--- title: "Series de Laurent y teorema de los residuos" book: "Matemáticas universitarias — Grado 3" subject: math language: es chapter: 17 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos --- # Capítulo 17 — Series de Laurent y teorema de los residuos ¿Qué le ocurre a una [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) cerca de un punto donde *no* está definida? La respuesta es una tricotomía [completa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — punto evitable, polo o singularidad esencial — que se lee en una serie de potencias con dos colas, el desarrollo de Laurent. Un coeficiente de ese desarrollo, el *[residuo](#def-b3-residues-singularities)*, controla toda [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) alrededor de la singularidad: el teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) convierte integrales definidas difíciles en álgebra finita, cuenta ceros de funciones (principio del argumento, Rouché) y demuestra el teorema de la aplicación abierta. Primero mejoramos el teorema de Cauchy, pasando de los dominios estrellados a su forma definitiva, sin homología — el elegante argumento de Dixon —, de modo que queden disponibles todos los contornos de índice nulo respecto del complementario. ## 17.1 El teorema global de Cauchy Un *ciclo* $\Gamma$ es una suma formal finita de [caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) cerrados $\gamma_1, \dots, \gamma_m$; las integrales y los índices a lo largo de $\Gamma$ son las sumas correspondientes, y $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$. **Teorema 17.1 (Cauchy, forma global).** Sean $\Omega \subseteq \C$ abierto, $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega$ tal que $$ \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{para todo } w \notin \Omega . $$ Entonces, para todo $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$, $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{y}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 . $$ **Demostración (Dixon).** Defínase $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ mediante $$ g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases} $$ *$g$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)*: fuera de la diagonal, es claro. Cerca de un punto diagonal $(a, a)$, desarróllese $f$ en serie de potencias en $a$ (el [Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$, y dividiendo cada término por $w - z$ (factorización de $u^n - v^n$) se obtiene, para $z, w \in D(a, r)$, $$ g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j}, $$ válido también en la diagonal (cada suma [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) se convierte en $n(z-a)^{n-1}$, que suma $f'(z)$). Para $r$ pequeño, la serie converge uniformemente en $D(a,r)^2$ ($\abs{\text{término}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$, sumable dentro del radio): la suma es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Póngase $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ en $\Omega$: es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme de $g$ en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)) y [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) — por Morera (el criterio del [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)): para un triángulo $T \subseteq \Omega$, Fubini da $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$, y la integral [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) se anula porque $z \mapsto g(z, w)$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\Omega$ (en $z = w$ la singularidad es evitable: $g$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) allí y [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en el resto — el argumento de extensión de la demostración del [Teorema 16.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-formula)). En el abierto $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$, defínase $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$: [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\Omega'$ (Morera o derivación bajo la integral). Para $z \in \Omega\cap\Omega'$: $$ h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) . $$ Por hipótesis, $\Omega\cup\Omega' = \C$ ($w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$), de modo que $h$ y $h_1$ se pegan en una función entera $H$. Como la componente no acotada del complementario de $\operatorname{im}\Gamma$ está contenida en $\Omega'$ y $h_1(z) \to 0$ cuando $\abs z \to \infty$ (cota ML), $H$ es acotada y tiende a $0$: Liouville (el [Corolario 16.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#cor-b3-holomorphic-liouville)) da $H \equiv 0$. Así, $h \equiv 0$ en $\Omega$, que es la fórmula integral. Aplicándola, para $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ fijo, a $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ en $z = a$: $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 . $$ ∎ ## 17.2 Series de Laurent y singularidades aisladas **Teorema 17.2 (Desarrollo de Laurent).** Sea $f$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en la corona $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ($0 \leq r < R \leq \infty$). Entonces $$ f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{en } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w $$ para cualquier $r < \rho < R$ (con independencia de $\rho$), y las dos semiseries convergen normalmente en las subcoronas compactas. El desarrollo es único. **Demostración.** Fíjese $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ y sea $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (la exterior en sentido positivo, la [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en sentido negativo): un ciclo en $A$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin A$ (puntos [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) al disco pequeño: $1 - 1 = 0$; exteriores al grande: $0 - 0$). Por el [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy), $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ da $$ f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w . $$ Desarróllese el primer núcleo como en el [Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) (potencias de $\frac{z - a}{w - a}$, de módulo $< 1$): la parte de índices no negativos $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$. En el segundo, desarróllese al revés: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$, normalmente convergente en $C_{\rho_1}$: la parte negativa $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ con los coeficientes enunciados (índice $n = -m-1$). Independencia de $\rho$: las integrales de los coeficientes sobre $C_{\rho}$ y $C_{\rho'}$ difieren en $\int_\Gamma$ sobre un ciclo de índice nulo de la [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ en $A$: cero, de nuevo por el [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy). Unicidad: intégrese $\sum c_n(z-a)^n$ contra $(z - a)^{-m-1}$ sobre $C_\rho$ término a término (convergencia normal): solo sobrevive $n = m$. ∎ **Definición 17.3.** Si $f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en un disco punteado $D(a, R)\setminus \{a\}$, desarróllese por Laurent ($r = 0$). Tres casos excluyentes: - todos los $c_n = 0$ para $n < 0$ : *[singularidad evitable](#thm-b3-residues-riemanncw)* (la serie de índices no negativos extiende $f$ [holomorfamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $a$ ); - $c_n \neq 0$ para un número finito, al menos uno, de $n < 0$ : un *polo* de orden $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente, $f = g/(z-a)^m$ , $g$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) , $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente, $\abs{f(z)} \to \infty$ cuando $z\to a$ ; - infinitos $c_n \neq 0$ negativos: *singularidad esencial* . El *residuo* es $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$. Una [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\Omega$ menos un conjunto de polos es *meromorfa* en $\Omega$. **Teorema 17.4 (Riemann; Casorati–Weierstrass).