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title: "Topología general"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general
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# Capítulo 6 — Topología general

El volumen de segundo año hizo análisis en espacios métricos: distancias, bolas, sucesiones. Pero las nociones fundamentales — la [continuidad](#def-b3-topology-continuity), la [compacidad](#def-b3-topology-compact), la [conexión](#def-b3-topology-connected) — nunca mencionan el valor numérico de una distancia, sino solo la familia de *[abiertos](#def-b3-topology-topology)* que esta genera. Este capítulo toma esa familia como objeto primitivo. La ganancia no es generalidad por sí misma: las construcciones cociente (el círculo como $\R/\Z$, los espacios proyectivos), los productos y las [topologías](#def-b3-topology-topology) de tipo débil del análisis funcional sencillamente no son objetos métricos de nacimiento. Reconstruimos la [continuidad](#def-b3-topology-continuity), tratamos después la [compacidad](#def-b3-topology-compact) mediante recubrimientos [abiertos](#def-b3-topology-topology) (demostrando que equivale a la definición secuencial de segundo año en espacios métricos) y la [conexión](#def-b3-topology-connected) — para cerrar con el teorema de que ninguna biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) puede identificar $\R$ con $\R^2$: la [topología](#def-b3-topology-topology) sabe distinguir dimensiones.

## 6.1 Topologías, abiertos, continuidad

**Definición 6.1.**

Una *topología* sobre un conjunto $X$ es una familia $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — llamados *abiertos* — tal que: $\varnothing, X \in
\mathcal T$; toda unión de abiertos es abierta; toda intersección *finita* de abiertos es abierta. El par $(X, \mathcal T)$ es un *espacio topológico*. Los complementarios de los abiertos son los *cerrados*. Un *entorno* de $x$ es un conjunto que contiene un abierto que contiene $x$.

**Ejemplo 6.2.**

(a) Un espacio métrico, con «[abierto](#def-b3-topology-topology)» en el sentido de segundo año (uniones de bolas abiertas): la *[topología](#def-b3-topology-topology) métrica*; métricas distintas pueden dar la misma [topología](#def-b3-topology-topology) (métricas equivalentes). Un espacio cuya [topología](#def-b3-topology-topology) procede de alguna métrica es *metrizable*. (b) La [topología](#def-b3-topology-topology) *discreta* (todos los subconjuntos) y la [topología](#def-b3-topology-topology) *indiscreta* $\{\varnothing, X\}$. (c) La [topología](#def-b3-topology-topology) *cofinita* sobre un conjunto infinito: $=$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) si es vacío o cofinito. No es metrizable, como veremos ([Ejercicio 6.3](#exo-b3-topology-3)). (d) Sobre $\R$, la [topología](#def-b3-topology-topology) usual; sobre $\bar\R = \R \cup
\{\pm\infty\}$, la [topología](#def-b3-topology-topology) del orden generada por las semirrectas — lo que convierte «$x_n \to +\infty$» en un caso de convergencia ordinaria.

**Definición 6.3.**

Para $A \subseteq X$: el *interior* $\mathring A$ es el mayor [abierto](#def-b3-topology-topology) contenido en $A$ (la unión de todos ellos); la *clausura* $\bar A$, el menor cerrado que contiene $A$; la *frontera* $\partial A = \bar A
\setminus \mathring A$. $A$ es *denso* si $\bar A = X$. Se tiene $x \in \bar A$ si y solo si todo [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ corta a $A$ (si algún [entorno](#def-b3-topology-topology) no corta a $A$, el complementario de su núcleo [abierto](#def-b3-topology-topology) es un cerrado más pequeño alrededor de $A$; y recíprocamente).

**Definición 6.4.**

Una *base* de $\mathcal T$ es una familia $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo [abierto](#def-b3-topology-topology) es unión de miembros de $\mathcal B$ (por ejemplo, las bolas abiertas en un espacio métrico o los intervalos [abiertos](#def-b3-topology-topology) en $\R$). Una familia $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ es base de *alguna* [topología](#def-b3-topology-topology) si y solo si recubre $X$ y, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ y $x \in B_1 \cap B_2$, existe $B_3 \in \mathcal B$ con $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — y entonces «las uniones de miembros» forman una [topología](#def-b3-topology-topology), la [topología](#def-b3-topology-topology) *generada* por $\mathcal B$.

**Definición 6.5.**

$f \colon X \to Y$ es *continua* si $f^{-1}(V)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) para todo [abierto](#def-b3-topology-topology) $V \subseteq Y$ — equivalentemente, las preimágenes de cerrados son cerradas; equivalentemente, para todo $x$ y todo [entorno](#def-b3-topology-topology) $V$ de $f(x)$, $f^{-1}(V)$ es un [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ (continuidad *en* cada $x$). Basta comprobarlo sobre una [base](#def-b3-topology-basis) de $Y$. Las composiciones de aplicaciones continuas son continuas. Un *homeomorfismo* es una biyección continua con inversa continua; la [topología](#def-b3-topology-topology) estudia las propiedades que los homeomorfismos conservan.

**Proposición 6.6 (Continuidad y clausura; pegado).**

(a) $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ para todo $A \subseteq X$. (b) Si $X = F_1 \cup F_2$ con $F_1, F_2$ cerrados y $f\colon X
\to Y$ se restringe [continuamente](#def-b3-topology-continuity) a cada $F_i$, entonces $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity).

**Demostración.** (a) Si $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity): $f^{-1}(\overline{f(A)})$ es cerrado y contiene $A$, luego contiene $\bar A$. Recíprocamente, aplíquese el criterio a $A = f^{-1}(F)$ con $F$ cerrado: $f(\bar A) \subseteq
\overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$, luego $\bar A
\subseteq f^{-1}(F) = A$: las preimágenes de cerrados son cerradas. (b) Para $F \subseteq Y$ cerrado: $f^{-1}(F) =
(f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1}
(F)$, unión de dos conjuntos cerrados en $F_1$ y en $F_2$ respectivamente, luego cerrada en $X$ ($F_i$ cerrados: cerrado dentro de cerrado es cerrado). ∎

**Definición 6.7.**

$X$ es *de Hausdorff* (o *separado*) si dos puntos distintos cualesquiera tienen [entornos](#def-b3-topology-topology) disjuntos. Los espacios métricos son de Hausdorff (bolas de radio $d(x,y)/2$). Una sucesión $(x_n)$ *converge* a $x$ si todo [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ contiene todos los $x_n$ salvo un número finito; en un espacio de Hausdorff el límite es único (dos límites tendrían [entornos](#def-b3-topology-topology) disjuntos, cada uno con una cola de la sucesión). En un espacio de Hausdorff, los puntos — y por tanto los conjuntos finitos — son cerrados.

**Observación 6.8.**

En los espacios métricos, las sucesiones lo detectan todo: $x \in \bar A$ si y solo si alguna sucesión de $A$ converge a $x$ (tómese $x_n \in A \cap
B(x, 1/n)$), y $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si es secuencialmente [continua](#def-b3-topology-continuity). En espacios generales fallan ambas equivalencias; los sustitutos correctos de las sucesiones (filtros, redes) corresponden a un curso más avanzado. Enunciaremos los resultados basados en sucesiones en espacios métricos y los basados en recubrimientos en general — y demostraremos su equivalencia allí donde la hay.

## 6.2 Subespacios, productos, cocientes

**Definición 6.9.**

Tres maneras de fabricar espacios nuevos a partir de otros:

1. *Subespacio* : sobre $A \subseteq X$ , los [abiertos](#def-b3-topology-topology) son los $U \cap A$ con $U$ [abierto](#def-b3-topology-topology) en $X$ — la [topología](#def-b3-topology-topology) menos fina que hace [continua](#def-b3-topology-continuity) la inclusión.
2. *Producto* : sobre $X \times Y$ (y sobre los productos finitos), la [topología](#def-b3-topology-topology) cuya [base](#def-b3-topology-basis) son las *cajas abiertas* $U \times  V$ ; en un producto infinito $\prod_i X_i$ , la [base](#def-b3-topology-basis) está formada por las cajas $\prod U_i$ con $U_i = X_i$ para *todos los $i$ salvo un número finito* — la [topología](#def-b3-topology-topology) menos fina que hace [continuas](#def-b3-topology-continuity) todas las proyecciones.
3. *Cociente* : si $\sim$ es una equivalencia sobre $X$ y $\pi\colon X \to X/{\sim}$ la proyección, declárese $V  \subseteq X/{\sim}$ [abierto](#def-b3-topology-topology) si y solo si $\pi^{-1}(V)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) — la [topología](#def-b3-topology-topology) más fina que hace $\pi$ [continua](#def-b3-topology-continuity) .

**Proposición 6.10 (Propiedades universales).**

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si lo son sus dos componentes $\pi_X \circ f$, $\pi_Y \circ f$ (lo mismo para productos arbitrarios). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si lo es $g \circ \pi
\colon X \to Z$.

**Demostración.** (a) Necesidad: composiciones. Suficiencia: basta comprobar las preimágenes de las cajas de la [base](#def-b3-topology-basis): $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U)
\cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$, abierta (solo un número finito de factores $\neq X_i$ en el caso infinito). (b) Necesidad: composición. Suficiencia: para $W \subseteq Z$ [abierto](#def-b3-topology-topology), $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology), lo que por definición de la [topología cociente](#def-b3-topology-constructions) significa que $g^{-1}(W)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology). ∎

**Ejemplo 6.11.**

El cociente $\R/\Z$ (identificando $x$ con $x + n$) es [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: la aplicación $x
\mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa al cociente y da una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $\R/\Z \to S^1$ (la [Proposición 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)); su inversa es [continua](#def-b3-topology-continuity) por el argumento de [compacidad](#def-b3-topology-compact) del [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) de más abajo (el [Ejercicio 6.5](#exo-b3-topology-5) lo detalla todo, incluido por qué $\R/\Z$ es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y [compacto](#def-b3-topology-compact)). Del mismo modo, $[0,1]$ con los extremos pegados es $S^1$, el cuadrado con los lados opuestos pegados es el toro, y el pegado pasa por fin a ser un teorema, y no un dibujo.

## 6.3 Compacidad

**Definición 6.12.**

Un *recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology)* de $X$ es una familia $(U_i)_{i\in I}$ de [abiertos](#def-b3-topology-topology) con $\bigcup U_i = X$. $X$ es *compacto* si es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y todo recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) admite un *subrecubrimiento finito*. Equivalentemente (tomando complementarios): toda familia de cerrados con la *propiedad de intersección finita* (toda subfamilia finita tiene intersección no vacía) tiene intersección total no vacía.

**Teorema 6.13 (Primeras propiedades).**

Sea $X$ [compacto](#def-b3-topology-compact).

1. Un subconjunto cerrado de $X$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) ; un subconjunto [compacto](#def-b3-topology-compact) de un [espacio de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) es cerrado.
2. La imagen [continua](#def-b3-topology-continuity) de un [espacio compacto](#def-b3-topology-compact) dentro de un [espacio de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) es compacta. En particular, una $f\colon X  \to \R$ [continua](#def-b3-topology-continuity) está acotada y alcanza sus cotas.
3. Una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de $X$ tiene intersección no vacía.

