--- title: "Operadores compactos y el teorema espectral" book: "Matemáticas universitarias — Grado 3" subject: math language: es chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral --- # Capítulo 15 — Operadores compactos y el teorema espectral La diagonalización es la joya de la corona del álgebra lineal en dimensión finita: toda matriz simétrica tiene una base ortonormal de vectores propios. En dimensión infinita esto falla para los [operadores autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) acotados en general — la multiplicación por $x$ en $L^2(\intcc01)$ no tiene *ningún* valor propio (el [Ejercicio 15.6](#exo-b3-spectral-6)) —, pero sobrevive, en forma [perfecta](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), para los operadores *casi de dimensión finita*: los [compactos](#def-b3-spectral-compact). El teorema espectral para [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) es el teorema más utilizado del análisis funcional aplicado: diagonaliza ecuaciones integrales, mueve la [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) y (problema de fin de semana) resuelve la cuerda vibrante, produciendo la base de senos del análisis de Fourier a partir de pura teoría de operadores — con el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler cayendo de una fórmula de trazas como regalo de despedida. En todo el capítulo, $H$ es un [espacio de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) sobre $\C$ (o $\R$; los enunciados se adaptan) y los operadores son acotados. ## 15.1 Operadores compactos **Definición 15.1.** $T \in \mathcal L(E, F)$ (con $E, F$ de Banach) es *compacto* si la imagen $T(B)$ de la bola unidad es relativamente compacta en $F$ — equivalentemente, si toda sucesión acotada $(x_n)$ tiene una subsucesión con $(Tx_{n_k})$ convergente. Los operadores de rango finito son compactos (los acotados en dimensión finita lo son); la identidad de un espacio de dimensión infinita nunca lo es (teorema de Riesz, segundo año). **Proposición 15.2.** Los [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ forman un subespacio cerrado de $\mathcal L(E, F)$ y un [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) bilátero: $S$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ $AS$ y $SB$ [compactos](#def-b3-spectral-compact) para $A, B$ acotados. Además, en un [espacio de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner), todo [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) es límite en [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) de rango finito. **Demostración.** Subespacio: claro por la caracterización con sucesiones. [Ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal): las aplicaciones acotadas llevan sucesiones convergentes a convergentes y acotadas a acotadas. Cerrado: sean $T_n \to T$ con las $T_n$ compactas y $(x_k)$ acotada por $1$; una extracción diagonal hace convergente $(T_nx_{k_j})_j$ para todo $n$; entonces $(Tx_{k_j})$ es de Cauchy, pues $$ \norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} , $$ eligiendo primero $n$ y después los índices. Aproximación en [espacios de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner): sea $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), con $K = \overline{T(B)}$ [compacto](#def-b3-spectral-compact); dado $\varepsilon$, recúbrase $K$ por un número finito de bolas $B(y_i, \varepsilon)$ y sea $P$ la proyección ortogonal sobre $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (cerrado: de dimensión finita). Entonces $PT$ tiene rango finito y, para $\norm x \leq 1$, tomando $y_i$ con $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$, $$ \norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon $$ ($y_i = Py_i$; $\vertiii P \leq 1$): $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$. ∎ **Ejemplo 15.3.** (a) Operadores diagonales sobre $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) si y solo si $\lambda_n \to 0$ ([Ejercicio 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) Operadores con núcleo sobre $\mathcal C(\intcc01)$: [compactos](#def-b3-spectral-compact) por Ascoli (el [Ejercicio 7.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *Operadores de Hilbert–Schmidt*: para $k \in L^2(\intcc01^2)$, $$ (T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y $$ define un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) sobre $L^2(\intcc01)$ con $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (el [Ejercicio 15.4](#exo-b3-spectral-4): truncar el desarrollo en la base de $k$ exhibe $T_k$ como límite de operadores de rango finito). ## 15.2 Operadores autoadjuntos **Definición 15.4.** $T \in \mathcal L(H)$ es *autoadjunto* si $T = T^*$ (el [Ejercicio 13.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8)), es decir, si $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$. Entonces $\langle x, Tx\rangle \in \R$ para todo $x$ (es igual a su conjugado). **Proposición 15.5.** Para $T$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint): $$ \vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} . $$ Los valores propios de $T$ son reales, y los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales. **Demostración.** Sea $M$ el supremo; $M \leq \vertiii T$ por Cauchy–Schwarz. Recíprocamente, la identidad de tipo polarización $$ \langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle $$ (desarróllese; los términos cruzados $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ por [autoadjunción](#def-b3-spectral-selfadjoint)) da, junto con la ley del paralelogramo, $$ 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr). $$ Para $\norm x = 1$ con $Tx \neq 0$, tómese $y = Tx/\norm{Tx}$: $4\norm{Tx} \leq 4M$. Luego $\vertiii T \leq M$. Valores propios: $Tx = \lambda x$, y $x \ne 0$ da $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$. Ortogonalidad: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ con $\lambda \neq \mu$ reales. ∎ ## 15.3 El teorema espectral **Lema 15.6 (Existencia de un valor propio extremo).** Sea $T \neq 0$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). Entonces $\vertiii T$ o $-\vertiii T$ es valor propio de $T$. **Demostración.** Por la [Proposición 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm), tómense vectores unitarios $x_n$ con $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$, donde $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (pásese a una subsucesión para fijar el signo). Entonces $$ \norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 . $$ Por [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), alguna subsucesión $Tx_{n_k} \to y$; entonces $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, luego $x_{n_k} \to x = y/\mu$, un vector unitario, y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) da $Tx = \mu x$. ∎ **Teorema 15.7 (Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos).** Sea $T$ un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) sobre un [espacio de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$. 1. $H$ admite un sistema ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ (con $N$ finito o numerable) de vectores propios de $T$, con valores propios reales no nulos $(\lambda_n)$, tal que $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$$ y $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$. 2. Si $N$ es infinito, $\lambda_n \to 0$ ; para cada $\delta > 0$ , solo un número finito de $n$ cumple $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , y cada espacio propio $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , tiene dimensión finita. 3. Completando $(e_n)$ con una base ortonormal de $\ker T$ se obtiene, cuando $H$ es separable, una base ortonormal de $H$ formada por vectores propios: $T$ queda diagonalizado. **Demostración.