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title: "Subvariedades de ℝn"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn
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# Capítulo 20 — Subvariedades de ℝn

Esferas, toros, grupos de rotaciones: los hábitats naturales de la geometría y la mecánica no son espacios vectoriales, sino *conjuntos curvos que de cerca parecen planos*. Este capítulo da a esa frase un sentido preciso — las subvariedades de $\R^n$ — y el cálculo para trabajar sobre ellas. El cimiento es el teorema de la función inversa, demostrado aquí con el punto fijo de Banach; todo lo demás es cambio de coordenadas: las cuatro descripciones equivalentes de una subvariedad (enderezamiento local, conjuntos de nivel, grafos, parametrizaciones), los [espacios tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent) y la optimización con restricciones por [multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — que, como demostración de despedida, vuelve a demostrar el teorema espectral para matrices simétricas en tres líneas de geometría. El problema de fin de semana construye el grupo de rotaciones $SO(3)$ y su recubrimiento doble cuaterniónico: el álgebra (el $Q_8$ del [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ch-b3-groups), ya crecido) encontrándose con la geometría.

## 20.1 El teorema de la función inversa

**Teorema 20.1 (Teorema de la función inversa).**

Sean $U \subseteq \R^n$ abierto, $f \colon U \to \R^n$ de clase $\mathcal C^1$ y $a \in U$ con $Df(a)$ invertible. Entonces existen abiertos $V \ni a$, $W \ni f(a)$ tales que $f \colon V \to W$ es una biyección de inversa $\mathcal C^1$, y

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

Si $f$ es $\mathcal C^k$, también lo es $f^{-1}$.

**Demostración.** Normalicemos: sustituyendo $f$ por $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a +
x) - f(a)\bigr)$, podemos suponer $a = 0$, $f(0) = 0$, $Df(0) =
I$ (el enunciado general se sigue componiendo con las biyecciones afines). Escríbase $f(x) = x + g(x)$: $Dg(0) = 0$ y, por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $Dg$, elíjase $r > 0$ con $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ en $\bar B(0, r)$; la desigualdad del valor medio da allí $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12
\norm{x - x'}$.

*Biyectividad sobre un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology).* Para $y \in B(0,
\frac r2)$, resolver $f(x) = y$ significa hallar un punto fijo de $\Phi_y(x) = y - g(x)$; $\Phi_y$ lleva $\bar B(0, r)$ en sí mismo ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) y es $\frac12$-lipschitziana: Banach (el [Teorema 7.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) da una única solución $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$. Además, $f$ es inyectiva en $\bar B(0,r)$:

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

Póngase $W = B(0, \frac r2)$ y $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$: abierto ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)), con $f \colon V \to W$ biyectiva.

*[Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y diferenciabilidad de la inversa.* $(*)$ dice que $\varphi = f^{-1}$ es $2$-lipschitziana. Fíjese $y_0 = f(x_0)
\in W$; la invertibilidad de $A = Df(x_0)$ (su distancia a $I$ es $\leq \frac12$: Neumann, la [Proposición 8.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#prop-b3-banach-neumann)) y la diferenciabilidad de $f$ dan, para $y = f(x)$ próximo a $y_0$:

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

usando $(*)$ para convertir $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$: $\varphi$ es diferenciable en $y_0$ con la diferencial inversa. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$: composición de aplicaciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (la inversión es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), [Proposición 8.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#prop-b3-banach-neumann)): $\varphi \in \mathcal C^1$; y reiterando la misma fórmula se obtiene $\mathcal C^k$. ∎

**Teorema 20.2 (Teorema de la función implícita).**

Sea $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ de clase $\mathcal C^1$ cerca de $(a, b)$, con $F(a,b) = 0$, y supóngase que la diferencial parcial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ es invertible. Entonces existen [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) $A \ni a$, $B \ni b$ y una aplicación $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ con

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

y $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$.

**Demostración.** Aplíquese el [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) a $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$: su diferencial en $(a,b)$, triangular por bloques con bloques diagonales invertibles $I$ y $D_yF$, es invertible. La inversa local tiene la forma $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$; póngase $\psi(x) = h(x, 0)$: entonces, localmente, $F(x, y) = 0$ si y solo si $\Theta(x,y) = (x, 0)$ si y solo si $y = \psi(x)$. La fórmula: derívese $F(x, \psi(x)) = 0$ por la regla de la cadena. ∎

## 20.2 Subvariedades: cuatro definiciones

**Teorema 20.3 (Caracterizaciones equivalentes).**

Sean $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$ y $k \geq
1$. Son equivalentes, para cada punto $a \in M$ (y $M$ es una *subvariedad de dimensión $d$ y clase $\mathcal C^k$* si se cumplen en todo $a
\in M$):

1. (*Enderezamiento*) Existe un difeomorfismo $\mathcal C^k$ $\Phi$ de un abierto $\Omega \ni a$ sobre un abierto $\Omega' \subseteq \R^n$ con $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *Conjunto de nivel* ) Existe una *sumersión* $\mathcal C^k$ $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (es decir, con $DF(x)$ sobreyectiva) en un abierto $\Omega \ni a$ con $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
3. ( *Grafo* ) Salvo permutación de coordenadas, $M$ es localmente el grafo de una aplicación $\mathcal C^k$ $\psi  \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
4. ( *Parametrización* ) Existe una *inmersión* $\mathcal C^k$ $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^n$ ( $D\varphi(u)$ inyectiva) con $A$ abierto, siendo $\varphi$ un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $A$ sobre $M \cap  \Omega$ para cierto abierto $\Omega \ni a$ .

**Demostración.** (1)$\Rightarrow$(2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (últimas coordenadas de $\Phi$): una sumersión ($D\Phi$ invertible). (2)$\Rightarrow$(3): $DF(a)$ sobreyectiva: algún menor $q \times q$ del jacobiano es invertible ($q = n - d$); tras permutar coordenadas, $D_yF(a)$ es invertible, y el teorema de la función implícita (el [Teorema 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) expresa $M$ localmente como un grafo $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: una inmersión (diferencial $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ inyectiva) y un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre el grafo (inversa: la proyección, [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)). (4)$\Rightarrow$(1): sea $\varphi(u_0) = a$; complétese $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ con un suplementario $E$ ($\dim E = n - d$) y defínase $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ en $A\times E$: $D\Theta(u_0, 0)$ es biyectiva (su imagen contiene $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ y $E$), de modo que $\Theta$ es un difeomorfismo local (el [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)); su inversa $\Phi$ endereza: cerca de $a$, los puntos de $M$ son exactamente los $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — para ello, la hipótesis de [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en (4) garantiza que $M\cap\Omega$, para $\Omega$ pequeño, no contiene otras hojas (hay que excluir $\varphi(u') + v = m \in
M$ próximo a $a$ con $v \neq 0$ pequeño: $m = \varphi(u'')$ para cierto $u''$ próximo a $u_0$ por la propiedad de [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y la inyectividad local de $\Theta$ fuerza $v = 0$). Entonces $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\})
\cap\Phi(\Omega)$, restringiendo si hace falta. ∎

**Ejemplo 20.4.**

La esfera $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: conjunto de nivel de la sumersión $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$): una subvariedad $\mathcal C^\infty$ de dimensión $n - 1$. El toro en $\R^3$: conjunto de nivel de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} -
R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ($0 < r < R$). El cono $\{x^2 + y^2 =
z^2\}$ *no* es una subvariedad en $0$ (el [Ejercicio 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). Grupos de matrices: $SL_n$ y $O_n$ son subvariedades de $M_n(\R)$ (el Ejercicios [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) y [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — el punto de partida de la teoría de Lie.

## 20.3 Espacios tangentes

**Definición 20.5.**

Sean $M$ una $d$-subvariedad y $a \in M$. El *espacio tangente* $T_aM$ es el conjunto de los vectores velocidad $\gamma'(0)$ de las curvas $\mathcal C^1$ $\gamma \colon
\intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ con $\gamma(0) = a$.

