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title: "Aplicaciones conformes y el teorema de la aplicación de Riemann"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann
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# Capítulo 18 — Aplicaciones conformes y el teorema de la aplicación de Riemann

Una biyección [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) entre dos dominios transporta todo el análisis complejo de uno al otro: tales aplicaciones — *conformes*, porque conservan los ángulos — son los isomorfismos del mundo [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Este capítulo las clasifica allí donde la clasificación es posible (el disco, el plano: la clave es el lema de Schwarz, una desigualdad de una potencia asombrosa), construye la teoría de [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de las familias [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (Montel) y demuestra el teorema de existencia más profundo de la materia: *todo* subdominio propio [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) de $\C$, por dentada que sea su frontera, es [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) equivalente al disco unidad. Cerramos con las funciones armónicas y el [núcleo de Poisson](#thm-b3-conformal-poisson), resolviendo el problema de Dirichlet en el disco — el dividendo analítico de la geometría conforme. En todo el capítulo, $\mathbb D = D(0,1)$ y $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z >
0\}$.

## 18.1 Aplicaciones conformes; transformaciones de Möbius

**Definición 18.1.**

Una *aplicación conforme* (o biholomorfismo) entre abiertos es una biyección [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); su inversa es automáticamente [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (el [Corolario 17.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#cor-b3-residues-openmapping)). Dos dominios son *conformemente equivalentes* si existe una tal aplicación; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ denota el grupo de las autoaplicaciones conformes. Donde $f' \neq 0$ — en todas partes, si $f$ es inyectiva (demostración del [Corolario 17.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#cor-b3-residues-openmapping)) —, la diferencial es la multiplicación por $f'(z) \neq 0$: una semejanza, de modo que las aplicaciones conformes conservan los ángulos entre curvas, orientación incluida.

**Ejemplo 18.2 (Transformaciones de Möbius).**

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c &
d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, la *transformación de Möbius* $z \mapsto
\frac{az + b}{cz + d}$ es conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (la inversa es del mismo tipo, dada por la matriz inversa; la composición corresponde al producto de matrices). La *transformación de Cayley*

$$
\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}
$$

lleva $\mathbb H$ [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb D$: en efecto, $\abs{z
- \iu} < \abs{z + \iu}$ exactamente cuando $z$ está más cerca de $\iu$ que de $-\iu$, es decir, $\operatorname{Im}z > 0$; la inversa es $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. Las transformaciones de Möbius envían la familia de circunferencias y rectas en sí misma (el [Ejercicio 18.1](#exo-b3-conformal-1)).

**Ejemplo 18.3 (La aplicación de Joukowski).**

Más allá de Möbius, la [aplicación conforme](#def-b3-conformal-conformal) más útil de la matemática aplicada clásica es

$$
J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .
$$

En el exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ del disco unidad, $J$ es inyectiva: $J(z) = J(w)$ da $(z - w)(1 -
\frac1{zw}) = 0$ y $\abs{zw} > 1$. Su derivada $J'(z) =
\frac12(1 - z^{-2})$ solo se anula en $z = \pm1$, sobre la frontera: $J$ es una equivalencia conforme de $\Omega$ sobre su imagen, que es $\C\setminus\intcc{-1}1$ — la propia circunferencia unidad se pliega dos a uno sobre el segmento ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Así, el exterior de un *segmento*, un plano hendido sin frontera regular, es [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) el exterior de un disco: las esquinas no son obstáculo para la equivalencia conforme, solo para la regularidad de la frontera. Las imágenes de circunferencias que pasan por $\pm1$ pero descentradas son curvas con forma de perfil alar, y componer $J$ con transformaciones de Möbius transportó el flujo alrededor de un cilindro — calculable a mano — al flujo alrededor de un ala: durante la primera mitad del siglo XX, este ejemplo *era* la aerodinámica. Es también la puerta hacia Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ con el polinomio de Chebyshev $T_n$ (el [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#pb-b3-hilbert-1), Parte V), pues $J(z^n) = \cos(n\theta)$ cuando $z = \eu^{\iu\theta}$.

## 18.2 El lema de Schwarz y los grupos de automorfismos

**Teorema 18.4 (Lema de Schwarz).**

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con $f(0) = 0$. Entonces

$$
\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D)
\qquad\text{y}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,
$$

y si $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ para algún $z_0 \neq 0$, o bien $\abs{f'(0)} = 1$, entonces $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ es una rotación.

**Demostración.** $g(z) = f(z)/z$ se extiende [holomorfamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) a $\mathbb D$ (la singularidad en $0$ es evitable: $g$ está acotada cerca de $0$, el [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-riemanncw); su valor en $0$ es $f'(0)$). En $\abs z = r < 1$: $\abs g \leq \frac1r$, de modo que, por el principio del máximo (el [Teorema 16.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-maximum)), $\abs g \leq \frac1r$ en $\bar D(0,r)$; hágase $r \to 1$: $\abs
g \leq 1$ en $\mathbb D$, que son ambas desigualdades. La igualdad en un punto [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) hace que $\abs g$ alcance un máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior): $g$ constante de módulo $1$. ∎

**Teorema 18.5 (Automorfismos del disco).**

Para $a \in \mathbb D$, el *factor de Blaschke*

$$
\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}
$$

es un automorfismo de $\mathbb D$ que intercambia $a$ y $0$, con $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$. Todo automorfismo de $\mathbb D$ es $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ para $\theta
\in \R/2\pi\Z$, $a \in \mathbb D$ únicos.

**Demostración.** En $\abs z = 1$: $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 -
\bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar
a} = \abs{z - a}$, de modo que allí $\abs{\varphi_a} = 1$; por el principio del máximo, $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb
D}$, y ser aplicación abierta sitúa la imagen en $\mathbb D$. La identidad [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (cálculo directo) muestra la biyectividad. Sean ahora $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ y $a = f^{-1}(0)$: $g =
f\circ\varphi_{-a}$ es un automorfismo que fija $0$. Schwarz aplicado a $g$ y a $g^{-1}$: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ y $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$, de modo que $\abs{g(z)} = \abs z$: rotación, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$, es decir, $f =
\eu^{\iu\theta}\varphi_a$. Unicidad: $a = f^{-1}(0)$ y $\theta$ evaluando al estilo de $f'$ (o a partir de $f(0) =
-\eu^{\iu\theta}a$ y un valor más). ∎

**Teorema 18.6 (Automorfismos del plano).**

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b
\in \C\}$. En consecuencia, $\C$ y $\mathbb D$ no son [conformemente equivalentes](#def-b3-conformal-conformal).

**Demostración.** Sea $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ y considérese $g(z) =
f(1/z)$ en $\C^*$: una [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con una [singularidad aislada](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#def-b3-residues-singularities) en $0$. Si fuera esencial, Casorati–Weierstrass (el [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)) haría $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ denso, mientras que $f(D(0, 1))$ es abierto y disjunto de él ($f$ inyectiva: los dos conjuntos son imágenes de conjuntos disjuntos) — imposible para un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y un abierto no vacío. Luego $0$ es un polo o es evitable para $g$, es decir, $\abs{f(z)}$ tiene a lo sumo crecimiento polinómico: $f$ es un polinomio (el [Ejercicio 16.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#exo-b3-holomorphic-4)(a)). La inyectividad fuerza el grado $1$: un polinomio de grado mayor tiene, o bien una raíz múltiple de $f - c$ en algún sitio ($f'$ se anula), o bien varias preimágenes distintas (d’Alembert–Gauss, el [Problema 16.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#pb-b3-holomorphic-1)); en ambos casos falla la inyectividad. Por último, una $\C \to
\mathbb D$ conforme sería una función entera acotada: constante (Liouville) — no hay equivalencia. ∎

## 18.3 El teorema de Montel

**Teorema 18.7 (Montel).**

Sea $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ *localmente acotada*: todo punto tiene un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) en el que $\sup_{f\in
\mathcal F}\sup\abs f < \infty$. Entonces toda sucesión de $\mathcal F$ tiene una subsucesión que converge uniformemente en todos los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\Omega$ (con límite [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo)).

