---
title: "الفضاءات التامة: بير، أسكولي، ستون–فايرشتراس"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3"
subject: math
language: ar
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass
---

# الفصل 7 — الفضاءات التامة: بير، أسكولي، ستون–فايرشتراس

التمام — أي تقارب كل متتالية كوشي — هو الخاصية التي تتيح للتحليل أن *يُنتج* موضوعات: النقط الصامدة للتقلّصات، ومجاميع المتسلسلات، وحلول المعادلات المحصَّل عليها بوصفها نهايات. ويجمع هذا الفصل آلات الوجود الثلاث الكبرى في النظرية المترية. إذ إن *مبرهنة بير* تُظهر أن فضاءً [تامًّا](#def-b3-complete-complete) لا يمكن أن يكون اتحادًا قابلًا للعدّ لقطع مهملة، وتستحضر موضوعات (دوال متصلة غير قابلة للاشتقاق في أي نقطة!) من محض استدلال يشبه استدلالات عدد العناصر. و*أرزيلا–أسكولي* تعيّن الأجزاء المتراصة من $\mathcal C(K)$ وهي حصان التراص في التحليل — وتستعملها مسألة نهاية الأسبوع لإثبات مبرهنة بيانو للوجود في المعادلات التفاضلية. و*ستون–فايرشتراس* تُظهر أن كثيرات الحدود، وأشياء أخرى كثيرة، كثيفةٌ في $\mathcal C(K)$: فيصير التقريب تحقّقًا جبريًا. وفي الطريق نبني الإتمامات ونبرهن على مبرهنة التمديد للتطبيقات المتصلة بانتظام، وهي الخبز اليومي في الفصول [12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#ch-b3-lp)، [13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert) و[14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/14-the-fourier-transform#ch-b3-fouriertransform).

## 7.1 الفضاءات التامة والإتمامات والتمديدات

**تعريف 7.1.**

يكون فضاء متري *تامًّا* إذا تقاربت كل متتالية كوشي (السنة الجامعية 2: الفضاء $\R^n$ تام؛ والفضاء $\mathcal C(\intcc01)$ مع $\norm\cdot_\infty$ تام). وكل جزء مغلق من فضاء تام تامٌّ؛ وكل جزء تام من أي فضاء متري مغلقٌ.

**برهان.** من أجل العبارتين: تتقارب متتالية كوشي من المغلقة $F$ في $X$، وتقع نهايتها، الملتصقة بالمجموعة $F$، في $F$؛ وتكون متتالية متقاربة في $X$ من جزء تام $A$ متتاليةَ كوشي، فتتقارب في $A$، والنهايات وحيدة. ∎

**مبرهنة 7.2 (تمديد التطبيقات المتصلة بانتظام).**

لتكن $D \subseteq X$ كثيفة، وليكن $Y$ [تامًّا](#def-b3-complete-complete)، وليكن $f \colon D \to
Y$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) بانتظام. عندئذٍ يمتد $f$ *بطريقة وحيدة* إلى [تطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $\bar f \colon X \to Y$، ويكون $\bar f$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) بانتظام.

**برهان.** الوحدانية: يتوافق تمديدان متصلان على $D$ الكثيفة، ومنه في كل مكان (لأن مجموعة التوافق $\{g = h\}$ مغلقة: بوصفها سابق القطر المغلق بالتطبيق $x\mapsto(g(x), h(x))$). الوجود: من أجل $x \in X$ نختار $d_n \to x$ مع $d_n \in D$. وتكون المتتالية $(f(d_n))$ متتالية كوشي: إذ إذا أُعطي $\varepsilon$، أعطى الاتصال المنتظم $\delta$ يحقق $d(u,v) < \delta \Rightarrow
d(f(u), f(v)) < \varepsilon$، والمتتالية $(d_n)$ متتالية كوشي. نضع $\bar f(x) = \lim f(d_n)$؛ ولا تتعلق النهاية بالمتتالية المختارة (بتشبيك متتاليتين). ويمدّد $\bar f$ التطبيقَ $f$ (بالمتتاليات الثابتة) ويرث معامل اتصاله: إذ إذا كان $d(x, x') < \delta$، أعطى تقريب كليهما بنقط من $D$ على مسافة $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ أن $d(\bar f(x), \bar
f(x')) \leq \varepsilon$ بالنهاية — أي إن $\bar f$ متصل بانتظام. ∎

**مبرهنة 7.3 (الإتمام).**

كل فضاء متري $X$ ينغمر تقييسيًا بوصفه جزءًا كثيفًا من [فضاء متري تام](#def-b3-complete-complete) $\hat X$، وحيدٍ إلى حدود تقييس يُثبّت $X$ نقطةً نقطة: وهو *إتمامه*.

**برهان.** *الوجود.* لتكن $\mathcal X$ مجموعة متتاليات كوشي في $X$، مزوَّدةً بشبه المسافة

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

والنهاية موجودة لأن $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ يجعل المتتالية الحقيقية متتالية كوشي. نضع $\hat X = \mathcal X/{\sim}$، بمطابقة المتتاليات التي المسافة $D$ بينها معدومة؛ فينزل $D$ إلى مسافة. ونغمر $X$ بالمتتاليات الثابتة: وهو تقييس، صورته كثيفة (إذ تُقرَّب متتالية كوشي بالمسافة $D$ بالثوابت المبنية على حدودها نفسها: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm
const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ حين $k \to \infty$ بصفة كوشي). وأما تمام $\hat X$: فلتكن $(\xi^k)$ متتالية كوشي في $\hat X$؛ نختار بالكثافة $x_k \in X$ يحقق $D(\xi^k, x_k)
\leq 2^{-k}$؛ عندئذٍ تكون $(x_k)$ متتالية كوشي في $X$ (بمتراجحة المثلث عبر العناصر $\xi$)، فتعرّف نقطة $\xi \in \hat
X$، ويكون $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (لأن المسافة من الثابت $x_k$ إلى صنف $(x_j)_j$ هي $\lim_j d(x_k, x_j)$، وهي صغيرة من أجل $k$ كبير).

*الوحدانية*: يحتوي إتمامان $\hat X_1, \hat X_2$ على $X$ كثيفةً؛ ويكون تطابق $X$، وهو تقييس، [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) بانتظام، ومنه يمتد إلى $\hat X_1 \to \hat X_2$ ([المبرهنة 7.2](#thm-b3-complete-extension))، ويبقى تقييسًا على [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) ومنه في كل مكان؛ وبالتناظر في الاتجاه الآخر، ويُثبّت المركّبان $X$ الكثيفة: أي إنهما التطابقان. ∎

**مبرهنة 7.4 (النقطة الصامدة لباناخ).**

ليكن $X$ [تامًّا](#def-b3-complete-complete) وغير خالٍ وليكن $f \colon X \to X$ *تقلّصًا*: أي $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ مع $k < 1$. عندئذٍ للتطبيق $f$ نقطة صامدة وحيدة $x^*$، ويتقارب كل مدار إليها، بالسرعة الصريحة $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$.

**برهان.** (برهنت السنة الجامعية 2 على ذلك؛ ونعيد تسجيل الحجّة ذات السطرين اكتفاءً ذاتيًا.) يحقق المدار $x_{n+1} = f(x_n)$ العلاقةَ $d(x_{n+1},
x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$، ومنه فهو متتالية كوشي (بمتسلسلة هندسية)؛ ونهايته $x^*$ صامدة (باتصال $f$)، ووحيدة لأن نقطتين صامدتين تحققان $d \leq k\,d$. وأما السرعة: فبجمع الذيل الهندسي. ∎

**مثال 7.5 (اضطراب التطابق).**

ليكن $g \colon \R^d \to \R^d$ ليبشيتزيًا بثابت $k$ مع $k < 1$. عندئذٍ يكون $\varphi = \mathrm{id} + g$ *تماثلًا طوبولوجيًا من $\R^d$ على $\R^d$*. والتباين، مع معامل كمّي:

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

وأما الشمولية فهي مبرهنة النقطة الصامدة: إذ إن حل $\varphi(x) = y$ يعني $x = y - g(x)$، ويكون $x \mapsto y -
g(x)$ تقلّصًا بثابت $k$ للفضاء التام $\R^d$ — ومنه يوجد حل وحيد $x = \psi(y)$ من أجل كل $y$. وتجعل المتراجحة المعروضة المقلوبَ $\psi$ ليبشيتزيًا بثابت $\frac1{1-k}$: أي تماثلًا طوبولوجيًا، بحدود صريحة على المعاملين كليهما. وهذه العبارة التي تبدو بريئة هي المحرّك داخل مبرهنة التطبيق العكسي ([الفصل 20](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/20-rn#ch-b3-submanifolds)): إذ يكون $f$، قرب نقطة يكون فيها $Df$ قابلًا للقلب، *هو* تطبيقًا خطيًا قابلًا للقلب مضافًا إليه اضطراب ليبشيتزي صغير، ويقوم مثال اليوم بالباقي. وهي تُكمّم أيضًا المتانة العددية: فجملة مضطربة بأقل من هامش المقلوب تبقى [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived)، ويتحرّك حلها بمقدار لا يتجاوز $\frac{1}{1-k}$ مضروبًا في الاضطراب.

## 7.2 مبرهنة بير

**مبرهنة 7.6 (بير).**

في [فضاء متري تام](#def-b3-complete-complete)، يكون كل تقاطع قابل للعدّ لمجموعات مفتوحة كثيفة كثيفًا. وبصيغة مكافئة: إذا كان $X = \bigcup_{n}F_n$ مع كل $F_n$ مغلقة، فإن داخل $F_n$ ما غير خالٍ.

**برهان.** لتكن $(U_n)$ مفتوحات كثيفة ولتكن $B_0 = B(x_0, r_0)$ أي كرة مفتوحة؛ سنجد نقطة من $\bigcap U_n$ في $B_0$. وبالتتابع: بما أن $U_{n}$ كثيفة ومفتوحة، فهي تلاقي الكرة المفتوحة $B_{n-1}$ في [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology)، وهذه تحتوي على كرة مغلقة $\bar B(x_n, r_n)$ مع $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ و $\bar B(x_n, r_n) \subseteq
B_{n-1}\cap U_n$. وتشكّل المراكز متتالية كوشي (لأن $x_m \in
B_n$ من أجل $m \geq n$، وأنصاف الأقطار $\to 0$)؛ وتقع النهاية $x$ في كل $\bar B(x_n, r_n)$ (بالانغلاق)، ومنه في كل $U_n$ وفي $B_0$. وأما الصيغة الثانية: فإذا لم يكن لأي $F_n$ داخل، كانت $U_n = X \setminus F_n$ مفتوحة وكثيفة، وأفلتت نقطة من $\bigcap U_n$ من $\bigcup F_n = X$: وهو سخف. ∎

**ملاحظة 7.7.**

مفردات: نقول عن مجموعة إنها *غير كثيفة في أي مكان* إذا كان داخل غلقها خاليًا، وإنها *هزيلة* (من الصنف الأول) إذا كانت اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات غير كثيفة في أي مكان. وتقول مبرهنة بير: *إن [الفضاء المتري التام](#def-b3-complete-complete) ليس هزيلًا في نفسه*، وإن متمم [مجموعة هزيلة](#rem-b3-complete-meagre) كثيفٌ. و«الهزال» مفهوم للصغر متعامد مع القياس (وسينتج [الفصل 9](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory#ch-b3-measure) مجموعات [هزيلة](#rem-b3-complete-meagre) ذات قياس كامل)، وتبرهن حجج بير على *الوجود بالوفرة*: فلإظهار موضوع واحد لا يحقق الخاصية P، بيّن أن الموضوعات المحققة للخاصية P تشكّل [مجموعة هزيلة](#rem-b3-complete-meagre).