** Primero (2). Si infinitos vectores propios ortonormales $x_k$ tuvieran $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$: $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (ortogonalidad, Pitágoras): ninguna subsucesión de $(Tx_k)$ converge, en contra de la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $T$ sobre el acotado $(x_k)$. Esto acota por un número finito, para cada $\delta$, la multiplicidad total de los valores propios fuera de $\intoo{-\delta}\delta$; la numerabilidad y $\lambda_n \to 0$ se siguen. (1) Sea $H_0$ la envoltura lineal cerrada de *todos* los vectores propios de valor propio no nulo, organizados (por (2) y Gram–Schmidt dentro de cada espacio propio de dimensión finita, con ortogonalidad entre espacios propios por la [Proposición 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) en un sistema ortonormal $(e_n)$ con valores propios $\lambda_n \neq 0$. $T$ lleva $H_0$ dentro de $H_0$, y también $H_0^\perp$ dentro de $H_0^\perp$: para $y \perp H_0$ y $e$ un vector propio, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. La restricción $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ es compacta y [autoadjunta](#def-b3-spectral-selfadjoint) sobre el [espacio de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$; si $T' \neq 0$, el [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) produce un vector propio de $T$ con valor propio no nulo dentro de $H_0^\perp$ — imposible, tales vectores viven en $H_0$. Luego $T' = 0$: $H_0^\perp \subseteq \ker T$. Recíprocamente, $\ker T \perp$ todo $e_n$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$): $\ker T \subseteq H_0^\perp$, de donde $\ker T = H_0^\perp$ y la descomposición ortogonal. El desarrollo: para $x = z + \sum_nc_ne_n$ ($z \in \ker T$, $c_n = \langle e_n, x\rangle$; el [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(1) sobre $H_0$), la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $T$ da $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$. (3) $\ker T$, subespacio cerrado de un espacio separable, es separable: tiene una base ortonormal (la [Proposición 13.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#prop-b3-hilbert-gramschmidt)); la unión es una base ortonormal de $H$ por la descomposición de (1). ∎ **Teorema 15.8 (Alternativa de Fredholm).** Sean $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), y $\lambda \in \R\setminus \{0\}$. 1. Si $\lambda$ no es valor propio, entonces $T - \lambda I$ es biyectivo con inversa acotada: para toda $f$ , la ecuación $Tx - \lambda x = f$ tiene exactamente una solución, que depende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f$ . 2. Si $\lambda$ es valor propio, $Tx - \lambda x = f$ es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) si y solo si $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , y la solución es única salvo ese núcleo (de dimensión finita). **Demostración.** Descompónganse $x = z + \sum c_ne_n$ y $f = w + \sum d_ne_n$ según el [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$). La ecuación se lee $$ -\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N). $$ (1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$: por (2) del teorema espectral, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (los valores propios solo se acumulan en $0 \neq \lambda$). Resolviendo: $z = -w/\lambda$, $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, con $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$: una única solución con $\norm x \leq C\norm f$. (2) $\lambda = \lambda_{n}$ para $n$ en un conjunto finito $F$: la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ para $n \in F$ exige $d_n = 0$, es decir, $f \perp e_n$ ($n \in F$), o sea $f \perp \ker(T - \lambda I)$; y los $c_n$, $n \in F$, quedan entonces libres. ∎ **Ejemplo 15.9.** Sobre $L^2(\intcc01)$, sea $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: un [operador de Hilbert–Schmidt](#ex-b3-spectral-examples) con núcleo real y simétrico: [compacto](#def-b3-spectral-compact) y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). Resolviendo $Tf = \lambda f$: la relación $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ muestra que $u = Tf$ cumple $u'' = -f$ (dos derivaciones, lícitas para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y $Tf$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) para $f \in L^2$: convergencia dominada), con $u(0) = 0$ y $u'(1) = 0$. Así pues, las funciones propias resuelven $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$: $$ u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0), $$ y el teorema espectral afirma — sin teoría de Fourier alguna — que estos senos forman una base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ tras normalizar (el núcleo de $T$ es $0$: $Tf = 0$ obliga, por las dos derivaciones, a $f = 0$ en casi todo punto). El problema de fin de semana recorre el mismo círculo de ideas para la cuerda vibrante y extrae $\zeta(2)$ de la traza. **Método 15.10.** Dada una ecuación integral o diferencial: (1) reescríbase como $(I - \lambda K)u = f$ o $Ku = \lambda u$ con $K$ un operador integral; (2) compruébese que $K$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) (núcleo de Hilbert–Schmidt, o Ascoli) y, si es posible, [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) (núcleo real simétrico); (3) diagonalícese con el teorema espectral o invóquese la [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) para la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived); (4) léanse la existencia, la unicidad, la estabilidad y las fórmulas en serie de las soluciones en la base propia. Los operadores diferenciales no están acotados, pero sus *inversas* (los operadores de Green) sí son compactas: inviértase siempre primero. ## 15.4 Ejercicios **Ejercicio 15.1 ★.** (a) Demostrar que un operador acotado de rango finito es [compacto](#def-b3-spectral-compact). (b) Demostrar que la identidad de un espacio normado es compacta si y solo si la dimensión es finita (Riesz, segundo año). Dedúzcase que un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) sobre un espacio de dimensión infinita nunca es invertible con inversa acotada. **Solución de Ejercicio 15.1.** (a) $T(B)$ es un subconjunto acotado del espacio de dimensión finita $\operatorname{im}T$: relativamente [compacto](#def-b3-spectral-compact) por Heine–Borel (el [Corolario 6.17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#cor-b3-topology-heineborel), trasladado por un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) lineal con $\R^n$). (b) Que $I$ sea compacta significa que la bola unidad cerrada es compacta, lo que, por el teorema de Riesz (segundo año), ocurre exactamente en dimensión finita. Si un $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) tuviera inversa acotada $T^{-1}$, entonces $I = T^{-1}T$ sería compacta (la [Proposición 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): imposible en dimensión infinita. **Ejercicio 15.2 ★.** Sea $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ sobre $\ell^2$, con $(\lambda_n)$ acotada. (a) Demostrar $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) Demostrar que $T$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) si y solo si $\lambda_n \to 0$. *(Para $\Leftarrow$, trúnquese; para $\Rightarrow$, evalúese en $(e_n)$.)* (c) ¿Cuándo es $T$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint)? Verifíquese el teorema espectral por inspección en ese caso. **Solución de Ejercicio 15.2.** (a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, con casi igualdad en los $e_n$ que realizan el supremo. (b) ($\Leftarrow$) Los truncamientos $T_N$ (consérvense $n \leq N$, cero a partir de ahí) tienen rango finito y $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) por la [Proposición 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) Si $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ a lo largo de una subsucesión: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: ninguna subsucesión de $(Te_{n_k})$ converge. (c) $T^* =$ diagonal con $(\bar\lambda_n)$: es [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) si y solo si todos los $\lambda_n \in \R$. Entonces la base canónica $(e_n)$ es una base ortonormal de vectores propios, con valores propios $\lambda_n \to 0$: el teorema espectral al pie de la letra. **Ejercicio 15.3 ★★.** Dense los detalles de la propiedad de [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) (la [Proposición 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)): si $S$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) y $A, B$ está acotado, entonces $ASB$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact). Dedúzcase que si $ST = TS = I$ para cierto $S$ acotado y $\dim H = \infty$, entonces $T$ no es [compacto](#def-b3-spectral-compact) — y reconcíliese con el [Ejercicio 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b). **Solución de Ejercicio 15.3.