--- title: "فضاءات باناخ والمبرهنات الأساسية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3" subject: math language: ar chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/8-banach-spaces-and-the-fundamental-theorems --- # الفصل 8 — فضاءات باناخ والمبرهنات الأساسية يدرس التحليل الدالي الفضاءات المعيارية اللامنتهية البُعد عبر المؤثرات والمؤثرات الدالية التي تعيش عليها. واكتشافه المؤسِّس هو أن *التمام*، عبر مبرهنة بير، يفرض انتظامًا قويًا: فالعائلات المحدودة نقطةً نقطة من المؤثرات محدودةٌ بالمعيار (باناخ–شتاينهاوس)، وللتقابلات المتصلة مقلوباتٌ متصلة (التطبيق المفتوح)، وتكشف المنحنيات البيانية الاتصالَ (المنحني البياني المغلق). أما الركن الآخر، *هان–باناخ*، فلا يحتاج إلى التمام البتة — بل إلى مبرهنة زورن المساعدة فحسب — ويضمن أن الفضاءات الثنوية غنية بما يكفي لرؤية كل متجهة. ويبرهن هذا الفصل على المبرهنات الأربع كلها ويختبرها على فضاءات المتتاليات الكلاسيكية $\ell^p$، وعلى حسابات ثنوية ملموسة، وعلى تطبيق مفاجئ حقًّا: إذ توجد دوال متصلة دورية بالدور $2\pi$ *تتباعد* متسلسلة فورييه لها عند نقطة — فيُحسم بالنفي سؤالٌ تركته السنة الجامعية 2 مفتوحًا. في كل ما يلي، $E, F$ فضاءان معياريان على $K = \R$ أو $\C$؛ وتعني عبارة *فضاء باناخ* فضاءً معياريًا تامًّا. ## 8.1 المؤثرات المحدودة؛ فضاءات المتتاليات **تعريف 8.1.** يرمز $\mathcal L(E, F)$ إلى فضاء التطبيقات الخطية *المحدودة* (= المتصلة، السنة الجامعية 2) وعليه *معيار المؤثر* $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$؛ وهو تحت الضربي: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$. و*الفضاء الثنوي* هو $E' = \mathcal L(E, K)$. **قضية 8.2.** إذا كان $F$ فضاء باناخ، فكذلك $\mathcal L(E, F)$؛ وعلى وجه الخصوص يكون $E'$ فضاء باناخ دائمًا. **برهان.** لتكن $(T_n)$ متتالية كوشي من أجل $\vertiii\cdot$. فمن أجل كل $x$، $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: أي إن $(T_nx)$ متتالية كوشي في $F$، فهي متقاربة؛ ولنسمِّ نهايتها $Tx$. والتطبيق $T$ خطي (بنهايات المتطابقات الخطية)؛ وبالانتقال إلى النهاية في $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ (حيث $n, m \geq N$) نجد $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$: أي $T_n \to T$ [بمعيار المؤثر](#def-b3-banach-operator)، و $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$. ∎ **تعريف 8.3.** فضاءات المتتاليات الكلاسيكية (على $K$، مفهرسة بالدليل $\N$): $$ \ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty), $$ $$ \ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\}, $$ و $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ مع $\norm\cdot_\infty$. وكون $\norm\cdot_p$ معيارًا ينتج من متراجحة منكوفسكي، المبرهَن عليها في الحالة المتقطّعة تمامًا كما في [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#ch-b3-lp) (أو بجمع المتراجحة المنتهية البُعد من السنة الجامعية 2). وكلها فضاءات باناخ، ويكون $c_0$ فضاءً جزئيًا مغلقًا من $\ell^\infty$ ([التمرين 8.3](#exo-b3-banach-3)). ![الكرات الواحدية لمعايير p في المستوي، متداخلةً حين ينمو p من 1 (المعيّن) مرورًا بالقيمة 2 (القرص) و 4 (شبه الإهليلج) وصولًا إلى ∈fty (المربّع). وتحدّب كل كرة هو متراجحة منكوفسكي؛ والزوايا عند p = 1 و p = ∈fty هي حيث ينحلّ دفعةً واحدة كلٌّ من التحدّب التام ووحدانية أفضل التقريبات وحالات التساوي في .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg) *الكرات الواحدية لمعايير $p$ في المستوي، متداخلةً حين ينمو $p$ من $1$ (المعيّن) مرورًا بالقيمة $2$ (القرص) و $4$ (شبه الإهليلج) وصولًا إلى $\infty$ (المربّع). وتحدّب كل كرة *هو* متراجحة منكوفسكي؛ والزوايا عند $p = 1$ و $p = \infty$ هي حيث ينحلّ دفعةً واحدة كلٌّ من التحدّب التام ووحدانية أفضل التقريبات وحالات التساوي في [التمرين 12.12](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/12-lp#exo-b3-lp-12).* **قضية 8.4 (متسلسلة نويمان).** ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ مع $\vertiii T < 1$. عندئذٍ يكون $I - T$ قابلًا للقلب في $\mathcal L(E)$، مع $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (وهي متقاربة [بمعيار المؤثر](#def-b3-banach-operator)). ومن ثَمّ فإن مجموعة المؤثرات القابلة للقلب مفتوحة، والقلب متصل عليها. **برهان.** تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$، وهي هندسية) في فضاء باناخ $\mathcal L(E)$ ([القضية 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)؛ [التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). وبالاختصار التلسكوبي، $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$، وبالمثل من الجهة الأخرى. وأما الانفتاح: فإذا كان $S$ قابلًا للقلب وكان $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$، فإن $S + H = S(I + S^{-1}H)$ مع $\vertiii{S^{-1}H} < 1$: أي إنه قابل للقلب. وأما اتصال القلب: فيعطي تعبير المتسلسلة أن $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ محليًا. ∎ **مثال 8.5 (معادلة فولتيرا، محلولةً بنويمان).** على $E = \mathcal C(\intcc01)$ لننظر في المعادلة التكاملية $$ u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{أي}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu . $$ وهنا $\vertiii T \leq 1$، ومنه فمن أجل $\abs\lambda < 1$ تنطبق [متسلسلة نويمان](#prop-b3-banach-neumann) مباشرةً: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. وبالحساب، $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$، ومنه $$ u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} , $$ كما يؤكّد الاشتقاق. بل أفضل: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (لأن النواة المتكررة تتقلص عامليًا)، ومنه فإن $\sum\lambda^nT^n$ تتقارب من أجل *كل* $\lambda$ — أي إن المؤثر $I - \lambda T$ قابل للقلب من أجل كل $\lambda \in \C$، حتى وإن كان $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ في نهاية المطاف: فالمهم هو التناقص الطيفي للقوى، لا المعيار الأول. ولمؤثرات فولتيرا هذا التناقص العاملي مضمَّنًا فيها (وقد استثمر [التمرين 7.4](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) ذلك بالضبط)، ولهذا لا تعاني مسائل القيم الابتدائية أبدًا من ظواهر الرنين التي تعانيها مسائل القيم الحدّية ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/15-compact-operators-and-the-spectral-theorem#ch-b3-spectral)). ## 8.2 هان–باناخ **مبرهنة 8.6 (هان–باناخ، الصيغة التحليلية).** ليكن $E$ فضاءً متجهيًا *حقيقيًا*، وليكن $p \colon E \to \R$ *تحت خطي* (أي $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ و $p(tx) = tp(x)$ من أجل $t \geq 0$)، وليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا وليكن $f \colon F \to \R$ خطيًا مع $f \leq p$ على $F$. عندئذٍ يمتد $f$ إلى تطبيق خطي $\tilde f \colon E \to \R$ يحقق $\tilde f \leq p$ على $E$. **برهان.** *التمديد بخطوة واحدة.* ليكن $x_0 \notin F$؛ نمدّد $f$ إلى $F \oplus \R x_0$ باختيار $\alpha = \tilde f(x_0)$ اختيارًا صحيحًا: إذ نحتاج، من أجل كل $y \in F$ و $t > 0$، إلى $$ f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{و}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0), $$ وهذا يختزل بعد القسمة على $t$ (بالتحت خطية) إلى $$ \sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr]. $$ ويوجد مثل هذا $\alpha$ إذا وفقط إذا كان كل طرف أيسر $\leq$ كل طرف أيمن: وبالفعل $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$، أي $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$. *زورن.* نرتّب تمديدات $f$ المهيمَن عليها بالمقدار $p$ (وهي أزواج: فضاء جزئي، ومؤثر دالي) بالتمديد؛ ولكل سلسلة الاتحادُ حدًّا أعلى؛ ويجب أن يكون العنصر الأعظمي معرَّفًا على $E$ كلها، وإلا ناقض التمديدُ بخطوة واحدة الأعظمية. ∎ **نتيجة 8.7.** ليكن $E$ فضاءً معياريًا (حيث $K = \R$ أو $\C$). 1. كل $f \in F'$ (حيث $F$ فضاء جزئي) يمتد إلى $\tilde f \in E'$ مع $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ . 2. من أجل كل $x \neq 0$ يوجد $f \in E'$ يحقق $\norm f = 1$ و $f(x) = \norm x$ . وعلى وجه الخصوص، يفصل $E'$ نقطَ $E$ ، و $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ . 3. من أجل فضاء جزئي مغلق $F$ ومن أجل $x \notin F$ ، يوجد $f \in E'$ ينعدم على $F$ ويحقق $f(x) = d(x, F)$ و $\norm f \leq 1$ . **برهان.