--- title: "Espaces de Hilbert" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 13 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert --- # Chapitre 13 — Espaces de Hilbert Un [espace de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) est un espace de Banach dont la norme provient d’un [produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner) — et cette unique structure supplémentaire restaure, en dimension infinie, presque toute la géométrie euclidienne : les [projections orthogonales](#thm-b3-hilbert-decomposition) existent, toute forme linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) est un [produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner) contre un vecteur fixe (Riesz), et les [bases](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormées développent chaque vecteur en une série convergente avec la comptabilité pythagoricienne ([Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval)). Le point culminant du chapitre honore une dette du volume de deuxième année : le système trigonométrique est une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb) de $L^2$, si bien que l’identité de [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) vaut pour *toute* fonction de carré [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) — l’énoncé que la deuxième année ne pouvait démontrer que pour les fonctions $\mathcal C^1$ par morceaux. Nous terminons par Lax–Milgram, le lemme de travail de l’approche variationnelle des équations différentielles. Tout au long du chapitre, $H$ est un espace vectoriel sur $K = \R$ ou $\C$. ## 13.1 Produits scalaires ; le théorème de projection **Définition 13.1.** Un *produit scalaire* est une application $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$, linéaire en la seconde variable, avec $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ et $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$. Elle induit la norme $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$, l’*inégalité de Cauchy–Schwarz* $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (la preuve de deuxième année — le discriminant — est inchangée), et la *identité du parallélogramme* $$ \norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 . $$ Un *espace de Hilbert* est un espace préhilbertien [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) pour cette norme. Exemples : $\ell^2$ ([Problème 8.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#pb-b3-banach-1)) et, l’exemple fondamental, $L^2(\mu)$ avec $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) par Riesz–Fischer ([Théorème 12.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-complete)) ; le produit scalaire est fini par Cauchy–Schwarz ($=$ Hölder en $p = q = 2$). **Théorème 13.2 (Projection sur un convexe fermé).** Soit $C \neq \varnothing$ un sous-ensemble *convexe* fermé de l’[espace de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) $H$ et $x \in H$. Il existe un unique $p_C(x) \in C$ tel que $$ \norm{x - p_C(x)} = d(x, C), $$ caractérisé par : $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ pour tout $c \in C$. L’application $p_C$ est $1$-lipschitzienne. **Démonstration.** Soit $d = d(x, C)$ et $(c_n) \subseteq C$ avec $\norm{x - c_n} \to d$. Parallélogramme sur $x - c_n$ et $x - c_m$ : $$ \norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2 $$ (la convexité place le milieu dans $C$) : le membre de droite tend vers $0$, donc $(c_n)$ est de Cauchy, et sa limite $p \in C$ (fermé) réalise $d$. Unicité : deux minimiseurs donnent, par la même identité, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$. Caractérisation : pour $c \in C$, $t \in \intoc01$, le vecteur $p + t(c - p) \in C$, d’où $$ d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ; $$ on divise par $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$. Réciproquement cette inégalité donne $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$. Lipschitz : pour $x, y$ de projections $p, q$, on additionne les deux inégalités variationnelles (avec $c = q$, resp. $c = p$) : $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$, d’où $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$. ∎ **Théorème 13.3 (Décomposition orthogonale).** Soit $F$ un *sous-espace fermé* de $H$. Alors $p_F$ est linéaire, $x - p_F(x) \perp F$ pour tout $x$, et $$ H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F . $$ Pour un sous-espace quelconque, $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; en particulier $F$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ssi $F^\perp = \{0\}$. **Démonstration.** Pour un sous-espace, la caractérisation variationnelle avec $c = p_F(x) \pm f$ ($f \in F$, les deux signes, et $\iu f$ dans le cas complexe) force $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : le résidu est orthogonal à $F$. Décomposition $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ avec $F \cap F^\perp = \{0\}$ ($\langle y, y \rangle = 0$) ; la linéarité de $p_F$ suit de l’unicité de telles décompositions (les deux côtés y sont linéaires). $(F^\perp)^\perp \supseteq F$ toujours ; réciproquement si $x \perp F^\perp$, on écrit $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ et $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$. Pour un sous-espace général $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuité du [produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner)), donc $(F^\perp)^\perp = \bar F$ par le cas fermé ; [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) ssi $\bar F = H$ ssi $F^\perp = 0$. ∎ **Théorème 13.4 (Représentation de Riesz).** Pour toute forme linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\varphi \in H'$ il existe un unique $a \in H$ tel que $$ \varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a . $$ **Démonstration.** Si $\varphi = 0$ : $a = 0$. Sinon $F = \ker\varphi$ est un sous-espace fermé propre ; on prend $u \in F^\perp$, $\norm u = 1$ ([Théorème 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) : $F^\perp \neq 0$ puisque $F \neq H$). Pour tout $x$, le vecteur $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$, donc $\perp u$ : $$ 0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle . $$ Donc $a = \overline{\varphi(u)}u$ convient. Unicité : $\langle a - a', x\rangle = 0$ pour tout $x$, on teste $x = a - a'$. Normes : $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz) avec égalité en $x = a$. ∎ **Exemple 13.5 (Une projection, calculée jusqu’au bout).