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title: "Espacios completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass
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# Capítulo 7 — Espacios completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

La [completitud](#def-b3-complete-complete) — que toda sucesión de Cauchy converja — es la propiedad que permite al análisis *producir* objetos: puntos fijos de contracciones, sumas de series, soluciones de ecuaciones obtenidas como límites. Este capítulo reúne las tres grandes máquinas de existencia de la teoría métrica. El *teorema de Baire* muestra que un espacio [completo](#def-b3-complete-complete) no puede ser unión numerable de piezas despreciables, y conjura objetos (¡funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) [no derivables en ningún punto](#thm-b3-complete-nowherediff)!) a partir de un razonamiento de puro sabor cardinal. El teorema de *Arzelà–Ascoli* identifica los subconjuntos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $\mathcal C(K)$ y es el caballo de batalla de la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en análisis — el problema de fin de semana lo usa para demostrar el teorema de existencia de Peano para ecuaciones diferenciales. El teorema de *Stone–Weierstrass* muestra que los polinomios, y muchas otras familias, son densos en $\mathcal C(K)$: la aproximación pasa a ser una verificación [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic). Por el [camino](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-pathconnected) construimos [completados](#thm-b3-complete-completion) y demostramos el teorema de extensión para aplicaciones uniformemente [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), el pan de cada día del Capítulos [12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#ch-b3-lp), [13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#ch-b3-hilbert) y [14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/14-la-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform).

## 7.1 Espacios completos, completados, extensiones

**Definición 7.1.**

Un espacio métrico es *completo* si toda sucesión de Cauchy converge (segundo año: $\R^n$ es completo; $\mathcal C(\intcc01)$ con $\norm\cdot_\infty$ es completo). Un subconjunto cerrado de un espacio completo es completo; un subconjunto completo de un espacio métrico cualquiera es cerrado.

**Demostración.** Para ambos enunciados: una sucesión de Cauchy del cerrado $F$ converge en $X$, y su límite, adherente a $F$, está en $F$; y una sucesión de un [completo](#def-b3-complete-complete) $A$ convergente en $X$ es de Cauchy, luego converge en $A$, y el límite es único. ∎

**Teorema 7.2 (Extensión de aplicaciones uniformemente continuas).**

Sean $D \subseteq X$ denso, $Y$ [completo](#def-b3-complete-complete) y $f \colon D \to
Y$ uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Entonces $f$ se extiende de manera *única* a una $\bar f \colon X \to Y$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), y $\bar f$ es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity).

**Demostración.** Unicidad: dos extensiones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) coinciden en el denso $D$ y, por tanto, en todas partes (el conjunto de coincidencia $\{g = h\}$ es cerrado: preimagen de la diagonal cerrada por $x\mapsto(g(x), h(x))$). Existencia: para $x \in X$, tómese $d_n \to x$, $d_n \in D$. La sucesión $(f(d_n))$ es de Cauchy: dado $\varepsilon$, la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme proporciona $\delta$ con $d(u,v) < \delta \Rightarrow
d(f(u), f(v)) < \varepsilon$, y $(d_n)$ es de Cauchy. Defínase $\bar f(x) = \lim f(d_n)$; el límite no depende de la sucesión elegida (entrelácense dos de ellas). $\bar f$ extiende $f$ (sucesiones constantes) y hereda el módulo de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): si $d(x, x') < \delta$, aproximando ambos por puntos de $D$ a distancia $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ se obtiene $d(\bar f(x), \bar
f(x')) \leq \varepsilon$ en el límite — $\bar f$ es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). ∎

**Teorema 7.3 (Completado).**

Todo espacio métrico $X$ se sumerge isométricamente como subconjunto denso de un [espacio métrico completo](#def-b3-complete-complete) $\hat X$, único salvo isometría que fije $X$ punto a punto: su *completado*.

**Demostración.** *Existencia.* Sea $\mathcal X$ el conjunto de las sucesiones de Cauchy de $X$, con la seudodistancia

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

donde el límite existe porque $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ hace de Cauchy la sucesión real. Sea $\hat X = \mathcal X/{\sim}$, identificando las sucesiones a $D$-distancia $0$; $D$ desciende a una distancia. Sumérjase $X$ mediante las sucesiones constantes: es una isometría de imagen densa (una sucesión de Cauchy queda $D$-aproximada por las constantes construidas con sus propios términos: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm
const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ cuando $k \to \infty$, por ser de Cauchy). [Completitud](#def-b3-complete-complete) de $\hat X$: sea $(\xi^k)$ de Cauchy en $\hat X$; por densidad, tómense $x_k \in X$ con $D(\xi^k, x_k)
\leq 2^{-k}$; entonces $(x_k)$ es de Cauchy en $X$ (desigualdad triangular a través de los $\xi$), define un punto $\xi \in \hat
X$, y $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (la distancia de la constante $x_k$ a la clase de $(x_j)_j$ es $\lim_j d(x_k, x_j)$, pequeña para $k$ grande).

*Unicidad*: dos [completados](#thm-b3-complete-completion) $\hat X_1, \hat X_2$ contienen $X$ densamente; la identidad de $X$, que es una isometría, es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), luego se extiende a $\hat X_1 \to \hat X_2$ (el [Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension)), y sigue siendo una isometría sobre un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y, por tanto, en todas partes; simétricamente en el otro sentido, y las composiciones fijan el denso $X$: son las identidades. ∎

**Teorema 7.4 (Punto fijo de Banach).**

Sea $X$ [completo](#def-b3-complete-complete) y no vacío, y sea $f \colon X \to X$ una *contracción*: $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ con $k < 1$. Entonces $f$ tiene un único punto fijo $x^*$, y toda [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) converge a él, con la velocidad explícita $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$.

**Demostración.** (Se demostró en segundo año; volvemos a registrar el argumento de dos líneas por [completitud](#def-b3-complete-complete) de la exposición.) La [órbita](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-action) $x_{n+1} = f(x_n)$ cumple $d(x_{n+1},
x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$, luego es de Cauchy (serie geométrica); su límite $x^*$ es fijo ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f$) y único, pues dos puntos fijos cumplirían $d \leq k\,d$. La velocidad: súmese la cola geométrica. ∎

**Ejemplo 7.5 (Perturbar la identidad).**

Sea $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitziana con $k < 1$. Entonces $\varphi = \mathrm{id} + g$ es un *[homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\R^d$ sobre $\R^d$*. Inyectividad, con un módulo cuantitativo:

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

La sobreyectividad es el teorema del punto fijo: resolver $\varphi(x) = y$ equivale a $x = y - g(x)$, y $x \mapsto y -
g(x)$ es una $k$-contracción del [completo](#def-b3-complete-complete) $\R^d$ — existe una única solución $x = \psi(y)$ para todo $y$. La desigualdad mostrada hace la inversa $\psi$ lipschitziana de constante $\frac1{1-k}$: es un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), con cotas explícitas de ambos módulos. Este enunciado de apariencia inocua es el motor del teorema de la función inversa (el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds)): cerca de un punto donde $Df$ es invertible, $f$ *es* una aplicación lineal invertible más una pequeña perturbación lipschitziana, y el ejemplo de hoy hace el resto. También cuantifica la robustez numérica: un sistema perturbado por menos que el margen de la inversa sigue siendo [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived), y la solución se desplaza a lo sumo $\frac{1}{1-k}$ veces la perturbación.

## 7.2 El teorema de Baire

**Teorema 7.6 (Baire).**

En un [espacio métrico completo](#def-b3-complete-complete), toda intersección numerable de abiertos densos es densa. Equivalentemente: si $X = \bigcup_{n}F_n$ con cada $F_n$ cerrado, entonces algún $F_n$ tiene [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) no vacío.

**Demostración.** Sean $(U_n)$ abiertos densos y sea $B_0 = B(x_0, r_0)$ una bola abierta cualquiera; encontraremos un punto de $\bigcap U_n$ en $B_0$. Inductivamente: por ser $U_{n}$ denso y abierto, corta a la bola abierta $B_{n-1}$ en un abierto, que contiene una bola cerrada $\bar B(x_n, r_n)$ con $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ y $\bar B(x_n, r_n) \subseteq
B_{n-1}\cap U_n$. Los [centros](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) forman una sucesión de Cauchy ($x_m \in
B_n$ para $m \geq n$, con radios $\to 0$); el límite $x$ está en todas las $\bar B(x_n, r_n)$ (por ser cerradas), luego en todos los $U_n$ y en $B_0$. Para la segunda formulación: si ningún $F_n$ tiene [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior), los $U_n = X \setminus F_n$ son abiertos y densos, y un punto de $\bigcap U_n$ escapa de $\bigcup F_n = X$: absurdo. ∎

**Observación 7.7.**

Vocabulario: un conjunto es *denso en ninguna parte* si su [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) tiene [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío, y *magro* (de primera categoría) si es unión numerable de [conjuntos densos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en ninguna parte. Baire: *un [espacio métrico completo](#def-b3-complete-complete) no es [magro](#rem-b3-complete-meagre) en sí mismo*, y el complementario de un [conjunto magro](#rem-b3-complete-meagre) es denso. «[Magro](#rem-b3-complete-meagre)» es una noción de pequeñez ortogonal a la de medida (el [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida#ch-b3-measure) producirá [conjuntos magros](#rem-b3-complete-meagre) de medida total), y los argumentos de Baire demuestran la *existencia por abundancia*: para exhibir un objeto sin la propiedad P, demuéstrese que los objetos con P forman un [conjunto magro](#rem-b3-complete-meagre).

