--- title: "المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/3-modules-over-a-principal-ideal-domain --- # الفصل 3 — المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية جبر خطي على *حلقة* بدل حقل: هذا التغيير الطفيف في الفرضيات يُنتج واحدة من مبرهنات التوحيد الكبرى في الجبر. [فالمقاس](#def-b3-modules-module) على $\Z$ زمرة أبيلية؛ [والمقاس](#def-b3-modules-module) على $K[X]$ فضاء متجهي مزوَّد بتشاكل ذاتي. ومن ثَمّ فإن مبرهنة البنية للمقاسات المولَّدة بعدد منتهٍ من العناصر على [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) تصنّف، دفعةً واحدة، جميع الزمر الأبيلية المولَّدة بعدد منتهٍ *و* جميع التشاكلات الذاتية إلى حدود التشابه — فاختزال جوردان، الذي حصلت عليه السنة الجامعية 2 بتراجعات دقيقة، يسقط نتيجةً فرعية، ومعه شقيقه الأدق: الصيغة الناظمية *الناطقة*، الصحيحة على كل حقل. والمحرّك الحسابي هو صيغة سميث الناظمية، وهي حسابٌ للمصفوفات جدير بإقليدس. في كل ما يلي، $A$ حلقة تبديلية، وستصير قريبًا [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd)؛ وتعني كلمة «[مقاس](#def-b3-modules-module)» مقاسًا على $A$. ## 3.1 المقاسات والمقاسات الحرة **تعريف 3.1.** *المقاس على $A$* هو زمرة أبيلية $(M, +)$ مزوَّدة بضرب سلَّمي $A \times M \to M$ يحقق بديهيات الفضاءات المتجهية: $a(x + y) = ax + ay$، $(a + b)x = ax + bx$، $(ab)x = a(bx)$، $1x = x$. أما المقاسات الجزئية، وحواصل القسمة $M/N$، والتشاكلات (التطبيقات الخطية على $A$)، والمجاميع المباشرة $\bigoplus_i M_i$، [ومبرهنات التماثل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#thm-b3-groups-firstiso)، فتُعرَّف ويُبرهَن عليها حرفيًا كما في حالة الفضاءات المتجهية والزمر الأبيلية؛ وعلى وجه الخصوص $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ من أجل تشاكل $f$. **مثال 3.2.** الحالات الثلاث المحرّكة. 1. $A = K$ حقل: فالمقاسات فضاءات متجهية. 2. $A = \Z$ : فالمقاسات هي بالضبط الزمر الأبيلية (إذ يُفرض على $nx$ أن يكون $x + \dots + x$ )، والمقاسات الجزئية هي الزمر الجزئية. 3. $A = K[X]$ : [فالمقاس](#def-b3-modules-module) فضاء متجهي $V$ على $K$ مزوَّد بتطبيق خطي على $K$ هو $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — وبالعكس، يصير كل زوج $(V, u)$ مع $u \in \mathcal L(V)$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ . والمقاسات الجزئية هي بالضبط الفضاءات الجزئية الصامدة تحت $u$ . [والمثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) في $A$ هو بالضبط [مقاس](#def-b3-modules-module) جزئي من $A$؛ [وحلقة القسمة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) $A/I$ مقاسٌ على $A$. وخلافًا للفضاءات المتجهية، يمكن أن يكون للمقاسات *[التواء](#def-b3-modules-torsion)*: ففي $\Z/6\Z$، يُبيد العنصرَ $\bar 3 \ne 0$ العنصرُ $2 \neq 0$. **تعريف 3.3.** يكون $M$ *مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر* إذا كان $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ من أجل عناصر $x_i$ ما. ويكون $M$ *حرًّا* من الرتبة $n$ إذا كان $M \cong A^n$، أي إذا كان له *أساس* (عائلة مولِّدة ومستقلة خطيًا على $A$). وكل [مقاس](#def-b3-modules-module) $M$ مولَّد بعدد منتهٍ هو حاصل قسمة [لمقاس](#def-b3-modules-module) حر: إذ يرسل $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ المقاسَ $A^n$ على $M$. **قضية 3.4 (صمود الرتبة).** إذا كان $A \neq 0$ و $A^m \cong A^n$، فإن $m = n$. **برهان.** نختار مثاليًا أعظميًا $\mathfrak m$ في $A$ ([المبرهنة 2.8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-krull)) ونضع $k = A/\mathfrak m$، وهو حقل. ويرسل التماثل $f \colon A^m \to A^n$ [المقاس](#def-b3-modules-module) $\mathfrak m A^m$ داخل $\mathfrak m A^n$ (بالخطية)، ومنه فهو يُحدث تماثلًا بين حاصلَي القسمة $$ A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{أي}\qquad k^m \cong k^n $$ بوصفهما فضاءين متجهيين على $k$ (إذ يُبيد $\mathfrak m$ حاصلَ القسمة $A^m/\mathfrak m A^m$، ومنه فإن فعل $A$ يتحلّل عبر $k$؛ وصور الأساس القانوني تشكّل أساسًا على $k$). وتعطي نظرية البُعد على الحقل $k$ أن $m = n$. ∎ **مبرهنة 3.5 (المقاسات الجزئية من مقاس حر).** لتكن $A$ [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) وليكن $M \subseteq A^n$ مقاسًا جزئيًا. عندئذٍ يكون $M$ [حرًّا](#def-b3-modules-free) ورتبته $\leq n$. **برهان.** بالتراجع على $n$. من أجل $n = 1$: يكون $M$ مثاليًا، ومنه $M = (0)$ (وهو حر من الرتبة $0$) أو $M = dA \cong A$ (إذ إن $x \mapsto dx$ متباين لأن الحلقة تامة). ومن أجل $n > 1$: ليكن $\pi \colon A^n \to A$ الإحداثي الأخير. عندئذٍ يكون $\pi(M)$ مثاليًا، أي $(0)$ أو $dA$. ففي حالة $(0)$: يكون $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ وينطبق التراجع. وإلا فلنختر $x_0 \in M$ يحقق $\pi(x_0) = d$. عندئذٍ يُكتب كل $x \in M$ بطريقة وحيدة $$ x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi $$ (لأن $\pi(x) \in dA$، ومنه فالمعامل في $A$). ومنه $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$: والمجموع مباشر لأن $\pi(ax_0) = ad = 0$ يفرض $a = 0$. وبالتراجع يكون $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ [حرًّا](#def-b3-modules-free) ورتبته $\leq n - 1$؛ وبإضافة $x_0$ (المستقل عن $\ker\pi$ كما رأينا للتوّ) نحصل على أساس [للمقاس](#def-b3-modules-module) $M$ عدد عناصره $\leq n$. ∎ **ملاحظة 3.6.** ومن نتائج ذلك أن لكل [مقاس](#def-b3-modules-module) $M$ مولَّد بعدد منتهٍ على [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) *تقديمًا منتهيًا*: فلتطبيق شامل $\varphi\colon A^n \to M$ نواةٌ حرة أساسها $c_1, \dots, c_k$ (حيث $k \leq n$)، ويكون $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ حيث $C \in M_{n,k}(A)$ هي المصفوفة التي أعمدتها العناصر $c_j$. ففهم $M$ يعني فهم *مصفوفة على $A$* إلى حدود تغيير الأسس في المنطلق والمستقر — وهو موضوع القسم التالي. ## 3.2 صيغة سميث الناظمية **تعريف 3.7.** نقول عن مصفوفتين $B, C \in M_{n,k}(A)$ إنهما *متكافئتان* إذا كان $C = QBP$ حيث $Q \in GL_n(A)$ و $P \in GL_k(A)$ (أي قابلتان للقلب *على $A$*: بمحدد في $A^\times$). ومصفوفتا تقديم متكافئتان تعرّفان مقاسين متماثلين $A^n/ \operatorname{im}$ (بتغيير الأسس في $A^n$ و $A^k$). **مبرهنة 3.8 (صيغة سميث الناظمية).** لتكن $A$ [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) ولتكن $B \in M_{n,k}(A)$. عندئذٍ تكافئ $B$ مصفوفة قطرية $$ \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 , $$ وتكون العناصر $d_i$ وحيدة إلى حدود التصاحب: إذ إن $d_1 \cdots d_i$ [قاسم مشترك أكبر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#lem-b3-rings-bezout) لمحدّدات $B$ الجزئية من القياس $i \times i$ (وعلى وجه الخصوص فإن هذا القاسم صامد بالتكافؤ). وتُسمّى العناصر $d_i$ *العوامل الصامدة* للمصفوفة $B$. **برهان.** *الوجود.* إذا كان $B = 0$ فقد انتهينا. وإلا فلننظر في مجموعة المثاليات $(b)$ المولَّدة بعناصر مصفوفات تكافئ $B$؛ وبما أن $A$ [نويثرية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-noetherian)، فلنختر مصفوفة $B'$ تكافئ $B$ وعنصرًا $d$ فيها بحيث يكون $(d)$ *أعظميًا* في هذه المجموعة. وننقل $d$ إلى الموضع $(1,1)$ بتبديل الأسطر والأعمدة. *الادعاء: يقسم $d$ كل عناصر $B'$.* أولًا العمود 1: إذا لم يكن $b_{i1}$ مضاعفًا للعنصر $d$، فليكن $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (بيزو)، ومنه $(e) \supsetneq (d)$. وحيلة المصفوفة من القياس $2 \times 2$: بالفعل على السطرين $1$ و $i$ بواسطة $$ \begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr) $$ نحصل على مصفوفة مكافئة عنصرها في الموضع $(1,1)$ هو $e$: وهذا يناقض أعظمية $(d)$. إذن يقسم $d$ العمودَ $1$، وبالتناظر السطرَ $1$. وبطرح مضاعفات السطر 1 والعمود 1 نُصفّرهما: فتكافئ $B'$ المصفوفة $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. وبعد ذلك، يقسم $d$ كل عنصر $b$ من $B''$: نضيف سطر $b$ إلى السطر 1 (وهي عملية أوّلية؛ فيحتوي السطر الأول الجديد على $d$ وعلى عناصر $b$)، ونكرّر حجّة تصفير العمود: إذ إن عنصرًا غير مضاعف سيحسّن $(d)$ مرة أخرى. والآن نتراجع على القياس: فللمصفوفة $B''$، التي تقبل جميع عناصرها القسمة على $d$، صيغةُ سميث $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ تبقى عناصرها قابلة للقسمة على $d$ (لأن كل عنصر من أي $QB''P$ تركيبةٌ على $A$ لعناصر $B''$)؛ ونضع $d_1 = d$. *الوحدانية.