**Proposición 20.6.**

$T_aM$ es un subespacio vectorial de $\R^n$ de dimensión $d$, y:

1. si $M = F^{-1}(0)$ localmente con $F$ una sumersión: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. si $M$ está parametrizada por la inmersión $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

**Demostración.** Las curvas de $M$ cumplen $F(\gamma(t)) = 0$; la regla de la cadena en $0$ da $DF(a)\gamma'(0) = 0$: $T_aM \subseteq \ker DF(a)$. Recíprocamente, el enderezamiento (el [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) transporta rectas de $\R^d\times\{0\}$ a curvas de $M$: todo vector de un subespacio de dimensión $d$ se realiza; comparando dimensiones ($\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$) se fuerza la igualdad en (1), y el mismo argumento de transporte da (2) ($D\varphi(u_0)$ aplicada a rectas de $A$; de nuevo las dimensiones). ∎

**Teorema 20.7 (Multiplicadores de Lagrange).**

Sea $M = F^{-1}(0)$ con $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega
\to \R^q$ una sumersión $\mathcal C^1$, y sea $f \colon
\Omega \to \R$ de clase $\mathcal C^1$. Si la restricción $f\restriction_M$ tiene un extremo local en $a \in M$, entonces existen números reales únicos $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (los *[multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) con

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**Demostración.** Para toda curva $\gamma$ de $M$ que pase por $a$: $t \mapsto
f(\gamma(t))$ tiene un extremo local en $0$, de modo que $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$: $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (la [Proposición 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). Ahora bien, $\ker DF(a)^\perp
= \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (la identidad de rango y ortogonalidad de segundo año, o el [Ejercicio 13.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8) en dimensión finita: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$), que está generado por los gradientes $\nabla F_i(a)$ — independientes, al ser $DF(a)$ sobreyectiva: los multiplicadores existen y son únicos. ∎

**Ejemplo 20.8 (El teorema espectral, geométricamente).**

Sea $A$ una matriz real simétrica $n\times n$ y maximícese $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ en la esfera $S^{n-1}$ (compacta: el máximo se alcanza, en cierto $v_1$). Lagrange con $F(x) = \norm x^2 - 1$: $\nabla f = 2Ax$ y $\nabla F =
2x$ dan $Av_1 = \lambda_1v_1$ — un vector propio, con $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$. Restrínjase $A$ a $v_1^\perp$ (invariante: $\langle Av, v_1\rangle =
\langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) e itérese: una base ortonormal de vectores propios. El teorema espectral de segundo año, vuelto a demostrar por pura optimización — y la sombra en dimensión infinita del mismo argumento demostró el [Lema 15.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#lem-b3-spectral-existence).

**Método 20.9.**

Para demostrar que un conjunto es una subvariedad: exhíbase localmente como $F^{-1}(0)$ con $DF$ sobreyectiva *sobre el conjunto* (la vía más común), o como un grafo. Para calcular su dimensión y su [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent): $d = n - q$ y $T_a = \ker DF(a)$. Para optimizar sobre él: Lagrange — compruébese siempre antes la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (o la coercividad), de modo que exista un extremo al que aplicar el teorema, y recuérdese que la ecuación de los multiplicadores es solo *necesaria*: recójanse todos los puntos críticos y compárense después los valores. Para grupos de matrices, derívense curvas en la identidad para identificar los [espacios tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent).

## 20.4 Ejercicios

**Ejercicio 20.1 ★.**

(a) Verifíquese que los siguientes son subvariedades $\mathcal C^\infty$ y dense sus dimensiones: $S^{n-1}$; el hiperboloide $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$; el toro del [Ejemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) Demuéstrese que el cono $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ no es una $2$-subvariedad en $0$: determínese el número de [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components) de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ y compárese con el que forzaría un enderezamiento (el [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) para un plano menos un punto.

**Solución de Ejercicio 20.1.**

(a) Cada uno es $F^{-1}(0)$ para una sumersión: $\norm x^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiente $2x \neq 0$): dimensión $n-1$; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiente $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ en el hiperboloide, donde $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): dimensión $2$; la función del toro $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$, $\rho =
\sqrt{x^2+y^2}$, es $\mathcal C^\infty$ cerca del toro (allí $\rho
\geq R - r > 0$) con $\nabla G \neq 0$ (su componente $z$ es $2z$, y donde $z = 0$ la componente radial vale $2(\rho - R)\ne0$, pues $\abs{\rho - R} = r$): dimensión $2$.

(b) Para $\varepsilon$ pequeño, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tiene exactamente $2$ [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components) (los mantos superior e inferior punteados, cada uno [conexo por caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected): conéctese a través de circunferencias y radios). Si $C$ fuera una $2$-subvariedad en $0$, un enderezamiento daría un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $C\cap\Omega$ sobre un trozo abierto de un plano que enviaría $0$ a un punto $p$; los [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) planos punteados pequeños de $p$ tienen *una* componente, y los [homeomorfismos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) conservan el número de componentes de los [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) punteados: contradicción.

**Ejercicio 20.2 ★.**

Calcúlense los [espacios tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent): (a) $T_aS^{n-1}$ para cualquier $a$ (respuesta: $a^\perp$); (b) el plano tangente al toro del [Ejemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) en un punto arbitrario del ecuador exterior $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$; (c) la recta tangente a la hélice $\varphi(t) = (\cos t,
\sin t, t)$ en $\varphi(t_0)$, comprobando [Proposición 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Solución de Ejercicio 20.2.**

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) En $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$: $\nabla G
= (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, de modo que el plano tangente es $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0,
0, 1)\bigr)$: el plano vertical tangente al ecuador exterior. (c) La hélice es una curva embebida con $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: la recta tangente en $\varphi(t_0)$ es $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, como prescribe la [Proposición 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Ejercicio 20.3 ★★.**

Sea $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (es decir, $z \mapsto z^2$). (a) ¿En qué puntos se aplica el [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)? (b) Demuéstrese que $f$ es localmente pero no globalmente invertible en $\R^2\setminus\{0\}$, y exhíbanse explícitamente las dos inversas locales definidas en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $(1, 0)$ (las dos ramas de la raíz cuadrada). (c) Misma discusión para la aplicación de [coordenadas polares](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#ex-b3-product-polar) $(r,
\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

**Solución de Ejercicio 20.3.**

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$: el teorema se aplica en todo punto salvo el origen. (b) $f(-z) = f(z)$: nunca inyectiva en un conjunto simétrico respecto de $0$; en $\R^2\setminus\{0\}$ es difeomorfismo local en todas partes y, sin embargo, $2$ a $1$ globalmente. Cerca de $(1, 0) = f(\pm(1,
0))$, las dos inversas son las dos ramas de la raíz cuadrada: en notación compleja, $w \mapsto \pm\sqrt w$ (rama principal), i.e.

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(c) Jacobiano $r > 0$: difeomorfismo local en $\intoo0\infty\times\R$, pero $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ da el mismo punto: localmente invertible (el ángulo queda determinado salvo $2\pi$ en un semiplano), nunca globalmente.

**Ejercicio 20.4 ★★.**

(Folium) Sean $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ y $\mathcal C =
F^{-1}(0)$. (a) Demuéstrese que, cerca de todo punto de $\mathcal C$ distinto del origen, $\mathcal C$ es una $1$-subvariedad, localmente un grafo en $x$ o en $y$ (¿cuál, dónde?). (b) Calcúlese la recta tangente en $(\frac32, \frac32)$. (c) ¿Qué ocurre en el origen? (Se cruzan dos ramas: exhíbanse dos curvas $\mathcal C^1$ de $\mathcal C$ que pasen por $0$ con velocidades independientes, y conclúyase que no existe enderezamiento.)