** (1) الحالة الحقيقية: نطبّق [المبرهنة 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) مع $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (وهو تحت خطي)؛ ويحقق التمديد $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$، ومنه $\norm{\tilde f} \leq \norm f$، والمتراجحة $\geq$ هي القصر. الحالة العقدية: ليكن $u = \operatorname{Re}f$، وهو مؤثر دالي حقيقي يحقق $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$؛ ولاحظ $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (بالتحقق على الجزأين الحقيقي والتخيلي: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$). نمدّد $u$ تمديدًا خطيًا حقيقيًا بالحد نفسه، ونضع $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$: فهو خطي على $\C$ (بتحقّق مباشر على الضرب في $\iu$)، ويمدّد $f$؛ وأما المعيار: فمن أجل $x$ معطى نكتب $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$، ثم $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$. (2) على $F = Kx$ نعرّف $f(tx) = t\norm x$: ومعياره $1$ على $F$؛ ثم نمدّده حسب (1). وأما صيغة الثنوية: فالمتراجحة $\leq$ واضحة، والمتراجحة $\geq$ بهذا $f$. (3) على $F \oplus Kx$ نعرّف $f(y + tx) = t\,d(x, F)$؛ وعندئذٍ من أجل $t \neq 0$ لدينا $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$: أي $\norm f \leq 1$ على الفضاء الجزئي؛ ثم نمدّده حسب (1). ∎ **ملاحظة 8.8.** حسب (2)، يكون التطبيق القانوني $J \colon E \to E''$، $J(x)(f) = f(x)$، تقييسًا ([التمرين 8.10](#exo-b3-banach-10)): أي إن كل فضاء معياري يقع داخل ثنويّه المضاعف. وتُسمّى الفضاءات التي يكون فيها $J$ شاملًا *انعكاسية*؛ وتُظهر مسألة نهاية الأسبوع أن $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$) انعكاسي بينما $\ell^1$ ليس كذلك. ## 8.3 ثلاثية بير **مبرهنة 8.9 (باناخ–شتاينهاوس، الحد المنتظم).** ليكن $E$ فضاء *باناخ*، وليكن $F$ معياريًا، ولتكن $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ عائلة تحقق $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ من أجل كل $x \in E$. عندئذٍ $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$. **برهان.** المجموعات $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ مغلقة (بوصفها تقاطعات لسوابق كرات مغلقة) وتغطّي $E$. وتعطي مبرهنة بير ([المبرهنة 7.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) عددًا $n_0$ وكرة $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. ومن أجل $\norm z < r$: $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$، ومنه $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ من أجل كل $i$. ∎ **نتيجة 8.10.** إذا كان $E$ فضاء باناخ وتقاربت $T_n \in \mathcal L(E,F)$ *نقطةً نقطة* (أي $T_nx \to Tx$ من أجل كل $x$)، فإن $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ و $T \in \mathcal L(E, F)$ و $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$. **برهان.** المتتاليات المتقاربة محدودة: أي الحد نقطةً نقطة؛ وتحدّ مبرهنة باناخ–شتاينهاوس المعاييرِ بعدد $M$ ما؛ عندئذٍ $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ (لأن $T$ خطي بوصفه نهاية نقطةً نقطة)، والحد الأدقّ بالانتقال إلى $\liminf$ في $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$. ∎ **مبرهنة 8.11 (متسلسلات فورييه المتباعدة).** توجد دوال متصلة دورية بالدور $2\pi$ تتباعد متسلسلة فورييه لها عند $0$: أي $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$. بل إن هذه الدوال $f$ تشكّل جزءًا كثيفًا من $\mathcal C(S^1)$. **برهان.** نعمل في $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$، وهو فضاء باناخ، بالمؤثّرات $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (نواة ديريكليه، السنة الجامعية 2). وكل $\Lambda_N$ متصل مع $$ \norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N . $$ (فالمتراجحة $\leq$ واضحة؛ وأما $\geq$: فنأخذ $f$ متصلة مع $\norm f_\infty \leq 1$ تقرّب $\operatorname{sign}D_N$ — فللإشارة عدد منتهٍ من القفزات؛ وتنعيم كل قفزة على فترة طولها $\varepsilon$ يغيّر التكامل بمقدار $O(N\varepsilon)$.) وتؤول *ثوابت لوبيغ* $L_N$ إلى اللانهاية: $$ L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u $$ (باستعمال $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ على $[0, \pi]$، ثم بالتعويض $u = (N + \tfrac12)t$). وبالقطع إلى أقواس: $$ \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{ومنه}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty . $$ ولو كان لكل دالة متصلة $f$ الشرطُ $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$، لفرضت مبرهنة باناخ–شتاينهاوس أن $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$: وهو تناقض. إذن توجد دالة $f$ — بل مجموعة غير [هزيلة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) وكثيفة من الدوال $f$ (وهي متمم $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$، وهو اتحاد قابل للعدّ لمجموعات مغلقة ليس لها داخل حسب ما سبق مطبَّقًا في أي كرة، ومنه فهو هزيل) — تحقق $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$. ∎ **مبرهنة 8.12 (التطبيق المفتوح).** ليكن $E, F$ فضاءي باناخ وليكن $T \in \mathcal L(E, F)$ *شاملًا*. عندئذٍ يكون $T$ مفتوحًا: أي $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ من أجل $c > 0$ ما. ومن ثَمّ فإن لكل مؤثر محدود تقابلي بين فضاءي باناخ مقلوبًا محدودًا. **برهان.** نكتب $B = B_E(0,1)$. تعطي الشمولية $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$؛ وتعطي مبرهنة بير ([المبرهنة 7.6](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) داخلًا للمجموعة $\overline{T(B)}$: أي $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ ما. ونعيد التمركز عند $0$: فمن أجل $\norm y < 4c$، يكون كلٌّ من $y_0 + y$ و $y_0$ نهايةً لصور $Tu_k$ و $Tv_k$ مع $u_k, v_k \in B$، ومنه $y = \lim T(u_k - v_k)$ مع $u_k - v_k \in 2B$: أي $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$، أي $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$. *إزالة [الغلق](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior)* (وهنا يدخل تمام $E$): ليكن $\norm y < c$. نختار $x_1 \in \frac12 B$ يحقق $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ($B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ محجَّمة بالعامل $\frac12$)؛ وبالتتابع $x_k \in 2^{-k}B$ مع $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. وتتقارب المتسلسلة $\sum x_k$ تقاربًا مطلقًا في فضاء باناخ $E$ إلى $x \in B$ (بمعيار $< \sum 2^{-k} = 1$)، ويكون $Tx = y$ بالاتصال: أي $B_F(0, c) \subseteq T(B)$. وينتج انفتاح $T$ على المفتوحات الكيفية بالانسحاب والتحجيم؛ وأما النتيجة الفرعية، فانفتاح $T$ يعني أن $T^{-1}$ متصل. ∎ **نتيجة 8.13 (المعايير المتكافئة).** إذا كان فضاء متجهي تامًّا من أجل معيارين قابلين للمقارنة ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$)، فالمعياران متكافئان. **برهان.** التطابق $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ محدود وتقابلي بين فضاءي باناخ: ومنه فمقلوبه محدود. ∎ **مبرهنة 8.14 (المنحني البياني المغلق).** ليكن $E, F$ فضاءي باناخ وليكن $T \colon E \to F$ خطيًا. إذا كان المنحني البياني $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ مغلقًا في $E \times F$ (أي إن $x_n \to x$ و $Tx_n \to y$ يستلزمان $y = Tx$)، فإن $T$ محدود. **برهان.** الفضاء $E \times F$ مزوَّدًا بالمعيار $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ فضاءُ باناخ؛ و $\Gamma$، بوصفه فضاءً جزئيًا مغلقًا، فضاءُ باناخ. والإسقاط $\pi_E\colon \Gamma \to E$ محدود وتقابلي، ومنه فمقلوبه $x \mapsto (x, Tx)$ محدود ([المبرهنة 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): أي $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$. ∎ **طريقة 8.15.** متى نلجأ إلى أي مبرهنة. *هان–باناخ*: لإنتاج مؤثر دالي بسلوك مفروض (تنظيم متجهة، أو انعدام على فضاء جزئي، أو تمديد من فضاء جزئي) — ولا حاجة إلى التمام. *باناخ–شتاينهاوس*: لتحويل معلومة نقطةً نقطة إلى حدود منتظمة — وعادةً لإظهار أن عملية نهاية متصلة، أو (بعكس النقيض) لإثبات *التباعد* من أجل عنصر ما، كما في متسلسلات فورييه. *التطبيق المفتوح / المنحني البياني المغلق*: للحصول على الاتصال مجانًا من التقابلية الجبرية أو من خاصية انغلاق للمنحني البياني — والاستعمال النموذجي: مقارنة معيارين تامّين، أو إثبات الاتصال التلقائي. وتتطلب مبرهنات بير الثلاث جميعًا تمام *المنطلق*؛ وثمة أمثلة مضادّة فيما عدا ذلك ([التمرين 8.7](#exo-b3-banach-7)). ## 8.4 الفضاءات الثنوية، بصورة ملموسة **مبرهنة 8.16.