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title: "Formas diferenciales y teorema de Stokes"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/21-formas-diferenciales-y-teorema-de-stokes
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# Capítulo 21 — Formas diferenciales y teorema de Stokes

Un teorema del análisis ha absorbido, en dos siglos, a todos los demás de su especie: el teorema fundamental del cálculo, Green–Riemann (demostrado en el volumen de segundo año), el teorema de la divergencia de Gauss, el teorema del rotacional de Kelvin–Stokes — cada uno dice que la integral de cierta derivada sobre una región es igual a la integral del objeto original sobre el [borde](#def-b3-forms-boundary). El lenguaje de las *[formas diferenciales](#def-b3-forms-diffform)* los convierte en un solo enunciado, $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$, y hace ese enunciado demostrable de una sola vez. Este capítulo construye el lenguaje honestamente — álgebra multilineal alternada, [derivada exterior](#def-b3-forms-d), [retrocesos](#def-b3-forms-pullback), [orientación](#def-b3-forms-orientation), integración sobre las subvariedades del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds) —, demuestra el teorema de Stokes y cobra los primeros cheques: los teoremas integrales clásicos, el [índice](#def-b3-forms-winding) que en secreto gobernaba el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#ch-b3-residues) y, en el problema de fin de semana, el teorema del punto fijo de Brouwer. En todo el capítulo, *regular* significa $\mathcal
C^\infty$; toda aplicación y toda forma son regulares salvo mención expresa. Esto no cuesta ninguna generalidad que merezca la pena a este nivel y deja las manos libres.

## 21.1 Álgebra multilineal alternada

**Definición 21.1.**

Sea $E$ un espacio vectorial real de dimensión $n$. Una *forma $k$-lineal alternada* en $E$ es una aplicación $\alpha\colon E^k \to \R$, lineal en cada variable, con $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ siempre que dos argumentos sean iguales. Su espacio se denota $\Lambda^k E^*$; por convenio, $\Lambda^0E^* = \R$. La alternancia fuerza la antisimetría: intercambiar dos argumentos cambia el signo (desarróllese $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$) y, más en general, $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ para toda permutación $\sigma$.

**Ejemplo 21.2.**

En $E = \R^n$: $\Lambda^1E^* = E^*$ es el [espacio dual](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator); el determinante en la base canónica es una [forma alternada](#def-b3-forms-alternating) $n$-lineal, y la [Proposición 21.4](#prop-b3-forms-basis) mostrará que genera $\Lambda^nE^*$ — la razón profunda de que el determinante sea único salvo escala. Para $k > n$, $\Lambda^kE^* = \{0\}$: $k$ vectores son dependientes, y desarrollar uno según los demás anula $\alpha$ por alternancia.

**Definición 21.3.**

Para $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$, su *producto exterior* es la [forma alternada](#def-b3-forms-alternating) $k$-lineal

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

La alternancia y la multilinealidad son las del determinante en sus columnas.

**Proposición 21.4 (Base de Λk\Lambda^kΛk).**

Sea $(e_1, \dots, e_n)$ una base de $E$ con base [dual](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#def-b3-banach-operator) $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. Las formas

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

constituyen una base de $\Lambda^kE^*$; por tanto, $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. Explícitamente, $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**Demostración.** *Generación.* Sean $\alpha \in \Lambda^kE^*$ y $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, donde $\alpha(e_I)$ abrevia $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Ambos miembros son $k$-lineales y alternados, de modo que coinciden en cuanto coincidan en todas las $k$-tuplas $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ con $j_1 < \dots <
j_k$ (la multilinealidad reduce a tuplas de vectores de la base, y la alternancia a las estrictamente crecientes). Y $e_I^*(e_{j_1},
\dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: para $I = J$ la matriz es la identidad; para $I \neq J$ alguna fila es nula. Así, $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ para todo $J$: $\beta = \alpha$. *Independencia.* Si $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, evaluando en $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ se obtiene $c_J = 0$. ∎

**Definición 21.5.**

El [producto exterior](#def-b3-forms-wedge) se extiende a una aplicación bilineal $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$, determinada por la bilinealidad y por $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (concaténese y reordénese; el producto es $0$ si $I \cap J \neq
\varnothing$). Es asociativo y *anticonmutativo graduado*:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**Demostración.** Ambas propiedades se comprueban en los elementos de la base y se extienden por bilinealidad. Asociatividad: ambos parentizados de $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ coinciden con el [producto exterior](#def-b3-forms-wedge) de la familia concatenada de $1$-formas, por la fórmula del determinante de la [Definición 21.3](#def-b3-forms-wedge) (desarrollo de Laplace por bloques). La regla de los signos: pasar cada uno de los $\ell$ factores de $\beta$ por delante de los $k$ factores de $\alpha$ cuesta un signo por cada transposición adyacente (un intercambio de dos filas del determinante), y por tanto $(-1)^{k\ell}$ en total. ∎

**Proposición 21.6 (Retroceso, caso lineal).**

Una aplicación lineal $u\colon E \to F$ induce, para cada $k$, la aplicación lineal $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots,
u(v_k))$. Cumple $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha
\wedge u^*\beta$ y $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$. Además:

1. Si $\dim E = n$ y $u\colon E \to E$ , entonces en la recta $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
2. Si $\operatorname{rk}u < k$ , entonces $u^* = 0$ en $\Lambda^kF^*$ .

**Demostración.** Las identidades funtoriales son inmediatas de las definiciones (para la regla del producto, compruébese en [productos exteriores](#def-b3-forms-wedge) de $1$-formas con la fórmula del determinante — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — y extiéndase después bilinealmente). (1) $u^*$ lleva el espacio unidimensional $\Lambda^nE^*$ (la [Proposición 21.4](#prop-b3-forms-basis)) en sí mismo, de modo que $u^*\alpha =
c\,\alpha$ con $c$ independiente de $\alpha \neq 0$; evaluando en $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ y $(v_j) =
(e_j)$ se obtiene $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Para $v_1, \dots, v_k \in E$, los vectores $u(v_1), \dots,
u(v_k)$ están en la imagen de $u$, de dimensión $< k$: son linealmente dependientes, y una [forma alternada](#def-b3-forms-alternating) se anula sobre una familia dependiente (desarróllese el vector dependiente según los demás). ∎

## 21.2 Formas diferenciales y derivada exterior

**Definición 21.7.**

Sea $U \subseteq \R^n$ abierto. Una *$k$-forma diferencial* en $U$ es una aplicación regular $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$; en la base de la [Proposición 21.4](#prop-b3-forms-basis) (escribiendo $\dd x_i$ por $e_i^*$),

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

con coeficientes regulares $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Su espacio es $\Omega^k(U)$; $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$. Una $0$-forma es una función; una $1$-forma es un campo de formas lineales (por ejemplo, la diferencial $\dd f$ de una función); una $n$-forma es $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$, el integrando natural del [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#ch-b3-product).

**Definición 21.8 (Derivada exterior).**

La *derivada exterior* es la aplicación lineal $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ definida por

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

En las $0$-formas es la diferencial usual.

**Teorema 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ para $\omega \in \Omega^k$ (la *regla de Leibniz graduada*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**Demostración.** (a) Por bilinealidad basta tratar $\omega = a\,\dd
x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Entonces $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ y

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

y pasar la $1$-forma $\dd b$ por delante de los $k$ factores de $\dd
x_I$ cuesta $(-1)^k$ (la [Definición 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)): el segundo término es $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Para una función: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$. El coeficiente es simétrico en $(i,j)$ por el teorema de Schwarz sobre las derivadas parciales cruzadas (demostrado en el volumen de segundo año; $a$ es $\mathcal C^\infty$), mientras que $\dd x_j \wedge
\dd x_i$ es antisimétrico: emparejando los términos $(i,j)$ y $(j,i)$, todo se cancela. Para $\omega = \sum
a_I\dd x_I$ general: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ por (a), y ambos términos se anulan ($\dd(\dd x_I) = 0$, pues el coeficiente es constante). ∎

**Definición 21.10 (Retroceso).**

Sea $\varphi\colon U \to V$ regular ($U \subseteq \R^m$, $V \subseteq \R^n$ abiertos). El *retroceso* $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ se define puntualmente por el retroceso lineal a lo largo de la diferencial: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. En concreto, $\varphi^*$ sustituye: $\varphi^*f = f \circ
\varphi$ en las funciones, $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$ y $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**Teorema 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ y $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: la [derivada exterior](#def-b3-forms-d) conmuta con toda sustitución regular — la identidad que la convierte en *la* derivada de la teoría. (c) Si $\varphi\colon U \to V$ es regular entre abiertos de $\R^n$ y $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$, entonces $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$.

