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title: "La transformada de Fourier"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier
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# Capítulo 14 — La transformada de Fourier

Las series de Fourier descomponen las señales periódicas en armónicos discretos; la *transformada* de Fourier hace lo mismo con las señales sobre toda la recta, con un [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de frecuencias. Convierte la derivación en multiplicación, la convolución en productos y las gaussianas en gaussianas — las razones por las que resuelve ecuaciones diferenciales, mueve el procesamiento de señales y demostrará el teorema central del límite en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/23-funciones-caracteristicas-y-teorema-central-del-limite#ch-b3-clt). Este capítulo desarrolla la teoría en $L^1$ (Riemann–Lebesgue, inversión, inyectividad), la [clase de Schwartz](#def-b3-fouriertransform-schwartz) donde la transformada es una biyección [perfecta](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), y la teoría en $L^2$ (Plancherel: la transformada es, salvo una constante, un operador unitario), con dos aplicaciones estelares: la ecuación del calor, resuelta de principio a fin en el problema de fin de semana, y la fórmula de sumación de Poisson. Convenio:

$$
\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .
$$

## 14.1 La transformada en $L^1$

**Proposición 14.1.**

Para $f \in L^1(\R)$: $\hat f$ está bien definida, es acotada ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$) y [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y:

1. $\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ y $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
2. $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat  f(\lambda\xi)$ para $\lambda > 0$ ;
3. si $xf \in L^1$ , entonces $\hat f$ es $\mathcal C^1$ con $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
4. si $f \in \mathcal C^1$ con $f' \in L^1$ (y $f \to  0$ en $\pm\infty$ , automático aquí), entonces $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
5. $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ para $f, g \in L^1$ .

**Demostración.** Acotación: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): convergencia dominada con dominador $\abs f$ (el [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont)). (1) y (2): sustituciones (el [Teorema 11.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-linearchange)). (3): derivación bajo el signo integral, con dominador $\abs{xf}$ (el [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)). (4): primero, $f(x) = f(0)
+ \int_0^xf'$ tiene límite en $\pm\infty$ ($f' \in L^1$), que ha de ser $0$ ($f \in L^1$); después intégrese por partes en $[-A,
A]$ y hágase $A \to \infty$. (5): Fubini, lícito porque $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ es absolutamente [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) (el [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution)):

$$
\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)}
\eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).
$$

∎

**Ejemplo 14.2.**

La gaussiana: para $a > 0$,

$$
\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) =
\sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :
$$

por el [Ejercicio 10.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-7) (el truco de la ecuación diferencial $F' = -\frac\xi{2}F$, reescalado), o por (3): $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ cumple $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (intégrese por partes) y $g(0) = \sqrt{\pi/a}$. Las gaussianas son puntos fijos de la transformada salvo cambios de escala — la razón profunda de que gobiernen el teorema central del límite.

**Teorema 14.3 (Riemann–Lebesgue).**

Para $f \in L^1(\R)$: $\hat f(\xi) \to 0$ cuando $\abs\xi \to
\infty$. Así pues, $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal
C_0(\R)$ (funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que se anulan en el infinito).

**Demostración.** Para el indicador de un intervalo, $\widehat{\mathbf 1_{\intcc
ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi}
\to 0$; y de ahí para las funciones escalonadas. Las funciones escalonadas son densas en $L^1$ (el [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-density)(1) más la aproximación de conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) finita por uniones finitas de intervalos, el [Ejercicio 9.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#exo-b3-measure-7)), y la transformada es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\norm\cdot_\infty$ a $\norm\cdot_1$: para $\norm{f -
s}_1 < \varepsilon$, $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat
f(\xi)} \leq \varepsilon$. ∎

## 14.2 Inversión e inyectividad

**Lema 14.4 (Fórmula de multiplicación).**

Para $f, g \in L^1(\R)$: $\displaystyle\int \hat f\,g =
\int f\,\hat g$.

**Demostración.** Ambos miembros valen $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd
x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini: la integral doble del valor absoluto es $\norm f_1\norm g_1$). ∎

**Teorema 14.5 (Inversión).**

Sea $f \in L^1(\R)$.

1. (Sumabilidad gaussiana) Para todo $x$, $$(f * g_\varepsilon)(x) =  \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,  \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi,  \qquad\text{donde } g_\varepsilon(y) =  \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\,  \eu^{-y^2/4\varepsilon},$$ y $f * g_\varepsilon \to f$ en $L^1$ cuando $\varepsilon  \to 0$.
2. Si además $\hat f \in L^1$, entonces para casi todo $x$ $$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat  f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$$ y $f$ tiene un representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity).
3. (Inyectividad) Si $\hat f = 0$ , entonces $f = 0$ en casi todo punto.

**Demostración.** (1) Fíjese $x$ y aplíquese el [Lema 14.4](#lem-b3-fouriertransform-multiplication) a $f$ y a $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$: por el [Ejemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) (con la regla de modulación),

$$
\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\,
\eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),
$$

luego $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2}
\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y =
(f*g_\varepsilon)(x)$. Las $g_\varepsilon$ forman una aproximación de la identidad: $g_\varepsilon \geq 0$, $\int g_\varepsilon = 1$ (integral gaussiana), concentrándose en $0$; la demostración del [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-regularization)(2) se aplica literalmente (solo se usaron $\int g_\varepsilon = 1$ y la concentración: para la cola, $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to
0$): $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$.

(2) Si $\hat f \in L^1$: el miembro derecho de (1) converge, por convergencia dominada (dominador $\abs{\hat f}$), a $\frac1{2\pi}\int\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ para *todo* $x$, y esa función límite es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (de nuevo, convergencia dominada). Por otra parte, $f
* g_\varepsilon \to f$ en $L^1$, de modo que, a lo largo de una subsucesión, en casi todo punto (el [Teorema 12.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-complete)): los dos límites coinciden en casi todo punto.

(3) $\hat f = 0$ anula el miembro derecho de (1): $f *
g_\varepsilon = 0$ para todo $\varepsilon$, y $f *
g_\varepsilon \to f$ en $L^1$: $f = 0$ en casi todo punto. ∎

## 14.3 La clase de Schwartz

**Definición 14.6.**

La *clase de Schwartz* $\mathcal
S(\R)$ está formada por las funciones $\mathcal C^\infty$ $f$ con $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ para todos $m, n \geq 0$ (todas las derivadas decaen más deprisa que cualquier potencia). Ejemplos: $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Claramente $\mathcal S
\subseteq L^p$ para todo $p$ (acótese por $C(1 + x^2)^{-1}$), y $\mathcal S$ es estable por derivación, por multiplicación por polinomios y por productos.

**Teorema 14.7.**

La transformada de Fourier aplica $\mathcal S(\R)$ biyectivamente sobre sí mismo, con inversa $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int
g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$.