** Sea $f$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $D(a,R)\setminus\{a\}$. 1. (Riemann) Si $f$ está *acotada* cerca de $a$ , la singularidad es evitable. 2. (Casorati–Weierstrass) Si $a$ es esencial, entonces $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ es denso en $\C$ para todo $\varepsilon$ . **Demostración.** (1) Para $n < 0$ y $\rho \to 0$: $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ por ML en $C_\rho$: $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (cuando $-n > 0$): todos los coeficientes negativos se anulan. (2) Si algún valor $b$ no fuera aproximado: $\abs{f - b} \geq \delta$ cerca de $a$, de modo que $g = 1/(f - b)$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y acotada cerca de $a$: evitable por (1), y $g$ se extiende con valor $c$. Si $c \neq 0$, $f = b + 1/g$ está acotada cerca de $a$: evitable — excluido. Si $c = 0$, $g$ tiene un cero de orden finito $m$ en $a$ (el [Teorema 16.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity); $g \not\equiv 0$), y $f = b + 1/g$ tiene un polo de orden $m$: excluido también. ∎ ## 17.3 El teorema de los residuos **Teorema 17.5 (Teorema de los residuos).** Sean $\Omega$ abierto, $S \subseteq \Omega$ finito, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega\setminus S$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin \Omega$. Entonces $$ \frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) . $$ **Demostración.** Para cada $a \in S$, sea $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ la parte principal de $f$ en $a$: una serie convergente en $\C\setminus\{a\}$ (su radio en $1/(z-a)$ es infinito: la cola de Laurent converge para todo $\abs{z-a}$ pequeño y, siendo una serie de potencias en $(z-a)^{-1}$, converge en todas partes), [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) allí. Entonces $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ tiene [singularidades evitables](#thm-b3-residues-riemanncw) en cada punto de $S$ (su desarrollo de Laurent en $a$ no tiene parte negativa: las demás $P_{a'}$ son [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $a$), de modo que $g$ se extiende [holomorfamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $\Omega$, y el [Teorema 17.1](#thm-b3-residues-globalcauchy) da $\int_\Gamma g = 0$. Queda integrar cada $P_a$: término a término (convergencia normal en el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\operatorname{im}\Gamma$, que evita $a$), $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitiva } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a), $$ de modo que $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$. Súmese sobre $a$. ∎ **Método 17.6 (Cálculo de residuos).** Polo simple: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$; para $f = g/h$ con $g(a) \neq 0$, $h(a) = 0$, $h'(a) \neq 0$: $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$. Polo de orden $m$: $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$. Singularidades esenciales: desarróllese y léase $c_{-1}$ (por ejemplo, a partir de series conocidas). Verifíquese siempre qué polos rodea realmente el contorno, y con qué índice. **Ejemplo 17.7 (Los cuatro tipos clásicos de integral).** (a) *Racional sobre $\R$*: para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$, ciérrese con una semicircunferencia grande $S_R$ en el semiplano superior: allí el integrando es $O(R^{-4})$, de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), y el teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) con los polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, [residuos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un polo) da $$ \int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} . $$ (b) *Tipo Fourier*: para $t \geq 0$, $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — la semicircunferencia superior funciona porque allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$; tomando partes reales: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, lo que salda la fórmula admitida en el [Ejercicio 10.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-10). (c) *Trigonométrica sobre un periodo*: sustitúyase $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) se convierte en un recuento de [residuos](#def-b3-residues-singularities) dentro de la circunferencia unidad ([Ejercicio 17.2](#exo-b3-residues-2)). (d) *Series*: emparéjese $f$ con $\pi\cot(\pi z)$, cuyos polos son los enteros con [residuo](#def-b3-residues-singularities) $1$: el problema de fin de semana suma así $\sum n^{-2}$ y $\sum n^{-4}$. ![El contorno semicircular para ∈t_ℝ x/1 + x4: cuando R ∈fty, el arco aporta O(R-3), y el teorema de los residuos cuenta los dos polos encerrados (en azul). Los dos polos inferiores (en gris) quedan fuera: índice 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-residues/fig-5a0f9191769e.svg) *El contorno semicircular para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$: cuando $R \to \infty$, el arco aporta $O(R^{-3})$, y el teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) cuenta los dos polos encerrados (en azul). Los dos polos inferiores (en gris) quedan fuera: índice $0$.* ## 17.4 El principio del argumento y el teorema de Rouché **Teorema 17.8 (Principio del argumento).** Sea $f$ [meromorfa](#def-b3-residues-singularities) en $\Omega$, con ceros $z_j$ (de órdenes $m_j$) y polos $p_k$ (de órdenes $\mu_k$), y sea $\gamma$ un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) cerrado en $\Omega$ que los evita todos, con $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ fuera de $\Omega$. Entonces $$ \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k) $$ (solo un número finito de términos es no nulo). Para un contorno simple recorrido en sentido positivo, la integral cuenta los ceros menos los polos [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior), con multiplicidad — y es igual al índice del [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) imagen $f\circ\gamma$ alrededor de $0$. **Demostración.** Cerca de un cero de orden $m$: $f = (z-a)^mg$, $g(a) \neq 0$, de modo que $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ con el segundo término [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) cerca de $a$: un polo simple de [residuo](#def-b3-residues-singularities) $m$. Cerca de un polo de orden $\mu$: $f = (z-a)^{-\mu}g$ da [residuo](#def-b3-residues-singularities) $-\mu$. En el resto, $\frac{f'}f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (Los ceros y polos de índice no nulo están en una región compacta rodeada por $\gamma$; por el principio de identidad son allí finitos en número, $f \not\equiv 0$.) Aplíquese el [Teorema 17.5](#thm-b3-residues-residue). La última observación: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (sustitúyase $w = f(\gamma(t))$). ∎ **Teorema 17.9 (Rouché).** Sean $f, g$ [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\Omega$ y $\gamma$ un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) cerrado con $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$, nulo fuera de $\Omega$ (un contorno simple). Si $$ \abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{en } \operatorname{im}\gamma, $$ entonces $f$ y $f + g$ tienen el mismo número de ceros (con multiplicidad) en la región $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$. **Demostración.