**Demostración.** (a) Enunciados puntuales sobre [retrocesos](#def-b3-forms-pullback) lineales (la [Proposición 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), más la regla de la cadena $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Para una $0$-forma $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ es la regla de la cadena. Para $\omega = a\,\dd y_I$: usando (a), $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, de modo que, por la regla de Leibniz (el [Teorema 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) y $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$:

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) Puntualmente esto es exactamente $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ en las formas de grado máximo (la [Proposición 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) con $u = D\varphi(x)$). ∎

**Ejemplo 21.12 (Coordenadas polares).**

Para $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$, $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$, de modo que

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

apareciendo el jacobiano del [Ejemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#ex-b3-product-polar) por pura álgebra — sin teoría de la [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure). El [Ejercicio 21.9](#exo-b3-forms-9) convierte esta observación en un enunciado: para las integrales orientadas, la fórmula del cambio de variables *es* la fórmula del [retroceso](#def-b3-forms-pullback).

## 21.3 Formas cerradas y exactas; el lema de Poincaré

**Definición 21.13.**

$\omega \in \Omega^k(U)$ es *cerrada* si $\dd\omega = 0$, y *exacta* si $\omega = \dd\eta$ para alguna $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (una *primitiva* de $\omega$). Exacta $\Rightarrow$ cerrada por $\dd^2 = 0$; el recíproco es una cuestión sobre la *forma* de $U$.

**Ejemplo 21.14 (La forma angular).**

En $U = \R^2 \setminus \{0\}$,

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) (cálculo directo: el [Ejercicio 21.4](#exo-b3-forms-4)) pero no [exacta](#def-b3-forms-closedexact): su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$, mientras que las integrales de [formas exactas](#def-b3-forms-closedexact) a lo largo de curvas [cerradas](#def-b3-forms-closedexact) se anulan (la [Proposición 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). Localmente, $\omega_\theta = \dd\theta$ para cualquier determinación regular $\theta$ del ángulo polar — de ahí el nombre y la obstrucción: no existe tal determinación en todo $U$. Esta única forma gobierna el [índice](#def-b3-forms-winding) (la [Sección 21.6](#sec-21-6)) y, a través de él, el teorema de los [residuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#def-b3-residues-singularities) del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#ch-b3-residues).

**Teorema 21.15 (Lema de Poincaré).**

Sea $U \subseteq \R^n$ abierto y *estrellado* respecto de $0$. Toda $k$-forma [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) en $U$ ($k \geq 1$) es [exacta](#def-b3-forms-closedexact).

**Demostración.** Construimos un *operador de homotopía* lineal $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ con

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

si $\dd\omega = 0$, entonces $\omega = \dd(h\omega)$ y hemos terminado. Para $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$, póngase

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(el acento circunflejo suprime un factor; las integrales son regulares en $x$ por derivación bajo la integral, el [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff), estando todas las derivadas dominadas en los [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)). Comprobar la [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) es un cálculo que se hace una vez en la vida, de modo que lo hacemos entero. Fíjese $I$ y tómese $\omega =
a\,\dd x_I$ (linealidad). Primero,

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

el primer grupo recoge los términos en que $\dd$ golpea el factor $x_{i_r}$ — el [producto exterior](#def-b3-forms-wedge) $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ reconstruye $\dd x_I$ con un signo $(-1)^{r-1}$ que cancela el prefactor, y los $k$ valores de $r$ dan el factor $k$ —, mientras que el segundo grupo recoge los términos en que $\dd$ golpea la integral (la regla de la cadena saca $t\,\partial_ja(tx)$). A continuación, $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$ y, aplicando la definición de $h$ en grado $k+1$, con el [índice](#def-b3-forms-winding) $j$ ocupando la primera posición:

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

Las sumas dobles se cancelan en $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, que por tanto vale

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

por el teorema fundamental del cálculo. La condición de ser estrellado entró donde tenía que entrar: $tx \in U$ para $t \in \intcc01$, de modo que $a(tx)$ tiene sentido. ∎

**Observación 21.16.**

Para $k = 1$ y $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$, la primitiva es $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — la integral de línea de $\omega$ a lo largo del segmento $[0, x]$: el teorema es el «un campo con jacobiana simétrica es un gradiente» de varias variables de segundo año, ahora en todos los grados. La forma angular (el [Ejemplo 21.14](#ex-b3-forms-angular)) muestra que la hipótesis sobre $U$ no es decorativa: $\R^2\setminus\{0\}$ no es estrellado, y allí ser [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) no implica ser [exacta](#def-b3-forms-closedexact). Lo que sobrevive en un abierto general lo mide la *cohomología de de Rham* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — véase el [Ejercicio 21.12](#exo-b3-forms-12) para el primer cálculo no trivial.

## 21.4 Orientación e integración sobre subvariedades

Integrar una $k$-forma exige territorio orientado de dimensión $k$. Recuérdese del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds) (el [Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) que una $k$-subvariedad $M \subseteq \R^n$ es localmente la imagen de una parametrización regular $\gamma\colon V \to M \cap W$ ($V
\subseteq \R^k$ abierto, $\gamma$ un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre su imagen con diferencial inyectiva).

**Definición 21.17.**

Una *orientación* de $M$ es la elección, para cada $p \in M$, de una de las dos clases de orientación de bases del [espacio tangente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$, que sea *localmente coherente*: alrededor de cada punto hay una parametrización $\gamma$ cuyo referencial de coordenadas $(\partial_1\gamma, \dots,
\partial_k\gamma)$ está positivamente orientado en todo punto de su dominio. Tales parametrizaciones se llaman *directas*. $M$ es *orientable* si existe una orientación; la banda de Möbius muestra que esto puede fallar. Todas las subvariedades de este capítulo están orientadas.

**Definición 21.18 (Integral de una forma).**

Sean $M$ una $k$-subvariedad orientada y $\omega$ una $k$-forma definida en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $M$, con $\operatorname{supp}\omega \cap M$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). (a) Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ para una única parametrización directa, póngase

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— siendo el miembro derecho la integral de Lebesgue en $V$ (el [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#ch-b3-product)) del coeficiente $g$ de $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, que es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). (b) En general, elíjanse un número finito de parametrizaciones directas $\gamma_i(V_i)$ que recubran el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\omega \cap M$ y una [partición de la unidad](#lem-b3-forms-partition) subordinada $(\chi_i)$ (el [Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), y póngase $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, calculando cada término por (a). Para una curva ($k = 1$) parametrizada por $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ escribimos $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, sin exigir inyectividad.

**Lema 21.19 (Consistencia).**

La definición (a) no depende de la parametrización directa, y la definición (b) no depende ni del recubrimiento ni de la [partición de la unidad](#lem-b3-forms-partition). Además, si $\Phi$ es un difeomorfismo de [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de dos subvariedades orientadas con $\Phi(M) = M'$, que lleva un referencial directo de $M$ a un referencial directo de $M'$ en algún punto de cada componente de $M$, entonces $\int_{M'}\omega =
\int_M\Phi^*\omega$.

**Demostración.** (a) Sean $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrizaciones directas cuyas imágenes contienen $\operatorname{supp}\omega\cap M$. La transición $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ es un difeomorfismo entre los abiertos correspondientes de $V, V'$ (regularidad de las transiciones: el [Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations), vía la descripción local por grafos), y allí $\gamma = \delta\circ\tau$, de modo que $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). Escríbase $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; entonces ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Siendo directos ambos referenciales, $D\tau$ lleva una base positiva a una base positiva: $\det D\tau > 0$, de modo que $\det D\tau =
\abs{\det D\tau}$ y el teorema del cambio de variables (el [Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-changeofvar)) da $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: las dos integrales coinciden. *He aquí toda la razón de ser de la [orientación](#def-b3-forms-orientation)*: sin el control del signo, el jacobiano y su valor absoluto difieren y la integral queda mal definida. (b) Si $(\chi_i)$ y $(\tilde\chi_j)$ son dos particiones admisibles (recubrimientos incluidos), entonces, por (a) y la aditividad finita, $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, siendo cada término doble calculable en cualquiera de las dos cartas. La última afirmación: si $\gamma$ recorre las parametrizaciones directas de $M$, entonces $\Phi\circ\gamma$ recorre las parametrizaciones directas de $M'$ (la comparación de orientaciones es localmente constante y está fijada en un punto por componente), y $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**Lema 21.20 (Particiones de la unidad, caso compacto).**

Sean $K \subseteq \R^n$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y $W_1, \dots, W_m$ abiertos que recubren $K$. Existen $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ con $0 \leq \chi_i \leq 1$, $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y $\sum\chi_i = 1$ en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $K$.