**Solución de Ejercicio 20.4.**

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ se anula si y solo si $y = x^2$ y $x = y^2$, es decir, $x^4 = x$: en $(0,0)$ y $(1,1)$; solo $(0,0)$ está en $\mathcal C$ ($F(1,1) = -1$). Así, en $\mathcal
C\setminus\{0\}$, $F$ es una sumersión: una $1$-subvariedad, localmente un grafo $y = \psi(x)$ donde $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ y $x = \chi(y)$ donde $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (al menos una se cumple fuera del origen).

(b) En $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)
(1, 1) = \frac94(1,1)$: recta tangente $x + y = 3$.

(c) La parametrización racional $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ pasa por $0$ en $t = 0$ con velocidad $(3, 0)$; intercambiando $x \leftrightarrow y$ (la curva es simétrica, o reparametrícese por $1/t$) se obtiene una segunda curva $\mathcal C^1$ por $0$ con velocidad $(0, 3)$. Dos direcciones tangentes independientes son imposibles en una $1$-subvariedad (su [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) es una recta, la [Proposición 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): $\mathcal C$ no es una subvariedad en el origen — una autointersección transversal.

**Ejercicio 20.5 ★★.**

Sea $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ en el espacio $S_n$ de las matrices simétricas. (a) Demuéstrese que $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ y que $DF(M)$ es sobreyectiva sobre $S_n$ en todo $M \in O_n$ *(dada $S \in S_n$, pruébese con $H = \frac12MS$)*. (b) Conclúyase que $O_n = F^{-1}(I)$ es una subvariedad $\mathcal C^\infty$ compacta de dimensión $\frac{n(n-1)}2$, con $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, las matrices antisimétricas. (c) Demuéstrese que $\eu^{tH} \in O_n$ para toda $H$ antisimétrica: las direcciones tangentes se integran en curvas dentro del grupo.

**Solución de Ejercicio 20.5.**

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$. Para $M \in O_n$ y $S$ simétrica, $H =
\frac12MS$ da $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: sobreyectiva sobre $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ con $F$ una sumersión (sobre $S_n$, de dimensión $\frac{n(n+1)}2$) en cada uno de sus puntos: una subvariedad de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$. Compacta: cerrada ($F$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)) y acotada (las columnas son vectores unitarios). Tangente en $I$: $\ker DF(I) =
\{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (la transposición pasa a través de la serie; las [exponenciales de matrices](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#thm-b3-ode-matrixexp) que conmutan se multiplican, [Teorema 19.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#thm-b3-ode-matrixexp)).

**Ejercicio 20.6 ★★.**

(a) Demuéstrese que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ tiene diferencial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$, no nula en todo $M \in SL_n$. (b) Conclúyase que $SL_n(\R)$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - 1$ con $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) ¿Es $GL_n(\R)$ una subvariedad? ¿De qué dimensión?

**Solución de Ejercicio 20.6.**

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1
+ \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ para $M$ invertible (desarrollo de $\det$ cerca de $I$: el término lineal de $\prod(1 + \lambda_i)$); con $\det M\cdot M^{-1} =
\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}
(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, y la fórmula se extiende a toda $M$ por [densidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) y [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). En $SL_n$, $\det M = 1$: $D\det(M) \ne 0$ (su valor en $H = M$ es $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ con $\det$ una sumersión allí (con valores en $\R$): dimensión $n^2 - 1$; $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ es un subconjunto *abierto* de $M_n(\R)$ (el [Ejercicio 6.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#exo-b3-topology-8)): una subvariedad de dimensión total $n^2$ (enderezamiento: la carta identidad).

**Ejercicio 20.7 ★★.**

Por [multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange): (a) hállense los extremos de $f(x,y) = xy$ en la circunferencia $x^2 +
y^2 = 1$; (b) demuéstrese que, entre todos los vectores de probabilidad $(p_1, \dots,
p_n)$ (positivos y de suma $1$), la entropía $-\sum
p_i\ln p_i$ se maximiza exactamente en la distribución uniforme; (c) hállese el punto de la elipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ más próximo a $(1, 0)$, y compruébese geométricamente la ecuación de los multiplicadores (alineamiento normal).

**Solución de Ejercicio 20.7.**

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ y $x^2 + y^2 = 1$: $y =
2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ dan $x^2 = y^2 = \frac12$. Valores de $xy$: $\pm\frac12$: máximo $\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, mínimo $-\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (el conjunto de restricción es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): los extremos existen).

(b) En el [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) del símplex ($p_i > 0$), Lagrange para $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ con la restricción $\sum p_i = 1$: $-\ln p_i - 1 = \lambda$ para todo $i$: todos los $p_i$ iguales, $p_i =
\frac1n$, con $H = \ln n$. El máximo sobre el símplex [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) se alcanza; si se alcanzara en la frontera (algún $p_i = 0$), la distribución vive en $\leq n - 1$ puntos y por inducción $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: el punto crítico [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) es el máximo global — la ignorancia uniforme maximiza la entropía.

(c) Minimícese $(x-1)^2 + y^2$ en la elipse compacta: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Si $y \neq 0$: $\lambda = 1$, y entonces $2(x - 1) = \frac x2$ da $x =
\frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: distancia$^2$ $=
\frac19 + \frac59 = \frac23$. Si $y = 0$: $x = \pm2$, distancias $1$ y $3$. Puntos más próximos: $\bigl(\frac43,
\pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, a distancia $\sqrt{2/3} < 1$. La ecuación de los multiplicadores dice que el segmento de $(1,0)$ al punto más próximo es paralelo a $\nabla$(elipse): corta la elipse ortogonalmente, como exige la geometría.

**Ejercicio 20.8 ★★★.**

Desarróllese por completo el [Ejemplo 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh): demuéstrese por inducción que una matriz real simétrica admite una base ortonormal de vectores propios, siendo $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ los sucesivos máximos con restricción del cociente de Rayleigh. Dedúzcanse después las fórmulas de Courant–Fischer del [Ejercicio 15.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#exo-b3-spectral-8) en dimensión finita directamente de esta construcción.

**Solución de Ejercicio 20.8.**

Inducción sobre $n$; $n = 1$ es trivial. La función de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ alcanza su máximo $\lambda_1$ en la compacta $S^{n-1}$, en cierto $v_1$; Lagrange (el [Teorema 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), con la esfera como conjunto de nivel) da $2Av_1 = 2\lambda v_1$, y $\lambda = \langle Av_1,
v_1\rangle = \lambda_1$. El hiperplano $v_1^\perp$ es $A$-invariante (simetría: $\langle Av, v_1\rangle = \langle
v, Av_1\rangle = 0$); la restricción es simétrica, y la inducción produce una base ortonormal de vectores propios $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ con valores propios $\lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$, cada uno el máximo de $f$ en la esfera del ortocomplemento restante. Courant–Fischer se sigue exactamente como en el [Ejercicio 15.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#exo-b3-spectral-8): desarróllese $x = \sum c_iv_i$; en un espacio de prueba de dimensión $k$, interséquese con $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (recuento de dimensiones en $\R^n$) para obtener $\min \leq \lambda_k$, y $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ alcanza $\min =
\lambda_k$.

**Ejercicio 20.9 ★★★.**

(Desigualdad de Hadamard) Para $M \in GL_n(\R)$ de columnas $c_1, \dots, c_n$:

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

con igualdad si y solo si las columnas son ortogonales. *(Redúzcase a columnas de norma $1$ reescalando; maximícese $\det$ en el producto [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de esferas $(S^{n-1})^n$; en un maximizador, Lagrange en cada columna por separado da $\nabla_{c_i}\det =
\lambda_ic_i$, y $\nabla_{c_i}\det$ es la $i$-ésima columna de $\operatorname{com}(M)$: dedúzcase que $M^{\mathsf T}M$ es diagonal, luego $= I$ y por tanto $\det = \pm1$.)* Lectura geométrica: el volumen de un paralelepípedo es a lo sumo el producto de las longitudes de sus aristas.

