--- title: "Los espacios Lp" book: "Matemáticas universitarias — Grado 3" subject: math language: es chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp --- # Capítulo 12 — Los espacios Lp La integral de Lebesgue se construyó para el análisis; los espacios $L^p$ son el lugar donde ese análisis vive. Son espacios de Banach (Riesz–Fischer) — los [completados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) que, según el [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1), les faltaban a las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — y admiten una tecnología de suavizado, la *convolución contra [núcleos regularizantes](#def-b3-lp-mollifier)*, que aproxima cualquier función de $L^p$ por funciones $\mathcal C^\infty$. Este capítulo demuestra las versiones integrales de Hölder y Minkowski, la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), los teoremas de [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) y la máquina de regularización, y termina con la geografía de inclusiones e interpolación de la escala $L^p$. En todo el capítulo, $(X, \mathcal A, \mu)$ es un [espacio de medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) y las funciones toman valores complejos; sobre $\R^d$, la [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) es $\lambda_d$. ## 12.1 Definición; Hölder y Minkowski **Definición 12.1.** Para $1 \leq p < \infty$, $\mathcal L^p(\mu)$ es el conjunto de las $f$ [medibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) con $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$, y $\mathcal L^\infty(\mu)$ el conjunto de las $f$ acotadas fuera de un conjunto nulo, con $\norm f_\infty$ el *supremo esencial* — el menor $M$ con $\abs f \leq M$ en casi todo punto (el ínfimo se alcanza: interséquense los conjuntos nulos correspondientes a $M + \frac1n$). Como $\norm f_p = 0$ solo obliga a $f = 0$ *en casi todo punto* (el [Ejercicio 10.5](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-5)), definimos $$ L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ en casi todo punto}\} : $$ sus elementos son clases de funciones módulo conjuntos nulos, y $\norm\cdot_p$ es una norma genuina sobre $L^p$. **Teorema 12.2 (Desigualdad de Hölder).** Sean $1 \leq p, q \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ (exponentes conjugados). Para $f, g$ [medibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable): $$ \norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q , $$ con igualdad (para $1 < p < \infty$, normas finitas y $f,g\ne0$) si y solo si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcionales en casi todo punto. **Demostración.** Los casos $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ son directos ($\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ en casi todo punto). Sea $1 < p < \infty$; normalícese $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeneidad; las normas nulas o infinitas son triviales). La desigualdad de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ($a, b \geq 0$; concavidad de $\ln$, como en el [Problema 8.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#pb-b3-banach-1)) da puntualmente $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$; intégrese: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$. La igualdad obliga a la igualdad en casi todo punto en Young, es decir, $\abs f^p = \abs g^q$ en casi todo punto (tras la normalización; deshaciéndola, la proporcionalidad). ∎ **Teorema 12.3 (Desigualdad de Minkowski).** Para $1 \leq p \leq \infty$: $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$. **Demostración.** $p = 1, \infty$: desigualdad triangular puntual (o en casi todo punto). Para $1 < p < \infty$, supóngase $\norm{f+g}_p < \infty$ (si no, úsese $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$, que se sigue de la convexidad de $t^p$, para ver que el miembro izquierdo es finito cuando lo es el derecho). Entonces $$ \norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q $$ por Hölder, y $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ porque $(p-1)q = p$; divídase por $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (si no es nulo; si lo es, es trivial) y úsese $p - \frac pq = 1$. ∎ ## 12.2 Completitud y sus compañeros **Teorema 12.4 (Riesz–Fischer).** Para $1 \leq p \leq \infty$, $L^p(\mu)$ es un espacio de Banach. Además, toda sucesión convergente en $L^p$ tiene una subsucesión convergente *en casi todo punto* (con un dominador en $L^p$ si $p < \infty$). **Demostración.** $p = \infty$: una sucesión de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ es, fuera de un único conjunto nulo (unión de una cantidad numerable), uniformemente de Cauchy: converge uniformemente fuera de él; listo. Sea $p < \infty$. Por el [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) basta sumar series absolutamente convergentes: sea $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$. Póngase $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ y $G = \sum_k\abs{f_k}$ (puntualmente en $[0,\infty]$): por Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$, y la convergencia monótona ($G_n^p \nearrow G^p$) da $\int G^p \leq M^p$: $G < \infty$ en casi todo punto, de modo que la serie $\sum f_k(x)$ converge absolutamente para casi todo $x$; llámese $S(x)$ a la suma (con cualquier valor sobre el conjunto nulo). Entonces $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$, y la convergencia dominada da $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$: la serie converge en $L^p$. El enunciado sobre subsucesiones: si $f_n \to f$ en $L^p$, tómense $n_k$ con $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$; la serie $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ cae bajo el argumento anterior: converge absolutamente en casi todo punto, dominada por una $G \in L^p$, de modo que $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ en casi todo punto, y ese límite ha de ser (un representante de) $f$ (ambos son límites en $L^p$). El dominador: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$. ∎ **Observación 12.5.** La convergencia en $L^p$ no implica la convergencia en casi todo punto (la sucesión de la *máquina de escribir*, el [Ejercicio 12.3](#exo-b3-lp-3)), ni al revés (jorobas fugitivas): los dos modos solo están ligados a través de subsucesiones y de la dominación. Tener presentes los contraejemplos del [Ejercicio 12.3](#exo-b3-lp-3) es la mejor vacuna. ## 12.3 Teoremas de densidad **Teorema 12.6.** Sea $1 \leq p < \infty$. 1. Las [funciones simples](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-simple) (con soportes de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) finita) son densas en $L^p(\mu)$ . 2. En $L^p(\R^d)$ , las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\mathcal C_c(\R^d)$ son densas. 3. La traslación es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $L^p(\R^d)$ : escribiendo $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ cuando $h \to 0$ . Ninguno de los tres se cumple para $p = \infty$. **Demostración.** (1) Para $f \geq 0$: las $s_n \nearrow f$ diádicas del [Teorema 10.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-approximation) cumplen $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$: convergencia dominada. (Cada $s_n \leq f$ está en $L^p$, y sus conjuntos de nivel tienen [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) finita allí donde el valor es positivo: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$.) Descompóngase una $f$ general en cuatro partes no negativas. (2) Por (1) basta aproximar $\mathbf 1_A$ con $A$ de Borel y $\lambda_d(A) < \infty$. La regularidad (demostración como en el [Teorema 9.