** Para $t \in \intcc01$, $f_t = f + tg$ no tiene ningún cero en $\operatorname{im}\gamma$ ($\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$), de modo que $$ N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z $$ está bien definida; cuenta los ceros en la región encerrada (el [Teorema 17.8](#thm-b3-residues-argument); sin polos). $N$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $t$ (el integrando es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) conjuntamente y los denominadores están uniformemente acotados inferiormente — convergencia dominada) y toma valores enteros: constante. $N(0) = N(1)$. ∎ **Corolario 17.10 (Teorema de la aplicación abierta).** Una [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) no constante en un abierto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) es una aplicación abierta. En particular (una vez más) vale el principio del máximo, y una biyección [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) tiene inversa [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). **Demostración.** Sea $f(a) = b$; $f - b$ tiene un cero de cierto orden finito $m \geq 1$ en $a$ (principio de identidad: $f \not\equiv b$). Elíjase $r$ con $f - b$ sin ceros en $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ ([ceros aislados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity)) y sea $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$. Para $\abs{w - b} < \delta$: en la circunferencia, $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$, de modo que Rouché ($f - b$ frente a la constante $b - w$) dice que $f - w$ tiene exactamente $m$ ceros en $D(a, r)$: todo tal $w$ se alcanza — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$: abierta. Principio del máximo: un máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de $\abs f$ es imposible para $f$ no constante, pues su imagen alrededor de $f(a)$ contiene puntos de módulo mayor. Inversa: una biyección [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $f$ es abierta, de modo que $f^{-1}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity); el cero de $f - f(a)$ en $a$ es simple ($m \geq 2$ daría $m$ preimágenes de los valores próximos — distintas, pues $f'$ solo se anula en puntos aislados, de modo que cerca de $a$ los $m$ ceros de $f - w$ son simples y distintos para $w$ pequeño genérico: contradicción con la inyectividad); entonces $f'(a) \neq 0$ y el cociente incremental de $f^{-1}$ converge: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$. ∎ ## 17.5 Ejercicios **Ejercicio 17.1 ★.** Clasifíquese la singularidad en $0$ y calcúlese el [residuo](#def-b3-residues-singularities): $$ \frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} . $$ Dese además el [residuo](#def-b3-residues-singularities) de la tercera en $z = 1$ y el de la última en $z = \pi$. **Solución de Ejercicio 17.1.** $\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$: evitable, [residuo](#def-b3-residues-singularities) $0$. $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$: polo simple, [residuo](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{z(z-1)^2}$: polo simple en $0$ con [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{(0-1)^2} = 1$; polo doble en $1$ con [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$. $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$: polo de orden $3$, [residuo](#def-b3-residues-singularities) $-\frac12$. $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$: esencial, [residuo](#def-b3-residues-singularities) $1$. $\frac1{\sin z}$: polos simples en $n\pi$; [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{\cos 0} = 1$ en $0$, $\frac1{\cos\pi} = -1$ en $\pi$ ([Método 17.6](#met-b3-residues-compute), $g/h'$). **Ejercicio 17.2 ★.** Para $a > 1$ calcúlese, vía $z = \eu^{\iu t}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} . $$ Compruébense los comportamientos límite $a \to 1^+$ y $a \to \infty$. **Solución de Ejercicio 17.2.** Con $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $$ \int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} . $$ Las raíces $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ cumplen $z_+z_- = 1$ con $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$; el [residuo](#def-b3-residues-singularities) en $z_+$ es $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$, de modo que la integral vale $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$. Cuando $a \to 1^+$, explota (el integrando tiene un pico en $t = \pi$); cuando $a \to \infty$, se comporta como $\frac{2\pi}a$, en consonancia con $\int\frac{\dd t}a$. **Ejercicio 17.3 ★★.** Calcúlense con contornos semicirculares, justificando las estimaciones sobre los arcos: $$ \int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(recuperando el \text{Ejercicio 14.3})}. $$ **Solución de Ejercicio 17.3.** Primera integral: polos superiores de $\frac{z^2}{1+z^6}$ en $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$; en cada uno, $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$, y $p^3$ toma los valores $\iu, -\iu, \iu$: suma de [residuos](#def-b3-residues-singularities) $-\frac{\iu}{6}$. El arco es $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$: $$ \int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 . $$ Segunda: polo doble en $\iu$ de $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$: $$ \operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 , $$ en consonancia con el [Ejercicio 14.3](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-3)(b). **Ejercicio 17.4 ★★.** Demuéstrese, para $t \geq 0$ y $a > 0$: $$ \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, $$ y dedúzcase por inversión la transformada de Fourier de $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ — comparando con [Ejercicio 14.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1). **Solución de Ejercicio 17.4.** Ciérrese $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ en el semiplano superior ($t \geq 0$): allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$, de modo que el arco aporta $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$. El único polo encerrado $\iu a$ es simple con [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$: $$ \int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{luego}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t} $$ (parte real; par en $t$). Esta es la contrapartida por inversión de $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ (el [Ejercicio 14.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1)): los dos cálculos se confirman mutuamente a través de [Teorema 14.5](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#thm-b3-fouriertransform-inversion). **Ejercicio 17.5 ★★.** Desarróllese $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ en [serie de Laurent](#thm-b3-residues-laurent) en cada una de las tres regiones $\abs z < 1$, $1 < \abs z < 2$, $\abs z > 2$. ¿Por qué difieren los tres desarrollos? Explíquese por qué el coeficiente de $z^{-1}$ en el segundo y el tercer desarrollos *no* es un [residuo](#def-b3-residues-singularities) de $f$ en $0$ ($f$ no tiene allí ninguna singularidad), y calcúlense los [residuos](#def-b3-residues-singularities) verdaderos de $f$, en $1$ y en $2$. **Solución de Ejercicio 17.5.** Fracciones simples: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$. En $\abs z < 1$ (Taylor): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$. En $1 < \abs z < 2$: $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ y $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$: una serie genuinamente bilátera. En $\abs z > 2$: $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$. Los tres difieren porque los desarrollos de Laurent van ligados a *coronas*, no a puntos: cada región tiene sus propios desarrollos geométricos. Los coeficientes de $z^{-1}$ ($-1$ y $0$, respectivamente) son integrales sobre circunferencias que rodean *las singularidades [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)*, no [residuos](#def-b3-residues-singularities) en $0$ ($f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $0$): para $1 < \abs z < 2$, el coeficiente $-1$ vale $\operatorname{Res}(f, 1)$; para $\abs z > 2$, el coeficiente $0$ vale $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$. Los [residuos](#def-b3-residues-singularities) de $f$: $-1$ en $1$ y $+1$ en $2$. **Ejercicio 17.6 ★★.