---
title: "الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3"
subject: math
language: ar
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/21-differential-forms-and-stokes-theorem
---

# الفصل 21 — الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس

استوعبت مبرهنةٌ واحدة من مبرهنات التحليل، على مدى قرنين، سائرَ مبرهنات صنفها: المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل، وغرين–ريمان (المبرهَن عليها في مجلد السنة الجامعية 2)، ومبرهنة التباعد لغاوس، ومبرهنة الدوّار لكلفن–ستوكس — فكلٌّ منها تقول إن تكامل مشتقةٍ ما على منطقة يساوي تكامل الكائن الأصلي على [الحافة](#def-b3-forms-boundary). وتجعل لغة *الصيغ التفاضلية* منها عبارةً واحدة، $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$، وتجعل تلك العبارة قابلة للبرهان بضربة واحدة. ويبني هذا الفصل اللغة بأمانة — الجبر المتعدد الخطية المتناوب، [والمشتقة الخارجية](#def-b3-forms-d)، والسحوب العكسية، [والتوجيه](#def-b3-forms-orientation)، والمكاملة على المتنوعات الجزئية في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds) — ويبرهن على مبرهنة ستوكس، ويصرف أول الشيكات: المبرهنات التكاملية الكلاسيكية، [وعدد اللف](#def-b3-forms-winding) الذي كان يدير [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues) سرًّا، وفي مسألة نهاية الأسبوع، مبرهنة براور في النقطة الصامدة. وفي كل ما يلي، تعني *الناعمة* $\mathcal
C^\infty$؛ وكل تطبيق وكل صيغة ناعمان ما لم يُذكر خلاف ذلك. ولا يكلّفنا هذا أي عموم جدير بالاقتناء عند هذا المستوى، ويطلق الأيدي.

## 21.1 الجبر المتعدد الخطية المتناوب

**تعريف 21.1.**

ليكن $E$ فضاءً متجهيًّا حقيقيًّا بُعده $n$. *الصيغة المتناوبة $k$-الخطية* على $E$ هي تطبيق $\alpha\colon E^k \to \R$، خطي في كل متغيّر، يحقق $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ كلما تساوى وسيطان. ويُكتب فضاؤها $\Lambda^k E^*$؛ وباصطلاحٍ $\Lambda^0E^* = \R$. ويفرض التناوبُ التخالفَ: فتبديل وسيطين يغيّر الإشارة (بنشر $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$)، وعمومًا $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ من أجل كل تبديلة $\sigma$.

**مثال 21.2.**

على $E = \R^n$: $\Lambda^1E^* = E^*$ هو [الفضاء الثنوي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#def-b3-banach-operator)؛ والمحدد في الأساس القانوني صيغةٌ متناوبة $n$-الخطية، وستبيّن [القضية 21.4](#prop-b3-forms-basis) أنه يولّد $\Lambda^nE^*$ — وهو السبب العميق في وحدانية المحدد إلى غاية سلّمي. ومن أجل $k > n$، $\Lambda^kE^* = \{0\}$: إذ تكون $k$ من المتجهات تابعة، وينشرها نشرُ إحداها على امتداد الأخريات فيلغي $\alpha$ بالتناوب.

**تعريف 21.3.**

من أجل $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$، يكون *جداؤها الخارجي* الصيغةَ المتناوبة $k$-الخطية

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

والتناوب وتعدد الخطية هما تناوب المحدد وتعدد خطيته في أعمدته.

**قضية 21.4 (أساس Λk\Lambda^kΛk).**

ليكن $(e_1, \dots, e_n)$ أساسًا للفضاء $E$ بأساس ثنوي $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. تشكّل الصيغ

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

أساسًا للفضاء $\Lambda^kE^*$؛ ومنه $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. وصراحةً، $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**برهان.** *التوليد.* لتكن $\alpha \in \Lambda^kE^*$ ولتكن $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$، حيث يختصر $\alpha(e_I)$ المقدارَ $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. والطرفان $k$-الخطية ومتناوبان، ومنه يتوافقان بمجرد أن يتوافقا على جميع الثلاثيات $k$ $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ مع $j_1 < \dots <
j_k$ (إذ يرجع تعدد الخطية إلى ثلاثيات من متجهات الأساس، ويرجع التناوب إلى المتزايدة تمامًا). و $e_I^*(e_{j_1},
\dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: فمن أجل $I = J$ تكون المصفوفة المطابقة؛ ومن أجل $I \neq J$ ينعدم سطرٌ ما. ومنه $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ من أجل كل $J$: أي $\beta = \alpha$. *والحرية.* إذا كان $\sum_I c_Ie_I^* = 0$، أعطى التقييم على $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ أن $c_J = 0$. ∎

**تعريف 21.5.**

يمتدّ [الجداء الخارجي](#def-b3-forms-wedge) إلى تطبيق ثنائي الخطية $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$، معيَّنٍ بثنائية الخطية وبالعلاقة $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (بالوصل وإعادة الترتيب؛ والجداء $0$ إذا كان $I \cap J \neq
\varnothing$). وهو تجميعي، و*تخالفي التدريج*:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**برهان.** تُفحص الخاصيتان على عناصر الأساس وتُمدَّدان بثنائية الخطية. وأما التجميعية: فيساوي كلا تقويسَي $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ إسفينَ العائلة الموصولة من الصيغ $1$-الخطية، بصيغة المحدد في [التعريف 21.3](#def-b3-forms-wedge) (بنشر لابلاس بالكتل). وأما قاعدة الإشارة: فتمرير كلٍّ من عوامل $\beta$ البالغة $\ell$ عبر عوامل $\alpha$ البالغة $k$ يكلّف إشارةً لكل مبادلة متجاورة (أي مبادلة سطرين من المحدد)، ومنه $(-1)^{k\ell}$ في المجموع. ∎

**قضية 21.6 (السحب العكسي، الحالة الخطية).**

يستحث تطبيقٌ خطي $u\colon E \to F$، من أجل كل $k$، التطبيقَ الخطي $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$، $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots,
u(v_k))$. وهو يحقق $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha
\wedge u^*\beta$ و $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$. وفوق ذلك:

1. إذا كان $\dim E = n$ و $u\colon E \to E$ ، ففي المستقيم $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
2. وإذا كان $\operatorname{rk}u < k$ ، فإن $u^* = 0$ على $\Lambda^kF^*$ .

**برهان.** المتطابقات الدالّية فورية من التعاريف (وأما قاعدة الجداء فتُفحص على أساافين الصيغ $1$-الخطية بصيغة المحدد — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — ثم تُمدَّد ثنائيةَ الخطية). (1) يرسل $u^*$ الفضاءَ الأحادي البُعد $\Lambda^nE^*$ ([القضية 21.4](#prop-b3-forms-basis)) في نفسه، ومنه $u^*\alpha =
c\,\alpha$ مع $c$ لا يتعلق بالصيغة $\alpha \neq 0$؛ وبالاختبار على $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ و $(v_j) =
(e_j)$ نجد $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) من أجل $v_1, \dots, v_k \in E$، تقع المتجهات $u(v_1), \dots,
u(v_k)$ في صورة $u$، وبُعدها $< k$: فهي تابعة خطيًّا، وتنعدم [الصيغة المتناوبة](#def-b3-forms-alternating) على عائلة تابعة (بنشر المتجهة التابعة على امتداد الأخريات). ∎

## 21.2 الصيغ التفاضلية والمشتقة الخارجية

**تعريف 21.7.**

لتكن $U \subseteq \R^n$ مفتوحة. *الصيغة التفاضلية $k$-الخطية* على $U$ هي تطبيق ناعم $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$؛ وفي أساس [القضية 21.4](#prop-b3-forms-basis) (بكتابة $\dd x_i$ بدل $e_i^*$)،

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

بمعاملات ناعمة $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. وفضاؤها هو $\Omega^k(U)$؛ و $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$. والصيغة $0$-الخطية دالةٌ؛ والصيغة $1$-الخطية حقلٌ من الصيغ الخطية (مثل التفاضل $\dd f$ لدالة)؛ والصيغة $n$-الخطية هي $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$، وهي المقدار المكامَل الطبيعي في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product).

**تعريف 21.8 (المشتقة الخارجية).**

*المشتقة الخارجية* هي التطبيق الخطي $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ المعرَّف بالعلاقة

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

وعلى الصيغ $0$-الخطية تكون التفاضلَ المعتاد.

**مبرهنة 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ من أجل $\omega \in \Omega^k$ (أي *قاعدة ليبنيتز المدرَّجة*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**برهان.** (a) بثنائية الخطية يكفي أن نعالج $\omega = a\,\dd
x_I$، $\eta = b\,\dd x_J$. عندئذٍ $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ و

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

وتمرير الصيغة $1$-الخطية $\dd b$ عبر عوامل $\dd
x_I$ البالغة $k$ يكلّف $(-1)^k$ ([التعريف 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)): فيكون الحدّ الثاني $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) من أجل دالة: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$. والمعامل متناظر في $(i,j)$ بمبرهنة شوارتز في المشتقات المختلطة (المبرهَن عليها في مجلد السنة الجامعية 2؛ إذ $a$ من الصنف $\mathcal C^\infty$)، بينما $\dd x_j \wedge
\dd x_i$ متخالف: فبمزاوجة الحدّين $(i,j)$ و $(j,i)$، يتلاشى كل شيء. وأما من أجل $\omega = \sum
a_I\dd x_I$ عامة: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ حسب (a)، وينعدم الحدّان ($\dd(\dd x_I) = 0$ لأن المعامل ثابت). ∎

**تعريف 21.10 (السحب العكسي).**

ليكن $\varphi\colon U \to V$ ناعمًا (حيث $U \subseteq \R^m$ و $V \subseteq \R^n$ مفتوحتان). *السحب العكسي* $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ معرَّفٌ نقطةً نقطة بالسحب العكسي الخطي على امتداد التفاضل: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. وعمليًّا، يعوّض $\varphi^*$: $\varphi^*f = f \circ
\varphi$ على الدوال، و $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$، و $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**مبرهنة 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ و $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: أي إن [المشتقة الخارجية](#def-b3-forms-d) تتبادل مع كل تعويض ناعم — وهي المتطابقة التي تجعلها *مشتقةَ* النظرية. (c) وإذا كان $\varphi\colon U \to V$ ناعمًا بين مفتوحتين من $\R^n$ وكانت $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$، فإن $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$.

