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title: "Módulos sobre un dominio de ideales principales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/3-modulos-sobre-un-dominio-de-ideales-principales
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# Capítulo 3 — Módulos sobre un dominio de ideales principales

Álgebra lineal sobre un *anillo* en lugar de sobre un cuerpo: este pequeño cambio de hipótesis produce uno de los grandes teoremas de unificación del álgebra. Un [módulo](#def-b3-modules-module) sobre $\Z$ es un grupo abeliano; un [módulo](#def-b3-modules-module) sobre $K[X]$ es un espacio vectorial dotado de un endomorfismo. El teorema de estructura de los [módulos finitamente generados](#def-b3-modules-free) sobre un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) clasifica, pues, de un solo golpe, todos los grupos abelianos [finitamente generados](#def-b3-modules-free) *y* todos los endomorfismos salvo semejanza — la reducción de Jordan, que en segundo año se obtuvo mediante delicadas inducciones, cae como corolario, junto con su hermana más sutil, la forma canónica *racional*, válida sobre todo cuerpo. El motor de cálculo es la [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith), una aritmética de matrices digna de Euclides.

En todo el capítulo, $A$ es un anillo conmutativo, pronto un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd); «[módulo](#def-b3-modules-module)» significa $A$-módulo.

## 3.1 Módulos y módulos libres

**Definición 3.1.**

Un *$A$-módulo* es un grupo abeliano $(M, +)$ con una multiplicación por escalares $A \times M \to M$ que cumple los axiomas de espacio vectorial: $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$, $1x = x$. Los submódulos, los cocientes $M/N$, los morfismos (aplicaciones $A$-lineales), las sumas directas $\bigoplus_i M_i$ y los teoremas de isomorfía se definen y se demuestran palabra por palabra igual que para los espacios vectoriales y los grupos abelianos; en particular, $M/\ker f \cong
\operatorname{im} f$ para todo morfismo $f$.

**Ejemplo 3.2.**

Los tres casos que motivan la teoría.

1. $A = K$ un cuerpo: los [módulos](#def-b3-modules-module) son los espacios vectoriales.
2. $A = \Z$ : los [módulos](#def-b3-modules-module) son exactamente los grupos abelianos ( $nx$ ha de ser $x + \dots + x$ ) y los submódulos son los subgrupos.
3. $A = K[X]$ : un [módulo](#def-b3-modules-module) es un $K$ -espacio vectorial $V$ junto con la aplicación $K$ -lineal $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — recíprocamente, todo par $(V, u)$ con $u \in \mathcal L(V)$ se convierte en un $K[X]$ -módulo mediante $P \cdot x = P(u)(x)$ . Los submódulos son precisamente los subespacios $u$ -estables.

Un [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) de $A$ es exactamente un submódulo de $A$; un [anillo cociente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $A/I$ es un $A$-módulo. A diferencia de los espacios vectoriales, los [módulos](#def-b3-modules-module) pueden tener *[torsión](#def-b3-modules-torsion)*: en $\Z/6\Z$, el elemento $\bar 3 \ne 0$ es aniquilado por $2 \neq 0$.

**Definición 3.3.**

$M$ es *finitamente generado* si $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ para ciertos $x_i$. $M$ es *libre* de rango $n$ si $M \cong A^n$, es decir, si tiene una *base* (una familia generadora $A$-linealmente independiente). Todo $M$ finitamente generado es cociente de un [módulo](#def-b3-modules-module) libre: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ aplica $A^n$ sobre $M$.

**Proposición 3.4 (Invariancia del rango).**

Si $A \neq 0$ y $A^m \cong A^n$, entonces $m = n$.

**Demostración.** Tómese un [ideal maximal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ de $A$ (el [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-krull)) y póngase $k = A/\mathfrak m$, que es un cuerpo. Un isomorfismo $f \colon A^m
\to A^n$ lleva $\mathfrak m A^m$ en $\mathfrak m A^n$ (linealidad), luego induce un isomorfismo de cocientes

$$
A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n,
\qquad\text{es decir}\qquad k^m \cong k^n
$$

como $k$-espacios vectoriales (el cociente $A^m/\mathfrak m A^m$ es aniquilado por $\mathfrak m$, de modo que la acción de $A$ se factoriza a través de $k$; las imágenes de la base canónica forman una $k$-base). La teoría de la dimensión sobre el cuerpo $k$ da $m = n$. ∎

**Teorema 3.5 (Submódulos de los módulos libres).**

Sea $A$ un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) y sea $M \subseteq A^n$ un submódulo. Entonces $M$ es [libre](#def-b3-modules-free) de rango $\leq n$.

**Demostración.** Inducción sobre $n$. Para $n = 1$: $M$ es un [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal), luego $M = (0)$ ([libre](#def-b3-modules-free) de rango $0$) o $M = dA \cong A$ ($x \mapsto dx$ es inyectiva: dominio). Para $n > 1$: sea $\pi \colon A^n \to A$ la última coordenada. Entonces $\pi(M)$ es un [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal), $(0)$ o $dA$. Si $(0)$: $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ y se aplica la hipótesis de inducción. En caso contrario, elíjase $x_0 \in M$ con $\pi(x_0) = d$. Todo $x \in M$ se escribe de manera única

$$
x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 +
\Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr),
\qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi
$$

($\pi(x) \in dA$, luego el coeficiente está en $A$). Así $M = Ax_0
\oplus (M \cap \ker \pi)$: la suma es directa, pues $\pi(ax_0) =
ad = 0$ obliga a $a = 0$. Por inducción, $M \cap \ker\pi \subseteq
\ker \pi \cong A^{n-1}$ es [libre](#def-b3-modules-free) de rango $\leq n - 1$; añadiendo $x_0$ (independiente de $\ker\pi$, como acabamos de ver) se obtiene una base de $M$ de cardinal $\leq n$. ∎

**Observación 3.6.**

En consecuencia, sobre un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) todo [módulo finitamente generado](#def-b3-modules-free) $M$ admite una *presentación finita*: una sobreyección $\varphi\colon A^n \to M$ tiene núcleo [libre](#def-b3-modules-free) con base $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$), y $M
\cong A^n / \operatorname{im}(C)$, donde $C \in M_{n,k}(A)$ es la matriz cuyas columnas son los $c_j$. Entender $M$ significa entender una *matriz sobre $A$* salvo cambios de base en el origen y en el destino — el asunto de la sección siguiente.

## 3.2 Forma normal de Smith

**Definición 3.7.**

Dos matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ son *equivalentes* si $C =
QBP$ con $Q \in GL_n(A)$, $P \in GL_k(A)$ (invertibles *sobre $A$*: determinante en $A^\times$). Matrices de presentación equivalentes definen [módulos](#def-b3-modules-module) $A^n/
\operatorname{im}$ isomorfos (cámbiense las bases de $A^n$ y $A^k$).

**Teorema 3.8 (Forma normal de Smith).**

Sea $A$ un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) y sea $B \in M_{n,k}(A)$. Entonces $B$ es equivalente a una matriz diagonal

$$
\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0),
\qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,
$$

y los $d_i$ son únicos salvo [asociados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): $d_1 \cdots d_i$ es un máximo común divisor de los menores $i \times i$ de $B$ (en particular, ese máximo común divisor es un invariante de la equivalencia). Los $d_i$ son los *factores invariantes* de $B$.

**Demostración.** *Existencia.* Si $B = 0$, hemos terminado. En caso contrario, considérese el conjunto de los [ideales](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $(b)$ generados por las entradas de las matrices equivalentes a $B$; como $A$ es [noetheriano](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-noetherian), elíjanse una matriz $B'$ equivalente a $B$ y una entrada $d$ de $B'$ con $(d)$ *maximal* en ese conjunto. Llévese $d$ a la posición $(1,1)$ mediante intercambios de filas y columnas.

*Afirmación: $d$ divide a toda entrada de $B'$.* Primero, la columna 1: si $b_{i1}$ no es múltiplo de $d$, sea $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud +
vb_{i1}$ (Bézout), de modo que $(e) \supsetneq (d)$. El truco de la matriz $2 \times 2$: actuando sobre las filas $1$ y $i$ por

$$
\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de
\end{pmatrix}
\in GL_2(A)
\qquad
\Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)
$$

se obtiene una matriz equivalente con entrada $e$ en la posición $(1,1)$, lo que contradice la maximalidad de $(d)$. Así que $d$ divide la columna $1$ y, simétricamente, la fila $1$. Restando múltiplos de la fila 1 y de la columna 1 se anulan: $B'$ es equivalente a $\begin{pmatrix} d &
0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. A continuación, $d$ divide toda entrada $b$ de $B''$: súmese la fila de $b$ a la fila 1 (una operación elemental; la nueva primera fila contiene $d$ y entradas $b$) y repítase el argumento de anulación de columnas: un no múltiplo mejoraría de nuevo $(d)$. Ahora inducción sobre el tamaño: $B''$, cuyas entradas son todas divisibles por $d$, tiene una forma de Smith $\operatorname{diag}(d_2,
\dots)$ cuyas entradas siguen siendo divisibles por $d$ (toda entrada de cualquier $QB''P$ es una $A$-combinación de entradas de $B''$); póngase $d_1 =
d$.