** تقييسيًا: $(c_0)' \cong \ell^1$ و $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$، عبر المزاوجة $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$. **برهان.** نبرهن على $(c_0)' \cong \ell^1$؛ والتعيين الثاني هو [التمرين 8.5](#exo-b3-banach-5). نُلحق بالعنصر $y \in \ell^1$ التطبيقَ $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ (حيث $x \in c_0$): وهو متقارب تقاربًا مطلقًا مع $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$، ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. وبالعكس، ليكن $\Lambda \in (c_0)'$؛ نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ (حيث $e_n$ المتتاليات الواحدية). ومن أجل أي $N$، نختبر على $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (ومعياره $\leq 1$؛ وفي الحالة العقدية نستعمل عوامل أحادية المعيار $\bar y_n/\abs {y_n}$): فنجد $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$. إذن $y \in \ell^1$ مع $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$. وأخيرًا $\Lambda = \Lambda_y$: فكلاهما يتوافق على العناصر $e_n$، ومنه على المتتاليات المنتهية، وهي كثيفة في $c_0$ (بالبتر: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ وذلك بالضبط لأن $x_n \to 0$)؛ والمؤثرات الدالية المتصلة المتوافقة على [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) متساوية. والتقابل خطي وتقابلي وتقييسي ($\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ من المتراجحتين). ∎ ## 8.5 تمارين **تمرين 8.1 ★.** احسب معايير المؤثرات: (a) الإزاحتان $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ و $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ على $\ell^2$؛ (b) مؤثر الضرب $M_a x = (a_nx_n)$ على $\ell^2$، من أجل $a \in \ell^\infty$؛ (c) المؤثر الدالي $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ على $\mathcal C(\intcc01)$ — برهن على $\norm\Lambda = 1$ وعلى أن المعيار *غير مبلوغ*. **حل التمرين 8.1.** (a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: التطبيق $S$ تقييس، و $\vertiii S = 1$. وأما الإزاحة الخلفية: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$، مع التساوي من أجل $x = e_2$: أي $\vertiii{S^*} = 1$. (b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$؛ وبالاختبار على $x = e_n$ نجد $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ من أجل كل $n$: ومنه $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$. (c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$: $\norm\Lambda \leq 1$. ومن أجل $\varepsilon > 0$ لتكن $f_\varepsilon$ مساوية $1$ على $[0, \frac12 - \varepsilon]$ و $-1$ على $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ وتآلفية بينهما: عندئذٍ $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ و $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$: ومنه $\norm\Lambda = 1$. وغير مبلوغ: إذ يفرض $\Lambda(f) = 1$ مع $\norm f_\infty \leq 1$ أن $\int_0^{1/2}f = \frac12$ و $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$، أي (بالاتصال ومع $\abs f \leq 1$) أن $f \equiv 1$ على $[0, \frac12]$ و $f \equiv -1$ على $[\frac12, 1]$: وهو تناقض عند $\frac12$. **تمرين 8.2 ★.** ليكن $E$ فضاء باناخ، وليكن $T \in \mathcal L(E)$ قابلًا للقلب، وليكن $S$ يحقق $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. برهن على أن $S$ قابل للقلب وقدّر $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. تطبيق: إذا كانت جملة خطية $Tx = b$ [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) مع $T$ قابل للقلب، فإن اضطرابًا صغيرًا بما يكفي للمؤثر $T$ يُبقيها [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) بطريقة وحيدة، مع حدّ كمّي على تغيّر الحل. **حل التمرين 8.2.** نكتب $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ مع $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$: فحسب [القضية 8.4](#prop-b3-banach-neumann) يكون $S$ قابلًا للقلب مع $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$، ومنه $$ \vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}. $$ وأما الجملة الخطية: فيختلف $x_T = T^{-1}b$ عن $x_S = S^{-1}b$ بمقدار لا يتجاوز ذلك الحد مضروبًا في $\norm b$ — أي إن الاضطرابات الصغيرة لجملة قابلة للقلب تبقى [قابلة للحل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/1-group-theory#def-b3-groups-derived) بطريقة وحيدة، مع تعلق ليبشيتزي للحل بالمؤثر. **تمرين 8.3 ★★.** (a) برهن على أن $\ell^1$ و $\ell^\infty$ و $c_0$ فضاءات باناخ، وعلى أن $c_0$ هو [الغلق](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) في $\ell^\infty$ لفضاء المتتاليات المنتهية. (b) برهن على $\ell^p \subseteq \ell^q$ مع $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ من أجل $1 \leq p \leq q \leq \infty$، وعلى أن الاحتواء تام. **حل التمرين 8.3.** (a) الفضاء $\ell^1$: لتكن $(x^{(k)})$ متتالية كوشي. كل إحداثي متتالية كوشي ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$): وليكن $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$. وإذا أُعطي $\varepsilon$، فمن أجل $k, l \geq K$ لدينا $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ من أجل كل $N$؛ ونجعل $l \to \infty$ ثم $N \to \infty$: فنجد $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$، و $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. والفضاء $\ell^\infty$: متتالية كوشي من أجل $\norm\cdot_\infty$ هي متتالية كوشي بانتظام: فتتقارب بانتظام إلى متتالية محدودة. والفضاء $c_0$ مغلق في $\ell^\infty$: إذ إذا كان $x^{(k)} \to x$ بانتظام مع $x^{(k)}_n \to_n 0$، فإن $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ يعطي $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$: أي $x \in c_0$؛ وكل فضاء جزئي مغلق من فضاء باناخ فضاءُ باناخ. وأما المتتاليات المنتهية: فغلقها يحتوي على كل $x \in c_0$ (لأن المبتورات تتقارب: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) وهو محتوًى في $c_0$ المغلقة. (b) بالتجانس نفترض $\norm x_p = 1$: عندئذٍ $\abs{x_n} \leq 1$ من أجل كل $n$، ومنه $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ و $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$؛ ومن أجل $q = \infty$، $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ مباشرةً. وأما كون الاحتواء تامًّا: فإن $x_n = n^{-\alpha}$ مع $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ يقع في $\ell^q \setminus \ell^p$ (بمتسلسلة ريمان). **تمرين 8.4 ★★.** ليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا مغلقًا وليكن $x \notin F$. باستعمال [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)، برهن على صيغة الثنوية $$ d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\} $$ (ولاحظ: أنها *قيمة عظمى*). واستنتج أن $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$: أي إن الفضاءات الجزئية المغلقة هي بالضبط تقاطعات نوى المؤثرات الدالية. **حل التمرين 8.4.** ($\leq$) إذا كان $\norm f \leq 1$ و $f\restriction_F = 0$: فمن أجل كل $y \in F$ لدينا $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$؛ ثم نأخذ الحد الأدنى. ($\geq$، مبلوغة) تُنتج [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) مؤثرًا داليًا $f$ يحقق $f\restriction_F = 0$ و $\norm f \leq 1$ و $f(x) = d(x, F)$: أي إن الحد الأعلى قيمة عظمى. والنتيجة: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ بداهةً، ويُستبعَد من التقاطع كلُّ نقطة $x \notin F$ بالمؤثر الدالي السابق ($f(x) = d(x,F) > 0$، لأن $F$ مغلق). **تمرين 8.5 ★★.** برهن على $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ تقييسيًا، متّبعًا مخطط [المبرهنة 8.16](#thm-b3-banach-duals) (فالمتتاليات المنتهية كثيفة في $\ell^1$). وأين تنهار الحجّة من أجل $(\ell^\infty)'$؟ **حل التمرين 8.5.** من أجل $y \in \ell^\infty$: $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$، ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$؛ وبالاختبار على $e_n$: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: أي التساوي. وبالعكس، إذا أُعطي $\Lambda \in (\ell^1)'$، نضع $y_n = \Lambda(e_n)$: فنجد $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$، ومنه $y \in \ell^\infty$؛ ويتوافق $\Lambda$ مع $\Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية، وهي كثيفة في $\ell^1$ ($\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): أي $\Lambda = \Lambda_y$. والتطبيق $y \mapsto \Lambda_y$ خطي وتقييسي وشامل. وأما من أجل $(\ell^\infty)'$ فتُنتج البدايةُ نفسها متتاليةً $y_n = \Lambda(e_n)$، لكن المتتاليات المنتهية *ليست* كثيفة في $\ell^\infty$ (فالمتتالية الثابتة $\mathbf 1$ تبعد عنها جميعًا مسافة $1$)، ومنه لا يتحدّد $\Lambda$ بالعناصر $y_n$ — وبالفعل $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([المسألة 8.1](#pb-b3-banach-1)). **تمرين 8.6 ★★.