**Demostración.** (1) Sea $F \subseteq X$ cerrado y sea $(U_i)$ un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) de $F$ (por [abiertos](#def-b3-topology-topology) de $X$): añadiendo $X \setminus F$ se obtiene un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) de $X$; un subrecubrimiento finito, quitando $X \setminus F$, recubre $F$. Que el subespacio sea [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) es claro. Recíprocamente, sean $K \subseteq Y$ [compacto](#def-b3-topology-compact), $Y$ [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y $y \notin K$: para cada $x \in K$ tómense [abiertos](#def-b3-topology-topology) disjuntos $U_x \ni x$, $V_x \ni y$; un número finito de $U_x$ recubre $K$, y la intersección de los $V_x$ correspondientes es un [entorno](#def-b3-topology-topology) de $y$ disjunto del recubrimiento de $K$ y, por tanto, de $K$: el complementario de $K$ es [abierto](#def-b3-topology-topology).

(2) Si $(V_j)$ recubre $f(X)$, entonces $(f^{-1}(V_j))$ recubre $X$; un subrecubrimiento finito abajo procede del subrecubrimiento finito de arriba. La imagen es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) por ser subespacio. Para $f$ real: $f(X)$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) en $\R$, luego cerrado y acotado (recúbrase por $(-n, n)$ para la acotación; cerrado por (1)), y un conjunto cerrado y acotado contiene su supremo.

(3) Si $\bigcap F_n = \varnothing$, los [abiertos](#def-b3-topology-topology) $X \setminus F_n$ recubren $X$; bastan un número finito, de modo que algún $F_{n_0} =
\varnothing$ (la sucesión decrece) — contradicción. ∎

**Corolario 6.14.**

Una *biyección* [continua](#def-b3-topology-continuity) de un [espacio compacto](#def-b3-topology-compact) en un [espacio de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity).

**Demostración.** La inversa es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si las imágenes directas de cerrados son cerradas; un $F$ cerrado es [compacto](#def-b3-topology-compact) (el [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)), su imagen es compacta (2) y, por tanto, cerrada (1) en el destino [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff). ∎

**Teorema 6.15 (Productos finitos).**

Un producto finito de [espacios compactos](#def-b3-topology-compact) es [compacto](#def-b3-topology-compact).

**Demostración.** Basta tratar $X \times Y$. Ser [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) se hereda (sepárese en una coordenada). Sea $(W_i)$ un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) de $X
\times Y$; podemos suponer que los $W_i$ son cajas de la [base](#def-b3-topology-basis) $U_i \times
V_i$ (refínese: cada punto está en una caja contenida en algún $W_i$; un subrecubrimiento finito por cajas da uno por $W_i$). Fijemos $x \in X$: la *rebanada* $\{x\}\times Y \cong Y$ es compacta, luego un número finito de cajas $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ la recubre, con $x \in U_j$ para todo $j$; entonces $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ es un [entorno](#def-b3-topology-topology) [abierto](#def-b3-topology-topology) de $x$ con $U^x \times Y$ recubierto por un número finito de cajas (el *lema del tubo*: para $(x', y) \in U^x \times Y$, $y \in V_j$ para algún $j$, pues las cajas recubrían $\{x\}\times Y$ al nivel $y$, y $x' \in U^x \subseteq U_j$, luego $(x', y) \in U_j
\times V_j$). Ahora bien, un número finito de $U^x$ recubre el [compacto](#def-b3-topology-compact) $X$; las colecciones finitas de cajas correspondientes recubren $X \times Y$. ∎

**Teorema 6.16 (Compacidad en espacios métricos).**

Para un espacio métrico $(X, d)$, son equivalentes:

1. $X$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) (Borel–Lebesgue);
2. toda sucesión de $X$ tiene una subsucesión convergente ( [compacidad secuencial](#thm-b3-topology-metriccompact) — la definición de segundo año);
3. $X$ es completo y *totalmente acotado* : para todo $\varepsilon > 0$ , un número finito de bolas de radio $\varepsilon$ recubre $X$ .

**Demostración.** (1)$\Rightarrow$(2): sea $(x_n)$ sin subsucesión convergente. Entonces cada $x \in X$ tiene una bola abierta $B_x$ que contiene $x_n$ solo para un número finito de $n$ (si no, alguna subsucesión convergería a $x$: tómense radios $1/k$). Un número finito de $B_x$ recubre $X$, luego solo existe un número finito de índices $n$: absurdo.

(2)$\Rightarrow$(3): completitud: una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge (segundo año). Acotación total: si algún $\varepsilon$ no admite recubrimiento finito, elíjanse inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$: la sucesión cumple $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ para $m \neq n$, no tiene subsucesión de Cauchy ni, por tanto, convergente.

(3)$\Rightarrow$(1): primero, (3) implica (2): dado $(x_n)$, recúbrase $X$ por un número finito de bolas de radio $1$: una de ellas, $B_1$, contiene una subsucesión; recúbrase $X$ por bolas de radio $1/2$: una contiene una subsucesión ulterior; itérese y diagonalícese: la subsucesión diagonal es de Cauchy (dos términos posteriores a la etapa $k$ están en una misma bola de radio $2^{-k}$, salvo el $2\cdot$ habitual) y, por tanto, converge. Sea ahora $(U_i)$ un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) y supóngase que no hay subrecubrimiento finito. *Argumento del número de Lebesgue*: para cada $n$, alguna bola $B(y_n, 2^{-n})$ no queda recubierta por un número finito de $U_i$ — en efecto, recúbrase $X$ por un número finito de bolas de radio $2^{-n}$; si cada una admitiera recubrimiento finito, también lo admitiría $X$. Por (2), una subsucesión $y_{n_k} \to y$; tómense $i$ con $y \in U_i$ y $r > 0$ con $B(y, r) \subseteq U_i$. Para $k$ grande, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$: queda recubierta por *un* solo $U_i$ — contradicción. ∎

**Corolario 6.17 (Heine–Borel; Heine).**

(a) Un subconjunto de $\R^n$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) si y solo si es cerrado y acotado. (b) Una [aplicación continua](#def-b3-topology-continuity) de un espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) en un espacio métrico es uniformemente [continua](#def-b3-topology-continuity).

**Demostración.** (a) Cerrado y acotado $\Rightarrow$ contenido en un cubo $[-M,M]^n$, que es [compacto](#def-b3-topology-compact): $[-M, M]$ lo es (secuencialmente, por Bolzano–Weierstrass — o directamente por dicotomía para recubrimientos), y el [Teorema 6.15](#thm-b3-topology-tychonoff) se ocupa del producto; aplíquese después el [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1). Recíprocamente, un subconjunto [compacto](#def-b3-topology-compact) es cerrado (el [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)) y acotado (recúbrase por bolas concéntricas).

(b) Sean $f \colon X \to Y$, $\varepsilon > 0$. Las bolas $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ con $f\bigl(B(x,
2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ recubren $X$; extráigase un subrecubrimiento finito $B(x_j, \delta_{x_j})$ y póngase $\delta = \min_j \delta_{x_j}$. Si $d(x, x') < \delta$: $x
\in B(x_j, \delta_{x_j})$ para algún $j$ y entonces ambos $x, x'
\in B(x_j, 2\delta_{x_j})$, luego $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$. ∎

**Definición 6.18.**

$X$ es *localmente compacto* si es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y todo punto tiene un [entorno](#def-b3-topology-topology) [compacto](#def-b3-topology-compact) ($\R^n$; los [abiertos](#def-b3-topology-topology) de $\R^n$; los espacios discretos — pero no $\Q$, véase el [Ejercicio 6.9](#exo-b3-topology-9)). Todo espacio localmente [compacto](#def-b3-topology-compact) se sumerge en uno [compacto](#def-b3-topology-compact): la *compactificación por un punto* $\hat X = X
\cup \{\infty\}$, cuyos [abiertos](#def-b3-topology-topology) son los de $X$ junto con los complementarios (en $\hat X$) de los subconjuntos [compactos](#def-b3-topology-compact) de $X$. Los axiomas se comprueban directamente; $\hat X$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) (un recubrimiento tiene un miembro que contiene $\infty$, cuyo complementario es [compacto](#def-b3-topology-compact) y queda recubierto por un número finito de los demás) y [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (sepárese $x$ de $\infty$ mediante un [entorno](#def-b3-topology-topology) [compacto](#def-b3-topology-compact) de $x$ y su complementario). Ejemplo: $\hat\R \cong S^1$, y $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por proyección estereográfica (el [Ejercicio 6.11](#exo-b3-topology-11)).

## 6.4 Conexión

**Definición 6.19.**

$X$ es *conexo* si no es unión de dos [abiertos](#def-b3-topology-topology) disjuntos no vacíos — equivalentemente, si sus únicos subconjuntos a la vez [abiertos](#def-b3-topology-topology) y cerrados son $\varnothing$ y $X$; equivalentemente, si toda [aplicación continua](#def-b3-topology-continuity) $X \to \{0, 1\}$ (con la [topología](#def-b3-topology-topology) discreta) es constante. Un subconjunto es conexo si lo es como subespacio.

**Teorema 6.20.**

1. Los subconjuntos [conexos](#def-b3-topology-connected) de $\R$ son exactamente los intervalos.
2. Las imágenes [continuas](#def-b3-topology-continuity) de [conexos](#def-b3-topology-connected) son [conexas](#def-b3-topology-connected) (de donde el teorema del valor intermedio: una aplicación real [continua](#def-b3-topology-continuity) sobre un [espacio conexo](#def-b3-topology-connected) tiene por imagen un intervalo).
3. Si $(A_i)$ son [conexos](#def-b3-topology-connected) con un punto común, $\bigcup  A_i$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) . Si $A$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) y $A \subseteq  B \subseteq \bar A$ , entonces $B$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) .
4. Los productos finitos de [espacios conexos](#def-b3-topology-connected) son [conexos](#def-b3-topology-connected) .

**Demostración.** En todo lo que sigue usamos el criterio de $\{0,1\}$: toda $f \colon X \to
\{0,1\}$ [continua](#def-b3-topology-continuity) ha de ser constante.

(1) Un $A$ que no sea un intervalo omite algún $c$ comprendido entre $a, b \in A$: $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ lo desconecta. Recíprocamente, sea $I$ un intervalo y sea $f \colon I
\to \{0,1\}$ [continua](#def-b3-topology-continuity) con $f(a) = 0$, $f(b) = 1$, $a < b$. Sea $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$; la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) en $c$ obliga a $f(c) = 0$ (límite de valores $0$: todo [entorno](#def-b3-topology-topology) de $c$ corta a $\{f = 0\}$, y $\{f=0\}$ es cerrado) y entonces $c < b$ con $f \equiv 1$ sobre $(c, b]$, luego $f(c) = 1$ por el mismo argumento de [clausura](#def-b3-topology-interior) sobre $\{f = 1\} \ni c$: contradicción.

(2) Una $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ [continua](#def-b3-topology-continuity) da $g \circ f$ constante, de modo que $g$ es constante sobre la imagen.

(3) Una $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ [continua](#def-b3-topology-continuity) es constante en cada $A_i$, con el mismo valor en el punto común. Para la [clausura](#def-b3-topology-interior): $f \colon B \to \{0,1\}$ vale constantemente $= c$ sobre $A$; todo $x \in B \subseteq \bar A$ está en la [clausura](#def-b3-topology-interior) de $A$, y $f^{-1}
(f(x))$ es un [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ (preimagen de un [abierto](#def-b3-topology-topology)), que ha de cortar a $A$: $f(x) = c$.