**Solución de Ejercicio 20.9.**

Reescalar cada columna a norma unidad divide $\abs{\det}$ por $\prod\norm{c_i}$: basta demostrar $\abs{\det M} \leq 1$ cuando todas las columnas son unitarias, con igualdad si y solo si $M \in O_n$. La función $\det$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $(S^{n-1})^n$: alcanza un máximo $m \geq \det I = 1 > 0$ en cierta $M$. Fijando todas las columnas salvo la $i$-ésima, $\det$ es lineal en $c_i$ con gradiente la $i$-ésima columna de $\operatorname{com}(M)$; Lagrange en la $i$-ésima esfera: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. La identidad $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ se lee $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle =
\det(M)\,\delta_{ij}$, es decir, $\lambda_i\langle c_j,
c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$; tomando $j = i$: $\lambda_i
= \det M = m \neq 0$, y entonces $j \neq i$ da $\langle c_i,
c_j\rangle = 0$: las columnas son ortonormales, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$. Por tanto, $\abs{\det} \leq
\prod\norm{c_i}$ siempre, con igualdad exactamente para columnas ortogonales (deshágase la escala): el volumen de un paralelepípedo es máximo, dadas las longitudes de sus aristas, cuando estas son perpendiculares.

**Ejercicio 20.10 ★★.**

¿Cerca de cuáles de sus puntos es la circunferencia $S^1$ un grafo $y =
\psi(x)$? ¿Un grafo $x = \chi(y)$? Verifíquese explícitamente la caracterización por grafos (el [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) en $(1, 0)$, y explíquese en una frase por qué *alguna* permutación de coordenadas basta siempre pero ninguna fija sirve siempre.

**Solución de Ejercicio 20.10.**

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ sirve cerca de todo punto con $y \neq
0$; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ cerca de todo punto con $x \neq 0$; en $(1, 0)$: el grafo $x = \sqrt{1 - y^2}$ sobre $y \in
\intoo{-1}1$, que es el [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) con las coordenadas intercambiadas. Alguna permutación sirve siempre porque la recta tangente, al ser unidimensional, no puede ser a la vez vertical y horizontal — pero puede ser cualquiera de las dos, de modo que ninguna elección fija de coordenada «dependiente» sirve en todo punto.

**Ejercicio 20.11 ★★.**

(El grupo ortogonal como subvariedad, cuantitativamente) (a) Demuéstrese que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): acotado (cada columna es un vector unitario, de modo que $\norm M \leq
\sqrt n$ para la norma matricial euclídea) y cerrado. (b) Demuéstrese que su [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) en $I$ es el espacio de las matrices antisimétricas, de dimensión $\frac{n(n-1)}2$, y en un $A \in O_n$ general: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$. (c) Dedúzcase que la aplicación $t \mapsto A\exp(tK)$ es, para cada $K$ antisimétrica, una curva en $O_n$ que pasa por $A$ con velocidad $AK$ *(verifíquese $\exp(tK) \in O_n$ usando $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ y $\exp(-X)\exp(X) = I$)*: todo vector tangente se realiza mediante una curva explícita, sin necesidad alguna del teorema de la función implícita.

**Solución de Ejercicio 20.11.**

(a) La aplicación de definición $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $O_n = F^{-1}(0)$ es cerrado; las columnas de una matriz ortogonal son vectores unitarios, de modo que la norma euclídea (de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#thm-b3-galois-finitefields)) vale exactamente $\sqrt n$: acotado. [Compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) por Heine–Borel en $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) $O_n$ es el conjunto de nivel $F = 0$ estudiado en el capítulo: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, sobreyectiva sobre las matrices simétricas en cada $A \in O_n$ (dada $S$ simétrica, tómese $H = \frac12AS$), de modo que $O_n$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ con

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
antisymmetric}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

en $A = I$ son las matrices antisimétricas.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (las dos matrices $\pm tK$ conmutan, de modo que el producto de exponenciales es la exponencial de la suma): $\exp(tK) \in O_n$, y $\gamma(t) =
A\exp(tK)$ es una curva en $O_n$ con $\gamma(0) = A$, $\gamma'(0) = AK$. Cuando $K$ recorre las matrices antisimétricas, $AK$ barre $T_AO_n$: la exponencial realiza todo el [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) con curvas explícitas — el atajo de grupos de Lie que el [Problema 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) explota para $SO(3)$.

**Ejercicio 20.12 ★★.**

(Puntos críticos de la distancia) Sean $M \subseteq \R^n$ una subvariedad y $p \notin M$. Demuéstrese que si $x_0 \in M$ minimiza la distancia a $p$ (tal punto existe cuando $M$ es cerrada y no vacía — ¿por qué?), entonces

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*(derívese $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ a lo largo de curvas de $M$)*. Dedúzcase: el punto más próximo de una esfera está en el radio que pasa por el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions); y úsese la condición para calcular la distancia de $p = (2, 0)$ a la parábola $y = x^2$ (redúzcase a una cúbica y resuélvase numéricamente con tres cifras).

**Solución de Ejercicio 20.12.**

Existencia: interséquese $M$ con una bola cerrada grande alrededor de $p$ para obtener un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) no vacío; la distancia [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) alcanza allí su mínimo, y los puntos exteriores a la bola están más lejos. Condición de primer orden: para una curva $\gamma$ de $M$ con $\gamma(0) = x_0$, la función $h(t) = \norm{\gamma(t)
- p}^2$ es derivable con un mínimo en $0$:

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

y $\gamma'(0)$ barre $T_{x_0}M$: $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$. Esfera $S(c, r)$: el [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) en $x_0$ es $(x_0 - c)^\perp$, de modo que $p - x_0 \parallel x_0 - c$: $x_0$ está en la recta que pasa por $c$ y $p$, a distancia $r$ de $c$ — el punto del radio, como insiste la geometría. Parábola: en $x_0 = (x, x^2)$ la tangente está generada por $(1, 2x)$; la ortogonalidad a $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ se lee

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{es decir}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

con única raíz real ($x \mapsto 2x^3 + x$ es estrictamente creciente) $x \approx 0.835$; entonces $x_0 \approx (0.835,
0.698)$ y $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2}
\approx 1.358$.

## 20.5 Problema: $SO(3)$ y los cuaterniones

**Problema 20.1.**

Problema de fin de semana — rotaciones, el grupo $S^3$ y el recubrimiento doble

Los cuaterniones $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — el álgebra cuyo grupo de unidades contiene el $Q_8$ del [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#pb-b3-groups-1) — parametrizan las rotaciones tridimensionales por partida doble: la aplicación «conjugar por un cuaternión unitario» es un morfismo sobreyectivo $S^3 \to
SO(3)$ de núcleo $\{\pm1\}$. Lo construiremos todo. Recuérdese o defínase: la multiplicación es $\R$-bilineal con $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 =
\mathrm{ijk} = -1$; el conjugado de $q = t + x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k$ es $\bar q = t - x\mathrm i -
y\mathrm j - z\mathrm k$; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2
+ z^2$.

**Parte I — El álgebra $\mathbb H$ y el grupo $S^3$.**

1. Verificar que $\mathbb H$ es un álgebra asociativa sobre $\R$ de [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) $\R$ , que $\overline{pq} =  \bar q\,\bar p$ y que $N(pq) = N(p)N(q)$ *(una vía limpia: represéntese $q$ como la matriz compleja $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, $q =  \alpha + \beta\mathrm j$, y úsese $\det$)* .
2. Dedúzcase que todo $q \neq 0$ es invertible ( $q^{-1} =  \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ es un cuerpo (no conmutativo) y $S^3 = \{N(q) = 1\}$ es un grupo — y una $3$ -subvariedad compacta de $\R^4$ ( [Ejemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ).