**Corolario 7.8.**

(a) $\R$ es no numerable. (b) $\Q$ no es intersección numerable de abiertos de $\R$, y todo [espacio métrico completo](#def-b3-complete-complete) no vacío sin puntos aislados es no numerable.

**Demostración.** (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sobre un conjunto numerable haría que algún punto tuviera [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior). (b) Si $\Q = \bigcap_n V_n$ con $V_n$ abiertos (necesariamente densos, pues $\supseteq \Q$), entonces los conjuntos $V_n$ y los complementarios $\R\setminus\{q\}$, $q \in \Q$, forman una familia numerable de abiertos densos de intersección vacía — en contra de Baire. Y si $X$ es [completo](#def-b3-complete-complete) sin puntos aislados y numerable, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ lo exhibe como unión numerable de cerrados de [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío (no hay puntos aislados): Baire de nuevo. ∎

**Teorema 7.9 (Los monstruos de Weierstrass existen).**

Existen funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre $\intcc01$ que no son derivables en ningún punto. De hecho, el conjunto de las $f \in \mathcal C(\intcc01)$ que tienen derivada (finita) aunque sea en un solo punto es [magro](#rem-b3-complete-meagre) en $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$.

**Demostración.** Para $n \geq 1$, póngase

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ con } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

Si $f$ es derivable en $x$, entonces $f \in F_n$ para algún $n$: el cociente $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ está acotado para $\abs h
\leq \delta$ (derivabilidad: tiende a $\abs{f'(x)}$) y está acotado por $2\norm f_\infty/\delta$ para $\abs h \geq \delta$. Así pues, $\bigcup F_n$ contiene todas las funciones derivables en algún punto, y basta demostrar que cada $F_n$ es cerrado con [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío.

*Cerrado*: sean $f_k \to f$ uniformemente, $f_k \in F_n$ con testigos $x_k \to x$ ([compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), tras una extracción). Para $h$ con $x + h \in \intcc01$: elíjase $h_k \to h$ con $x_k + h_k
\in \intcc01$ (por ejemplo, $h_k = h + x - x_k$ truncado); entonces $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)}
\leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$, usando la convergencia uniforme y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f$ en los puntos pertinentes: $f \in F_n$.

*[Interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío*: dados $f \in F_n$ y $\varepsilon > 0$, buscamos $g$ con $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ y $g
\notin F_n$. Aproxímese primero $f$ hasta $\varepsilon/2$ por una función afín a trozos $\varphi$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme: interpólese sobre una malla fina), de pendientes acotadas por cierto $M$. Añádase un pequeño diente de sierra: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$, donde $s_N(x)$ es el zigzag $\frac1N$-periódico de amplitud $1$ y pendiente $\pm 2N$. En todo $x$, a un lado hay $h$ arbitrariamente pequeño para el que el diente de sierra aporta la pendiente $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 =
\pm\varepsilon N$ sobre $[x, x+h]$: el cociente incremental de $g$ supera $\varepsilon N - M > n$ para $N$ grande. Luego $g \notin
F_n$, a cualquier distancia uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$. Conclusión: $\bigcup F_n$ es [magro](#rem-b3-complete-meagre); por Baire su complementario — formado por funciones [no derivables en ningún punto](#thm-b3-complete-nowherediff) — es denso en $\mathcal C(\intcc01)$: tales funciones existen *en abundancia*. ∎

## 7.3 Arzelà–Ascoli

En toda esta sección, $K$ es un espacio métrico *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)* y $\mathcal
C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$, con $\norm f_\infty = \sup_K
\norm{f(x)}$: un espacio [completo](#def-b3-complete-complete) (los límites uniformes de [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) son [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — segundo año).

**Definición 7.10.**

Una familia $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ es *equicontinua* si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F
$$

(un mismo $\delta$ para toda la familia — por ejemplo, cualquier familia con una constante de Lipschitz común, o con un módulo de Hölder común), y *puntualmente acotada* si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$.

**Teorema 7.11 (Arzelà–Ascoli).**

Un subconjunto $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ es relativamente [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (tiene [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) compacta) si y solo si es equicontinuo y puntualmente acotado. En particular, toda *sucesión* [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous) y puntualmente acotada tiene una subsucesión uniformemente convergente.

**Demostración.** ($\Leftarrow$) Sea $(f_k)$ una sucesión de $\mathcal F$. Un espacio métrico $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) es *separable*: para cada $n$, un número finito de bolas de radio $\frac1n$ recubre $K$ (el [Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#thm-b3-topology-metriccompact)); sus [centros](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#ex-b3-groups-actions) forman un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) numerable $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. Por la acotación puntual y Bolzano–Weierstrass, extráiganse sucesivamente subsucesiones que converjan en $x_1$, después también en $x_2$, etc., y tómese la subsucesión *diagonal* $(g_j)$: converge en todo punto de $D$. La [equicontinuidad](#def-b3-complete-equicontinuous) eleva esto a la propiedad de Cauchy uniforme: dado $\varepsilon$, tómese $\delta$ como en la definición, recúbrase $K$ por un número finito de bolas $B(x_i, \delta)$ con $x_i \in D$ ($i \leq m$) y elíjase $J$ tan grande que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ para $j, j' \geq
J$, $i \leq m$. Para $x \in B(x_i, \delta)$ arbitrario:

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

Así pues, $(g_j)$ es uniformemente de Cauchy y converge en el [completo](#def-b3-complete-complete) $\mathcal C(K)$. Por tanto, toda sucesión de $\mathcal F$ tiene una subsucesión convergente: $\bar{\mathcal F}$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (secuencialmente y, por el [Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#thm-b3-topology-metriccompact), sin más).

($\Rightarrow$) Si $\bar{\mathcal F}$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): la acotación puntual es clara (la evaluación es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)). Para la [equicontinuidad](#def-b3-complete-equicontinuous), recúbrase $\mathcal F$ por un número finito de bolas $B(f_i, \varepsilon)$ de $\mathcal C(K)$; cada $f_i$ es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (Heine, el [Corolario 6.17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#cor-b3-topology-heineborel)), lo que da un $\delta$ común para $i \leq m$; y entonces, para $f \in B(f_i, \varepsilon)$ y $d(x,y)
< \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon +
\norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

**Ejemplo 7.12.**

La bola unidad cerrada de $\mathcal C(\intcc01)$ *no* es compacta ($f_n(x) = x^n$ no tiene subsucesión uniformemente convergente: el límite puntual es discontinuo) y, en efecto, $(x^n)$ no es [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous) en $1$. En cambio, $\{f : \norm
f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ sí es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): es acotado, $1$-equicontinuo por Lipschitz, y cerrado. Ascoli explica *por qué* falla la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en dimensión infinita (Riesz, segundo año) y qué hay que añadir para restaurarla: un módulo uniforme de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity).

## 7.4 Stone–Weierstrass

**Lema 7.13 (Dini).**

Sea $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y sea $(f_n)$ una sucesión *monótona* de funciones reales [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que converge *puntualmente* a una $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Entonces la convergencia es uniforme.

**Demostración.** Digamos $f_n \uparrow f$; sea $g_n = f - f_n \downarrow 0$, que es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Dado $\varepsilon$, los abiertos $U_n = \{g_n <
\varepsilon\}$ crecen y recubren $K$ (convergencia puntual); extráigase un subrecubrimiento finito: $K = U_{n_0}$ para cierto $n_0$ (familia creciente), es decir, $0 \leq g_n < \varepsilon$ en todas partes para $n \geq n_0$. ∎

**Lema 7.14.**

Existe una sucesión de *polinomios* $u_n$ con $u_n(t) \to
\sqrt t$ uniformemente sobre $\intcc01$.