**Demostración.** Sea $f \in \mathcal S$. Iterando la [Proposición 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(3), $(\hat f)^{(n)} =
\widehat{(-\iu x)^nf}$ (cada $x^kf \in L^1$); iterando (4) con $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (todas cuyas derivadas son [integrables](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), $(\iu\xi)^m\hat h =
\widehat{h^{(m)}}$. Combinando,

$$
\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)}
= \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr|
\leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty
$$

uniformemente en $\xi$: $\hat f \in \mathcal S$. Como $\hat f \in L^1$, la inversión (el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) vale en todo punto (ambos miembros son [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)): $\check{\hat f} = f$, y simétricamente $\widehat{\check g} = g$ (la transformada con acento es $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$, que también conserva $\mathcal S$): biyección. ∎

## 14.4 Plancherel y $L^2$

**Teorema 14.8 (Plancherel).**

Para $f \in L^1 \cap L^2(\R)$:

$$
\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .
$$

En consecuencia, $\widehat{\phantom f}$ se extiende de manera única a una aplicación lineal [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ con $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$; $\mathcal
F$ es biyectiva, con $\mathcal F^{-1} =
\frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ donde $\sigma f =
f(-\cdot)$, y conserva los [productos escalares](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) salvo el factor $2\pi$.

**Demostración.** Sean $f \in L^1\cap L^2$ y $h = f * \tilde f$ con $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$. Entonces $h \in L^1$ (el [Teorema 11.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-convolution)), $h$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y acotada (el [Ejercicio 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#exo-b3-lp-6): $f, \tilde f \in L^2$), $h(0) =
\int f\bar f = \norm f_2^2$ y $\hat h = \hat
f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} =
\abs{\hat f}^2 \geq 0$ (calcúlese $\widehat{\tilde f} =
\overline{\hat f}$). Aplíquese el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(1) a $h$ en $x = 0$:

$$
(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat
h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .
$$

Cuando $\varepsilon \to 0$: el miembro izquierdo tiende a $h(0)$ ($h$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y acotada: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y)
- h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$, separando $y$ pequeños y grandes); y el derecho crece hacia $\frac1{2\pi}\int\hat h$ por convergencia monótona ($\hat h \geq 0$). Por tanto, $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 =
\norm f_2^2$, finito o no *a priori* — y finito, lo que demuestra a la vez la pertenencia y la identidad.

Extensión: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ es denso en $L^2$ (el [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-density)); la transformada es allí $\sqrt{2\pi}$-isométrica, de modo que se extiende de manera única a una isometría salvo constante $\mathcal F$ sobre $L^2$ (el [Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). La inversión para $\mathcal S$ (el [Teorema 14.7](#thm-b3-fouriertransform-schwartz)) se traslada por la misma [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (ambos miembros son $L^2$-continuos): $\mathcal
F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ sobre $\mathcal S$ y, por tanto, sobre $L^2$: biyectividad. [Productos escalares](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner): polarización a partir de la identidad de normas. ∎

**Teorema 14.9 (Sumación de Poisson).**

Sea $f \in \mathcal S(\R)$ (basta con $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $\abs{f} +
\abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$). Entonces

$$
\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .
$$

**Demostración.** Sea $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$: la serie converge normalmente sobre los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (decaimiento de $f$), de modo que $F$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y $1$-periódica. Sus coeficientes de Fourier (período $1$: $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$):

$$
c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t
= \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)
$$

(la convergencia normal justifica el intercambio; la fase es $1$-periódica). La serie $\sum_k\abs{c_k(F)}$ converge (decaimiento de $\hat f$), luego la serie de Fourier de $F$ converge normalmente; su suma es una función [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con los mismos coeficientes de Fourier que $F$ y, por tanto, es igual a $F$ (inyectividad en el círculo: la diferencia tiene coeficientes nulos, y el [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier) da cero en $L^2$ y, por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), en todas partes). Evalúese en $x = 0$. ∎

**Ejemplo 14.10 (La identidad theta).**

Aplicando Poisson a $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ($t > 0$), cuya transformada es $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ (el [Ejemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) con $a = \pi t$):

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t}
= \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :
$$

la ecuación funcional de la función theta de Jacobi, clave para la ecuación funcional de la $\zeta$ de Riemann — y un acelerador numérico espectacular: para $t$ pequeño, el miembro izquierdo converge con lentitud y el derecho a toda velocidad.

**Método 14.11.**

Rangos de trabajo: $L^1$ — transformada definida puntualmente, la inversión necesita $\hat f \in L^1$; $\mathcal S$ — todo es lícito, demuéstrese aquí primero; $L^2$ — transformada definida por [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (¡no por la integral!), simetría [perfecta](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), contabilidad de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval). Para calcular una transformada: redúzcase a la tabla (indicador, exponencial, gaussiana) mediante las reglas de la [Proposición 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic); para demostrar una identidad: establézcase en $\mathcal S$ (o en $\mathcal C_c^\infty$) y extiéndase por [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) y [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (el [Método 12.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#met-b3-lp-toolkit)); para resolver una ecuación diferencial lineal, ordinaria o en derivadas parciales, con coeficientes constantes: transfórmese, divídase, inviértase.

![El núcleo del calor g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t en tres instantes: masa total 1 para siempre, altura t-1/2, anchura √ t. Convolucionar el dato inicial con esta gaussiana que se ensancha es todo el contenido del problema de fin de semana; en frecuencia, la misma imagen se lee g_t( ) = -t 2 — las frecuencias altas mueren primero, y esa asimetría es la flecha del tiempo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-fouriertransform/fig-22725c4b9b19.svg)

*El [núcleo del calor](#pb-b3-fouriertransform-1) $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ en tres instantes: masa total $1$ para siempre, altura $\sim t^{-1/2}$, anchura $\sim
\sqrt t$. Convolucionar el dato inicial con esta gaussiana que se ensancha es todo el contenido del problema de fin de semana; en frecuencia, la misma imagen se lee $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — las frecuencias altas mueren primero, y esa asimetría es la flecha del tiempo.*

## 14.5 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

Calcular las transformadas de Fourier de: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$; $\eu^{-a\abs x}$ ($a > 0$); la función triangular $\max(0, 1 -
\abs x)$; $\frac1{x^2 + a^2}$ *(úsese la inversión en la segunda)*. Regístrese la tabla que va surgiendo.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) =
\int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (valor $2a$ en $0$). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a +
\iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} +
\frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$. Triangular: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$, de modo que su transformada es $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 =
\bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$. Última: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$, luego la inversión (el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) aplicada a $\eu^{-a\abs x}$ da, tras renombrar variables,

$$
\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) =
\frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .
$$

**Ejercicio 14.2 ★.**

Sea $f \in L^1$. Exprésense en términos de $\hat f$ las transformadas de: $f(x - a)$, $f(x)\cos(bx)$, $f(ax + b)$, $\overline{f(-x)}$, $(f * f)(x)$. Verifíquese cada regla sobre la gaussiana.