* ليرمز $D_i(B)$ إلى [قاسم مشترك أكبر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#lem-b3-rings-bezout) لجميع المحدّدات الجزئية من القياس $i \times i$. لا يمكن للعمليات على الأسطر والأعمدة، ولا بصورة أعمّ للضرب في *أي* مصفوفة، أن تصغّر هذا القاسم: فالمحدّدات الجزئية من القياس $i \times i$ للمصفوفة $QB$ تركيباتٌ على $A$ لمثيلاتها في $B$ (بنشر كوشي–بينيه؛ أو مباشرةً: كل سطر من $QB$ تركيبة لأسطر $B$، والمحدّدات الجزئية متعددة الخطية في الأسطر). ومنه فإن $D_i(QBP)$ و $D_i(B)$ يقسم كل منهما الآخر: أي إن $D_i$ صامد بالتكافؤ. وعلى الصيغة القطرية، تكون المحدّدات الجزئية غير المعدومة من القياس $i \times i$ هي جداءات $i$ من العناصر $d_j$، وتجعل القابليةُ للقسمة $d_1 \mid \dots \mid d_r$ المقدارَ $d_1 \cdots d_i$ هو [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#lem-b3-rings-bezout). ومنه $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ إلى حدود العناصر القابلة للقلب، ويتحدّد $d_i = D_i/D_{i-1}$. ∎ **طريقة 3.9.** على [حلقة إقليدية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$، $K[X]$)، يكون اختزال سميث خوارزمية — دون حاجة إلى حجّة الأعظمية: ننقل العنصر ذا القياس الإقليدي الأصغر إلى الموضع $(1,1)$؛ فإذا أخفق في قسمة عنصر ما من سطره أو عموده، تركت قسمةٌ إقليدية باقيًا أصغر تمامًا هناك — نبدّله إلى الموضع ونعيد الكرّة (والانتهاء مضمون: لأن الأقياس تتناقص)؛ وحين يقسم سطره وعموده بأكملهما، نُصفّرهما؛ وإذا أخفق في قسمة عنصر داخلي، أضفنا ذلك السطر إلى السطر $1$ وأعدنا الكرّة؛ ثم نتراجع على الكتلة الداخلية. وعمليًا على المصفوفات الصحيحة: نحسب $D_1 = \gcd$ لعناصرها، ثم $D_2$، … بالمحدّدات الجزئية من أجل الأقياس الصغيرة، أو نشغّل الخوارزمية. **مثال 3.10 (اختزال سميث كاملًا).** لنختزل $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ على $\Z$. الركن $1$ يقسم كل شيء: فنُصفّر سطره وعموده ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$، $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$، ثم $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$، $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$): $$ M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} . $$ وفي الكتلة الداخلية، يقسم الركن $-3$ جميع العناصر: فيصفّرها $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ و $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ لتصير $\operatorname{diag}(-3, 0)$. وبضبط الإشارات (بضرب سطر في $-1$، وهي عملية مشروعة): $$ M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z . $$ ولنتحقق بواسطة القواسم المحدّدية: $D_1 = \gcd(\text{العناصر}) = 1$؛ وكل محدد جزئي من القياس $2\times2$ للمصفوفة $M$ مضاعفٌ للعدد $3$ (مثلًا $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) وأحدها يساوي $-3$: ومنه $D_2 = 3$؛ و $D_3 = \det M = 0$. إذن $d_1 = 1$ و $d_2 = 3$ و $d_3 = 0$: أي الجواب نفسه. وهنا درسان: العامل الصامد المعدوم يسجّل هبوط الرتبة (إذ يكتسب حاصل القسمة حدًّا [حرًّا](#def-b3-modules-free) من $\Z$)، وسلسلة القابلية للقسمة $1 \mid 3 \mid 0$ هي شهادة سميث — فاختزالٌ قطري يخالف السلسلة (مثل $\operatorname{diag}(2, 3)$، وهو ما قد يُنتجه غير المتأني من $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ بالتوقف مبكرًا: والصيغة الصحيحة لسميث هي $\operatorname{diag}(1, 6)$، لأن $D_1 = 1$ هنا!) ليس اختزالًا منتهيًا. ![الشبكة الجزئية L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) من ℤ2 (النقط الحمراء). وصيغة سميث الناظمية للمصفوفة ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) هي diag(1, 6): ففي الأساس الملائم f_1 = (1,3) و f_2 = (0,1) من ℤ2، لدينا L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2، ومنه ℤ2/L ℤ/6ℤ — فالدليل يساوي | | = 6، وهو مساحة المجال الأساسي المظلَّل.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg) *الشبكة الجزئية $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ من $\Z^2$ (النقط الحمراء). وصيغة سميث الناظمية للمصفوفة $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ هي $\operatorname{diag}(1, 6)$: ففي الأساس الملائم $f_1 = (1,3)$ و $f_2 = (0,1)$ من $\Z^2$، لدينا $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$، ومنه $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — فالدليل يساوي $\abs{\det} = 6$، وهو مساحة المجال الأساسي المظلَّل.* ## 3.3 مبرهنة البنية **تعريف 3.11.** لتكن $A$ حلقة تامة وليكن $M$ مقاسًا على $A$. [المقاس](#def-b3-modules-module) الجزئي *الالتوائي* هو $$ T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ من أجل } a \neq 0\} $$ (وهو [مقاس](#def-b3-modules-module) جزئي: إذ إن $ax = by = 0$ يعطي $ab(x + y) = 0$ مع $ab \ne 0$). ويكون $M$ *عديم الالتواء* إذا كان $T(M) = 0$، و*مقاسًا التوائيًا* إذا كان $T(M) = M$. **مبرهنة 3.12 (بنية المقاسات المولَّدة بعدد منتهٍ على حلقة مثاليات رئيسية).** لتكن $A$ [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) وليكن $M$ مقاسًا على $A$ [مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر](#def-b3-modules-free). يوجد عدد وحيد $r \in \N$ وعناصر غير معدومة وغير قابلة للقلب $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$، وحيدة إلى حدود التصاحب، بحيث $$ M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s). $$ وعلاوة على ذلك $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ و $M/T(M) \cong A^r$: فكل [مقاس](#def-b3-modules-module) *عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion)* مولَّد بعدد منتهٍ على [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) هو [مقاس حر](#def-b3-modules-free). **برهان.** *الوجود.* نقدّم $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ ([الملاحظة 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) ونضع $C$ في صيغة سميث: فبعد تغييرَي الأساس نجد $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. ونحذف العوامل التي يكون فيها $d_i$ قابلًا للقلب (لأن $A/(d_i) = 0$)؛ وتبقى سلسلة القابلية للقسمة قائمة. *تعيين [الالتواء](#def-b3-modules-torsion).* في هذا التفكيك، يكون $A^r$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) (لأنه ليس في حلقة تامة قواسم للصفر) ويكون كل $A/(d_i)$ التوائيًا (لأن $d_i \ne 0$ يبيده)؛ ويشطر المجموع المباشر الالتواءَ تبعًا لذلك: أي $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ و $M/T(M) \cong A^r$. *وحدانية $r$*: إن $M/T(M) \cong A^r$ يتعلق [بالمقاس](#def-b3-modules-module) $M$ وحده، وتحدّد [القضية 3.4](#prop-b3-modules-rank) العددَ $r$. *وحدانية العناصر $d_i$*: يكفي أن نعالج [المقاس](#def-b3-modules-module) [الالتوائي](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$. نفكّك كل $d_i$ إلى عناصر أولية ونشطر بمبرهنة الباقي الصيني ([المبرهنة 2.9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-crt)؛ إذ إن العناصر الأولية المتمايزة تولّد [مثاليات متكاملة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#thm-b3-rings-crt)): $$ A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr), $$ وتُسمّى العناصر $p^{k_{p,j}}$ *القواسم الأوّلية*. وبالعكس، تُستعاد العناصر $d_i$ من المجموعة المتعدّدة للقواسم الأوّلية (إذ إن $d_s$ = جداء أعلى قوة لكل [عنصر أولي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility)، وهكذا)، ومنه يكفي أن نبرهن على أن المجموعة المتعدّدة $\{k_{p,j}\}_j$ يحدّدها $T$، من أجل كل [عنصر أولي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-divisibility) $p$. لنثبّت $p$؛ ومن أجل $j \geq 1$ لننظر في الفضاءات المتجهية على $A/(p)$ المعطاة بالحواصل $p^{j-1}T/p^jT$. فعلى عامل دائري $A/(p^k)$: $$ p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{إذا كان } j \leq k,\\ 0 & \text{إذا كان } j > k, \end{cases} $$ وعلى عامل $A/(q^k)$ حيث $q \neq p$: يكون الضرب في $p$ تقابليًا هناك ($p$ قابل للقلب بترديد $q^k$: بيزو)، ومنه فحاصل القسمة $0$. وتمرّ المجاميع المباشرة: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. وتحدّد هذه الأبعاد الذاتية المجموعةَ المتعدّدة للأُسس. ∎ **نتيجة 3.13 (الزمر الأبيلية المولَّدة بعدد منتهٍ).** كل زمرة أبيلية مولَّدة بعدد منتهٍ من الشكل $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ مع $d_1 \mid \dots \mid d_s$، بطريقة وحيدة. وكل زمرة أبيلية *منتهية* جداءُ زمر دائرية رتبتها قوة لعدد أولي، وحيدةٌ بوصفها مجموعة متعدّدة. **مثال 3.14.** توافق الزمر الأبيلية ذات الرتبة $p^n$ *تجزئات* العدد $n$: فمن أجل $p^4$ لدينا $\Z/p^4$ و $\Z/p^3\times\Z/p$ و $(\Z/p^2)^2$ و $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ و $(\Z/p)^4$ — أي خمس زمر، لأن للعدد $4$ خمس تجزئات. وتضاعف الرتب المختلطة الأعدادَ عددًا أوليًا عددًا أوليًا (بمبرهنة الباقي الصيني): فتوجد $5 \times 2$ زمرة أبيلية رتبتها $2^4 \cdot 3^2 = 144$. ## 3.4 تطبيق: الصيغ الناظمية للتشاكلات الذاتية ليكن $K$ حقلًا، وليكن $V$ فضاءً متجهيًا على $K$ بُعده المنتهي $n$، وليكن $u \in \mathcal L(V)$؛ نجعل $V$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ ([المثال 3.2](#ex-b3-modules-examples)). وهذا [المقاس](#def-b3-modules-module) مولَّد بعدد منتهٍ من العناصر (لأن أساسًا على $K$ يولّده) والتوائي: إذ إن المتجهات $n+1$ التالية $x, u(x), \dots, u^n(x)$ مرتبطة على $K$ من أجل كل $x$، فتعطي كثير حدود مُبيدًا غير معدوم. **تعريف 3.15.