**Demostración.** Defínanse $u_0 = 0$, $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$: son polinomios. Por inducción, $0 \leq u_n(t) \leq
\sqrt t$ sobre $\intcc01$: admitiéndolo para $n$,

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

puesto que $\sqrt t + u_n \leq 2$; y $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. Así, $(u_n(t))$ es no decreciente y está acotada por $\sqrt t$: converge puntualmente, y el límite $\ell(t)$ cumple $\ell =
\ell + \frac12(t - \ell^2)$: $\ell(t) = \sqrt t$, que es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Dini (el [Lema 7.13](#lem-b3-complete-dini)) eleva la convergencia a uniforme. ∎

**Teorema 7.15 (Stone–Weierstrass, versión real).**

Sea $K$ un [espacio compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) ([de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-hausdorff)) y sea $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ una *subálgebra* (estable por sumas, productos y múltiplos escalares) que *contiene las constantes* y *separa puntos* (para $x \neq y$, algún $f \in
\mathcal A$ cumple $f(x) \neq f(y)$). Entonces $\mathcal A$ es densa en $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$.

**Demostración.** Sea $\bar{\mathcal A}$ la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior), que sigue siendo un álgebra (los productos de límites uniformes sobre acotados convergen).

*Paso 1: $\bar{\mathcal A}$ es un retículo*, es decir, es estable por $\max$ y $\min$. Como $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$ y $\min$ análogamente, basta con que $f \in
\bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: con $M = \norm f_\infty > 0$, $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, y el [Lema 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) da polinomios $u_n$ con $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformemente; y los polinomios en elementos del álgebra (con término independiente: las constantes están) permanecen en $\bar{\mathcal A}$.

*Paso 2: interpolación en dos puntos.* Para $x \neq y$ y $a,
b \in \R$, algún $g \in \mathcal A$ cumple $g(x) = a$, $g(y) = b$: tómese $h$ que separe $x, y$ y póngase $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

*Paso 3.* Sean $f \in \mathcal C(K)$, $\varepsilon > 0$. Para cada par $x, y$ tómese $g_{x,y} \in \mathcal A$ con $g_{x,y}(x) = f(x)$, $g_{x,y}(y) = f(y)$ (Paso 2; para $x = y$, tómese la función constante $g_{x,x} = f(x)$). Fijemos $x$: para cada $y$, el abierto $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ contiene $y$; la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) extrae $y_1, \dots,
y_m$ con $K = \bigcup V_{y_j}$, y $h_x = \min_j g_{x, y_j}
\in \bar{\mathcal A}$ (Paso 1) cumple $h_x < f +
\varepsilon$ en todas partes y $h_x(x) = f(x)$. Hágase variar ahora $x$: $W_x =
\{h_x > f - \varepsilon\}$ es abierto y contiene $x$; extráiganse $x_1,
\dots, x_l$ que recubran $K$, y $h = \max_i h_{x_i} \in
\bar{\mathcal A}$ cumple $f - \varepsilon < h < f +
\varepsilon$: $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. Por tanto, $f \in \bar{\mathcal A}$. ∎

**Corolario 7.16.**

(a) (*Weierstrass*) Los polinomios son densos en $\mathcal
C(\intcc ab, \R)$; los polinomios en $n$ variables son densos en $\mathcal C(K, \R)$ para $K \subseteq \R^n$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). (b) (*Versión compleja*) Si $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ es una subálgebra que contiene las constantes, separa puntos y es *estable por conjugación*, entonces es densa. (c) (*Versión trigonométrica*) Los polinomios trigonométricos $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ son densos en el espacio de las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas, con $\norm\cdot_\infty$.

**Demostración.** (a) Los polinomios forman un álgebra con constantes; las funciones coordenadas separan los puntos de $\R^n$. (b) Las partes real e imaginaria $\frac{f + \bar f}2$, $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ de los elementos de $\mathcal A$ forman un álgebra real $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ con constantes, que separa puntos ($f(x) \ne f(y)$ obliga a que $\operatorname{Re}f$ o $\operatorname{Im}f$ separe). Aplíquese el teorema real y recombínese. (c) Véanse las funciones $2\pi$-periódicas como $\mathcal C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$, [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): el [Ejercicio 6.5](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#exo-b3-topology-5)); el álgebra generada por $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ y las constantes es estable por conjugación y separa los puntos del círculo ($\eu^{\iu t}$ es inyectiva sobre él). Aplíquese (b). ∎

**Observación 7.17.**

La versión trigonométrica repara — y generaliza enormemente — la laguna que dejó el capítulo de Fourier de segundo año: la densidad de los polinomios trigonométricos en $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ se sigue con mayor razón ($\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ salvo la constante de normalización), lo que hará del sistema de Fourier una *base* ortonormal en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#ch-b3-hilbert) y demostrará por fin Parseval con toda generalidad.

## 7.5 Ejercicios

**Ejercicio 7.1 ★.**

(a) Demostrar que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ con $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ *no* es [completo](#def-b3-complete-complete): las funciones $f_n$ iguales a $0$ en $\intcc0{\frac12}$ y a $1$ en $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$, afines entre medias, son de Cauchy para $\norm\cdot_1$ sin límite [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). (b) Demostrar que un espacio normado en el que toda serie absolutamente convergente converge es [completo](#def-b3-complete-complete). *(Extráigase de una sucesión de Cauchy una subsucesión con $\norm{x_{n_{k+1}} -
x_{n_k}} \leq 2^{-k}$.)*

**Solución de Ejercicio 7.1.**

(a) Para $m \geq n$, $f_n - f_m$ se anula fuera de un intervalo de longitud $\frac1n$ y está acotada por $1$: $\norm{f_n - f_m}_1
\leq \frac1n \to 0$: de Cauchy. Si $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ con $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): para $\alpha <
\frac12$ fijo, $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f -
f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ($f_n \equiv 0$ allí para $n$ grande), luego $f \equiv 0$ sobre $[0, \frac12)$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)); análogamente $f \equiv 1$ sobre $(\frac12, 1]$: ninguna función [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) cumple ambas cosas. Así que el espacio es incompleto — el [completado](#thm-b3-complete-completion) es $L^1$, construido en [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#ch-b3-lp).

(b) Sea $(x_n)$ de Cauchy; elíjanse $n_1 < n_2 < \cdots$ con $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$. La serie $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolutamente y, por tanto, converge; sus sumas parciales son $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$, de modo que $(x_{n_k})$ converge, y una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge.

**Ejercicio 7.2 ★.**

Usando Baire: (a) demostrar que un espacio normado [completo](#def-b3-complete-complete) no tiene base ([algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic)) numerable — dedúzcase que el espacio de los polinomios no es [completo](#def-b3-complete-complete) para *ninguna* norma; (b) demostrar que si una sucesión de $f_n \colon \R \to \R$ [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) converge puntualmente a $f$, el conjunto de los puntos de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f$ es denso. *(Para (b): admítase o demuéstrese que $\Omega_\delta = \{x :
\operatorname{osc}_x f < \delta\}$ es abierto y demuéstrese que es denso usando los $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\
\forall n,m \geq N\}$, cerrados que recubren $\R$; trabájese en una bola cerrada arbitraria para poder aplicar Baire.)*

**Solución de Ejercicio 7.2.**

(a) Supóngase $E$ [completo](#def-b3-complete-complete) con base [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $(e_n)_{n\in\N}$ y sea $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$: es cerrado (los subespacios de dimensión finita son [completos](#def-b3-complete-complete) y, por tanto, cerrados — segundo año) y de [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío: si $B(x, r) \subseteq F_n$, tómese $v \notin F_n$; entonces $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r)
\setminus F_n$, absurdo. Pero $E = \bigcup F_n$ (todo vector es combinación finita): contradice a Baire (el [Teorema 7.6](#thm-b3-complete-baire)). El espacio $\R[X]$ tiene la base numerable $(X^n)$, de modo que ninguna norma lo hace [completo](#def-b3-complete-complete).

(b) Fíjense $\delta > 0$ y una bola abierta no vacía $B$; buscaremos en $B$ un punto de $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf <
\delta\}$, donde $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni
x}\operatorname{diam} f(V)$. ($\Omega_\delta$ es abierto: si $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ para un abierto $V \ni x$, todo $y \in V$ tiene oscilación $< \delta$.) Los conjuntos

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

son cerrados (intersecciones de preimágenes de cerrados) y recubren $\R$ (la convergencia puntual hace $(f_n(x))$ de Cauchy). Aplicando Baire dentro del [completo](#def-b3-complete-complete) $\bar B$: algún $F_N \cap
\bar B$ contiene una bola $B' = B(x_0, \rho)$. Haciendo $m \to
\infty$: $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ sobre $B'$. Por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f_N$ en $x_0$, redúzcase a $B'' \ni x_0$ donde $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$; entonces, para $x \in B''$,

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$, luego $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$. Así pues, cada $\Omega_\delta$ es abierto y denso; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — el conjunto de los puntos de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) — es denso por Baire.