** ليكن $E, F, G$ فضاءات معيارية مع $E$ فضاء باناخ، وليكن $B \colon E \times F \to G$ ثنائي الخطية [ومتصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) في كل متغيّر على حدة. برهن على أن $B$ متصل (بالمعنى المشترك): أي $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$. *(طبّق باناخ–شتاينهاوس على العائلة $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$.)* **حل التمرين 8.6.** من أجل كل $x$ مثبَّت، يكون $y \mapsto B(x, y)$ خطيًا [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity): $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. ومنه فإن العائلة $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (وكل عنصر منها متصل، بالاتصال في $x$) محدودة نقطةً نقطة على فضاء باناخ $E$: وتعطي مبرهنة باناخ–شتاينهاوس ([المبرهنة 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) عددًا $C$ يحقق $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ من أجل كل $\norm y \leq 1$؛ ويُنهي التجانس في $y$ البرهانَ: أي $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$. **تمرين 8.7 ★★.** (a) على $E = \mathcal C(\intcc01)$، قارن $\norm\cdot_\infty$ مع $\norm\cdot_1$: فالتطابق $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ محدود وتقابلي لكن مقلوبه غير محدود. وأي فرضية من فرضيات [النتيجة 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) تخفق؟ (b) أظهر تطبيقًا خطيًا غير متصل من فضاء جزئي كثيف من $\ell^2$ إلى $K$ (مثلًا على المتتاليات المنتهية)، واشرح لماذا لا يناقض هذا مبرهنة المنحني البياني المغلق. **حل التمرين 8.7.** (a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: أي إن التطابق محدود وتقابلي. ومقلوبه غير محدود: فالدالة $f_n(x) = x^n$ تحقق $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ لكن $\norm{f_n}_\infty = 1$. ولا تناقض مع [النتيجة 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms): لأن $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ *ليس* تامًّا ([التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1))؛ وتتطلب النتيجة الفرعية التمام من الجهتين. (b) على فضاء المتتاليات المنتهية $E_0$ (الكثيف في $\ell^2$)، يكون $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ خطيًا وغير محدود ($\varphi(e_n) = n$ مع $\norm{e_n}_2 = 1$). ولا تنطبق مبرهنة المنحني البياني المغلق: لأن $E_0$ ليس تامًّا — وليس للتطبيق $\varphi$ تمديد متصل إلى $\ell^2$، وهذا يوضّح أن الكثافة دون اتصال منتظم عاجزة ([المبرهنة 7.2](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). **تمرين 8.8 ★★★.** (هيلنغر–تُبليتز) ليكن $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ خطيًا (ومعرَّفًا في كل مكان) و*متناظرًا*: أي $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ من أجل كل $x, y$، حيث $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$. برهن على أن $T$ محدود. *(بالمنحني البياني المغلق: إذا كان $x_k \to x$ و $Tx_k \to z$، فاختبر على $y$ كيفي.)* والعبرة: أن المؤثرات المتناظرة غير المحدودة — وهي هاميلتونيات ميكانيكا الكم — لا يمكن أبدًا أن تُعرَّف على الفضاء كله. **حل التمرين 8.8.** نتحقق من فرضية المنحني البياني المغلق. ليكن $x_k \to x$ و $Tx_k \to z$ في $\ell^2$. فمن أجل كل $y$: $$ \langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle, $$ باستعمال اتصال الجداء السلَّمي في كل موضع (كوشي–شفارتز) والتناظر مرتين. ومنه فإن $z - Tx$ متعامد مع كل $y$، وعلى وجه الخصوص مع نفسه: أي $z = Tx$. فالمنحني البياني مغلق و $\ell^2$ فضاء باناخ: ومنه فإن $T$ محدود ([المبرهنة 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). ومن ثَمّ فإن كل مؤثر متناظر معرَّف على $\ell^2$ *كلها* محدودٌ تلقائيًا؛ أما المؤثرات المتناظرة غير المحدودة حقًّا (الموضع، وكمية الحركة، والهاميلتونيات) فيجب أن تعيش على فضاءات جزئية كثيفة فعلية. **تمرين 8.9 ★★★.** (مبرهنة بويا في التربيع العددي) من أجل كل $n$، لتكن $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ قاعدة تربيع عددي على $\mathcal C(\intcc01)$ (حيث $x_{i,n} \in \intcc01$، $w_{i,n} \in \R$). برهن على أن $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ من أجل *كل* دالة متصلة $f$ إذا وفقط إذا: (أ) كان $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ من أجل كل كثير حدود $P$، و (ب) كان $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$. *(احسب $\norm{\Lambda_n}$؛ واستعمل باناخ–شتاينهاوس وفايرشتراس.)* وتحقق من أن القواعد ذات الأوزان *الموجبة* والمضبوطة على الثوابت تحقق (ب) تلقائيًا. **حل التمرين 8.9.** أولًا، $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: فالمتراجحة $\leq$ هي متراجحة المثلث؛ والمتراجحة $\geq$ بالاختبار على دالة $f$ خطية بالقطع تحقق $\norm f_\infty \leq 1$ و $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (بالاستيفاء الخطي بين العقد المنتهية العدد؛ وحيث تتطابق العقد تتوافق الإشارات). ($\Rightarrow$) يستلزم التقارب نقطةً نقطة عند كل $f$ الشرطَ (أ)، ويستلزم الحد نقطةً نقطة، ومنه تعطي باناخ–شتاينهاوس ([المبرهنة 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) على فضاء باناخ $\mathcal C(\intcc01)$ الشرطَ (ب). ($\Leftarrow$) ليكن $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. إذا أُعطي $f$ و $\varepsilon$، اخترنا كثير حدود $P$ يحقق $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ ([النتيجة 7.16](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass))؛ عندئذٍ $$ \Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon . $$ وأما الأوزان الموجبة والضبط على الثوابت: فإن $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ من أجل القواعد المضبوطة على الثوابت — أي إن (ب) يتحقق بالثابت $1$. **تمرين 8.10 ★★.** برهن على أن $J \colon E \to E''$ المعطى بالعلاقة $J(x)(f) = f(x)$ تقييسٌ خطي (استعمل [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2))، وعلى أنه شامل حين $\dim E < \infty$. وبرهن أيضًا على أنه إذا كان $E'$ قابلًا للفصل فكذلك $E$. *(اختر $x_n$ تنظّم تقريبًا متتاليةً كثيفة من $E'$ وبرهن على أن الفضاء المولَّد المغلق لها هو $E$، بواسطة [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)* **حل التمرين 8.10.** خطية $J$ صورية؛ و $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ حسب [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). وإذا كان $\dim E = n$: فإن $\dim E' = n$ (لأن أساسًا يعطي مؤثرات دالية إحداثية)، ومنه $\dim E'' = n$، ويكون $J$ المتباين (التقييسي) شاملًا. وأما القابلية للفصل: فلتكن $(f_n)$ كثيفة في $E'$ ولنختر $\norm{x_n} = 1$ يحقق $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$. ولتكن $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$؛ فإذا كان $F \neq E$، أخذنا $g \in E'$ مع $g \neq 0$ ينعدم على $F$ ([النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3))؛ ونختار $f_{n_k} \to g$: $$ \norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr), $$ ومنه $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: وهو تناقض. إذن $F = E$، وتشكّل التركيبات الناطقة (أو من $\Q + \iu\Q$) للعناصر $x_n$ مجموعةً قابلة للعدّ كثيفة. **تمرين 8.11 ★★.** (فضاءات القسمة) ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $F \subseteq E$ فضاءً جزئيًا *مغلقًا*. نعرّف على $E/F$ $$ \norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} . $$ (a) برهن على أن هذا *معيار* معرَّف تعريفًا سليمًا على $E/F$ (وأين يدخل انغلاق $F$؟)، وعلى أن الإسقاط $\pi \colon E \to E/F$ يحقق $\vertiii\pi \leq 1$ ويرسل الكرة الواحدية المفتوحة على الكرة الواحدية المفتوحة. (b) برهن على أن $E/F$ تام. *(استعمل محك المتسلسلات في [التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b): إذا أُعطيت أصناف $\bar x_k$ تحقق $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$، فارفع كلًّا منها إلى $x_k \in E$ يحقق $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ واجمع في $E$.)