--- title: "L’intégrale de Lebesgue" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 10 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue --- # Chapitre 10 — L’intégrale de Lebesgue L’intégrale de Riemann découpe le *domaine* en petits intervalles ; celle de Lebesgue découpe le *but* : pour intégrer $f$, on [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) les ensembles $\{f > t\}$. Le changement paraît innocent et est révolutionnaire. Limites et intégrales, en perpétuelle querelle dans la théorie de Riemann (convergence uniforme exigée !), se réconcilient par trois théorèmes de convergence — convergence monotone, Fatou, convergence dominée — dont les hypothèses sont presque embarrassamment faibles. Ce chapitre construit l’intégrale sur un espace mesuré arbitraire $(X, \mathcal A, \mu)$, prouve les trois théorèmes, fixe le rapport exact avec l’intégrale de Riemann (une fonction bornée est [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ssi elle est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) [presque partout](#def-b3-lebesgue-l1)), et industrialise la dérivation des intégrales à paramètre — la technique que le problème du week-end utilise pour calculer $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ et $\int_\R \eu^{-x^2}\dd x$. ## 10.1 Fonctions mesurables **Définition 10.1.** Soient $(X, \mathcal A)$, $(Y, \mathcal B)$ des espaces mesurables. $f \colon X \to Y$ est *mesurable* si $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ pour tout $B \in \mathcal B$. Pour les fonctions réelles (ou à valeurs dans $[-\infty,+\infty]$), $Y = \R$ porte sa $\sigma$-algèbre de Borel, et il suffit de vérifier $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in \mathcal A$ pour tout $t \in \R$ : les bons ensembles $\{B : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ forment une $\sigma$-algèbre (les images réciproques commutent avec les opérations ensemblistes) contenant les demi-droites engendrant ([Définition 9.2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-borel), [Méthode 9.17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#met-b3-measure-goodsets)). **Proposition 10.2.** (a) Les composées d’applications [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) ; les [applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sont [Borel-mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable). (b) Si $f, g \colon X \to \R$ sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable), le sont aussi $f + g$, $fg$, $\max(f,g)$, $\abs f$, $\lambda f$. (c) Si $(f_n)$ sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) à valeurs dans $[-\infty, +\infty]$, alors $\sup_nf_n$, $\inf_nf_n$, $\limsup f_n$, $\liminf f_n$ sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) ; si $f_n \to f$ ponctuellement, $f$ est [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable). **Démonstration.** (a) $(g\circ f)^{-1}(B) = f^{-1}(g^{-1}(B))$ ; la continuité donne la mesurabilité via les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) engendrant ([Problème 9.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#pb-b3-measure-1), question 10, sous forme générale). (b) $(f, g) \colon X \to \R^2$ est [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) pour la $\sigma$-algèbre de Borel de $\R^2$ — vérifier sur les boîtes [ouvertes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), qui engendrent (les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R^2$ sont des unions dénombrables de boîtes rationnelles) : $(f,g)^{-1}(U\times V) = f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ — et $+, \times, \max$ sont [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\R^2 \to \R$ : composer. (c) $\{\sup f_n > t\} = \bigcup_n\{f_n > t\}$ ; $\inf = -\sup(-)$ ; $\limsup = \inf_N\sup_{n \geq N}$ ; une limite ponctuelle est son propre $\limsup$. ∎ **Définition 10.3.** Une *fonction simple* est une [fonction mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) à un nombre fini de valeurs : $s = \sum_{i=1}^n c_i\,\mathbf 1_{A_i}$, $A_i \in \mathcal A$ disjoints, $c_i \geq 0$ (pour la théorie positive). Son intégrale est $$ \int s\,\dd\mu = \sum_i c_i\,\mu(A_i) \in [0, +\infty] $$ (convention $0\cdot\infty = 0$) ; la valeur ne dépend pas de la [représentation](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/5-representations-des-groupes-finis#def-b3-representations-rep) (raffiner deux partitions). **Théorème 10.4 (Approximation par des fonctions simples).** Toute $f \colon X \to [0, +\infty]$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) est la limite ponctuelle d’une suite *croissante* de [fonctions simples](#def-b3-lebesgue-simple) : $$ s_n = \sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n}\, \mathbf 1_{\{\frac{k-1}{2^n} \leq f < \frac k{2^n}\}} + n\,\mathbf 1_{\{f \geq n\}} \nearrow f . $$ **Démonstration.** Chaque $s_n$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) (les ensembles sont des images réciproques de boréliens). Monotonie : le passage de $n$ à $n+1$ scinde chaque niveau dyadique en deux et ne diminue jamais la valeur assignée (un point avec $\frac{k-1}{2^n} \leq f(x) < \frac k{2^n}$ reçoit soit $\frac{2k-2}{2^{n+1}}$ soit $\frac{2k-1}{2^{n+1}}$, tous deux $\geq \frac{k-1}{2^n}$ ; le plafond $n$ monte aussi). Convergence : si $f(x) < \infty$, pour $n > f(x)$ on a $f(x) - s_n(x) \leq 2^{-n}$ ; si $f(x) = \infty$, $s_n(x) = n \to \infty$. ∎ ## 10.2 L’intégrale et les théorèmes de convergence **Définition 10.5.** Pour $f \geq 0$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) : $$ \int f \,\dd\mu = \sup\Bigl\{\int s\,\dd\mu : s \text{ simple},\ 0 \leq s \leq f\Bigr\} \in [0, +\infty]. $$ Elle est monotone en $f$ par construction, et prolonge le cas [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) (pour $f$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), le sup est atteint en $f$ : comparaison des intégrales [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) via raffinements communs). **Théorème 10.6 (Convergence monotone, Beppo Levi).** Si $0 \leq f_n \nearrow f$ ponctuellement ([mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable)), alors $$ \int f_n\,\dd\mu \nearrow \int f\,\dd\mu . $$ **Démonstration.** $f$ est [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) ([Proposition 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(c)) et $\int f_n$ croît vers un certain $L \leq \int f$ (monotonie). Réciproquement, fixons une [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) $s = \sum c_i\mathbf 1_{A_i} \leq f$ et $\theta \in (0,1)$ ; les ensembles $E_n = \{f_n \geq \theta s\}$ sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) et croissent vers $X$ (là où $s(x) > 0$ : $f(x) \geq s(x) > \theta s(x)$, donc éventuellement $f_n(x) \geq \theta s(x)$ ; là où $s(x) = 0$ : trivialement). Alors $$ \int f_n \geq \int_{E_n}\theta s\,\dd\mu = \theta\sum_i c_i\,\mu(A_i \cap E_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \theta\sum_ic_i\,\mu(A_i) = \theta\int s $$ par continuité par en bas ([Proposition 9.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#prop-b3-measure-basics)(c)). Donc $L \geq \theta\int s$ pour tout $\theta < 1$ et toute [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) $s \leq f$ : $L \geq \int f$. ∎ **Corollaire 10.7.** Pour $f, g \geq 0$ [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) et $c \geq 0$ : $\int(f + g) = \int f + \int g$ et $\int cf = c\int f$ ; pour une série de [fonctions mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) positives, $\int\sum_nf_n = \sum_n\int f_n$. **Démonstration.