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#thm-b3-measure-regularity)) da [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K \subseteq A \subseteq U$ abierto con $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$; la función de Urysohn $$ \varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)} $$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), vale $1$ sobre $K$ y $0$ fuera de $U$, y puede tomarse de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (redúzcase primero $U$ a un abierto acotado). Entonces $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$. (3) Para $g \in \mathcal C_c$: la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme da $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$, con soportes en un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) fijo para $\abs h \leq 1$: $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$. Para $f$ general: tómese $g \in \mathcal C_c$ con $\norm{f - g}_p < \varepsilon$; entonces $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariancia por traslaciones de la norma). Para $p = \infty$: la aproximación uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ por funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es imposible (el salto), y $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ para $h \neq 0$. ∎ ## 12.4 Convolución y regularización **Teorema 12.7 (Desigualdad de Young).** Sean $1 \leq p \leq \infty$, $f \in L^1(\R^d)$, $g \in L^p(\R^d)$. Entonces $f * g$ está definida en casi todo punto, pertenece a $L^p$ y $$ \norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p . $$ **Demostración.** $p = \infty$: cota directa. $p = 1$: el [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution). Sean $1 < p < \infty$ y $q$ conjugados. Descompóngase $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ y aplíquese Hölder: $$ \int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} . $$ Elévese a la potencia $p$ e intégrese en $x$; Tonelli sobre el segundo factor da $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$, es decir, $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — y la finitud de la integral de Tonelli justifica la convergencia absoluta en casi todo punto, igual que en [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution). ∎ **Definición 12.8 (Núcleos regularizantes).** La función $$ \rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases} $$ con $c$ normalizando $\int\rho = 1$, es $\mathcal C^\infty$ en $\R^d$: la clave es que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ es $\mathcal C^\infty$ en $\R$, con todas sus derivadas nulas en $0^+$, iguales a $0$ (cada derivada es $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para cierto polinomio $P$, que tiende a $0$; inducción). Para $\varepsilon > 0$, póngase $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$: de soporte en $\bar B(0, \varepsilon)$ y todavía de integral $1$. **Teorema 12.9 (Regularización).** Sean $1 \leq p < \infty$ y $f \in L^p(\R^d)$. Entonces: 1. $f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , con $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ; 2. $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ cuando $\varepsilon \to 0$ ; 3. en consecuencia, $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ es denso en $L^p(\R^d)$ . **Demostración.** (1) Derivación bajo el signo integral (el [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) en $x$: para $x$ en una bola $B$, $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ con $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) ($y$ a distancia $\varepsilon$ de $B$), y $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contra $\mathbf 1_K$): el teorema se aplica; itérese para las derivadas de orden superior. (2) Como $\int\rho_\varepsilon = 1$: $$ (f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y , $$ y la desigualdad *integral* de Minkowski — o directamente: Hölder o Jensen con la [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) de probabilidad $\rho_\varepsilon\dd y$, y Tonelli — $$ \norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ (el paso intermedio: aplíquese la desigualdad de Jensen, el [Ejercicio 12.10](#exo-b3-lp-10), a la integral [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en $y$, y después Tonelli). El integrando tiene soporte en $\norm y \leq \varepsilon$ y tiende allí a $0$ uniformemente cuando $\varepsilon \to 0$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)): toda la expresión tiende a $0$. (3) Aproxímese $f$ por $g \in \mathcal C_c$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(2)) y después $g$ por $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): suma de soportes). ∎ **Ejemplo 12.10 (Regularizar ∣x∣\abs x∣x∣, con velocidades).** Tómese $f(x) = \abs x$ en $\R$ (localmente $L^1$; el teorema se aplica en toda ventana acotada) y un [núcleo regularizante](#def-b3-lp-mollifier) simétrico $\rho_\varepsilon$. Entonces $$ f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ es $\mathcal C^\infty$; lejos del pico no pasa nada: para $\abs x \geq \varepsilon$, $\abs{x - y}$ es lineal en $x$ sobre el soporte de $\rho_\varepsilon$, luego $f_\varepsilon(x) = \abs x$ *exactamente* (la simetría anula la corrección). Cerca de $0$, el suavizado cuesta exactamente $$ 0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon : $$ el error de aproximación queda confinado al [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de tamaño $\varepsilon$ de la singularidad y es de su tamaño. Entretanto $f_\varepsilon'' \geq 0$ en todas partes ($f$ es convexa, y la convolución contra $\rho_\varepsilon \geq 0$ conserva la convexidad), con $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: la derivada segunda es una joroba de masa $2$ comprimida en una anchura $O(\varepsilon)$, de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. El suavizado es un trueque: error uniforme $O(\varepsilon)$ frente a explosión de la derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — el tipo de cambio exacto que el análisis cuantitativo (desigualdades de interpolación, el círculo de ideas del [Problema 12.1](#pb-b3-lp-1)) formaliza. **Corolario 12.11 (Lema fundamental del cálculo de variaciones).** Sea $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ ([integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sobre los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)) con $\int f\varphi = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$. Entonces $f = 0$ en casi todo punto. **Demostración.** Fíjese una bola $B = B(0, R)$ y sea $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$. Para $x \in B$ y $\varepsilon < 1$: $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$, siendo la función de prueba $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$. Pero $g * \rho_\varepsilon \to g$ en $L^1$ (el [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)): $g = 0$ en casi todo punto de $B$; agótese $\R^d$. ∎ ## 12.5 La geografía de los espacios $L^p$ **Proposición 12.12.