*Unicidad.* Denotemos por $D_i(B)$ un máximo común divisor de todos los menores $i \times i$. Las operaciones de filas y columnas y, más en general, la multiplicación por *cualquier* matriz, no pueden reducir ese máximo común divisor: los menores $i \times i$ de $QB$ son $A$-combinaciones de los de $B$ (desarrollo de Cauchy–Binet; o directamente: cada fila de $QB$ es combinación de filas de $B$, y los menores son multilineales en las filas). Así que $D_i(QBP)$ y $D_i(B)$ se dividen mutuamente: $D_i$ es un invariante de la equivalencia. Sobre la forma diagonal, los menores $i
\times i$ no nulos son los productos de $i$ de los $d_j$, y la divisibilidad $d_1 \mid \dots \mid d_r$ hace de $d_1 \cdots d_i$ el máximo común divisor. Por tanto $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ salvo unidades, y $d_i =
D_i/D_{i-1}$ queda determinado. ∎

**Método 3.9.**

Sobre un [dominio euclídeo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$), la reducción de Smith es un algoritmo — no hace falta el argumento de maximalidad: llévese a la posición $(1,1)$ la entrada de menor tamaño euclídeo; si no divide alguna entrada de su fila o de su columna, una división euclídea deja allí un resto estrictamente menor — intercámbiese y vuélvase a empezar (termina porque los tamaños decrecen); cuando divide toda su fila y su columna, anúlense estas; si no divide alguna entrada interior, súmese esa fila a la fila $1$ y vuélvase a empezar; recúrrase sobre el bloque interior. En la práctica, con matrices enteras: calcúlense $D_1 = \gcd$ de las entradas, $D_2$, … mediante menores para tamaños pequeños, o ejecútese el algoritmo.

**Ejemplo 3.10 (Una reducción de Smith, con todo detalle).**

Reduzcamos $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$ sobre $\Z$. La esquina $1$ lo divide todo: anúlense su fila y su columna ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - 7L_1$, y después $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3
\leftarrow C_3 - 3C_1$):

$$
M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12
\end{pmatrix} .
$$

En el bloque interior, la esquina $-3$ divide todas las entradas: $L_3
\leftarrow L_3 - 2L_2$ y $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ lo dejan reducido a $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Ajustando los signos (multiplíquese una fila por $-1$, operación lícita):

$$
M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0),
\qquad
\Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .
$$

Comprobación mediante los divisores determinantales: $D_1 =
\gcd(\text{entradas}) = 1$; todo menor $2\times2$ de $M$ es múltiplo de $3$ (por ejemplo, $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4
& 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) y uno de ellos vale $-3$: $D_2 =
3$; $D_3 = \det M = 0$. Por tanto $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: la misma respuesta. Dos lecciones: un factor invariante nulo registra la caída del rango (el conúcleo gana un sumando [libre](#def-b3-modules-free) $\Z$), y la cadena de divisibilidad $1 \mid 3 \mid 0$ es el certificado de Smith — una reducción diagonal que viola la cadena (por ejemplo $\operatorname{diag}(2, 3)$, que un descuido puede producir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 &
3\end{smallmatrix}\bigr)$ deteniéndose demasiado pronto: la forma de Smith correcta es $\operatorname{diag}(1, 6)$, ¡pues aquí $D_1 = 1$!) no está terminada.

![El subretículo L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (puntos rojos). La forma normal de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) es diag(1, 6): en la base adaptada f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2 se tiene L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, luego ℤ2/L ℤ/6ℤ — el índice es igual a | | = 6, el área del dominio fundamental sombreado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg)

*El subretículo $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (puntos rojos). La [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith) de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &
1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ es $\operatorname{diag}(1, 6)$: en la base adaptada $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$ se tiene $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$, luego $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — el índice es igual a $\abs{\det} = 6$, el área del dominio fundamental sombreado.*

## 3.3 El teorema de estructura

**Definición 3.11.**

Sea $A$ un dominio y sea $M$ un $A$-módulo. El submódulo de *torsión* es

$$
T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para cierto } a \neq 0\}
$$

(es un submódulo: si $ax = by = 0$, entonces $ab(x + y) = 0$, $ab \ne 0$). $M$ es *sin torsión* si $T(M) = 0$, y un *[módulo](#def-b3-modules-module) de torsión* si $T(M) = M$.

**Teorema 3.12 (Estructura de los módulos finitamente generados sobre un DIP).**

Sea $A$ un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) y sea $M$ un $A$-módulo [finitamente generado](#def-b3-modules-free). Existen un $r \in \N$ único y elementos $d_1 \mid d_2 \mid
\cdots \mid d_s$ no nulos y no unidades, únicos salvo [asociados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), tales que

$$
M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).
$$

Además, $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ y $M/T(M)
\cong A^r$: un [módulo finitamente generado](#def-b3-modules-free) y *sin [torsión](#def-b3-modules-torsion)* sobre un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) es [libre](#def-b3-modules-free).

**Demostración.** *Existencia.* Preséntese $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (la [Observación 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) y llévese $C$ a forma de Smith: tras los dos cambios de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots
\times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus
\dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. Descártense los factores en los que $d_i$ es una unidad ($A/(d_i) = 0$); la cadena de divisibilidad se conserva.

*Identificación de la [torsión](#def-b3-modules-torsion).* En la descomposición, $A^r$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) (un dominio no tiene divisores de cero) y cada $A/(d_i)$ es de [torsión](#def-b3-modules-torsion) (aniquilado por $d_i \ne 0$); una suma directa descompone la [torsión](#def-b3-modules-torsion) en consecuencia: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ y $M/T(M) \cong A^r$.

*Unicidad de $r$*: $M/T(M) \cong A^r$ solo depende de $M$, y la [Proposición 3.4](#prop-b3-modules-rank) lo determina $r$.

*Unicidad de los $d_i$*: basta tratar el [módulo de torsión](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$. Descompóngase cada $d_i$ en primos y sepárese mediante el teorema chino del resto (el [Teorema 2.9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-crt); primos distintos generan [ideales comaximales](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-crt)):

$$
A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr):
\qquad
T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),
$$

los *divisores elementales* $p^{k_{p,j}}$. Recíprocamente, los $d_i$ se reconstruyen a partir del multiconjunto de [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) ($d_s$ = producto de la mayor potencia de cada primo, etc.), de modo que basta demostrar que el multiconjunto $\{k_{p,j}\}_j$ queda determinado por $T$ para cada primo $p$. Fijemos $p$; para $j \geq 1$ considérense los $A/(p)$-espacios vectoriales $p^{j-1}T/p^jT$. Sobre un factor cíclico $A/(p^k)$:

$$
p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr)
\cong
\begin{cases}
A/(p) & \text{si } j \leq k,\\
0 & \text{si } j > k,
\end{cases}
$$

y sobre un factor $A/(q^k)$ con $q \neq p$: la multiplicación por $p$ es allí biyectiva ($p$ es invertible [módulo](#def-b3-modules-module) $q^k$: Bézout), de modo que el cociente es $0$. Las sumas directas se atraviesan: $\dim_{A/(p)}
p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. Estas dimensiones intrínsecas determinan el multiconjunto de exponentes. ∎

**Corolario 3.13 (Grupos abelianos finitamente generados).**

Todo grupo abeliano [finitamente generado](#def-b3-modules-free) es $\Z^r \times
\Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ con $d_1 \mid \dots \mid
d_s$, de manera única. Todo grupo abeliano *finito* es producto de grupos cíclicos de orden potencia de primo, único como multiconjunto.

**Ejemplo 3.14.**

Los grupos abelianos de orden $p^n$ corresponden a las *particiones* de $n$: para $p^4$: $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$, $(\Z/p)^4$ — cinco grupos, pues $4$ tiene cinco particiones. Los órdenes mixtos multiplican los recuentos primo a primo (teorema chino del resto): hay $5 \times 2$ grupos abelianos de orden $2^4 \cdot 3^2 = 144$.