**Demostración.** [Equicontinuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) local: si $\abs f \leq M$ en $D(a, 2r)
\subseteq \Omega$ para toda $f \in \mathcal F$, la fórmula de Cauchy da, para $z, z' \in D(a, r)$,

$$
\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi}
\Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr|
\leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2}
= \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :
$$

una cota de Lipschitz uniforme. Agótese $\Omega$ por [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K_m$; cada $K_m$ queda recubierto por un número finito de tales discos, de modo que $\mathcal F$ está uniformemente acotada y es [equicontinua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-equicontinuous) en $K_m$: Arzelà–Ascoli (el [Teorema 7.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-ascoli)) extrae una subsucesión que converge uniformemente en $K_m$; diagonalícese sobre $m$. El límite es [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) por [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv). ∎

## 18.4 El teorema de la aplicación de Riemann

**Definición 18.8.**

Un abierto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $\Omega \subseteq \C$ es *simplemente conexo* (en sentido homológico, suficiente para todos nuestros fines) si $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ para todo ciclo $\gamma$ en $\Omega$ y todo $w \notin \Omega$ — «ningún ciclo de $\Omega$ rodea un agujero». Por el teorema global de Cauchy (el [Teorema 17.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-globalcauchy)) y la [Proposición 16.5](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#prop-b3-holomorphic-primitive), en tal $\Omega$ *toda [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) tiene primitiva*; por tanto, toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ sin ceros tiene un logaritmo [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) ($\exp\circ$(primitiva de $f'/f$), ajustado por una constante, ya que $(f\eu^{-L})' = 0$) y raíces $n$-ésimas [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\eu^{L/n}$.

**Teorema 18.9 (Teorema de la aplicación de Riemann).**

Todo abierto [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\Omega \subsetneq \C$, $\Omega
\neq \varnothing$, es [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) equivalente a $\mathbb D$; dado $z_0 \in \Omega$, existe una única [aplicación conforme](#def-b3-conformal-conformal) $f \colon
\Omega \to \mathbb D$ con $f(z_0) = 0$ y $f'(z_0) >
0$.

**Demostración.** *Paso 0: la familia no es vacía.* Tómese $b \notin \Omega$: $z - b$ no tiene ceros en $\Omega$, de modo que admite una raíz cuadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $h$ ($h^2 = z - b$). $h$ es inyectiva ($h(z) =
h(z')$ elevada al cuadrado da $z = z'$), y si $w \in h(\Omega)$ entonces $-w
\notin h(\Omega)$ ($h(z) = -h(z')$ también eleva al cuadrado a $z = z'$, dando $w = -w = 0$, imposible porque $h$ no tiene ceros). Como $h(\Omega)$ es abierto, contiene un disco $D(h(z_0), \rho)$; entonces $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$, es decir, $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ para todo $z \in \Omega$. Por tanto,

$$
g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}
$$

es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), inyectiva (una [transformación de Möbius](#ex-b3-conformal-mobius) compuesta con la inyectiva $h$), con $\abs g \leq \frac12 < 1$. Componiendo con un [factor de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) (el [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) para llevar $g(z_0)$ a $0$, la familia

$$
\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{
holomorphic, injective, } f(z_0) = 0\}
$$

no es vacía.

*Paso 1: un elemento extremal.* Sea $s =
\sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ($> 0$: sus miembros son inyectivos, de modo que $f'(z_0) \neq 0$). Tómese $f_n \in
\mathcal F$ con $\abs{f_n'(z_0)} \to s$: la familia está acotada por $1$, de modo que Montel (el [Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel)) extrae $f_n \to f$ uniformemente en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact); $f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), $f(z_0) = 0$, $\abs{f'(z_0)} = s$ (el [Teorema 16.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv) para las derivadas), en particular $f$ no es constante; $f$ es inyectiva por Hurwitz (el [Ejercicio 17.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#exo-b3-residues-8)(b)), y $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$, luego $\subseteq
\mathbb D$ (aplicación abierta). Así, $f \in \mathcal F$ alcanza el supremo: $s < \infty$.

*Paso 2: la aplicación extremal es sobreyectiva.* Supóngase $a \in
\mathbb D\setminus f(\Omega)$. El transporte de Blaschke $\varphi_a\circ f$ no tiene ceros en el [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\Omega$: tiene una raíz cuadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $F$ (con $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$, pues $\abs F^2 =
\abs{\varphi_a\circ f} < 1$), inyectiva (los cuadrados distinguen). Normalícese: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in
\mathcal F$. Deshaciendo: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ
\varphi_{-F(z_0)}\circ G$ donde $s_2(w) = w^2$; la aplicación $\Psi
= \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D
\to \mathbb D$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ y *no* es una rotación (no es inyectiva: $s_2$ no lo es). Lema de Schwarz (caso estricto): $\abs{\Psi'(0)} < 1$, y la regla de la cadena $f = \Psi\circ G$ da $\abs{f'(z_0)} =
\abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — en contradicción con la maximalidad (obsérvese $G \in \mathcal F$). Luego $f$ es sobreyectiva: una equivalencia conforme.

*Paso 3: normalización y unicidad.* Multiplíquese $f$ por $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ para lograr $f'(z_0) > 0$ (esto no sale de $\mathcal F$). Si $f_1, f_2$ sirven ambas, $\psi =
f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ fija $0$ con $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$; por el [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc), $\psi$ es una rotación $\eu^{\iu\theta}$ con $\eu^{\iu\theta} > 0$: $\psi =
\mathrm{id}$. ∎

**Observación 18.10.**

El teorema es un enunciado de existencia puro y de alcance asombroso: un cuadrado, un semiplano, el complementario de un corte, la región entre dos circunferencias tangentes, un dominio de frontera fractal — todos [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) idénticos a $\mathbb D$. Lo que no da: ninguna fórmula (las aplicaciones explícitas son la excepción: el [Ejercicio 18.5](#exo-b3-conformal-5)), ningún comportamiento en la frontera (de eso se ocupa una teoría más profunda — el teorema de Carathéodory), ni unicidad de la extensión a $\C$ ni dominios múltiplemente [conexos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected): la corona $\{1 < \abs z < 2\}$ *no* es [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) un disco punteado, y coronas con distinta razón de radios son inequivalentes (un hecho genuinamente más difícil).

## 18.5 Funciones armónicas y el núcleo de Poisson

**Proposición 18.11.**

Sean $\Omega$ [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) y $u \colon \Omega \to \R$ armónica ($\mathcal C^2$ con $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$). Entonces $u =
\operatorname{Re}F$ para cierta $F$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), única salvo constante imaginaria. En consecuencia, $u$ es $\mathcal C^\infty$, cumple la propiedad del valor medio y obedece el principio del máximo (ningún extremo [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) estricto salvo si es constante).

**Demostración.** $g = u_x - \iu u_y$ cumple las [ecuaciones de Cauchy–Riemann](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann) ($P = u_x$, $Q = -u_y$: $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ y $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$) con parciales [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $g$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (la [Proposición 16.2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann); la $\R$-diferenciabilidad se sigue de $\mathcal C^1$). Sea $F_0$ una primitiva ([conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) simple, la [Definición 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)); entonces $\operatorname{Re}F_0$ tiene gradiente $(u_x, u_y)$ ($F_0' = g$ se desglosa exactamente en eso vía Cauchy–Riemann para $F_0$), de modo que $u - \operatorname{Re}F_0$ es constante ($\Omega$ [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected)): ajústese $F = F_0 + c$. Las propiedades se transfieren del [Teorema 16.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-maximum) y del [Ejercicio 16.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#exo-b3-holomorphic-10) (para el principio del máximo aplicado a $u$ misma, úsese $\eu^{F}$ como allí). ∎

**Teorema 18.12 (Fórmula de Poisson; problema de Dirichlet en el disco).**

Para $0 \leq r < 1$, defínase el *núcleo de Poisson*

$$
P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .
$$

Sea $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y póngase, para $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$,

$$
u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .
$$

Entonces $u$ es armónica en $\mathbb D$ y se extiende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a $\bar{\mathbb D}$ con valores frontera $g$: es la única [función armónica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) con esa propiedad.

**Demostración.** *Identidades del núcleo*: sumando dos series geométricas,

$$
\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta}
= \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 -
r\eu^{\iu\theta}}
= \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},
$$

que es el cociente exhibido; la positividad es clara, y $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (solo sobrevive $n = 0$).

*Armonicidad*: con $z = r\eu^{\iu\varphi}$,

$$
u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\,
g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],
$$

(el núcleo entre corchetes tiene parte real $P_r(\varphi - t)$: calcúlese), y el corchete es [holomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $z$ sobre $\mathbb D$ (el [Ejercicio 16.7](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#exo-b3-holomorphic-7)): $u$ es la parte real de una [función holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), luego armónica.