** (a) Si $\mu(X) < \infty$ y $1 \leq p \leq q \leq \infty$, entonces $L^q \subseteq L^p$ con $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$. (b) Sobre $\R^d$ ([medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) infinita) no hay inclusiones: para $p \neq q$ hay funciones en $L^p\setminus L^q$. (c) (Interpolación) Si $p < r < q$ y $\alpha \in \intoo01$ está definido por $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$, entonces $$ \norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ; $$ en particular, $L^p \cap L^q \subseteq L^r$. **Demostración.** (a) Hölder con los exponentes $\frac qp$ y su conjugado: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ($q = \infty$ directamente). (b) Cerca de $0$ y cerca de $\infty$, las potencias $x^{-\alpha}$ calibran: el [Ejercicio 12.2](#exo-b3-lp-2). (c) Escríbase $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ y aplíquese Hölder con el par conjugado $\frac p{r\alpha}$, $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugados precisamente por la definición de $\alpha$): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$. ∎ **Método 12.13.** El instrumental de $L^p$, tal como se usa en todo lo que sigue: para demostrar una identidad o una desigualdad para todo $f \in L^p$ — demuéstrese sobre una clase densa ($\mathcal C_c^\infty$ mediante el [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)) y extiéndase por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (el [Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension), siendo ambos miembros $L^p$-continuos); para demostrar $f = 0$, evalúese contra $\mathcal C_c^\infty$ (el [Corolario 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma)); para ganar regularidad, convoluciónese; para cambiar de exponente, Hölder e interpolación. La teoría de Fourier del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) es una larga aplicación de este método. ## 12.6 Ejercicios **Ejercicio 12.1 ★.** (a) Enunciar y demostrar la desigualdad de Cauchy–Schwarz en $L^2(\mu)$ como el caso $p = q = 2$ de Hölder. (b) Sobre un espacio de *probabilidad*, demostrar que $p \mapsto \norm f_p$ es no decreciente. (c) ¿Cuándo es Hölder una igualdad para $p = 1$, $q = \infty$? **Solución de Ejercicio 12.1.** (a) $p = q = 2$ en el [Teorema 12.2](#thm-b3-lp-holder): $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, con igualdad si y solo si $\abs f, \abs g$ son proporcionales y las fases están alineadas. (b) Sobre un espacio de probabilidad, para $p \leq q$: aplíquese Jensen (el [Ejercicio 12.10](#exo-b3-lp-10)) con la función convexa $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ a la función $\abs f^p$: $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$, i.e. $\norm f_p \leq \norm f_q$. (c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ si y solo si $\abs{g} = \norm g_\infty$ en casi todo punto de $\{f \neq 0\}$ (la desigualdad $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ ha de ser una igualdad en casi todo punto). **Ejercicio 12.2 ★.** ¿Para qué $p \in \intco1\infty$ pertenecen las siguientes funciones a $L^p$? $$ x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{en } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{en } \R . $$ Conclúyase: en $\intoo01$, $p$ pequeño es más fácil; en $\intoo1\infty$, $p$ grande es más fácil; y ningún $L^p$ contiene a otro en $\R$. **Solución de Ejercicio 12.2.** $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ si y solo si $p < 2$: la primera está en $L^p$ para $p \in \intco12$. $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ si y solo si $p > 2$: la segunda, para $p \in \intoo2\infty$ (y $p = \infty$: está acotada — inclúyase). Tercera: para $p < 2$, dominada por $x^{-p/2}$: [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1); para $p = 2$, sustitúyase $u = -\ln x$: $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$; para $p > 2$ la potencia domina: divergente. Luego $p \in \intcc12$. Cuarta: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ si y solo si $p > 1$; y está acotada, luego también $L^\infty$: $p \in \intoc1\infty$. Moraleja: la [integrabilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) en $0$ prefiere $p$ pequeño y en $\infty$ prefiere $p$ grande; combinando ambas obstrucciones, no hay inclusión entre espacios $L^p(\R)$. **Ejercicio 12.3 ★★.** (La máquina de escribir) Enumérense los intervalos diádicos $I_1 = \intcc01$, $I_2 = \intcc0{\frac12}$, $I_3 = \intcc{\frac12}1$, $I_4 = \intcc0{\frac14}$, … y sea $f_n = \mathbf 1_{I_n}$. (a) Demostrar que $f_n \to 0$ en todo $L^p(\intcc01)$, $p < \infty$, pero que $(f_n(x))$ diverge para *todo* $x \in \intcc01$. (b) Exhibir la subsucesión convergente en casi todo punto que promete el [Teorema 12.4](#thm-b3-lp-complete). (c) Recíprocamente, dese una sucesión que converja en casi todo punto pero no en $L^1$, y otra que converja en $L^1$ pero en ningún $L^p$, $p > 1$. **Solución de Ejercicio 12.3.** (a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (en el nivel diádico $k$ la longitud es $2^{-k}$). Pero todo $x$ está en un intervalo de cada nivel diádico: $f_n(x) = 1$ infinitas veces y $= 0$ infinitas veces (intervalos del mismo nivel que no contienen $x$): no hay convergencia en ningún punto. (b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (el primer intervalo de cada nivel) converge a $0$ en todo $x > 0$: en casi todo punto. (c) En casi todo punto pero no en $L^1$: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ en casi todo punto, con integral $1$. En $L^1$ pero en ningún $L^p$ ($p > 1$): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$: $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$, mientras que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ para todo $p > 1$. **Ejercicio 12.4 ★★.** Sean $\mu(X) < \infty$ y $f \in L^\infty(\mu)$, $f \neq 0$. Demostrar que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ cuando $p \to \infty$. *(Cota superior por (a) de la [Proposición 12.12](#prop-b3-lp-inclusions); cota inferior integrando sobre $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$, de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) positiva.)* **Solución de Ejercicio 12.4.** Superior: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (la [Proposición 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)(a) con $q = \infty$), y $\mu(X)^{1/p} \to 1$. Inferior: para $\varepsilon > 0$, $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ cumple $\mu(A) > 0$ (definición del supremo esencial), y $$ \norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon . $$ **Ejercicio 12.5 ★★.** (a) ¿Dónde usa exactamente la demostración del [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3) que $p < \infty$? (b) Demostrar que $f \in L^\infty(\R)$ cumple $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ si y solo si $f$ tiene un representante uniformemente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). **Solución de Ejercicio 12.5.** (a) Dos veces: la conversión $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (soporte de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) finita) degenera para $p = \infty$ únicamente en que allí falla la *[densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de $\mathcal C_c$* — esa es la laguna real: el paso (2) del [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density) no tiene análogo $L^\infty$. (b) Si $f$ tiene un representante uniformemente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $g$: $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$. Recíprocamente, supóngase $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$. Las regularizaciones $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ son [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y $$ \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0 $$ (la convolución es un promedio de trasladadas). Cada $f_\varepsilon$ es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$, promediando), y un límite uniforme de funciones uniformemente [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) lo es: $f$ coincide en casi todo punto con una función uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). **Ejercicio 12.6 ★★.