** Pour les [fonctions simples](#def-b3-lebesgue-simple), l’additivité est un calcul sur un raffinement commun. En général prendre $s_n \nearrow f$, $t_n \nearrow g$ ([Théorème 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)) : $s_n + t_n \nearrow f + g$, et le TCM passe l’additivité à la limite. L’énoncé pour les séries est le TCM appliqué aux sommes partielles. ∎ **Théorème 10.8 (Lemme de Fatou).** Pour $f_n \geq 0$ [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) : $$ \int \liminf_n f_n \,\dd\mu \;\leq\; \liminf_n \int f_n\,\dd\mu . $$ **Démonstration.** Soit $g_N = \inf_{n\geq N}f_n$ : [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable), $0 \leq g_N \nearrow \liminf f_n$, et $g_N \leq f_n$ pour tout $n \geq N$, donc $\int g_N \leq \inf_{n \geq N}\int f_n$. Appliquer le TCM au membre de gauche : $\int\liminf f_n = \lim_N\int g_N \leq \lim_N\inf_{n\geq N}\int f_n = \liminf\int f_n$. ∎ **Définition 10.9.** Une $f \colon X \to \R$ (ou $\C$) [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) est *intégrable* si $\int\abs f\,\dd\mu < \infty$ ; alors $\int f = \int f^+ - \int f^-$ (parties positive et négative ; parties réelle et imaginaire dans le cas complexe). L’intégrale est linéaire sur les fonctions intégrables (décomposer et recombiner les parties positives ; le cas complexe se ramène au réel) et satisfait $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ (cas réel : $\pm\int f = \int(\pm f) \leq \int\abs f$ ; cas complexe : multiplier par une constante unimodulaire pour rendre l’intégrale réelle). Une propriété vaut *presque partout* (p.p.) si elle échoue seulement sur un ensemble $\mu$-nul ; modifier $f$ sur un ensemble nul ne change aucune intégrale (la différence est dominée par $\infty\cdot\mathbf 1_N$, d’intégrale $0$). **Théorème 10.10 (Convergence dominée).** Soient $f_n \to f$ p.p., avec $\abs{f_n} \leq g$ p.p. pour un $g$ *[intégrable](#def-b3-lebesgue-l1)* fixe. Alors $f$ est [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) et $$ \int f_n\,\dd\mu \longrightarrow \int f\,\dd\mu, \qquad\text{et même}\quad \int\abs{f_n - f}\,\dd\mu \to 0 . $$ **Démonstration.** Écarter un ensemble nul pour rendre les hypothèses ponctuelles. $\abs f \leq g$ : $f$ est [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). Les fonctions $h_n = 2g - \abs{f_n - f} \geq 0$ satisfont $\liminf h_n = 2g$ ; Fatou donne $$ \int 2g \leq \liminf\int\bigl(2g - \abs{f_n - f}\bigr) = \int 2g - \limsup\int\abs{f_n - f}, $$ donc $\limsup\int\abs{f_n - f} \leq 0$ (la soustraction est légitime : $\int 2g < \infty$). Enfin $\abs{\int f_n - \int f} \leq \int\abs{f_n - f} \to 0$. ∎ **Méthode 10.11.** Face à $\lim_n\int f_n$ : essayer, dans l’ordre — (1) la suite est-elle monotone (ou une série de termes positifs) ? TCM, aucune intégrabilité requise. (2) Existe-t-il un dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) unique $g \geq \abs{f_n}$, trouvé par des bornes grossières (« $\sup_n$ » les estimations) ? TCD. (3) Pas de domination, pas de monotonie ? Fatou borne encore un côté, et l’égalité peut sincèrement échouer : la bosse qui s’échappe $f_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ a $\int f_n = 1$ mais $f_n \to 0$ p.p. La domination est exactement ce qui interdit à la masse de s’échapper à l’infini, verticalement ou horizontalement. ## 10.3 Riemann versus Lebesgue **Théorème 10.12 (Critère de Lebesgue).** Soit $f \colon \intcc ab \to \R$ *bornée*. Alors $f$ est [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ssi $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\lambda$-presque partout ; dans ce cas $f$ est [Lebesgue-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) et les deux intégrales coïncident. **Démonstration.** Pour une subdivision $\sigma = (a = x_0 < \dots < x_N = b)$, soient $L_\sigma$ et $U_\sigma$ les fonctions en escalier égales, sur chaque $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$, à $m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]}f$ et $M_i = \sup$ ; les sommes de Darboux sont leurs intégrales (Riemann et Lebesgue coïncident sur les fonctions en escalier, donnant toutes deux $\sum m_i\Delta x_i$). Prendre une suite de subdivisions $\sigma_n$, chacune raffinant la précédente, de pas $\to 0$, avec sommes de Darboux convergeant vers les intégrales de Darboux inférieure et supérieure de $f$. Les raffinements rendent $L_{\sigma_n}$ croissante et $U_{\sigma_n}$ décroissante ponctuellement hors de l’ensemble dénombrable $D$ de tous les points de division ; appeler les limites $\ell$ et $u$ ([mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable), [Proposition 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)). Pour $x \notin D$, en écrivant $I_n(x)$ pour l’intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\sigma_n$ contenant $x$ : $\ell(x) = \sup_n\inf_{I_n(x)}f$ et $u(x) = \inf_n\sup_{I_n(x)}f$ ; comme les pas tendent vers $0$, ce sont les *enveloppes* inférieure et supérieure de $f$ en $x$ — $u(x) - \ell(x)$ est l’oscillation de $f$ en $x$ — de sorte que *$\ell(x) = u(x)$ ssi $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $x$*. Par TCM/TCD (borné, intervalle fini) : $$ \int_{\intcc ab}\ell\,\dd\lambda = \lim_n\int L_{\sigma_n} = \underline{\int}f, \qquad \int_{\intcc ab}u\,\dd\lambda = \overline{\int}f . $$ $f$ [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) $\iff$ $\underline\int f = \overline\int f$ $\iff$ $\int(u - \ell) = 0$ $\iff$ $u = \ell$ p.p. ($u - \ell \geq 0$ ; [Exercice 10.5](#exo-b3-lebesgue-5)) $\iff$ $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) p.p. Dans ce cas $\ell \leq f \leq u$ avec $\ell = u$ p.p. : $f$ égale le [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) $\ell$ p.p., donc est [Lebesgue-mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) (complétude de $\lambda$) avec $\int f\,\dd\lambda = \int\ell\,\dd\lambda = \underline\int f = \int_a^bf$. ∎ **Exemple 10.13.** $\mathbf 1_\Q$ est nulle part [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : non [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) — mais Lebesgue-triviale : $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. La fonction de Thomae ( $\frac1q$ aux rationnels $\frac pq$, $0$ ailleurs) est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) exactement aux irrationnels : [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) d’intégrale $0$. Et les intégrales de Riemann *impropres* sont une notion différente : $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ converge comme limite de $\int_0^A$ (le problème du week-end calcule qu’elle vaut $\frac\pi2$), mais $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$ : l’intégrale absolue diverge comme la série harmonique ([Exercice 10.6](#exo-b3-lebesgue-6)). La théorie de Lebesgue échange la convergence conditionnelle contre des théorèmes de limite robustes. ## 10.4 Intégrales à paramètre Tout au long, $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré, $T$ un espace métrique (le paramètre), et $f \colon T \times X \to \C$ avec $f(t, \cdot)$ [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) pour chaque $t$ ; poser $F(t) = \int_X f(t, x)\,\dd\mu(x)$. **Théorème 10.14 (Continuité).** Supposons : $t \mapsto f(t,x)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $t_0$ pour p.t. $x$, et il existe un $g$ [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) avec $\abs{f(t,x)} \leq g(x)$ pour tout $t$ dans un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $t_0$ et p.t. $x$. Alors $F$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $t_0$. **Démonstration.** Pour toute suite $t_n \to t_0$ : $f(t_n, \cdot) \to f(t_0, \cdot)$ p.p., dominée par $g$ : le TCD donne $F(t_n) \to F(t_0)$ ; la continuité séquentielle suffit dans les espaces métriques ([Remarque 6.