**نتيجة 7.8.**

(a) المجموعة $\R$ غير قابلة للعدّ. (b) المجموعة $\Q$ ليست تقاطعًا قابلًا للعدّ لأجزاء مفتوحة من $\R$، وكل [فضاء متري تام](#def-b3-complete-complete) غير خالٍ وبلا نقط معزولة غيرُ قابل للعدّ.

**برهان.** (a) إن $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ على مجموعة قابلة للعدّ سيجعل داخل مجموعة أحادية ما غير خالٍ. (b) إذا كان $\Q = \bigcap_n V_n$ مع $V_n$ مفتوحة (وهي كثيفة بالضرورة، لأنها $\supseteq \Q$)، فإن المجموعات $V_n$ والمتممات $\R\setminus\{q\}$ مع $q \in \Q$ تشكّل عائلة قابلة للعدّ من المفتوحات الكثيفة تقاطعها خالٍ — وهذا يناقض بير. وإذا كان $X$ [تامًّا](#def-b3-complete-complete) بلا نقط معزولة وقابلًا للعدّ، أظهره $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ بوصفه اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات مغلقة داخلها خالٍ (لعدم وجود نقط معزولة): وهي مبرهنة بير مرة أخرى. ∎

**مبرهنة 7.9 (وحوش فايرشتراس موجودة).**

توجد دوال متصلة على $\intcc01$ غير قابلة للاشتقاق في أي نقطة. بل إن مجموعة الدوال $f \in \mathcal C(\intcc01)$ التي لها مشتق (منتهٍ) ولو في نقطة واحدة هزيلةٌ في $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$.

**برهان.** من أجل $n \geq 1$ نضع

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ يحقق } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

إذا كان $f$ قابلًا للاشتقاق عند $x$، فإن $f \in F_n$ من أجل $n$ ما: إذ إن النسبة $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ محدودة من أجل $\abs h
\leq \delta$ (بالقابلية للاشتقاق: فهي تؤول إلى $\abs{f'(x)}$) ومحدودة بالمقدار $2\norm f_\infty/\delta$ من أجل $\abs h \geq \delta$. ومنه فإن $\bigcup F_n$ يحتوي على جميع الدوال القابلة للاشتقاق في نقطة ما، ويكفي أن نبيّن أن كل $F_n$ مغلقة وداخلها خالٍ.

*مغلقة*: ليكن $f_k \to f$ بانتظام مع $f_k \in F_n$ بشواهد $x_k \to x$ (بالتراص، بعد الاستخراج). ومن أجل $h$ يحقق $x + h \in \intcc01$: نختار $h_k \to h$ مع $x_k + h_k
\in \intcc01$ (مثلًا $h_k = h + x - x_k$ مقصوصًا)؛ عندئذٍ $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)}
\leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$، باستعمال التقارب المنتظم واتصال $f$ عند النقط المعنية: ومنه $f \in F_n$.

*داخلها خالٍ*: إذا أُعطي $f \in F_n$ و $\varepsilon > 0$، وجدنا $g$ يحقق $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ و $g
\notin F_n$. نقرّب أولًا $f$ في حدود $\varepsilon/2$ بدالة تآلفية بالقطع $\varphi$ (بالاتصال المنتظم: بالاستيفاء على شبكة دقيقة)، ميولها محدودة بعدد $M$ ما. ثم نضيف منشارًا صغيرًا: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$، حيث $s_N(x)$ الدالة المتعرّجة الدورية بالدور $\frac1N$ وسعتها $1$ وميلها $\pm 2N$. وعند كل $x$، يوجد في أحد الجانبين $h$ صغير كما نشاء يسهم فيه المنشار بميل $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 =
\pm\varepsilon N$ على $[x, x+h]$: ومنه تتجاوز نسبة تزايد $g$ المقدارَ $\varepsilon N - M > n$ من أجل $N$ كبير. إذن $g \notin
F_n$، على أي مسافة منتظمة $\leq \varepsilon$ من $f$. الخلاصة: المجموعة $\bigcup F_n$ [هزيلة](#rem-b3-complete-meagre)؛ ومنه فمتممها بمبرهنة بير — وهو مؤلَّف من الدوال غير القابلة للاشتقاق في أي نقطة — كثيفٌ في $\mathcal C(\intcc01)$: أي إن هذه الدوال موجودة *بوفرة*. ∎

## 7.3 أرزيلا–أسكولي

في كل ما يلي، $K$ فضاء متري *متراص* و $\mathcal
C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$، مع $\norm f_\infty = \sup_K
\norm{f(x)}$: وهو فضاء تام (لأن النهايات المنتظمة للدوال المتصلة متصلة — السنة الجامعية 2).

**تعريف 7.10.**

تكون عائلة $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ *متساوية الاتصال* إذا وُجد، من أجل كل $\varepsilon > 0$، عددٌ $\delta > 0$ بحيث

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{من أجل \emph{كل} } f \in \mathcal F
$$

(أي $\delta$ واحد للعائلة كلها — مثل أي عائلة لها ثابت ليبشيتز مشترك، أو معامل هولدر مشترك)، وتكون *محدودة نقطةً نقطة* إذا كان $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ من أجل كل $x$.

**مبرهنة 7.11 (أرزيلا–أسكولي).**

يكون جزء $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ متراصًّا نسبيًا (أي غلقه متراص) إذا وفقط إذا كان متساوي الاتصال ومحدودًا نقطةً نقطة. وعلى وجه الخصوص، لكل *متتالية* [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) ومحدودة نقطةً نقطة متتاليةٌ جزئية متقاربة بانتظام.

**برهان.** ($\Leftarrow$) لتكن $(f_k)$ متتالية من $\mathcal F$. الفضاء المتري المتراص $K$ *قابل للفصل*: إذ يغطّيه، من أجل كل $n$، عددٌ منتهٍ من الكرات ذات نصف القطر $\frac1n$ ([المبرهنة 6.16](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact))؛ وتشكّل مراكزها مجموعة قابلة للعدّ كثيفة $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. وبالحد نقطةً نقطة وببولتزانو–فايرشتراس، نستخرج بالتتابع متتاليات جزئية تتقارب عند $x_1$، ثم عند $x_2$ أيضًا، وهكذا، ونأخذ المتتالية الجزئية *القطرية* $(g_j)$: فهي تتقارب عند كل نقطة من $D$. ويرفع [تساوي الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) ذلك إلى صفة كوشي المنتظمة: إذ إذا أُعطي $\varepsilon$، أخذنا $\delta$ كما في التعريف، وغطّينا $K$ بعدد منتهٍ من الكرات $B(x_i, \delta)$ مع $x_i \in D$ (حيث $i \leq m$)، واخترنا $J$ كبيرًا بحيث $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ من أجل $j, j' \geq
J$ و $i \leq m$. ومن أجل $x \in B(x_i, \delta)$ كيفي:

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

إذن $(g_j)$ متتالية كوشي بانتظام، وتتقارب في الفضاء التام $\mathcal C(K)$. ومن ثَمّ فإن لكل متتالية من $\mathcal F$ متتاليةً جزئية متقاربة: أي إن $\bar{\mathcal F}$ متراص (بالمتتاليات، ومنه حسب [المبرهنة 6.16](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact)).

($\Rightarrow$) إذا كان $\bar{\mathcal F}$ متراصًّا: فالحد نقطةً نقطة واضح (لأن التقييم متصل). وأما [تساوي الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous)، فنغطّي $\mathcal F$ بعدد منتهٍ من الكرات $B(f_i, \varepsilon)$ من $\mathcal C(K)$؛ وكل $f_i$ متصل بانتظام (هاين، [النتيجة 6.17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel))، فيعطي $\delta$ مشتركًا من أجل $i \leq m$؛ وعندئذٍ من أجل $f \in B(f_i, \varepsilon)$ و $d(x,y)
< \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon +
\norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

**مثال 7.12.**

الكرة الواحدية المغلقة من $\mathcal C(\intcc01)$ *ليست* متراصة (فليس للمتتالية $f_n(x) = x^n$ متتالية جزئية متقاربة بانتظام: لأن النهاية نقطةً نقطة غير متصلة)، وبالفعل فإن $(x^n)$ ليست [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) عند $1$. وفي المقابل، المجموعة $\{f : \norm
f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ متراصة: فهي محدودة [ومتساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) بثابت ليبشيتز $1$، وهي مغلقة. وتفسّر مبرهنة أسكولي *لماذا* يخفق التراص في البُعد اللامنتهي (ريس، السنة الجامعية 2) وما الذي يجب إضافته لاستعادته: معامل اتصال منتظم.

## 7.4 ستون–فايرشتراس

**مبرهنة مساعدة 7.13 (ديني).**

ليكن $K$ متراصًّا ولتكن $(f_n)$ متتالية *رتيبة* من الدوال الحقيقية المتصلة تتقارب *نقطةً نقطة* إلى دالة متصلة $f$. عندئذٍ يكون التقارب منتظمًا.

**برهان.** لنفترض $f_n \uparrow f$؛ ولتكن $g_n = f - f_n \downarrow 0$، وهي متصلة. إذا أُعطي $\varepsilon$، فإن [المجموعات المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $U_n = \{g_n <
\varepsilon\}$ متزايدة وتغطّي $K$ (بالتقارب نقطةً نقطة)؛ نستخرج تغطية جزئية منتهية: $K = U_{n_0}$ من أجل $n_0$ ما (لأن العائلة متزايدة)، أي $0 \leq g_n < \varepsilon$ في كل مكان من أجل $n \geq n_0$. ∎

**مبرهنة مساعدة 7.14.**

توجد متتالية من *كثيرات الحدود* $u_n$ تحقق $u_n(t) \to
\sqrt t$ بانتظام على $\intcc01$.