** Sean $p, q$ conjugados, $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. Demostrar que $f * g$ está definida *en todo punto*, es acotada, con $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$, y *uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)*. *([Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la traslación en $L^p$; trátese $p \in \{1, \infty\}$ aparte — para $p = \infty$, úsese la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la traslación sobre el factor $L^1$.)* **Solución de Ejercicio 12.6.** Por Hölder, para todo $x$ el integrando $y \mapsto f(x - y)g(y)$ está en $L^1$ con $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$: definida en todo punto y acotada. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme ($p < \infty$): $$ \abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0, $$ uniformemente en $x$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)). Si $p = \infty$, entonces $q = 1$: escríbase $f * g = g * f$ y repítase la misma cota con la traslación actuando sobre $g \in L^1$. **Ejercicio 12.7 ★★.** Sea $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ con $\int f\varphi' = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$. Demostrar que $f$ es igual en casi todo punto a una constante. *(Fíjese $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ con $\int\chi = 1$; toda $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ con $\int\psi = 0$ es una $\varphi'$; escríbase una función de prueba general como $\psi + (\int\psi)\chi$ y aplíquese el [Corolario 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) a $f - c$ con $c = \int f\chi$.)* **Solución de Ejercicio 12.7.** Fíjese $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ con $\int\chi = 1$ y póngase $c = \int f\chi$. Sea $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitraria y $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$: entonces $\int\psi = 0$, de modo que $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ define $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (se anula cerca de ambos extremos: cerca de $a$ trivialmente, y cerca de $b$ porque la integral total es $0$) con $\Phi' = \psi$. La hipótesis da $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$, luego $$ \int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{para todo } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 . $$ Por el [Corolario 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) (localizado en $\intoo ab$), $f = c$ en casi todo punto. **Ejercicio 12.8 ★★★.** (Urysohn regular) Sean $K \subseteq U \subseteq \R^d$, $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y $U$ abierto. Constrúyase $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ con $0 \leq \varphi \leq 1$, $\varphi = 1$ sobre $K$ y $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$. *(Regularícese el indicador del [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) $K_\delta$ de tamaño $\delta$ de $K$ con $\rho_{\delta/2}$, para $\delta$ pequeño.)* Dedúzcase un enunciado de partición de la unidad $\mathcal C^\infty$ para un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) recubierto por un número finito de abiertos. **Solución de Ejercicio 12.8.** Sean $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positiva: el [Ejercicio 6.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#exo-b3-topology-6)(b); si $U = \R^d$, sirve cualquier $\delta$), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ y $$ \varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} . $$ Entonces $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (el [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)(1); el indicador es $L^1$), $0 \leq \varphi \leq 1$ ($\int\rho = 1$), $\varphi = 1$ sobre $K$ (para $x \in K$, $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$, de modo que la convolución integra $\rho$ por completo) y $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$: de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) ($K_\delta$ está acotado). Partición de la unidad: dado $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$, elíjanse (por [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)) [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K_i \subseteq U_i$ con $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$, tómense $\varphi_i$ como arriba para $(K_i, U_i)$ y póngase $\psi_i = \varphi_i\prod_{j p_0$. **Ejercicio 12.10 ★★.** (Jensen) Sean $\mu$ una [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) de *probabilidad*, $f \in L^1(\mu)$ real y $\Phi \colon \R \to \R$ convexa. Demostrar $$ \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu $$ *(recta de apoyo de $\Phi$ en el punto $m = \int f$)*. Dedúzcanse la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y la monotonía de $p \mapsto \norm f_p$ del [Ejercicio 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Solución de Ejercicio 12.10.** Sea $m = \int f\,\dd\mu \in \R$. La convexidad proporciona una recta de apoyo en $m$: existe $s$ con $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ para todo $t$ (tómese $s$ entre las derivadas laterales, que existen para las funciones convexas). Sustitúyase $t = f(x)$ e intégrese contra la probabilidad $\mu$: $$ \int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) $$ ([medibilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable): $\Phi$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity); y la [integrabilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) de la parte negativa de $\Phi\circ f$ la garantiza la recta de apoyo). Medias aritmética y geométrica: sobre un conjunto finito con pesos $w_i$, tómense $\Phi = \exp$ y $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$: $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$, i.e. $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$. La monotonía de las normas es [Ejercicio 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Ejercicio 12.11 ★★★.** (Desigualdad de Young para la convolución) Sean $1 \leq p, q, r \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$, y $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. (a) Demostrar $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$. *(Escríbase, con los exponentes conjugados deducidos de $p, q, r$, $$\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$$ y aplíquese la desigualdad de Hölder con tres factores y exponentes $r$, $\frac{pr}{r - p}$, $\frac{qr}{r - q}$; intégrese después en $x$ por Tonelli.)* (b) Compruébense los tres casos especiales ya conocidos: $r = \infty$ (Hölder, el [Ejercicio 12.6](#exo-b3-lp-6)); $q = 1$ (estabilidad $L^p$ de la convolución por un núcleo [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)); $p = q = 1$ ($L^1$ es un álgebra para la convolución, [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution)). (c) ¿Por qué no hay ninguna desigualdad con $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$? *(Evalúese en las dilataciones $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ y compárense los cambios de escala de ambos miembros.)