*Valores frontera*: $P_r(\cdot)$ es una identidad aproximada cuando $r \to 1^-$: masa $1$, y para $\delta \leq
\abs\theta \leq \pi$, $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 -
2r\cos\delta + r^2} \to 0$ uniformemente. La partición habitual ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $g$ cerca de $\eu^{\iu\varphi_0}$, acotación en el resto) da $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to
g(\eu^{\iu\varphi_0})$ cuando $r\eu^{\iu\varphi} \to
\eu^{\iu\varphi_0}$, uniformemente en el punto frontera: la extensión es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). *Unicidad*: la diferencia de dos soluciones es armónica en $\mathbb D$, [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y nula en la frontera: por el principio del máximo (aplicado a $\pm$ la diferencia), se anula. ∎

![Las curvas de nivel de Rez2 = x2 - y2 (hipérbolas rojas) y de Imz2 = 2xy (hipérbolas azules) se cortan en ángulo recto lejos de 0: una aplicación conforme (z z2, donde z ≠ 0) conserva la ortogonalidad de las líneas coordenadas. En z = 0, donde la derivada se anula, los ángulos se duplican.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-conformal/fig-519b9b0ea3e1.svg)

*Las curvas de nivel de $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (hipérbolas rojas) y de $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (hipérbolas azules) se cortan en ángulo recto lejos de $0$: una [aplicación conforme](#def-b3-conformal-conformal) ($z \mapsto z^2$, donde $z \neq 0$) conserva la ortogonalidad de las líneas coordenadas. En $z = 0$, donde la derivada se anula, los ángulos se duplican.*

## 18.6 Ejercicios

**Ejercicio 18.1 ★.**

(a) Verifíquese que la [transformación de Cayley](#ex-b3-conformal-mobius) $\varphi(z) = \frac{z -
\iu}{z + \iu}$ es una biyección $\mathbb H \to \mathbb D$ con la inversa enunciada, y calcúlense las imágenes de $\iu$, $0$, $1$ y $\infty$ (en el límite). (b) Demuéstrese que $z \mapsto 1/z$ lleva circunferencias y rectas a circunferencias y rectas. *(Escríbase su ecuación común $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$, $\alpha, \gamma \in \R$.)* Dedúzcase lo mismo para todas las transformaciones de Möbius.

**Solución de Ejercicio 18.1.**

(a) $\varphi$ y $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ se componen dando la identidad en ambos órdenes (cálculo directo); $\varphi$ lleva $\mathbb H$ dentro de $\mathbb D$ y $\psi$ de vuelta (el [Ejemplo 18.2](#ex-b3-conformal-mobius)). Valores: $\varphi(\iu) = 0$, $\varphi(0) = -1$, $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} =
-\iu$ y $\varphi(z) \to 1$ cuando $z \to \infty$.

(b) Las circunferencias y rectas son los conjuntos de soluciones de $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ($\alpha, \gamma \in \R$, $\beta \in \C$, $\abs\beta^2 >
\alpha\gamma$): $\alpha \neq 0$ circunferencias, $\alpha = 0$ rectas. Sustituyendo $z = 1/w$ y multiplicando por $\abs w^2$: $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — la misma familia. Las aplicaciones afines conservan claramente la familia, y toda [transformación de Möbius](#ex-b3-conformal-mobius) es composición de aplicaciones afines y una inversión ($\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc -
ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ para $c \neq 0$).

**Ejercicio 18.2 ★.**

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (a) Si $f(0) = 0$ y $f(a) = a$ para algún $a \neq 0$, demuéstrese que $f
= \mathrm{id}$. (b) Si $f$ es un automorfismo con dos puntos fijos distintos en $\mathbb D$, demuéstrese que $f = \mathrm{id}$ *(conjúguese por un [factor de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) para reducirse a (a))*.

**Solución de Ejercicio 18.2.**

(a) Schwarz da $\abs{f(a)} \leq \abs a$ con igualdad (ambos miembros valen $= \abs a$): el caso de igualdad obliga a $f(z) =
\eu^{\iu\theta}z$, y $f(a) = a$ fija $\eu^{\iu\theta} = 1$.

(b) Sean $a \neq b$ los puntos fijos y $g =
\varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — usando el [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc) para $\varphi_{\pm a}$. Entonces $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ y $g(c) = c$ para $c =
\varphi_a(b) \neq 0$: por (a), $g = \mathrm{id}$, de modo que $f =
\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$.

**Ejercicio 18.3 ★★.**

(Schwarz–Pick) Para $f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), demuéstrese

$$
\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\;
\frac{1}{1 - \abs z^2}
\qquad (z \in \mathbb D),
$$

con igualdad (en un punto, luego en todos) si y solo si $f \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$. *(Aplíquese Schwarz a $\varphi_{f(z)}\circ
f\circ\varphi_{-z}$.)* Interpretación: las autoaplicaciones [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) contraen la métrica hiperbólica.

**Solución de Ejercicio 18.3.**

Fíjese $z$ y póngase $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$: $\mathbb D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con $g(0) = 0$, de modo que $\abs{g'(0)} \leq 1$ (Schwarz). Regla de la cadena con $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar
a\zeta)^2}$:

$$
g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot
\varphi_{-z}'(0)
= \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),
$$

de donde la desigualdad de Schwarz–Pick. La igualdad en algún $z$ hace de $g$ una rotación, luego $f =
\varphi_{-f(z)}\circ(\text{rotación})\circ\varphi_z \in
\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — y entonces la igualdad vale en todas partes (calcúlese, o reaplíquese intercambiando los papeles de $f, f^{-1}$). Las autoaplicaciones [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) del disco son $1$-lipschitzianas para la métrica hiperbólica $\frac{2\abs{\dd
z}}{1 - \abs z^2}$; los automorfismos son sus isometrías.

**Ejercicio 18.4 ★★.**

Hállense equivalencias conformes explícitas: (a) la banda $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$; (b) el cuadrante $\{\operatorname{Re}z > 0,
\operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$; (c) el semidisco $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ a un cuadrante, y después $\to \mathbb H$; (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ que lleve $\frac12$ a $0$ con derivada positiva allí.

**Solución de Ejercicio 18.4.**

(a) $z \mapsto \eu^z$: lleva $\{0 < \operatorname{Im}z <
\pi\}$ biyectivamente sobre $\mathbb H$ ($\eu^{x+\iu y} =
\eu^x\eu^{\iu y}$: [módulo libre](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/3-modulos-sobre-un-dominio-de-ideales-principales#def-b3-modules-free), argumento $y \in
\intoo0\pi$), es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con derivada no nula e inversa [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (el $\log$ principal). (b) $z \mapsto z^2$ duplica los argumentos: el cuadrante abierto $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ va [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb
H$ (inversa: raíz cuadrada principal). (c) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ lleva $\mathbb D$ sobre el semiplano derecho y conserva la simetría superior/inferior: envía el semidisco superior sobre el primer cuadrante; después elévese al cuadrado, por (b), para llegar a $\mathbb H$: $z \mapsto \bigl(\frac{1
+ z}{1 - z}\bigr)^2$. (d) El [factor de Blaschke](#thm-b3-conformal-autdisc) $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z -
\frac12}{1 - \frac z2}$: $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ y $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 -
\frac14)^2} = \frac43 > 0$.

**Ejercicio 18.5 ★★.**

(a) Demuéstrese que no existe ninguna [aplicación conforme](#def-b3-conformal-conformal) $\C \to \mathbb D$ ni $\C \to
\mathbb H$, ni ninguna $\mathbb D \to \C$. (b) ¿Cuáles de los siguientes son [conformemente equivalentes](#def-b3-conformal-conformal) a $\mathbb D$? Justifíquese mediante el [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) o exhibiendo una obstrucción: un cuadrado; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$; $\mathbb D\setminus\{0\}$; $\{1 < \abs z < 2\}$. *(Para los dos últimos: una imagen conforme del disco punteado se extendería sobre el punto quitado por el [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)(1) — desarróllese esto.)*

**Solución de Ejercicio 18.5.**

(a) Una $\C \to \mathbb D$ conforme (o $\mathbb H$, tras componer con Cayley) es una función entera acotada: constante por Liouville — no biyectiva. Una $\mathbb
D \to \C$ conforme tendría inversa conforme $\C \to \mathbb D$: la misma contradicción.

(b) El cuadrado es convexo, luego [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected), y propio: [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) $\mathbb D$ (el [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt)). El plano hendido $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ es estrellado respecto de $1$ (los segmentos desde $1$ evitan el corte), luego [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected), y propio: [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) $\mathbb D$. El disco punteado: si $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ fuera conforme, $g$ está acotada, de modo que $0$ es evitable (el [Teorema 17.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-riemanncw)): $g$ se extiende a $\tilde g
\colon \mathbb D \to \mathbb D$, y $\tilde g(0)$, al estar en la imagen abierta $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$, es también $g(w)$ para cierto $w \neq 0$; dos [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) disjuntos de $0$ y $w$ tienen imágenes abiertas que comparten el valor $\tilde g(0)$, luego comparten *otros* valores también (abiertos): $g$ toma algún valor dos veces en $\mathbb D\setminus\{0\}$ — en contra de la inyectividad. La corona $A = \{1 < \abs z < 2\}$: supóngase $F \colon \mathbb D
\to A$ conforme. $F$ no tiene ceros en el [simplemente conexo](#def-b3-conformal-simplyconnected) $\mathbb D$, de modo que $F = \eu^L$ con $L$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (la [Definición 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)). Sea $\sigma$ la circunferencia $\abs z = \frac32$ contenida en $A$ y $\gamma =
F^{-1}\circ\sigma$, un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) cerrado en $\mathbb D$; entonces

$$
1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0)
= \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F}
= \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0
$$

($L'$ tiene primitiva): contradicción. Ni el disco punteado ni la corona son un disco disfrazado.