**برهان.** نضع $u_0 = 0$ و $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$: وهي كثيرات حدود. وبالتراجع $0 \leq u_n(t) \leq
\sqrt t$ على $\intcc01$: فبافتراض ذلك من أجل $n$،

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

لأن $\sqrt t + u_n \leq 2$؛ و $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. إذن $(u_n(t))$ غير متناقصة ومحدودة بالمقدار $\sqrt t$: فهي تتقارب نقطةً نقطة، وتحقق النهاية $\ell(t)$ العلاقةَ $\ell =
\ell + \frac12(t - \ell^2)$: أي $\ell(t) = \sqrt t$، وهي متصلة. وترفع مبرهنة ديني ([المبرهنة المساعدة 7.13](#lem-b3-complete-dini)) ذلك إلى التقارب المنتظم. ∎

**مبرهنة 7.15 (ستون–فايرشتراس، الصيغة الحقيقية).**

ليكن $K$ فضاءً متراصًّا ([هاوسدورفيًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-hausdorff)) وليكن $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ *جبرًا جزئيًا* (صامدًا بالجمع والضرب والضرب السلَّمي) *يحتوي على الثوابت* و*يفصل النقط* (أي إنه من أجل $x \neq y$ يوجد $f \in
\mathcal A$ يحقق $f(x) \neq f(y)$). عندئذٍ يكون $\mathcal A$ كثيفًا في $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$.

**برهان.** ليكن $\bar{\mathcal A}$ الغلقَ، وهو جبر أيضًا (لأن جداءات النهايات المنتظمة على مجموعات محدودة تتقارب).

*الخطوة 1: $\bar{\mathcal A}$ شبكة*، أي صامدة بالعمليتين $\max$ و $\min$. وبما أن $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$ وكذلك $\min$، يكفي أن يكون $f \in
\bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: فبوضع $M = \norm f_\infty > 0$، $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$، تعطي [المبرهنة المساعدة 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) كثيرات حدود $u_n$ تحقق $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ بانتظام؛ وكثيرات الحدود في عناصر الجبر (مع الحد الثابت: لأن الثوابت موجودة) تبقى في $\bar{\mathcal A}$.

*الخطوة 2: الاستيفاء عند نقطتين.* من أجل $x \neq y$ ومن أجل $a,
b \in \R$، يوجد $g \in \mathcal A$ يحقق $g(x) = a$ و $g(y) = b$: نأخذ $h$ يفصل $x, y$ ونضع $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

*الخطوة 3.* ليكن $f \in \mathcal C(K)$ و $\varepsilon > 0$. من أجل كل زوج $x, y$ نختار $g_{x,y} \in \mathcal A$ يحقق $g_{x,y}(x) = f(x)$ و $g_{x,y}(y) = f(y)$ (الخطوة 2؛ ومن أجل $x = y$ نأخذ الدالة الثابتة $g_{x,x} = f(x)$). نثبّت $x$: فمن أجل كل $y$، تحتوي [المجموعة المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ على $y$؛ ويستخرج التراص $y_1, \dots,
y_m$ يحقق $K = \bigcup V_{y_j}$، ويحقق $h_x = \min_j g_{x, y_j}
\in \bar{\mathcal A}$ (الخطوة 1) العلاقةَ $h_x < f +
\varepsilon$ في كل مكان مع $h_x(x) = f(x)$. والآن نغيّر $x$: تكون $W_x =
\{h_x > f - \varepsilon\}$ مفتوحة وتحتوي على $x$؛ نستخرج $x_1,
\dots, x_l$ تغطّي $K$، وتحقق $h = \max_i h_{x_i} \in
\bar{\mathcal A}$ العلاقةَ $f - \varepsilon < h < f +
\varepsilon$: أي $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. ومنه $f \in \bar{\mathcal A}$. ∎

**نتيجة 7.16.**

(a) (*فايرشتراس*) كثيرات الحدود كثيفة في $\mathcal
C(\intcc ab, \R)$؛ وكثيرات الحدود ذات $n$ متغيّرًا كثيفة في $\mathcal C(K, \R)$ من أجل $K \subseteq \R^n$ متراصة. (b) (*الصيغة العقدية*) إذا كان $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ جبرًا جزئيًا يحتوي على الثوابت ويفصل النقط و*صامدًا بالاقتران*، فهو كثيف. (c) (*الصيغة المثلثية*) كثيرات الحدود المثلثية $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ كثيفة في فضاء الدوال المتصلة الدورية بالدور $2\pi$ مزوَّدًا بالمعيار $\norm\cdot_\infty$.

**برهان.** (a) كثيرات الحدود تشكّل جبرًا يحتوي على الثوابت؛ ودوال الإحداثيات تفصل نقط $\R^n$. (b) يشكّل الجزآن الحقيقي والتخيلي $\frac{f + \bar f}2$ و $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ لعناصر $\mathcal A$ جبرًا حقيقيًا $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ يحتوي على الثوابت؛ وهو يفصل النقط (إذ يفرض $f(x) \ne f(y)$ أن يفصل $\operatorname{Re}f$ أو $\operatorname{Im}f$). نطبّق المبرهنة الحقيقية ونعيد التركيب. (c) ننظر إلى الدوال الدورية بالدور $2\pi$ على أنها $\mathcal C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$، وهي متراصة: [التمرين 6.5](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-5))؛ والجبر المولَّد بالعناصر $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ وبالثوابت صامد بالاقتران ويفصل نقط الدائرة (لأن $\eu^{\iu t}$ متباين عليها). نطبّق (b). ∎

**ملاحظة 7.17.**

تُصلح الصيغة المثلثية الثغرةَ التي تركها فصل فورييه في السنة الجامعية 2 وتعمّمها تعميمًا واسعًا: فكثافة كثيرات الحدود المثلثية في $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ تنتج من باب أولى ($\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ إلى حدود ثابت التنظيم)، وهذا ما سيجعل جملة فورييه أساسًا متعامدًا *ممنظّمًا* في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert)، فيبرهن على مبرهنة بارسيفال في عمومها التام أخيرًا.

## 7.5 تمارين

**تمرين 7.1 ★.**

(a) برهن على أن $\mathcal C(\intcc01, \R)$ مزوَّدًا بالمعيار $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ *ليس* [تامًّا](#def-b3-complete-complete): فالدوال $f_n$ المساوية $0$ على $\intcc0{\frac12}$ و $1$ على $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ والتآلفية بينهما متتاليةُ كوشي بالمعيار $\norm\cdot_1$ وليست لها نهاية متصلة. (b) برهن على أن كل فضاء معياري تتقارب فيه كل متسلسلة متقاربة مطلقًا هو فضاء تام. *(استخرج من متتالية كوشي متتاليةً جزئية تحقق $\norm{x_{n_{k+1}} -
x_{n_k}} \leq 2^{-k}$.)*

**حل التمرين 7.1.**

(a) من أجل $m \geq n$، ينعدم $f_n - f_m$ خارج فترة طولها $\frac1n$ ويكون محدودًا بالعدد $1$: ومنه $\norm{f_n - f_m}_1
\leq \frac1n \to 0$: أي إنها متتالية كوشي. وإذا كان $f_n \to f$ بالمعيار $\norm\cdot_1$ مع $f$ متصلة: فمن أجل $\alpha <
\frac12$ مثبَّت، $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f -
f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ (لأن $f_n \equiv 0$ هناك من أجل $n$ كبير)، ومنه $f \equiv 0$ على $[0, \frac12)$ (بالاتصال)؛ وبالمثل $f \equiv 1$ على $(\frac12, 1]$: ولا توجد دالة متصلة تحقق كليهما. إذن الفضاء غير تام — [وإتمامه](#thm-b3-complete-completion) هو $L^1$، المبني في [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#ch-b3-lp).

(b) لتكن $(x_n)$ متتالية كوشي؛ نختار $n_1 < n_2 < \cdots$ يحقق $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$. وتتقارب المتسلسلة $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ تقاربًا مطلقًا، ومنه فهي تتقارب؛ ومجاميعها الجزئية هي $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$، ومنه تتقارب $(x_{n_k})$، وكل متتالية كوشي لها متتالية جزئية متقاربة تتقارب.

**تمرين 7.2 ★.**

باستعمال مبرهنة بير: (a) برهن على أنه ليس لفضاء معياري تام أساس ([جبري](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic)) قابل للعدّ — واستنتج أن فضاء كثيرات الحدود ليس [تامًّا](#def-b3-complete-complete) من أجل *أي* معيار؛ (b) برهن على أنه إذا تقاربت متتالية من الدوال المتصلة $f_n \colon \R \to \R$ نقطةً نقطة إلى $f$، فإن مجموعة نقط اتصال $f$ كثيفة. *(من أجل (b): اقبل أو برهن على أن $\Omega_\delta = \{x :
\operatorname{osc}_x f < \delta\}$ مفتوحة، وبرهن على أنها كثيفة باستعمال $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\
\forall n,m \geq N\}$، وهي مجموعات مغلقة تغطّي $\R$؛ واعمل في كرة مغلقة كيفية لتطبيق بير.)*

**حل التمرين 7.2.**

(a) لنفترض أن $E$ تام وله أساس [جبري](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) $(e_n)_{n\in\N}$ ولنضع $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$: فهي مغلقة (لأن الفضاءات الجزئية المنتهية البُعد تامة، ومنه مغلقة — السنة الجامعية 2)، وداخلها خالٍ: إذ إذا كان $B(x, r) \subseteq F_n$، أخذنا $v \notin F_n$؛ عندئذٍ $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r)
\setminus F_n$، وهو سخف. لكن $E = \bigcup F_n$ (لأن كل متجهة تركيبة منتهية): وهذا يناقض بير ([المبرهنة 7.6](#thm-b3-complete-baire)). وللفضاء $\R[X]$ الأساسُ القابل للعدّ $(X^n)$، ومنه فلا يجعله أي معيار [تامًّا](#def-b3-complete-complete).

(b) لنثبّت $\delta > 0$ وكرة مفتوحة غير خالية $B$؛ سنجد في $B$ نقطة من $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf <
\delta\}$، حيث $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni
x}\operatorname{diam} f(V)$. (والمجموعة $\Omega_\delta$ مفتوحة: إذ إذا كان $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ من أجل مفتوحة $V \ni x$، فإن تذبذب كل $y \in V$ يحقق $< \delta$.) والمجموعات

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

مغلقة (بوصفها تقاطعات لسوابق مجموعات مغلقة) وتغطّي $\R$ (لأن التقارب نقطةً نقطة يجعل $(f_n(x))$ متتالية كوشي). وبتطبيق بير داخل $\bar B$ التامة: يحتوي $F_N \cap
\bar B$ ما على كرة $B' = B(x_0, \rho)$. وبجعل $m \to
\infty$: $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ على $B'$. وباتصال $f_N$ عند $x_0$، نقلّص إلى $B'' \ni x_0$ حيث $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$؛ وعندئذٍ من أجل $x \in B''$،

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$، ومنه $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$. إذن كل $\Omega_\delta$ مفتوحة وكثيفة؛ ومنه فإن $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — وهي مجموعة نقط الاتصال — كثيفة بمبرهنة بير.