* (c) احسب: من أجل $E = c$ (المتتاليات المتقاربة) ومن أجل $F = c_0$، برهن على $c/c_0 \cong K$ تقييسيًا بواسطة $\bar x \mapsto \lim_nx_n$. **حل التمرين 8.11.** (a) معرَّف تعريفًا سليمًا: لأن $d(x, F)$ لا يتعلق إلا بالصنف $\bar x$ (فانسحاب $x$ بعنصر من $F$ لا يغيّر المسافة). وينتقل التجانس ومتراجحة المثلث من $\norm\cdot$ عبر الحد الأدنى. أما الفصل فيحتاج إلى الانغلاق: إذ يعني $\norm{\bar x} = 0$ أن $d(x, F) = 0$، أي $x \in \bar F = F$، أي $\bar x = 0$. و $\vertiii\pi \leq 1$: $\norm{\bar x} \leq \norm x$. والكرة المفتوحة على الكرة المفتوحة: إذا كان $\norm{\bar x} < 1$، فإن لممثّل ما $\norm{x - y} < 1$؛ وبالعكس $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ بمتراجحة المعيار — ومنه فإن $\pi$ مفتوح، وهو الحالة النموذجية لمبرهنة التطبيق المفتوح. (b) ليكن $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ ولنرفع مع $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$: عندئذٍ $\sum\norm{x_k} < \infty$، ومنه تتقارب $s = \sum_kx_k$ في فضاء باناخ $E$ ([التمرين 7.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b))، ويعطي اتصال $\pi$ أن $\sum_k\bar x_k = \bar s$: أي إن كل متسلسلة متقاربة مطلقًا في $E/F$ تتقارب، وهذا يكافئ التمام (التمرين نفسه). (c) التطبيق $\lambda(x) = \lim_nx_n$ خطي $c \to K$، وينعدم على $c_0$ بالضبط، ومنه فهو يُحدث تقابلًا خطيًا $c/c_0 \to K$. وأما التقييس: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — فالمتراجحة $\leq$: نطرح من $x$ المتتاليةَ $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$، فيبقى $\lambda(x)\mathbf 1$ بمعيار $\abs{\lambda(x)}$؛ والمتراجحة $\geq$: من أجل $y \in c_0$، $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$. **تمرين 8.12 ★★.** (الإسقاطات المحدودة والفضاءات الجزئية المتمَّمة) ليكن $E$ فضاء باناخ وليكن $P \colon E \to E$ خطيًا مع $P^2 = P$ (أي إسقاط [جبري](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic))، و $V = \operatorname{im}P$، و $W = \ker P$. (a) لنفترض أن $P$ محدود. برهن على أن $V$ و $W$ مغلقان وأن $E = V \oplus W$ بالتفكيك $x = Px + (x - Px)$. (b) وبالعكس، لنفترض $E = V \oplus W$ مع كون $V, W$ مغلقين *كليهما*، وليكن $P$ الإسقاطَ على $V$ على امتداد $W$. برهن على أن $P$ محدود. *(بالمنحني البياني المغلق: إذا كان $x_n \to x$ و $Px_n \to z$، فإن $z \in V$ و $x_n - Px_n \to x - z \in W$، وتعيّن وحدانية التفكيك $z = Px$.)* (c) استنتج *التكافؤ*: أن فضاءً جزئيًا $V$ يقبل إسقاطًا محدودًا إذا وفقط إذا كان مغلقًا وله متمّم [جبري](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/4-field-extensions-and-galois-theory#def-b3-galois-algebraic) مغلق — ولاحظ (دون برهان) أن ثمة فضاءات جزئية مغلقة بلا هذه الخاصية (والمثال الكلاسيكي هو $c_0$ داخل $\ell^\infty$): فإن فضاءات هيلبرت، حيث يفي $V^\perp$ بالغرض دائمًا ([الفصل 13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert))، هي الاستثناء لا القاعدة. **حل التمرين 8.12.** (a) المجموعة $W = \ker P$ مغلقة (بوصفها سابق $0$ [بتطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity))؛ و $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (وبالفعل $Px = x$ إذا وفقط إذا كان $x \in \operatorname{im}P$، باستعمال $P^2 = P$)، وهي مغلقة بالمثل. وينشطر كل $x$ على الصورة $Px + (x - Px)$ مع $Px \in V$ و $x - Px \in W$، و $V \cap W = 0$ ($x = Px = 0$): أي $E = V \oplus W$. (b) حجّة المنحني البياني: ليكن $x_n \to x$ و $Px_n \to z$. عندئذٍ $z \in V$ (لأن $V$ مغلق و $Px_n \in V$) و $x_n - Px_n \to x - z \in W$ (لأن $W$ مغلق). ومنه $x = z + (x - z)$ مع $z \in V$ و $x - z \in W$؛ وبوحدانية التفكيك، $z = Px$. فالمنحني البياني للتطبيق $P$ مغلق و $E$ فضاء باناخ: ومنه فإن $P$ محدود ([المبرهنة 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). (c) الجزآن (a) و (b) معًا هما التكافؤ. وفي فضاء هيلبرت، لكل $V$ مغلق المتمّمُ المغلق $V^\perp$ ([الفصل 13](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/13-hilbert-spaces#ch-b3-hilbert)): أي إن كل فضاء جزئي مغلق متمَّم. وفي فضاءات باناخ العامة يخفق ذلك — فليس للفضاء $c_0$ متمّم مغلق في $\ell^\infty$ (مبرهنة فيليبس، وهي تتجاوز أدواتنا) — ومنه فإن الإسقاطات المحدودة امتياز، وتكون مبرهنة المنحني البياني المغلق هي بالضبط المحاسبة التي تحوّل الانشطارات الهندسية إلى مؤثرات محدودة. ## 8.6 مسألة: ثنوية الفضاءات $\ell^p$ **مسألة 8.1.** مسألة نهاية الأسبوع — $(\ell^p)' = \ell^q$، والانعكاسية، وغرابة $\ell^\infty$ لنثبّت $1 < p < \infty$ وليكن $q$ الأُسَّ المرافق، أي $\frac1p + \frac1q = 1$. والمزاوجة في كل ما يلي هي $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$. **الجزء الأول — هولدر ومنكوفسكي من أجل المتتاليات.** 1. (متراجحة يونغ) من أجل $a, b \geq 0$ ، برهن على $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ، باستعمال تقعّر $\log$ أو بدراسة $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ . 2. (هولدر) استنتج: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ من أجل $x \in \ell^p$ و $y \in \ell^q$ ؛ وعيّن حالة التساوي. 3. (منكوفسكي) استنتج متراجحة المثلث من أجل $\norm\cdot_p$ . *(اكتب $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ وطبّق هولدر على كل حد.)* 4. برهن على أن $\ell^p$ تام وعلى أن المتتاليات المنتهية كثيفة فيه. **الجزء الثاني — الثنوية $(\ell^p)' = \ell^q$.** 5. من أجل $y \in \ell^q$ ، برهن على أن $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ يعرّف $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ مع $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ ، وبالاختبار على $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (مبتورًا ومنظَّمًا على النحو الملائم)، على أن $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ . 6. وبالعكس، إذا أُعطي $\Lambda \in (\ell^p)'$ ، نضع $y_n = \Lambda(e_n)$ ؛ برهن على $y \in \ell^q$ مع $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ *(بالاختبار على المبتورات كما في السؤال 5 وبجعل طول البتر ينمو)* ، واخلص إلى $\Lambda = \Lambda_y$ : أي إن التطبيق $y \mapsto \Lambda_y$ تماثل تقييسي $\ell^q \to (\ell^p)'$ . 7. استنتج أن $\ell^p$ *انعكاسي* من أجل $1 < p < \infty$ : فبتركيب الثنويتين، يأتي كل عنصر من $(\ell^p)''$ من $\ell^p$ ؛ وتحقق بعناية من أن المركّب هو $J$ القانوني. **الجزء الثالث — $\ell^1$ و $\ell^\infty$ حيوانان مختلفان.** 8. برهن على أن $\ell^p$ (حيث $1 \leq p < \infty$ ) و $c_0$ قابلان للفصل، لكن $\ell^\infty$ ليس كذلك. *(فمتتاليات الدلالة لأجزاء $\N$، وعددها غير قابل للعدّ، تبعد كلٌّ منها عن الأخرى مسافة $1$.)* 9. استنتج من [التمرين 8.10](#exo-b3-banach-10) أن $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ لكن $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : أي إن $\ell^1$ *ليس* انعكاسيًا. *(إذ لو كان $(\ell^\infty)'$ هو $\ell^1$، لكان قابلًا للفصل، فيفرض قابلية $\ell^\infty$ للفصل.)* 10. (نهاية باناخ، صراحةً) على $\ell^\infty_\R$ ، لتكن $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . برهن على أن $p$ تحت خطي، وعلى أنه على الفضاء الجزئي $c$ للمتتاليات المتقاربة يحقق $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ الشرطَ $\mathrm{LIM} \leq p$ . ومدّده بهان–باناخ إلى $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ وبرهن على أن $\mathrm{LIM}$ موجب ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ )، وصامد بالإزاحة ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ )، ويمدّد النهاية، ويحقق $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ . 11. برهن على أن مثل هذا $\mathrm{LIM}$ ، منظورًا إليه في $(\ell^\infty)'$ ، *ليس* من الشكل $\Lambda_y$ من أجل أي $y \in \ell^1$ ؛ واخلص من جديد إلى $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . *(قيّمه على المتتاليات الواحدية $e_n$، ثم على المتتالية الثابتة $1$.)* 12. قيّم $\mathrm{LIM}$ على $(0,1,0,1,\dots)$ ، وبرهن على أنه لا يمكن وجود تمديد *ضربي* صامد بالإزاحة للنهاية *(انظر في $x = (0,1,0,1,\dots)$ وفي $x\cdot Sx$ حيث $S$ الإزاحة)* . **الجزء الرابع — خاتمة: لماذا تهمّ [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual).** 13. باستعمال [النتيجة 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) والسؤال 6، برهن على أن لكل متتالية محدودة من $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$ ) متتاليةً جزئية $(x^{(k)})$ تتقارب *ضعيفًا* : أي إن $\Lambda(x^{(k)})$ تتقارب من أجل كل $\Lambda \in (\ell^p)'$ . *(بالاستخراج القطري على الإحداثيات القابلة للعدّ؛ وعيّن النهاية الضعيفة في $\ell^p$ باستعمال الحد المنتظم للمعايير وهولدر.)