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title: "Espacios de Banach y los teoremas fundamentales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/8-espacios-de-banach-y-los-teoremas-fundamentales
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# Capítulo 8 — Espacios de Banach y los teoremas fundamentales

El análisis funcional estudia los espacios normados de dimensión infinita a través de los operadores y las funcionales que viven sobre ellos. Su descubrimiento fundacional es que la *[completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*, vía el teorema de Baire, impone una fuerte uniformidad: las familias de operadores puntualmente acotadas están acotadas en norma (Banach–Steinhaus), las biyecciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) tienen inversa [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (aplicación abierta) y las gráficas detectan la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (gráfica cerrada). El otro pilar, *Hahn–Banach*, no necesita [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) alguna — solo el lema de Zorn — y garantiza que los [espacios duales](#def-b3-banach-operator) son lo bastante ricos como para ver todo vector. Este capítulo demuestra los cuatro teoremas y los pone a prueba sobre los espacios de sucesiones clásicos $\ell^p$, sobre cálculos concretos de [duales](#def-b3-banach-operator) y sobre una aplicación genuinamente sorprendente: existen funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas cuya serie de Fourier *diverge* en un punto — lo que resuelve en sentido negativo una cuestión que segundo año dejó abierta.

En todo el capítulo, $E, F$ son espacios normados sobre $K = \R$ o $\C$; *espacio de Banach* significa espacio normado [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

## 8.1 Operadores acotados; espacios de sucesiones

**Definición 8.1.**

$\mathcal L(E, F)$ denota el espacio de las aplicaciones lineales *acotadas* (= [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), segundo año) con la *norma de operador* $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq
1}\norm{Tx}$; es submultiplicativa: $\vertiii{ST} \leq
\vertiii S\,\vertiii T$. El *dual* es $E' = \mathcal L(E, K)$.

**Proposición 8.2.**

Si $F$ es un espacio de Banach, también lo es $\mathcal L(E, F)$; en particular, $E'$ siempre es un espacio de Banach.

**Demostración.** Sea $(T_n)$ de Cauchy para $\vertiii\cdot$. Para cada $x$, $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: $(T_nx)$ es de Cauchy en $F$ y converge; llamemos $Tx$ a su límite. $T$ es lineal (límites de identidades lineales); pasando al límite en $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ($n, m \geq N$) se obtiene $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$: $T_n \to T$ en [norma de operador](#def-b3-banach-operator), y $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} +
\varepsilon < \infty$. ∎

**Definición 8.3.**

Los espacios de sucesiones clásicos (sobre $K$, indexados por $\N$):

$$
\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n
\abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p <
\infty),
$$

$$
\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},
$$

y $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ con $\norm\cdot_\infty$. Que $\norm\cdot_p$ sea una norma se sigue de la desigualdad de Minkowski, demostrada en el caso discreto exactamente igual que en el [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#ch-b3-lp) (o sumando la desigualdad de dimensión finita de segundo año). Todos son espacios de Banach, y $c_0$ es un subespacio cerrado de $\ell^\infty$ ([Ejercicio 8.3](#exo-b3-banach-3)).

![Bolas unidad de las normas p en el plano, encajadas conforme p crece desde 1 (rombo), pasando por 2 (disco) y 4 (superelipse), hasta ∈fty (cuadrado). La convexidad de cada bola es la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en p = 1 y p = ∈fty son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del degeneran todos a la vez.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg)

*Bolas unidad de las normas $p$ en el plano, encajadas conforme $p$ crece desde $1$ (rombo), pasando por $2$ (disco) y $4$ (superelipse), hasta $\infty$ (cuadrado). La convexidad de cada bola *es* la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en $p = 1$ y $p = \infty$ son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del [Ejercicio 12.12](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/12-los-espacios-lp#exo-b3-lp-12) degeneran todos a la vez.*

**Proposición 8.4 (Serie de Neumann).**

Sea $E$ de Banach y sea $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ con $\vertiii T < 1$. Entonces $I - T$ es invertible en $\mathcal
L(E)$, con $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente en [norma de operador](#def-b3-banach-operator)). En consecuencia, el conjunto de los operadores invertibles es abierto y la inversión es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en él.

**Demostración.** La serie converge absolutamente ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii
T^n$, geométrica) en el espacio de Banach $\mathcal L(E)$ ([Proposición 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete); el [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). Telescopando, $(I - T)\sum_{n \leq
N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, y análogamente por el otro lado. Para el [carácter](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-character) abierto: si $S$ es invertible y $\vertiii{H} <
1/\vertiii{S^{-1}}$, entonces $S + H = S(I + S^{-1}H)$ con $\vertiii{S^{-1}H} < 1$: es invertible. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la inversión: la expresión en serie da $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} =
O(\vertiii H)$ localmente. ∎

**Ejemplo 8.5 (Una ecuación de Volterra, resuelta por Neumann).**

Sobre $E = \mathcal C(\intcc01)$, considérese la ecuación integral

$$
u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t,
\qquad\text{es decir}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu,
\quad (Tu)(x) = \int_0^xu .
$$

Aquí $\vertiii T \leq 1$, de modo que para $\abs\lambda < 1$ la [serie de Neumann](#prop-b3-banach-neumann) se aplica directamente: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 =
\sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. Calculando, $T^n\mathbf 1 =
\frac{x^n}{n!}$, luego

$$
u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} =
\eu^{\lambda x} ,
$$

como confirma la derivación. Mejor aún: $\vertiii{T^n} \leq
\frac1{n!}$ (el núcleo iterado decrece factorialmente), de modo que $\sum\lambda^nT^n$ converge para *todo* $\lambda$ — el operador $I - \lambda T$ es invertible para todos los $\lambda
\in \C$, aunque $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ acabe siendo grande: lo que importa es el decrecimiento espectral de las potencias, no la primera norma. Los operadores de Volterra llevan incorporado ese decrecimiento factorial (el [Ejercicio 7.4](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) explotaba exactamente esto), y por eso los problemas de valores iniciales nunca padecen los fenómenos de resonancia de los problemas de contorno ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/15-operadores-compactos-y-el-teorema-espectral#ch-b3-spectral)).

## 8.2 Hahn–Banach

**Teorema 8.6 (Hahn–Banach, forma analítica).**

Sean $E$ un espacio vectorial *real*, $p \colon E \to \R$ *sublineal* ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ y $p(tx) =
tp(x)$ para $t \geq 0$), $F \subseteq E$ un subespacio y $f
\colon F \to \R$ lineal con $f \leq p$ sobre $F$. Entonces $f$ se extiende a una aplicación lineal $\tilde f \colon E \to \R$ con $\tilde f \leq p$ sobre $E$.

**Demostración.** *Extensión en un paso.* Sea $x_0 \notin F$; extendemos $f$ a $F \oplus \R x_0$ eligiendo $\alpha = \tilde f(x_0)$ adecuadamente: necesitamos que, para todos $y \in F$, $t > 0$,

$$
f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0)
\quad\text{y}\quad
f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),
$$

lo que, tras dividir por $t$ (sublinealidad), se reduce a

$$
\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr]
\;\leq\; \alpha \;\leq\;
\inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].
$$

Un tal $\alpha$ existe si y solo si todo miembro izquierdo es $\leq$ que todo miembro derecho: en efecto, $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq
p(u + x_0) + p(v - x_0)$, es decir, $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u +
x_0) - f(u)$.

*Zorn.* Ordénense por extensión las extensiones de $f$ dominadas por $p$ (pares: subespacio y funcional); una cadena tiene la unión por cota superior; y un elemento maximal ha de estar definido en todo $E$, pues en caso contrario la extensión en un paso contradiría la maximalidad. ∎

**Corolario 8.7.**

Sea $E$ un espacio normado ($K = \R$ o $\C$).

1. Toda $f \in F'$ (con $F$ un subespacio) se extiende a $\tilde f  \in E'$ con $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
2. Para todo $x \neq 0$ existe $f \in E'$ con $\norm f  = 1$ y $f(x) = \norm x$ . En particular, $E'$ separa los puntos de $E$ , y $\norm x = \sup_{\norm f \leq  1}\abs{f(x)}$ .
3. Para un subespacio cerrado $F$ y $x \notin F$ , existe $f  \in E'$ que se anula en $F$ con $f(x) = d(x, F)$ y $\norm f \leq 1$ .