(4) Para $X \times Y$ y $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$: dos puntos cualesquiera $(x,y), (x',y')$ se unen mediante el «codo» $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$, unión de dos [conexos](#def-b3-topology-connected) ([homeomorfos](#def-b3-topology-continuity) a $Y$ y a $X$) que se cortan en $(x, y')$: por (3) y (2), $f$ toma el mismo valor en los dos puntos. ∎

**Definición 6.21.**

$X$ es *conexo por caminos* si dos puntos cualesquiera se unen por un *camino* (una $\gamma
\colon [0,1] \to X$ [continua](#def-b3-topology-continuity)). [Conexo](#def-b3-topology-connected) por caminos implica [conexo](#def-b3-topology-connected): dos valores de una $f \colon X \to \{0,1\}$ [continua](#def-b3-topology-continuity) en $x, y$ son valores de la constante $f\circ\gamma$ (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(1)–(2)). Los subconjuntos convexos de un espacio normado son [conexos](#def-b3-topology-connected) por caminos (segmentos); también lo son $\R^n
\setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (rodéese el origen) y $S^n$ para $n \geq 1$ (proyéctense caminos desde $\R^{n+1}\setminus
\{0\}$).

**Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo).**

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S =
\bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0,
y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$: resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$). Entonces $S$ es *[conexo](#def-b3-topology-connected)* — [clausura](#def-b3-topology-interior) del [conexo](#def-b3-topology-connected) $\Gamma$, imagen [continua](#def-b3-topology-continuity) de $(0, 1]$ (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)) — pero *no es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected)*: un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$; el [Ejercicio 6.9](#exo-b3-topology-9) lo hace riguroso. La [conexión](#def-b3-topology-connected) y la [conexión](#def-b3-topology-connected) por [caminos](#def-b3-topology-pathconnected) son genuinamente distintas.

![La curva seno del topólogo: la gráfica de 1x (en rojo) se acumula sobre todo el segmento \0\×(-1,1) (en azul). La unión es conexa pero no conexa por caminos: ningún camino continuo puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-topology/fig-f1cdfcf49061.svg)

*La [curva seno del topólogo](#ex-b3-topology-sinecurve): la gráfica de $\sin\frac1x$ (en rojo) se acumula sobre todo el segmento $\{0\}\times[-1,1]$ (en azul). La unión es [conexa](#def-b3-topology-connected) pero no [conexa por caminos](#def-b3-topology-pathconnected): ningún [camino](#def-b3-topology-pathconnected) [continuo](#def-b3-topology-continuity) puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.*

**Definición 6.23.**

La *componente conexa* de $x
\in X$ es la unión de todos los subconjuntos [conexos](#def-b3-topology-connected) que contienen $x$ — el mayor de ellos (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)). Las componentes forman una partición de $X$ y son cerradas (las [clausuras](#def-b3-topology-interior) de [conexos](#def-b3-topology-connected) son [conexas](#def-b3-topology-connected)). $X$ es *totalmente disconexo* si todas sus componentes se reducen a un punto ($\Q$; el conjunto de Cantor del problema de fin de semana).

**Teorema 6.24.**

$\R$ no es [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a ningún $\R^n$ con $n \geq 2$.

**Demostración.** Supongamos que $h \colon \R \to \R^n$ es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Al suprimir un punto: $\R \setminus \{0\}$ es [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $\R^n \setminus
\{h(0)\}$. Pero $\R\setminus\{0\}$ es disconexo, mientras que $\R^n\setminus\{\text{punto}\}$ es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected) para $n \geq
2$ (la [Definición 6.21](#def-b3-topology-pathconnected); trasládese el punto a $0$): la [conexión](#def-b3-topology-connected) es un invariante por [homeomorfismos](#def-b3-topology-continuity) (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) — contradicción. (El caso $\R^2 \not\cong \R^3$ exige invariantes más finos — la [topología](#def-b3-topology-topology) [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic); el problema de fin de semana muestra el peligro: sí existen *sobreyecciones [continuas](#def-b3-topology-continuity)* $\R \to \R^2$.) ∎

**Método 6.25.**

Para demostrar que un conjunto es [conexo](#def-b3-topology-connected): exhíbase como imagen [continua](#def-b3-topology-continuity), como unión de [conexos](#def-b3-topology-connected) que se solapan, como [clausura](#def-b3-topology-interior) o como producto (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)); para subconjuntos de espacios normados, demuéstrese la [conexión](#def-b3-topology-connected) por [caminos](#def-b3-topology-pathconnected) con [caminos](#def-b3-topology-pathconnected) explícitos (segmentos, arcos, codos). Para demostrar que dos espacios *no* son [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity): búsquese un invariante [topológico](#def-b3-topology-topology) que difiera — [compacidad](#def-b3-topology-compact), [conexión](#def-b3-topology-connected), número de componentes o componentes tras suprimir un conjunto finito bien elegido (el truco del [Teorema 6.24](#thm-b3-topology-rnotr2): también demuestra que $[0,1) \not\cong
(0,1)$ y $S^1 \not\cong [0,1]$).

## 6.5 Ejercicios

**Ejercicio 6.1 ★.**

(a) Listar todas las [topologías](#def-b3-topology-topology) sobre $\{a, b\}$, clasificarlas salvo [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) y determinar cuáles son [conexas](#def-b3-topology-connected) y cuáles [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff). (b) En $\R$ (con la [topología](#def-b3-topology-topology) usual), calcular el [interior](#def-b3-topology-interior), la [clausura](#def-b3-topology-interior) y la frontera de $\Q$, de $[0,1) \cup \{2\}$ y de $\{1/n : n \geq
1\}$.

**Solución de Ejercicio 6.1.**

(a) Cuatro [topologías](#def-b3-topology-topology) sobre $\{a,b\}$: la indiscreta $\{\varnothing, X\}$; la discreta; y las dos [topologías](#def-b3-topology-topology) de *Sierpiński* $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ y $\{\varnothing,
\{b\}, X\}$. Las dos últimas son [homeomorfas](#def-b3-topology-continuity) (intercámbiese $a, b$): tres clases. [Conexas](#def-b3-topology-connected): todas salvo la discreta (solo la [topología](#def-b3-topology-topology) discreta contiene un conjunto propio no vacío [abierto](#def-b3-topology-topology) y cerrado a la vez). [De Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): solo la discreta (en las demás, el único [entorno](#def-b3-topology-topology) de $b$ es $X$, o el de $a$).

(b) $\Q$: [interior](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$ (todo intervalo contiene irracionales), [clausura](#def-b3-topology-interior) $\R$ (densidad), frontera $\R$. $[0,1)
\cup \{2\}$: [interior](#def-b3-topology-interior) $(0,1)$, [clausura](#def-b3-topology-interior) $[0,1]\cup\{2\}$, frontera $\{0, 1, 2\}$. $\{1/n\}$: [interior](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$, [clausura](#def-b3-topology-interior) $\{1/n\}\cup\{0\}$, frontera la [clausura](#def-b3-topology-interior) misma.

**Ejercicio 6.2 ★.**

(a) Demostrar que $f\colon X \to Y$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) si y solo si $f^{-1}(B)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) para todo $B$ de una [base](#def-b3-topology-basis) fija de $Y$. (b) Demostrar que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ no es [continua](#def-b3-topology-continuity) pero sí es *[continua](#def-b3-topology-continuity) por la derecha*. Comprobar que los intervalos semiabiertos $[a, b)$ forman una [base de una topología](#def-b3-topology-basis) sobre el origen $\R$ (la *recta de Sorgenfrey*), que esta [topología](#def-b3-topology-topology) es estrictamente más fina que la usual, y que una función $\R \to
\R$ (con el destino usual) es [continua](#def-b3-topology-continuity) desde la recta de Sorgenfrey si y solo si es [continua](#def-b3-topology-continuity) por la derecha en todo punto.

**Solución de Ejercicio 6.2.**

(a) Todo [abierto](#def-b3-topology-topology) $V \subseteq Y$ es una unión $\bigcup B_j$ de conjuntos de la [base](#def-b3-topology-basis), y $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: si estos últimos son [abiertos](#def-b3-topology-topology), también lo es el primero; el recíproco es trivial.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ no es [abierto](#def-b3-topology-topology): $f$ no es [continua](#def-b3-topology-continuity); la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) por la derecha en cada punto es clara ($f$ es localmente constante a la derecha de todo punto). Los conjuntos $[a, b)$ cumplen el criterio de [base](#def-b3-topology-basis) (la [Definición 6.4](#def-b3-topology-basis)): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c),
\min(b,d))$. La [topología](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey es más fina que la usual, pues $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$; y estrictamente: $[0,1)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey pero no [abierto](#def-b3-topology-topology) usual. [Continuidad](#def-b3-topology-continuity) desde la recta de Sorgenfrey en $x$: un [entorno](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey de $x$ contiene un conjunto de la [base](#def-b3-topology-basis) $[a, b) \ni x$ y, por tanto, contiene $[x, b)$ — de modo que la condición de [continuidad](#def-b3-topology-continuity) se lee: para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ con $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ siempre que $x \leq t < x + \delta$. Eso es exactamente la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) por la derecha en $x$.

**Ejercicio 6.3 ★.**

Sobre un conjunto infinito con la [topología](#def-b3-topology-topology) cofinita, demostrar: dos [abiertos](#def-b3-topology-topology) no vacíos cualesquiera se cortan (de modo que el espacio no es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y, por tanto, no es metrizable); toda sucesión inyectiva converge a *todos* los puntos. ¿Dónde usa la demostración de la unicidad del límite la propiedad [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff)?

**Solución de Ejercicio 6.3.**

Dos [abiertos](#def-b3-topology-topology) no vacíos tienen complementario finito, luego su intersección también lo tiene: es no vacía (el conjunto es infinito) — no hay dos puntos con [entornos](#def-b3-topology-topology) disjuntos: no es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) y, por tanto, no es metrizable (la [Definición 6.7](#def-b3-topology-hausdorff)). Sea $(x_n)$ inyectiva y sea $x$ arbitrario: un [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ contiene un [abierto](#def-b3-topology-topology) cofinito $U$; los finitos puntos de $X\setminus U$ son alcanzados por un número finito de índices a lo sumo (inyectividad), de modo que una cola de la sucesión está en $U$: $x_n \to x$, para *todo* $x$. La demostración de la unicidad necesita dos [entornos](#def-b3-topology-topology) disjuntos para separar dos supuestos límites — precisamente lo que aquí falla.

**Ejercicio 6.4 ★★.**

(a) Demostrar que las proyecciones $\pi_X, \pi_Y$ de un producto son [continuas](#def-b3-topology-continuity) y *abiertas* (las imágenes de [abiertos](#def-b3-topology-topology) son abiertas), pero no cerradas en general ($\{xy = 1\}$ en $\R^2$). (b) Demostrar que una sucesión de un producto numerable $\prod_n X_n$ de espacios métricos converge si y solo si converge cada coordenada, y que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ metriza la [topología producto](#def-b3-topology-constructions). (c) Sobre $\R^\N$, demostrar que la «[topología](#def-b3-topology-topology) de cajas» (todo producto de [abiertos](#def-b3-topology-topology) es [abierto](#def-b3-topology-topology)) es estrictamente más fina: la sucesión $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge a $0$ en la [topología producto](#def-b3-topology-constructions) pero no en la [topología](#def-b3-topology-topology) de cajas.