** Sea $(x_n)$ acotada. Entonces $(Bx_n)$ está acotada ($\vertiii B < \infty$); la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $S$ extrae $SBx_{n_k} \to y$, y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $A$ da $ASBx_{n_k} \to Ay$: $ASB$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact). Si $ST = TS = I$ con $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact) y $\dim H = \infty$: $I = ST$ sería compacta, en contra del [Ejercicio 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — que es el mismo enunciado visto desde el otro lado. **Ejercicio 15.4 ★★.** (Hilbert–Schmidt) Sean $k \in L^2(\intcc01^2)$ y $(e_n)$ una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. (a) Demostrar que $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(Cauchy–Schwarz en la variable $y$, después Tonelli)*. (b) Desarróllese $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ en $L^2$ del cuadrado (justifíquese que los productos forman allí una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb)) y demuéstrese que truncar la suma da operadores de rango finito que convergen a $T_k$ en [norma de operador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator): $T_k$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact). **Solución de Ejercicio 15.4.** (a) Por Cauchy–Schwarz en $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; intégrese en $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$. (b) La familia $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ es ortonormal en $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli separa la integral doble). Total: si $h \perp$ a todos los $e_{mn}$, entonces, para cada $m$, la función $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (en $L^2$ por Cauchy–Schwarz y Tonelli) es ortogonal a todo $\overline{e_n}$ — y las conjugadas $(\overline{e_n})$ forman una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) siempre que $(e_n)$ lo haga (la conjugación es una biyección isométrica de $L^2$ que conserva la ortogonalidad y la totalidad) —, de modo que es $0$ en casi todo punto; y entonces, para casi todo $y$, $h(\cdot, y) \perp$ a todo $e_m$: $h(\cdot, y) = 0$ en casi todo punto, luego $h = 0$ (Tonelli). Así, $(e_{mn})$ es una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb); desarróllese $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. El truncamiento $k_N$ (índices $\leq N$) da $T_{k_N}$ de rango finito (imagen en $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$) y, por (a), $$ \vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 : $$ $T_k$ es límite en [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) de rango finito: [compacto](#def-b3-spectral-compact) ([Proposición 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)). **Ejercicio 15.5 ★★.** Sea $T$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) con $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ para todo $x$ (operador *positivo*). (a) Demostrar que los valores propios son $\geq 0$ y que $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) Demostrar la desigualdad de Cauchy–Schwarz generalizada $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$. **Solución de Ejercicio 15.5.** (a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ sobre un vector propio. La fórmula es la [Proposición 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) con todos los valores $\langle x, Tx\rangle \geq 0$: el valor absoluto es redundante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ es una forma sesquilineal hermítica positiva (posiblemente degenerada); la demostración habitual de Cauchy–Schwarz (desarróllese $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ y tómese el discriminante) nunca usa que sea definida. **Ejercicio 15.6 ★★.** En $L^2(\intcc01)$, sea $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) Demostrar que $M$ es acotado y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), con $\vertiii M = 1$, pero que *no* tiene valores propios. (b) Demostrar que $M$ no es [compacto](#def-b3-spectral-compact) *(exhíbase una sucesión acotada cuya imagen no tenga subsucesión convergente, por ejemplo indicadores normalizados de intervalos que se encogen cerca de $1$ — o invóquese el teorema espectral)*. (c) ¿Dónde se rompe la demostración del [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence) para $M$? **Solución de Ejercicio 15.6.** (a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ y, sobre $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vectores unitarios), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: $\vertiii M = 1$; es [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) porque el multiplicador es real. Valores propios: $xf(x) = \lambda f(x)$ en casi todo punto obliga a $f = 0$ en casi todo punto fuera del conjunto nulo $\{x = \lambda\}$: $f = 0$ en $L^2$. (b) Con los mismos $f_n$: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, mientras que $f_n \rightharpoonup 0$ (para $g \in L^2$ fijo, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ por convergencia dominada). Si $Mf_{n_k} \to h$ en norma, entonces $f_{n_k} \to h$, lo que obliga a $h = 0$ (límite débil) y sin embargo $\norm h = 1$: ninguna subsucesión converge. (c) En el [Lema 15.6](#lem-b3-spectral-existence), es precisamente la extracción «$Tx_{n_k} \to y$» la que usa la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact); para $M$, las sucesiones maximizantes se concentran cerca de $x = 1$ y sus imágenes convergen débilmente a $0$, nunca en norma: el vector propio en la cima del rango numérico sencillamente no existe. **Ejercicio 15.7 ★★.** (Volterra) En $L^2(\intcc01)$, sea $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$. (a) Demostrar que $V$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) (Hilbert–Schmidt con núcleo $\mathbf 1_{y < x}$) pero no [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint); calcúlese $V^*$. (b) Demostrar que $V$ no tiene valores propios no nulos. *(De $Vf = \lambda f$: $f$ tiene un representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), después es $\mathcal C^1$ y resuelve $\lambda f' = f$, $f(0) = 0$.)* (c) Concluir que la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) por sí sola no da vectores propios: la [autoadjunción](#def-b3-spectral-selfadjoint) del [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) es esencial. **Solución de Ejercicio 15.7.** (a) $V = T_k$ con $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) (el [Ejercicio 15.4](#exo-b3-spectral-4)). Su adjunto es el operador con núcleo $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$: $V^*f(x) = \int_x^1f$; $V \neq V^*$ (evalúese en $f = \mathbf 1$). (b) Si $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$: $Vf$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $\intcc01$ (convergencia dominada en $\int_0^x f$), de modo que $f = \frac1\lambda Vf$ tiene un representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity); entonces $Vf$ es $\mathcal C^1$ (teorema fundamental del cálculo para integrandos [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)), luego $f$ es $\mathcal C^1$, y $\lambda f' = f$ con $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: $f = C\eu^{x/\lambda}$ con $C = f(0) = 0$. (c) $V$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) sin ningún valor propio salvo, quizá, $0$ ($Vf = 0$ obliga a $f = 0$ en casi todo punto derivando la integral — así que ni siquiera $0$): la maquinaria espectral exige genuinamente la [autoadjunción](#def-b3-spectral-selfadjoint), no solo la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). **Ejercicio 15.8 ★★★.** (Courant–Fischer) Sea $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y *positivo*, con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (repetidos según multiplicidad, con vectores propios $e_1, e_2, \dots$). Demostrar: $$ \mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle . $$ *(Evalúese en $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$; para la cota superior, interséquese cualquier $V$ con espacios de tipo $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$: el recuento de dimensiones fuerza una intersección no nula.)