* وبرهن بمثال (المتتالية $e_n$ في $\ell^1$ ، مقابل عناصر مختارة بعناية من $\ell^\infty$ ) على أن ذلك يخفق في $\ell^1$ : فالتراص الضعيف امتياز للفضاءات [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) . **الجزء الخامس — [الطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) الضعيفة في العمل، ومفاجأة شور.** نكتب $x^{(k)} \rightharpoonup x$ في فضاء معياري $E$ (*التقارب الضعيف*) حين يكون $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ من أجل كل $\Lambda \in E'$. 14. أكمل الإحصاء: برهن على $(c_0)' \cong \ell^1$ تقييسيًا، بمخطط السؤالين 5 و 6 (وما الذي يحل محل متتاليات الاختبار؟). وكوِّن السلسلة $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ للثنويات المتتالية وحدّد أين تخفق [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) . 15. برهن على أن كل متتالية متقاربة ضعيفًا في فضاء باناخ محدودة: انظر إلى العناصر $x^{(k)}$ عبر الغمر القانوني $J$ بوصفها مؤثرات دالية على $E'$ وطبّق باناخ–شتاينهاوس ( [المبرهنة 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — وعلى أي فضاء باناخ، ولماذا يكون التمام متاحًا هناك؟ 16. برهن على أنه في $\ell^p$ مع $1 < p < \infty$ : يكون $x^{(k)} \rightharpoonup x$ إذا وفقط إذا كان $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ و $x^{(k)}_n \to x_n$ من أجل كل إحداثي $n$ *(ويستعمل أحد الاتجاهين باناخ–شتاينهاوس عبر الغمر القانوني؛ ومن أجل الآخر، قرّب $y \in \ell^q$ بمتتاليات منتهية)* . واستنتج $e_k \rightharpoonup 0$ في $\ell^2$ بينما $\norm{e_k}_2 = 1$ : أي إن النهايات الضعيفة يمكن أن تفقد كتلة. 17. برهن على أن المعيار نصف متصل من الأسفل ضعيفًا: أي إن $x^{(k)} \rightharpoonup x$ يستلزم $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(اختر مؤثرًا داليًا منظّمًا للعنصر $x$، [النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* . 18. (رادون–ريس في $\ell^2$ ) برهن على أنه في $\ell^2$ ، يستلزم التقارب الضعيف مع تقارب المعايير التقاربَ بالمعيار *(انشر $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$)* . وأعطِ مثالًا مضادًّا للعبارة نفسها دون فرضية المعيار. 19. (شور، الخطوة 1) ليكن $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ في $\ell^1$ ولنفترض جدلًا أن $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ على متتالية جزئية. برهن أولًا على $x^{(k)}_n \to 0$ من أجل كل $n$ (وأي المؤثرات الدالية؟)، ثم أنشئ بالتتابع أدلّة $k_1 < k_2 < \cdots$ وأعدادًا صحيحة $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ بحيث تتركّز كتلة $x^{(k_j)}$ على الكتلة $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$ 20. (شور، الخطوة 2) نعرّف $y \in \ell^\infty$ بالعلاقة $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ من أجل $n \in B_j$ . برهن على $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ واستخرج تناقضًا مع $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . واخلص إلى *مبرهنة شور* : أي إن المتتاليات المتقاربة ضعيفًا في $\ell^1$ تتقارب بالمعيار. 21. استنتج أنه ليست للمتتالية $(e_k)$ متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا في $\ell^1$ (لأن نهايتها المرشّحة الوحيدة هي $0$ إحداثيًا — ثم نطبّق شور)، فتستعيد إخفاق التراص الضعيف في السؤال 13؛ وحلّ المفارقة الظاهرية: ففي $\ell^1$ يتطابق التقارب الضعيف والتقارب بالمعيار *للمتتاليات* ، ومع ذلك تختلف *الطوبولوجيتان* الضعيفة والمعيارية وتبقى المجموعات المحدودة غير متراصة ضعيفًا بالمتتاليات — ولا تناقض في ذلك، بل مجرّد إخفاق [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) . 22. (جدول تركيبي) من أجل $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ ، كوِّن جدولًا يضم: [الفضاء الثنوي](#def-b3-banach-operator) ؛ والقابلية للفصل؛ [والانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) ؛ وهل تقبل المتتاليات المحدودة متتاليات جزئية متقاربة ضعيفًا؛ وخاصية مميّزة واحدة لكل فضاء، مبرَّرة بسطر واحد من هذه المسألة. **الجزء السادس — تكملات: أقرب النقط، والتقارب بالمتوسطات، وقيمة نهاية باناخ.** 23. (أقرب النقط: عائد [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) ) ليكن $F$ فضاءً جزئيًا مغلقًا من $\ell^p$ (حيث $1 < p < \infty$ ) وليكن $x \in \ell^p$ . برهن على أن $d = \operatorname{dist}(x, F)$ *مبلوغة* : استخرج من متتالية مصغّرة متتاليةً جزئية متقاربة ضعيفًا (السؤال 13)، وأبقِ النهاية الضعيفة داخل $F$ ببناء مؤثر دالي، بواسطة هان–باناخ، ينعدم على $F$ ولا ينعدم عند نقطة خارجه، ثم اخلص بالسؤال 17. ثم برهن على أن هذا الامتياز ليس شاملًا: ففي $c_0$ ، من أجل $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ ، برهن على أن $\norm\Lambda = 1$ غير مبلوغة على الكرة الواحدية، وأثبت صيغة المسافة $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ ، واستنتج أنه ليس لأي $x \notin \ker\Lambda$ أقربُ نقطة في الفضاء الفائق المغلق $\ker\Lambda$ . 24. (باناخ–ساكس في $\ell^2$) ليكن $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ في $\ell^2_{\R}$ مع $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. أنشئ متتالية جزئية $(y_j)$ تحقق $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ من أجل كل $i < j$، واستنتج $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ أي إن متوسطات تشيزارو تتقارب *بالمعيار* بعد الاستخراج. وتحقق على $(e_k)$، التي معيار متوسطاتها $\frac1{\sqrt m}$: فالتقارب الضعيف، عديم الجدوى للمتتالية نفسها (السؤال 16)، يصير تقاربًا بالمعيار للمتوسطات. 25. (قيمة نهاية باناخ) لتكن $L$ أي نهاية باناخ (السؤال 10) ولتكن $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . برهن على $L(A_mx) = L(x)$ وعلى $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ؛ واستنتج أن *جميع* نهايات باناخ تتوافق على المتتاليات الدورية، بالقيمة المساوية للمتوسط على دور — أي $\frac13$ على $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ ، وهو متسق مع القيمة $\frac12$ في السؤال 12. ثم برهن على أن التوافق يخفق في العموم: فمن أجل المتتالية الكتلية $x$ المساوية $1$ على $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ من أجل $j$ زوجي و $0$ فيما عدا ذلك، برهن على أن متوسطات تشيزارو تتذبذب بين $\leq \frac13$ و $\geq \frac23$ ، وابنِ نهايتَي باناخ $L_\pm$ تحققان $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ *(بالتمديد من $c \oplus \R x$ بالقيمتين القصويين المقبولتين $\pm$: وتحقق من أن $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ مهيمَن عليه بالمقدار التحت خطي $p$ في السؤال 10)* . **حل المسألة 8.1.** **1.** من أجل $a, b > 0$: بتقعّر $\log$ نجد $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$؛ ثم نأخذ الأُسّي. (وإذا كان $ab = 0$ فالمتراجحة تافهة.) والتساوي إذا وفقط إذا كان $a^p = b^q$. **2.** يمكننا أن نفترض $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (بالتجانس؛ والحالات المعدومة تافهة). عندئذٍ $$ \abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q . $$ ويتطلب التساوي أن يكون $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ من أجل كل $n$ (بحالة تساوي يونغ) وأن تتوافق أطوار $x_ny_n$. **3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$؛ وبالجمع وتطبيق هولدر ($p$ مقابل $q$، مع ملاحظة $(p - 1)q = p$): $$ \norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q}; $$ فإذا كان $\norm{x + y}_p \neq 0$ (وإلا فالأمر تافه)، قسمنا على $\norm{x+y}_p^{p/q}$ واستعملنا $p - \frac pq = 1$. (وأما كون $\norm{x+y}_p$ منتهيًا أولًا: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$.) **4.** التمام: كما في حالة $\ell^1$ ([التمرين 8.3](#exo-b3-banach-3))، بنهايات إحداثية مع الحد الذيلي المنتظم $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$، بجعل $l$ ثم $N$ يؤولان إلى اللانهاية. وكثافة المتتاليات المنتهية: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$. **5.** تعطي هولدر أن $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$: ومنه $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. وبالاختبار: لتكن $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ من أجل $n \leq N$، و $0$ فيما بعد (حيث $\operatorname{sign}$ الطور الأحادي المعيار، بحيث يكون $x_ny_n = \abs{y_n}^q$). عندئذٍ $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ و $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (لأن $(q-1)p = q$)، ومنه $$ \norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q . $$ **6.