**Ejercicio 7.3 ★★.**

(a) Demostrar que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ($a >
1$) es una contracción de $[\sqrt a, +\infty)$ e identificar su punto fijo — el método de Herón. Estímese el número de iteraciones necesarias para una precisión $10^{-12}$ partiendo de $x_0 = a$, para $a = 2$. (b) (Ecuación de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ y $m \in \R$, demostrar que $x = m + e\sin x$ tiene una única solución, que depende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $m$.

**Solución de Ejercicio 7.3.**

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ lleva $[\sqrt a, \infty)$ en sí mismo (media aritmética–geométrica: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$) y allí $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$: es una contracción $\frac12$-lipschitziana de un conjunto cerrado (y por tanto [completo](#def-b3-complete-complete)). Punto fijo: $x = f(x) \iff x^2 = a$: $x^* = \sqrt a$. Velocidad (el [Teorema 7.4](#thm-b3-complete-banach)): $d(x_n, \sqrt a) \leq
2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$. Para $a = 2$, $x_0 = 2$: $d(x_1, x_0) =
\frac12$, de modo que $n = 40$ garantiza $2^{-40} < 10^{-12}$. (En realidad el método de Newton converge cuadráticamente: bastan unas pocas iteraciones; la estimación por contracción es pesimista, pero gratuita.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ es $e$-lipschitziana con $e < 1$ sobre el [completo](#def-b3-complete-complete) $\R$: punto fijo único $x(m)$. Para dos parámetros:

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

luego $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$: incluso lipschitziana en $m$.

**Ejercicio 7.4 ★★.**

(a) Sea $X$ [completo](#def-b3-complete-complete) y sea $f \colon X \to X$ tal que alguna iterada $f^p$ sea una contracción. Demostrar que $f$ tiene un único punto fijo. Aplicación: el operador integral $T$ sobre $\mathcal C(\intcc0a)$, $Tf(x) = \int_0^x f$, cumple $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — dedúzcase que $u = g + \lambda Tu$ es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) para todo $\lambda$. (b) (Edelstein) Sea $K$ *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)* y sea $f\colon K \to K$ con $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ para $x \neq y$. Demostrar que $f$ tiene un único punto fijo, pero que la tasa de contracción puede perderse: en $X = [1, +\infty)$ ([completo](#def-b3-complete-complete), no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)), $f(x) = x
+ \frac1x$ no tiene punto fijo pese a decrecer estrictamente las distancias.

**Solución de Ejercicio 7.4.**

(a) Sea $x^*$ el único punto fijo de $f^p$. Entonces $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$: $f(x^*)$ es un punto fijo de $f^p$, luego $f(x^*) = x^*$. Y un punto fijo de $f$ lo es de $f^p$: la unicidad se transfiere. Para $T$: por inducción, $\abs{T^pf(x)}
\leq \norm f_\infty x^p/p!$ (cada integración añade un factor $\frac xk$), luego $\norm{T^p} \leq a^p/p!$. La aplicación $S(u) = g +
\lambda Tu$ cumple $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$, de norma $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$: alguna $S^p$ es una contracción, y $S$ tiene un único punto fijo: la ecuación de Volterra $u = g + \lambda Tu$ es unívocamente [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) para *todo* $\lambda$.

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K$: alcanza su mínimo en cierto $x_0$. Si $f(x_0) \neq x_0$, entonces $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) =
\min\varphi$: absurdo. Unicidad: dos puntos fijos $x \ne y$ darían $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$. Sin [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): $f(x) = x + \frac1x$ sobre $[1, \infty)$ cumple, para $x < y$, $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) <
y - x$, y sin embargo $f(x) > x$ siempre: no hay punto fijo — el decrecimiento estricto de las distancias es más débil que un factor de contracción uniforme.

**Ejercicio 7.5 ★★.**

(a) Dos aplicaciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en un [espacio de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-hausdorff) que coinciden en un subconjunto denso coinciden en todas partes; ¿dónde se ha usado esto en el capítulo? (b) Sea $D \subseteq X$ denso y sea $f \colon D \to Y$ una biyección isométrica sobre un subconjunto denso de un [completo](#def-b3-complete-complete) $Y$, con $X$ [completo](#def-b3-complete-complete). Demostrar que $f$ se extiende a una biyección isométrica $X \to Y$. Deducir de nuevo la unicidad de los [completados](#thm-b3-complete-completion).

**Solución de Ejercicio 7.5.**

(a) El conjunto $A = \{g = h\}$ es la preimagen de la diagonal $\Delta_Y$ por la [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto (g(x), h(x))$; $\Delta_Y$ es cerrada porque $Y$ es [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-hausdorff) (para $y_1 \neq y_2$, [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) abiertos disjuntos dan una caja abierta alrededor de $(y_1,
y_2)$ disjunta de la diagonal, de modo que el complementario de $\Delta_Y$ es abierto): así, $A$ es cerrado, contiene un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y es igual a $X$. Se usó en la unicidad del [Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension) y, por tanto, en la unicidad de los [completados](#thm-b3-complete-completion).

(b) $f$, que es una isometría, es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): se extiende a $F\colon X \to Y$ (el [Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension)) y sigue siendo isométrica (la relación $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ vale sobre un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de pares y ambos miembros son [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)). Análogamente, $f^{-1}\colon f(D) \to X$ se extiende a $G \colon Y \to X$. La compuesta $G \circ F$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y fija el denso $D$: es $\mathrm{id}_X$ (apartado (a)); simétricamente $F \circ G =
\mathrm{id}_Y$. Luego $F$ es una biyección isométrica. Unicidad de los [completados](#thm-b3-complete-completion): aplíquese esto a $D = X$, que está densamente en dos [completados](#thm-b3-complete-completion).

**Ejercicio 7.6 ★★.**

¿Cuáles de las familias siguientes son [equicontinuas](#def-b3-complete-equicontinuous), puntualmente acotadas o relativamente compactas en $\mathcal C(\intcc01)$?

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

Justifíquese cada respuesta con Ascoli o con una sucesión que sirva de contraejemplo.

**Solución de Ejercicio 7.6.**

$\{\sin(nx)\}$: puntualmente acotada por $1$; *no* [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous): en $x = 0$, $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ con $\frac\pi{2n} \to 0$, lo que viola cualquier $\delta$ común para $\varepsilon = \frac12$. No relativamente compacta (necesidad en Ascoli, el [Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)).

$\{x^n\}$: acotada; no [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous) en $1$: $1 - (1 -
\delta)^n \to 1$ cuando $n \to \infty$ para $\delta$ fijo. No relativamente compacta — coherentemente, su límite puntual es discontinuo, de modo que ninguna subsucesión converge uniformemente.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$: la desigualdad del valor medio hace la familia $1$-lipschitziana y, por tanto, [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous); y es acotada: relativamente compacta por Ascoli. (No compacta: no es cerrada — los límites uniformes no tienen por qué ser $\mathcal C^1$; su [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) son las funciones $1$-lipschitzianas de norma $\leq 1$.)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$: [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous); puntualmente acotada ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$); y cerrada por límites uniformes (la desigualdad de Lipschitz y el valor en $0$ pasan al límite): compacta.

**Ejercicio 7.7 ★★★.**

(Operadores integrales [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)) Sea $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ y, para $f \in \mathcal C(\intcc01)$, $Tf(x) =
\int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$. (a) Demostrar que $T$ lleva la bola unidad de $\mathcal C(\intcc01)$ a un conjunto equicontinuo y uniformemente acotado; concluir que $T$ es un *operador [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)*: las imágenes de los acotados son relativamente compactas. (b) Deducir que si $(f_n)$ está acotada, $(Tf_n)$ tiene una subsucesión uniformemente convergente, y que $T$ no puede ser una biyección con inversa [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). *(La imagen de la bola unidad sería un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $0$ en $\mathcal C(\intcc01)$: prohibido por el teorema de Riesz de segundo año.)*

**Solución de Ejercicio 7.7.**

(a) Para $\norm f_\infty \leq 1$: $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$, y

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

donde $\omega_k$ es un módulo de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme de $k$ sobre el cuadrado [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (Heine): la imagen de la bola unidad está uniformemente acotada y es [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous), luego relativamente compacta (Ascoli). Por linealidad, todo acotado tiene imagen relativamente compacta: $T$ es un operador [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact).

(b) El enunciado sobre subsucesiones es la definición de [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) relativa aplicada a $\{Tf_n\}$. Si $T$ fuera biyectivo con inversa [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), entonces $T(B(0,1)) \supseteq B(0,
\varepsilon)$ para cierto $\varepsilon > 0$ ($T^{-1}$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $0$); la bola cerrada $\bar B(0,\varepsilon)$, subconjunto cerrado del [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\overline{T(B(0,1))}$, sería compacta — imposible en el $\mathcal
C(\intcc01)$ de dimensión infinita por el teorema de Riesz (segundo año).