**Demostración.** Cada $x \in K$ está en algún $W_{i(x)}$ con una bola [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) extrae $x_1, \dots, x_N$ con las bolas $B(x_s, r_{x_s})$ recubriendo $K$. Para cada $s$, tómese una meseta $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ en $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s
\subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (regularícese el indicador de la bola de radio $\frac32r_{x_s}$, el [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-regularization)). Asígnese cada $s$ a un [índice](#def-b3-forms-winding) $i(s)$ con $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ y póngase $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. En el abierto $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, las funciones $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ hacen el trabajo, pero solo están definidas allí; para globalizar, sea $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ tal que $\rho = 0$ donde $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ y $\rho > 0$ donde $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (regularícese un corte adecuado de $1 - \sum_j\Theta_j$), y póngase

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

El denominador es en todas partes $> 0$ y vale $\sum_j\Theta_j$ en $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) abierto de $K$ (cada punto de $K$ está en alguna bola $B(x_s, r_{x_s})$ donde $\theta_s = 1$); allí $\sum_i\chi_i = 1$. Los soportes y las cotas son claros. ∎

## 21.5 El teorema de Stokes

**Definición 21.21.**

Una *$k$-subvariedad con borde* $M \subseteq \R^n$ es un conjunto recubierto por parametrizaciones regulares de dos tipos: *cartas [interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)* $\gamma\colon V \to M \cap W$ con $V \subseteq \R^k$ abierto, y *cartas de borde* $\gamma\colon V \cap H^k \to M
\cap W$, donde $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ y $\gamma$ se extiende de manera regular y con diferencial inyectiva al abierto $V$. El *borde* $\partial M$ es el conjunto de los puntos alcanzados en $u_k = 0$; es una $(k-1)$-subvariedad sin borde, parametrizada por las aplicaciones $u' \mapsto \gamma(u',
0)$. Una [orientación](#def-b3-forms-orientation) de $M$ induce otra en $\partial M$ por la regla de la *normal exterior en primer lugar*: en $p \in \partial M$, una base $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ es positiva si y solo si $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ es una base positiva de $T_pM$, donde $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ apunta hacia fuera de $M$ (en una carta de borde: $\nu =
-\partial_k\gamma$, salvo la suma de componentes tangenciales — la clase de [orientación](#def-b3-forms-orientation) no las ve).

![La regla de la normal exterior en primer lugar: en cada punto del borde, póngase primero el vector exterior ; las bases que lo completan hasta un referencial positivo de M orientan M. Para un dominio plano con la orientación estándar, esta es la regla antihoraria de Green–Riemann.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-c65bf85f3772.svg)

*La regla de la normal exterior en primer lugar: en cada punto del [borde](#def-b3-forms-boundary), póngase primero el vector exterior $\nu$; las bases que lo completan hasta un referencial positivo de $M$ orientan $\partial M$. Para un dominio plano con la [orientación](#def-b3-forms-orientation) estándar, esta es la regla antihoraria de Green–Riemann.*

**Lema 21.22 (Stokes en el semiespacio).**

Sea $\eta$ una $(k-1)$-forma regular en $\R^k$ de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). Entonces

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

donde $H^k$ lleva la [orientación](#def-b3-forms-orientation) estándar de $\R^k$ y $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ la inducida, que es $(-1)^k$ veces la [orientación](#def-b3-forms-orientation) estándar de $\R^{k-1}$.

**Demostración.** Primero, la contabilidad de la [orientación](#def-b3-forms-orientation): la normal exterior a lo largo de $\partial H^k$ es $-e_k$, y

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

el referencial $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ es positivo para la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida exactamente cuando $k$ es par, de donde la comparación enunciada. Por linealidad, tómese $\eta
= f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$; entonces $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (llevar $\dd u_i$ a su posición cuesta $i - 1$ intercambios). Dos casos, ambos por Tonelli–Fubini (el [Teorema 11.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-fubini)) y el teorema fundamental del cálculo en una variable.

*Caso $i < k$.* Integrando primero en $u_i$ sobre $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)), de modo que $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Y la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ contiene el factor $\dd u_k$, que se restringe a $0$ ($u_k$ es allí constante): $\int_{\partial H^k}\eta =
0$ también.

*Caso $i = k$.* Integrando primero en $u_k$ sobre $\intco0\infty$:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

Del lado del [borde](#def-b3-forms-boundary), $\eta$ se restringe a $f(u',
0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ y, siendo la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida $(-1)^k$ veces la estándar, $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Los dos miembros coinciden. ∎

**Teorema 21.23 (Stokes).**

Sean $M \subseteq \R^n$ una $k$-subvariedad orientada compacta con [borde](#def-b3-forms-boundary), con $\partial M$ dotado de la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida, y $\omega$ una $(k-1)$-forma regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $M$. Entonces

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

En particular, si $\partial M = \varnothing$: $\int_M\dd\omega = 0$.

**Demostración.** Recúbrase el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $M$ por un número finito de imágenes de cartas directas ([interiores](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) o de [borde](#def-b3-forms-boundary)), y tómese una [partición de la unidad](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ subordinada a los abiertos correspondientes $W_i$ de $\R^n$ (el [Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), con $\sum\chi_i
= 1$ en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $M$. En ese [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology), $\dd(\sum\chi_i) = 0$, de modo que

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

ambos miembros son aditivos, y basta demostrar el teorema para una forma soportada en la imagen de una sola carta.

*Carta [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior).* Si $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ con $V$ abierto en $\R^k$: extiéndase $\eta =
\gamma^*\omega$ por cero a $\R^k$ (regular, de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en $V$) y aplíquese el [Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) con el soporte alejado de $\partial H^k$ (trasládese $V$ al semiespacio superior abierto — o repítase sin más el cálculo del caso $i < k$ en todo $\R^k$): $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$, y $\int_{\partial M}\omega = 0$, pues $\omega$ se anula cerca de $\partial M$.

*Carta de [borde](#def-b3-forms-boundary).* Si $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$: con $\eta = \gamma^*\omega$ extendida por cero, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), de modo que, por [Definición 21.18](#def-b3-forms-integral):

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{Lema 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

Queda identificar el miembro derecho con $\int_{\partial
M}\omega$. El [borde](#def-b3-forms-boundary) está parametrizado por $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$, y $\beta^*\omega$ es la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ ([retroceso](#def-b3-forms-pullback) por la inclusión $u'
\mapsto (u', 0)$ compuesta con $\gamma$). La comparación de orientaciones es el mismo $(-1)^k$ en ambos miembros: el referencial $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ se sitúa en la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida de $\partial M$ con el signo $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculado en la carta (el vector exterior retrocede a $-e_k$), que es exactamente el signo que relaciona la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida de $\partial H^k$ con la estándar de $\R^{k-1}$ (el [Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). Los dos convenios de signo se cancelan: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎

**Ejemplo 21.24 (Los teoremas clásicos).**

Sea $D \subseteq \R^2$ un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) con [borde](#def-b3-forms-boundary) regular, orientado de la manera estándar. Para $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$: $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ -
\partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$, y Stokes se lee

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

*Green–Riemann*, demostrado para dominios elementales en el volumen de segundo año y ahora en su generalidad natural. En $\R^3$, Stokes aplicado a la $2$-forma de [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) de un campo de vectores en un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) da el *teorema de la divergencia* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$, y aplicado a una $1$-forma en una superficie con [borde](#def-b3-forms-boundary), el clásico teorema del rotacional de *Kelvin–Stokes*; el [Ejercicio 21.7](#exo-b3-forms-7) detalla ambos diccionarios.