## 3.4 Aplicación: formas canónicas de los endomorfismos

Sea $K$ un cuerpo, sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión finita $n$ y sea $u \in \mathcal L(V)$; hagamos de $V$ un $K[X]$-módulo mediante $P
\cdot x = P(u)(x)$ (el [Ejemplo 3.2](#ex-b3-modules-examples)). Este [módulo](#def-b3-modules-module) es [finitamente generado](#def-b3-modules-free) (una $K$-base lo genera) y de [torsión](#def-b3-modules-torsion): para cada $x$, los $n+1$ vectores $x, u(x), \dots, u^n(x)$ son $K$-dependientes, lo que proporciona un polinomio anulador no nulo.

**Definición 3.15.**

Para $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ mónico, la *matriz compañera* es

$$
C_P = \begin{pmatrix}
0 & & & -a_0\\
1 & \ddots & & -a_1\\
& \ddots & 0 & \vdots\\
& & 1 & -a_{m-1}
\end{pmatrix} :
$$

la matriz de «multiplicar por $X$» en $K[X]/(P)$ respecto de la base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$.

**Teorema 3.16 (Frobenius: forma canónica racional).**

Existe una única sucesión de polinomios mónicos no constantes $P_1
\mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (los *invariantes de semejanza* de $u$) tal que, como $K[X]$-módulos,

$$
V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):
$$

y en una base adecuada $u$ tiene matriz diagonal por bloques $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. Además:

1. $P_s = \mu_u$ (polinomio mínimo) y $P_1\cdots P_s =  \chi_u$ (polinomio característico); en particular $\mu_u  \mid \chi_u$ *(nueva demostración de Cayley–Hamilton)* y $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , de modo que $\chi_u$ y $\mu_u$ tienen los mismos factores [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) .
2. Dos endomorfismos (o dos matrices cuadradas) son semejantes si y solo si tienen los mismos [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) .

**Demostración.** El teorema de estructura (el [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) aplicado al [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$: el [módulo de torsión](#def-b3-modules-torsion) $V$ se descompone con [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $P_i$, normalizados mónicos (las unidades de $K[X]$ son $K^\times$); no aparece parte [libre](#def-b3-modules-free) ($V$ es de [torsión](#def-b3-modules-torsion)). Sobre cada factor cíclico $K[X]/(P_i)$, la multiplicación por $X$ tiene matriz $C_{P_i}$ en la base de las potencias de $\bar X$: concatenando bases se obtiene la forma por bloques.

(1) El anulador de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ es $(P_1)\cap
\dots\cap(P_s) = (P_s)$ (cadena de divisibilidad: $P_s$ es un múltiplo común, y la clase de $1$ en el último factor es aniquilada exactamente por $(P_s)$): $\mu_u = P_s$. Para $\chi_u$: sobre un factor cíclico, $\chi_{C_P} = P$, por inducción sobre $m = \deg P$. Desarrollando $\det(XI_m - C_P)$ por la primera fila (cuyas entradas son $X$, después ceros y después $a_0$ en la última columna):

$$
\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr)
+ (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,
$$

donde $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (misma forma, un tamaño menos) y $L$ es triangular con diagonal $(-1, \dots, -1)$, luego $\det L = (-1)^{m-1}$. Por inducción, el primer término es $X\tilde P$ y el segundo es $a_0$: el total es $X\tilde P + a_0 = P$ (caso base $m=1$: $\det(X + a_0) = P$). Los determinantes se multiplican por bloques: $\chi_u = \prod P_i$. Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$, pues $P_s \mid$ cada uno… recíprocamente, cada $P_i \mid P_s$, luego $\chi_u = \prod P_i$ divide a $P_s^{\,s} = \mu_u^s$; y $\mu_u =
P_s$ divide a $\chi_u$ por ser uno de sus factores.

(2) Dos endomorfismos semejantes son estructuras de [módulo](#def-b3-modules-module) conjugadas, luego tienen los mismos invariantes (unicidad en el [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)); recíprocamente, invariantes iguales dan $K[X]$-módulos isomorfos, y un isomorfismo de [módulos](#def-b3-modules-module) es exactamente una biyección lineal que entrelaza los dos endomorfismos: una semejanza. ∎

**Corolario 3.17 (La semejanza no cambia al extender el cuerpo).**

Sean $K \subseteq L$ cuerpos y sean $M, N \in M_n(K)$. Si $M$ y $N$ son semejantes sobre $L$, lo son sobre $K$.

**Demostración.** Los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ se calculan con la fórmula de los menores de Smith (el [Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)) aplicada a la matriz de presentación $XI_n - M$ sobre $K[X]$ — en efecto, el $K[X]$-módulo $V_M = K^n$ tiene presentación $XI_n - M$: la aplicación $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, es sobreyectiva con núcleo generado por las columnas de $XI_n - M$ (verificación directa: [módulo](#def-b3-modules-module) esas columnas, todo elemento de $K[X]^n$ se reduce a un vector constante, y los vectores constantes se aplican biyectivamente; el problema de fin de semana lo detalla). Los máximos comunes divisores de polinomios no cambian al extender el cuerpo: si $d$ es el máximo común divisor mónico en $K[X]$ de una familia $(f_j)$, Bézout da $d = \sum u_jf_j$ con $u_j \in K[X]$, de modo que todo divisor común de los $f_j$ *en $L[X]$* divide a $d$; y como $d$ es él mismo un divisor común, también es el máximo común divisor en $L[X]$. Por tanto, los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de $XI_n - M$, cocientes de máximos comunes divisores de menores sucesivos, son los mismos sobre $K$ y sobre $L$: $M, N$ tienen los mismos [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) sobre $L$ si y solo si los tienen sobre $K$; se concluye por [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎

**Teorema 3.18 (Forma de Jordan, redemostrada).**

Supongamos que $\chi_u$ se descompone en factores lineales sobre $K$ (por ejemplo, $K = \C$). Aplicando a $V$ la descomposición en [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) (demostración del [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) en lugar de la de [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith):

$$
V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X -
\lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),
$$

y en la base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots,
\overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de cada factor, $u$ actúa como el bloque de Jordan $J_k(\lambda)$: todo endomorfismo cuyo polinomio característico se descompone en factores lineales admite una base de Jordan, y el multiconjunto de bloques $(\lambda, k)$ es único.

**Demostración.** Los [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) del [módulo de torsión](#def-b3-modules-torsion) $V$ son los $(X - \lambda)^k$, donde $X - \lambda$ recorre los factores [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de $\mu_u$ (que se descompone en factores lineales, pues así ocurre con $\chi_u$ y ambos tienen los mismos factores [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), el [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). En $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$, póngase $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ para $j = 1, \dots, k$: entonces $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (con $f_0 = 0$), es decir, $u(f_j)
= \lambda f_j + f_{j-1}$: la matriz de $u$ sobre $(f_1, \dots,
f_k)$ es exactamente $J_k(\lambda)$ (unos por encima de la diagonal). La unicidad del multiconjunto de [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) es [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎

**Observación 3.19.**

La jerarquía de las formas canónicas queda ahora clara: la forma *racional* existe sobre todo cuerpo y detecta la semejanza de manera absoluta (el [Corolario 3.17](#cor-b3-modules-descent)); la forma de *Jordan* es su refinamiento cuando $\chi_u$ se descompone en factores lineales. Las demostraciones del teorema de Jordan por recuento de dimensiones vistas en segundo año quedan subsumidas: toda aquella combinatoria era la aritmética del [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$.

## 3.5 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

(a) Demostrar que $\Q$ no es [finitamente generado](#def-b3-modules-free) como $\Z$-módulo. (b) Demostrar que $\Q$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) pero no [libre](#def-b3-modules-free). (c) ¿Por qué ninguno de los dos enunciados contradice [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)?

**Solución de Ejercicio 3.1.**

(a) Si $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$, sea $d$ un denominador común de los $q_i$: toda combinación está en $\frac1d\Z$, pero $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. Contradicción.

(b) Sin [torsión](#def-b3-modules-torsion): $nq = 0$ con $n \neq 0$ obliga a $q = 0$ en $\Q$. No [libre](#def-b3-modules-free): dos racionales no nulos cualesquiera $\frac ab, \frac cd$ cumplen la relación no trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd =
0$, luego una base tiene a lo sumo un elemento; y $\Q \cong \Z$ haría $\Q = \Z q$ cíclico, pero $\frac q2 \notin \Z q$. (Además $\Q \neq
0$.)