**Ejercicio 7.8 ★★.**

Demuéstrese o refútese, para $f_n \colon \intcc01 \to \R$ [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): (a) $f_n \downarrow 0$ puntualmente $\Rightarrow$ uniformemente (Dini — vuélvase a demostrar); (b) lo mismo sin monotonía; (c) lo mismo con monotonía pero con $f$ discontinuo; (d) lo mismo con monotonía y límite [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), pero sobre $\intoo01$.

**Solución de Ejercicio 7.8.**

(a) Dini: véase el [Lema 7.13](#lem-b3-complete-dini) — el argumento de recubrimiento. (b) Falso: la joroba móvil $f_n(x) = \max(0, 1 -
\abs{nx - 1})$ tiende a $0$ puntualmente (para $x > 0$, $f_n(x) =
0$ en cuanto $n > 2/x$; $f_n(0) = 0$) pero $\norm{f_n}_\infty = 1$. (c) Falso: $f_n(x) = x^n$ decrece hacia la función discontinua $\mathbf 1_{\{1\}}$; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)}
x^n = 1$. (d) Falso: $x^n \downarrow 0$ puntualmente sobre el no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\intoo01$, con $\sup_{(0,1)}x^n = 1$. Cada hipótesis de Dini es necesaria.

**Ejercicio 7.9 ★★.**

(a) (Los momentos determinan) Sea $f \in \mathcal C(\intcc01)$ con $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ para todo $n \in \N$. Demostrar que $f =
0$. *(Aproxímese $f$ uniformemente por polinomios y calcúlese $\int f^2$.)* (b) Demostrar que los polinomios pares son densos en $\mathcal
C(\intcc01)$ pero *no* en $\mathcal C(\intcc{-1}1)$; ¿qué hipótesis de Stone–Weierstrass falla? (c) ¿Es densa en $\mathcal C(S^1, \C)$ el álgebra generada solo por $x \mapsto \eu^{\iu x}$ (sin $\eu^{-\iu x}$)? *(Considérese $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$.)*

**Solución de Ejercicio 7.9.**

(a) Por linealidad, $\int_0^1 fP = 0$ para todo polinomio $P$. Elíjanse $P_n \to f$ uniformemente (el [Corolario 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)): $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$, y la función [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $f^2 \geq 0$ con integral nula es idénticamente nula.

(b) Sobre $\intcc01$: los polinomios en $x^2$ forman un álgebra con constantes que separa puntos ($x \mapsto x^2$ es inyectiva sobre $\intcc01$): densa por Stone–Weierstrass. Sobre $\intcc{-1}1$: $x^2$ toma valores iguales en $\pm x$, y otro tanto le ocurre a todo polinomio en $x^2$: un límite uniforme de tales polinomios es una función par. Si funciones pares $g_n$ convergieran uniformemente a la identidad, entonces $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ para todo $x$: absurdo — no es densa. La hipótesis de separación falla en los pares $\{x, -x\}$.

(c) No. Para $f$ en el álgebra $\mathcal A$ generada por las constantes y $\eu^{\iu t}$ — combinaciones lineales de $\eu^{\iu nt}$, $n \geq 0$ — se tiene $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (cada $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$). $\Lambda$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) para $\norm\cdot_\infty$ ($\abs{\Lambda(f)}\leq
2\pi\norm f_\infty$), de modo que $\Lambda$ se anula sobre $\bar{\mathcal
A}$; pero $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$: $\eu^{-\iu t}
\notin \bar{\mathcal A}$. (Stone–Weierstrass no se aplica: $\mathcal A$ no es estable por conjugación — y la obstrucción es precisamente la que la teoría de funciones holomorfas sistematizará en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/16-funciones-holomorfas#ch-b3-holomorphic).)

**Ejercicio 7.10 ★★★.**

(Acotación uniforme, versión métrica) Sea $X$ un [espacio métrico completo](#def-b3-complete-complete) y sea $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ una familia *puntualmente* acotada: $\sup_{f \in \mathcal
F}\abs{f(x)} < \infty$ para cada $x$. Demostrar que existe un abierto no vacío $U \subseteq X$ sobre el cual $\mathcal F$ está *uniformemente* acotada: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$. *(Considérense los $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$.)* Este es el motor que hay detrás de Banach–Steinhaus en [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales#ch-b3-banach).

**Solución de Ejercicio 7.10.**

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ es una intersección de cerrados: es cerrado. La acotación puntual da $X = \bigcup_n F_n$. Baire (el [Teorema 7.6](#thm-b3-complete-baire)) proporciona $n_0$ con $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$: sobre $U$, $\abs f \leq n_0$ para todo $f \in \mathcal F$ simultáneamente.

**Ejercicio 7.11 ★★.**

($\mathcal C^1$ necesita su propia norma) Sobre $E = \mathcal
C^1(\intcc01, \R)$ considérense $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm
f_\infty + \norm{f'}_\infty$. (a) Demostrar que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ es [completo](#def-b3-complete-complete) *(una sucesión de Cauchy para $\mathcal C^1$ cumple $f_n \to f$ y $f_n' \to g$ uniformemente; identifíquese $g = f'$ pasando al límite en $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$)*. (b) Demostrar que $(E, \norm\cdot_\infty)$ *no* es [completo](#def-b3-complete-complete): exhíbase un límite uniforme de funciones $\mathcal C^1$ que no sea derivable (por ejemplo, aproximaciones regulares de $\abs{x - \tfrac12}$). (c) Deducir de (a), (b) y el círculo de ideas de la aplicación abierta — o directamente — que ninguna constante $C$ cumple $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ en $E$: exhíbase una sucesión que lo atestigüe. La derivación no está acotada; este es el precipicio que hay detrás del [Teorema 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).

**Solución de Ejercicio 7.11.**

(a) Una sucesión de Cauchy para $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ es uniformemente de Cauchy junto con sus derivadas: $f_n \to f$ y $f_n' \to g$ uniformemente, con $f, g$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Pasando al límite (la convergencia uniforme lo permite bajo la integral) en $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ se obtiene $f(x) = f(0) + \int_0^xg$: $f$ es $\mathcal C^1$ con $f' = g$, y $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$. [Completo](#def-b3-complete-complete).

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ es límite uniforme de funciones $\mathcal C^1$, por ejemplo $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ ($\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ por la cota de la cantidad conjugada), y sin embargo $h \notin E$: la norma $\sup$ sobre $E$ no es [completa](#def-b3-complete-complete) — su [completado](#thm-b3-complete-completion) es $\mathcal C(\intcc01)$.

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ cumple $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$: no existe ningún $C$. (Conceptualmente: si la derivación estuviera acotada para la norma del supremo, las dos normas de (a)–(b) serían equivalentes, lo que haría $(E, \norm\cdot_\infty)$ [completo](#def-b3-complete-complete) — en contra de (b). Esta falta de acotación es exactamente la razón de que las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) genéricas puedan no ser derivables en ningún punto, [Teorema 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).)

**Ejercicio 7.12 ★★★.**

(Lema de Croft) Sea $f\colon\intoo0\infty\to\R$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y supóngase que, para todo $x > 0$, $f(nx) \to 0$ cuando el entero $n \to \infty$. Demostrar que $f(t) \to 0$ cuando $t \to
+\infty$. *(Fíjese $\varepsilon > 0$; los conjuntos $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ son cerrados y recubren $\intoo0\infty$; Baire en algún intervalo $\intcc ab$ da $N$ y un subintervalo $\intcc{a'}{b'}
\subseteq F_N$; entonces las dilataciones $\bigl[na', nb'\bigr]$, $n
\geq N$, recubren todo un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $+\infty$ en cuanto $n(b' - a') \geq a'$.)* ¿Dónde se usa la hipótesis «para todo $x$» (y no solo para $x$ racional)?

**Solución de Ejercicio 7.12.**

Fíjese $\varepsilon > 0$. Cada $F_N$ es una intersección sobre $n
\geq N$ de preimágenes del cerrado $\intcc{-\varepsilon}
\varepsilon$ por la [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto f(nx)$: es cerrado. La hipótesis dice que todo $x > 0$ está en algún $F_N$. Por Baire aplicado dentro del [completo](#def-b3-complete-complete) $\intcc ab$ (cualquier $0 < a <
b$), algún $F_N$ es denso en un subintervalo; y, siendo cerrado, contiene un intervalo $\intcc{a'}{b'}$ con $0 < a' < b'$. Entonces, para todo $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$, los intervalos $\intcc{na'}{nb'}$ y $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ se solapan ($nb' \geq (n+1)a'$), luego

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

y todo $t \geq n_0a'$ es $t = nx$ con $n \geq N$, $x \in
\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$: $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$. Por tanto, $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$: $f \to 0$. La hipótesis [completa](#def-b3-complete-complete) es necesaria porque los $F_N$ han de *recubrir* todo un intervalo de valores de $x$ — solo con $x$ racionales, la unión de los $F_N$ sería numerable y Baire no daría nada; de hecho, hay contraejemplos [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que se anulan a lo largo de todas las semirrectas racionales pero no en el infinito.