**Solución de Ejercicio 14.2.**

De la [Proposición 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic): $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat
f(\xi + b)\bigr)$; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu
b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ($a > 0$); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$; $\widehat{f * f} = \hat f^2$. Sobre la gaussiana ($\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$), cada regla es una comprobación de una línea — por ejemplo, $\eu^{-(x-a)^2}$ tiene transformada $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$, lo que el cálculo directo (complétese el cuadrado) confirma.

**Ejercicio 14.3 ★★.**

(a) Demostrar que $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf
1_{\intcc{-1}1}$ tiene transformada $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi
\bigr)^2$ y dedúzcase $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ por Plancherel — o por inversión en $0$. Compárese [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1). (b) Calcular $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ mediante Plancherel aplicado a $\eu^{-\abs x}$.

**Solución de Ejercicio 14.3.**

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ cumple $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$; la inversión en $x = 0$, donde $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1)
= 2$:

$$
2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2
\dd\xi
\ \Longrightarrow\
\int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,
$$

coherente con $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} =
\frac\pi2$ (el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)).

(b) Plancherel para $f = \eu^{-\abs x}$: $\int\abs{\hat f}^2 =
2\pi\int\abs f^2$ se lee $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} =
2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$: $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$.

**Ejercicio 14.4 ★★.**

(Álgebra del [núcleo del calor](#pb-b3-fouriertransform-1)) Con $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: (a) compruébese $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$; (b) dedúzcase la ley de semigrupo $g_t * g_s = g_{t+s}$ sin ningún cálculo de integrales; (c) demuéstrese $\norm{g_t}_1 = 1$ y $\norm{g_t}_2^2 =
(8\pi t)^{-1/2}$.

**Solución de Ejercicio 14.4.**

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$: por el [Ejemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) con $a = \frac1{4t}$, $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi
t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$. (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$, y la transformada es inyectiva en $L^1$ ([Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3)): $g_t * g_s =
g_{t+s}$. (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (integral gaussiana); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x =
\frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$.

**Ejercicio 14.5 ★★.**

Demostrar que si $f \in L^1$ es par y real, $\hat f$ es par y real; y que si $f$ es impar y real, $\hat f$ es impar y puramente imaginaria. ¿Qué calcula $\hat f(0)$? Dedúzcase que $f \geq
0$ obliga a $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$, e interprétese para [densidades](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilidad (el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/23-funciones-caracteristicas-y-teorema-central-del-limite#ch-b3-clt): una función característica tiene módulo $\leq 1$, alcanzado en $0$).

**Solución de Ejercicio 14.5.**

Para $f$ real y par: $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (la parte del seno se cancela): real y par. Impar: $\hat f(\xi) =
-\iu\int f\sin(\xi x)$: impar y puramente imaginaria. $\hat f(0) =
\int f$: la masa total. Si $f \geq 0$: $\abs{\hat f(\xi)}
\leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$, de modo que el supremo se alcanza en $0$. Para una [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilidad, $\hat f(-\xi)$ es la función característica del [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/23-funciones-caracteristicas-y-teorema-central-del-limite#ch-b3-clt): módulo $\leq 1$ en todas partes y $= 1$ en el origen.

**Ejercicio 14.6 ★★★.**

(No sobreyectividad) Demostrar que $\widehat{\phantom f}\colon L^1
\to \mathcal C_0$ es inyectiva y [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) pero *no* sobreyectiva, en tres pasos. (i) Inyectividad (el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) y [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), y $\mathcal C_0$ es un espacio de Banach (cerrado en $\norm\cdot_\infty$). (ii) Si la aplicación fuera sobreyectiva, sería biyectiva, y el teorema de la aplicación abierta (el [Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#thm-b3-banach-openmapping)) daría una constante $C$ con $\norm f_1 \leq C\norm{\hat
f}_\infty$ para toda $f \in L^1$. (iii) Contradígase esto con $f_n(x) = \frac{\sin
x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: su transformada es (salvo constantes) el trapecio de tipo convolución $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — demuéstrese que $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniformemente, mientras que $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ contando los arcos de $\frac{\abs{\sin x}}x$ en $[1, n]$ (donde el segundo factor está acotado inferiormente), como en el [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#thm-b3-banach-fourierdiverge).

**Solución de Ejercicio 14.6.**

(i) La inyectividad es el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3); la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (con valores en $\mathcal C_0$ por Riemann–Lebesgue); y $\mathcal C_0$ es cerrado para la norma del supremo (los límites uniformes de funciones que se anulan en el infinito se anulan en el infinito): de Banach.

(ii) Una biyección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) entre espacios de Banach tiene inversa [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (el [Teorema 8.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#thm-b3-banach-openmapping)): existiría $C$ con $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$.

(iii) Sea $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$: producto de dos funciones $L^2$, y $O(x^{-2})$ en el infinito, luego $f_n \in L^1\cap L^2$. Como $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ tiene transformada $L^2$ igual a $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$, la fórmula del producto $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (válida para $g, h
\in L^2$ con $gh \in L^1$; compruébese sobre funciones de Schwartz por Fubini y extiéndase por la $L^2$-continuidad de ambos miembros vía Plancherel) da

$$
\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf
1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf
1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):
$$

un trapecio de altura $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$: $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ para todo $n$. Pero en $[1,
n]$, $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$, de modo que

$$
\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x
\geq c\ln n
$$

(recuento de arcos, como en el [Teorema 8.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#thm-b3-banach-fourierdiverge)). La cota $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ falla para $n$ grande: no es sobreyectiva. (La imagen es un subespacio denso — por argumentos de tipo Stone–Weierstrass — pero propio de $\mathcal C_0$.)

**Ejercicio 14.7 ★★.**

(Diccionario regularidad $\leftrightarrow$ decaimiento) Demostrar: $f \in
L^1$ con $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ para cierto $\delta > 0$ implica que $f$ tiene un representante $\mathcal C^k$. Recíprocamente, $f \in \mathcal C^k_c$ implica $\hat f(\xi) =
O(\abs\xi^{-k})$. Ilústrense ambos sentidos sobre la función triangular.

**Solución de Ejercicio 14.7.**

Si $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$: entonces $\xi^j\hat f
\in L^1$ para $0 \leq j \leq k$ ([integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) en el infinito por el decaimiento, y localmente por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\hat f$). La inversión (el [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) representa $f$ en casi todo punto mediante $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, y la derivación bajo el signo integral (dominadores $\abs{\xi^j\hat f}$) hace ese representante $\mathcal C^k$. Recíprocamente, para $f \in \mathcal C_c^k$: iterando la [Proposición 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(4), $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$, luego $\abs{\hat f} \leq
\norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$. Función triangular: [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) ($k = 0$: transformada acotada), y su transformada $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ devuelve, por el primer sentido, un representante $\mathcal C^0$ — ambos resultados son óptimos: la triangular no es $\mathcal C^1$, y su transformada no decae más deprisa que $\xi^{-2}$.