**Solución de Ejercicio 6.4.**

(a) La [continuidad](#def-b3-topology-continuity) es por construcción (la [Definición 6.9](#def-b3-topology-constructions)). Que sea abierta: un [abierto](#def-b3-topology-topology) $W
\subseteq X \times Y$ es unión de cajas $U_i\times V_i$, y $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (las cajas no vacías se proyectan sobre sus factores), que es [abierto](#def-b3-topology-topology). No cerrada: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ es cerrado en $\R^2$ (preimagen de $\{1\}$ por el producto, que es [continuo](#def-b3-topology-continuity)), pero $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ no es cerrado.

(b) ($\Rightarrow$) Las proyecciones son [continuas](#def-b3-topology-continuity). ($\Leftarrow$) Sea $x^{(k)} \to x$ componente a componente y sea $W = \prod U_n$ un [entorno](#def-b3-topology-topology) de la [base](#def-b3-topology-basis) de $x$, con $U_n = X_n$ salvo para $n \in F$ finito. Para cada $n \in F$, $x_n^{(k)} \in U_n$ si $k \geq
K_n$; para $k \geq \max_F K_n$, $x^{(k)} \in W$. La fórmula $d$ define una métrica (cada sumando lo es, salvo la verificación estándar de que $\min(1, d_n)$ lo es); sus bolas: $B_d(x,
2^{-N})$ contiene la caja $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\
n \leq N'\}$ de la [base](#def-b3-topology-basis) para $N'$ adecuados (la cola $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ es pequeña) y, recíprocamente, toda caja de la [base](#def-b3-topology-basis) contiene una $d$-bola: las dos [topologías](#def-b3-topology-topology) tienen los mismos [entornos](#def-b3-topology-topology) de cada punto.

(c) En la [topología producto](#def-b3-topology-constructions), $x^{(k)} \to 0$ por (b). El [abierto](#def-b3-topology-topology) de cajas $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ contiene $0$, pero $x^{(k)} \notin U$ para todo $k$ (la coordenada $n$-ésima vale $1/k
\geq 1/n$ cuando $n \geq k$): ninguna cola entra en $U$. La [topología](#def-b3-topology-topology) de cajas es estrictamente más fina y no es una [topología](#def-b3-topology-topology) de tipo producto a efectos de convergencia.

**Ejercicio 6.5 ★★.**

El círculo, de tres maneras. Demostrar que los siguientes espacios son [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity) dos a dos, con aplicaciones explícitas: (i) $S^1 \subseteq \R^2$; (ii) $\R/\Z$ ([topología cociente](#def-b3-topology-constructions)); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$. *(Para (ii): demuéstrese que $\R/\Z$ es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) — levántense dos clases a representantes a distancia $\leq \frac12$ — y que $\pi([0,1])$ es todo el espacio, de modo que el cociente es [compacto](#def-b3-topology-compact); después úsese [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo).)*

**Solución de Ejercicio 6.5.**

$\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, es [continua](#def-b3-topology-continuity), sobreyectiva y constante en las clases módulo $\Z$: induce una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $\bar\varphi \colon \R/\Z \to
S^1$ (la [Proposición 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)). La proyección $\pi$ es *abierta*: para $U \subseteq \R$ [abierto](#def-b3-topology-topology), $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology), luego $\pi(U)$ es [abierto](#def-b3-topology-topology). [De Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): sea $\bar x \neq \bar y$; elíjanse representantes con $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$; las imágenes de los intervalos de radio $\delta/3$ alrededor de $x$ y $y$ son abiertas (por ser $\pi$ abierta), contienen $\bar x, \bar y$ y son disjuntas (dos puntos de las preimágenes distarían $< 2\delta/3$ módulo $\Z$). [Compacto](#def-b3-topology-compact): $\R/\Z = \pi([0,1])$, imagen [continua](#def-b3-topology-continuity) de un [espacio compacto](#def-b3-topology-compact) (el [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Así pues, $\bar\varphi$ es una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) de un [espacio compacto](#def-b3-topology-compact) en el [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) $S^1$: un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

Para (iii): la compuesta $[0,1] \hookrightarrow \R
\xrightarrow{\pi} \R/\Z$ es [continua](#def-b3-topology-continuity), sobreyectiva e identifica exactamente $0 \sim 1$: induce una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ desde un [espacio compacto](#def-b3-topology-compact) (imagen [continua](#def-b3-topology-continuity) de $[0,1]$ por la proyección al cociente) a uno [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Componiendo: los tres espacios son [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity).

**Ejercicio 6.6 ★★.**

Sea $X$ un espacio métrico. (a) Demostrar que una unión finita de [compactos](#def-b3-topology-compact) es compacta y que una intersección arbitraria también lo es. (b) Si $K$ es [compacto](#def-b3-topology-compact), $F$ es cerrado y $K \cap F = \varnothing$, demostrar que $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$; dar un contraejemplo con dos cerrados disjuntos. (c) Demostrar que $X$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) si y solo si *toda* $f
\colon X \to \R$ [continua](#def-b3-topology-continuity) está acotada. *(Si alguna sucesión no tiene subsucesión convergente, constrúyase una función [continua](#def-b3-topology-continuity) no acotada con soporte cerca de sus términos; o úsense funciones de tipo $x \mapsto
d(x, \cdot)$ — una vía limpia: si $(x_n)$ no tiene punto de acumulación, el conjunto $\{x_n\}$ es cerrado y discreto, y $f(x_n) = n$ se extiende [continuamente](#def-b3-topology-continuity) sin necesidad de Tietze: $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ para $r_n$ suficientemente pequeño.)*

**Solución de Ejercicio 6.6.**

(a) Un recubrimiento de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restringe a un recubrimiento de cada $K_j$: bastan un número finito de [abiertos](#def-b3-topology-topology) por pieza. Una intersección $\bigcap K_i$ es cerrada en el [compacto](#def-b3-topology-compact) $K_{i_0}$ (los [compactos](#def-b3-topology-compact) son cerrados en el espacio métrico ambiente), luego compacta.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) ($1$-lipschitziana) y estrictamente positiva en $K$ ($d(x, F) = 0$ significaría $x \in \bar F =
F$); sobre el [compacto](#def-b3-topology-compact) $K$ alcanza un mínimo $m > 0$: $d(K, F)
\geq m$. Contraejemplo sin [compacidad](#def-b3-topology-compact): $F_1 = \{n : n \geq
2\}$ y $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ son cerrados, disjuntos y están a distancia $\inf_n \frac1n = 0$.

(c) Si $X$ es [compacto](#def-b3-topology-compact), toda $f$ [continua](#def-b3-topology-continuity) está acotada (el [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Recíprocamente, si $X$ no es [compacto](#def-b3-topology-compact), tómese $(x_n)$ sin subsucesión convergente (el [Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)); pasando a una subsucesión podemos suponer los $x_n$ distintos dos a dos, y ningún punto de $X$ es punto de acumulación de la sucesión, de modo que

$$
r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq
n\}\bigr)\Bigr) > 0,
$$

y las bolas $B(x_n, r_n)$ son disjuntas dos a dos (un punto común de la $n$-ésima y la $m$-ésima daría $d(x_n, x_m) < r_n +
r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$). Defínase

$$
f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x,
x_n)}{r_n}\Bigr):
$$

en cada $x$ hay a lo sumo un sumando no nulo, y $f(x_n) = n$. [Continuidad](#def-b3-topology-continuity) en $x$: sea $y_k \to x$; cada valor $f(y_k)$ es $0$ o el valor $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$ de una sola joroba. Si algún índice $n$ aparece infinitas veces, a lo largo de esa subsucesión $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to
\mathrm{bump}_n(x)$, que es igual a $f(x)$ (si $x \in B(x_n,
r_n)$, toda la cola está en esa bola abierta y no aparece ningún otro índice; si $x \notin B(x_n, r_n)$, entonces $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, pues $x$, adherente a la $n$-ésima bola, no está en ninguna otra bola abierta). Si $n_k \to \infty$: $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, luego $x_{n_k}
\to x$, lo que haría de $x$ un punto de acumulación de $(x_n)$ — excluido; así que este caso solo afecta a un número finito de $k$. En todos los casos $f(y_k) \to f(x)$: $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) y no acotada.

**Ejercicio 6.7 ★★.**

(Número de Lebesgue) Sea $(U_i)$ un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) de un espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) $X$. Demostrar que existe $\delta > 0$ tal que todo subconjunto de diámetro $< \delta$ está contenido en un único $U_i$. *(En caso contrario, tómense $A_n$ de diámetro $< 1/n$ contenidos en ningún $U_i$, y un punto de acumulación de ciertos $x_n \in A_n$.)* Deducir de nuevo el teorema de Heine (el [Corolario 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)(b)).

**Solución de Ejercicio 6.7.**

Supongamos que ningún $\delta$ sirve: para cada $n$ hay un $A_n$ de diámetro $< 1/n$ contenido en ningún $U_i$; tómese $x_n \in
A_n$. Por [compacidad](#def-b3-topology-compact) (el [Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)), una subsucesión $x_{n_k} \to x$; tómense $i$ y $r > 0$ con $B(x,
r) \subseteq U_i$. Para $k$ grande: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ y $1/n_k < r/2$, luego $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k)
\subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradicción. Heine: dado $\varepsilon$, recúbrase $Y$ por bolas $B(y, \varepsilon/2)$; las preimágenes forman un recubrimiento [abierto](#def-b3-topology-topology) de $X$; sea $\delta$ un número de Lebesgue: si $d(x, x') < \delta$, el par $\{x, x'\}$ tiene diámetro $< \delta$, está en una sola preimagen y $d(f(x),
f(x')) < \varepsilon$.

**Ejercicio 6.8 ★★.**

(a) Demostrar que $GL_n(\R)$ es un subconjunto [abierto](#def-b3-topology-topology) y [denso](#def-b3-topology-interior) de $M_n(\R)$, y que es disconexo: el signo del determinante lo separa en (al menos) dos piezas. Demostrar, en cambio, que $GL_n(\C)$ es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected). *(Para $A, B \in GL_n(\C)$: $\lambda \mapsto \det\bigl((1 -
\lambda)A + \lambda B\bigr)$ es un polinomio no idénticamente nulo, de modo que tiene un número finito de raíces en $\C$: tómese un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) de matrices $\lambda$ en $\C$ de $0$ a $1$ que las evite.)* (b) Demostrar la densidad: $A + \varepsilon I$ es invertible para todo $\varepsilon > 0$.

**Solución de Ejercicio 6.8.**

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ es [abierto](#def-b3-topology-topology) ($\det$ es polinómico, luego [continuo](#def-b3-topology-continuity)). Disconexo: $\det$ lo aplica sobre $\R\setminus\{0\}$, y un [espacio conexo](#def-b3-topology-connected) tiene imágenes [continuas](#def-b3-topology-continuity) [conexas](#def-b3-topology-connected) (el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)); y $\R\setminus\{0\}$ no es un intervalo. $GL_n(\C)$: para $A, B$ invertible, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda
B\bigr)$ es un polinomio en $\lambda$ con $p(0), p(1) \neq 0$, luego no idénticamente nulo: tiene un número finito de raíces en $\C$. El plano menos un número finito de puntos es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected) (esquívense los puntos rodeándolos), de modo que hay un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) $\lambda(t)$ de $0$ a $1$ con $p(\lambda(t)) \neq 0$: $t \mapsto
(1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ es un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) en $GL_n(\C)$.

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ se anula para a lo sumo $n$ valores de $\varepsilon$: hay matrices invertibles $A + \varepsilon I \to A$ con $\varepsilon \to 0$: densidad.

**Ejercicio 6.9 ★★.**

(a) Demostrar que las [componentes conexas](#def-b3-topology-components) de $\Q$ se reducen a puntos y que $\Q$ no es [localmente compacto](#def-b3-topology-locallycompact) (un [entorno](#def-b3-topology-topology) [compacto](#def-b3-topology-compact) de $0$ en $\Q$ contendría $[-r, r]\cap\Q$, cuya [clausura](#def-b3-topology-interior) en $\Q$ no es compacta: córtese en un irracional). (b) Completar el [Ejemplo 6.22](#ex-b3-topology-sinecurve): ningún [camino](#def-b3-topology-pathconnected) une $(0,0)$ con $\Gamma$. *(Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ es un tal [camino](#def-b3-topology-pathconnected), sea $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$; para $t
> t^*$ el punto se mueve sobre la gráfica; elíjanse $t_k \downarrow
t^*$ con $\gamma_1(t_k) \to 0$ alcanzando abscisas donde $\sin$ vale alternativamente $\pm1$ — el teorema del valor intermedio las proporciona —, en contra de la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) de $\gamma_2$ en $t^*$.)*

**Solución de Ejercicio 6.9.**

(a) Sea $A \subseteq \Q$ que contiene $p < q$ y tómese un irracional $\alpha \in (p, q)$: $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup
(A\cap(\alpha, +\infty))$ separa $A$ en dos piezas relativamente abiertas no vacías: $A$ es disconexo. Las componentes se reducen a puntos. La [compacidad](#def-b3-topology-compact) local falla: un [entorno](#def-b3-topology-topology) [compacto](#def-b3-topology-compact) $V$ de $0$ en $\Q$ contendría $[-r, r]\cap\Q$ para cierto $r > 0$, que es cerrado en $V$ y, por tanto, [compacto](#def-b3-topology-compact); pero una sucesión de racionales de $[-r,r]$ que converja (en $\R$) a un irracional no tiene ninguna subsucesión convergente *en $\Q$*: contradicción con [Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact).

(b) Sea $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) con $\gamma(0) = (0,0)$ y $\gamma(1) \in \Gamma$. El conjunto $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ es cerrado y no contiene $1$; sea $t^*$ su supremo, de modo que $\gamma_1(t^*) = 0$ y $\gamma_1 > 0$ sobre $(t^*, 1]$. Por la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) de $\gamma_2$ en $t^*$, elíjase $\delta$ con $\abs{\gamma_2(t) -
\gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ para $t \in [t^*, t^* + \delta]$. Fijemos $t_0 = t^* + \delta$ (podemos suponer $\leq 1$): $\gamma_1(t_0) > 0$, y $\gamma_1$ toma todos los valores de $(0, \gamma_1(t_0)]$ sobre $[t^*, t_0]$ (teorema del valor intermedio, el [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)). Elíjase $k$ grande con $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ y $b_k =
\frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$: existen $s, s' \in
(t^*, t_0]$ con $\gamma_1(s) = a_k$, $\gamma_1(s') = b_k$; como los puntos están sobre la gráfica, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) =
1$ y $\gamma_2(s') = -1$. Ambos no pueden distar menos de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$: contradicción. $S$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) pero no [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected).

**Ejercicio 6.10 ★★★.**

El conjunto de Cantor de los tercios centrales $C = \bigcap_n C_n$, donde $C_0 =
[0,1]$ y $C_{n+1}$ suprime el tercio central [abierto](#def-b3-topology-topology) de cada intervalo de $C_n$. (a) Demostrar que $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in
\{0,2\}\bigr\}$, que $C$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) con [interior](#def-b3-topology-interior) vacío y que no tiene puntos aislados (es *[perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect)*). (b) Demostrar que $C$ es totalmente disconexo. (c) Demostrar que $x \mapsto (a_n(x))_n$ es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C \to
\{0,2\}^\N$ (con la [topología producto](#def-b3-topology-constructions) sobre el espacio discreto de dos puntos); deducir que $C$ es no numerable y que $C \times C
\cong C$.

**Solución de Ejercicio 6.10.**

(a) $C_n$ consta exactamente de los $x$ que admiten un desarrollo ternario con dígitos en $\{0, 2\}$ hasta el rango $n$ (inducción: suprimir los tercios centrales elimina el primer dígito $1$, etc.; los extremos tienen dos desarrollos, uno de ellos sin $1$), de modo que $C = \bigcap C_n$ es el conjunto de las sumas $\sum a_n3^{-n}$ con $a_n \in \{0,2\}$. [Compacto](#def-b3-topology-compact): cada $C_n$ es unión finita de intervalos cerrados, y $C$ es cerrado en $[0,1]$. [Interior](#def-b3-topology-interior) vacío: $C \subseteq C_n$, unión de intervalos de longitud $3^{-n}$; un intervalo [interior](#def-b3-topology-interior) de longitud $\ell > 0$ tendría que caber en uno de ellos para todo $n$. [Perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): dados $x \in C$ y $m$, cámbiese el dígito $a_m$: el nuevo punto está en $C$, es distinto y dista menos de $2\cdot3^{-m}$ de $x$.

(b) Si $x \neq y \in C$, sus desarrollos difieren por primera vez en cierto rango $k$; entre ellos hay un tercio central suprimido (el hueco de rango $k$ que separa el dígito $0$ del dígito $2$), lo que proporciona un punto $c \notin C$, $x < c < y$ (digamos): $C =
(C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ desconecta cualquier subconjunto que contenga ambos puntos. Las componentes se reducen a puntos.

(c) La aplicación de dígitos $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ es una biyección sobre $\{0,2\}^\N$ (existencia y unicidad de los desarrollos en [base](#def-b3-topology-basis) $\{0,2\}$: sucesiones de dígitos distintas dan puntos a distancia $\geq 3^{-k} > 0$ del rango en que difieren por primera vez, como en el [Problema 6.1](#pb-b3-topology-1), pregunta 1). Es [continua](#def-b3-topology-continuity): $\abs{x - y} < 3^{-m}$ obliga a que coincidan los $m$ primeros dígitos (mismo cálculo), de modo que $\beta$ lleva bolas pequeñas dentro de cajas de la [base](#def-b3-topology-basis). Una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) del [compacto](#def-b3-topology-compact) $C$ al producto [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) (el [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo); el producto es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): sepárese en una coordenada en la que difieran). No numerabilidad: diagonal de Cantor sobre $\{0,2\}^\N$. Por último, $\{0,2\}^\N \times
\{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ entrelazando dígitos (un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity): [continuidad](#def-b3-topology-continuity) componente a componente en ambos sentidos), luego $C
\times C \cong C$.

**Ejercicio 6.11 ★★★.**

Proyección estereográfica: desde el polo norte $N = (0, \dots,
0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$, la aplicación $\sigma(x) =
\frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $S^n
\setminus \{N\} \to \R^n$ (dese la inversa explícitamente). Deducir que $S^n$ es [homeomorfa](#def-b3-topology-continuity) a la [compactificación por un punto](#def-b3-topology-locallycompact) $\widehat{\R^n}$ y que, suprimiendo *cualquier* punto de $S^n$, queda un espacio [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $\R^n$.

**Solución de Ejercicio 6.11.**

Para $y \in \R^n$, póngase

$$
\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 -
1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.
$$

Se comprueba que $\norm{\tau(y)} = 1$, $\tau(y) \neq N$, y $\sigma(\tau(y)) = y$, $\tau(\sigma(x)) = x$: $\sigma$ y $\tau$ son mutuamente inversas y ambas [continuas](#def-b3-topology-continuity) (fórmulas racionales con denominadores que no se anulan): $S^n\setminus\{N\} \cong
\R^n$. Extiéndase a $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ mediante $N \mapsto \infty$: es una biyección, [continua](#def-b3-topology-continuity) en todo punto de $S^n\setminus\{N\}$ y en $N$: un [entorno](#def-b3-topology-topology) de la [base](#def-b3-topology-basis) de $\infty$ es $\widehat{\R^n}\setminus K$ con $K$ [compacto](#def-b3-topology-compact), $K
\subseteq \bar B(0, R)$; como $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 +
x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ cuando $x_{n+1} \to 1$, el conjunto $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ se aplica fuera de $\bar B(0,R)$ para $\eta$ pequeño: [continuidad](#def-b3-topology-continuity). Una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) del [compacto](#def-b3-topology-compact) $S^n$ al [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) $\widehat{\R^n}$ es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Al suprimir otro punto $p$: una rotación de $S^n$ lleva $p$ a $N$ (las rotaciones son [homeomorfismos](#def-b3-topology-continuity)), lo que reduce al caso ya calculado: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$.

**Ejercicio 6.12 ★★★.**

(La [curva seno del topólogo](#ex-b3-topology-sinecurve)) Sea

$$
T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\}
\cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .
$$

(a) Demostrar que $T$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) y que es la [clausura](#def-b3-topology-interior) de la parte que es gráfica. (b) Demostrar que $T$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) *(la gráfica es [conexa](#def-b3-topology-connected) por ser imagen [continua](#def-b3-topology-continuity); su [clausura](#def-b3-topology-interior) sigue siendo [conexa](#def-b3-topology-connected))*. (c) Demostrar que $T$ *no* es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected): ningún [camino](#def-b3-topology-pathconnected) [continuo](#def-b3-topology-continuity) une $(0,0)$ con $(1, \sin1)$. *(Si $\gamma =
(\gamma_1, \gamma_2)$ es un tal [camino](#def-b3-topology-pathconnected), sea $t^* = \sup\{t :
\gamma_1(t) = 0\}$; justo después de $t^*$, $\gamma_1$ toma todos los valores positivos pequeños (teorema del valor intermedio), de modo que $\gamma_2$ oscila entre $\pm1$ en todo intervalo $(t^*, t^* + \delta)$ — en contra de la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) en $t^*$.)* (d) Concluir que la [conexión](#def-b3-topology-connected) por [caminos](#def-b3-topology-pathconnected) es estrictamente más fuerte que la [conexión](#def-b3-topology-connected), y demostrar que ningún ejemplo de este tipo puede ser [abierto](#def-b3-topology-topology) en $\R^n$: un subconjunto *[abierto](#def-b3-topology-topology)* y [conexo](#def-b3-topology-connected) de $\R^n$ es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected) *(el conjunto de los puntos unibles al punto [base](#def-b3-topology-basis) por un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) es [abierto](#def-b3-topology-topology) y cerrado en el dominio)*.

**Solución de Ejercicio 6.12.**

(a) $T$ está acotado y es cerrado: un límite de puntos de $T$ con abscisas $\to x_0 > 0$ permanece sobre la gráfica (localmente cerrada) por la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) de $\sin\frac1x$ en $\intoc01$; un límite con abscisas $\to 0$ tiene ordenada en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, está en el segmento. [Compacto](#def-b3-topology-compact) por Heine–Borel (el [Corolario 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)). [Clausura](#def-b3-topology-interior) de la gráfica $\Gamma$: todo punto $(0, y)$ con $y \in \intcc{-1}1$ es límite de puntos de la gráfica — resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ (la función barre $\intcc{-1}1$ en cada intervalo $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$): $\bar\Gamma = T$.

(b) $\Gamma$ es la imagen [continua](#def-b3-topology-continuity) del [conexo](#def-b3-topology-connected) $\intoc01$ por $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$: es [conexa](#def-b3-topology-connected); y la [clausura](#def-b3-topology-interior) de un [conexo](#def-b3-topology-connected) es [conexa](#def-b3-topology-connected) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)): $T = \bar\Gamma$ es [conexo](#def-b3-topology-connected).

(c) Supongamos que $\gamma\colon\intcc01\to T$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) con $\gamma(0) = (0,0)$, $\gamma(1) = (1, \sin1)$, y sea $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$: por [continuidad](#def-b3-topology-continuity), $\gamma_1(t^*)
= 0$ y $\gamma_1 > 0$ sobre $\intoc{t^*}1$. Para todo $\delta > 0$, sobre el intervalo $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ la función $\gamma_1$ toma todos los valores de cierto $\intoc0\eta$ (teorema del valor intermedio, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$); en particular, contiene abscisas de la forma $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ y $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ con $k$ arbitrariamente grande, en las que $\gamma_2 = \pm1$. Así, en todo [entorno](#def-b3-topology-topology) por la derecha de $t^*$, $\gamma_2$ toma ambos valores $1$ y $-1$: $\gamma_2$ no tiene límite en $t^{*+}$, en contra de la [continuidad](#def-b3-topology-continuity). No existe tal [camino](#def-b3-topology-pathconnected).

(d) $T$ es [conexo](#def-b3-topology-connected) pero no [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected): las dos nociones difieren. Para $U \subseteq \R^n$ [abierto](#def-b3-topology-topology) y [conexo](#def-b3-topology-connected) y $a \in U$, sea $V$ el conjunto de los puntos de $U$ unibles a $a$ por un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) en $U$. $V$ es [abierto](#def-b3-topology-topology): alrededor de $x \in V$ hay una bola $B(x, r)
\subseteq U$ estrellada, y concatenando el [camino](#def-b3-topology-pathconnected) hasta $x$ con un segmento se alcanza todo punto de la bola. $V$ es cerrado en $U$: si $x \in U \setminus V$, el mismo argumento de la bola muestra que $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (un punto de $V$ en la bola uniría $a$ con $x$). No vacío ($a \in
V$), [abierto](#def-b3-topology-topology) y cerrado en el [conexo](#def-b3-topology-connected) $U$: $V = U$. La curva seno escapa a esto por ser cerrada de [interior](#def-b3-topology-interior) vacío: su punto «malo» $(0,0)$ no tiene ninguna bola dentro de $T$ con la que salvar las oscilaciones.

## 6.6 Problema: el conjunto de Cantor y una curva que llena el cuadrado

**Problema 6.1.**

Problema de fin de semana — las curvas de Peano existen, y por qué no son homeomorfismos

En 1890 Peano dejó atónito al análisis con una *sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$: una curva que llena un cuadrado. Construiremos una a mano a partir del conjunto de Cantor $C$ del [Ejercicio 6.10](#exo-b3-topology-10) (cuyos resultados pueden usarse libremente) y demostraremos después que ninguna aplicación así puede ser inyectiva: los cuadrados no son curvas. En todo el problema, los elementos de $C$ se escriben $x =
\sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ con dígitos $b_n(x) \in
\{0, 1\}$.

**Parte I — Leer los dígitos de manera [continua](#def-b3-topology-continuity).**

1. Demostrar que si $x, y \in C$ cumplen $\abs{x - y} <  3^{-m}$ , entonces $b_n(x) = b_n(y)$ para todo $n \leq m$ . *(Si el primer dígito en que difieren es el $b_k$, entonces $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j}  = \frac1{3^k}$.)*
2. Deducir que cada función dígito $b_n \colon C \to \{0,  1\}$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) y volver a obtener el [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C  \cong \{0,1\}^\N$ del [Ejercicio 6.10](#exo-b3-topology-10) (c).

**Parte II — Una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $C \to
[0,1]^2$.**

3. Defínase $g \colon C \to [0,1]$ mediante $g(x) = \sum_{n\geq1}  b_n(x)\,2^{-n}$ (léanse los dígitos de Cantor como binarios). Demostrar que $g$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) (úsese la pregunta 1) y sobreyectiva. ¿Es inyectiva?
4. Defínase $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ mediante $$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\  \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$$ (los dígitos impares dan la abscisa y los pares la ordenada). Demostrar que $\Phi$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) y sobreyectiva.

**Parte III — Rellenar los huecos: la curva de Peano.**

5. El complementario $[0,1] \setminus C$ es una unión numerable de intervalos [abiertos](#def-b3-topology-topology) disjuntos $(u, v)$ (los tercios centrales suprimidos) cuyos extremos están en $C$. Defínase $f \colon  [0,1] \to [0,1]^2$ como $f = \Phi$ sobre $C$, extendida *afínmente* en cada hueco: $$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) +  \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v),  \qquad t \in (u, v).$$ Demostrar que $f$ está bien definida y es sobreyectiva sobre $[0,1]^2$.
6. Demostrar que $f$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) en todo punto de $[0,1]  \setminus C$ (es localmente afín) y en todo punto de $C$ : dado $\varepsilon$ , tómese $m$ con $2^{-m} <  \varepsilon/2$ y úsese la pregunta 1 para controlar $\Phi$ sobre $C$ cerca de $x$ ; compruébese después que la interpolación afín no puede escaparse: sobre un hueco $(u,v) \subseteq  (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , los valores $f(t)$ están en el segmento $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , cuyos dos extremos están próximos a $\Phi(x)$ . Concluir: $f$ es una *sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$ .
7. Deducir la existencia de sobreyecciones [continuas](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^n$ para todo $n \geq 2$ , y $\R \to \R^2$ .

**Parte IV — Pero nunca inyectiva.**

8. Demostrar que una *inyección* [continua](#def-b3-topology-continuity) $f \colon [0,1]  \to [0,1]^2$ sería un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre su imagen ( [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ).
9. Demostrar que $[0,1]$ y $[0,1]^2$ no son [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity) : suprímase un punto bien elegido y compárese la [conexión](#def-b3-topology-connected) ( [Método 6.25](#met-b3-topology-connectargument) ).
10. Concluir: una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ nunca puede ser inyectiva — si lo fuera, la pregunta 8 haría $[0,1]^2 = f([0,1])$ [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $[0,1]$ , en contra de la pregunta 9. ¿Dónde intervino exactamente la [compacidad](#def-b3-topology-compact) de $[0,1]$ en el argumento?
11. (Culminación) Reúnase la moraleja: existe una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) , pero ninguna biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to  [0,1]^2$ . ¿Qué dice esto sobre la «dimensión» como noción [topológica](#def-b3-topology-topology) ? Formúlese con precisión un teorema demostrado en este problema y un enunciado plausible que queda fuera de nuestras herramientas (la invariancia del dominio).

**Parte V — La aritmética del conjunto de Cantor.**

12. Demostrar que $C + C = [0, 2]$ : dado $t \in [0, 1]$ , escríbase $t = \sum_n d_n3^{-n}$ con dígitos $d_n \in \{0,  1, 2\}$ y sepárese cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; concluir que $\frac C2 +  \frac C2 = [0, 1]$ *(¿qué subconjunto de $[0,1]$ es $\frac C2$, en términos de dígitos ternarios?)* y reescálese después. Nunca hacen falta acarreos — explíquese por qué ese es el meollo.
13. Interprétese geométricamente: el «polvo de Cantor» $C \times  C \subseteq \R^2$ , de [interior](#def-b3-topology-interior) vacío, proyecta una sombra *completa* sobre la diagonal: la proyección $(x,  y) \mapsto x + y$ lo aplica sobre $[0, 2]$ . Regístrese también la autosemejanza $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +  \frac23\bigr)$ , la ecuación que hay detrás de toda imagen de $C$ .
14. Demostrar que el entrelazado de dígitos define un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C  \to C \times C$ y deducir $C \cong C^n$ para todo $n$ — el conjunto de Cantor es su propio cuadrado, su propio cubo, … ¿Qué espacios familiares comparten esta propiedad?
15. Demostrar que $\frac14 \in C$ *(calcúlese su desarrollo ternario: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$)* aunque $\frac14$ no sea extremo de ningún intervalo suprimido; deducir — contando extremos — que los extremos forman un subconjunto numerable y propio de $C$ .
16. Demostrar que la aplicación de lectura binaria $g$ de la pregunta 3 es a lo sumo $2$ a $1$ , y describir exactamente qué puntos de $[0,1]$ tienen dos preimágenes. ( $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ pegando una infinidad numerable de parejas: la sombra combinatoria de la escalera de Cantor, que reaparecerá en el [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#ch-b3-measure) .)

**Parte VI — Conjuntos [compactos](#def-b3-topology-compact) [perfectos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): Cantor en todas partes.** Un espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) no vacío $P$ es *[perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect)* si no tiene puntos aislados.

17. Sea $P$ [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) y sean $x \in P$ , $r > 0$ . Demostrar que la bola $B(x, r)$ contiene dos puntos $y_0  \neq y_1$ de $P$ y, por tanto, dos bolas cerradas *disjuntas* $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dentro de $B(x, r)$ , centradas en puntos de $P$ y de radio $\rho  \leq r/4$ tan pequeño como se quiera. Explíquese por qué la perfección (la ausencia de puntos aislados) es exactamente lo que permite repetir esta división dentro de *cada* una de las dos bolas nuevas.
18. Itérese: constrúyanse cerrados $F_w \neq \varnothing$ indexados por palabras binarias finitas $w$ , con $F_{w0},  F_{w1} \subseteq F_w$ disjuntos y $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w}  \operatorname{diam}P$ . Demostrar que, para toda palabra infinita $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ , la intersección $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ es un único punto $h(\varepsilon)$ *(propiedad de intersección finita de los [compactos](#def-b3-topology-compact) $P$)* .
19. Demostrar que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ es inyectiva y [continua](#def-b3-topology-continuity) , y concluir: *todo espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) es no numerable* — de hecho, de cardinal al menos el de $\{0,1\}^\N$ . Recupérese: $[0,1]$ y $C$ son no numerables.
20. Demostrar que $h$ es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre su imagen *(inyección [continua](#def-b3-topology-continuity) desde un [compacto](#def-b3-topology-compact), el [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))* : todo espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contiene una copia [homeomorfa](#def-b3-topology-continuity) del conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor no es una rareza, sino el germen universal de la perfección compacta.
21. Deducir que todo espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) numerable tiene un punto aislado, y exhibir uno en el que los puntos aislados sean [densos](#def-b3-topology-interior) sin serlo todo: $K = \{0\} \cup  \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
22. (Cantor–Bendixson en $\R$ ) Sea $F \subseteq \R$ cerrado. Diremos que $x$ es un *punto de condensación* de $F$ si todo [entorno](#def-b3-topology-topology) de $x$ corta a $F$ en un conjunto no numerable. Demostrar que los puntos de condensación de un cerrado no numerable $F$ forman un cerrado [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) no vacío $P$ y que $F  \setminus P$ es numerable *(recúbranse los puntos que no son de condensación mediante una cantidad numerable de intervalos racionales que cortan a $F$ en conjuntos numerables)* . Concluir: todo subconjunto cerrado de $\R$ es numerable o tiene el cardinal del [continuo](#def-b3-topology-continuity) — la hipótesis del [continuo](#def-b3-topology-continuity) se cumple para los cerrados.