**برهان.** (a) عبارات نقطية عن السحوب العكسية الخطية ([القضية 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback))، مع قاعدة السلسلة $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) من أجل صيغة $0$-الخطية $f$: يكون $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ قاعدةَ السلسلة. ومن أجل $\omega = a\,\dd y_I$: باستعمال (a)، $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$، ومنه بقاعدة ليبنيتز ([المبرهنة 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) وبالعلاقة $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$:

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) نقطةً نقطة هذا هو بالضبط $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ على الصيغ ذات الدرجة العليا ([القضية 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) مع $u = D\varphi(x)$). ∎

**مثال 21.12 (الإحداثيات القطبية).**

من أجل $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$، $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$، ومنه

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

فيظهر محدد ياكوبي في [المثال 11.12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ex-b3-product-polar) بجبر محض — دون أي نظرية [قياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure). ويحوّل [التمرين 21.9](#exo-b3-forms-9) هذه الملاحظة إلى عبارة: أنه من أجل التكاملات الموجَّهة، تكون صيغة تغيير المتغيّرات *هي* صيغة [السحب العكسي](#def-b3-forms-pullback).

## 21.3 الصيغ المغلقة والتامة؛ المبرهنة المساعدة لپوانكاريه

**تعريف 21.13.**

تكون $\omega \in \Omega^k(U)$ *مغلقة* إذا كان $\dd\omega = 0$، و*تامة* إذا كان $\omega = \dd\eta$ من أجل $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ ما (أي *دالة أصلية* للصيغة $\omega$). والتامة $\Rightarrow$ المغلقة بحكم $\dd^2 = 0$؛ وأما العكس فسؤالٌ عن *شكل* $U$.

**مثال 21.14 (الصيغة الزاوية).**

على $U = \R^2 \setminus \{0\}$،

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

مغلقةٌ (بالحساب المباشر: [التمرين 21.4](#exo-b3-forms-4)) لكنها ليست [تامة](#def-b3-forms-closedexact): إذ تكاملها على امتداد الدائرة الواحدية $2\pi \neq 0$، بينما تنعدم تكاملات الصيغ [التامة](#def-b3-forms-closedexact) على امتداد المنحنيات [المغلقة](#def-b3-forms-closedexact) ([القضية 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). ومحليًّا، $\omega_\theta = \dd\theta$ من أجل أي تعيين ناعم $\theta$ للزاوية القطبية — ومن هنا الاسم والعائق: إذ لا يوجد أي تعيين كهذا على $U$ كله. وتدير هذه الصيغة الواحدة عددَ اللف ([القسم 21.6](#sec-21-6))، ومن خلاله مبرهنة البواقي في [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues).

**مبرهنة 21.15 (المبرهنة المساعدة لپوانكاريه).**

لتكن $U \subseteq \R^n$ مفتوحة و*نجمية الشكل* بالنسبة إلى $0$. كل صيغة $k$-الخطية [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) على $U$ (حيث $k \geq 1$) تكون [تامة](#def-b3-forms-closedexact).

**برهان.** نبني *مؤثر تماثل* خطيًّا $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ يحقق

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

فإذا كان $\dd\omega = 0$، كان $\omega = \dd(h\omega)$ وانتهينا. ومن أجل $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ نضع

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(والقبعة تحذف عاملًا؛ والتكاملات ناعمة في $x$ بالاشتقاق تحت علامة التكامل، [المبرهنة 10.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramdiff)، إذ يُهيمَن على جميع المشتقات على المتراصات). وفحصُ [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) حسابٌ يُجرى مرة واحدة في العمر، فلنجره كاملًا. نثبّت $I$ ونأخذ $\omega =
a\,\dd x_I$ (بالخطية). أولًا،

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

إذ تجمع الزمرة الأولى الحدودَ التي تصيب فيها $\dd$ العاملَ $x_{i_r}$ — ويعيد الإسفين $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ تركيبَ $\dd x_I$ بإشارة $(-1)^{r-1}$ تلغي المعامل السابق، وتعطي قيم $r$ البالغة $k$ العاملَ $k$ — بينما تجمع الزمرة الثانية الحدودَ التي تصيب فيها $\dd$ التكاملَ (إذ تُخرج قاعدة السلسلة $t\,\partial_ja(tx)$). ثم $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$، وبتطبيق تعريف $h$ في الدرجة $k+1$، والدليل $j$ يشغل الخانة الأولى:

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

وتتلاشى المجاميع المزدوجة في $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$، فيساوي من ثَمّ

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل. وقد دخلت النجمية حيث كان عليها أن تدخل: إذ $tx \in U$ من أجل $t \in \intcc01$، بحيث يكون $a(tx)$ ذا معنى. ∎

**ملاحظة 21.16.**

من أجل $k = 1$ ومن أجل $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$، تكون الدالة الأصلية $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — أي التكامل الخطي للصيغة $\omega$ على امتداد القطعة $[0, x]$: فالمبرهنة هي عبارة «حقلٌ ذو مصفوفة ياكوبية متناظرة تدرّجٌ» ذات المتغيّرات المتعددة في السنة الجامعية 2، والآن في كل درجة. وتبيّن الصيغة الزاوية ([المثال 21.14](#ex-b3-forms-angular)) أن الفرضية على $U$ ليست زخرفية: إذ إن $\R^2\setminus\{0\}$ ليست نجمية الشكل، وهناك لا يستلزم الإغلاق التمام. وما ينجو على [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) عامة تقيسه *كوهومولوجيا دي رام* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — انظر [التمرين 21.12](#exo-b3-forms-12) من أجل أول حساب غير بديهي.

## 21.4 التوجيه والمكاملة على المتنوعات الجزئية

تتطلب مكاملة صيغة $k$-الخطية أرضًا موجَّهة ذات بُعد $k$. وتذكّر من [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds) ([المبرهنة 20.3](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) أن [متنوعة جزئية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $k$ $M \subseteq \R^n$ تكون محليًّا صورةَ وسطنة ناظمية $\gamma\colon V \to M \cap W$ (حيث $V
\subseteq \R^k$ مفتوحة و $\gamma$ [تماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) على صورته بتفاضل متباين).

**تعريف 21.17.**

*التوجيه* للمتنوعة $M$ هو اختيار، من أجل كل $p \in M$، لأحد صنفَي توجيه أسس [الفضاء المماسّ](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$، بحيث يكون *متسقًا محليًّا*: أي توجد حول كل نقطة وسطنةٌ $\gamma$ يكون إطارها الإحداثي $(\partial_1\gamma, \dots,
\partial_k\gamma)$ موجَّهًا إيجابيًّا عند كل نقطة من مجالها. وتسمّى هذه الوسطنات *مباشرة*. وتكون $M$ *قابلة للتوجيه* إذا وُجد توجيه؛ ويبيّن شريط موبيوس أن هذا قد يخفق. وجميع المتنوعات الجزئية في هذا الفصل موجَّهة.

**تعريف 21.18 (تكامل صيغة).**

لتكن $M$ متنوعةً جزئية موجَّهة ذات بُعد $k$ ولتكن $\omega$ صيغةً $k$-الخطية معرَّفة على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمتنوعة $M$، مع $\operatorname{supp}\omega \cap M$ متراصة. (a) إذا كان $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ من أجل وسطنة مباشرة واحدة، وضعنا

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— والطرف الأيمن تكامل لوبيغ على $V$ ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#ch-b3-product)) للمعامل $g$ للصيغة $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$، وهو متصل ذو حامل متراص. (b) وعمومًا، نختار عددًا منتهيًا من الوسطنات المباشرة $\gamma_i(V_i)$ تغطّي المتراصة $\operatorname{supp}\omega \cap M$ وتجزئةً للوحدة تابعةً لها $(\chi_i)$ ([المبرهنة المساعدة 21.20](#lem-b3-forms-partition))، ونضع $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$، وكل حدّ محسوبٌ بواسطة (a). ومن أجل منحنٍ ($k = 1$) موسطَن بالتطبيق $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ نكتب $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$، دون اشتراط التباين.

**مبرهنة مساعدة 21.19 (الاتساق).**

لا يتعلق التعريف (a) بالوسطنة المباشرة، ولا يتعلق التعريف (b) بالتغطية ولا [بتجزئة الوحدة](#lem-b3-forms-partition). وفوق ذلك، إذا كان $\Phi$ تماثلًا تفاضليًّا بين جوارَي متنوعتين جزئيتين موجَّهتين مع $\Phi(M) = M'$، يحمل إطارًا مباشرًا للمتنوعة $M$ إلى إطار مباشر للمتنوعة $M'$ عند نقطة ما من كل مركّبة من $M$، فإن $\int_{M'}\omega =
\int_M\Phi^*\omega$.

**برهان.** (a) لتكن $\gamma\colon V \to M$ و $\delta\colon V' \to M$ وسطنتين مباشرتين تحتوي صورتاهما $\operatorname{supp}\omega\cap M$. والانتقال $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ تماثل تفاضلي بين الأجزاء المفتوحة المعنية من $V, V'$ (ونعومة الانتقالات: [المبرهنة 20.3](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)، عبر الوصف البياني المحلي)، و $\gamma = \delta\circ\tau$ هناك، ومنه $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). ونكتب $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$؛ عندئذٍ ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. وبكون الإطارين مباشرين، يرسل $D\tau$ أساسًا موجبًا إلى أساس موجب: ومنه $\det D\tau > 0$، أي $\det D\tau =
\abs{\det D\tau}$، وتعطي مبرهنة تغيير المتغيّرات ([المبرهنة 11.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) أن $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: فيتوافق التكاملان. *وهذا كل سبب وجود [التوجيه](#def-b3-forms-orientation)*: فبلا التحكم في الإشارة، يختلف محدد ياكوبي عن قيمته المطلقة ويصير التكامل سيّئ التعريف. (b) إذا كانت $(\chi_i)$ و $(\tilde\chi_j)$ تجزئتين مقبولتين (بتغطيتيهما)، فحسب (a) وبالجمعية المنتهية، $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$، وكل حدّ مزدوج قابل للحساب في أي من الخريطتين. وأما العبارة الأخيرة: فإذا جالت $\gamma$ على الوسطنات المباشرة للمتنوعة $M$، جالت $\Phi\circ\gamma$ على الوسطنات المباشرة للمتنوعة $M'$ (إذ مقارنة [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) ثابتة محليًّا، ومثبَّتة عند نقطة واحدة لكل مركّبة)، و $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**مبرهنة مساعدة 21.20 (تجزئات الوحدة، الحالة المتراصة).**

لتكن $K \subseteq \R^n$ متراصة ولتكن $W_1, \dots, W_m$ مجموعات مفتوحة تغطّي $K$. توجد $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ تحقق $0 \leq \chi_i \leq 1$، وبحوامل $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ متراصة، ومع $\sum\chi_i = 1$ على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $K$.