**Demostración.** (1) Caso real: aplíquese el [Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) con $p(x)
= \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineal); la extensión cumple $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$, luego $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, y $\geq$ es la restricción. Caso complejo: sea $u = \operatorname{Re}f$, una funcional real con $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$; obsérvese que $f(x) = u(x) -
\iu\,u(\iu x)$ (compruébese sobre las partes real e imaginaria: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$). Extiéndase $u$ de manera real-lineal con la misma cota y póngase $\tilde f(x) =
\tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$: es $\C$-lineal (comprobación directa sobre la multiplicación por $\iu$) y extiende $f$; norma: para $x$ dado, escríbase $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$, y entonces $\abs{\tilde f(x)}
= \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x)
\leq \norm f\,\norm x$.

(2) Sobre $F = Kx$ defínase $f(tx) = t\norm x$: tiene norma $1$ sobre $F$; extiéndase por (1). La fórmula de dualidad: $\leq$ es claro, y $\geq$ por esta $f$.

(3) Sobre $F \oplus Kx$ defínase $f(y + tx) = t\,d(x, F)$; entonces, para $t \neq 0$, $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs
t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$: $\norm f \leq 1$ sobre el subespacio; extiéndase por (1). ∎

**Observación 8.8.**

Por (2), la aplicación canónica $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) =
f(x)$, es una isometría (el [Ejercicio 8.10](#exo-b3-banach-10)): todo espacio normado se aloja dentro de su bidual. Los espacios con $J$ sobreyectiva se llaman *reflexivos*; el problema de fin de semana muestra que $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) es [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) mientras que $\ell^1$ no lo es.

## 8.3 La trilogía de Baire

**Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, acotación uniforme).**

Sean $E$ un espacio de *Banach*, $F$ normado y $(T_i)_{i\in
I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ una familia con $\sup_i
\norm{T_ix} < \infty$ para todo $x \in E$. Entonces $\sup_i
\vertiii{T_i} < \infty$.

**Demostración.** Los conjuntos $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ son cerrados (intersecciones de preimágenes de bolas cerradas) y recubren $E$. Baire (el [Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) da $n_0$ y una bola $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. Para $\norm z < r$: $\norm{T_iz}
\leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$, luego $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ para todo $i$. ∎

**Corolario 8.10.**

Si $E$ es de Banach y las $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergen *puntualmente* ($T_nx \to Tx$ para cada $x$), entonces $\sup_n
\vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$, y $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$.

**Demostración.** Las sucesiones convergentes están acotadas: acotación puntual; Banach–Steinhaus acota las normas por cierto $M$; entonces $\norm{Tx}
= \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ($T$ es lineal por ser límite puntual), y la cota más fina se obtiene haciendo $\liminf$ en $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$. ∎

**Teorema 8.11 (Series de Fourier divergentes).**

Existen funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas $f$ cuya serie de Fourier diverge en $0$: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} =
\infty$. De hecho, tales $f$ forman un subconjunto denso de $\mathcal
C(S^1)$.

**Demostración.** Trabajemos en $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$, un espacio de Banach, con las funcionales $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (núcleo de Dirichlet, segundo año). Cada $\Lambda_N$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) con

$$
\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd
t \;=\; L_N .
$$

($\leq$ es claro; $\geq$: tómese $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), $\norm f_\infty
\leq 1$, que aproxime $\operatorname{sign}D_N$ — el signo tiene un número finito de saltos; suavizando cada salto en un intervalo de longitud $\varepsilon$, la integral varía en $O(N\varepsilon)$.) Las *constantes de Lebesgue* $L_N$ tienden a infinito:

$$
L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}}
\,\dd t
\geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin
u}}{u}\,\dd u
$$

(usando $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ en $[0, \pi]$ y sustituyendo después $u = (N + \tfrac12)t$). Cortando en arcos:

$$
\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u
\geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u =
\frac{2}{k\pi},
\qquad\text{luego}\qquad
L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k
\xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .
$$

Si toda $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) cumpliera $\sup_N
\abs{\Lambda_N(f)} < \infty$, Banach–Steinhaus obligaría a $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$: contradicción. Luego alguna $f$ — de hecho, un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) y no [magro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) de $f$ (el complementario de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$, unión numerable de cerrados que, al no tener [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) por lo anterior aplicado en cualquier bola, es [magro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)) — cumple $\sup_N\abs{S_Nf(0)} =
\infty$. ∎

**Teorema 8.12 (Aplicación abierta).**

Sean $E, F$ espacios de Banach y sea $T \in \mathcal L(E, F)$ *sobreyectivo*. Entonces $T$ es abierto: $T(B_E(0,1)) \supseteq
B_F(0, c)$ para cierto $c > 0$. En consecuencia, un operador acotado biyectivo entre espacios de Banach tiene inversa acotada.

**Demostración.** Escribamos $B = B_E(0,1)$. La sobreyectividad da $F = \bigcup_n
\overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$; Baire (el [Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) da [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) a $\overline{T(B)}$: cierto $B_F(y_0, 4c) \subseteq
\overline{T(B)}$. Recentrando en $0$: para $\norm y < 4c$, tanto $y_0 + y$ como $y_0$ son límites de imágenes $Tu_k$, $Tv_k$ con $u_k, v_k \in B$, luego $y = \lim T(u_k - v_k)$ con $u_k - v_k
\in 2B$: $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$, es decir, $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$.

*Eliminar la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)* (aquí interviene la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) de $E$): sea $\norm y < c$. Tómese $x_1 \in \frac12 B$ con $\norm{y -
Tx_1} < c/2$ ($B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ reescalado por $\frac12$); inductivamente, $x_k \in 2^{-k}B$ con $\norm{y -
T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. La serie $\sum x_k$ converge absolutamente en el espacio de Banach $E$, hacia cierto $x \in B$ (de norma $<
\sum 2^{-k} = 1$), y $Tx = y$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $B_F(0, c)
\subseteq T(B)$. El [carácter](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/5-representaciones-de-los-grupos-finitos#def-b3-representations-character) abierto de $T$ sobre abiertos arbitrarios se sigue por traslación y homotecia; y para el corolario, que $T$ sea abierta significa que $T^{-1}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). ∎

**Corolario 8.13 (Normas equivalentes).**

Si un espacio vectorial es [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) para dos normas comparables ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$), las normas son equivalentes.

**Demostración.** La identidad $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ es acotada y biyectiva entre espacios de Banach: su inversa es acotada. ∎

**Teorema 8.14 (Gráfica cerrada).**

Sean $E, F$ de Banach y $T \colon E \to F$ lineal. Si la gráfica $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ es cerrada en $E \times F$ (es decir, si $x_n \to x$ y $Tx_n \to y$ implican $y = Tx$), entonces $T$ es acotado.

**Demostración.** $E \times F$ con $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ es de Banach; $\Gamma$, subespacio cerrado, es de Banach. La proyección $\pi_E\colon \Gamma \to E$ es acotada y biyectiva, de modo que su inversa $x \mapsto (x, Tx)$ es acotada ([Teorema 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): $\norm{Tx} \leq \norm{(x,
Tx)} \leq C\norm x$. ∎

**Método 8.15.**

Cuándo echar mano de cada teorema. *Hahn–Banach*: para producir una funcional con un comportamiento prescrito (que norme un vector, que se anule en un subespacio, que extienda desde un subespacio) — no hace falta [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *Banach–Steinhaus*: para convertir información puntual en cotas uniformes — típicamente, para ver que una operación de paso al límite es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), o bien (por contrarrecíproco) para demostrar la *divergencia* de algún elemento, como con las series de Fourier. *Aplicación abierta / gráfica cerrada*: para obtener gratis la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a partir de la biyectividad [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) o de una propiedad de [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de la gráfica — uso típico: comparar dos normas [completas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), o demostrar la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) automática. Los tres teoremas de Baire exigen la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) *del espacio de partida*; en caso contrario hay contraejemplos ([Ejercicio 8.7](#exo-b3-banach-7)).