**Parte VII — Codas: cuán regular, y cuán lejos de ser [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect).**

23. (Regularidad Hölder de la curva) Póngase $\alpha =  \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ y obsérvese la identidad $3^\alpha = \sqrt2$. Usando la pregunta 1, demostrar que $$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x -  y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$$ propáguese después la estimación por los huecos afines: demuéstrese que la curva de Peano $f$ de la pregunta 6 cumple $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ en todo $[0,1]$ *(trátese un par situado en un mismo hueco por interpolación, y un par general pasando por los puntos extremos de $C \cap [t, s]$)*.
24. (El exponente $\frac12$ es un muro) Demostrar que ninguna sobreyección $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ puede ser Hölder de exponente $\alpha$ con $\alpha > \frac12$ : córtese $[0,1]$ en $N$ intervalos, acótense los diámetros de sus imágenes y cuéntense los puntos de la retícula $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , que puede contener un conjunto de diámetro $< \frac1M$ ; tómese $M$ del orden de $N^\alpha$ y hágase $N \to \infty$ . Sitúese nuestra curva ( $\alpha \approx 0.3155$ ) respecto del muro y regístrese sin demostración que la curva de Hilbert alcanza el exponente crítico $\frac12$ .
25. (Conjuntos derivados: medir la imperfección) Para $F$ cerrado en $\R$, sea $F'$ el conjunto de sus puntos de acumulación $F$ (un cerrado), e itérese: $F^{(0)} = F$, $F^{(i+1)}  = (F^{(i)})'$. Comprobar que $$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup  \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$$ es un [compacto](#def-b3-topology-compact) numerable con $K' = \{0\} \cup  \{\frac1m\}$, $K'' = \{0\}$, $K''' = \varnothing$ *(compruébese que el $m$-ésimo racimo vive en el intervalo $(\frac1m, \frac1{m-1})$, de modo que los racimos no se entrelazan)* y que sus puntos aislados son [densos](#def-b3-topology-interior) en $K$, como predice la pregunta 21. Descríbase la inducción que produce, para todo $j$, un [compacto](#def-b3-topology-compact) numerable $K_j$ con $K_j^{(j)} = \{0\}$ y $K_j^{(j+1)} =  \varnothing$, y contrástese con los conjuntos [perfectos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) de la pregunta 22, para los cuales la derivación nunca se mueve: el rango finito es exactamente lo contrario de la perfección.

**Solución de Problema 6.1.**

**1.** Supongamos que los desarrollos de $x, y \in C$ difieren por primera vez en el rango $k \leq m$, digamos $b_k(x) = 1$, $b_k(y) = 0$. Entonces

$$
x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j}
= \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:
$$

contrarrecíproco: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ obliga a que coincidan hasta el rango $m$.

**2.** Por la pregunta 1, $b_n$ es constante sobre $C \cap (x -
3^{-n}, x + 3^{-n})$: es localmente constante y, por tanto, [continua](#def-b3-topology-continuity). La aplicación $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) (componente a componente, la [Proposición 6.10](#prop-b3-topology-universal)(a)) y biyectiva (unicidad de los desarrollos de dígitos $\{0,2\}$); desde el [compacto](#def-b3-topology-compact) $C$ a un [espacio de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**3.** [Continuidad](#def-b3-topology-continuity): si $\abs{x - y} < 3^{-m}$, los $m$ primeros dígitos coinciden, luego $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n}
= 2^{-m}$. Sobreyectividad: todo $t \in [0,1]$ tiene un desarrollo binario $t = \sum b_n2^{-n}$, y $t = g\bigl(\sum
2b_n3^{-n}\bigr)$. No inyectiva: $g$ identifica los dos puntos de Cantor de dígitos $(0,1,1,1,\dots)$ y $(1,0,0,\dots)$ — ambos van a $\frac12$ (la ambigüedad diádica $0.0111\ldots_2 =
0.1000\ldots_2$).

**4.** Cada componente de $\Phi$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) por la misma estimación (sus dígitos son una subsucesión de los $b_n$). Sobreyectividad: dado $(s, t) \in [0,1]^2$, elíjanse dígitos binarios $(c_n)$ de $s$ y $(d_n)$ de $t$, y entrelácense: el punto $x
\in C$ con $b_{2n-1}(x) = c_n$, $b_{2n}(x) = d_n$ cumple $\Phi(x) = (s,t)$.

**5.** Los huecos son disjuntos dos a dos y tienen los extremos en $C$, de modo que la fórmula define $f$ sin ambigüedad sobre $[0,1]$; en los extremos de un hueco, la fórmula afín devuelve $\Phi(u)$, $\Phi(v)$: coherente con $f = \Phi$ sobre $C$. Sobreyectividad: ya lo era $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$.

**6.** En $t_0 \notin C$: $t_0$ está en un hueco [abierto](#def-b3-topology-topology) sobre el que $f$ es afín: [continua](#def-b3-topology-continuity). En $x \in C$: registremos primero dos estimaciones.

*(i) Sobre $C$*: si $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$, $y \in C$, entonces los dígitos coinciden hasta $M$, de modo que cada componente de $\Phi(y)
- \Phi(x)$ es a lo sumo $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} =
2^{-\lfloor M/2\rfloor}$.

*(ii) A través de un hueco*: un hueco $(u,v)$ suprimido en la etapa $k$ tiene longitud $3^{-k}$, y los dígitos de sus extremos coinciden hasta el rango $k - 1$ (difieren a partir del rango $k$), de modo que $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq
2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$.

Sean ahora $\abs{t - x} < 3^{-M}$ con $t$ en un hueco $(u, v)$ de etapa $k$, y sea $u$ el extremo del lado de $x$, de forma que $\abs{u - x} < 3^{-M}$ y $0 < t - u < 3^{-M}$. Entonces

$$
\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty
\leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty
+ \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty
\leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\,
2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .
$$

Para $k \geq M$, el último término es $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2
\rfloor}$; para $k < M$, como $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq
\sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$,

$$
3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M}
= \sqrt2\; 2^{-M/2}
$$

(la cantidad intermedia crece con $k$). En todos los casos, $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ con una constante absoluta $C$: haciendo $M \to \infty$ se demuestra la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) en $x$ (los puntos $t \in C$ los cubre (i)). Por tanto, $f$ es una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ — de hecho, las estimaciones muestran que es de tipo Hölder con exponente $\log 2/(2\log
3)$, pero la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) es todo lo que hemos afirmado.

**7.** Para $[0,1]^n$: sepárense los dígitos de $x \in C$ en $n$ subsucesiones entrelazadas y repítanse las preguntas 4–6 literalmente. Para $\R \to \R^2$: sea $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) (reescálese $f$). Defínase $F$ sobre $[m, m
+ \frac12]$ ($m \in \Z$) como una copia de $h$ reescalada para llenar $[-(m+1), m+1]^2$ si $m \geq 0$ (y simétricamente para $m <
0$), y sobre $[m + \frac12, m + 1]$ como el segmento afín que une los valores en los extremos: $F$ es [continua](#def-b3-topology-continuity) (pegado sobre cerrados, la [Proposición 6.6](#prop-b3-topology-gluing)(b)) y su imagen contiene $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$.

**8.** $[0,1]$ es [compacto](#def-b3-topology-compact) y $[0,1]^2$ es [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): una inyección [continua](#def-b3-topology-continuity) es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre su imagen (el [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) aplicado a la correstricción).

**9.** Suprimamos $\frac12$: $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ es disconexo. Si $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ fuera un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity), $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ también sería disconexo (las imágenes [homeomorfas](#def-b3-topology-continuity) de espacios disconexos son disconexas); pero el cuadrado menos un punto es [conexo por caminos](#def-b3-topology-pathconnected): únanse dos puntos por un [camino](#def-b3-topology-pathconnected) de dos segmentos que evite el punto suprimido. Contradicción: $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.

**10.** Por la pregunta 8, una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity) inyectiva $[0,1] \to [0,1]^2$ sería un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity), en contra de la pregunta 9. La [compacidad](#def-b3-topology-compact) intervino exactamente en el [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo): es lo que hace [continua](#def-b3-topology-continuity) la inversa de la biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) (las imágenes de cerrados son compactas y, por tanto, cerradas). Sin [compacidad](#def-b3-topology-compact) la conclusión falla realmente: $[0, 2\pi) \to S^1$ es una biyección [continua](#def-b3-topology-continuity) que no es un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity).

**11.** Aquí queda demostrado: *existe una sobreyección [continua](#def-b3-topology-continuity), pero ninguna biyección [continua](#def-b3-topology-continuity), de $[0,1]$ sobre $[0,1]^2$; en particular, $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.* Así pues, la «dimensión» no se conserva por sobreyecciones [continuas](#def-b3-topology-continuity) — ni el cardinal ni siquiera la [continuidad](#def-b3-topology-continuity) pueden verla —, pero *sí* es un invariante [topológico](#def-b3-topology-topology) al nivel de los [homeomorfismos](#def-b3-topology-continuity), al menos para las dimensiones $1$ y $2$, donde basta la [conexión](#def-b3-topology-connected) tras suprimir un punto. El enunciado general — la *invariancia del dominio*: $\R^m \cong \R^n$ implica $m =
n$, y una inyección [continua](#def-b3-topology-continuity) $\R^n \to \R^n$ es abierta — es cierto, pero exige [topología](#def-b3-topology-topology) [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (homología), fuera de este curso.

**12.** En [base](#def-b3-topology-basis) ternaria, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n
\in \{0, 1\}\}$ (dividir por dos los dígitos $\{0,2\}$ da los dígitos $\{0,1\}$). Para $t \in [0,1]$, tómese cualquier desarrollo ternario $t =
\sum_nd_n3^{-n}$, $d_n \in \{0,1,2\}$, y sepárese cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ($0 = 0{+}0$, $1 = 1{+}0$, $2 = 1{+}1$): entonces $t \in \frac C2 + \frac C2$. El meollo es que cada dígito se separa *dentro* de $\{0,1\}$, de modo que ningún acarreo se propaga y los dígitos pueden tratarse por separado. La inclusión recíproca es clara (las sumas de dígitos siguen siendo $\leq 2$). Reescalando por $2$: $C + C = [0,2]$.