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#rem-b3-topology-sequences)). ∎ **Théorème 10.15 (Dérivation sous le signe intégral).** Soit $T$ un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R$. Supposons : pour p.t. $x$, $t \mapsto f(t,x)$ est dérivable sur $T$, avec $$ \Bigl|\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\Bigr| \leq g(x) \quad \text{pour tout } t \in T,\ \text{p.t.\ } x, $$ $g$ [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). Alors $F$ est dérivable sur $T$ avec $F'(t) = \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\,\dd\mu(x)$. **Démonstration.** Fixer $t$ et $h_n \to 0$ : les quotients de différences $$ \varphi_n(x) = \frac{f(t + h_n, x) - f(t, x)}{h_n} \longrightarrow \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) \quad\text{p.p.}, $$ et l’inégalité des accroissements finis borne $\abs{\varphi_n(x)} \leq \sup_{s}\abs{\partial_tf(s,x)} \leq g(x)$ : le TCD s’applique, et $\frac{F(t + h_n) - F(t)}{h_n} = \int\varphi_n \to \int\partial_t f(t, \cdot)$. ∎ **Exemple 10.16 (La fonction gamma).** Pour $t > 0$ soit $$ \Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1}\eu^{-x}\,\dd x . $$ L’intégrale converge : près de $0$, $x^{t-1}$ est [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ($t > 0$) ; à l’infini, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. L’intégration par parties (sur $[\varepsilon, A]$, puis limites via TCM) donne l’équation fonctionnelle $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, d’où $\Gamma(n+1) = n!$ : la factorielle interpolée. Sur tout $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ est dominé par $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) : $\Gamma$ est $\mathcal C^1$, et par induction $\mathcal C^\infty$, avec $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. La valeur $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ est l’intégrale gaussienne déguisée ([Problème 10.1](#pb-b3-lebesgue-1)). ![L’intégrande xx : l’intégrale impropre ∈t_0∈fty converge par annulation alternée entre les arches, mais les aires | | des arches se comportent comme 2π k — une série harmonique : xx ∉ L1. L’intégrabilité au sens de Lebesgue est l’intégrabilité absolue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-lebesgue/fig-8a5288e0e9f0.svg) *L’intégrande $\frac{\sin x}x$ : l’intégrale impropre $\int_0^\infty$ converge par annulation alternée entre les arches, mais les aires $\abs{\cdot}$ des arches se comportent comme $\frac2{\pi k}$ — une série harmonique : $\frac{\sin x}x \notin L^1$. L’intégrabilité au sens de Lebesgue est l’intégrabilité absolue.* ## 10.5 Exercices **Exercice 10.1 ★.** (a) Montrer qu’une fonction monotone $\R \to \R$ est [Borel-mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable), et qu’une dérivée (d’une fonction partout dérivable) est [Borel-mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable). (b) Montrer que $f \colon X \to \R$ est [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) ssi $\{f > q\} \in \mathcal A$ pour tout $q$ *rationnel*. **Solution de Exercice 10.1.** (a) Si $f$ est croissante, $\{f > t\}$ est $\varnothing$, $\R$, ou une demi-droite $\intoo a{+\infty}$ / $\intco a{+\infty}$ : borélien dans tous les cas ; décroissante de même. Une dérivée : $f'(x) = \lim_n n\bigl(f(x + \frac1n) - f(x)\bigr)$ est une limite ponctuelle de fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (donc [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable)) : [Proposition 10.2](#prop-b3-lebesgue-stability)(c). (b) $\{f > t\} = \bigcup_{q \in \Q,\, q > t}\{f > q\}$ : si les niveaux rationnels sont [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable), tous les niveaux le sont, et les demi-droites engendrent $\mathcal B(\R)$. **Exercice 10.2 ★.** Calculer, avec justification complète : $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{(1 + x/n)^{n}}\,\dd x, \qquad \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{n\,x^{n-1}}{1 + x}\,\dd x . $$ *(Pour la seconde : substituer $u = x^n$ avant de dominer.)* **Solution de Exercice 10.2.** Première : $(1 + x/n)^n \nearrow \eu^x$ pour $x \geq 0$, donc l’intégrande tend ponctuellement vers $\eu^{-x}\cos x$ ; pour $n \geq 2$, $(1 + x/n)^n \geq (1 + x/2)^2$, donnant le dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) $(1 + x/2)^{-2}$. TCD : $$ \lim_n\int_0^\infty\frac{\cos x}{(1 + x/n)^n}\dd x = \int_0^\infty \eu^{-x}\cos x\,\dd x = \operatorname{Re}\int_0^\infty\eu^{-(1 - \iu)x}\dd x = \operatorname{Re}\frac{1}{1 - \iu} = \frac12 . $$ Seconde : substituer $u = x^n$ (une bijection $\mathcal C^1$ de $\intoo01$) : $$ \int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1 + x}\dd x = \int_0^1\frac{\dd u}{1 + u^{1/n}} \longrightarrow \int_0^1\frac{\dd u}{2} = \frac12, $$ par TCD : pour $u \in \intoo01$, $u^{1/n} \to 1$, et l’intégrande est bornée par $1$ sur un espace de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie. **Exercice 10.3 ★★.** (a) Exhiber une inégalité stricte dans le lemme de Fatou. (b) Exhiber $f_n \to 0$ ponctuellement avec $\int f_n = 1$ de trois façons : échappée en hauteur, en largeur, à l’infini. Quelle hypothèse unique du TCD chacune viole-t-elle ? (c) Montrer que dans le lemme de Fatou on ne peut remplacer $\liminf$ par $\limsup$ d’aucun côté. **Solution de Exercice 10.3.** (a) $f_n = n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ : $\liminf f_n = 0$ ponctuellement, $\int f_n = 1$ : $0 < 1$. (b) Hauteur : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ ; largeur : $\frac1n\mathbf 1_{\intoo0n}$ ; translation : $\mathbf 1_{\intoo n{n+1}}$. Toutes tendent vers $0$ ponctuellement avec $\int = 1$. Dans chaque cas l’hypothèse de *domination* échoue : $\sup_nf_n$ est $\approx 1/x$ près de $0$, $\approx$ un profil constant non [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1), de type $\mathbf 1_{\intoo1\infty}$ — jamais [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). (c) « $\int\limsup f_n \geq \limsup\int f_n$ » échoue pour la bosse qui se translate : membre de gauche $0$, de droite $1$. « $\limsup\int \leq \int\limsup$ » est le même énoncé. Et Fatou pour $\limsup$ avec $\leq$ renversé (« Fatou inverse ») exige un dominateur — la même bosse est le contre-exemple. **Exercice 10.4 ★★.** (a) Montrer $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x}{\eu^x - 1}\,\dd x = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ *(développer $\frac1{\eu^x - 1}$ en série géométrique et intégrer terme à terme — quel théorème le permet ?)*. (b) (Rêve du sophomore) Montrer $\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\,\dd x = \sum_{n\geq1}n^{-n}$. *(Écrire $x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ et calculer $\int_0^1(-x\ln x)^k\dd x$ en substituant $x = \eu^{-u/(k+1)}$, en reconnaissant $\Gamma$.)* **Solution de Exercice 10.4.** (a) Pour $x > 0$ : $\frac1{\eu^x - 1} = \frac{\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \sum_{n\geq1}\eu^{-nx}$, donc $\frac{x}{\eu^x - 1} = \sum_{n\geq1}x\eu^{-nx}$, une série de [fonctions mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) positives : le [Corollaire 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) autorise l’intégration terme à terme : $$ \int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{\eu^x - 1} = \sum_{n\geq1}\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 $$ ($\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = n^{-2}$ par parties ; Bâle, vu en deuxième année, ou l’[Exercice 13.