**Ejercicio 18.6 ★★.**

Sea $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\
\operatorname{Re}f > 0\}$. (a) Demuéstrese que $\mathcal F$ está localmente acotada. *(Compóngase con la aplicación de tipo Cayley $w \mapsto \frac{w -
1}{w + 1}$ que lleva el semiplano derecho a $\mathbb D$, y aplíquese Schwarz.)* (b) Dedúzcase la *cota de Herglotz*: $\abs{f(z)} \leq
\frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ para $f \in \mathcal F$, con sus casos de igualdad.

**Solución de Ejercicio 18.6.**

(a) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ lleva $\{\operatorname{Re}w >
0\}$ [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\mathbb D$ (Cayley rotada: $\abs{w -
1} < \abs{w + 1}$ si y solo si $\operatorname{Re}w > 0$), con $T(1) =
0$. Para $f \in \mathcal F$, $g = T\circ f\colon \mathbb D \to
\mathbb D$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con $g(0) = 0$: Schwarz da $\abs{g(z)} \leq \abs z$.

(b) Invirtiendo $T$: $f = \frac{1 + g}{1 - g}$, de modo que

$$
\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}}
\leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :
$$

localmente acotada (uniformemente en $\abs z \leq r < 1$). La igualdad en $z_0 \neq 0$ obliga a $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ y al alineamiento: $g$ es una rotación, es decir, $f(z) = \frac{1 +
\eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — los *extremales de Herglotz*, aplicaciones conformes sobre el semiplano derecho.

**Ejercicio 18.7 ★★★.**

¿Dónde usa la demostración del [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) cada hipótesis? Sígase la pista de: (i) la [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) simple (dos veces); (ii) $\Omega \neq \C$; (iii) la [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected). Demuéstrese después que el teorema *falla* para $\Omega = \C$ y para la corona, señalando qué paso de la demostración se rompe en cada caso.

**Solución de Ejercicio 18.7.**

(i) La [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) simple interviene exactamente dos veces, a través de la existencia de raíces cuadradas [holomorfas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) de funciones sin ceros (la [Definición 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected)): en el Paso 0 (la raíz de $z - b$) y en el Paso 2 (la raíz de $\varphi_a\circ f$). (ii) $\Omega \neq \C$ proporciona el punto $b$ del Paso 0 — sin él, la familia $\mathcal F$ carece de aplicaciones acotadas inyectivas (Liouville). (iii) La [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) se usa siempre que hablan el principio de identidad o Hurwitz (el [Ejercicio 17.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#exo-b3-residues-8)): el límite extremal es «inyectivo o constante», y la constancia queda excluida por $s > 0$; también en «derivada nula implica constante». Fallo para $\C$: el Paso 0 es imposible, y la conclusión es falsa (el [Ejercicio 18.5](#exo-b3-conformal-5)(a)). Fallo para la corona: no es simplemente [conexa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) — la construcción de la raíz cuadrada se rompe (por ejemplo, la propia $z$, sin ceros en $A$, no tiene raíz cuadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo): el mismo cálculo de índice que en el [Ejercicio 18.5](#exo-b3-conformal-5)(b) con $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$) — y la conclusión también es falsa.

**Ejercicio 18.8 ★★.**

Resuélvase el problema de Dirichlet en $\mathbb D$ para los datos frontera: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$; (b) $g(\eu^{\iu t}) =
\cos^2 t$; (c) $g = \mathbf 1_{\text{semicircunferencia superior}}$ — para (c), calcúlese $u(0)$ e interprétese vía la propiedad del valor medio. *(Desarróllese $g$ en serie de Fourier y úsese la serie de $P_r$: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g)
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$.)*

**Solución de Ejercicio 18.8.**

Sustituyendo el desarrollo de Fourier de $g$ en la integral de Poisson y usando $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t =
r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (léase en la serie de $P_r$): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs
n}\eu^{\iu n\varphi}$, con el intercambio justificado por la convergencia normal ($\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$, $r < 1$).

(a) $g = \cos t$: $c_{\pm1} = \frac12$, de modo que $u =
r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — en efecto armónica y con los valores frontera correctos.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$: $u = \frac12 +
\frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 +
\frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 -
y^2}{2}$.

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (semicircunferencia superior): $c_0 =
\frac12$ y $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ para $n \neq
0$, de modo que

$$
u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0}
\frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1},
\qquad u(0) = \frac12 :
$$

el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) ve exactamente el promedio de los datos frontera — la propiedad del valor medio en persona.

**Ejercicio 18.9 ★★★.**

(Harnack) Sea $u \geq 0$ armónica en $\mathbb D$. Demuéstrese, para $\abs z = r < 1$:

$$
\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\;
\frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)
$$

*(acótese el [núcleo de Poisson](#thm-b3-conformal-poisson) entre $\frac{1-r}{1+r}$ y $\frac{1+r}{1-r}$; aplíquese la [representación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) en discos ligeramente menores y pásese al límite)*. Dedúzcase: una [función armónica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) en $\C$ acotada inferiormente es constante.

**Solución de Ejercicio 18.9.**

A partir de $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$:

$$
\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta)
\leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .
$$

Para $u \geq 0$ armónica en $\mathbb D$ y $s < 1$: $u_s(z) =
u(sz)$ es armónica en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $\bar{\mathbb D}$, luego coincide con su integral de Poisson (el [Teorema 18.12](#thm-b3-conformal-poisson), unicidad, aplicado a sus propios valores frontera); encajonando el núcleo y usando el valor medio $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$:

$$
\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq
\frac{1+r}{1-r}\,u(0).
$$

Hágase $s \to 1^-$ con $r\eu^{\iu\varphi}$ fijo ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $u$): las desigualdades de Harnack. Si $u$ es armónica en $\C$ con $u \geq m$: aplíquese Harnack a $u - m$ en discos $D(0, R)$, es decir, a $z \mapsto u(Rz) - m$: para $z$ fijo y $r =
\abs z/R \to 0$, ambas cotas tienden a $u(0) - m$: $u(z) =
u(0)$ — constante (un Liouville bilátero a partir de una cota unilátera).

**Ejercicio 18.10 ★★.**

Usando la invariancia conforme de la armonicidad ($u\circ f$ es armónica cuando $u$ es armónica y $f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) — demuéstrese localmente vía la [Proposición 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo)), resuélvase el problema de Dirichlet en el semiplano superior con datos frontera $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$: demuéstrese que

$$
u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y)
\qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ en } \mathbb H)
$$

es armónica en $\mathbb H$ (parte imaginaria de un [logaritmo holomorfo](#def-b3-conformal-simplyconnected)) con los límites frontera requeridos en todo $x \neq
0$, y transpórtese al disco por Cayley para volver a deducir [Ejercicio 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c).

**Solución de Ejercicio 18.10.**

Localmente, $u = \operatorname{Re}F$ con $F$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) (la [Proposición 18.11](#prop-b3-conformal-harmonicholo)), de modo que $u\circ f =
\operatorname{Re}(F\circ f)$ es armónica donde esté definida: la armonicidad es [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) invariante. En $\mathbb H$: el logaritmo principal da $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\mathbb H$, de modo que $u = \frac1\pi\arg z =
\operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ es armónica, con límites frontera: para $x > 0$, $\arg \to 0$, $u \to 0$; para $x < 0$, $\arg \to \pi$, $u \to 1$: los datos $\mathbf
1_{\intoo{-\infty}0}$ en todo $x \neq 0$. Transportándola por la [transformación de Cayley](#ex-b3-conformal-mobius) (que envía $\mathbb D \to \mathbb H$ tras una inversión y hace corresponder la semicircunferencia superior con el semieje negativo, salvo la rotación que se fija siguiendo tres puntos frontera), $u\circ(\text{Cayley})$ resuelve el problema en el disco del [Ejercicio 18.8](#exo-b3-conformal-8)(c); evaluando en el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) se recupera allí $u = \frac12$, y la forma cerrada $\frac1\pi\arg$ puede contrastarse con la serie sumando identidades de tipo $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} =
\frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ — la vía elemental hacia la misma respuesta.

