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title: "Extensiones de cuerpos y teoría de Galois"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois
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# Capítulo 4 — Extensiones de cuerpos y teoría de Galois

¿Puede resolverse toda ecuación por [radicales](#def-b3-galois-radical), como sugieren la fórmula de la ecuación de segundo [grado](#def-b3-galois-extension) y las fórmulas de Cardano para la cúbica? ¿Puede trisecarse un ángulo con regla y compás? Ambas preguntas, abiertas durante siglos, quedan respondidas — negativamente — por una sola idea de Évariste Galois: asociar a cada polinomio un *grupo* finito de simetrías de sus raíces y leer la respuesta en el grupo. Este capítulo construye el diccionario: extensiones de cuerpos y [grados](#def-b3-galois-extension), [cuerpos de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) y [clausuras algebraicas](#def-b3-galois-closure), [cuerpos finitos](#thm-b3-galois-finitefields) (una teoría completa — y la prometida ciclicidad de $\mathbb F_q^\times$), separabilidad y, por fin, la [correspondencia de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) misma, con demostraciones completas. La cosecha: la imposibilidad de las construcciones clásicas, la estructura de los cuerpos ciclotómicos y la imposibilidad de resolver por [radicales](#def-b3-galois-radical) la ecuación de quinto [grado](#def-b3-galois-extension) — la simplicidad de $A_5$ del [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ch-b3-groups) dando en el blanco.

## 4.1 Extensiones, grado, algebraicidad

**Definición 4.1.**

Una *extensión de cuerpos* $L/K$ es un cuerpo $L$ que contiene $K$ como subcuerpo; entonces $L$ es un $K$-espacio vectorial, y el *grado* $[L:K]$ es su dimensión. La extensión es *finita* si $[L:K] <
\infty$. La *característica* de un cuerpo es el generador $\geq 0$ del núcleo de $\Z \to K$, $n \mapsto n\cdot 1$: es $0$ o un primo $p$; en consecuencia, $K$ contiene un menor subcuerpo (el *cuerpo primo*) isomorfo a $\Q$ o a $\mathbb
F_p = \Z/p\Z$.

**Teorema 4.2 (Fórmula de los grados).**

Si $K \subseteq L \subseteq M$, entonces $[M:K] = [M:L]\,[L:K]$: si $(e_i)$ es una base de $L$ sobre $K$ y $(f_j)$ una base de $M$ sobre $L$, entonces $(e_if_j)$ es una base de $M$ sobre $K$.

**Demostración.** Genera: $x \in M$ se escribe $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), y cada $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Es independiente: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ se reescribe $\sum_j (\sum_i
\mu_{ij}e_i)f_j = 0$; las sumas interiores están en $L$, luego se anulan (los $f_j$ son independientes sobre $L$); entonces todos los $\mu_{ij} = 0$ (los $e_i$ son independientes sobre $K$). ∎

**Definición 4.3.**

Sean $L/K$ y $\alpha \in L$. Si algún $P \in K[X]$ no nulo cumple $P(\alpha) = 0$, se dice que $\alpha$ es *algebraico* sobre $K$; el generador mónico $\pi_\alpha$ del [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $\{P : P(\alpha) = 0\}$ de $K[X]$ es su *polinomio mínimo*, un polinomio [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ($\pi = QR$ con $Q(\alpha) = 0$ obliga a que $R$ sea constante, por la minimalidad del [grado](#def-b3-galois-extension)). En caso contrario, $\alpha$ es *trascendente*. Escribimos $K(\alpha)$ para el menor subcuerpo de $L$ que contiene $K$ y $\alpha$, y $K[\alpha]$ para el menor subanillo.

**Teorema 4.4.**

Si $\alpha$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ con $d = \deg\pi_\alpha$, entonces

$$
K(\alpha) = K[\alpha] \cong K[X]/(\pi_\alpha),
\qquad [K(\alpha) : K] = d,
$$

con base $1, \alpha, \dots, \alpha^{d-1}$. Recíprocamente, si $[L:K] < \infty$, todo $\alpha \in L$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) de [grado](#def-b3-galois-extension) $\deg \pi_\alpha$ divisor de $[L:K]$.

**Demostración.** La evaluación $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, tiene imagen $K[\alpha]$ y núcleo $(\pi_\alpha)$; como $\pi_\alpha$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), $K[X]/(\pi_\alpha)$ es un *cuerpo* (la [Proposición 2.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#prop-b3-rings-primemaximal): en el [DIP](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$, un [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) genera un [ideal maximal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-primemaximal)), luego $K[\alpha]$ es un cuerpo que contiene $K$ y $\alpha$: coincide con $K(\alpha)$. Las clases de $1, X, \dots, X^{d-1}$ forman una base del cociente (división euclídea), de donde la base y el [grado](#def-b3-galois-extension). Recíprocamente, si $[L:K]
= n < \infty$: los $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ son dependientes, lo que da un polinomio anulador; y entonces $[K(\alpha):K] =
\deg\pi_\alpha$ divide a $n$ por la [fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower). ∎

**Corolario 4.5.**

Si $\alpha, \beta$ son [algebraicos](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$, también lo son $\alpha \pm
\beta$, $\alpha\beta$, $\alpha/\beta$ ($\beta \ne 0$): los elementos de $L$ [algebraicos](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ forman un subcuerpo de $L$. Además, la algebraicidad es transitiva: [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic).

**Demostración.** $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ es finita sobre $K(\alpha)$ ($\beta$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K \subseteq K(\alpha)$) y $K(\alpha)/K$ es finita: por la [fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower), $[K(\alpha,\beta):K] <
\infty$, y todo elemento de $K(\alpha, \beta)$ — incluidos los cuatro citados — es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) (el [Teorema 4.4](#thm-b3-galois-simple)). Transitividad: si $\beta$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $L$ y $L/K$ es [algebraica](#def-b3-galois-algebraic), los coeficientes $c_0, \dots, c_{m-1}$ de $\pi_{\beta/L}$ generan una extensión finita $F = K(c_0, \dots,
c_{m-1})$ de $K$ ([fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower) reiterada), y $F(\beta)/F$ es finita: $[F(\beta):K] < \infty$, luego $\beta$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$. ∎

**Ejemplo 4.6.**

$[\Q(\sqrt2):\Q] = 2$, $[\Q(\sqrt[3]2):\Q] = 3$ ($X^3 - 2$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)), $[\Q(\zeta_p):\Q] = p - 1$ para $\zeta_p = \eu^{2\iu\pi/p}$ ($\Phi_p$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), el [Ejemplo 2.26](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#ex-b3-rings-eisenstein)). La [fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower) es ya un arma: $\sqrt[3]2 \notin \Q(\sqrt2)$, pues $3 \nmid 2$.

## 4.2 Cuerpos de descomposición; clausura algebraica

**Teorema 4.7 (Cuerpos de descomposición).**

Sea $P \in K[X]$ no constante. Existe un *cuerpo de descomposición* de $P$ sobre $K$: una extensión $L =
K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ generada por raíces de $P$ en la que $P$ se descompone en factores lineales. Es único salvo $K$-isomorfismo, y $[L:K] \leq (\deg P)!$.

**Demostración.** *Existencia*, por inducción sobre $\deg P$: tómese un factor [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $Q$ de $P$; el cuerpo $K_1 = K[X]/(Q)$ contiene la raíz $\alpha_1 = \bar X$ de $Q$ y, por tanto, de $P$; escríbase $P = (X -
\alpha_1)P_1$ sobre $K_1$ y aplíquese la inducción a $P_1$ sobre $K_1$; los [grados](#def-b3-galois-extension) multiplican a lo sumo $n(n-1)\cdots = n!$.

La *unicidad* se sigue del *lema de extensión de isomorfismos*, más fuerte: sean $\sigma \colon K \to K'$ un isomorfismo, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ el polinomio con los coeficientes trasladados y $L, L'$ [cuerpos de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $P, P^\sigma$; entonces $\sigma$ se extiende a un isomorfismo $L \to L'$. Inducción sobre $[L:K]$: si $P$ se descompone en $K$, entonces $L = K$ y $L' = K'$ ($P^\sigma$ se descompone en $K'$, y $L'$ está generado por sus raíces). En caso contrario, elíjase una raíz $\alpha \in L \setminus K$ de un factor [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $Q$ de $P$ con $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ es un factor [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de $P^\sigma$, con una raíz $\beta \in L'$; entonces

$$
K(\alpha) \cong K[X]/(Q) \xrightarrow{\ \sigma\ }
K'[X]/(Q^\sigma) \cong K'(\beta)
$$

extiende $\sigma$ con $\alpha \mapsto \beta$. Ahora $L$ es un [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $P$ sobre $K(\alpha)$, y $L'$ lo es de $P^\sigma$ sobre $K'(\beta)$, con $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: la inducción extiende aún más hasta $L \to L'$. ∎

**Definición 4.8.**

Un cuerpo $\Omega$ es *algebraicamente cerrado* si todo polinomio no constante de $\Omega[X]$ tiene una raíz en $\Omega$ (y por tanto se descompone). Una *clausura algebraica* de $K$ es una extensión [algebraica](#def-b3-galois-algebraic) $\bar K/K$ con $\bar K$ [algebraicamente](#def-b3-galois-algebraic) cerrado.

**Teorema 4.9 (Steinitz).**

Todo cuerpo $K$ tiene una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure), única salvo $K$-isomorfismo.

**Demostración.** *Existencia (construcción de Artin).* Sea $R = K[(X_f)_f]$ el anillo de polinomios con una variable $X_f$ por cada $f \in K[X]$ mónico no constante, y sea $I$ el [ideal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-ideal) generado por todos los $f(X_f)$. $I$ es propio: una relación $1 = \sum_{i=1}^r g_i\,
f_i(X_{f_i})$ involucra un número finito de polinomios; en un [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) común $E$ de $f_1\cdots f_r$, tómense raíces $\alpha_i$ de $f_i$ y evalúese $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (las demás variables $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurdo. Sea $\mathfrak m \supseteq I$ maximal (el [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-krull); Zorn) y sea $K_1 = R/\mathfrak
m$: una [extensión de cuerpos](#def-b3-galois-extension) de $K$ en la que todo $f \in
K[X]$ no constante tiene una raíz, a saber $\bar X_f$, y que es [algebraica](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ (está generada por los $\bar X_f$, cada uno [algebraico](#def-b3-galois-algebraic)). Iterando: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, donde $K_{n+1}$ hace con $K_n$ lo que $K_1$ hizo con $K$, y sea $\Omega =
\bigcup_n K_n$, que es un cuerpo. Todo $g \in \Omega[X]$ no constante tiene sus finitos coeficientes en algún $K_n$; un factor [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de $g$ sobre $K_n$ tiene una raíz en $K_{n+1} \subseteq
\Omega$: $\Omega$ es [algebraicamente cerrado](#def-b3-galois-closure) y [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ (cada $K_n$ lo es, por transitividad, el [Corolario 4.5](#cor-b3-galois-algclosed)): $\Omega$ es una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure).

*Unicidad.* Sean $\Omega, \Omega'$ dos [clausuras algebraicas](#def-b3-galois-closure). Considérese el conjunto de los pares $(E, \tau)$ con $K
\subseteq E \subseteq \Omega$ y $\tau\colon E \to \Omega'$ una $K$-inmersión, ordenado por extensión; es no vacío ($(K,
\mathrm{id})$) e inductivo (unión de una cadena), de modo que Zorn da un $(E_0, \tau_0)$ maximal. Si $E_0 \neq \Omega$, tómese $\alpha \in
\Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ se transforma en un polinomio sobre $\tau_0(E_0)$ que tiene una raíz $\beta$ en el [algebraicamente cerrado](#def-b3-galois-closure) $\Omega'$, y $\tau_0$ se extiende a $E_0(\alpha) \to
\Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), en contra de la maximalidad. Existe, pues, una $K$-inmersión $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; su imagen, isomorfa a $\Omega$, es [algebraicamente](#def-b3-galois-algebraic) cerrada, y $\Omega'$ es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) sobre ella: para $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se descompone sobre $\tau(\Omega)$, luego $x \in
\tau(\Omega)$. Así pues, $\tau$ es sobreyectiva: es un isomorfismo. ∎

**Observación 4.10.**

Para $K = \Q$ puede evitarse la maquinaria transfinita: los números [algebraicos](#def-b3-galois-algebraic) $\bar\Q = \{z \in \C : z \text{ algebraic over
} \Q\}$ forman una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) — un subcuerpo de $\C$ por el [Corolario 4.5](#cor-b3-galois-algclosed), [algebraicamente cerrado](#def-b3-galois-closure) porque $\C$ lo es (d’Alembert–Gauss, demostrado mediante análisis complejo en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#ch-b3-holomorphic)) y porque las raíces de polinomios sobre $\bar\Q$ son [algebraicas](#def-b3-galois-algebraic) sobre $\Q$ por transitividad.

## 4.3 Cuerpos finitos

**Teorema 4.11.**

Sea $p$ primo, $n \geq 1$, $q = p^n$.

1. Un [cuerpo finito](#thm-b3-galois-finitefields) tiene por cardinal una potencia de primo y, para cada $q$ , existe exactamente un cuerpo $\mathbb F_q$ de $q$ elementos salvo isomorfismo: el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $X^q - X$ sobre $\mathbb F_p$ .
2. El *Frobenius* $F  \colon x \mapsto x^p$ es un automorfismo de $\mathbb  F_q$ , y el grupo de automorfismos de $\mathbb F_q$ es cíclico de orden $n$ , generado por $F$ .
3. $\mathbb F_{p^m}$ se sumerge en $\mathbb F_{p^n}$ si y solo si $m \mid  n$ .

**Demostración.** (1) Un [cuerpo finito](#thm-b3-galois-finitefields) $E$ tiene característica $p > 0$ y es un $\mathbb F_p$-espacio vectorial de dimensión finita: $\abs E = p^n$. Su grupo multiplicativo tiene orden $q - 1$, luego todo $x \in E$ cumple $x^q = x$: $E$ consta de $q$ raíces de $X^q - X$ y, por tanto, es un [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) suyo sobre $\mathbb F_p$ — lo que determina $E$ salvo isomorfismo (el [Teorema 4.7](#thm-b3-galois-splitting)). Recíprocamente, en un [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^q - X$, el conjunto $E$ de sus raíces es un *subcuerpo*: $(x + y)^q = x^q + y^q$ iterando el sueño del principiante $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), y $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; y tiene exactamente $q$ elementos porque $X^q - X$ es [separable](#def-b3-galois-separable): su derivada es $qX^{q-1} - 1 = -1$ (pues $p \mid q$), coprima con él, de modo que no hay raíces múltiples. Así, $L = E$ tiene $q$ elementos.