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#exo-b3-hilbert-5) à venir). (b) Sur $\intoo01$, $-x\ln x \geq 0$, donc $x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ est une série de termes positifs : interversion encore. En substituant $x = \eu^{-u/(k+1)}$ : $$ \int_0^1(-x\ln x)^k\dd x = \int_0^\infty\Bigl(\frac{u}{k+1}\Bigr)^{k} \eu^{-\frac{ku}{k+1}}\;\frac{\eu^{-\frac u{k+1}}}{k+1}\,\dd u = \frac{1}{(k+1)^{k+1}}\int_0^\infty u^k\eu^{-u}\dd u = \frac{k!}{(k+1)^{k+1}} . $$ D’où $\int_0^1x^{-x}\dd x = \sum_{k\geq0}\frac{1}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{n\geq1}n^{-n}$ : le rêve du sophomore, rigoureusement. **Exercice 10.5 ★★.** (a) Montrer que $f \geq 0$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) avec $\int f\,\dd\mu = 0$ satisfait $f = 0$ p.p. *(Considérer $\{f \geq 1/n\}$ et l’inégalité de Markov : $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$ — la prouver.)* (b) Montrer qu’une $f$ [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) est finie p.p. (c) Montrer que si $\int_A f\,\dd\mu = 0$ pour *tout* $A$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable), alors $f = 0$ p.p. **Solution de Exercice 10.5.** (a) Markov : $a\,\mathbf 1_{\{f \geq a\}} \leq f$, intégrer : $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$. Si $\int f = 0$ : $\mu(\{f \geq \frac1n\}) = 0$ pour tout $n$, et $\{f > 0\} = \bigcup_n\{f \geq \frac1n\}$ est nul. (b) $\mu(\{\abs f = \infty\}) \leq \mu(\{\abs f \geq n\}) \leq \frac1n\int\abs f \to 0$. (c) Prendre $A = \{f > 0\}$ : $\int f^+\dd\mu = \int_Af\,\dd\mu = 0$, donc $f^+ = 0$ p.p. par (a) ; de même $f^- = 0$ p.p. **Exercice 10.6 ★★.** (a) Appliquer le [Théorème 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann) pour décider de l’intégrabilité au sens de Riemann de : $\mathbf 1_\Q$ ; la fonction de Thomae ; $\mathbf 1_K$ pour $K$ un ensemble de Cantor gras ([Exercice 9.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#exo-b3-measure-5)). (b) Montrer que $\int_1^{+\infty}\abs{\frac{\sin x}x}\,\dd x = +\infty$, tandis que $\lim_{A\to\infty}\int_1^A\frac{\sin x}x\,\dd x$ existe *(intégrer par parties)* : convergence impropre sans intégrabilité. **Solution de Exercice 10.6.** (a) $\mathbf 1_\Q$ : discontinue partout, non [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ([Théorème 10.12](#thm-b3-lebesgue-riemann)) ; son intégrale de Lebesgue vaut $\lambda(\Q) = 0$. Thomae : [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en tout irrationnel (étant donné $\varepsilon$, seul un nombre fini de rationnels dans $\intcc01$ ont dénominateur $\leq 1/\varepsilon$ ; les éviter par un petit [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)), discontinue aux rationnels ([densité](#ex-b3-lebesgue-gamma) des irrationnels) : [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) p.p., [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1), intégrale $0$ (elle s’annule p.p.). $\mathbf 1_K$, $K$ un Cantor gras : l’ensemble de discontinuité est $\partial K = K$ (fermé d’intérieur vide), de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) $\frac12 > 0$ : *non* [Riemann-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) — pourtant [Lebesgue-intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) d’intégrale $\lambda(K) = \frac12$. (b) $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq \frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\abs{\sin x}\dd x = \frac{2}{(k+1)\pi}$ : la série diverge. Convergence de l’intégrale impropre : pour $A > \pi$, $$ \int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x = \Bigl[\frac{-\cos x}x\Bigr]_\pi^A - \int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x, $$ et les deux termes convergent lorsque $A \to \infty$ ($\frac1{x^2}$ est [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1)) : convergence conditionnelle sans intégrabilité absolue. **Exercice 10.7 ★★.** Justifier que $F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-x^2}\cos(tx)\,\dd x$ est $\mathcal C^1$ sur $\R$ et satisfait $F'(t) = -\frac t2F(t)$ *(intégrer par parties)* ; en déduire $F(t) = F(0)\,\eu^{-t^2/4}$. (Avec $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ du problème du week-end : la gaussienne est essentiellement sa propre transformée de Fourier — le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) systématisera ceci.) **Solution de Exercice 10.7.** Domination : $\abs{\partial_t(\eu^{-x^2}\cos(tx))} = \abs{x\eu^{-x^2}\sin(tx)} \leq x\eu^{-x^2}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) et indépendante de $t$ : le [Théorème 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) s’applique globalement, $$ F'(t) = -\int_0^\infty x\eu^{-x^2}\sin(tx)\,\dd x = \Bigl[\tfrac12\eu^{-x^2}\sin(tx)\Bigr]_0^\infty - \frac t2\int_0^\infty\eu^{-x^2}\cos(tx)\dd x = -\frac t2F(t) $$ (intégration par parties avec $\dd v = x\eu^{-x^2}\dd x$). L’EDO linéaire donne $F(t) = F(0)\eu^{-t^2/4}$ ; avec $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ ([Problème 10.1](#pb-b3-lebesgue-1)), la gaussienne se reproduit sous cette transformée en cosinus. **Exercice 10.8 ★★★.** (Frullani) Soient $0 < a < b$. Montrer $$ \int_0^{+\infty}\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x = \ln\frac ba, $$ en écrivant l’intégrande comme $\int_a^b \eu^{-xt}\,\dd t$ et en justifiant l’interversion via la théorie positive ([Corollaire 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) sous forme [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) — anticiper Tonelli, ou découper $[a,b]$ en $n$ parts égales et passer à la limite). **Solution de Exercice 10.8.** L’intégrale converge : près de $0$ l’intégrande tend vers $b - a$ (bornée), et elle décroît comme $\eu^{-ax}$ à l’infini. Fixer $a$ et voir $I(b) = \int_0^\infty\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}x\dd x$ comme fonction de $b \in \intco a{+\infty}$. Pour tout $b \geq a$ : $\abs{\partial_b(\text{intégrande})} = \eu^{-bx} \leq \eu^{-ax}$, et $\int_0^\infty\eu^{-ax}\dd x = \frac1a < \infty$ : un dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). Donc le [Théorème 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) donne $I'(b) = \int_0^\infty\eu^{-bx}\dd x = \frac1b$, et $I(a) = 0$ : $$ I(b) = \int_a^b\frac{\dd t}t = \ln\frac ba . $$ (Équivalemment, la voie de l’indication : l’intégrande est $\int_a^b\eu^{-xt}\dd t \geq 0$ et l’interversion est l’analogue continu du [Corollaire 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity), c.-à-d. Tonelli — prouvé dans le [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ch-b3-product) ; la voie par paramètre reste dans ce chapitre.) **Exercice 10.9 ★★.** Soit $f \geq 0$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) sur $(X, \mathcal A, \mu)$. Montrer que $\nu(A) = \int_A f\,\dd\mu$ définit une [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) (*densité* $f$ par rapport à $\mu$), et que $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$ pour toute $g \geq 0$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable) *(le prouver pour les indicateurs, puis les [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), puis le TCM — la machine standard)*. **Solution de Exercice 10.9.** $\nu(\varnothing) = 0$ ; pour des $(A_n)$ disjoints, $f\mathbf 1_{\bigsqcup A_n} = \sum_nf\mathbf 1_{A_n}$ (ponctuellement, tous termes $\geq 0$), et le [Corollaire 10.7](#cor-b3-lebesgue-additivity) donne la $\sigma$-additivité. La formule $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$ : pour $g = \mathbf 1_A$ c’est la définition de $\nu$ ; pour $g$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), linéarité ; pour $g \geq 0$ [mesurable](#def-b3-lebesgue-measurable), prendre des [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) $s_n \nearrow g$ ([Théorème 10.4](#thm-b3-lebesgue-approximation)) : $s_nf \nearrow gf$, et le TCM des deux côtés passe à la limite. (Cet escalier « indicateur $\to$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) $\to$ TCM » est la machine standard de la théorie.) **Exercice 10.10 ★★★.