**13.** La aplicación $(x, y) \mapsto x + y$ lleva $C \times C$ sobre $C + C = [0,2]$: el polvo, que no contiene ningún cuadrado ([interior](#def-b3-topology-interior) vacío: el [Ejercicio 6.10](#exo-b3-topology-10)), se proyecta a lo largo de la antidiagonal sobre un segmento completo. Autosemejanza: el primer dígito ternario de un punto de Cantor es $0$ o $2$, y al quitarlo queda $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +
\frac23\bigr)$ — la ecuación de punto fijo que genera toda imagen de $C$.

**14.** A través de $C \cong \{0,1\}^\N$ (pregunta 2), el entrelazado $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto
(\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2,
\varepsilon_2', \dots)$ es una biyección $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$, [continua](#def-b3-topology-continuity) en ambos sentidos (cada coordenada de salida depende de una sola coordenada de entrada; [topología producto](#def-b3-topology-constructions)). Por tanto, $C\times C \cong C$ y, por inducción, $C^n \cong C$. Los espacios familiares no comparten esto: $\R^2 \not\cong \R$ y $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (pregunta 11); los productos infinitos sí: $([0,1]^\N)^2 \cong
[0,1]^\N$ por el mismo entrelazado.

**15.** $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1
- 1/9} = \frac14$: el desarrollo ternario de $\frac14$ es $0.\overline{02}$, con dígitos en $\{0,2\}$, luego $\frac14 \in
C$; y como no es un desarrollo finito ni tiene cola constante $2$, no es extremo de ningún tercio central suprimido. Los extremos forman un conjunto numerable (dos por intervalo suprimido, y una cantidad numerable de intervalos), mientras que $C \cong \{0,1\}^\N$ es no numerable (argumento diagonal, o pregunta 19): casi todo punto de Cantor es, como $\frac14$, invisible en la imagen habitual de los extremos.

**16.** $g(x) = g(y)$ significa que las sucesiones binarias $(b_n(x))$, $(b_n(y))$ representan el mismo real. Las sucesiones binarias distintas que representan el mismo número son exactamente las de la ambigüedad diádica $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$: hay a lo sumo dos preimágenes, y exactamente dos precisamente en los racionales diádicos de $(0,1)$. Así pues, $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ pegando una cantidad numerable de parejas — el esqueleto combinatorio de la escalera de Cantor del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#ch-b3-measure).

**17.** $x$ no es aislado en $P$, de modo que $B(x, r/2)$ contiene algún $y_0 \in P \setminus \{x\}$; $y_0$ tampoco es aislado, de modo que $B(x, r/2)$ contiene un segundo punto $y_1
\in P$. Cualquier $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3,
\frac r4\bigr)$ hace $\bar B(y_0, \rho)$ y $\bar B(y_1,
\rho)$ disjuntas y contenidas en $B(x, r)$. Ambas están centradas en puntos de $P$, donde puede repetirse la misma extracción de dos puntos: la perfección es la reserva inagotable de puntos próximos que mantiene viva la recursión para siempre.

**18.** Constrúyanse los $F_w$ por inducción sobre la longitud de la palabra: $F_\varnothing = P$, y dentro de cada bola $B(y_w, \rho_w)$ la pregunta 17 proporciona dos bolas cerradas disjuntas de radio $\leq
\min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ centradas en puntos de $P$; póngase $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi})
\cap P$: es no vacío (su [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions)) y [compacto](#def-b3-topology-compact). Para $\varepsilon$ infinita, los [compactos](#def-b3-topology-compact) encajados no vacíos $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ tienen intersección no vacía (propiedad de intersección finita en el [compacto](#def-b3-topology-compact) $P$) y de diámetro $0$: un único punto $h(\varepsilon)$.

**19.** Dos palabras que difieren por primera vez en el rango $m$ envían sus imágenes a los dos conjuntos *disjuntos* $F_{w0}, F_{w1}$ (prefijo común $w$): $h$ es inyectiva. Si dos palabras coinciden hasta el rango $m$, ambas imágenes están en un conjunto de diámetro $\leq
2^{-m}\operatorname{diam}P$: $h$ es [continua](#def-b3-topology-continuity). Así, el conjunto no numerable $\{0,1\}^\N$ se inyecta en $P$: todo espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) es no numerable — $[0,1]$ y $C$ entre ellos.

**20.** $h$ es una inyección [continua](#def-b3-topology-continuity) del [compacto](#def-b3-topology-compact) $\{0,1\}^\N$ en el [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (métrico) $P$: el [Corolario 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) la mejora a un [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre su imagen; y $\{0,1\}^\N \cong C$ (pregunta 2). Todo espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contiene una copia del conjunto de Cantor: la perfección tiene un germen universal, y es el de Cantor.

**21.** Un espacio métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) numerable no puede ser [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) (pregunta 19), de modo que tiene un punto aislado. En $K =
\{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$, todo punto $\frac1n$ es aislado y $0$ no lo es: los puntos aislados pueden incluso ser [densos](#def-b3-topology-interior) sin que el espacio sea discreto — la [compacidad](#def-b3-topology-compact) mantiene su límite dentro.

**22.** Sea $P$ el conjunto de los puntos de condensación de $F$ y sea $\mathcal B$ la familia numerable de los intervalos [abiertos](#def-b3-topology-topology) con extremos racionales. Todo punto de $F$ que no sea de condensación está en algún $I \in \mathcal B$ con $I \cap F$ numerable, de modo que $F
\setminus P$ está contenido en la unión de esas trazas numerables, en cantidad numerable: es numerable. Como $F$ es no numerable, $P \neq \varnothing$; $P$ es cerrado (si $x \notin P$, el intervalo testigo $I$ no contiene ningún punto de condensación: $I \cap F$ es numerable) y $P \subseteq F$ ($F$ es cerrado: un punto de condensación es en particular adherente). $P$ es [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): si fuera $I \cap P = \{x\}$ para algún intervalo $I$, entonces $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ sería numerable, en contra de $x \in P$. Y la construcción del árbol de las preguntas 17–19 funciona literalmente dentro de $P$: las piezas $\bar B(y, \rho) \cap P$ son compactas (cerradas y acotadas en $\R$), todo [centro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) es no aislado en $P$, y el argumento no usó nada más. Por tanto, $\abs P \geq
\abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$, y $\abs F \leq \mathfrak
c$ trivialmente: un cerrado no numerable $F \subseteq \R$ tiene cardinal exactamente $\mathfrak c$. Los cerrados no pueden atestiguar un fallo de la hipótesis del [continuo](#def-b3-topology-continuity).

**23.** Sean $x \neq y$ en $C$ y elíjase $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$. Por la pregunta 1, los dígitos $b_n(x) = b_n(y)$ coinciden para $n \leq m$; la primera coordenada de $\Phi$ usa $b_1, b_3, \dots$ y la segunda $b_2,
b_4, \dots$, de modo que en cada coordenada los dos puntos comparten al menos $\lfloor m/2\rfloor$ dígitos binarios iniciales:

$$
\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty
\leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k}
= 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2}
= \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha
\leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,
$$

usando $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (tómense logaritmos); y $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$: la cota $2\abs{x-y}^\alpha$ sobre $C$. Mismo hueco $(u, v)$: $f$ es afín allí, luego, para $t, s \in [u, v]$,

$$
\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,
\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}
\leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha
\leq 2\abs{t-s}^\alpha,
$$

puesto que $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}}
{v-u}\bigr)^\alpha$ cuando $\abs{t-s} \leq v - u$. Caso general $t <
s$: si $[t, s]$ corta a $C$, sean $u'$ y $v'$ el menor y el mayor punto del [compacto](#def-b3-topology-compact) $C \cap [t, s]$; entonces $t$ está en un hueco (o en un punto de $C$) cuyo extremo derecho es $u'$, y $s$ en uno cuyo extremo izquierdo es $v'$, y

$$
\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha
+ 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha
\leq 6\abs{t - s}^\alpha ;
$$

si $[t, s]$ no corta a $C$, se aplica el caso del mismo hueco. Así pues, $f$ es $\alpha$-Hölder con $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$.

**24.** Supongamos $\norm{F(t) - F(s)} \leq
C\abs{t-s}^\alpha$ con $F$ sobreyectiva y $\alpha >
\frac12$. Córtese $[0,1]$ en $N$ intervalos $I_1, \dots, I_N$ de longitud $\frac1N$: cada imagen $F(I_j)$ tiene diámetro $\leq
CN^{-\alpha}$. Dos puntos distintos de la retícula $G_M =
\bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j
\leq M}$ distan $\geq \frac1M$, de modo que un conjunto de diámetro $< \frac1M$ contiene a lo sumo uno de ellos. Tómese $M =
\lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (con $N$ grande): entonces $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$, y la sobreyectividad mete cada uno de los $(M+1)^2$ puntos de la retícula en algún $F(I_j)$, de donde

$$
\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,
$$

y $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ falla para $N$ grande cuando $2\alpha > 1$: contradicción. Nuestra curva, con $\alpha \approx
0.3155$, queda por debajo del muro, como debía; la curva de Hilbert (admitido) es $\frac12$-Hölder, de modo que el exponente crítico $\frac12$ sí se alcanza — la regularidad Hölder, a diferencia de la inyectividad, es cuestión de grado, y $\frac12$ es exactamente la frontera que la dimensión $2$ impone a una aplicación procedente de la dimensión $1$.

**25.** El $m$-ésimo racimo $\{\frac1m + \frac1n : n >
m^2\}$ está en $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr]
\subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ para $m \geq 2$, porque $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} >
\frac1{m^2}$ (y el primer racimo está en $(1, \frac32]$): los racimos ocupan intervalos disjuntos. Puntos de acumulación de $K$: dentro del $m$-ésimo intervalo, solo $\frac1m$ (el racimo converge a él y es discreto en sí mismo); globalmente, $0$ (todo [entorno](#def-b3-topology-topology) de $0$ contiene racimos enteros). Luego $K'
= \{0\} \cup \{\frac1m\}$, después $K'' = \{0\}$ (cada $\frac1m$ es aislado en $K'$) y $K''' = \varnothing$; $K$ contiene sus puntos de acumulación, luego es cerrado, acotado, numerable y [compacto](#def-b3-topology-compact), y sus puntos aislados — los puntos de los racimos $\frac1m +
\frac1n$ — son [densos](#def-b3-topology-interior) en $K$: todo elemento de $K'$ es límite suyo, tal como predice el mecanismo de la pregunta 21. Inducción: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ cumple $K_1^{(1)} = \{0\}$; dado un [compacto](#def-b3-topology-compact) numerable $K_j \subseteq [0, 1]$ con $K_j^{(j)} =
\{0\}$ y $K_j^{(j+1)} = \varnothing$, póngase

$$
K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1}
\Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),
$$

con $\varepsilon_m$ suficientemente pequeño para que la $m$-ésima copia esté en $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$. La derivación actúa copia a copia (las copias viven en intervalos [abiertos](#def-b3-topology-topology) disjuntos), de modo que $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m +
\varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ para $i \leq j$; en $i = j$ esto se lee $\{0\} \cup \{\frac1m\}$, y después $K_{j+1}^{(j+1)} =
\{0\}$ y $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$. Todo rango finito se alcanza. Un conjunto [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) es el otro extremo: $P' = P$, la derivación nunca se mueve — y Cantor–Bendixson (pregunta 22) dice precisamente que todo cerrado se descompone en un núcleo [perfecto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), invisible a la derivación, y un resto numerable que la derivación va devorando.