* **Solución de Ejercicio 12.11.** (a) Supóngase primero $p, q, r < \infty$ y $f, g \geq 0$ (sustitúyanse por sus valores absolutos). Los tres exponentes $r$, $\alpha = \frac{pr}{r-p}$, $\beta = \frac{qr}{r-q}$ cumplen $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (la relación de escala). Descompóngase, para $x$ fijo, $$ f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r}, $$ y Hölder con los tres exponentes da $$ (f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots $$ con más precisión: el segundo factor es $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ porque $(1 - \frac pr)\alpha = p$, y análogamente el tercero es $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$. Elévese a la potencia $r$ e intégrese en $x$ (Tonelli sobre el primer factor): $$ \norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r . $$ Los casos límite ($r = \infty$, o algún exponente igual a su cota) son Hölder simple o estimaciones directas. (b) $r = \infty$ obliga a $q = p'$: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder tras trasladar y reflejar. $q = 1$ da $r = p$: $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$, el caballo de batalla de la regularización (el motor del [Teorema 12.9](#thm-b3-lp-regularization)). $p = q = 1$ da $r = 1$: el álgebra de convolución ([Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution)). (c) Sustitúyanse $f, g$ por $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$, $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$: entonces $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ y, comparando normas, $$ \text{MI} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{MD} \sim \lambda^{-d/p - d/q} : $$ una desigualdad válida para todo $f, g$ obliga a que los dos exponentes de escala coincidan, es decir, a $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exactamente. Cualquier otra combinación muere en $\lambda \to 0$ o en $\infty$: la relación de Young no es una comodidad, sino una ley de escala. **Ejercicio 12.12 ★★.** (Casos de igualdad) (a) En la desigualdad de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ($1 < p < \infty$), demuéstrese que hay igualdad si y solo si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcionales en casi todo punto. *(Sígase el caso de igualdad de la desigualdad de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$, que es $a^p = b^q$.)* (b) En la desigualdad de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ($1 < p < \infty$), demuéstrese que la igualdad con $f, g \neq 0$ obliga a $g = cf$ en casi todo punto con $c > 0$. (c) Contrástese con $p = 1$ y $p = \infty$: descríbanse los casos de igualdad (mucho más amplios) allí, con ejemplos. **Solución de Ejercicio 12.12.** (a) Normalícese $\norm f_p = \norm g_q = 1$. La demostración de Hölder integra la desigualdad de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$; la igualdad de las integrales obliga a la igualdad en casi todo punto en Young, lo cual (convexidad estricta de $\exp$; igualdad si y solo si $a^p = b^q$) significa $\abs f^p = \abs g^q$ en casi todo punto. Deshaciendo la normalización: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ a.e. — proporcionalidad. (b) Minkowski son dos Hölder aplicados a $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ y $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$; la igualdad obliga a la proporcionalidad de (a) en ambos: $\abs f^p$ y $\abs g^p$ son cada una proporcional a $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$, de modo que $\abs g = t\abs f$ en casi todo punto para cierta constante $t \geq 0$; y la desigualdad triangular puntual inicial $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ ha de ser también una igualdad en casi todo punto, lo que para valores complejos significa que $f$ y $g$ tienen en casi todo punto el mismo argumento allí donde ambas son no nulas. Combinando: $g = tf$ en casi todo punto, con $t > 0$ (ambas no nulas). (c) $p = 1$: hay igualdad en $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ siempre que $f, g$ tengan el mismo patrón de signos (el mismo argumento en casi todo punto) — sin necesidad de proporcionalidad: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ y $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ sirven. $p = \infty$: $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ en cuanto las dos funciones alcancen picos compatibles en un punto común (o a lo largo de una sucesión común): basta $f = g\,$ cerca de un punto, con independencia del comportamiento en el resto. La convexidad estricta de las bolas $L^p$ para $1 < p < \infty$ — y su fallo en los extremos — es exactamente lo que atestiguan estos casos de igualdad. ## 12.7 Problema: la desigualdad de Hardy **Problema 12.1.** Problema de fin de semana — la desigualdad de Hardy y su constante óptima Para $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$, $1 < p < \infty$, defínase el *operador de Hardy* $$ (Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t . $$ La desigualdad de Hardy (1920) afirma que $$ \norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p , $$ y que la constante $\frac p{p-1}$ es óptima y no se alcanza. Este problema lo demuestra todo y extiende después el resultado a series. **Parte I — La desigualdad.** Supóngase primero $f \geq 0$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en $\intoo0{+\infty}$, y sea $F(x) = \int_0^xf$. 1. Demostrar que $Hf \in L^p$ : cerca de $0$ , $F$ se anula en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $0$ ; cerca de $\infty$ , $F$ está acotada, luego $(Hf)(x) = O(1/x)$ , y $x \mapsto \frac1x$ pertenece a $L^p(\intoo1{+\infty})$ para $p > 1$ . 2. Intégrese por partes para demostrar $$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$$ *(Derívese $x^{1-p}F^p$; los términos de frontera se anulan — justifíquense ambos extremos.)* 3. Aplíquese Hölder al miembro derecho y dedúzcase $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ para tales $f$ . 4. Extiéndase a todo $L^p$ : para $f \geq 0$ , constrúyanse $f_n$ [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ a.e. *(trúnquese y aproxímese después monótonamente — justifíquese la construcción)* ; entonces $Hf_n \nearrow Hf$ puntualmente (convergencia monótona dentro del promedio) y la convergencia monótona pasa la desigualdad al límite. Para $f$ con signo o compleja, concluir con $\abs{Hf} \leq H\abs f$ . **Parte II — Optimalidad.** 5. Para $A > 1$, sea $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$. Calcúlese $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ y, para $1 \leq x \leq A$, $$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$$ 6. Deducir $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ y concluir que la constante es óptima. 7. Demostrar que la igualdad $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ con $f \neq 0$ es imposible. *(Sígase el caso de igualdad de Hölder en la pregunta 3: forzaría un comportamiento de tipo $f = cx^{-1/p}$, que no está en $L^p$.)* **Parte III — La desigualdad discreta.