**برهان.** تقع كل $x \in K$ في $W_{i(x)}$ ما مع كرة [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$؛ ويستخرج التراص $x_1, \dots, x_N$ بحيث تغطّي الكرات $B(x_s, r_{x_s})$ المجموعةَ $K$. ومن أجل كل $s$ نأخذ نتوءًا $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$، $0 \leq \theta_s \leq 1$، مع $\theta_s = 1$ على $\bar B(x_s, r_{x_s})$، و $\operatorname{supp}\theta_s
\subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (بتمليف الدالة المميّزة للكرة ذات نصف القطر $\frac32r_{x_s}$، [المبرهنة 12.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#thm-b3-lp-regularization)). ونسند كل $s$ إلى دليل واحد $i(s)$ يحقق $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ ونضع $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. وعلى [المجموعة المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$، تفي الدوال $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ بالغرض لكنها معرَّفة هناك فقط؛ وللتعميم، لتكن $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ تحقق $\rho = 0$ حيث $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ و $\rho > 0$ حيث $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (بتمليف قصٍّ ملائم للمقدار $1 - \sum_j\Theta_j$)، ونضع

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

والمقام $> 0$ في كل مكان ويساوي $\sum_j\Theta_j$ على $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$، وهي [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) مفتوح للمجموعة $K$ (إذ تقع كل نقطة من $K$ في كرة ما $B(x_s, r_{x_s})$ حيث $\theta_s = 1$)؛ وهناك $\sum_i\chi_i = 1$. والحوامل والحدود واضحة. ∎

## 21.5 مبرهنة ستوكس

**تعريف 21.21.**

*المتنوعة الجزئية ذات البُعد $k$ بحافة* $M \subseteq \R^n$ هي مجموعة مغطّاة بوسطنات ناظمية من نوعين: *الخرائط الداخلية* $\gamma\colon V \to M \cap W$ حيث $V \subseteq \R^k$ مفتوحة، و*خرائط الحافة* $\gamma\colon V \cap H^k \to M
\cap W$، حيث $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ ويمتدّ $\gamma$ ناعمًا وناظميًّا إلى المفتوحة $V$. و*الحافة* $\partial M$ هي مجموعة النقاط المبلوغة عند $u_k = 0$؛ وهي [متنوعة جزئية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations) ذات بُعد $(k-1)$ بلا حافة، موسطَنة بالتطبيقات $u' \mapsto \gamma(u',
0)$. ويستحث توجيهُ $M$ توجيهًا على $\partial M$ بقاعدة *الناظم الخارجي أولًا*: فعند $p \in \partial M$، يكون أساسٌ $(w_1, \dots, w_{k-1})$ للفضاء $T_p\partial M$ موجبًا إذا وفقط إذا كان $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ أساسًا موجبًا للفضاء $T_pM$، حيث $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ يشير خارج $M$ (وفي خريطة حافة: $\nu =
-\partial_k\gamma$، إلى غاية إضافة مركّبات مماسّية — فصنف [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) لا يراها).

![قاعدة الناظم الخارجي أولًا: عند كل نقطة حافة، ضع المتجهة الخارجية أولًا؛ فالأسس التي تكمّلها إلى إطار موجب للمتنوعة M توجّه M. ومن أجل مجال مستوٍ بالتوجيه المعياري، هذه هي قاعدة عكس عقارب الساعة في غرين–ريمان.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-e4e353426aff.svg)

*قاعدة الناظم الخارجي أولًا: عند كل نقطة حافة، ضع المتجهة الخارجية $\nu$ أولًا؛ فالأسس التي تكمّلها إلى إطار موجب للمتنوعة $M$ توجّه $\partial M$. ومن أجل مجال مستوٍ [بالتوجيه](#def-b3-forms-orientation) المعياري، هذه هي قاعدة عكس عقارب الساعة في غرين–ريمان.*

**مبرهنة مساعدة 21.22 (ستوكس على نصف الفضاء).**

لتكن $\eta$ صيغةً ناعمة $(k-1)$-الخطية على $\R^k$ ذات حامل متراص. عندئذٍ

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

حيث يحمل $H^k$ التوجيهَ المعياري للفضاء $\R^k$ وتحمل $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ التوجيهَ المستحثّ، وهو $(-1)^k$ مضروبًا في [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المعياري للفضاء $\R^{k-1}$.

**برهان.** أولًا محاسبة [التوجيه](#def-b3-forms-orientation): الناظم الخارجي على امتداد $\partial H^k$ هو $-e_k$، و

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

فيكون الإطار $(e_1, \dots, e_{k-1})$ للفضاء $\partial H^k$ موجبًا من أجل [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ إذا وفقط إذا كان $k$ زوجيًّا، ومن هنا المقارنة المذكورة. وبالخطية نأخذ $\eta
= f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$، $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$؛ عندئذٍ $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (إذ يكلّف نقل $\dd u_i$ إلى خانته $i - 1$ مبادلة). وثمة حالتان، كلتاهما بتونيلي–فوبيني ([المبرهنة 11.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-fubini)) وبالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل بمتغيّر واحد.

*الحالة $i < k$.* بالمكاملة أولًا في $u_i$ على $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (بالحامل المتراص)، ومنه $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. وتضييق $\eta$ على $\{u_k = 0\}$ يحتوي العامل $\dd u_k$، وهو يتضيّق إلى $0$ (إذ $u_k$ ثابت هناك): ومنه $\int_{\partial H^k}\eta =
0$ أيضًا.

*الحالة $i = k$.* بالمكاملة أولًا في $u_k$ على $\intco0\infty$:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

وفي جهة [الحافة](#def-b3-forms-boundary)، يتضيّق $\eta$ إلى $f(u',
0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$، وبكون [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ $(-1)^k$ مضروبًا في المعياري، $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. فيتوافق الطرفان. ∎

**مبرهنة 21.23 (ستوكس).**

لتكن $M \subseteq \R^n$ متنوعةً جزئية متراصة موجَّهة ذات بُعد $k$ بحافة، مع $\partial M$ حاملةً التوجيهَ المستحثّ، ولتكن $\omega$ صيغةً ناعمة $(k-1)$-الخطية على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمتنوعة $M$. عندئذٍ

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

وعلى وجه الخصوص، إذا كان $\partial M = \varnothing$: $\int_M\dd\omega = 0$.

**برهان.** نغطّي المتراصة $M$ بعدد منتهٍ من صور الخرائط المباشرة (داخلية أو حافّية)، ونأخذ تجزئةً للوحدة $(\chi_i)$ تابعةً للمجموعات المفتوحة الموافقة $W_i$ من $\R^n$ ([المبرهنة المساعدة 21.20](#lem-b3-forms-partition))، مع $\sum\chi_i
= 1$ على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمتنوعة $M$. وعلى ذلك [الجوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $\dd(\sum\chi_i) = 0$، ومنه

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

والطرفان جمعيان، ويكفي أن نبرهن على المبرهنة من أجل صيغة حاملها في صورة خريطة واحدة.

*الخريطة الداخلية.* إذا كان $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ مع $V$ مفتوحة في $\R^k$: مدّدنا $\eta =
\gamma^*\omega$ بالصفر إلى $\R^k$ (فتكون ناعمة ذات حامل متراص في $V$) وطبّقنا [المبرهنة المساعدة 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) مع الحامل بعيدًا عن $\partial H^k$ (بترحيل $V$ إلى نصف الفضاء العلوي المفتوح — أو بمجرد تكرار حساب الحالة $i < k$ على $\R^k$ كله): $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$، و $\int_{\partial M}\omega = 0$ لأن $\omega$ تنعدم بجوار $\partial M$.

*خريطة [الحافة](#def-b3-forms-boundary).* إذا كان $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$: فمع $\eta = \gamma^*\omega$ ممدَّدة بالصفر، $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b))، ومنه حسب [التعريف 21.18](#def-b3-forms-integral):

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{المبرهنة المساعدة 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

ويبقى أن نعيّن الطرف الأيمن بالمقدار $\int_{\partial
M}\omega$. [والحافة](#def-b3-forms-boundary) موسطَنة بالتطبيق $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$، و $\beta^*\omega$ هو تضييق $\eta$ على $\{u_k = 0\}$ (أي [السحب العكسي](#def-b3-forms-pullback) بالضمّ $u'
\mapsto (u', 0)$ مركَّبًا مع $\gamma$). ومقارنة [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) هي $(-1)^k$ نفسها في الطرفين: إذ يجلس الإطار $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ في [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ للحافة $\partial M$ بالإشارة $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ المحسوبة في الخريطة (فتُسحب المتجهة الخارجية عكسيًّا إلى $-e_k$)، وهي بالضبط الإشارة التي تربط [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ للفضاء $\partial H^k$ بالمعياري في $\R^{k-1}$ ([المبرهنة المساعدة 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). فيلغي الاصطلاحان بعضهما: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎

**مثال 21.24 (المبرهنات الكلاسيكية).**

لتكن $D \subseteq \R^2$ مجالًا متراصًّا بحافة ناعمة، موجَّهًا معياريًّا. ومن أجل $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$: $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ -
\partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$، وتُقرأ ستوكس

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

أي *غرين–ريمان*، المبرهَن عليها من أجل المجالات الابتدائية في مجلد السنة الجامعية 2 والآن في عمومها الطبيعي. وفي $\R^3$، تعطي ستوكس مطبَّقةً على صيغة التدفق $2$-الخطية لحقل متجهي على مجال متراص *مبرهنة التباعد* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$، ومطبَّقةً على صيغة $1$-الخطية على سطح بحافة، مبرهنةَ الدوّار الكلاسيكية *لكلفن–ستوكس*؛ ويفصّل [التمرين 21.7](#exo-b3-forms-7) المعجمين معًا.