## 8.4 Espacios duales, en concreto

**Teorema 8.16.**

Isométricamente: $(c_0)' \cong \ell^1$ y $(\ell^1)' \cong
\ell^\infty$, mediante el emparejamiento $\langle x, y\rangle = \sum_n
x_ny_n$.

**Demostración.** Demostramos $(c_0)' \cong \ell^1$; la segunda identificación es el [Ejercicio 8.5](#exo-b3-banach-5). A $y \in \ell^1$ asóciesele $\Lambda_y(x)
= \sum x_ny_n$ ($x \in c_0$): la serie converge absolutamente, con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$, luego $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. Recíprocamente, sea $\Lambda \in
(c_0)'$; póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ ($e_n$ son las sucesiones unidad). Para $N$ cualquiera, evalúese en $x^{(N)} = \sum_{n \leq N}
\operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (de norma $\leq
1$; en el caso complejo úsense factores unimodulares $\bar y_n/\abs
{y_n}$): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq
\norm\Lambda$. Luego $y \in \ell^1$ con $\norm y_1 \leq
\norm\Lambda$. Por último, $\Lambda = \Lambda_y$: ambas coinciden sobre los $e_n$ y, por tanto, sobre las sucesiones finitas, que son densas en $c_0$ (truncamiento: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n}
\to 0$ precisamente porque $x_n \to 0$); y dos funcionales [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) que coinciden sobre un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) son iguales. La correspondencia es lineal, biyectiva e isométrica ($\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ a partir de las dos desigualdades). ∎

## 8.5 Ejercicios

**Ejercicio 8.1 ★.**

Calcular las [normas de operador](#def-b3-banach-operator): (a) de los desplazamientos $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ y $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ sobre $\ell^2$; (b) del operador de multiplicación $M_a x = (a_nx_n)$ sobre $\ell^2$, para $a \in \ell^\infty$; (c) de la funcional $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f -
\int_{1/2}^1f$ sobre $\mathcal C(\intcc01)$ — demuéstrese que $\norm\Lambda = 1$ y que la norma *no* se alcanza.

**Solución de Ejercicio 8.1.**

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: $S$ es una isometría, $\vertiii S =
1$. Para el desplazamiento hacia atrás: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq
2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, con igualdad para $x = e_2$: $\vertiii{S^*} = 1$.

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm
a_\infty^2\norm x_2^2$; evaluando en $x = e_n$ se obtiene $\vertiii{M_a}
\geq \abs{a_n}$ para todo $n$: $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$.

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$: $\norm\Lambda \leq 1$. Para $\varepsilon > 0$, sea $f_\varepsilon$ igual a $1$ en $[0, \frac12 - \varepsilon]$ y a $-1$ en $[\frac12 +
\varepsilon, 1]$, afín entre medias: $\norm{f_\varepsilon}_\infty =
1$ y $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$: $\norm\Lambda = 1$. No se alcanza: $\Lambda(f) = 1$ con $\norm
f_\infty \leq 1$ obliga a $\int_0^{1/2}f = \frac12$ y $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$, es decir ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), $\abs f \leq 1$), a $f \equiv 1$ en $[0, \frac12]$ y $f \equiv -1$ en $[\frac12,
1]$: contradicción en $\frac12$.

**Ejercicio 8.2 ★.**

Sean $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ invertible y $S$ con $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. Demostrar que $S$ es invertible y estimar $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. Aplicación: si un sistema lineal $Tx = b$ es [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived) con $T$ invertible, una perturbación suficientemente pequeña de $T$ lo mantiene unívocamente [resoluble](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived), con una cota cuantitativa del cambio de la solución.

**Solución de Ejercicio 8.2.**

Escríbase $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ con $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} =
\theta < 1$: por la [Proposición 8.4](#prop-b3-banach-neumann), $S$ es invertible con $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T -
S)\bigr)^nT^{-1}$, de donde

$$
\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq
\sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}}
= \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.
$$

Para el sistema lineal: $x_T = T^{-1}b$ y $x_S = S^{-1}b$ difieren a lo sumo en esa cota por $\norm b$ — las perturbaciones pequeñas de un sistema invertible siguen siendo unívocamente [resolubles](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/1-teoria-de-grupos#def-b3-groups-derived), con dependencia lipschitziana de la solución respecto del operador.

**Ejercicio 8.3 ★★.**

(a) Demostrar que $\ell^1$, $\ell^\infty$ y $c_0$ son espacios de Banach, y que $c_0$ es la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en $\ell^\infty$ del espacio de las sucesiones finitas. (b) Demostrar que $\ell^p \subseteq \ell^q$ con $\norm\cdot_q \leq
\norm\cdot_p$ para $1 \leq p \leq q \leq \infty$, y que la inclusión es estricta.

**Solución de Ejercicio 8.3.**

(a) $\ell^1$: sea $(x^{(k)})$ de Cauchy. Cada coordenada es de Cauchy ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} -
x^{(l)}}_1$): sea $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$. Dado $\varepsilon$, para $k, l \geq K$: $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}
\leq \varepsilon$ para todo $N$; hágase $l \to \infty$ y después $N \to
\infty$: $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, y $x =
x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. $\ell^\infty$: ser de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ es ser uniformemente de Cauchy: converge uniformemente a una sucesión acotada. $c_0$ es cerrado en $\ell^\infty$: si $x^{(k)} \to x$ uniformemente con $x^{(k)}_n \to_n 0$, entonces $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ da $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$: $x \in c_0$; y un subespacio cerrado de un espacio de Banach es de Banach. Sucesiones finitas: su [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) contiene todo $x \in c_0$ (los truncamientos convergen: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) y está contenida en el cerrado $c_0$.

(b) Por homogeneidad, supóngase $\norm x_p = 1$: entonces $\abs{x_n} \leq
1$ para todo $n$, luego $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ y $\norm
x_q \leq 1 = \norm x_p$; para $q = \infty$, $\abs{x_n} \leq
\norm x_p$ directamente. Que la inclusión es estricta: $x_n = n^{-\alpha}$ con $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ está en $\ell^q \setminus
\ell^p$ (serie de Riemann).

**Ejercicio 8.4 ★★.**

Sean $F \subseteq E$ un subespacio cerrado y $x \notin F$. Usando el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed), demostrar la fórmula de dualidad

$$
d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\
f\restriction_F = 0\bigr\}
$$

(obsérvese: un *máximo*). Deducir que $F = \bigcap\{\ker f : f
\in E',\ f\restriction_F = 0\}$: los subespacios cerrados son exactamente las intersecciones de núcleos de funcionales.

**Solución de Ejercicio 8.4.**

($\leq$) Si $\norm f \leq 1$ y $f\restriction_F = 0$: para todo $y \in F$, $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x -
y}$; tómese el ínfimo. ($\geq$, y se alcanza) El [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) produce $f$ con $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$, $f(x) = d(x, F)$: el supremo es un máximo. Consecuencia: $F \subseteq \bigcap\{\ker
f : f\restriction_F = 0\}$ trivialmente, y un punto $x \notin F$ queda excluido de la intersección por la funcional anterior ($f(x) = d(x,F) > 0$, por ser $F$ cerrado).

**Ejercicio 8.5 ★★.**

Demostrar que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isométricamente, siguiendo el esquema del [Teorema 8.16](#thm-b3-banach-duals) (las sucesiones finitas son densas en $\ell^1$). ¿Dónde se rompe el argumento para $(\ell^\infty)'$?

**Solución de Ejercicio 8.5.**

Para $y \in \ell^\infty$: $\abs{\Lambda_y(x)} =
\abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, luego $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$; evaluando en $e_n$: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: igualdad. Recíprocamente, dada $\Lambda \in (\ell^1)'$, póngase $y_n =
\Lambda(e_n)$: $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$, luego $y \in
\ell^\infty$; y $\Lambda$ y $\Lambda_y$ coinciden sobre las sucesiones finitas, que son densas en $\ell^1$ ($\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): $\Lambda =
\Lambda_y$. La aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es lineal, isométrica y sobreyectiva. Para $(\ell^\infty)'$, el mismo comienzo produce una sucesión $y_n = \Lambda(e_n)$, pero las sucesiones finitas *no* son densas en $\ell^\infty$ (la sucesión constante $\mathbf 1$ dista $1$ de todas ellas), de modo que $\Lambda$ no queda determinada por los $y_n$ — y, en efecto, $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([Problema 8.1](#pb-b3-banach-1)).