** نضع $y_n = \Lambda(e_n)$. وبمتجهات الاختبار نفسها، $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$، ومنه $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ من أجل كل $N$: أي $y \in \ell^q$ مع $\norm y_q \leq \norm\Lambda$. ويتوافق المؤثران $\Lambda$ و $\Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية الكثيفة (السؤال 4): أي $\Lambda = \Lambda_y$. ومع السؤال 5، يكون $y \mapsto \Lambda_y$ تماثلًا تقييسيًا $\ell^q \cong (\ell^p)'$. **7.** ليكن $\xi \in (\ell^p)''$. وبالتركيب مع التقييس $\ell^q \cong (\ell^p)'$ في السؤال 6، يعرّف $\xi$ عنصرًا من $(\ell^q)'$، وهو (بالسؤال 6 مع تبديل $p, q$) يساوي $\Lambda_z$ من أجل $z \in \ell^p$ وحيد: أي إنه من أجل كل $y \in \ell^q$ لدينا $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$. ومن جهة أخرى $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$: أي القيمة نفسها. وبما أن كل عنصر من $(\ell^p)'$ هو $\Lambda_y$ ما، فإن $\xi = J(z)$: أي إن $J$ شامل — ومنه فإن $\ell^p$ انعكاسي. **8.** المتتاليات المنتهية ذات المدخلات الناطقة (الحقيقية والتخيلية) قابلة للعدّ وكثيفة في $\ell^p$ (حيث $p < \infty$) وفي $c_0$. وفي $\ell^\infty$: العائلة $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ غير قابلة للعدّ مع $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ من أجل $A \neq B$؛ والكرات $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ منفصلة مثنى مثنى، وأي [مجموعة كثيفة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) يجب أن تلاقي كلًّا منها: فلا توجد مجموعة قابلة للعدّ كثيفة. **9.** لو كان $\ell^1$ انعكاسيًا، لكان $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ قابلًا للفصل (بوصفه صورة تقييسية للفضاء $\ell^1$ القابل للفصل)؛ وحسب [التمرين 8.10](#exo-b3-banach-10)، فإن قابلية الثنوي $(\ell^\infty)'$ للفصل ستفرض قابلية $\ell^\infty$ للفصل — وهذا يناقض السؤال 8. إذن $\ell^1$ ليس انعكاسيًا (ويكون $(\ell^\infty)'$ أكبر تمامًا من $\ell^1$، كما يجسّده السؤال 11). **10.** تجانس $p$ واضح؛ وأما التحت جمعية: فالمتوسطات خطية، و $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$. وعلى $c$: تتقارب متوسطات تشيزارو لمتتالية متقاربة إلى نهايتها، ومنه $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ هناك؛ وعلى وجه الخصوص $\mathrm{LIM} \leq p$ على $c$. وتمدّد هان–باناخ ([المبرهنة 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) المؤثرَ $\mathrm{LIM}$ إلى $\ell^\infty_\R$ مع $\mathrm{LIM} \leq p$ عالميًا. وأما الإيجابية: فمن أجل $x \geq 0$ لدينا $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{متوسط}(-x) \leq 0$. وأما الصمود بالإزاحة: فمتوسطات $x - Sx$ تتلسكب إلى $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$، ومنه $p(\pm(x - Sx)) = 0$ و $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. وأما الحدود: فإن $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (لأن المتوسطات تتخلّف عن الحدود العليا)، وبتطبيق ذلك على $-x$ نحصل على الحد الأدنى. **11.** لدينا $e_n \in c_0$، ومنه $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ من أجل كل $n$. فلو كان $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ مع $y \in \ell^1$، لكان $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ من أجل كل $n$: أي $\Lambda_y = 0$؛ لكن $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. إذن $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: أي $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$، من جديد. **12.** من أجل $x = (0,1,0,1,\dots)$: $x + Sx = \mathbf 1$، ومنه $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$: أي $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$. ولو كان $\varphi$ تمديدًا ضربيًا صامدًا بالإزاحة للنهاية: لأعطى $x\cdot Sx = 0$ أن $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$، ومنه $\varphi(x) = 0$؛ لكن $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ يعطي $2\varphi(x) = 1$: وهو تناقض. فالمتوسطة والضرب لا يتعايشان. **13.** ليكن $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. والإحداثيات محدودة بالعدد $M$: فيعطي استخراج قطري متتاليةً جزئية (لا نزال نكتبها $x^{(k)}$) تحقق $x^{(k)}_n \to x_n$ من أجل كل $n$. عندئذٍ $x \in \ell^p$: لأن $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ من أجل كل $N$. وأما التقارب الضعيف: فمن أجل $y \in \ell^q$ و $N$ كيفي، $$ \abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q}, $$ حيث يؤول الحد الأول إلى $0$ حين $k \to \infty$ (لأن الإحداثيات منتهية العدد) ويكون الثاني صغيرًا من أجل $N$ كبير (بهولدر على الذيل): ومنه $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ من أجل كل $y$ — أي التقارب الضعيف، لأن كل مؤثر دالي هو $\Lambda_y$ ما (السؤال 6). وفي $\ell^1$ يخفق ذلك: لننظر في $(e_n)$، وهي محدودة. وتتقارب أي متتالية جزئية $(e_{n_k})$ إحداثيًا إلى $0$، ومنه فنهايتها الضعيفة المرشّحة الوحيدة هي $0$؛ لكن بالاختبار على $y \in \ell^\infty$ المعرَّف بالعلاقة $y_{n_k} = (-1)^k$ (و $0$ فيما عدا ذلك)، يتباعد $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$. فلا توجد متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا: أي إن التراص الضعيف بالمتتاليات للكرات يميّز العالم الانعكاسي. **14.** من أجل $y \in \ell^1$، يكون $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ معرَّفًا على $c_0$ مع $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$، وبالاختبار على $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ نجد $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$: أي $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$. وبالعكس، من أجل $\Lambda \in (c_0)'$ نضع $y_n = \Lambda(e_n)$؛ وتعطي الاختبارات نفسها أن $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$، ومنه $y \in \ell^1$، و $\Lambda = \Lambda_y$ على المتتاليات المنتهية الكثيفة، ومنه في كل مكان. وسلسلة الثنويات: $(c_0)' = \ell^1$، $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([التمرين 8.10](#exo-b3-banach-10))، $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (الأسئلة 9–11): فتخفق [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) منذ الخطوة الأولى — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — ولا تتعافى أبدًا. **15.** العائلة $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ عائلةٌ من المؤثرات الدالية المحدودة على فضاء *باناخ* $E'$ (فالثنويات تامة، [القضية 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete))؛ ومن أجل كل $\Lambda \in E'$، تتقارب المتتالية $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$، ومنه فهي محدودة. وتعطي باناخ–شتاينهاوس على $E'$ أن $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$، و $J$ تقييسي ([الملاحظة 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): أي $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$. **16.** ($\Rightarrow$) الحد هو السؤال 15؛ والإحداثيات هي المؤثرات الدالية $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) ليكن $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ و $y \in \ell^q$ و $\varepsilon > 0$؛ نختار $N$ يحقق $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$. عندئذٍ $$ \abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon, $$ ويؤول المجموع المنتهي إلى $0$: أي $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ من أجل كل $\varepsilon$. (وأما أن $x \in \ell^p$ مع $\norm x_p \leq M$ فينتج من حدود المقاطع المنتهية على طريقة فاتو: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$.) ومن أجل $e_k$ في $\ell^2$: فهي محدودة وإحداثيًا $\to 0$، ومنه $e_k \rightharpoonup 0$، ومع ذلك $\norm{e_k} = 1$: أي إن وحدة الكتلة تهرب إلى الأدلّة اللامنتهية، غير مرئية لأي مؤثر دالي مثبَّت. **17.** نأخذ $\Lambda$ يحقق $\norm\Lambda = 1$ و $\Lambda(x) = \norm x$ ([النتيجة 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)). عندئذٍ $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$. (ومع $e_k \rightharpoonup 0$: $0 \leq \liminf 1$، ويمكن أن تكون المتراجحة تامة.) **18.** في $\ell^2$، $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (وفي الحالة الحقيقية: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$). ويعطي التقارب الضعيف المطبَّق على المؤثر الدالي $\Lambda_x$ أن $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$، وتتقارب المعايير بالفرضية: ومنه يؤول الطرف الأيمن إلى $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$. ومثال مضادّ دون تقارب المعايير: $e_k \rightharpoonup 0$، $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$. **19.** التقارب الإحداثي: نطبّق المؤثرات الدالية $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ (حيث $y = e_n$). وأما البناء: فبعد اختيار $k_{j-1}, N_{j-1}$، نختار $k_j > k_{j-1}$ كبيرًا بحيث $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (لأن الإحداثيات منتهية العدد وكلٌّ منها يحقق $\to 0$)، ثم $N_j > N_{j-1}$ كبيرًا بحيث يحقق الذيل $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (بتقارب المتسلسلة المعرِّفة للمقدار $\norm{x^{(k_j)}}_1$). وعندئذٍ تحمل الكتلة $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ كلَّ كتلة $x^{(k_j)}$ عدا $\frac\delta{10}$. **20.** مع $y$ كما عُرّف ($\abs{y_n} \leq 1$ في كل مكان): $$ \langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0, $$ والمتراجحة الوسطى لأن الكتلة خارج الكتلة لا تتجاوز $\frac\delta{10}$ (السؤال 19). لكن $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ و $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ يفرضان $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$: وهو تناقض. ومنه فإن المتتاليات المتلاشية ضعيفًا في $\ell^1$ متلاشية بالمعيار، وبالانسحاب تتقارب المتقاربة ضعيفًا بالمعيار: أي مبرهنة شور. **21.** لأي متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا من $(e_k)$ النهايةُ $0$ (بالإحداثيات)، ومنه حسب شور $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — لكن المعايير تساوي $1$. إذن لا توجد متتالية جزئية متقاربة ضعيفًا، كما وجدنا يدويًا في السؤال 13. ولا مفارقة: فتقول مبرهنة شور إن المتتاليات لا تستطيع التمييز بين [الطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) الضعيفة والمعيارية في $\ell^1$ (والطوبولوجيتان نفساهما تختلفان فعلًا — فالجوارات الضعيفة ليست محدودة بالمعيار أبدًا)، والتراص الضعيف بالمتتاليات للكرة الواحدية خاصية مختلفة أقوى، تكافئ [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) (إيبرلاين–شمولْيان، وهي تتجاوز أدواتنا؛ أما الإخفاق فقد برهنّا عليه). **22.** *الإحصاء.* | $E$ | $E'$ | قابل للفصل | انعكاسي | كرات متراصة ضعيفًا | | --- | --- | --- | --- | --- | | $c_0$ | $\ell^1$ | نعم | لا | لا ($e_1{+}\dots{+}e_k$) | | $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | نعم | لا | لا ($e_k$، س. 21) | | $\ell^p$ | $\ell^q$ | نعم | نعم | نعم (س. 13) | | $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | لا | لا | لا | والسمات المميّزة: $c_0$ — ثنويّه المضاعف هو $\ell^\infty$: أي أول خطوة غير [انعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) (السؤال 14)؛ و $\ell^1$ — خاصية شور (السؤال 20)؛ و $\ell^p$ — [الانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) والتراص الضعيف (السؤالان 7 و 13)؛ و $\ell^\infty$ — عدم القابلية للفصل ونهايات باناخ: أي مؤثرات دالية لا تستطيع أي متتالية تمثيلها (الأسئلة 8 و 10–11). عائلة واحدة من الفضاءات، وأربعة عوالم مختلفة. **23.** ليكن $(f_k) \subseteq F$ مع $\norm{x - f_k} \to d$. عندئذٍ $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$: أي إنها محدودة، ومنه حسب السؤال 13 توجد متتالية جزئية $f_{k_j} \rightharpoonup f$. فإذا كان $f \notin F$، فإن $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ (لأن $F$ مغلق)؛ وعلى $F \oplus \R f$ يحقق الشكل الخطي $\lambda(g + tf) = t$ العلاقةَ $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (لأن $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$)، وتمدّده هان–باناخ إلى $\Lambda \in (\ell^p)'$ مع $\Lambda\restriction_F = 0$ و $\Lambda(f) = 1$؛ لكن عندئذٍ $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$: وهو تناقض. إذن $f \in F$، ويعطي $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$، حسب السؤال 17، أن $$ d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d : $$ أي إن المسافة مبلوغة عند $f$. وفي $c_0$: $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ من أجل كل $x \neq 0$ (لأن متتالية متلاشية غير معدومة لا يمكن أن تحقق $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ من أجل كل $n$)، بينما تعطي المبتورات $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ أن $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$: ومنه $\norm\Lambda = 1$، وهو غير مبلوغ أبدًا. وأما صيغة المسافة: فمن أجل $f \in \ker\Lambda$ لدينا $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$، ومنه $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$؛ وبالعكس، من أجل $u$ في الكرة الواحدية مع $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$، تقع المتجهة $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ في $\ker\Lambda$ مع $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$: أي التساوي. ولو بلغها $f \in \ker\Lambda$ ما، لحقّق $z = x - f$ الشرطَ $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$، فيبلغ $\Lambda$ معياره عند $z/\norm z$: وهذا مستحيل. أي فضاء فائق مغلق في $c_0$ بلا أقرب نقطة في أي موضع — [فالانعكاسية](#rem-b3-banach-bidual) لم تكن زخرفة. **24.** نضع $y_1 = x^{(1)}$. وإذا أُعطي $y_1, \dots, y_j$، فإن كل تطبيق $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ يؤول إلى $0$ ($y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$)، ومنه يوجد $k_{j+1}$ بعد الدليل السابق يحقق $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ من أجل $i = 1, \dots, j$؛ ونسمّي هذا الاختيار $y_{j+1}$. عندئذٍ $$ \Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i 0$، نختار $N$ يحقق $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ من أجل $n \geq N$؛ وتعطي الإيجابية المطبَّقة على $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ مع $L(S^Nu) = L(u)$ أن $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$، وبالتناظر $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: ومنه $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ من أجل كل $m$. وإذا كانت $x$ دورية بالدور $T$، فإن $A_Tx$ هي المتتالية الثابتة المساوية متوسط الدور $\mu$: أي $L(x) = \mu$ من أجل *كل* نهاية باناخ — $\frac13$ على $(1,0,0,\dots)$، و $\frac12$ على $(0,1,0,1,\dots)$ كما في السؤال 12. وأما المتتالية الكتلية: فعند $N = 3^j$ مع $j$ زوجي تكون الكتلة الأخيرة كلها آحادًا، ومنه متوسط تشيزارو $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$؛ وعند $N = 3^j$ مع $j$ فردي تقع جميع الآحاد في $\intoc0 {3^{j-1}}$، ومنه المتوسط $\leq \frac13$. ومنه $p(x) \geq \frac23$ و $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$. وعلى $M = c \oplus \R x$ نعرّف $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$. وأما الهيمنة بالمقدار $p$: فمن أجل $t > 0$، تعطي التحت خطية أن $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$، أي $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (ولاحظ $p(\pm y) = \pm\lim y$ من أجل $y \in c$: لأن متوسطات تشيزارو لمتتالية متقاربة تتقارب إلى نهايتها)؛ ومن أجل $t = -s < 0$، يعطي $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ أن $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$؛ ومن أجل $t = 0$ يكون هناك تساوٍ. إذن $\Lambda_+ \leq p$ على $M$، وتمدّده هان–باناخ إلى $L_+ \leq p$ على $\ell^\infty_\R$، وهو نهاية باناخ تمامًا كما في السؤال 10 (فالهيمنة بالمقدار $p$ تعطي الإيجابية والصمود بالإزاحة والقيمة $\lim$ على $c$)، مع $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$. ويعطي الحساب نفسه مع $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (باستعمال $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ من أجل الحالة $t = -s < 0$) نهايةَ باناخ $L_-$ تحقق $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$. أي نهايتا باناخ، ومتتالية واحدة، وقيمتان: فخارج العالم الدوري (وبصورة أعمّ العالم *شبه المتقارب*)، تكون نهاية باناخ اختيارًا حقيقيًا.