## 21.6 عدد اللف

**تعريف 21.25.**

ليكن $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ منحنيًا مغلقًا ناعمًا. *عدد اللف* له حول $a$ هو

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**قضية 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$؛ وبوصفه دالةً في $a$ يكون ثابتًا على كل مركّبة مترابطة من $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ ومعدومًا على المركّبة غير المحدودة. ومن أجل $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$: $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**برهان.** نأخذ $a = 0$ ونكتب $\gamma = (x, y)$، $\rho =
\norm\gamma > 0$، $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$، بحيث يكون $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. وبالاصطلاح العقدي لتكن $u(t)
= \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$؛ عندئذٍ $\abs u = 1$ ويعطي حساب مباشر

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

لأن $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ و $\rho\rho' = xx' + yy'$. ومنه تكون $u$ ثابتة: $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ مع $\abs c = 1$، ويفرض $\gamma(1) = \gamma(0)$ مع $\rho(1) = \rho(0)$ أن $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$: أي $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$، أي $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. وبوصفه دالةً في $a$ على المتممة المفتوحة للمنحني المتراص، يكون التكامل المعرِّف [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ([المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#thm-b3-lebesgue-paramcont)، بالهيمنة على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) لكل $a$)؛ ودالةٌ متصلة ذات قيم صحيحة ثابتةٌ محليًّا، ومن ثَمّ ثابتة على المركّبات. ومن أجل $\norm a$ كبير يكون المقدار المكامَل من رتبة $O(1/\norm a)$ بانتظام في $t$، ومنه يؤول الدليل إلى $0$ وينعدم على المركّبة غير المحدودة. وأما من أجل الدائرة: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ مباشرةً. ∎

**ملاحظة 21.27.**

بالمطابقة $\C \cong \R^2$، $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$، ومنه $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: وهذا هو الدليل في [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/17-laurent-series-and-the-residue-theorem#ch-b3-residues)، وتعيد [القضية 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) البرهانَ على كونه صحيحًا وثابتًا محليًّا بوسائل المتغيّر الحقيقي — أي النصف الطوبولوجي من مبرهنة البواقي، قائمًا الآن على ستوكس.

**قضية 21.28.**

إذا كانت $\omega = \dd f$ [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على المفتوحة $U$ وكان $\gamma\colon\intcc01\to U$ منحنيًا مغلقًا، فإن $\int_\gamma\omega = 0$.

**برهان.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — إذ تعيّن قاعدة السلسلة $\gamma^*(\dd f)$ بالمقدار $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**طريقة 21.29.**

الحساب بالصيغ: (1) ميكِن — إذ تُعاد ترتيب الأساافين بإشارات، و $\dd$ يشتقّ المعاملات إلى $\dd
x_j$ جديدة، والسحوب العكسية تعوّض؛ فثِق بالجبر، فهو يرمّز كل محدد ياكوبي. (2) ولتكامل صيغة على [متنوعة جزئية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations): وسطن مباشرةً، واسحب عكسيًّا، وكامل المعامل؛ [والتوجيه](#def-b3-forms-orientation) هو الفخّ الوحيد — فافحص إطارًا واحدًا. (3) ولتبرهن على متطابقة تكاملية، ابحث عن شكل ستوكس: هل المقدار المكامَل تام؟ وهل المجال حافة؟ (4) ولتقارن تكاملين على متنوعتين جزئيتين «متوازيتين»، طبّق ستوكس على المنطقة بينهما (أي حجة التشويه، [التمرين 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) وتكاملٌ غير معدوم [لصيغة مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) يشهد بعائق طوبولوجي — فلا دالة أصلية، ولا ارتداد، ولا تمديد عديم الجذور: وهكذا تقتل مسألة نهاية الأسبوع ارتدادات الكرة.

## 21.7 تمارين

**تمرين 21.1 ★.**

على $\R^3$، لتكن $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ ولتكن $\eta =
\dd x + y\,\dd z$. احسب $\omega\wedge\eta$ و $\dd\omega$ و $\dd\eta$ و $\dd(\omega\wedge\eta)$، وتحقق من قاعدة ليبنيتز المدرَّجة على هذا المثال.

**حل التمرين 21.1.**

بالنشر وإلغاء العوامل المكرَّرة:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(باستعمال $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ و $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). ثم $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y +
\dd x\wedge\dd z$ و $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$. وأخيرًا

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

(إذ يسهم الحدّ الأول من $\omega\wedge\eta$ بالمقدار $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$؛ والتبديلات الدورية لثلاثة عوامل زوجية). وفحص ليبنيتز: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd
z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$، و $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd
x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$؛ فيتوافق المجموع.

**تمرين 21.2 ★.**

عيّن، على $\R^3$، التجسيدات الثلاثة للمؤثر $\dd$: من أجل $f \in \Omega^0$، $\dd f \leftrightarrow \nabla f$؛ ومن أجل صيغة العمل $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$، $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$؛ ومن أجل صيغة التدفق $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd
z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$، $\dd\sigma_F
\leftrightarrow \operatorname{div}F$. واستنتج من $\dd^2 =
0$ المتطابقتين $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ و $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**حل التمرين 21.2.**

للمقدار $\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ معاملات $\nabla f$. ومن أجل صيغة العمل،

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

أي صيغة تدفق الدوّار (بجمع الحدود الستة للمقدار $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$). ومن أجل صيغة التدفق، $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 +
\partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$: أي التباعد. عندئذٍ يُقرأ $\dd^2f = 0$ على الصورة $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$، أي $\operatorname{curl}\nabla f = 0$، ويُقرأ $\dd^2\omega_F = 0$ على الصورة $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$: فالمتطابقتان المتجهيتان متطابقةٌ واحدة، $\dd^2 = 0$، مقروءةً في درجتين.

**تمرين 21.3 ★★.**

حدّد ما إذا كانت كل صيغة $1$-الخطية [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) أو [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على مجالها، واحسب دالةً أصلية حين توجد: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ على $\R^3$؛ (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ على $\R^2\setminus\{0\}$؛ (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ على نصف المستوي $\{x > 0\}$.

**حل التمرين 21.3.**

(a) الإغلاق هو تناظر المشتقات المتقاطعة: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$، $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$، $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$. والمجال $\R^3$ نجمي الشكل: فهي [تامة](#def-b3-forms-closedexact) ([المبرهنة 21.15](#thm-b3-forms-poincare))، بدالة أصلية $f = x^2y + xz^2$ (تحقق من $\dd f$). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$: [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على $\R^2\setminus\{0\}$ كله (ومن ثَمّ [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact)) — فقريبةُ الصيغة الزاوية الشعاعية غير مؤذية. (c) على $\{x > 0\}$ تكون الصيغة $\omega_\theta$، وهي [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) ([التمرين 21.4](#exo-b3-forms-4))؛ ونصف المستوي محدّب، ومنه فهي [تامة](#def-b3-forms-closedexact) هناك، وبالفعل يحقق $f = \arctan(y/x)$ أن $\dd f
= \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$. فهي [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على نصف المستوي، غير [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على المستوي المثقوب: أي إن العائق يسكن الثقب لا الصيغة.

**تمرين 21.4 ★★.**

(الصيغة الزاوية) تحقق من أن $\omega_\theta$ ([المثال 21.14](#ex-b3-forms-angular)) [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact)؛ واحسب $\int_\gamma\omega_\theta$ من أجل $\gamma$ الدائرةَ ذات نصف القطر $r$ حول $0$؛ واخلص إلى أن $\omega_\theta$ ليست [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على $\R^2\setminus\{0\}$، وأن $\R^2\setminus\{0\}$ ليست نجمية الشكل بالنسبة إلى أي من نقاطها (بطريقين: عبر [المبرهنة 21.15](#thm-b3-forms-poincare)، ومباشرةً من الهندسة).

**حل التمرين 21.4.**

الإغلاق: مع $\rho^2 = x^2 + y^2$،

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

ومنه $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$. وعلى $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{ومنه}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

ولو كانت $\omega_\theta$ [تامة](#def-b3-forms-closedexact) لانعدم هذا التكامل ([القضية 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): فهي ليست [تامة](#def-b3-forms-closedexact). ولو كانت $\R^2\setminus\{0\}$ نجمية الشكل بالنسبة إلى $p$ ما، لجعلت المبرهنة المساعدة لپوانكاريه (منقولةً إلى $p$) كل [صيغة مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) [تامة](#def-b3-forms-closedexact) — وهو تناقض. ومباشرةً: من أجل أي $p
\neq 0$، تمرّ القطعة من $p$ إلى النقطة $-p$ من المجال بالنقطة $0$: فتخفق النجمية عند كل نقطة.

**تمرين 21.5 ★★.**

(صيغة المساحة لسطح فائق) لتكن $M \subseteq \R^n$ سطحًا فائقًا متراصًّا موجَّهًا توجيهُه معطًى بحقل ناظمي واحدي $\nu$ (بحيث يكون $(w_1, \dots, w_{n-1})$ موجبًا إذا وفقط إذا كان $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ موجبًا في $\R^n$). برهن على أن الصيغة $(n-1)$-الخطية $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ تتضيّق على $M$ إلى *صيغة المساحة*: أي من أجل وسطنة مباشرة $\gamma$، $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$، حيث $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ مصفوفة غرام. *(لاحظ أن $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ وربّع هذا المحدد.)* واحسب $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**حل التمرين 21.5.**

من أجل متجهات $v_1, \dots, v_{n-1}$، يعطي نشر المحدد على امتداد عموده الأول

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl(\text{الأسطر} \neq i \text{ من } (v_1, \dots,
v_{n-1})\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

لأن $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ هو بالضبط المحدد الجزئي المحذوف ذو الرتبة $i$ ([التعريف 21.3](#def-b3-forms-wedge)). وبتطبيق ذلك على $v_j =
\partial_j\gamma$: $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots,
e_{n-1}) = \det A$ مع $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\
\partial_{n-1}\gamma)$. والآن تكون ${}^t\!AA$ قطرية بالكتل: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ و $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ (إذ $\nu$ ناظمية والمتجهات $\partial_j\gamma$ مماسّة)، ومنه $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$؛ و $\det A > 0$ من أجل وسطنة مباشرة (وهذا ما يعنيه [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) بالمتجهة $\nu$): أي $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$، وهو عنصر المساحة لغرام. ومن أجل $S^2$، $\nu(x) = x$ والوسطنة الكروية $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta,
\sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ على $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (وهي مباشرة؛ وتفوّت خط طول واحدًا، وهو مجموعة لا تحمل أي مساحة): $\det G = \sin^2\varphi$، ومنه $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\,
\dd\theta = 4\pi$.