* Dedúzcase que los valores propios dependen monótonamente de $T$ ($T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$). **Solución de Ejercicio 15.8.** Escríbanse $x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$, de modo que $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *Cota inferior*: sobre la esfera unidad de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: el máximo sobre $V$ de los mínimos es $\geq \mu_k$. *Cota superior*: sean $\dim V = k$ y $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, de codimensión $k - 1$ (su [complemento ortogonal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition) es $V_{k-1}$); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (una aplicación lineal $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de rango $\leq k - 1$ tiene núcleo no trivial), y un unitario $x \in V\cap W_k$ cumple $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: el mínimo sobre $V$ es $\leq \mu_k$. Juntas: la primera fórmula; la segunda se demuestra simétricamente (evalúese en $W = W_k$; para $W$ arbitrario de codimensión $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ da un vector unitario con $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonía: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ puntualmente se transfiere a través de $\max\min$. **Ejercicio 15.9 ★★.** Usando el [Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) para $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ (el [Ejemplo 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): ¿para qué $\lambda \in \R$ tiene la ecuación integral $$ f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x) $$ una única solución $f \in L^2$ para toda $g \in L^2$? ¿Qué ocurre en los valores excepcionales? **Solución de Ejercicio 15.9.** Reescríbase $f - \lambda Tf = g$. Para $\lambda = 0$: $f = g$, siempre unívocamente [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived). Para $\lambda \neq 0$: esto es $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ y, por la [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) (el [Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) con los valores propios $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ (el [Ejemplo 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)): hay [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) única para toda $g$ si y solo si $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ para todo $n$, es decir, $$ \lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). $$ En un $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ excepcional: hay soluciones si y solo si $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, y entonces son únicas salvo múltiplos de ese seno. **Ejercicio 15.10 ★★★.** Sea $S$ el desplazamiento en $\ell^2$ ([Ejercicio 8.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#exo-b3-banach-1)). (a) Demostrar que $S$ no tiene valores propios, mientras que todo $\lambda$ con $\abs\lambda < 1$ es valor propio de $S^*$ (hállense los vectores propios explícitamente: sucesiones geométricas). (b) Ni $S$ ni $S^*$ son [compactos](#def-b3-spectral-compact): compruébese evaluando al estilo del [Ejercicio 15.2](#exo-b3-spectral-2) en $(e_n)$. (c) Coméntese: para operadores no [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) y no [compactos](#def-b3-spectral-compact), el paisaje de valores propios puede ser cualquier cosa, desde vacío hasta un disco [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — la noción que sobrevive es el *espectro*, que se estudia en un curso posterior. **Solución de Ejercicio 15.10.** (a) $Sx = \lambda x$: comparando coordenadas, $0 = \lambda x_1$ y $x_n = \lambda x_{n+1}$; si $\lambda \ne 0$, entonces $x_1 = 0$ e, inductivamente, $x = 0$; y si $\lambda = 0$, $Sx = 0$ obliga a $x = 0$ ($S$ isométrico). Sin valores propios. $S^*x = \lambda x$ se lee $x_{n+1} = \lambda x_n$: $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, que está en $\ell^2$ exactamente cuando $\abs\lambda < 1$: todo un disco abierto de valores propios. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: la imagen de la sucesión acotada $(e_n)$ no tiene subsucesión de Cauchy; y análogamente $S^*e_{n+1} = e_n$. Ninguno de los dos es [compacto](#def-b3-spectral-compact). (c) Para los [operadores compactos](#def-b3-spectral-compact) [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint), los valores propios lo capturan todo (el [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)); si se suprime cualquiera de las dos hipótesis, los valores propios pueden desaparecer del todo ($S$, Volterra) o llenar un disco ($S^*$): el objeto robusto es el espectro $\{\lambda : T - \lambda I \text{ no invertible}\}$, cuya teoría corresponde a un curso posterior. **Ejercicio 15.11 ★★.** (Raíces cuadradas) Sea $T$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivo ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) sobre un [espacio de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$, con descomposición espectral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ($\mu_n > 0$). (a) Defínase $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$; demuéstrese que $S$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivo, con $S^2 = T$. (b) Demuéstrese la unicidad: todo $R$ [compacto](#def-b3-spectral-compact), positivo y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) con $R^2 = T$ conserva los espacios propios de $T$ *($RT = R^3 = TR$: $R$ conmuta con $T$, luego $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)* y, sobre $\ker(T - \mu)$, $R$ es un operador positivo cuyo cuadrado es $\mu\,\mathrm{id}$ en un espacio de dimensión finita: diagonalícese allí y conclúyase $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ en cada espacio propio, de donde $R = S$. (c) Calcúlese $\sqrt G$ para el operador de la cuerda $G$ del [Problema 15.1](#pb-b3-spectral-1): ¿qué núcleo tiene valores propios $\frac1{n\pi}$ sobre la base de senos? (Exprésese $\sqrt G$ como límite en $L^2$ de núcleos; no se pide forma cerrada.) **Solución de Ejercicio 15.11.** (a) $S$ es el operador diagonal de coeficientes $\sqrt{\mu_n} \to 0$: [compacto](#def-b3-spectral-compact) (el [Ejercicio 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b), trasladado a la base $(e_n)$ completada por $\ker T$, donde $S = 0$), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) (diagonal real), positivo ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$) y $S^2 = T$ término a término. (b) $R$ conmuta con $T = R^2$; para un vector propio $x$ de $T$ de valor propio $\mu$: $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, de modo que el espacio propio $E_\mu = \ker(T - \mu)$, de dimensión finita, es $R$-estable. Sobre $E_\mu$, $R$ es simétrico positivo con $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$: sus valores propios $\rho$ cumplen $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$: todos valen $\sqrt\mu$, y un operador diagonalizable con un solo valor propio es escalar: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ sobre $E_\mu$. Sobre $\ker T$: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Así pues, $R$ coincide con $S$ en $\ker T$ y en cada espacio propio, cuya envoltura cerrada es $H$ (teorema espectral): $R = S$. (c) $\sqrt G$ actúa como $\frac1{n\pi}$ sobre $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$: es el operador con núcleo $$ k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi}, $$ convergiendo la serie en $L^2(\intcc01^2)$ (coeficientes $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; los núcleos de las sumas parciales dan las aproximaciones de rango finito). No hace falta ninguna forma cerrada elemental: el lado espectral *es* el operador. **Ejercicio 15.12 ★★★.