**Ejercicio 18.11 ★★.**

(Puntos fijos e iteración en el disco) Sea $f\colon\mathbb
D \to \mathbb D$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). (a) Demuéstrese que si $f$ tiene *dos* puntos fijos distintos, entonces $f = \mathrm{id}$ *(llévese uno a $0$ mediante un automorfismo y aplíquese el caso de igualdad de Schwarz)*. (b) Supóngase $f(0) = 0$ y que $f$ no es una rotación. Demuéstrese que las iteradas $f^{\circ n} \to 0$ uniformemente en todo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\bar D(0, r)$, $r < 1$ *(Schwarz da $\abs{f(z)}
\leq c_r\abs z$ en $\bar D(0,r)$ con $c_r < 1$ — justifíquese esta constante estricta mediante el principio del máximo aplicado a $f(z)/z$)*. (c) Ilústrese con $f(z) = \frac{z^2 + z}2$: puntos fijos y velocidad de convergencia de la [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) de $z_0 =
\frac12$.

**Solución de Ejercicio 18.11.**

(a) Sea $a \neq b$ fijo. Conjugando por $\varphi_a(z) =
\frac{z - a}{1 - \bar az}$ (un automorfismo que intercambia $a$ y $0$), $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ fija $0$ y el punto $c = \varphi_a(b) \neq 0$. Schwarz: $\abs{g(z)} \leq \abs z$, y en $z = c$ se da la igualdad ($g(c) = c$): el caso de igualdad obliga a $g(z) = \lambda z$ con $\abs\lambda = 1$, y $\lambda c = c$ da $\lambda =
1$: $g = \mathrm{id}$, luego $f = \mathrm{id}$.

(b) $h(z) = f(z)/z$ ([singularidad evitable](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-riemanncw) en $0$) es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) en $\mathbb D$ con $\abs h \leq 1$ (Schwarz); $\abs h < 1$ en todas partes, pues en caso contrario el principio del máximo (máximo [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de $\abs h$) haría de $h$ una constante unimodular, es decir, de $f$ una rotación — excluido. En el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\bar D(0,r)$, $c_r = \max\abs h < 1$, de modo que allí $\abs{f(z)} \leq
c_r\abs z$; además, $f$ lleva $\bar D(0,r)$ dentro de sí mismo ($c_r\abs z \leq r$), de modo que la cota itera: $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ uniformemente en $\bar D(0, r)$.

(c) Puntos fijos de $\frac{z^2 + z}2$: $z^2 + z = 2z$ si y solo si $z(z - 1) = 0$; solo $z = 0$ está en $\mathbb D$ ($z = 1$ está en la frontera). No es una rotación ($f'(0) = \frac12$), de modo que las [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) tienden a $0$; cuantitativamente, $f(z) = \frac z2(1 + z)$ da $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ en $\abs z \leq
\frac12$ y, una vez que la [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) es pequeña, $\abs{f(z)} \approx
\frac{\abs z}2$: asintóticamente geométrica de razón $f'(0) = \frac12$. A partir de $z_0 = \frac12$: $z_1 = \frac38$, $z_2 \approx 0.258$, $z_3 \approx 0.162$ — se reduce a la mitad en cada paso, como predice el multiplicador.

**Ejercicio 18.12 ★★.**

(Conjugadas armónicas, en concreto) Sea $u(x, y) = x^3 - 3xy^2
+ 2y$. (a) Compruébese que $u$ es armónica en $\R^2$ y hállense todas las conjugadas armónicas $v$ (es decir, $u + \iu v$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo)) integrando las [ecuaciones de Cauchy–Riemann](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#prop-b3-holomorphic-cauchyriemann); identifíquese $f(z) =
u + \iu v$ como polinomio en $z$. (b) Demuéstrese que en un abierto *estrellado* toda [función armónica](#prop-b3-conformal-harmonicholo) admite una conjugada armónica, única salvo constante aditiva *(la $1$-forma $-u_y\,\dd x +
u_x\,\dd y$ es cerrada; la maquinaria de primitivas del [Teorema 16.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-cauchy), o el lema de Poincaré del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/21-formas-diferenciales-y-teorema-de-stokes#ch-b3-forms))*. (c) Dese el contraejemplo estándar en $\C^*$: $u = \ln\abs z$ no tiene conjugada global — relaciónese con la forma angular y el índice ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/21-formas-diferenciales-y-teorema-de-stokes#ch-b3-forms)).

**Solución de Ejercicio 18.12.**

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$. Cauchy–Riemann exige $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ y $v_x = -u_y = 6xy - 2$. Integrando la primera en $y$: $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$; sustituyendo en la segunda: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$, de modo que $c(x)
= -2x + C$. Así, $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ y

$$
f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3)
+ 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .
$$

(b) La forma $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ es cerrada precisamente porque $\Delta u = 0$ ($\partial_y(-u_y) =
-u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$). En un abierto estrellado, el lema de Poincaré (el [Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/21-formas-diferenciales-y-teorema-de-stokes#thm-b3-forms-poincare); o la construcción de primitivas del [Teorema 16.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-cauchy) aplicada a la [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $u_x - \iu u_y$) proporciona $v$ con $\dd v = \omega$, es decir, el sistema de Cauchy–Riemann: $u + \iu v$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Dos conjugadas difieren en una función de gradiente nulo: una constante ([conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected)).

(c) Para $u = \ln\abs z$ en $\C^*$: $\omega = -u_y\dd x +
u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\omega_\theta$, la forma angular (el [Ejemplo 21.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/21-formas-diferenciales-y-teorema-de-stokes#ex-b3-forms-angular)), cuya integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$: no es exacta, de modo que no existe conjugada global — una conjugada sería una determinación [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) del argumento, y el índice es exactamente la obstrucción. Localmente (en cualquier subdominio estrellado) sirve $v =
\arg z$ y $u + \iu v = \log z$: el fallo es global, no local.

## 18.7 Problema: el teorema del área y el teorema del cuarto de Koebe

**Problema 18.1.**

Problema de fin de semana — ¿cuánto ha de cubrir una aplicación univalente?

Una función *univalente* es una inyección [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo). Las funciones univalentes normalizadas en el disco,

$$
\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{
injective},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},
$$

están rígidamente constreñidas: demostraremos la desigualdad de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ y deduciremos el *teorema del cuarto de Koebe*: la imagen de cualquier $f \in \mathcal S$ contiene el disco $D(0, \frac14)$ — la constante universal óptima de la geometría conforme.

**Parte I — El teorema del área.** Sea $g(w) = w
+ b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e *inyectiva* en $\{\abs w > 1\}$.

1. Para $\rho > 1$, sea $A_\rho$ el área ([medida de Lebesgue](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-lebesgueouter)) del [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K_\rho = \C\setminus  g(\{\abs w > \rho\})$, la región encerrada por la curva de Jordan regular $g(C_\rho)$. Usando la fórmula del área del teorema de Green–Riemann del volumen de segundo año — el área encerrada es $\frac1{2\iu}  \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ a lo largo de la frontera orientada positivamente —, demuéstrese que $$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho}  \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w  = \pi\Bigl(\rho^2 -  \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$$ sustitúyanse las [series de Laurent](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#thm-b3-residues-laurent) de $\bar g$ y $g'$ en $C_\rho$ e intégrese término a término (convergencia normal; solo sobreviven los productos de frecuencia cero).
2. Hágase $\rho \to 1^+$ y conclúyase el *teorema del área*: $$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$$ En particular, $\abs{b_1} \leq 1$. ¿Cuándo se da $\abs{b_1}  = 1$?

**Parte II — El $\abs{a_2} \leq
2$ de Bieberbach.** Sea $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$.

3. Demuéstrese que $f(z^2)/z^2$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y sin ceros en $\mathbb D$ , y admite una raíz cuadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ ; póngase $h(z) =  z\varphi(z^2)$ , de modo que $h(z)^2 = f(z^2)$ . Demuéstrese que $h$ es una función univalente *impar* en $\mathbb  D$ con desarrollo $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 +  \cdots$ . *(Inyectividad: $h(z)^2 = h(z')^2$ obliga a $z^2 = z'^2$; termínese usando la imparidad.)*
4. Aplíquese el teorema del área a $g(w) = 1/h(1/w) = w -  \frac{a_2}{2w} + \cdots$ en $\{\abs w > 1\}$ (verifíquense la univalencia y el desarrollo) y conclúyase $\abs{a_2} \leq 2$ .
5. Demuéstrese que la *función de Koebe* $$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$$ pertenece a $\mathcal S$, tiene $a_2 = 2$ y lleva $\mathbb D$ sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ *(escríbase $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 -  z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ y sígase el rastro de las imágenes)*: todas las desigualdades que siguen son óptimas.