**تمرين 21.6 ★★.**

احسب $\int_{S^2}\omega$ من أجل $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z
+ y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$: (a) مباشرةً بالإحداثيات الكروية؛ (b) عبر ستوكس على الكرة الواحدية. واستنتج $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ من مساحة $S^2$، وعمّم: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$، وهو متسق مع [المبرهنة 11.13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-ballvolume).

**حل التمرين 21.6.**

الصيغة $\omega$ المعطاة هي $\sigma_\nu$ من أجل $\nu(x) = x$ على $S^2$، ومنه فإن (a) هي الحساب المنجَز للتوّ: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$. و(b) $\dd\omega = 3\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z$، وتعطي ستوكس على الكرة الواحدية المصمتة أن $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$: ومنه $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$. وعمومًا، تتضيّق الصيغة $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ على $S^{n-1}$ إلى صيغة المساحة ($\nu = x$ في [التمرين 21.5](#exo-b3-forms-5))، $\dd\sigma = n\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$، وتعطي ستوكس $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — وهو متسق مع صيغ [دالة غاما](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ex-b3-lebesgue-gamma) في [المبرهنة 11.13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-ballvolume).

**تمرين 21.7 ★★.**

(المعجمان) استنبط بعناية من [المبرهنة 21.23](#thm-b3-forms-stokes): (a) مبرهنة التباعد في $\R^3$ (بضمّ [التمرين 21.2](#exo-b3-forms-2) و [التمرين 21.5](#exo-b3-forms-5))؛ (b) ومبرهنة كلفن–ستوكس $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ من أجل سطح متراص موجَّه بحافة في $\R^3$. وتحقق من توافق اصطلاحات [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) على نصف الكرة العلوي المحدود بخط الاستواء.

**حل التمرين 21.7.**

(a) بتطبيق ستوكس على صيغة التدفق $\sigma_F$ على المجال المتراص $\Omega$: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ ([التمرين 21.2](#exo-b3-forms-2) من أجل الجهة الداخلية). ونعيّن المقدار المكامَل الحدّي: فمن أجل $v_1, v_2$ مماسّتين عند نقطة من $\partial\Omega$، يعطي نشر العمود الأول في [التمرين 21.5](#exo-b3-forms-5) أن $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$؛ وبكتابة $F =
\langle F, \nu\rangle\nu + T$ مع $T$ مماسّية، يكون العمود $T$ تركيبةً لمستوي $v_1, v_2$، ومنه $\det(T,
v_1, v_2) = 0$ و $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: أي مبرهنة التباعد، مع $\nu$ الناظمية الخارجية (إذ الناظم الخارجي أولًا هو بالضبط [التوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ). (b) بتطبيق ستوكس على $\omega_F$ على السطح ذي [الحافة](#def-b3-forms-boundary) $S$: يتضيّق $\dd\omega_F =
\sigma_{\operatorname{curl}F}$ إلى $\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S$ بالتعيين نفسه، بينما على منحني [الحافة](#def-b3-forms-boundary) $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma,
\gamma'\rangle\,\dd t$، أي $\oint\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$. ونصف الكرة العلوي بالناظمية الخارجية (الشعاعية) $\nu$: عند نقطة خط الاستواء $p = (1,0,0)$ تكون المتجهة الخارجية داخل السطح هي $-e_3$؛ وبإكمالها إلى أُطر موجبة يتبيّن أن خط الاستواء يُجرى عكس عقارب الساعة منظورًا إليه من الأعلى (من $+e_3$): أي قاعدة اليد اليمنى، بالاصطلاح نفسه على طرفَي المتطابقة.

**تمرين 21.8 ★★.**

(متطابقات غرين) من أجل $u, v$ ناعمتين على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) لمجال متراص $\Omega \subseteq \R^n$ بحافة ناعمة، برهن على

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

واستنتج: أن دالةً توافقية على $\Omega$ تنعدم على $\partial\Omega$ تنعدم انعدامًا تامًّا، وأن دالتين توافقيتين لهما القيم الحدّية نفسها تتوافقان — أي الوحدانية في مسألة ديريكليه في [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ch-b3-conformal).

**حل التمرين 21.8.**

نطبّق مبرهنة التباعد ([التمرين 21.7](#exo-b3-forms-7)(a)، وبرهانها لا يتعلق بالبُعد) على $F = u\nabla v$: $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla
u, \nabla v\rangle$ و $\langle F, \nu\rangle =
u\,\partial_\nu v$: أي المتطابقة الأولى. وبتبديل $u, v$ والطرح يتلاشى الحدّ المتناظر: أي الثانية. وإذا كان $\Delta u = 0$ على $\Omega$ و $u = 0$ على $\partial\Omega$: أعطت المتطابقة الأولى مع $v = u$ أن $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$، ومنه $\nabla u \equiv 0$ وتكون $u$ ثابتة على كل مركّبة؛ وغلقُ كل مركّبة يلاقي $\partial\Omega$ (بالحدّية)، حيث $u = 0$: أي $u \equiv 0$. ودالتان توافقيتان لهما القيم الحدّية نفسها تختلفان بدالة كهذه $u$: فتتوافقان — أي الوحدانية في مسألة ديريكليه، مكمِّلةً نظرية الوجود على القرص في [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/18-conformal-maps-and-the-riemann-mapping-theorem#ch-b3-conformal).

**تمرين 21.9 ★★.**

(تغيير المتغيّرات، الصيغة الموجَّهة) ليكن $\varphi\colon U
\to V$ تماثلًا تفاضليًّا بين مفتوحتين من $\R^n$ مع $\det
D\varphi > 0$، ولتكن $f$ متصلة ذات حامل متراص في $V$. برهن على أن متطابقة [السحب العكسي](#def-b3-forms-pullback) $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ تكافئ مبرهنة تغيير المتغيّرات ([المبرهنة 11.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) من أجل $\varphi$ كهذا، واشرح بالضبط أين ذهبت القيمة المطلقة لمحدد ياكوبي.

**حل التمرين 21.9.**

حسب [المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)، $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$، ومنه تُقرأ متطابقة [السحب العكسي](#def-b3-forms-pullback)

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

وبما أن $\det D\varphi > 0$ في كل مكان، $\det D\varphi =
\abs{\det D\varphi}$، وهذه حرفيًّا صيغة تغيير المتغيّرات ([المبرهنة 11.11](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/11-product-measures-fubini-change-of-variables#thm-b3-product-changeofvar)) من أجل مقادير مكامَلة متصلة ذات حامل متراص: فكل عبارة هي الأخرى. وأما القيمة المطلقة فقد ذهبت إلى *الفرضية*: أي [التوجيه](#def-b3-forms-orientation). فمن أجل $\varphi$ عاكس [للتوجيه](#def-b3-forms-orientation) تكتسب متطابقةُ الصيغ إشارةً سالبة شاملة (إذ تحسّ الصيغ [بالتوجيه](#def-b3-forms-orientation))، بينما تحتفظ صيغة [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure) بالمقدار $\abs{\det}$ (إذ لا تحسّ القياسات به): أي محاسبتان لمحدد ياكوبي واحد.

**تمرين 21.10 ★★★.**

(التشويه) لتكن $\omega$ صيغةً $2$-الخطية *[مغلقة](#def-b3-forms-closedexact)* على $\R^3\setminus\{0\}$ وليكن $S_r$ الكرةَ ذات نصف القطر $r$ ومركزها $0$. برهن على أن $\int_{S_r}\omega$ لا يتعلق بنصف القطر $r > 0$ *(بتطبيق ستوكس على القشرة بين نصفَي قطر؛ وانتبه إلى توجيهَي [الحافة](#def-b3-forms-boundary))*. وطبّق ذلك على *صيغة الزاوية المجسمة*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

وتحقق من أنها [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact)، واحسب $\int_{S_r}\omega = 4\pi$، واخلص إلى أنها [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) وليست [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على $\R^3\setminus\{0\}$ — أي شقيقة $\omega_\theta$ في البُعدين، والمضمون الهندسي لقانون غاوس في الكهرباء الساكنة.

**حل التمرين 21.10.**

القشرة $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ [متنوعة جزئية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations) متراصة ذات بُعد $3$ بحافة $S_{r_2}\cup S_{r_1}$؛ والتوجيهان المستحثّان هما [توجيه](#def-b3-forms-orientation) الكرة المعتاد على $S_{r_2}$ (الخارجي من $A$ = بعيدًا عن $0$) و*المعاكس* على $S_{r_1}$ (الخارجي من $A$ = نحو $0$). وستوكس مع $\dd\omega = 0$:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

وأما صيغة الزاوية المجسمة: فمع $\rho = \norm x$ و $\sigma =
x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd
x\wedge\dd y$، $\omega = \rho^{-3}\sigma$ و

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

وعلى $S_r$، من أجل $v_1, v_2$ مماسّتين: $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$، ومنه $\int_{S_r}\omega =
r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$: أي ثابت في $r$، كما يتنبّأ التشويه، وغير معدوم — ومنه تكون $\omega$ [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) وليست [تامة](#def-b3-forms-closedexact) على $\R^3\setminus\{0\}$ (إذ تكامل [صيغة تامة](#def-b3-forms-closedexact) على $S_r$ العديمة [الحافة](#def-b3-forms-boundary) $0$ بستوكس). وهذا هو قانون غاوس: أن تدفق حقل شحنة واحدية عبر أي كرة محيطة هو $4\pi$، مهما كان نصف القطر.

**تمرين 21.11 ★★.**

ليكن $\gamma$ منحنيًا مغلقًا ناعمًا في $\R^2\setminus\{0\}$ مع $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. برهن على $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ من أجل *كل* صيغة $1$-الخطية [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ على $\R^2\setminus\{0\}$ *(اكتب $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ حسب [التمرين 21.12](#exo-b3-forms-12))*. والتفسير: أنه على المستوي المثقوب، يكون [عدد اللف](#def-b3-forms-winding) العائقَ الوحيد أمام انعدام الأدوار.