**تمرين 7.3 ★★.**

(a) برهن على أن $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ (حيث $a >
1$) تقلّصٌ للمجموعة $[\sqrt a, +\infty)$، وعيّن نقطته الصامدة — وهي طريقة هيرون. وقدّر عدد التكرارات اللازمة لدقة $10^{-12}$ انطلاقًا من $x_0 = a$، من أجل $a = 2$. (b) (معادلة كبلر) من أجل $0 \leq e < 1$ و $m \in \R$، برهن على أن $x = m + e\sin x$ لها حل وحيد يتعلق اتصالًا بالوسيط $m$.

**حل التمرين 7.3.**

(a) يرسل $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ المجموعةَ $[\sqrt a, \infty)$ إلى نفسها (بمتراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$)، ولدينا $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ هناك: أي إنه تقلّص ليبشيتزي بثابت $\frac12$ لمجموعة مغلقة (تامة). والنقطة الصامدة: $x = f(x) \iff x^2 = a$: أي $x^* = \sqrt a$. والسرعة ([المبرهنة 7.4](#thm-b3-complete-banach)): $d(x_n, \sqrt a) \leq
2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$. ومن أجل $a = 2$ و $x_0 = 2$: $d(x_1, x_0) =
\frac12$، ومنه يضمن $n = 40$ أن $2^{-40} < 10^{-12}$. (وفي الواقع تتقارب طريقة نيوتن تقاربًا تربيعيًا: فيكفي عدد ضئيل من التكرارات؛ وتقدير التقلّص متشائم لكنه مجاني.)

(b) التطبيق $f_m(x) = m + e\sin x$ ليبشيتزي بثابت $e$ مع $e < 1$ على $\R$ التام: أي إن له نقطة صامدة وحيدة $x(m)$. ومن أجل وسيطين:

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

ومنه $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$: أي إنه ليبشيتزي في $m$ أيضًا.

**تمرين 7.4 ★★.**

(a) ليكن $X$ [تامًّا](#def-b3-complete-complete) وليكن $f \colon X \to X$ بحيث تكون قوة ما $f^p$ تقلّصًا. برهن على أن للتطبيق $f$ نقطة صامدة وحيدة. تطبيق: يحقق المؤثر التكاملي $T$ على $\mathcal C(\intcc0a)$، $Tf(x) = \int_0^x f$، العلاقةَ $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — واستنتج أن $u = g + \lambda Tu$ [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) من أجل كل $\lambda$. (b) (إيدلشتاين) ليكن $K$ *متراصًّا* وليكن $f\colon K \to K$ يحقق $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ من أجل $x \neq y$. برهن على أن للتطبيق $f$ نقطة صامدة وحيدة، لكن معدل التقلّص يمكن أن يضيع: فعلى $X = [1, +\infty)$ (وهو تام وغير متراص)، ليس للتطبيق $f(x) = x
+ \frac1x$ نقطة صامدة رغم أنه ينقص المسافات نقصًا [تامًّا](#def-b3-complete-complete).

**حل التمرين 7.4.**

(a) ليكن $x^*$ النقطةَ الصامدة الوحيدة للتطبيق $f^p$. عندئذٍ $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$: أي إن $f(x^*)$ نقطة صامدة للتطبيق $f^p$، ومنه $f(x^*) = x^*$. وكل نقطة صامدة للتطبيق $f$ هي نقطة صامدة للتطبيق $f^p$: فتنتقل الوحدانية. ومن أجل $T$: بالتراجع $\abs{T^pf(x)}
\leq \norm f_\infty x^p/p!$ (لأن كل مكاملة تضيف عاملًا $\frac xk$)، ومنه $\norm{T^p} \leq a^p/p!$. ويحقق التطبيق $S(u) = g +
\lambda Tu$ العلاقةَ $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$، ومعياره $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$: ومنه فإن $S^p$ ما تقلّصٌ، وللتطبيق $S$ نقطة صامدة وحيدة: أي إن معادلة فولتيرا $u = g + \lambda Tu$ [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) بطريقة وحيدة من أجل *كل* $\lambda$.

(b) التطبيق $\varphi(x) = d(x, f(x))$ متصل على المتراص $K$: فهو يبلغ قيمته الصغرى عند $x_0$ ما. وإذا كان $f(x_0) \neq x_0$، فإن $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) =
\min\varphi$: وهو سخف. وأما الوحدانية: فنقطتان صامدتان $x \ne y$ ستعطيان $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$. ودون تراص: يحقق $f(x) = x + \frac1x$ على $[1, \infty)$، من أجل $x < y$، العلاقةَ $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) <
y - x$، ومع ذلك $f(x) > x$ دائمًا: فلا نقطة صامدة — أي إن النقصان التام للمسافات أضعف من عامل تقلّص منتظم.

**تمرين 7.5 ★★.**

(a) تطبيقان متصلان إلى فضاء هاوسدورفي يتوافقان على جزء كثيف يتوافقان في كل مكان؛ وأين استُعمل ذلك في الفصل؟ (b) لتكن $D \subseteq X$ كثيفة وليكن $f \colon D \to Y$ تقابلًا تقييسيًا على جزء كثيف من فضاء تام $Y$، مع $X$ تام. برهن على أن $f$ يمتد إلى تقابل تقييسي $X \to Y$. واستنتج وحدانية الإتمامات من جديد.

**حل التمرين 7.5.**

(a) المجموعة $A = \{g = h\}$ هي سابق القطر $\Delta_Y$ [بالتطبيق المتصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto (g(x), h(x))$؛ و $\Delta_Y$ مغلق لأن $Y$ هاوسدورفي (فمن أجل $y_1 \neq y_2$، يعطي جواران مفتوحان منفصلان صندوقًا مفتوحًا حول $(y_1,
y_2)$ منفصلًا عن القطر، ومنه فإن متمم $\Delta_Y$ مفتوح): ومنه فإن $A$ مغلقة وتحتوي على [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior)، فتساوي $X$. واستُعمل ذلك في: الوحدانية في [المبرهنة 7.2](#thm-b3-complete-extension)، ومنه في وحدانية الإتمامات.

(b) التطبيق $f$، وهو تقييس، متصل بانتظام: فيمتد إلى $F\colon X \to Y$ ([المبرهنة 7.2](#thm-b3-complete-extension))، ويبقى تقييسيًا (لأن العلاقة $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ تصح على [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) من الأزواج والطرفان متصلان). وبالمثل يمتد $f^{-1}\colon f(D) \to X$ إلى $G \colon Y \to X$. والمركّب $G \circ F$ متصل ويُثبّت $D$ الكثيفة: ومنه فهو $\mathrm{id}_X$ (الجزء (a))؛ وبالتناظر $F \circ G =
\mathrm{id}_Y$. إذن $F$ تقابل تقييسي. وأما وحدانية الإتمامات: فنطبّق ذلك على $D = X$ الواقعة كثيفةً في إتمامين.

**تمرين 7.6 ★★.**

أي العائلات التالية [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous)، ومحدودة نقطةً نقطة، ومتراصة نسبيًا في $\mathcal C(\intcc01)$؟

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

برّر كل جواب بمبرهنة أسكولي أو بمتتالية مضادّة.

**حل التمرين 7.6.**

العائلة $\{\sin(nx)\}$: محدودة نقطةً نقطة بالعدد $1$؛ و*ليست* [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous): فعند $x = 0$ لدينا $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ مع $\frac\pi{2n} \to 0$، وهذا يخالف أي $\delta$ مشترك من أجل $\varepsilon = \frac12$. وليست متراصة نسبيًا (بلزوم أسكولي، [المبرهنة 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)).

العائلة $\{x^n\}$: محدودة؛ وليست [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) عند $1$: إذ $1 - (1 -
\delta)^n \to 1$ حين $n \to \infty$ من أجل $\delta$ مثبَّت. وليست متراصة نسبيًا — وهو متسق، لأن نهايتها نقطةً نقطة غير متصلة، فلا تتقارب أي متتالية جزئية بانتظام.

العائلة $\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$: تجعل متراجحة القيم المتوسطة العائلةَ ليبشيتزية بثابت $1$، ومنه فهي [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous)؛ وهي محدودة: فهي متراصة نسبيًا بمبرهنة أسكولي. (وليست متراصة: لأنها ليست مغلقة — فالنهايات المنتظمة ليست بالضرورة من الصنف $\mathcal C^1$؛ وغلقها هو الدوال الليبشيتزية بثابت $1$ ذات المعيار $\leq 1$.)

العائلة $\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$: [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous)؛ ومحدودة نقطةً نقطة ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$)؛ ومغلقة بالنهايات المنتظمة (لأن متراجحة ليبشيتز والقيمة عند $0$ تنتقلان إلى النهاية): فهي متراصة.

**تمرين 7.7 ★★★.**

(المؤثرات التكاملية المتراصة) ليكن $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ ولنضع، من أجل $f \in \mathcal C(\intcc01)$، $Tf(x) =
\int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$. (a) برهن على أن $T$ يرسل الكرة الواحدية من $\mathcal C(\intcc01)$ إلى مجموعة [متساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) ومحدودة بانتظام؛ واخلص إلى أن $T$ *مؤثر متراص*: أي إن صور المجموعات المحدودة متراصة نسبيًا. (b) استنتج أنه إذا كانت $(f_n)$ محدودة، فإن للمتتالية $(Tf_n)$ متتالية جزئية متقاربة بانتظام، وأن $T$ لا يمكن أن يكون تقابلًا مقلوبه متصل. *(إذ ستكون صورة الكرة الواحدية جوارًا متراصًّا للنقطة $0$ في $\mathcal C(\intcc01)$: وهو ممنوع بمبرهنة ريس من السنة الجامعية 2.)*

**حل التمرين 7.7.**

(a) من أجل $\norm f_\infty \leq 1$: لدينا $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$، و

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

حيث $\omega_k$ معامل اتصال منتظم للدالة $k$ على المربع المتراص (هاين): ومنه فإن صورة الكرة الواحدية محدودة بانتظام [ومتساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous)، فهي متراصة نسبيًا (بمبرهنة أسكولي). وبالخطية، لكل مجموعة محدودة صورةٌ متراصة نسبيًا: أي إن $T$ مؤثر متراص.

