--- title: "Les espaces Lp" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp --- # Chapitre 12 — Les espaces Lp L’intégrale de Lebesgue a été construite pour l’analyse ; les espaces $L^p$ sont le lieu où cette analyse vit. Ce sont des espaces de Banach (Riesz–Fischer) — les [complétés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-completion) que l’[Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1) montrait manquer aux fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) — et ils supportent une technologie de lissage, la *convolution contre des [mollificateurs](#def-b3-lp-mollifier)*, qui approxime toute fonction $L^p$ par des $\mathcal C^\infty$. Ce chapitre prouve les versions intégrales de Hölder et Minkowski, la complétude, les théorèmes de [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), et la machine de régularisation, pour finir par la géographie des inclusions et de l’interpolation de l’échelle $L^p$. Tout au long, $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré et les fonctions sont à valeurs complexes ; sur $\R^d$, la [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) est $\lambda_d$. ## 12.1 Définition ; Hölder et Minkowski **Définition 12.1.** Pour $1 \leq p < \infty$, $\mathcal L^p(\mu)$ est l’ensemble des $f$ [mesurables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) avec $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$, et $\mathcal L^\infty(\mu)$ l’ensemble des $f$ bornées hors d’un ensemble nul, avec $\norm f_\infty$ le *sup essentiel* — le plus petit $M$ avec $\abs f \leq M$ p.p. (l’inf est atteint : intersecter les ensembles nuls pour $M + \frac1n$). Comme $\norm f_p = 0$ ne force $f = 0$ que *p.p.* ([Exercice 10.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-5)), on définit $$ L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ p.p.}\} : $$ les éléments sont des classes de fonctions modulo les ensembles nuls, et $\norm\cdot_p$ est une vraie norme sur $L^p$. **Théorème 12.2 (Inégalité de Hölder).** Soient $1 \leq p, q \leq \infty$ avec $\frac1p + \frac1q = 1$ (exposants conjugués). Pour $f, g$ [mesurables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) : $$ \norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q , $$ avec égalité (pour $1 < p < \infty$, normes finies, $f,g\ne0$) ssi $\abs f^p$ et $\abs g^q$ sont proportionnelles p.p. **Démonstration.** Les cas $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ sont directs ($\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ p.p.). Soit $1 < p < \infty$ ; normaliser $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogénéité ; les normes nulles ou infinies sont triviales). L’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ($a, b \geq 0$ ; concavité de $\ln$, comme dans le [Problème 8.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#pb-b3-banach-1)) donne ponctuellement $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; intégrer : $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$. L’égalité force l’égalité p.p. dans Young, c.-à-d. $\abs f^p = \abs g^q$ p.p. (après normalisation ; en la défaisant, proportionnalité). ∎ **Théorème 12.3 (Inégalité de Minkowski).** Pour $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$. **Démonstration.** $p = 1, \infty$ : inégalité triangulaire ponctuelle/p.p. Pour $1 < p < \infty$, supposer $\norm{f+g}_p < \infty$ (sinon utiliser $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$, conséquence de la convexité de $t^p$, pour voir que le membre de gauche est fini lorsque celui de droite l’est). Alors $$ \norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q $$ par Hölder, et $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ car $(p-1)q = p$ ; diviser par $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (si non nul ; sinon trivial) et utiliser $p - \frac pq = 1$. ∎ ## 12.2 Complétude et ses compagnons **Théorème 12.4 (Riesz–Fischer).** Pour $1 \leq p \leq \infty$, $L^p(\mu)$ est un espace de Banach. De plus, toute suite convergeant dans $L^p$ a une sous-suite convergeant *[presque partout](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)* (avec un dominateur $L^p$ dans le cas $p < \infty$). **Démonstration.** $p = \infty$ : une suite $\norm\cdot_\infty$-de Cauchy est, hors d’un seul ensemble nul (union dénombrable), uniformément de Cauchy : elle converge uniformément hors de celui-ci ; terminé. Soit $p < \infty$. Par l’[Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) il suffit de sommer les séries absolument convergentes : soit $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$. Poser $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ et $G = \sum_k\abs{f_k}$ (ponctuellement dans $[0,\infty]$) : par Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$, et le TCM ($G_n^p \nearrow G^p$) donne $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ p.p., donc la série $\sum f_k(x)$ converge absolument pour p.t. $x$ ; appeler la somme $S(x)$ (n’importe quelle valeur sur l’ensemble nul). Alors $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$, et le TCD donne $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : la série converge dans $L^p$. L’énoncé de sous-suite : si $f_n \to f$ dans $L^p$, choisir $n_k$ avec $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; la série $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ tombe sous l’argument précédent : elle converge absolument p.p., dominée par un $G \in L^p$, donc $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ p.p., et cette limite p.p. doit être (un représentant de) $f$ (toutes deux sont des limites $L^p$). Le dominateur : $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$. ∎ **Remarque 12.5.** La convergence $L^p$ n’implique pas la convergence p.p. (la suite *machine à écrire*, [Exercice 12.3](#exo-b3-lp-3)), ni réciproquement (bosses qui s’échappent) : les deux modes ne sont liés que par les sous-suites et la domination. Garder en tête les contre-exemples de l’[Exercice 12.3](#exo-b3-lp-3) est le meilleur vaccin. ## 12.3 Théorèmes de densité **Théorème 12.6.** Soit $1 \leq p < \infty$. 1. Les [fonctions simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-simple) (à supports de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie) sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $L^p(\mu)$ . 2. Dans $L^p(\R^d)$ , les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact $\mathcal C_c(\R^d)$ sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) . 3. La translation est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $L^p(\R^d)$ : en écrivant $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ lorsque $h \to 0$ . Aucun des trois ne tient pour $p = \infty$. **Démonstration.** (1) Pour $f \geq 0$ : les $s_n \nearrow f$ dyadiques du [Théorème 10.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-approximation) satisfont $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : TCD. (Chaque $s_n \leq f$ est dans $L^p$, et ses ensembles de niveau ont [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie là où la valeur est positive : $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$.) Scinder $f$ générale en quatre parties positives. (2) Par (1) il suffit d’approximer $\mathbf 1_A$, $A$ borélien avec $\lambda_d(A) < \infty$. La régularité (preuve comme au [Théorème 9.