** (Un échec à la Weierstrass) Définir $f(t) = \int_0^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{x(1 + x^2)}\,\dd x$. (a) Montrer que $f$ est bien définie et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\R$, et $\mathcal C^1$ avec $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1 + x^2}\dd x$ pour tout $t$ — mais que dériver *encore* sous le signe intégral est illégitime. (b) En admettant $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ pour $t > 0$ (prouvé dans le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues)), que vaut $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ pour $t > 0$, et pourquoi sa formule confirme l’échec en (a) ? **Solution de Exercice 10.10.** (a) $\abs{\sin(tx)} \leq \abs tx$ donne $\abs{\frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}} \leq \frac{\abs t}{1+x^2}$ : l’intégrale converge, et sur $\abs t \leq T$ le dominateur $\frac{T}{1+x^2}$ donne la continuité ([Théorème 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont)). Dérivation : $\abs{\partial_t} = \abs{\frac{\cos(tx)}{1+x^2}} \leq \frac1{1+x^2}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) : $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x$ pour tout $t$. Une seconde dérivation exigerait d’intégrer $\frac{x\sin(tx)}{1 + x^2}$, dont la valeur absolue se comporte comme $\frac{\abs{\sin(tx)}} x$ à l’infini : *non* [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) — aucun dominateur n’existe et le [Théorème 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) ne peut s’appliquer une seconde fois. (b) En admettant $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ pour $t > 0$ : par imparité de $f$, $f'$ est paire, donc $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-\abs t}$ — qui n’est *pas dérivable en $0$* : $f$ est $\mathcal C^1$ mais pas $\mathcal C^2$, confirmant que le second dérivatif bloqué n’était pas un accident technique. Pour $t > 0$ l’intégrale impropre $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ vaut $-f''(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ (en dérivant la formule admise là où elle est légitime, c.-à-d. sur $\intoo0\infty$) — une valeur impropre, non-Lebesgue. **Exercice 10.11 ★★.** (Lemme de Scheffé) Soient $f_n, f \geq 0$ [intégrables](#def-b3-lebesgue-l1) avec $f_n \to f$ p.p. et $\int f_n \to \int f$. (a) Montrer que $\int\abs{f_n - f} \to 0$. *(Appliquer la convergence dominée à $g_n = (f - f_n)^+ \leq f$, et écrire $\int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \int(f - f_n)$.)* (b) Montrer par un exemple que l’hypothèse $\int f_n \to \int f$ ne peut être omise (bosse glissante ou concentrant), et que la conclusion échoue pour des $f_n$ signées sans contrôle en valeur absolue : $f_n = n\mathbf 1_{\intoc0{1/n}} - n\mathbf 1_{\intoc{-1/n}0}$ a $f_n \to 0$ p.p., $\int f_n = 0 \to 0$, pourtant $\int\abs{f_n} = 2$. (c) Application ([densités](#ex-b3-lebesgue-gamma)) : si des [densités](#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilité $p_n \to p$ p.p., alors automatiquement $\int\abs{p_n - p} \to 0$ : la convergence ponctuelle des [densités](#ex-b3-lebesgue-gamma) est la convergence $L^1$ — une montée en grade gratuite. **Solution de Exercice 10.11.** (a) Soit $g_n = (f - f_n)^+$ : alors $0 \leq g_n \leq f$ (positivité de $f_n$), $g_n \to 0$ p.p., et $f$ est un dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) : $\int g_n \to 0$ (TCD). Comme $\abs{f_n - f} = 2(f - f_n)^+ - (f - f_n)$, $$ \int\abs{f_n - f} = 2\int g_n - \Bigl(\int f - \int f_n\Bigr) \longrightarrow 0 + 0 . $$ (b) La bosse glissante $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ a $f_n \to 0$ p.p. et $\int f_n = 1 \not\to 0$ : sans la convergence des intégrales, la convergence $L^1$ échoue (et l’hypothèse aussi). L’exemple signé : $f_n \to 0$ en tout $x \neq 0$, $\int f_n = 0$, mais $\int\abs{f_n} = 2$ : pour des suites signées le théorème porte vraiment sur un contrôle de type $\abs{f_n}$, et la positivité a été utilisée exactement dans $g_n \leq f$. (c) Les [densités](#ex-b3-lebesgue-gamma) satisfont $\int p_n = 1 = \int p$ : l’hypothèse de (a) est automatique, donc $p_n \to p$ p.p. force $\norm{p_n - p}_{L^1} \to 0$ — et donc la convergence des probabilités $\int_Ap_n \to \int_Ap$ *uniformément* sur tous les $A$ [mesurables](#def-b3-lebesgue-measurable) ($\abs{\int_A(p_n - p)} \leq \norm{p_n - p}_1$) : Scheffé transforme la convergence ponctuelle des [densités](#ex-b3-lebesgue-gamma) en convergence en variation totale des lois. **Exercice 10.12 ★★.** Limites classiques, avec justification complète via TCM/TCD : $$ \text{(a)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^n\Bigl(1 - \frac xn\Bigr)^n\eu^{x/2}\,\dd x, \qquad \text{(b)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n\,x^{n-1}}{1 + x}\,\dd x, $$ $$ \text{(c)}\ \lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \frac{\dd x}{(1 + x/n)^n\,x^{1/n}} . $$ *(Pour (a) : $(1 - x/n)^n \nearrow \eu^{-x}$ pour $x$ fixé — prouver la monotonie via $\log$ ; pour (b), intégrer par parties ou substituer $x = u^{1/n}$ et identifier une concentration au bord ; pour (c), trouver un dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) valable pour tout $n \geq 2$ en scindant en $x = 1$.)* **Solution de Exercice 10.12.** (a) Sur $\intoo0n$, $\varphi_n(x) = n\log(1 - \frac xn)$ croît en $n$ vers $-x$ (l’application $t \mapsto \frac{\log(1 - xt)}{t}$ décroît lorsque $t = \frac1n \downarrow 0$ ; ou développer : $\varphi_{n}' \geq 0$ en $n$ via $\log(1-u) + \frac{u}{1-u} \geq 0$). Donc $(1 - \frac xn)^n\eu^{x/2}\mathbf 1_{x 0$) : l’intégrande tend vers $\eu^{-x}$. Dominateur pour $n \geq 2$ : sur $\intoc01$, $x^{-1/n} \leq x^{-1/2}$ et $(1 + x/n)^{-n} \leq 1$ : borne $x^{-1/2}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ; sur $\intoo1\infty$, $x^{-1/n} \leq 1$ et $(1 + x/n)^n \geq 1 + \binom n2\frac{x^2}{n^2} \geq 1 + \frac{x^2}4$ : borne $\frac{4}{4 + x^2}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). TCD : $$ \lim_n\int_0^\infty\frac{\dd x}{(1 + x/n)^nx^{1/n}} = \int_0^\infty\eu^{-x}\dd x = 1 . $$ ## 10.6 Problème : deux intégrales célèbres **Problème 10.1.** Problème du week-end — l’intégrale gaussienne et l’intégrale de Dirichlet, par les seuls paramètres Deux intégrales règnent sur l’analyse appliquée : $$ G = \int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi, \qquad D = \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2 $$ (la seconde comme intégrale impropre, [Exemple 10.13](#ex-b3-lebesgue-riemannexamples)). On les prouve toutes deux avec les seuls outils de ce chapitre. **Partie I — La gaussienne.** Pour $t \geq 0$ poser $$ A(t) = \Bigl(\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x\Bigr)^{2}, \qquad B(t) = \int_0^1\frac{\eu^{-t^2(1 + x^2)}}{1 + x^2}\,\dd x . $$ 1. Justifier que $A$ et $B$ sont $\mathcal C^1$ sur $\intoo0{+\infty}$ et calculer $A'$ et $B'$ ; montrer $A'(t) + B'(t) = 0$ . *(Dans $B'$, substituer $u = tx$.)* 2. Calculer $A(0) + B(0)$ et $\lim_{t\to+\infty}(A + B)(t)$ — justifier la limite sous le signe intégral dans $B$ . 3. Conclure $\int_0^\infty \eu^{-x^2}\dd x = \frac{\sqrt\pi}2$ , d’où $G = \sqrt\pi$ , et en déduire $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ *(substituer $x = u^2$ dans $\Gamma(\frac12)$)* . **Partie II — L’intégrale de Dirichlet.** Pour $t \geq 0$ poser $$ F(t) = \int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\,\frac{\sin x}{x}\,\dd x . $$ 4. Montrer que l’intégrale définissant $F(t)$ converge pour tout $t > 0$ comme intégrale de Lebesgue, et pour $t = 0$ comme intégrale impropre ; montrer que $D = \lim_{A\to\infty}\int_0^A\frac{\sin x}x\dd x$ existe *(intégrer par parties sur $[\pi, A]$)* . 5. Montrer que $F$ est $\mathcal C^1$ sur $\intoo0{+\infty}$ avec $$F'(t) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-tx}\sin x\,\dd x = -\frac{1}{1 + t^2}$$ *(domination sur $[t_0, \infty)$ pour chaque $t_0 > 0$ ; la dernière intégrale par deux intégrations par parties ou exponentielles complexes)*. 6. Montrer $F(t) \to 0$ lorsque $t \to +\infty$ , et en déduire $F(t) = \frac\pi2 - \arctan t$ sur $\intoo0{+\infty}$ . 7. Le point délicat : $D = \lim_{t\to0^+}F(t)$. Le prouver par contrôle uniforme de la queue : pour $0 \leq t \leq 1$ et $A \geq \pi$, intégrer par parties pour montrer $$\Bigl|\int_A^{+\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin x}x\,\dd x\Bigr| \leq \frac{C}{A}$$ avec $C$ indépendante de $t$ *(dériver $\frac{\eu^{-tx}}x$ et borner $\abs{\cos}$ par $1$ ; noter $t\eu^{-tx} \leq 1/x\cdot(tx\eu^{-tx})$ avec $\sup_{u\geq0}u\eu^{-u} < 1$)* ; puis scinder $F(t) - D$ en $[0, A]$ (où le TCD s’applique lorsque $t \to 0$) et $[A, \infty)$. 8. Conclure : $D = \frac\pi2$ . **Partie III — Dividendes.** 9. Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2}\,\dd x$ *(intégrer par parties et se ramener à $D$ via $\sin 2x = 2\sin x\cos x$)* . 10. Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{1 - \cos x}{x^2}\,\dd x$ , et vérifier la cohérence des deux résultats. 11. Pour $a > 0$ , calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}x\dd x$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}\eu^{-ax^2}\dd x$ , et enregistrer les règles d’échelle (elles seront les chevaux de trait du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) ). 12. Expliquer précisément pourquoi $D$ n’aurait pas pu être traitée par le TCD directement en $t = 0$ (pas de dominateur [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) sur $[0,1]\times[0,\infty)$ ), et pourquoi le scindage de queue de la question 7 est le substitut honnête — ce schéma (« intégrabilité uniforme des queues ») revient tout au long de l’analyse. **Partie IV — La [fonction gamma](#ex-b3-lebesgue-gamma) selon Bohr et Mollerup.** La fonction $\Gamma$ ([Exemple 10.16](#ex-b3-lebesgue-gamma)) satisfait $\Gamma(1) = 1$ et $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ — mais autant d’une infinité d’autres fonctions (multiplier par n’importe quel tremblement $1$-périodique). Une condition de convexité épingle $\Gamma$ de façon unique, et ses identités plus profondes s’en déduisent mécaniquement. Une fonction positive $f$ sur un intervalle est *log-convexe* si $\log f$ est convexe. 13. Montrer que log-convexe implique convexe, que les produits de fonctions log-convexes et leurs composées avec des applications affines sont log-convexes, et — via l’inégalité de Hölder à deux fonctions $\int\abs{uv} \leq \bigl(\int\abs u^p\bigr)^{1/p}\bigl(\int\abs v^q\bigr)^{1/q}$ , prouvée directement à partir de l’inégalité de Young — que $\Gamma$ est log-convexe sur $\intoo0\infty$ . 14. (Lemme des pentes) Soit $g$ convexe sur $\intoo0\infty$ avec $g(n+1) - g(n) = \log n$ pour tout entier $n \geq 1$. Pour $x \in \intoc01$ et $n \geq 2$, comparer les pentes de $g$ sur $[n-1, n]$, $[n, n+x]$ et $[n, n+1]$, et en déduire $$x\log(n-1) \;\leq\; g(n + x) - g(n) \;\leq\; x\log n .$$ 15. (Bohr–Mollerup) Soit $f > 0$ satisfaisant $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$, et $\log f$ convexe. En déroulant la récurrence en $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x + n - 1)\,f(x)$ et $f(n) = (n-1)!$, déduire de la question 14 que pour $x \in \intoc01$ $$f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} :$$ $f$ est unique, d’où $f = \Gamma$, et la *formule limite de Gauss* tient (étendre à tout $x > 0$ par la récurrence). 16. Définir la *fonction bêta* $B(x, y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\dd t$ ( $x, y > 0$ ). Prouver la convergence, la récurrence $B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}\,B(x, y)$ (intégrer par parties), et $B(1, y) = \frac1y$ . 17. Montrer que $x \mapsto B(x, y)$ est log-convexe (Hölder encore), et appliquer Bohr–Mollerup à $$f(x) = \frac{B(x, y)\,\Gamma(x + y)}{\Gamma(y)}$$ pour conclure la *formule d’Euler* : $B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ — aucune intégrale double nulle part. 18. Calculer $B(\frac12, \frac12)$ directement (substituer $t = \sin^2\theta$ ) et en déduire $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ : l’intégrale gaussienne de la partie I, retrouvée par pure convexité. Comparer les deux preuves en une phrase chacune. 19. (Duplication de Legendre) Montrer que $$g(x) = \frac{2^{x-1}}{\sqrt\pi}\, \Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr) \Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)$$ satisfait les trois hypothèses de Bohr–Mollerup, et conclure $g = \Gamma$, c.-à-d. $\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\,\Gamma(z)\,\Gamma(z + \tfrac12)$ pour tout $z > 0$. 20. En déduire la forme fermée $\Gamma\bigl(n + \tfrac12\bigr) = \dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt\pi$, et prouver, par le lemme des pentes appliqué à $\log\Gamma$ autour de grands entiers, l’asymptotique $$\frac{\Gamma(n + \frac12)}{\Gamma(n)\,\sqrt n} \longrightarrow 1 .$$ 21. Combiner les deux dernières questions en l’asymptotique binomiale centrale $$\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},$$ et vérifier numériquement pour $n = 10$ ($\binom{20}{10} = 184756$, contre $4^{10}/\sqrt{10\pi} \approx 187079$ : rapport $\approx 0{,}988$). 22. (Synthèse) La constante $\sqrt\pi$ est maintenant apparue comme l’intégrale gaussienne (partie I), comme $B(\frac12, \frac12)$ (question 18), et dans la duplication (question 19) ; l’estimation binomiale centrale anticipe à la fois Stirling (problème du week-end du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ch-b3-product) ) et de Moivre–Laplace. Cartographier les connexions : quels énoncés sont équivalents à quels, et que contribue chaque technique — dérivation sous le signe intégral versus convexité — que l’autre ne peut pas ? **Partie V — Trois dividendes de plus.** 23. (Wallis, par Bêta) Pour $p > -1$, substituer $t = \sin^2\theta$ pour montrer $$W_p = \int_0^{\pi/2}\sin^p\theta\,\dd\theta = \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr),$$ et déduire de la récurrence Bêta (question 16) que $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}\,W_n$ pour les entiers $n \geq 0$. Calculer $W_{2n}$ et $W_{2n+1}$ sous forme fermée, montrer $W_{2n+1}/W_{2n} \to 1$ par encadrement, et conclure avec le *produit de Wallis* $$\frac\pi2 = \lim_{n\to\infty} \prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2 - 1} .$$ 24. (La gaussienne rencontre une fréquence) Pour $b \in \R$ poser $$\Phi(b) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x .$$ Montrer que $\Phi$ est $\mathcal C^1$ sur $\R$, qu’une intégration par parties produit l’équation différentielle $\Phi'(b) = -2b\,\Phi(b)$, et conclure $$\Phi(b) = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2} :$$ la gaussienne se reproduit sous cette transformée — l’unique identité sur laquelle le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) tournera. 25. (Intégrale de Frullani) Pour $0 < a < b$, montrer que $$\int_0^{+\infty} \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x}\,\dd x = \log\frac ba ,$$ en dérivant en le paramètre $a$ (justifier la domination sur tout $\intco{a_0}{+\infty}$, $a_0 > 0$, et identifier la constante en faisant $a \to b$). Où exactement l’intégrande a-t-elle besoin de sa singularité amovible en $x = 0$ ? **Solution de Problème 10.1.** **1.** $A$ est $\mathcal C^1$ par le théorème fondamental du calcul et la règle de la chaîne : $A'(t) = 2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-x^2}\dd x$. Pour $B$ : $\partial_t\bigl(\frac{\eu^{-t^2(1+x^2)}}{1+x^2}\bigr) = -2t\,\eu^{-t^2(1+x^2)}$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et bornée sur $[t_0, T] \times \intcc01$ pour tout $0 < t_0 < T$ (domination bornée sur un espace de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie suffit) : $B$ est $\mathcal C^1$ sur $\intoo0{+\infty}$ avec $$ B'(t) = -2t\int_0^1 \eu^{-t^2(1+x^2)}\dd x = -2\eu^{-t^2}\int_0^1 t\,\eu^{-(tx)^2}\dd x = -2\eu^{-t^2}\int_0^t\eu^{-u^2}\dd u = -A'(t) $$ (substitution $u = tx$). **2.** $A(0) = 0$ et $B(0) = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^2} = \frac\pi4$. $A + B$ a dérivée nulle sur $\intoo0{+\infty}$ et est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $0$ ($B$ par domination $\frac1{1+x^2}$ et [Théorème 10.14](#thm-b3-lebesgue-paramcont)) : $A + B \equiv \frac\pi4$. Lorsque $t\to+\infty$ : $0 \leq B(t) \leq \eu^{-t^2} \to 0$, et $A(t) \to \bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2$ (TCM ou [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) convergence monotone de l’intégrale intérieure). **3.** D’où $\bigl(\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \frac\pi4$ : $\int_0^\infty\eu^{-x^2}\dd x = \frac{\sqrt\pi}2$, et par parité $G = \sqrt\pi$. Aussi $\Gamma(\frac12) = \int_0^\infty x^{-1/2}\eu^{-x}\dd x \overset{x = u^2}{=} 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$. **4.** Pour $t > 0$ : $\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin x}x} \leq \eu^{-tx}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1). Pour $t = 0$, convergence impropre : sur $[\pi, A]$, $$ \int_\pi^A\frac{\sin x}x\dd x = \Bigl[-\frac{\cos x}x\Bigr]_\pi^A - \int_\pi^A\frac{\cos x}{x^2}\dd x, $$ les deux termes convergeant lorsque $A \to \infty$ ; près de $0$ l’intégrande se prolonge continûment par $1$. **5.** Sur $[t_0, +\infty)$ ($t_0 > 0$) : $\abs{\partial_t\bigl(\eu^{-tx}\tfrac{\sin x}x\bigr)} = \eu^{-tx}\abs{\sin x} \leq \eu^{-t_0x}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) : le [Théorème 10.15](#thm-b3-lebesgue-paramdiff) s’applique sur tout tel intervalle, donc sur tout $\intoo0{+\infty}$ : $$ F'(t) = -\int_0^\infty\eu^{-tx}\sin x\,\dd x = -\operatorname{Im}\int_0^\infty\eu^{-(t - \iu)x}\dd x = -\operatorname{Im}\frac{1}{t - \iu} = -\frac{1}{1 + t^2}. $$ **6.** $\abs{F(t)} \leq \int_0^\infty\eu^{-tx}\dd x = \frac1t \to 0$. En intégrant $F' = -\frac1{1+t^2}$ : $F(t) = C - \arctan t$, et $t \to \infty$ force $C = \frac\pi2$ : $F(t) = \frac\pi2 - \arctan t$ sur $\intoo0{+\infty}$. **7.** Intégrer par parties sur $[A, R]$ avec $\sin x = (-\cos x)'$ et faire $R \to \infty$ : $$ \int_A^{\infty}\eu^{-tx}\frac{\sin x}x\dd x = \frac{\cos A\;\eu^{-tA}}{A} - \int_A^\infty \cos x\,\Bigl(\frac tx + \frac1{x^2}\Bigr)\eu^{-tx}\dd x . $$ En bornant $\abs{\cos} \leq 1$ : le premier terme est $\leq \frac1A$ ; l’intégrale est au plus $\int_A^\infty t\eu^{-tx}\frac{\dd x}x + \int_A^\infty\frac{\dd x}{x^2} \leq \frac1A\int_0^\infty t\eu^{-tx}\dd x + \frac1A = \frac2A$. Total : $\leq \frac 3A$, uniformément pour $t \in [0, 1]$ (le cas $t = 0$ inclus). Maintenant $$ \abs{F(t) - D} \leq \Bigl|\int_0^A(\eu^{-tx} - 1)\,\frac{\sin x}x\,\dd x\Bigr| + \frac6A . $$ Sur $[0, A]$ : $\abs{\eu^{-tx} - 1} \leq tx \leq tA$ et $\abs{\frac{\sin x}x} \leq 1$, donc le premier terme est au plus $tA^2$. Choisir $A$ avec $\frac6A < \varepsilon$, puis $t < \varepsilon/A^2$ : $\abs{F(t) - D} < 2\varepsilon$. **8.** Par conséquent $D = \lim_{t\to0^+}F(t) = \lim_{t\to0^+}\bigl(\frac\pi2 - \arctan t\bigr) = \frac\pi2$. **9.** Par parties ($u = \sin^2x$, $v' = x^{-2}$) : $$ \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\dd x = \Bigl[-\frac{\sin^2x}{x}\Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty\frac{2\sin x\cos x}{x}\dd x = \int_0^\infty\frac{\sin 2x}{x}\dd x = D = \frac\pi2 $$ (substituer $u = 2x$ à la dernière étape ; les termes de bord s’annulent : $\sin^2 x/x \to 0$ aux deux bouts). **10.** Par parties ($u = 1 - \cos x$, $v' = x^{-2}$) : $\int_0^\infty\frac{1 - \cos x}{x^2}\dd x = \int_0^\infty\frac{\sin x}x\dd x = \frac\pi2$. Cohérence : $1 - \cos x = 2\sin^2\frac x2$, et la substitution $x = 2u$ transforme $\int\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\dd x$ en $\int\frac{\sin^2u}{u^2}\dd u$ : les deux calculs s’accordent. **11.** $\int_0^\infty\frac{\sin(ax)}x\dd x = \frac\pi2$ pour tout $a > 0$ (substituer $u = ax$ : l’intégrale est invariante d’échelle) ; $\int_\R\eu^{-ax^2}\dd x = \sqrt{\pi/a}$ (substituer $u = \sqrt a\,x$). L’échelle dans l’argument laisse l’intégrale de Dirichlet fixe et divise la gaussienne par $\sqrt a$. **12.** Un dominateur valable pour tout $t \in [0,1]$ doit dominer $\sup_{t\in[0,1]}\abs{\eu^{-tx}\frac{\sin x}x} = \abs{\frac{\sin x}x}$, qui n’est pas [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ([Exercice 10.6](#exo-b3-lebesgue-6)) : le TCD ne peut pas traverser $t = 0$. Le substitut de la question 7 — queues uniformément petites en le paramètre, partie compacte traitée par TCD — est le schéma standard d’« intégrabilité uniforme », et réapparaît chaque fois que la convergence conditionnelle rencontre une interversion de limites. **13.** Si $g = \log f$ est convexe alors $f = \exp\circ g$ est convexe (exp est convexe croissante : $f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \eu^{\lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)} \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$, la dernière étape par convexité de exp entre les points $g(x), g(y)$). Produits et substitutions affines : les logarithmes les transforment en sommes et substitutions affines de fonctions convexes. Hölder ($\frac1p + \frac1q = 1$) : pour $\int\abs u^p = \int\abs v^q = 1$, Young donne $\abs{uv} \leq \frac{\abs u^p}p + \frac{\abs v^q}q$, intégrer : $\int\abs{uv} \leq 1$ ; le cas général par homogénéité. Alors, pour $\lambda \in \intoo01$, l’appliquer avec $p = \frac1\lambda$ à la factorisation $$ t^{\lambda x + (1-\lambda)y - 1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{\lambda} \bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1-\lambda} : \qquad \Gamma(\lambda x + (1{-}\lambda)y) \leq \Gamma(x)^\lambda\,\Gamma(y)^{1-\lambda} . $$ **14.** Pour un $g$ convexe, la pente d’une corde croît avec ses extrémités (inégalité des trois cordes). En comparant les cordes sur $[n-1, n]$, $[n, n+x]$, $[n, n+1]$ : $$ \log(n-1) = \frac{g(n) - g(n-1)}1 \leq \frac{g(n+x) - g(n)}x \leq \frac{g(n+1) - g(n)}1 = \log n, $$ et multiplier par $x > 0$ donne l’énoncé. **15.** Avec $f(n) = (n-1)!$ (récurrence depuis $f(1) = 1$) et $f(n + x) = x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x)$, la question 14 se lit $$ (n-1)^x\,(n-1)! \;\leq\; x(x+1)\cdots(x+n-1)\,f(x) \;\leq\; n^x\,(n-1)! . $$ La borne supérieure se réécrit $f(x) \leq \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot\frac{x+n}n$, et la borne inférieure au rang $n+1$ comme $f(x) \geq \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$. Le facteur correctif $\frac{x+n}n \to 1$ : le sandwich force $$ f(x) = \lim_n\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} \qquad (x \in \intoc01), $$ une expression indépendante de $f$ : unicité sur $\intoc01$, d’où partout par la récurrence. Comme $\Gamma$ satisfait les trois hypothèses (question 13), $f = \Gamma$ et la formule de Gauss tient — pour tout $x > 0$, les deux membres obéissant à la même récurrence. **16.** Près de $0$, l’intégrande est $\sim t^{x-1}$, [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) ssi $x > 0$ ; près de $1$, symétrique en $y$. Intégration par parties sur $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$, en faisant $\varepsilon \to 0$ (termes de bord s’annulent pour $x, y > 0$) : $$ B(x{+}1, y) = \Bigl[-t^x\frac{(1-t)^y}y\Bigr]_0^1 + \frac xy\int_0^1t^{x-1}(1-t)^y\,\dd t = \frac xy\bigl(B(x, y) - B(x{+}1, y)\bigr), $$ en utilisant $(1-t)^y = (1-t)^{y-1}(1 - t)$ ; en résolvant, $B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}B(x, y)$. Et $B(1, y) = \int_0^1(1-t)^{y-1}\dd t = \frac1y$. **17.** $f(1) = \frac1y\cdot\frac{\Gamma(1+y)}{\Gamma(y)} = 1$ ; $f(x+1) = \frac{x}{x+y}B(x,y)\cdot\frac{(x+y)\Gamma(x+y)}{\Gamma(y)} = x\,f(x)$ ; et $f$ est log-convexe en $x$ comme produit de la log-convexe $B(\cdot, y)$ (Hölder sur la factorisation $t^{(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)-1}(1-t)^{y-1} = (\cdots)^\lambda(\cdots)^{1-\lambda}$, comme en question 13) et $\Gamma(\cdot + y)$ (décalage affine). Bohr–Mollerup : $f = \Gamma$, c.-à-d. $B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$. **18.** Avec $t = \sin^2\theta$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$ et $t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} = \frac1{\sin\theta\cos\theta}$ : $$ B\Bigl(\frac12, \frac12\Bigr) = \int_0^{\pi/2}2\,\dd\theta = \pi = \frac{\Gamma(\frac12)^2}{\Gamma(1)} \quad\Longrightarrow\quad \Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \sqrt\pi . $$ La partie I a atteint la même constante en dérivant un paramètre et faisant courir deux fonctions vers leurs limites ; ici la convexité seule a rigidifié le problème jusqu’à ce qu’une seule valeur survive. Analyse par mouvement versus analyse par forme. **19.** $g(1) = \frac{2^0}{\sqrt\pi}\Gamma(\frac12) \Gamma(1) = 1$. Récurrence : $$ g(x+1) = \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\, \Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac x2 + 1\Bigr) = \frac{2^{x}}{\sqrt\pi}\cdot\frac x2\, \Gamma\Bigl(\frac x2\Bigr)\Gamma\Bigl(\frac{x+1}2\Bigr) = x\,g(x) . $$ Log-convexité : produit de $\eu^{(x-1)\log2}$ (log-affine) et de deux reparamétrisations affines de la log-convexe $\Gamma$. Bohr–Mollerup donne $g = \Gamma$ ; en posant $x = 2z$ : $\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma(z + \frac12)$. **20.** De $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ et la récurrence, $\Gamma(n + \frac12) = (n - \frac12)(n - \frac32)\cdots\frac12\,\sqrt\pi = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots1}{2^n}\sqrt\pi = \frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$ (compléter le produit impair avec les pairs). Asymptotique : question 14 avec $g = \log\Gamma$ et $x = \frac12$ donne $\sqrt{n-1} \leq \frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(n)} \leq \sqrt n$, donc le rapport à $\sqrt n$ est encadré entre $\sqrt{1 - \frac1n}$ et $1$. **21.** De la question 20, $(2n)! = \frac{4^nn!}{\sqrt\pi}\Gamma(n + \tfrac12)$, donc $$ \binom{2n}n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{4^n\,\Gamma(n+\frac12)}{\sqrt\pi\;n!} = \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot \frac{\Gamma(n+\frac12)}{n\,\Gamma(n)} \sim \frac{4^n}{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt n}{n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} . $$ Numériquement, $4^{10}/\sqrt{10\pi} = 1048576/5{,}6050 \approx 187078{,}6$, contre $\binom{20}{10} = 184756$ : rapport $0{,}9876$ — l’erreur est $O(1/n)$, visible en $n = 10$. **22.** Équivalences : $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi \Leftrightarrow G = \sqrt\pi$ (la substitution $x = u^2$ de la question 3) $\Leftrightarrow B(\frac12, \frac12) = \pi$ (formule d’Euler) ; la duplication en $z = n$ *est* la forme fermée de $\Gamma(n + \frac12)$, qui *est* l’estimation binomiale centrale à un lemme des pentes près. La technique des paramètres (parties I–II) calcule des limites de quantités mobiles et est indispensable lorsqu’une vraie déformation est présente (l’intégrale de Dirichlet n’a pas de preuve par convexité) ; la technique de convexité ne calcule rien mais interdit tout — elle excelle à l’unicité et aux équations fonctionnelles (Gauss, Euler, Legendre en trois coups), là où la dérivation se noierait en calcul. Un analyste [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) porte les deux. **23.** Avec $t = \sin^2\theta$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta = 2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}\,\dd\theta$, donc $$ W_p = \int_0^1 t^{p/2}\, \frac{\dd t}{2\,t^{1/2}(1-t)^{1/2}} = \frac12\int_0^1 t^{\frac{p+1}2 - 1}(1-t)^{\frac12 - 1}\dd t = \frac12\,B\Bigl(\frac{p+1}2, \frac12\Bigr). $$ La récurrence Bêta avec $x = \frac{n+1}2$, $y = \frac12$ donne $$ W_{n+2} = \frac12\, \frac{(n+1)/2}{(n+2)/2}\,B\Bigl(\frac{n+1}2, \frac12\Bigr) = \frac{n+1}{n+2}\,W_n . $$ En partant de $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$ : $$ W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}, \qquad W_{2n+1} = \prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1} . $$ Comme $\sin^{n+1} \leq \sin^n$ sur $\intcc0{\pi/2}$, la suite $(W_n)$ est décroissante, donc $$ 1 \geq \frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} \geq \frac{W_{2n+1}}{W_{2n-1}} = \frac{2n}{2n+1} \longrightarrow 1 . $$ Mais les formes fermées donnent $$ \frac{W_{2n+1}}{W_{2n}} = \frac2\pi \prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac2\pi\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}, $$ et faire $n \to \infty$ produit le produit de Wallis. (Via la formule d’Euler, $W_p = \frac{\sqrt\pi}2\, \Gamma(\frac{p+1}2)/\Gamma(\frac p2 + 1)$ : Wallis est l’intégrale gaussienne sous encore un autre costume.) **24.** La $b$-dérivée de l’intégrande est $-2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)$, dominée par $2\abs x\,\eu^{-x^2} \in L^1(\R)$ uniformément en $b$ : $\Phi$ est $\mathcal C^1$ avec $$ \Phi'(b) = -\int_{-\infty}^{+\infty} 2x\,\eu^{-x^2}\sin(2bx)\,\dd x . $$ En intégrant par parties avec $u = \sin(2bx)$, $\dd v = -2x\,\eu^{-x^2}\dd x$ (donc $v = \eu^{-x^2}$), les termes de bord s’annulent et $$ \Phi'(b) = -2b\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-x^2}\cos(2bx)\,\dd x = -2b\,\Phi(b). $$ D’où $\bigl(\Phi(b)\,\eu^{b^2}\bigr)' = 0$ et $\Phi(b) = \Phi(0)\,\eu^{-b^2} = \sqrt\pi\,\eu^{-b^2}$ par la partie I. À normalisation près cela dit que la transformée de Fourier de $\eu^{-x^2}$ est encore une gaussienne — le point fixe sur lequel la théorie d’inversion du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) pivote. **25.** Pour $0 < a < b$ et $x > 0$, $$ 0 \leq \frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}{x} = \int_a^b \eu^{-sx}\,\dd s \leq (b - a)\,\eu^{-ax}, $$ donc l’intégrale $I(a)$ converge (Lebesgue) ; la borne ponctuelle montre aussi que l’intégrande se prolonge continûment par $b - a$ en $x = 0$. Fixer $b$ ; sur $\intco{a_0}{+\infty}$ la $a$-dérivée de l’intégrande est $-\eu^{-ax}$, dominée par $\eu^{-a_0x} \in L^1(\intoo0{+\infty})$, donc $I$ est $\mathcal C^1$ sur $\intoo0b$ avec $$ I'(a) = -\int_0^{+\infty}\eu^{-ax}\dd x = -\frac1a, \qquad\text{d'où}\qquad I(a) = -\log a + c . $$ La borne bilatère donne $0 \leq I(a) \leq (b-a)/a \to 0$ lorsque $a \to b^-$, donc $c = \log b$ et $I(a) = \log\frac ba$. La singularité amovible est nécessaire *en $0$* : chaque terme $\eu^{-ax}/x$ séparément a une intégrale divergente (logarithmique) près de $0$, et seule l’annulation au premier ordre $\eu^{-ax} - \eu^{-bx} = O(x)$ rend la différence [intégrable](#def-b3-lebesgue-l1) là ; à l’infini chaque terme est inoffensif seul.