**Parte III — El teorema del cuarto.**

6. Sean $f \in \mathcal S$ y $c \notin f(\mathbb D)$. Demuéstrese que $$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$$ pertenece a $\mathcal S$, y calcúlese su segundo coeficiente: $A_2 = a_2 + \frac1c$.
7. Aplíquese Bieberbach a $f$ y a $F$ : conclúyase $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , es decir, $\abs c \geq \frac14$ . *Todo valor omitido tiene módulo $\geq \frac14$* : $f(\mathbb D) \supseteq  D(0, \frac14)$ — el teorema del cuarto de Koebe. Compruébese la optimalidad en la función de Koebe.
8. Dedúzcase una estimación cuantitativa para la aplicación de Riemann: si $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ es la aplicación de Riemann del [Teorema 18.9](#thm-b3-conformal-rmt) en $z_0$, entonces $$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4}  \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\;  4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$$ — demuéstrese al menos la desigualdad izquierda aplicando Koebe a $\varphi^{-1}$ convenientemente normalizada, y la derecha aplicando Schwarz a $\varphi$ en el disco $D(z_0, d) \subseteq \Omega$.

**Parte IV — Perspectiva.**

9. Bieberbach conjeturó (1916) que $\abs{a_n} \leq n$ para todo $n$, con igualdad solo para las rotaciones de la función de Koebe; de Branges lo demostró en 1985. Verifíquese la conjetura a mano para la función de Koebe y sus rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$. Llévese después el desarrollo de la pregunta 4 un término más allá: escribiendo $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$, demuéstrese $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ y $$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} +  \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} +  \cdots ,$$ de modo que el teorema del área produce la desigualdad afinada $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 -  \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$. Compruébese en la función de Koebe ($a_2 = 2$, $a_3 = 3$).

**Parte V — El teorema de distorsión.** La desigualdad de Bieberbach, transportada por los automorfismos a todo el disco, controla $f'$ en todas partes. Fíjese $f \in \mathcal
S$.

10. (Transformada de Koebe) Para $z_0 \in \mathbb D$, sea $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$, un automorfismo del disco (el [Teorema 18.5](#thm-b3-conformal-autdisc)) con $\varphi(0) = z_0$. Demuéstrese que $$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)}  {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$$ pertenece a $\mathcal S$ *(la univalencia se hereda; calcúlese $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ y compruébese la normalización; recuérdese $f' \neq 0$ para $f$ inyectiva, [Definición 18.1](#def-b3-conformal-conformal))*.
11. Calcúlese el segundo coeficiente $A_2 = \frac12F''(0)$ de $F$: $$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)  \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$$ y dedúzcase de Bieberbach (pregunta 4), para $z =  r\eu^{\iu\theta}$, la *desigualdad fundamental*: $$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} -  \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr|  \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$$
12. Extráigase la parte real: $$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\;  \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr)  \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$$
13. Demuéstrese que $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|  f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t  \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ en $z = t\eu^{\iu\theta}$ *(para una función $\mathcal C^1$ no nula $g$ de variable real, $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g =  \operatorname{Re}(g'/g)$)*, e intégrense las cotas de la pregunta 12 a lo largo del radio para obtener el *teorema de distorsión*: $$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)}  \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3},  \qquad \abs z = r .$$
14. Dedúzcase el *teorema de crecimiento*: $$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\;  \frac{r}{(1 - r)^2},  \qquad \abs z = r$$ *(cota superior: intégrese $f'$ en el segmento $[0, z]$; cota inferior: si $\abs{f(z)} < \frac14$, el segmento $[0, f(z)]$ está contenido en $f(\mathbb D)$ por la pregunta 7; tírese de él hacia atrás por $f^{-1}$ — [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) por el [Corolario 17.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#cor-b3-residues-openmapping) — y acótese $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}  \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 +  t)^3}\,\dd t$, usando $\abs{\dd\zeta} \geq  \dd\abs\zeta$)*.
15. Verifíquese que la función de Koebe alcanza la igualdad en las cuatro cotas, en $z = r$ para las superiores y en $z = -r$ para las inferiores: $k$ es simultáneamente el miembro más dilatador de $\mathcal S$ y, en el antípoda, el más contractivo.

**Parte VI — Rigidez extremal.** En todas las desigualdades vistas hasta ahora, la igualdad identifica la función de Koebe salvo rotación. Vamos a demostrarlo y luego a cosechar.

16. Supóngase que $f \in \mathcal S$ tiene $\abs{a_2} = 2$. Persíguese la igualdad a través de las preguntas 2–4: el teorema del área obliga a $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$; la imparidad de $h$ hace $g$ impar, de modo que $b_0 = 0$; inviértase para hallar $h$ y después $f$, y conclúyase que $$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr)  \quad\text{con } \eu^{\iu\theta} =  -\eu^{\iu\alpha} :$$ las rotaciones de la función de Koebe son los únicos miembros de $\mathcal S$ con $\abs{a_2} = 2$.
17. Demuéstrese que si $f \in \mathcal S$ omite un valor $c$ con $\abs c = \frac14$ exactamente, entonces $f$ es una rotación de la función de Koebe, e identifíquese $c =  -\eu^{-\iu\theta}/4$ *(síganse las igualdades por la cadena $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2}  \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ de la pregunta 7)* : la constante del teorema del cuarto solo se alcanza en la familia extremal.
18. (Coeficientes a bajo precio) Combínese el teorema de crecimiento con las [estimaciones de Cauchy](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) (el [Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)) en la circunferencia $\abs z = 1 - \frac1n$ para demostrar $$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$$ (De Branges, 1985: $\abs{a_n} \leq n$; el factor $\eu n$ es el precio de las herramientas elementales.)
19. (Recubrimiento de subdiscos) Demuéstrese que para todo $0 < r <  1$, $$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq  D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$$ óptimo para la función de Koebe, y recupérese el teorema del cuarto como $r \to 1^-$. *(Los puntos frontera de la imagen abierta $f(D(0,r))$ están en $f(\partial D(0,r))$, luego tienen módulo $\geq  \frac{r}{(1+r)^2}$ por la pregunta 14; un segmento de $0$ a un punto omitido de módulo menor tendría que cruzar esa frontera.)*
20. (Koebe en todo punto) Sea $f$ univalente en $\mathbb D$, no necesariamente normalizada, y $z_0  \in \mathbb D$. Demuéstrese $$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}  \;\leq\;  d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr)  \;\leq\;  \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$$ *(izquierda: teorema del cuarto aplicado a la transformada de Koebe de la pregunta 10; derecha: Schwarz (el [Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) aplicado a $\psi^{-1}\circ\hat g$, donde $\hat g(w) =  f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$, siendo $d$ la distancia y $\psi$ un automorfismo del disco que lleva $0$ a $z_0$)*. ¿Por qué no es vacío $\partial f(\mathbb D)$?
21. Compruébese la pregunta 20 en $f = k$ en $z_0 = r \in  \intoo01$ : calcúlese $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb  D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ y verifíquese que la desigualdad izquierda es una *igualdad* : la función de Koebe satura su propio teorema en todo punto de $\intoo01$ .
22. (La moraleja) En diez líneas: ¿qué principio único subyace al teorema del área, y cómo brotan de él Bieberbach, el teorema del cuarto, la distorsión, el crecimiento y el recubrimiento? Compárese con el mundo de Schwarz–Pick del [Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz) : en ambos, una sola desigualdad [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) rigidifica toda la geometría, y los extremales son únicos salvo rotación.

**Parte VII — [Compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), inversas y una comprobación con la realidad.**

23. Demuéstrese que la clase $\mathcal S$ es *compacta* para la convergencia localmente uniforme: está localmente acotada por el teorema de crecimiento, luego es normal (el [Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel) ); y un límite localmente uniforme de miembros de $\mathcal S$ vuelve a estar en $\mathcal S$ *(las normalizaciones pasan al límite por la convergencia de Weierstrass de las derivadas; la inyectividad sobrevive por Hurwitz, el [Ejercicio 17.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#exo-b3-residues-8), al no ser constante el límite)* . ¿Por qué importa esto para problemas extremales como el de Bieberbach?
24. Para $f \in \mathcal S$ , sea $g = f^{-1}$ , definida cerca de $0$ . Demuéstrese que $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ , de modo que el segundo coeficiente de la inversa obedece la misma cota óptima $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ , con igualdad exactamente para las funciones de Koebe rotadas.
25. Determínese para qué $a \in \C$ el polinomio $f(z)  = z + az^2$ pertenece a $\mathcal S$ : demuéstrese que $f$ es inyectivo en $\mathbb D$ si y solo si $\abs a \leq \frac12$ *(factorícese $f(z_1) - f(z_2)$)* . Conclúyase: para los polinomios de grado dos, la cota verdadera de los coeficientes es $\frac12$ , cuatro veces menor que el $2$ de Bieberbach — los extremales de $\mathcal S$ son objetos genuinamente trascendentes, y ningún polinomio se les acerca.