(2) $F$ es un morfismo de cuerpos (sueño del principiante), inyectivo (son cuerpos) y, por tanto, biyectivo sobre el conjunto finito $\mathbb F_q$. Se tiene $F^n =
\mathrm{id}$ ($x^q = x$) y ninguna potencia menor es la identidad: $F^m = \mathrm{id}$ significaría que los $q$ elementos son raíces de $X^{p^m} - X$, lo que obliga a $p^m \geq q$. Así pues, $\langle F\rangle$ es cíclico de orden $n$; y no hay más automorfismos, por la cota $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q :
\mathbb F_p\,] = n$ que se demuestra más abajo (la [Proposición 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) con $L = \mathbb F_q$, $K =
\mathbb F_p$: los automorfismos fijan el cuerpo primo).

(3) Si $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, la [fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower) da $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Recíprocamente, si $m \mid n$, entonces $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (suma geométrica), luego $X^{p^m} - X$ divide a $X^{p^n} - X$ (mismo argumento sobre los exponentes: $X^{a} - 1 \mid X^{b}
- 1$ cuando $a \mid b$), y las raíces del primero dentro de $\mathbb F_{p^n}$ forman el subcuerpo pedido, de cardinal $p^m$ (separabilidad como en (1)). ∎

**Teorema 4.12 (Ciclicidad).**

Todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es cíclico. En particular, $\mathbb F_q^\times \cong
\Z/(q-1)\Z$.

**Demostración.** Sea $G \leq K^\times$ finito. Por el teorema de estructura (el [Corolario 3.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/3-modulos-sobre-un-dominio-de-ideales-principales#cor-b3-modules-abelian)), $G \cong \Z/d_1 \times \dots
\times \Z/d_s$ con $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Todo $x \in G$ cumple entonces $x^{d_s} = 1$; pero $X^{d_s} - 1$ tiene a lo sumo $d_s$ raíces en el cuerpo $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, lo que obliga a $s = 1$: $G$ es cíclico. ∎

**Ejemplo 4.13.**

$\mathbb F_8 = \mathbb F_2[X]/(X^3 + X + 1)$: la cúbica no tiene raíces en $\mathbb F_2$, luego es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Escribiendo $\omega =
\bar X$: $\mathbb F_8^\times$ es cíclico de orden $7$, de modo que *todo* elemento $\neq 0, 1$ lo genera. Los subcuerpos de $\mathbb F_{p^{12}}$ forman el retículo de divisores de $12$: $\mathbb F_p, \mathbb F_{p^2}, \mathbb F_{p^3}, \mathbb F_{p^4},
\mathbb F_{p^6}, \mathbb F_{p^{12}}$ — un primer caso completo de la [correspondencia de Galois](#thm-b3-galois-fundamental).

## 4.4 Separabilidad e inmersiones

**Definición 4.14.**

Un polinomio $P \in K[X]$ es *separable* si no tiene raíces múltiples en un [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) — equivalentemente, $\gcd(P, P') = 1$ (una raíz múltiple es una raíz común; recíprocamente, sobre el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) una raíz común es múltiple; y el máximo común divisor no cambia al hacer una [extensión de cuerpos](#def-b3-galois-extension), según el argumento del [Corolario 3.17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/3-modulos-sobre-un-dominio-de-ideales-principales#cor-b3-modules-descent)). Un [elemento algebraico](#def-b3-galois-algebraic) es separable si lo es su [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic); una extensión $L/K$ es separable si lo son todos sus elementos.

**Proposición 4.15.**

Un $P \in K[X]$ *[irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility)* es [separable](#def-b3-galois-separable) salvo que $P' = 0$, lo que obliga a $\operatorname{char} K = p > 0$ y $P \in K[X^p]$. En consecuencia, toda extensión [algebraica](#def-b3-galois-algebraic) de un cuerpo de característica $0$, y de un [cuerpo finito](#thm-b3-galois-finitefields), es [separable](#def-b3-galois-separable) (tales cuerpos se llaman *perfectos*).

**Demostración.** $\gcd(P, P')$ divide a $P$; si no es $1$, la irreducibilidad obliga a $\gcd = P$ (salvo una constante), luego $P \mid P'$ con $\deg
P' < \deg P$: $P' = 0$. Escribiendo $P = \sum a_kX^k$: $ka_k = 0$ para todo $k$, de modo que en característica $0$, $P$ es constante (excluido); y en característica $p$, $a_k = 0$ salvo que $p \mid k$: $P =
Q(X^p)$. Sobre un [cuerpo finito](#thm-b3-galois-finitefields), todo elemento es una potencia $p$-ésima (el [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) es sobreyectivo), luego $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum
b_kX^k)^p$ no es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): allí tampoco puede ocurrir $P' = 0$ para $P$ [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). ∎

**Proposición 4.16 (Recuento de inmersiones).**

Sea $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ finita sobre $K$ y sea $\sigma \colon K \to \Omega$ una inmersión en un [cuerpo algebraicamente cerrado](#def-b3-galois-closure). Entonces el número de extensiones de $\sigma$ a $L$ es a lo sumo $[L:K]$, con igualdad si $L/K$ es [separable](#def-b3-galois-separable). En particular, $\abs{\operatorname{Aut}_K(L)} \leq [L:K]$.

**Demostración.** Inducción sobre $[L:K]$ mediante pasos simples. Para $L = K(\alpha)$: una extensión $\tau$ queda determinada por $\tau(\alpha)$, que ha de ser una raíz en $\Omega$ de $\pi_\alpha^\sigma$; y recíprocamente cada una de esas raíces da una extensión ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). El número de extensiones es el número de raíces *distintas* de $\pi_\alpha^\sigma$ en $\Omega$: a lo sumo $\deg\pi_\alpha =
[K(\alpha):K]$, con igualdad si y solo si $\pi_\alpha$ es [separable](#def-b3-galois-separable) (la separabilidad de $\pi^\sigma$ y la de $\pi$ coinciden: $\sigma$ conserva el máximo común divisor con la derivada). En general, factorícese $L =
K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: las extensiones de $\sigma$ a $K(\alpha_1)$ son $\leq [K(\alpha_1):K]$, y cada una se extiende de $\leq [L : K(\alpha_1)]$ maneras por inducción; multiplíquese ([fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower)). En el caso [separable](#def-b3-galois-separable), ambos recuentos son igualdades: los [polinomios mínimos](#def-b3-galois-algebraic) sobre el cuerpo mayor $K(\alpha_1)$ dividen a los de $K$ y, por tanto, siguen siendo [separables](#def-b3-galois-separable). ∎

**Teorema 4.17 (Elemento primitivo).**

Toda extensión finita *[separable](#def-b3-galois-separable)* es simple: $L =
K(\gamma)$ para algún $\gamma$.

**Demostración.** Si $K$ es finito, también lo es $L$, y sirve un generador $\gamma$ del grupo cíclico $L^\times$ (el [Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Sea $K$ infinito; por inducción basta tratar $L =
K(\alpha, \beta)$. Sea $n = [L:K]$; por la [Proposición 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) hay $n$ $K$-inmersiones distintas $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ ($\Omega$ una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure)). El polinomio

$$
D(T)=\prod_{i<j}\bigl[\bigl(\sigma_i(\alpha)-\sigma_j(\alpha)
\bigr) + T\bigl(\sigma_i(\beta) - \sigma_j(\beta)\bigr)\bigr]
$$

no es idénticamente nulo: un factor se anula idénticamente solo si $\sigma_i, \sigma_j$ coinciden tanto en $\alpha$ como en $\beta$ y, por tanto, en $L$ — excluido para $i \neq j$. Como $K$ es infinito, tómese $c \in
K$ con $D(c) \ne 0$: entonces los $n$ elementos $\sigma_i(\alpha +
c\beta)$ son distintos dos a dos, luego $\gamma = \alpha + c\beta$ tiene al menos $n$ conjugados distintos en $\Omega$, es decir, $\deg \pi_\gamma \geq n$: $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ obliga a $L = K(\gamma)$. ∎

## 4.5 La correspondencia de Galois

**Definición 4.18.**

Una extensión finita $L/K$ es *de Galois* si es el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de un polinomio *[separable](#def-b3-galois-separable)* sobre $K$. Su *grupo de Galois* es $\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L)$, el grupo de los automorfismos de cuerpo de $L$ que fijan $K$ punto a punto.

**Proposición 4.19.**

Si $L/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois), entonces $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} =
[L:K]$; además, $L/F$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) para todo cuerpo intermedio $K
\subseteq F \subseteq L$, y toda $F$-inmersión $L \to \Omega
\supseteq L$ tiene imagen $L$ (*normalidad*).

**Demostración.** Sea $L$ el cuerpo que descompone el [polinomio separable](#def-b3-galois-separable) $P$ sobre $K$, y fijemos una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) $\Omega \supseteq L$. $L/K$ es [separable](#def-b3-galois-separable): está generado por raíces de $P$; la separabilidad de todo elemento se sigue del caso de igualdad de más abajo, pero argumentemos directamente — la [Proposición 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) aplicada a los generadores (raíces del [separable](#def-b3-galois-separable) $P$, cuyos [polinomios mínimos](#def-b3-galois-algebraic) dividen a $P$) da exactamente $[L:K]$ extensiones de $K \hookrightarrow \Omega$ (en el paso inductivo, el [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic) de una raíz de $P$ sobre un cuerpo intermedio sigue dividiendo a $P$ y, por tanto, es [separable](#def-b3-galois-separable)). Cada una de esas inmersiones $\tau \colon L \to \Omega$ permuta las raíces de $P$ ($\tau$ fija los coeficientes), y $L$ está generado por ellas: $\tau(L) = L$. Así pues, inmersiones $=$ automorfismos: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Para $F$ intermedio: $L$ es también el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $P$ sobre $F$, y $P$ sigue siendo [separable](#def-b3-galois-separable): $L/F$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois); el mismo argumento da la normalidad sobre $F$. ∎

**Lema 4.20 (Artin).**

Sea $G$ un grupo finito de automorfismos de un cuerpo $L$ y sea $K = L^G = \{x : \sigma(x) = x\ \forall\sigma \in G\}$ su cuerpo fijo. Entonces $[L : L^G] \leq \abs G$.

**Demostración.** Sean $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, y supongamos que $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ son linealmente independientes sobre $K$. El sistema lineal homogéneo de $n$ ecuaciones con $n+1$ incógnitas $(c_j)$ sobre $L$,

$$
\sum_{j=1}^{n+1} c_j\,\sigma_i(x_j) = 0
\qquad (i = 1, \dots, n),
$$

tiene una solución no nula; elíjase una con el *menor* número de entradas no nulas, digamos $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (renumerando), $r \geq 2$ (una sola $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ es imposible), normalizada con $c_r = 1$. No todos los $c_j$ están en $K$: la ecuación correspondiente a $\sigma_i =
\mathrm{id}$ contradiría la independencia; digamos $c_1 \notin K$, de modo que $\tau(c_1) \ne c_1$ para algún $\tau \in G$. Apliquemos $\tau$ a todas las ecuaciones: como $\tau\sigma_i$ recorre $G$, el vector $(\tau(c_j))_j$ es otra solución; restando, $(c_j -
\tau(c_j))_j$ es una solución con menos entradas no nulas (la entrada $r$-ésima $1 - 1 = 0$ se anula, y la primera no) y no nula: contradicción. Así pues, $n+1$ elementos cualesquiera son dependientes: $[L:K]
\leq n$. ∎

**Teorema 4.21 (Teorema fundamental de la teoría de Galois).**

Sea $L/K$ una [extensión de Galois](#def-b3-galois-galois) de grupo $G =
\operatorname{Gal}(L/K)$.

1. $L^G = K$ .
2. Las aplicaciones $H \mapsto L^H$ y $F \mapsto  \operatorname{Gal}(L/F)$ son biyecciones mutuamente inversas y que invierten las inclusiones entre los subgrupos de $G$ y los cuerpos intermedios $K \subseteq F \subseteq L$ ; además, $[L : L^H] = \abs H$ y $[L^H : K] = [G : H]$ .
3. $H \trianglelefteq G$ si y solo si $L^H/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) , y entonces la restricción induce $\operatorname{Gal}(L^H/K) \cong  G/H$ .

**Demostración.** (1) Claramente $K \subseteq L^G$. Recíprocamente, sea $\alpha \in L
\setminus K$; exhibiremos $\sigma \in G$ con $\sigma(\alpha) \ne
\alpha$. El [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic) $\pi_\alpha$ sobre $K$ tiene [grado](#def-b3-galois-extension) $\geq 2$ y es [separable](#def-b3-galois-separable) ($L/K$ es [separable](#def-b3-galois-separable), la [Proposición 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)), luego tiene otra raíz $\beta \neq \alpha$ en una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) $\Omega \supseteq L$. Extiéndase la $K$-inmersión $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto
\beta$, a una inmersión $\tau\colon L \to \Omega$ (la [Proposición 4.16](#prop-b3-galois-embeddings)); por normalidad (la [Proposición 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)), $\tau(L) = L$, luego $\tau \in
G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$ y $\tau(\alpha) \neq
\alpha$.