**Ejercicio 8.6 ★★.**

Sea $E, F, G$ normado con $E$ de Banach, y sea $B \colon E \times
F \to G$ bilineal y [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en cada variable por separado. Demostrar que $B$ es (conjuntamente) [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$. *(Aplíquese Banach–Steinhaus a la familia $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$.)*

**Solución de Ejercicio 8.6.**

Para cada $x$ fijo, $y \mapsto B(x, y)$ es lineal [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. Así que la familia $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (cada miembro [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) en $x$) está puntualmente acotada sobre el espacio de Banach $E$: Banach–Steinhaus (el [Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) da $C$ con $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ para todos $\norm y \leq 1$; y la homogeneidad en $y$ remata: $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$.

**Ejercicio 8.7 ★★.**

(a) Sobre $E = \mathcal C(\intcc01)$, compárense $\norm\cdot_\infty$ y $\norm\cdot_1$: la identidad $(E, \norm\cdot_\infty) \to
(E, \norm\cdot_1)$ es acotada y biyectiva, pero su inversa no está acotada. ¿Qué hipótesis del [Corolario 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) falla? (b) Exhibir una aplicación lineal discontinua de un subespacio denso de $\ell^2$ en $K$ (por ejemplo, sobre las sucesiones finitas) y explicar por qué esto no contradice el teorema de la gráfica cerrada.

**Solución de Ejercicio 8.7.**

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: la identidad es acotada y biyectiva. Su inversa no está acotada: $f_n(x) = x^n$ cumple $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ pero $\norm{f_n}_\infty = 1$. No hay contradicción con el [Corolario 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms): $(\mathcal
C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ *no* es [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (el [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)); el corolario exige [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) en ambos lados.

(b) Sobre el espacio $E_0$ de las sucesiones finitas (denso en $\ell^2$), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ es lineal y no acotada ($\varphi(e_n) = n$ con $\norm{e_n}_2 = 1$). El teorema de la gráfica cerrada no se aplica: $E_0$ no es [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — y $\varphi$ no tiene extensión [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a $\ell^2$, lo que ilustra que la densidad sin [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) uniforme es impotente ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)).

**Ejercicio 8.8 ★★★.**

(Hellinger–Toeplitz) Sea $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineal (definido en todo el espacio) y *simétrico*: $\langle Tx,
y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$, donde $\langle
x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$. Demostrar que $T$ es acotado. *(Gráfica cerrada: si $x_k \to x$ y $Tx_k \to z$, evalúese contra $y$ arbitrario.)* Moraleja: los operadores simétricos no acotados — los hamiltonianos de la mecánica cuántica — nunca pueden definirse en todo el espacio.

**Solución de Ejercicio 8.8.**

Verifiquemos la hipótesis de la gráfica cerrada. Sean $x_k \to x$ y $Tx_k \to z$ en $\ell^2$. Para todo $y$:

$$
\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle
= \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle
= \langle Tx, y\rangle,
$$

usando la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) del producto escalar en cada argumento (Cauchy–Schwarz) y la simetría dos veces. Así pues, $z - Tx$ es ortogonal a todo $y$, en particular a sí mismo: $z = Tx$. La gráfica es cerrada y $\ell^2$ es de Banach: $T$ está acotado (el [Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). Por tanto, un operador simétrico definido en *todo* $\ell^2$ está automáticamente acotado; los operadores simétricos genuinamente no acotados (posición, momento, hamiltonianos) han de vivir sobre subespacios densos propios.

**Ejercicio 8.9 ★★★.**

(Teorema de Pólya sobre cuadraturas) Para cada $n$, sea $\Lambda_n(f)
= \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ una fórmula de cuadratura sobre $\mathcal C(\intcc01)$ ($x_{i,n} \in \intcc01$, $w_{i,n} \in
\R$). Demostrar que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ para *toda* $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) si y solo si: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ para todo polinomio $P$ y (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} <
\infty$. *(Calcúlese $\norm{\Lambda_n}$; úsense Banach–Steinhaus y Weierstrass.)* Compruébese que las fórmulas con pesos *positivos* exactas sobre las constantes cumplen (ii) automáticamente.

**Solución de Ejercicio 8.9.**

Primero, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: $\leq$ es la desigualdad triangular; $\geq$ se obtiene evaluando en una $f$ lineal a trozos con $\norm f_\infty \leq 1$ y $f(x_{i,n}) =
\operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpólese linealmente entre los finitos nodos; donde los nodos coinciden, los signos concuerdan).

($\Rightarrow$) La convergencia puntual en todo $f$ implica (i) y la acotación puntual, de modo que Banach–Steinhaus (el [Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) sobre el espacio de Banach $\mathcal
C(\intcc01)$ da (ii).

($\Leftarrow$) Sea $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. Dados $f$ y $\varepsilon$, elíjase un polinomio $P$ con $\norm{f -
P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (el [Corolario 7.16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)); entonces

$$
\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr|
\leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP -
\int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr|
\leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to
\varepsilon .
$$

Pesos positivos y exactitud sobre las constantes: $\sum_i\abs{w_{i,n}}
= \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ para las fórmulas exactas sobre las constantes — (ii) se cumple con constante $1$.

**Ejercicio 8.10 ★★.**

Demostrar que $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, es una isometría lineal (úsese el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2)) y que es sobreyectiva cuando $\dim E < \infty$. Demostrar también que si $E'$ es separable, también lo es $E$. *(Tómense $x_n$ que casi normen una sucesión densa de $E'$ y demuéstrese que su envoltura lineal cerrada es $E$, mediante [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)*

**Solución de Ejercicio 8.10.**

La linealidad de $J$ es formal; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq
1}\abs{f(x)} = \norm x$ por el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). Si $\dim E = n$: $\dim E' =
n$ (una base da funcionales coordenadas), luego $\dim E'' = n$, y la aplicación inyectiva (isométrica) $J$ es sobreyectiva. Separabilidad: sea $(f_n)$ denso en $E'$ y elíjanse $\norm{x_n} = 1$ con $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$. Sea $F =
\overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$; si $F \neq E$, tómese $g
\in E'$, $g \neq 0$, que se anule en $F$ (el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)); elíjase $f_{n_k} \to g$:

$$
\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})}
= \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}}
\geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),
$$

luego $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: contradicción. Por tanto $F = E$, y las combinaciones racionales (o $\Q + \iu\Q$) de los $x_n$ forman un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) numerable.

**Ejercicio 8.11 ★★.**

(Espacios cociente) Sean $E$ un espacio de Banach y $F \subseteq
E$ un subespacio *cerrado*. Sobre $E/F$ defínase

$$
\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .
$$

(a) Demostrar que esto define bien una *norma* sobre $E/F$ (¿dónde interviene que $F$ sea cerrado?) y que la proyección $\pi
\colon E \to E/F$ cumple $\vertiii\pi \leq 1$ y lleva la bola unidad abierta sobre la bola unidad abierta. (b) Demostrar que $E/F$ es [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *(Úsese el criterio de series del [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b): dadas clases $\bar x_k$ con $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$, levántese cada una a $x_k \in E$ con $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ y súmese en $E$.)* (c) Calcúlese: para $E = c$ (sucesiones convergentes) y $F =
c_0$, demuéstrese que $c/c_0 \cong K$ isométricamente mediante $\bar x \mapsto
\lim_nx_n$.

**Solución de Ejercicio 8.11.**

(a) Bien definida: $d(x, F)$ solo depende de $\bar x$ (trasladar $x$ por $F$ no cambia la distancia). La homogeneidad y la desigualdad triangular pasan de $\norm\cdot$ a través del ínfimo. La separación necesita que sea cerrado: $\norm{\bar
x} = 0$ significa $d(x, F) = 0$, es decir, $x \in \bar F = F$, es decir, $\bar x = 0$. $\vertiii\pi \leq 1$: $\norm{\bar x} \leq
\norm x$. Bola abierta sobre bola abierta: si $\norm{\bar x} < 1$, algún representante cumple $\norm{x - y} < 1$; recíprocamente, $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ por la desigualdad de las normas — de modo que $\pi$ es abierta, el caso modelo del teorema de la aplicación abierta.