**Ejercicio 14.8 ★★★.**

(Desigualdad de Heisenberg) Para $f \in \mathcal S(\R)$ real con $\norm f_2 = 1$, demostrar

$$
\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot
\Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr)
\;\geq\; \frac14 ,
$$

con igualdad para las gaussianas. *(Escríbase $1 = \int f^2 =
-\int x\,(f^2)'$ por partes, acótese por Cauchy–Schwarz y conviértase $\norm{f'}_2$ mediante Plancherel.)* Interpretación: una señal y su espectro no pueden estar ambos concentrados.

**Solución de Ejercicio 14.8.**

Integración por partes ($f \in \mathcal S$; los términos de frontera se anulan):

$$
1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int
x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .
$$

Plancherel y $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$: $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$. Elevando al cuadrado la expresión:

$$
\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi}
\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .
$$

La igualdad exige igualdad en Cauchy–Schwarz: $f' =
\lambda xf$ con $\lambda < 0$ ([integrabilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), es decir, $f(x) =
c\,\eu^{\lambda x^2/2}$: gaussianas. Una señal concentrada en $x$ ($\norm{xf}_2$ pequeño) ha de tener espectro extendido, y recíprocamente: el principio de incertidumbre.

**Ejercicio 14.9 ★★.**

Justifíquese en detalle el [Ejemplo 14.10](#ex-b3-fouriertransform-theta) (hipótesis de Poisson para la gaussiana) y úsese la identidad para evaluar $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ con seis decimales usando tres términos. ¿Cuántos términos de la serie *definitoria* exigiría la misma precisión en $t = 10^{-2}$, frente a la serie transformada?

**Solución de Ejercicio 14.9.**

La gaussiana $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ es de Schwartz, de modo que el [Teorema 14.9](#thm-b3-fouriertransform-poisson) se aplica, y $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$; en $\xi = 2\pi
k$ el miembro derecho se convierte en $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$: la identidad theta. En $t = 1$:

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} +
\cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,
$$

con precisión de $6$ decimales usando tres términos ($\eu^{-9\pi}
\approx 5\cdot10^{-13}$). En $t = 10^{-2}$: la serie definitoria necesita $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$, es decir, $n \gtrsim
23$ — unos $47$ términos —, mientras que la serie transformada es $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$, donde ya el término $k = 1$ es $\sim 10^{-136}$: basta un término.

**Ejercicio 14.10 ★★.**

(Funciones de banda limitada) Sea $f \in L^2(\R)$ con $\mathcal Ff$ de soporte en $\intcc{-\pi}\pi$. Demostrar que $f$ tiene un representante cada uno de cuyos valores puede recuperarse de las muestras: demuéstrese la *interpolación de Shannon* en los enteros,

$$
f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\,
\frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)}
\quad\text{en } L^2,
$$

desarrollando $\mathcal Ff$ en la base de Fourier de $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ (el [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier)) y transformando de vuelta término a término.

**Solución de Ejercicio 14.10.**

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq
L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ ([medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) finita), de modo que la inversión da el representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $f(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, con

$$
f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal
Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal
Ff\rangle
$$

con la notación del [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier). Desarrollando en esa [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb): $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu
n\xi}$ en $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$. Aplíquese la $\mathcal F^{-1}$, que es $L^2$-continua, término a término:

$$
\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf
1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x)
= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi
= \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,
$$

lo que da $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ en $L^2$: una señal de banda limitada queda determinada por sus muestras enteras — el teorema del muestreo de Shannon.

**Ejercicio 14.11 ★★.**

(La transformada como operador de orden cuatro) Sobre $\mathcal
S(\R)$, sea $\mathcal F f = \hat f$. (a) Usando la fórmula de inversión, demuéstrese $(\mathcal F^2f)(x) =
2\pi\,f(-x)$ y dedúzcase $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\,
\mathrm{id}$. (b) Dedúzcase que todo valor propio de $\mathcal F$ sobre $\mathcal S$ pertenece a $\{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$, y exhíbase una función propia para $+\sqrt{2\pi}$ *(¿qué función de este capítulo es proporcional a su propia transformada?)*. (c) Demostrar que las funciones pares cumplen $\mathcal F^2f = 2\pi
f$ y las impares $\mathcal F^2f = -2\pi f$; prodúzcase una función propia para el valor propio $-\iu\sqrt{2\pi}$ a partir de $x\eu^{-x^2/2}$ calculando su transformada (derívese la transformada de la gaussiana).

**Solución de Ejercicio 14.11.**

(a) Inversión en $\mathcal S$: $f(x) =
\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi =
\frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$, es decir, $(\mathcal
F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$. Aplicando dos veces: $\mathcal F^4f =
2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$.

(b) Si $\mathcal Ff = \lambda f$ con $f \neq 0$: $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$, luego $\lambda^4 =
(2\pi)^2$: $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$. La gaussiana $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ cumple $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ (el [Ejemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) en $a = \frac12$): función propia para $+\sqrt{2\pi}$.

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ vale $\pm2\pi f$ según la paridad. Para $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$: derivando $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ con la regla $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$:

$$
\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi}
\eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2}
= -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :
$$

una función propia para $-\iu\sqrt{2\pi}$. (Las funciones de Hermite continúan el patrón, recorriendo cíclicamente los cuatro valores propios — el reloj discreto de Fourier.)

**Ejercicio 14.12 ★★.**

(Autocorrelación y lema de Wiener) Para $f \in L^2(\R)$ defínanse $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ y la *autocorrelación* $A_f = f * \tilde f$. (a) Demostrar que $A_f$ es una función acotada y [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ para todo $x$ (el [Ejercicio 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#exo-b3-lp-6) y Cauchy–Schwarz). (b) Demostrar, primero para $f \in L^1\cap L^2$, que $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$: la autocorrelación tiene transformada no negativa — los espectros de las autocorrelaciones son espectros de potencia. (c) Dedúzcase la identidad $\int_\R\abs{\hat
f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (inversión; justifíquese su aplicabilidad cuando $\hat f \in L^2$ tiene $\abs{\hat f}^2 \in L^1$) y evalúese para $f = \mathbf
1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ en $x = 0$: recupérese $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$.

**Solución de Ejercicio 14.12.**

(a) $\tilde f \in L^2$ con $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$; el [Ejercicio 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#exo-b3-lp-6) (exponentes conjugados $p = q = 2$) hace $A_f = f * \tilde f$ acotada y uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), con

$$
A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y,
\qquad A_f(0) = \norm f_2^2,
\qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot -
x)}_2 = A_f(0)
$$

por Cauchy–Schwarz.

(b) Para $f \in L^1\cap L^2$: también $\tilde f \in L^1$, y el teorema de la convolución da $\widehat{A_f} = \hat f\,
\widehat{\tilde f}$; calculando, $\widehat{\tilde f}(\xi) =
\int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x =
\overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} =
\overline{\hat f(\xi)}$: $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2
\geq 0$.