(c) El [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure) supone la *generación finita*, que (a) niega: no hay contradicción — más bien, $\Q$ muestra que la hipótesis es necesaria en el enunciado «sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [libre](#def-b3-modules-free)».

**Ejercicio 3.2 ★.**

Listar los grupos abelianos de orden $360$ salvo isomorfismo, en forma de [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) y en forma de [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith). ¿Cuántos grupos abelianos de orden $p^5$ hay?

**Solución de Ejercicio 3.2.**

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. Particiones: de $3$: $(3), (2,1),
(1,1,1)$; de $2$: $(2), (1,1)$; de $1$: $(1)$. Por tanto, $3 \times 2
\times 1 = 6$ grupos. [Divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith):

| $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ |
| --- | --- |
| $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ |
| $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ |
| $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ |

(Para pasar a [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith): el mayor $d_s$ reúne la mayor potencia de cada primo, y así sucesivamente hacia abajo.) De orden $p^5$: tantos como particiones de $5$, a saber, $7$.

**Ejercicio 3.3 ★.**

Calcular la [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith) sobre $\Z$ de

$$
B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix},
\qquad
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12
\end{pmatrix},
$$

e identificar los grupos abelianos $\Z^2/B\Z^2$ y $\Z^3/C\Z^3$.

**Solución de Ejercicio 3.3.**

$B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 -
24} = 8$. [Factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$, $d_2 = 8/2 = 4$: forma de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$, y $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z
\times \Z/4\Z$.

$C$: diagonal, pero *no* de Smith ($2 \nmid 3$). $D_1 =
\gcd(2,3,12) = 1$; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) =
\gcd(6, 24, 36) = 6$; $D_3 = 72$. Luego $d = (1, 6, 12)$ y $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — coherentemente con el teorema chino del resto: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$.

**Ejercicio 3.4 ★★.**

Sea $L \subseteq \Z^n$ un subgrupo de rango $n$ cuya base son las columnas de $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$. Demostrar que $\Z^n/L$ es finito de cardinal $\abs{\det B}$, y que $\Z^n/L
\cong \prod_i \Z/d_i\Z$, donde $d_i$ son los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de $B$. Ilústrese con $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$.

**Solución de Ejercicio 3.4.**

Escribamos $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ con $Q, P
\in GL_n(\Z)$ (el [Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith); ningún $d_i$ es nulo, pues $\det B \neq 0$). Entonces $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/
\operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (el isomorfismo compuesto $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ lleva $B\Z^n$ sobre $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). Su cardinal es $\prod \abs{d_i} = \abs{\det
\operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$, ya que $\det Q, \det P = \pm
1$. Para $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2
& 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$, $D_1 = 1$, $D_2 = 6$: $\Z^2/L
\cong \Z/6\Z$, de cardinal $\abs{\det B} = 6$.

**Ejercicio 3.5 ★★.**

Sea $A$ un dominio. (a) Comprobar que $T(M)$ es un submódulo y que $M/T(M)$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion). (b) Demostrar que el [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ de $K[X,Y]$, visto como $K[X,Y]$-módulo, es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) pero no [libre](#def-b3-modules-free): el teorema de estructura necesita realmente la hipótesis de [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd).

**Solución de Ejercicio 3.5.**

(a) Submódulo: hecho en la [Definición 3.11](#def-b3-modules-torsion). Si $a(x +
T(M)) = 0$ en $M/T(M)$ con $a \neq 0$, entonces $ax \in T(M)$: $bax
= 0$ para cierto $b \neq 0$, y $ba \neq 0$ (dominio), luego $x \in
T(M)$: la clase es nula. Así, $M/T(M)$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion).

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) (submódulo del dominio $K[X,Y]$ actuando sobre sí mismo). Supongamos que fuera [libre](#def-b3-modules-free); dos elementos cualesquiera $P, Q$ cumplen $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$, una relación no trivial cuando $P \ne Q$ son no nulos, luego una base tiene un solo elemento: $(X, Y) = (P)$ sería principal — en contra del [Ejercicio 2.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#exo-b3-rings-6)(a). Es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion) y [finitamente generado](#def-b3-modules-free) ($X, Y$ lo generan), pero no [libre](#def-b3-modules-free): sobre el no [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X,Y]$, el teorema de estructura falla.

**Ejercicio 3.6 ★★.**

(a) Demostrar que $2\Z$ no tiene complemento directo en el $\Z$-módulo $\Z$: los submódulos de los [módulos libres](#def-b3-modules-free) son [libres](#def-b3-modules-free) (el [Teorema 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), pero no tienen por qué ser sumandos directos. (b) Demostrar que si $M \subseteq A^n$ ($A$ un [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd)) cumple que $A^n/M$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion), entonces $M$ *sí* es un sumando directo.

**Solución de Ejercicio 3.6.**

(a) Si $\Z = 2\Z \oplus C$, la proyección $\Z \to \Z/2\Z$ se restringe a un isomorfismo $C \cong \Z/2\Z$: $C$ sería un subgrupo de $\Z$ cuyo elemento no nulo $x$ cumpliría $2x \in C
\cap 2\Z = 0$. Pero $\Z$ es sin [torsión](#def-b3-modules-torsion): $C = 0$, lo que obliga a $\Z =
2\Z$ — falso.

(b) $A^n/M$ es [finitamente generado](#def-b3-modules-free) y sin [torsión](#def-b3-modules-torsion), luego [libre](#def-b3-modules-free) (el [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)): $A^n/M \cong A^r$ con base $f_1, \dots, f_r$. Elíjanse preimágenes $y_i \in A^n$ de los $f_i$ y póngase $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. Todo $x \in A^n$ cumple $\pi(x)
= \sum a_if_i$, luego $x - \sum a_iy_i \in M$: $A^n = M + F$. Si $\sum a_iy_i \in M$, aplicando $\pi$ se obtiene $\sum a_if_i = 0$ y, por tanto, todos los $a_i = 0$ (es una base): $M \cap F = 0$. Así $A^n = M \oplus
F$.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Resolver en $\Z^2$ el sistema

$$
\begin{cases}
2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\
6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20},
\end{cases}
$$

determinando para qué pares $(b_1, b_2)$ existen soluciones, mediante la forma de Smith del [Ejercicio 3.3](#exo-b3-modules-3) (cambios de variable invertibles en ambos lados).

**Solución de Ejercicio 3.7.**

La reducción del [Ejercicio 3.3](#exo-b3-modules-3) era efectiva: con

$$
L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix},
\qquad
R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
$$

(operación de fila $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, operaciones de columna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ y después $C_2 \leftarrow -C_2$). Poniendo $y = R^{-1}x$ (una biyección de $(\Z/20\Z)^2$, por ser $R$ invertible sobre $\Z$), el sistema $Bx \equiv b \pmod{20}$ equivale a

$$
2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.
$$

La congruencia $ky \equiv c \pmod{20}$ es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) si y solo si $\gcd(k, 20) \mid c$: hay soluciones si y solo si $2 \mid b_1$ y $4
\mid b_2 - 3b_1$, es decir, *$b_1$ par y $b_2 \equiv 3b_1
\pmod 4$*. Cuando es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) hay $2 \times 4 = 8$ soluciones [módulo](#def-b3-modules-module) $20$.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

(a) Determinar todos los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) y todas las [formas de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) posibles de una matriz nilpotente $4 \times 4$, clasificados según la partición de $4$ que realizan. (b) Exhibir dos matrices complejas $4\times4$ con el mismo polinomio característico *y* el mismo polinomio mínimo que no sean semejantes, y demostrar que para $n \leq 3$ esto no puede ocurrir.

**Solución de Ejercicio 3.8.**

(a) Una $u$ nilpotente cumple $\mu_u = X^k$; los [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) son $X^{k_1} \geq \dots$, un bloque de Jordan $J_{k_i}(0)$ por cada parte de una partición de $4$:

| partición | [forma de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) | [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) |
| --- | --- | --- |
| $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ |
| $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ |
| $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ |
| $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ |
| $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ |

(b) Tómense $u = J_2\oplus J_2$ y $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$: ambas tienen $\chi = X^4$, $\mu = X^2$, pero [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) distintos — no son semejantes (el [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); también se pueden comparar los rangos: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 =
\operatorname{rk} v$. Para $n \leq 3$: $\chi$ y $\mu$ determinan, para cada valor propio $\lambda$ (sobre un cuerpo de descomposición), el tamaño total $m_\lambda \leq 3$ de los bloques [asociados](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) a $\lambda$ y el mayor bloque $r_\lambda$; y una partición de $m \leq 3$ queda determinada por su parte mayor ($m = 3, r = 2$ obliga a $(2,1)$, etc.). Así, los [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) coinciden, y el [Corolario 3.17](#cor-b3-modules-descent) hace descender la semejanza al cuerpo base.