** (Descomposición en valores singulares) Sea $T \in \mathcal L(H)$ *[compacto](#def-b3-spectral-compact)*, no necesariamente [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) Demostrar que $T^*T$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivo; sea $(e_n)$ una familia ortonormal de vectores propios con $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ (los *valores singulares*), completada por $\ker(T^*T) = \ker T$ (demuéstrese esta igualdad). (b) Póngase $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$; demuéstrese que $(f_n)$ es ortonormal y establézcase la *descomposición en valores singulares*: $$ Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H), $$ con convergencia en $H$. (c) Dedúzcase: $\vertiii T = \max_ns_n$; $T$ es límite en [norma de operadores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) de rango finito (lo que vuelve a demostrar el recíproco de la [Proposición 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) para [espacios de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner)); y, para el operador de Volterra $V$ del [Ejercicio 15.7](#exo-b3-spectral-7), que no tiene valores propios, explíquese por qué existe pese a todo la descomposición y cuáles son sus ingredientes (identifíquese $V^*V$ como un operador con núcleo de tipo cuerda — calcular sus valores propios explícitamente es territorio del [Ejercicio 15.9](#exo-b3-spectral-9)). **Solución de Ejercicio 15.12.** (a) $T^*T$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) (producto de un operador acotado y un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact), el [Ejercicio 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$) y positivo ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$). Núcleo: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, y recíprocamente: $\ker T^*T = \ker T$. El teorema espectral proporciona la familia ortonormal $(e_n)$ con $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$, que genera $(\ker T)^\perp$. (b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$. Desarróllese $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ con $x_0 \in \ker T$ ([Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) en la envoltura cerrada más el núcleo); aplicando el [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $T$: $$ Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n, $$ convergiendo la serie porque sus sumas parciales son de Cauchy ($\norm{\sum_{NN}s_n^2\cdot\norm x^2$, y $s_n \to 0$). (c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$, alcanzado en el maximizante $e_n$: $\vertiii T = \max s_n$. Truncar la descomposición en rango $N$ deja un operador de norma $\sup_{n>N}s_n \to 0$: aproximación de rango finito. El operador de Volterra no tiene valores propios (el [Ejercicio 15.7](#exo-b3-spectral-7)), pero $V^*V$ sí: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ es un operador con núcleo simétrico positivo (núcleo $1 - \max(x,y)$, un núcleo de Green de tipo cuerda), cuyos pares propios — calculados mediante el problema de contorno $-u'' = \lambda^{-1}u$, $u'(0) = u(1) = 0$, es decir, la familia del [Ejercicio 15.9](#exo-b3-spectral-9) — dan valores singulares $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$. La descomposición vive sobre *dos* familias ortonormales precisamente porque $V$ desvía su geometría propia: sin vectores propios y, aun así, con estructura diagonal [perfecta](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) entre dos bases distintas. ## 15.5 Problema: la cuerda vibrante y $\zeta(2)$ **Problema 15.1.** Problema de fin de semana — el operador de Green, la base de senos y una fórmula de trazas Resolveremos el problema de valores propios de la cuerda vibrante con extremos fijos — $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — mediante teoría de operadores, obtendremos la base ortonormal de senos sin ningún cálculo de Fourier y evaluaremos $\zeta(2)$ comparando dos expresiones de la *traza* del operador de Green. Defínase, sobre $L^2(\intcc01)$, $$ (Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr). $$ **Parte I — El operador de Green.** 1. Demostrar que $g$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y simétrico, con $0 \leq g \leq \frac14$ , y que $G$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) y [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) (el [Ejemplo 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)). 2. Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), demostrar que $u = Gf$ es $\mathcal C^2$ con $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(escríbase $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ y derívese dos veces)*. Recíprocamente, si $u \in \mathcal C^2$ con $u(0) = u(1) = 0$, entonces $G(-u'') = u$: $G$ invierte el operador de la cuerda. 3. Demostrar $\ker G = \{0\}$ *(si $Gf = 0$ con $f \in L^2$: evalúese contra $\varphi$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), transfiérase $G$ por simetría o Fubini a $\varphi$, y úsese el lema fundamental el [Corolario 12.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — o regularícese)* , y que $G$ es un operador positivo: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ con $u = Gf$, por partes; conclúyase por [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma).)* **Parte II — Diagonalización: la base de senos.** 4. Demostrar que las funciones propias de $G$ de valor propio $\lambda \ne 0$ son, salvo escalares, las soluciones de $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ *(una función propia tiene un representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — $Gf$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) para $f \in L^2$, ¿por qué? — y, por tanto, es $\mathcal C^2$ reiterando la pregunta 2)* . 5. Resuélvase el problema de contorno: los valores propios de $G$ son $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), con funciones propias normalizadas $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; compruébese la ortonormalidad por integración directa como control. 6. Concluir del [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) y de la pregunta 3 que $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ es una *base* ortonormal de $L^2(\intcc01)$ — sin Stone–Weierstrass ni series de Fourier. Desarróllese $f(x) = x(1-x)$ en esta base y escríbase [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) para ella. **Parte III — La fórmula de la traza y $\zeta(2)$.** 7. Demostrar las dos identidades $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{y}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ Para la segunda (la *fórmula de la traza*): desarróllese $g(x, \cdot)$, para $x$ fijo, en la base $(e_n)$ — demuéstrese que los coeficientes son $\lambda_ne_n(x)$, de modo que $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$. Aquí los senos son explícitos: verifíquese directamente que $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ converge *uniformemente* en el cuadrado (compárese con $\sum \frac2{n^2\pi^2}$), de modo que su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y, teniendo los mismos desarrollos en $L^2$ en $y$ para cada $x$, es igual a $g(x,y)$ en todo punto. Póngase $y = x$ e intégrese término a término. 8. Calcular $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ y concluir $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{es decir}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ la suma de Euler a partir de la traza de un operador. 9. Vuélvase a deducir $\zeta(2)$ de una tercera manera: aplíquese [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) en la base de senos a la función constante $\mathbf 1$ , calcúlese $\sum_{n \text{ impar}}\frac1{n^2}$ y conclúyase. Compárense después los mecanismos: ¿en qué sentido es el argumento de la traza de las preguntas 7–8 « [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) aplicado al núcleo entero de una vez»? **Parte IV — La cuerda vibra.** 10. (Separación de variables, sintetizada) Para $f \in L^2$, defínase $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ Demostrar que la serie converge en $L^2(\intcc01)$ para cada $t$, que $t\mapsto u(t, \cdot)$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con valores en $L^2$, y que para $f$ en la envoltura de un número finito de $e_n$ resuelve la ecuación de ondas $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ con $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$ y extremos fijos. Los valores propios $n^2\pi^2$ son las frecuencias al cuadrado: los armónicos de la cuerda — explíquese en un párrafo la interpretación musical del [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral). **Parte V — Dividendos variacionales: el método de la potencia, la estabilidad de Weyl y una cota rigurosa de $\pi$.