## 21.6 El índice

**Definición 21.25.**

Sea $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ una curva [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) regular. Su *índice* alrededor de $a$ es

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**Proposición 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$; como función de $a$ es constante en cada [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components) de $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ y nulo en la componente no acotada. Para $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$: $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**Demostración.** Tómese $a = 0$ y escríbase $\gamma = (x, y)$, $\rho =
\norm\gamma > 0$, $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$, de modo que $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. En notación compleja, sea $u(t)
= \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$; entonces $\abs u = 1$ y un cálculo directo da

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

puesto que $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ y $\rho\rho' = xx' + yy'$. Así, $u$ es constante: $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ con $\abs c = 1$, y $\gamma(1) = \gamma(0)$ con $\rho(1) = \rho(0)$ fuerza $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$: $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, i.e. $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. Como función de $a$ en el complementario abierto de la curva compacta, la integral que la define es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (el [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont), con dominación en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de cada $a$); una función [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de valores enteros es localmente constante, luego constante en cada componente. Para $\norm a$ grande, el integrando es $O(1/\norm a)$ uniformemente en $t$, de modo que el [índice](#def-b3-forms-winding) tiende a $0$ y se anula en la componente no acotada. Para la circunferencia: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ directamente. ∎

**Observación 21.27.**

Con $\C \cong \R^2$, $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, de modo que $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: este es el [índice](#def-b3-forms-winding) del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#ch-b3-residues), y la [Proposición 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) vuelve a demostrar su [carácter](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-character) entero y su constancia local por medios de variable real — la mitad [topológica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) del teorema de los [residuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/17-series-de-laurent-y-teorema-de-los-residuos#def-b3-residues-singularities), ahora apoyada en Stokes.

**Proposición 21.28.**

Si $\omega = \dd f$ es [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en el abierto $U$ y $\gamma\colon\intcc01\to U$ es una curva [cerrada](#def-b3-forms-closedexact), entonces $\int_\gamma\omega = 0$.

**Demostración.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — la regla de la cadena identifica $\gamma^*(\dd f)$ con $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**Método 21.29.**

Calcular con formas: (1) mecanícese — los [productos exteriores](#def-b3-forms-wedge) se reordenan con signos, $\dd$ deriva los coeficientes generando nuevos $\dd
x_j$ y los [retrocesos](#def-b3-forms-pullback) sustituyen; confíese en el álgebra, que codifica todos los jacobianos. (2) Para integrar una forma sobre una subvariedad: parametrícese directamente, retrocédase la forma e intégrese el coeficiente; la [orientación](#def-b3-forms-orientation) es la única trampa — compruébese un referencial. (3) Para demostrar una identidad integral, búsquese una silueta de Stokes: ¿es el integrando exacto?, ¿es el dominio un [borde](#def-b3-forms-boundary)? (4) Para comparar integrales sobre dos subvariedades «paralelas», aplíquese Stokes a la región comprendida entre ellas (el argumento de deformación, el [Ejercicio 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) Una integral no nula de una [forma cerrada](#def-b3-forms-closedexact) certifica una obstrucción [topológica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) — ninguna primitiva, ninguna retracción, ninguna extensión sin ceros: así es como el problema de fin de semana liquida las retracciones de la bola.

## 21.7 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

En $\R^3$, sean $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ y $\eta =
\dd x + y\,\dd z$. Calcúlense $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$ y $\dd(\omega\wedge\eta)$, y verifíquese la regla de Leibniz graduada en este ejemplo.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

Desarrollando y anulando los factores repetidos:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(usando $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ y $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). A continuación, $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y +
\dd x\wedge\dd z$ y $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$. Por último,

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

(el primer término de $\omega\wedge\eta$ aporta $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$; las permutaciones cíclicas de tres factores son pares). Comprobación de Leibniz: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd
z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, y $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd
x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$; la suma cuadra.

**Ejercicio 21.2 ★.**

Identifíquense, en $\R^3$, las tres encarnaciones de $\dd$: para $f \in \Omega^0$, $\dd f \leftrightarrow \nabla f$; para la forma de trabajo $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$, $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$; para la forma de [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd
z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$, $\dd\sigma_F
\leftrightarrow \operatorname{div}F$. Dedúzcanse de $\dd^2 =
0$ las identidades $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ y $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**Solución de Ejercicio 21.2.**

$\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ tiene los coeficientes de $\nabla f$. Para la forma de trabajo,

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

la forma de [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) del rotacional (agrúpense los seis términos de $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$). Para la forma de [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification), $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 +
\partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$: la divergencia. Entonces $\dd^2f = 0$ se lee $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$, i.e. $\operatorname{curl}\nabla f = 0$, y $\dd^2\omega_F = 0$ se lee $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$: las dos identidades vectoriales son una sola identidad, $\dd^2 = 0$, leída en dos grados.

**Ejercicio 21.3 ★★.**

Decídase si cada $1$-forma es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) o [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en su dominio, y calcúlese una primitiva cuando exista: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ en $\R^3$; (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ en $\R^2\setminus\{0\}$; (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ en el semiplano $\{x > 0\}$.

**Solución de Ejercicio 21.3.**

(a) Ser [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) es la simetría de las parciales cruzadas: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$, $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$, $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$. El dominio $\R^3$ es estrellado: [exacta](#def-b3-forms-closedexact) (el [Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)), con primitiva $f = x^2y + xz^2$ (compruébese $\dd f$). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$: [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en todo $\R^2\setminus\{0\}$ (luego [cerrada](#def-b3-forms-closedexact)) — la prima radial de la forma angular es inofensiva. (c) En $\{x > 0\}$ la forma es $\omega_\theta$, [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) (el [Ejercicio 21.4](#exo-b3-forms-4)); el semiplano es convexo, de modo que allí es [exacta](#def-b3-forms-closedexact) y, en efecto, $f = \arctan(y/x)$ cumple $\dd f
= \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$. [Exacta](#def-b3-forms-closedexact) en el semiplano, no [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en el plano punteado: la obstrucción vive en el agujero, no en la fórmula.

**Ejercicio 21.4 ★★.**

(La forma angular) Verifíquese que $\omega_\theta$ (el [Ejemplo 21.14](#ex-b3-forms-angular)) es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact); calcúlese $\int_\gamma\omega_\theta$ para $\gamma$ la circunferencia de radio $r$ alrededor de $0$; conclúyase que $\omega_\theta$ no es [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en $\R^2\setminus\{0\}$ y que $\R^2\setminus\{0\}$ no es estrellado respecto de ninguno de sus puntos (dos vías: por el [Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare) y directamente por la geometría).

**Solución de Ejercicio 21.4.**

Ser [cerrada](#def-b3-forms-closedexact): con $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

de modo que $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$. En $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{luego}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

Si $\omega_\theta$ fuera [exacta](#def-b3-forms-closedexact), esta integral se anularía (la [Proposición 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): no es [exacta](#def-b3-forms-closedexact). Si $\R^2\setminus\{0\}$ fuera estrellado respecto de algún $p$, el lema de Poincaré (trasladado a $p$) haría [exacta](#def-b3-forms-closedexact) toda [forma cerrada](#def-b3-forms-closedexact) — contradicción. Directamente: para cualquier $p
\neq 0$, el segmento de $p$ al punto $-p$ del dominio pasa por $0$: la propiedad de ser estrellado falla en todo punto.

**Ejercicio 21.5 ★★.**

(Forma de área de una hipersuperficie) Sea $M \subseteq \R^n$ una hipersuperficie orientada compacta cuya [orientación](#def-b3-forms-orientation) viene dada por un campo normal unitario $\nu$ ($(w_1, \dots, w_{n-1})$ positiva si y solo si $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ es positiva en $\R^n$). Demuéstrese que la $(n-1)$-forma $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ se restringe en $M$ a la *forma de área*: para una parametrización directa $\gamma$, $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$, donde $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ es la matriz de Gram. *(Obsérvese que $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ y elévese al cuadrado este determinante.)* Calcúlese $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**Solución de Ejercicio 21.5.**

Para vectores $v_1, \dots, v_{n-1}$, desarrollando el determinante por su primera columna se obtiene

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl(\text{filas} \neq i \text{ de } (v_1, \dots,
v_{n-1})\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

puesto que $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ es exactamente el $i$-ésimo menor suprimido (la [Definición 21.3](#def-b3-forms-wedge)). Aplicando esto a $v_j =
\partial_j\gamma$: $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots,
e_{n-1}) = \det A$ con $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\
\partial_{n-1}\gamma)$. Ahora bien, ${}^t\!AA$ es diagonal por bloques: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ y $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ ($\nu$ normal, los $\partial_j\gamma$ tangentes), de modo que $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$; y $\det A > 0$ para una parametrización directa (eso significa la $\nu$-orientación): $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$, el elemento de área de Gram. Para $S^2$, $\nu(x) = x$ y la parametrización esférica $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta,
\sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ en $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (directa; se salta un meridiano, un conjunto de área nula): $\det G = \sin^2\varphi$, de modo que $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\,
\dd\theta = 4\pi$.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

Calcúlese $\int_{S^2}\omega$ para $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z
+ y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$: (a) directamente en coordenadas esféricas; (b) por Stokes en la bola unidad. Dedúzcase $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ a partir del área de $S^2$, y generalícese: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$, en consonancia con el [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-ballvolume).