(b) عبارة المتتالية الجزئية هي تعريف التراص النسبي مطبَّقًا على $\{Tf_n\}$. ولو كان $T$ تقابليًا ومقلوبه [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)، لكان $T(B(0,1)) \supseteq B(0,
\varepsilon)$ من أجل $\varepsilon > 0$ ما (لاتصال $T^{-1}$ عند $0$)؛ وعندئذٍ ستكون الكرة المغلقة $\bar B(0,\varepsilon)$، وهي جزء مغلق من المتراص $\overline{T(B(0,1))}$، متراصةً — وهذا مستحيل في الفضاء اللامنتهي البُعد $\mathcal
C(\intcc01)$ بمبرهنة ريس (السنة الجامعية 2).

**تمرين 7.8 ★★.**

برهن أو انقض، من أجل $f_n \colon \intcc01 \to \R$ متصلة: (a) $f_n \downarrow 0$ نقطةً نقطة $\Rightarrow$ بانتظام (ديني — أعد البرهان عليها)؛ (b) الأمر نفسه دون الرتابة؛ (c) الأمر نفسه مع الرتابة لكن مع $f$ غير متصلة؛ (d) الأمر نفسه مع الرتابة ونهاية متصلة، لكن على $\intoo01$.

**حل التمرين 7.8.**

(a) ديني: انظر [المبرهنة المساعدة 7.13](#lem-b3-complete-dini) — حجّة التغطية. (b) خطأ: فالنتوء المتحرّك $f_n(x) = \max(0, 1 -
\abs{nx - 1})$ يؤول إلى $0$ نقطةً نقطة (فمن أجل $x > 0$ لدينا $f_n(x) =
0$ متى كان $n > 2/x$؛ و $f_n(0) = 0$) لكن $\norm{f_n}_\infty = 1$. (c) خطأ: فالمتتالية $f_n(x) = x^n$ تتناقص إلى الدالة غير المتصلة $\mathbf 1_{\{1\}}$؛ و $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)}
x^n = 1$. (d) خطأ: $x^n \downarrow 0$ نقطةً نقطة على $\intoo01$ غير المتراص، مع $\sup_{(0,1)}x^n = 1$. فكل فرضية من فرضيات ديني لازمة.

**تمرين 7.9 ★★.**

(a) (العزوم تحدّد) لتكن $f \in \mathcal C(\intcc01)$ مع $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ من أجل كل $n \in \N$. برهن على $f =
0$. *(قرّب $f$ بانتظام بكثيرات حدود واحسب $\int f^2$.)* (b) برهن على أن كثيرات الحدود الزوجية كثيفة في $\mathcal
C(\intcc01)$ لكنها *ليست* كثيفة في $\mathcal C(\intcc{-1}1)$؛ وأين تخفق فرضية ستون–فايرشتراس؟ (c) هل الجبر المولَّد بالعنصر $x \mapsto \eu^{\iu x}$ وحده (دون $\eu^{-\iu x}$) كثيف في $\mathcal C(S^1, \C)$؟ *(انظر في $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$.)*

**حل التمرين 7.9.**

(a) بالخطية $\int_0^1 fP = 0$ من أجل كل كثير حدود $P$. نختار $P_n \to f$ بانتظام ([النتيجة 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)): فنجد $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$، وتنعدم الدالة المتصلة $f^2 \geq 0$ ذات التكامل المعدوم تطابقيًا.

(b) على $\intcc01$: تشكّل كثيرات الحدود في $x^2$ جبرًا يحتوي على الثوابت ويفصل النقط (لأن $x \mapsto x^2$ متباين على $\intcc01$): ومنه فهي كثيفة بستون–فايرشتراس. وعلى $\intcc{-1}1$: يأخذ $x^2$ قيمتين متساويتين عند $\pm x$، وكذلك كل كثير حدود في $x^2$: ومنه فإن أي نهاية منتظمة لها دالةٌ زوجية. ولو تقاربت دوال زوجية $g_n$ بانتظام إلى التطابق، لكان $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ من أجل كل $x$: وهو سخف — إذن ليست كثيفة. وتخفق فرضية الفصل عند الأزواج $\{x, -x\}$.

(c) لا. فمن أجل $f$ في الجبر $\mathcal A$ المولَّد بالثوابت وبالعنصر $\eu^{\iu t}$ — أي التركيبات الخطية للعناصر $\eu^{\iu nt}$ مع $n \geq 0$ — لدينا $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (لأن كل $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$). والتطبيق $\Lambda$ متصل من أجل $\norm\cdot_\infty$ ($\abs{\Lambda(f)}\leq
2\pi\norm f_\infty$)، ومنه ينعدم $\Lambda$ على $\bar{\mathcal
A}$؛ لكن $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$: أي $\eu^{-\iu t}
\notin \bar{\mathcal A}$. (ولا تنطبق ستون–فايرشتراس: لأن $\mathcal A$ غير صامد بالاقتران — والعائق هو بالضبط ما ستنظّمه نظرية الدوال الهولومورفية في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/16-holomorphic-functions#ch-b3-holomorphic).)

**تمرين 7.10 ★★★.**

(الحد المنتظم، الصيغة المترية) ليكن $X$ فضاءً متريًا [تامًّا](#def-b3-complete-complete) ولتكن $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ عائلة محدودة *نقطةً نقطة*: أي $\sup_{f \in \mathcal
F}\abs{f(x)} < \infty$ من أجل كل $x$. برهن على وجود مفتوحة غير خالية $U \subseteq X$ تكون $\mathcal F$ محدودة عليها *بانتظام*: أي $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$. *(انظر في $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$.)* وهذا هو المحرّك وراء مبرهنة باناخ–شتاينهاوس في [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems#ch-b3-banach).

**حل التمرين 7.10.**

المجموعة $F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ تقاطعٌ لمجموعات مغلقة: ومنه فهي مغلقة. ويعطي الحد نقطةً نقطة أن $X = \bigcup_n F_n$. وتعطي مبرهنة بير ([المبرهنة 7.6](#thm-b3-complete-baire)) عددًا $n_0$ يحقق $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$: وعلى $U$ يكون $\abs f \leq n_0$ من أجل كل $f \in \mathcal F$ آنيًا.

**تمرين 7.11 ★★.**

(الصنف $\mathcal C^1$ يحتاج معياره الخاص) على $E = \mathcal
C^1(\intcc01, \R)$ لننظر في $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm
f_\infty + \norm{f'}_\infty$. (a) برهن على أن $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ تام *(فلمتتالية كوشي بالمعنى $\mathcal C^1$ يكون $f_n \to f$ و $f_n' \to g$ بانتظام؛ ونعيّن $g = f'$ بالانتقال إلى النهاية في $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$)*. (b) برهن على أن $(E, \norm\cdot_\infty)$ *ليس* [تامًّا](#def-b3-complete-complete): أظهر نهاية منتظمة لدوال من الصنف $\mathcal C^1$ ليست قابلة للاشتقاق (مثل تقريبات ملساء للدالة $\abs{x - \tfrac12}$). (c) استنتج من (a) و (b) ومن دائرة أفكار التطبيق المفتوح — أو مباشرةً — أنه لا يوجد ثابت $C$ يحقق $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ على $E$: أظهر متتالية تشهد بذلك. فالاشتقاق غير محدود؛ وهذه هي الهاوية وراء [المبرهنة 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).

**حل التمرين 7.11.**

(a) متتالية كوشي من أجل $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ هي متتالية كوشي بانتظام مع مشتقاتها: أي $f_n \to f$ و $f_n' \to g$ بانتظام، مع $f, g$ متصلتين. وبالانتقال إلى النهاية (والتقارب المنتظم يسمح بذلك تحت التكامل) في $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ نجد $f(x) = f(0) + \int_0^xg$: أي إن $f$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع $f' = g$، و $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$. إذن الفضاء تام.

(b) الدالة $h(x) = \abs{x - \frac12}$ نهايةٌ منتظمة لدوال من الصنف $\mathcal C^1$، مثل $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ ($\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ بحدّ المقدار المرافق)، ومع ذلك $h \notin E$: ومنه فإن معيار $\sup$ على $E$ ليس [تامًّا](#def-b3-complete-complete) — [وإتمامه](#thm-b3-complete-completion) هو $\mathcal C(\intcc01)$.

(c) الدالة $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ تحقق $\norm{f_n}_\infty = 1$ و $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$: فلا يوجد $C$. (ومفاهيميًا: لو كان الاشتقاق محدودًا من أجل معيار السوپريموم نفسه، لكان المعياران في (a) و (b) متكافئين، فيصير $(E, \norm\cdot_\infty)$ [تامًّا](#def-b3-complete-complete) — وهذا يناقض (b). وعدم الحد هذا هو بالضبط سبب إمكان إخفاق الدوال المتصلة العامة في القابلية للاشتقاق في أي نقطة، [المبرهنة 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).)

**تمرين 7.12 ★★★.**

(مبرهنة كروفت المساعدة) لتكن $f\colon\intoo0\infty\to\R$ متصلة ولنفترض أنه من أجل كل $x > 0$ يكون $f(nx) \to 0$ حين $n \to \infty$ عبر الأعداد الصحيحة. برهن على أن $f(t) \to 0$ حين $t \to
+\infty$. *(ثبّت $\varepsilon > 0$؛ فالمجموعات $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ مغلقة وتغطّي $\intoo0\infty$؛ وتعطي مبرهنة بير في فترة ما $\intcc ab$ عددًا $N$ وفترةً جزئيةً $\intcc{a'}{b'}
\subseteq F_N$؛ وعندئذٍ تغطّي المضاعفات $\bigl[na', nb'\bigr]$، $n
\geq N$، جوارًا كاملًا للنقطة $+\infty$ متى كان $n(b' - a') \geq a'$.)* وأين استُعملت فرضية «من أجل كل $x$» (لا من أجل $x$ الناطقة فحسب)؟

**حل التمرين 7.12.**

لنثبّت $\varepsilon > 0$. كل $F_N$ تقاطعٌ على $n
\geq N$ لسوابق المجموعة المغلقة $\intcc{-\varepsilon}
\varepsilon$ [بالتطبيق المتصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto f(nx)$: ومنه فهي مغلقة. وتقول الفرضية إن كل $x > 0$ يقع في $F_N$ ما. وبتطبيق بير داخل $\intcc ab$ التامة (أي $0 < a <
b$)، تكون $F_N$ ما كثيفة في فترة جزئية؛ وبما أنها مغلقة، فهي تحتوي على فترة $\intcc{a'}{b'}$ مع $0 < a' < b'$. وعندئذٍ، من أجل كل $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$، تتراكب الفترتان $\intcc{na'}{nb'}$ و $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ (لأن $nb' \geq (n+1)a'$)، ومنه

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

وكل $t \geq n_0a'$ يُكتب $t = nx$ مع $n \geq N$ و $x \in
\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$: ومنه $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$. وبالتالي $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ من أجل كل $\varepsilon$: أي $f \to 0$. والفرضية الكاملة لازمة لأن $F_N$ يجب أن *تغطّي* فترةً كاملةً من القيم $x$ — فمع القيم الناطقة وحدها يكون اتحاد المجموعات $F_N$ قابلًا للعدّ ولا تعطي مبرهنة بير شيئًا؛ بل توجد أمثلة مضادّة متصلة تنعدم على جميع الأشعة الناطقة دون أن تنعدم في اللانهاية.