**حل التمرين 21.11.**

نكتب $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ ([التمرين 21.12](#exo-b3-forms-12)) مع $c =
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. عندئذٍ

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

حسب [القضية 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) وبتعريف الدليل. فالعدد الصحيح الواحد $n$ يتحكم في كل دور على المستوي المثقوب: إذ لا تستطيع الصيغ $1$-الخطية [المغلقة](#def-b3-forms-closedexact) أن تميّز بين حلقتين لهما [عدد اللف](#def-b3-forms-winding) نفسه.

**تمرين 21.12 ★★★.**

(أول حساب لدي رام) برهن على أن كل صيغة $1$-الخطية [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ على $U = \R^2\setminus\{0\}$ تُكتب بكيفية وحيدة

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

عرّف $f(p)$ بمكاملة $\omega - c\,\omega_\theta$ على امتداد مسار من $(1,0)$ إلى $p$ (بقطعة شعاعية ثم قوس دائري)، وبرهن على أن النتيجة لا تتعلق بالاختيارات بالضبط لأن الدور على $S^1$ منعدم، وتحقق من $\dd
f = \omega - c\,\omega_\theta$. واخلص: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$، مولَّدة بالصيغة الزاوية.

**حل التمرين 21.12.**

لتكن $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$: فهي [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact)، و $\int_{S^1}\alpha = 0$ باختيار $c$ ($\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$). ونسحب عكسيًّا بالتطبيق القطبي $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$، وهو تماثل تفاضلي محلي غامر $(0, \infty)\times\R \to
U$: فتكون $\Phi^*\alpha$ [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)) على المفتوحة *المحدّبة* $(0,\infty)\times\R$، ومن ثَمّ [تامة](#def-b3-forms-closedexact) ([المبرهنة 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$. ومن أجل $\rho$ مثبَّت: يكون $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta)
= \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ تكاملَ $\alpha$ حول الدائرة ذات نصف القطر $\rho$، وهو يساوي $\int_{S^1}\alpha = 0$ (إذ التاج بين الدائرتين سطح متراص بحافة؛ وستوكس كما في [التمرين 21.10](#exo-b3-forms-10)، بدرجة أدنى). ومنه تكون $g$ دورية بالدور $2\pi$ في $\theta$ وتنزل إلى دالة معرَّفة جيدًا $f$ على $U$ تحقق $f\circ\Phi = g$؛ و $f$ ناعمة (لأن $\Phi$ تماثل تفاضلي محلي) ويفرض $\Phi^*(\dd f) = \dd g = \Phi^*\alpha$ أن $\dd f =
\alpha$. ومنه $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$. وأما الوحدانية: فالمكاملة على $S^1$ تثبّت $c$، لأن للصيغ [التامة](#def-b3-forms-closedexact) دورًا معدومًا؛ و $f$ وحيدة إلى غاية ثابت جمعي. ومنه يكون التطبيق $[\omega] \mapsto
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ تماثلًا خطيًّا $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$، ويولّد صنفُ $\omega_\theta$: أي إن الثقب ذو بُعد واحد بالضبط، كوهومولوجيًّا.

## 21.8 مسألة: مبرهنة براور في النقطة الصامدة

**مسألة 21.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — لا ارتداد ولا هروب

تقول مبرهنة براور إن *لكل [تطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) من الكرة الواحدية [المغلقة](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ إلى نفسها نقطةً صامدة* — وهي إحدى مبرهنات الرياضيات الكبرى، بنتائج تمتد من نظرية الألعاب (توازنات ناش) إلى تحليل المصفوفات. وبرهانها بالصيغ التفاضلية أنظف البراهين المعروفة: إذ تبيّن ستوكس أن الكرة السطحية ليست ارتدادًا للكرة المصمتة، ويتبع كل شيء. وفي كل ما يلي، $S = S^{n-1} = \partial\bar B$، مع $n \geq 2$، و

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(والقبعة تحذف العامل).

**الجزء الأول — أداة [القياس](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#def-b3-measure-measure).**

1. احسب $\dd\sigma$ ، واستنتج من ستوكس ( [المبرهنة 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) أن $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ ، حيث تحمل $S$ توجيهَ حافة الكرة المصمتة.
2. ومن أجل $n = 2$ و $n = 3$ ، عيّن تضييق $\sigma$ على $S$ بصيغتَي طول القوس والمساحة ( [التمرين 21.5](#exo-b3-forms-5) مع $\nu(x) = x$ ) وأعد حساب $\int_S\sigma$ مباشرةً.
3. لتكن $W \subseteq \R^N$ مفتوحة ولتكن $\varphi\colon W  \to \R^n$ ناعمة مع $\norm{\varphi(x)} = 1$ من أجل كل $x \in W$ . برهن على أن $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(اشتقّ $\norm\varphi^2 = 1$: فتقع صورة $D\varphi(x)$ في الفضاء الفائق $\varphi(x)^\perp$، وبُعده $n - 1$؛ ثم طبّق [القضية 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2).)*
4. وأين الخلل في «البرهان» التالي على أن $\int_S\sigma = 0$ : «إن $S$ متراصة بلا حافة، وتضييق $\sigma$ على $S$ صيغةٌ ذات درجة عليا عليها، ومن ثَمّ [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) ، ومن ثَمّ $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{شيء ما}) = 0$ بستوكس»؟ (عيّن الكلمة الخاطئة.)
5. اشرح في فقرة واحدة استراتيجية الجزء الثاني: ماذا سيُكامَل، وعلى ماذا، ومن أين سيأتي التناقض.

**الجزء الثاني — لا ارتداد ناعم.** لنفترض، للتناقض، أن $r$ *ارتدادٌ ناعم* للكرة المصمتة على كرتها السطحية: أي إن $r$ ناعم على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $\bar B$، و $r(\bar B) \subseteq S$، و $r(x) = x$ من أجل كل $x \in S$.

6. برّر $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(إذ يتضيّق $r$ على $S$ إلى المطابقة: فإذا كان $\gamma$ وسطنةً مباشرة لقطعة من $S$، فإن $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. باستعمال ستوكس على $\bar B$ ، برهن على $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. برهن على $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (بالسؤال 3 مطبَّقًا على $\varphi = r$ )، واخلص: *أنه لا يوجد أي ارتداد ناعم $\bar B \to S$.*
9. وسوِّ الحالة المستبعدة $n = 1$ يدويًّا: برهن مباشرةً على أنه لا يوجد أي [تطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to  \{-1, 1\}$ يثبّت الطرفين معًا، وسمِّ المبرهنة التي استعملتها.

**الجزء الثالث — براور الناعمة.** لتكن $g$ ناعمة على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $\bar B$ مع $g(\bar B)
\subseteq \bar B$ و*لا* نقطة صامدة في $\bar B$.

10. برهن على $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. من أجل $x \in \bar B$ لتكن $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ ولتكن $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ تقاطعَ نصف المستقيم $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ مع $S$. حُلّ المعادلة من الدرجة الثانية $\norm{x + tu}^2 = 1$ واحصل على $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. برهن على أن المقدار تحت الجذر موجب *تمامًا* على $\bar B$ : فإذا كان $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ ، فإن $\norm x = 1$ و $\langle  x, u(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ ، أي $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ؛ وبكوشي–شوارتز مع $\norm x = 1$ ، $\norm{g(x)} \leq 1$ ، وهذا يفرض $g(x) = x$ — وهو مستبعد. واستنتج أن $r$ ناعم على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $\bar B$ .
13. برهن على $r(\bar B) \subseteq S$ وعلى $r(x) = x$ من أجل $x  \in S$ *(من أجل $\norm x = 1$، تحقق من $t(x) = 0$ باستعمال $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$، وهو نفسه ينتج من $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$)* . واخلص مع الجزء الثاني: *أن لكل تطبيق ذاتي ناعم للكرة المصمتة $\bar B$ نقطةً صامدة.*

**الجزء الرابع — براور المتصلة.** لتكن $f\colon\bar B\to\bar B$ متصلة بلا نقطة صامدة.

14. برهن على $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ ، وأنتج تطبيقًا *حدوديًّا* $p\colon\R^n\to  \R^n$ يحقق $\sup_{\bar B}\norm{p - f} <  \varepsilon/2$ (بستون–فايرشتراس، [المبرهنة 7.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) ، إحداثيًّا إحداثيًّا — وبرّر الانتقال من التقريب السلّمي إلى المتجهي).
15. وقد يغادر التطبيق $p$ الكرةَ؛ فنضع $g = \frac{p}{1  + \varepsilon/2}$ . برهن على $g(\bar B) \subseteq \bar B$ وعلى $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ .
16. استنتج تناقضًا مع الجزء الثالث واخلص: *أن لكل [تطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ نقطةً صامدة.*
17. بيّن بمثال أن المبرهنة تخفق على: الكرة المفتوحة؛ والكرة السطحية $S$ ؛ والتاج المغلق. وأي خاصية للمجموعة $\bar B$ يفقدها كل مثال مضاد؟