**Solución de Ejercicio 21.6.**

La $\omega$ dada es $\sigma_\nu$ para $\nu(x) = x$ en $S^2$, de modo que (a) es el cálculo recién hecho: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$. (b) $\dd\omega = 3\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z$, y Stokes en la bola unidad da $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$: por tanto, $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$. En general, la forma $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ se restringe en $S^{n-1}$ a la forma de área ($\nu = x$ en el [Ejercicio 21.5](#exo-b3-forms-5)), $\dd\sigma = n\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, y Stokes produce $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — en consonancia con las fórmulas de la función gamma de [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-ballvolume).

**Ejercicio 21.7 ★★.**

(Los diccionarios) Dedúzcanse cuidadosamente del [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes): (a) el teorema de la divergencia en $\R^3$ (combínense el [Ejercicio 21.2](#exo-b3-forms-2) y el [Ejercicio 21.5](#exo-b3-forms-5)); (b) el teorema de Kelvin–Stokes $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ para una superficie orientada compacta con [borde](#def-b3-forms-boundary) en $\R^3$. Compruébese que los convenios de [orientación](#def-b3-forms-orientation) concuerdan en la semiesfera superior limitada por el ecuador.

**Solución de Ejercicio 21.7.**

(a) Stokes aplicado a la forma de [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) $\sigma_F$ en el dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\Omega$: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ (el [Ejercicio 21.2](#exo-b3-forms-2) para el lado [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)). Identifíquese el integrando del [borde](#def-b3-forms-boundary): para $v_1, v_2$ tangentes en un punto de $\partial\Omega$, el desarrollo por la primera columna del [Ejercicio 21.5](#exo-b3-forms-5) da $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$; escribiendo $F =
\langle F, \nu\rangle\nu + T$ con $T$ tangente, la columna $T$ es combinación del plano de $v_1, v_2$, de modo que $\det(T,
v_1, v_2) = 0$ y $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: el teorema de la divergencia, con $\nu$ la normal exterior (la normal exterior en primer lugar es exactamente la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida). (b) Stokes aplicado a $\omega_F$ en la superficie con [borde](#def-b3-forms-boundary) $S$: $\dd\omega_F =
\sigma_{\operatorname{curl}F}$ se restringe a $\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S$ por la misma identificación, mientras que en la curva del [borde](#def-b3-forms-boundary) $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma,
\gamma'\rangle\,\dd t$, es decir, $\oint\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$. Semiesfera superior con $\nu$ exterior (radial): en el punto ecuatorial $p = (1,0,0)$ el vector exterior dentro de la superficie es $-e_3$; completándolo a referenciales positivos se ve que el ecuador se recorre en sentido antihorario visto desde arriba ($+e_3$): la regla de la mano derecha, el mismo convenio en ambos miembros de la identidad.

**Ejercicio 21.8 ★★.**

(Identidades de Green) Para $u, v$ regulares en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\Omega \subseteq \R^n$ de [borde](#def-b3-forms-boundary) regular, demuéstrese

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

Dedúzcase: una [función armónica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) en $\Omega$ que se anula en $\partial\Omega$ es idénticamente nula, y dos funciones armónicas con los mismos valores en el [borde](#def-b3-forms-boundary) coinciden — unicidad en el problema de Dirichlet del [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#ch-b3-conformal).

**Solución de Ejercicio 21.8.**

Aplíquese el teorema de la divergencia (el [Ejercicio 21.7](#exo-b3-forms-7)(a), cuya demostración no depende de la dimensión) a $F = u\nabla v$: $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla
u, \nabla v\rangle$ y $\langle F, \nu\rangle =
u\,\partial_\nu v$: la primera identidad. Intercambiando $u, v$ y restando se cancela el término simétrico: la segunda. Si $\Delta u = 0$ en $\Omega$ y $u = 0$ en $\partial\Omega$: la primera identidad con $v = u$ da $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$, de modo que $\nabla u \equiv 0$ y $u$ es constante en cada componente; la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de cada componente corta $\partial\Omega$ (acotación), donde $u = 0$: $u \equiv 0$. Dos funciones armónicas con los mismos valores en el [borde](#def-b3-forms-boundary) difieren en una tal $u$: coinciden — unicidad para el problema de Dirichlet, complementando la teoría de existencia en el disco del [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/18-aplicaciones-conformes-y-el-teorema-de-la-aplicacion-de-riemann#ch-b3-conformal).

**Ejercicio 21.9 ★★.**

(Cambio de variables, forma orientada) Sean $\varphi\colon U
\to V$ un difeomorfismo de abiertos de $\R^n$ con $\det
D\varphi > 0$, y $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en $V$. Demuéstrese que la identidad de [retroceso](#def-b3-forms-pullback) $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ es equivalente al teorema del cambio de variables (el [Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-changeofvar)) para tales $\varphi$, y explíquese exactamente adónde fue a parar el valor absoluto del jacobiano.

**Solución de Ejercicio 21.9.**

Por el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c), $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, de modo que la identidad de [retroceso](#def-b3-forms-pullback) se lee

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

Como $\det D\varphi > 0$ en todas partes, $\det D\varphi =
\abs{\det D\varphi}$, y esto es literalmente la fórmula del cambio de variables (el [Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/11-medidas-producto-fubini-cambio-de-variable#thm-b3-product-changeofvar)) para integrandos [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): cada enunciado es el otro. El valor absoluto se fue a la *hipótesis*: la [orientación](#def-b3-forms-orientation). Para $\varphi$ que invierta la [orientación](#def-b3-forms-orientation), la identidad de formas adquiere un signo menos global (las formas notan la [orientación](#def-b3-forms-orientation)), mientras que la fórmula de [medidas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) conserva $\abs{\det}$ (las [medidas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure) no la notan): dos contabilidades de un mismo jacobiano.

**Ejercicio 21.10 ★★★.**

(Deformación) Sean $\omega$ una $2$-forma *[cerrada](#def-b3-forms-closedexact)* en $\R^3\setminus\{0\}$ y $S_r$ la esfera de radio $r$ centrada en $0$. Demuéstrese que $\int_{S_r}\omega$ no depende de $r > 0$ *(aplíquese Stokes a la corona esférica entre dos radios; atención a las dos orientaciones del [borde](#def-b3-forms-boundary))*. Aplíquese a la *forma de ángulo sólido*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

compruébese que es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact), calcúlese $\int_{S_r}\omega = 4\pi$ y conclúyase que es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) pero no [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en $\R^3\setminus\{0\}$ — la hermana bidimensional de $\omega_\theta$ y el contenido geométrico de la ley de Gauss en electrostática.

**Solución de Ejercicio 21.10.**

La corona esférica $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ es una $3$-subvariedad compacta de [borde](#def-b3-forms-boundary) $S_{r_2}\cup S_{r_1}$; las orientaciones inducidas son la [orientación](#def-b3-forms-orientation) habitual de la esfera en $S_{r_2}$ (hacia fuera de $A$ = alejándose de $0$) y la *opuesta* en $S_{r_1}$ (hacia fuera de $A$ = hacia $0$). Stokes con $\dd\omega = 0$:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

Forma de ángulo sólido: con $\rho = \norm x$ y $\sigma =
x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd
x\wedge\dd y$, $\omega = \rho^{-3}\sigma$ y

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

En $S_r$, para $v_1, v_2$ tangentes: $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$, de modo que $\int_{S_r}\omega =
r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$: constante en $r$, como predice la deformación, y no nula — luego $\omega$ es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) pero no [exacta](#def-b3-forms-closedexact) en $\R^3\setminus\{0\}$ (una [forma exacta](#def-b3-forms-closedexact) integra $0$ sobre la $S_r$ sin [borde](#def-b3-forms-boundary), por Stokes). Esta es la ley de Gauss: el [flujo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) del campo de una carga unidad a través de cualquier esfera que la encierre vale $4\pi$, sea cual sea el radio.

**Ejercicio 21.11 ★★.**

Sea $\gamma$ una curva [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) regular en $\R^2\setminus\{0\}$ con $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. Demuéstrese $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ para *toda* $1$-forma [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ en $\R^2\setminus\{0\}$ *(escríbase $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ por el [Ejercicio 21.12](#exo-b3-forms-12))*. Interpretación: en el plano punteado, el [índice](#def-b3-forms-winding) es la única obstrucción a la anulación de los periodos.