(2) Para un subgrupo $H$: $L/L^H$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) (la [Proposición 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)) y $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ trivialmente, luego $[L:L^H] =
\abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; el lema de Artin da $[L:L^H] \leq \abs H$: hay igualdad, y $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Para un cuerpo intermedio $F$: como $L/F$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois), (1) aplicado a $L/F$ da $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$. Las dos aplicaciones son mutuamente inversas y es evidente que invierten las inclusiones. [Grados](#def-b3-galois-extension): $[L:L^H] = \abs H$ acaba de demostrarse, y $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Para $\sigma \in G$ y $H \leq G$: $\sigma(L^H) =
L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (comprobación directa). Por la biyección, $\sigma(L^H) = L^H$ para todo $\sigma$ si y solo si $H \trianglelefteq G$. Ahora bien, si $H \trianglelefteq G$, póngase $F = L^H$: todo $\sigma \in
G$ se restringe a un automorfismo de $F$, lo que da un morfismo $\rho
\colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ de núcleo $\{\sigma :
\sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) =
H$. Así, $G/H$ se sumerge en $\operatorname{Aut}_K(F)$, de donde $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; la desigualdad contraria vale siempre (la [Proposición 4.16](#prop-b3-galois-embeddings)): $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ y $\rho$ es sobreyectivo. Queda ver que $F/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois): $F$ es [separable](#def-b3-galois-separable) sobre $K$ (dentro del [separable](#def-b3-galois-separable) $L/K$) y $F = K(\gamma)$ (el [Teorema 4.17](#thm-b3-galois-primitive)); el polinomio $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (producto sobre las imágenes distintas, que están en $F$: $\sigma(F) =
L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ por la normalidad de $H$) tiene los coeficientes fijados por $G$ y, por tanto, en $K$ por (1): es un [polinomio separable](#def-b3-galois-separable) de $K[X]$ descompuesto por $F$, y sus raíces generan $F$: $F/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois). Recíprocamente, si $F = L^H$ con $F/K$ [de Galois](#def-b3-galois-galois), la normalidad de $F$ (la [Proposición 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder), aplicada a las inmersiones $F \to \Omega$ restringidas de elementos de $G$) da $\sigma(F) = F$ para todo $\sigma \in G$, es decir, $H
\trianglelefteq G$. ∎

![La correspondencia de Galois para el cuerpo de descomposición L de X3 - 2 sobre ℚ (j = 2 π/3): los subgrupos de Gal(L/ℚ) S_3 (a la izquierda, con el orden invertido) se corresponden con los cuerpos intermedios (a la derecha). El único subgrupo normal propio (1\,2\,3) corresponde a la única subextensión ℚ( √3)/ℚ que es de Galois; los tres subgrupos conjugados (i\,j) corresponden a los tres cuerpos cúbicos conjugados ℚ(jk√(3)2), ninguno de los cuales es normal sobre ℚ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-galois/fig-94b147c908a8.svg)

*La [correspondencia de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) para el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^3 - 2$ sobre $\Q$ ($j = \eu^{2\iu\pi/3}$): los subgrupos de $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3$ (a la izquierda, con el orden invertido) se corresponden con los cuerpos intermedios (a la derecha). El único [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-normal) propio $\langle(1\,2\,3)\rangle$ corresponde a la única subextensión $\Q(\iu\sqrt3)/\Q$ que es [de Galois](#def-b3-galois-galois); los tres subgrupos conjugados $\langle(i\,j)\rangle$ corresponden a los tres cuerpos cúbicos conjugados $\Q(j^k\sqrt[3]2)$, ninguno de los cuales es normal sobre $\Q$.*

## 4.6 Extensiones ciclotómicas

**Definición 4.22.**

Sean $n \geq 1$ y $\zeta_n = \eu^{2\iu\pi/n}$. El *polinomio ciclotómico* de índice $n$ es $\Phi_n = \prod_{\gcd(k,n)=1,\ 1 \le k \le n} \bigl(X -
\zeta_n^k\bigr)$, de [grado](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$; agrupando las raíces de $X^n - 1$ según su orden exacto, $X^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d$, lo que muestra por inducción que $\Phi_n \in \Z[X]$ (división euclídea de polinomios enteros mónicos).

**Teorema 4.23.**

$\Phi_n$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$; por tanto $[\Q(\zeta_n) : \Q] =
\varphi(n)$ y

$$
\operatorname{Gal}\bigl(\Q(\zeta_n)/\Q\bigr) \;\cong\;
(\Z/n\Z)^\times,
\qquad \sigma_a(\zeta_n) = \zeta_n^a .
$$

Así pues, la extensión $\Q(\zeta_n)/\Q$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) con grupo *abeliano*.

**Demostración.** Sea $f = \pi_{\zeta_n}$, de modo que $\Phi_n = fg$ con $f, g \in \Z[X]$ mónicos (lema de Gauss, el [Lema 2.23](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#lem-b3-rings-gauss): los contenidos se multiplican y todos los polinomios son mónicos). *Afirmación: si $\zeta$ es una raíz de $f$ y $p \nmid n$ es primo, entonces $\zeta^p$ es raíz de $f$.* En caso contrario, $\zeta^p$ sería raíz de $g$ (es una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad), luego $\zeta$ sería raíz de $g(X^p)$, y $f
\mid g(X^p)$ en $\Z[X]$ ([polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic) y de nuevo Gauss). Redúzcase módulo $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (el [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) sobre $\mathbb F_p[X]$: coeficiente a coeficiente $a^p = a$, y sueño del principiante), luego $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ y $\bar g$ comparten un factor [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) y $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ tiene un factor múltiple. Entonces también lo tiene $X^n - \bar 1$; pero su derivada $\bar nX^{n-1}$ es coprima con él ($p \nmid n$, y $0$ no es raíz): contradicción.

Toda raíz primitiva $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) se obtiene de $\zeta_n$ mediante potencias sucesivas de primos que no dividen a $n$ (factorícese $k$): la afirmación se propaga, de modo que toda raíz primitiva es raíz de $f$: $f = \Phi_n$, [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). En consecuencia, $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, y $\Q(\zeta_n)$ es el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) del [separable](#def-b3-galois-separable) $X^n - 1$ (todas las raíces son potencias de $\zeta_n$): es [de Galois](#def-b3-galois-galois). Un automorfismo $\sigma$ envía $\zeta_n$ a otra raíz primitiva $\zeta_n^{a(\sigma)}$, y $\sigma
\mapsto a(\sigma)$ es un morfismo inyectivo en $(\Z/n\Z)^\times$; ambos grupos tienen orden $\varphi(n)$: es un isomorfismo. ∎

## 4.7 Regla y compás

**Definición 4.24.**

Identifiquemos el plano con $\C$ y partamos de $\{0, 1\}$. Un punto es *construible* si puede obtenerse mediante un número finito de intersecciones de rectas que pasan por dos puntos ya construidos y de circunferencias centradas en un punto construido con radio igual a la distancia entre dos puntos construidos.

**Teorema 4.25 (Wantzel).**

$z \in \C$ es [construible](#def-b3-galois-constructible) si y solo si existe una torre $\Q = F_0
\subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_r$ con $[F_{i+1} :
F_i] = 2$ y $z \in F_r$. En particular, un [número construible](#def-b3-galois-constructible) es [algebraico](#def-b3-galois-algebraic) de [grado](#def-b3-galois-extension) una potencia de $2$ sobre $\Q$.

**Demostración.** ($\Rightarrow$) Las coordenadas de la intersección de dos rectas que pasan por puntos con coordenadas en un subcuerpo $F \subseteq \R$ resuelven un sistema lineal sobre $F$: permanecen en $F$. Las intersecciones recta–circunferencia y circunferencia–circunferencia llevan, tras eliminar la parte lineal (restando las dos ecuaciones de las circunferencias se obtiene una recta), a una ecuación de segundo [grado](#def-b3-galois-extension) sobre $F$: las nuevas coordenadas están en $F$ o en $F(\sqrt d)$ para cierto $d \in F$, $d > 0$. Por inducción, todo punto construido tiene sus coordenadas en una torre de extensiones cuadráticas de $\Q$; y $z = x + \iu y$ está también en una torre cuadrática (adjúntese $\iu$: un paso cuadrático más). La consecuencia sobre el [grado](#def-b3-galois-extension): $[\Q(z):\Q]$ divide a $[F_r : \Q] = 2^r$ ([fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower)).

($\Leftarrow$) Los [números construibles](#def-b3-galois-constructible) forman un cuerpo: sumas y diferencias mediante paralelogramos (las paralelas son [construibles](#def-b3-galois-constructible): trácense dos veces perpendiculares — la perpendicular clásica por un punto usa una circunferencia y dos arcos); productos y cocientes mediante las configuraciones del teorema de Tales (dadas longitudes $a, b$, constrúyanse $ab$ y $a/b$ con triángulos semejantes sobre dos semirrectas). Y el cuerpo es cerrado por raíces cuadradas: para $a > 0$, la circunferencia de diámetro $1 + a$ y la perpendicular en el punto de unión se cortan a altura $\sqrt a$ (teorema de la altura en un triángulo rectángulo); para un $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ complejo, constrúyase $\sqrt\rho$ y bisóquese $\theta$ (la bisección de un ángulo es una construcción con compás). Las partes real e imaginaria de los elementos de una torre cuadrática son, por tanto, [construibles](#def-b3-galois-constructible) por inducción sobre la torre: cada paso adjunta las raíces de una ecuación de segundo [grado](#def-b3-galois-extension), expresables mediante operaciones de cuerpo y una raíz cuadrada de un número ya construido (la fórmula cuadrática; en característica $0$). ∎

**Corolario 4.26.**

Los tres problemas clásicos no tienen solución con regla y compás:

1. *Duplicación del cubo* : $\sqrt[3]2$ tiene [grado](#def-b3-galois-extension) $3$ , que no es potencia de $2$ .
2. *Trisección del ángulo* : trisecar $60^\circ$ exige $\cos 20^\circ$ , raíz del [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $8X^3  - 6X - 1$ : [grado](#def-b3-galois-extension) $3$ .
3. *Cuadratura del círculo* : $\sqrt\pi$ es trascendente (lo es $\pi$ — teorema de Lindemann, admitido aquí: su demostración pertenece a un curso de teoría de la trascendencia).

Además, el $n$-ágono regular es [construible](#def-b3-galois-constructible) si y solo si $\varphi(n)$ es una potencia de $2$ (Gauss–Wantzel; el «si» usa el método del problema de fin de semana, y el «solo si» es el [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) aplicado a $\zeta_n$, de [grado](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$). Para $n = 7$: $\varphi(7) = 6$: el heptágono regular es imposible; para $n = 17$: $\varphi(17) = 16 = 2^4$: es [construible](#def-b3-galois-constructible) — y el problema de fin de semana lo construye.

**Demostración.** (1) $X^3 - 2$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)). (2) De $\cos
3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ con $3\theta =
60^\circ$: $8c^3 - 6c = 1$ para $c = \cos 20^\circ$; la cúbica $8X^3 - 6X - 1$ no tiene raíces racionales (los candidatos $\pm1, \pm\frac
12, \pm\frac14, \pm\frac18$ fallan), luego es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): [grado](#def-b3-galois-extension) $3$. Un ángulo general de $60^\circ$ es [construible](#def-b3-galois-constructible), de modo que un trisector construiría $c$. (3) Si $\sqrt\pi$ fuera [construible](#def-b3-galois-constructible) sería [algebraico](#def-b3-galois-algebraic), y también lo sería $\pi$. Para el $n$-ágono: el [grado](#def-b3-galois-extension) de $\zeta_n$ es $\varphi(n)$ (el [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred)); la necesidad se sigue de Wantzel; y para la suficiencia, el [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois), abeliano de orden $2^m$, admite una cadena de subgrupos de índice $2$ (todo $2$-grupo finito la admite: el [Ejercicio 1.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#exo-b3-groups-10)), cuyos cuerpos fijos forman una torre cuadrática que termina en $\Q(\zeta_n)$ (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)); se concluye por [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel). ∎

## 4.8 Resolubilidad por radicales

**Definición 4.27.**

Una extensión $L/K$ (característica $0$ en toda esta sección) es *radical* si existe una torre $K = F_0 \subseteq \dots
\subseteq F_r = L$ con $F_{i+1} = F_i(\alpha_i)$, $\alpha_i^{n_i} \in F_i$: cada paso adjunta una raíz $n_i$-ésima. Un polinomio $P \in K[X]$ es *resoluble por radicales* si su [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) está contenido en alguna extensión radical de $K$.

**Lema 4.28.**

Supongamos que $K$ contiene una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad $\zeta$, es decir, un $\zeta$ de orden $n$ en $K^\times$, y sea $a \in K^\times$. Entonces $K(\sqrt[n]a)/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) con grupo *cíclico*. Recíprocamente — no lo necesitaremos —, toda extensión cíclica de [grado](#def-b3-galois-extension) $n$ es de esta forma. Además, $K(\zeta_n)/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) con grupo *abeliano*, para todo $K$ de característica $0$.

**Demostración.** $X^n - a$ es [separable](#def-b3-galois-separable) ($\gcd$ con $nX^{n-1}$: $a \neq 0$) y se descompone en $K(\alpha)$, $\alpha^n = a$: sus raíces son los $\zeta^k\alpha \in K(\alpha)$. Luego $K(\alpha)/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois); la aplicación $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)/\alpha \in \mu_n = \langle
\zeta\rangle$ es un morfismo inyectivo ($\sigma\tau(\alpha) =
\sigma(\tau(\alpha)/\alpha \cdot \alpha) =
\tau(\alpha)/\alpha\cdot\sigma(\alpha)$, pues el cociente está en $K$) en un grupo cíclico: $\operatorname{Gal}$ es cíclico. El recíproco es la teoría de Kummer, que no necesitaremos (véase la observación siguiente). Para $K(\zeta_n)$: descompone el [separable](#def-b3-galois-separable) $X^n -
1$, y $\sigma \mapsto a(\sigma)$ con $\sigma(\zeta_n) =
\zeta_n^{a(\sigma)}$ sumerge el grupo en el abeliano $(\Z/n\Z)^\times$ igual que en el [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) (la inyectividad solo necesita que $\zeta_n$ genere las raíces de la unidad implicadas). ∎

**Teorema 4.29 (Galois).**

Sea $K$ de característica $0$ y sea $P \in K[X]$ con [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Si $P$ es [resoluble por radicales](#def-b3-galois-radical), entonces $\operatorname{Gal}(L/K)$ es un [grupo resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived). (El recíproco también es cierto; no lo necesitaremos.)

**Demostración.** Paso 1: *agrandar la torre [radical](#def-b3-galois-radical) hasta hacerla [de Galois](#def-b3-galois-galois).* Sea $L
\subseteq M$ con $M/K$ [radical](#def-b3-galois-radical), de exponentes de radicación $n_1, \dots,
n_r$ y $n = n_1\cdots n_r$. Adjuntemos primero $\zeta_n$: la torre $K \subseteq K(\zeta_n) \subseteq M(\zeta_n)$ sigue siendo [radical](#def-b3-galois-radical) ($\zeta_n$ es una raíz de la unidad: un paso [radical](#def-b3-galois-radical), $\zeta_n^n = 1$) y sus pasos posteriores al primero ocurren sobre cuerpos que contienen las raíces de la unidad necesarias. Sustitúyase después $M(\zeta_n)$ por el compuesto $N$ de todos los $\sigma(M(\zeta_n))$, donde $\sigma$ recorre las (finitas) $K$-inmersiones de $M(\zeta_n)$ en una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) fija: $N$ es el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) del producto de los [polinomios mínimos](#def-b3-galois-algebraic) de un sistema generador (característica $0$: finita y [separable](#def-b3-galois-separable)), luego $N/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois); y $N$ es [radical](#def-b3-galois-radical) sobre $K$: cada $\sigma(M(\zeta_n))$ es [radical](#def-b3-galois-radical) sobre $K$ (aplíquese $\sigma$ a una torre [radical](#def-b3-galois-radical)), y un compuesto de extensiones [radicales](#def-b3-galois-radical) es [radical](#def-b3-galois-radical) (concaténense las torres: si $F'/K$ es [radical](#def-b3-galois-radical) con torre que adjunta $\beta_j$, los pasos de tipo $F''(\beta_j)$ siguen siendo [radicales](#def-b3-galois-radical) sobre cualquier base mayor).