** (a) Demuéstrese que $\eu^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $0$ y verifíquese Casorati–Weierstrass a mano: resuélvase $\eu^{1/z} = w$ explícitamente para cualquier $w \neq 0$, exhibiendo soluciones arbitrariamente próximas a $0$. (b) Demuéstrese que $\abs{\eu^{1/z}}$ no está acotada en ningún [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) punteado de $0$ y, sin embargo, $\eu^{1/z}$ no tiene ningún polo: ¿qué límite falla? **Solución de Ejercicio 17.6.** (a) La [serie de Laurent](#thm-b3-residues-laurent) $\sum_nz^{-n}/n!$ tiene infinitos términos negativos: esencial. Resolviendo $\eu^{1/z} = w$ ($w \neq 0$): $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$, de modo que $$ z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 : $$ todo valor no nulo se alcanza infinitas veces cerca de $0$ — más fuerte que la [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma). (b) A lo largo de $z = 1/x$, $x \to +\infty$: $\eu^x \to \infty$; a lo largo de $z = \iu/y$: módulo $1$. Un polo exige $\abs{f(z)} \to \infty$ *por toda aproximación*: aquí el límite sencillamente no existe, ni siquiera en $[0, +\infty]$. **Ejercicio 17.7 ★★.** Cuéntense con Rouché: (a) los ceros de $z^7 - 4z^3 + z - 1$ en $\abs z < 1$; (b) los ceros de $z^4 + 5z + 1$ en $\abs z < 1$ y en $1 < \abs z < 2$; (c) demuéstrese de nuevo d’Alembert–Gauss: un polinomio mónico de grado $n$ tiene $n$ ceros en cierto disco grande *(compárese con $z^n$)*. **Solución de Ejercicio 17.7.** (a) En $\abs z = 1$: $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$. Rouché con $f = -4z^3$, $g = z^7 + z - 1$: tres ceros en el disco. (b) En $\abs z = 1$: $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$: un cero en $\abs z < 1$. En $\abs z = 2$: $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$: cuatro ceros en $\abs z < 2$. Luego tres ceros en la corona. (c) Para $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$: en $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$, $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$: $P$ tiene exactamente $n$ ceros en $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss con multiplicidad, por puro recuento. **Ejercicio 17.8 ★★★.** (Hurwitz) Sea $f_n \to f$ uniformemente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), con $f_n \in \mathcal H(\Omega)$, $\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected), $f \not\equiv 0$. (a) Demuéstrese que si todas las $f_n$ carecen de ceros, también $f$. *(Si $f(a) = 0$: principio del argumento en una circunferencia pequeña alrededor de $a$, y el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) para pasar al límite en $\int f_n'/f_n$.)* (b) Demuéstrese que si todas las $f_n$ son inyectivas, entonces $f$ es inyectiva o constante. *(Aplíquese (a) a $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ en $\Omega\setminus\{w\}$.)* **Solución de Ejercicio 17.8.** (a) Supóngase $f(a) = 0$, $f \not\equiv 0$: elíjase $r$ con $f$ sin ceros en la circunferencia $C = \partial D(a, r)$ ([ceros aislados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-identity)) y $m = \min_C\abs f > 0$. Por el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv), $f_n \to f$ y $f_n' \to f'$ uniformemente en $C$; para $n$ grande, $\abs{f_n} \geq m/2$ en $C$, de modo que $$ \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1 $$ (el límite cuenta el cero $a$; hay convergencia porque los numeradores convergen uniformemente y los denominadores están uniformemente acotados inferiormente). El miembro izquierdo es un entero que cuenta los ceros de $f_n$ en el disco: ha de valer $\geq 1$ a partir de cierto índice — en contradicción con la ausencia de ceros. Luego $f$ carece de ceros. (b) Fíjese $w \in \Omega$ y aplíquese (a) en el abierto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $\Omega\setminus\{w\}$ (quitar un punto de un subconjunto abierto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) de $\C$ conserva la [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected)) a $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$, sin ceros allí por inyectividad y convergente a $g = f - f(w)$. Si $f$ no es constante, $g \not\equiv 0$ en $\Omega\setminus\{w\}$, de modo que $g$ carece allí de ceros: $f(z) \neq f(w)$ para todo $z \neq w$. Como $w$ era arbitrario, $f$ es inyectiva. **Ejercicio 17.9 ★★★.** Para $n \geq 2$, intégrese $\frac1{1 + z^n}$ sobre la frontera del sector $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ y dedúzcase $$ \int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} . $$ Verifíquese $n = 2$ frente a $\arctan$, y el límite $n \to \infty$. **Solución de Ejercicio 17.9.** La frontera del sector consta de $[0, R]$, el arco $A_R$ y la semirrecta $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ recorrida al revés. Dentro está el único polo $p = \eu^{\iu\pi/n}$ de $\frac1{1+z^n}$, con [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$. En la semirrecta de vuelta, $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ da $z^n = x^n$ y $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$; el arco es $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$. Por tanto, $$ \bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{luego}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} . $$ $n = 2$: $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$. Cuando $n \to \infty$: el valor tiende a $1$, y en efecto el integrando tiende a $\mathbf 1_{\intco01}$ (con dominante $\min(1, x^{-2})$ para $n \geq 2$ en el teorema de convergencia dominada). **Ejercicio 17.10 ★★.** Sea $f$ una función racional con $\deg(\text{denominador}) \geq \deg(\text{numerador}) + 2$. Demuéstrese que la suma de *todos* los [residuos](#def-b3-residues-singularities) de $f$ es nula *(intégrese sobre circunferencias cada vez mayores)*. Úsese esto para recalcular la descomposición en fracciones simples de $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ sin álgebra lineal. **Solución de Ejercicio 17.10.** En $\abs z = R$ grande, $\abs f \leq C R^{-2}$: $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$. Pero para $R$ más allá de todos los polos, el teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) da $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{todos }p}\operatorname{Res}(f, p)$: la suma total se anula. Para $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$: [residuos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ en $0$, $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ en $1$, $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ en $2$ — que suman $0$, como se predijo, y $$ \frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} : $$ los [residuos](#def-b3-residues-singularities) *son* los coeficientes de las fracciones simples, y la identidad de suma nula proporciona gratis una comprobación de consistencia (o determina el último coeficiente a partir de los demás). **Ejercicio 17.11 ★★★.** (El ojo de cerradura: la integral de reflexión de Euler) Para $0 < a < 1$, calcúlese $$ I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)} $$ integrando $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (logaritmo con corte a lo largo de $\R_+$, $\arg z \in \intoo0{2\pi}$) sobre el contorno de ojo de cerradura: hacia fuera por encima del corte, de $\varepsilon$ a $R$, alrededor de $C_R$, de vuelta por debajo del corte y alrededor de $C_\varepsilon$. Justifíquese: los dos tramos rectos difieren en el factor $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$, las aportaciones de las circunferencias se anulan ($R^{a-1}\cdot R \to 0$ y $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$) y el único polo $z = -1$ tiene [residuo](#def-b3-residues-singularities) $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$. Dedúzcase también $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ *(escríbase $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ por el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1) y sustitúyase $t = \frac{x}{1+x}$)*. **Solución de Ejercicio 17.11.