## 7.6 مسألة: مبرهنة بيانو للوجود

**مسألة 7.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — وجود حلول المعادلة $x' = f(t, x)$ دون شرط ليبشيتز

تتطلب مبرهنة كوشي–ليبشيتز (السنة الجامعية 2؛ ويُعاد البرهان عليها في [الفصل 19](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/19-ordinary-differential-equations#ch-b3-ode)) أن يكون $f$ ليبشيتزيًا في $x$. أما بيانو (1890) فقد أثبت أن *اتصال $f$ يعطي الوجود أصلًا* — وإن لم يعطِ الوحدانية. وسنبرهن على ذلك بمضلعات أويلر ومبرهنة أسكولي. المعطيات: $f \colon R
\to \R^d$ متصل على المستطيل $R = \intcc{t_0 - a}{t_0
+ a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$، $M =
\sup_R\norm f$، و

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{إذا كان } M = 0 \text{ فالمسألة تافهة}).
$$

**الجزء الأول — مضلعات أويلر.** من أجل $n \geq 1$، نجزّئ $[t_0, t_0 + T]$ بالنقط $t_k = t_0 + kT/n$ (حيث $0 \leq k
\leq n$) ونعرّف $\varphi_n$ تآلفيًا بالقطع: $\varphi_n(t_0) = x_0$، وعلى $[t_k, t_{k+1}]$،

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. برهن بالتراجع على أن $\varphi_n$ معرَّف تعريفًا سليمًا، مع $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ على $[t_0, t_0 + T]$ — ومنه تبقى نقط التقييم في $R$ . *(وهنا يدخل الشرط $T \leq b/M$.)*
2. برهن على أن كل $\varphi_n$ ليبشيتزي بثابت $M$ .
3. استنتج من مبرهنة أرزيلا–أسكولي ( [المبرهنة 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) أن متتالية جزئية $(\varphi_{n_j})$ تتقارب بانتظام على $[t_0, t_0 +  T]$ إلى دالة $\varphi$ ، وهي نفسها ليبشيتزية بثابت $M$ وتحقق $\varphi(t_0) = x_0$ .

**الجزء الثاني — النهاية تحل المعادلة.** نعرّف *القصور* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ عند النقط خارج الشبكة.

4. برهن على أن $f$ متصل بانتظام على $R$ ، واستنتج: أنه من أجل كل $\varepsilon > 0$ يوجد $n_0$ بحيث يكون، من أجل $n \geq n_0$ ومن أجل كل $t$ خارج الشبكة، $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . *(فعلى $(t_k,  t_{k+1})$، $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$، ويقع $(t, \varphi_n(t))$ على مسافة لا تتجاوز $(1 + M)\,T/n$ من $(t_k, \varphi_n(t_k))$.)*
5. أثبت الصيغة التكاملية: من أجل كل $t$، $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ والمقدار المكامَل الأوسط متصل بالقطع.
6. انتقل إلى النهاية على $(n_j)$: برهن على $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *بانتظام* (بالاتصال المنتظم للتطبيق $f$ مرة أخرى)، واخلص إلى $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. استنتج أن $\varphi$ من الصنف $\mathcal C^1$ على $[t_0, t_0 +  T]$ ويحل $x' = f(t, x)$ مع $x(t_0) = x_0$ ؛ ومدّد البناء إلى $[t_0 - T, t_0]$ (بعكس الزمن). *وهذه هي مبرهنة بيانو.*

**الجزء الثالث — الوحدانية تخفق فعلًا.** لننظر في $x' = 2\sqrt{\abs x}$ مع $x(0) = 0$ على $\R$.

8. تحقق من أن $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ متصل لكنه ليس ليبشيتزيًا على أي [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للنقطة $0$ .
9. تحقق من أن $x \equiv 0$، ومن أجل كل $c \geq 0$، $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ كلها حلول مارّة بالنقطة $(0,0)$: أي متصلٌ من الحلول المتمايزة.
10. وأين تنهار حجّة تكرار بيكار (النقطة الصامدة لباناخ) من أجل هذا $f$ ؟

**الجزء الرابع — حدود الطريقة.**

11. برهن على أن مبرهنة بيانو تخفق في البُعد اللامنتهي: نقبل (أو يمكنك أن تأخذه تسليمًا) مثالَ ديودونيه الكلاسيكي في فضاء المتتاليات المتلاشية $c_0$ ؛ وبدلًا من ذلك، برهن على المكوّن المنتهي البُعد الذي يخفق هناك: الكرة الواحدية المغلقة من $c_0$ (بمعيار السوپريموم) ليست متراصة — أظهر متتالية محدودة بلا متتالية جزئية متقاربة، واشرح أي خطوة من الجزء الأول تنهار.
12. لخّص: أي الفرضيات تعطي الوجود؟ وأيها يعطي الوجود والوحدانية؟ اذكر بدقة المبرهنتين (بيانو؛ كوشي–ليبشيتز) جنبًا إلى جنب.

**الجزء الخامس — أوسغود: الوحدانية أبعد من ليبشيتز.** لتكن $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ متصلة وغير متناقصة وتحقق

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(\text{تباعد عند } 0),
$$

ولنفترض أن $f$ يحقق $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ على $R$.

13. تحقق من أن $\omega(r) = Lr$ صالحة (ليبشيتز)، ومن أن $\omega(r) = r\log\frac1r$ (ممدَّدة بالاتصال، من أجل $r$ صغيرة) صالحة رغم أنها *ليست* $O(r)$ ، ومن أن $\omega(r) = 2\sqrt r$ ليست كذلك. واحسب التكامل في كل حالة.
14. ليكن $x_1, x_2$ حلين للمعادلة على $[t_0, t_0 + T]$ مع $x_1(t_0) = x_2(t_0)$، ولتكن $\delta(t) =  \norm{x_1(t) - x_2(t)}$. برهن، انطلاقًا من الصيغ التكاملية وحدها، على أنه من أجل $t_0 \leq s \leq t$: $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (مبرهنة أوسغود) لنفترض $\delta(t_1) > 0$ من أجل $t_1$ ما، ولتكن $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) =  0\}$. من أجل $s \in \intoo\tau{t_1}$، نضع $u(t) = \delta(s)  + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$. برهن على $\delta \leq  u$ و $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$، واستنتج $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ ثم اجعل $s \downarrow \tau$ واستخرج تناقضًا مع تباعد التكامل. واخلص إلى: *أن الحلول المارّة بشرط ابتدائي مشترك تتطابق* — أي الوحدانية تحت شرط أوسغود.
16. استخلص النتائج: فوحدانية كوشي–ليبشيتز هي الحالة $\omega(r) = Lr$ ؛ وللمعادلة $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ (ممدَّدة بالقيمة $0$ عند $0$ ) حلولٌ وحيدة رغم أن طرفها الأيمن ليس ليبشيتزيًا عند $0$ ؛ ومن أجل $x' = 2\sqrt{\abs x}$ يكون تقارب $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ هو بالضبط ما يتيح لحل أن يغادر $0$ في زمن منتهٍ — طابق قيمة التكامل $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ مع سلوك الهروب للحل $x_c$ .

**الجزء السادس — السرعات والمخططات والأقماع.**

17. (مبرهنة غرونوال التكاملية المساعدة) ليكن $e, \eta \geq 0$ متصلين على $[t_0, t_0+T]$ مع $e(t) \leq \int_{t_0}  ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ من أجل كل $t$. برهن على $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *(ضع $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$، ولاحظ $G'  \leq LG + \sup\eta$، واشتق $\eu^{-Lt}G(t)$)*.
18. (أويلر يتقارب بسرعة) لنفترض الآن أن $f$ ليبشيتزي بثابت $L$ في $x$ وبثابت $L'$ في $t$ على $R$. وبالجمع بين حدّ القصور في السؤال 4 (مجعولًا كمّيًا: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$) والسؤال 17، برهن على $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ حيث $\varphi$ هو *الحل* الوحيد: أي إن المتتالية كلها تتقارب مع معطيات ليبشيتزية، بسرعة صريحة — دون حاجة إلى متتاليات جزئية. ولماذا ترفع الوحدانية التقاربَ الجزئي إلى تقارب كامل حتى دون هذا الحساب؟
19. (المخطط يختار) من أجل $x' = 2\sqrt{\abs x}$ ، $x(0) =  0$ : برهن على أن كل مضلع أويلر معدوم تطابقيًا، ومنه يتقارب المخطط إلى الحل $x \equiv 0$ ؛ لكنه، إذا انطلق من $x(0) = \varepsilon > 0$ ، يتقارب (حين $n \to \infty$ ثم $\varepsilon \to 0$ ) إلى $t  \mapsto t^2$ ، وهو حل *مختلف* مارّ بالمبدأ. فتظهر عدم الوحدانية من جديد على صورة حساسية المخطط العددي للاضطرابات.
20. برهن على أن مجموعة $\mathcal S$ المؤلَّفة من *جميع* حلول $x' = f(t,x)$ مع $x(t_0) = x_0$ على $[t_0, t_0+T]$ (بقيم في $\bar B(x_0, b)$ ) غير خالية (الجزء الثاني)، وليبشيتزية بانتظام بثابت $M$ ، ومغلقة في $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ ؛ واخلص بمبرهنة أسكولي إلى أن $\mathcal S$ *متراصة* . (وتضيف مبرهنة كنيزر أن $\mathcal S$ مترابطة؛ ولن نبرهن عليها.)
21. تحقق من ظاهرة كنيزر على المثال: من أجل $x' =  2\sqrt{\abs x}$ مع $x(0) = 0$ على $[0, 1]$ ، برهن على $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ مع $x_\infty \equiv 0$ *(من أجل أي حل، ضع $c =  \sup\{t : x(t) = 0\}$ وكامل $(\sqrt x)' = 1$ على $\{x > 0\}$)* ، وعلى أن $c \mapsto x_c$ متصل من $\intcc0\infty$ ( [بالترصيص بنقطة واحدة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-locallycompact) ، أي بلصق $c = \infty$ بوصفها نهاية) إلى $\mathcal C([0,1])$ ، واخلص إلى أن $\mathcal S$ متراصة ومترابطة فعلًا — أي قمع على شكل قطعة.
22. (المجموعات القابلة للبلوغ) استنتج من السؤال 20 أنه من أجل كل $t$ مثبَّت تكون *المجموعة القابلة للبلوغ* $\mathcal S(t) =  \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ متراصة؛ واحسبها من أجل مثال السؤال 21 وتحقق من أنها مترابطة أيضًا: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — أي إن كل حالة وسيطة يبلغها حل ما.