Paso 2: *leer la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) en la torre [de Galois](#def-b3-galois-galois).* Supongamos, pues, $L \subseteq N$ con $N/K$ [de Galois](#def-b3-galois-galois) y [radical](#def-b3-galois-radical), con torre $K
\subseteq K(\zeta_n) = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dots
\subseteq E_s = N$ y cada $E_{i+1} = E_i(\sqrt[n_i]{a_i})$ con $\zeta_{n_i} \in E_0 \subseteq E_i$. Sean $G =
\operatorname{Gal}(N/K)$ y $G_i = \operatorname{Gal}(N/E_i)$: una cadena decreciente $G \supseteq G_0 \supseteq G_1 \supseteq
\dots \supseteq G_s = \{e\}$. Cada $E_{i+1}/E_i$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) con grupo cíclico (el [Lema 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)), luego, por el teorema fundamental aplicado a la [extensión de Galois](#def-b3-galois-galois) $N/E_i$ (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3), con grupo ambiente $G_i$): $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ con $G_i/G_{i+1} \cong
\operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i)$ cíclico. Análogamente, $E_0/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) con grupo abeliano $G/G_0$ (el [Lema 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)). La cadena exhibe $G$ como [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) (la [Proposición 1.29](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#prop-b3-groups-derived)). Por último, $\operatorname{Gal}(L/K)$ es un *cociente* de $G$: $L/K$ es [de Galois](#def-b3-galois-galois) ($P$ es [separable](#def-b3-galois-separable) en característica $0$) y la restricción $G
\to \operatorname{Gal}(L/K)$ es sobreyectiva (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3) con $H =
\operatorname{Gal}(N/L)$); y los cocientes de [grupos resolubles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) son [resolubles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived). ∎

**Corolario 4.30 (Insolubilidad de la ecuación de quinto grado).**

Hay polinomios de [grado](#def-b3-galois-extension) $5$ sobre $\Q$ que no son [resolubles por radicales](#def-b3-galois-radical): por ejemplo $X^5 - 4X + 2$, cuyo [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) es $S_5$ (el [Ejercicio 4.11](#exo-b3-galois-11)), un grupo no [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) (el [Corolario 1.34](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#cor-b3-groups-snnotsolvable)). No puede existir ninguna fórmula general por [radicales](#def-b3-galois-radical) para el [grado](#def-b3-galois-extension) $\geq 5$.

**Observación 4.31.**

El recíproco del [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable) — que un [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) implica la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) por [radicales](#def-b3-galois-radical) — se demuestra descendiendo por la [serie derivada](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) y viendo que toda extensión cíclica (con suficientes raíces de la unidad) es [radical](#def-b3-galois-radical), mediante las *resolventes de Lagrange*; explica por qué los [grados](#def-b3-galois-extension) $2, 3, 4$ tienen fórmulas: $S_2, S_3, S_4$ son [resolubles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) (el [Ejemplo 1.30](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-solvableexamples)). Lo dejamos admitido a este nivel; un tratamiento completo corresponde a un curso de máster, pero el [Ejercicio 4.8](#exo-b3-galois-8) lo hace concreto para la cúbica.

## 4.9 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Demostrar que $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$, que $\Q(\sqrt2 + \sqrt3) =
\Q(\sqrt2, \sqrt3)$, y calcular el [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic) de $\sqrt2 + \sqrt3$ sobre $\Q$.

**Solución de Ejercicio 4.1.**

$\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$: de $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ ($a, b
\in \Q$), elevando al cuadrado se obtiene $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$, luego $ab =
0$; $b = 0$ haría racional $\sqrt3$, y $a = 0$ daría $\sqrt6 = 2b
\in \Q$ — ambas falsas (argumentos habituales de factorización en primos). Por tanto $[\Q(\sqrt2,\sqrt3) : \Q(\sqrt2)] = 2$ y la [fórmula de los grados](#thm-b3-galois-tower) da [grado](#def-b3-galois-extension) $4$.

Sea $\gamma = \sqrt2 + \sqrt3$. Entonces $\gamma^2 = 5 + 2\sqrt6$ y $(\gamma^2 - 5)^2 = 24$: $\gamma$ anula a $X^4 - 10X^2 + 1$. Además $\gamma^3 = 11\sqrt2 + 9\sqrt3$, luego $\gamma^3 - 9\gamma
= 2\sqrt2$: $\sqrt2 \in \Q(\gamma)$, y después $\sqrt3 = \gamma -
\sqrt2 \in \Q(\gamma)$: $\Q(\gamma) = \Q(\sqrt2,\sqrt3)$, de [grado](#def-b3-galois-extension) $4$. La cuártica anuladora, al tener el [grado](#def-b3-galois-extension) del [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic), *es* el [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic): $X^4 -
10X^2 + 1$ (en particular es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$).

**Ejercicio 4.2 ★.**

Sea $\alpha = \sqrt[3]2$. Demostrar que $\Q(\alpha)/\Q$ no es normal (exhíbase una inmersión $\Q(\alpha) \to \C$ cuya imagen no sea $\Q(\alpha)$), determinar el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^3 -
2$ y $[L:\Q]$, y comprobar que $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) =
\{\mathrm{id}\}$: para las extensiones que no son [de Galois](#def-b3-galois-galois), el grupo de automorfismos puede ser mucho menor que el [grado](#def-b3-galois-extension).

**Solución de Ejercicio 4.2.**

Las tres raíces de $X^3 - 2$ en $\C$ son $\alpha, j\alpha,
j^2\alpha$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. La aplicación $\alpha \mapsto
j\alpha$ define una $\Q$-inmersión $\Q(\alpha) \to \C$ (el [Teorema 4.4](#thm-b3-galois-simple): ambos generan extensiones de [grado](#def-b3-galois-extension) $3$ con el mismo [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic)), cuya imagen $\Q(j\alpha)
\not\subseteq \R$ es distinta de $\Q(\alpha) \subseteq \R$: $\Q(\alpha)/\Q$ no es normal. El [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) es $L =
\Q(\alpha, j)$, con $[L:\Q] = [L:\Q(\alpha)]\,[\Q(\alpha):\Q] =
2 \cdot 3 = 6$ ($j$ cumple $X^2 + X + 1$, [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre el cuerpo real $\Q(\alpha)$). Un automorfismo de $\Q(\alpha)$ ha de enviar $\alpha$ a una raíz de $X^3 - 2$ *dentro de* $\Q(\alpha) \subseteq \R$: solo $\alpha$ sirve, luego $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$, de orden $1 < 3$.

**Ejercicio 4.3 ★.**

Construir $\mathbb F_9$ como $\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ y hallar un generador de $\mathbb F_9^\times$. Listar los polinomios mónicos [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grados](#def-b3-galois-extension) $1, 2, 3$ sobre $\mathbb F_2$, y comprobar que $X^8 - X = X(X+1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ sobre $\mathbb F_2$.

**Solución de Ejercicio 4.3.**

$X^2 + 1$ no tiene raíces en $\mathbb F_3$ ($0, 1, 2 \mapsto 1, 2,
2$), luego $\mathbb F_9 = \mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ es un cuerpo de $9$ elementos; escribamos $\omega = \bar X$, $\omega^2 = -1$. El grupo $\mathbb F_9^\times$ es cíclico de orden $8$; $\omega$ tiene orden $4$, pero $1 + \omega$ sirve: $(1+\omega)^2 = 1 + 2\omega +
\omega^2 = 2\omega$, $(1+\omega)^4 = 4\omega^2 = \omega^2 = -1
\ne 1$: orden $8$.

Sobre $\mathbb F_2$ — [grado](#def-b3-galois-extension) $1$: $X$, $X + 1$; [grado](#def-b3-galois-extension) $2$: $X^2 + X + 1$ (las otras tres cuadráticas tienen raíces); [grado](#def-b3-galois-extension) $3$: $X^3 + X + 1$ y $X^3 + X^2 + 1$ (sin raíces en $\mathbb
F_2$; las otras seis cúbicas tienen raíces). Comprobación:

$$
(X^3{+}X{+}1)(X^3{+}X^2{+}1) = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X
+ 1,
$$

y $X(X{+}1)(X^6 + \dots + 1) = X(X^7 + 1) = X^8 + X = X^8 -
X$ sobre $\mathbb F_2$ — exactamente los [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grado](#def-b3-galois-extension) divisor de $3$, como predice el [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) (falta el [grado](#def-b3-galois-extension) $2$: $2 \nmid 3$).

**Ejercicio 4.4 ★★.**

(a) Hallar todas las raíces primitivas módulo $7$ y módulo $11$ (es decir, los generadores de $\mathbb F_7^\times$, $\mathbb F_{11}^\times$). (b) Demostrar que, para $p$ impar, $x \in \mathbb F_p^\times$ es un cuadrado si y solo si $x^{(p-1)/2} = 1$ (criterio de Euler), y recuperar el criterio para $-1$ del [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#pb-b3-rings-1).

**Solución de Ejercicio 4.4.**

(a) Módulo $7$: las potencias de $3$ son $3, 2, 6, 4, 5, 1$: orden $6$, es un generador; las raíces primitivas son los $3^k$ con $\gcd(k, 6) = 1$: $3$ y $3^5 = 5$. Módulo $11$: potencias de $2$: $2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1$: es un generador; raíces primitivas $2^k$, $\gcd(k, 10) = 1$: $2, 2^3 = 8, 2^7 = 7, 2^9 = 6$.

(b) Escríbase $x = g^k$ con $g$ un generador (el [Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Entonces $x$ es un cuadrado si y solo si $k$ es par (los cuadrados son los $g^{2l}$, y $g^{2l} = g^{k}$ si y solo si $k
\equiv 2l \bmod p-1$, [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) si y solo si $k$ es par, por ser $p - 1$ par). Y $x^{(p-1)/2} = g^{k(p-1)/2} = 1$ si y solo si $(p-1) \mid
k\frac{p-1}2$, si y solo si $k$ es par: las dos condiciones coinciden. Para $x =
-1 = g^{(p-1)/2}$: es un cuadrado si y solo si $\frac{p-1}2$ es par, si y solo si $p \equiv 1 \pmod 4$ — de nuevo el [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#pb-b3-rings-1).

**Ejercicio 4.5 ★★.**

Demostrar que $\mathbb F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n} = \mathbb
F_{p^{\gcd(m,n)}}$ y $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n} = \mathbb
F_{p^{\operatorname{lcm}(m,n)}}$ dentro de una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) fija $\bar{\mathbb F}_p$, y describir $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ para $m
\mid n$.

**Solución de Ejercicio 4.5.**

Dentro de $\bar{\mathbb F}_p$, $\mathbb F_{p^k} = \{x : x^{p^k} =
x\}$ es el conjunto de puntos fijos de $F^k$. La intersección $\mathbb F_{p^m}
\cap \mathbb F_{p^n}$ queda fijada por $F^m$ y por $F^n$, luego por $F^{\gcd(m,n)}$ ($\gcd = am + bn$: sobre un elemento fijo, $F^{am +
bn} = (F^m)^a(F^n)^b$ actúa trivialmente — los exponentes pueden tomarse positivos por periodicidad); así que está en $\mathbb
F_{p^{\gcd(m,n)}}$, que recíprocamente está contenido en ambos (el [Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). El compuesto $\mathbb
F_{p^m}\mathbb F_{p^n}$: todo cuerpo que contenga a ambos tiene [grado](#def-b3-galois-extension) divisible por $m$ y por $n$, luego por $\operatorname{lcm}(m,n)$; y $\mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}}}$ contiene a ambos: es el compuesto. Para $m \mid n$: $\operatorname{Gal}(\mathbb
F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ consta de las potencias de $F$ que fijan $\mathbb F_{p^m}$, es decir, de $F^m$: cíclico de orden $n/m$, generado por $F^m \colon x \mapsto x^{p^m}$ (orden como en [Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(2)).

**Ejercicio 4.6 ★★.**

Sea $I_d(q)$ el número de polinomios mónicos [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ sobre $\mathbb F_q$. Demostrar

$$
X^{q^n} - X \;=\; \prod_{d \mid n}\ \prod_{P \text{ irred.
monic, } \deg P = d} P ,
\qquad\text{luego}\qquad
q^n = \sum_{d \mid n} d\, I_d(q).
$$

Deducir $I_1, I_2, I_3, I_4$ explícitamente, y que $I_d(q) \geq 1$ para todo $d$ (de modo que las extensiones $\mathbb F_{q^d}/\mathbb F_q$ existen como cocientes $\mathbb F_q[X]/(P)$ para todo $d$).

**Solución de Ejercicio 4.6.**

$X^{q^n} - X$ es [separable](#def-b3-galois-separable) (derivada $-1$) y su conjunto de raíces es $\mathbb F_{q^n}$. Sea $P$ mónico [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$. Si $d \mid n$: $\mathbb F_q[X]/(P) \cong \mathbb F_{q^d}
\subseteq \mathbb F_{q^n}$, luego $P$ tiene una raíz $\alpha \in
\mathbb F_{q^n}$; $\alpha^{q^n} = \alpha$, y $P =
\pi_\alpha$ divide a $X^{q^n} - X$. Si $P \mid X^{q^n} - X$: una raíz $\alpha \in \mathbb F_{q^n}$ genera $\mathbb F_{q^d}
\subseteq \mathbb F_{q^n}$, luego $d \mid n$ (el [Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). Los [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) distintos son coprimos y el producto es [separable](#def-b3-galois-separable): cada $P$ aparece con exponente exactamente $1$, y toda raíz de $X^{q^n}-X$ es raíz de su [polinomio mínimo](#def-b3-galois-algebraic): la factorización se cumple. Comparando [grados](#def-b3-galois-extension): $q^n = \sum_{d\mid n} d\,I_d(q)$.