**Solución de Problema 18.1.**

**1.** $g$ es inyectiva y [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo); en $C_\rho$ ($\rho > 1$) es regular, y el área encerrada es $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (la fórmula del área de Green–Riemann de segundo año, aplicada con orientación positiva). Sustituyendo $\zeta = g(w)$, $w =
\rho\eu^{\iu\theta}$:

$$
A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd
w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})}
\,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .
$$

Insértense $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 +
\sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ y $g' = 1 -
\sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$: tras multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$, solo los productos de frecuencia cero sobreviven a la integración en $\theta$ (la convergencia normal justifica el trabajo término a término): el par $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ aporta $2\pi\rho$, y cada par $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu
n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ aporta $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$:

$$
A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.
$$

**2.** Las áreas son no negativas: $\sum_{n\leq
N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ para todo $N$; hágase $\rho \to 1^+$ y después $N \to \infty$: $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$. La igualdad en $\abs{b_1}
\leq 1$ obliga a que todos los demás $b_n = 0$: $g(w) = w + b_0 +
\eu^{\iu\alpha}/w$, que aplica sobre el complementario de un segmento de longitud $4$ (una aplicación de tipo Joukowski): los extremales.

**3.** $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) y sin ceros en $\mathbb D$ ($f$ solo se anula en $0$, y simplemente: inyectividad), luego también lo es $f(z^2)/z^2$, que tiene una raíz cuadrada [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ (la [Definición 18.8](#def-b3-conformal-simplyconnected); $\mathbb D$ es convexo). Entonces $h(z) = z\varphi(z^2)$ cumple $h^2 =
f(z^2)$, $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (serie binómica de la raíz), y $h(z) = z\varphi(z^2)$ es impar por construcción ($\varphi(z^2)$ es par). Inyectividad: $h(z) = h(z')$ da $f(z^2) =
f(z'^2)$, de modo que $z^2 = z'^2$, es decir, $z' = \pm z$; si $z' = -z$, la imparidad da $h(z) = -h(z)$, de modo que $h(z) = 0$, lo que fuerza $z
= 0$ ($\varphi$ sin ceros): $z = z' = 0$.

**4.** $g(w) = 1/h(1/w)$: para $\abs w > 1$, $1/w \in
\mathbb D\setminus\{0\}$ y allí $h \neq 0$: bien definida, inyectiva (composición de inyecciones), con desarrollo

$$
g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} +
\cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :
$$

de la forma de la Parte I con $b_1 = -\frac{a_2}2$. El teorema del área da $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$: $\abs{a_2} \leq 2$.

**5.** $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m +
1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$: coeficientes $a_n = n$, de modo que $a_2 =
2$. Univalencia e imagen: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ con $w = \frac{1 + z}{1 - z}$, una [aplicación conforme](#def-b3-conformal-conformal) de $\mathbb D$ sobre el semiplano derecho; $w^2$ lleva ese semiplano [conformemente](#def-b3-conformal-conformal) sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}0$; después $\frac{\cdot - 1}4$ da $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$: inyectiva en cada etapa, con la imagen anunciada.

**6.** $F = \frac{cf}{c - f}$: como $c \notin f(\mathbb
D)$, el denominador no se anula nunca: $F$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) e inyectiva ($w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ es de Möbius, inyectiva fuera de $w = c$). Desarrollo: con $f = z + a_2z^2 + \cdots$,

$$
F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 +
\frac zc\Bigr) + O(z^3)
= z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):
$$

$F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 + \frac1c$.

**7.** Bieberbach dos veces: $\abs{a_2} \leq 2$ y $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$, de modo que $\abs{\frac1c} \leq 4$: $\abs c \geq \frac14$. Todo valor omitido queda fuera de $D(0,\frac14)$, i.e. $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$. Óptimo: la función de Koebe omite $-\frac14$ (pregunta 5).

**8.** Sean $d = d(z_0, \partial\Omega)$ y $\psi =
\varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$, $\psi(0) = z_0$, $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$. La normalización $\tilde
f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ está en $\mathcal S$, de modo que su imagen contiene $D(0, \frac14)$; deshaciendo la escala, $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0,
\tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$, luego $d \geq \frac{\psi'(0)}4 =
\frac1{4\varphi'(z_0)}$: la desigualdad izquierda. Para la derecha: $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ lleva $\mathbb D$ dentro de $\mathbb D$ con $0 \mapsto 0$; Schwarz acota su derivada en $0$: $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$, es decir, $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — y juntas

$$
d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .
$$

(La desigualdad izquierda tal como aparece en el enunciado es la misma cadena reordenada.)

**9.** Para la función de Koebe $a_n = n$: igualdad en toda la conjetura; sus rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum
n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ tienen también $\abs{a_n} = n$. Llevando la pregunta 4 más lejos: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ con $h^2 = f(z^2)$; comparando los coeficientes de $z^6$: $2c_5 +
\frac{a_2^2}4 = a_3$, de modo que $c_5 = \frac{a_3}2 -
\frac{a_2^2}8$. Entonces

$$
g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} +
\Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr)
= w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,
$$

y el teorema del área ($\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$) produce

$$
\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 -
\frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .
$$

Comprobación con Koebe ($a_2 = 2$, $a_3 = 3$): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ y $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$: total exactamente $1$ — extremal, como debía ser.

**10.** $\varphi$ es un automorfismo del disco con $\varphi(0) = z_0$, de modo que $f\circ\varphi$ es univalente en $\mathbb D$ (composición de inyecciones), y $f'(z_0) \neq
0$ (la [Definición 18.1](#def-b3-conformal-conformal)): $F$ está bien definida y es univalente. $F(0) = 0$. Regla del cociente:

$$
\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0}
{(1 + \bar z_0z)^2}
= \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2},
\qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,
$$

de modo que $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ y $F'(0) = 1$: $F \in \mathcal S$.

**11.** Con $G = f\circ\varphi$: $G'' =
f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$, y $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar
z_0z)^{-3}$ da $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 -
\abs{z_0}^2)$. Por tanto,

$$
A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)}
= \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)
\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .
$$

Bieberbach para $F$ (pregunta 4): $\abs{A_2} \leq 2$, es decir, $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar
z_0\bigr| \leq 4$. Multiplíquese todo por $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$, cuyo módulo es $r/(1 - r^2)$ para $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$, y úsese $z_0\bar
z_0 = r^2$:

$$
\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} -
\frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .
$$

**12.** Un número complejo a distancia $\rho$ del punto real $c$ tiene parte real en $\intcc{c - \rho}{c +
\rho}$: aplíquese esto a $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$, $\rho =
\frac{4r}{1-r^2}$.

**13.** Para $\mathcal C^1$ $g$ no nula: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$, de modo que $\frac{\dd}{\dd
t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} =
\operatorname{Re}\frac{g'}g$. Con $g(t) =
f'(t\eu^{\iu\theta})$ (sin ceros: univalencia), $g'(t) =
\eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$, de modo que en $z =
t\eu^{\iu\theta}$:

$$
\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr|
= \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta}
\frac{f''}{f'}\Bigr)
= \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr)
\in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\
\frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]
$$

por la pregunta 12 con radio $t$. Como $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} =
\frac{2t+4}{1-t^2}$ y $\frac{\dd}{\dd
t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} =
\frac{2t-4}{1-t^2}$, integrando de $0$ a $r$ (las tres funciones se anulan en $t = 0$, $f'(0) = 1$) se obtiene

$$
\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq
\log\frac{1+r}{(1-r)^3} :
$$

el teorema de distorsión, tras exponenciar.

**14.** Superior: a lo largo del segmento $[0, z]$,

$$
\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta})
\eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr|
\leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t
= \frac{r}{(1-r)^2}
$$

($\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$). Inferior: obsérvese que $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ para $r < 1$ (dice $(1-r)^2 > 0$), de modo que si $\abs{f(z)} \geq \frac14$ no hay nada que demostrar. En caso contrario, el segmento $[0, f(z)]$ está contenido en $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (pregunta 7), y $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ es un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) $\mathcal C^1$ de $0$ a $z$ en $\mathbb D$ ($f^{-1}$ [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo), el [Corolario 17.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#cor-b3-residues-openmapping)). Sustituyendo $w =
f(\zeta)$,

$$
\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w}
= \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta}
\geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}
\,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s
$$

con $\rho = \abs\gamma$, usando la cota inferior de distorsión con radio $\rho(s)$. Como $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (donde esté definida; $\rho$ es lipschitziana) y el factor del integrando es positivo,

$$
\abs{f(z)} \geq \int_0^1
\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s
= \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u
= \frac{r}{(1 + r)^2}
$$

($\rho(0) = 0$, $\rho(1) = r$; la sustitución solo usa una primitiva, $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} =
\frac{1-u}{(1+u)^3}$, no la monotonía).

**15.** $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} =
\frac{1 + z}{(1 - z)^3}$. En $z = r$: $k'(r) =
\frac{1+r}{(1-r)^3}$ y $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — ambas cotas superiores alcanzadas. En $z = -r$: $k'(-r) =
\frac{1-r}{(1+r)^3}$ y $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — ambas cotas inferiores alcanzadas. La función de Koebe estira su semieje positivo al máximo hacia la frontera lejana y comprime al máximo el radio antipodal hacia la punta de su corte.