(c) Cuando $\abs{\hat f}^2 \in L^1$, la inversión se aplica a la [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $A_f$ (su transformada es [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1); [Teorema 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)):

$$
A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2
\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .
$$

Para $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$: $\hat f(\xi) =
\frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$, y en $x = 0$:

$$
1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R
\Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi
= \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u
$$

($\xi = 2u$), es decir, $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd
u = \pi$ — la integral favorita de Plancherel, recuperada por autocorrelación.

## 14.6 Problema: la ecuación del calor en la recta

**Problema 14.1.**

Problema de fin de semana — $\partial_tu =
\partial^2_{xx}u$, resuelta de principio a fin

El calor se propaga; la ecuación $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ dice que su [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) difunde a un ritmo dado por la curvatura local del perfil de temperatura. Resolveremos el problema de Cauchy en $\R$ — dada $f$, hállese $u(t, x)$ para $t > 0$ con $u(0, \cdot) = f$ —, demostraremos las notables propiedades de la solución y veremos por qué el tiempo no puede invertirse. En todo el problema, $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ es el *núcleo del calor* y $u(t, \cdot) = g_t *
f$.

**Parte I — Deducción del núcleo.** Trabájese primero de manera formal: supóngase que $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ resuelve la ecuación y sea $\hat u(t, \xi)$ la transformada en $x$.

1. Demostrar (formalmente) que $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , de donde $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , y reconózcase $u(t) = g_t * f$ (el [Ejercicio 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4) ). Esto motiva la *definición* de $u$ ; todo lo demás se demuestra ya directamente, para $f \in \mathcal C_b(\R)$ ( [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) acotada) o $f \in L^p$ .

**Parte II — Verificación.**

2. Demostrar que, para $t > 0$ , $u(t, x) = \int  g_t(x-y)f(y)\dd y$ está bien definida para $f \in \mathcal  C_b$ y que $u$ es $\mathcal C^\infty$ en $(t, x)$ sobre $\intoo0\infty\times\R$ *(derívese bajo el signo integral; domínense las derivadas gaussianas localmente uniformemente en $(t,x)$)* .
3. Verificar $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ por cálculo directo y dedúzcase $\partial_tu =  \partial^2_{xx}u$ para $t > 0$ .
4. (Condición inicial) Demostrar que, para $f \in \mathcal  C_b$ , $u(t, x) \to f(x)$ cuando $t \to 0^+$ , uniformemente sobre los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) *(aproximación de la identidad: sepárese $\abs y  \leq \delta$, $\abs y > \delta$)* ; y para $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ), demuéstrese $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
5. (Suavizado instantáneo) Concluir: incluso para $f$ meramente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y acotada, la solución es $\mathcal C^\infty$ para todo $t > 0$ — el calor borra al instante la aspereza. Calcúlese $u(t, \cdot)$ explícitamente para $f =  \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (una función error) y esbócese su perfil para tres valores de $t$ .

**Parte III — Propiedades estructurales.**

6. (Positividad y comparación) Si $f \geq 0$ , entonces $u > 0$ para todo $t > 0$ (estrictamente, salvo que $f = 0$ en casi todo punto); si $f_1 \leq f_2$ , entonces $u_1 \leq u_2$ . Un punto frío se calienta al instante: coméntese.
7. (Conservación) Para $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x =  \int f$ para todo $t$ *(Tonelli)* — el calor total se conserva.
8. (Disipación) Para $f \in L^1\cap L^2$ , demuéstrese mediante Plancherel que $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ es no creciente, estrictamente salvo que $f = 0$ , y calcúlese su límite cuando $t \to \infty$ . Demuéstrese además $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm  f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : el calor se esparce y muere.
9. (Unicidad, clase $L^2$ ) Sea $u$ una solución con $u(t) \in L^2$ para todo $t$ , $u \in \mathcal  C^1(\intoo0\infty, L^2)$ en el sentido natural y $u(t) \to f$ en $L^2$ cuando $t\to0$ ; admitiendo que la transformada la convierte en $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ puntualmente en casi todo punto de $\xi$ para casi todo $t$ *(justificado evaluando contra $\mathcal  C_c^\infty$ en $\xi$ — esbócese)* , demuéstrese $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ y, por tanto, la unicidad en esta clase.

**Parte IV — La flecha del tiempo.**

10. Demostrar que el problema *retrógrado* está mal planteado: para que la solución exista en el instante $-s$ ( $s > 0$ ) con dato $f$ en el instante $0$ — es decir, para que $f = g_s * h$ tenga solución $h \in L^2$ — es necesario que $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : una condición de decaimiento extrema sobre $\hat f$ . Exhíbase una $f  \in L^2$ regular explícita para la que no exista solución retrógrada en ningún intervalo de tiempo: tómese la función con $\hat f(\xi) =  \eu^{-\abs\xi}$ — identifíquese $f$ (el [Ejercicio 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1) ) y demuéstrese $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ para todo $s >  0$ .
11. (Suavizado frente a información) Explíquese en un párrafo breve, usando las preguntas 5, 9 y 10, por qué el semigrupo del calor $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ es inyectivo pero no sobreyectivo sobre $L^2$ , y por qué esto expresa la irreversibilidad de la difusión.

**Parte V — El teorema del muestreo de Shannon.** Una función $f \in L^2(\R)$ es *de banda limitada* a $\Omega$ si $\hat f = 0$ en casi todo punto fuera de $\intcc{-\Omega}\Omega$; escribimos $PW_\Omega$ (espacio de Paley–Wiener) para tales funciones.