(b) Sea $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ y levántese con $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$: entonces $\sum\norm{x_k} < \infty$, luego $s = \sum_kx_k$ converge en el espacio de Banach $E$ (el [Ejercicio 7.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)), y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\pi$ da $\sum_k\bar x_k = \bar s$: toda serie absolutamente convergente de $E/F$ converge, lo que equivale a la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (mismo ejercicio).

(c) La aplicación $\lambda(x) = \lim_nx_n$ es lineal $c \to K$, se anula exactamente en $c_0$ y, por tanto, induce una biyección lineal $c/c_0 \to K$. Isometría: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$: réstese de $x$ la sucesión $x - \lambda(x)\mathbf
1 \in c_0$, lo que deja $\lambda(x)\mathbf 1$ de norma $\abs{\lambda(x)}$; $\geq$: para $y \in c_0$, $\norm{x -
y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$.

**Ejercicio 8.12 ★★.**

(Proyecciones acotadas y subespacios complementados) Sean $E$ un espacio de Banach y $P \colon E \to E$ lineal con $P^2 = P$ (una proyección [algebraica](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic)), $V = \operatorname{im}P$, $W =
\ker P$. (a) Supóngase $P$ acotado. Demostrar que $V$ y $W$ son cerrados y que $E = V \oplus W$ con la descomposición $x = Px + (x -
Px)$. (b) Recíprocamente, supóngase $E = V \oplus W$ con *ambos* $V,
W$ cerrados, y sea $P$ la proyección sobre $V$ paralelamente a $W$. Demostrar que $P$ es acotado. *(Gráfica cerrada: si $x_n \to x$ y $Px_n \to z$, entonces $z \in V$, $x_n - Px_n \to x - z \in
W$, y la unicidad de la descomposición identifica $z =
Px$.)* (c) Deducir la *equivalencia*: un subespacio $V$ admite una proyección acotada si y solo si es cerrado y tiene un complemento [algebraico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/4-extensiones-de-cuerpos-y-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) cerrado — y obsérvese (sin demostración) que existen subespacios cerrados sin esa propiedad ($c_0$ dentro de $\ell^\infty$ es el ejemplo clásico): los espacios de Hilbert, donde $V^\perp$ siempre sirve (el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#ch-b3-hilbert)), son la excepción, no la regla.

**Solución de Ejercicio 8.12.**

(a) $W = \ker P$ es cerrado (preimagen de $0$ por una [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (en efecto, $Px = x$ si y solo si $x \in \operatorname{im}P$, usando $P^2 =
P$), cerrado análogamente. Todo $x$ se descompone como $Px + (x - Px)$ con $Px \in V$, $x - Px \in W$, y $V \cap W = 0$ ($x = Px
= 0$): $E = V \oplus W$.

(b) El argumento de la gráfica: sean $x_n \to x$ y $Px_n \to z$. Entonces $z \in V$ ($V$ cerrado, $Px_n \in V$) y $x_n - Px_n \to
x - z \in W$ ($W$ cerrado). Luego $x = z + (x - z)$ con $z \in
V$, $x - z \in W$; y por la unicidad de la descomposición, $z =
Px$. La gráfica de $P$ es cerrada y $E$ es de Banach: $P$ está acotado (el [Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)).

(c) (a) y (b) juntos son la equivalencia. En un espacio de Hilbert, todo $V$ cerrado tiene el complemento cerrado $V^\perp$ (el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/13-espacios-de-hilbert#ch-b3-hilbert)): todo subespacio cerrado es complementado. En los espacios de Banach generales esto falla — $c_0$ no tiene complemento cerrado en $\ell^\infty$ (teorema de Phillips, fuera de nuestras herramientas) —, de modo que las proyecciones acotadas son un privilegio, y el teorema de la gráfica cerrada es exactamente la contabilidad que convierte las descomposiciones geométricas en operadores acotados.

## 8.6 Problema: la dualidad de los espacios $\ell^p$

**Problema 8.1.**

Problema de fin de semana — $(\ell^p)' = \ell^q$, reflexividad y la rareza de $\ell^\infty$

Fíjese $1 < p < \infty$ y sea $q$ el exponente conjugado, $\frac1p + \frac1q = 1$. El emparejamiento en todo el problema es $\langle x,
y\rangle = \sum_n x_ny_n$.

**Parte I — Hölder y Minkowski para sucesiones.**

1. (Desigualdad de Young) Para $a, b \geq 0$ , demostrar $ab \leq  \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , usando la concavidad de $\log$ o estudiando $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
2. (Hölder) Deducir: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq  \norm x_p\norm y_q$ para $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identificar el caso de igualdad.
3. (Minkowski) Deducir la desigualdad triangular para $\norm\cdot_p$ . *(Escríbase $\abs{x_n + y_n}^p \leq  \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} +  \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ y aplíquese Hölder a cada término.)*
4. Demostrar que $\ell^p$ es [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) y que las sucesiones finitas son densas en él.

**Parte II — La dualidad $(\ell^p)' =
\ell^q$.**

5. Para $y \in \ell^q$ , demostrar que $\Lambda_y(x) = \langle  x, y\rangle$ define $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ con $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ y, evaluando en $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenientemente truncada y normalizada), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
6. Recíprocamente, dada $\Lambda \in (\ell^p)'$ , póngase $y_n =  \Lambda(e_n)$ ; demostrar que $y \in \ell^q$ con $\norm y_q \leq  \norm\Lambda$ *(evalúese en truncamientos como en la pregunta 5 y hágase crecer la longitud del truncamiento)* y concluir $\Lambda = \Lambda_y$ : la aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es un isomorfismo isométrico $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
7. Deducir que $\ell^p$ es *[reflexivo](#rem-b3-banach-bidual)* para $1 < p <  \infty$ : componiendo las dos dualidades, todo elemento de $(\ell^p)''$ procede de $\ell^p$ ; verifíquese con cuidado que la compuesta es la $J$ canónica.

**Parte III — $\ell^1$ y $\ell^\infty$ son animales distintos.**

8. Demostrar que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) y $c_0$ son separables, pero $\ell^\infty$ no lo es. *(Las sucesiones indicadoras de los subconjuntos de $\N$, en cantidad no numerable, distan dos a dos $1$.)*
9. Deducir del [Ejercicio 8.10](#exo-b3-banach-10) que $(\ell^1)'  \cong \ell^\infty$ pero $(\ell^\infty)' \not\cong  \ell^1$ : $\ell^1$ *no* es [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) . *(Si $(\ell^\infty)'$ fuese $\ell^1$, sería separable, lo que forzaría que $\ell^\infty$ fuese separable.)*
10. (Un límite de Banach, explícitamente) Sobre $\ell^\infty_\R$ , sea $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Demostrar que $p$ es sublineal y que, sobre el subespacio $c$ de las sucesiones convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ cumple $\mathrm{LIM} \leq p$ . Extiéndase por Hahn–Banach a $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ y demuéstrese que $\mathrm{LIM}$ es positiva ( $x \geq 0 \Rightarrow  \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante por desplazamiento, ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), extiende el límite y cumple $\liminf x \leq  \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
11. Demostrar que una tal $\mathrm{LIM}$ , vista en $(\ell^\infty)'$ , *no* es de la forma $\Lambda_y$ para ningún $y \in \ell^1$ ; concluir de nuevo $(\ell^\infty)'  \neq \ell^1$ . *(Evalúese en las sucesiones unidad $e_n$ y después en la sucesión constante $1$.)*
12. Evaluar $\mathrm{LIM}$ en $(0,1,0,1,\dots)$ y demostrar que no puede existir ninguna extensión *multiplicativa* del límite invariante por desplazamiento *(considérense $x =  (0,1,0,1,\dots)$ y $x\cdot Sx$, donde $S$ es el desplazamiento)* .

**Parte IV — Epílogo: por qué importa la reflexividad.**

13. Usando el [Corolario 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) y la pregunta 6, demostrar que toda sucesión acotada de $\ell^p$ ( $1 < p <  \infty$ ) tiene una subsucesión $(x^{(k)})$ que converge *débilmente* : $\Lambda(x^{(k)})$ converge para toda $\Lambda \in (\ell^p)'$ . *(Extracción diagonal sobre las coordenadas, en cantidad numerable; identifíquese el límite débil en $\ell^p$ usando la acotación uniforme de las normas y Hölder.)* Demuéstrese con un ejemplo ( $e_n$ en $\ell^1$ , contra elementos bien elegidos de $\ell^\infty$ ) que esto falla en $\ell^1$ : la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) débil es un privilegio de los [espacios reflexivos](#rem-b3-banach-bidual) .

**Parte V — La [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) débil en acción, y la sorpresa de Schur.** Escribimos $x^{(k)} \rightharpoonup x$ en un espacio normado $E$ (*convergencia débil*) cuando $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ para toda $\Lambda \in E'$.

14. Complétese el censo: demuéstrese $(c_0)' \cong \ell^1$ isométricamente, con el esquema de las preguntas 5–6 (¿qué sustituye a las sucesiones de prueba?). Móntese la cadena $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de [duales](#def-b3-banach-operator) sucesivos y señálese dónde falla la reflexividad.
15. Demostrar que toda sucesión débilmente convergente de un espacio de Banach está acotada: véanse los $x^{(k)}$ a través del encaje canónico $J$ como funcionales sobre $E'$ y aplíquese Banach–Steinhaus (el [Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — ¿sobre qué espacio de Banach, y por qué se dispone allí de la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ?
16. Demostrar que, en $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)}  \rightharpoonup x$ si y solo si $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p <  \infty$ y $x^{(k)}_n \to x_n$ para toda coordenada $n$ *(una implicación usa Banach–Steinhaus a través del encaje canónico; para la otra, aproxímese $y  \in \ell^q$ por sucesiones finitas)* . Deducir $e_k  \rightharpoonup 0$ en $\ell^2$ mientras que $\norm{e_k}_2 =  1$ : los límites débiles pueden perder masa.
17. Demostrar que la norma es débilmente semicontinua inferiormente: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implica $\norm x \leq  \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(tómese una funcional que norme $x$, el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* .
18. (Radon–Riesz en $\ell^2$ ) Demostrar que, en $\ell^2$ , la convergencia débil junto con la convergencia de las normas implica la convergencia en norma *(desarróllese $\norm{x^{(k)} -  x}_2^2$)* . Dese un contraejemplo del mismo enunciado sin la hipótesis sobre las normas.
19. (Schur, paso 1) Sea $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ en $\ell^1$ y supóngase, por reducción al absurdo, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ a lo largo de una subsucesión. Demuéstrese primero que $x^{(k)}_n \to 0$ para cada $n$ (¿qué funcionales?) y constrúyanse después recursivamente índices $k_1 < k_2 < \cdots$ y enteros $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tales que la masa de $x^{(k_j)}$ se concentre en el bloque $B_j =  \intoc{N_{j-1}}{N_j}$: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$
20. (Schur, paso 2) Defínase $y \in \ell^\infty$ mediante $y_n =  \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ para $n \in  B_j$ . Demostrar que $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq  \frac{8\delta}{10}$ y obtener una contradicción con $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Concluir el *teorema de Schur* : en $\ell^1$ , las sucesiones débilmente convergentes convergen en norma.
21. Deducir que $(e_k)$ no tiene ninguna subsucesión débilmente convergente en $\ell^1$ (su único candidato a límite es $0$ , coordenada a coordenada — aplíquese después Schur), lo que recupera el fallo de [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) débil de la pregunta 13; y resuélvase la aparente paradoja: en $\ell^1$ , la convergencia débil y la convergencia en norma de *sucesiones* coinciden y, sin embargo, las *[topologías](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology)* débil y de la norma difieren, y los acotados siguen sin ser débilmente [compactos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) por sucesiones — no hay contradicción, solo el fallo de la reflexividad.
22. (Tabla de síntesis) Para $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\  (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabúlense: el [dual](#def-b3-banach-operator) ; la separabilidad; la reflexividad; si las sucesiones acotadas admiten subsucesiones débilmente convergentes; y una propiedad característica de cada espacio, justificada en una línea a partir de este problema.

**Parte VI — Complementos: puntos más próximos, convergencia promediada y el valor de un límite de Banach.**

23. (Puntos más próximos: un dividendo de la reflexividad) Sean $F$ un subespacio cerrado de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) y $x \in \ell^p$ . Demostrar que $d = \operatorname{dist}(x,  F)$ se *alcanza* : extráigase de una sucesión minimizante una subsucesión débilmente convergente (pregunta 13), manténgase el límite débil dentro de $F$ construyendo, vía Hahn–Banach, una funcional que se anule en $F$ pero no en un punto exterior, y concluir con la pregunta 17. Demuéstrese después que el privilegio no es universal: en $c_0$ , para $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , demuéstrese que $\norm\Lambda = 1$ no se alcanza en la bola unidad, establézcase la fórmula de la distancia $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) =  \abs{\Lambda(x)}$ y dedúzcase que ningún $x \notin  \ker\Lambda$ tiene punto más próximo en el hiperplano cerrado $\ker\Lambda$ .
24. (Banach–Saks en $\ell^2$) Sea $x^{(k)}  \rightharpoonup 0$ en $\ell^2_{\R}$ con $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. Constrúyase una subsucesión $(y_j)$ con $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq  \frac1j$ para todos $i < j$, y dedúzcase $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2  \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ tras una extracción, las medias de Cesàro convergen en *norma*. Compruébese en $(e_k)$, cuyas medias tienen norma $\frac1{\sqrt m}$: la convergencia débil, inútil para la propia sucesión (pregunta 16), se convierte en convergencia en norma para las medias.
25. (El valor de un límite de Banach) Sea $L$ un límite de Banach cualquiera (pregunta 10) y sea $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots  + S^{m-1}x)$ . Demostrar que $L(A_mx) = L(x)$ y $\liminf A_mx  \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; deducir que *todos* los límites de Banach coinciden sobre las sucesiones periódicas, con valor la media sobre un período — $\frac13$ sobre $(1, 0, 0, 1,  0, 0, \dots)$ , coherente con el $\frac12$ de la pregunta 12. Demuéstrese después que la coincidencia falla en general: para la sucesión por bloques $x$ igual a $1$ sobre $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ con $j$ par y a $0$ en el resto, demuéstrese que las medias de Cesàro oscilan entre $\leq  \frac13$ y $\geq \frac23$ , y constrúyanse dos límites de Banach $L_\pm$ con $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23  \leq L_+(x)$ *(extiéndase desde $c \oplus \R x$ con los valores admisibles extremos $\pm$: compruébese que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ está dominada por la funcional sublineal $p$ de la pregunta 10)* .

**Solución de Problema 8.1.**

**1.** Para $a, b > 0$: por la concavidad de $\log$, $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log
a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$; exponénciese. (Si $ab = 0$, la desigualdad es trivial.) Igualdad si y solo si $a^p = b^q$.

**2.** Podemos suponer $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogeneidad; los casos nulos son triviales). Entonces

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n}
\leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p +
\frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 =
\norm x_p\norm y_q .
$$

La igualdad exige $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ para todo $n$ (caso de igualdad de Young) y la alineación de las fases de $x_ny_n$.

**3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} +
\abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$; sumando y aplicando Hölder ($p$ contra $q$, con $(p - 1)q = p$):

$$
\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm
y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q}
= \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};
$$

si $\norm{x + y}_p \neq 0$ (si no, es trivial), divídase por $\norm{x+y}_p^{p/q}$ y úsese $p - \frac pq = 1$. (Primero, la finitud de $\norm{x+y}_p$: $\abs{x_n+y_n}^p \leq
2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$.)

**4.** [Completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): como para $\ell^1$ (el [Ejercicio 8.3](#exo-b3-banach-3)), límites coordenada a coordenada más la cota uniforme de la cola $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p
\leq \varepsilon^p$, haciendo tender $l$ y después $N$ a infinito. Densidad de las sucesiones finitas: $\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$.

**5.** Hölder da $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_p\norm y_q$: $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. Evaluación: tómese $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ para $n \leq N$ y $0$ a partir de ahí (con $\operatorname{sign}$ la fase unimodular, de modo que $x_ny_n = \abs{y_n}^q$). Entonces $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ y $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (pues $(q-1)p = q$), luego

$$
\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{}
\norm y_q .
$$

**6.** Póngase $y_n = \Lambda(e_n)$. Con los mismos vectores de prueba, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$, de donde $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq
\norm\Lambda$ para todo $N$: $y \in \ell^q$, $\norm y_q \leq
\norm\Lambda$. Las funcionales $\Lambda$ y $\Lambda_y$ coinciden sobre las sucesiones finitas, que son densas (pregunta 4): $\Lambda =
\Lambda_y$. Junto con la pregunta 5, $y \mapsto \Lambda_y$ es un isomorfismo isométrico $\ell^q \cong (\ell^p)'$.

**7.** Sea $\xi \in (\ell^p)''$. Componiendo con la isometría $\ell^q \cong (\ell^p)'$ de la pregunta 6, $\xi$ define un elemento de $(\ell^q)'$, que (pregunta 6 con $p, q$ intercambiados) es $\Lambda_z$ para un único $z \in \ell^p$: para todo $y \in \ell^q$, $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$. Por otra parte, $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$: el mismo valor. Como todo elemento de $(\ell^p)'$ es algún $\Lambda_y$, $\xi = J(z)$: $J$ es sobreyectiva — $\ell^p$ es [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual).

**8.** Las sucesiones finitas con entradas racionales (parte real e imaginaria) son numerables y densas en $\ell^p$ ($p < \infty$) y en $c_0$. En $\ell^\infty$: la familia $\{\mathbf 1_A : A
\subseteq \N\}$ es no numerable con $\norm{\mathbf 1_A -
\mathbf 1_B}_\infty = 1$ para $A \neq B$; las bolas $B(\mathbf
1_A, \frac12)$ son disjuntas dos a dos, y un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) tendría que cortar a todas ellas: no existe ningún [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) numerable.

**9.** Si $\ell^1$ fuera [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual), entonces $(\ell^\infty)'
\cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ sería separable (imagen isométrica del separable $\ell^1$); y por el [Ejercicio 8.10](#exo-b3-banach-10), la separabilidad del [dual](#def-b3-banach-operator) $(\ell^\infty)'$ forzaría que $\ell^\infty$ fuese separable — en contra de la pregunta 8. Luego $\ell^1$ no es [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) (y $(\ell^\infty)'$ es estrictamente mayor que $\ell^1$, como concreta la pregunta 11).

**10.** La homogeneidad de $p$ es clara; subaditividad: las medias son lineales y $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n +
\limsup v_n$. Sobre $c$: las medias de Cesàro de una sucesión convergente convergen a su límite, de modo que allí $p(x) = \lim x =
\mathrm{LIM}(x)$; en particular, $\mathrm{LIM} \leq p$ sobre $c$. Hahn–Banach (el [Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) extiende $\mathrm{LIM}$ a $\ell^\infty_\R$ con $\mathrm{LIM} \leq p$ globalmente. Positividad: para $x \geq 0$, $-\mathrm{LIM}(x) =
\mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{med}(-x) \leq 0$. Invariancia por desplazamiento: las medias de $x - Sx$ telescopan hasta $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$, luego $p(\pm(x - Sx)) = 0$ y $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. Cotas: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x)
\leq \limsup x$ (las medias van por detrás de los supremos), y aplicándolo a $-x$ se obtiene la cota inferior.

**11.** $e_n \in c_0$, luego $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ para todo $n$. Si $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ con $y \in \ell^1$, entonces $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ para todo $n$: $\Lambda_y = 0$; pero $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. Luego $\mathrm{LIM} \in
(\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$, de nuevo.

**12.** Para $x = (0,1,0,1,\dots)$: $x + Sx = \mathbf 1$, luego $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) =
1$: $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$. Si $\varphi$ fuera una extensión multiplicativa del límite invariante por desplazamiento: $x\cdot
Sx = 0$ da $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$, luego $\varphi(x) = 0$; pero $\varphi(x) + \varphi(Sx) =
\varphi(\mathbf 1) = 1$ da $2\varphi(x) = 1$: contradicción. Promediar y multiplicar no pueden convivir.

**13.** Sea $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. Las coordenadas están acotadas por $M$: una extracción diagonal da una subsucesión (que seguimos escribiendo $x^{(k)}$) con $x^{(k)}_n \to x_n$ para todo $n$. Entonces $x \in \ell^p$: $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ para todo $N$. Convergencia débil: para $y \in \ell^q$ y $N$ arbitrario,

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr|
+ 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},
$$

donde el primer término tiende a $0$ cuando $k \to \infty$ (finitas coordenadas) y el segundo es pequeño para $N$ grande (Hölder sobre la cola): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ para toda $y$ — convergencia débil, pues toda funcional es un $\Lambda_y$ (pregunta 6). En $\ell^1$ esto falla: considérese $(e_n)$, acotada. Toda subsucesión $(e_{n_k})$ converge coordenada a coordenada a $0$, de modo que su único candidato a límite débil es $0$; pero evaluando contra $y \in \ell^\infty$ definida por $y_{n_k} =
(-1)^k$ (y $0$ en el resto), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ diverge. No hay subsucesión débilmente convergente: la [compacidad secuencial](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#thm-b3-topology-metriccompact) débil de las bolas caracteriza el mundo [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual).

**14.** Para $y \in \ell^1$, $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ está definida sobre $c_0$ con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_\infty\norm y_1$, y evaluando en $x^{(N)} =
(\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0,
\dots) \in c_0$ se obtiene $\Lambda_y(x^{(N)}) =
\sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$: $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$. Recíprocamente, para $\Lambda \in
(c_0)'$ póngase $y_n = \Lambda(e_n)$; las mismas evaluaciones dan $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda$, luego $y \in \ell^1$, y $\Lambda = \Lambda_y$ sobre las sucesiones finitas, densas, y por tanto en todas partes. La cadena de [duales](#def-b3-banach-operator): $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([Ejercicio 8.10](#exo-b3-banach-10)), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (preguntas 9–11): la reflexividad falla ya en el primer paso — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — y no se recupera nunca.

**15.** $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ es una familia de funcionales acotadas sobre el espacio de *Banach* $E'$ (los [duales](#def-b3-banach-operator) son [completos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), la [Proposición 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)); para cada $\Lambda \in E'$, la sucesión $Jx^{(k)}(\Lambda) =
\Lambda(x^{(k)})$ converge y, por tanto, está acotada. Banach–Steinhaus sobre $E'$ da $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} <
\infty$, y $J$ es isométrico ([Observación 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): $\sup_k\norm{x^{(k)}} <
\infty$.

**16.** ($\Rightarrow$) La acotación es la pregunta 15; las coordenadas son las funcionales $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) Sean $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$, $y \in
\ell^q$, $\varepsilon > 0$; elíjase $N$ con $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$. Entonces

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} +
\norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon
\leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} +
(M + \norm x_p)\,\varepsilon,
$$

y la suma finita tiende a $0$: $\limsup \leq (M + \norm
x_p)\varepsilon$ para toda $\varepsilon$. (Que $x \in
\ell^p$ con $\norm x_p \leq M$ se sigue de cotas de secciones finitas al estilo de Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$.) Para $e_k$ en $\ell^2$: acotada, coordenada a coordenada $\to 0$, luego $e_k
\rightharpoonup 0$ y, sin embargo, $\norm{e_k} = 1$: la unidad de masa se escapa hacia índices infinitos, invisible para toda funcional fija.

**17.** Tómese $\Lambda$ con $\norm\Lambda = 1$ y $\Lambda(x) = \norm x$ (el [Corolario 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)). Entonces $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq
\liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} =
\liminf\norm{x^{(k)}}$. (Con $e_k \rightharpoonup 0$: $0
\leq \liminf 1$, y la desigualdad puede ser estricta.)

**18.** En $\ell^2$, $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 =
\norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)},
x\rangle + \norm x_2^2$ (caso real: $-2\langle x^{(k)},
x\rangle$). La convergencia débil aplicada a la funcional $\Lambda_x$ da $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm
x_2^2$, y las normas convergen por hipótesis: el miembro derecho tiende a $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$. Contraejemplo sin convergencia de las normas: $e_k
\rightharpoonup 0$, $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$.

**19.** Convergencia de las coordenadas: aplíquense las funcionales $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ($y = e_n$). Construcción: elegidos $k_{j-1}, N_{j-1}$, tómese $k_j >
k_{j-1}$ tan grande que $\sum_{n \leq
N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (finitas coordenadas, cada una $\to 0$), y después $N_j > N_{j-1}$ tan grande que la cola cumpla $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} <
\frac\delta{20}$ (convergencia de la serie que define $\norm{x^{(k_j)}}_1$). El bloque $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ concentra entonces toda la masa salvo $\frac\delta{10}$ de $x^{(k_j)}$.

**20.** Con $y$ tal como se ha definido ($\abs{y_n} \leq 1$ en todas partes):

$$
\langle x^{(k_j)}, y\rangle
= \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n}
+ \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n
\geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) -
\frac\delta{10}
\geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,
$$

la desigualdad central porque la masa fuera del bloque es a lo sumo $\frac\delta{10}$ (pregunta 19). Pero $y \in
\ell^\infty = (\ell^1)'$ y $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ obligan a $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$: contradicción. Por tanto, las sucesiones débilmente nulas de $\ell^1$ son nulas en norma y, por traslación, las débilmente convergentes convergen en norma: el teorema de Schur.

**21.** Una subsucesión débilmente convergente de $(e_k)$ tendría límite $0$ (coordenadas), luego, por Schur, $\norm{e_{k_j}}_1
\to 0$ — pero las normas valen $1$. Así que no existe ninguna subsucesión débilmente convergente, como ya se vio a mano en la pregunta 13. No hay paradoja: Schur dice que las sucesiones no pueden distinguir la [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) débil de la de la norma en $\ell^1$ (las [topologías](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) sí difieren — los [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) débiles nunca están acotados en norma), y la [compacidad secuencial](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#thm-b3-topology-metriccompact) débil de la bola unidad es una propiedad distinta y más fuerte, equivalente a la reflexividad (Eberlein–Šmulian, fuera de nuestras herramientas; el fallo, al menos, sí lo hemos demostrado).

**22.** *El censo.*

| $E$ | $E'$ | sep. | refl. | bolas déb. sec. cpt. |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $c_0$ | $\ell^1$ | sí | no | no ($e_1{+}\dots{+}e_k$) |
| $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | sí | no | no ($e_k$, p. 21) |
| $\ell^p$ | $\ell^q$ | sí | sí | sí (p. 13) |
| $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | no | no | no |

Rasgos característicos: $c_0$ — su bidual es $\ell^\infty$: el primer paso no [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) (pregunta 14); $\ell^1$ — la propiedad de Schur (pregunta 20); $\ell^p$ — reflexividad y [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) débil (preguntas 7 y 13); $\ell^\infty$ — no separabilidad y límites de Banach: funcionales que ninguna sucesión puede representar (preguntas 8, 10–11). Una familia de espacios, cuatro mundos distintos.

**23.** Sea $(f_k) \subseteq F$ con $\norm{x - f_k}
\to d$. Entonces $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x -
f_k}$: está acotada, de modo que, por la pregunta 13, alguna subsucesión $f_{k_j}
\rightharpoonup f$. Si $f \notin F$, entonces $\delta =
\operatorname{dist}(f, F) > 0$ ($F$ cerrado); sobre $F \oplus \R
f$, la forma lineal $\lambda(g + tf) = t$ cumple $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (porque $\norm{g +
tf} \geq \abs t\,\delta$), y Hahn–Banach la extiende a $\Lambda \in (\ell^p)'$ con $\Lambda\restriction_F = 0$, $\Lambda(f) = 1$; pero entonces $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to
\Lambda(f) = 1$: contradicción. Luego $f \in F$ y $x -
f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ da, por la pregunta 17,

$$
d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :
$$

la distancia se alcanza en $f$. En $c_0$: $\abs{\Lambda(x)}
\leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ para todo $x
\neq 0$ (una sucesión nula no nula no puede cumplir $\abs{x_n} =
\norm x_\infty$ para todo $n$), mientras que las truncadas $(1,
\dots, 1, 0, \dots)$ dan $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$: así que $\norm\Lambda = 1$, y nunca se alcanza. Fórmula de la distancia: para $f
\in \ker\Lambda$, $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)}
\leq \norm{x - f}$, luego $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda)
\geq \abs{\Lambda(x)}$; recíprocamente, para $u$ en la bola unidad con $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$, el vector $f = x -
\frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ está en $\ker\Lambda$ con $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$: igualdad. Si algún $f \in \ker\Lambda$ la alcanzara, $z = x -
f$ cumpliría $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} =
\norm z \neq 0$, de modo que $\Lambda$ alcanzaría su norma en $z/\norm z$: imposible. Un hiperplano cerrado de $c_0$ sin puntos más próximos en ninguna parte — la reflexividad no era un adorno.

**24.** Póngase $y_1 = x^{(1)}$. Dado $y_1, \dots, y_j$, cada aplicación $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ tiende a $0$ ($y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$), de modo que existe $k_{j+1}$ posterior al índice anterior con $\abs{\langle y_i,
x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ para $i = 1, \dots,
j$; llámese $y_{j+1}$ a esa elección. Entonces

$$
\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2
= \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2
+ 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle
\leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j
\leq mC^2 + 2m,
$$

y dividiendo por $m^2$: $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq
\frac{C^2 + 2}m \to 0$. (Para un límite débil $x \neq 0$, aplíquese esto a $x^{(k)} - x$.) Sobre la sucesión ortonormal $(e_k)$ ni siquiera hace falta extraer: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots +
e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$. Las medias convierten la convergencia débil en convergencia en norma: la propiedad de Banach–Saks de $\ell^2$.

**25.** $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$, de modo que la linealidad y la invariancia por desplazamiento dan $L(A_mx) = L(x)$. Para $u$ acotada cualquiera y $\varepsilon > 0$, tómese $N$ con $u_n \leq
\limsup u + \varepsilon$ para $n \geq N$; la positividad aplicada a $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ y a $L(S^Nu) = L(u)$ da $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ y, simétricamente, $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: luego $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ para todo $m$. Si $x$ es $T$-periódica, $A_Tx$ es la sucesión constante igual a la media del período $\mu$: $L(x) = \mu$ para *todo* límite de Banach — $\frac13$ sobre $(1,0,0,\dots)$ y $\frac12$ sobre $(0,1,0,1,\dots)$, como en la pregunta 12. Para la sucesión por bloques: en $N = 3^j$ con $j$ par, el último bloque es todo unos, de modo que la media de Cesàro vale $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$; en $N = 3^j$ con $j$ impar, todos los unos están en $\intoc0
{3^{j-1}}$, de modo que la media vale $\leq \frac13$. Por tanto, $p(x) \geq
\frac23$ y $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n
\leq \frac13$. Sobre $M = c \oplus \R x$ defínase $\Lambda_+(y +
tx) = \lim y + t\,p(x)$. Dominación por $p$: para $t > 0$, la sublinealidad da $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$, es decir, $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (obsérvese que $p(\pm y) = \pm\lim
y$ para $y \in c$: las medias de Cesàro de una sucesión convergente convergen a su límite); para $t = -s < 0$, $p(y) \leq p(y -
sx) + p(sx)$ da $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$; y para $t
= 0$ hay igualdad. Luego $\Lambda_+ \leq p$ sobre $M$, y Hahn–Banach la extiende a $L_+ \leq p$ sobre $\ell^\infty_\R$, que es un límite de Banach exactamente como en la pregunta 10 (la dominación por $p$ da la positividad, la invariancia por desplazamiento y el valor $\lim$ sobre $c$), con $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$. El mismo cálculo con $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (usando $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ para el caso $t = -s
< 0$) da un límite de Banach $L_-$ con $L_-(x) = -p(-x) \leq
\frac13$. Dos límites de Banach, una sucesión, dos valores: fuera del mundo periódico (y, más en general, del *casi convergente*), un límite de Banach es una elección genuina.