** من أجل $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ واحديًا، تكون *المصفوفة المرافقة* هي $$ C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} : $$ وهي مصفوفة «الضرب في $X$» على $K[X]/(P)$ في الأساس $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$. **مبرهنة 3.16 (فروبينيوس: الصيغة الناظمية الناطقة).** توجد متتالية وحيدة من كثيرات الحدود الواحدية غير الثابتة $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (وتُسمّى *صوامد التشابه* للتشاكل $u$) بحيث يكون، بوصفهما مقاسين على $K[X]$، $$ V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s): $$ وفي أساس ملائم، يكون للتشاكل $u$ مصفوفةٌ قطرية بالكتل $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. وعلاوة على ذلك: 1. $P_s = \mu_u$ (كثير الحدود الأدنى) و $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (كثير الحدود المميّز)؛ وعلى وجه الخصوص $\mu_u \mid \chi_u$ *(وهي مبرهنة كايلي–هاملتون مُبرهَنًا عليها من جديد)* و $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ ، ومنه فإن للمقدارين $\chi_u$ و $\mu_u$ العواملَ نفسها غير القابلة للاختزال. 2. يكون تشاكلان ذاتيان (أو مصفوفتان مربعتان) متشابهين إذا وفقط إذا كان لهما [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) نفسها. **برهان.** نطبّق مبرهنة البنية ([المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure)) على [حلقة المثاليات الرئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$: فيتفكّك [المقاس](#def-b3-modules-module) [الالتوائي](#def-b3-modules-torsion) $V$ [بعوامل صامدة](#thm-b3-modules-smith) $P_i$، منظَّمة واحدية (لأن العناصر القابلة للقلب في $K[X]$ هي $K^\times$)؛ ولا يظهر جزء حر (لأن $V$ التوائي). وعلى كل عامل دائري $K[X]/(P_i)$، يكون للضرب في $X$ المصفوفةُ $C_{P_i}$ في أساس قوى $\bar X$: وبضم الأسس نحصل على الصيغة بالكتل. (1) مُبيد $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ هو $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (بسلسلة القابلية للقسمة: فإن $P_s$ مضاعف مشترك، ويُبيد صنفَ $1$ في العامل الأخير بالضبط المثاليُّ $(P_s)$): إذن $\mu_u = P_s$. أما من أجل $\chi_u$: فعلى عامل دائري لدينا $\chi_{C_P} = P$، بالتراجع على $m = \deg P$. وبنشر $\det(XI_m - C_P)$ على السطر الأول (وعناصره $X$، ثم أصفار، ثم $a_0$ في العمود الأخير): $$ \det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L , $$ حيث $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (بالشكل نفسه، وبقياس أصغر بواحد) و $L$ مثلثية قطرها $(-1, \dots, -1)$، ومنه $\det L = (-1)^{m-1}$. وبالتراجع يكون الحد الأول $X\tilde P$، والثاني $a_0$: فالمجموع $X\tilde P + a_0 = P$ (وحالة الأساس $m=1$: $\det(X + a_0) = P$). وتتضارب المحدّدات على الكتل: $\chi_u = \prod P_i$. وأما كايلي–هاملتون: لدينا $\chi_u \in (\mu_u)$ لأن $P_s \mid$ كلَّ واحد منها… وبالعكس، لدينا $P_i \mid P_s$ من أجل كل $i$، ومنه فإن $\chi_u = \prod P_i$ يقسم $P_s^{\,s} = \mu_u^s$؛ ويقسم $\mu_u = P_s$ العنصرَ $\chi_u$ لأنه أحد عوامله. (2) التشاكلان الذاتيان المتشابهان هما بنيتا [مقاس](#def-b3-modules-module) مقترنتان، ومنه فلهما الصوامد نفسها (بالوحدانية في [المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure))؛ وبالعكس، تعطي الصوامد المتساوية مقاسين متماثلين على $K[X]$، وتماثل المقاسات هو بالضبط تقابل خطي يتبادل مع التشاكلين الذاتيين: أي تشابه. ∎ **نتيجة 3.17 (التشابه لا يتأثر بامتداد الحقل).** ليكن $K \subseteq L$ حقلين وليكن $M, N \in M_n(K)$. إذا كانت $M$ و $N$ متشابهتين على $L$، فهما متشابهتان على $K$. **برهان.** تُحسب [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) للمصفوفة $M$ بصيغة سميث للمحدّدات الجزئية ([المبرهنة 3.8](#thm-b3-modules-smith)) مطبَّقةً على مصفوفة التقديم $XI_n - M$ على $K[X]$ — وبالفعل، فللمقاس $V_M = K^n$ على $K[X]$ التقديمُ $XI_n - M$: إذ إن التطبيق $K[X]^n \to V_M$ المعطى بالعلاقة $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ شاملٌ ونواته مولَّدة بأعمدة $XI_n - M$ (بتحقّق مباشر: فبترديد تلك الأعمدة، يختزل كل عنصر من $K[X]^n$ إلى متجهة ثابتة، والمتجهات الثابتة تُرسَل تقابليًا؛ وتفصّل مسألة نهاية الأسبوع ذلك). والقواسم المشتركة الكبرى لكثيرات الحدود لا تتغير بامتداد الحقل: فإذا كان $d$ [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#lem-b3-rings-bezout) الواحدي في $K[X]$ لعائلة $(f_j)$، أعطت متطابقة بيزو $d = \sum u_jf_j$ حيث $u_j \in K[X]$، ومنه فإن كل قاسم مشترك للعناصر $f_j$ *في $L[X]$* يقسم $d$؛ وبما أن $d$ نفسه قاسم مشترك، فهو [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#lem-b3-rings-bezout) في $L[X]$ أيضًا. ومنه فإن [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) للمصفوفة $XI_n - M$، وهي خوارج القواسم المشتركة الكبرى المتتالية للمحدّدات الجزئية، هي نفسها على $K$ وعلى $L$: أي إن للمصفوفتين $M$ و $N$ [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) نفسها على $L$ إذا وفقط إذا كان ذلك على $K$؛ ونخلص من [المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎ **مبرهنة 3.18 (صيغة جوردان، مستنبطةً من جديد).** لنفترض أن $\chi_u$ ينشطر على $K$ (مثلًا $K = \C$). بتطبيق تفكيك [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure) على $V$ (كما في برهان [المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure)) بدل [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith): $$ V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr), $$ وفي الأساس $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ لكل عامل، يفعل $u$ بوصفه كتلة جوردان $J_k(\lambda)$: أي إن لكل تشاكل ذاتي ينشطر كثيرُ حدوده المميّز أساسَ جوردان، وتكون المجموعة المتعدّدة للكتل $(\lambda, k)$ وحيدة. **برهان.** [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure) [للمقاس](#def-b3-modules-module) [الالتوائي](#def-b3-modules-torsion) $V$ هي العناصر $(X - \lambda)^k$ حيث يمسح $X - \lambda$ العواملَ غير القابلة للاختزال للمقدار $\mu_u$ (وهو ينشطر، لأن $\chi_u$ ينشطر ولأن لهما العوامل نفسها غير القابلة للاختزال، [المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). وفي $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$، نضع $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ من أجل $j = 1, \dots, k$: عندئذٍ $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (مع $f_0 = 0$)، أي $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$: ومنه فإن مصفوفة $u$ على $(f_1, \dots, f_k)$ هي بالضبط $J_k(\lambda)$ (بآحاد فوق القطر). ووحدانية المجموعة المتعدّدة للقواسم الأوّلية هي [المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎ **ملاحظة 3.19.** صار تدرّج الصيغ الناظمية شفافًا الآن: فالصيغة *الناطقة* موجودة على كل حقل وتكشف التشابه كشفًا مطلقًا ([النتيجة 3.17](#cor-b3-modules-descent))؛ والصيغة *الجوردانية* تنقيحٌ لها حين ينشطر $\chi_u$. وقد انطوت براهين مبرهنة جوردان القائمة على إحصاء الأبعاد في السنة الجامعية 2 تحت هذا الإطار: فكل تلك التوافيق لم تكن سوى حسابٍ في [حلقة المثاليات الرئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$. ## 3.5 تمارين **تمرين 3.1 ★.** (a) برهن على أن $\Q$ ليس [مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر](#def-b3-modules-free) بوصفه مقاسًا على $\Z$. (b) برهن على أن $\Q$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) لكنه ليس [حرًّا](#def-b3-modules-free). (c) ولماذا لا تناقض أيٌّ من العبارتين [المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure)؟ **حل التمرين 3.1.** (a) إذا كان $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$، فليكن $d$ مقامًا مشتركًا للأعداد $q_i$: عندئذٍ تقع كل تركيبة في $\frac1d\Z$، لكن $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. وهو تناقض. (b) عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion): إذ يفرض $nq = 0$ مع $n \neq 0$ أن $q = 0$ في $\Q$. وليس [حرًّا](#def-b3-modules-free): إذ يحقق أي عددين ناطقين غير معدومين $\frac ab, \frac cd$ العلاقةَ غير التافهة $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$، ومنه فإن أي أساس يضم عنصرًا واحدًا على الأكثر؛ ولو كان $\Q \cong \Z$ لصار $\Q = \Z q$ دائريًا، لكن $\frac q2 \notin \Z q$. (و $\Q \neq 0$.) (c) تفترض [المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure) *التوليد المنتهي*، وهو ما ينفيه (a): فلا تناقض — بل إن $\Q$ يبيّن أن الفرضية لازمة في العبارة «عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ حر». **تمرين 3.2 ★.