## 7.6 Problema: el teorema de existencia de Peano

**Problema 7.1.**

Problema de fin de semana — existencia de soluciones de $x' = f(t, x)$ sin hipótesis de Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (segundo año; redemostrado en el [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ch-b3-ode)) exige que $f$ sea lipschitziana en $x$. Peano (1890): *la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $f$ ya da la existencia* — aunque no la unicidad. Lo demostraremos con poligonales de Euler y Ascoli. Marco: $f \colon R
\to \R^d$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre el rectángulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0
+ a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$, $M =
\sup_R\norm f$, y

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{si } M = 0 \text{ el problema es trivial}).
$$

**Parte I — Poligonales de Euler.** Para $n \geq 1$, subdivídase $[t_0, t_0 + T]$ mediante $t_k = t_0 + kT/n$ ($0 \leq k
\leq n$) y defínase $\varphi_n$ afín a trozos: $\varphi_n(t_0) = x_0$ y, sobre $[t_k, t_{k+1}]$,

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. Demostrar por inducción que $\varphi_n$ está bien definida, con $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ sobre $[t_0, t_0 + T]$ — de modo que los puntos de evaluación permanecen en $R$ . *(Aquí es donde interviene $T \leq b/M$.)*
2. Demostrar que cada $\varphi_n$ es $M$ -lipschitziana.
3. Deducir de Arzelà–Ascoli (el [Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) que alguna subsucesión $(\varphi_{n_j})$ converge uniformemente sobre $[t_0, t_0 +  T]$ hacia cierta $\varphi$ , ella misma $M$ -lipschitziana con $\varphi(t_0) = x_0$ .

**Parte II — El límite resuelve la ecuación.** Defínase el *defecto* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ en los puntos que no son de la malla.

4. Demostrar que $f$ es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre $R$ y deducir: para todo $\varepsilon > 0$ existe $n_0$ tal que, para $n \geq n_0$ y todo $t$ fuera de la malla, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . *(Sobre $(t_k,  t_{k+1})$, $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, y $(t, \varphi_n(t))$ dista menos de $(1 + M)\,T/n$ de $(t_k, \varphi_n(t_k))$.)*
5. Establecer la forma integral: para todos $t$, $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ donde el integrando central es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a trozos.
6. Pásese al límite a lo largo de $(n_j)$: demuéstrese $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *uniformemente* (de nuevo la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$) y concluir $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. Deducir que $\varphi$ es $\mathcal C^1$ sobre $[t_0, t_0 +  T]$ y resuelve $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; extiéndase la construcción a $[t_0 - T, t_0]$ (inversión del tiempo). *Este es el teorema de Peano.*

**Parte III — La unicidad falla de verdad.** Considérense $x' = 2\sqrt{\abs x}$, $x(0) = 0$, sobre $\R$.

8. Comprobar que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) pero no lipschitziana en ningún [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $0$ .
9. Comprobar que $x \equiv 0$ y que, para todo $c \geq 0$, $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ son todas soluciones que pasan por $(0,0)$: un [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soluciones distintas.
10. ¿Dónde se rompe el argumento de la iteración de Picard (punto fijo de Banach) para esta $f$ ?

**Parte IV — Límites del método.**

11. Demostrar que el teorema de Peano falla en dimensión infinita: admitimos (o puede darse por bueno) el ejemplo clásico de Dieudonné en el espacio $c_0$ de las sucesiones que tienden a cero; en su lugar, demuéstrese el ingrediente de dimensión finita que allí falla: la bola unidad cerrada de $c_0$ (norma del supremo) no es compacta — exhíbase una sucesión acotada sin subsucesión convergente y explíquese qué paso de la Parte I se rompe.
12. Resúmase: ¿qué hipótesis dan existencia?, ¿cuáles existencia y unicidad? Enúnciense con precisión los dos teoremas (Peano; Cauchy–Lipschitz) uno junto al otro.

**Parte V — Osgood: unicidad más allá de Lipschitz.** Sea $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), no decreciente, con

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(\text{divergencia en } 0),
$$

y supóngase que $f$ cumple $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ sobre $R$.

13. Comprobar que $\omega(r) = Lr$ sirve (es lipschitziana), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (extendida por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) , para $r$ pequeño) sirve aunque *no* sea $O(r)$ , y que $\omega(r) = 2\sqrt r$ no sirve. Calcúlese la integral en cada caso.
14. Sean $x_1, x_2$ soluciones de la ecuación sobre $[t_0, t_0 + T]$ con $x_1(t_0) = x_2(t_0)$, y sea $\delta(t) =  \norm{x_1(t) - x_2(t)}$. Demostrar, solo a partir de las formas integrales, que para $t_0 \leq s \leq t$: $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (Teorema de Osgood) Supóngase $\delta(t_1) > 0$ para cierto $t_1$ y sea $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) =  0\}$. Para $s \in \intoo\tau{t_1}$, póngase $u(t) = \delta(s)  + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$. Demostrar que $\delta \leq  u$, $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$, y deducir $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ Hágase $s \downarrow \tau$ y obténgase una contradicción con la divergencia de la integral. Concluir: *las soluciones con una misma condición inicial coinciden* — unicidad bajo la condición de Osgood.
16. Extráiganse las consecuencias: la unicidad de Cauchy–Lipschitz es el caso $\omega(r) = Lr$ ; la ecuación $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ (extendida por $0$ en $0$ ) tiene soluciones únicas aunque su miembro derecho no sea lipschitziano en $0$ ; y para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , la convergencia de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ es exactamente lo que permite a una solución abandonar $0$ en tiempo finito — relaciónese el valor de la integral $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ con el comportamiento de escape de $x_c$ .

**Parte VI — Velocidades, esquemas, embudos.**

17. (Lema integral de Grönwall) Sea $e, \eta \geq 0$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre $[t_0, t_0+T]$ con $e(t) \leq \int_{t_0}  ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ para todo $t$. Demostrar $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *(póngase $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$, obsérvese que $G'  \leq LG + \sup\eta$ y derívese $\eu^{-Lt}G(t)$)*.
18. (Euler converge con una velocidad) Supóngase ahora que $f$ es $L$-lipschitziana en $x$ y $L'$-lipschitziana en $t$ sobre $R$. Combinando la cota del defecto de la pregunta 4 (hecha cuantitativa: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$) con la pregunta 17, demostrar $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ donde $\varphi$ es *la* solución: con datos lipschitzianos converge toda la sucesión, con una velocidad explícita — sin necesidad de subsucesiones. ¿Por qué la unicidad eleva la convergencia por subsucesiones a convergencia plena incluso sin este cálculo?
19. (El esquema elige) Para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) =  0$ : demostrar que toda poligonal de Euler es idénticamente nula, de modo que el esquema converge a la solución $x \equiv 0$ ; pero, arrancando en $x(0) = \varepsilon > 0$ , converge (cuando $n \to \infty$ y después $\varepsilon \to 0$ ) a $t  \mapsto t^2$ , una solución *distinta* que pasa por el origen. La no unicidad reaparece como sensibilidad del esquema numérico a las perturbaciones.
20. Demostrar que el conjunto $\mathcal S$ de *todas* las soluciones de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ , sobre $[t_0, t_0+T]$ (con valores en $\bar B(x_0, b)$ ) es no vacío (Parte II), uniformemente $M$ -lipschitziano y cerrado en $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; concluir con Ascoli que $\mathcal S$ es *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)* . (El teorema de Kneser añade que $\mathcal S$ es [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) ; no lo demostraremos.)
21. Verificar el fenómeno de Kneser en el ejemplo: para $x' =  2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , sobre $[0, 1]$ , demostrar que $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ con $x_\infty \equiv 0$ *(para cualquier solución, póngase $c =  \sup\{t : x(t) = 0\}$ e intégrese $(\sqrt x)' = 1$ sobre $\{x > 0\}$)* , que $c \mapsto x_c$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\intcc0\infty$ (la [compactificación por un punto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-locallycompact) , es decir, con $c = \infty$ pegado como límite) en $\mathcal C([0,1])$ , y concluir que $\mathcal S$ es, en efecto, [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) — un embudo con forma de segmento.
22. (Conjuntos alcanzables) Deducir de la pregunta 20 que, para cada $t$ fijo, el *conjunto alcanzable* $\mathcal S(t) =  \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) ; calcúlese para el ejemplo de la pregunta 21 y compruébese que también es [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) : $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — todo estado intermedio lo alcanza alguna solución.