12. Demostrar que toda $f \in PW_\Omega$ coincide en casi todo punto con la función $\mathcal C^\infty$ $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat  f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (justifíquense la regularidad y la identificación), con todas las derivadas acotadas: la limitación de banda es una forma extrema de regularidad. A partir de ahora, $f$ denota ese representante.
13. Desarróllese $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ en la base de Fourier de ese intervalo e identifíquense los coeficientes como *muestras* de $f$: $$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z}  f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\,  \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}  \quad\text{en } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$$
14. Dedúzcase el *teorema del muestreo*: para $f \in  PW_\Omega$, $$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi}  \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),  \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$$ con convergencia en $L^2(\R)$ y uniforme en $\R$ *(insértese la serie de la pregunta 13 en la fórmula de inversión y calcúlese la integral elemental)*: una señal de banda limitada queda enteramente determinada por sus valores sobre una malla de paso $\pi/\Omega$ — la frecuencia de Nyquist.
15. Demostrar que las funciones $x \mapsto  \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , forman una familia ortogonal en $L^2(\R)$ de norma constante $\sqrt{\pi/\Omega}$ , y dedúzcase la identidad de energía $\norm f_2^2 =  \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
16. (Solapamiento) Exhíbase una $g \in PW_{2\Omega}$ no nula que se anule en todos los puntos de muestreo $\frac{n\pi}\Omega$ *(considérese $g(x) =  \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ y compruébese su banda)* : muestrear por debajo de la frecuencia de Nyquist pierde información — dos señales distintas pueden compartir todas sus muestras: el efecto estroboscópico de la rueda de carro, matematizado.
17. (Grados de libertad) Usando las preguntas 14–15, justifíquese la regla de ingeniería: una señal de banda limitada a $\Omega$ cuya energía está esencialmente concentrada en una ventana temporal de longitud $T$ queda descrita por aproximadamente $\frac{\Omega T}\pi$ muestras reales — precísese «esencialmente» mediante la identidad de energía y la cola $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} >  T/2}$ .
18. (Comprobaciones de coherencia) Verifíquese el teorema del muestreo a mano sobre dos elementos de $PW_\Omega$ : (a) $f =  \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , cuyas muestras son $\delta_{n0}$ ; (b) señales de banda estrecha de tipo $f(x) = \cos(\omega x)  \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — con más precisión, demuéstrese que para $f \in  PW_{\Omega'}$ con $\Omega' < \Omega$ la serie de frecuencia $\Omega$ también reconstruye $f$ (sobremuestrear es inocuo), sumergiendo $PW_  {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ .

**Parte VI — Incertidumbre, dos veces más.** La desigualdad de Heisenberg (el [Ejercicio 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8)) acota *cuánto* pueden concentrarse conjuntamente $f$ y $\hat f$; aquí van su hermana de todo o nada y su saturación exacta.

19. Sea $f \in L^1$ con $\operatorname{supp}f \subseteq  \intcc{-A}A$. Demostrar que $\hat f$ es la suma de una serie de potencias convergente en todo punto: $$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}  \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x,  \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$$ *(desarróllese $\eu^{-\iu\xi x}$ y justifíquese el intercambio por convergencia normal)*: la transformada es *analítica real*, con radio de convergencia infinito en todo punto.
20. Dedúzcase la dicotomía de soportes: una función analítica real que se anula en un intervalo abierto no vacío se anula idénticamente *(el conjunto donde se anulan todas las derivadas es abierto y cerrado — desarróllese el argumento de Taylor)* ; concluir que ninguna $f$ no nula tiene a la vez $f$ y $\hat f$ de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) , y que $PW_\Omega$ no contiene ninguna función no nula de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) — las señales de banda limitada duran para siempre, y las de duración limitada se filtran a todas las frecuencias.
21. (Saturación de Heisenberg) Sobre la familia gaussiana $f  = \eu^{-ax^2}$ , calcúlense ambos factores de concentración y compruébese que el producto normalizado $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int  \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ vale $\frac14$ para *todo* $a$ — la familia de igualdad del [Ejercicio 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) en carne y hueso; explíquese mediante un argumento de escala por qué el producto ha de ser constante a lo largo de la familia.
22. Explíquese la lectura física ( [densidades](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de posición y momento de un estado cuántico; $\hbar$ en la normalización da $\sigma_x\sigma_p \geq  \frac\hbar2$ ) y conéctese todo el capítulo: el suavizado instantáneo (Parte II), la irreversibilidad (Parte IV), el muestreo (Parte V), Heisenberg y la dicotomía de soportes son cinco expresiones de una misma ley — el comportamiento de $\hat f$ en el infinito legisla lo que $f$ puede hacer en cualquier sitio.

**Parte VII — El álgebra del núcleo y un ejemplo [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived).**

23. (Semigrupo) Demostrar la *identidad de Chapman–Kolmogorov* $g_t * g_s = g_{t+s}$ para $t, s > 0$ (mediante el teorema de la convolución y la inyectividad de la transformada en $L^1$) y dedúzcase $u(t + s) = g_s *  u(t)$: evolucionar durante un tiempo $t + s$ es evolucionar durante $t$ y después durante $s$. Afínese la disipación de la pregunta 8: escribiendo $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int  \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, demuéstrese por Cauchy–Schwarz que $$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2  \quad\text{es convexa en } \intoo0{+\infty} :$$ la energía $L^2$ no solo decrece: decrece de manera logarítmicamente convexa.
24. (A dónde va el calor) Sean $f \geq 0$, $f \in L^1$, con $\int x^2f(x)\dd x < \infty$. Demostrar que, para todo $t > 0$ $$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x,  \qquad  \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x  = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$$ el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de calor nunca se mueve y la varianza crece *linealmente* con el tiempo — el escalado difusivo $x \sim \sqrt{2t}$, que habrá que releer cuando aparezca el movimiento browniano en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/22-probabilidad-fundamentos-y-ley-de-los-grandes-numeros#ch-b3-probability). *(Calcúlense los dos primeros momentos de $g_t$ y úsese Tonelli sobre la convolución.)*
25. (La gaussiana, resuelta de principio a fin) Para $f(x) =  \eu^{-x^2}$, establézcase la forma cerrada $$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\,  \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$$ y verifíquense sobre ella, a mano: la ecuación $\partial_tu  = \partial^2_{xx}u$; la conservación $\int u(t) =  \sqrt\pi$; la ley de disipación $\norm{u(t)}_2 =  (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (compárese su decaimiento $t^{-1/4}$ con el decaimiento $t^{-1/2}$ de la norma del supremo de la pregunta 8); y el crecimiento exacto de la varianza de la pregunta 24. En $t = 6$: el pico ha caído al $\frac15$ de su altura inicial mientras el perfil es cinco veces más ancho — el mismo calor, esparcido.

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** Transformando la ecuación en $x$ (formalmente): $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} =
(\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$, una ecuación diferencial ordinaria en $t$ para cada frecuencia: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$. Y como $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ (el [Ejercicio 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4)), el producto es la transformada de $g_t * f$.

**2.** $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm
f_\infty$: bien definida. En $[t_0, T]\times[-A, A]$: cada derivada mixta $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ es un polinomio en $(x - y)$ y $t^{-1}$ multiplicado por $\eu^{-(x-y)^2/4t}$, acotado para $\abs y \geq 2A$ por $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$, un dominador [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) independiente de $(t, x)$ en la ventana (y acotado para $\abs y \leq 2A$): la derivación reiterada bajo el signo integral (el [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) se aplica: $u \in
\mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$.

**3.** Con $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\eu^{-x^2/4t}$:

$$
\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr)
= \partial^2_{xx}g_t
$$

(derívese dos veces en $x$: $\partial_xg_t = -\frac
x{2t}g_t$, $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} -
\frac1{2t}\bigr)g_t$). Por la pregunta 2, las derivadas pasan bajo la integral: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$.