**Parte II — El morfismo de rotación.** Identifíquese $\R^3$ con los *cuaterniones puros* $P = \{x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k\}$, y para $q \in S^3$ defínase $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$.

3. Demostrar que $\rho_q$ lleva $P$ en $P$ *(los cuaterniones puros son los de $\bar v = -v$)* , es $\R$ -lineal, conserva la norma, y que $\rho  \colon q \mapsto \rho_q$ es un morfismo de grupos $S^3  \to O(3)$ .
4. Calcular el núcleo: $\rho_q = \mathrm{id}$ si y solo si $q$ conmuta con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ si y solo si $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
5. Escríbase $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ con $u \in P$ , $N(u) = 1$ (¿por qué es siempre posible para $q \in S^3$ ?). Demostrar que $\rho_q$ fija $u$ y, en el plano $u^\perp\cap P$ , actúa como la rotación de ángulo $\theta$ *(calcúlese $\rho_q(w)$ para $w \perp u$ usando $uw = -wu$ para unidades puras ortogonales — demuéstrese esta identidad a partir de la tabla de multiplicar, o de $uw + wu =  -2\langle u, w\rangle$)* .
6. Conclúyase: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (cada $\rho_q$ es una rotación de eje y ángulo los calculados — determinante $+1$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $q  \mapsto \det\rho_q$ en el [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $S^3$, o directamente), y $\rho$ es *sobreyectivo* sobre $SO(3)$: toda rotación de $\R^3$ tiene un eje (demuéstrese: una matriz ortogonal real $3\times3$ con $\det = 1$ tiene el valor propio $1$ — considérese el polinomio característico) y es, por tanto, algún $\rho_q$. Resumen: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**Parte III — $SO(3)$ como subvariedad; Rodrigues.**

7. Demostrar que $SO(3)$ es una subvariedad compacta de dimensión $3$ de $M_3(\R)$ con $T_ISO(3) =$ las matrices antisimétricas (el [Ejercicio 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; la condición sobre el determinante selecciona una unión de componentes).
8. Para la matriz antisimétrica $A_u$ asociada a $u \in \R^3$ ($A_uv = u\wedge v$, el producto vectorial), demuéstrese la *fórmula de Rodrigues*: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(a partir de $A_u^3 = -A_u$: pártase la serie exponencial según las potencias de $A_u$)*, e identifíquese como la rotación de eje $u$ y ángulo $\theta$. Dedúzcase que $\exp$ lleva las matrices antisimétricas *sobre* $SO(3)$.
9. Relációnense las dos parametrizaciones: demuéstrese que $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ con $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ es un grupo uniparamétrico de rotaciones cuya derivada en $t = 0$ es $A_u$ — la exponencial cuaterniónica y la [exponencial de matrices](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#thm-b3-ode-matrixexp) cuentan la misma historia a media velocidad y a velocidad [completa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) , respectivamente.

**Parte IV — El recubrimiento doble, palpado.**

10. Demostrar que el [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac  t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , es un lazo en $SO(3)$ (su imagen $\rho_{q(t)}$ vuelve a la identidad) cuyo levantamiento cuaterniónico *no* es un lazo: $q(2\pi) = -q(0)$ . Continuando hasta $t = 4\pi$ se cierra el levantamiento. Explíquese en un párrafo breve qué significa esto: una rotación de $2\pi$ no se puede deshacer [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) mientras que una de $4\pi$ sí (el truco del cinturón), porque los lazos de $SO(3)$ se detectan en su recubrimiento doble $S^3$ .
11. Dedúzcase también el dividendo práctico: componer rotaciones = multiplicar cuaterniones ( $4$ multiplicaciones de datos en lugar de $9$ , sin deriva de la ortogonalidad) — verifíquese con la composición de dos cuartos de vuelta alrededor de $\mathrm i$ y $\mathrm j$ : calcúlense el eje y el ángulo del producto.

**Parte V — La matriz explícita: Euler–Rodrigues.** Escríbase $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$, de modo que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.

12. Calcúlese $\rho_q(\mathrm i)$ íntegramente a partir de la tabla de multiplicar; obténganse después $\rho_q(\mathrm  j)$ y $\rho_q(\mathrm k)$ mediante la sustitución cíclica $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k  \to \mathrm i$, $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(justifíquese: la permutación cíclica $\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k$ se extiende a un automorfismo de $\mathbb  H$, porque las relaciones de definición son cíclicamente simétricas)*. Conclúyase que la matriz de $\rho_q$ en la base $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ es la *matriz de Euler–Rodrigues* $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$
13. (Leer una rotación al revés) Demuéstrese que $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ con la notación de las preguntas 5 y 8. Dedúzcase un algoritmo que recupere $\pm q$ a partir de una matriz de rotación $R$: el ángulo, de la traza; el eje, de la parte antisimétrica cuando $0 < \theta < \pi$; y, cuando $\theta = \pi$, demuéstrese y úsese la identidad $R  + I = 2\,uu^{\mathsf T}$.
14. Evalúese $R_q$ para el producto $q =  \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ de la pregunta 11: aparece una matriz de permutación. Identifíquese la rotación y concíliese con el eje y el ángulo hallados en la pregunta 11.

**Parte VI — Dentro de $S^3$: $SU(2)$, [clases de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions), exponenciales.**

15. Demostrar que la [representación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) matricial de la pregunta 1 (llámese $\Phi$) se restringe a un isomorfismo de grupos de $S^3$ sobre el *grupo unitario especial* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ *(para la sobreyectividad, escríbanse las ecuaciones $U^{-1} = U^*$ y $\det U = 1$ para una matriz compleja $2\times2$ general)*.
16. Demostrar que la parte real es un invariante de conjugación en $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) =  \operatorname{Re}q$ para todos $p \in S^3$ — y, recíprocamente, que dos cuaterniones unitarios con la misma parte real son conjugados en $S^3$ *(redúzcase a llevar un eje puro unitario sobre otro, cosa que proporciona la Parte II)* . Descríbanse geométricamente las [clases de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de $S^3$ ; tradúzcase a $SU(2)$ (conjuntos de nivel de la traza); y proyéctese por $\rho$ : dos rotaciones son conjugadas en $SO(3)$ si y solo si tienen el mismo ángulo $\theta \in \intcc0\pi$ .
17. Defínase $\exp$ en $\mathbb H$ por la serie exponencial; compruébese la convergencia absoluta usando $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ para $\abs q =  \sqrt{N(q)}$. Demuéstrese, para $u$ puro unitario y $\theta  \in \R$, $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ dedúzcase que $\exp$ lleva el hiperplano $P$ sobre $S^3$, y compruébese que $\rho_{\exp(su)} =  \eu^{2sA_u}$: de nuevo el fenómeno del semiángulo de la pregunta 9.
18. Para cuaterniones puros $v, w$ , demuéstrese la regla del producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ y, por tanto, la identidad del [conmutador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; demuéstrese también $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ para las matrices de la pregunta 8. Conclúyase que la derivada de $\rho$ en $1$ a lo largo de las curvas $t \mapsto \exp(tv)$ es el isomorfismo lineal $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sobre las matrices antisimétricas, y que transporta el [conmutador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de cuaterniones al [conmutador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de matrices.