**Parte VII — Complementos: dependencia, optimalidad y un esquema calculado a mano.**

23. (Dependencia [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)) Supóngase que $f$ es $L$-lipschitziana en $x$ sobre $R$ y sean $x, y$ dos soluciones con valores iniciales $x_0, y_0$ en $t_0$. Adaptando la demostración de la pregunta 17 a la desigualdad $e(t) \leq \norm{x_0  - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$, demostrar $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ y comprobar en $x' = Lx$ que la cota se alcanza: Grönwall es óptima. Deducir de nuevo la unicidad ($x_0 =  y_0$) y que la aplicación de flujo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ es lipschitziana, de constante $\eu^{LT}$, allí donde está definida.
24. (Osgood es óptima) Recíprocamente, sea $\omega$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), no decreciente, positiva en $\intoo0\infty$, con $\omega(r) \to 0$ cuando $r \to 0^+$, pero $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ y extiéndase $f(x) = \omega(\abs x)$ por $f(0) = 0$. Demostrar que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ es una biyección creciente de $\intoc0{1}$ sobre $\intoc0{\Omega(1)}$, que su inversa $g$ resuelve $g'  = \omega(g)$ con $g(0^+) = 0$, y que $g$, extendida por $0$ para $t \leq 0$, es una solución $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ que pasa por $(0, 0)$ y es distinta de $x \equiv  0$ *(para $g'(0) = 0$, acótese $\frac{g(t)}t$ por $\omega(g(t))$)*. Concluir: la hipótesis de divergencia de la pregunta 15 no es una comodidad, sino la frontera exacta de la unicidad; recupérese la Parte III a partir de $\omega(r) = 2\sqrt r$, $\Omega(x) = \sqrt x$.
25. (Euler calculado a mano) Para $x' = x$, $x(0) = 1$ sobre $[0, 1]$: demostrar que la poligonal de Euler cumple $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. Demostrar el desarrollo $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ de modo que el error en $t = 1$ es $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$: la velocidad $O(\frac1n)$ de la pregunta 18, con la constante exacta. Compruébese numéricamente para $n = 10$: $1.1^{10} = 2.59374$ frente a $\eu \approx 2.71828$, un error $0.12454$ que hay que comparar con $\frac{\eu}{20}  \approx 0.13591$.

**Solución de Problema 7.1.**

**1.** Inducción sobre $k$: si $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0}
\leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$, el punto $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ está en $R$, de modo que la pendiente $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ está definida, de norma $\leq M$; entonces, para $t \in
[t_k, t_{k+1}]$, $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq
MT \leq b$.

**2.** Cada trozo afín tiene pendiente de norma $\leq M$; y una función afín a trozos con pendientes acotadas por $M$ es $M$-lipschitziana (encadénese a través de los puntos de la malla).

**3.** La familia $(\varphi_n)$ está puntualmente acotada (valores en $\bar B(x_0, b)$) y es [equicontinua](#def-b3-complete-equicontinuous) (constante de Lipschitz común $M$): Ascoli (el [Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) extrae $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ uniformemente sobre $[t_0, t_0 + T]$. Las cotas pasan al límite: $\varphi$ es $M$-lipschitziana y $\varphi(t_0) = x_0$.

**4.** $R$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): es uniformemente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (Heine, el [Corolario 6.17](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#cor-b3-topology-heineborel)); sea $\delta(\varepsilon)$ un módulo. Para $t \in (t_k,
t_{k+1})$ fuera de la malla: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, y los dos puntos de evaluación de $f$ difieren en $\abs{t - t_k} \leq T/n$ en tiempo y en $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ en espacio. Para $n \geq n_0$ con $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$: $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$.

**5.** Sobre cada $[t_k, t_{k+1}]$, $\varphi_n$ es afín, luego $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}}
\varphi_n'(s)\dd s$, siendo la derivada la pendiente constante; sumando sobre los trozos (y cortando el último en $t$): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$. Escribiendo $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (integrandos [continuos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a trozos, con finitos saltos) se obtiene la fórmula.

**6.** Dado $\varepsilon$: para $j$ grande, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$, luego $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq
\varepsilon$ para todo $s$: convergencia uniforme de los integrandos, y $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to
\int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ uniformemente en $t$. Además, $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}}
\to 0$ (pregunta 4). Pasando al límite en la identidad de la pregunta 5: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,
\varphi(s))\,\dd s$.

**7.** El integrando $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), de modo que el miembro derecho es $\mathcal C^1$ en $t$ con derivada $f(t, \varphi(t))$: $\varphi$ resuelve el problema de Cauchy sobre $[t_0, t_0 + T]$. Para la mitad izquierda, póngase $g(t, x) =
-f(2t_0 - t, x)$, [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) sobre el rectángulo reflejado con la misma cota $M$; una solución $\psi$ de $y' = g(t,y)$, $y(t_0) = x_0$ sobre $[t_0, t_0 + T]$ da $\varphi(t) =
\psi(2t_0 - t)$, que resuelve la ecuación original sobre $[t_0 - T,
t_0]$; y las dos mitades se pegan en una solución $\mathcal C^1$ (ambas derivadas laterales en $t_0$ valen $f(t_0, x_0)$). — *Teorema de Peano*: una $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) admite una solución local con cualquier condición inicial.

**8.** La [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es clara. La condición de Lipschitz cerca de $0$ falla: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$, y $2\sqrt h \leq L h$ es falso para $h < 4/L^2$.

**9.** Para $t \leq c$: $x_c \equiv 0$ es solución. Para $t \geq
c$: $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$. En $t = c$, ambas derivadas laterales valen $0$: $x_c$ es $\mathcal C^1$ y resuelve globalmente, con $x_c(0) = 0$ para todo $c \geq 0$ — junto con $x \equiv 0$, un [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de soluciones que pasan por el origen.

**10.** La iteración de Picard plantea $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_0^t f(x(s))\dd s$ y necesita $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}
\leq k\norm{x - y}$ con $k < 1$ sobre una bola adecuada — lo cual se sigue de una cota de Lipschitz sobre $f$, trasladada bajo la integral. Aquí $\sqrt\cdot$ no admite ninguna cota de Lipschitz cerca de $0$, y ninguna elección de intervalo o de bola lo repara. Y, en efecto, ninguna demostración de unicidad podría funcionar: la unicidad es *falsa* (pregunta 9).

**11.** En $c_0$, los vectores unidad $e_n = (0, \dots, 0, 1,
0, \dots)$ cumplen $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ para $n \neq
m$: ninguna subsucesión es de Cauchy, de modo que la bola unidad cerrada no es compacta. El paso que se rompe es la extracción (pregunta 3): Ascoli para $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ exige que los valores vivan en un espacio donde los acotados sean relativamente [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) — cierto en $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), falso en $c_0$; la extracción puntual deja de estar disponible (de hecho, el ejemplo de Dieudonné no tiene ninguna solución local).

**12.** *Peano*: si $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en un [entorno](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) de $(t_0, x_0)$ en $\R\times\R^d$, $\Rightarrow$ existe una solución $\mathcal C^1$ de $x' = f(t,x)$, $x(t_0) = x_0$, sobre cierto $[t_0 - T, t_0 + T]$. *Cauchy–Lipschitz* (el [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/19-ecuaciones-diferenciales-ordinarias#ch-b3-ode)): si además $f$ es localmente lipschitziana en la variable $x$, la solución es *única* (dos cualesquiera coinciden en su intervalo común) — existencia y unicidad. El par $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ separa los dos teoremas.

**13.** $\omega(r) = Lr$: $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$: sirve. $\omega(r) = r\log\frac1r$ (cerca de $0$): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr]
\to +\infty$ cuando $r \to 0$: sirve — y sin embargo $\omega(r)/r =
\log\frac1r \to \infty$: no es lipschitziana. $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1
= 1 < \infty$: no sirve.

**14.** Réstense las dos formas integrales:

$$
x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v,
x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,
$$

tómense normas y úsese el módulo de Osgood: $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$.

**15.** $\tau$ está bien definida ($\delta(t_0) = 0$) con $\delta(\tau) = 0$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)) y $\delta > 0$ sobre $\intoc\tau{t_1}$. Fíjese $s \in \intoo\tau{t_1}$. Entonces $u$ es $\mathcal C^1$, $u(s) = \delta(s) > 0$, $u \geq \delta$ sobre $[s, t_1]$ (pregunta 14), y $u' = \omega(\delta) \leq
\omega(u)$ ($\omega$ no decreciente, $u > 0$). Divídase e intégrese:

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
= \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s
\leq t_1 - \tau .
$$

Aunque $u$ depende de $s$, la cota $u(t_1) \geq
\delta(t_1)$ vale para todo $s$, de modo que el miembro izquierdo es al menos $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$, que tiende a $+\infty$ cuando $s \downarrow \tau$ (entonces $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$, y la integral diverge en $0$): el miembro derecho, acotado, queda contradicho. Por tanto, $\delta \equiv 0$: unicidad.