** En el ojo de cerradura, con la determinación elegida: justo encima del corte, $\log z = \ln x$; justo debajo, $\log z = \ln x + 2\iu\pi$. Las cuatro piezas dan $$ \Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) . $$ Arcos: $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ en $C_R$, longitud $2\pi R$: aportación $O(R^{a-1}) \to 0$ ($a < 1$); $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ en $C_\varepsilon$, longitud $2\pi\varepsilon$: $O(\varepsilon^a) \to 0$ ($a > 0$). [Residuo](#def-b3-residues-singularities): en $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$, $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$. Por tanto, $$ I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} . $$ Reflexión de la gamma: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$; la sustitución $t = \frac x{1+x}$, $1 - t = \frac1{1+x}$, $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ la convierte en $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$, y la fórmula de Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ (el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)) da $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — en particular, $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ una vez más. **Ejercicio 17.12 ★★.** (Recuento de ceros con el principio del argumento, numéricamente) Sea $P(z) = z^4 + 8z + 1$. (a) ¿Cuántos ceros hay en el disco unidad? *(Rouché frente a $8z + 1$.)* (b) ¿Cuántos en la corona $1 < \abs z < 3$? *(Rouché frente a $z^4$ en $\abs z = 3$.)* Afínese: demuéstrese que todo cero tiene módulo $< 2.1$. (c) ¿Cuántos en el semiplano derecho? *(Cuéntense primero en $\abs z = 2$; síganse después las imágenes del eje imaginario: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ tiene parte real positiva en todo él, de modo que no hay ceros sobre el eje, y la variación del argumento a lo largo de él es calculable — conclúyase con un semidisco grande.)* **Solución de Ejercicio 17.12.** (a) En $\abs z = 1$: $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ($\abs{8z} - 1 = 7$): $P$ tiene en $\mathbb D$ tantos ceros como $8z + 1$, a saber, *uno* (en $-\frac18$). (b) En $\abs z = 3$: $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$: Rouché frente a $z^4$ sitúa los cuatro ceros en $\abs z < 3$, luego $4 - 1 = 3$ ceros en la corona $1 < \abs z < 3$. Afinado: un cero con $\abs z = r \geq 2.1$ cumpliría $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$, pero $r^4 - 8r - 1$ es creciente para $r \geq 2$ y vale $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ en $r = 2.1$: imposible. Los tres ceros exteriores están, pues, en $1 < \abs z < 2.1$. (Numéricamente: un cero real cerca de $-1.95$ y un par conjugado cerca de $1.04 \pm 1.73\iu$, de módulo $2.02$ — por eso un intento de Rouché con radio exactamente $2$ ha de fallar: el teorema exige dominación estricta, y los ceros quedan justo fuera.) (c) Sin ceros en $\iu\R$: $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$. Ceros en el semiplano derecho: aplíquese el principio del argumento a la frontera del semidisco $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$. En el arco grande, $\arg P \approx \arg z^4$ gira $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (el arco abarca un ángulo $\pi$). A lo largo del eje imaginario, de $\iu R$ hasta $-\iu R$: $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ permanece en el semiplano derecho ($\operatorname{Re} > 0$), de modo que $\arg P$ varía dentro de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ y vuelve con variación neta $\to 0$ cuando $R \to \infty$ (ambos extremos valen $\approx \arg t^4 = 0$). Índice total: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$: *dos* ceros en el semiplano derecho — en consonancia con la numérica: el par conjugado $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ tiene parte real positiva, y los ceros reales $\approx -0.125$ y $\approx -1.96$, negativa. ## 17.6 Problema: $\zeta(2k)$ mediante la cotangente **Problema 17.1.** Problema de fin de semana — sumar $\sum n^{-2k}$ con [residuos](#def-b3-residues-singularities) El teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) suma series: emparejar una función racional con $\pi\cot(\pi z)$, cuyos polos están en los enteros, convierte $\sum_{n}f(n)$ en un recuento de [residuos](#def-b3-residues-singularities). Demostraremos el método y calcularemos $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — los valores hallados por series de Fourier en segundo año y por trazas de operadores en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#ch-b3-spectral), ahora por integración de contorno. **Parte I — El núcleo cotangente.** 1. Demostrar que $\pi\cot(\pi z)$ es [meromorfa](#def-b3-residues-singularities) en $\C$ con polos simples exactamente en $z = n \in \Z$ , cada uno de [residuo](#def-b3-residues-singularities) $1$ *(calcúlese $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$)* . 2. Calcular el principio del desarrollo de Laurent en $0$: $$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$$ dividiendo la serie de potencias de $\cos$ por la de $\sin$ (justifíquese la división: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y no nula cerca de $0$, de modo que su inversa es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); identifíquense los coeficientes hasta el orden $3$). 3. Sea $C_N$ la frontera del cuadrado de vértices $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . Demostrar que $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ en $C_N$ para todo $N \geq 1$ . *(En los lados verticales, $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$, de módulo $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$; en los horizontales $\abs y = N + \frac12$, acótese $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$.)* **Parte II — El teorema de sumación.** 4. Sea $f$ racional, [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en los enteros, con $\deg(\text{denom}) \geq \deg(\text{num}) + 2$. Usando el teorema de los [residuos](#def-b3-residues-singularities) en $C_N$ y la cota de la pregunta 3, demuéstrese: $$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{polo de}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$$ 5. ¿Dónde necesita el argumento la condición sobre los grados? Muéstrese con un ejemplo (tómese $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) que, con decaimiento más lento, el límite simétrico puede existir aunque la serie bilátera diverja — y que la fórmula calcula entonces el *valor principal* . **Parte III — Los valores.** 6. Aplíquese el método a $f(z) = 1/z^2$: aquí $f$ tiene su polo *en* un entero, de modo que hágase el argumento directamente — intégrese $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ sobre $C_N$, demuéstrese que la integral $\to 0$ y calcúlese $\operatorname{Res}(g, 0)$ a partir de la pregunta 2. Conclúyase: $$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$$ 7. Lo mismo con $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : calcúlese $\operatorname{Res}(g, 0)$ y dedúzcase $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . 8. Explíquese el patrón general: para todo $k \geq 1$ , $\zeta(2k)$ es $-\frac12$ veces el coeficiente de $z^{2k-1}$ en el desarrollo de Laurent de $\pi\cot(\pi z)$ en $0$ — un múltiplo racional de $\pi^{2k}$ . Calcúlese $\zeta(6)$ llevando la división de la pregunta 2 un paso más allá. ¿Qué dice el método sobre $\zeta(3)$ — y por qué no dice nada? **Parte IV — El desarrollo en fracciones simples de la cotangente.