**الجزء السابع — تكملات: التعلق، والأمثلية، ومخطط محسوب يدويًا.**

23. (التعلق الاتصالي) لنفترض أن $f$ ليبشيتزي بثابت $L$ في $x$ على $R$، وليكن $x, y$ حلين بقيمتين ابتدائيتين $x_0, y_0$ عند $t_0$. بتكييف برهان السؤال 17 مع المتراجحة $e(t) \leq \norm{x_0  - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$، برهن على $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ وتحقق على $x' = Lx$ من أن الحد مبلوغ: أي إن غرونوال دقيقة. واستنتج الوحدانية من جديد ($x_0 =  y_0$)، وأن تطبيق التدفق $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ ليبشيتزي بثابت $\eu^{LT}$، حيثما كان معرَّفًا.
24. (أوسغود أمثلية) وبالعكس، لتكن $\omega$ متصلة وغير متناقصة وموجبة على $\intoo0\infty$ مع $\omega(r) \to 0$ حين $r \to 0^+$ لكن $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ ولنمدّد $f(x) = \omega(\abs x)$ بوضع $f(0) = 0$. برهن على أن $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ تقابل متزايد من $\intoc0{1}$ على $\intoc0{\Omega(1)}$، وأن مقلوبه $g$ يحل $g'  = \omega(g)$ مع $g(0^+) = 0$، وأن $g$، ممدَّدًا بالقيمة $0$ من أجل $t \leq 0$، حلٌّ من الصنف $\mathcal C^1$ للمعادلة $x' = f(x)$ مارٌّ بالنقطة $(0, 0)$ ومختلف عن $x \equiv  0$ *(من أجل $g'(0) = 0$، حُدّ $\frac{g(t)}t$ بالمقدار $\omega(g(t))$)*. واخلص إلى: أن فرضية التباعد في السؤال 15 ليست تسهيلًا بل هي الحد الفاصل الدقيق للوحدانية؛ واستعد الجزء الثالث من $\omega(r) = 2\sqrt r$، $\Omega(x) = \sqrt x$.
25. (أويلر محسوبًا يدويًا) من أجل $x' = x$ مع $x(0) = 1$ على $[0, 1]$: برهن على أن مضلع أويلر يحقق $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. وبرهن على النشر $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ ومنه فالخطأ عند $t = 1$ هو $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$: أي سرعة $O(\frac1n)$ من السؤال 18، بالثابت المضبوط. وتحقق عدديًا من أجل $n = 10$: $1.1^{10} = 2.59374$ مقابل $\eu \approx 2.71828$، أي بخطأ قدره $0.12454$ يُقارن بالمقدار $\frac{\eu}{20}  \approx 0.13591$.

**حل المسألة 7.1.**

**1.** بالتراجع على $k$: إذا كان $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0}
\leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$، فإن النقطة $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ تقع في $R$، ومنه فإن الميل $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ معرَّف ومعياره $\leq M$؛ وعندئذٍ من أجل $t \in
[t_k, t_{k+1}]$ لدينا $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq
MT \leq b$.

**2.** لكل قطعة تآلفية ميلٌ معياره $\leq M$؛ وكل دالة تآلفية بالقطع ميولها محدودة بالعدد $M$ هي ليبشيتزية بثابت $M$ (بالتسلسل عبر نقط الشبكة).

**3.** العائلة $(\varphi_n)$ محدودة نقطةً نقطة (لأن قيمها في $\bar B(x_0, b)$) [ومتساوية الاتصال](#def-b3-complete-equicontinuous) (بثابت ليبشيتز المشترك $M$): ومنه تستخرج مبرهنة أسكولي ([المبرهنة 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) متتاليةً $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ بانتظام على $[t_0, t_0 + T]$. وتنتقل الحدود إلى النهاية: أي إن $\varphi$ ليبشيتزي بثابت $M$، و $\varphi(t_0) = x_0$.

**4.** المستطيل $R$ متراص و $f$ متصل: ومنه فهو متصل بانتظام (هاين، [النتيجة 6.17](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-heineborel))؛ وليكن $\delta(\varepsilon)$ معاملًا. ومن أجل $t \in (t_k,
t_{k+1})$ خارج الشبكة: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$، وتختلف نقطتا تقييم $f$ بمقدار $\abs{t - t_k} \leq T/n$ في الزمن وبمقدار $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ في الفضاء. ومن أجل $n \geq n_0$ مع $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$: $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$.

**5.** على كل $[t_k, t_{k+1}]$، يكون $\varphi_n$ تآلفيًا، ومنه $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}}
\varphi_n'(s)\dd s$، والمشتق هو الميل الثابت؛ وبالجمع على القطع (وقطع الأخيرة عند $t$): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$. وبكتابة $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (بمقادير مكامَلة متصلة بالقطع، بعدد منتهٍ من القفزات) نحصل على المعروض.

**6.** إذا أُعطي $\varepsilon$: فمن أجل $j$ كبير، $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$، ومنه $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq
\varepsilon$ من أجل كل $s$: أي التقارب المنتظم للمقادير المكامَلة، و $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to
\int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ بانتظام في $t$. وكذلك $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}}
\to 0$ (السؤال 4). وبالانتقال إلى النهاية في متطابقة السؤال 5: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,
\varphi(s))\,\dd s$.

**7.** المقدار المكامَل $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ متصل، ومنه فإن الطرف الأيمن من الصنف $\mathcal C^1$ في $t$ ومشتقه $f(t, \varphi(t))$: أي إن $\varphi$ يحل مسألة كوشي على $[t_0, t_0 + T]$. وأما النصف الأيسر، فنضع $g(t, x) =
-f(2t_0 - t, x)$، وهو متصل على المستطيل المنعكس بالحد $M$ نفسه؛ ويعطي حل $\psi$ للمعادلة $y' = g(t,y)$ مع $y(t_0) = x_0$ على $[t_0, t_0 + T]$ الحلَّ $\varphi(t) =
\psi(2t_0 - t)$ للمعادلة الأصلية على $[t_0 - T,
t_0]$؛ ويلتصق النصفان في حل من الصنف $\mathcal C^1$ (لأن المشتقين من جهة واحدة عند $t_0$ يساويان $f(t_0, x_0)$). — *مبرهنة بيانو*: أي إن $f$ المتصل يقبل حلًّا محليًا مارًّا بكل شرط ابتدائي.

**8.** الاتصال واضح. وتخفق صفة ليبشيتز قرب $0$: إذ $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$، و $2\sqrt h \leq L h$ خاطئ من أجل $h < 4/L^2$.

**9.** من أجل $t \leq c$: يحل $x_c \equiv 0$. ومن أجل $t \geq
c$: $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$. وعند $t = c$ يكون المشتقان من جهة واحدة معدومين كلاهما: أي إن $x_c$ من الصنف $\mathcal C^1$ ويحل شاملًا، مع $x_c(0) = 0$ من أجل كل $c \geq 0$ — ومع $x \equiv 0$، نحصل على متصلٍ من الحلول المارّة بالمبدأ.

**10.** يقيم تكرار بيكار العلاقةَ $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_0^t f(x(s))\dd s$ ويحتاج إلى $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}
\leq k\norm{x - y}$ مع $k < 1$ على كرة ملائمة — وهو ما ينتج من حدّ ليبشيتزي على $f$، منقولًا تحت التكامل. وهنا لا يقبل $\sqrt\cdot$ أي حدّ ليبشيتزي قرب $0$، ولا يُصلح ذلك أي اختيار للفترة أو للكرة. وبالفعل لا يمكن لأي برهان على الوحدانية أن ينجح: فالوحدانية *خاطئة* (السؤال 9).

**11.** في $c_0$، تحقق المتجهات الواحدية $e_n = (0, \dots, 0, 1,
0, \dots)$ العلاقةَ $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ من أجل $n \neq
m$: فلا تكون أي متتالية جزئية متتاليةَ كوشي، ومنه فالكرة الواحدية المغلقة ليست متراصة. والخطوة التي تنهار هي الاستخراج (السؤال 3): إذ تتطلب مبرهنة أسكولي من أجل $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ أن تعيش القيم في فضاء تكون فيه المجموعات المحدودة متراصة نسبيًا — وهو صحيح في $\R^d$ (ببولتزانو–فايرشتراس) وخاطئ في $c_0$؛ فلا يعود الاستخراج نقطةً نقطة متاحًا (بل إن مثال ديودونيه ليس له حل محلي البتة).

**12.** *بيانو*: إذا كان $f$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) على [جوار](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) للنقطة $(t_0, x_0)$ في $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ يوجد حل من الصنف $\mathcal C^1$ للمعادلة $x' = f(t,x)$ مع $x(t_0) = x_0$ على $[t_0 - T, t_0 + T]$ ما. *كوشي–ليبشيتز* ([الفصل 19](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/19-ordinary-differential-equations#ch-b3-ode)): إذا كان $f$ علاوة على ذلك ليبشيتزيًا محليًا في المتغيّر $x$، كان الحل *وحيدًا* (فأي حلين يتوافقان على فترتهما المشتركة) — أي الوجود والوحدانية. والزوج $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ يفصل بين المبرهنتين.

**13.** من أجل $\omega(r) = Lr$: $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$: صالحة. ومن أجل $\omega(r) = r\log\frac1r$ (قرب $0$): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr]
\to +\infty$ حين $r \to 0$: صالحة — ومع ذلك $\omega(r)/r =
\log\frac1r \to \infty$: فليست ليبشيتزية. ومن أجل $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1
= 1 < \infty$: تخفق.

**14.** نطرح الصيغتين التكامليتين:

$$
x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v,
x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,
$$

ونأخذ المعايير ونستعمل معامل أوسغود: $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$.

**15.** العدد $\tau$ معرَّف تعريفًا سليمًا ($\delta(t_0) = 0$) مع $\delta(\tau) = 0$ (بالاتصال) و $\delta > 0$ على $\intoc\tau{t_1}$. لنثبّت $s \in \intoo\tau{t_1}$. عندئذٍ يكون $u$ من الصنف $\mathcal C^1$، و $u(s) = \delta(s) > 0$، و $u \geq \delta$ على $[s, t_1]$ (السؤال 14)، و $u' = \omega(\delta) \leq
\omega(u)$ (لأن $\omega$ غير متناقصة و $u > 0$). نقسم ونكامل:

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
= \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s
\leq t_1 - \tau .
$$

ورغم أن $u$ يتعلق بالعدد $s$، فإن الحد $u(t_1) \geq
\delta(t_1)$ صحيح من أجل كل $s$، ومنه فإن الطرف الأيسر لا يقل عن $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$، وهو يؤول إلى $+\infty$ حين $s \downarrow \tau$ (وعندئذٍ $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$، والتكامل يتباعد عند $0$): فيُناقَض الطرفُ الأيمن المحدود. ومنه $\delta \equiv 0$: أي الوحدانية.

