---
title: "نظرية القياس"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 3"
subject: math
language: ar
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/9-measure-theory
---

# الفصل 9 — نظرية القياس

كم يبلغ طول جزء من $\R$؟ الجواب الساذج — أن نُسنِد إلى كل مجموعة طولًا صامدًا بالانسحاب يمدّد طول الفترات — *مستحيل*: إذ يُنتج إنشاء فيتالي، في آخر هذا الفصل، مجموعةً بلا طول متسق. ونظرية [القياس](#def-b3-measure-measure) هي التراجع المنضبط: أن نقصر الاهتمام على صنف غني من المجموعات *القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)*، يوجد عليها طولٌ جمعي قابلًا للعدّ ويكون وحيدًا. والمكاسب هائلة — فتكامل لوبيغ ([الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue))، وفضاءات $L^p$ في التحليل الدالي، والاحتمالات الحديثة بأكملها ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability))، كلها مبنيّة على المبرهنات الثلاث المبرهَن عليها هنا: مبرهنة دينكين المساعدة في الوحدانية، ومبرهنة كاراتيودوري في التمديد، ووجود [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter).

## 9.1 الجبور من النمط $\sigma$

**تعريف 9.1.**

*الجبر من النمط $\sigma$* على مجموعة $X$ هو عائلة $\mathcal A$ من الأجزاء تحتوي على $\varnothing$، وصامدة بالمتمم وبالاتحادات *القابلة للعدّ* (ومنه بالتقاطعات القابلة للعدّ وبفروق المجموعات، وتحتوي على $X$). ويُسمّى الزوج $(X, \mathcal A)$ *فضاءً قابلًا [للقياس](#def-b3-measure-measure)*؛ وتُسمّى عناصر $\mathcal A$ *مجموعات قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)*. ومن أجل أي عائلة $\mathcal E$ من الأجزاء، يرمز $\sigma(\mathcal E)$ إلى أصغر جبر من النمط $\sigma$ يحتوي على $\mathcal E$ (وهو تقاطع جميعها — إذ إن تقاطع جبور من النمط $\sigma$ هو جبر كذلك).

**تعريف 9.2.**

*جبر بوريل من النمط $\sigma$* لفضاء طوبولوجي هو $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{المجموعات المفتوحة}\})$. وعلى $\R$: يتولّد $\mathcal B(\R)$ أيضًا بالفترات المفتوحة، وبالفترات المغلقة، وبالأشعة $(-\infty, a]$، وبالأشعة ذات الأطراف الناطقة ([التمرين 9.1](#exo-b3-measure-1)) — إذ تولّد كل عائلة المفتوحاتِ بعمليات قابلة للعدّ، فمثلًا كل [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ لفترات مفتوحة بمعطيات ناطقة.

**تعريف 9.3.**

*النظام من النمط $\pi$* هو عائلة صامدة بالتقاطعات المنتهية. و*النظام من النمط $\lambda$* (أو صنف دينكين) هو عائلة $\mathcal D$ تحقق: $X \in \mathcal
D$؛ و $A, B \in \mathcal D$ مع $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B
\setminus A \in \mathcal D$؛ و $A_n \uparrow A$ مع $A_n \in
\mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$.

**مبرهنة 9.4 (مبرهنة دينكين المساعدة π\piπ–λ\lambdaλ).**

إذا احتوى نظام $\mathcal D$ من النمط $\lambda$ على نظام $\mathcal P$ من النمط $\pi$، فإن $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$.

**برهان.** ليكن $\mathcal D_0$ أصغر نظام من النمط $\lambda$ يحتوي على $\mathcal P$ (وهو تقاطع جميعها)؛ ويكفي أن نبيّن أن $\mathcal D_0$ جبر من النمط $\sigma$، لأن عندئذٍ $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal
D$. وكل نظام من النمط $\lambda$ صامد بالتقاطعات المنتهية *هو* جبر من النمط $\sigma$: فالمتممات ($X \setminus A = X
\setminus A$ مع $A \subseteq X$)، والاتحادات المنتهية ($A \cup B =
X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$)، والاتحادات القابلة للعدّ عبر $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. ومنه نبرهن على أن $\mathcal D_0$ نظام من النمط $\pi$، في خطوتين. لتكن

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

فإن $\mathcal D_1$ نظام من النمط $\lambda$ (إذ تُتحقّق البديهيات الثلاث بالتقاطع مع $P$: فمثلًا $(B\setminus A)\cap P
= (B \cap P)\setminus(A \cap P)$، وهو فرق فعلي داخل $\mathcal D_0$) ويحتوي على $\mathcal P$ (وهي نظام من النمط $\pi$): ومنه $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. ولتكن الآن

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

فحسب الخطوة السابقة $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$؛ و $\mathcal D_2$ نظام من النمط $\lambda$ بالتحقق نفسه: ومنه $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$، وهذا يقول بالضبط إن $\mathcal D_0$ صامد بالتقاطعات. ∎

## 9.2 القياسات

**تعريف 9.5.**

*القياس* على $(X, \mathcal A)$ هو تطبيق $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ يحقق $\mu(\varnothing)
= 0$ ويكون *جمعيًا من النمط $\sigma$*: أي إنه من أجل $(A_n)_{n\in\N}$ منفصلة مثنى مثنى،

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

ويُسمّى $(X, \mathcal A, \mu)$ *فضاء قياس*؛ ويكون $\mu$ *منتهيًا* إذا كان $\mu(X) < \infty$، و*قياس احتمال* إذا كان $\mu(X) = 1$، و*منتهيًا من النمط $\sigma$* إذا كان $X$ اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات ذات قياس منتهٍ. أمثلة: قياس العدّ على $(\N, \mathcal P(\N))$؛ وكتلة ديراك $\delta_a(A)
= \mathbf 1_{a \in A}$؛ وموضوع هذا الفصل، أي [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter).

**قضية 9.6.**

ليكن $\mu$ قياسًا. (a) الرتابة: $A \subseteq B
\Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$. (b) التحت جمعية القابلة للعدّ: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) الاتصال من الأسفل: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$. (d) الاتصال من الأعلى: $A_n \downarrow A$ *مع $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$.

**برهان.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) بجعلها منفصلة: $B_n = A_n
\setminus \bigcup_{k<n}A_k$ منفصلة ولها الاتحاد نفسه، و $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$. (c) $A = \bigsqcup_n (A_n
\setminus A_{n-1})$ ($A_0 = \varnothing$): فالمجاميع الجزئية للمتسلسلة $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ هي $\mu(A_n)$. (d) نطبّق (c) على $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ ونطرح من $\mu(A_1)$ — والانتهاء يجعل الطرح مشروعًا. ومثال مضادّ دونه: $A_n = [n, \infty)$ من أجل [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter): $A_n \downarrow \varnothing$ لكن $\mu(A_n) =
\infty$. ∎

**مبرهنة 9.7 (الوحدانية).**

ليكن $\mu, \nu$ قياسين على $\sigma(\mathcal P)$، ولتكن $\mathcal
P$ نظامًا من النمط $\pi$، مع $\mu = \nu$ على $\mathcal P$. إذا وُجدت مجموعات $P_k \in \mathcal P$ تحقق $P_k \uparrow X$ و $\mu(P_k) < \infty$، فإن $\mu = \nu$ على $\sigma(\mathcal P)$ كلها.

**برهان.** لنثبّت $k$ ولننظر في القياسين المنتهيين $\mu_k(A) = \mu(A \cap
P_k)$ و $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ على $\sigma(\mathcal
P)$: فهما يتوافقان على $\mathcal P$، لأن $P \cap P_k \in \mathcal
P$ (نظام من النمط $\pi$)، ويُسنِدان إلى $X$ القيمة المنتهية نفسها $\mu(P_k)$. والصنف $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) =
\nu_k(A)\}$ نظامٌ من النمط $\lambda$: إذ $X \in \mathcal D$؛ والفروق الفعلية بالطرح (لأن القيم منتهية)؛ والنهايات المتزايدة بالاتصال من الأسفل ([القضية 9.6](#prop-b3-measure-basics)(c)). وهو يحتوي على النظام $\mathcal P$ من النمط $\pi$، ومنه تعطي مبرهنة دينكين ([المبرهنة 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) أن $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$: أي $\mu_k = \nu_k$ في كل مكان. وأخيرًا، من أجل أي $A \in \sigma(\mathcal P)$، يعطي الاتصال من الأسفل على $A
\cap P_k \uparrow A$ أن $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) =
\lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$. ∎

## 9.3 القياسات الخارجية ومبرهنة كاراتيودوري

**تعريف 9.8.**

*القياس الخارجي* على $X$ هو تطبيق $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ يحقق $\mu^*(\varnothing) = 0$، ويكون رتيبًا وتحت جمعي قابلًا للعدّ. وتكون مجموعة $A$ *قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\mu^*$* (كاراتيودوري) إذا شطرت كل مجموعة شطرًا جمعيًا:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{من أجل كل } E \subseteq X
$$

(فالمتراجحة $\leq$ صحيحة دائمًا بالتحت جمعية؛ والمضمون هو $\geq$).

**مبرهنة 9.9 (كاراتيودوري).**

تشكّل المجموعات القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\mu^*$ جبرًا من النمط $\sigma$ هو $\mathcal
M$، ويكون $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ قياسًا. وعلاوة على ذلك، تنتمي كل مجموعة تحقق $\mu^*(N) = 0$ إلى $\mathcal M$ (أي إن [القياس](#def-b3-measure-measure) *تام*).

**برهان.** تحتوي $\mathcal M$ على $\varnothing$ وهي صامدة بالمتمم (لأن الشرط المعرِّف متناظر في $A$ و $X\setminus A$). *الاتحادات المنتهية*: ليكن $A, B \in \mathcal
M$ ولتكن $E$ كيفية؛ بشطر $E$ بواسطة $A$، ثم كل قطعة بواسطة $B$:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

وتغطّي القطع الثلاث الأولى المجموعةَ $E \cap (A \cup B)$، ومنه تعطي التحت جمعية أن $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) +
\mu^*(E\setminus(A\cup B))$: أي $A \cup B \in \mathcal M$. وبالتراجع نحصل على الاتحادات المنتهية؛ ومع المتممات تتاح معالجات الانفصال المنتهي.

*الجمعية على $\mathcal M$*: من أجل $A, B \in
\mathcal M$ منفصلة ومن أجل أي $E$: $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap
A) + \mu^*(E \cap B)$ (بالشطر بواسطة $A$)؛ وبالتراجع،

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*الاتحادات القابلة للعدّ*: لتكن $(A_k) \subseteq \mathcal M$ منفصلة (وهذا يكفي، بجعلها منفصلة داخل الجبر $\mathcal M$)، ولتكن $A = \bigsqcup A_k$، ولتكن $E$ كيفية. باستعمال $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ والرتابة:

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

حسب ($*$). ونجعل $n \to \infty$ ونستعمل التحت جمعية القابلة للعدّ في الاتجاه العكسي:

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):
$$

فتكون جميع المتراجحات تساويات. وهذا يبرهن على $A \in
\mathcal M$ وعلى الجمعية القابلة للعدّ [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu^*$ على $\mathcal M$، بأخذ $E = A$.

*المجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure)*: إذا كان $\mu^*(N) = 0$، فإن من أجل أي $E$: $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$: ومنه $N \in \mathcal M$. ∎

## 9.4 قياس لوبيغ على $\R$

**تعريف 9.10.**

*قياس لوبيغ الخارجي* للمجموعة $A
\subseteq \R$ هو

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(بالتغطيات القابلة للعدّ بفترات مفتوحة).

**مبرهنة مساعدة 9.11.**

التطبيق $\lambda^*$ قياسٌ خارجي، صامد بالانسحابات، ويحقق $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (أي الطول) من أجل كل فترة $I$.

**برهان.** [قياس خارجي](#def-b3-measure-outer): تغطّي المجموعةَ $\varnothing$ فتراتٌ صغيرة كما نشاء؛ والرتابة واضحة؛ وأما التحت جمعية: فإذا أُعطيت تغطيات لكل $A_n$ في حدود $\varepsilon 2^{-n}$ من الحد الأدنى، غطّى اتحادها $\bigcup A_n$ بطول كلي $\leq \sum
\lambda^*(A_n) + \varepsilon$. وأما الصمود بالانسحاب: فبانسحاب التغطيات.

الطول: يكفي أن نعالج $I = \intcc ab$ (فالأنماط الأخرى تختلف بالأطراف، وقياسها الخارجي $0$: بالتغطية بفترات دقيقة؛ ثم نحصر بمقارنات من نمط $\intcc{a+\varepsilon}{b -
\varepsilon} \subseteq \intoo ab$). أما $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$: فبالتغطية بالفترات $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$. وبالعكس، ليكن $\intcc
ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$: فبواسطة *التراص* (بوريل–لوبيغ، [المبرهنة 6.16](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#thm-b3-topology-metriccompact))، يكفي عدد منتهٍ من الفترات، وليكن $I_1, \dots, I_N$. ونبيّن $\sum_{k\leq N}(b_k -
a_k) \geq b - a$ بالتراجع على $N$: نختار $I_{k_1} \ni a$؛ فإذا كان $b_{k_1} > b$ فقد انتهينا ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$)؛ وإلا فإن القطعة $\intcc{b_{k_1}}b$ مغطّاة بالفترات $N - 1$ الباقية، ويعطي التراجع $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k)
\geq b - b_{k_1}$، بينما $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$: ثم نجمع. ∎

**مبرهنة 9.12 (قياس لوبيغ).**

كل مجموعة بوريلية من $\R$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\lambda^*$. ويكون قصر $\lambda$ للتطبيق $\lambda^*$ على الجبر من النمط $\sigma$ $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (ويُسمّى *جبر لوبيغ من النمط $\sigma$*) هو القياسَ الوحيد على $\mathcal B(\R)$ الذي يُسنِد إلى كل فترة طولَها؛ وهو صامد بالانسحاب ومنتهٍ من النمط $\sigma$.

**برهان.** حسب [المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) يكفي أن نبيّن أن كل شعاع $A = \intoo{-\infty}c$ قابل [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\lambda^*$ (لأن الأشعة تولّد $\mathcal B$، [التعريف 9.2](#def-b3-measure-borel)). لتكن $E \subseteq \R$ مع $\lambda^*(E) < \infty$ ولتكن $\bigcup I_n \supseteq E$ تغطية تحقق $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$. وينشطر كل $I_n$ إلى الفترتين $I_n' = I_n \cap A$ و $I_n'' = I_n\setminus A$ (لأن فترةً منقوصةً منها شعاع فترةٌ) مع $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$؛ وتغطّي الفترات $I_n'$ المجموعةَ $E \cap A$ وتغطّي $I_n''$ المجموعةَ $E \setminus A$ (بتوسيع كلٍّ منها إلى فترة مفتوحة طولها $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ للبقاء داخل التعريف)، ومنه

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

وأما الوحدانية: فقياسان يتوافقان مع الطول على النظام من النمط $\pi$ المؤلَّف من الفترات $\intoc ab$ (وهما منتهيان عليها) يتوافقان على $\sigma(\text{الفترات}) = \mathcal B$ حسب [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) مع $P_k = \intoc{-k}k$. وأما الانتهاء من النمط $\sigma$: $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎

**مبرهنة 9.13 (الانتظام).**

من أجل كل $A \in \mathcal L$:

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ مفتوحة}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ متراصة}\}.
$$

**برهان.** *الخارجي*: تغطية $\bigcup I_n$ تحقق $\sum\ell(I_n) \leq
\lambda(A) + \varepsilon$ هي [مجموعة مفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ تحقق $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (بالتحت جمعية)؛ وإذا كان $\lambda(A) = \infty$ فالعبارة تافهة. *الداخلي*: لتكن $A$ أولًا محدودة، $A \subseteq [-M, M]$. نختار مفتوحة $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ تحقق $\lambda(U) \leq
\lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$؛ عندئذٍ تكون $K = [-M,
M]\setminus U$ متراصة مع $K \subseteq A$، و

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

ومن أجل $A$ عامة: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (بالاتصال من الأسفل) ثم نطبّق الحالة المحدودة في الداخل. ∎

**مثال 9.14.**

مجموعة كانتور ([التمرين 6.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-10)) تحقق $\lambda(C) = 0$: إذ $C \subseteq C_n$، وهو اتحاد $2^n$ فترةً طول كلٍّ منها $3^{-n}$، ومنه $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. أي مجموعة غير قابلة للعدّ ومعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) — فعدد العناصر لا يرى [القياس](#def-b3-measure-measure). وبالعكس، فإن *مجموعات كانتور السمينة* ([التمرين 9.5](#exo-b3-measure-5)) غير كثيفة في أي مكان وذات [قياس](#def-b3-measure-measure) موجب: [فالطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) لا ترى [القياس](#def-b3-measure-measure) أيضًا. وتدفع مسألة نهاية الأسبوع هذا التفاعل إلى خلاصته اللافتة: أي إن هناك مجموعات قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ وليست بوريلية.

**مبرهنة 9.15 (فيتالي).**

لا يوجد على *جميع* أجزاء $\R$ قياسٌ صامد بالانسحاب يُسنِد إلى كل فترة طولَها. وعلى وجه الخصوص $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: أي إن المجموعات غير القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) موجودة.

**برهان.** لنفترض وجود مثل هذا $\mu$. على $\intcc01$، لننظر في علاقة التكافؤ $x \sim y \iff x - y \in \Q$؛ ونختار، بحكم *بديهية الاختيار*، ممثّلًا واحدًا في $\intcc01$ لكل صنف: فنحصل على مجموعة $V$. ومن أجل $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$، تكون الانسحابات $V + q$ منفصلة مثنى مثنى (إذ إن نقطتين من $V$ يختلفان بعدد ناطق ستكونان متكافئتين ومع ذلك ممثّلين متمايزين)، و

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

والاحتواء الأول لأن كل $x \in \intcc01$ يختلف عن ممثّله $v$ بعدد ناطق $q = x - v \in
\intcc{-1}1$. وتعطي الرتابة والجمعية من النمط $\sigma$ أن

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{مع } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ من أجل كل } q .
$$

ومجموع لامنتهٍ للثابت $\mu(V)$ يساوي $0$ أو $\infty$: فلا يمكن أن يتحقق الحدّان معًا. إذن لا يوجد مثل هذا $\mu$ — ومنه $V
\notin \mathcal L$، لأن $\lambda$ على $\mathcal L$ يملك جميع الخصائص المستعملة. ∎

**ملاحظة 9.16.**

في $\R^3$ يكون الإخفاق أشدّ إثارة: فمفارقة باناخ–تارسكي تفكّك كرة إلى خمس قطع تُعاد تركيبًا، بالدورانات والانسحابات، لتعطي *كرتين* بنصف القطر نفسه — ومنه فلا يوجد حتى حجم جمعي منتهيًا وصامد بالدوران على جميع أجزاء $\R^3$. والقطع، بطبيعة الحال، غير قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure). فالقابلية [للقياس](#def-b3-measure-measure) ليست حذرًا بيروقراطيًا؛ إنها حدود الاتساق.

**طريقة 9.17.**

*مبدأ المجموعات الجيدة*: لإثبات أن جميع مجموعات $\sigma(\mathcal E)$ تحقق خاصية ما، بيّن أن المجموعات الجيدة تشكّل جبرًا من النمط $\sigma$ (أو نظامًا من النمط $\lambda$، إذا كانت الخاصية قياسية وكانت $\mathcal E$ نظامًا من النمط $\pi$ — فدينكين عندئذٍ) يحتوي على $\mathcal E$. وكل برهان تقريبًا في هذا الفصل والذي يليه حالةٌ من ذلك. ولإثبات تساوي قياسين: تحقق منهما على نظام مولِّد من النمط $\pi$ مع الانتهاء من النمط $\sigma$ ([المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). ولبناء [قياس](#def-b3-measure-measure): ابنِ قياسًا خارجيًا بالتغطيات واستشهد بكاراتيودوري.

## 9.5 تمارين

**تمرين 9.1 ★.**

(a) برهن على أن $\{A \subseteq X : A$ أو $X\setminus A$ قابلة للعدّ$\}$ جبرٌ من النمط $\sigma$: وهو المولَّد بالمجموعات الأحادية. (b) برهن على أن $\mathcal B(\R)$ يتولّد بكلٍّ مما يلي: الفترات المفتوحة؛ والفترات المغلقة؛ والأشعة $\intoc{-\infty}a$؛ والأشعة التي $a \in \Q$ فيها. (c) هل عائلة *الاتحادات المنفصلة المنتهية للفترات* $\intoc ab$ جبرٌ من النمط $\sigma$؟ وهل هي جبر (أي صامدة بالمتمم وبالاتحادات المنتهية)؟

**حل التمرين 9.1.**

(a) يبادل أخذُ المتمم بين الحالتين المعرِّفتين. واتحاد قابل للعدّ لمجموعات قابلة للعدّ قابلٌ للعدّ؛ وإذا كان أحد العناصر متممُه قابل للعدّ، كان الاتحاد متممُه قابلًا للعدّ: فالصمود يتحقق. وهي تحتوي على المجموعات الأحادية، وكل جبر من النمط $\sigma$ يحتوي عليها يحتوي على جميع المجموعات القابلة للعدّ (بالاتحادات القابلة للعدّ) وعلى متمماتها: أي إنه $\sigma(\{\text{مجموعات أحادية}\})$.

(b) نكتب $\mathcal B = \sigma(\text{المفتوحات})$. وكل جزء مفتوح من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ لفترات مفتوحة ذات أطراف ناطقة (فحول كل نقطة ناطقة من المفتوحة يوجد فترة نصف قطرها ناطق داخلها)، ومنه فالمفتوحات $\in
\sigma(\text{فترات مفتوحة}) \subseteq \sigma(\text{معطيات ناطقة})$. والتحويلات: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a +
\frac1n}{b - \frac1n}$؛ $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a -
\frac1n}{b + \frac1n}$؛ $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n
\intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ وبالعكس $\intoo ab =
\intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$؛ والأشعة الناطقة: $\intoc{-\infty}a =
\bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$. وتولّد كل عائلة الأخريات بعمليات قابلة للعدّ: فالعائلات الأربع كلها تولّد $\mathcal B$.

(c) بالأطراف المنتهية وحدها، لا تكون العائلة حتى جبرًا: فمتمم $\intoc01$ يحتوي على أشعة غير محدودة. وبالسماح بأطراف لامنتهية ($\intoc{-\infty}b$، $\intoo
a{+\infty}$) تصير جبرًا (لأن متممات هذه الاتحادات واتحاداتها المنتهية من النوع نفسه)، لكنها ليست جبرًا من النمط $\sigma$: فإن $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ ليست اتحادًا منتهيًا لفترات غير متلاشية.

**تمرين 9.2 ★.**

(a) برهن على مبدأ الاحتواء والاستبعاد من أجل [قياس](#def-b3-measure-measure) منتهٍ: $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$، وعلى الصيغة ذات المجموعات الثلاث. (b) أعطِ مثالًا يبيّن أن الاتصال من الأعلى ([القضية 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) يخفق دون فرضية الانتهاء. (c) برهن على أن [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter) لمجموعة قابلة للعدّ معدومٌ. واستنتج $\lambda(\Q) = 0$ و $\lambda(\intcc01\setminus\Q) =
1$.

**حل التمرين 9.2.**

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$، ومنه $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (والانتهاء يسمح بالطرح). وأما من أجل ثلاث مجموعات: فنطبّق صيغة المجموعتين مرتين،

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(والمجاميع على مجموعات الأدلّة الواضحة).

(b) من أجل [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter)، $A_n = [n, +\infty) \downarrow
\varnothing$، لكن $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$.

(c) تقع نقطة في فترة طولها $\varepsilon$: ومنه $\lambda(\{x\}) = 0$؛ وتقضي التحت جمعية القابلة للعدّ على المجموعات القابلة للعدّ. ومنه $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$، وبالجمعية $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: أي إن الأعداد الصمّاء تحمل الطول كله.

**تمرين 9.3 ★★.**

ليكن $\mu, \nu$ قياسَي احتمال على $\mathcal B(\R)$ يحققان $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ من أجل كل $t \in \R$. برهن على $\mu = \nu$. (وهذا يجعل *دالة التوزيع* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ صامدًا تامًّا — وهو أساس [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability).)

**حل التمرين 9.3.**

تشكّل الأشعة $\intoc{-\infty}t$ نظامًا من النمط $\pi$ (لأن تقاطع اثنين منها هو الأصغر) يولّد $\mathcal B(\R)$ ([التمرين 9.1](#exo-b3-measure-1)). والمجموعات $P_k = \intoc{-\infty}k$ تتزايد إلى $\R$ مع $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$: ومنه تنطبق [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)، ويكون $\mu = \nu$ على $\mathcal B(\R)$. ومن ثَمّ تحدّد دالةُ التوزيع القياسَ.

**تمرين 9.4 ★★.**

(بوريل–كانتيلي، صيغة [القياس](#def-b3-measure-measure)) لتكن $(A_n)$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) مع $\sum_n\mu(A_n) < \infty$، ولتكن $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (أي النقط المنتمية إلى عدد لامنتهٍ من المجموعات $A_n$). برهن على $\mu(\limsup A_n) = 0$. تطبيق: من أجل كل $x \in \intcc01$ تقريبًا، لا يحقق سوى عدد منتهٍ من الأدلّة $n$ الشرطَ $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ من أجل العدد الناطق النوني $p/q_n$ من ترقيم للمجموعة $\Q\cap\intcc01$.

**حل التمرين 9.4.**

من أجل كل $N$، $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$، ومنه $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$، وهو ذيل متسلسلة متقاربة: فنجعل $N \to \infty$. تطبيق: بوضع $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ (حيث $r_n$ العدد الناطق النوني)، يكون $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ قابلًا للجمع: ومنه $\lambda(\limsup A_n) = 0$، أي إن كل $x$ تقريبًا ينتمي إلى عدد منتهٍ فقط من المجموعات $A_n$. (ومع ذلك فكل $x$ نهايةٌ لأعداد ناطقة: والمهم هو *السرعة* $4^{-n}$.)

**تمرين 9.5 ★★.**

(مجموعة كانتور السمينة) أعد إنشاء كانتور على $\intcc01$، لكن انزع عند الخطوة $n$ من كل فترة من الفترات $2^{n-1}$ فترةً مفتوحةً *متمركزةً* طولها $4^{-n}$ لا غير. برهن على أن $K = \bigcap K_n$ الناتجة متراصة وداخلها خالٍ (فلا يبقى أي فترة)، وأن

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

أي مجموعة غير كثيفة في أي مكان وقياسها $\frac12$. واستنتج جزءًا *هزيلًا* من $\intcc01$ قياسه الكامل $1$، وجزءًا مفتوحًا كثيفًا قياسه $< \varepsilon$.

**حل التمرين 9.5.**

المجموعة $K = \bigcap K_n$ تقاطعٌ لاتحادات منتهية من الفترات المغلقة: ومنه فهي متراصة. وعند المرحلة $n$ يبقى $2^n$ فترةً طول كلٍّ منها $\ell_n \leq 2^{-n}$ (لأن كل مرحلة تنصّف وتقلّص)؛ وأي فترة $I \subseteq K$ ستقع داخل فترة واحدة من فترات المرحلة $n$ من أجل كل $n$، وهذا يفرض $\ell(I) = 0$: أي إن الداخل خالٍ. [والقياس](#def-b3-measure-measure) المنزوع هو $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot
4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$، وجميع المنزوعات فترات مفتوحة منفصلة: ومنه $\lambda(K) = \frac12$.

نسخة أخرى: نزع فترات مركزية طولها $\varepsilon
4^{-n}$ يترك متراصًّا غير كثيف في أي مكان $K^{(\varepsilon)}$ قياسه $1 - \frac\varepsilon2$. وعندئذٍ تكون $\bigcup_m
K^{(1/m)}$ هزيلةً (بوصفها اتحادًا قابلًا للعدّ لمجموعات غير كثيفة في أي مكان) وقياسها $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: أي [مجموعة هزيلة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/7-complete-spaces-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) كامل — ويكون متممها في $\intoo01$ مجموعةً $G_\delta$ كثيفة قياسها $0$ (سمينة طوبولوجيًا، معدومة متريًا). ومتمم $K^{(\varepsilon)}$ في $\intoo01$ مفتوح وكثيف وقياسه $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

**تمرين 9.6 ★★.**

ليكن $\mu$ قياسًا على $\mathcal B(\R)$ صامدًا بالانسحابات مع $c = \mu(\intoc01) < \infty$. برهن على $\mu =
c\,\lambda$ على $\mathcal B(\R)$. *(احسب $\mu$ على الفترات الثنائية بقسمة $\intoc01$ إلى $2^n$ انسحابًا، ثم استشهد بما ورد في [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**حل التمرين 9.6.**

بقطع $\intoc01$ إلى $2^n$ انسحابًا للفترة $\intoc0{2^{-n}}$: نجد $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$، ومنه $\mu(\intoc0{2^{-n}}) =
c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. وبالصمود بالانسحاب والجمعية، يكون $\mu = c\lambda$ على كل فترة $\intoc ab$ يكون فيها $b - a$ عددًا ناطقًا ثنائيًا ومن أجل أي $a$؛ وأي فترة عامة $\intoc ab$ اتحادٌ متزايد لفترات كهذه (بخطوات ثنائية $b_k \uparrow b$ انطلاقًا من $a$)، ويمدّد الاتصال من الأسفل التساوي. وتشكّل الفترات $\intoc ab$ نظامًا من النمط $\pi$ يولّد $\mathcal B(\R)$، مع $\intoc{-k}k
\uparrow \R$ ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) منتهٍ ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): ومنه تعطي [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) أن $\mu = c\lambda$ على $\mathcal B(\R)$.

**تمرين 9.7 ★★.**

(التقريب) لتكن $A \in \mathcal L$ مع $\lambda(A) <
\infty$ و $\varepsilon > 0$. برهن على وجود اتحاد *منتهٍ* لفترات $B$ يحقق $\lambda(A\,\triangle\,B) <
\varepsilon$ (حيث $\triangle$ = الفرق المتناظر). *(بالانتظام: احصر $K \subseteq A \subseteq U$ واستعمل بنية المفتوحة $U$ بوصفها اتحادًا قابلًا للعدّ لفترات، مع تراص $K$.)*

**حل التمرين 9.7.**

بالانتظام ([المبرهنة 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) نختار $K
\subseteq A \subseteq U$ حيث $K$ متراصة و $U$ مفتوحة و $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (والتقريبان كلاهما في حدود $\varepsilon/2$، و $\lambda(U \setminus K) =
\lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). نكتب $U$ اتحادًا قابلًا للعدّ منفصلًا لفترات مفتوحة $(I_n)$ (وهي مركّبات المفتوحة)؛ ويغطّي عددٌ منتهٍ منها المتراصَّ $K$، أي $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq
U$. عندئذٍ $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq
U\setminus K$ و $B \setminus A \subseteq U \setminus A
\subseteq U\setminus K$: ومنه $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — ونبدأ من $\varepsilon/2$ لننتهي دون $\varepsilon$.

**تمرين 9.8 ★★★.**

(شتاينهاوس) لتكن $A \in \mathcal L$ مع $\lambda(A) > 0$. برهن على أن $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ تحتوي على فترة حول $0$. *(اختزل إلى $\lambda(A) < \infty$؛ وبانتظام من نمط [التمرين 9.7](#exo-b3-measure-7)، جد فترةً $I$ تحقق $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$؛ ثم من أجل $\abs t <
\frac12\ell(I)$، تقع المجموعتان $A\cap I$ و $(A\cap I) + t$ كلتاهما في فترة طولها $\frac32\ell(I)$ وقياسهما الكلي $> \frac32\ell(I)$: ومنه يجب أن تتقاطعا.)*

**حل التمرين 9.8.**

باستبدال $A \cap [-M, M]$ ذات [القياس](#def-b3-measure-measure) الموجب بالمجموعة $A$ (وثمة $M$ يفي بالغرض، بالاتصال من الأسفل)، نفترض $0 < \lambda(A) <
\infty$. نأخذ $U \supseteq A$ مفتوحة تحقق $\lambda(U) <
\frac43\lambda(A)$ ونفكّك $U = \bigsqcup_nI_n$ إلى فترات مفتوحة منفصلة: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap
I_n)$. فلو كان لكل $n$ الشرطُ $\lambda(A\cap I_n) \leq
\frac34\ell(I_n)$، لأعطى الجمع أن $\lambda(A) \leq
\frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: ومنه توجد فترة $I$ تحقق $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. نضع $B = A \cap I$ ولنأخذ $\abs t < \frac12\ell(I)$: فتقع كلٌّ من $B$ و $B + t$ في الفترة $I \cup (I + t)$، وطولها $< \frac32\ell(I)$. ولو كانتا منفصلتين: لتجاوز $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B)
> \frac32\ell(I)$ قياسَ الفترة الحاوية — وهذا مستحيل. إذن $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: أي إن عنصرًا $x \in B$ يُكتب $x = y + t$ حيث $y \in B$، ومنه $t = x -
y \in A - A$. ومن ثَمّ $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A -
A$.

**تمرين 9.9 ★★★.**

برهن على أن كل $A \in \mathcal L$ مع $\lambda(A) > 0$ تحتوي على جزء غير قابل [للقياس](#def-b3-measure-measure). *(قاطع $A$ مع انسحابات $V + q$ لمجموعة فيتالي: فلو كانت جميع المجموعات $A \cap (V+q)$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)، لكانت كلٌّ منها معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بحجّة [المبرهنة 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — وتساعد مبرهنة شتاينهاوس ([التمرين 9.8](#exo-b3-measure-8)): إذ إن مجموعة قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) موجب داخل $V + q$ ستعطي $(V+q) - (V+q) \supseteq$ فترةً، وهذا يناقض كون مجموعة الفروق هذه لا تلاقي $\Q$ إلا عند $0$؛ ثم اخلص بالتحت جمعية.)*

**حل التمرين 9.9.**

تُجزّئ انسحابات فيتالي $(V + q)_{q\in\Q}$ المجموعةَ $\R$ (لأن كل عدد حقيقي مكافئ لممثّل واحد بالضبط). ولنفترض أن جميع المجموعات $B_q = A \cap (V + q)$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure). فأي عنصرين من $V + q$ يختلفان بعدد أصمّ أو بالصفر (لأن ممثّلين متمايزين غير متكافئين)، ومنه فإن $B_q - B_q$ لا يلاقي $\Q$ إلا في $\{0\}$: أي إنه لا يحتوي على أي فترة، وتفرض مبرهنة شتاينهاوس ([التمرين 9.8](#exo-b3-measure-8)) أن $\lambda(B_q) = 0$. وعندئذٍ $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$، وهذا يناقض $\lambda(A) > 0$. إذن إحدى المجموعات $B_q \subseteq A$ غير قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure).

**تمرين 9.10 ★★.**

برهن على أن $A \subseteq \R$ مع $\lambda^*(A) < \infty$ قابلةٌ [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ إذا وفقط إذا وُجدت، من أجل كل $\varepsilon > 0$، مفتوحةٌ $U \supseteq A$ تحقق $\lambda^*(U \setminus A) <
\varepsilon$، وإذا وفقط إذا وُجدت مجموعة $G_\delta$ هي $G \supseteq A$ تحقق $\lambda^*(G\setminus A) = 0$. (ومنه فإن مجموعات لوبيغ هي مجموعات بوريل بترديد المجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure).)

**حل التمرين 9.10.**

*قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\Rightarrow$ التقريب في حدود $\varepsilon$*: بالانتظام الخارجي ([المبرهنة 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) نختار مفتوحة $U \supseteq A$ تحقق $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$؛ وتسمح القابلية [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالطرح $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$. *صيغة $\varepsilon$ $\Rightarrow$ صيغة $G_\delta$*: نأخذ $U_n$ تحقق $\lambda^*(U_n\setminus
A) < \frac1n$ و $G = \bigcap U_n$: فنحصل على مجموعة $G_\delta$ تحقق $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *صيغة $G_\delta$ $\Rightarrow$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)*: إن $G\setminus
A$ معدومة بالمعنى $\lambda^*$، ومنه فهي قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالتمام ([المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))، وتكون $A = G \setminus
(G\setminus A)$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) (لأن $G$ بوريلية). إذن مجموعات لوبيغ هي بالضبط «بوريل بترديد المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure)».

**تمرين 9.11 ★★.**

(الاتصال على النهايات الرتيبة، ودقّته) (a) برهن على أنه من أجل المجموعات القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)، $\mu(\liminf A_n) \leq
\liminf\mu(A_n)$ (فاتو للمجموعات)، وعلى أنه إذا كان $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ فإن $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ أيضًا. (b) أعطِ، من أجل [قياس لوبيغ](#def-b3-measure-lebesgueouter) على $\R$، متتاليةً تحقق $\mu(A_n) = 1$ من أجل كل $n$ ومع ذلك $\mu(\limsup A_n) = 0$: أي إن فرضية الانتهاء في المتراجحة الثانية ليست زخرفية. (c) استنتج: أنه إذا كان $\sum\mu(A_n) < \infty$ فإن $\mu(\limsup A_n) = 0$ (بوريل–كانتيلي مرة أخرى)، وأنه إذا كانت المجموعات $A_n$ متزايدة أو متناقصة (مع $\mu(A_1) < \infty$ في الحالة المتناقصة)، فإن $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$.

**حل التمرين 9.11.**

(a) المجموعة $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ اتحادٌ متزايد للمجموعات $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$، ومنه $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (بالاتصال من الأسفل)؛ و $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$، ونهايتها $\liminf\mu(A_n)$. وأما من أجل $\limsup$: فنطبّق الأمر نفسه على المتممات داخل المحيط ذي [القياس](#def-b3-measure-measure) المنتهي $U = \bigcup A_n$ — إذ يتطلب الاتصال من الأعلى على المجموعات المتناقصة $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ أن يكون $\mu(C_1)
\leq \mu(U) < \infty$، ويعطي $\mu(\limsup A_n) =
\lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) الفترة المتحرّكة $A_n = \intcc n{n+1}$: فكل نقطة تنتمي إلى مجموعتين من $A_n$ على الأكثر ولا تنتمي إلى أي منها في نهاية المطاف، ومنه $\limsup A_n = \varnothing$؛ ومع ذلك $\mu(A_n) = 1$. إذن $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: فدون غلاف ذي [قياس](#def-b3-measure-measure) منتهٍ تخفق المتراجحة الثانية في (a) — إذ تهرب الكتلة إلى اللانهاية، حيث لا تستطيع أي مجموعة مثبَّتة أن تمسكها.

(c) إذا كان $\sum\mu(A_n) < \infty$: فإن $\mu(C_N) \leq
\sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ و $\limsup A_n =
\bigcap C_N$ قياسها $\leq \inf\mu(C_N) = 0$. وأما الحالتان الرتيبتان: فالمتزايدة هي الاتصال من الأسفل، والمتناقصة مع $\mu(A_1) < \infty$ هي الاتصال من الأعلى — وكلاهما مبرهَن عليه في الخصائص الأساسية في [الفصل 9](#ch-b3-measure)؛ ويبيّن المثال المضادّ $A_n = \intco n\infty$ (المتناقص إلى $\varnothing$ مع $\mu \equiv \infty$) أن الانتهاء أساسي مرة أخرى.

**تمرين 9.12 ★★★.**

(مبرهنة إيغوروف) لتكن $\mu(X) < \infty$ وليكن $f_n \to f$ نقطةً نقطة، مع كون الجميع قابلًا [للقياس](#def-b3-measure-measure) (وحقيقي القيم). ومن أجل $k, N \geq 1$ نضع

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(a) برهن على أنه من أجل $k$ مثبَّت يكون $E_{k,N} \nearrow X$ حين $N \to
\infty$، واستنتج وجود $N_k$ يحقق $\mu(X \setminus E_{k,N_k})
\leq \varepsilon2^{-k}$. (b) اخلص إلى *مبرهنة إيغوروف*: أنه من أجل كل $\varepsilon
> 0$ توجد مجموعة قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) $A$ تحقق $\mu(X\setminus A) \leq
\varepsilon$ بحيث يكون $f_n \to f$ *بانتظام على $A$* — أي إن التقارب نقطةً نقطة هو تقارب منتظم خارج مجموعة صغيرة كما نشاء. (c) برهن على أن المبرهنة تخفق على $(\R, \lambda)$: فالنتوءات المتحرّكة $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ تتقارب نقطةً نقطة إلى $0$ لكن ليس بانتظام على متمم أي مجموعة ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) منتهٍ. وأين استُعمل $\mu(X) < \infty$ في (a)؟

**حل التمرين 9.12.**

(a) تتزايد المجموعات $E_{k,N}$ مع $N$ (لأن القيود تقلّ)، ويحقق كل $x$ في نهاية المطاف $\abs{f_n(x)
- f(x)} \leq \frac1k$ من أجل كل $n \geq N(x)$ (بالتقارب نقطةً نقطة): ومنه $\bigcup_NE_{k,N} = X$. وبالاتصال من الأسفل: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$، ومنه $\mu(X\setminus
E_{k,N}) \to 0$؛ ونختار $N_k$ تبعًا لذلك.

(b) لتكن $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. وعلى $A$: من أجل كل $k$، يحقق كل $n \geq N_k$ الشرطَ $\sup_A\abs{f_n - f} \leq
\frac1k$ — وهو بالضبط التقارب المنتظم على $A$.

(c) من أجل النتوء المتحرّك، يتطلب التقارب المنتظم على $A$ أن تتجنّب $A$ في نهاية المطاف كل فترة $\intcc n{n+1}$ — وبدقة أكبر، يفرض $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ أن تكون $A \cap \intcc
n{n+1}$ خالية من أجل $n$ كبير، ومنه يحتوي $X \setminus A$ على ذيل $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ قياسه لامنتهٍ. وفي (a)، حوّل الانتهاءُ العبارةَ «$E_{k,N}\nearrow X$» إلى «قياسات المتممات تؤول إلى $0$»: فالاتصال من الأعلى يحتاج إلى بداية منتهية، وعلى الفضاءات ذات [القياس](#def-b3-measure-measure) اللامنتهي يكون الهروب إلى اللانهاية هو بالضبط ما لا يستطيع رؤيته.

## 9.6 مسألة: سلّم كانتور–فيتالي ومجموعة قابلة للقياس وليست بوريلية

![سلّم كانتور–فيتالي: ثابت على كل فجوة من فجوات مجموعة كانتور، ومع ذلك يصعد من 0 إلى 1 اتصالًا. ومشتقه ينعدم في كل مكان تقريبًا — فكل الصعود يحدث على مجموعة معدومة القياس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-9cf3016b26bb.svg)

*سلّم كانتور–فيتالي: ثابت على كل فجوة من فجوات مجموعة كانتور، ومع ذلك يصعد من $0$ إلى $1$ اتصالًا. ومشتقه ينعدم في كل مكان تقريبًا — فكل الصعود يحدث على مجموعة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure).*

**مسألة 9.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — سلّم الشيطان، و $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

نبني *دالة كانتور–فيتالي* (سلّم الشيطان)، ونستعملها لنقل [القياس](#def-b3-measure-measure) نقلًا شاذًّا، ونخلص إلى مبرهنة لا تعطيها أي حجّة لطيفة: أي إن هناك مجموعات قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ وليست بوريلية. والترميز: $C$ مجموعة كانتور، و $C_n$ مرحلتها النونية ($2^n$ فترةً طول كلٍّ منها $3^{-n}$)، ولكل $x \in C$ أرقام ثلاثية $x = \sum 2b_n3^{-n}$ مع $b_n \in \{0,1\}$ ([التمرين 6.10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#exo-b3-topology-10)).

**الجزء الأول — السلّم.** نعرّف $c_0(x) = x$ و $c_{n+1}$ انطلاقًا من $c_n$ بالعلاقة

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. برهن على أن كل $c_n$ متصلة وغير متناقصة مع $c_n(0) = 0$ و $c_n(1) = 1$ ، وعلى أن $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq  \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
2. استنتج أن $(c_n)$ تتقارب بانتظام إلى دالة متصلة غير متناقصة $c$ تحقق $c(0) = 0$ و $c(1) = 1$ (وهي *دالة* كانتور–فيتالي)، وتحقق العلاقات الذاتية التشابه نفسها التي تحققها $c_{n+1}$ أعلاه.
3. برهن على أن $c$ ثابتة على كل مركّبة مترابطة من $\intcc01\setminus C$ ، وعلى أنه من أجل $x = \sum_n  2b_n3^{-n} \in C$ يكون $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : أي إن السلّم يقرأ أرقام كانتور بالنظام الثنائي (وهي دالة $g$ الواردة في [المسألة 6.1](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#pb-b3-topology-1) ، مجعولةً رتيبة وشاملة).
4. استنتج أن $c$ قابلة للاشتقاق مع $c' = 0$ عند كل نقطة من $\intcc01\setminus C$: أي $c' = 0$ *في كل مكان تقريبًا بالمعنى $\lambda$* ([المثال 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). واخلص إلى أن مبرهنة التحليل الأساسية تخفق من أجل $c$: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (والتكامل على المجموعة ذات [القياس](#def-b3-measure-measure) الكامل التي ينعدم عليها $c'$؛ واستباقًا لما في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue)، لا تؤثر المجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) في التكاملات). وأي فرضية من فرضيات المبرهنة الأساسية من الصنف $\mathcal C^1$ خُولفت؟
5. برهن على $c(C) = \intcc01$ : أي إن المجموعة المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) $C$ تُرسَل *على* مجموعة ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) كامل.

**الجزء الثاني — [التماثل الطوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) الملتوي.** لتكن $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$.

6. برهن على أن $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ [تماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) (فهي متزايدة تمامًا ومتصلة وشاملة).
7. برهن على $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) =  \tfrac12$ : إذ يفعل $h$ على كل فجوة طولها $\ell$ بوصفه تطبيقًا تآلفيًا ميله $\tfrac12$ ، ويكون الطول الكلي للفجوات $1$ .
8. استنتج $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : أي إن الصورة المماثلة طوبولوجيًا لمجموعة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) يمكن أن يكون قياسها موجبًا. (وأين يناقض هذا الحدس الساذج حول «الحجم»؟)

**الجزء الثالث — مجموعة قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) وليست بوريلية.**

9. حسب [التمرين 9.9](#exo-b3-measure-9) ، اختر مجموعة غير قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) $W  \subseteq h(C)$ . برهن على أن $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ. *(فهي جزء من مجموعة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure)؛ بالتمام، [المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)*
10. برهن على أن سابق مجموعة بوريلية [بتطبيق متصل](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) بوريليٌّ. *(بمبدأ المجموعات الجيدة: فإن $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ جبر من النمط $\sigma$ يحتوي على [المجموعات المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) — وانتبه إلى اتجاه التطبيق.)*
11. اخلص إلى أن $Z$ *ليست* بوريلية: إذ لو كانت كذلك لكانت $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ بوريلية (بتطبيق السؤال 10 على $h^{-1}$ المتصل)، ومنه قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) — وهو تناقض. ومن ثَمّ $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ ويوسّع التمامُ عالمَ بوريل فعلًا.
12. أعطِ دالة $g$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ ودالة متصلة $\varphi$ بحيث لا تكون $g \circ  \varphi$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ: فالقابلية [للقياس](#def-b3-measure-measure) ، بخلاف الاتصال، لا تتركّب. *(خذ $g =  \mathbf 1_Z$ و $\varphi = h^{-1}$، استباقًا لتعريف الدوال القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) من [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue): فسوابق المجموعات البوريلية مجموعات لوبيغ. وأين يجب الحذر بشأن أي جبر من النمط $\sigma$ يُستعمل على المستقر؟)*

**الجزء الرابع — خاتمة.**

13. رتّب الأصناف التالية بالاحتواء التام وبرّر كل تمامية بمثال من هذا الفصل ومسألته: المجموعات القابلة للعدّ؛ والمجموعات البوريلية المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) ؛ والمجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ؛ ومجموعات بوريل؛ ومجموعات لوبيغ؛ والمجموعات الكيفية.

**الجزء الخامس — [قياس](#def-b3-measure-measure) كانتور: كتلة على مجموعة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure).** السلّم هو دالة توزيع [لقياس](#def-b3-measure-measure) لافت، وسنبنيه الآن بأدوات هذا الفصل نفسه.

14. (لوبيغ–ستيلتيس، الوجود) لتكن $F\colon\R\to\R$ غير متناقصة ومتصلة ومحدودة. نعرّف على الفترات نصف المفتوحة $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) -  F(a)$، ومن أجل $A \subseteq \R$، $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ برهن على أن $\mu_F^*$ [قياس خارجي](#def-b3-measure-outer) وعلى أن $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(قلّد حجّة التراص في [المبرهنة 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue)، بتوسيع كل $\intoc{a_k}{b_k}$ إلى فترة مفتوحة بكلفة $F$ قدرها $\leq \varepsilon2^{-k}$ — وأين يُستعمل اتصال $F$؟)*.
15. برهن على أن كل مجموعة بوريلية قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\mu_F^*$ بمفهوم كاراتيودوري *(كما في حالة لوبيغ، يكفي الاختبار على أنصاف المستقيمات؛ اتّبع برهان تطبيق [المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* ، ومنه فإن $\mu_F = \mu_F^*$ مقصورًا على $\mathcal B(\R)$ قياسٌ يحقق $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : وهو *[قياس](#def-b3-measure-measure) لوبيغ–ستيلتيس* للدالة $F$ .
16. طبّق ذلك على السلّم ($F = c$ ممدَّدةً بالقيمة $0$ على $\R_-$ وبالقيمة $1$ على $\intco1\infty$): فنحصل على *[قياس](#def-b3-measure-measure) كانتور* $\mu$. برهن على $\mu(\R) = 1$، وعلى أن كل فجوة من فجوات مجموعة كانتور معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\mu$ (لأن $c$ ثابتة هناك)، واخلص إلى $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ أي إن $\mu$ و $\lambda$ يعيشان على حاملين منفصلين ($C$ ومتممها). ويُقال عن قياسين في هذا الوضع إنهما *مفردان تبادليًا*، ويُكتب $\mu \perp  \lambda$.
17. برهن على أنه ليست [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu$ ذرّات: أي $\mu(\{x\}) = 0$ من أجل كل $x$ *(باتصال $c$)* . أي [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال بلا ذرّات محمول على متراص معدوم [القياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ: قارن ذلك بالقياسات الوحيدة التي رأيناها حتى الآن.
18. (رمي القطعة النقدية متنكّرًا) من أجل كلمة $(\varepsilon_1,  \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ ، لتكن $C_{\varepsilon}$ مجموعة العناصر $x \in C$ التي تحقق أرقامها الثلاثية $b_i(x) = \varepsilon_i$ من أجل $i \leq m$ (أي إحدى قطع كانتور $2^m$ من العمق $m$ ). برهن على $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(فالسلّم يصعد $2^{-m}$ عبر تلك القطعة: استعمل الجزء الأول، السؤال 3)* . [فقياس](#def-b3-measure-measure) كانتور هو قانون متتالية لامنتهية من رميات قطعة نقدية عادلة مقروءةً بالنظام الثلاثي — وسيجعل [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/22-probability-foundations-and-the-law-of-large-numbers#ch-b3-probability) ذلك دقيقًا.
19. برهن على التشابه الذاتي: من أجل كل مجموعة بوريلية $A$، $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ حيث $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(تحقق منه على الفترات المولِّدة $\intoc ab$ بالعلاقات الذاتية التشابه للدالة $c$، ثم استشهد بالوحدانية، [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*.
20. برهن على أن الانعكاس $s(x) = 1 - x$ يحفظ $\mu$ : أي $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(عبر $c(1 - x) = 1 -  c(x)$، وهو ينتج من تناظر البناء — برهن عليه)* .
21. احسب أول عزمين [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu$، أي لنقطة عشوائية $X$ قانونها $\mu$ (ويمكن معالجة التكاملات بوصفها نهايات لمجاميع على قطع العمق $m$، استباقًا لما في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue)): فيعطي التناظر $\int x\,\dd\mu = \frac12$، ويعطي التشابه الذاتي $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{ومنه}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ قارن ذلك بالقانون المنتظم على $\intcc01$ (وتباينه $\frac1{12}$): فكتلة كانتور، مدفوعةً إلى الحواف، تنتشر *أكثر*.
22. برهن على أن *الحامل* (الطوبولوجي) [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu$ — أي أصغر مجموعة مغلقة ذات [قياس](#def-b3-measure-measure) كامل — هو $C$ بالضبط.
23. (تركيب) السلّم $c$ متصل وغير متناقص ومع ذلك يخالف مبرهنة التحليل الأساسية (الجزء الأول)؛ [والقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال بلا ذرّات ومفرد بالنسبة إلى $\lambda$ . اشرح في فقرة قصيرة كيف يكون هذان وجهين لظاهرة واحدة، واذكر العبرة العامة: أن الدوال غير المتناقصة توافق قياسات ( $F \leftrightarrow \mu_F$ )، وأن القابلية للاشتقاق في كل مكان تقريبًا توافق «الجزء المتصل اتصالًا مطلقًا»، وأن $c$ هي الشاهد المعياري على أن دالة متصلة $F$ يمكن ألّا تحمل *أي* جزء متصل اتصالًا مطلقًا البتة.
24. (معامل الاتصال الدقيق) لتكن $s =  \frac{\ln 2}{\ln 3}$. برهن على أن $c$ هولدرية متصلة من الأُسّ $s$: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ وعلى أنه لا يصلح أي أُسّ $t > s$، ولا حتى محليًا. واستنتج الصيغة القياسية: أنه من أجل كل $x$ وكل $r \in \intoc01$، $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(قارن شبكة ثلاثية من العمق $m$ بمقياس $\abs{x - y}$؛ ويعطي السؤال 18 الصعودَ عبر كل قطعة. والأُسّ $s$ هو بُعد هاوسدورف للمجموعة $C$، كما ستقول مقرّرات لاحقة.)*
25. (التشابه الذاتي يميّز $\mu$) برهن على عكس السؤال 19: أنه إذا كان $\nu$ [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال على $\mathcal B(\R)$ محمولًا على $\intcc01$ ويحقق $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ فإن $\nu = \mu$. *(كرّر العلاقة $m$ مرة لنشر $\nu$ على قطع كانتور $2^m$ من العمق $m$، وقدّر $\nu(\intoc ab)$ مقابل عدد القطع الواقعة داخل $\intoc ab$، ثم اجعل $m \to \infty$؛ وأنهِ بما ورد في [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**حل المسألة 9.1.**

**1.** بالتراجع. الاتصال: تتوافق الصيغ الثلاث عند الوصلات ($\frac12c_n(1) = \frac12$ و $\frac12 +
\frac12c_n(0) = \frac12$)؛ وكل قطعة متصلة. وتُورَث الرتابة والقيم الحدّية. وأما تقدير التقلّص: فعلى $[0,\frac13]$، $\abs{c_{n+1} - c_n}(x)
= \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n -
c_{n-1}}_\infty$؛ وعلى الثلث الأوسط يكون الفرق $0$؛ وعلى الثلث الأيمن، الأمر نفسه كما في الأيسر.

**2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq
2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$: فمتسلسلة التزايدات تتقارب بانتظام، ومنه $c_n \to c$ بانتظام؛ وتكون $c$ متصلة وغير متناقصة مع $c(0) = 0$ و $c(1) = 1$ (وكلها محفوظة بالنهايات المنتظمة)، ويبيّن الانتقال إلى النهاية في العلاقة التراجعية المعرِّفة أن $c$ نفسها تحقق المتطابقات الثلاث الذاتية التشابه.

**3.** بالمتطابقة الوسطى، $c \equiv \frac12$ على $\intcc{\frac13}{\frac23}$، وهي الفجوة الأولى. وكل فجوة من فجوات $C$ هي صورة الفجوة الأولى بتركيب للتقلّصين التآلفيين $x \mapsto \frac x3$ و $x\mapsto\frac{x +
2}3$؛ وتنقل المتطابقات الثباتَ تبعًا لذلك (بقيم هي الأعداد الناطقة الثنائية). وأما صيغة الأرقام، فلنأخذ $x =
\sum_n 2b_n3^{-n} \in C$: إذا كان $b_1 = 0$ فإن $x \in
[0,\frac13]$ و $c(x) = \frac12c(3x)$ مع كون $3x$ ذا أرقام $(b_2, b_3, \dots)$؛ وإذا كان $b_1 = 1$ فإن $x \in [\frac23, 1]$ و $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$، بالإزاحة نفسها. وبالتراجع، تكون الأرقام الثنائية $N$ الأولى للعدد $c(x)$ هي $b_1,
\dots, b_N$ من أجل كل $N$: ومنه $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$.

**4.** خارج $C$، تكون $c$ ثابتة محليًا: أي قابلة للاشتقاق بمشتق $0$. وبما أن $\lambda(C) = 0$ ([المثال 9.14](#ex-b3-measure-cantor))، فإن $c' = 0$ في كل مكان تقريبًا. ومع ذلك $c(1) - c(0) = 1$: فالمبرهنة الأساسية في صيغتها $\mathcal
C^1$ تتطلب أن تكون $c$ قابلة للاشتقاق *في كل نقطة* بمشتق متصل (أو على الأقل قابل للمكاملة، مع الاتصال المطلق — انظر [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue))؛ و $c$ ليست قابلة للاشتقاق عند نقط $C$، والأهم أن $c$ تخفق في *الاتصال المطلق*: إذ تصعد على مجموعة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure).

**5.** إذا أُعطي $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ($\beta_n \in \{0,1\}$)، فإن النقطة $x = \sum_n2\beta_n3^{-n}
\in C$ تحقق $c(x) = y$ حسب السؤال 3: ومنه $c(C) = \intcc01$، وهي مجموعة قياسها $1$ — أي إن المجموعة المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) $C$ تحمل، عبر $c$، الفترةَ بأكملها.

**6.** التطبيق $h$ متصل ومتزايد تمامًا (لأن $x$ كذلك و $c$ غير متناقصة)؛ و $h(0) = 0$ و $h(1) = 1$، ومنه فإن $h$، بمبرهنة القيم الوسطى، تقابلٌ متصل للفترة $\intcc01$؛ وكل تقابل متصل من [فضاء متراص](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-compact) إلى فضاء هاوسدورفي تماثلٌ طوبولوجي ([النتيجة 6.14](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**7.** على فجوة $(u, v)$ (طولها $\ell$)، تكون $c$ ثابتة، ومنه فإن $h$ تآلفي بميل $\frac12$: أي إن $h((u,v))$ فترة طولها $\frac\ell2$. والفجوات منفصلة و $h$ متباين: ومنه فالصور منفصلة، وقياسها الكلي $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$.

**8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ و $h(C)$ متراصة (بوصفها صورة متصلة)، ومنه فهي قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure)، مع

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

فيمكن [لتماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) أن ينفخ مجموعةً معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) إلى [قياس](#def-b3-measure-measure) $\frac12$: أي إن «الحجم الطوبولوجي» (الصنف، البُعد) و«[القياس](#def-b3-measure-measure)» يُنقَلان بالتماثلات الطوبولوجية بطريقتين مختلفتين جدًّا — والأول وحده صامد طوبولوجي.

**9.** المجموعة $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ تحقق $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$: أي إنها معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure)، ومنه فهي قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ بالتمام ([المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)).

**10.** ليكن $\varphi$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity) ولتكن $\mathcal D = \{B
: \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. وتتبادل السوابق مع المتممات ومع الاتحادات القابلة للعدّ، ومنه فإن $\mathcal D$ جبر من النمط $\sigma$؛ وهو يحتوي على [المجموعات المفتوحة](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) (بالاتصال): ومنه $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — أي إن سوابق المجموعات البوريلية بالتطبيقات المتصلة بوريلية.

**11.** لو كانت $Z$ بوريلية، لطبّقنا السؤال 10 على $\varphi = h^{-1}$ المتصل: فتكون $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ بوريلية، ومنه قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ — وهذا يناقض اختيار $W$. إذن $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: أي إن جبر لوبيغ من النمط $\sigma$ يحتوي جبر بوريل احتواءً تامًّا.

**12.** الدالة $g = \mathbf 1_Z$ قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ ($Z \in
\mathcal L$) والدالة $\varphi = h^{-1}$ متصلة، لكن $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ ليست قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure): لأن $g \circ \varphi$ ليست قابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ. والحذر المطلوب: أن «الدالة القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ» تعني أن سوابق المجموعات *البوريلية* تقع في $\mathcal L$؛ ويتطلب التركيبُ أن تكون سوابق مجموعات *لوبيغ* من مجموعات لوبيغ، وهذا لا يمنحه الاتصال (فهنا $\varphi^{-1}(Z) \notin
\mathcal L$ رغم أن $\varphi$ [تماثل طوبولوجي](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-continuity)).

**13.** السلاسل، مع شواهد التمامية:

$$
\{\text{قابلة للعدّ}\} \subsetneq \{\text{بوريلية معدومة}\}
\subsetneq \{\text{معدومة لوبيغ}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{بوريلية معدومة}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

والشواهد: $C$ بوريلية ومعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) وغير قابلة للعدّ (الفجوة الأولى)؛ و $Z$ معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ وليست بوريلية (الفجوة الثانية، وداخل $\mathcal B
\subsetneq \mathcal L$ الفجوة السادسة)؛ ومجموعة كانتور السمينة بوريلية وغير كثيفة في أي مكان وقياسها موجب (فتفصل المجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) عن مجموعات بوريل)؛ ومجموعة فيتالي $V$ ليست في $\mathcal L$ (الفجوة الأخيرة). [فالقياس](#def-b3-measure-measure) [والطوبولوجيا](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-topology) وعدد العناصر تقطع $\mathcal P(\R)$ على خطوط مختلفة فعلًا.

**14.** [قياس خارجي](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (بالتغطية بفترة متلاشية)، والرتابة واضحة، وتنتج التحت جمعية القابلة للعدّ بضم تغطيات مثلى في حدود $\varepsilon2^{-k}$، تمامًا كما في حالة $\lambda^*$. وتعطي التغطية بفترة واحدة أن $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$. وبالعكس، ليكن $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. وباتصال $F$، نختار $b_k' > b_k$ يحقق $F(b_k') \leq F(b_k) +
\varepsilon2^{-k}$، و $a' \in \intoo ab$ يحقق $F(a') \leq
F(a) + \varepsilon$. ويغطّي المفتوحُ $\intoo{a_k}{b_k'}$ المتراصَّ $\intcc{a'}b$: فيكفي عدد منتهٍ، وتعطي حجّة التسلسل في [المبرهنة 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (بالمشي من $a'$ إلى $b$ عبر فترات متراكبة، وتلسكبة تزايدات $F$، مع امتصاص الرتابة للتراكبات) أن $F(b)
- F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) -
F(a_k)) + \varepsilon$. ونجعل $\varepsilon \to 0$: فنحصل على التساوي. (واتصال $F$ هو ما سمح بفتح الفترات بكلفة $F$ صغيرة كما نشاء.)

**15.** يكفي أن نبرهن على أن كل نصف مستقيم $H_t =
\intoc{-\infty}t$ قابل [للقياس](#def-b3-measure-measure) بمفهوم كاراتيودوري، لأن المجموعات القابلة [للقياس](#def-b3-measure-measure) تشكّل جبرًا من النمط $\sigma$ ([المبرهنة 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) ولأن أنصاف المستقيمات تولّد $\mathcal B$. وإذا أُعطيت $A$ وتغطية مثلى في حدود $\varepsilon$ هي $(\intoc{a_k}{b_k})$ للمجموعة $A$: فتنشطر كل فترة على الصورة $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (وقد تكون إحدى القطعتين خالية)، وتتجمّع كلفتا $F$ لتعطيا بالضبط $F(b_k) - F(a_k)$؛ وتغطّي القطع الأولى $A \cap H_t$، وتغطّي الثانية $A \setminus H_t$. ومنه $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$، والمتراجحة العكسية هي التحت جمعية. وبقصر [القياس](#def-b3-measure-measure) الناتج على $\mathcal B$: نحصل على [قياس](#def-b3-measure-measure) لوبيغ–ستيلتيس $\mu_F$.

**16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (باتصال [القياس](#def-b3-measure-measure) على $\intoc{-n}n$). وعلى فجوة $\intoo uv$ من $C$، تكون $c$ ثابتة، ومنه فكل فترة جزئية نصف مفتوحة معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\mu$ وكذلك الفجوة (باتحاد قابل للعدّ)؛ وخارج $\intcc01$ تكون $c$ ثابتة أيضًا. ومنه $\mu(\R\setminus C) = 0$ و $\mu(C) = 1$، بينما $\lambda(C) =
0$ ([المثال 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): أي إن كلًّا من $\mu, \lambda$ محمول على مجموعة يعلنها الآخر معدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) — أي مفردان تبادليًا.

**17.** $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ باتصال $c$: أي لا ذرّات. ومنه فإن $\mu$ [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال بلا ذرّات محمول على متراص معدوم [القياس](#def-b3-measure-measure) بمعنى لوبيغ — فلا هو منتشر ذو كثافة مثل قصور $\lambda$، ولا ذرّي مثل قياسات العدّ: بل نوع ثالث.

**18.** تمتد القطعة $C_\varepsilon$ على فترة ثلاثية $I_\varepsilon$ طولها $3^{-m}$، ويبيّن السؤال 3 من الجزء الأول أن السلّم يصعد عبر $I_\varepsilon$ مقدار $2^{-m}$ بالضبط (لأن الأرقام الثنائية $m$ الأولى للدالة $c$ مجمَّدة عند $\varepsilon$ والبقية تمسح كل شيء). ومنه $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) =
c(\text{الطرف الأيمن}) - c(\text{الطرف الأيسر}) = 2^{-m}$: أي إن أسطوانات الأرقام من العمق $m$ لها جميعًا الكتلة $2^{-m}$، وهو قانون $m$ قطعة نقدية عادلة.

**19.** يعرّف الطرف الأيمن القياسَ البوريلي $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x
\mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ مقيَّمًا عند $A$ — وهو [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال. ونقطةً نقطة، مع $c$ ممدَّدة عالميًا، نتحقق حالةً حالة ($x \leq 0$؛ والأثلاث الثلاثة؛ $x \geq 1$) من المتطابقة

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),
$$

فمثلًا على $\intcc{1/3}{2/3}$: $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 =
\frac12 = c(x)$. ومنه يعطي تقييم $\nu$ على $\intoc ab$ أن $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$، وقياسان منتهيان يتوافقان على النظام من النمط $\pi$ المؤلَّف من الفترات نصف المفتوحة يتطابقان على $\mathcal B$ ([المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): أي $\nu =
\mu$.

**20.** بالتراجع على $n$: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$، وإذا حقّق $c_n$ التناظر، فمن أجل $x \in
\intcc0{1/3}$: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x)
- 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 -
c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$؛ وينعكس الثلث الأوسط حول $\frac12$؛ والثلث الأيمن هو الحالة اليسرى منعكسة. وفي النهاية $c(1-x) = 1 - c(x)$. وأما الدفع: فإن $(s_*\mu)(\intoc ab)
= \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ بلا ذرّات، السؤال 17، ومنه لا تكلّف اصطلاحات الأطراف شيئًا) $= (1 -
c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$: أي $s_*\mu = \mu$ بالوحدانية.

**21.** ليكن $X \sim \mu$ (وتوجد تكاملات الدوال المتصلة بالنسبة إلى $\mu$ بوصفها نهايات لمجاميع من نمط ريمان على قطع العمق $m$، وكتلة كلٍّ منها $2^{-m}$، بخطأ معاينة $\leq \operatorname{osc} \leq
\norm{f'}_\infty3^{-m}$؛ وسينظّم [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/10-the-lebesgue-integral#ch-b3-lebesgue) ذلك). التناظر: $1 - X \sim X$، ومنه $\E X =
\frac12$. والتشابه الذاتي: للمتغيّر $X$ قانون $\frac Y3$ باحتمال $\frac12$ وقانون $\frac{Y+2}3$ باحتمال $\frac12$، حيث $Y \sim \mu$، ومنه

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

ومن هنا $\E X^2 = \frac38$ و $\operatorname{Var}X = \frac38
- \frac14 = \frac18$. وللقانون المنتظم التباينُ $\frac1{12} < \frac18$: فكتلة كانتور تلتصق بالأطراف.

**22.** المجموعة $C$ مغلقة و $\mu(C) = 1$. وإذا لاقت مفتوحةٌ $I$ المجموعةَ $C$ عند $x$، فإن قطع العمق $m$ الحاوية على $x$ تتقلّص إلى $x$، ومنه $I_\varepsilon \subseteq I$ و $\mu(I) \geq
2^{-m} > 0$: فلا يمكن لأي مجموعة مغلقة أصغر أن تحمل $\mu$. أما النقط خارج $C$ فلها جوارات فجوية قياسها بالمعنى $\mu$ معدوم. ومنه $\operatorname{supp}\mu = C$ بالضبط.

**23.** ظاهرة واحدة بلهجتين. يقول الجزء الأول إن نموّ $c$ غير مرئي لمشتقها: إذ $c' = 0$ في كل مكان تقريبًا، وكل الصعود متركّز على المجموعة المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) $C$. ويقول الجزء الخامس إن [القياس](#def-b3-measure-measure) المرافق $\mu_c$ يضع كتلته كلها على تلك المجموعة المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) نفسها: أي $\mu_c \perp \lambda$، ومنه لا يمكن لأي كثافة $f \geq
0$ أن تحقق $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — لأن الكثافة تفرض الانعدام على المجموعات المعدومة [القياس](#def-b3-measure-measure) بالمعنى $\lambda$. والقاموس: غير متناقصة ومحدودة $F \leftrightarrow$ [قياس](#def-b3-measure-measure) منتهٍ $\mu_F$ (السؤالان 14–15)؛ و $F$ تكامل لمشتقها $\leftrightarrow$ يكون [للقياس](#def-b3-measure-measure) $\mu_F$ كثافة (وهي الحالة «المتصلة اتصالًا مطلقًا»)؛ وفي العموم لا يستعيد $F'$، الموجود في كل مكان تقريبًا من أجل $F$ رتيبة (بمبرهنة لوبيغ في الاشتقاق، وهي تتجاوز هذا الفصل)، سوى جزء الكثافة. والسلّم هو الحالة القصوى: متصل، بمشتق $0$ في كل مكان تقريبًا — فقياسه *مفرد محضًا*، ومبرهنة التحليل الأساسية، بعيدًا عن أن تخفق مصادفةً، تخفق بالمقدار المضبوط $\mu_c(\R) = 1$ من الكتلة المفردة.

**24.** لنثبّت $x < y$ في $\intcc01$ ولنختر $m \geq 0$ يحقق $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. وعبر أي فترة ثلاثية $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ يصعد السلّم $2^{-m}$ على الأكثر: إذ إن مثل هذه الفترة إما إحدى قطع $C_m$ وعددها $2^m$، حيث يكون الصعود $2^{-m}$ بالضبط (السؤال 18)، وإما محتواة في [غلق](https://one-course.com/books/math/5/ar/chapter/6-general-topology#def-b3-topology-interior) فجوة واحدة من مرحلة $\leq m$، حيث تكون $c$ ثابتة. وبما أن $y - x \leq
3^{-m}$، فإن الفترة $\intcc xy$ تلاقي فترتين ثلاثيتين متتاليتين على الأكثر من العمق $m$، ومنه

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

باستعمال $3^{s} = 2$ و $3^{-m} < 3(y - x)$. وأما الأمثلية: فطرفا قطعة كانتور من العمق $m$، وهما $u < v$، يحققان $v - u =
3^{-m}$ و $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$؛ وحدٌّ هولدري $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ مع $t > s$ سيفرض $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (لأن $3^{t} > 3^{s} = 2$)، وكل فترة جزئية من $\intcc01$ تحتوي على قطع كهذه، ومنه فالإخفاق محلي أيضًا. والصيغة القياسية: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq
c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq
8r^{s}$ (بقيم $c$ ممدَّدة إلى $\R$ كما في السؤال 16؛ و $\mu$ بلا ذرّات، السؤال 17).

**25.** نكتب $S_0(x) = \frac x3$ و $S_1(x) =
\frac{x+2}3$؛ وتقول الفرضية إن $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$. وبالتكرار $m$ مرة،

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

وبما أن $\nu$ محمول على $\intcc01$ و $S_w(\intcc01) =
I_w$، وهي قطعة كانتور من العمق $m$ المفهرسة بالكلمة $w$، فإن كل $(S_w)_*\nu$ [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال محمول على $I_w$؛ والقطع $2^m$ فترات مغلقة منفصلة مثنى مثنى طول كلٍّ منها $3^{-m}$. لنثبّت $\intoc ab$ وليكن $N_m$ عدد القطع $I_w \subseteq \intoc ab$. وأي قطعة تلاقي $\intoc ab$ دون أن تكون محتواة فيه يجب أن تحتوي على $a$ أو $b$، وتقع نقطة في قطعة واحدة على الأكثر، ومنه

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

وتصح المتراجحة المزدوجة نفسها من أجل $\mu$ (فالسؤال 19 يعطي التكرار المطابق)، بالعدد $N_m$ نفسه. ومنه $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: أي إن $\nu$ و $\mu$ يتوافقان على النظام من النمط $\pi$ المؤلَّف من الفترات نصف المفتوحة، وكلاهما [قياس](#def-b3-measure-measure) احتمال، ومنه تعطي [المبرهنة 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) أن $\nu = \mu$. [فقياس](#def-b3-measure-measure) السلّم هو إذن *النقطة* الصامدة لمخطط المتوسطة ذي التطبيقين — وهي العبارة القياسية للتشابه الذاتي للمجموعة $C$.