**Solución de Ejercicio 21.11.**

Escríbase $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ (el [Ejercicio 21.12](#exo-b3-forms-12)) con $c =
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. Entonces

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

por la [Proposición 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) y la definición del [índice](#def-b3-forms-winding). El único entero $n$ controla todos los periodos en el plano punteado: las $1$-formas [cerradas](#def-b3-forms-closedexact) no pueden distinguir dos lazos con el mismo [índice](#def-b3-forms-winding).

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

(Primer cálculo de de Rham) Demuéstrese que toda [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) $1$-forma $\omega$ en $U = \R^2\setminus\{0\}$ se escribe de manera única

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

defínase $f(p)$ integrando $\omega - c\,\omega_\theta$ a lo largo de un [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) de $(1,0)$ a $p$ (un tramo radial y después un arco de circunferencia), demuéstrese que el resultado no depende de las elecciones precisamente porque el periodo de $S^1$ se anula, y compruébese $\dd
f = \omega - c\,\omega_\theta$. Conclúyase: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, generado por la forma angular.

**Solución de Ejercicio 21.12.**

Sea $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$: [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) y $\int_{S^1}\alpha = 0$ por la elección de $c$ ($\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$). Retrocédase por la aplicación polar $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$, un difeomorfismo local sobreyectivo $(0, \infty)\times\R \to
U$: $\Phi^*\alpha$ es [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) (el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)) en el abierto *convexo* $(0,\infty)\times\R$, luego [exacta](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$. Para $\rho$ fijo: $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta)
= \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ es la integral de $\alpha$ alrededor de la circunferencia de radio $\rho$, que vale $\int_{S^1}\alpha = 0$ (la corona entre las dos circunferencias es una superficie compacta con [borde](#def-b3-forms-boundary); Stokes como en el [Ejercicio 21.10](#exo-b3-forms-10), una dimensión menos). Así, $g$ es $2\pi$-periódica en $\theta$ y desciende a una función bien definida $f$ en $U$ con $f\circ\Phi = g$; $f$ es regular ($\Phi$ es un difeomorfismo local) y $\Phi^*(\dd f) = \dd g = \Phi^*\alpha$ fuerza $\dd f =
\alpha$. Por tanto, $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$. Unicidad: integrar sobre $S^1$ fija $c$, pues las [formas exactas](#def-b3-forms-closedexact) tienen periodo nulo; y $f$ es única salvo constante aditiva. La aplicación $[\omega] \mapsto
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ es, por tanto, un isomorfismo lineal $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$, y la clase de $\omega_\theta$ genera: el agujero es exactamente unidimensional, hablando cohomológicamente.

## 21.8 Problema: el teorema del punto fijo de Brouwer

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — sin retracción, sin escapatoria

El teorema de Brouwer afirma que *toda [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la bola unidad [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ en sí misma tiene un punto fijo* — uno de los grandes teoremas de la matemática, con consecuencias desde la teoría de juegos (equilibrios de Nash) hasta el análisis matricial. La demostración con [formas diferenciales](#def-b3-forms-diffform) es la más limpia que se conoce: Stokes muestra que la esfera no es un retracto de la bola, y todo lo demás se sigue. En todo el problema, $S = S^{n-1} = \partial\bar B$, $n \geq 2$ y

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(el acento circunflejo suprime el factor).

**Parte I — El instrumento de [medida](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#def-b3-measure-measure).**

1. Calcular $\dd\sigma$ y dedúzcase de Stokes (el [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) que $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ , donde $S$ lleva la [orientación](#def-b3-forms-orientation) de [borde](#def-b3-forms-boundary) de la bola.
2. Para $n = 2$ y $n = 3$ , identifíquese la restricción de $\sigma$ a $S$ con las formas de longitud de arco y de área (el [Ejercicio 21.5](#exo-b3-forms-5) con $\nu(x) = x$ ) y recalcúlese $\int_S\sigma$ directamente.
3. Sean $W \subseteq \R^N$ abierto y $\varphi\colon W  \to \R^n$ regular con $\norm{\varphi(x)} = 1$ para todo $x \in W$ . Demuéstrese que $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(Derívese $\norm\varphi^2 = 1$: la imagen de $D\varphi(x)$ está en el hiperplano $\varphi(x)^\perp$, de dimensión $n - 1$; aplíquese después [Proposición 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2).)*
4. ¿Dónde está el fallo de la siguiente «demostración» de que $\int_S\sigma = 0$ : « $S$ es compacta sin [borde](#def-b3-forms-boundary) , y $\sigma$ restringida a $S$ es una forma de grado máximo en ella, luego [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) , luego $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{algo}) = 0$ por Stokes»? (Señálese la palabra equivocada.)
5. Explíquese en un párrafo la estrategia de la Parte II: qué se integrará, sobre qué, y de dónde vendrá la contradicción.

**Parte II — No hay retracción regular.** Supóngase, por reducción al absurdo, que $r$ es una *retracción regular* de la bola sobre su esfera: $r$ es regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $\bar B$, $r(\bar B) \subseteq S$ y $r(x) = x$ para todo $x \in S$.

6. Justifíquese $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(en $S$, $r$ se restringe a la identidad: si $\gamma$ es una parametrización directa de un trozo de $S$, entonces $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. Usando Stokes en $\bar B$ , demuéstrese $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. Demuéstrese $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (pregunta 3 aplicada a $\varphi = r$ ) y conclúyase: *no existe ninguna retracción regular $\bar B \to S$.*
9. Resuélvase a mano el caso excluido $n = 1$ : demuéstrese directamente que ninguna [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to  \{-1, 1\}$ fija ambos extremos, y nómbrese el teorema utilizado.

**Parte III — Brouwer regular.** Sea $g$ regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ con $g(\bar B)
\subseteq \bar B$ y *sin* ningún punto fijo en $\bar B$.

10. Demuéstrese $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. Para $x \in \bar B$, sea $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ y sea $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ la intersección del rayo $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ con $S$. Resuélvase la ecuación de segundo grado $\norm{x + tu}^2 = 1$ y obténgase $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. Demuéstrese que el radicando es *estrictamente* positivo en $\bar B$ : si $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ , entonces $\norm x = 1$ y $\langle  x, u(x)\rangle = 0$ , es decir, $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , o sea, $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ; por Cauchy–Schwarz con $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq 1$ , esto fuerza $g(x) = x$ — excluido. Dedúzcase que $r$ es regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ .
13. Demuéstrense $r(\bar B) \subseteq S$ y $r(x) = x$ para $x  \in S$ *(para $\norm x = 1$, compruébese $t(x) = 0$ usando $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$, que a su vez se sigue de $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$)* . Conclúyase con la Parte II: *toda autoaplicación regular de $\bar B$ tiene un punto fijo.*

**Parte IV — Brouwer [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity).** Sea $f\colon\bar B\to\bar B$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sin puntos fijos.

14. Demuéstrese $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ y prodúzcase una aplicación *polinómica* $p\colon\R^n\to  \R^n$ con $\sup_{\bar B}\norm{p - f} <  \varepsilon/2$ (Stone–Weierstrass, el [Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , coordenada a coordenada — justifíquese el paso de la aproximación escalar a la vectorial).
15. La aplicación $p$ puede salirse de la bola; póngase $g = \frac{p}{1  + \varepsilon/2}$ . Demuéstrense $g(\bar B) \subseteq \bar B$ y $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ .
16. Dedúzcase una contradicción con la Parte III y conclúyase: *toda [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ tiene un punto fijo.*
17. Muéstrese con ejemplos que el teorema falla en: la bola abierta; la esfera $S$ ; una corona [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) . ¿Qué propiedad de $\bar B$ pierde cada contraejemplo?