**16.** $\abs{a_2} = 2$ significa $\abs{b_1} = 1$ para $g(w)
= 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (pregunta 4); el teorema del área $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ mata entonces todos los demás coeficientes: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ con $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$. Como $h$ es impar, $g(-w) =
1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$: $g$ es impar, de modo que $b_0 = 0$. Invirtiendo, $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 +
\eu^{\iu\alpha}z^2}$, y $f(z^2) = h(z)^2$ da

$$
f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2}
= \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2}
= \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr),
\qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .
$$

Recíprocamente, cada rotación tiene $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ de módulo $2$: los extremales de Bieberbach son exactamente las funciones de Koebe rotadas.

**17.** Si $c$ se omite con $\abs c = \frac14$: la pregunta 6 da $F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 +
\frac1c$, de modo que $\frac1c = A_2 - a_2$ y

$$
4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2}
\leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :
$$

con igualdad en toda la cadena, en particular $\abs{a_2} = 2$. Por la pregunta 16, $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$, cuyo conjunto omitido es $\eu^{-\iu\theta}
\intoc{-\infty}{-\frac14}$: el único valor omitido de módulo $\frac14$ es $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$. (Comprobación: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ y $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$, de modo que $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$: la desigualdad triangular queda saturada por antialineamiento, como debía.)

**18.** Las [estimaciones de Cauchy](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic) en la circunferencia $\abs z =
r$ (el [Teorema 16.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#thm-b3-holomorphic-analytic)), combinadas con el teorema de crecimiento, dan

$$
\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f
\leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .
$$

Tómese $r = 1 - \frac1n$ ($n \geq
2$): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (sucesión creciente de límite $\eu$) y $(1 - r)^{-2} =
n^2$: $\abs{a_n} < \eu\,n^2$.

**19.** $U = f(D(0, r))$ es abierto (el [Corolario 17.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#cor-b3-residues-openmapping)) y contiene $0$. Frontera: si $p \in \partial U$, escríbase $p = \lim f(z_k)$ con $z_k \in D(0, r)$; una subsucesión da $z_k \to z_\infty
\in \bar D(0, r)$, y $f(z_\infty) = p \notin U$ obliga a $z_\infty \in \partial D(0, r)$: $\partial U \subseteq
f(\partial D(0, r))$, de modo que todo punto frontera de $U$ tiene módulo $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (pregunta 14). Sean ahora $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ y supóngase $w \notin U$. El segmento $[0, w]$ es [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected), corta $U$ (en $0$) y su complementario (en $w$), de modo que corta $\partial U$; pero todos sus puntos tienen módulo $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$: contradicción. Luego $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr)
\subseteq U$. Optimalidad: $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ es la imagen de un punto frontera de $D(0,r)$, y $k$ es inyectiva, de modo que $k(-r) \notin k(D(0, r))$: el radio no puede aumentarse. Cuando $r \to 1^-$, $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$: el teorema del cuarto para el disco [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

**20.** Primero, $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$: en caso contrario $f(\mathbb D)$, abierto, cerrado y no vacío, sería todo $\C$, y $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ sería una función entera acotada no constante, en contra del [Corolario 16.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#cor-b3-holomorphic-liouville). Desigualdad izquierda: la transformada de Koebe $F$ de la pregunta 10 está en $\mathcal S$ y $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) -
f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$; por la pregunta 7 contiene $D(0, \frac14)$, de modo que

$$
f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\
\tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,
$$

y todo punto de $\partial f(\mathbb D)$ — disjunto del abierto $f(\mathbb D)$ — está a distancia $\geq
\frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ de $f(z_0)$. Desigualdad derecha: sea $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) <
\infty$. El disco $D(f(z_0), d)$ está contenido en $f(\mathbb D)$: un segmento de $f(z_0)$ a cualquiera de sus puntos permanece a distancia $< d$ de $f(z_0)$, de modo que nunca corta $\partial f(\mathbb D)$, y el argumento de [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) de la pregunta 19 lo mantiene en $f(\mathbb D)$. Entonces $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ lleva $\mathbb D$ dentro de $\mathbb D$ con $\hat g(0) = z_0$, y $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$, con $\psi(z) = \frac{z +
z_0}{1 + \bar z_0z}$, fija $0$: Schwarz (el [Teorema 18.4](#thm-b3-conformal-schwarz)) da $\abs{\chi'(0)}
\leq 1$. Como $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} =
\frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$, esto es $d \leq (1 -
\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$.

**21.** $k(\mathbb D) = \C\setminus
\intoc{-\infty}{-\frac14}$, de modo que $\partial k(\mathbb D) =
\intoc{-\infty}{-\frac14}$, y para el punto real positivo $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ el punto frontera más próximo es $-\frac14$:

$$
d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2}
= \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .
$$

Miembro izquierdo de la pregunta 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) =
\frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} =
\frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$: igualdad. (El miembro derecho vale $4d$: el factor [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) $4$ separa ambos lados, y la función de Koebe se sitúa exactamente en el fondo.)

**22.** El principio único es [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval): la univalencia prohíbe los solapamientos, de modo que el área del complementario de la imagen de $\{\abs w > \rho\}$, desarrollada en modos de Fourier sobre circunferencias, es no negativa — el teorema del área es una identidad $L^2$ con un signo. Todo lo demás es esa desigualdad transportada: una raíz cuadrada (pregunta 3) la convierte en $\abs{a_2} \leq 2$; una reflexión de Möbius respecto de un valor omitido (pregunta 6) convierte $\abs{a_2} \leq 2$ en el teorema del cuarto; los automorfismos del disco (pregunta 10) extienden $\abs{a_2}
\leq 2$ a todo el disco como teorema de distorsión; la integración radial convierte la distorsión en crecimiento, y el crecimiento en recubrimiento. En cada etapa se propaga también el caso de igualdad, y siempre aterriza en las funciones de Koebe rotadas — una sola familia extremal para toda la teoría, igual que las rotaciones son los únicos extremales del lema de Schwarz. Una desigualdad [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior), más la rigidez de su caso de igualdad, gobierna toda la geometría: la [representación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) conforme es el arte de explotar tales desigualdades.

**23.** El teorema de crecimiento acota $\abs f \leq
\frac{r}{(1-r)^2}$ uniformemente en cada $\bar D(0, r)$, $r <
1$, para todas las $f \in \mathcal S$ a la vez: localmente acotada, de modo que $\mathcal S$ es una familia normal (el [Teorema 18.7](#thm-b3-conformal-montel)). Si $f_n \in \mathcal S \to
f$ localmente uniformemente: $f$ es [holomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#def-b3-holomorphic-holo) con $f_n' \to f'$ localmente uniformemente (Weierstrass), de modo que $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$ — en particular, $f$ no es constante — y Hurwitz (el [Ejercicio 17.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#exo-b3-residues-8)) hace inyectivo el límite de aplicaciones inyectivas: $f \in \mathcal S$. Un funcional [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (como $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$) sobre una clase compacta *alcanza* su supremo: las funciones extremales existen antes de saber cuáles son — el punto de partida de todo ataque variacional a los problemas de coeficientes, el de Bieberbach incluido.

**24.** Escríbase $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ y compóngase:

$$
z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3)
= z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),
$$

de modo que $A_2 = -a_2$ y $\abs{A_2} \leq 2$ (Bieberbach), con igualdad si y solo si $\abs{a_2} = 2$, es decir, si y solo si $f$ es una función de Koebe rotada (pregunta 16) — y entonces $g$ es la inversa correspondiente, definida en el plano hendido.

**25.** $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 +
z_2)\bigr)$. Si $\abs a \leq \frac12$: para $z_1 \neq z_2$ en $\mathbb D$, $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (estricto: $\abs{z_1 + z_2} < 2$), de modo que el segundo factor no puede anularse: inyectiva, y $f \in \mathcal S$ (las normalizaciones están incorporadas). Si $\abs a > \frac12$: el punto $s =
-\frac1a$ cumple $\abs s < 2$, de modo que $z_{1,2} = \frac s2 \pm
\varepsilon$ están en $\mathbb D$ para $\varepsilon > 0$ pequeño, son distintos, y $z_1 + z_2 = s$ mata el factor: $f(z_1)
= f(z_2)$, no inyectiva. Así, $\mathcal S$ contiene $z +
az^2$ exactamente para $\abs a \leq \frac12$. La cota de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ queda, pues, salvajemente sin saturar por los polinomios de grado $2$ — los coeficientes $a_n = n$ de la función de Koebe provienen de una serie infinita que conspira a lo largo del radio omitido, comportamiento que ningún polinomio (que solo pertenece a $\mathcal S$ con coeficientes minúsculos) puede imitar.