**Ejercicio 3.9 ★★★.**

Sean $u \in \mathcal L(V)$, $\dim V = n$. Demostrar que son equivalentes: (i) $V$ es un $K[X]$-módulo cíclico (existe $x$ con $V = K[u]x$, un *vector cíclico*); (ii) $\mu_u = \chi_u$; (iii) $s = 1$ en el [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). Deducir que una [matriz compañera](#def-b3-modules-companion) tiene un vector cíclico, y determinar cuándo lo tiene una matriz diagonal.

**Solución de Ejercicio 3.9.**

(i)$\Rightarrow$(ii): si $V = K[u]x$, entonces $V \cong
K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ y $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (un polinomio aniquila $x$ si y solo si aniquila todo $V = K[u]x$, pues $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). Luego $n = \dim V = \deg \mu_u$; y como $\mu_u \mid \chi_u$ y $\deg\chi_u = n$, ser mónicos da $\mu_u =
\chi_u$.

(ii)$\Rightarrow$(iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ y $\mu_u = P_s$ (el [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); la igualdad de grados obliga a $s = 1$.

(iii)$\Rightarrow$(i): $V \cong K[X]/(P_1)$ es cíclico, generado por la preimagen de $\bar 1$.

Una [matriz compañera](#def-b3-modules-companion) es el caso $V = K[X]/(P)$ mismo: $x = \bar
1$, es decir, $e_1$, es cíclico. Para una matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$: $\chi = \prod
(X - \lambda_i)$, $\mu = \prod_{\lambda \text{ distintos}} (X -
\lambda)$; coinciden si y solo si los $\lambda_i$ son distintos dos a dos: una matriz diagonal tiene vector cíclico si y solo si sus entradas diagonales son distintas dos a dos (entonces sirve $x = (1, \dots, 1)$: Vandermonde).

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Para $M \in M_n(\Z)$, vista como endomorfismo de $\Z^n$, demostrar la fórmula del índice: si $\det M \ne 0$, entonces $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$, y deducir que $M \in GL_n(\Z)$ si y solo si $\det M = \pm 1$. Aplicación: el grupo $\Z^2$ tiene exactamente $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrupos de índice $m$. *(Cuéntense las matrices en forma de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix}
a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$, $ad = m$, $0 \leq b <
d$.)*

**Solución de Ejercicio 3.10.**

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$; el [Ejercicio 3.4](#exo-b3-modules-4) da $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} =
\abs{\det M}$. Si $\det M = \pm 1$: la fórmula de la matriz adjunta $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ tiene entradas enteras, luego $M \in GL_n(\Z)$; recíprocamente, $MM^{-1} = I$ da $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ en $\Z$, luego $\det M = \pm1$.

Subgrupos de índice $m$ en $\Z^2$: un tal subgrupo $L$ tiene rango $2$ (índice finito) y una única base en *forma normal de Hermite* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 &
d\end{smallmatrix}\bigr)$: $d$ queda caracterizado por $L \cap (\{0\}
\times \Z) = \{0\} \times d\Z$, y $a$ por $\pi_1(L) = a\Z$ (primeras coordenadas), y $b$ es entonces único [módulo](#def-b3-modules-module) $d$; normalícense $a, d
> 0$ y $0 \leq b < d$. El índice es $ad = m$. Recuento: para cada divisor $d \mid m$ ($a = m/d$) hay $d$ elecciones de $b$: en total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$.

**Ejercicio 3.11 ★★.**

(Ecuaciones $x^k = e$ en los grupos abelianos) Sea $G$ un grupo abeliano finito con [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots
\mid d_s$. (a) Demostrar que, para todo $k \geq 1$,

$$
\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .
$$

(b) Deducir que un grupo abeliano finito es cíclico si y solo si, para todo $k$, la ecuación $x^k = e$ tiene a lo sumo $k$ soluciones. (c) Recuperar la ciclicidad de los subgrupos finitos de $K^\times$ ($K$ un cuerpo, el [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#ch-b3-galois)): ¿por qué el polinomio $X^k - 1$ garantiza el criterio de (b)?

**Solución de Ejercicio 3.11.**

(a) Por el teorema de estructura, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, y $x^k = e$ se desacopla coordenada a coordenada. En $\Z/d\Z$: $kx \equiv 0
\pmod d$ tiene exactamente $\gcd(k, d)$ soluciones ($x$ ha de ser múltiplo de $d/\gcd(k,d)$, y hay $\gcd(k, d)$ de ellos). Multiplíquese sobre los factores.

(b) Si $G = \Z/d_s\Z$ es cíclico ($s = 1$), el recuento es $\gcd(k, d_s) \leq k$. Si $s \geq 2$: tómese $k = d_1$; el recuento es $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (cada $\gcd$ vale $d_1$ por la cadena de divisibilidad): la ecuación $x^{d_1} = e$ tiene más de $d_1$ soluciones.

(c) En un cuerpo, $X^k - 1$ tiene a lo sumo $k$ raíces (el [Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#ch-b3-rings): un polinomio no nulo de grado $k$ sobre un dominio), de modo que todo subgrupo finito $G \leq K^\times$ cumple el criterio de (b): $G$ es cíclico — la demostración estructural, de una línea, de la ciclicidad de $\mathbb F_q^\times$, complementaria de la demostración por recuento de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#ch-b3-galois).

**Ejercicio 3.12 ★★★.**

(Las matrices elementales generan) (a) Demostrar que $M \in M_n(\Z)$ es invertible en $M_n(\Z)$ si y solo si $\det M = \pm1$. (b) Demostrar que $SL_2(\Z)$ está generado por las dos matrices elementales $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$ y $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(Ejecútese el algoritmo de Euclides sobre la primera columna de $M
\in SL_2(\Z)$ mediante multiplicaciones por la izquierda por potencias de $E, F$, hasta llegar a $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$; termínese a mano — obsérvese que $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) Explicar la relación con la reducción de Smith: sobre $\Z$, las operaciones de filas y columnas de determinante $1$ bastan para diagonalizar, salvo signos.

**Solución de Ejercicio 3.12.**

(a) Si $MN = I$ con $N$ enteras: $\det M\det N = 1$ con ambos enteros, luego $\det M = \pm1$. Recíprocamente, si $\det M =
\pm1$, la fórmula de los cofactores $M^{-1} =
\frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ tiene entradas enteras.

(b) Multiplicar por la izquierda por $E^{-k}$ resta $k$ veces la fila $2$ a la fila $1$; por $F^{-k}$, $k$ veces la fila $1$ a la fila $2$. Dada $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c &
*\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$, la primera columna $(a, c)$ es un vector unimodular ($\gcd(a, c) = 1$: divide a $\det M = 1$). Ejecútese Euclides sobre $(a, c)$ con estas operaciones de fila: tras finitos pasos la columna se convierte en $(\pm1, 0)$. La matriz es ahora $\pm
\bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix}
\bigr) = \pm E^{b}$ (el determinante sigue siendo $1$). Queda escribir $-I$ en los generadores: $(EF^{-1}E)^2 =
\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (compruébese el cuadrado de la matriz de rotación). Deshaciendo el proceso, $M$ es una palabra en $E^{\pm1},
F^{\pm1}$.

(c) El algoritmo de Smith (el [Método 3.9](#met-b3-modules-smith)) usa exactamente esas operaciones de filas y columnas (más intercambios y cambios de signo, que a su vez son productos de operaciones elementales salvo el signo del determinante): sobre $\Z$, toda matriz es $U\,D\,V$ con $U, V$ productos de matrices elementales y $D$ la forma de Smith — (b) es el caso $2\times2$ de determinante $1$ del hecho general de que las matrices de tipo $E$ generan $SL_n(\Z)$.

## 3.6 Problema: el conmutante y el biconmutante

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — forma racional, conmutante, biconmutante

Sea $K$ un cuerpo, sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n \geq
1$ y sea $u \in \mathcal L(V)$. Estudiaremos el *conmutante*

$$
\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},
$$

una subálgebra de $\mathcal L(V)$ que contiene $K[u] = \{P(u) : P \in
K[X]\}$, y demostraremos la fórmula de dimensión de Frobenius y el teorema del doble conmutante: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. En todo el problema, $V$ es el $K[X]$-módulo definido por $u$, con [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ y descomposición cíclica $V =
\bigoplus_{i=1}^s V_i$, $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$, $n_i
= \deg P_i$ (el [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)).