**Parte V — Dividendos.**

18. (Perron–Frobenius, existencia) Sean $A$ una matriz $n\times n$ con todas sus entradas $> 0$ y $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i =  1\}$ . Demuéstrese que la aplicación $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ está bien definida y es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $\Delta$ , que $\Delta$ es [homeomorfo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a una bola [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) de $\R^{n-1}$ ( [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) radial desde un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) convexo con [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) no vacío en su envoltura afín) y conclúyase que $A$ tiene un vector propio de entradas estrictamente positivas y valor propio $> 0$ .
19. Dedúzcase que toda matriz estocástica de entradas positivas (con columnas que suman $1$ ) tiene un vector de probabilidad estacionario $\pi = A\pi$ — el vector de tipo PageRank. (La unicidad también vale, pero exige otras herramientas.)
20. (Bola peluda, preparación) Sea $v$ regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $S = S^{n-1}$ con $\langle v(x),  x\rangle = 0$ y $\norm{v(x)} = 1$ para $x \in S$ (un *campo tangente unitario* ). Para $t \in \R$ , póngase $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . Demuéstrese $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ en $S$ : $F_t$ lleva $S$ dentro de la esfera $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. Demuéstrese que $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ es un *polinomio* en $t$ *(cada función coeficiente de $F_t^*\sigma$ en una carta es polinómica en $t$, con coeficientes regulares en la variable de la carta; la integración es lineal)* .
22. Demuéstrese que, para $\abs t$ pequeño, $F_t$ es un difeomorfismo de $S$ sobre $\sqrt{1+t^2}\,S$: inyectividad para $t\operatorname{Lip}(v) < 1$; difeomorfismo local por el teorema de la función inversa (el [Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift) en cartas); imagen abierta y [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) en la esfera de llegada, que es [conexa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected). Dedúzcase, usando el [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) y el reescalado $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ bajo $x \mapsto \lambda x$ (compruébese), que $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{con el signo } + \text{ para } t \text{ pequeño}$$ ([orientación](#def-b3-forms-orientation) conservada por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) desde $t = 0$).
23. Conclúyase (Milnor): si $n$ es *impar* , $(1 +  t^2)^{n/2}$ no es un polinomio en $t$ y, sin embargo, coincide con el polinomio $P(t)/\int_S\sigma$ cerca de $0$ — contradicción. Por tanto, *las esferas de dimensión par $S^{n-1}$ ($n$ impar) no admiten ningún campo tangente unitario* y, normalizando y regularizando (convoluciónese componente a componente y proyéctese — justifíquense ambos pasos), tampoco ningún campo tangente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que no se anule: todo viento sobre la Tierra deja un punto en calma.
24. (Las esferas impares se peinan sin dificultad) Exhíbase en $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ un campo tangente unitario regular explícito: $v(x) = \iu x$ en notación compleja, es decir, $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ Verifíquense la tangencia y la longitud unidad, y conclúyase que la dicotomía de paridad de la pregunta 23 es óptima: una esfera es peinable exactamente cuando su dimensión es impar. ¿Dónde se rompe el argumento polinómico de la pregunta 22 para $n$ par?
25. (Ceros a partir del comportamiento en el [borde](#def-b3-forms-boundary) ) Sea $f \colon \bar  B^n \to \R^n$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ para todo $x \in S^{n-1}$ . Demuéstrese que $f$ se anula en algún punto de $\bar B^n$ . *(Si no, $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ lleva $\bar B$ [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) dentro de $S \subseteq \bar B$; aplíquese Brouwer a $g$ y contradígase la hipótesis sobre el [borde](#def-b3-forms-boundary).)* Dedúzcase el *criterio de sobreyectividad* : una [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ con $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to  +\infty$ cuando $\norm x \to \infty$ es sobreyectiva — el antepasado en dimensión finita de los argumentos de coercividad del análisis no lineal.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$; llevar $\dd x_i$ por delante de los $i-1$ factores precedentes cuesta $(-1)^{i-1}$, que cancela el prefactor: cada uno de los $n$ términos vale $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, de modo que $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$. Stokes en la bola: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$.

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$; en $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$, la forma de longitud de arco: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$. $n = 3$: $\sigma\vert_S$ es la forma de área (el [Ejercicio 21.5](#exo-b3-forms-5) con $\nu(x) = x$): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$. Ambas cuadran con la pregunta 1.

**3.** Derivando $\norm\varphi^2 = 1$: $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ para todo $h$, de modo que $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$, a hiperplano: $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$. Como $\dd\sigma$ es una $n$-forma (pregunta 1), puntualmente $\varphi^*(\dd\sigma)_x =
(D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$ por la [Proposición 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2): una aplicación con valores en la esfera no tiene sitio donde retroceder una forma de volumen.

**4.** El fallo está en el segundo «luego»: en $S$, de dimensión $(n-1)$, toda $(n-1)$-forma es trivialmente [cerrada](#def-b3-forms-closedexact) (no hay $n$-formas no nulas en una variedad de dimensión $(n-1)$), pero *[cerrada](#def-b3-forms-closedexact) no significa [exacta](#def-b3-forms-closedexact)*, y $\int_S\dd\eta = 0$ exige una primitiva $\eta$ efectiva definida en $S$. La restricción de $\sigma$ es precisamente no [exacta](#def-b3-forms-closedexact) — su integral vale $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq
0$ — y esa no exactitud alimenta todo el problema.

**5.** Integraremos $r^*\sigma$ sobre la esfera y contaremos de dos maneras. Como $r$ fija $S$ punto a punto, la integral vale $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$. Como $r$ está definida en la bola, Stokes convierte la misma integral en $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) =
\int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$; y como $r$ toma valores en la esfera, la pregunta 3 anula ese integrando. Un número, dos valores: la retracción no puede existir.

**6.** Ambas integrales se calculan mediante parametrizaciones directas $\gamma$ de trozos de $S$ (la [Definición 21.18](#def-b3-forms-integral)); como $r\circ\gamma =
\gamma$ (la parametrización aterriza en $S$, donde $r$ es la identidad), $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma =
\gamma^*\sigma$ (el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)): los integrandos locales coinciden, y cualquier [partición de la unidad](#lem-b3-forms-partition) da $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$.

**7.** $r^*\sigma$ es una $(n-1)$-forma regular en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de la $\bar B$ orientada compacta, cuyo [borde](#def-b3-forms-boundary) con la [orientación](#def-b3-forms-orientation) inducida es $S$: Stokes (el [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) da exactamente $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ (el [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), que se anula por la pregunta 3 aplicada a $\varphi = r$. Encadenando las preguntas 6–8:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

absurdo. *No existe ninguna retracción regular de $\bar B^n$ sobre $S^{n-1}$* ($n \geq 2$).

**9.** Una $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con $r(\pm1) = \pm1$ llevaría un conjunto [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) sobre el disconexo $\{-1, 1\}$, lo cual es imposible: las imágenes [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de conjuntos [conexos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) son [conexas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) — equivalentemente, el teorema del valor intermedio forzaría a $r$ a tomar el valor $0$. El mismo enunciado en toda dimensión es exactamente la Parte II; la [conexión](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) es la sombra en dimensión $1$ de la obstrucción cohomológica $\int_S\sigma \neq 0$.

**10.** $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y en todas partes $> 0$ en el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\bar B$: su mínimo $\delta$ se alcanza, luego $> 0$.

**11.** $\norm{x + tu}^2 = 1$ se lee $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$, cuyas raíces son

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

Su producto es $\norm x^2 - 1 \leq 0$: las raíces flanquean $0$ (o una se anula), de modo que el parámetro del rayo — la raíz no negativa — es $t(x) = t_+$.

**12.** Si el radicando se anulara en $x \in \bar B$: siendo no negativos ambos sumandos, $\norm x = 1$ y $\langle x, u(x)\rangle = 0$, es decir, $\langle x, x -
g(x)\rangle = 0$, o sea, $\langle x, g(x)\rangle = 1$. Por Cauchy–Schwarz, $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq
\norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$: igualdad en toda la cadena, lo que fuerza $g(x)$ colineal con $x$, de norma $1$ y con el mismo sentido: $g(x) = x$ — excluido. Así, el radicando es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y $> 0$ en $\bar B$, luego está acotado inferiormente por cierto $c > 0$ allí y en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme). En ese [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology), $u$ es regular (reduciendo $\norm{x - g(x)} \geq
\delta/2$ si hace falta), el radicando se mantiene $\geq
c/2$, y la raíz cuadrada es regular en $\intoo0\infty$: $r$ es regular cerca de $\bar B$.

**13.** $\norm{r(x)} = 1$ por construcción de $t(x)$: $r(\bar B) \subseteq S$. Para $x \in S$: $\langle x,
u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x -
g(x)}} \geq 0$ (Cauchy–Schwarz una vez más), y $\norm x =
1$ reduce el radicando a $\langle x, u\rangle^2$, cuya raíz cuadrada es el propio $\langle x, u\rangle$ (es $\geq
0$): $t(x) = 0$ y $r(x) = x$. Así, $r$ es una retracción regular de la bola sobre la esfera — en contra de la Parte II. *Toda autoaplicación regular de $\bar B$ tiene un punto fijo.*

**14.** $\varepsilon > 0$ exactamente como en la pregunta 10. Los polinomios forman una subálgebra de $\mathcal C(\bar B,
\R)$ que contiene las constantes y separa puntos ($x
\mapsto x_i$ lo hacen), de modo que Stone–Weierstrass (el [Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) aproxima cada coordenada: tómense polinomios $p_i$ con $\sup_{\bar
B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$; la aplicación vectorial $p = (p_1, \dots, p_n)$ cumple entonces $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$.