** اسرد الزمر الأبيلية ذات الرتبة $360$ إلى حدود التماثل، بصيغتَي [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure) [والعوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) معًا. وكم زمرة أبيلية رتبتها $p^5$؟ **حل التمرين 3.2.** لدينا $360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. والتجزئات: للعدد $3$: $(3), (2,1), (1,1,1)$؛ وللعدد $2$: $(2), (1,1)$؛ وللعدد $1$: $(1)$. ومنه $3 \times 2 \times 1 = 6$ زمرة. ومن [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith): | $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ | | --- | --- | | $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ | (وللانتقال إلى [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith): يجمع العامل الأكبر $d_s$ أعلى قوة لكل عدد أولي، وهكذا نزولًا.) وأما ذات الرتبة $p^5$: فعددها عدد تجزئات $5$، أي $7$. **تمرين 3.3 ★.** احسب صيغة سميث الناظمية على $\Z$ للمصفوفتين $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}, $$ وعيّن الزمرتين الأبيليتين $\Z^2/B\Z^2$ و $\Z^3/C\Z^3$. **حل التمرين 3.3.** المصفوفة $B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$؛ $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$. [والعوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$ و $d_2 = 8/2 = 4$: فصيغة سميث $\operatorname{diag}(2, 4)$، و $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$. المصفوفة $C$: قطرية لكنها *ليست* صيغة سميث (لأن $2 \nmid 3$). لدينا $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$؛ $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$؛ $D_3 = 72$. ومنه $d = (1, 6, 12)$ و $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — وهذا متسق مع مبرهنة الباقي الصيني: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$. **تمرين 3.4 ★★.** لتكن $L \subseteq \Z^n$ زمرة جزئية رتبتها $n$ أساسُها أعمدة المصفوفة $B \in M_n(\Z)$ مع $\det B \neq 0$. برهن على أن $\Z^n/L$ منتهية وعدد عناصرها $\abs{\det B}$، وأن $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ حيث $d_i$ هي [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) للمصفوفة $B$. وأعطِ مثالًا توضيحيًا بالمصفوفة $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$. **حل التمرين 3.4.** نكتب $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ حيث $Q, P \in GL_n(\Z)$ ([المبرهنة 3.8](#thm-b3-modules-smith)؛ ولا يوجد $d_i$ معدوم لأن $\det B \neq 0$). عندئذٍ $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (إذ يرسل التماثل المركّب $x \mapsto Q^{-1}x$ للزمرة $\Z^n$ المجموعةَ $B\Z^n$ على $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). وعدد عناصره $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$، لأن $\det Q, \det P = \pm 1$. ومن أجل $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$، $D_1 = 1$، $D_2 = 6$: ومنه $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$، وعدد عناصره $\abs{\det B} = 6$. **تمرين 3.5 ★★.** لتكن $A$ حلقة تامة. (a) تحقق من أن $T(M)$ [مقاس](#def-b3-modules-module) جزئي وأن $M/T(M)$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion). (b) برهن على أن [المثالي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ في $K[X,Y]$، بوصفه مقاسًا على $K[X,Y]$، عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) لكنه ليس [حرًّا](#def-b3-modules-free): فمبرهنة البنية تحتاج فعلًا إلى فرضية المثاليات الرئيسية. **حل التمرين 3.5.** (a) [مقاس](#def-b3-modules-module) جزئي: وقد تم ذلك في [التعريف 3.11](#def-b3-modules-torsion). وإذا كان $a(x + T(M)) = 0$ في $M/T(M)$ مع $a \neq 0$، فإن $ax \in T(M)$: أي $bax = 0$ من أجل $b \neq 0$ ما، ويكون $ba \neq 0$ (لأن الحلقة تامة)، ومنه $x \in T(M)$: أي إن الصنف معدوم. إذن $M/T(M)$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion). (b) [المقاس](#def-b3-modules-module) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) (لأنه [مقاس](#def-b3-modules-module) جزئي من الحلقة التامة $K[X,Y]$ الفاعلة على نفسها). ولو كان [حرًّا](#def-b3-modules-free): فإن أي عنصرين $P, Q$ يحققان $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$، وهي علاقة غير تافهة حين يكون $P \ne Q$ غير معدومين، ومنه فإن أي أساس يضم عنصرًا واحدًا: أي $(X, Y) = (P)$ رئيسي — وهذا يناقض [التمرين 2.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#exo-b3-rings-6)(a). فهو إذن عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion) ومولَّد بعدد منتهٍ (لأن $X, Y$ يولّدانه)، ومع ذلك ليس [حرًّا](#def-b3-modules-free): فعلى الحلقة $K[X,Y]$ التي ليست [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd)، تخفق مبرهنة البنية. **تمرين 3.6 ★★.** (a) برهن على أنه ليس [للمقاس](#def-b3-modules-module) $2\Z$ متمّم مباشر في [المقاس](#def-b3-modules-module) $\Z$ على $\Z$: فالمقاسات الجزئية من [مقاس حر](#def-b3-modules-free) حرةٌ ([المبرهنة 3.5](#thm-b3-modules-submodule))، لكنها ليست بالضرورة حدودًا مباشرة. (b) برهن على أنه إذا حقّق $M \subseteq A^n$ (حيث $A$ [حلقة مثاليات رئيسية](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#def-b3-rings-pidufd)) الشرطَ: $A^n/M$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion)، فإن $M$ *يكون* حدًّا مباشرًا. **حل التمرين 3.6.** (a) إذا كان $\Z = 2\Z \oplus C$، فإن الإسقاط $\Z \to \Z/2\Z$ يُقصَر إلى تماثل $C \cong \Z/2\Z$: أي إن $C$ ستكون زمرة جزئية من $\Z$ يحقق عنصرها غير المعدوم $x$ العلاقةَ $2x \in C \cap 2\Z = 0$. لكن $\Z$ عديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion): إذن $C = 0$، وهذا يفرض $\Z = 2\Z$ — وهو خطأ. (b) [المقاس](#def-b3-modules-module) $A^n/M$ مولَّد بعدد منتهٍ وعديم [الالتواء](#def-b3-modules-torsion)، ومنه فهو حر ([المبرهنة 3.12](#thm-b3-modules-structure)): أي $A^n/M \cong A^r$ بأساس $f_1, \dots, f_r$. نختار سوابق $y_i \in A^n$ للعناصر $f_i$ ونضع $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. ولكل $x \in A^n$ لدينا $\pi(x) = \sum a_if_i$، ومنه $x - \sum a_iy_i \in M$: أي $A^n = M + F$. وإذا كان $\sum a_iy_i \in M$، فإن تطبيق $\pi$ يعطي $\sum a_if_i = 0$، ومنه فإن جميع المعاملات $a_i = 0$ (لأن العائلة أساس): أي $M \cap F = 0$. إذن $A^n = M \oplus F$. **تمرين 3.7 ★★.** حل في $\Z^2$ الجملة $$ \begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases} $$ وعيّن الأزواج $(b_1, b_2)$ التي توجد لها حلول، باستعمال صيغة سميث في [التمرين 3.3](#exo-b3-modules-3) (بتغييرات متغيرات قابلة للقلب في الطرفين). **حل التمرين 3.7.** كان اختزال [التمرين 3.3](#exo-b3-modules-3) فعّالًا: إذ $$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} $$ (بالعملية على الأسطر $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$، والعمليتين على الأعمدة $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ ثم $C_2 \leftarrow -C_2$). وبوضع $y = R^{-1}x$ (وهو تقابل للمجموعة $(\Z/20\Z)^2$، لأن $R$ قابلة للقلب على $\Z$)، تكافئ الجملة $Bx \equiv b \pmod{20}$ الجملةَ $$ 2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}. $$ وتكون المطابقة $ky \equiv c \pmod{20}$ [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) إذا وفقط إذا كان $\gcd(k, 20) \mid c$: فالحلول موجودة إذا وفقط إذا كان $2 \mid b_1$ و $4 \mid b_2 - 3b_1$، أي *$b_1$ زوجي و $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$*. وحين تكون [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) يكون عدد الحلول $2 \times 4 = 8$ بترديد $20$. **تمرين 3.8 ★★.** (a) عيّن جميع [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) وصيغ جوردان الممكنة لمصفوفة معدومة القوة من القياس $4 \times 4$، مرتّبةً حسب تجزئة العدد $4$ التي تحقّقها. (b) أعطِ مصفوفتين عقديتين من القياس $4\times4$ لهما كثيرا الحدود المميّز *و* الأدنى نفساهما وليستا متشابهتين، وبرهن على أن ذلك لا يمكن أن يحدث من أجل $n \leq 3$. **حل التمرين 3.8.** (a) التشاكل $u$ المعدوم القوة يحقق $\mu_u = X^k$؛ وتكون قواسمه الأوّلية $X^{k_1} \geq \dots$، أي كتلة جوردان $J_{k_i}(0)$ واحدة لكل جزء من تجزئة العدد $4$: | التجزئة | صيغة جوردان | [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) | | --- | --- | --- | | $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ | | $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ | | $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ | | $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ | | $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ | (b) نأخذ $u = J_2\oplus J_2$ و $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$: فلكلتيهما $\chi = X^4$ و $\mu = X^2$، لكن عواملهما الصامدة مختلفة — ومنه فهما غير متشابهتين ([المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius))؛ ويمكن أيضًا مقارنة الرتبتين: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$. أما من أجل $n \leq 3$: فإن $\chi$ و $\mu$ يحدّدان، من أجل كل قيمة ذاتية $\lambda$ (على حقل انشطار)، القياسَ الكلي $m_\lambda \leq 3$ لكتل $\lambda$ وأكبرَ كتلة $r_\lambda$؛ وتتحدّد تجزئة العدد $m \leq 3$ بأكبر أجزائها (فحالة $m = 3$ و $r = 2$ تفرض $(2,1)$، وهكذا). ومنه تتطابق [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure)، وتُنزِل [النتيجة 3.17](#cor-b3-modules-descent) التشابهَ إلى الحقل الأساسي. **تمرين 3.9 ★★★.** ليكن $u \in \mathcal L(V)$ مع $\dim V = n$. برهن على تكافؤ ما يلي: (أ) يكون $V$ مقاسًا دائريًا على $K[X]$ (أي يوجد $x$ يحقق $V = K[u]x$، ويُسمّى *متجهة دائرية*)؛ (ب) $\mu_u = \chi_u$؛ (ج) $s = 1$ في [المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). واستنتج أن لكل [مصفوفة مرافقة](#def-b3-modules-companion) متجهةً دائرية، وعيّن متى يكون لمصفوفة قطرية متجهةٌ دائرية. **حل التمرين 3.9.** (أ)$\Rightarrow$(ب): إذا كان $V = K[u]x$، فإن $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ و $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (لأن كثير حدود يُبيد $x$ إذا وفقط إذا أباد $V = K[u]x$ كلها، بما أن $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). ومنه $n = \dim V = \deg \mu_u$؛ وبما أن $\mu_u \mid \chi_u$ و $\deg\chi_u = n$، تعطي الواحدية $\mu_u = \chi_u$. (ب)$\Rightarrow$(ج): لدينا $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ و $\mu_u = P_s$ ([المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius))؛ ويفرض تساوي الدرجتين أن $s = 1$. (ج)$\Rightarrow$(أ): إن $V \cong K[X]/(P_1)$ دائري، ويولّده سابق $\bar 1$. [والمصفوفة المرافقة](#def-b3-modules-companion) هي حالة $V = K[X]/(P)$ نفسها: فالعنصر $x = \bar 1$، أي $e_1$، دائري. ومن أجل مصفوفة قطرية $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$: لدينا $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ و $\mu = \prod_{\lambda \text{ متمايزة}} (X - \lambda)$؛ وهما متساويان إذا وفقط إذا كانت العناصر $\lambda_i$ متمايزة مثنى مثنى: أي إن لمصفوفة قطرية متجهةً دائرية إذا وفقط إذا كانت عناصر قطرها متمايزة مثنى مثنى (وعندئذٍ تصلح $x = (1, \dots, 1)$: بمصفوفة فاندرموند). **تمرين 3.10 ★★★.** من أجل $M \in M_n(\Z)$ منظورًا إليها بوصفها تشاكلًا ذاتيًا [للمقاس](#def-b3-modules-module) $\Z^n$، برهن على صيغة الدليل: إذا كان $\det M \ne 0$ فإن $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$، واستنتج أن $M \in GL_n(\Z)$ إذا وفقط إذا كان $\det M = \pm 1$. تطبيق: للزمرة $\Z^2$ عدد $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ من الزمر الجزئية ذات الدليل $m$ بالضبط. *(أحصِ المصفوفات في صيغة هيرميت $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ مع $ad = m$ و $0 \leq b < d$.)* **حل التمرين 3.10.** سميث: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$؛ وتعطي [التمرين 3.4](#exo-b3-modules-4) أن $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$. وإذا كان $\det M = \pm 1$: فإن صيغة [المصفوفة المرافقة](#def-b3-modules-companion) $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ ذات عناصر صحيحة، ومنه $M \in GL_n(\Z)$؛ وبالعكس، يعطي $MM^{-1} = I$ أن $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ في $\Z$، ومنه $\det M = \pm1$. الزمر الجزئية ذات الدليل $m$ في $\Z^2$: لمثل هذه الزمرة $L$ رتبةٌ تساوي $2$ (لأن دليلها منتهٍ) وأساسٌ وحيد في *صيغة هيرميت الناظمية* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$: إذ يتميّز $d$ بالخاصية $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$، ويتميّز $a$ بالعلاقة $\pi_1(L) = a\Z$ (الإحداثيات الأولى)، ثم يكون $b$ وحيدًا بترديد $d$؛ وننظّم $a, d > 0$ و $0 \leq b < d$. والدليل هو $ad = m$. وأما الإحصاء: فمن أجل كل قاسم $d \mid m$ (حيث $a = m/d$) توجد $d$ اختيارات للعنصر $b$: فالمجموع $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$. **تمرين 3.11 ★★.** (المعادلات $x^k = e$ في الزمر الأبيلية) لتكن $G$ زمرة أبيلية منتهية عواملها الصامدة $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$. (a) برهن على أنه من أجل كل $k \geq 1$، $$ \#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) . $$ (b) استنتج: تكون زمرة أبيلية منتهية دائرية إذا وفقط إذا كان للمعادلة $x^k = e$ عدد حلول لا يتجاوز $k$ من أجل كل $k$. (c) استعد دائرية الزمر الجزئية المنتهية من $K^\times$ (حيث $K$ حقل، [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois)): ولماذا يضمن كثير الحدود $X^k - 1$ محكَّ (b)؟ **حل التمرين 3.11.** (a) بمبرهنة البنية، $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$، وتنفصل المعادلة $x^k = e$ إحداثيًا. وفي $\Z/d\Z$: للمعادلة $kx \equiv 0 \pmod d$ عدد حلول قدره $\gcd(k, d)$ بالضبط (إذ يجب أن يكون $x$ مضاعفًا للعدد $d/\gcd(k,d)$، وعدد هذه المضاعفات $\gcd(k, d)$). ثم نضرب على العوامل. (b) إذا كانت $G = \Z/d_s\Z$ دائرية ($s = 1$)، فالعدد $\gcd(k, d_s) \leq k$. وإذا كان $s \geq 2$: نأخذ $k = d_1$؛ فيكون العدد $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (لأن كل $\gcd$ يساوي $d_1$ بسلسلة القابلية للقسمة): أي إن للمعادلة $x^{d_1} = e$ أكثر من $d_1$ حل. (c) في حقل، لكثير الحدود $X^k - 1$ عدد جذور لا يتجاوز $k$ ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/2-rings-and-arithmetic#ch-b3-rings): فكثير حدود غير معدوم من الدرجة $k$ على حلقة تامة)، ومنه فإن كل زمرة جزئية منتهية $G \leq K^\times$ تحقق محك (b): أي إن $G$ دائرية — وهو البرهان البنيوي من سطر واحد على دائرية $\mathbb F_q^\times$، مكمّلًا برهان الإحصاء في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#ch-b3-galois). **تمرين 3.12 ★★★.** (المصفوفات الأوّلية تولّد) (a) برهن على أن $M \in M_n(\Z)$ قابلة للقلب في $M_n(\Z)$ إذا وفقط إذا كان $\det M = \pm1$. (b) برهن على أن $SL_2(\Z)$ مولَّدة بالمصفوفتين الأوّليتين $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ و $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(شغّل خوارزمية إقليدس على العمود الأول للمصفوفة $M \in SL_2(\Z)$ بالضرب من اليسار في قوى $E, F$، وصولًا إلى $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$؛ ثم أنهِ يدويًا — ولاحظ $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) اشرح الصلة باختزال سميث: فعلى $\Z$، تكفي العمليات على الأسطر والأعمدة ذات المحدد $1$ للتقطير، إلى حدود الإشارات. **حل التمرين 3.12.** (a) إذا كان $MN = I$ حيث $N$ صحيحة: فإن $\det M\det N = 1$ وكلاهما صحيح، ومنه $\det M = \pm1$. وبالعكس، إذا كان $\det M = \pm1$، فإن صيغة المرافقات $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ ذات عناصر صحيحة. (b) الضرب من اليسار في $E^{-k}$ يطرح $k$ مرة السطرَ $2$ من السطر $1$؛ والضرب في $F^{-k}$ يطرح $k$ مرة السطرَ $1$ من السطر $2$. وإذا أُعطيت $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$، فإن العمود الأول $(a, c)$ متجهة أحادية النمط ($\gcd(a, c) = 1$: لأنه يقسم $\det M = 1$). نشغّل خوارزمية إقليدس على $(a, c)$ بهذه العمليات على الأسطر: فبعد عدد منتهٍ من الخطوات يصير العمود $(\pm1, 0)$. وتصير المصفوفة عندئذٍ $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (لأن المحدد بقي $1$). ويبقى أن نكتب $-I$ بدلالة المولِّدات: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (تحقق من مربّع مصفوفة الدوران). وبفكّ الخطوات، تكون $M$ كلمةً في $E^{\pm1}, F^{\pm1}$. (c) تستعمل خوارزمية سميث ([الطريقة 3.9](#met-b3-modules-smith)) عمليات على الأسطر والأعمدة من هذا النوع بالضبط (مع التبديلات وتغييرات الإشارة، وهي نفسها جداءات لعمليات أوّلية إلى حدود إشارة المحدد): فعلى $\Z$، تُكتب كل مصفوفة على الصورة $U\,D\,V$ حيث $U, V$ جداءات مصفوفات أوّلية و $D$ صيغة سميث — والسؤال (b) هو الحالة $2\times2$ ذات المحدد $1$ من الحقيقة العامة القائلة إن مصفوفات النمط $E$ تولّد $SL_n(\Z)$. ## 3.6 مسألة: المُبادِل والمُبادِل المضاعف **مسألة 3.1.** مسألة نهاية الأسبوع — الصيغة الناطقة، والمُبادِل، والمُبادِل المضاعف ليكن $K$ حقلًا، وليكن $V$ فضاءً متجهيًا على $K$ بُعده $n \geq 1$، وليكن $u \in \mathcal L(V)$. ندرس *المُبادِل* $$ \mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\}, $$ وهو جبر جزئي من $\mathcal L(V)$ يحتوي على $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$، ونبرهن على صيغة فروبينيوس للبُعد وعلى مبرهنة المُبادِل المضاعف: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. وفي كل ما يلي، $V$ هو [المقاس](#def-b3-modules-module) على $K[X]$ المعرَّف بالتشاكل $u$، وعوامله الصامدة $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ وتفكيكه الدائري $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$، $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$، $n_i = \deg P_i$ ([المبرهنة 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). **الجزء الأول — مصفوفة التقديم $XI - M$، وتمارين تمهيدية.** 1. لتكن $M \in M_n(K)$ وليرسل $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ العنصرَ $(Q_1, \dots, Q_n)$ إلى $\sum_i Q_i(M)e_i$ . برهن على أن $\varphi$ تشاكل شامل لمقاسات على $K[X]$ وأن كل عمود من $XI_n - M$ يقع في $\ker\varphi$ . 2. برهن على أن كل عنصر من $K[X]^n$ موافقٌ، بترديد أعمدة $XI_n - M$ ، لمتجهة ثابتة *(اختزل الدرجات باستعمال $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* ، واستنتج $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : أي إن [للمقاس](#def-b3-modules-module) $V_M$ مصفوفةَ التقديم $XI_n - M$ . واستعد نقطة انطلاق [النتيجة 3.17](#cor-b3-modules-descent) : أي إن [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) للمصفوفة $M$ هي [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) غير القابلة للقلب للمصفوفة $XI_n - M$ . 3. احسب [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) لكلٍّ من: مصفوفة سلَّمية $\lambda I_n$ ؛ ومصفوفة قطرية عناصر قطرها متمايزة؛ وكتلة جوردان $J_n(0)$ من القياس $n \times n$ ؛ والمصفوفة $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ من أجل $n = 3$ . 4. برهن على أن $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ . **الجزء الثاني — التشاكلات بين المقاسات الدائرية.** 5. ليكن $P, Q$ واحديين غير ثابتين. برهن على أن كل تشاكل $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ على $K[X]$ يتحدّد بالقيمة $f(\bar 1)$ ، وأن $\bar c \in K[X]/(Q)$ يصلح أن يكون $f(\bar 1)$ إذا وفقط إذا كان $P\bar c = 0$ في $K[X]/(Q)$ . 6. استنتج $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ وبُعده $\deg \gcd(P, Q)$ على $K$. *(برهن على أن الحلول $\bar c$ للمعادلة $P\bar c = 0$ في $K[X]/(Q)$ تشكّل [المقاس](#def-b3-modules-module) الجزئي الدائري المولَّد بالعنصر $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$.)* 7. برهن على *صيغة فروبينيوس*: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(التشاكل $v$ المتبادل مع $u$ هو بالضبط تشاكل ذاتي [للمقاس](#def-b3-modules-module) $V$ على $K[X]$؛ فكّك $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ إلى مصفوفات تشاكلات $V_j \to V_i$ واستعمل سلسلة القابلية للقسمة.)* 8. استنتج $\dim \mathcal C(u) \geq n$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا ( $s = 1$ )، واحسب $\dim\mathcal C(u)$ من أجل $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : وهما طرفا الصيغة. 9. تحقق من صيغة فروبينيوس مباشرةً من أجل $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ بحساب المُبادِل صراحةً على صورة مصفوفات من القياس $3\times3$ . **الجزء الثالث — مبرهنة المُبادِل المضاعف.** ليكن $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$؛ نبرهن على أن $w \in K[u]$. 10. برهن على $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ ، وعلى أن كل $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ يتبادل مع $u$ — ومنه فإن الاحتواء المطلوب برهانه، $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ ، تدقيقٌ حقيقي للاحتواء $w \in \mathcal C(u)$ . 11. لنفترض أولًا أن $u$ *دائري* ، أي $V = K[u]x$ . برهن مباشرةً على أن $\mathcal C(u) = K[u]$ *(قيّم تشاكلًا متبادلًا $v$ عند $x$: فيكون $v(x) = P(u)x$ من أجل $P$ ما، ثم قارن $v$ بالتشاكل $P(u)$ على الأساس $u^k x$)* ، واخلص إلى المبرهنة في هذه الحالة. 12. لنعد إلى الحالة العامة. من أجل كل $i$ ، ليكن $\pi_i\colon V \to V_i$ الإسقاطَ على امتداد الحدود الأخرى. برهن على $\pi_i \in \mathcal C(u)$ ، واستنتج أن $w$ يحفظ كل $V_i$ ويتبادل مع $u_i = u\restriction_{V_i}$ ؛ ثم اخلص بواسطة السؤال 11 مطبَّقًا على $u_i$ الدائري: أي توجد كثيرات حدود $Q_i$ تحقق $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ . 13. يبقى أن نلصق كثيرات الحدود $Q_i$ في كثير حدود واحد. من أجل $i \leq j$ (ومنه $P_i \mid P_j$ )، برهن على أن $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ ، $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ ، تشاكلٌ معرَّف تعريفًا سليمًا على $K[X]$ *(وما يجب التحقق منه هو أن $R(u)x_j = 0$ يستلزم $R(u)x_i = 0$)* ، وأن $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ ، ممدَّدًا بالقيمة $0$ على الحدود الأخرى، يقع في $\mathcal C(u)$ . 14. باستعمال $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$، برهن على $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ من أجل $i \leq j$. واستنتج أن $Q = Q_s$ يحقق $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ من أجل كل $i$، ومنه $w = Q(u)$ على كل $V_i$، ومنه على $V$: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$ 15. (خاتمة) استنتج من المبرهنة: إذا كان $v$ يتبادل مع *كل* مصفوفة تتبادل مع $u$ ، وكان $u$ دائريًا، فإن $v$ كثير حدود في $u$ ؛ وأعطِ مثالًا يبيّن أن $\mathcal C(u) = K[u]$ يخفق من أجل $u = \mathrm{id}$ حيث $n \geq 2$ — وأين تدخل الدائرية بالضبط؟ **الجزء الرابع — عوائد [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius).** الصيغة الناظمية الناطقة آلة؛ وهذه خمسة من مخرجاتها الكلاسيكية. 16. (المنقولة) برهن على أن كل $M \in M_n(K)$ تشابه منقولتها ${}^tM$ . *(فالعمليات التي تحوّل $XI - M$ إلى صيغة سميث، منقولةً، تحوّل $XI - {}^tM$ إلى صيغة سميث نفسها: أي صوامد تشابه متساوية.)* 17. (نزول التشابه) ليكن $K \subseteq L$ امتداد حقول وليكن $M, N \in M_n(K)$ . برهن على أنه إذا كانت $M$ و $N$ متشابهتين على $L$ ، فهما متشابهتان على $K$ . *(فصيغة سميث للمصفوفة $XI - M$ المحسوبة في $K[X]$ تبقى صيغة سميث في $L[X]$ — ولماذا لا تتغير [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith)؟)* ونتيجة جديرة بالحفظ: كل مصفوفتين حقيقيتين مقترنتين في $GL_n(\C)$ مقترنتان في $GL_n(\R)$ . 18. (تصنيف معدومات القوة) ليكن $u$ معدوم القوة. برهن على أن عدد الكتل ذات القياس $\geq k$ في تفكيكه إلى كتل جوردان معدومة القوة يساوي $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ ، واستنتج: أن أصناف معدومات القوة في $M_n(K)$ ، من أجل أي حقل $K$ ، في تقابل مع تجزئات العدد $n$ . وكم صنفًا من معدومات القوة في $M_5(K)$ ؟ 19. (زوج ملموس) عيّن [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) للاشتقاق $D\colon P \mapsto P'$ الفاعل على فضاء كثيرات الحدود ذات الدرجة $< n$ المرموز إليه بالرمز $K_{n-1}[X]$ : (a) من أجل $K = \Q$ ؛ (b) من أجل $K = \mathbb F_p$ حيث $p < n$ *(ففي المميّز $p$ لدينا $(X^p)' = 0$: احسب $\ker D^k$ واستعمل السؤال 18)* . 20. ( [أصناف الاقتران](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) في $GL_2(\mathbb F_q)$ ) باستعمال [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) ، برهن على أن كل صنف من $GL_2(\mathbb F_q)$ من نمط واحد بالضبط من الأنماط الأربعة: مركزي $aI$ ؛ أو قابل للتقطير بقيمتين ذاتيتين متمايزتين $a \neq b$ في $\mathbb F_q^\times$ ؛ أو غير نصف بسيط وكثيرُ حدوده الأدنى $(X - a)^2$ ؛ أو دائري وكثيرُ حدوده المميّز غير قابل للاختزال. 21. أحصِ أصناف كل نمط واخلص إلى: أن للزمرة $GL_2(\mathbb F_q)$ عدد $q^2 - 1$ من [أصناف الاقتران](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) بالضبط. *(أحصِ كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_q$؛ والأزواج غير المرتّبة $\{a, b\}$؛ وتذكّر أن القابلية للقلب تقيّد الحدود الثابتة.)* 22. (الدائرية هي الحالة العامة) برهن على أن $M \in M_2(\mathbb F_q)$ تخفق في أن تكون دائرية إذا وفقط إذا كانت $M$ سلَّمية، واستنتج أن مصفوفة عشوائية منتظمة من القياس $2\times2$ على $\mathbb F_q$ تكون دائرية باحتمال $1 - q^{-3}$ . واذكر الحدس المماثل من أجل $M_n$ ومن أجل $q$ كبير (دون برهان): فالمصفوفات غير الدائرية نادرة — ولهذا لم يحتج الجزء الثالث من [المسألة 3.1](#pb-b3-modules-1) إلى عمل حقيقي إلا بعد تجاوز الحالة العامة. **الجزء الخامس — تكملات.** 23. (مركز المُبادِل) برهن على أن مركز الجبر $\mathcal C(u)$ هو بالضبط $K[u]$ *(اجمع بين احتوائَي الجزء الثالث)* . واستنتج أن $\mathcal C(u)$ تبديلي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا — فتستعيد حالة التساوي في السؤال 8 بطريق بنيوي محض. 24. (أي الأبعاد تتحقق؟) استنتج من صيغة فروبينيوس أن $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ من أجل كل $u$ . ثم عيّن بدقة مجموعة القيم التي يأخذها $\dim \mathcal C(u)$ حين يمسح $u$ الفضاءَ $\mathcal L(V)$ مع $\dim V = 4$ : برهن على أنها $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ *(اسرد متتاليات الدرجات $n_1 \leq \dots \leq n_s$ التي مجموعها $4$ وحقّق كلًّا منها بمصفوفة معدومة القوة)* . وعلى وجه الخصوص لا يتحقق العددان $12$ و $14$ رغم أن زوجيتهما صحيحة: فقيد الزوجية لازم وغير كافٍ. 25. ([معادلة الأصناف](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq) في $GL_2(\mathbb F_3)$) من أجل $q = 3$، احسب عدد عناصر كل [صنف اقتران](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#ex-b3-groups-actions) من أصناف السؤال 20 بمبرهنة المدار والمثبِّت: فمُرَكِّز مصفوفة $M$ *دائرية* في $GL_2(\mathbb F_q)$ هو زمرة العناصر القابلة للقلب من $K[M]$ (السؤال 11). عيّن $K[M]$ في الأنماط الثلاثة غير المركزية، واسرد كثيرات الحدود الواحدية الثلاثة غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_3$، وتحقق من [معادلة الأصناف](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ بعدد $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ من الأصناف، كما تنبّأ السؤال 21. **حل المسألة 3.1.** **1.** التطبيق $\varphi$ جمعي وخطي على $K[X]$: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$، لأن بنية [المقاس](#def-b3-modules-module) $V_M$ هي $X \cdot v = Mv$. وهو شامل: لأن المتجهات الثابتة تعطي $K^n$ كلها. والعمود $j$ من $XI - M$ هو $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$، وصورته $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$. **2.** بترديد الأعمدة، $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: فكل متجهة من كثيرات الحدود تختزل، بالتراجع على أعلى درجة، إلى متجهة *ثابتة* $c \in K^n$. وإذا كانت المتجهة الأصلية في $\ker\varphi$، فإن $\varphi(c) = c = 0$ (لأن $\varphi$ على الثوابت هو التطابق $K^n = V_M$)، ومنه تقع المتجهة في الفضاء المولَّد بالأعمدة: أي $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$. ومنه $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$، وتعطي صيغة سميث على $K[X]$ (وجميع عواملها الصامدة غير معدومة لأن جداءها $\det(XI - M) = \chi_M$) أن $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$: فكثيرات الحدود $f_i$ غير الثابتة هي [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius)، ويمكن حسابها بوصفها خوارج قواسم مشتركة كبرى للمحدّدات الجزئية ([المبرهنة 3.8](#thm-b3-modules-smith)). **3.** من أجل $\lambda I_n$: تكون $XI - \lambda I$ في صيغة سميث أصلًا: فالصوامد $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$، وعددها $n$. ومن أجل مصفوفة قطرية عناصر قطرها متمايزة: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ بموديلات متكاملة مثنى مثنى، ومنه تضغط مبرهنة الباقي الصيني ذلك إلى [المقاس](#def-b3-modules-module) الدائري الوحيد $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$: أي صامد واحد هو $\chi$. ومن أجل $J_n(0)$: يفرض $\mu = X^n = \chi$ صامدًا وحيدًا هو $X^n$. ومن أجل $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: [القواسم الأوّلية](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$: فالصوامد $P_1 = X \mid P_2 = X^2$. **4.** يرسل $P \mapsto P(u)$ الحلقةَ $K[X]$ على $K[u]$، ونواته $(\mu_u)$ بحكم تعريف كثير الحدود الأدنى: ومنه $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$، وبُعده $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$. **5.** تفرض الخطية على $K[X]$ أن $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$. ويحقق الصنف $\bar 1$ العلاقة $P \bar 1 = 0$، ومنه فإن $P f(\bar 1) = 0$ شرط لازم. وبالعكس، إذا كان $P\bar c = 0$، فإن $f(\bar Q) = Q\bar c$ معرَّف تعريفًا سليمًا (لأن $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ مضاعفات $P\bar c = 0$) وخطي على $K[X]$. **6.** ليكن $g = \gcd(P, Q)$ و $P = gP'$ و $Q = gQ'$ حيث $\gcd(P', Q') = 1$. في $K[X]/(Q)$: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (إقليدس، $\gcd(P', Q') = 1$). ومنه فإن العناصر المقبولة $\bar c$ تشكّل [المقاس](#def-b3-modules-module) الجزئي المولَّد بالعنصر $\bar{Q'}$، ومُبيده $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$: أي إن ذلك [المقاس](#def-b3-modules-module) الجزئي $\cong K[X]/(g)$. ومع السؤال 5، $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ وبُعده $\deg\gcd(P,Q)$. **7.** يتبادل $v$ مع $u$ إذا وفقط إذا تبادل مع كل $P(u)$، أي إذا وفقط إذا كان $v$ خطيًا على $K[X]$: أي $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$. وبكتابة تشاكلات $V = \bigoplus_j V_j$ على صورة مصفوفات $(f_{ij})$، أي $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (بالتركيب مع الانغمارات والإسقاطات)، يعطي السؤال 6 $$ \dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k , $$ باستعمال سلسلة القابلية للقسمة ($\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$) وباستعمال، في الخطوة الأخيرة، أن $\min(i,j) = k$ يتحقق من أجل $2(s - k) + 1$ زوجًا $(i, j)$ بالضبط. **8.** بما أن $2(s-k)+1 \geq 1$، فإن $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $s = 1$، أي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا ([التمرين 3.9](#exo-b3-modules-9)). ومن أجل $u = \lambda\,\mathrm{id}$: يكون $s = n$ وجميع $n_k = 1$: $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — وهذا صحيح، لأن $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$. **9.** بالصيغة: الصوامد $(X, X^2)$، ومنه $s = 2$ و $n_1 = 1$ و $n_2 = 2$: أي $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. ومباشرةً: في الأساس $(e_1, e_2, e_3)$ حيث $u e_2 = e_1$ و $ue_1 = ue_3 = 0$، يعطي كتابة $Au = uA$ من أجل $A = (a_{ij})$ الشروطَ $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ و $a_{11} = a_{22}$: أي خمسة وسائط حرة $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$. **10.** كل كثير حدود $P(u)$ يتبادل مع كل ما يتبادل مع $u$ (لأنه مجموع قوى للتشاكل $u$): ومنه $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. و $u \in \mathcal C(u)$، ومنه فإن أي $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ يتبادل مع $u$. **11.** ليكن $V = K[u]x$ وليكن $v \in \mathcal C(u)$. نكتب $v(x) = P(u)x$ (بالدائرية). ومن أجل $y = Q(u)x$ كيفي: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. إذن $v = P(u)$: أي $\mathcal C(u) = K[u]$. ومنه $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (لأن التبادل مع $K[u]$ كلها هو نفسه التبادل مع $u$). فالمبرهنة صحيحة في الحالة الدائرية. **12.** التطبيق $\pi_i$ خطي على $K[X]$ (لأن التفكيك مجموع مباشر لمقاسات جزئية)، ومنه $\pi_i \in \mathcal C(u)$، ويتبادل $w$ معه: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$. والقصر $w_i = w\restriction_{V_i}$ يتبادل مع $u_i = u\restriction_{V_i}$ الدائري (السؤال 10)، و $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (السؤال 11): أي $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ من أجل $Q_i \in K[X]$ ما. **13.** سلامة تعريف $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$: إذا كان $R(u)x_j = 0$ فإن $P_j \mid R$، ويعطي $P_i \mid P_j$ أن $P_i \mid R$، ومنه $R(u)x_i = 0$ ($\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$). وعندئذٍ يكون $\eta_{ij}$ خطيًا على $K[X]$ بحكم البناء، ويكون $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ تركيبًا لتشاكلات $V \to V$ على $K[X]$: أي $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$. **14.** نقيّم $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ عند $x_j$: فالطرف الأيسر هو $w(x_i) = Q_i(u)x_i$؛ والطرف الأيمن هو $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. ومنه $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$: أي $P_i \mid Q_i - Q_j$ من أجل كل $i \leq j$. وعلى وجه الخصوص، مع $Q = Q_s$: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$، ومنه يتوافق $Q(u)$ و $Q_i(u)$ على $V_i$ (الذي يبيده $P_i(u)$). ومن ثَمّ $w = Q(u)$ على كل $V_i$، ومنه على $V$: أي $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$، ومع السؤال 10، $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. **15.** العبارة الأولى هي الأسئلة من 10 إلى 14 (أو، من أجل $u$ دائري، السؤال 11 وحده). ومن أجل $u = \mathrm{id}$، $n \geq 2$: يكون بُعد $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ مساويًا $n^2$، بينما $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. ومنه فإن $\mathcal C(u) = K[u]$ يخفق إخفاقًا شديدًا؛ ومع ذلك تصح مبرهنة المُبادِل المضاعف ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: فمركز جبر المصفوفات هو المصفوفات السلَّمية). فالدائرية هي ما يجعل المُبادِل *المفرد* كثيرَ حدود أصلًا؛ أما المُبادِل *المضاعف* فهو كثير حدود دائمًا. **16.** إذا كان $P(XI - M)Q = S$ اختزالًا لسميث ($P, Q$ قابلتان للقلب على $K[X]$)، فإن النقل يعطي ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: أي صيغة سميث نفسها، ومنه فإن للمصفوفتين $XI - M$ و $XI - {}^tM$ العواملَ الصامدة نفسها، أي إن للمصفوفتين $M$ و ${}^tM$ صوامدَ التشابه نفسها ([النتيجة 3.17](#cor-b3-modules-descent)): إذن هما متشابهتان. **17.** [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) للمصفوفة $M$ على $L$ هي [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) للمصفوفة $XI - M$ في $L[X]$. وأي اختزال لسميث للمصفوفة $XI - M$ على $K[X]$ — بمصفوفتين $P, Q$ قابلتين للقلب على $K[X]$، وقطري مع سلسلة القابلية للقسمة — هو *أيضًا* اختزال سليم لسميث على $L[X]$ (لأن $P, Q$ تبقيان قابلتين للقلب: فمحدداهما ثابتان غير معدومين)، [والعوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) الواحدية وحيدة: ومنه تتطابق [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) المحسوبة على $K$ وعلى $L$. إذن $M \sim_L N$ إذا وفقط إذا كان لهما [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) نفسها إذا وفقط إذا كان $M \sim_K N$. وعلى وجه الخصوص، تكون المصفوفتان الحقيقيتان المقترنتان على $\C$ مقترنتين على $\R$ — وهي عبارة كثيرًا ما تُبرهَن تحليليًا (بتخصيص مصفوفة قابلة للقلب $P + \iu Q$)، وهي هنا بنيوية. **18.** نفكّك $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ إلى كتل جوردان معدومة القوة. وفي كتلة واحدة قياسها $m$، لدينا $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$، ومنه $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ إذا كان $m \geq k$، و $0$ فيما عدا ذلك. وبالجمع على الكتل: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$. ومن ثَمّ تحدّد متتالية الرتب المجموعةَ المتعدّدة $(m_t)$ — وهي تجزئة للعدد $n$ — وبالعكس تتحقق كل تجزئة: فأصناف معدومات القوة $\leftrightarrow$ تجزئات $n$، على كل حقل. ومن أجل $M_5$: عدد الأصناف $p(5) = 7$ ($5$؛ $4{+}1$؛ $3{+}2$؛ $3{+}1{+}1$؛ $2{+}2{+}1$؛ $2{+}1{+}1{+}1$؛ $1^5$). **19.** (a) على $\Q$ (أو على أي حقل مميّزه $0$)، لدينا $D^n = 0$ و $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$: أي إن $D$ معدوم القوة من الدليل $n$ على فضاء بُعده $n$، ومنه فهو دائري بصامد وحيد $X^n$ (إذ يولّد $x = X^{n-1}$: لأن مشتقاته المتكررة تولّد الفضاء). (b) على $\mathbb F_p$ مع $p < n$: لدينا $D^p = 0$، لأن المشتقة النونية من الرتبة $p$ لكل حد أحادي $X^m$ تحمل العامل $m(m-1)\cdots(m-p+1)$، وهو جداء $p$ عددًا صحيحًا متتاليًا، ومنه $\equiv 0 \bmod p$. نكتب $n = ap + r$ حيث $0 \leq r < p$. عندئذٍ يتولّد $\ker D^k$ بالحدود الأحادية $X^m$ التي تحقق $D^kX^m = 0$؛ وبإحصاء الأُسس $m < n$ حسب بواقيها بترديد $p$: $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ من أجل $0 \leq k \leq p$، ومنه $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$. وحسب السؤال 18، تضم التجزئة $a$ كتلة قياسها $p$ بالضبط و (إذا كان $r > 0$) كتلةً واحدة قياسها $r$: أي إن [صوامد التشابه](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. فالمميّز يغيّر الصيغة الناظمية لأشهر مؤثر في الرياضيات. **20.** للمصفوفة $M \in GL_2$ عدد صوامد $s \in \{1, 2\}$. فإذا كان $s = 2$: $P_1 = P_2 = X - a$ (مع $a \neq 0$ للقابلية للقلب)، أي $M = aI$ مركزية. وإذا كان $s = 1$: تكون $M$ دائرية وكثيرُ حدودها المميّز $=$ الأدنى $\chi$ من الدرجة $2$، وتوافق الأصنافُ كثيراتِ الحدود $\chi$ الممكنة مع $\chi(0) \neq 0$: أي $\chi$ منشطر بجذرين متمايزين $a \neq b$ ([والمصفوفة المرافقة](#def-b3-modules-companion) $\sim$ قطرية)؛ أو $\chi = (X - a)^2$ (المرافقة، غير نصف بسيطة)؛ أو $\chi$ غير قابل للاختزال. ونمط واحد بالضبط لكلٍّ — لأن [العوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith) صامدٌ تام. **21.** المركزية: $q - 1$ اختيارًا للعنصر $a$. والقيم الذاتية المنشطرة المتمايزة: أزواج غير مرتّبة $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ مع $a \neq b$: أي $\binom{q-1}2$ صنفًا. والأدنى $(X-a)^2$: أي $q - 1$ صنفًا. وكثيرات الحدود من الدرجة الثانية غير القابلة للاختزال ذات الحد الثابت غير المعدوم: جميعها صالحة (لأن جذورها غير معدومة)، وعددها $\frac{q^2 - q}2$ من كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية (أي $q^2$ من كثيرات الحدود الواحدية من الدرجة الثانية ناقص $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ المنشطرة منها). المجموع: $$ (q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 . $$ **22.** إذا لم تكن $M$ دائرية، فإن $s = 2$ وتكون $M$ سلَّمية (فانقسام السؤال 20 الثنائي صحيح في $M_2$، سواء أكانت قابلة للقلب أم لا: إذ يفرض وجود صامدين من الدرجة $1$ مع $P_1 \mid P_2$ و $P_1 = P_2$ أن $M = aI$). وعدد المصفوفات السلَّمية $q$ من بين $q^4$ مصفوفة: فاحتمال الدائرية $1 - q^{-3}$. وفي العموم، يكون موضع عدم الدائرية في $M_n$ حيث تشترك المحدّدات الجزئية $(n-1)\times(n-1)$ للمصفوفة $XI - M$ في عامل — وهو شرط جبري فعلي — ومنه فنسبته صغيرة من الرتبة $O(1/q)$ من أجل $q$ كبير: فالمصفوفات التي تحقق $\chi = \mu$ هي القاعدة، وحجّة اللصق في الجزء الثالث هي الثمن المدفوع للاستثناءات. **23.** كل عنصر من مركز $\mathcal C(u)$ يقع في $\mathcal C(u)$ ويتبادل مع كل عنصر من $\mathcal C(u)$، أي إنه يقع في $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (السؤال 14). وبالعكس $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$، ويتبادل كل $P(u)$ مع كل $v \in \mathcal C(u)$ (لأن مثل هذا $v$ يتبادل مع $u$، ومنه مع كل قوة للتشاكل $u$): أي إن $K[u]$ مركزي في $\mathcal C(u)$. ومنه $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$. ومن ثَمّ يكون $\mathcal C(u)$ تبديليًا إذا وفقط إذا كان $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$؛ وفي تلك الحالة $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$، بينما يعطي السؤال 8 أن $\dim\mathcal C(u) \geq n$: ومنه $n_s = n$ و $s = 1$، أي إن $u$ دائري. وبالعكس، من أجل $u$ دائري يعطي السؤال 11 أن $\mathcal C(u) = K[u]$، وهو تبديلي. وبنيويًا: فجبر مصفوفات يساوي مركزه هو بالضبط جبر كثيرات الحدود $K[u]$ لتشاكل دائري $u$. **24.** كل معامل $2s - 2i + 1$ في صيغة فروبينيوس فرديٌّ، ومنه $$ \dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 . $$ ومن أجل $n = 4$، تكون متتاليات الدرجات الممكنة $n_1 \leq \dots \leq n_s$ [للعوامل الصامدة](#thm-b3-modules-smith)، التي مجموعها $4$، هي $(4)$ و $(1, 3)$ و $(2, 2)$ و $(1, 1, 2)$ و $(1, 1, 1, 1)$؛ وكلها متحققة، مثلًا بالتشاكل معدوم القوة الذي $P_i = X^{n_i}$ (فسلسلة القابلية للقسمة تصح تلقائيًا). وتعطي الصيغة على الترتيب $$ 1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 . $$ ومنه فمجموعة القيم هي $\{4, 6, 8, 10, 16\}$: أي أعداد زوجية بالزوجية الصحيحة، لكن $12$ و $14$ لا يتحققان أبدًا — فبين المتتاليات شبه الدائرية وبين $n^2$ الخاص بالسلَّمية توجد فجوة. **25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$. النمط المركزي: $I$ و $2I$، أي صنفان عدد عناصر كلٍّ منهما $1$. وفي الأنماط الثلاثة الأخرى تكون $M$ دائرية (السؤال 20)، ومنه فإن مُرَكِّزها في $GL_2$ هو زمرة العناصر القابلة للقلب من $\mathcal C(M) = K[M]$ (السؤال 11)، ويكون عدد عناصر الصنف $=48/\abs{K[M]^\times}$ بمبرهنة المدار والمثبِّت. والقيم الذاتية المنشطرة المتمايزة: لا يوجد سوى الزوج $\{1, 2\}$، أي صنف واحد؛ $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (بمبرهنة الباقي الصيني على $\chi = (X-1) (X-2)$)، والعناصر القابلة للقلب $2 \cdot 2 = 4$، فالعدد $48/4 = 12$. والأدنى $(X - a)^2$ حيث $a \in \{1, 2\}$: أي صنفان؛ $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$، والعناصر القابلة للقلب $q^2 - q = 6$ (لأن الحد الثابت للعنصر القابل للقلب $\neq 0$ بعد التمركز)، فالعدد $48/6 = 8$. وكثير الحدود $\chi$ غير القابل للاختزال: عدد كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_3$ هو $(9 - 3)/2 = 3$، وهي $$ X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2, $$ (بلا جذور في $\mathbb F_3$: تحقق من $0, 1, 2$)؛ أي ثلاثة أصناف، $K[M] \cong \mathbb F_9$، والعناصر القابلة للقلب $q^2 - 1 = 8$، فالعدد $48/8 = 6$. [ومعادلة الأصناف](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#cor-b3-groups-classeq): $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$؛ وعدد الأصناف $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$، وهو مطابق للسؤال 21.