En consecuencia, $I_1 = q$; $q^2 = I_1 + 2I_2$ da $I_2 =
\frac{q^2 - q}2$; $q^3 = I_1 + 3I_3$ da $I_3 = \frac{q^3 -
q}3$; $q^4 = I_1 + 2I_2 + 4I_4$ da $I_4 = \frac{q^4 -
q^2}4$. Existencia: $nI_n = q^n - \sum_{d \mid n,\, d < n}
dI_d \geq q^n - \sum_{d \leq n/2} q^d > q^n - q^{n/2 + 1} \geq
0$ para $n \geq 2$ (y $I_1 = q \geq 1$): $I_n \geq 1$ siempre.

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Determinar $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt2,\sqrt3)/\Q)$ y el retículo completo de cuerpos intermedios. La misma pregunta para el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ — ¿qué se observa?

**Solución de Ejercicio 4.7.**

$L = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$ es el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2 -
2)(X^2 - 3)$, que es [separable](#def-b3-galois-separable): [de Galois](#def-b3-galois-galois) de [grado](#def-b3-galois-extension) $4$ (el [Ejercicio 4.1](#exo-b3-galois-1)). Un automorfismo envía $\sqrt2 \mapsto
\pm\sqrt2$ y $\sqrt3 \mapsto \pm\sqrt3$: a lo sumo $4$ posibilidades, y $\abs G = 4$ las realiza todas: $G \cong (\Z/2\Z)^2$, con elementos $\mathrm{id}, \sigma (\sqrt2 \mapsto -\sqrt2), \tau
(\sqrt3\mapsto-\sqrt3), \sigma\tau$. Subgrupos de orden $2$: $\langle\sigma\rangle, \langle\tau\rangle,
\langle\sigma\tau\rangle$, con cuerpos fijos $\Q(\sqrt3)$, $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\sqrt6)$ (obsérvese que $\sigma\tau$ fija $\sqrt6 =
\sqrt2\sqrt3$). El retículo: $\Q$ abajo, los tres cuerpos cuadráticos en medio y $L$ arriba — y nada más (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)). Para $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$: el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) es el *mismo* $L$ ($\sqrt6 =
\sqrt2\sqrt3$), de modo que la respuesta es idéntica: la [correspondencia de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) es un invariante de la *extensión*, no del polinomio elegido para presentarla.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

(La cúbica, resuelta por su grupo) Sea $P = X^3 + pX + q \in
\Q[X]$ [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) con raíces $x_1, x_2, x_3$ y [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Sean $\delta = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ y $\Delta = \delta^2 = -4p^3 - 27q^2$ (admítase esta identidad clásica o compruébese desarrollando funciones simétricas). (a) Demostrar que $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong A_3$ o $S_3$, según que $\Delta$ sea o no un cuadrado en $\Q$. (b) Con $j = \zeta_3$, defínanse las resolventes de Lagrange $u = x_1
+ jx_2 + j^2x_3$ y $v = x_1 + j^2x_2 + jx_3$. Demostrar que $u^3 + v^3
= -27q$ y $uv = -3p$, y despejar $u^3, v^3$: las fórmulas de Cardano salen solas. ¿Dónde se ha usado la [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de $S_3$?

**Solución de Ejercicio 4.8.**

(a) $G$ actúa fiel y transitivamente (irreducibilidad) sobre las tres raíces: $G \hookrightarrow S_3$ con $3 \mid \abs G$: $G
\cong A_3$ o $S_3$. Todo $\sigma \in G$ permuta los $x_i$, y $\sigma(\delta) = \varepsilon(\sigma)\,\delta$ ($\delta$ es alternante en las raíces). Si $\Delta$ es un cuadrado en $\Q$: $\delta \in \Q^\times$ (obsérvese que $\delta \neq 0$: [separable](#def-b3-galois-separable)), luego $\varepsilon(\sigma) = 1$ para todo $\sigma$: $G \subseteq A_3$ y, por tanto, $= A_3$. Si no lo es: $\delta \notin \Q$, luego algún $\sigma$ cumple $\varepsilon(\sigma) = -1$: $G = S_3$. (En ambos casos $\Q(\delta)
= L^{G \cap A_3}$.)

(b) Con $x_1 + x_2 + x_3 = 0$: $u + v = 2x_1 - (x_2 + x_3) =
3x_1$. Además,

$$
uv = \sum_i x_i^2 + (j + j^2)\sum_{i<k}x_ix_k
= \Bigl(\sum x_i\Bigr)^2 - 3\sum_{i<k}x_ix_k = -3p,
$$

usando $j + j^2 = -1$ y $\sum_{i<k}x_ix_k = p$. Entonces

$$
u^3 + v^3 = (u+v)^3 - 3uv(u+v) = 27x_1^3 + 9p\cdot 3x_1
= 27\,(x_1^3 + px_1) = -27q .
$$

Así pues, $u^3, v^3$ son las raíces de $Y^2 + 27qY - 27p^3 = 0$ (producto $(uv)^3 = -27p^3$): $u^3 = \frac{-27q +
\sqrt{729q^2 + 108p^3}}2$, y $x_1 = \frac{u + v}3$ con $v =
-3p/u$: Cardano. La [resolubilidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) de $S_3$ es el esqueleto: la torre $\Q \subseteq \Q(\delta) \subseteq \Q(\delta, j, u)$ adjunta primero una raíz cuadrada ($\delta$, cuerpo fijo de $A_3$: el paso $S_3 \to S_3/A_3$) y después una raíz cúbica ($u$, pues $u^3
\in \Q(\delta, j)$: el paso $A_3 \to \{e\}$) — la [serie derivada](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) $S_3 \supset A_3 \supset \{e\}$ hecha carne.

**Ejercicio 4.9 ★★.**

En $\Q(\zeta_5)$: demostrar que el único subcuerpo cuadrático es $\Q(\sqrt5)$, mediante las sumas de Gauss $\eta_0 = \zeta_5 + \zeta_5^4$, $\eta_1 = \zeta_5^2 + \zeta_5^3$: calcúlense $\eta_0 + \eta_1$ y $\eta_0\eta_1$ y dedúzcase $\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 -
1}4$. Concluir que el pentágono regular es [construible](#def-b3-galois-constructible).

**Solución de Ejercicio 4.9.**

$\eta_0 + \eta_1 = \zeta_5 + \zeta_5^2 + \zeta_5^3 + \zeta_5^4 =
-1$ (la suma de todas las raíces $5$-ésimas de la unidad es $0$). $\eta_0\eta_1 =
(\zeta + \zeta^4)(\zeta^2 + \zeta^3) = \zeta^3 + \zeta^4 +
\zeta^6 + \zeta^7 = \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 = -1$ (índices módulo $5$). Luego $\eta_0, \eta_1$ son las raíces de $Y^2 + Y
- 1$: $\frac{-1 \pm \sqrt5}2$. Como $\eta_0 =
2\cos\frac{2\pi}5 > 0$: $\eta_0 = \frac{\sqrt5 - 1}2$, de donde $\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ y $\eta_1 =
\frac{-1-\sqrt5}2$. El grupo $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_5)/\Q) \cong (\Z/5\Z)^\times$ es cíclico de orden $4$: tiene un *único* subgrupo de orden $2$ ($\{\pm 1\}$, es decir, $\zeta \mapsto \zeta^{\pm1}$), luego $\Q(\zeta_5)$ tiene un único subcuerpo cuadrático (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), que contiene $\eta_0
\notin \Q$: es $\Q(\eta_0) = \Q(\sqrt5)$. Constructibilidad: $\cos\frac{2\pi}5$ está en la torre cuadrática $\Q \subseteq
\Q(\sqrt5)$, y $\zeta_5$ un paso cuadrático más arriba: el [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) construye el pentágono.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

Sean $K = \mathbb F_p(S, T)$ (funciones racionales en dos indeterminadas) y $L = K(S^{1/p}, T^{1/p})$. (a) Demostrar que $[L:K] = p^2$ y que $\alpha^p \in K$ para todo $\alpha \in L$. (b) Deducir que $L/K$ *no* es simple: no existe elemento primitivo — la inseparabilidad es fatal para [Teorema 4.17](#thm-b3-galois-primitive).

**Solución de Ejercicio 4.10.**

(a) Escribamos $s = S^{1/p}$, $t = T^{1/p}$ (elementos de una [clausura algebraica](#def-b3-galois-closure) elegida, con $s^p = S$, $t^p = T$). $X^p - S$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre las fracciones de $K = \mathbb F_p(S, T) = (\mathbb
F_p(T))(S)$: [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) en el [elemento primo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $S$ del [DFU](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $\mathbb F_p(T)[S]$ (el [Teorema 2.25](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)). Luego $[K(s):K] = p$; análogamente, $X^p - T$ es [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) en $T$ sobre las fracciones de $K(s) = \mathbb F_p(s)(T)$ — $T$ sigue siendo primo en $\mathbb F_p(s)[T]$ —, lo que da $[L : K(s)] = p$ y $[L:K] =
p^2$. Para $\alpha \in L$: $L = K[s, t]$, luego $\alpha = \sum
c_{ij}s^it^j$ ($c_{ij} \in K$) y, por el morfismo de [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields), $\alpha^p = \sum c_{ij}^p S^iT^j \in K$.

(b) Si $L = K(\alpha)$, entonces $[K(\alpha):K] = p^2$; pero $\alpha^p = a \in K$ significa que $\alpha$ anula a $X^p - a$, luego $\deg\pi_\alpha \leq p < p^2$: contradicción. No hay elemento primitivo: el [Teorema 4.17](#thm-b3-galois-primitive) necesita realmente la separabilidad (aquí todo $\pi_\alpha$ divide a algún $X^p - a =
(X - \alpha)^p$: la extensión es puramente inseparable).

**Ejercicio 4.11 ★★★.**

Sean $P = X^5 - 4X + 2$ y $G$ su [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) sobre $\Q$, que actúa sobre las $5$ raíces. (a) Demostrar que $P$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) y deducir $5 \mid \abs G$; concluir que $G$ contiene un $5$-ciclo (Cauchy, [Teorema 1.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#thm-b3-groups-cauchy)). (b) Demostrar, estudiando las variaciones de $x \mapsto x^5 - 4x +
2$, que $P$ tiene exactamente $3$ raíces reales; deducir que la conjugación compleja se restringe a una trasposición de $G$. (c) Demostrar que un subgrupo de $S_5$ que contiene una trasposición y un $5$-ciclo es $S_5$ *(conjúguese la trasposición por potencias del ciclo)*. Concluir que $G \cong S_5$ y, con el [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable), que $P$ no es [resoluble por radicales](#def-b3-galois-radical).

**Solución de Ejercicio 4.11.**

(a) [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) en $2$ ($2 \mid 4, 2$; $4 \nmid 2$): $P$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Si $\alpha$ es una raíz, $[\Q(\alpha):\Q] = 5$ divide a $[L:\Q] = \abs G$ ($L$ el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting)): Cauchy (el [Teorema 1.13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#thm-b3-groups-cauchy)) da un elemento de orden $5$ en $G \leq S_5$; y en $S_5$ solo los $5$-ciclos tienen orden $5$ (los órdenes son mínimos comunes múltiplos de longitudes de ciclos).

(b) $P'(x) = 5x^4 - 4$ se anula en $\pm(4/5)^{1/4} \approx \pm
0.946$: un máximo local y después un mínimo local. Valores: $P(-2)
= -22 < 0$, $P(0) = 2 > 0$, $P(1) = -1 < 0$, $P(2) = 26 > 0$: tres cambios de signo, y a lo sumo tres raíces reales (dos puntos críticos): exactamente $3$ raíces reales y, por tanto, un par de raíces complejas conjugadas. Tómese el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) $L$ dentro de $\C$: la conjugación compleja aplica $L$ en sí mismo (permuta las raíces, que generan $L$) y fija $\Q$, de modo que define un elemento de $G$; fija las tres raíces reales e intercambia las otras dos: una trasposición.

(c) Sean $\tau = (a\,b)$ y $\sigma$ un $5$-ciclo de $G$. Alguna potencia $\sigma^k$ envía $a$ a $b$ ($k \ne 0 \bmod 5$), y $\sigma^k$ vuelve a ser un $5$-ciclo: renombrando, supongamos $\sigma =
(1\,2\,3\,4\,5)$ y $\tau = (1\,2)$. Conjugando, $\sigma^m\tau\sigma^{-m} = (\sigma^m(1)\ \sigma^m(2))$: las trasposiciones adyacentes $(1\,2), (2\,3), (3\,4), (4\,5),
(5\,1)$ están todas en $G$; y las trasposiciones adyacentes generan $S_5$ (toda trasposición $(i\,j)$ es producto de adyacentes, y las trasposiciones generan). Así $G = S_5$, que no es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) (el [Corolario 1.34](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#cor-b3-groups-snnotsolvable)), y el [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable) concluye: $X^5 - 4X + 2$ no es [resoluble por radicales](#def-b3-galois-radical).

**Ejercicio 4.12 ★★★.**

(La cuártica diédrica) Sean $\alpha = \sqrt[4]2$ y $L =
\Q(\alpha, \iu)$, el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de $X^4 - 2$ sobre $\Q$. (a) Demostrar que $[L : \Q] = 8$ y que $G =
\operatorname{Gal}(L/\Q)$ está generado por $\sigma\colon
\alpha \mapsto \iu\alpha,\ \iu \mapsto \iu$ y la conjugación compleja $\tau$, con $\sigma^4 = \tau^2 = e$ y $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$: $G \cong D_4$. (b) Listar el retículo de subgrupos de $D_4$ (diez subgrupos) y emparejar cada uno con su cuerpo fijo; compruébese en particular que $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\iu)$, $\Q(\iu\sqrt2)$ son los tres subcuerpos cuadráticos, y localícense $\Q(\alpha)$, $\Q(\iu\alpha)$, $\Q(\sqrt2, \iu)$. (c) ¿Qué cuerpos intermedios son [de Galois](#def-b3-galois-galois) sobre $\Q$? Contrástese la respuesta con los [subgrupos normales](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-normal) de $D_4$ y explíquese por qué $\Q(\alpha)/\Q$ falla mientras que $\Q(\sqrt2)/\Q$ funciona.

**Solución de Ejercicio 4.12.**

(a) $X^4 - 2$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) en $2$): $[\Q(\alpha):\Q] = 4$; $\iu \notin \Q(\alpha) \subseteq \R$, luego $[L : \Q(\alpha)] = 2$ y $[L:\Q] = 8$. La extensión es [de Galois](#def-b3-galois-galois) (es el [cuerpo de descomposición](#thm-b3-galois-splitting) de un [polinomio separable](#def-b3-galois-separable): las raíces son $\iu^k\alpha$), de modo que $\abs G = 8$. Un automorfismo envía $\alpha$ a una de las cuatro raíces y $\iu$ a $\pm\iu$: a lo sumo $8$ aplicaciones, todas realizadas. Los $\sigma$ (de orden $4$: $\sigma^2(\alpha) = -\alpha$, $\sigma^4 = e$) y $\tau$ (de orden $2$) del enunciado cumplen

$$
\tau\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha) =
\tau(\iu\alpha) = -\iu\alpha = \sigma^{-1}(\alpha),
\qquad \tau\sigma\tau(\iu) = \iu\cdot(-1)(-1) = \iu ,
$$

con más cuidado: $\tau\sigma\tau(\iu) = \tau\sigma(-\iu) =
\tau(-\iu) = \iu = \sigma^{-1}(\iu)$. Luego $\tau\sigma\tau =
\sigma^{-1}$: la presentación de $D_4$.

(b) Los diez subgrupos de $D_4 = \langle\sigma,
\tau\rangle$: $\{e\}$; cinco de orden $2$: $\langle\sigma^2\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma^2\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, $\langle\sigma^3\tau\rangle$; tres de orden $4$: $\langle\sigma\rangle$, $\{e, \sigma^2, \tau,
\sigma^2\tau\}$, $\{e, \sigma^2, \sigma\tau,
\sigma^3\tau\}$; y $D_4$. Cuerpos fijos ([grado](#def-b3-galois-extension) = índice): $\{e\} \leftrightarrow L$; los subgrupos de orden $2$ $\leftrightarrow$ los cinco cuerpos cuárticos

$$
\langle\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\alpha),\quad
\langle\sigma^2\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\iu\alpha),
\quad
\langle\sigma^2\rangle \leftrightarrow \Q(\sqrt2, \iu),\quad
\langle\sigma\tau\rangle \leftrightarrow
\Q\bigl((1+\iu)\alpha\bigr),\quad
\langle\sigma^3\tau\rangle \leftrightarrow
\Q\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) .
$$

Comprobaciones: $\tau$ fija el real $\alpha$; $\sigma^2\tau$ envía $\alpha \mapsto -\alpha$ y $\iu \mapsto -\iu$, fijando $\iu\alpha$; y, puesto que $\sigma\tau(\alpha) = \iu\alpha$, $\sigma\tau(\iu) = -\iu$:

$$
\sigma\tau\bigl((1+\iu)\alpha\bigr) =
(1 - \iu)\,\iu\alpha = (1 + \iu)\alpha,
\qquad
\sigma^3\tau\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) =
(1 + \iu)(-\iu)\alpha = (1 - \iu)\alpha :
$$

cada reflexión fija su generador, y el cuerpo fijo, de [grado](#def-b3-galois-extension) igual al índice $4 =$, es exactamente el cuerpo que este genera (el generador es raíz de $X^4 + 8$, [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility)). Los subgrupos de orden $4$ $\leftrightarrow$ los tres cuerpos cuadráticos: $\langle\sigma\rangle \leftrightarrow \Q(\iu)$ ($\sigma$ fija $\iu$); $\{e, \sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\}
\leftrightarrow \Q(\sqrt2)$ (los cuatro fijan $\alpha^2$ salvo comprobaciones de signo: $\tau(\sqrt2) = \sqrt2$, $\sigma^2(\alpha^2) =
(-\alpha)^2$); $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\}
\leftrightarrow \Q(\iu\sqrt2)$ ($\sigma\tau(\iu\alpha^2) =
(-\iu)(\iu\alpha)^2 = \iu\alpha^2$).

(c) [De Galois](#def-b3-galois-galois) sobre $\Q$ $\leftrightarrow$ [subgrupos normales](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-normal) de $D_4$: $\{e\}$, $\langle\sigma^2\rangle$ (el [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions)), los tres subgrupos de orden $4$ y $D_4$ — de modo que los cuerpos intermedios [de Galois](#def-b3-galois-galois) son $L$, $\Q(\sqrt2, \iu)$, los tres cuerpos cuadráticos y $\Q$. Los cinco cuerpos cuárticos fijados por reflexiones no normales no son [de Galois](#def-b3-galois-galois): $\Q(\alpha)$ contiene una raíz de $X^4 - 2$ pero no $\iu\alpha$ (es real) — la conjugación por $\sigma$ lleva $\langle\tau\rangle$ a $\langle\sigma^2\tau\rangle$, exactamente igual que lleva $\Q(\alpha)$ a $\Q(\iu\alpha)$: la no normalidad del subgrupo *es* la existencia de un cuerpo conjugado.

## 4.10 Problema: Gauss y el 17-ágono regular

**Problema 4.1.**

Problema de fin de semana — constructibilidad del 17-ágono

El 30 de marzo de 1796, Gauss, con diecinueve años, demostró que el $17$-ágono regular es [construible](#def-b3-galois-constructible) — el primer avance en la cuestión desde la Antigüedad. Reconstruimos su cálculo con las herramientas de este capítulo. Póngase $\zeta = \eu^{2\iu\pi/17}$, $L =
\Q(\zeta)$, $G = \operatorname{Gal}(L/\Q)$.

**Parte I — El grupo y su filtración.**

1. Justificar: $[L:\Q] = 16$ , $G \cong (\Z/17\Z)^\times$ , cíclico de orden $16$ . Comprobar que $3$ es un generador de $(\Z/17\Z)^\times$ *(calcúlense las potencias de $3$ módulo $17$: $3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, \dots$)* .
2. Sea $\sigma \in G$ con $\sigma(\zeta) = \zeta^3$ , y $H_k = \langle \sigma^{2^k}\rangle$ para $k = 0, \dots,  4$ . Demostrar que $G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset  H_3 \supset H_4 = \{e\}$ con cada índice $[H_k :  H_{k+1}] = 2$ , y que los cuerpos fijos $\Q = L_0  \subset L_1 \subset L_2 \subset L_3 \subset L_4 = L$ forman una torre de extensiones cuadráticas.
3. Concluir *a priori* , usando el [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) , que $\zeta$ — y por tanto el $17$ -ágono — es [construible](#def-b3-galois-constructible) . El resto del problema hace explícita la torre.

**Parte II — Los períodos de longitud 8.** Definamos los *períodos de Gauss*

$$
\eta_0 = \sum_{k \text{ par}} \zeta^{3^k \bmod 17}
= \zeta^{1} + \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16} +
\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2},
\qquad
\eta_1 = \sum_{k \text{ impar}} \zeta^{3^k \bmod 17}.
$$

4. Demostrar que $\eta_0, \eta_1$ quedan fijos por $H_1$ y se intercambian por $\sigma$ ; deducir $\eta_0, \eta_1 \in L_1$ y que son las dos raíces de una ecuación de segundo [grado](#def-b3-galois-extension) sobre $\Q$ .
5. Calcular $\eta_0 + \eta_1 = -1$ . Demostrar que $\eta_0\eta_1 = -4$ *(cada producto $\zeta^a\zeta^b$ es algún $\zeta^c$, $c \neq 0$; cuéntese cuántas veces aparece cada $c$, o arguméntese que el producto es un entero racional fijado por $G$, igual a la suma de los $64$ productos, y úsese que cada resto no nulo aparece el mismo número de veces)* .
6. Deducir $\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2$ , $\eta_1 =  \frac{-1-\sqrt{17}}2$ (identifíquese cuál es cuál numéricamente: $\eta_0 \approx 1.56$ ) y $L_1 =  \Q(\sqrt{17})$ .

**Parte III — Períodos de longitud 4 y 2.** Definamos

$$
\beta_0 = \zeta + \zeta^{13} + \zeta^{16} + \zeta^{4},\quad
\beta_1 = \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12},\quad
\beta_2 = \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^{8} + \zeta^{2},\quad
\beta_3 = \zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} + \zeta^{6}.
$$

7. Demostrar que $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$ , $\beta_1 + \beta_3 =  \eta_1$ , y que $\beta_0, \beta_2$ quedan fijos por $H_2$ y se intercambian por $\sigma^2$ .
8. Calcular $\beta_0\beta_2 = -1$ y $\beta_1\beta_3 = -1$ *(desarróllese: los dieciséis exponentes obtenidos recorren $1, \dots, 16$ exactamente una vez)* .
9. Deducir $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (compruébese el signo numéricamente: $\beta_0 \approx 2.05$ ) y la fórmula análoga para $\beta_1$ ; de ahí $L_2 =  \Q(\beta_0)$ , cuadrático sobre $L_1$ .
10. Sean $\gamma_0 = \zeta + \zeta^{16} =  2\cos\frac{2\pi}{17}$ y $\gamma_1 = \zeta^{13} +  \zeta^4$ . Demostrar que $\gamma_0 + \gamma_1 = \beta_0$ y $\gamma_0\gamma_1 = \beta_1$ , de modo que $\gamma_0 =  \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$ .
11. Reunir la cadena de fórmulas que expresa $\cos\frac{2\pi}{17}$ mediante [radicales](#def-b3-galois-radical) cuadráticos anidados, y dar una comprobación decimal ( $\cos\frac{2\pi}{17} \approx 0.93247$ ).

**Parte IV — Epílogo.**

12. ¿Dónde se ha usado exactamente que $17$ es un *primo de Fermat* ( $17 = 2^{2^2} + 1$ )? Demostrar que, para un primo $p$ , el $p$ -ágono regular es [construible](#def-b3-galois-constructible) si y solo si $p  = 2^{2^t} + 1$ para algún $t$ *(si $p - 1 = 2^m$, demuéstrese que $m$ ha de ser a su vez una potencia de $2$)* .
13. Deducir la lista completa de los $n$ -ágonos regulares [construibles](#def-b3-galois-constructible) para $n \leq 20$ , usando el criterio de Gauss–Wantzel del [Corolario 4.26](#cor-b3-galois-impossible) .

**Parte V — Sumas de Gauss y reciprocidad cuadrática.** Los períodos de la Parte II esconden un tesoro. Para un primo impar $p$, el *símbolo de Legendre* $\bigl(\frac
ap\bigr)$ vale $+1$ si $a$ es un cuadrado no nulo módulo $p$, $-1$ si no lo es y $0$ si $p \mid a$; el [Ejercicio 4.4](#exo-b3-galois-4)(b) (criterio de Euler) da $\bigl(\frac ap\bigr) \equiv
a^{(p-1)/2} \pmod p$, de donde la multiplicatividad. Escribamos $\zeta =
\eu^{2\iu\pi/p}$, $p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$, y definamos la *suma de Gauss*

$$
g \;=\; \sum_{a=1}^{p-1}\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^a .
$$

14. Demostrar que $\sum_{a=1}^{p-1}\bigl(\frac ap\bigr) = 0$ (hay tantos cuadrados como no cuadrados) y probar la forma alternativa $g = \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2}$ *(cada cuadrado no nulo se alcanza dos veces, y $\sum_{a}\zeta^a = 0$)* . Para $p = 17$ : relaciónese $g$ con los períodos de la Parte II — demuéstrese que $g = \eta_0 - \eta_1$ *(los cuadrados módulo $17$ son exactamente las potencias pares del generador $3$)* .
15. Demostrar que $g^2 = p^*$: desarróllese $$g^2 = \sum_{a,b\neq0}\Bigl(\frac{ab}p\Bigr)  \zeta^{a+b}  = \sum_{c}\ \sum_{a \neq 0}\Bigl(\frac{a(c -  a)}p\Bigr)\zeta^{c}$$ (póngase $b = c - a$), sustitúyase $c - a = at$ para evaluar la suma interior como $\bigl(\frac{-1}p\bigr)(p - 1)$ si $c = 0$ y $-\bigl(\frac{-1}p\bigr)$ en caso contrario, y concluir con la pregunta 14. Compruébese numéricamente: para $p =  17$, $(\eta_0 - \eta_1)^2 = 17$ (Parte II).
16. Deducir $\sqrt{p^*} \in \Q(\zeta_p)$ y concluir que el *único* subcuerpo cuadrático de $\Q(\zeta_p)$ es $\Q(\sqrt{p^*})$ — único porque $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q)$ es cíclico (el [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) ) y un grupo cíclico tiene exactamente un subgrupo de índice $2$ . (Todo cuerpo cuadrático se sumerge en algún cuerpo ciclotómico — este es el primer caso del teorema de Kronecker–Weber, cuya forma general queda muy lejos.)
17. Sea ahora $q \neq p$ otro primo impar. Trabajando en el anillo $\Z[\zeta]$ módulo $q$, demostrar que $$g^q \equiv \Bigl(\frac qp\Bigr)\,g \pmod{q\Z[\zeta]}$$ *(sueño del principiante: $(x + y)^q \equiv x^q + y^q$ módulo $q$ en todo anillo conmutativo; después $g^q \equiv  \sum_a\bigl(\frac ap\bigr)^q\zeta^{aq}$, reindéxese $b =  aq$ y sáquese $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) =  \bigl(\frac qp\bigr)$)*.
18. Por otra parte, $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} =  g\,(p^*)^{(q-1)/2}$; usando el criterio de Euler módulo $q$, dedúzcase $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g  \pmod{q\Z[\zeta]}$ y después — multiplicando las dos expresiones de $g^q$ por $g$ y usando $g^2 = p^*$, invertible módulo $q$ — concluir $$\Bigl(\frac qp\Bigr) = \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr) .$$ *(¿Por qué una congruencia entre los enteros $\pm p^*$ módulo $q\Z[\zeta]$ implica su igualdad? Interséquese con $\Z$.)*
19. Desarrollar $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) =  \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr)$ y $\bigl(\frac{-1}q\bigr) = (-1)^{(q-1)/2}$ para obtener la *ley de reciprocidad cuadrática*: $$\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigl(\frac qp\Bigr)  = (-1)^{\frac{p-1}2\cdot\frac{q-1}2} .$$ Compruébese en $(p, q) = (17, 3)$ listando los cuadrados módulo $17$ y módulo $3$, y úsese para decidir en tres líneas si $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$ es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) ($383$ es primo, $219 = 3\cdot73$).

**Parte VI — Contar polinomios [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): el teorema de los números primos de $\mathbb F_q[X]$.** Fíjese una potencia de primo $q$ y sea $N_q(n)$ el número de polinomios *mónicos [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility)* de [grado](#def-b3-galois-extension) $n$ sobre $\mathbb F_q$; recuérdense del [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) la factorización de $X^{q^n} - X$ y la identidad $q^n = \sum_{d\mid n}d\,N_q(d)$, que ahora invertiremos, reinterpretaremos y explotaremos.

20. (Palabras) Diremos que una palabra $w \in \mathbb F_q^n$ es *primitiva* si no es una potencia $u^{n/d} =  u\cdots u$ de una palabra $u$ estrictamente más corta, y sea $A(d)$ el número de palabras primitivas de longitud $d$ . Demostrar que toda palabra de longitud $n$ es, de manera única, potencia de una palabra primitiva de cierta longitud $d \mid n$ , de modo que $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$ ; comparando con el [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) , concluir $A(d) = d\,N_q(d)$ para todo $d$ y explicar esta coincidencia mediante una biyección explícita: un elemento $\alpha \in  \mathbb F_{q^d}$ de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ tiene [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) $(\alpha, \alpha^q, \dots, \alpha^{q^{d-1}})$ bajo el [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) con exactamente $d$ elementos distintos, y los elementos de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ se corresponden $d$ a uno con los [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ .
21. Demostrar la *fórmula de inversión de Möbius*: si $f(n) =  \sum_{d\mid n}g(d)$ para todo $n$, entonces $g(n) =  \sum_{d\mid n}\mu(d)\,f(n/d)$, donde $\mu$ es la función de Möbius ($\mu(m) = (-1)^{\#\text{prime  factors}}$ si $m$ es libre de cuadrados y $0$ en caso contrario) *(lema clave: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = 0$ para $m >  1$ — emparéjense los divisores con y sin un factor primo fijo)*. Deducir $$N_q(n) = \frac1n\sum_{d \mid n}\mu(d)\,q^{n/d} .$$
22. Demostrar que $N_q(n) \geq \frac1n\bigl(q^n - 2q^{n/2}\bigr) > 0$ para todo $n \geq 1$ : una nueva demostración de que $\mathbb F_{q^n}$ existe para todo $n$ . Interprétese el término principal: un polinomio mónico de [grado](#def-b3-galois-extension) $n$ tomado al azar es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) con probabilidad $\sim \frac1n$ — el análogo [perfecto](#prop-b3-galois-perfect) del teorema de los números primos, con $\log x$ sustituido por $n$ ; compruébese numéricamente para $q = 2$ , $n \leq 4$ (el [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) da los recuentos).
23. Demostrar el análogo multiplicativo de la pregunta 21: $$\prod_{\substack{\pi \text{ mónico irred.}\\ \deg\pi =  n}}\pi \;=\; \prod_{d \mid n}  \bigl(X^{q^d} - X\bigr)^{\mu(n/d)}$$ *(inversión de Möbius en el grupo abeliano de las funciones racionales no nulas)*; compruébese a mano para $q  = 2$, $n = 2$: $(X^4 - X)/(X^2 - X) = X^2 + X + 1$.

**Parte VII — Dos codas.**

24. (El segundo suplemento) El método de la Parte V permite calcular también $\bigl(\frac2q\bigr)$. Sean $\omega = \eu^{2\iu\pi/8}$ y $g = \omega + \omega^{-1}$. Demostrar que $g^2 = 2$ *($\omega^2 = \iu$)*; después, para un primo impar $q$, demostrar en $\Z[\omega]$ módulo $q$ que $$g^q \equiv \omega^q + \omega^{-q} \pmod{q\Z[\omega]},$$ y que el miembro de la derecha vale $g$ si $q \equiv \pm1  \pmod 8$ y $-g$ si $q \equiv \pm3 \pmod 8$. Comparando con $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} \equiv  \bigl(\frac2q\bigr)g$ como en la pregunta 18, concluir $$\Bigl(\frac2q\Bigr) = (-1)^{(q^2-1)/8},$$ comprobando que $(q^2 - 1)/8$ es par exactamente cuando $q  \equiv \pm1 \pmod 8$. Verifíquese: $2$ es un cuadrado módulo $7$ y módulo $17$ ($3^2$ y $6^2$), y no lo es módulo $3$ ni módulo $5$.
25. (La función zeta de $\mathbb F_q[X]$) Demostrar la identidad de series formales de potencias en $t$: $$\prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)}  = \frac1{1 - qt}$$ *(factorización única en [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) mónicos: desarróllese cada factor como serie geométrica y cuéntense los polinomios mónicos de [grado](#def-b3-galois-extension) $n$)*. Recupérese la identidad $q^m = \sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$ del [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) tomando logaritmos. Compruébese a mano el coeficiente de $t^2$ para $q = 2$, y úsese la fórmula de la pregunta 21 para calcular $N_2(6) = 9$, verificando que $2^6 = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 +  6\cdot9$.

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** $\Phi_{17}$ es [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) (el [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred), o el [Ejemplo 2.26](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#ex-b3-rings-eisenstein) para índice primo): $[L:\Q] =
\varphi(17) = 16$ y $G \cong (\Z/17\Z)^\times$, cíclico de orden $16$ (el [Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Potencias de $3$ módulo $17$:

$$
3,\ 9,\ 10,\ 13,\ 5,\ 15,\ 11,\ 16,\ 14,\ 8,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\
6,\ 1
$$

— dieciséis valores distintos: $3$ genera.

**2.** $G = \langle\sigma\rangle$ es cíclico de orden $16$; $H_k = \langle\sigma^{2^k}\rangle$ tiene orden $2^{4-k}$, y $[H_k : H_{k+1}] = 2$. Por el teorema fundamental (el [Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), $L_k = L^{H_k}$ cumplen $[L_k : \Q] = [G : H_k] = 2^k$: cada $[L_{k+1}:L_k] = 2$.

**3.** $\zeta \in L = L_4$ corona una torre de extensiones cuadráticas de $\Q$: por el [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel), $\zeta$ es [construible](#def-b3-galois-constructible); y el $17$-ágono tiene vértices $\zeta^k$.

**4.** $\sigma^2$ multiplica los exponentes por $9$; los exponentes de $\eta_0$ son las potencias pares de $3$,

$$
\{3^{2k} \bmod 17\} = \{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2\},
$$

un conjunto estable por multiplicación por $9 = 3^2$; luego $\eta_0$ (y análogamente $\eta_1$) queda fijado por $H_1 =
\langle\sigma^2\rangle$: $\eta_0, \eta_1 \in L_1$, un cuerpo cuadrático. $\sigma$ lleva las potencias pares a impares: intercambia $\eta_0,
\eta_1$. Por tanto, $\eta_0 + \eta_1$ y $\eta_0\eta_1$ quedan fijados por todo $G$: son racionales; y $\eta_0, \eta_1$ son las raíces de una ecuación cuadrática racional.

**5.** $\eta_0 + \eta_1 = \sum_{c=1}^{16}\zeta^c = -1$. El producto se desarrolla en $64$ términos $\zeta^{a + b}$, con $a$ en el conjunto par y $b$ en el impar. Ningún término es $\zeta^0$: $b = -a$ es imposible, porque $-1 = 16 = 3^8$ es una potencia *par*, de modo que $-a$ permanece en el conjunto par. Así $\eta_0\eta_1 = \sum_{c \neq 0}
n_c\zeta^c$ con $\sum n_c = 64$; aplicando $\sigma$ se fija $\eta_0\eta_1$ (intercambia los factores) y se permutan los $\zeta^c$ transitivamente sobre todos los $c \neq 0$, luego todos los $n_c$ son iguales: $n_c
= 4$ y $\eta_0\eta_1 = 4\sum_{c\neq0}\zeta^c = -4$.

**6.** $\eta_{0,1}$ resuelven $Y^2 + Y - 4 = 0$: $\frac{-1 \pm
\sqrt{17}}2$. Numéricamente, emparejando exponentes conjugados, $\eta_0 = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{17} + \cos\tfrac{4\pi}{17} +
\cos\tfrac{8\pi}{17} + \cos\tfrac{16\pi}{17}\bigr) \approx 1.56
> 0$: $\eta_0 = \frac{-1+\sqrt{17}}2$, $\eta_1 =
\frac{-1-\sqrt{17}}2$, y $L_1 = \Q(\eta_0) = \Q(\sqrt{17})$.

**7.** Los conjuntos de exponentes: $\beta_0$: $\{1, 13, 16, 4\}$ = potencias $3^{4k}$; $\beta_2$: $\{9, 15, 8, 2\}$ = $9 \times$ ese conjunto. Unión: el conjunto par: $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$; y análogamente $\beta_1 + \beta_3 = \eta_1$. La multiplicación por $13 = 3^4$ estabiliza el conjunto de exponentes de cada $\beta_i$: quedan fijados por $H_2 =
\langle\sigma^4\rangle$; y $\sigma^2$ ($\times 9$) envía $\{1,13,16,4\}$ a $\{9, 15, 8, 2\}$: intercambia $\beta_0,
\beta_2$.

**8.** Al desarrollar $\beta_0\beta_2$, las dieciséis sumas de exponentes

$$
\{1,13,16,4\} + \{9,15,8,2\} =
\{10,16,9,3,\ 5,11,4,15,\ 8,14,7,1,\ 13,2,12,6\}
$$

recorren $1, \dots, 16$ exactamente una vez: $\beta_0\beta_2 =
\sum_{c\ne0}\zeta^c = -1$. Aplicando $\sigma$ (que lleva los $\beta_0 \mapsto \beta_1$, $\beta_2 \mapsto \beta_3$: exponentes $\times 3$): $\beta_1\beta_3 = \sigma(\beta_0\beta_2)
= -1$.

**9.** $\beta_0, \beta_2$ resuelven $Y^2 - \eta_0 Y - 1 = 0$, luego $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (numéricamente $\beta_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} + 2\cos\frac{8\pi}{17} \approx
2.05 > 0$, el signo $+$). Análogamente $\beta_1 = \frac{\eta_1 +
\sqrt{\eta_1^2 + 4}}2 \approx 0.344$ (una comprobación numérica fija de nuevo el signo). $L_2 = L_1(\beta_0)$, cuadrático sobre $L_1$.

**10.** $\gamma_0 + \gamma_1 = \zeta + \zeta^{16} +
\zeta^{13} + \zeta^4 = \beta_0$. Y

$$
\gamma_0\gamma_1 = (\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13} + \zeta^4)
= \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} = \beta_1 .
$$

Luego $\gamma_0, \gamma_1$ resuelven $Y^2 - \beta_0Y + \beta_1 = 0$; numéricamente $\gamma_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} \approx 1.865 >
\gamma_1 \approx 0.185$: $\gamma_0 = \frac{\beta_0 +
\sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$.

**11.** Encadenando:

$$
\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2,
\quad
\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2,
\quad
\beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2,
\quad
\cos\frac{2\pi}{17} = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 -
4\beta_1}}4 .
$$

Numéricamente: $\sqrt{17} \approx 4.1231$, $\eta_0 \approx
1.5616$, $\eta_1 \approx -2.5616$, $\beta_0 \approx 2.0494$, $\beta_1 \approx 0.3441$, $\beta_0^2 - 4\beta_1 \approx
2.8234$, y $\cos\frac{2\pi}{17} \approx \frac{2.0494 +
1.6803}4 \approx 0.93242$ — frente a $\cos\frac{2\pi}{17} =
0.93247\dots$: la pequeña discrepancia se debe al redondeo de las expresiones intermedias; con más cifras se reproduce $0.932472$.

**12.** La construcción necesitaba que $[L:\Q] = p - 1$ fuese una potencia de $2$, para que exista una cadena completa de subgrupos de índice $2$. Si $p = 2^m + 1$ es primo y $m = ab$ con $a$ impar $>
1$: $x + 1 \mid x^a + 1$ en $x = 2^b$ muestra que $2^b + 1$ divide propiamente a $p$ — imposible. Luego $m$ es una potencia de $2$: $p =
2^{2^t} + 1$, un *primo de Fermat* ($3, 5, 17, 257, 65537$, …). Recíprocamente, para tales $p$, $\varphi(p) = 2^{2^t}$ y se aplica el argumento de las preguntas 1–3 (o el [Corolario 4.26](#cor-b3-galois-impossible)): el $p$-ágono regular es [construible](#def-b3-galois-constructible) si y solo si $p$ es un primo de Fermat.

**13.** $\varphi(n)$ es una potencia de $2$ exactamente cuando $n =
2^a p_1\cdots p_r$ con $p_i$ primos de Fermat distintos (multiplicatividad de $\varphi$; una potencia de primo impar $p^k$, $k
\geq 2$, aporta el factor $p \nmid 2^m$). Para $n \leq
20$, los $n$-ágonos regulares [construibles](#def-b3-galois-constructible) son

$$
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20
$$

con los valores respectivos

$$
\varphi(n) = 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 8,\ 8,\ 16,\ 8 .
$$

Los imposibles son $n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19$, donde $\varphi(n) = 6, 6, 10, 12, 6, 6, 18$ tiene un factor primo impar.

**14.** Los cuadrados son la imagen del morfismo de elevar al cuadrado sobre el grupo cíclico $(\Z/p\Z)^\times$, de índice $2$: $\frac{p-1}2$ cuadrados y $\frac{p-1}2$ no cuadrados, de modo que los símbolos suman $0$. Entonces

$$
\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2} = 1 + 2\sum_{b \text{ cuadrado}
\neq 0}\zeta^b
= 1 + \sum_{b\neq0}\Bigl(1 + \Bigl(\frac bp\Bigr)\Bigr)
\zeta^b = \sum_{b}\zeta^b + g = g,
$$

usando $1 + \bigl(\frac bp\bigr) = \#\{a : a^2 = b\}$ y $\sum_{b=0}^{p-1}\zeta^b = 0$. Para $p = 17$: los cuadrados módulo $17$ son las potencias pares del generador $3$, es decir, los exponentes que aparecen en $\eta_0$ (Parte II), luego $g =
\sum_{\text{par }k}\zeta^{3^k} - \sum_{\text{impar }k}
\zeta^{3^k} = \eta_0 - \eta_1$.