**الجزء الخامس — العوائد.**

18. (بيرون–فروبنيوس، الوجود) لتكن $A$ مصفوفةً من الرتبة $n\times n$ جميع عناصرها $> 0$ ، ولتكن $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i =  1\}$ . برهن على أن التطبيق $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ معرَّف جيدًا ومتصل على $\Delta$ ، وأن $\Delta$ مطابقة طوبولوجيًّا لكرة [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) من $\R^{n-1}$ ( [بتماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) شعاعي من محدّبة متراصة ذات داخل غير خالٍ في غلافها التآلفي)، واخلص إلى أن للمصفوفة $A$ متجهةً ذاتية بعناصر موجبة تمامًا وقيمةً ذاتية $> 0$ .
19. استنتج أن لكل مصفوفة عشوائية بعناصر موجبة (أي بأعمدة مجموعها $1$ ) متجهةً احتمالية ساكنة $\pi = A\pi$ — أي المتجهة من نمط بيج رانك. (وتصح الوحدانية أيضًا لكنها تحتاج إلى أدوات أخرى.)
20. (الكرة المشعرة، الإعداد) لتكن $v$ ناعمة على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة $S = S^{n-1}$ مع $\langle v(x),  x\rangle = 0$ و $\norm{v(x)} = 1$ من أجل $x \in S$ (أي *حقل مماسّ واحدي* ). ومن أجل $t \in \R$ نضع $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . برهن على $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ على $S$ : أي إن $F_t$ يرسل $S$ في الكرة السطحية $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. برهن على أن $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ *كثير حدود* في $t$ *(إذ كل دالة معامل للصيغة $F_t^*\sigma$ في خريطة كثيرُ حدود في $t$، بمعاملات ناعمة في متغيّر الخريطة؛ والمكاملة خطية)* .
22. برهن على أنه من أجل $\abs t$ صغير، يكون $F_t$ تماثلًا تفاضليًّا من $S$ على $\sqrt{1+t^2}\,S$: بالتباين من أجل $t\operatorname{Lip}(v) < 1$؛ وبالتماثل التفاضلي المحلي بمبرهنة الدالة العكسية ([المبرهنة 20.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-ift) في الخرائط)؛ وبكون الصورة مفتوحة [ومغلقة](#def-b3-forms-closedexact) في الكرة السطحية الهدف المترابطة. واستنتج، باستعمال [المبرهنة المساعدة 21.19](#lem-b3-forms-consistency) والتحجيم $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ تحت $x \mapsto \lambda x$ (تحقق منه)، أن $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{بالإشارة} + \text{ من أجل } t$$ ([والتوجيه](#def-b3-forms-orientation) محفوظ بالاتصال انطلاقًا من $t = 0$).
23. اخلص (ميلنور): أنه إذا كان $n$ *فرديًّا* ، فإن $(1 +  t^2)^{n/2}$ ليس كثير حدود في $t$ ، ومع ذلك يوافق كثير الحدود $P(t)/\int_S\sigma$ بجوار $0$ — وهو تناقض. ومن ثَمّ فإن *الكرات السطحية ذات البُعد الزوجي $S^{n-1}$ (حيث $n$ فردي) لا تحمل أي حقل مماسّ واحدي* ، ولا تحمل، بالتعيير والتنعيم (بالالتفاف إحداثيًّا ثم بالإسقاط — وبرّر الخطوتين)، أي حقل مماسّ متصل عديم الجذور البتة: فكل ريح على الأرض تترك نقطةً ساكنة.
24. (الكرات الفردية تُمشَّط بحرية) أبرز على $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا صريحًا: $v(x) = \iu x$ بالاصطلاح العقدي، أي $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ وتحقق من التماس ومن الطول الواحدي، واخلص إلى أن ثنائية التماثل في السؤال 23 مضبوطة: أي إن الكرة السطحية قابلة للتمشيط إذا وفقط إذا كان بُعدها فرديًّا. وأين ينكسر برهانُ كثير الحدود في السؤال 22 من أجل $n$ زوجي؟
25. (الجذور من السلوك على [الحافة](#def-b3-forms-boundary) ) لتكن $f \colon \bar  B^n \to \R^n$ متصلة مع $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ من أجل كل $x \in S^{n-1}$ . برهن على أن $f$ تنعدم في موضع ما من $\bar B^n$ . *(وإلا فإن $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ يرسل $\bar B$ اتصاليًّا في $S \subseteq \bar B$؛ فطبّق براور على $g$ وناقض فرضية [الحافة](#def-b3-forms-boundary).)* واستنتج *محك الغمر* : أن تطبيقًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ يحقق $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to  +\infty$ حين $\norm x \to \infty$ يكون غامرًا — وهو السلف المنتهي البُعد لحجج القسرية في التحليل غير الخطي.

**حل المسألة 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$؛ ونقل $\dd x_i$ عبر العوامل $i-1$ السابقة يكلّف $(-1)^{i-1}$، وهو يلغي المعامل السابق: فيساوي كلٌّ من الحدود $n$ المقدارَ $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$، ومنه $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$. وستوكس على الكرة المصمتة: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$.

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$؛ وعلى $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$، $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$، أي صيغة طول القوس: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$. و $n = 3$: يكون $\sigma\vert_S$ صيغةَ المساحة ([التمرين 21.5](#exo-b3-forms-5) مع $\nu(x) = x$): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$. وكلاهما يوافق السؤال 1.

**3.** باشتقاق $\norm\varphi^2 = 1$: $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ من أجل كل $h$، ومنه $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$، وهو فضاء فائق: أي $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$. وبما أن $\dd\sigma$ صيغةٌ $n$-الخطية (السؤال 1)، يكون نقطةً نقطة $\varphi^*(\dd\sigma)_x =
(D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$ حسب [القضية 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2): أي إن تطبيقًا إلى الكرة لا يجد متسعًا ليسحب عكسيًّا صيغةَ حجم.

**4.** الخلل في «ومن ثَمّ» الثانية: فعلى $S$ ذات البُعد $(n-1)$، تكون كل صيغة $(n-1)$-الخطية [مغلقة](#def-b3-forms-closedexact) بداهةً (إذ لا توجد صيغ $n$-الخطية غير معدومة على متنوعة ذات بُعد $(n-1)$)، لكن *[المغلقة](#def-b3-forms-closedexact) لا تعني [التامة](#def-b3-forms-closedexact)*، و $\int_S\dd\eta = 0$ يتطلب دالةً أصلية فعلية $\eta$ معرَّفة على $S$. وتضييق $\sigma$ ليس تامًّا بالضبط — إذ تكامله $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq
0$ — وهذا اللاتمام هو ما يشغّل المسألة بأسرها.

**5.** سنكامل $r^*\sigma$ على الكرة السطحية ونعدّ بطريقتين. فلأن $r$ يثبّت $S$ نقطةً نقطة، يساوي التكامل $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$. ولأن $r$ معرَّف على الكرة المصمتة، تحوّل ستوكس التكاملَ نفسه إلى $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) =
\int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$؛ ولأن $r$ يأخذ قيمه في الكرة السطحية، يجعل السؤال 3 ذلك المقدار المكامَل منعدمًا. فعددٌ واحد بقيمتين: ومنه لا يمكن للارتداد أن يوجد.

**6.** يُحسب التكاملان كلاهما عبر وسطنات مباشرة $\gamma$ لقطع من $S$ ([التعريف 21.18](#def-b3-forms-integral))؛ وبما أن $r\circ\gamma =
\gamma$ (إذ تحطّ الوسطنة في $S$ حيث يكون $r$ المطابقة)، فإن $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma =
\gamma^*\sigma$ ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)): فتتوافق المقادير المكامَلة محليًّا، وتعطي أي تجزئة للوحدة $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$.

**7.** $r^*\sigma$ صيغةٌ ناعمة $(n-1)$-الخطية على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للمجموعة المتراصة الموجَّهة $\bar B$، وحافتها [بالتوجيه](#def-b3-forms-orientation) المستحثّ هي $S$: فتعطي ستوكس ([المبرهنة 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) بالضبط $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([المبرهنة 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b))، وهو ينعدم حسب السؤال 3 مطبَّقًا على $\varphi = r$. وبسلسلة الأسئلة 6–8:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

وهو محال. *فلا يوجد أي ارتداد ناعم للكرة المصمتة $\bar B^n$ على $S^{n-1}$* (حيث $n \geq 2$).

**9.** تطبيقٌ متصل $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ يحقق $r(\pm1) = \pm1$ كان سيرسل مجموعةً مترابطة على $\{-1, 1\}$ غير المترابطة، وهو مستحيل: إذ صور المجموعات المترابطة بتطبيقات متصلة مترابطة — أو، بالتكافؤ، كانت مبرهنة القيم الوسطى ستفرض على $r$ أن يأخذ القيمة $0$. والعبارة نفسها في كل بُعد هي بالضبط الجزء الثاني؛ والترابط هو ظل العائق الكوهومولوجي $\int_S\sigma \neq 0$ في البُعد $1$.

**10.** $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ متصلة و $> 0$ في كل مكان على المتراصة $\bar B$: فتُبلَغ أصغريتها $\delta$، ومنه $> 0$.

**11.** يُقرأ $\norm{x + tu}^2 = 1$ على الصورة $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$، وجذراه

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

وجداؤهما $\norm x^2 - 1 \leq 0$: فيقع الجذران على جانبَي $0$ (أو ينعدم أحدهما)، ومنه يكون وسيط نصف المستقيم — أي الجذر غير السالب — هو $t(x) = t_+$.

**12.** لو انعدم المقدار تحت الجذر عند $x \in \bar B$: لكان حدّاه غير سالبين، ومنه $\norm x = 1$ و $\langle x, u(x)\rangle = 0$، أي $\langle x, x -
g(x)\rangle = 0$، أي $\langle x, g(x)\rangle = 1$. وبكوشي–شوارتز، $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq
\norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$: أي تساوٍ في كل المراحل، وهو يفرض أن يكون $g(x)$ على استقامة $x$، ومعياره $1$، وبإشارة موجبة: أي $g(x) = x$ — وهو مستبعد. ومنه يكون المقدار تحت الجذر [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) و $> 0$ على $\bar B$، ومن ثَمّ محدودًا من الأسفل بعدد $c > 0$ هناك وعلى [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) (بالاتصال المنتظم). وعلى ذلك [الجوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) تكون $u$ ناعمة (بتقليص $\norm{x - g(x)} \geq
\delta/2$ عند الحاجة)، ويبقى المقدار تحت الجذر $\geq
c/2$، والجذر التربيعي ناعم على $\intoo0\infty$: ومنه يكون $r$ ناعمًا بجوار $\bar B$.

**13.** $\norm{r(x)} = 1$ بحكم بناء $t(x)$: $r(\bar B) \subseteq S$. ومن أجل $x \in S$: $\langle x,
u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x -
g(x)}} \geq 0$ (بكوشي–شوارتز مرة أخرى)، ويرجع $\norm x =
1$ بالمقدار تحت الجذر إلى $\langle x, u\rangle^2$، وجذره التربيعي هو $\langle x, u\rangle$ نفسه (إذ هو $\geq
0$): ومنه $t(x) = 0$ و $r(x) = x$. فيكون $r$ ارتدادًا ناعمًا للكرة المصمتة على الكرة السطحية — وهو يناقض الجزء الثاني. *فلكل تطبيق ذاتي ناعم للكرة $\bar B$ نقطةٌ صامدة.*

**14.** $\varepsilon > 0$ تمامًا كما في السؤال 10. وتشكّل كثيرات الحدود جبرًا جزئيًّا من $\mathcal C(\bar B,
\R)$ يحتوي الثوابت ويفصل النقاط (إذ تفعل $x
\mapsto x_i$ ذلك)، ومنه تقرّب ستون–فايرشتراس ([المبرهنة 7.15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) كل إحداثي: فنختار كثيرات حدود $p_i$ تحقق $\sup_{\bar
B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$؛ عندئذٍ يحقق التطبيق المتجهي $p = (p_1, \dots, p_n)$ أن $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$.