** Sea $A$ un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact), [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y *positivo* con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ y vectores propios ortonormales $(u_n)$; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$. Las fórmulas mín–máx son el [Ejercicio 15.8](#exo-b3-spectral-8); aquí las gastamos. 11. (Método de la potencia) Para $x \neq 0$, escríbase $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. Demostrar $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), dedúzcase la cadena $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ y demuéstrese que, si $\langle u_1, x\rangle \neq 0$, entonces $R(A^kx) \to \mu_1$: iterar el operador sobre cualquier vector genérico calcula el valor propio dominante — el método de la potencia del análisis numérico, certificado. 12. (Estabilidad de Weyl) Para $A, B$ [compactos](#def-b3-spectral-compact), [autoadjuntos](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivos, dedúzcase del [Ejercicio 15.8](#exo-b3-spectral-8) que $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{para todo } n :$$ todo el espectro es $1$-lipschitziano para la [norma de operador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) — los valores propios de grandes sistemas simétricos pueden calcularse a partir de aproximaciones con error garantizado. 13. Aplíquese la cota de Rayleigh a $G$ con la función de prueba $u(x) = x(1-x)$: resuélvase $-w'' = u$, $w(0) = w(1) = 0$ para obtener $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$, calcúlese $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ y conclúyase la cota *rigurosa* $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, es decir, $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$. 14. Un paso de la cadena de la pregunta 11, sobre la misma función de prueba: usando $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$, calcúlese $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$$ y conclúyase $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$: dos integrales, cuatro cifras correctas. (Cada iteración adicional prácticamente eleva al cuadrado la precisión: el salto $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ entre vectores propios impulsa la convergencia geométrica.) **Parte VI — La traza de $G^2$, y $\zeta(4)$.** 15. Demostrar que $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(desarróllese $g$ en la base producto $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ de $L^2(\intcc01^2)$ — una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb), cf. el [Ejercicio 15.5](#exo-b3-spectral-5) — y aplíquese [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) en el cuadrado; la pregunta 7 identifica los coeficientes)* . 16. Calcular la integral doble: $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$ 17. Concluir $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; explíquese, sin cálculos, cómo las trazas de potencias superiores $G^k$ producen $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ para todo $k \geq 1$ , y por qué los valores impares $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ quedan estructuralmente fuera del alcance de esta máquina. 18. ($\pi$ por abajo) De $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ dedúzcase $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$ y móntese, con la pregunta 14, el veredicto por ambos lados $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ obtenido enteramente a partir de la aritmética de la cuerda vibrante. ¿Qué lado converge más deprisa si se usan trazas superiores $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$, y por qué? **Parte VII — Forzamiento y resonancia.** Fíjese $\nu \in \R$ y considérese la cuerda forzada $-u'' - \nu u = f$, $u(0) = u(1) = 0$, con $f \in L^2$ y $c_n = \langle e_n, f\rangle$. 19. Supóngase $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. Demostrar que $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ converge en $L^2$ y uniformemente en $\intcc01$ *(Cauchy–Schwarz entre $(c_n)$ y las colas de $\sum n^{-4}$, con $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$)*, y que cumple $u = Gf + \nu Gu$ — la forma en coordenadas explícitas de la [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) (el [Teorema 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)), con unicidad. 20. Supóngase $\nu = m^2\pi^2$ . Demostrar que $u = Gf + \nu Gu$ tiene solución si y solo si $c_m = 0$ , única salvo múltiplos de $e_m$ . Lectura física: empujar un columpio exactamente a su propia frecuencia. 21. Para $\nu < \pi^2$ , demostrar que el operador solución $R_\nu\colon f \mapsto u$ está acotado en $L^2$ con norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , es [compacto](#def-b3-spectral-compact) , [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivo: todo el análisis espectral vuelve a empezar, desplazado por $\nu$ . 22. (Síntesis) Recopílese el diccionario de este problema: valor propio $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado (armónicos); traza $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norma de Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ resonancia; mín–máx $\leftrightarrow$ cotas variacionales ( $\pi < 3.1437$ a partir de un polinomio). Un solo operador integral, cinco capítulos de análisis cobrados. **Parte VIII — Tres últimos ecos.** 23. ($\zeta(6)$, gratis) La identidad de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) de la pregunta 6 dio $\sum_{n\text{ impar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. Sepárese $\zeta(6)$ en $n$ pares e impares y conclúyase $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ sin ninguna integral nueva: la máquina de la pregunta 17 (trazas de $G^3$) habría dado el mismo valor al precio de un núcleo iterado — [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sobre una función bien elegida es aquí la vía más barata. 24. (El estado fundamental es positivo) Sea $A$ un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) , [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y positivo sobre $L^2(\intcc01)$ dado por un núcleo simétrico [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $k > 0$ sobre $\intoo01^2$ , con mayor valor propio $\mu_1$ . Demostrar: (a) todo maximizador del cociente de Rayleigh es una función propia de $\mu_1$ ; (b) si $u$ lo es, entonces $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , con desigualdad *estricta* si $u$ toma ambos signos en conjuntos de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) positiva — de modo que $u$ tiene signo constante en casi todo punto y $u = \mu_1^{-1}Au$ no se anula nunca en $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ es un valor propio *simple* . Verifíquese cada afirmación en $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , y cada $e_n$ , $n \geq 2$ , al ser ortogonal a $e_1$ , ha de cambiar de signo (y lo hace: $n - 1$ ceros [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) ). 25. (Distancia al espectro y el precio de la resonancia) Para $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$, demostrar que el operador solución $R_\nu$ de la pregunta 19 está acotado, es [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint) y [compacto](#def-b3-spectral-compact), con $$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ alcanzándose la norma en el modo más próximo. Cuantifíquese después el columpio de la pregunta 20: forzar con $f = e_1$ en $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produce $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$, una amplificación de $\frac1\varepsilon$ respecto de la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — un uno por ciento por debajo del fundamental ($\varepsilon = 10^{-2}$), la cuerda responde cien veces más fuerte. **Solución de Problema 15.1.** **1.