**Parte I — La matriz de presentación $XI - M$ y ejercicios preparatorios.**

1. Sea $M \in M_n(K)$ y sea $\varphi \colon K[X]^n \to V_M  = K^n$ la aplicación que envía $(Q_1, \dots, Q_n)$ a $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Demostrar que $\varphi$ es un morfismo sobreyectivo de $K[X]$ -módulos y que toda columna de $XI_n - M$ está en $\ker\varphi$ .
2. Demostrar que, [módulo](#def-b3-modules-module) las columnas de $XI_n - M$ , todo elemento de $K[X]^n$ es congruente con un vector constante *(redúzcanse los grados usando $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* , y deducir $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : el [módulo](#def-b3-modules-module) $V_M$ tiene matriz de presentación $XI_n - M$ . Recupérese el punto de partida del [Corolario 3.17](#cor-b3-modules-descent) : los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ son los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) no unidades de $XI_n - M$ .
3. Calcular los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) de: una matriz escalar $\lambda I_n$ ; una matriz diagonal con entradas diagonales distintas; el bloque de Jordan $J_n(0)$ de tamaño $n \times n$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ para $n = 3$ .
4. Demostrar que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

**Parte II — Morfismos entre [módulos](#def-b3-modules-module) cíclicos.**

5. Sean $P, Q$ mónicos no constantes. Demostrar que un $K[X]$ -morfismo $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ queda determinado por $f(\bar 1)$ , y que $\bar c \in K[X]/(Q)$ puede servir como $f(\bar 1)$ si y solo si $P\bar c = 0$ en $K[X]/(Q)$ .
6. Deducir $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr)  \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ de dimensión $\deg \gcd(P, Q)$ sobre $K$. *(Demuéstrese que las soluciones $\bar c$ de $P\bar c = 0$ en $K[X]/(Q)$ forman el submódulo cíclico generado por $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$.)*
7. Demostrar la *fórmula de Frobenius*: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i,  P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(Una $v$ que conmuta es exactamente un $K[X]$-endomorfismo de $V$; descompóngase $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ en matrices de morfismos $V_j \to V_i$ y úsese la cadena de divisibilidad.)*
8. Deducir $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , con igualdad si y solo si $u$ es cíclico ( $s = 1$ ), y calcular $\dim\mathcal C(u)$ para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : los dos extremos de la fórmula.
9. Verificar directamente la fórmula de Frobenius para $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ , calculando el conmutante explícitamente como matrices $3\times3$ .

**Parte III — El teorema del doble conmutante.** Sea $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$; demostraremos que $w \in K[u]$.

10. Demostrar que $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ y que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$ — de modo que la inclusión por demostrar, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , es un refinamiento genuino de $w \in \mathcal C(u)$ .
11. Supongamos primero que $u$ es *cíclico* , $V = K[u]x$ . Demostrar directamente que $\mathcal C(u) = K[u]$ *(evalúese una $v$ que conmute en $x$: $v(x) = P(u)x$ para cierto $P$, y compárense $v$ y $P(u)$ sobre la base $u^k x$)* , y concluir el teorema en este caso.
12. Volvamos al caso general. Para cada $i$ , sea $\pi_i\colon  V \to V_i$ la proyección a lo largo de los demás sumandos. Demostrar que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ y deducir que $w$ conserva cada $V_i$ y conmuta con $u_i =  u\restriction_{V_i}$ ; concluir mediante la pregunta 11 aplicada al $u_i$ cíclico: existen polinomios $Q_i$ con $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
13. Queda pegar los $Q_i$ en un único polinomio. Para $i  \leq j$ (de modo que $P_i \mid P_j$ ), demostrar que $\eta_{ij} \colon  V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , es un $K[X]$ -morfismo bien definido *(lo que hay que comprobar es que $R(u)x_j = 0$ implica $R(u)x_i = 0$)* , y que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , extendida por $0$ sobre los demás sumandos, está en $\mathcal C(u)$ .
14. Usando $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$, demostrar que $Q_i  \equiv Q_j \pmod{P_i}$ para $i \leq j$. Deducir que $Q =  Q_s$ cumple $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ para todo $i$, luego $w = Q(u)$ sobre cada $V_i$ y, por tanto, sobre $V$: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$
15. (Coda) Deducir del teorema: si $v$ conmuta con *toda* matriz que conmute con $u$ y $u$ es cíclico, entonces $v$ es un polinomio en $u$ ; y dar un ejemplo que muestre que $\mathcal C(u) = K[u]$ falla para $u =  \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — ¿dónde interviene exactamente la ciclicidad?

**Parte IV — Dividendos de los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius).** La forma canónica racional es una máquina; he aquí cinco de sus resultados clásicos.

16. (Traspuesta) Demostrar que toda $M \in M_n(K)$ es semejante a su traspuesta ${}^tM$ . *(Las operaciones que llevan $XI - M$ a forma de Smith, traspuestas, llevan $XI - {}^tM$ a la misma forma de Smith: mismos [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius).)*
17. (Descenso de la semejanza) Sea $K \subseteq L$ una extensión de cuerpos y sean $M, N \in M_n(K)$ . Demostrar que si $M$ y $N$ son semejantes sobre $L$ , lo son sobre $K$ . *(La forma de Smith de $XI - M$ calculada en $K[X]$ sigue siendo una forma de Smith en $L[X]$ — ¿por qué no cambian los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith)?)* Consecuencia que conviene recordar: dos matrices reales conjugadas en $GL_n(\C)$ lo son en $GL_n(\R)$ .
18. (Clasificación de los nilpotentes) Sea $u$ nilpotente. Demostrar que el número de bloques de tamaño $\geq k$ en su descomposición en bloques de Jordan nilpotentes es igual a $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , y deducir que las clases de nilpotentes de $M_n(K)$ , sobre cualquier cuerpo $K$ , están en biyección con las particiones de $n$ . ¿Cuántas clases de nilpotentes hay en $M_5(K)$ ?
19. (Un par concreto) Determinar los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) de la derivación $D\colon P \mapsto P'$ actuando sobre el espacio $K_{n-1}[X]$ de los polinomios de grado $< n$ : (a) para $K =  \Q$ ; (b) para $K = \mathbb F_p$ con $p < n$ *(en característica $p$, $(X^p)' = 0$: calcúlese $\ker D^k$ y úsese la pregunta 18)* .
20. ( [Clases de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Usando los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) , demostrar que toda clase de $GL_2(\mathbb F_q)$ es exactamente de uno de estos cuatro tipos: central $aI$ ; diagonalizable con dos valores propios distintos $a \neq b$ en $\mathbb F_q^\times$ ; no semisimple con polinomio mínimo $(X - a)^2$ ; cíclica con polinomio característico [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) .
21. Contar las clases de cada tipo y concluir: $GL_2(\mathbb F_q)$ tiene exactamente $q^2 - 1$ [clases de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) . *(Cuéntense las cuádricas mónicas [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_q$; los pares no ordenados $\{a, b\}$; recuérdese que la invertibilidad restringe los términos independientes.)*
22. (Lo cíclico es genérico) Demostrar que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ deja de ser cíclico si y solo si $M$ es escalar, y deducir que una matriz $2\times2$ tomada al azar uniformemente sobre $\mathbb F_q$ es cíclica con probabilidad $1 - q^{-3}$ . Enunciar la heurística análoga para $M_n$ y $q$ grande (no se pide demostración): las matrices no cíclicas son raras — por eso la Parte III del [Problema 3.1](#pb-b3-modules-1) solo requirió trabajo de verdad más allá del caso genérico.