**4.** $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) -
f(x)\bigr)\dd y$. Dados un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K$ y $\varepsilon$: la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$ en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $K$ da $\delta$ con $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ para $x \in
K$, $\abs y \leq \delta$; y la cola aporta una masa $\leq 2\norm
f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm
f_\infty\,\P$ más allá de $\delta$, que es $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z
\to 0$ cuando $t \to 0$. Para $f \in L^p$: $\norm{u(t) - f}_p \leq
\int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski o Jensen, como en el [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-regularization)); sepárese del mismo modo usando [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-density)(3).

**5.** El suavizado instantáneo es la pregunta 2 ($u(t)$ es $\mathcal C^\infty$ para $t > 0$ sin usar ninguna regularidad de $f$). Para $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$:

$$
u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y
= \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z
= \frac12\Bigl(1 +
\operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr),
\qquad \operatorname{erf}(s) =
\frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :
$$

un escalón suavizado cuya zona de transición se ensancha como $\sqrt t$ (perfiles en $t_1 < t_2 < t_3$: rampas cada vez más planas a través de $(0, \frac12)$).

**6.** El integrando $g_t(x-y)f(y)$ es $\geq 0$ y el núcleo es estrictamente positivo: $u(t,x) = 0$ obligaría a $f = 0$ en casi todo punto. La monotonía en $f$ es la monotonía de la integral. Un punto donde $f = 0$ en un intervalo sigue teniendo $u(t, \cdot) > 0$ allí para todo $t > 0$: el calor se propaga a velocidad infinita (cualquier positividad en cualquier sitio se siente en todas partes al instante).

**7.** Tonelli ($g_t(x-y)\abs{f(y)}$ es [integrable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) en $\R^2$): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x -
y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$.

**8.** Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 =
\int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, no creciente en $t$ (puntualmente), estrictamente salvo que $\hat f = 0$ en casi todo punto ($= f =
0$), con límite $0$ cuando $t\to\infty$ por convergencia dominada. Y $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 =
\frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$.

**9.** Para $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$, $t \mapsto
\langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ es $\mathcal C^1$ con derivada $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle =
\langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle =
\langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — con precisión, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ traslada la ecuación. Entonces, para casi todo $\xi$, la función absolutamente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ tiene derivada $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ en sentido integrado: es constante y, haciendo $t \to 0$ ($\hat u(t) \to \hat f$ en $L^2$, y en casi todo punto a lo largo de una subsucesión): $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ en casi todo punto. Dos soluciones de la clase tienen la misma transformada: son iguales.

**10.** $f = g_s * h$ con $h \in L^2$ obliga a $\hat f =
\eu^{-s\xi^2}\hat h$, es decir, a $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in
L^2$. Tómese $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$: entonces $f(x) =
\frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ (el [Ejercicio 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1), inversión), una función $L^2$ perfectamente regular; pero $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to
\infty$: $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ para todo $s > 0$. El perfil de Cauchy *nunca* es el resultado de una difusión previa.

**11.** El semigrupo del calor multiplica las transformadas por $\eu^{-t\xi^2}$, que no se anula en ningún punto: es inyectivo — formalmente, no se destruye información. Pero su imagen consta de funciones cuya transformada decae como $\eu^{-t\xi^2}$: un subespacio minúsculo, denso pero propio, de $L^2$ (la pregunta 10 muestra que incluso funciones excelentes quedan fuera). Invertir amplificaría la frecuencia $\xi$ por $\eu^{t\xi^2}$: no acotado y, por tanto, inestable frente a cualquier perturbación. La difusión es irreversible no porque la aplicación olvide, sino porque su inversa no puede ser [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — una flecha del tiempo hecha de análisis funcional.

**12.** $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)
\subseteq L^1$ (Cauchy–Schwarz sobre un intervalo acotado), de modo que $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ está definida en todo punto, y la derivación bajo el signo integral (dominada por $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ sobre la banda) la hace $\mathcal C^\infty$ con $\abs{F^{(k)}} \leq
\frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ en todo punto. Y $F
= f$ en casi todo punto: ambos miembros tienen la misma transformada, y la transformada es inyectiva en $L^2$ (el [Teorema 14.8](#thm-b3-fouriertransform-plancherel) y su extensión a $L^2$).

**13.** Las exponenciales $\xi \mapsto \eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}$, $n \in \Z$, forman una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ (el [Teorema 13.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier), reescalado). El coeficiente de $\hat f$ a lo largo de la $n$-ésima es

$$
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi
= \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),
$$

por la fórmula de la pregunta 12 en $x = \frac{n\pi}\Omega$: el desarrollo enunciado vale en $L^2$ de la banda.

**14.** Insértese el desarrollo en la fórmula de inversión de la pregunta 12; el intercambio de suma e integral es la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) del emparejamiento $L^2$ contra $\frac1{2\pi}
\eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (de norma $L^2$ igual a $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$, independiente de $x$ — de ahí la uniformidad):

$$
f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)
\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),
$$

puesto que $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu
u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$.

**15.** Leyendo al revés el cálculo de la pregunta 14, la transformada de $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot -
n\pi)$ es $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$. Plancherel:

$$
\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi}
\Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi =
\frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :
$$

una familia ortogonal de norma constante $\sqrt{\pi/\Omega}$. Tomando normas en el desarrollo de la pregunta 14: $\norm f_2^2 =
\frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$.

**16.** $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}
(\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ se anula en todo punto de la malla $\frac{n\pi}\Omega$ (incluido $0$, por el límite) y no es idénticamente nula. Su banda: escríbase $g =
\frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega
x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$; la modulación por $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ desplaza la transformada en $\mp\Omega$, de modo que $\hat g$ tiene soporte en $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (de hecho, en la unión de dos bandas desplazadas): $g \in PW_{2\Omega}$, invisible para el muestreo a frecuencia $\Omega$ — el solapamiento en persona.

**17.** Por la pregunta 15, las muestras reparten la energía democráticamente: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$. Si la energía de la señal fuera de la ventana temporal $\intcc{-T/2}{T/2}$ es $\leq \varepsilon^2\norm
f^2$, las muestras fuera de la ventana cumplen (salvo términos de borde controlados por la cota uniforme de la pregunta 12) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x >
T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$: truncar la serie de muestreo a los $\approx \frac{\Omega T}\pi$ índices de la ventana reconstruye $f$ con error relativo $\approx\varepsilon$. Así, el producto tiempo–ancho de banda $\frac{\Omega T}{\pi}$ cuenta los grados de libertad reales efectivos de la señal — la regla que hay detrás de todo formato de audio.

**18.** (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ tiene muestras $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) =
\delta_{n0}$: la serie se reduce a su término $n = 0$, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — el teorema reproduce su propio núcleo. (b) Si $\hat f$ tiene soporte en $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq
\intcc{-\Omega}\Omega$, cada paso de las preguntas 13–14 funciona literalmente con la banda mayor $\Omega$ (el desarrollo de $\hat f$ sobre el intervalo mayor sigue siendo lícito): muestrear más deprisa que la propia frecuencia de Nyquist no cambia nada en la reconstrucción — sobremuestrear es inocuo y, en la práctica, beneficioso (permite usar núcleos de reconstrucción de decaimiento más rápido).