**16.** Lipschitz es $\omega = Lr$: se recupera la unicidad. Para $x' = x\log\frac1{\abs x}$: el miembro derecho cumple el módulo de Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ cerca de $0$ (desigualdad del valor medio sobre $x \mapsto x\log\frac1x$, cuya derivada $\log\frac1x - 1$ no está acotada — Lipschitz falla, Osgood se cumple): soluciones únicas; obsérvese que $x \equiv 0$ es una de ellas, de modo que ninguna otra solución puede tocar $0$. Para $\omega(r) = 2\sqrt r$: $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — el «presupuesto de Osgood» para subir de $0$ a la altura $h^2$ es exactamente el tiempo $h$ y, en efecto, $x_c(c + h) = h^2$: la solución emplea el tiempo $h$ en hacer precisamente lo que la integral convergente permite. La divergencia de la integral es la imposibilidad de abandonar $0$ en tiempo finito; la convergencia es la vía de escape.

**17.** $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ es $\mathcal C^1$ con $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (hipótesis $e \leq G$). Entonces $\bigl(\eu^{-Lt}(G +
\tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta)
\leq 0$: el corchete decrece, luego $G(t) + \frac{\sup\eta}L
\leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) =
\eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$, es decir, $e(t) \leq G(t) \leq
\frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$.

**18.** Defecto cuantitativo: sobre $(t_k, t_{k+1})$, $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ con $\abs{t - t_k} \leq T/n$ y $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$, luego $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n +
LMT/n$. Restando las identidades integrales de $\varphi_n$ (pregunta 5) y $\varphi$ y usando la cota de Lipschitz:

$$
\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq
\int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s +
\int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,
$$

y la pregunta 17 con $\eta = \norm{\Delta_n}$ da la cota $O(1/n)$ enunciada, siendo $\varphi$ única por Cauchy–Lipschitz (o por Osgood). Incluso sin velocidades: toda subsucesión de las $(\varphi_n)$, equiacotadas y equilipschitzianas, tiene una subsubsucesión convergente (Ascoli y Parte II) hacia *alguna* solución, que la unicidad obliga a ser $\varphi$: y una sucesión en la que toda subsucesión tiene una subsubsucesión con el mismo límite converge.

**19.** De $\varphi_n(t_k) = 0$: la pendiente $2\sqrt0 =
0$ da $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$; por inducción, $\varphi_n
\equiv 0$, que converge a la solución nula. De $\varepsilon > 0$: sobre $[\varepsilon', \infty)$ con $\varepsilon' < \varepsilon$, la función $2\sqrt x$ es lipschitziana, de modo que se aplica la pregunta 18 y Euler converge a la única solución que pasa por $(0, \varepsilon)$, a saber $x(t) =
(t + \sqrt\varepsilon)^2$ (compruébese: $x' = 2(t + \sqrt
\varepsilon) = 2\sqrt x$). Cuando $\varepsilon \to 0$, $(t +
\sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ uniformemente sobre $[0,1]$: el límite doble aterriza en $x_0(t) = t^2$, y no en $0$. Una perturbación arbitrariamente pequeña del dato inicial redirige el esquema de una solución a otra: la no unicidad leída como inestabilidad numérica.

**20.** No vacío: Parte II. Toda solución cumple $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$: $\mathcal S$ es uniformemente $M$-lipschitziano y uniformemente acotado (valores en $\bar B(x_0, b)$). Cerrado: si $x_n \in \mathcal S \to x$ uniformemente, pásese al límite en $x_n(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ (los integrandos convergen uniformemente por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$ sobre el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $R$): $x \in \mathcal S$. Ascoli: $\mathcal S$ es un subconjunto cerrado, acotado y equicontinuo de $\mathcal C([t_0, t_0+T],
\R^d)$: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact).

**21.** Toda solución es no decreciente ($x' = 2\sqrt{\abs
x} \geq 0$) con $x(0) = 0$, luego $x \geq 0$. Sea $c =
\sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (posiblemente $c = \infty$ si $x \equiv 0$, en cuyo caso $x = x_\infty$). Para $t > c$: $x
> 0$ (monotonía y definición de $c$), y allí $(\sqrt
x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$, luego $\sqrt{x(t)} = t - c$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $c$): $x = x_c$. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $c \mapsto
x_c$: para $c, c' \in [0, 1]$, $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 -
(t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (la aplicación $c \mapsto
(t-c)_+^2$ es $2$-lipschitziana uniformemente en $t \in [0,1]$) y, como $x_c \equiv 0$ sobre $[0,1]$ para todo $c \geq 1$, la familia se reduce a $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ (con $x_1 = 0 = x_\infty$). Así pues, $\mathcal S$ es la imagen del [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected) $[0,1]$ por la [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $c
\mapsto x_c$: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) y [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected). El embudo de soluciones es un segmento [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que va de $t^2$ (escape inmediato) hasta $0$ (reposo eterno).

**22.** La evaluación $\operatorname{ev}_t\colon
\mathcal C([0,1]) \to \R$, $x \mapsto x(t)$, es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ($\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$), de modo que $\mathcal
S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ es imagen [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact): es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) — y de un [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected): [conexo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-connected). Para el ejemplo: $x_c(t) = (t - c)_+^2$ barre, cuando $c$ recorre $[0, 1]$, todos los valores desde $t^2$ (en $c = 0$) hasta $0$ (en $c \geq t$), de manera [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $\mathcal S(t) =
\intcc0{t^2}$. En cada instante, la sección del embudo es un segmento [completo](#def-b3-complete-complete): entre el reposo y el escape máximo, todo compromiso lo realiza alguna solución.

**23.** Restando la forma integral $x(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ y su análoga para $y$, y poniendo $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$, $d = \norm{x_0 - y_0}$:

$$
e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).
$$

Entonces $G(t_0) = d$ y $G' = Le \leq LG$, luego $\bigl(\eu^{-L(t
- t_0)}G\bigr)' \leq 0$ y $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$; de donde $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Optimalidad: para $x' =
Lx$, las soluciones que pasan por $x_0$ y $y_0$ son $x_0\eu^{L(t -
t_0)}$ y $y_0\eu^{L(t-t_0)}$, cuya distancia es exactamente $d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Con $d = 0$, $e \equiv 0$: la unicidad de Cauchy–Lipschitz, redemostrada en dos líneas. Y para $t \in [t_0, t_0 + T]$ fijo, $\norm{x(t; x_0) - x(t;
y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$: el flujo es lipschitziano en la condición inicial — dependencia determinista, a un precio exponencial controlado.

**24.** Sobre $\intoc01$, $\Omega$ está bien definida (la integral converge en $0$ por hipótesis), es $\mathcal C^1$ con $\Omega' = \frac1\omega > 0$: una biyección creciente sobre $\intoc0{\Omega(1)}$, con $\Omega(x) \to 0$ cuando $x \to 0^+$. Su inversa $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ es $\mathcal C^1$ con

$$
g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0,
\qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .
$$

Extiéndase $g$ por $0$ sobre $t \leq 0$: la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es clara y, en $t = 0$, para $t > 0$,

$$
\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s
= \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s
\leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0
$$

($\omega$ no decreciente, $g$ creciente, $\omega(0^+) = 0$): $g'(0) = 0 = f(g(0))$, y $g' = f(g)$ se cumple a ambos lados de $0$. Así pues, $x \equiv 0$ y $g$ son dos soluciones $\mathcal
C^1$ distintas que pasan por $(0, 0)$: cuando $\int_0\frac{\dd r}
{\omega(r)}$ converge, la unicidad falla — la divergencia de la pregunta 15 es exactamente la frontera. Para $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$, $g(t) = t^2$, y las traslaciones temporales dan toda la familia $x_c$ de la Parte III.

**25.** Con paso $h = \frac1n$: $\varphi_n(t_{k+1}) =
\varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$, luego $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ tras $n$ pasos. Desarrollo:

$$
n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr)
\Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

y, exponenciando, $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) +
O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$. El error en $t = 1$ es, por tanto, $\eu - \varphi_n(1) =
\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$: el $O(\frac1n)$ de la pregunta 18, aquí con su constante exacta $\frac\eu2$. Numéricamente, $n =
10$: $1.1^{10} = 2.5937424601$ ($1.1^2 = 1.21$, $1.1^4 =
1.4641$, $1.1^8 = 2.14358881$, por $1.21$), y $\eu -
2.59374 \approx 0.12454$, frente a la predicción asintótica $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$: concordancia hasta la corrección $O(n^{-2})$, cuyo término principal rebaja aquí la predicción hacia el valor observado.