** 8. Para $g \geq 0$ no creciente sobre $(0,\infty)$ y $a_n = g(n)$, compárense $\sum a_n^p$ y $\int g^p$, y los promedios $H$ en consecuencia, para deducir de la Parte I la *desigualdad discreta de Hardy*: para $a_n \geq 0$, $$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$$ — demuéstrese primero para $(a_n)$ no creciente mediante la comparación anterior, y redúzcase después el caso general al no creciente por reordenación *(admítase, con una justificación de una línea, que ordenar $(a_n)$ de forma decreciente solo puede aumentar el miembro izquierdo dejando fijo el derecho)*. 9. Deducir: si $\sum a_n^p < \infty$ , entonces las medias de Cesàro de $(a_n)$ están de nuevo en $\ell^p$ — y dese un ejemplo ( $p = 2$ ) en el que $(a_n) \in \ell^2$ pero $a_n$ no sea sumable, y Hardy siga controlando las medias. **Parte IV — Epílogo.** 10. Demostrar que la desigualdad de Hardy falla para $p = 1$ : con $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcúlese $Hf$ y obsérvese que $Hf \notin L^1$ . ¿Dónde se rompe la demostración? **Parte V — La función maximal y el teorema de derivación de Lebesgue.** Hardy promedia desde el origen; Hardy–Littlewood promedian *alrededor de cada punto*. Para $f \in L^1(\R)$, defínase $$ Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda . $$ 11. (Vitali, versión finita) Sean $B_1, \dots, B_N$ intervalos abiertos. Demostrar que existe una subfamilia disjunta $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ con $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , donde $3B$ denota el intervalo del mismo [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) y longitud triple *(voraz: tómese repetidamente el intervalo más largo disjunto de los ya tomados)* . 12. (Tipo débil $(1,1)$) Demostrar que, para todo $t > 0$, $$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$$ cada $x$ con $Mf(x) > t$ posee un intervalo centrado $B_x$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$; tómese un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \{Mf > t\}$ (regularidad [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)), recúbrase por un número finito de $B_x$, aplíquese la pregunta 11 y agótese. 13. Calcúlese $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ para $x > 1$ y dedúzcase que $Mf \notin L^1$ para todo $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ en el infinito): en $p = 1$ , la desigualdad débil de la pregunta 12 es el mejor enunciado posible. 14. (Tipo fuerte para $p > 1$) Para $f \in L^p$: descompóngase $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$, obsérvese que $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$, y combínese la pregunta 12 con la fórmula de las capas (la [Proposición 11.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#prop-b3-product-layercake)) y Tonelli para demostrar $$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$$ (La explosión cuando $p \downarrow 1$ es el fallo de la pregunta 13, cuantificado.) 15. (Teorema de derivación de Lebesgue) Demostrar que, para $f \in L^1(\R)$, $$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{para casi todo }x .$$ *(Claro para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). En general, escríbase $f = g + h$ con $g$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), $\norm h_1 < \varepsilon$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)); el conjunto donde $\limsup_{r\to0}$ de la oscilación promediada supera $\delta$ está dentro de $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$, de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) $O(\varepsilon/\delta)$; hágase $\varepsilon \to 0$ y después $\delta \to 0$ a lo largo de una sucesión.)* 16. Dedúzcase: (a) casi todo punto es un *punto de Lebesgue* de $f$ ; (b) para $f \in L^1$ , la primitiva $F(x) = \int_0^xf$ es derivable en casi todo punto con $F' = f$ en casi todo punto — la mitad integral del teorema fundamental del cálculo en el mundo de Lebesgue, que cierra el círculo abierto por la escalera (el [Problema 9.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#pb-b3-measure-1) ), la cual mostraba que la otra mitad puede fallar. 17. (Puntos de [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) ) Para $A \subseteq \R$ [medible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) , demuéstrese que casi todo $x \in A$ cumple $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : los conjuntos [medibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) son localmente llenos en casi todos sus puntos. Esbócese en dos líneas cómo esto da una demostración más del teorema de Steinhaus ( [Ejercicio 9.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#exo-b3-measure-8) ). **Parte VI — Variaciones sobre el tema del promedio.** 18. (Hardy con peso) Para $\alpha < p - 1$ y $f \geq 0$, demostrar $$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$$ mediante la misma integración por partes, y compruébese que el caso límite $\alpha = p - 1$ está genuinamente prohibido (adáptese el contraejemplo de la pregunta 10). 19. (El adjunto) Sea $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Demostrar $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ para $f, g$ no negativas (Tonelli) y demostrar $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ *(directamente por partes, o a partir de Hardy en el exponente conjugado por dualidad — atención a qué exponente se lleva qué constante)* . 20. (Una desigualdad de tipo Hilbert) Dedúzcase que, para $f \in L^p$ no negativas, $g \in L^q$: $$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$$ *(sepárese según $y < x$ / $y \geq x$: cada mitad es un emparejamiento de una función contra la transformada de Hardy de la otra)*. 21. (Optimalidad, caso discreto) Demostrar que la constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ de la pregunta 8 también es óptima: evalúese en $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , compárense ambos miembros con integrales y hágase $N \to \infty$ (el espejo discreto de la Parte II). 22. (Síntesis) En este problema han aparecido tres operadores de promedio: el $H$ de Hardy, la media discreta de Cesàro y el operador maximal $M$ . Enúnciese en una línea qué dice la acotación de cada uno, obsérvese que los tres fallan exactamente en $p = 1$ y explíquese por qué se trata del mismo fallo tres veces (la cola armónica $\frac1x$ ). **Parte VII — La desigualdad de Carleman, y cuán óptimo es lo óptimo.** 23. (Desigualdad de Carleman) Sea $a_n \geq 0$ con $\sum a_n < \infty$. Aplíquese la desigualdad discreta de Hardy de la pregunta 8 a $b_n = a_n^{1/p}$, úsese la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y hágase $p \to \infty$ (demuéstrese que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ decrece hacia $\eu$) para obtener $$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$$ las medias geométricas de una sucesión sumable son sumables, a un coste de a lo sumo $\eu$. 24. (La constante $\eu$ es óptima) Evalúese en $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : usando el encaje de Stirling del [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#pb-b3-product-1) , demuéstrese $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , dedúzcase que ambos miembros de Carleman crecen como $\eu\ln N$ y concluir que ninguna constante menor que $\eu$ puede servir. (Obsérvese el patrón: los optimizadores de Hardy y de Carleman son ambos las sucesiones de tipo armónico que están justo fuera del espacio.) 25. (¿Con qué lentitud se aproxima lo «óptimo»?) Tómese $p = 2$. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$, calcúlese $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$, frente a la cota $2$. Para los casi optimizadores $f_A$ de la pregunta 5, demuéstrese la identidad exacta $$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{luego}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$$ Evalúese en $A = \eu^{10}$ (cociente $\approx 1.790$) y coméntese: el supremo $2$ se aproxima solo a velocidad $1/\ln A$ — una constante óptima puede ser prácticamente invisible desde el punto de vista numérico. **Solución de Problema 12.1.** **1.** $f$ tiene soporte en cierto $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$, de modo que $F = 0$ sobre $[0, \alpha]$ y $F \equiv F(\beta)$ sobre $[\beta, \infty)$: $Hf$ se anula cerca de $0$ y es $O(1/x)$ en el infinito; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ para $p > 1$, y $Hf$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $Hf \in L^p$. **2.** $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$. Ambos valores de frontera se anulan: en $0$ porque $F = 0$ cerca de $0$; y en $\infty$ porque $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ($p > 1$). Integrando la identidad sobre $\intoo0\infty$: $$ 0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x, $$ que es la relación indicada. **3.** Hölder con los exponentes $q = \frac p{p-1}$ y $p$: $$ \int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p , $$ luego $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$; divídase (es finito por la pregunta 1, y si $0$ no hay nada que demostrar). **4.** Sean $f \in L^p$, $f \geq 0$. Elíjanse $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ con $\varphi_k \to f$ en $L^p$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)(2), intersecado con la semirrecta abierta — aproxímese $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ y diagonalícese) y sustitúyase $\varphi_k$ por $\abs{\varphi_k}$ (que sigue siendo [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y está más cerca de $f \geq 0$). Para todo $x > 0$ fijo, Hölder sobre $\intoo0x$ da $$ \abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 : $$ $H\varphi_k \to Hf$ puntualmente. Fatou y la pregunta 3: $$ \int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p . $$ Para $f$ con signo o compleja: $\abs{Hf} \leq H\abs f$ puntualmente, y el caso no negativo se aplica a $\abs f$. **5.** $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$. Para $1 \leq x \leq A$: $$ (Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr). $$ **6.** Fíjense $\varepsilon > 0$ y $X_0$ con $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ para $x \geq X_0$. Entonces $$ \norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0), $$ luego $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ cuando $A \to \infty$: la constante no puede mejorarse. **7.** La igualdad en la pregunta 3 obliga a la igualdad en Hölder: $f^p$ proporcional a $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ en casi todo punto, es decir, $f = \gamma\,\frac Fx$ en casi todo punto para cierto $\gamma \geq 0$. Como $F(x) = \int_0^xf$ es absolutamente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $F' = f$ en casi todo punto, $F$ resuelve $F' = \gamma F/x$: en todo intervalo donde $F > 0$, $(\ln F)' = \gamma/x$, luego $F = c\,x^{\gamma}$ y $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ allí. Pero ninguna potencia no nula $x^{\gamma-1}$ pertenece a $L^p(\intoo0\infty)$ (haría falta $p(\gamma - 1) < -1$ en $\infty$ y $> -1$ en $0$: incompatible), y $F$ no puede anularse idénticamente salvo que $f = 0$. Así que la igualdad exige $f = 0$. **8.** Dada $(a_n)$ no creciente $\geq 0$, defínase la función escalonada $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ sobre $\intoo0{+\infty}$: es no creciente, con $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ y $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$, luego $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$. El promedio de una función no creciente es no creciente, de modo que $Hg$ lo es, y $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p $$ por la Parte I. Para una sucesión no negativa general, sea $(a_n^*)$ su reordenación no creciente (posible cuando $a_n \to 0$, que podemos suponer — si no, ambos miembros son infinitos): el miembro derecho no cambia, y cada suma parcial $a_1 + \dots + a_n$ es a lo sumo $a_1^* + \dots + a_n^*$ (los $n$ términos mayores): el miembro izquierdo solo crece. De ahí la desigualdad para todo $(a_n)$. **9.** Si $(a_n) \in \ell^p$, la sucesión de medias de Cesàro está en $\ell^p$ con norma $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$. Ejemplo ($p = 2$): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ($n \geq 2$): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$, y sin embargo $\sum a_n = \infty$ (criterio integral); Hardy sigue garantizando $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$. **10.** Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $= \frac1x$ para $x \geq 1$: $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$, mientras que $\norm f_1 = 1$. La demostración se hunde por dos sitios: la constante $\frac p{p-1}$ explota cuando $p \to 1$, y el término de frontera $x^{1-p}F^p$ ya no se anula en el infinito para $p = 1$. La desigualdad de Hardy es un fenómeno honestamente $p > 1$. **11.** Tómese el intervalo más largo $B_{i_1}$; descártese todo intervalo que lo corte; tómese el superviviente más largo $B_{i_2}$; itérese (hay finitos intervalos). Los elegidos son disjuntos por construcción, y todo $B$ descartado cortaba a un intervalo elegido al menos igual de largo: un intervalo que corta a otro de longitud mayor o igual está contenido en su triple, $B \subseteq 3B_{i_l}$. **12.** $\{Mf > t\}$ es abierto: cada promedio $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (convergencia dominada en $x$) y un supremo de funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es semicontinuo inferiormente. Cada $x$ suyo posee $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$. Para $K \subseteq \{Mf > t\}$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): un número finito de $B_x$ recubre $K$, Vitali (pregunta 11) extrae $B_1', \dots, B_k'$ disjuntos con $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$, luego $$ \lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1 $$ por disjunción; la regularidad [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) (el [Teorema 9.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#thm-b3-measure-regularity)) concluye. **13.** Para $x > 1$: con $r \in \intcc{x-1}x$ el promedio es $\frac{r - x + 1}{2r}$, creciente en $r$; para $r \geq x$ es $\frac1{2r}$, decreciente: el supremo es $\frac1{2x}$, alcanzado en $r = x$. Luego $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$. En general, si $\int_I\abs f = c > 0$ sobre un intervalo acotado $I \subseteq \intcc{-C}C$, entonces $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ para todo $x$: nunca [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) salvo que $f = 0$ en casi todo punto. **14.** Con $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$: $M(f - f_t) \leq \frac t2$, luego $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ y la pregunta 12 da $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$. Fórmula de las capas (la [Proposición 11.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#prop-b3-product-layercake)) y Tonelli: $$ \norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p . $$ **15.** Escríbase $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$. Para $g$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $A_rg(x) \to g(x)$ en todo punto. Dado $\varepsilon > 0$, descompóngase $f = g + h$ con $g$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y $\norm h_1 < \varepsilon$ (el [Teorema 12.6](#thm-b3-lp-density)); entonces $$ \limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)}, $$ de modo que $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ tiene [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (pregunta 12; Markov). $\varepsilon$ arbitrario: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$; y uniendo sobre $\delta = \frac1k$: $A_rf \to f$ en casi todo punto. **16.** (a) Para cada $q \in \Q$, la pregunta 15 aplicada a $\abs{f - q}$ da $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ en casi todo punto; sobre la intersección de estos conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) total, elíjase $q$ con $\abs{f(x) - q} < \eta$: $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ para todo $\eta$: casi todo $x$ es un punto de Lebesgue. (b) En un punto de Lebesgue, $$ \Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 : $$ $F' = f$ en casi todo punto — las primitivas de funciones $L^1$ sí se derivan de vuelta; la escalera (el [Problema 9.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#pb-b3-measure-1)) es contraejemplo únicamente del sentido *recíproco*. **17.** Aplíquese la pregunta 15 a $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ y hágase crecer $n$: para casi todo $x \in A$, la [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$. Steinhaus: alrededor de un punto de [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), tómese $r$ con [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $> \frac34$; para $\abs t < \frac r2$, $A$ y $A + t$ llenan cada uno más de $\frac32r$ de un intervalo de longitud $\leq \frac52r$ y, por tanto, se cortan: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$. **18.** Sea $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$: $G$ se anula en $0$ ($F$ se anula cerca de $0$) y en $\infty$ ($F$ acotada, $\alpha + 1 - p < 0$), de modo que $\int_0^\infty G' = 0$ con $$ G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha . $$ Por tanto $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$; Hölder para la [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) $x^\alpha\dd x$ (exponentes $\frac p{p-1}$ y $p$) remata como en la pregunta 3. Caso límite $\alpha = p - 1$: con $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$, el miembro derecho es $\ln A$ mientras que el izquierdo contiene $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$: ninguna constante sobrevive a $A \to \infty$. **19.** Tonelli sobre $\{0 < t < x\}$: $$ \langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle . $$ Dualidad: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$, invocándose Hardy en $L^q$, cuya constante $\frac q{q-1}$ vale $p$. **20.** Sepárese a lo largo de la diagonal (nula). En $\{y \leq x\}$: $$ \iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q, $$ puesto que Hardy en $L^q$ lleva la constante $\frac q{q-1} = p$. Simétricamente, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ($\frac p{p-1} = q$). En total: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$. **21.** Para $a_n = n^{-1/p}$, $n \leq N$: el miembro derecho es $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$. En el izquierdo, para $n \leq N$: $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$, de modo que la $n$-ésima media de Cesàro es $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformemente para $n$ en cualquier rango $n \geq n_0(\eta)$; elevando a $p$ y sumando, el miembro izquierdo es $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$. Dividiendo y haciendo $N \to \infty$, y después $\eta \to 0$: ninguna constante menor que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ puede servir. **22.** $H$ acotado en $L^p$: los promedios acumulados no inflan las normas $p$ (constante $\frac p{p-1}$); Cesàro en $\ell^p$: lo mismo, discretizado; $M$ acotado en $L^p$: incluso el mejor promedio local queda bajo control (constante $O(\frac1{p-1})$). Los tres fallan en $p = 1$, y por una sola razón: promediar una unidad de masa concentrada produce una cola $\frac1x$ (preguntas 10 y 13), y $\frac1x$ pertenece cerca del infinito a todo $L^p$ salvo a $L^1$. El suavizado esparce la masa exactamente hasta la frontera armónica de la [integrabilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1). **23.** Póngase $b_n = a_n^{1/p}$, de modo que $\sum b_n^p = \sum a_n$. La pregunta 8 da $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n, $$ y la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica acota cada sumando por abajo: $$ \Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}. $$ Por tanto, $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ para *todo* $p > 1$. Con $m = p - 1$, $$ \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1}, $$ que decrece hacia $\eu$ cuando $m \to \infty$ (la clásica sucesión monótona superior de $\eu$). Tomando el ínfimo sobre $p$ se obtiene la desigualdad de Carleman con constante $\eu$. **24.** Para $a_n = \frac1n$, $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$. El encaje del [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#pb-b3-product-1) da $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$, luego $$ (n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr), $$ puesto que $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$. Invirtiendo, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$, y sumando sobre $n \leq N$: $$ \sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1) $$ (la serie de errores $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Una desigualdad de Carleman con constante $c$ obligaría a $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ y, por tanto, a $c \geq \eu$ tras dividir por $\ln N$. Las sucesiones optimizadoras se alinean: la constante de Hardy se aproxima con $n^{-1/p}$ (pregunta 21) y la de Carleman con $n^{-1}$ — en cada caso, la sucesión de tipo armónico que queda justo fuera del espacio que se promedia. **25.** Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$: $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $Hf(x) = \frac1x$ para $x > 1$, luego $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ y el cociente es $\sqrt2 \approx 1.414$, aproximadamente el $71\%$ de la cota óptima. Para $f_A$ ($p = 2$): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ en $\intcc1A$, de modo que en ese rango $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ y, para $x > A$, $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$. Elevando al cuadrado e integrando, $$ \begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*} $$ de donde $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$; dividiendo por $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ se obtiene la identidad enunciada. En $A = \eu^{10}$: $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$, luego el cociente es $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$. El defecto $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ decae solo logarítmicamente: para alcanzar el cociente $1.99$ haría falta $\ln A \approx 200$, es decir, $A \approx 10^{87}$. Las constantes óptimas son teoremas, no experimentos.