** [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $\min$ y $\max$ son [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity); simetría: intercambiar $x, y$ no altera ni $\min(x,y)$ ni $1 - \max(x,y)$. Cotas: $0 \leq g$, y cotas de tipo $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ dan $g \leq \frac14$ (para $u = \max$: $\min \leq u$, luego $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). $g \in L^2(\square)$: es de Hilbert–Schmidt y, por tanto, $G$ es [compacto](#def-b3-spectral-compact) (el [Ejercicio 15.4](#exo-b3-spectral-4)); el núcleo es real y simétrico: $G$ es [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint). **2.** Separando en $y = x$: $$ u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y . $$ Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), derívese (producto y teorema fundamental): $$ u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(los términos de borde se cancelan)}, $$ y $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$; y claramente $u(0) = u(1) = 0$. Recíprocamente, si $u \in \mathcal C^2$ se anula en ambos extremos, $w = u - G(-u'')$ cumple $w'' = 0$, $w(0) = w(1) = 0$: $w$ es afín y se anula dos veces, luego $w = 0$. **3.** Sean $Gf = 0$, $f \in L^2$. Para $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$: $\psi = G(-\psi'')$ por la pregunta 2, de modo que $$ \langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0 $$ ($G$ [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint)): por el lema fundamental (el [Corolario 12.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#cor-b3-lp-fundlemma)), $f = 0$ en casi todo punto. Positividad: para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), con $u = Gf$, $$ \langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ; $$ y para $f \in L^2$, aproxímese en $L^2$ por $f_n$ [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): ambos miembros pasan al límite ($G$ acotado). **4.** Si $Gu = \lambda u$, $\lambda \neq 0$: $Gu$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, y el núcleo es uniformemente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)), de modo que $u$ tiene un representante [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity); y entonces las fórmulas de la pregunta 2 muestran que $Gu \in \mathcal C^2$, luego $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ con $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ y $u(0) = u(1) = 0$. **5.** $-\lambda u'' = u$, $u(0) = 0$: $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ ($\lambda$ positivo: por la pregunta 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ sobre vectores propios). $u(1) = 0$ obliga a $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$: $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$, con funciones propias $\sin(n\pi x)$, normalizadas $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ($\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$). Comprobación de ortogonalidad: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ integra a $0$ para $m \neq n$. **6.** $\ker G = \{0\}$ (pregunta 3), de modo que el [Teorema 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) da $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$: los senos son una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. Para $f(x) = x(1 - x)$: $$ c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ impar},\\ 0 & n \text{ par},\end{cases} $$ (dos integraciones por partes). [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ impar}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, i.e. $\sum_{n\text{ impar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. **7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$. Para $x$ fijo, los coeficientes de $g(x, \cdot)$: $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$, luego $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$. La serie explícita $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ converge normalmente en el cuadrado ($\abs{\text{término}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$): su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y, para cada $x$, tiene los mismos coeficientes en $L^2(\dd y)$ que $g(x, \cdot)$: las dos funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) coinciden para todo $(x, y)$. Poniendo $y = x$ e integrando (la convergencia normal permite integrar término a término): $$ \int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n . $$ **8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$, luego $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$: $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **9.** Para $f = \mathbf 1$: $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$: $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ para $n$ impar, $0$ para par. [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): $1 = \sum_{n\text{ odd}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, luego $\sum_{n\text{ impar}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (los términos pares son $\frac14\zeta(2)$). Comparación: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) para una sola $f$ suma $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$; la fórmula de la traza integra la diagonal del *núcleo*, lo que equivale a sumar [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sobre toda una familia ortonormal de una vez — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — y es, por tanto, ciega a cualquier elección particular de función de prueba. **10.** $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ con $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$: para cada $t$, la serie converge en $L^2$ (desarrollo ortonormal, el [Teorema 13.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(3)); la cota de la cola $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ es uniforme en $t$, y cada suma parcial es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $t$ (finitos cosenos): $t \mapsto u(t,\cdot)$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con valores en $L^2$. Para $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$: cada modo $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ cumple $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ aplicada a él, se anula en $x = 0, 1$, tiene valor $\sin(n\pi x)$ y derivada temporal $0$ en $t = 0$: la suma finita lo resuelve todo. Musicalmente: el movimiento de la cuerda es superposición de *ondas estacionarias* $e_n$, cuyas frecuencias $n\pi$ son la fundamental y sus armónicos; el teorema espectral dice que toda forma inicial se descompone de manera única en esos tonos puros, siendo los coeficientes $c_n$ el timbre. Oír una cuerda es calcular un desarrollo ortonormal. **11.** Con $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$: $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz en $\ell^2$). Por tanto, los cocientes $m_{p+1}/m_p$ son no decrecientes en $p$; y como $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ y $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$, se sigue la cadena, con cada término $\leq \mu_1$ porque $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ término a término. Convergencia: si $a_1 > 0$ (escribiendo el peso total del valor propio dominante como $a_1$), entonces $$ \mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1, $$ por convergencia dominada de las sumas (cocientes $< 1$): el método de la potencia converge para todo vector inicial no ortogonal al espacio propio dominante. **12.** Puntualmente, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, de modo que $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ para todo $x$. Introduciendo esto en la fórmula máx–mín del [Ejercicio 15.8](#exo-b3-spectral-8): $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ y, simétricamente en $A, B$: $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ para todo $n$ a la vez. **13.** $-w'' = x - x^2$ integra a $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (con $w(0) = 0$), y $w(1) = 0$ da $c = \frac1{12}$: $$ w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu . $$ Entonces $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ y, con $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$: $$ \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} . $$ Luego $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, es decir, $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$: $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (valor verdadero $\pi^2 = 9.8696$). Un polinomio, una integral, una cifra. **14.