**15.** Con $b = c - a$ ($a, b$ recorren los restos no nulos y $c = a + b$ todos los restos):

$$
g^2 = \sum_c\zeta^c\sum_{a\neq0,\,a\neq c}
\Bigl(\frac{a(c-a)}p\Bigr) .
$$

Para $c = 0$: $\bigl(\frac{-a^2}p\bigr) =
\bigl(\frac{-1}p\bigr)$, sumado sobre $p - 1$ valores. Para $c \neq 0$: sustitúyase $c - a = at$, es decir, $t = c/a -
1$; cuando $a$ recorre los restos no nulos, $t$ recorre biyectivamente los restos $\neq -1$ (invirtiendo: $a = c/(1 +
t)$). El sumando se convierte en $\bigl(\frac{a^2t}p\bigr) =
\bigl(\frac tp\bigr)$, y

$$
\sum_{t \neq -1}\Bigl(\frac tp\Bigr)
= -\Bigl(\frac{-1}p\Bigr)
$$

(la suma completa se anula por la pregunta 14). Por tanto,

$$
g^2 = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\Bigl[(p-1) -
\sum_{c\neq0}\zeta^c\Bigr]
= \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\,p = p^* ,
$$

usando $\sum_{c\neq0}\zeta^c = -1$ y el criterio de Euler $\bigl(\frac{-1}p\bigr) = (-1)^{(p-1)/2}$. Para $p = 17$: $(\eta_0 - \eta_1)^2 = (\eta_0 + \eta_1)^2 - 4\eta_0\eta_1 =
1 + 16 = 17$, en concordancia con la Parte II.

**16.** $g^2 = p^*$ exhibe $\sqrt{p^*} = \pm g \in
\Q(\zeta_p)$, luego $\Q(\sqrt{p^*})$ es un subcuerpo cuadrático. Unicidad: los subcuerpos de [grado](#def-b3-galois-extension) $2$ corresponden, por la [correspondencia de Galois](#thm-b3-galois-fundamental), a los subgrupos de índice $2$ del cíclico $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong (\Z/p\Z)^\times$, y un grupo cíclico de orden par tiene exactamente uno de esos subgrupos (los cuadrados). Todo cuerpo cuadrático es $\Q(\sqrt{d})$ con $d$ libre de cuadrados, y combinando los cuerpos $\Q(\sqrt{p^*})$, $\Q(\iu) \subseteq \Q(\zeta_4)$ y $\Q(\sqrt2) \subseteq \Q(\zeta_8)$ dentro de un mismo $\Q(\zeta_N)$ se alcanza todo $\sqrt d$: el caso cuadrático de Kronecker–Weber.

**17.** En todo anillo conmutativo, $(x + y)^q = x^q + y^q
+ q(\cdots)$: los coeficientes binomiales $\binom qk$, $0 < k <
q$, son divisibles por el primo $q$. Iterando sobre los $p - 1$ términos de $g$:

$$
g^q \equiv \sum_{a}\Bigl(\frac ap\Bigr)^{q}\zeta^{aq}
= \sum_a\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^{aq}
\pmod{q\Z[\zeta]},
$$

($q$ impar: el símbolo no cambia). Reindexando $b = aq$: $a =
q^{-1}b$ y $\bigl(\frac{q^{-1}b}p\bigr) =
\bigl(\frac{q}p\bigr)\bigl(\frac bp\bigr)$ (multiplicatividad; $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$, pues el símbolo de un inverso coincide con el símbolo): $g^q \equiv
\bigl(\frac qp\bigr)g$.

**18.** $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ exactamente (pregunta 15), y el criterio de Euler en $\Z$ da $(p^*)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr) \pmod q$, de donde, módulo $q\Z[\zeta]$: $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g$. Comparando con la pregunta 17 y multiplicando por $g$:

$$
\Bigl(\frac qp\Bigr)p^* \equiv \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr)p^*
\pmod{q\Z[\zeta]} .
$$

Ambos miembros son enteros racionales; su diferencia, $0$ o $\pm2p^*$, está en $q\Z[\zeta] \cap \Z = q\Z$ (un entero $m
\in q\Z[\zeta]$ cumple $m/q \in \Q \cap \Z[\zeta] = \Z$, esto último porque $1, \zeta, \dots, \zeta^{p-2}$ es una $\Q$-base con coordenadas racionales que delatan la integralidad). Como $q \nmid 2p^*$ ($q$ impar, $q \neq p$), la diferencia es $0$: $\bigl(\frac qp\bigr) =
\bigl(\frac{p^*}q\bigr)$.

**19.** Por multiplicatividad, $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) =
\bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr) =
(-1)^{\frac{q-1}2\cdot\frac{p-1}2}\bigl(\frac pq\bigr)$, de modo que la pregunta 18 se lee $\bigl(\frac qp\bigr)\bigl(\frac
pq\bigr) = (-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}$: la reciprocidad. Comprobación con $(17, 3)$: el exponente $\frac{16}2\cdot\frac22 = 8$ es par, luego los dos símbolos han de coincidir; los cuadrados módulo $3$ son $\{1\}$ y $17 \equiv 2$: $\bigl(\frac{17}3\bigr) = -1$; los cuadrados módulo $17$ son $\{1, 4,
9, 16, 8, 2, 15, 13\}$ y $3$ no está: $\bigl(\frac3{17}\bigr) = -1$. Producto $+1$, como se predecía. Para $x^2
\equiv 219 \pmod{383}$: $\bigl(\frac{219}{383}\bigr) =
\bigl(\frac3{383}\bigr)\bigl(\frac{73}{383}\bigr)$. Primero: $383 \equiv 3 \pmod4$ y $3 \equiv 3$: la reciprocidad da $\bigl(\frac3{383}\bigr) = -\bigl(\frac{383}3\bigr) =
-\bigl(\frac23\bigr) = -(-1) = +1$. Segundo: $73 \equiv 1
\pmod 4$: $\bigl(\frac{73}{383}\bigr) =
\bigl(\frac{383}{73}\bigr) = \bigl(\frac{18}{73}\bigr) =
\bigl(\frac2{73}\bigr)$ ($18 = 2\cdot3^2$), y $73 \equiv 1
\pmod 8$ hace de $2$ un cuadrado módulo $73$ (ley suplementaria, demostrable con $g = \zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt2$ en $\Q(\zeta_8)$ por el mismo método): $+1$. En total $+1$: la congruencia es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived).

**20.** Existencia y unicidad de la raíz primitiva: si $w$ tiene conjunto de períodos $\{d : w = u^{n/d},\ \abs u = d\}$, el $d_0$ mínimo divide a todos los demás períodos $d$ (si $w$ es a la vez potencia $d$-ésima y potencia $d'$-ésima, es potencia $\gcd(d, d')$-ésima: compárense letras en índices congruentes módulo el máximo común divisor, vía Bézout), y el bloque de longitud $d_0$ es primitivo. Clasificando las $q^n$ palabras según la longitud de su raíz primitiva: $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$. Como $A$ y $d\,N_q(d)$ cumplen la misma recursión con los mismos valores para $n = 1$ (cada uno determina al otro inductivamente a partir de $q^n
= \sum_{d\mid n}(\cdot)$), son iguales: $A(d) =
d\,N_q(d)$. Biyección: un elemento $\alpha$ de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ da la palabra $w_\alpha$ formada por los coeficientes de… mejor, directamente: los elementos de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$ de $\overline{\mathbb F_q}$ son las raíces de los $N_q(d)$ [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$, cada uno con sus $d$ raíces distintas (separabilidad): $d\,N_q(d)$ elementos de [grado](#def-b3-galois-extension) $d$, lo que concuerda con el recuento $q^n = \sum_{d\mid n}\#\{
\text{elementos de grado } d \text{ en } \mathbb F_{q^n}\}$ — la misma criba, una vez sobre palabras y otra sobre elementos de un cuerpo.

**21.** Lema: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = \mathbf
1_{m=1}$. Para $m > 1$, fíjese un primo $p \mid m$: los divisores libres de cuadrados de $m$ se emparejan como $\{d, pd\}$ con $p \nmid d$, y $\mu(pd) = -\mu(d)$: la suma se cancela. Entonces, para $f(n) =
\sum_{e\mid n}g(e)$:

$$
\sum_{d \mid n}\mu(d)\,f\bigl(\tfrac nd\bigr)
= \sum_{d \mid n}\mu(d)\!\!\sum_{e \mid n/d}\!\!g(e)
= \sum_{e \mid n}g(e)\!\!\sum_{d \mid n/e}\!\!\mu(d)
= g(n) .
$$

Con $f(n) = q^n$ y $g(n) = nN_q(n)$ ([Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6)): $N_q(n) =
\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(d)\,q^{n/d}$.

**22.** El término $d = 1$ es $q^n$; todos los demás tienen $\abs{\mu(d)q^{n/d}} \leq q^{n/2}$ y, groseramente, $\sum_{d \mid n, d > 1}q^{n/d} \leq \sum_{j \leq
n/2}q^j < 2q^{n/2}$ (geométrica, $q \geq 2$). Luego $nN_q(n) >
q^n - 2q^{n/2} \geq 0$ para $n \geq 1$: existen [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de todo [grado](#def-b3-galois-extension), y $\mathbb F_q[X]/(\pi) = \mathbb F_{q^n}$ se (re)construye — existencia con censo incluido. La proporción de [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) entre los $q^n$ polinomios mónicos de [grado](#def-b3-galois-extension) $n$ es $\frac1n(1 + O(q^{-n/2}))$: el teorema de los números primos de $\mathbb F_q[X]$, con $n$ en el papel de $\log x$. Para $q = 2$, los recuentos $2, 1, 2, 3$ del [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) concuerdan con la fórmula: por ejemplo, $N_2(4) = \frac14(2^4 - 2^2) = 3$.

**23.** En el grupo abeliano multiplicativo de las funciones racionales no nulas sobre $\mathbb F_q$, póngase $F(n) = X^{q^n} -
X$ y $G(n) = \prod_{\deg\pi = n}\pi$; el [Ejercicio 4.6](#exo-b3-galois-6) dice que $F(n) = \prod_{d\mid n}G(d)$. El argumento de Möbius de la pregunta 21, escrito multiplicativamente (los exponentes se suman exactamente igual que antes las sumas), da $G(n) = \prod_{d \mid n}F(d)^{\mu(n/d)}$. Para $q = 2$, $n = 2$: $G(2) = \frac{X^4 - X}{X^2 - X} = \frac{X(X^3 -
1)}{X(X - 1)} = X^2 + X + 1$, la única cuadrática [irreducible](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_2$, como no podía ser de otro modo.

**24.** $\omega^2 = \iu$ y $\omega^{-2} = -\iu$, luego $g^2 = \omega^2 + 2 + \omega^{-2} = 2$. Sueño del principiante en el anillo conmutativo $\Z[\omega]/q\Z[\omega]$: $g^q =
(\omega + \omega^{-1})^q \equiv \omega^q + \omega^{-q}$. El valor de $\omega^q + \omega^{-q}$ solo depende de $q \bmod 8$: para $q \equiv \pm1$, $\omega^q + \omega^{-q} = \omega^{\pm1} +
\omega^{\mp1} = g$; para $q \equiv \pm3$, usando $\omega^4 =
-1$, $\omega^{3} = -\omega^{-1}$ y $\omega^{-3} = -\omega$, luego $\omega^q + \omega^{-q} = -g$. Por otra parte, $g^q =
g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,2^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr)
g \pmod{q\Z[\omega]}$ por el criterio de Euler módulo $q$. Comparando y multiplicando por $g$: $2\bigl(\frac2q\bigr) \equiv
\pm2 \pmod{q\Z[\omega]}$; si los signos discreparan, $q$ dividiría a $4$ en $\Z[\omega]$ y, por tanto, en $\Z$ ($q\Z[\omega] \cap
\Z = q\Z$: coordenadas en la base $1, \omega, \omega^2,
\omega^3$), imposible para $q$ impar. Luego $\bigl(\frac2q\bigr) =
+1$ si y solo si $q \equiv \pm1 \pmod 8$. Comprobación de paridad: $q = 8k \pm 1$ da $(q^2 - 1)/8 = 2k(4k \pm 1)$, par; $q = 8k \pm 3$ da $(q^2 - 1)/8 = 8k^2 \pm 6k + 1$, impar: la fórmula $(-1)^{(q^2-1)/8}$ codifica la distinción de casos. Numéricamente: $3^2
= 9 \equiv 2 \pmod 7$ ($7 \equiv -1$), $6^2 = 36 \equiv 2
\pmod{17}$ ($17 \equiv 1$); los cuadrados módulo $3$ son $\{0,
1\}$ y módulo $5$ son $\{0, 1, 4\}$, y ninguno contiene $2$ ($3 \equiv 3$, $5 \equiv -3 \pmod 8$).

**25.** Todo $f \in \mathbb F_q[X]$ mónico se factoriza de manera única como $\prod_\pi\pi^{e_\pi}$ sobre los [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) mónicos: ordenando por [grado](#def-b3-galois-extension),

$$
\sum_{f \text{ mónico}}t^{\deg f}
= \prod_\pi\ \sum_{e \geq 0}t^{e\deg\pi}
= \prod_\pi\bigl(1 - t^{\deg\pi}\bigr)^{-1}
= \prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)},
$$

productos todos ellos legítimos como series formales (solo los [grados](#def-b3-galois-extension) $\leq m$ afectan al coeficiente de $t^m$, y hay finitos [irreducibles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/2-anillos-y-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de cada [grado](#def-b3-galois-extension)). El miembro de la izquierda es $\sum_m
q^mt^m = (1 - qt)^{-1}$: la identidad. Logaritmos: $-\log(1 -
qt) = \sum_m\frac{q^m}mt^m$, mientras que $\sum_nN_q(n)\bigl(-\log(1
- t^n)\bigr) = \sum_nN_q(n)\sum_k\frac{t^{nk}}k$; el coeficiente de $t^m$ da $\frac{q^m}m = \sum_{dk = m}
\frac{N_q(d)}k = \frac1m\sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$, es decir, $q^m = \sum_{d\mid m}d\,N_q(d)$. Comprobación a mano, $q = 2$, coeficiente de $t^2$: $N_2(1) = 2$, $N_2(2) = 1$, y $(1 - t)^{-2}(1 - t^2)^{-1} = (1 + 2t + 3t^2 + \dots)(1 + t^2
+ \dots)$ tiene coeficiente en $t^2$ igual a $3 + 1 = 4 = 2^2$. Por último, la fórmula de la pregunta 21 con los divisores $1, 2, 3, 6$:

$$
N_2(6) = \tfrac16\bigl(2^6 - 2^3 - 2^2 + 2\bigr)
= \tfrac{54}6 = 9,
$$

y, en efecto, $1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9 = 2 + 2 +
6 + 54 = 64 = 2^6$.