**15.** على $\bar B$: $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$، ومنه $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: أي $g(\bar B) \subseteq \bar B$. وفوق ذلك $\norm{g - p} =
\frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq
\frac\varepsilon2$، ومن ثَمّ $\norm{g - f} \leq \norm{g - p} +
\norm{p - f} < \varepsilon$ على $\bar B$.

**16.** $g$ حدودي، ومن ثَمّ ناعم، ويرسل $\bar B$ في نفسها: فيوفّر الجزء الثالث $x_0 = g(x_0)$. عندئذٍ $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} <
\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: وهو تناقض. *فلكل [تطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to
\bar B^n$ نقطةٌ صامدة.*

**17.** *الكرة المفتوحة:* يرسل $f(x) = \frac{x + e_1}2$ المجموعةَ $B$ في $B$ (إذ $\norm{f(x)} < 1$ تمامًا) ونقطته الصامدة الوحيدة $e_1$ تقع على الكرة السطحية: فقد فُقد التراص. *والكرة السطحية:* التطبيق المتقابل $x \mapsto -x$ عديم النقاط الصامدة؛ و $S$ متراصة لكن طوبولوجيتها «خاطئة» — إذ هي بالضبط اللاارتداد في الجزء الثاني. *والتاج:* دورانٌ بأي زاوية $\not\equiv 0$ لا يثبّت شيئًا؛ فالثقب يؤوي الدوران — وقد فُقد التحدّب (أو بدقة أكبر، [الطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) الكروية). فمبرهنة براور في الحقيقة عن المجموعات *المتراصة المحدّبة*، كما يستثمر السؤال 18.

**18.** من أجل $x \in \Delta$: تكون $x_j > 0$ ما، ومنه $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$ من أجل كل $i$؛ ومن ثَمّ $\norm{Ax}_1 > 0$ ويكون $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ معرَّفًا جيدًا [ومتصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، ويحطّ في $\Delta$ (بعناصر موجبة مجموعها $1$). و $\Delta$ محدّبة ومتراصة وذات داخل غير خالٍ في الفضاء الفائق التآلفي $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$؛ والتطبيق الشعاعي من مركز ثقلها — إذ يلاقي كل نصف مستقيم من مركز الثقل $\partial\Delta$ في نقطة واحدة بالضبط، بالتحدّب والتراص، ودالة العيار الموافقة متصلة — تماثلٌ طوبولوجي $\Delta \to
\bar B^{n-1}$. وبنقل براور عبره: يقبل $T$ نقطةً صامدة $x^*$، أي $Ax^* = \lambda x^*$ مع $\lambda
= \norm{Ax^*}_1 > 0$؛ و $x^* = Ax^*/\lambda$ ذو عناصر موجبة تمامًا بالحساب الافتتاحي. *فلمصفوفة موجبة متجهةٌ ذاتية موجبة.*

**19.** يعطي السؤال 18 أن $A\pi = \lambda\pi$ و $\pi \in
\Delta$ و $\pi > 0$. ونجمع الإحداثيات: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (لأن مجموع الأعمدة $1$)، بينما $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$. ومنه $\lambda = 1$ و $A\pi = \pi$: أي متجهة احتمالية ساكنة — وهي توازن سلسلة ماركوف، ونواة بيج رانك الرياضية.

**20.** على $S$: $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 +
2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ بالتماس و $\norm v = 1$: أي $F_t(S) \subseteq
\sqrt{1+t^2}\,S$.

**21.** نثبّت أطلسًا منتهيًا من الوسطنات المباشرة $\gamma$ وتجزئةً للوحدة، لا تتعلق بالوسيط $t$. وفي خريطة، $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$، ومنه يكون كل معامل للصيغة $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ مجموعَ جداءات عاملٍ واحد $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (تآلفي في $t$) ومحدّدٍ $(n-1)\times(n-1)$ بعناصر تآلفية في $t$: أي كثير حدود في $t$ درجته $\leq n$ بمعاملات ناعمة في متغيّر الخريطة. وبالضرب في دوال التجزئة المستقلة عن $t$ والمكاملة حدًّا حدًّا: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$، أي كثير حدود.

**22.** *التباين:* $v$ ليبشيتزية على $S$ (لأنها ناعمة على متراصة)، ولنقل بثابت $L$؛ فمن أجل $\abs t <
1/L$، $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs
tL)\norm{x - y} > 0$. *والتماثل التفاضلي:* يرسل $G_t =
F_t/\sqrt{1 + t^2}$ المجموعةَ $S$ إلى $S$؛ وفي الخرائط تتقارب مصفوفاته الياكوبية بانتظام إلى مصفوفات $G_0 = \operatorname{id}$ حين $t \to 0$، ومنه تكون من أجل $t$ صغير قابلةً للقلب ويكون $G_t$ تماثلًا تفاضليًّا محليًّا ([المبرهنة 20.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#thm-b3-submanifolds-ift) في الخرائط)، ومتباينًا، بصورة مفتوحة (بالتماثل التفاضلي المحلي) ومتراصة في $S^{n-1}$ *المترابطة* (حيث $n \geq 2$): ومنه الصورة $= S$، فيكون $G_t$ تماثلًا تفاضليًّا للمجموعة $S$. *والتحجيم:* تحت $s_\lambda(x) = \lambda x$، يكسب كل معامل $x_i$ العاملَ $\lambda$ ويكسب كلٌّ من التفاضلات $n - 1$ العاملَ $\lambda$: أي $s_\lambda^*\sigma =
\lambda^n\sigma$. وبما أن $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{من أجل قيم صغيرة من} t,
$$

والمساواة الأخيرة بواسطة [المبرهنة المساعدة 21.19](#lem-b3-forms-consistency) (إذ $G_t$ تماثل تفاضلي للمجموعة $S$، حافظٌ [للتوجيه](#def-b3-forms-orientation) من أجل $t$ صغير: فمحددات مصفوفاته الياكوبية في الخرائط تتغيّر اتصاليًّا ولا تنعدم أبدًا وهي موجبة عند $t = 0$).

**23.** إذا كان $n$ فرديًّا ووُجد حقل مماسّ واحدي ناعم، جعل السؤالان 21 و22 كثيرَ الحدود $P(t)/\int_S\sigma$ (وهو مشروع: إذ $\int_S\sigma \neq 0$ حسب السؤال 1) يوافق $(1 + t^2)^{n/2}$ بجوار $0$؛ ودالتان ناعمتان تتوافقان بجوار $0$ وإحداهما كثير حدود تفرضان على $(1 + t^2)^{n/2}$ أن يكون ذلك كثير الحدود على $\R$ كله. لكن إذا كان $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ مع $Q \in \R[t]$، أعطى التفكيك الوحيد في $\R[t]$ ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#ch-b3-rings)) للمقدار غير القابل للاختزال $t^2 + 1$ ترافقًا زوجيًّا في $Q^2$ والترافقَ الفردي $n$ في $(1 + t^2)^n$: وهو مستحيل. ومنه لا يوجد أي حقل مماسّ واحدي ناعم على $S^{n-1}$ من أجل $n$ فردي — أي على الكرات السطحية ذات البُعد الزوجي. وأخيرًا، حقلٌ مماسّ متصل فحسب وعديم الجذور $w$ كان سينتج واحدًا: فنمدّده إلى [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) بالمقدار $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$، ونملّفه إحداثيًّا ([المبرهنة 12.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#thm-b3-lp-regularization)) إلى $v_0$ ناعم يحقق $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} <
\frac12\min_S\norm w$، ونسقطه مماسّيًّا $v_1(x) = v_0(x)
- \langle v_0(x), x\rangle x$ — وعلى $S$ لا يغيّر هذا $v_0$ إلا بمركّبته الناظمية، وهي نفسها على الأكثر $\norm{v_0 -
\tilde w}$ لأن $\tilde w$ مماسّي، ومنه $\norm{v_1 - \tilde
w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ ولا ينعدم $v_1$ أبدًا على $S$ — ثم نعيّره: فيكون $v =
v_1/\norm{v_1}$ حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا. ومن ثَمّ يكون *لكل حقل مماسّ متصل جذرٌ* على كل كرة سطحية ذات بُعد زوجي: فكل ريح على الأرض تترك نقطةً ساكنة.

**24.** $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j +
x_jy_j) = 0$: أي مماسّ؛ و $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: أي واحدي. والنعومة واضحة (لأنه تطبيق خطي). ومنه تحمل كل كرة سطحية ذات بُعد فردي حقلًا مماسًّا واحديًّا ناعمًا — أي الضرب في $\iu$ على امتداد المستقيمات العقدية — ويكون عائق السؤال 23 هو بالضبط تماثل البُعد. وفي حجة كثير الحدود، يكون المقدار $(1 +
t^2)^{n/2}$ من أجل $n$ زوجي كثيرَ حدود *فعلًا*، فلا ينشأ أي تناقض: فالبرهان لا يخفق في الانطباق فحسب، بل نتيجته خاطئة فعلًا، كما تشهد $v$.

**25.** لنفترض أن $f$ لا تنعدم أبدًا على $\bar B$. عندئذٍ يكون $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar B \to S
\subseteq \bar B$، وتوفّر براور (السؤال 16) المقدارَ $x^* =
g(x^*)$. وبما أن $g$ يأخذ قيمه في $S$، فإن $x^* \in S$، و

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

وهو يناقض فرضية [الحافة](#def-b3-forms-boundary). ومنه تقبل $f$ جذرًا. وأما الغمر: فبإعطاء $y \in \R^n$، نطبّق ما سبق على $f(x) =
F(x) - y$ على كرة $\bar B(0, R)$ مع $R$ كبير بما يكفي بحيث $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ على الكرة السطحية ذات نصف القطر $R$ (بالقسرية)؛ عندئذٍ $\langle f(x), x\rangle =
\langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ هناك (بكوشي–شوارتز)، وتعطي العبارة المعادة التحجيم جذرًا للدالة $f$: أي $F(x) = y$. فكل حقل متصل قسري غامر — وهو الظل الخالي من الدرجة لمبرهنات الوجود التغيّرية، مسلَّمًا بواسطة [الطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) المحضة.