** Escríbase $u = x - x^2$, de modo que $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ y, usando $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$, $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$: $$ \norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} . $$ Por tanto $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ y, por la pregunta 11, esto sigue siendo $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$: $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$, es decir, $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — cuatro cifras (y la siguiente iteración daría unas ocho, contrayéndose el error en $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ por paso). **15.** La familia $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ es una [base hilbertiana](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01^2)$ (ortonormalidad por Tonelli; totalidad como en el [Ejercicio 15.5](#exo-b3-spectral-5)). Por la pregunta 7, para $x$ fijo: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, de modo que el coeficiente de $g$ sobre $e_m\otimes e_n$ es $$ \langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} . $$ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) en el cuadrado: $$ \iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 . $$ **16.** Por la simetría de $g$, $$ \iint g^2 = 2\iint_{y 0$ para todo $n$ (la sucesión $n^2\pi^2 \to \infty$ evita $\nu$ con margen) y $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ para $n$ grande. Convergencia en $L^2$: los coeficientes $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ son de cuadrado sumable (dominados por $\frac{\abs{c_n}}\delta$). Convergencia uniforme: las normas del supremo de las colas están acotadas por $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificación: $Gf + \nu Gu$ tiene coeficiente $e_n$ igual a $$ \lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} : $$ exactamente los coeficientes de $u$, de modo que $u = Gf + \nu Gu$; la unicidad, porque una diferencia $v$ de soluciones cumple $v = \nu Gv$, es decir, $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ para todo $n$: $v = 0$. **20.** Como en la pregunta 19, la ecuación $u = Gf + \nu Gu$ equivale a la familia de ecuaciones de coeficientes $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$, $n \geq 1$. Para $n = m$, el miembro izquierdo es $0$: la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) obliga a $c_m = 0$ y entonces $\langle e_m, u\rangle$ queda libre, mientras que todos los demás coeficientes están determinados: las soluciones forman la recta $u_0 + \R e_m$. Resonancia: un forzamiento con componente sobre el modo propio bombea energía en él sin límite — el columpio empujado a su propia frecuencia. **21.** De la fórmula de la pregunta 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (para $\nu < \pi^2$ el valor propio más próximo es $\pi^2$), con igualdad aproximada sobre $f = e_1$: [norma de operador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$. [Compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): $R_\nu$ es límite en norma de sus truncamientos de rango finito (los coeficientes de la cola son $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$); la [autoadjunción](#def-b3-spectral-selfadjoint) y la positividad se leen en la forma diagonal (todos los coeficientes son $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). $R_\nu$ tiene valores propios $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$: el análisis de las Partes I–VI vuelve a empezar literalmente. **22.** El diccionario: *valor propio* $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado $n^2\pi^2$ del $n$-ésimo armónico; *traza* $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$; *norma de Hilbert–Schmidt* $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; *[alternativa de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ resonancia de la cuerda forzada; *mín–máx* $\leftrightarrow$ estimaciones variacionales, hasta $\pi < 3.1437$ a partir de un polinomio. Detrás de cada emparejamiento, el mismo objeto: un [operador compacto](#def-b3-spectral-compact) [autoadjunto](#def-b3-spectral-selfadjoint), diagonalizado una vez y explotado de cinco maneras. **23.** Separando por paridad y sustituyendo $n = 2m$ en la parte par, $$ \zeta(6) = \sum_{n\text{ impar}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64}, $$ luego $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ y $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. La vía de la traza calcularía $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ como $\iint g\,g_2$ con el núcleo iterado $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — tres integraciones de polinomios a trozos —; [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sobre $x(1-x)$ solo necesitó una. **24.** (a) Diagonalícese: $v = \sum_na_nu_n$ (más una posible componente en el núcleo, sobre la que $\langle v, Av\rangle$ no gana nada y $\norm v^2$ crece, de modo que un maximizador no la tiene). Entonces $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$, con igualdad si y solo si $a_n = 0$ siempre que $\mu_n < \mu_1$: un maximizador está en el espacio propio de $\mu_1$. (b) Para cualquier $u$, $$ \langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0, $$ siendo el integrando puntualmente no negativo. Si $P = \{u > 0\}$ y $N = \{u < 0\}$ tienen ambos [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) positiva, entonces sobre $P\times N$ el integrando vale $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ en un conjunto de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) positiva: desigualdad estricta. Una función propia $u$ de $\mu_1$ maximiza el cociente de Rayleigh, y $\abs u$ tiene la misma norma, de modo que la estrictud exhibiría $R(\abs u) > \mu_1$ — imposible; luego $u$ tiene signo constante en casi todo punto, digamos $u \geq 0$. Y entonces $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ para todo $x \in \intoo01$ ($k(x,\cdot) > 0$ y $u \neq 0$). (c) Si el espacio propio tuviera dimensión $\geq 2$, contendría dos funciones propias *ortogonales* $u, v$, cada una de signo constante y sin ceros [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) por (b); pero entonces $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — contradicción. Sobre la cuerda: $k = g > 0$ en el cuadrado abierto, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ es en efecto simple, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ es positiva en $\intoo01$; y cada $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$, $n \geq 2$, ortogonal a la positiva $e_1$, ha de integrar cero contra ella y, por tanto, cambiar de signo — como confirman sus $n - 1$ ceros [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) $\frac kn$. **25.** Como $n^2\pi^2 \to \infty$, el mínimo $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ se alcanza, en cierto modo $m$, y $d > 0$ porque $\nu$ evita el espectro. La fórmula diagonal de la pregunta 19 da $$ \norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2, $$ con igualdad para $f = e_m$: $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, el inverso de la distancia de $\nu$ al espectro — el principio general de la resolvente, aquí en coordenadas explícitas. La [autoadjunción](#def-b3-spectral-selfadjoint) se lee en los coeficientes diagonales reales; la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) se sigue como en la pregunta 21 (los coeficientes tienden a $0$, de modo que los truncamientos de rango finito convergen en norma). Precio de la resonancia: para $f = e_1$ y $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$, la fórmula da $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$, frente a la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$: amplificación $\frac1\varepsilon$. En $\varepsilon = 10^{-2}$, la respuesta es $100$ veces la estática — y diverge cuando $\varepsilon \to 0$, que es la alternativa de la pregunta 20 vista desde el lado acotado: cuanto más próxima está la frecuencia de forzamiento a una natural, menos acotada es la inversa.