**19.** Desarróllese $\eu^{-\iu\xi x} =
\sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ dentro de la integral; en $\intcc{-A}A$ la serie converge normalmente ($\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$), de modo que integrar término a término es lícito:

$$
\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k,
\qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .
$$

La cota hace converger la serie para todo $\xi$ complejo; y alrededor de cualquier punto $\xi_0$, reagrupando (convergencia absoluta) se obtiene una serie de potencias en $\xi - \xi_0$: $\hat f$ es analítica real con radio infinito en todo punto.

**20.** Sea $g$ analítica real en $\R$ (con serie de Taylor convergente a $g$ cerca de cada punto) y sea $Z = \{\xi :
g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$. $Z$ es cerrado (intersección de cerrados); y es abierto, pues en $\xi_0 \in Z$ el desarrollo local de Taylor de $g$ es la serie nula, de modo que $g$ se anula idénticamente cerca de $\xi_0$, junto con todas sus derivadas. Si $g$ se anula en un intervalo, $Z \neq \varnothing$; por la [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) de $\R$, $Z = \R$: $g \equiv 0$. Ahora bien, si $f
\neq 0$ tuviera soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) junto con $\hat f$: la pregunta 19 hace $\hat f$ analítica real, anulándose fuera de un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y, por tanto, en intervalos: $\hat f \equiv 0$, luego $f = 0$ en casi todo punto por inyectividad — contradicción. Análogamente, una $f \in
PW_\Omega$ no nula no puede tener soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (intercámbiense los papeles de $f$ y $\hat f$ mediante la inversión): las señales de banda limitada nunca mueren, y las de duración limitada ocupan un espectro no acotado.

**21.** Para $f = \eu^{-ax^2}$: $\norm f_2^2 =
\sqrt{\frac\pi{2a}}$ y $\int x^2\abs f^2 =
\frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (segundo momento gaussiano); $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ (el [Ejemplo 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian)) y

$$
\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi =
\frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2
\eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a}
= \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .
$$

Producto normalizado: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot
\frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$, independiente de $a$. El escalado explica la constancia: sustituir $f$ por $f(\lambda\cdot)$ multiplica $\int x^2\abs f^2/\norm
f^2$ por $\lambda^{-2}$ y $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat
f}^2/\norm f^2$ por $\lambda^{2}$: el producto es un invariante de las homotecias, y las gaussianas forman una sola [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) de homotecias.

**22.** Con $\abs f^2$ la [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de posición y $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ la [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de momento de un estado cuántico (las unidades físicas insertan $\hbar$), el [Ejercicio 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) se lee $\sigma_x\sigma_p
\geq \frac\hbar2$: ningún estado es nítido en ambos observables. A lo largo del capítulo, una misma ley se pone cinco trajes: el calor suaviza al instante porque $\eu^{-t\xi^2}$ aniquila las frecuencias altas (Parte II); el flujo no puede recorrerse hacia atrás porque restaurarlas no está acotado (Parte IV); una señal de banda limitada es lo bastante rígida como para vivir en una malla numerable (Parte V); ninguna función baja del suelo de Heisenberg; y ninguna función tiene soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) a ambos lados de la transformada (preguntas 19–20). Lo que $\hat f$ hace en el infinito gobierna lo que $f$ puede hacer en cualquier sitio.

**23.** Tanto $g_t$ como $g_s$ están en $L^1$ con $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (el cálculo de la pregunta 1), de modo que el teorema de la convolución da $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$; y dos funciones de $L^1$ con la misma transformada coinciden en casi todo punto (inyectividad, vía el teorema de inversión — aquí ambos miembros son [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), luego coinciden en todo punto): $g_t * g_s = g_{t+s}$. En consecuencia, $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (asociatividad de la convolución, Tonelli). Convexidad logarítmica: sea $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (Plancherel, pregunta 8). Para $t = \frac{t_1 + t_2}2$, escríbase

$$
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2
= \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},
$$

y Cauchy–Schwarz da $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq
\sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$: $\ln N$ es convexa en el punto medio y, siendo [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (convergencia dominada en $t$), convexa; y otro tanto $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$. Decaimiento con logaritmo convexo: el flujo del calor no puede perder energía de golpe y después detenerse.

**24.** Momentos del núcleo: $\int g_t = 1$ (pregunta 7 con $f = g_s$, o directamente la integral gaussiana), $\int
x\,g_t(x)\dd x = 0$ (integrando impar) y, sustituyendo $x =
2\sqrt t\,v$,

$$
\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x
= \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .
$$

Sustituyendo $x = z + y$ en la convolución y observando que $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (cada uno de $\int\abs z^kg_t$, $\int\abs y^kf$ es finito para $k
\leq 2$, usando $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$), Fubini y Tonelli se aplican a las integrales de momentos siguientes:

$$
\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd
y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,
$$

que es la primera afirmación; y

$$
\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y
= 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,
$$

la segunda. Las medias se suman, las varianzas se suman, y el núcleo aporta media $0$ y varianza $2t$: tras un tiempo $t$, el calor se ha esparcido sobre una anchura del orden de $\sqrt{2t}$ — la distancia crece como la raíz cuadrada del tiempo, la firma de la difusión (y de los [caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) brownianos del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/22-probabilidad-fundamentos-y-ley-de-los-grandes-numeros#ch-b3-probability)).

**25.** Lado de la transformada: $\hat f(\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$, luego $\hat u(t,\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$, que es la transformada de $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (el diccionario gaussiano $\eu^{-ax^2} \mapsto
\sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ con $a = \frac1{1+4t}$): la forma cerrada. Comprobación directa, con $\sigma = 1 + 4t$:

$$
\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma}
\Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr)
= \partial^2_{xx}u ,
$$

ambos miembros calculados a partir de $\partial_xu =
-\frac{2x}\sigma\,u$. Conservación: $\int u(t) =
\sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ para todo $t$. Disipación:

$$
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x
= \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2}
= \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},
$$

luego $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$, no creciente y con logaritmo convexo (pregunta 23); la norma $L^2$ decae como $t^{-1/4}$, exactamente la mitad del exponente $t^{-1/2}$ de $\norm{u(t)}_\infty$ — coherente con $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ y con la conservación de $\norm u_1$. Varianza: $\int x^2u(t) =
\frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 =
\frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$, tal como predice la pregunta 24 ($\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$, $\int
f = \sqrt\pi$). En $t = 6$: $\sigma = 25$, altura del pico $u(6, 0) = \frac15$ frente a $u(0,0) = 1$, escala de anchura $\sqrt\sigma = 5$ veces la inicial, y $\int u =
\sqrt\pi \approx 1.7725$ en todo momento: la mancha es cinco veces más baja, cinco veces más ancha, y no falta ni una caloría.