**15.** En $\bar B$: $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$, de modo que $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: $g(\bar B) \subseteq \bar B$. Además, $\norm{g - p} =
\frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq
\frac\varepsilon2$, luego $\norm{g - f} \leq \norm{g - p} +
\norm{p - f} < \varepsilon$ en $\bar B$.

**16.** $g$ es polinómica, luego regular, y lleva $\bar B$ en sí misma: la Parte III proporciona $x_0 = g(x_0)$. Entonces $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} <
\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: contradicción. *Toda [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to
\bar B^n$ tiene un punto fijo.*

**17.** *Bola abierta:* $f(x) = \frac{x + e_1}2$ lleva $B$ dentro de $B$ ($\norm{f(x)} < 1$ estrictamente) y su único punto fijo $e_1$ está en la esfera: se pierde la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). *Esfera:* la aplicación antipodal $x \mapsto -x$ carece de puntos fijos; $S$ es compacta, pero tiene la [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) «equivocada» — es exactamente el no retracto de la Parte II. *Corona:* una rotación de cualquier ángulo $\not\equiv 0$ no fija nada; el agujero cobija la rotación — se pierde la convexidad (más precisamente, la [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de bola). El teorema de Brouwer trata en realidad de los conjuntos *convexos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)*, como explota la pregunta 18.

**18.** Para $x \in \Delta$: algún $x_j > 0$, de modo que $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$ para todo $i$; por tanto, $\norm{Ax}_1 > 0$ y $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ está bien definida, es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y aterriza en $\Delta$ (entradas positivas que suman $1$). $\Delta$ es convexo, [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y con [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) no vacío en el hiperplano afín $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$; la aplicación radial desde su baricentro — cada rayo desde el baricentro corta $\partial\Delta$ en exactamente un punto, por convexidad y [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), y la función de calibre correspondiente es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — es un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\Delta \to
\bar B^{n-1}$. Transportando Brouwer a través de él: $T$ tiene un punto fijo $x^*$, es decir, $Ax^* = \lambda x^*$ con $\lambda
= \norm{Ax^*}_1 > 0$; y $x^* = Ax^*/\lambda$ tiene entradas estrictamente positivas por el cálculo inicial. *Una matriz positiva tiene un vector propio positivo.*

**19.** La pregunta 18 da $A\pi = \lambda\pi$, $\pi \in
\Delta$, $\pi > 0$. Súmense las coordenadas: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (las columnas suman $1$), mientras que $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$. Luego $\lambda = 1$ y $A\pi = \pi$: un vector de probabilidad estacionario — el equilibrio de la cadena de Markov, el núcleo matemático de PageRank.

**20.** En $S$: $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 +
2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ por tangencia y $\norm v = 1$: $F_t(S) \subseteq
\sqrt{1+t^2}\,S$.

**21.** Fíjense un atlas finito de parametrizaciones directas $\gamma$ y una [partición de la unidad](#lem-b3-forms-partition), independientes de $t$. En una carta, $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$, de modo que cada coeficiente de $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ es una suma de productos de un factor $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (afín en $t$) por un determinante $(n-1)\times(n-1)$ de entradas afines en $t$: un polinomio en $t$ de grado $\leq n$ con coeficientes regulares en la variable de la carta. Multiplicando por las funciones de la partición, independientes de $t$, e integrando término a término: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$, un polinomio.

**22.** *Inyectividad:* $v$ es lipschitziana en $S$ (regular en un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)), digamos con constante $L$; para $\abs t <
1/L$, $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs
tL)\norm{x - y} > 0$. *Difeomorfismo:* $G_t =
F_t/\sqrt{1 + t^2}$ lleva $S$ en $S$; en cartas, sus jacobianas convergen uniformemente a las de $G_0 = \operatorname{id}$ cuando $t \to 0$, de modo que para $t$ pequeño son invertibles y $G_t$ es un difeomorfismo local (el [Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift) en cartas), inyectivo, con imagen abierta (difeomorfismo local) y compacta en la *[conexa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected)* $S^{n-1}$ ($n \geq 2$): imagen $= S$, de modo que $G_t$ es un difeomorfismo de $S$. *Reescalado:* bajo $s_\lambda(x) = \lambda x$, cada coeficiente $x_i$ gana $\lambda$ y cada una de las $n - 1$ diferenciales gana $\lambda$: $s_\lambda^*\sigma =
\lambda^n\sigma$. Como $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{para } t \text{ pequeño},
$$

la última igualdad por el [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) ($G_t$ es un difeomorfismo de $S$, que conserva la [orientación](#def-b3-forms-orientation) para $t$ pequeño: los determinantes jacobianos en cartas varían [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), no se anulan nunca y son positivos en $t = 0$).

**23.** Si $n$ es impar y existe un campo tangente unitario regular, las preguntas 21–22 hacen que el polinomio $P(t)/\int_S\sigma$ (lícito: $\int_S\sigma \neq 0$ por la pregunta 1) coincida con $(1 + t^2)^{n/2}$ cerca de $0$; dos funciones regulares que coinciden cerca de $0$ y una de ellas polinómica fuerzan a $(1 + t^2)^{n/2}$ a ser ese polinomio en todo $\R$. Pero si $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ con $Q \in \R[t]$, la factorización única en $\R[t]$ (el [Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#ch-b3-rings)) da al [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $t^2 + 1$ multiplicidad par en $Q^2$ y multiplicidad impar $n$ en $(1 + t^2)^n$: imposible. Así pues, no existe ningún campo tangente unitario regular en $S^{n-1}$ para $n$ impar — las esferas de dimensión par. Por último, un campo tangente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $w$ que no se anulara produciría uno: extiéndase a un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) por $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$, regularícese componente a componente (el [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#thm-b3-lp-regularization)) hasta un $v_0$ regular con $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} <
\frac12\min_S\norm w$, proyéctese tangencialmente $v_1(x) = v_0(x)
- \langle v_0(x), x\rangle x$ — en $S$ esto altera $v_0$ a lo sumo en su componente normal, a su vez a lo sumo $\norm{v_0 -
\tilde w}$, pues $\tilde w$ es tangente, de modo que $\norm{v_1 - \tilde
w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ y $v_1$ no se anula nunca en $S$ — y normalícese: $v =
v_1/\norm{v_1}$ es un campo tangente unitario regular. Por tanto, en toda esfera de dimensión par, *todo campo tangente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) tiene un cero*: todo viento sobre la Tierra deja un punto en calma.

**24.** $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j +
x_jy_j) = 0$: tangente; $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: unitario. La regularidad es clara (aplicación lineal). Así, toda esfera de dimensión impar admite un campo tangente unitario regular — la multiplicación por $\iu$ a lo largo de las rectas complejas — y la obstrucción de la pregunta 23 es exactamente la paridad de la dimensión. En el argumento polinómico, para $n$ par la función $(1 +
t^2)^{n/2}$ *sí* es un polinomio, y no surge contradicción alguna: la demostración no es que deje de aplicarse, es que su conclusión es genuinamente falsa, como atestigua $v$.

**25.** Supóngase que $f$ no se anula nunca en $\bar B$. Entonces $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\bar B \to S
\subseteq \bar B$, y Brouwer (pregunta 16) proporciona $x^* =
g(x^*)$. Como $g$ toma valores en $S$, $x^* \in S$, y

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

en contra de la hipótesis sobre el [borde](#def-b3-forms-boundary). Luego $f$ tiene un cero. Sobreyectividad: dado $y \in \R^n$, aplíquese lo anterior a $f(x) =
F(x) - y$ en una bola $\bar B(0, R)$ con $R$ tan grande que $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ en la esfera de radio $R$ (coercividad); entonces allí $\langle f(x), x\rangle =
\langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ (Cauchy–Schwarz), y el enunciado reescalado da un cero de $f$: $F(x) = y$. Todo campo [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) coercivo es sobreyectivo — la sombra sin grado de los teoremas variacionales de existencia, entregada por pura [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology).