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title: "Teoría de la medida"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 3"
subject: math
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/9-teoria-de-la-medida
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# Capítulo 9 — Teoría de la medida

¿Cuánto mide un subconjunto de $\R$? La respuesta ingenua — asignar a todo conjunto una longitud invariante por traslaciones que extienda la de los intervalos — es *imposible*: la construcción de Vitali, al final de este capítulo, produce un conjunto sin longitud coherente. La teoría de la [medida](#def-b3-measure-measure) es la retirada disciplinada: restringir la atención a una clase amplia de conjuntos *medibles*, sobre la que existe una longitud numerablemente aditiva, y es única. Las recompensas son inmensas — la integral de Lebesgue (el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)), los espacios $L^p$ del análisis funcional y toda la probabilidad moderna (el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/22-probabilidad-fundamentos-y-ley-de-los-grandes-numeros#ch-b3-probability)) se apoyan en los tres teoremas que aquí se demuestran: el lema de unicidad de Dynkin, el teorema de extensión de Carathéodory y la existencia de la [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

## 9.1 $\sigma$-álgebras

**Definición 9.1.**

Una *$\sigma$-álgebra* sobre un conjunto $X$ es una familia $\mathcal A$ de subconjuntos que contiene $\varnothing$ y es estable por complementación y por uniones *numerables* (y, por tanto, por intersecciones numerables y diferencias de conjuntos, y contiene $X$). El par $(X, \mathcal A)$ es un *espacio medible*; los elementos de $\mathcal A$ son los *conjuntos medibles*. Para una familia $\mathcal E$ de subconjuntos, $\sigma(\mathcal E)$ denota la menor $\sigma$-álgebra que contiene $\mathcal E$ (la intersección de todas ellas — una intersección de $\sigma$-álgebras lo es).

**Definición 9.2.**

La *$\sigma$-álgebra de Borel* de un espacio [topológico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) es $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{abiertos}\})$. Sobre $\R$: $\mathcal B(\R)$ está también generada por los intervalos abiertos, por los intervalos cerrados, por las semirrectas $(-\infty, a]$ y por las semirrectas con extremo racional (el [Ejercicio 9.1](#exo-b3-measure-1)) — cada familia genera los abiertos mediante operaciones numerables; por ejemplo, todo abierto de $\R$ es unión numerable de intervalos abiertos con datos racionales.

**Definición 9.3.**

Un *$\pi$-sistema* es una familia estable por intersecciones finitas. Un *$\lambda$-sistema* (clase de Dynkin) es una familia $\mathcal D$ tal que: $X \in \mathcal
D$; $A, B \in \mathcal D$, $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B
\setminus A \in \mathcal D$; y $A_n \uparrow A$, $A_n \in
\mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$.

**Teorema 9.4 (Lema π\piπ–λ\lambdaλ de Dynkin).**

Si un $\lambda$-sistema $\mathcal D$ contiene un $\pi$-sistema $\mathcal P$, entonces $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$.

**Demostración.** Sea $\mathcal D_0$ el menor $\lambda$-sistema que contiene $\mathcal P$ (intersección de todos ellos); basta ver que $\mathcal D_0$ es una $\sigma$-álgebra, pues entonces $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal
D$. Un $\lambda$-sistema estable por intersecciones finitas *es* una $\sigma$-álgebra: complementos ($X \setminus A = X
\setminus A$ con $A \subseteq X$), uniones finitas ($A \cup B =
X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$) y uniones numerables mediante $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. Demostremos, pues, que $\mathcal D_0$ es un $\pi$-sistema, en dos pasos. Sea

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

$\mathcal D_1$ es un $\lambda$-sistema (los tres axiomas se verifican intersecando con $P$: por ejemplo, $(B\setminus A)\cap P
= (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, una diferencia propia dentro de $\mathcal D_0$) y contiene $\mathcal P$ ($\pi$-sistema): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. Sea ahora

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

Por el paso anterior, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$; y $\mathcal D_2$ es un $\lambda$-sistema por la misma verificación: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, lo que dice exactamente que $\mathcal D_0$ es estable por intersecciones. ∎

## 9.2 Medidas

**Definición 9.5.**

Una *medida* sobre $(X, \mathcal A)$ es una aplicación $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ con $\mu(\varnothing)
= 0$ que es *$\sigma$-aditiva*: para conjuntos disjuntos dos a dos $(A_n)_{n\in\N}$,

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

$(X, \mathcal A, \mu)$ es un *espacio de medida*; $\mu$ es *finita* si $\mu(X) < \infty$, una *medida de probabilidad* si $\mu(X) = 1$, y *$\sigma$-finita* si $X$ es unión numerable de conjuntos de medida finita. Ejemplos: la medida de conteo sobre $(\N, \mathcal P(\N))$; la masa de Dirac $\delta_a(A)
= \mathbf 1_{a \in A}$; y, objeto de este capítulo, la [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

**Proposición 9.6.**

Sea $\mu$ una [medida](#def-b3-measure-measure). (a) Monotonía: $A \subseteq B
\Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$. (b) Subaditividad numerable: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$. (d) [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por arriba: $A_n \downarrow A$ *con $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$.

**Demostración.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) Disjúntese: los $B_n = A_n
\setminus \bigcup_{k<n}A_k$ son disjuntos con la misma unión, y $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$. (c) $A = \bigsqcup_n (A_n
\setminus A_{n-1})$ ($A_0 = \varnothing$): las sumas parciales de $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ son $\mu(A_n)$. (d) Aplíquese (c) a $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ y réstese de $\mu(A_1)$ — la finitud legitima la resta. Contraejemplo sin ella: $A_n = [n, \infty)$ para la [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter): $A_n \downarrow \varnothing$ pero $\mu(A_n) =
\infty$. ∎

**Teorema 9.7 (Unicidad).**

Sean $\mu, \nu$ [medidas](#def-b3-measure-measure) sobre $\sigma(\mathcal P)$ y sea $\mathcal
P$ un $\pi$-sistema con $\mu = \nu$ sobre $\mathcal P$. Si existen conjuntos $P_k \in \mathcal P$ con $P_k \uparrow X$ y $\mu(P_k) < \infty$, entonces $\mu = \nu$ en todo $\sigma(\mathcal P)$.

**Demostración.** Fíjese $k$ y considérense las [medidas](#def-b3-measure-measure) finitas $\mu_k(A) = \mu(A \cap
P_k)$ y $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ sobre $\sigma(\mathcal
P)$: coinciden sobre $\mathcal P$, pues $P \cap P_k \in \mathcal
P$ ($\pi$-sistema), y asignan a $X$ el mismo valor finito $\mu(P_k)$. La clase $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) =
\nu_k(A)\}$ es un $\lambda$-sistema: $X \in \mathcal D$; las diferencias propias, por resta (valores finitos); los límites crecientes, por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo (la [Proposición 9.6](#prop-b3-measure-basics)(c)). Contiene el $\pi$-sistema $\mathcal P$, de modo que Dynkin (el [Teorema 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) da $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$: $\mu_k = \nu_k$ en todas partes. Por último, para $A \in \sigma(\mathcal P)$ cualquiera, la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo a lo largo de $A
\cap P_k \uparrow A$ da $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) =
\lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$. ∎

## 9.3 Medidas exteriores y el teorema de Carathéodory

**Definición 9.8.**

Una *medida exterior* sobre $X$ es una aplicación $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ con $\mu^*(\varnothing) = 0$, monótona y numerablemente subaditiva. Un conjunto $A$ es *$\mu^*$-medible* (Carathéodory) si divide aditivamente todo conjunto:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{para todo } E \subseteq X
$$

($\leq$ se cumple siempre por subaditividad; el contenido es $\geq$).

**Teorema 9.9 (Carathéodory).**

Los conjuntos $\mu^*$-medibles forman una $\sigma$-álgebra $\mathcal
M$, y $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ es una [medida](#def-b3-measure-measure). Además, todo conjunto con $\mu^*(N) = 0$ pertenece a $\mathcal M$ (la [medida](#def-b3-measure-measure) es *[completa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*).

**Demostración.** $\mathcal M$ contiene $\varnothing$ y es estable por complementación (la condición que la define es simétrica en $A$, $X\setminus A$). *Uniones finitas*: sean $A, B \in \mathcal
M$ y $E$ arbitrario; dividiendo $E$ por $A$ y después cada trozo por $B$:

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

Los tres primeros trozos recubren $E \cap (A \cup B)$, de modo que la subaditividad da $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) +
\mu^*(E\setminus(A\cup B))$: $A \cup B \in \mathcal M$. Por inducción, las uniones finitas; y con los complementos, quedan disponibles las manipulaciones de disjunción finita.

*Aditividad sobre $\mathcal M$*: para $A, B \in
\mathcal M$ disjuntos y $E$ cualquiera: $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap
A) + \mu^*(E \cap B)$ (divídase por $A$); por inducción,

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*Uniones numerables*: sean $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjuntos (basta con ello, por disjunción dentro del álgebra $\mathcal M$), $A = \bigsqcup A_k$, $E$ arbitrario. Usando $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ y la monotonía:

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

por ($*$). Hágase $n \to \infty$ y úsese la subaditividad numerable en sentido contrario:

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):
$$

todas las desigualdades son igualdades. Esto demuestra a la vez $A \in
\mathcal M$ y, tomando $E = A$, la aditividad numerable de $\mu^*$ sobre $\mathcal M$.

*Conjuntos nulos*: si $\mu^*(N) = 0$, entonces, para cualquier $E$: $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$: $N \in \mathcal M$. ∎

## 9.4 La medida de Lebesgue en $\R$

**Definición 9.10.**

La *medida exterior de Lebesgue* de $A
\subseteq \R$ es

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(recubrimientos numerables por intervalos abiertos).

**Lema 9.11.**

$\lambda^*$ es una [medida exterior](#def-b3-measure-outer), invariante por traslaciones, y $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (la longitud) para todo intervalo $I$.

**Demostración.** [Medida exterior](#def-b3-measure-outer): $\varnothing$ se recubre por intervalos arbitrariamente pequeños; la monotonía es clara; subaditividad: dados recubrimientos de cada $A_n$ hasta $\varepsilon 2^{-n}$ del ínfimo, su unión recubre $\bigcup A_n$ con longitud total $\leq \sum
\lambda^*(A_n) + \varepsilon$. Invariancia por traslaciones: tradúzcanse los recubrimientos.

Longitud: basta tratar $I = \intcc ab$ (los demás tipos difieren en los extremos, de [medida exterior](#def-b3-measure-outer) $0$: recúbranse por intervalos diminutos; después, compárense por encaje los tipos $\intcc{a+\varepsilon}{b -
\varepsilon} \subseteq \intoo ab$). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$: recúbrase por $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$. Recíprocamente, sea $\intcc
ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$: por *[compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact)* (Borel–Lebesgue, el [Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#thm-b3-topology-metriccompact)) bastan un número finito de intervalos, digamos $I_1, \dots, I_N$. Veamos que $\sum_{k\leq N}(b_k -
a_k) \geq b - a$ por inducción sobre $N$: elíjase $I_{k_1} \ni a$; si $b_{k_1} > b$, hemos terminado ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$); en caso contrario, el segmento $\intcc{b_{k_1}}b$ queda recubierto por los $N - 1$ intervalos restantes, y la inducción da $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k)
\geq b - b_{k_1}$, mientras que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$: súmese. ∎

**Teorema 9.12 (Medida de Lebesgue).**

Todo conjunto de Borel de $\R$ es $\lambda^*$-medible. La restricción $\lambda$ de $\lambda^*$ a la $\sigma$-álgebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (la *$\sigma$-álgebra de Lebesgue*) es la única [medida](#def-b3-measure-measure) sobre $\mathcal B(\R)$ que asigna a cada intervalo su longitud; es invariante por traslaciones y $\sigma$-finita.

**Demostración.** Por el [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) basta ver que cada semirrecta $A = \intoo{-\infty}c$ es $\lambda^*$-medible (las semirrectas generan $\mathcal B$, la [Definición 9.2](#def-b3-measure-borel)). Sea $E \subseteq \R$ con $\lambda^*(E) < \infty$ y sea $\bigcup I_n \supseteq E$ un recubrimiento con $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$. Cada $I_n$ se descompone en los dos intervalos $I_n' = I_n \cap A$ y $I_n'' = I_n\setminus A$ (un intervalo menos una semirrecta es un intervalo) con $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$; los $I_n'$ recubren $E \cap A$ y los $I_n''$ recubren $E \setminus A$ (agrándese cada uno hasta un intervalo abierto de longitud $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ para no salirse de la definición), de modo que

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

Unicidad: dos [medidas](#def-b3-measure-measure) que coinciden con la longitud sobre el $\pi$-sistema de los intervalos $\intoc ab$ (finitas sobre ellos) coinciden en $\sigma(\text{intervalos}) = \mathcal B$ por el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) con $P_k = \intoc{-k}k$. $\sigma$-finitud: $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎

**Teorema 9.13 (Regularidad).**

Para todo $A \in \mathcal L$:

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ abierto}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compacto}\}.
$$

**Demostración.** *Exterior*: un recubrimiento $\bigcup I_n$ con $\sum\ell(I_n) \leq
\lambda(A) + \varepsilon$ es un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subaditividad); si $\lambda(A) = \infty$, el enunciado es trivial. *[Interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior)*: sea primero $A$ acotado, $A \subseteq [-M, M]$. Tómese un abierto $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ con $\lambda(U) \leq
\lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$; entonces $K = [-M,
M]\setminus U$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), $K \subseteq A$, y

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

Para $A$ general: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo) y aplíquese el caso acotado dentro. ∎

**Ejemplo 9.14.**

El conjunto de Cantor (el [Ejercicio 6.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#exo-b3-topology-10)) cumple $\lambda(C) = 0$: $C \subseteq C_n$, unión de $2^n$ intervalos de longitud $3^{-n}$, luego $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. Un conjunto nulo no numerable — el cardinal no ve la [medida](#def-b3-measure-measure). Recíprocamente, los *conjuntos de Cantor gordos* (el [Ejercicio 9.5](#exo-b3-measure-5)) son densos en ninguna parte y de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva: la [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) tampoco ve la [medida](#def-b3-measure-measure). El problema de fin de semana lleva esta interacción a su conclusión más llamativa: hay conjuntos medibles Lebesgue que no son de Borel.

**Teorema 9.15 (Vitali).**

No existe ninguna [medida](#def-b3-measure-measure) sobre *todos* los subconjuntos de $\R$ que sea invariante por traslaciones y asigne a cada intervalo su longitud. En particular, $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: existen conjuntos no medibles.

**Demostración.** Supongamos que $\mu$ fuera una tal [medida](#def-b3-measure-measure). Sobre $\intcc01$, considérese la equivalencia $x \sim y \iff x - y \in \Q$; por el *axioma de elección*, tómese un representante en $\intcc01$ por cada clase: un conjunto $V$. Para $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$, los trasladados $V + q$ son disjuntos dos a dos (dos puntos de $V$ que difirieran en un racional serían equivalentes y, sin embargo, representantes distintos) y

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

la primera inclusión porque todo $x \in \intcc01$ difiere de su representante $v$ en un racional $q = x - v \in
\intcc{-1}1$. La monotonía y la $\sigma$-aditividad dan

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{con } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ para todos } q .
$$

Una suma infinita de la constante $\mu(V)$ vale $0$ o $\infty$: ambas cotas no pueden cumplirse a la vez. Así que no existe tal $\mu$ — y $V
\notin \mathcal L$, pues $\lambda$ sobre $\mathcal L$ tiene todas las propiedades usadas. ∎

**Observación 9.16.**

En $\R^3$ el fracaso es más dramático: la paradoja de Banach–Tarski descompone una bola en cinco piezas que se recomponen, mediante rotaciones y traslaciones, en *dos* bolas del mismo radio — de modo que ni siquiera existe un volumen finitamente aditivo e invariante por rotaciones sobre todos los subconjuntos de $\R^3$. Las piezas son, por supuesto, no medibles. La medibilidad no es una cautela burocrática; es la frontera de la coherencia.

**Método 9.17.**

El *principio de los buenos conjuntos*: para demostrar que todos los conjuntos de $\sigma(\mathcal E)$ tienen una propiedad, compruébese que los buenos conjuntos forman una $\sigma$-álgebra (o un $\lambda$-sistema, si la propiedad es de tipo [medida](#def-b3-measure-measure) y $\mathcal E$ es un $\pi$-sistema — entonces, Dynkin) que contiene $\mathcal E$. Casi todas las demostraciones de este capítulo y del siguiente son un caso particular. Para demostrar que dos [medidas](#def-b3-measure-measure) son iguales: compruébese sobre un $\pi$-sistema generador más la $\sigma$-finitud (el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). Para construir una [medida](#def-b3-measure-measure): constrúyase una [medida exterior](#def-b3-measure-outer) mediante recubrimientos e invóquese a Carathéodory.

## 9.5 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

(a) Demostrar que $\{A \subseteq X : A$ o $X\setminus A$ es numerable$\}$ es una $\sigma$-álgebra: la generada por los puntos. (b) Demostrar que $\mathcal B(\R)$ está generada por cada una de estas familias: los intervalos abiertos; los intervalos cerrados; las semirrectas $\intoc{-\infty}a$; las semirrectas con $a \in \Q$. (c) ¿Es la familia de las *uniones finitas disjuntas de intervalos* $\intoc ab$ una $\sigma$-álgebra? ¿Es un álgebra (estable por complementación y uniones finitas)?

**Solución de Ejercicio 9.1.**

(a) La complementación intercambia los dos casos de la definición. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable; y si algún miembro es conumerable, la unión lo es: hay estabilidad. Contiene los puntos, y toda $\sigma$-álgebra que los contenga contiene todos los conjuntos numerables (uniones numerables) y sus complementarios: es $\sigma(\{\text{unitarios}\})$.

(b) Escríbase $\mathcal B = \sigma(\text{abiertos})$. Todo abierto de $\R$ es unión numerable de intervalos abiertos con extremos racionales (alrededor de cada punto racional del abierto, un intervalo de radio racional contenido en él), luego los abiertos $\in
\sigma(\text{intervalos abiertos}) \subseteq \sigma(\text{rational
data})$. Conversiones: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a +
\frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a -
\frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n
\intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ y recíprocamente $\intoo ab =
\intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; semirrectas racionales: $\intoc{-\infty}a =
\bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$. Cada familia genera las demás mediante operaciones numerables: las cuatro generan $\mathcal B$.

(c) Con extremos finitos únicamente, la familia no es siquiera un álgebra: el complementario de $\intoc01$ contiene semirrectas no acotadas. Admitiendo extremos infinitos ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo
a{+\infty}$) sí es un álgebra (los complementos y las uniones finitas de tales uniones lo son), pero no una $\sigma$-álgebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ no es unión finita de intervalos no degenerados.

**Ejercicio 9.2 ★.**

(a) Demostrar la fórmula de inclusión–exclusión para una [medida](#def-b3-measure-measure) finita: $\mu(A\cup
B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, y la versión con tres conjuntos. (b) Dar un ejemplo que muestre que la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por arriba (la [Proposición 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) falla sin la hipótesis de finitud. (c) Demostrar que un conjunto numerable tiene [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nula. Deducir $\lambda(\Q) = 0$ y $\lambda(\intcc01\setminus\Q) =
1$.

**Solución de Ejercicio 9.2.**

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, luego $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (la finitud permite la resta). Tres conjuntos: aplíquese dos veces la fórmula de dos,

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(las sumas sobre los conjuntos de índices evidentes).

(b) Para la [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter), $A_n = [n, +\infty) \downarrow
\varnothing$, pero $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$.

(c) Un punto está en un intervalo de longitud $\varepsilon$: $\lambda(\{x\}) = 0$; la subaditividad numerable liquida los conjuntos numerables. Por tanto $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ y, por aditividad, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: los irracionales cargan con toda la longitud.

**Ejercicio 9.3 ★★.**

Sean $\mu, \nu$ [medidas](#def-b3-measure-measure) de probabilidad sobre $\mathcal B(\R)$ con $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ para todo $t \in \R$. Demostrar que $\mu = \nu$. (Esto hace de la *función de distribución* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ un invariante [completo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — el fundamento de [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/22-probabilidad-fundamentos-y-ley-de-los-grandes-numeros#ch-b3-probability).)

**Solución de Ejercicio 9.3.**

Las semirrectas $\intoc{-\infty}t$ forman un $\pi$-sistema (la intersección de dos es la menor) que genera $\mathcal B(\R)$ (el [Ejercicio 9.1](#exo-b3-measure-1)). Los conjuntos $P_k = \intoc{-\infty}k$ crecen hacia $\R$ con $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$: se aplica el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness), y $\mu = \nu$ sobre $\mathcal B(\R)$. Así, la función de distribución determina la [medida](#def-b3-measure-measure).

**Ejercicio 9.4 ★★.**

(Borel–Cantelli, versión de [medida](#def-b3-measure-measure)) Sean $(A_n)$ medibles con $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, y sea $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (los puntos que pertenecen a infinitos $A_n$). Demostrar que $\mu(\limsup A_n) = 0$. Aplicación: para casi todo $x \in \intcc01$, solo un número finito de $n$ cumplen $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ para el $n$-ésimo racional $p/q_n$ de una enumeración de $\Q\cap\intcc01$.

**Solución de Ejercicio 9.4.**

Para todo $N$, $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, luego $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, la cola de una serie convergente: hágase $N \to \infty$. Aplicación: con $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ($r_n$ el $n$-ésimo racional), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ es sumable: $\lambda(\limsup A_n) = 0$, es decir, casi todo $x$ pertenece solo a un número finito de $A_n$. (Y sin embargo todo $x$ es límite de racionales: la clave es la *velocidad* $4^{-n}$.)

**Ejercicio 9.5 ★★.**

(Conjunto de Cantor gordo) Repítase la construcción de Cantor sobre $\intcc01$, pero suprimiendo en la etapa $n$, de cada uno de los $2^{n-1}$ intervalos, un intervalo abierto *centrado* de longitud solo $4^{-n}$. Demostrar que el $K = \bigcap K_n$ resultante es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), tiene [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío (no sobrevive ningún intervalo) y

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

un [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en ninguna parte de [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac12$. Deducir la existencia de un subconjunto *[magro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* de $\intcc01$ de [medida](#def-b3-measure-measure) total $1$, y de un subconjunto abierto y denso de [medida](#def-b3-measure-measure) $< \varepsilon$.

**Solución de Ejercicio 9.5.**

$K = \bigcap K_n$ es una intersección de uniones finitas de intervalos cerrados: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact). En la etapa $n$ quedan $2^n$ intervalos de longitud común $\ell_n \leq 2^{-n}$ (cada etapa duplica y encoge); un intervalo $I \subseteq K$ estaría dentro de un único intervalo de la etapa $n$ para todo $n$, lo que obligaría a $\ell(I) = 0$: [interior](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) vacío. La [medida](#def-b3-measure-measure) suprimida es $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot
4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$, siendo todas las supresiones intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(K) = \frac12$.

Variante: suprimiendo intervalos centrales de longitud $\varepsilon
4^{-n}$ queda un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) denso en ninguna parte $K^{(\varepsilon)}$ de [medida](#def-b3-measure-measure) $1 - \frac\varepsilon2$. Entonces $\bigcup_m
K^{(1/m)}$ es [magro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (unión numerable de [conjuntos densos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) en ninguna parte) de [medida](#def-b3-measure-measure) $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: un [conjunto magro](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) de [medida](#def-b3-measure-measure) total — y su complementario en $\intoo01$ es un $G_\delta$ denso de [medida](#def-b3-measure-measure) $0$ (topológicamente gordo, métricamente nulo). El complementario de $K^{(\varepsilon)}$ en $\intoo01$ es abierto, denso y de [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

Sea $\mu$ una [medida](#def-b3-measure-measure) sobre $\mathcal B(\R)$, invariante por traslaciones, con $c = \mu(\intoc01) < \infty$. Demostrar que $\mu =
c\,\lambda$ sobre $\mathcal B(\R)$. *(Calcúlese $\mu$ sobre los intervalos diádicos dividiendo $\intoc01$ en $2^n$ trasladados, e invóquese después [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solución de Ejercicio 9.6.**

Cortando $\intoc01$ en $2^n$ trasladados de $\intoc0{2^{-n}}$: $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, luego $\mu(\intoc0{2^{-n}}) =
c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. Por invariancia por traslaciones y aditividad, $\mu = c\lambda$ sobre todo intervalo $\intoc ab$ con $b - a$ un racional diádico y $a$ cualquiera; un $\intoc ab$ general es unión creciente de tales intervalos ($b_k \uparrow b$ pasos diádicos desde $a$), y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo extiende la igualdad. Los intervalos $\intoc ab$ forman un $\pi$-sistema que genera $\mathcal B(\R)$, con $\intoc{-k}k
\uparrow \R$ de [medida](#def-b3-measure-measure) finita ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) da $\mu = c\lambda$ sobre $\mathcal B(\R)$.

**Ejercicio 9.7 ★★.**

(Aproximación) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) <
\infty$ y sea $\varepsilon > 0$. Demostrar que existe una unión *finita* de intervalos $B$ con $\lambda(A\,\triangle\,B) <
\varepsilon$ ($\triangle$ = diferencia simétrica). *(Regularidad: encájese $K \subseteq A \subseteq U$ y úsese la estructura del abierto $U$ como unión numerable de intervalos, junto con la [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de $K$.)*

**Solución de Ejercicio 9.7.**

Por regularidad (el [Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)), tómense $K
\subseteq A \subseteq U$ con $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact), $U$ abierto, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (ambas aproximaciones hasta $\varepsilon/2$, y $\lambda(U \setminus K) =
\lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). Escríbase $U$ como unión numerable disjunta de intervalos abiertos $(I_n)$ (las componentes del abierto); el [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $K$ queda recubierto por un número finito de ellos, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq
U$. Entonces $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq
U\setminus K$ y $B \setminus A \subseteq U \setminus A
\subseteq U\setminus K$: $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — pártase de $\varepsilon/2$ para quedar por debajo de $\varepsilon$.

**Ejercicio 9.8 ★★★.**

(Steinhaus) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$. Demostrar que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contiene un intervalo alrededor de $0$. *(Redúzcase a $\lambda(A) < \infty$; por regularidad al estilo del [Ejercicio 9.7](#exo-b3-measure-7), hállese un intervalo $I$ con $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$; entonces, para $\abs t <
\frac12\ell(I)$, los conjuntos $A\cap I$ y $(A\cap I) + t$ están ambos en un intervalo de longitud $\frac32\ell(I)$ y tienen [medida](#def-b3-measure-measure) total $> \frac32\ell(I)$: han de cortarse.)*

**Solución de Ejercicio 9.8.**

Sustituyendo $A$ por un $A \cap [-M, M]$ de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva (sirve algún $M$, por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo), supóngase $0 < \lambda(A) <
\infty$. Tómese $U \supseteq A$ abierto con $\lambda(U) <
\frac43\lambda(A)$ y descompóngase $U = \bigsqcup_nI_n$ en intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap
I_n)$. Si todo $n$ cumpliera $\lambda(A\cap I_n) \leq
\frac34\ell(I_n)$, sumando se obtendría $\lambda(A) \leq
\frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: luego algún intervalo $I$ cumple $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. Póngase $B = A \cap I$ y sea $\abs t < \frac12\ell(I)$: tanto $B$ como $B + t$ están en el intervalo $I \cup (I + t)$, de longitud $< \frac32\ell(I)$. Si fueran disjuntos, $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B)
> \frac32\ell(I)$ superaría la [medida](#def-b3-measure-measure) del intervalo que los contiene — imposible. Luego $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: algún $x \in B$ se escribe $x = y + t$ con $y \in B$, y $t = x -
y \in A - A$. Por tanto, $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A -
A$.

**Ejercicio 9.9 ★★★.**

Demostrar que todo $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$ contiene un subconjunto no medible. *(Interséquese $A$ con los trasladados $V + q$ del conjunto de Vitali: si todos los $A \cap (V+q)$ fueran medibles, cada uno sería nulo por el argumento del [Teorema 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — Steinhaus (el [Ejercicio 9.8](#exo-b3-measure-8)) ayuda: un conjunto medible de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva dentro de $V + q$ daría a $(V+q) - (V+q) \supseteq$ un intervalo, en contra de que ese conjunto de diferencias corta a $\Q$ solo en $0$; concluir con la subaditividad.)*

**Solución de Ejercicio 9.9.**

Los trasladados de Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ forman una partición de $\R$ (todo real es equivalente a exactamente un representante). Supóngase que todos los conjuntos $B_q = A \cap (V + q)$ fueran medibles. Dos elementos cualesquiera de $V + q$ difieren en un irracional o en cero (dos representantes distintos no son equivalentes), de modo que $B_q - B_q$ corta a $\Q$ solo en $\{0\}$: no contiene ningún intervalo, y Steinhaus (el [Ejercicio 9.8](#exo-b3-measure-8)) obliga a $\lambda(B_q) = 0$. Entonces $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, en contra de $\lambda(A) > 0$. Así que algún $B_q \subseteq A$ no es medible.

**Ejercicio 9.10 ★★.**

Demostrar que $A \subseteq \R$ con $\lambda^*(A) < \infty$ es medible Lebesgue si y solo si para todo $\varepsilon > 0$ existe un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda^*(U \setminus A) <
\varepsilon$, si y solo si existe un conjunto $G_\delta$ $G \supseteq A$ con $\lambda^*(G\setminus A) = 0$. (Así, los conjuntos de Lebesgue son los de Borel módulo conjuntos nulos.)

**Solución de Ejercicio 9.10.**

*Medible $\Rightarrow$ $\varepsilon$-aproximación*: por regularidad exterior (el [Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)), tómese un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$; la medibilidad permite la resta $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$. *Versión $\varepsilon$ $\Rightarrow$ versión $G_\delta$*: tómense $U_n$ con $\lambda^*(U_n\setminus
A) < \frac1n$ y $G = \bigcap U_n$: un $G_\delta$ con $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *Versión $G_\delta$ $\Rightarrow$ medible*: $G\setminus
A$ es $\lambda^*$-nulo, luego medible por [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (el [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)), y $A = G \setminus
(G\setminus A)$ es medible ($G$ es de Borel). Así pues, los conjuntos de Lebesgue son exactamente «Borel módulo nulos».

**Ejercicio 9.11 ★★.**

([Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) a lo largo de límites monótonos, y su optimalidad) (a) Demostrar que, para conjuntos medibles, $\mu(\liminf A_n) \leq
\liminf\mu(A_n)$ (Fatou para conjuntos) y que, si $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$, también $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$. (b) Exhibir, para la [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) sobre $\R$, una sucesión con $\mu(A_n) = 1$ para todo $n$ y, sin embargo, $\mu(\limsup A_n) = 0$: la hipótesis de finitud de la segunda desigualdad no es decorativa. (c) Deducir: si $\sum\mu(A_n) < \infty$, entonces $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli de nuevo), y si los $A_n$ crecen o decrecen (con $\mu(A_1) < \infty$ en el caso decreciente), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$.

**Solución de Ejercicio 9.11.**

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ es una unión creciente de los conjuntos $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$, luego $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo); y $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, cuyo límite es $\liminf\mu(A_n)$. Para el $\limsup$: aplíquese lo mismo a los complementarios dentro del ambiente de [medida](#def-b3-measure-measure) finita $U = \bigcup A_n$ — la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por arriba sobre los $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ decrecientes exige $\mu(C_1)
\leq \mu(U) < \infty$, y da $\mu(\limsup A_n) =
\lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) El intervalo móvil $A_n = \intcc n{n+1}$: todo punto pertenece a lo sumo a dos de los $A_n$ y a ninguno a partir de cierto índice, luego $\limsup A_n = \varnothing$; y sin embargo $\mu(A_n) = 1$. Así, $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: sin una envoltura de [medida](#def-b3-measure-measure) finita, la segunda desigualdad de (a) falla — la masa se escapa al infinito, donde ningún conjunto fijo puede atraparla.

(c) Si $\sum\mu(A_n) < \infty$: $\mu(C_N) \leq
\sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ y $\limsup A_n =
\bigcap C_N$ tiene [medida](#def-b3-measure-measure) $\leq \inf\mu(C_N) = 0$. Casos monótonos: el creciente es la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo; el decreciente con $\mu(A_1) < \infty$ es la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por arriba — ambos demostrados entre las propiedades básicas del [Capítulo 9](#ch-b3-measure); y el contraejemplo $A_n = \intco n\infty$ (decreciente hacia $\varnothing$ con $\mu \equiv \infty$) muestra que la finitud vuelve a ser esencial.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

(Teorema de Egórov) Sean $\mu(X) < \infty$ y $f_n \to f$ puntualmente, todas medibles (con valores reales). Para $k, N \geq 1$, póngase

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(a) Demostrar que, para $k$ fijo, $E_{k,N} \nearrow X$ cuando $N \to
\infty$, y deducir $N_k$ con $\mu(X \setminus E_{k,N_k})
\leq \varepsilon2^{-k}$. (b) Concluir el *teorema de Egórov*: para todo $\varepsilon
> 0$ existe un medible $A$ con $\mu(X\setminus A) \leq
\varepsilon$ tal que $f_n \to f$ *uniformemente sobre $A$* — la convergencia puntual es convergencia uniforme salvo en un conjunto arbitrariamente pequeño. (c) Demostrar que el teorema falla en $(\R, \lambda)$: las jorobas móviles $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergen puntualmente a $0$ pero uniformemente en el complementario de ningún conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) finita. ¿Dónde usó (a) que $\mu(X) < \infty$?

**Solución de Ejercicio 9.12.**

(a) Los conjuntos $E_{k,N}$ crecen con $N$ (menos restricciones), y todo $x$ acaba cumpliendo $\abs{f_n(x)
- f(x)} \leq \frac1k$ para todo $n \geq N(x)$ (convergencia puntual): $\bigcup_NE_{k,N} = X$. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por abajo: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, luego $\mu(X\setminus
E_{k,N}) \to 0$; elíjase $N_k$ en consecuencia.

(b) Sea $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. Sobre $A$: para todo $k$, todos los $n \geq N_k$ cumplen $\sup_A\abs{f_n - f} \leq
\frac1k$ — exactamente la convergencia uniforme sobre $A$.

(c) Para la joroba móvil, la convergencia uniforme sobre $A$ exige que $A$ acabe evitando todo $\intcc n{n+1}$ — con más precisión, $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ obliga a que $A \cap \intcc
n{n+1}$ sea vacío para $n$ grande, de modo que $X \setminus A$ contiene una cola $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$, de [medida](#def-b3-measure-measure) infinita. En (a), la finitud convertía «$E_{k,N}\nearrow X$» en «las [medidas](#def-b3-measure-measure) de los complementarios tienden a $0$»: la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) por arriba necesita un comienzo finito, y en los [espacios de medida](#def-b3-measure-measure) infinita el escape al infinito es precisamente lo que no puede ver.

## 9.6 Problema: la escalera de Cantor–Vitali y un conjunto medible que no es de Borel

![La escalera de Cantor–Vitali: constante en cada hueco del conjunto de Cantor y, aun así, subiendo de 0 a 1 de manera continua. Su derivada se anula en casi todo punto — toda la subida ocurre sobre un conjunto nulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-704d5d7b78b1.svg)

*La escalera de Cantor–Vitali: constante en cada hueco del conjunto de Cantor y, aun así, subiendo de $0$ a $1$ de manera [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). Su derivada se anula en casi todo punto — toda la subida ocurre sobre un conjunto nulo.*

**Problema 9.1.**

Problema de fin de semana — la escalera del diablo y $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

Construiremos la *función de Cantor–Vitali* (la escalera del diablo), la usaremos para transportar la [medida](#def-b3-measure-measure) de manera patológica y concluiremos con un teorema que ningún argumento blando proporciona: existen conjuntos medibles Lebesgue que no son de Borel. Notación: $C$ es el conjunto de Cantor, $C_n$ su etapa $n$-ésima ($2^n$ intervalos de longitud $3^{-n}$), y todo $x \in C$ tiene dígitos ternarios $x = \sum 2b_n3^{-n}$, $b_n \in \{0,1\}$ ([Ejercicio 6.10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#exo-b3-topology-10)).

**Parte I — La escalera.** Defínase $c_0(x) = x$ y $c_{n+1}$ a partir de $c_n$ mediante

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. Demostrar que cada $c_n$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y no decreciente, con $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , y que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq  \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
2. Deducir que $(c_n)$ converge uniformemente a una $c$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y no decreciente con $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ ( *la* función de Cantor–Vitali), que cumple las mismas relaciones autosemejantes que los $c_{n+1}$ anteriores.
3. Demostrar que $c$ es constante en cada [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-components) de $\intcc01\setminus C$ y que, para $x = \sum_n  2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : la escalera lee en binario los dígitos de Cantor (la función $g$ del [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#pb-b3-topology-1) , hecha monótona y global).
4. Deducir que $c$ es derivable, con $c' = 0$, en todo punto de $\intcc01\setminus C$: $c' = 0$ *$\lambda$-en casi todo punto* (el [Ejemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). Concluir que el teorema fundamental del cálculo falla para $c$: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (donde la integral se toma sobre el conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) total en el que $c' = 0$; anticipando el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue), los conjuntos nulos no afectan a las integrales). ¿Qué hipótesis del teorema fundamental de $\mathcal C^1$ se viola?
5. Demostrar que $c(C) = \intcc01$ : el conjunto nulo $C$ se aplica *sobre* un conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) total.

**Parte II — El [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) torcido.** Sea $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$.

6. Demostrar que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ es un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (estrictamente creciente, [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y sobreyectiva).
7. Demostrar que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) =  \tfrac12$ : sobre cada hueco de longitud $\ell$ , $h$ actúa como una aplicación afín de pendiente $\tfrac12$ , y los huecos tienen longitud total $1$ .
8. Deducir $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : la imagen [homeomorfa](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de un conjunto nulo puede tener [medida](#def-b3-measure-measure) positiva. (¿En qué contradice esto la intuición ingenua sobre el «tamaño»?)

**Parte III — Un conjunto medible que no es de Borel.**

9. Por el [Ejercicio 9.9](#exo-b3-measure-9) , tómese un $W  \subseteq h(C)$ no medible. Demostrar que $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ es medible Lebesgue. *(Es un subconjunto de un conjunto nulo; [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), el [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)*
10. Demostrar que la preimagen de un conjunto de Borel por una [aplicación continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) es de Borel. *(Principio de los buenos conjuntos: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene los abiertos — atención al sentido de la aplicación.)*
11. Concluir que $Z$ *no* es de Borel: si lo fuera, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ sería de Borel (aplíquese la pregunta 10 a la [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $h^{-1}$) y, por tanto, medible — contradicción. Por consiguiente, $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ y la [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) amplía genuinamente el mundo de Borel.
12. Exhibir una función $g$ medible Lebesgue y una función $\varphi$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) tales que $g \circ  \varphi$ no sea medible Lebesgue: la medibilidad, a diferencia de la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) , no se compone. *(Tómense $g =  \mathbf 1_Z$ y $\varphi = h^{-1}$, anticipando la definición de función medible del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue): las preimágenes de conjuntos de Borel son conjuntos de Lebesgue. ¿Dónde hay que tener cuidado con qué $\sigma$-álgebra se usa en el destino?)*

**Parte IV — Epílogo.**

13. Ordenar por inclusión estricta las clases siguientes, justificando cada estrictud con un ejemplo de este capítulo o de su problema: los conjuntos numerables; los conjuntos de Borel nulos; los conjuntos nulos de Lebesgue; los conjuntos de Borel; los conjuntos de Lebesgue; los conjuntos arbitrarios.

**Parte V — La [medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor: masa sobre un conjunto nulo.** La escalera es la función de distribución de una [medida](#def-b3-measure-measure) notable, que ahora construiremos con las herramientas propias de este capítulo.

14. (Lebesgue–Stieltjes, existencia) Sea $F\colon\R\to\R$ no decreciente, [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y acotada. Sobre los intervalos semiabiertos defínase $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) -  F(a)$ y, para $A \subseteq \R$, $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ Demostrar que $\mu_F^*$ es una [medida exterior](#def-b3-measure-outer) y que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(imítese el argumento de [compacidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) del [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue), agrandando cada $\intoc{a_k}{b_k}$ hasta un intervalo abierto con un coste $F$ de $\leq \varepsilon2^{-k}$ — ¿dónde se usa la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $F$?)*.
15. Demostrar que todo conjunto de Borel es $\mu_F^*$ -medible en el sentido de Carathéodory *(como en el caso de Lebesgue, basta comprobarlo sobre las semirrectas; sígase la demostración de la aplicación del [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* , de modo que $\mu_F = \mu_F^*$ restringida a $\mathcal B(\R)$ es una [medida](#def-b3-measure-measure) con $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : la *[medida](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes* de $F$ .
16. Aplíquese esto a la escalera ($F = c$ extendida por $0$ sobre $\R_-$ y por $1$ sobre $\intco1\infty$): la *[medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor* $\mu$. Demostrar que $\mu(\R) = 1$, que todo hueco del conjunto de Cantor es $\mu$-nulo ($c$ es allí constante) y concluir que $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ $\mu$ y $\lambda$ viven sobre soportes disjuntos ($C$ y su complementario). Dos [medidas](#def-b3-measure-measure) en esta situación se llaman *mutuamente singulares*, y se escribe $\mu \perp  \lambda$.
17. Demostrar que $\mu$ no tiene átomos: $\mu(\{x\}) = 0$ para todo $x$ *([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $c$)* . Una [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidad sin átomos soportada por un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nula: compárese con las únicas [medidas](#def-b3-measure-measure) vistas hasta ahora.
18. (Lanzamiento de monedas disfrazado) Para una palabra $(\varepsilon_1,  \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , sea $C_{\varepsilon}$ el conjunto de los $x \in C$ cuyos dígitos ternarios cumplen $b_i(x) = \varepsilon_i$ para $i \leq m$ (una de las $2^m$ piezas de Cantor de profundidad $m$ ). Demostrar que $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(la escalera sube $2^{-m}$ a lo largo de esa pieza: úsese la Parte I, pregunta 3)* . La [medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor es la ley de una sucesión infinita de lanzamientos de moneda equilibrada leída en base tres — el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/22-probabilidad-fundamentos-y-ley-de-los-grandes-numeros#ch-b3-probability) hará esto exacto.
19. Demostrar la autosemejanza: para todo $A$ de Borel, $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ donde $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(compruébese sobre los intervalos generadores $\intoc ab$ mediante las relaciones autosemejantes de $c$, e invóquese después la unicidad, [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*.
20. Demostrar que la reflexión $s(x) = 1 - x$ conserva $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(mediante $c(1 - x) = 1 -  c(x)$, que se sigue de la simetría de la construcción — demuéstrese)* .
21. Calcular los dos primeros momentos de $\mu$, es decir, de un punto aleatorio $X$ con ley $\mu$ (las integrales pueden tratarse como límites de sumas sobre las piezas de profundidad $m$, anticipando el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)): la simetría da $\int x\,\dd\mu = \frac12$, y la autosemejanza da $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{luego}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ Compárese con la ley uniforme sobre $\intcc01$ (varianza $\frac1{12}$): la masa de Cantor, empujada hacia los bordes, se dispersa *más*.
22. Demostrar que el *soporte* ( [topológico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) ) de $\mu$ — el menor cerrado de [medida](#def-b3-measure-measure) total — es exactamente $C$ .
23. (Síntesis) La escalera $c$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y no decreciente y, sin embargo, incumple el teorema fundamental del cálculo (Parte I); la [medida](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ es una probabilidad, sin átomos, singular respecto de $\lambda$ . Explíquese en un párrafo breve cómo estas son dos caras de un mismo fenómeno y enúnciese la moraleja general: las funciones no decrecientes corresponden a [medidas](#def-b3-measure-measure) ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), la derivabilidad en casi todo punto corresponde a la «parte absolutamente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) », y $c$ es el testigo estándar de que una $F$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) puede no tener *ninguna* parte absolutamente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) .
24. (El módulo de [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) óptimo) Sea $s =  \frac{\ln 2}{\ln 3}$. Demostrar que $c$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de tipo Hölder con exponente $s$: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ y que ningún exponente $t > s$ puede servir, ni siquiera localmente. Deducir la forma en términos de [medida](#def-b3-measure-measure): para todos $x$ y $r \in \intoc01$, $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(Compárese una malla triádica de profundidad $m$ con la escala de $\abs{x - y}$; la pregunta 18 da la subida a lo largo de cada pieza. El exponente $s$ es la dimensión [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-hausdorff) de $C$, como dirán cursos posteriores.)*
25. (La autosemejanza caracteriza $\mu$) Demostrar el recíproco de la pregunta 19: si $\nu$ es una [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidad sobre $\mathcal B(\R)$ soportada por $\intcc01$ y cumple $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ entonces $\nu = \mu$. *(Itérese la relación $m$ veces para repartir $\nu$ entre las $2^m$ piezas de Cantor de profundidad $m$, estímese $\nu(\intoc ab)$ contra el número de piezas contenidas en $\intoc ab$ y hágase $m \to \infty$; termínese con el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** Inducción. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity): las tres fórmulas coinciden en los empalmes ($\frac12c_n(1) = \frac12$ y $\frac12 +
\frac12c_n(0) = \frac12$); cada trozo es [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity). La monotonía y los valores en los extremos se heredan. Para la estimación de contracción: sobre $[0,\frac13]$, $\abs{c_{n+1} - c_n}(x)
= \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n -
c_{n-1}}_\infty$; en el tercio central la diferencia es $0$; y en el tercio derecho, igual que en el izquierdo.

**2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq
2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$: la serie de incrementos converge uniformemente, de modo que $c_n \to c$ uniformemente; $c$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), no decreciente, $c(0) = 0$, $c(1) = 1$ (todo ello se conserva por límites uniformes), y pasando al límite en la recursión que la define se ve que $c$ cumple ella misma las tres identidades autosemejantes.

**3.** Por la identidad central, $c \equiv \frac12$ sobre $\intcc{\frac13}{\frac23}$, el primer hueco. Todo hueco de $C$ es la imagen del primero por una composición de las dos contracciones afines $x \mapsto \frac x3$, $x\mapsto\frac{x +
2}3$; las identidades transportan la constancia en consecuencia (con valores los racionales diádicos). Para la fórmula de los dígitos, tómese $x =
\sum_n 2b_n3^{-n} \in C$: si $b_1 = 0$, entonces $x \in
[0,\frac13]$ y $c(x) = \frac12c(3x)$, donde $3x$ tiene dígitos $(b_2, b_3, \dots)$; si $b_1 = 1$, entonces $x \in [\frac23, 1]$ y $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, con el mismo desplazamiento. Por inducción, los $N$ primeros dígitos binarios de $c(x)$ son $b_1,
\dots, b_N$ para todo $N$: $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$.

**4.** Fuera de $C$, $c$ es localmente constante: derivable con derivada $0$. Como $\lambda(C) = 0$ (el [Ejemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), $c' = 0$ en casi todo punto. Y sin embargo $c(1) - c(0) = 1$: el teorema fundamental en su forma $\mathcal
C^1$ exige que $c$ sea derivable en *todo* punto con derivada [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) (o al menos integrable, junto con la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) absoluta — véase el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)); $c$ no es derivable en los puntos de $C$ y, más de fondo, $c$ no es *absolutamente [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)*: sube sobre un conjunto nulo.

**5.** Dado $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ($\beta_n \in \{0,1\}$), el punto $x = \sum_n2\beta_n3^{-n}
\in C$ cumple $c(x) = y$ por la pregunta 3: $c(C) = \intcc01$, un conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) $1$ — el conjunto nulo $C$ transporta, a través de $c$, todo el intervalo.

**6.** $h$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y estrictamente creciente ($x$ lo es y $c$ es no decreciente); $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, de modo que, por el teorema del valor intermedio, $h$ es una biyección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $\intcc01$; y una biyección [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de un [espacio compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) en uno [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-hausdorff) es un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) ([Corolario 6.14](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**7.** Sobre un hueco $(u, v)$ (de longitud $\ell$), $c$ es constante, luego $h$ es afín de pendiente $\frac12$: $h((u,v))$ es un intervalo de longitud $\frac\ell2$. Los huecos son disjuntos y $h$ es inyectiva: las imágenes son disjuntas, de [medida](#def-b3-measure-measure) total $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$.

**8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ y $h(C)$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) (imagen [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)), luego medible, con

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

Un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) puede inflar un conjunto nulo hasta [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac12$: el «tamaño [topológico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology)» (categoría, dimensión) y la «[medida](#def-b3-measure-measure)» son transportados por los [homeomorfismos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de maneras muy distintas — solo el primero es un invariante [topológico](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology).

**9.** $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ cumple $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$: es un conjunto nulo y, por tanto, medible Lebesgue por [completitud](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/7-espacios-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)).

**10.** Sean $\varphi$ [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) y $\mathcal D = \{B
: \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. Las preimágenes conmutan con complementos y uniones numerables, luego $\mathcal D$ es una $\sigma$-álgebra; contiene los abiertos ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — las preimágenes de conjuntos de Borel por aplicaciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) son de Borel.

**11.** Si $Z$ fuera de Borel, aplíquese la pregunta 10 a la [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) $\varphi = h^{-1}$: $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ sería de Borel y, por tanto, medible Lebesgue — en contra de la elección de $W$. Luego $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: la $\sigma$-álgebra de Lebesgue contiene estrictamente a la de Borel.

**12.** $g = \mathbf 1_Z$ es medible Lebesgue ($Z \in
\mathcal L$) y $\varphi = h^{-1}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), pero $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ no es medible: $g \circ \varphi$ no es medible Lebesgue. El cuidado necesario: «función medible Lebesgue» significa que las preimágenes de conjuntos de *Borel* caen en $\mathcal L$; componer exige que las preimágenes de conjuntos de *Lebesgue* sean de Lebesgue, cosa que la [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) no garantiza (aquí $\varphi^{-1}(Z) \notin
\mathcal L$ aunque $\varphi$ sea un [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)).

**13.** Las cadenas, con testigos de cada estrictud:

$$
\{\text{numerables}\} \subsetneq \{\text{nulos Borel}\}
\subsetneq \{\text{nulos Lebesgue}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{nulos Borel}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

Testigos: $C$ es de Borel, nulo y no numerable (primer salto); $Z$ es nulo de Lebesgue pero no de Borel (segundo y, dentro de $\mathcal B
\subsetneq \mathcal L$, sexto); un conjunto de Cantor gordo es de Borel, denso en ninguna parte y de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva (separa los conjuntos nulos de los de Borel); el $V$ de Vitali no está en $\mathcal L$ (último salto). La [medida](#def-b3-measure-measure), la [topología](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) y el cardinal cortan $\mathcal P(\R)$ por líneas genuinamente distintas.

**14.** [Medida exterior](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (recúbrase por un intervalo que se desvanece), la monotonía es clara, y la subaditividad numerable se sigue empalmando recubrimientos $\varepsilon2^{-k}$-óptimos, exactamente igual que para $\lambda^*$. El recubrimiento por un solo intervalo da $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$. Recíprocamente, sea $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. Por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $F$, tómese $b_k' > b_k$ con $F(b_k') \leq F(b_k) +
\varepsilon2^{-k}$, y $a' \in \intoo ab$ con $F(a') \leq
F(a) + \varepsilon$. El [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) $\intcc{a'}b$ queda recubierto por los abiertos $\intoo{a_k}{b_k'}$: bastan un número finito, y el argumento de encadenamiento del [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (camínese de $a'$ a $b$ por intervalos solapados, telescopando los incrementos de $F$, con la monotonía absorbiendo los solapes) da $F(b)
- F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) -
F(a_k)) + \varepsilon$. Hágase $\varepsilon \to 0$: igualdad. (La [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $F$ es lo que permitía abrir los intervalos con un coste $F$ arbitrariamente pequeño.)

**15.** Basta demostrar que cada semirrecta $H_t =
\intoc{-\infty}t$ es medible en el sentido de Carathéodory, pues los conjuntos medibles forman una $\sigma$-álgebra (el [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) y las semirrectas generan $\mathcal B$. Dados $A$ y un recubrimiento $\varepsilon$-óptimo $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$: cada intervalo se descompone como $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (con un trozo posiblemente vacío), y los costes $F$ suman exactamente $F(b_k) - F(a_k)$; los primeros trozos recubren $A \cap H_t$ y los segundos $A \setminus H_t$. Por tanto $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, y la desigualdad contraria es la subaditividad. Restringiendo la [medida](#def-b3-measure-measure) resultante a $\mathcal B$: la [medida](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$.

**16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de la [medida](#def-b3-measure-measure) a lo largo de $\intoc{-n}n$). Sobre un hueco $\intoo uv$ de $C$, $c$ es constante, de modo que todo subintervalo semiabierto es $\mu$-nulo, y también lo es el hueco (unión numerable); fuera de $\intcc01$, $c$ también es constante. Por tanto $\mu(\R\setminus C) = 0$, $\mu(C) = 1$, mientras que $\lambda(C) =
0$ (el [Ejemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): cada una de $\mu, \lambda$ está soportada por un conjunto que la otra declara nulo — mutuamente singulares.

**17.** $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) de $c$: no hay átomos. Así pues, $\mu$ es una [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidad sin átomos soportada por un [compacto](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-compact) de [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nula — ni difusa con densidad, como las restricciones de $\lambda$, ni atómica como las [medidas](#def-b3-measure-measure) de conteo: una tercera especie.

**18.** La pieza $C_\varepsilon$ ocupa un intervalo ternario $I_\varepsilon$ de longitud $3^{-m}$, y la pregunta 3 de la Parte I muestra que a lo largo de $I_\varepsilon$ la escalera sube exactamente $2^{-m}$ (los $m$ primeros dígitos binarios de $c$ quedan congelados en $\varepsilon$, y el resto barre todo). Por tanto $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) =
c(\text{extremo der.}) - c(\text{extremo izq.}) = 2^{-m}$: los cilindros de dígitos de profundidad $m$ tienen todos masa $2^{-m}$, la ley de $m$ monedas equilibradas.

**19.** El miembro derecho define la [medida](#def-b3-measure-measure) de Borel $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x
\mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ evaluada en $A$ — una [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidad. Puntualmente, con $c$ extendida globalmente, se comprueba caso por caso ($x \leq 0$; los tres tercios; $x \geq 1$) la identidad

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),
$$

por ejemplo, sobre $\intcc{1/3}{2/3}$: $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 =
\frac12 = c(x)$. Evaluar $\nu$ en $\intoc ab$ da, pues, $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$, y dos [medidas](#def-b3-measure-measure) finitas que coinciden sobre el $\pi$-sistema de los intervalos semiabiertos coinciden en $\mathcal B$ (el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): $\nu =
\mu$.

**20.** Por inducción sobre $n$: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$, y si $c_n$ tiene la simetría, entonces, para $x \in
\intcc0{1/3}$: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x)
- 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 -
c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$; el tercio central se refleja alrededor de $\frac12$; y el tercio derecho es el caso izquierdo reflejado. En el límite, $c(1-x) = 1 - c(x)$. [Medida](#def-b3-measure-measure) imagen: $(s_*\mu)(\intoc ab)
= \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ no tiene átomos, pregunta 17, de modo que los convenios sobre los extremos no cuestan nada) $= (1 -
c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$: $s_*\mu = \mu$ por unicidad.

**21.** Sea $X \sim \mu$ (las integrales de funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity) contra $\mu$ existen como límites de sumas de tipo Riemann sobre las piezas de profundidad $m$, cada una de masa $2^{-m}$, con error de muestreo $\leq \operatorname{osc} \leq
\norm{f'}_\infty3^{-m}$; el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/10-la-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue) sistematizará esto). Simetría: $1 - X \sim X$, luego $\E X =
\frac12$. Autosemejanza: $X$ tiene la ley de $\frac Y3$ con probabilidad $\frac12$ y la de $\frac{Y+2}3$ con probabilidad $\frac12$, $Y \sim \mu$, de modo que

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

de donde $\E X^2 = \frac38$ y $\operatorname{Var}X = \frac38
- \frac14 = \frac18$. La ley uniforme tiene varianza $\frac1{12} < \frac18$: la masa de Cantor se abraza a los extremos.

**22.** $C$ es cerrado y $\mu(C) = 1$. Si un abierto $I$ corta a $C$ en $x$, las piezas de profundidad $m$ que contienen $x$ se encogen hacia $x$, de modo que alguna $I_\varepsilon \subseteq I$ y $\mu(I) \geq
2^{-m} > 0$: ningún cerrado menor puede soportar $\mu$. Los puntos fuera de $C$ tienen [entornos](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-topology) contenidos en huecos, de $\mu$-medida $0$. Por tanto, $\operatorname{supp}\mu = C$ exactamente.

**23.** Un solo fenómeno, dos dialectos. La Parte I dice que el crecimiento de $c$ es invisible para su derivada: $c' = 0$ en casi todo punto, con toda la subida concentrada en el conjunto nulo $C$. La Parte V dice que la [medida](#def-b3-measure-measure) asociada $\mu_c$ pone toda su masa sobre ese mismo conjunto nulo: $\mu_c \perp \lambda$, de modo que ninguna densidad $f \geq
0$ puede cumplir $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — una densidad obliga a anularse sobre los conjuntos $\lambda$-nulos. El diccionario: $F \leftrightarrow$ no decreciente y acotada [medida](#def-b3-measure-measure) finita $\mu_F$ (preguntas 14–15); $F$ es integral de su derivada $\leftrightarrow$ $\mu_F$ tiene densidad (el caso «absolutamente [continuo](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity)»); y, en general, $F'$, que existe en casi todo punto para $F$ monótona (teorema de derivación de Lebesgue, más allá de este capítulo), solo recupera la parte con densidad. La escalera es el caso extremo: [continua](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-continuity), con derivada $0$ en casi todo punto — su [medida](#def-b3-measure-measure) es *puramente singular* y el teorema fundamental del cálculo, lejos de fallar por accidente, falla exactamente por la cantidad $\mu_c(\R) = 1$ de masa singular.

**24.** Fíjense $x < y$ en $\intcc01$ y elíjase $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. A lo largo de cualquier intervalo triádico $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$, la escalera sube a lo sumo $2^{-m}$: un tal intervalo es o bien una de las $2^m$ piezas de $C_m$, donde la subida es exactamente $2^{-m}$ (pregunta 18), o bien está contenido en la [clausura](https://one-course.com/books/math/5/es/chapter/6-topologia-general#def-b3-topology-interior) de un único hueco de cierta etapa $\leq m$, donde $c$ es constante. Como $y - x \leq
3^{-m}$, el intervalo $\intcc xy$ corta a lo sumo a dos intervalos triádicos consecutivos de profundidad $m$, de modo que

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

usando $3^{s} = 2$ y $3^{-m} < 3(y - x)$. Optimalidad: los extremos $u < v$ de una pieza de Cantor de profundidad $m$ cumplen $v - u =
3^{-m}$ y $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$; una cota de Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ con $t > s$ obligaría a $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (pues $3^{t} > 3^{s} = 2$), y todo subintervalo de $\intcc01$ contiene tales piezas, de modo que el fallo es también local. Forma en términos de [medida](#def-b3-measure-measure): $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq
c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq
8r^{s}$ (con los valores de $c$ extendidos a $\R$ como en la pregunta 16; $\mu$ no tiene átomos, pregunta 17).

**25.** Escríbanse $S_0(x) = \frac x3$ y $S_1(x) =
\frac{x+2}3$; la hipótesis dice $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$. Iterando $m$ veces,

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

Como $\nu$ está soportada por $\intcc01$ y $S_w(\intcc01) =
I_w$, la pieza de Cantor de profundidad $m$ indexada por $w$, cada $(S_w)_*\nu$ es una [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidad soportada por $I_w$; las $2^m$ piezas son intervalos cerrados disjuntos dos a dos de longitud $3^{-m}$. Fíjese $\intoc ab$ y sea $N_m$ el número de piezas $I_w \subseteq \intoc ab$. Una pieza que corte a $\intoc ab$ sin estar contenida en él ha de contener $a$ o $b$, y un punto está en a lo sumo una pieza, de modo que

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

La misma doble desigualdad vale para $\mu$ (la pregunta 19 da la iteración idéntica), con el mismo recuento $N_m$. Por tanto, $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: $\nu$ y $\mu$ coinciden sobre el $\pi$-sistema de los intervalos semiabiertos, y ambas son [medidas](#def-b3-measure-measure) de probabilidad, de modo que el [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) da $\nu = \mu$. La [medida](#def-b3-measure-measure) de la escalera es, pues, *el* punto fijo del esquema de promediado con dos aplicaciones — el enunciado, a nivel de [medidas](#def-b3-measure-measure), de la autosemejanza de $C$.