**Parte VII — Estructura global.**

19. (No hay sección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ) Supóngase que $s \colon SO(3) \to  S^3$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $\rho \circ s =  \operatorname{id}$ . Para el lazo $R(t) =  \rho_{q(t)}$ de la pregunta 10, póngase $\varepsilon(t) =  s(R(t))\,q(t)^{-1}$ para $t \in \intcc0{2\pi}$ . Demuéstrese que $\varepsilon$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con valores en $\{\pm1\}$ , y dedúzcase una contradicción: no existe ninguna elección global [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de un cuaternión unitario que represente cada rotación.
20. (El modelo de la bola) Sean $\bar B \subseteq \R^3$ la bola cerrada de radio $\pi$ y $E(v) = \eu^{A_v}$ , con $E(0) = I$ . Demuéstrese que $E$ lleva $\bar B$ sobre $SO(3)$ , es inyectiva en la bola abierta y, en la esfera frontera, identifica exactamente los antípodas: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , sin ninguna otra coincidencia. Así, $SO(3)$ es la bola con los puntos frontera antipodales pegados — el espacio proyectivo $\mathbb{RP}^3$ — y un diámetro se convierte en el lazo no contráctil de la pregunta 10.
21. Demostrar que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar  p}$ ; que las involuciones de $SO(3)$ (los $R \neq  I$ con $R^2 = I$ ) son exactamente las medias vueltas $\rho_w$ con $w$ un cuaternión puro unitario; y que el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de $SO(3)$ es trivial.
22. Demostrar que toda rotación es producto de dos medias vueltas: para $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ , elíjase un $w \perp  u$ puro unitario, compruébese que $w' = qw$ es de nuevo un cuaternión puro unitario y verifíquese $\rho_q =  \rho_{w'}\rho_w$ . ¿Dónde están los dos ejes y qué ángulo forman?
23. Conclúyase el resumen [topológico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) : $SO(3)$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y [conexo por caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) (dense dos demostraciones: imagen [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $S^3$ por $\rho$ ; imagen de $\exp$ ), mientras que $O(3)$ tiene exactamente dos [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components) , cada una [homeomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a $SO(3)$ .
24. (Una composición, de tres maneras) Sean $R_1$ la rotación de $\frac\pi2$ alrededor del eje $z$ y $R_2$ la rotación de $\frac\pi2$ alrededor del eje $x$ . Calcúlense el eje y el ángulo de $R_2R_1$ : (i) multiplicando las dos matrices $3\times3$ y usando la traza y la parte antisimétrica (Parte V); (ii) multiplicando los cuaterniones unitarios correspondientes $q_2q_1$ . Compruébese que ambas respuestas coinciden: ángulo $\frac{2\pi}3$ , eje $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
25. (La [transformación de Cayley](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#ex-b3-conformal-mobius)) Para $K$ antisimétrica, demuéstrese que $I + K$ es invertible y $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ sin que $-1$ sea nunca valor propio de $C(K)$; demuéstrese que $K \mapsto C(K)$ es una biyección de las matrices antisimétricas sobre $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$, con inversa $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$. (Una carta racional de $SO(n)$, compañera de la $\exp$ trascendente de [Ejercicio 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).)

**Solución de Problema 20.1.**

**1.** Aplicación $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k
\mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta
& \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\alpha = t + \iu
x$, $\beta = y + \iu z$: se comprueba que $1, \mathrm i,
\mathrm j, \mathrm k$ van a $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}
\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, cuyos productos reproducen la tabla de los cuaterniones: la aplicación es un morfismo inyectivo de álgebras, de modo que $\mathbb H$ hereda la asociatividad; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ es multiplicativa, y la conjugación corresponde a la traspuesta de la adjunta, lo que da $\overline{pq} = \bar q\bar p$. [Centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions): conmutar con $\mathrm i$ obliga a $y = z = 0$, y con $\mathrm j$ obliga a $x = 0$: $\R$.

**2.** $q\bar q = N(q)$: para $q \neq 0$, $q^{-1} = \bar
q/N(q)$: un álgebra de división. En $S^3$: $N(pq) = 1$ y $N(q^{-1}) = 1$: un grupo; y $S^3 \subseteq \R^4$ es la esfera unidad: una $3$-subvariedad compacta.

**3.** $v$ es puro si y solo si $\bar v = -v$; entonces $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: $\rho_q$ conserva $P$. La linealidad es clara; $N(qv\bar q) =
N(q)N(v)N(q) = N(v)$: una isometría de $(P, N) \cong (\R^3,
\norm\cdot^2)$: $\rho_q \in O(3)$. Y $\rho_{pq}(v) =
pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p =
\rho_p(\rho_q(v))$: un morfismo.

**4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ si y solo si $qv = vq$ para todo $v$ puro, si y solo si $q$ conmuta con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$, si y solo si $q$ es central (pregunta 1): $q \in \R\cap S^3 =
\{\pm1\}$.

**5.** Escríbase $q = t + p$ ($t \in \R$, $p$ puro): $1 =
N(q) = t^2 + N(p)$, de modo que $t = \cos\frac\theta2$ y $p =
\sin\frac\theta2\,u$ con $N(u) = 1$ para cierto $\theta$ (si $p = 0$, $q = \pm1$ actúa trivialmente). Como $u^2 = -N(u)
= -1$, $q$ y $u$ conmutan, y $\rho_q(u) = qu\bar q =
uq\bar q = u$: el eje. Para unidades puras $w \perp u$: la regla del producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (desarróllese en coordenadas con la tabla) da $uw = u\wedge w
= -wu$. Entonces

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

usando $uwu = -u^2w = w$ y las fórmulas del ángulo doble: la rotación de ángulo $\theta$ en el plano orientado $(w,
u\wedge w)$.

**6.** Cada $\rho_q$ es una rotación alrededor de $u$ de ángulo $\theta$: en la base ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ su matriz tiene determinante $+1$: $\operatorname{im}\rho \subseteq
SO(3)$. Sobreyectividad: una matriz $R \in SO(3)$ tiene $1$ como valor propio, pues

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

de modo que $\det(R - I) = 0$. Tómese un vector propio unitario $u$; $R$ conserva $u^\perp$ y se restringe allí a una rotación de cierto ángulo $\theta$ (ortogonal plana, determinante $1$): $R = \rho_q$ para $q = \cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2\,u$. Con la pregunta 4 y el primer teorema de isomorfía (el [Teorema 1.3](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#thm-b3-groups-firstiso)): $SO(3)
\cong S^3/\{\pm1\}$.

**7.** $O_3$ es una subvariedad compacta de dimensión $3$ (el [Ejercicio 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)); $\det$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en ella con valores en $\{\pm1\}$, de modo que $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ es abierto y cerrado en $O_3$: una unión de [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components), luego a su vez una $3$-subvariedad compacta, con el mismo [espacio tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) en $I$: las matrices antisimétricas.

**8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u,
v\rangle u - v$ ($u$ unitario), de modo que $A_u^3v = u\wedge(\langle
u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: $A_u^3 = -A_u$. Partiendo la serie exponencial según los restos de las potencias módulo la relación $A^3 = -A$:

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

En $u$: $A_uu = 0$: fijo. En $w \perp u$: $\eu^{\theta
A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) =
\cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: la rotación de eje $u$ y ángulo $\theta$ — Rodrigues. Toda rotación tiene esta forma (pregunta 6): $\exp$ es sobreyectiva de las matrices antisimétricas sobre $SO(3)$.

**9.** Con $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$: la pregunta 5 muestra que $\rho_{q(t)}$ es la rotación de eje $u$ y ángulo $t$, es decir, $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$, cuya derivada en $t = 0$ es $A_u$. El cuaternión corre a la mitad del ángulo — la huella analítica del recubrimiento doble.

**10.** $\rho_{q(t)}$ es la rotación alrededor de $\mathrm k$ de ángulo $t$: en $t = 2\pi$ vuelve a la identidad — un lazo en $SO(3)$. Su levantamiento cumple $q(2\pi) = \cos\pi =
-1 = -q(0)$: el [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) levantado *no* es cerrado; solo en $t = 4\pi$ vuelve $q$ a $1$. Interpretación: el lazo de las rotaciones [completas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) no es contráctil en $SO(3)$ — su levantamiento termina en la otra hoja del recubrimiento — mientras que el lazo doble sí lo es; un cuerpo unido a su [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) por correas (el truco del cinturón) vuelve a un estado sin [torsión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/3-modulos-sobre-un-dominio-de-ideales-principales#def-b3-modules-torsion) tras $4\pi$ pero no tras $2\pi$. Los grupos de rotaciones recuerdan la paridad de las vueltas [completas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete); $S^3$, al ser [simplemente conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected), es donde reside esa memoria.

**11.** Cuartos de vuelta: $q_{\mathrm i} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$, $q_{\mathrm j} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$. Producto (aplicando primero el cuarto de vuelta $\mathrm j$):

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

de norma $1$, con $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, y eje $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k}{\sqrt3}$ (la parte pura normalizada). Dos cuartos de vuelta sucesivos alrededor de ejes ortogonales dan una rotación de $120^\circ$ alrededor de la diagonal principal del cubo — cuatro multiplicaciones reales de contabilidad, con la ortogonalidad conservada exactamente: por eso el software de vuelo y los motores gráficos componen rotaciones con cuaterniones.

**12.** De la tabla, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ y $\mathrm{ki} = \mathrm j$, de modo que

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

Multiplicando por $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ con la regla escalar–vector $(t_1 + p_1)(t_2 +
p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 +
p_1\wedge p_2$, donde $p_1 = (a, d, -c)$ y $p_2 = (-b, -c,
-d)$: la parte escalar es $-ab - (-ab) = 0$ (pura, como debe ser) y la parte vectorial es

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr):
$$

la primera columna de $R_q$. La aplicación cíclica $\sigma(\mathrm i)
= \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$, $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ conserva las relaciones $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} =
-1$ (la palabra $\mathrm{ijk}$ es cíclicamente invariante salvo la relación $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$, válida en todo anillo: conjúguese $\mathrm{ijk} = -1$ por el invertible $\mathrm i$), de modo que $\sigma$ se extiende a un automorfismo de $\R$-álgebras, y $\sigma(\rho_q(v)) =
\rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. Desenrollando, la imagen de $\mathrm j$ es la fórmula de la primera columna tras la sustitución $(b, c, d) \to (c, d, b)$ con la base reetiquetada $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm
i$, que es exactamente la segunda columna exhibida; una vuelta más da la tercera.

**13.** Sumando la diagonal, $\operatorname{tr}R_q =
3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norma unidad) y, con $a = \cos\frac\theta2$: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 +
2\cos\theta$. Parte antisimétrica: las tres entradas independientes de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ son $4ab, 4ac, 4ad$ (en las posiciones $(3,2), (1,3), (2,1)$), de modo que $\frac12(R_q -
R_q^{\mathsf T}) = A_m$ con $m = 2a\,(b, c, d) =
2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$. Algoritmo: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R -
1}{2} \in \intcc0\pi$; si $0 < \theta < \pi$, léase $u$ en $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ y póngase $q =
\pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$; si $\theta =
0$, $q = \pm1$. Para $\theta = \pi$: $a = 0$, y Rodrigues (pregunta 8) da $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} -
I) = 2uu^{\mathsf T} - I$, es decir, $R + I = 2uu^{\mathsf T}$; cualquier columna no nula de $R + I$, normalizada, es $\pm u$, y $q = \pm u$.

**14.** Con $a = b = c = d = \frac12$: todas las entradas diagonales se anulan, $2(bc - ad) = 0$, $2(bd + ac) = 1$, $2(bc +
ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) = 0$, $2(cd + ab) =
1$:

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

la permutación cíclica $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. Su traza es $0 = 1 + 2\cos\theta$, de modo que $\theta = \frac{2\pi}3$, y fija $(1,1,1)$: la rotación de $120^\circ$ alrededor de la diagonal principal — precisamente la respuesta de la pregunta 11, ahora visible como la matriz que cicla los ejes coordenados.

**15.** En la base se comprueba $\Phi(\bar q) =
\Phi(q)^*$ (la matriz de $\bar q$ tiene $\alpha' =
\bar\alpha$, $\beta' = -\beta$, que es la traspuesta conjugada de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). Por tanto, $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ y $\det\Phi(q)
= \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: para $q \in S^3$, $\Phi(q) \in SU(2)$, y $\Phi$ es un morfismo inyectivo (pregunta 1). Sobreyectividad: sea $U =
\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma &
\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\det U = 1$; entonces $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, y $U^{-1} = U^*
= \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\
\bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ obliga a $\delta = \bar\alpha$, $\gamma = -\bar\beta$, y entonces $1 =
\det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: $U = \Phi(q)$ para el cuaternión unitario $q$ de coordenadas $\alpha = a + \iu b$, $\beta = c + \iu d$. Así, $S^3 \cong SU(2)$.

**16.** Los escalares reales son centrales y $N(p) = 1$ da $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$, de modo que $pq\bar p +
\overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: la parte real es invariante. Recíprocamente, sea $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$; entonces las partes puras tienen la misma norma $\sqrt{1 - a^2} = s$. Si $s =
0$, $q = q' = \pm1$. Si $s > 0$, escríbanse $q = a + su$, $q' =
a + su'$ con $u, u'$ puros unitarios; la pregunta 6 proporciona una rotación que lleva $u'$ a $u$, es decir, $p \in S^3$ con $\rho_p(u') = u$, y entonces $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') =
q$. Las clases de $S^3$ son, por tanto, $\{1\}$, $\{-1\}$ y, para cada $a \in \intoo{-1}1$, la $2$-esfera $\{a + su :
u \text{ puro unitario}\}$ de radio $s$. Bajo $\Phi$, $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$: las clases de $SU(2)$ son los conjuntos de nivel de la traza. Proyectando: si $q' = pq\bar p$, entonces $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$; recíprocamente, $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ obliga a $q' = \pm pq\bar p$ (núcleo), de modo que $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$, i.e. $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} =
\abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ para los ángulos en $\intcc0\pi$: las rotaciones conjugadas tienen ángulos iguales. Recíprocamente, ángulos iguales permiten elegir representantes con la misma parte real no negativa, conjugados por lo anterior: en $SO(3)$, la [clase de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de una rotación es exactamente su ángulo.

**17.** $N$ es multiplicativa, de modo que $\abs\cdot$ es una norma multiplicativa en $\mathbb H \cong \R^4$ y $\abs{q^k} = \abs q^k$: la serie $\sum q^k/k!$ converge absolutamente en el espacio de dimensión finita (luego [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)), dominada por $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. Para $u$ puro unitario: $u^2 = -1$, de modo que $(\theta u)^{2m} =
(-1)^m\theta^{2m}$ y $(\theta u)^{2m+1} =
(-1)^m\theta^{2m+1}u$; partiendo la serie,

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

Todo $q \in S^3$ es $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ con $\alpha \in \intcc0\pi$ (pregunta 5): $q = \exp(\alpha u)$, de modo que $\exp(P) = S^3$. Por último, $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u
= q(2s)$ en la notación de la pregunta 9, y allí $\rho_{q(t)} =
\eu^{tA_u}$: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$.

**18.** Desarrollando $vw$ por coordenadas con la tabla: los productos $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$, … dan el escalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$, y los productos mixtos ($\mathrm{ij} = \mathrm k$, $\mathrm{ji} =
-\mathrm k$, …) dan el vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\
v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$: $vw = -\langle v,
w\rangle + v\wedge w$. Restando el producto invertido: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (las partes escalares se cancelan, los productos vectoriales se suman). Para las matrices, con $a\wedge(b\wedge
c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$:

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

Derivada: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (la conjugación es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y cambia de signo los cuaterniones puros), de modo que

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

la diferencial es $v \mapsto 2A_v$, una biyección lineal de $P$ sobre las matrices antisimétricas, y $[2A_v, 2A_w]
= 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ muestra que lleva el [conmutador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de cuaterniones al [conmutador](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de matrices.

**19.** Aplicando $\rho$: $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, de modo que $\varepsilon(t) \in \ker\rho =
\{\pm1\}$ (pregunta 4). Como producto de las aplicaciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto s(R(t))$ y $t \mapsto q(t)^{-1} =
\bar{q(t)}$, $\varepsilon$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en el intervalo [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $\intcc0{2\pi}$ con valores en el par discreto $\{\pm1\}$: es constante, digamos $\varepsilon(t) \equiv
\varepsilon$. Pero $R(0) = R(2\pi) = I$, de modo que $s(R(0)) =
s(R(2\pi))$, mientras que $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) =
\varepsilon$ y $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) =
-\varepsilon$: contradicción. No existe ninguna sección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): la ambigüedad de signo $\pm q$ es global, no un defecto de una fórmula concreta.

**20.** *Sobreyectiva:* todo $R \in SO(3)$ es $\eu^{\theta A_u}$ para cierto $u$ unitario y cierto $\theta \in
\intcc0{2\pi}$ (preguntas 6 y 8); si $\theta > \pi$, Rodrigues da $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi -
\theta)A_{-u}}$ (ambos valen $I + \sin\theta A_u + (1 -
\cos\theta)A_u^2$, y $A_{-u} = -A_u$ con $\sin(2\pi -
\theta) = -\sin\theta$, $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$), de modo que $R = E(v)$ con $\norm v \leq \pi$. *Inyectiva dentro:* si $E(v) = E(v') \neq I$ con $\norm v, \norm{v'} < \pi$, la pregunta 13 recupera el mismo ángulo $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ de la traza y, como $\sin\theta \neq 0$, el mismo eje de la parte antisimétrica: $v = v'$; y $E(v) = I$ fuerza $\theta \in \{0\}$ en la bola abierta. *Frontera:* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ depende de $u$ solo a través de $uu^{\mathsf T}$, de donde $E(\pi u) =
E(-\pi u)$; recíprocamente, $2uu^{\mathsf T} - I =
2u'u'^{\mathsf T} - I$ aplicado a $u$ da $u = \langle
u', u\rangle u'$, de modo que $u' = \pm u$. El [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y la frontera nunca chocan (traza $> -1$ frente a $= -1$). Así, $E$ induce una biyección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la bola con pegado antipodal — compacta — sobre $SO(3)$: un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y $SO(3)
\cong \mathbb{RP}^3$. Un diámetro de $\pi u$ a $-\pi u$ tiene los extremos pegados: es un lazo en $SO(3)$, y su descripción en $E$ coincide con la familia de rotaciones alrededor de $u$ de la pregunta 10, barriendo una vuelta [completa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

**21.** $\rho$ es un morfismo y $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, de modo que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1}
= \rho_{pq\bar p}$; por la pregunta 16, conjugar una rotación conserva su ángulo y gira su eje mediante $\rho_p$. Involuciones: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ si y solo si $q^2 = \pm1$. Si $q^2 = 1$, entonces $(q - 1)(q + 1) = q^2 -
1 = 0$ (escalares centrales, de modo que esta factorización es válida) y $q = \pm1$ en el anillo de división $\mathbb H$, lo que da $\rho_q
= I$, excluido; $q^2 = -1$ con $q = a +
su$ da $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$, de modo que $a = 0$, $s = 1$: $q$ es un $w$ puro unitario, y $\rho_w$ es la media vuelta alrededor de $w$ (ángulo $\pi$, pregunta 5). [Centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions): si $\rho_q$ conmuta con todo $\rho_p$, entonces $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, de modo que $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ con $\varepsilon(p) \in
\{\pm1\}$; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en el [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $S^3$ y vale $1$ en $p =
1$, luego $\equiv 1$: $q$ conmuta con todo $S^3$, luego con todo $\mathbb H$ (reescalando), de modo que $q \in \R \cap S^3 =
\{\pm1\}$ (pregunta 1) y $\rho_q = I$: el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) es trivial.

**22.** Como $u \perp w$ son puros unitarios, $uw =
u\wedge w$ es puro (pregunta 18), de modo que

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

es puro, de norma $\abs q\abs w = 1$. Entonces $w'w = qw\cdot w
= qw^2 = -q$, y

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

Ambos ejes $w$ y $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ están en el plano $u^\perp$ ortogonal al eje de rotación, y $\langle w', w\rangle
= \cos\frac\theta2$: forman el semiángulo $\frac\theta2$. Esta es la generación clásica: dos medias vueltas alrededor de ejes que forman un ángulo $\frac\theta2$ componen la rotación de ángulo $\theta$ alrededor de su perpendicular común.

**23.** La [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) es la pregunta 7. [Conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) por [caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected): $SO(3) = \rho(S^3)$ es la imagen [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la esfera [conexa por caminos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected); alternativamente, para $R = \eu^{A}$ con $A$ antisimétrica (pregunta 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ es un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) en $SO(3)$ de $I$ a $R$ (ortogonal porque $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, determinante $1$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) desde $t = 0$). Para $O(3)$: $\det$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y sobreyectivo sobre $\{\pm1\}$, de modo que $O(3)$ es disconexo, $O(3) = SO(3)
\sqcup D\,SO(3)$ para cualquier $D$ fijo con $\det D = -1$ (por ejemplo, $D = -I$), y la multiplicación por la izquierda por $D$ es un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): exactamente dos componentes, cada una copia de $SO(3)$. El $\rho$ dos a uno, sin sección por la pregunta 19, es así un recubrimiento doble honesto de un grupo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) por el [simplemente conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) $S^3$ — la geometría que hay detrás del truco del cinturón.

**24.** (i) Matrices:

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

La traza $0 = 1 + 2\cos\theta$ da $\cos\theta = -\frac12$: $\theta = \frac{2\pi}3$. La parte antisimétrica $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ tiene entradas que codifican el eje en la forma $\sin\theta\,(v_3,
-v_2, v_1)$: aquí $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, que se lee (diccionario $A_v$ de la Parte V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$; con $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$: $v = \frac1{\sqrt3}(1,
-1, 1)$. (ii) Cuaterniones: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k =
\frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, y

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

($ik = -j$). Así, $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, y la parte vectorial $\frac12(i - j + k)$ tiene dirección $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — la misma respuesta, requiriendo la vía cuaterniónica una línea de multiplicación en lugar de un producto de matrices: la razón práctica por la que el software de vuelo compone actitudes en $S^3$.

**25.** $I + K$ invertible: $(I + K)v = 0$ da $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (la antisimetría mata el segundo término): $v = 0$. Ortogonalidad de $C = C(K)$: usando $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ y que las cuatro matrices $I \pm K$, $(I \pm K)^{-1}$ conmutan (expresiones polinómicas en $K$, más límites):

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

Determinante: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, de modo que $\det C = 1$: $C \in SO(n)$. Ningún valor propio $-1$: $Cv = -v$ significa $(I - K)w = -(I + K)w$ para $w = (I + K)^{-1}v$, es decir, $2w = 0$: $v = 0$. Inversión: de $C(I + K) = I - K$, resuélvase $K(I + C) = I -
C$; como $-1 \notin \operatorname{Sp}C$, $I + C$ es invertible y $K = (I - C)(I + C)^{-1}$, que es antisimétrica siempre que $C$ sea ortogonal sin el valor propio $-1$ (transpóngase la expresión y úsese $C^{\mathsf T} =
C^{-1}$: $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} =
(C - I)(C + I)^{-1} = -K$). Las dos aplicaciones son mutuamente inversas por construcción: una parametrización racional global del trozo abierto denso de $SO(n)$ que evita el valor propio $-1$ — sin series, sin trigonometría, y en dimensión $3$ es la sustitución del semiángulo $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ disfrazada.