**Parte V — Complementos.**

23. ( [Centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) del conmutante) Demostrar que el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) del álgebra $\mathcal C(u)$ es exactamente $K[u]$ *(combínense las dos inclusiones de la Parte III)* . Deducir que $\mathcal C(u)$ es conmutativa si y solo si $u$ es cíclico — lo que recupera el caso de igualdad de la pregunta 8 por una vía puramente estructural.
24. (¿Qué dimensiones se alcanzan?) Deducir de la fórmula de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ para todo $u$ . Determinar después el conjunto exacto de valores que toma $\dim \mathcal C(u)$ cuando $u$ recorre $\mathcal L(V)$ con $\dim V = 4$ : demostrar que es $\{4, 6,  8, 10, 16\}$ *(enumérense las sucesiones de grados $n_1  \leq \dots \leq n_s$ que suman $4$ y realícese cada una con un nilpotente)* . En particular, $12$ y $14$ , pese a tener la paridad correcta, no se alcanzan: la restricción de paridad es necesaria, pero no suficiente.
25. ([Ecuación de clases](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#cor-b3-groups-classeq) de $GL_2(\mathbb F_3)$) Para $q = 3$, calcular el tamaño de cada [clase de conjugación](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de la pregunta 20 mediante órbita–estabilizador: el centralizador de una $M$ *cíclica* en $GL_2(\mathbb F_q)$ es el grupo de unidades de $K[M]$ (pregunta 11). Identificar $K[M]$ en los tres tipos no centrales, listar los tres polinomios cuadráticos mónicos [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_3$ y verificar la [ecuación de clases](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)}  = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ con $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ clases, tal como predice la pregunta 21.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** $\varphi$ es aditiva y $K[X]$-lineal: $\varphi(X
\cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X
\cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, siendo $X \cdot v = Mv$ la estructura de [módulo](#def-b3-modules-module) de $V_M$. Es sobreyectiva: los vectores constantes dan todo $K^n$. La columna $j$ de $XI - M$ es $Xe_j - \sum_i
m_{ij}e_i$, cuya imagen es $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$.

**2.** [Módulo](#def-b3-modules-module) las columnas, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: todo vector de polinomios se reduce, por inducción sobre el grado máximo, a un vector *constante* $c \in K^n$. Si el vector de partida está en $\ker\varphi$, entonces $\varphi(c) = c = 0$ (sobre las constantes, $\varphi$ es la identificación $K^n = V_M$), de modo que el vector está en el subespacio generado por las columnas: $\ker\varphi = (XI_n -
M)K[X]^n$. Por tanto $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, y Smith sobre $K[X]$ (todos los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) son no nulos, pues su producto es $\det(XI - M) = \chi_M$) da $V_M \cong \bigoplus_i
K[X]/(f_i)$: los $f_i$ no constantes son los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius), calculables como cocientes de máximos comunes divisores de menores ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)).

**3.** $\lambda I_n$: $XI - \lambda I$ ya está en forma de Smith: invariantes $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, $n$ de ellos. Entradas diagonales distintas: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X -
\lambda_i)$ con [módulos](#def-b3-modules-module) [comaximales](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-crt) dos a dos, de modo que el teorema chino del resto lo comprime en el único cíclico $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$: un solo invariante, $\chi$. $J_n(0)$: $\mu = X^n = \chi$ obliga a un único invariante $X^n$. $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: [divisores elementales](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$; invariantes $P_1 = X \mid P_2 =
X^2$.

**4.** $P \mapsto P(u)$ aplica $K[X]$ sobre $K[u]$, con núcleo $(\mu_u)$ por definición del polinomio mínimo: $K[u]
\cong K[X]/(\mu_u)$, de dimensión $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$.

**5.** La $K[X]$-linealidad obliga a $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1)
= Q\,f(\bar 1)$. La clase $\bar 1$ cumple $P \bar 1 = 0$, luego $P f(\bar 1) = 0$ es necesario. Recíprocamente, si $P\bar c = 0$, entonces $f(\bar Q) = Q\bar c$ está bien definida ($Q \equiv Q' \bmod P
\Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ múltiplos de $P\bar c = 0$) y es $K[X]$-lineal.

**6.** Sean $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$, $Q = gQ'$ con $\gcd(P', Q') = 1$. En $K[X]/(Q)$: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc
\iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$). Así pues, los $\bar c$ admisibles forman el submódulo generado por $\bar{Q'}$, cuyo anulador es $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$: ese submódulo es $\cong K[X]/(g)$. Con la pregunta 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, de dimensión $\deg\gcd(P,Q)$.

**7.** $v$ conmuta con $u$ si y solo si $v$ conmuta con todo $P(u)$, si y solo si $v$ es $K[X]$-lineal: $\mathcal C(u) =
\operatorname{End}_{K[X]}(V)$. Escribiendo los morfismos de $V =
\bigoplus_j V_j$ como matrices $(f_{ij})$, $f_{ij} \in
\operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (compóngase con las inyecciones y las proyecciones), la pregunta 6 da

$$
\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j)
= \sum_{i,j} n_{\min(i,j)}
= \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,
$$

usando la cadena de divisibilidad ($\gcd(P_i, P_j) =
P_{\min(i,j)}$) y, para el último paso, que $\min(i,j) = k$ ocurre exactamente para $2(s - k) + 1$ pares $(i, j)$.

**8.** Como $2(s-k)+1 \geq 1$, se tiene $\dim\mathcal C(u) \geq
\sum_k n_k = n$, con igualdad si y solo si $s = 1$, es decir, si y solo si $u$ es cíclico (el [Ejercicio 3.9](#exo-b3-modules-9)). Para $u = \lambda\,\mathrm{id}$: $s = n$, todos $n_k = 1$: $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correcto, pues $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal
L(V)$.

**9.** Fórmula: invariantes $(X, X^2)$, luego $s = 2$, $n_1 =
1$, $n_2 = 2$: $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. Directamente: en la base $(e_1, e_2, e_3)$ con $u e_2 = e_1$, $ue_1 = ue_3 = 0$, escribiendo $Au = uA$ para $A = (a_{ij})$ se obtienen las condiciones $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ y $a_{11} = a_{22}$: cinco parámetros [libres](#def-b3-modules-free) $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$.

**10.** Un polinomio $P(u)$ conmuta con todo lo que conmute con $u$ (es una suma de potencias de $u$): $K[u]
\subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. Y $u \in \mathcal C(u)$, de modo que toda $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$.

**11.** Sean $V = K[u]x$ y $v \in \mathcal C(u)$. Escribamos $v(x) = P(u)x$ (ciclicidad). Para $y = Q(u)x$ arbitrario: $v(y) =
vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. Luego $v = P(u)$: $\mathcal
C(u) = K[u]$. Entonces $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal
C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (conmutar con todo $K[u]$ es lo mismo que conmutar con $u$). El teorema vale en el caso cíclico.

**12.** $\pi_i$ es $K[X]$-lineal (la descomposición es una suma directa de submódulos), luego $\pi_i \in \mathcal C(u)$, y $w$ conmuta con ella: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq
V_i$. La restricción $w_i = w\restriction_{V_i}$ conmuta con el $u_i = u\restriction_{V_i}$ cíclico (pregunta 10), y $w_i
\in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (pregunta 11): $w_i = Q_i(u_i) =
Q_i(u)\restriction_{V_i}$ para cierto $Q_i \in K[X]$.

**13.** Buena definición de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$: si $R(u)x_j = 0$, entonces $P_j \mid R$, y $P_i \mid P_j$ da $P_i \mid R$, luego $R(u)x_i = 0$ ($\operatorname{Ann}(x_i) =
(P_i)$). $\eta_{ij}$ es entonces $K[X]$-lineal por construcción, y $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ es una composición de $K[X]$-morfismos $V \to V$: $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal
C(u)$.

**14.** Evaluemos $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ en $x_j$: el miembro de la izquierda es $w(x_i) = Q_i(u)x_i$; el de la derecha, $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. Por tanto $(Q_i -
Q_j)(u)\,x_i = 0$: $P_i \mid Q_i - Q_j$ para todo $i \leq j$. En particular, con $Q = Q_s$: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, luego $Q(u)$ y $Q_i(u)$ coinciden sobre $V_i$ (al que $P_i(u)$ aniquila). Así pues, $w
= Q(u)$ sobre cada $V_i$ y, por tanto, sobre $V$: $\mathcal C(\mathcal C(u))
\subseteq K[u]$ y, con la pregunta 10, $\mathcal C(\mathcal
C(u)) = K[u]$.

**15.** La primera afirmación son las preguntas 10–14 (o, para $u$ cíclico, la pregunta 11 sola). Para $u = \mathrm{id}$, $n \geq
2$: $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ tiene dimensión $n^2$, mientras que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. Así que $\mathcal C(u) = K[u]$ falla estrepitosamente; y sin embargo el teorema del biconmutante se cumple ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) del álgebra de matrices son los escalares). La ciclicidad es lo que hace que el conmutante *simple* ya sea polinómico; el *doble* conmutante lo es siempre.

**16.** Si $P(XI - M)Q = S$ es una reducción de Smith ($P, Q$ invertibles sobre $K[X]$), trasponiendo se obtiene ${}^tQ\,(XI -
{}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: la misma forma de Smith, luego $XI - M$ y $XI - {}^tM$ tienen los mismos [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith), es decir, $M$ y ${}^tM$ tienen los mismos [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) (el [Corolario 3.17](#cor-b3-modules-descent)): son semejantes.