**16.** صفة ليبشيتز هي $\omega = Lr$: فتُستعاد الوحدانية. ومن أجل $x' = x\log\frac1{\abs x}$: يحقق الطرف الأيمن معامل أوسغود $\omega(r) = r\log\frac1r$ قرب $0$ (بمتراجحة القيم المتوسطة على $x \mapsto x\log\frac1x$، ومشتقها $\log\frac1x - 1$ غير محدود — فتخفق صفة ليبشيتز وتصح صفة أوسغود): ومنه فالحلول وحيدة؛ ولاحظ أن $x \equiv 0$ أحدها، فلا يمكن لأي حل آخر أن يلامس $0$. ومن أجل $\omega(r) = 2\sqrt r$: $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — أي إن «ميزانية أوسغود» للصعود من $0$ إلى الارتفاع $h^2$ هي بالضبط الزمن $h$، وبالفعل $x_c(c + h) = h^2$: فالحل يقضي زمنًا $h$ فاعلًا بالضبط ما يسمح به التكامل المتقارب. فتباعد التكامل هو استحالة مغادرة $0$ في زمن منتهٍ، وتقاربه هو طريق الهروب.

**17.** الدالة $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (بالفرضية $e \leq G$). وعندئذٍ $\bigl(\eu^{-Lt}(G +
\tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta)
\leq 0$: فيتناقص القوس، ومنه $G(t) + \frac{\sup\eta}L
\leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) =
\eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$، أي $e(t) \leq G(t) \leq
\frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$.

**18.** القصور كمّيًا: على $(t_k, t_{k+1})$، $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ مع $\abs{t - t_k} \leq T/n$ و $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$، ومنه $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n +
LMT/n$. وبطرح المتطابقتين التكامليتين الخاصتين بالدالة $\varphi_n$ (السؤال 5) وبالدالة $\varphi$ واستعمال الحد الليبشيتزي:

$$
\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq
\int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s +
\int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,
$$

ويعطي السؤال 17 مع $\eta = \norm{\Delta_n}$ الحدَّ المذكور $O(1/n)$، لأن $\varphi$ وحيد بكوشي–ليبشيتز (أو بأوسغود). وحتى دون سرعات: لكل متتالية جزئية من $(\varphi_n)$ المحدودة بانتظام والليبشيتزية بانتظام متتاليةٌ جزئية منها تتقارب (بمبرهنة أسكولي والجزء الثاني) إلى *حل* ما، وتفرض الوحدانية أن يكون $\varphi$: ومتتالية تتقارب جميع متتالياتها الجزئية الجزئية إلى النهاية نفسها تتقارب.

**19.** من $\varphi_n(t_k) = 0$: يعطي الميل $2\sqrt0 =
0$ أن $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$؛ وبالتراجع: $\varphi_n
\equiv 0$، وهي تتقارب إلى الحل المعدوم. ومن $\varepsilon > 0$: على $[\varepsilon', \infty)$ مع $\varepsilon' < \varepsilon$ تكون الدالة $2\sqrt x$ ليبشيتزية، ومنه ينطبق السؤال 18 ويتقارب أويلر إلى الحل الوحيد المارّ بالنقطة $(0, \varepsilon)$، وهو $x(t) =
(t + \sqrt\varepsilon)^2$ (تحقق: $x' = 2(t + \sqrt
\varepsilon) = 2\sqrt x$). وحين $\varepsilon \to 0$، يكون $(t +
\sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ بانتظام على $[0,1]$: أي إن النهاية المزدوجة تستقر على $x_0(t) = t^2$، لا على $0$. فاضطراب صغير كما نشاء للمعطى الابتدائي يوجّه المخطط من حل إلى آخر: أي عدم وحدانية مقروءة بوصفها عدم استقرار عددي.

**20.** غير خالية: الجزء الثاني. ويحقق كل حل $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$: أي إن $\mathcal S$ ليبشيتزية بانتظام بثابت $M$ ومحدودة بانتظام (بقيم في $\bar B(x_0, b)$). ومغلقة: إذ إذا كان $x_n \in \mathcal S \to x$ بانتظام، انتقلنا إلى النهاية في $x_n(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ (والمقادير المكامَلة تتقارب بانتظام بالاتصال المنتظم للتطبيق $f$ على المتراص $R$): فنجد $x \in \mathcal S$. وبمبرهنة أسكولي: تكون $\mathcal S$ جزءًا مغلقًا ومحدودًا ومتساوي الاتصال من $\mathcal C([t_0, t_0+T],
\R^d)$: أي إنها متراصة.

**21.** كل حل غير متناقص ($x' = 2\sqrt{\abs
x} \geq 0$) مع $x(0) = 0$، ومنه $x \geq 0$. ولتكن $c =
\sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (وربما $c = \infty$ إذا كان $x \equiv 0$، وعندئذٍ $x = x_\infty$). ومن أجل $t > c$: $x
> 0$ (بالرتابة وبتعريف $c$)، وهناك $(\sqrt
x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$، ومنه $\sqrt{x(t)} = t - c$ (بالاتصال عند $c$): أي $x = x_c$. وأما اتصال $c \mapsto
x_c$: فمن أجل $c, c' \in [0, 1]$ لدينا $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 -
(t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (لأن التطبيق $c \mapsto
(t-c)_+^2$ ليبشيتزي بثابت $2$ بانتظام في $t \in [0,1]$)، وبما أن $x_c \equiv 0$ على $[0,1]$ من أجل كل $c \geq 1$، تُختزل العائلة إلى $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ (مع $x_1 = 0 = x_\infty$). ومنه فإن $\mathcal S$ صورةُ المتراص المترابط $[0,1]$ [بالتطبيق المتصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) $c
\mapsto x_c$: أي إنها متراصة ومترابطة. فقمع الحلول قطعةٌ متصلة ممتدة من $t^2$ (بالهروب الفوري) نزولًا إلى $0$ (بالسكون الأبدي).

**22.** التقييم $\operatorname{ev}_t\colon
\mathcal C([0,1]) \to \R$ المعطى بالعلاقة $x \mapsto x(t)$ متصل ($\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$)، ومنه فإن $\mathcal
S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ صورة متصلة لمتراص: أي إنها متراصة — ولمجموعة مترابطة: أي إنها مترابطة. ومن أجل المثال: يمسح $x_c(t) = (t - c)_+^2$، حين يمسح $c$ الفترةَ $[0, 1]$، جميع القيم من $t^2$ (عند $c = 0$) نزولًا إلى $0$ (عند $c \geq t$)، اتصالًا: أي $\mathcal S(t) =
\intcc0{t^2}$. فعند كل لحظة، يكون مقطع القمع قطعةً كاملة: فبين السكون والهروب الأقصى، يتحقق كل تسوية بحل فعلي.

**23.** بطرح الصيغة التكاملية $x(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ ونظيرتها من أجل $y$، وبوضع $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$ و $d = \norm{x_0 - y_0}$:

$$
e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).
$$

عندئذٍ $G(t_0) = d$ و $G' = Le \leq LG$، ومنه $\bigl(\eu^{-L(t
- t_0)}G\bigr)' \leq 0$ و $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$؛ ومنه $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$. وأما الدقة: فمن أجل $x' =
Lx$، يكون الحلان المارّان بالقيمتين $x_0$ و $y_0$ هما $x_0\eu^{L(t -
t_0)}$ و $y_0\eu^{L(t-t_0)}$، والمسافة بينهما هي بالضبط $d\,\eu^{L(t-t_0)}$. ومع $d = 0$ و $e \equiv 0$: نستعيد وحدانية كوشي–ليبشيتز في سطرين. ومن أجل $t \in [t_0, t_0 + T]$ مثبَّت، $\norm{x(t; x_0) - x(t;
y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$: أي إن التدفق ليبشيتزي في الشرط الابتدائي — فالتعلق حتمي، بثمن أُسّي مضبوط.

**24.** على $\intoc01$، تكون $\Omega$ معرَّفة تعريفًا سليمًا (لأن التكامل يتقارب عند $0$ بالفرضية)، ومن الصنف $\mathcal C^1$ مع $\Omega' = \frac1\omega > 0$: أي إنها تقابل متزايد على $\intoc0{\Omega(1)}$، مع $\Omega(x) \to 0$ حين $x \to 0^+$. ومقلوبها $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع

$$
g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0,
\qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .
$$

ونمدّد $g$ بالقيمة $0$ على $t \leq 0$: فالاتصال واضح، وعند $t = 0$، من أجل $t > 0$،

$$
\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s
= \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s
\leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0
$$

(لأن $\omega$ غير متناقصة و $g$ متزايدة و $\omega(0^+) = 0$): ومنه $g'(0) = 0 = f(g(0))$، ويصح $g' = f(g)$ على جانبَي $0$ كليهما. إذن $x \equiv 0$ و $g$ حلان متمايزان من الصنف $\mathcal
C^1$ مارّان بالنقطة $(0, 0)$: أي إنه حين يتقارب $\int_0\frac{\dd r}
{\omega(r)}$ تخفق الوحدانية — فتباعد السؤال 15 هو بالضبط الحد الفاصل. ومن أجل $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$، و $g(t) = t^2$، وتعطي الانسحابات الزمنية عائلة $x_c$ كلها الواردة في الجزء الثالث.

**25.** بالخطوة $h = \frac1n$: $\varphi_n(t_{k+1}) =
\varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$، ومنه $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ بعد $n$ خطوة. والنشر:

$$
n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr)
\Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

وبأخذ الأُسّي: $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) +
O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$. ومنه فالخطأ عند $t = 1$ هو $\eu - \varphi_n(1) =
\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$: أي $O(\frac1n)$ من السؤال 18، وهنا بثابته المضبوط $\frac\eu2$. وعدديًا، $n =
10$: $1.1^{10} = 2.5937424601$ ($1.1^2 = 1.21$، $1.1^4 =
1.4641$، $1.1^8 = 2.14358881$، مضروبًا في $1.21$)، و $\eu -
2.59374 \approx 0.12454$، مقابل التنبّؤ المقارب $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$: أي توافق في حدود التصحيح $O(n^{-2})$، الذي يخفض حدّه المهيمن هنا التنبّؤَ نحو القيمة المرصودة.