** 9. Fíjese $w \in \C\setminus\Z$ y aplíquese el método de la Parte II a $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — obsérvese que $\pi\cot(\pi z)f(z)$ tiene ahora polos simples adicionales en $\pm w$, cuyos [residuos](#def-b3-residues-singularities) han de incorporarse al recuento. Dedúzcase el desarrollo en fracciones simples $$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$$ convergiendo la serie normalmente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$. 10. Recupérense de este desarrollo, desarrollando cada término en potencias de $w$ (justifíquese el intercambio), los *mismos* coeficientes de Laurent de la pregunta 2 — el círculo se cierra: la fórmula de Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ es el coeficiente de $w$ en las dos caras de la cotangente. Compárese con la demostración por series de Fourier (segundo año) y con la demostración por trazas (el [Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#pb-b3-spectral-1) ): tres teorías, un número. **Parte V — El producto de Euler para el seno.** El desarrollo de la pregunta 9 es la derivada logarítmica de un producto infinito; demostremos ahora honestamente la factorización de Euler de 1734. 11. Para $N \geq 1$ , póngase $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Demuéstrese que $P_N$ converge, uniformemente en cada disco $\bar D(0, R)$ , a una función entera $P$ cuyos ceros son exactamente los enteros, todos simples. *(Para $n \geq 2R$, escríbase el factor como $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ con el logaritmo principal del [Ejercicio 16.3](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#exo-b3-holomorphic-3), acótese $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ para $\abs u \leq \frac12$ mediante la serie y exponénciese la suma normalmente convergente de logaritmos; los factores restantes, en número finito, forman un polinomio. Conclúyase con [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv).)* 12. Demuéstrese que en $\C\setminus\Z$, $$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$$ *(derívense los productos finitos, pásese al límite usando el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) y la ausencia de ceros de $P$ fuera de $\Z$, y cítese la pregunta 9)*. 13. Demuéstrese que $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ se extiende a una función entera sin ceros con $Q' = 0$, y conclúyase el *producto de Euler*: $$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$$ 14. (Wallis, 1655) Evalúese en $z = \frac12$: $$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$$ 15. Para $\abs z < 1$ , desarróllese el logaritmo del producto como serie doble (justifíquese la reordenación) y recupérese $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ identificando el coeficiente de $z^3$ en $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — la cara multiplicativa del número de Euler. **Parte VI — Núcleos hermanos.** La cotangente tiene parientes; cada uno pone precio a su propia familia de series. 16. Derívese término a término el desarrollo de la pregunta 9 (justificado por el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) para obtener, normalmente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$, $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$$ 17. Evalúese en $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; y recupérese $\zeta(2)$ una vez más separando los enteros por paridad. 18. Verifíquese la identidad de duplicación $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ y dedúzcase $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$$ normalmente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) que evitan $\frac12 + \Z$. 19. Desarróllese alrededor de $0$ ($\abs z < \frac12$; Fubini de nuevo): con $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$, $$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$$ compárese con $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ para recuperar $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ y obtener $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$, y contrástese después $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ vía $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$. 20. Verifíquese $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ y dedúzcase $$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$$ Compruébense los signos frente a los [residuos](#def-b3-residues-singularities) de $\pi/\sin(\pi z)$ en los enteros. 21. Léase el coeficiente de $z$ : $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , y confírmese la consistencia $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ . 22. (Final) Evalúese en $z = \frac12$ el desarrollo de la pregunta 20 y dedúzcase la *fórmula de Leibniz* $$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$$ Ciérrese con un breve párrafo: un núcleo por aritmética — qué núcleo pone precio a qué familia de series y por qué todos ellos son estructuralmente ciegos a $\zeta(3)$. **Parte VII — La lista de precios [completa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): los números de Bernoulli.** 23. Combínese el desarrollo en fracciones simples de $\pi z\cot(\pi z)$ con la función generatriz de los números de Bernoulli ($\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$, el [Problema 16.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#pb-b3-holomorphic-1), Parte VI): a partir de $$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$$ (demuéstrese primero esta identidad), dedúzcase la forma cerrada $$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$$ 24. Verifíquese la fórmula frente a $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ : recupérense $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ , y calcúlese $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . 25. (Recursión de Euler) Desarróllense ambos miembros de $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — — o elévese al cuadrado directamente la serie de la cotangente — para demostrar $$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$$ y compruébese que calcula $\zeta(4)$ a partir de $\zeta(2)$ y $\zeta(6)$ a partir de $\zeta(2), \zeta(4)$ — todos los valores pares de zeta a partir de la única semilla $\frac{\pi^2}6$, sin ninguna integración nueva. **Solución de Problema 17.1.** **1.** $\sin(\pi z)$ tiene ceros simples exactamente en $\Z$ ($\sin\pi z = 0$ si y solo si $z \in \Z$, y $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ allí), y $\cos(\pi n) \neq 0$: $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ tiene polos simples en $\Z$ con $$ \operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1 $$ (regla de $g/h'$, el [Método 17.6](#met-b3-residues-compute)). **2.** $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y no nula cerca de $0$: su inversa es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (la [Definición 16.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo): cociente), con serie $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identifíquese: coeficientes al estilo $(1 - u)^{-1}$ a partir de $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$: el coeficiente de $z^4$ es $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$). Multiplíquese por $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ y divídase por $z$: $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots $$ ($\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$). **3.** Lados verticales $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$: por la $\pi$-periodicidad de $\cot$, $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$, de módulo $\leq 1$. Lados horizontales $z = x \pm \iu(N + \frac12)$: a partir de $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$, $$ \abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 . $$ Ambas cotas son $\leq 2$. **4.