**17.** Los [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ sobre $L$ son los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de $XI - M$ en $L[X]$. Una reducción de Smith de $XI - M$ sobre $K[X]$ — con $P, Q$ invertibles sobre $K[X]$ y forma diagonal con la cadena de divisibilidad — es *también* una reducción de Smith válida sobre $L[X]$ ($P, Q$ siguen siendo invertibles: sus determinantes son constantes no nulas), y los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) mónicos son únicos: los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) calculados sobre $K$ y sobre $L$ coinciden. Así, $M \sim_L N$ si y solo si tienen los mismos [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith), si y solo si $M \sim_K N$. En particular, dos matrices reales conjugadas en $\C$ lo son en $\R$ — un enunciado que suele demostrarse por vía analítica (especializando una $P + \iu
Q$ invertible) y aquí sale por vía estructural.

**18.** Descompóngase $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ en bloques de Jordan nilpotentes. En un bloque de tamaño $m$, $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, luego $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ si $m
\geq k$ y $0$ en caso contrario. Sumando sobre los bloques: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k =
\#\{t : m_t \geq k\}$. La sucesión de rangos determina, pues, el multiconjunto $(m_t)$ — una partición de $n$ — y recíprocamente toda partición se realiza: las clases de nilpotentes $\leftrightarrow$ particiones de $n$, sobre cualquier cuerpo. $M_5$: $p(5) = 7$ clases ($5$; $4{+}1$; $3{+}2$; $3{+}1{+}1$; $2{+}2{+}1$; $2{+}1{+}1{+}1$; $1^5$).

**19.** (a) Sobre $\Q$ (o sobre cualquier cuerpo de característica $0$), $D^n = 0$, $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$: $D$ es nilpotente de índice $n$ sobre un espacio de dimensión $n$, luego es cíclico con único invariante $X^n$ ($x = X^{n-1}$ lo genera: sus derivadas sucesivas generan el espacio). (b) Sobre $\mathbb F_p$ con $p
< n$: $D^p = 0$, porque la derivada $p$-ésima de todo monomio $X^m$ lleva el factor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$, producto de $p$ enteros consecutivos y, por tanto, $\equiv 0 \bmod p$. Escribamos $n = ap + r$, $0 \leq r < p$. Entonces $\ker D^k$ está generado por los monomios $X^m$ con $D^kX^m = 0$; contando los exponentes $m < n$ según su resto [módulo](#def-b3-modules-module) $p$: $\dim\ker D^k = ak + \min(r,
k)$ para $0 \leq k \leq p$, luego $\operatorname{rk}D^{k-1} -
\operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a +
\mathbf 1_{k \leq r}$. Por la pregunta 18, la partición tiene $a$ bloques de tamaño exactamente $p$ y (si $r > 0$) un bloque de tamaño $r$: [invariantes de semejanza](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. La característica cambia la forma canónica del operador más familiar de las matemáticas.

**20.** $M \in GL_2$ tiene $s \in \{1, 2\}$ [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith). Si $s = 2$: $P_1 = P_2 = X - a$ ($a \neq 0$: invertibilidad), es decir, $M = aI$, central. Si $s = 1$: $M$ es cíclica, con polinomio característico $=$ igual al polinomio mínimo $\chi$ de grado $2$, y las clases corresponden a los posibles $\chi$ con $\chi(0) \neq 0$: $\chi$ descompuesto con raíces distintas $a \neq
b$ (la compañera $\sim$ es diagonalizable); $\chi = (X - a)^2$ (la compañera, no semisimple); $\chi$ [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Exactamente un tipo cada uno — los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) son un invariante completo.

**21.** Centrales: $q - 1$ elecciones de $a$. Valores propios distintos y descompuestos: pares no ordenados $\{a, b\} \subseteq
\mathbb F_q^\times$, $a \neq b$: $\binom{q-1}2$ clases. Polinomio mínimo $(X-a)^2$: $q - 1$ clases. Cuadráticas [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) con término independiente no nulo: todas las cuadráticas [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) valen (sus raíces son no nulas), y hay $\frac{q^2 - q}2$ cuadráticas mónicas [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) (las $q^2$ cuadráticas mónicas menos las $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ que se descomponen). En total:

$$
(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2
= q^2 - 1 .
$$

**22.** Si $M$ no es cíclica, $s = 2$ y $M$ es escalar (la dicotomía de la pregunta 20 vale en $M_2$, sea invertible o no: dos [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de grado $1$ con $P_1 \mid P_2$ y $P_1 =
P_2$ obligan a $M = aI$). Las escalares son $q$ entre las $q^4$ matrices: probabilidad de ser cíclica $1 - q^{-3}$. En general, el lugar no cíclico de $M_n$ es donde los menores $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ comparten un factor — una condición algebraica propia —, de modo que su proporción es $O(1/q)$-pequeña para $q$ grande: las matrices con $\chi = \mu$ son la regla, y el argumento de pegado de la Parte III es el precio que se paga por las excepciones.

**23.** Un elemento del [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) de $\mathcal C(u)$ está en $\mathcal C(u)$ y conmuta con todo elemento de $\mathcal C(u)$, es decir, está en $\mathcal C(\mathcal C(u)) =
K[u]$ (pregunta 14). Recíprocamente, $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, y todo $P(u)$ conmuta con todo $v \in \mathcal C(u)$ (un tal $v$ conmuta con $u$ y, por tanto, con cada potencia de $u$): $K[u]$ es central en $\mathcal C(u)$. Por tanto $Z(\mathcal C(u))
= K[u]$. En consecuencia, $\mathcal C(u)$ es conmutativa si y solo si $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$; en ese caso $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, mientras que la pregunta 8 da $\dim\mathcal C(u) \geq n$: luego $n_s = n$ y $s = 1$, es decir, $u$ es cíclico. Recíprocamente, para $u$ cíclico la pregunta 11 da $\mathcal C(u) = K[u]$, que es conmutativa. Estructuralmente: un álgebra de matrices igual a su propio [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) es exactamente un álgebra de polinomios $K[u]$ de un $u$ cíclico.

**24.** Cada coeficiente $2s - 2i + 1$ de la fórmula de Frobenius es impar, luego

$$
\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i
\equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .
$$

Para $n = 4$, las sucesiones de grados $n_1 \leq \dots
\leq n_s$ posibles de los [factores invariantes](#thm-b3-modules-smith), con suma $4$, son $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 1, 1, 1)$; todas se realizan, por ejemplo con el nilpotente de $P_i = X^{n_i}$ (la cadena de divisibilidad se cumple automáticamente). La fórmula da, respectivamente,

$$
1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad
5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .
$$

Así pues, el conjunto de valores es $\{4, 6, 8, 10, 16\}$: números pares de la paridad correcta, pero $12$ y $14$ no aparecen nunca — entre las sucesiones casi cíclicas y el $n^2$ de la escalar hay un salto.

**25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) =
8 \cdot 6 = 48$. Tipo central: $I$ y $2I$, dos clases de tamaño $1$. En los otros tres tipos, $M$ es cíclica (pregunta 20), luego su centralizador en $GL_2$ es el grupo de los elementos invertibles de $\mathcal C(M) = K[M]$ (pregunta 11), y el tamaño de la clase es $=48/\abs{K[M]^\times}$ por órbita–estabilizador. Valores propios distintos y descompuestos: solo el par $\{1, 2\}$, una clase; $K[M]
\cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (teorema chino del resto sobre $\chi = (X-1)
(X-2)$), unidades $2 \cdot 2 = 4$, tamaño $48/4 = 12$. Polinomio mínimo $(X - a)^2$, $a \in \{1, 2\}$: dos clases; $K[M] \cong
\mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, unidades $q^2 - q = 6$ (término independiente de la unidad $\neq 0$ tras centrar), tamaño $48/6 = 8$. $\chi$ [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): las cuadráticas mónicas [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_3$ son $(9 - 3)/2 = 3$, a saber,

$$
X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,
$$

(sin raíces en $\mathbb F_3$: compruébese $0, 1, 2$); tres clases, $K[M] \cong \mathbb F_9$, unidades $q^2 - 1 = 8$, tamaño $48/8 =
6$. [Ecuación de clases](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#cor-b3-groups-classeq): $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 =
2 + 12 + 16 + 18 = 48$; y $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ clases, en concordancia con la pregunta 21.