ومنه $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ مع $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$؛ و $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ متصل على $S^3$ المترابطة ويساوي $1$ عند $p = 1$، ومنه $\equiv 1$: فيتبادل $q$ مع كل $S^3$، ومن ثَمّ مع كل $\mathbb H$ (بإعادة التحجيم)، ومنه $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (السؤال 1) و $\rho_q = I$: فالمركز بديهي. **22.** بما أن $u \perp w$ صرفتان واحديتان، يكون $uw = u\wedge w$ صرفًا (السؤال 18)، ومنه يكون $$ w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w $$ صرفًا، ومعياره $\abs q\abs w = 1$. عندئذٍ $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$، و $$ \rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q . $$ ويقع المحوران $w$ و $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ في المستوي $u^\perp$ المتعامد مع محور الدوران، و $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$: أي إنهما يصنعان نصف الزاوية $\frac\theta2$. وهذا هو التوليد الكلاسيكي: أن نصفَي دورة حول محورين يصنعان الزاوية $\frac\theta2$ يتركّبان إلى الدوران بالزاوية $\theta$ حول عمودهما المشترك. **23.** التراص هو السؤال 7. وأما الترابط بالمسارات: فإن $SO(3) = \rho(S^3)$ صورةٌ متصلة للكرة المترابطة بالمسارات؛ أو بديلًا، من أجل $R = \eu^{A}$ مع $A$ متخالفة (السؤال 8)، يكون $t \mapsto \eu^{tA}$ مسارًا في $SO(3)$ من $I$ إلى $R$ (متعامدًا لأن $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$، وبمحدد $1$ بالاتصال انطلاقًا من $t = 0$). وأما من أجل $O(3)$: فإن $\det$ متصل وغامر على $\{\pm1\}$، ومنه يكون $O(3)$ غير مترابط، و $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ من أجل أي $D$ ثابتة تحقق $\det D = -1$ (مثلًا $D = -I$)، والضرب من اليسار في $D$ [تماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): أي مركّبتان بالضبط، كلٌّ منهما نسخة من $SO(3)$. ومنه فإن $\rho$، وهو اثنان إلى واحد وعديم المقاطع حسب السؤال 19، غطاءٌ مزدوج أمين لزمرة متراصة مترابطة بواسطة $S^3$ [البسيطة الترابط](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#def-b3-conformal-simplyconnected) — وهي الهندسة وراء خدعة الحزام. **24.** (أ) بالمصفوفات: $$ R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}. $$ ويعطي الأثر $0 = 1 + 2\cos\theta$ أن $\cos\theta = -\frac12$: أي $\theta = \frac{2\pi}3$. وللجزء المتخالف $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ عناصرُ ترمّز $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ المحورَ: فهنا $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$، وهو يُقرأ (بمعجم $A_v$ في الجزء الخامس) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$؛ ومع $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$: $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$. (ب) وبالرباعيات: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$، $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$، و $$ q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr) $$ (لأن $ik = -j$). ومنه $\cos\frac\theta2 = \frac12$: أي $\theta = \frac{2\pi}3$، وللجزء المتجهي $\frac12(i - j + k)$ الاتجاهُ $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — أي الجواب نفسه، مع أن طريق الرباعيات يتطلب سطرًا واحدًا من الضرب بدل جداء مصفوفات: وهو السبب العملي في أن برمجيات الطيران تركّب الأوضاع في $S^3$. **25.** قابلية $I + K$ للقلب: إذ يعطي $(I + K)v = 0$ أن $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (إذ يلغي التخالف الحدَّ الثاني): أي $v = 0$. وأما تعامد $C = C(K)$: فباستعمال $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ وكون المصفوفات الأربع $I \pm K$ و $(I \pm K)^{-1}$ متبادلة (إذ هي عبارات حدودية في $K$، مع النهايات): $$ C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I . $$ وأما المحدد: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$، ومنه $\det C = 1$: أي $C \in SO(n)$. ولا قيمة ذاتية $-1$: إذ يعني $Cv = -v$ أن $(I - K)w = -(I + K)w$ من أجل $w = (I + K)^{-1}v$، أي $2w = 0$: أي $v = 0$. وأما القلب: فمن $C(I + K) = I - K$، نحل $K(I + C) = I - C$؛ وبما أن $-1 \notin \operatorname{Sp}C$، يكون $I + C$ قابلًا للقلب و $K = (I - C)(I + C)^{-1}$، وهي متخالفة كلما كانت $C$ متعامدة بلا قيمة ذاتية $-1$ (بنقل العبارة واستعمال $C^{\mathsf T} = C^{-1}$: $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$). والتطبيقان مقلوبان أحدهما للآخر بحكم البناء: أي وسطنةٌ ناطقة شاملة للقطعة المفتوحة الكثيفة من $SO(n)$ التي تتفادى القيمة الذاتية $-1$ — بلا متسلسلات ولا مثلثيات، وهي في البُعد $3$ تعويض نصف الزاوية $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ متنكّرًا.