** Aplíquese el [Teorema 17.5](#thm-b3-residues-residue) a $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ en $C_N$ ($N$ más allá de todos los polos de $f$): $$ \frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p), $$ aportando los polos enteros $f(n)$ (pregunta 1; $f$ es allí [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo)). En $C_N$: $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$, y el perímetro es $8(N + \frac12)$: la integral es $O(1/N) \to 0$. Hágase $N \to \infty$: la fórmula de sumación exhibida. **5.** El decaimiento $\abs f = O(\abs z^{-2})$ mató la [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) *y* hizo converger $\sum\abs{f(n)}$. Para $f(z) = \frac1{z + \frac12}$: las sumas simétricas $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ se telescopan a $0$ (los términos $n$ y $-n - 1$ se cancelan), y el miembro derecho es $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$: consistente — pero $\sum\abs{f(n)}$ diverge; el método calcula únicamente el límite simétrico (valor principal). **6.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$: polos en los enteros no nulos con [residuos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2}$, y en $0$ donde, por la pregunta 2, $$ g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 . $$ La [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) sobre $C_N$ tiende a $0$ como en la pregunta 4 ($\abs{g} = O(N^{-2})$ en $C_N$). Por tanto, $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$: $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. **7.** $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$: [residuo](#def-b3-residues-singularities) en $0$ igual a $-\frac{\pi^4}{45}$, y $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$: $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. **8.** Con $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$: el [residuo](#def-b3-residues-singularities) en $0$ es el coeficiente $a_{2k-1}$ de $z^{2k-1}$ en el desarrollo de $\pi\cot(\pi z)$, y la anulación del contorno da $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$: $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$, a múltiplo racional de $\pi^{2k}$, pues lo son los coeficientes de la cotangente. Un paso más de división da $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$, de donde $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$. Para $\zeta(3)$: el núcleo natural $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ produce $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ por imparidad — el método demuestra $0 = 0$ y es estructuralmente ciego a los valores impares de zeta (no se conoce ninguna forma cerrada para $\zeta(3)$; su irracionalidad, Apéry 1978, exigió ideas completamente distintas). **9.** $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ tiene polos en los enteros ([residuos](#def-b3-residues-singularities) $\frac1{n^2 - w^2}$, con el signo debido: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$) y polos simples en $\pm w$ con [residuos](#def-b3-residues-singularities) $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ cada uno ($\cot$ es impar). El argumento de la pregunta 4 ($\abs f = O(\abs z^{-2})$) da $$ \sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{es decir}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2}, $$ (el término $n = 0$ es $-\frac1{w^2}$; reagrúpese $\pm n$). Convergencia normal en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$: para $\abs w \leq R$ y $n \geq 2R$, $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$. **10.** Para $\abs w \leq r < 1$: $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$, con $\abs{\text{términos}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$, sumable sobre $(n, k)$: Fubini para series reordena $$ \pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} . $$ Identificando con la pregunta 2: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ y $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — los mismos valores. Tres [caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) hacia $\frac{\pi^2}6$: [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) (series de Fourier), la traza del operador de Green de la cuerda y los dos desarrollos de la cotangente; que una suma sobre frecuencias, una traza de operador y una [integral de contorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-contour) coincidan no es casual — cada una es una cara de la misma identidad espectral. **11.** Fíjese $R \geq 1$ y sea $n_0$ el menor entero $\geq 2R$. Para $\abs z \leq R$ y $n \geq n_0$: $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$, de modo que $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$, donde el logaritmo principal es [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), y $$ \Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} : $$ la suma $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ converge normalmente en $\bar D(0, R)$, con sumas parciales [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $S_N$ y $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ uniformemente. Como $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (cota del valor medio en el segmento), los productos de cola $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ convergen uniformemente en $\bar D(0, R)$ hacia la función sin ceros $\eu^S$. Multiplicando por el polinomio fijo $z\prod_{n 0$ ($P$ solo se anula en $\Z$), de modo que a partir de cierto índice $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ y $P_N'/P_N \to P'/P$ uniformemente en $K$. El miembro central converge a $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ por la pregunta 9: luego $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ en $\C\setminus\Z$. **13.** $\sin(\pi z)$ y $P$ son enteras con el mismo conjunto de ceros $\Z$, todos simples (preguntas 1 y 11). Cerca de $m \in \Z$, escríbanse $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ y $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ con $\sigma, \psi$ [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y no nulas en $m$ (factorícense las series de potencias): $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ se extiende [holomorfamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y sin ceros a través de cada entero, y carece de ceros en $\C\setminus\Z$ por ser cociente de funciones sin ceros. Allí, $$ \frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 , $$ de modo que la función entera $Q'$ se anula en $\C\setminus\Z$, luego en todas partes por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $Q$ es constante. Cuando $z \to 0$: $\sin(\pi z)/z \to \pi$ y $P(z)/z \to 1$, de modo que $Q = \pi$: $$ \sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) . $$ **14.** En $z = \frac12$: $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$, de modo que $$ \frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} : $$ el producto de Wallis, corolario de un renglón de la factorización de Euler. **15.** Para $\abs z \leq r < 1$, todo factor está en $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$, de modo que $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$: cada producto parcial es la exponencial de una suma parcial, y ambos miembros pasan al límite por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\exp$. La serie doble $$ \sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4) $$ se reordena por Fubini para series: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$. Por tanto, $$ P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) , $$ y la pregunta 13 compara esto con $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$: $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$, es decir, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$. La cara aditiva (pregunta 10) y la cara multiplicativa calculan el mismo número. **16.** En un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K \subseteq \C\setminus\Z$, las sumas parciales $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (pregunta 9, con los términos reagrupados como $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$) convergen uniformemente a $\pi\cot(\pi z)$, de modo que el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) da $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniformemente en $K$. Como $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$: $$ \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} , $$ con convergencia normal en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\C\setminus\Z$ (términos $O(n^{-2})$). **17.** En $z = \frac12$, el miembro izquierdo vale $\pi^2$; en el derecho, $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$ con $2n - 1$ recorriendo exactamente una vez todos los enteros impares cuando $n$ recorre $\Z$: $$ \pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 . $$ Separación por paridad: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$, de modo que $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ una vez más. **18.** Con $c = \cot\theta$ y $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$: $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$. Por tanto, $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$, y la pregunta 9 en $z$ y en $2z$ da $$ \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} . $$ Ambas series convergen absolutamente en cada $z$ fijo fuera de los polos, de modo que la diferencia puede reagruparse a voluntad: en la segunda serie, los términos pares $n = 2m$ dan $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ y cancelan por completo la primera serie, dejando $$ \pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} , $$ normalmente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) que evitan $\frac12 + \Z$ (términos $O(m^{-2})$). **19.** Para $\abs z \leq r < \frac12$: $$ \frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k}, $$ con $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$, ya que $4r^2 < 1$: Fubini reordena la suma doble en $$ \pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} . $$ Frente a $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$: el coeficiente de $z$ da $8\lambda(2) = \pi^2$ — la pregunta 17 de nuevo — y el de $z^3$ da $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$, es decir, $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$. Quitando los denominadores pares, $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$: $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$, en consonancia con la pregunta 7. **20.** $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$, siendo el numerador $\sin(\theta - \frac\theta2)$. Con $\theta = \pi z$, la pregunta 9 en $\frac z2$ se lee $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$, de modo que $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ La convergencia absoluta permite reagrupar por paridad: los $n = 2m$ pares de la serie sustraída aportan $\frac{2z}{z^2-4m^2}$, dejando $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ de la primera suma, mientras que los $n$ impares sobreviven con signo $-$: $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} . $$ Comprobación de signos: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ (el [Método 17.6](#met-b3-residues-compute)), y $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ lleva exactamente ese [residuo](#def-b3-residues-singularities) en $\pm n$. **21.** Para $\abs z \leq r < 1$, desarrollando cada término como en la pregunta 19 ($(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$) y aplicando Fubini: $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} . $$ Lado de Taylor: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ da $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$: $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$, de modo que $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$. Consistencia: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$. **22.** En $z = \frac12$, la pregunta 20 da $$ \pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} . $$ Con $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$, y siendo convergentes ambas series alternadas (criterio de Leibniz), la suma se parte como $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$, donde $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ y $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$. Por tanto, $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$: $$ \frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots $$ La moraleja: cada núcleo es [meromorfo](#def-b3-residues-singularities) con polos en una progresión aritmética y [residuos](#def-b3-residues-singularities) prescritos. La cotangente pone [residuo](#def-b3-residues-singularities) $1$ en todo entero y suma $f(n)$; su derivada eleva al cuadrado los polos y pone precio a $\lambda(2)$; la tangente traslada los polos a $\frac12 + \Z$ y pone precio a los denominadores impares; $\pi/\sin$ conserva los polos enteros pero alterna los [residuos](#def-b3-residues-singularities) $(-1)^n$, de ahí las series alternadas. Los núcleos de primer orden son todos funciones impares: emparejar $n$ con $-n$ duplica los coeficientes de potencias pares y aniquila los impares, de modo que $\zeta(2k)$ brota mecánicamente mientras que $\zeta(3)$ no aparece jamás. La ceguera es de paridad, no falta de técnica. **23.** Con $w = 2\iu\pi z$: $$ \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) . $$ Por tanto, usando la función generatriz en $w = 2\iu\pi z$ (y cancelando $B_1 = -\frac12$ el término $\iu\pi z$, pues los $B$ impares se anulan más allá): $$ \pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} . $$ Por otra parte, el desarrollo en fracciones simples (Parte IV) da $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (desarróllese cada $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ y súmese sobre $n$; la convergencia normal justifica el intercambio para $\abs z < 1$). Comparando coeficientes: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$, la fórmula enunciada. **24.** $k = 1$: $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$. $k = 2$: $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$. $k = 3$: $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$. **25.** Escríbase $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (pregunta 23). Derivación directa de $C = \pi z\cot(\pi z)$, usando $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$: $$ zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 . $$ Desarróllense ahora ambos miembros en potencias de $z^2$. Miembro izquierdo: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$. Miembro derecho: elevando al cuadrado la serie, $$ C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k}, $$ y el término $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ solo ajusta $k = 1$. Comparando los coeficientes de $z^{2k}$ para $k \geq 2$: $$ -4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j), $$ es decir, $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$. (En $k = 1$ la identidad se lee $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$: una comprobación de consistencia, no información nueva.) Aplicaciones: $k = 2$: $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$, luego $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$; $k = 3$: $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$, luego $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$. Una sola semilla trascendente ($\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$) y el álgebra pura genera todos los valores pares de zeta.