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#thm-b3-measure-regularity)) donne un compact $K \subseteq A \subseteq U$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) avec $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; la fonction d’Urysohn $$ \varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)} $$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), $1$ sur $K$, $0$ hors de $U$, et peut être prise à support compact (rétrécir d’abord $U$ en un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) borné). Alors $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$. (3) Pour $g \in \mathcal C_c$ : la continuité uniforme donne $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$, avec supports dans un compact fixe pour $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$. Pour $f$ générale : choisir $g \in \mathcal C_c$ avec $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; alors $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariance par translation de la norme). Pour $p = \infty$ : l’approximation uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ par des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) est impossible (saut), et $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ pour $h \neq 0$. ∎ ## 12.4 Convolution et régularisation **Théorème 12.7 (Inégalité de Young).** Soient $1 \leq p \leq \infty$, $f \in L^1(\R^d)$, $g \in L^p(\R^d)$. Alors $f * g$ est définie p.p., appartient à $L^p$, et $$ \norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p . $$ **Démonstration.** $p = \infty$ : borne directe. $p = 1$ : [Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution). Soit $1 < p < \infty$, $q$ conjugué. Scinder $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ et appliquer Hölder : $$ \int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} . $$ Élever à la puissance $p$ et intégrer en $x$ ; Tonelli sur le second facteur donne $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$, c.-à-d. $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — et la finitude de l’intégrale de Tonelli justifie la convergence absolue p.p. comme au [Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution). ∎ **Définition 12.8 (Mollificateurs).** La fonction $$ \rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases} $$ avec $c$ normalisant $\int\rho = 1$, est $\mathcal C^\infty$ sur $\R^d$ : le point est que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ est $\mathcal C^\infty$ sur $\R$, toutes ses dérivées en $0^+$ étant $0$ (chaque dérivée est $P(1/t)\eu^{-1/t}$ pour un polynôme $P$, qui tend vers $0$ ; induction). Pour $\varepsilon > 0$ poser $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : supportée dans $\bar B(0, \varepsilon)$, encore d’intégrale $1$. **Théorème 12.9 (Régularisation).** Soient $1 \leq p < \infty$ et $f \in L^p(\R^d)$. Alors : 1. $f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , avec $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ; 2. $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ lorsque $\varepsilon \to 0$ ; 3. par conséquent $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $L^p(\R^d)$ . **Démonstration.** (1) Dérivation sous le signe intégral ([Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) en $x$ : pour $x$ dans une boule $B$, $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ avec $K$ compact ($y$ à distance $\varepsilon$ de $B$), et $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contre $\mathbf 1_K$) : le théorème s’applique ; itérer pour les dérivées d’ordre supérieur. (2) Comme $\int\rho_\varepsilon = 1$ : $$ (f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y , $$ et l’inégalité de Minkowski *intégrale* — ou directement : Hölder/Jensen avec la [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) de probabilité $\rho_\varepsilon\dd y$ et Tonelli — $$ \norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ (l’étape du milieu : appliquer l’inégalité de Jensen, [Exercice 12.10](#exo-b3-lp-10), à l’intégrale intérieure en $y$, puis Tonelli). L’intégrande est supportée dans $\norm y \leq \varepsilon$ et y tend vers $0$ uniformément lorsque $\varepsilon \to 0$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)) : toute l’expression tend vers $0$. (3) Approximer $f$ par $g \in \mathcal C_c$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)(2)), puis $g$ par $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (support compact : somme des supports). ∎ **Exemple 12.10 (Mollifier ∣x∣\abs x∣x∣, avec vitesses).** Prendre $f(x) = \abs x$ sur $\R$ (localement $L^1$ ; le théorème s’applique sur toute fenêtre bornée) et un [mollificateur](#def-b3-lp-mollifier) symétrique $\rho_\varepsilon$. Alors $$ f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y $$ est $\mathcal C^\infty$ ; loin du coin, rien ne se passe : pour $\abs x \geq \varepsilon$, $\abs{x - y}$ est linéaire en $x$ sur le support de $\rho_\varepsilon$, donc $f_\varepsilon(x) = \abs x$ *exactement* (la symétrie tue la correction). Près de $0$, le lissage coûte précisément $$ 0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon : $$ l’erreur d’approximation est confinée au $\varepsilon$-voisinage de la singularité et est de sa taille. Par ailleurs $f_\varepsilon'' \geq 0$ partout ($f$ est convexe, et la convolution contre $\rho_\varepsilon \geq 0$ préserve la convexité), avec $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la dérivée seconde est une bosse de masse $2$ pressée dans une largeur $O(\varepsilon)$, donc $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. Lisser est un échange : erreur uniforme $O(\varepsilon)$ contre explosion des dérivées $O(\varepsilon^{-1})$ — le taux d’échange exact que l’analyse quantitative (inégalités d’interpolation, le cercle d’idées du [Problème 12.1](#pb-b3-lp-1)) formalise. **Corollaire 12.11 (Lemme fondamental du calcul des variations).** Soit $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ ([intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sur les compacts) avec $\int f\varphi = 0$ pour toute $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$. Alors $f = 0$ p.p. **Démonstration.** Fixer une boule $B = B(0, R)$ et soit $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$. Pour $x \in B$ et $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$, la fonction test étant $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$. Mais $g * \rho_\varepsilon \to g$ dans $L^1$ ([Théorème 12.9](#thm-b3-lp-regularization)) : $g = 0$ p.p. sur $B$ ; épuiser $\R^d$. ∎ ## 12.5 La géographie $L^p$ **Proposition 12.12.** (a) Si $\mu(X) < \infty$ et $1 \leq p \leq q \leq \infty$, alors $L^q \subseteq L^p$ avec $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$. (b) Sur $\R^d$ ([mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) infinie) il n’y a pas d’inclusions : pour $p \neq q$ il y a des fonctions dans $L^p\setminus L^q$. (c) (Interpolation) Si $p < r < q$ et $\alpha \in \intoo01$ est défini par $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$, alors $$ \norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ; $$ en particulier $L^p \cap L^q \subseteq L^r$. **Démonstration.** (a) Hölder avec les exposants $\frac qp$ et son conjugué : $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ($q = \infty$ directement). (b) Près de $0$ et près de $\infty$, les puissances $x^{-\alpha}$ calibrent : [Exercice 12.2](#exo-b3-lp-2). (c) Écrire $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ et appliquer Hölder avec la paire conjuguée $\frac p{r\alpha}$, $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugués précisément par la définition de $\alpha$) : $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$. ∎ **Méthode 12.13.** La boîte à outils $L^p$, telle qu’utilisée partout ci-dessous : pour prouver une identité ou inégalité pour tout $f \in L^p$ — la prouver sur une classe [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ($\mathcal C_c^\infty$ via [Théorème 12.9](#thm-b3-lp-regularization)) et étendre par continuité ([Théorème 7.2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension), les deux membres étant $L^p$-continus) ; pour prouver $f = 0$, tester contre $\mathcal C_c^\infty$ ([Corollaire 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma)) ; pour gagner de la régularité, convoler ; pour échanger les exposants, Hölder et interpolation. La théorie de Fourier du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) est une longue application de cette méthode. ## 12.6 Exercices **Exercice 12.1 ★.** (a) Énoncer et prouver l’inégalité de Cauchy–Schwarz dans $L^2(\mu)$ comme le cas $p = q = 2$ de Hölder. (b) Sur un espace de *probabilité*, montrer que $p \mapsto \norm f_p$ est croissante. (c) Quand Hölder est-elle une égalité pour $p = 1$, $q = \infty$ ? **Solution de Exercice 12.1.** (a) $p = q = 2$ dans le [Théorème 12.2](#thm-b3-lp-holder) : $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, avec égalité ssi $\abs f, \abs g$ proportionnels et les phases alignées. (b) Sur un espace de probabilité, pour $p \leq q$ : appliquer Jensen ([Exercice 12.10](#exo-b3-lp-10)) avec la convexe $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ à la fonction $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$, c.-à-d. $\norm f_p \leq \norm f_q$. (c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ ssi $\abs{g} = \norm g_\infty$ p.p. sur $\{f \neq 0\}$ (l’inégalité $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ doit être une égalité p.p.). **Exercice 12.2 ★.** Pour quels $p \in \intco1\infty$ les suivantes appartiennent-elles à $L^p$ ? $$ x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{sur } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{sur } \R . $$ Conclure : sur $\intoo01$ un petit $p$ est plus facile, sur $\intoo1\infty$ un grand $p$ est plus facile, et aucun $L^p$ n’en contient un autre sur $\R$. **Solution de Exercice 12.2.** $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ ssi $p < 2$ : la première est dans $L^p$ pour $p \in \intco12$. $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ ssi $p > 2$ : la seconde pour $p \in \intoo2\infty$ (et $p = \infty$ : elle est bornée — l’inclure). Troisième : pour $p < 2$, dominée par $x^{-p/2}$ : [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) ; pour $p = 2$, substituer $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; pour $p > 2$ la puissance domine : divergente. Donc $p \in \intcc12$. Quatrième : $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ ssi $p > 1$ ; bornée, donc aussi $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$. Morale : l’intégrabilité en $0$ aime les petits $p$, en $\infty$ les grands $p$ ; en combinant les deux obstacles, aucune inclusion entre les $L^p(\R)$. **Exercice 12.3 ★★.** (La machine à écrire) Énumérer les intervalles dyadiques $I_1 = \intcc01$, $I_2 = \intcc0{\frac12}$, $I_3 = \intcc{\frac12}1$, $I_4 = \intcc0{\frac14}$, … et soit $f_n = \mathbf 1_{I_n}$. (a) Montrer $f_n \to 0$ dans tout $L^p(\intcc01)$, $p < \infty$, mais $(f_n(x))$ diverge pour *tout* $x \in \intcc01$. (b) Exhiber la sous-suite convergente p.p. promise par le [Théorème 12.4](#thm-b3-lp-complete). (c) Réciproquement donner une suite convergeant p.p. mais pas dans $L^1$, et une convergeant dans $L^1$ mais dans aucun $L^p$, $p > 1$. **Solution de Exercice 12.3.** (a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (au niveau dyadique $k$ la longueur est $2^{-k}$). Mais tout $x$ appartient à un intervalle de chaque niveau dyadique : $f_n(x) = 1$ une infinité de fois et $= 0$ une infinité de fois (intervalles du même niveau ne contenant pas $x$) : pas de convergence en aucun point. (b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (le premier intervalle de chaque niveau) converge vers $0$ en tout $x > 0$ : p.p. (c) p.p. mais pas $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ p.p., intégrale $1$. Dans $L^1$ mais dans aucun $L^p$ ($p > 1$) : $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$, tandis que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ pour tout $p > 1$. **Exercice 12.4 ★★.** Soient $\mu(X) < \infty$ et $f \in L^\infty(\mu)$, $f \neq 0$. Montrer que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ lorsque $p \to \infty$. *(Borne supérieure par (a) de [Proposition 12.12](#prop-b3-lp-inclusions) ; borne inférieure en intégrant sur $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$, de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) positive.)* **Solution de Exercice 12.4.** Supérieure : $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ ([Proposition 12.12](#prop-b3-lp-inclusions)(a) avec $q = \infty$), et $\mu(X)^{1/p} \to 1$. Inférieure : pour $\varepsilon > 0$, $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ a $\mu(A) > 0$ (définition du sup essentiel), et $$ \norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon . $$ **Exercice 12.5 ★★.** (a) Où exactement la preuve du [Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)(3) utilise-t-elle $p < \infty$ ? (b) Montrer que $f \in L^\infty(\R)$ satisfait $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ ssi $f$ a un représentant uniformément continu. **Solution de Exercice 12.5.** (a) Deux fois : la conversion $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (support de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie) dégénère pour $p = \infty$ seulement en ce que la *[densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de $\mathcal C_c$* échoue là — c’est le vrai écart : l’étape (2) du [Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density) n’a pas d’analogue $L^\infty$. (b) Si $f$ a un représentant uniformément continu $g$ : $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$. Réciproquement, supposer $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$. Les mollifications $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ sont [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et $$ \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0 $$ (la convolution est une moyenne de translatés). Chaque $f_\varepsilon$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ($\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$, par moyenne), et une limite uniforme de fonctions uniformément [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en est une : $f$ coïncide p.p. avec une fonction uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). **Exercice 12.6 ★★.** Soient $p, q$ conjugués, $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. Montrer que $f * g$ est définie *partout*, bornée, avec $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$, et *uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)*. *(Continuité de la translation dans $L^p$ ; traiter $p \in \{1, \infty\}$ séparément — pour $p = \infty$ utiliser la continuité de translation sur le facteur $L^1$.)* **Solution de Exercice 12.6.** Par Hölder, pour tout $x$ l’intégrande $y \mapsto f(x - y)g(y)$ est dans $L^1$ avec $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : partout définie et bornée. Continuité uniforme ($p < \infty$) : $$ \abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0, $$ uniformément en $x$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)(3)). Si $p = \infty$, alors $q = 1$ : écrire $f * g = g * f$ et courir la même borne avec la translation agissant sur $g \in L^1$. **Exercice 12.7 ★★.** Soit $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ avec $\int f\varphi' = 0$ pour toute $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$. Montrer que $f$ est p.p. égale à une constante. *(Fixer $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ avec $\int\chi = 1$ ; toute $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ avec $\int\psi = 0$ est une $\varphi'$ ; écrire une fonction test générale comme $\psi + (\int\psi)\chi$ et appliquer le [Corollaire 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) à $f - c$ avec $c = \int f\chi$.)* **Solution de Exercice 12.7.** Fixer $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ avec $\int\chi = 1$, et poser $c = \int f\chi$. Soit $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitraire et $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : alors $\int\psi = 0$, donc $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ définit $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (elle s’annule près des deux bouts : près de $a$ trivialement, près de $b$ parce que l’intégrale totale est $0$) avec $\Phi' = \psi$. L’hypothèse donne $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$, d’où $$ \int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{pour toute } \varphi : \qquad \int(f - c)\varphi = 0 . $$ Par le [Corollaire 12.11](#cor-b3-lp-fundlemma) (localisé sur $\intoo ab$), $f = c$ p.p. **Exercice 12.8 ★★★.** (Urysohn lisse) Soient $K \subseteq U \subseteq \R^d$, $K$ compact, $U$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology). Construire $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ avec $0 \leq \varphi \leq 1$, $\varphi = 1$ sur $K$, $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$. *(Mollifier l’indicateur du $\delta$-voisinage $K_\delta$ de $K$ avec $\rho_{\delta/2}$, pour $\delta$ petit.)* En déduire un énoncé de partition de l’unité $\mathcal C^\infty$ pour un compact recouvert par un nombre fini d’[ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology). **Solution de Exercice 12.8.** Soit $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positif : [Exercice 6.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#exo-b3-topology-6)(b) ; si $U = \R^d$ n’importe quel $\delta$ convient), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$, et $$ \varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} . $$ Alors $\varphi \in \mathcal C^\infty$ ([Théorème 12.9](#thm-b3-lp-regularization)(1) ; l’indicateur est $L^1$), $0 \leq \varphi \leq 1$ ($\int\rho = 1$), $\varphi = 1$ sur $K$ (pour $x \in K$, $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$, donc la convolution intègre $\rho$ pleinement), et $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : à support compact ($K_\delta$ est borné). Partition de l’unité : étant donné $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$, choisir (par compacité) des compacts $K_i \subseteq U_i$ avec $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$, prendre $\varphi_i$ comme ci-dessus pour $(K_i, U_i)$, et poser $\psi_i = \varphi_i\prod_{j p_0$. **Exercice 12.10 ★★.** (Jensen) Soit $\mu$ une [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) de *probabilité*, $f \in L^1(\mu)$ réelle, et $\Phi \colon \R \to \R$ convexe. Montrer $$ \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu $$ *(droite de support de $\Phi$ au point $m = \int f$)*. En déduire l’inégalité arithmético-géométrique et la monotonie de $p \mapsto \norm f_p$ de l’[Exercice 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Solution de Exercice 12.10.** Soit $m = \int f\,\dd\mu \in \R$. La convexité fournit une droite de support en $m$ : il existe $s$ avec $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ pour tout $t$ (prendre $s$ entre les dérivées unilatérales, qui existent pour les fonctions convexes). Substituer $t = f(x)$ et intégrer contre la probabilité $\mu$ : $$ \int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) $$ (mesurabilité : $\Phi$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; l’intégrabilité de la partie négative de $\Phi\circ f$ est garantie par la droite de support). AM–GM : sur un ensemble fini de poids $w_i$, prendre $\Phi = \exp$ et $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$, c.-à-d. $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$. La monotonie des normes est l’[Exercice 12.1](#exo-b3-lp-1)(b). **Exercice 12.11 ★★★.** (Inégalité de Young pour la convolution) Soient $1 \leq p, q, r \leq \infty$ avec $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$, et $f \in L^p(\R^d)$, $g \in L^q(\R^d)$. (a) Prouver $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$. *(Écrire, pour les exposants conjugués tirés de $p, q, r$, $$\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$$ et appliquer l’inégalité de Hölder à trois facteurs avec exposants $r$, $\frac{pr}{r - p}$, $\frac{qr}{r - q}$ ; puis intégrer en $x$ par Tonelli.)* (b) Vérifier les trois cas spéciaux déjà connus : $r = \infty$ (Hölder, [Exercice 12.6](#exo-b3-lp-6)) ; $q = 1$ ($L^p$-stabilité de la convolution par un noyau [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)) ; $p = q = 1$ ($L^1$ est une algèbre de convolution, [Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution)). (c) Pourquoi n’y a-t-il pas d’inégalité avec $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? *(Tester sur les dilatations $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ et comparer les échelles des deux membres.)* **Solution de Exercice 12.11.** (a) Supposer d’abord $p, q, r < \infty$ et $f, g \geq 0$ (remplacer par les valeurs absolues). Les trois exposants $r$, $\alpha = \frac{pr}{r-p}$, $\beta = \frac{qr}{r-q}$ satisfont $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (la relation d’échelle). Scinder, pour $x$ fixé, $$ f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r}, $$ et Hölder avec les trois exposants donne $$ (f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots $$ plus précisément : le second facteur est $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ car $(1 - \frac pr)\alpha = p$, et de même le troisième est $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$. Élever à la puissance $r$ et intégrer en $x$ (Tonelli sur le premier facteur) : $$ \norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r . $$ Les cas extrémaux ($r = \infty$ ou un exposant égal à sa borne) sont Hölder pur ou des estimations directes. (b) $r = \infty$ force $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder après translation-réflexion. $q = 1$ donne $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$, le cheval de trait de la mollification (le moteur du [Théorème 12.9](#thm-b3-lp-regularization)). $p = q = 1$ donne $r = 1$ : l’algèbre de convolution ([Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution)). (c) Remplacer $f, g$ par $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$, $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : alors $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$, et en comparant les normes, $$ \text{gauche} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{droite} \sim \lambda^{-d/p - d/q} : $$ une inégalité valable pour tous $f, g$ force les deux exposants d’échelle à coïncider, c.-à-d. $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exactement. Toute autre combinaison meurt en $\lambda \to 0$ ou $\infty$ : la relation de Young n’est pas une commodité mais une loi d’échelle. **Exercice 12.12 ★★.** (Cas d’égalité) (a) Dans l’inégalité de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ($1 < p < \infty$), montrer que l’égalité tient ssi $\abs f^p$ et $\abs g^q$ sont proportionnelles p.p. *(Suivre le cas d’égalité de l’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$, qui est $a^p = b^q$.)* (b) Dans l’inégalité de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ($1 < p < \infty$), montrer que l’égalité avec $f, g \neq 0$ force $g = cf$ p.p. avec $c > 0$. (c) Contraster avec $p = 1$ et $p = \infty$ : décrire les cas d’égalité (beaucoup plus larges) là, sur des exemples. **Solution de Exercice 12.12.** (a) Normaliser $\norm f_p = \norm g_q = 1$. La preuve de Hölder intègre l’inégalité de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; l’égalité des intégrales force l’égalité p.p. dans Young, ce qui (convexité stricte de $\exp$ ; égalité ssi $a^p = b^q$) signifie $\abs f^p = \abs g^q$ p.p. En défaisant la normalisation : $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ p.p. — proportionnalité. (b) Minkowski est deux Hölder appliqués à $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ et $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; l’égalité force la proportionnalité de (a) dans les deux : $\abs f^p$ et $\abs g^p$ chacun proportionnel à $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$, donc $\abs g = t\abs f$ p.p. pour une constante $t \geq 0$ ; et l’inégalité triangulaire ponctuelle initiale $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ doit aussi être une égalité p.p., ce qui pour des valeurs complexes signifie que $f$ et $g$ ont p.p. le même argument là où les deux sont non nuls. En combinant : $g = tf$ p.p., $t > 0$ (toutes deux non nulles). (c) $p = 1$ : l’égalité dans $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ tient dès que $f, g$ ont le même schéma de signe (même argument p.p.) — aucune proportionnalité requise : $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ et $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ marchent. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ dès que les deux fonctions culminent de façon compatible en un point commun (ou le long d’une suite commune) : $f = g$ près d’un point suffit indépendamment du comportement ailleurs. La convexité stricte des boules $L^p$ pour $1 < p < \infty$ — et son échec aux extrémités — est exactement ce que ces cas d’égalité témoignent. ## 12.7 Problème : l’inégalité de Hardy **Problème 12.1.** Problème du week-end — l’inégalité de Hardy et sa constante optimale Pour $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$, $1 < p < \infty$, définir l’*opérateur de Hardy* $$ (Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t . $$ L’inégalité de Hardy (1920) affirme $$ \norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p , $$ et la constante $\frac p{p-1}$ est optimale et non atteinte. Ce problème prouve tout, puis s’étend aux séries. **Partie I — L’inégalité.** Supposer d’abord $f \geq 0$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact dans $\intoo0{+\infty}$, et soit $F(x) = \int_0^xf$. 1. Montrer que $Hf \in L^p$ : près de $0$ , $F$ s’annule sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $0$ ; près de $\infty$ , $F$ est bornée, donc $(Hf)(x) = O(1/x)$ , et $x \mapsto \frac1x$ appartient à $L^p(\intoo1{+\infty})$ pour $p > 1$ . 2. Intégrer par parties pour montrer $$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$$ *(Dériver $x^{1-p}F^p$ ; les termes de bord s’annulent — justifier les deux extrémités.)* 3. Appliquer Hölder au membre de droite et en déduire $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ pour de telles $f$ . 4. Étendre à tout $L^p$ : pour $f \geq 0$ , construire des $f_n$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact dans $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ p.p. *(tronquer, puis approximer de façon monotone — justifier la construction)* ; alors $Hf_n \nearrow Hf$ ponctuellement (TCM à l’intérieur de la moyenne) et le TCM passe l’inégalité à la limite. Pour $f$ signée ou complexe, conclure avec $\abs{Hf} \leq H\abs f$ . **Partie II — Optimalité.** 5. Pour $A > 1$ soit $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$. Calculer $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ et, pour $1 \leq x \leq A$, $$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$$ 6. En déduire $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ , et conclure que la constante est optimale. 7. Montrer que l’égalité $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ avec $f \neq 0$ est impossible. *(Suivre le cas d’égalité de Hölder dans la question 3 : il forcerait un comportement $f = cx^{-1/p}$, qui n’est pas dans $L^p$.)* **Partie III — L’inégalité discrète.** 8. Pour un $g \geq 0$ décroissant sur $(0,\infty)$ et $a_n = g(n)$, comparer $\sum a_n^p$ et $\int g^p$, et les moyennes $H$ en conséquence, pour déduire de la partie I l’*inégalité de Hardy discrète* : pour $a_n \geq 0$, $$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$$ — la prouver d’abord pour $(a_n)$ décroissante via la comparaison ci-dessus, puis ramener le cas général au décroissant par réarrangement *(admettre, avec une justification en une ligne, que trier $(a_n)$ en ordre décroissant ne peut qu’augmenter le membre de gauche en fixant le droit)*. 9. En déduire : si $\sum a_n^p < \infty$ alors les moyennes de Cesàro de $(a_n)$ sont encore $\ell^p$ — et donner un exemple ( $p = 2$ ) où $(a_n) \in \ell^2$ mais $a_n$ n’est pas sommable, pourtant Hardy contrôle encore les moyennes. **Partie IV — Épilogue.** 10. Montrer que l’inégalité de Hardy échoue pour $p = 1$ : avec $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calculer $Hf$ et observer $Hf \notin L^1$ . Où la preuve s’effondre-t-elle ? **Partie V — La fonction maximale, et le théorème de différentiation de Lebesgue.** Hardy moyenne depuis l’origine ; Hardy–Littlewood moyenne *autour de chaque point*. Pour $f \in L^1(\R)$ définir $$ Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda . $$ 11. (Vitali, version finie) Soient $B_1, \dots, B_N$ des intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) . Montrer qu’il existe une sous-famille disjointe $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ avec $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , où $3B$ désigne l’intervalle de même [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) et de triple longueur *(glouton : choisir répétitivement le plus long intervalle disjoint de ceux déjà choisis)* . 12. (Type faible $(1,1)$) Montrer que pour tout $t > 0$, $$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$$ chaque $x$ avec $Mf(x) > t$ possède un intervalle centré $B_x$ avec $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; prendre un compact $K \subseteq \{Mf > t\}$ (régularité intérieure), le recouvrir par un nombre fini de $B_x$, appliquer la question 11, et épuiser. 13. Calculer $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ pour $x > 1$ et en déduire que $Mf \notin L^1$ pour toute $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ à l’infini) : en $p = 1$ , l’inégalité faible de la question 12 est le meilleur énoncé possible. 14. (Type fort pour $p > 1$) Pour $f \in L^p$ : scinder $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$, observer $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$, et combiner la question 12 avec la formule des couches ([Proposition 11.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#prop-b3-product-layercake)) et Tonelli pour prouver $$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$$ (L’explosion lorsque $p \downarrow 1$ est l’échec de la question 13, quantifié.) 15. (Théorème de différentiation de Lebesgue) Prouver : pour $f \in L^1(\R)$, $$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{pour p.t.\ }x .$$ *(Clair pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). En général écrire $f = g + h$, $g$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact, $\norm h_1 < \varepsilon$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)) ; l’ensemble où $\limsup_{r\to0}$ de l’oscillation moyennée dépasse $\delta$ est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$, de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) $O(\varepsilon/\delta)$ ; faire $\varepsilon \to 0$, puis $\delta \to 0$ le long d’une suite.)* 16. En déduire : (a) presque tout point est un *point de Lebesgue* de $f$ ; (b) pour $f \in L^1$ , la primitive $F(x) = \int_0^xf$ est dérivable p.p. avec $F' = f$ p.p. — la moitié intégrale du théorème fondamental du calcul dans le monde de Lebesgue, fermant le cercle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) par l’escalier ( [Problème 9.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#pb-b3-measure-1) ), qui montrait que la moitié réciproque peut échouer. 17. (Points de [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) ) Pour $A \subseteq \R$ [mesurable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) , montrer que presque tout $x \in A$ satisfait $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : les ensembles [mesurables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) sont localement pleins en presque tous leurs points. Esquisser, en deux lignes, comment cela donne encore une preuve du théorème de Steinhaus ( [Exercice 9.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#exo-b3-measure-8) ). **Partie VI — Variations sur le thème de la moyenne.** 18. (Hardy pondéré) Pour $\alpha < p - 1$ et $f \geq 0$, montrer $$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$$ par la même intégration par parties, et vérifier que la frontière $\alpha = p - 1$ est réellement interdite (adapter le contre-exemple de la question 10). 19. (L’adjoint) Soit $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Montrer $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ pour $f, g$ positives (Tonelli), et prouver $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ *(directement par parties, ou depuis Hardy sur l’exposant conjugué par dualité — attention à quel exposant ramasse quelle constante)* . 20. (Une inégalité de type Hilbert) En déduire que pour $f \in L^p$, $g \in L^q$ positives : $$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$$ *(scinder selon $y < x$ / $y \geq x$ : chaque moitié est un accouplement d’une fonction contre une transformée de Hardy de l’autre)*. 21. (Optimalité, discret) Montrer que la constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ de la question 8 est aussi optimale : tester sur $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , comparer les deux membres avec des intégrales, et faire $N \to \infty$ (le miroir discret de la partie II). 22. (Synthèse) Trois opérateurs de moyenne sont apparus dans ce problème : le $H$ de Hardy, la moyenne de Cesàro discrète, et l’opérateur [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) $M$ . Énoncer en une ligne chacun ce que sa continuité dit, observer que les trois échouent exactement en $p = 1$ , et expliquer pourquoi c’est le même échec trois fois (la queue harmonique $\frac1x$ ). **Partie VII — L’inégalité de Carleman, et à quel point « optimal » est-il.** 23. (Inégalité de Carleman) Soient $a_n \geq 0$ avec $\sum a_n < \infty$. Appliquer l’inégalité de Hardy discrète de la question 8 à $b_n = a_n^{1/p}$, utiliser l’inégalité arithmético-géométrique, et faire $p \to \infty$ (montrer que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ décroît vers $\eu$) pour obtenir $$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$$ les moyennes géométriques d’une suite sommable sont sommables, à coût au plus $\eu$. 24. (La constante $\eu$ est optimale) Tester $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : en utilisant l’encadrement de Stirling du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#pb-b3-product-1) , montrer $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , en déduire que les deux membres de Carleman croissent comme $\eu\ln N$ , et conclure qu’aucune constante plus petite que $\eu$ ne peut convenir. (Observer le schéma : les optimiseurs de Hardy et de Carleman sont tous deux les suites de type harmonique qui échouent juste à être dans l’espace.) 25. (À quelle vitesse « optimal » est-il approché ?) Prendre $p = 2$. Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$, calculer $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$, contre la borne $2$. Pour les quasi-optimiseurs $f_A$ de la question 5, prouver l’identité exacte $$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$$ Évaluer en $A = \eu^{10}$ (rapport $\approx 1{,}790$) et commenter : le supremum $2$ n’est approché qu’à la vitesse $1/\ln A$ — une constante optimale peut être presque invisible numériquement. **Solution de Problème 12.1.** **1.** $f$ a support dans un certain $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$, donc $F = 0$ sur $[0, \alpha]$ et $F \equiv F(\beta)$ sur $[\beta, \infty)$ : $Hf$ s’annule près de $0$ et est $O(1/x)$ à l’infini ; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ pour $p > 1$, et $Hf$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $Hf \in L^p$. **2.** $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$. Les deux valeurs de bord s’annulent : en $0$ parce que $F = 0$ près de $0$ ; en $\infty$ parce que $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ($p > 1$). En intégrant l’identité sur $\intoo0\infty$ : $$ 0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x, $$ qui est la relation affichée. **3.** Hölder avec exposants $q = \frac p{p-1}$ et $p$ : $$ \int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p , $$ donc $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; diviser (fini par la question 1, et si $0$ il n’y a rien à prouver). **4.** Soit $f \in L^p$, $f \geq 0$. Choisir $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ avec $\varphi_k \to f$ dans $L^p$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)(2), intersecté avec la demi-droite ouverte — approximer $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ et diagonaliser), et remplacer $\varphi_k$ par $\abs{\varphi_k}$ (encore [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et plus proche de $f \geq 0$). Pour tout $x > 0$ fixé, Hölder sur $\intoo0x$ donne $$ \abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 : $$ $H\varphi_k \to Hf$ ponctuellement. Fatou et la question 3 : $$ \int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p . $$ Pour $f$ signée ou complexe : $\abs{Hf} \leq H\abs f$ ponctuellement, et le cas positif s’applique à $\abs f$. **5.** $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$. Pour $1 \leq x \leq A$ : $$ (Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr). $$ **6.** Fixer $\varepsilon > 0$ et $X_0$ avec $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ pour $x \geq X_0$. Alors $$ \norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0), $$ donc $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ lorsque $A \to \infty$ : la constante ne peut être améliorée. **7.** L’égalité dans la question 3 force l’égalité dans Hölder : $f^p$ proportionnelle à $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ p.p., c.-à-d. $f = \gamma\,\frac Fx$ p.p. pour un certain $\gamma \geq 0$. Comme $F(x) = \int_0^xf$ est absolument [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec $F' = f$ p.p., $F$ résout $F' = \gamma F/x$ : sur tout intervalle où $F > 0$, $(\ln F)' = \gamma/x$, donc $F = c\,x^{\gamma}$ et $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ là. Mais aucune puissance non nulle $x^{\gamma-1}$ n’appartient à $L^p(\intoo0\infty)$ ($p(\gamma - 1) < -1$ nécessaire en $\infty$ et $> -1$ en $0$ : incompatibles), et $F$ ne peut s’annuler identiquement sauf si $f = 0$. Donc l’égalité exige $f = 0$. **8.** Étant donné $(a_n)$ décroissante $\geq 0$, définir la fonction en escalier $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ sur $\intoo0{+\infty}$ : décroissante, avec $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ et $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$, donc $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$. La moyenne d’une fonction décroissante est décroissante, donc $Hg$ l’est, et $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p $$ par la partie I. Pour une suite positive générale, soit $(a_n^*)$ son réarrangement décroissant (possible lorsque $a_n \to 0$, ce qu’on peut supposer — sinon les deux membres sont infinis) : le membre de droite est inchangé, et chaque somme partielle $a_1 + \dots + a_n$ est au plus $a_1^* + \dots + a_n^*$ (les $n$ plus grands termes) : le membre de gauche ne croît que. D’où l’inégalité pour tout $(a_n)$. **9.** Si $(a_n) \in \ell^p$, la suite des moyennes de Cesàro est dans $\ell^p$ de norme $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$. Exemple ($p = 2$) : $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ($n \geq 2$) : $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$, pourtant $\sum a_n = \infty$ (test intégral) ; Hardy garantit encore $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$. **10.** Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ sur $\intoc01$ et $= \frac1x$ pour $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$, tandis que $\norm f_1 = 1$. La preuve s’effondre en deux points : la constante $\frac p{p-1}$ explose lorsque $p \to 1$, et le terme de bord $x^{1-p}F^p$ ne s’annule plus à l’infini pour $p = 1$. L’inégalité de Hardy est un honnête phénomène $p > 1$. **11.** Choisir le plus long intervalle $B_{i_1}$ ; écarter tout intervalle le rencontrant ; choisir le plus long survivant $B_{i_2}$ ; itérer (nombre fini d’intervalles). Les choisis sont disjoints par construction, et tout $B$ écarté a rencontré un intervalle choisi au moins aussi long : un intervalle rencontrant un plus long-ou-égal est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans son triple, $B \subseteq 3B_{i_l}$. **12.** $\{Mf > t\}$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) : chaque moyenne $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (convergence dominée en $x$), et un supremum de fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) est semi-continu inférieurement. Chaque $x$ dedans possède $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ avec $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$. Pour un compact $K \subseteq \{Mf > t\}$ : un nombre fini de $B_x$ recouvrent $K$, Vitali (question 11) extrait des $B_1', \dots, B_k'$ disjoints avec $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$, donc $$ \lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1 $$ par disjonction ; la régularité intérieure ([Théorème 9.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#thm-b3-measure-regularity)) conclut. **13.** Pour $x > 1$ : avec $r \in \intcc{x-1}x$ la moyenne est $\frac{r - x + 1}{2r}$, croissante en $r$ ; pour $r \geq x$ elle est $\frac1{2r}$, décroissante : le supremum est $\frac1{2x}$, atteint en $r = x$. Donc $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$. En général, si $\int_I\abs f = c > 0$ sur un intervalle borné $I \subseteq \intcc{-C}C$, alors $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ pour tout $x$ : jamais [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sauf si $f = 0$ p.p. **14.** Avec $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$, donc $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ et la question 12 donne $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$. Formule des couches ([Proposition 11.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#prop-b3-product-layercake)) et Tonelli : $$ \norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p . $$ **15.** Écrire $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$. Pour $g$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $A_rg(x) \to g(x)$ partout. Étant donné $\varepsilon > 0$, scinder $f = g + h$ avec $g$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact et $\norm h_1 < \varepsilon$ ([Théorème 12.6](#thm-b3-lp-density)) ; alors $$ \limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)}, $$ donc $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ a [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (question 12 ; Markov). $\varepsilon$ arbitraire : $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; union sur $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ p.p. **16.** (a) Pour chaque $q \in \Q$, la question 15 appliquée à $\abs{f - q}$ donne $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ p.p. ; sur l’intersection de ces ensembles de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) pleine, choisir $q$ avec $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ pour tout $\eta$ : presque tout $x$ est un point de Lebesgue. (b) En un point de Lebesgue, $$ \Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 : $$ $F' = f$ p.p. — les primitives de fonctions $L^1$ se redérivent ; l’escalier ([Problème 9.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#pb-b3-measure-1)) est le contre-exemple à la direction *réciproque* seulement. **17.** Appliquer la question 15 à $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ et faire croître $n$ : pour p.t. $x \in A$ la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$. Steinhaus : autour d’un point de [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) prendre $r$ avec [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $> \frac34$ ; pour $\abs t < \frac r2$, $A$ et $A + t$ remplissent chacun plus de $\frac32r$ d’un intervalle de longueur $\leq \frac52r$, donc s’intersectent : $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$. **18.** Soit $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ s’annule en $0$ ($F$ s’annule près de $0$) et en $\infty$ ($F$ bornée, $\alpha + 1 - p < 0$), donc $\int_0^\infty G' = 0$ avec $$ G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha . $$ D’où $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder pour la [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) $x^\alpha\dd x$ (exposants $\frac p{p-1}$ et $p$) termine comme en question 3. Frontière $\alpha = p - 1$ : avec $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$, le membre de droite est $\ln A$ tandis que le gauche contient $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : aucune constante ne survit à $A \to \infty$. **19.** Tonelli sur $\{0 < t < x\}$ : $$ \langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle . $$ Dualité : $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$, Hardy étant invoqué dans $L^q$, dont la constante $\frac q{q-1}$ égale $p$. **20.** Scinder le long de la diagonale (nulle). Sur $\{y \leq x\}$ : $$ \iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q, $$ car Hardy dans $L^q$ porte la constante $\frac q{q-1} = p$. Symétriquement, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ($\frac p{p-1} = q$). Total : $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$. **21.** Pour $a_n = n^{-1/p}$, $n \leq N$ : le membre de droite est $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$. À gauche, pour $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$, donc la $n$-ième moyenne de Cesàro est $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformément pour $n$ dans tout intervalle $n \geq n_0(\eta)$ ; en élevant à la puissance $p$ et en sommant, le membre de gauche est $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$. En divisant et faisant $N \to \infty$, puis $\eta \to 0$ : aucune constante plus petite que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ ne peut convenir. **22.** $H$ borné sur $L^p$ : les moyennes cumulatives n’enflent pas les $p$-normes (constante $\frac p{p-1}$) ; Cesàro sur $\ell^p$ : la même, discrétisée ; $M$ borné sur $L^p$ : même la meilleure moyenne locale reste sous contrôle (constante $O(\frac1{p-1})$). Les trois échouent en $p = 1$, et pour une raison : moyenniser une unité de masse concentrée produit une queue $\frac1x$ (questions 10 et 13), et $\frac1x$ appartient à tout $L^p$ près de l’infini sauf $L^1$. Lisser étale la masse exactement jusqu’à la frontière harmonique de l’intégrabilité. **23.** Poser $b_n = a_n^{1/p}$, donc $\sum b_n^p = \sum a_n$. La question 8 donne $$ \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n, $$ et AM–GM borne chaque terme par en bas : $$ \Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}. $$ D’où $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ pour *tout* $p > 1$. Avec $m = p - 1$, $$ \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1}, $$ qui décroît vers $\eu$ lorsque $m \to \infty$ (la suite monotone supérieure classique pour $\eu$). En prenant l’infimum sur $p$ on obtient l’inégalité de Carleman avec constante $\eu$. **24.** Pour $a_n = \frac1n$, $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$. L’encadrement du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#pb-b3-product-1) donne $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$, donc $$ (n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr), $$ car $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$. En inversant, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$, et en sommant sur $n \leq N$ : $$ \sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1) $$ (la série d’erreur $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Une inégalité de Carleman de constante $c$ forcerait $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$, d’où $c \geq \eu$ en divisant par $\ln N$. Les suites optimisantes s’alignent : la constante de Hardy est approchée par $n^{-1/p}$ (question 21), celle de Carleman par $n^{-1}$ — dans chaque cas la suite de type harmonique assise juste hors de l’espace moyenné. **25.** Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ sur $\intoc01$ et $Hf(x) = \frac1x$ pour $x > 1$, donc $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ et le rapport est $\sqrt2 \approx 1{,}414$, environ $71\%$ de la borne optimale. Pour $f_A$ ($p = 2$) : $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ sur $\intcc1A$, donc sur cet intervalle $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ et, pour $x > A$, $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$. En élevant au carré et en intégrant, $$ \begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*} $$ d’où $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; en divisant par $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ on obtient l’identité énoncée. En $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3{,}2054$, donc le rapport est $\sqrt{3{,}2054} \approx 1{,}790 < 2$. Le défaut $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ ne décroît que logarithmiquement : pour atteindre le rapport $1{,}99$ il faudrait $\ln A \approx 200$, c.-à-d. $A \approx 10^{87}$. Les constantes optimales sont des théorèmes, pas des expériences.