** Dans $H = L^2(\intcc01)$, quelle est la meilleure approximation de $f(x) = x^2$ par une fonction affine ? Le sous-espace $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ est fermé (dimension finie), et $p_F(f) = a + bx$ est caractérisé par l’orthogonalité du résidu à $1$ et à $x$ : $$ \int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, $$ c’est-à-dire $\frac13 = a + \frac b2$ et $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$, $b = 1$. Donc $p_F(x^2) = x - \frac16$, et l’erreur vaut $$ d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} . $$ Deux remarques à intérioriser. D’abord, le calcul n’est rien d’autre qu’un système linéaire $2\times2$ — les *équations [normales](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal)* ; pour la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) monomiale leur matrice $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ est la tristement célèbre matrice de Hilbert, mal conditionnée, et orthonormaliser d’abord (polynômes de Legendre, [Problème 13.1](#pb-b3-hilbert-1)) est le remède. Ensuite, la meilleure approximation *uniforme* de $x^2$ par des affines est différente ($x - \frac18$, par équi-oscillation) : chaque norme a sa géométrie, et seule la géométrie hilbertienne répond par un système linéaire. ## 13.2 Bases orthonormées **Définition 13.6.** Une famille $(e_i)_{i\in I}$ est *orthonormée* si $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$, et une *base hilbertienne* ([base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée) si de plus ses combinaisons linéaires finies sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $H$ (la famille est *totale*). On traite le cas dénombrable $I = \N$, qui par Gram–Schmidt couvre tout $H$ *[séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable)* ([Proposition 13.8](#prop-b3-hilbert-gramschmidt)). **Théorème 13.7 (Bessel, Parseval).** Soit $(e_n)_{n\in\N}$ orthonormée dans $H$, et $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$. 1. (Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , et la série $\sum_nc_n(x)e_n$ converge dans $H$ , de somme $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ . 2. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $(e_n)$ est une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb) ; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ pour tout $x$ ; (iii) *Parseval* : $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ pour tout $x$ ; (iv) le seul vecteur orthogonal à tous les $e_n$ est $0$ . 3. Si $(e_n)$ est une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb) , $x \mapsto (c_n(x))_n$ est un isomorphisme isométrique $H \to \ell^2$ ( *tout* [espace de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) de dimension infinie « est » $\ell^2$ ), et $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ . **Démonstration.** (1) Pour $N$ fini : $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ($k \leq N$), donc Pythagore donne $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : Bessel. Les sommes partielles $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ sont de Cauchy : $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M 0$). Alors pour tout $\varphi \in H'$ il existe un unique $u \in H$ tel que $$ a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{pour tout } v \in H . $$ **Démonstration.** Pour $u$ fixé, $v \mapsto a(u, v)$ est linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : Riesz donne un unique $Au \in H$ avec $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ est linéaire avec $\norm{Au} \leq M\norm u$ (unicité des représentants, puis majoration). Coercivité : $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$, donc $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ est injective à image fermée (une suite image de Cauchy $Au_n$ force $u_n$ de Cauchy). L’image est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) : $w \perp \operatorname{im}A$ donne $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$. Fermée et [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) : $A$ est bijective. Pour $\varphi$ donné, soit $f$ son représentant (Riesz) et $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$, uniquement ($a(u - u', \cdot) = 0$ et coercivité). ∎ **Remarque 13.11.** Lorsque $a$ est symétrique, la solution de Lax–Milgram est l’unique minimiseur de l’*énergie* $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ ([Exercice 13.9](#exo-b3-hilbert-9)) : existence de solutions aux problèmes variationnels d’un seul coup. Appliqué à des espaces de fonctions adéquats (les espaces de Sobolev d’un cours ultérieur), ceci résout les problèmes aux limites pour les équations différentielles — la porte d’entrée moderne aux équations aux dérivées partielles. ## 13.3 Exercices **Exercice 13.1 ★.** (a) Démontrer les identités de polarisation (réelle : $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; complexe : la version à quatre termes). (b) Montrer que $\norm\cdot_1$ sur $L^1(\intcc01)$ et $\norm\cdot_\infty$ sur $\mathcal C(\intcc01)$ violent l’identité du parallélogramme : ces normes ne proviennent d’aucun [produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner). **Solution de Exercice 13.1.** (a) Réel : développer $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ et soustraire. Complexe ([produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner) linéaire en le second argument) : en développant comme ci-dessus, $$ \langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2, $$ chaque terme contribuant $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$, dont la somme est $4\langle x,y\rangle$ (vérifier les quatre valeurs de $k$ ; le $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$). (b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$, $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ chacun, somme $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$. Norme uniforme : $f = \mathbf 1$, $g(t) = t$ sur $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$. En échouant l’identité du parallélogramme, ces normes ne sont induites par aucun [produit scalaire](#def-b3-hilbert-inner) (qui la forcerait par développement direct). **Exercice 13.2 ★.** Dans $H = L^2(\intcc01)$ (réel) : (a) calculer la projection de $f$ sur le sous-espace des fonctions constantes, et interpréter ; (b) calculer la projection sur $\{g : g = 0 \text{ p.p.\ sur } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) calculer $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$. **Solution de Exercice 13.2.** (a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : en effet $f - \int f \perp$ les constantes ($\int(f - \int f)c = 0$). La meilleure approximation constante de $f$ en moyenne quadratique est sa *moyenne* — la première instance d’espérance conditionnelle ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability)). (b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : la différence $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ est orthogonale à tout $g$ s’annulant sur $\intcc0{1/2}$. (c) $d^2 = \bigl\|x - \tfrac12\bigr\|_2^2 = \int_0^1(x - \tfrac12)^2\dd x = \tfrac1{12}$ : $d = \frac1{2\sqrt3}$. **Exercice 13.3 ★★.** (a) Montrer que pour un sous-espace $F$ : $F$ [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) $\iff$ $F^\perp = \{0\}$, et donner un exemple dans $\ell^2$ d’un sous-espace [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) *propre* (donc $F^\perp = 0$ sans $F = H$ : le théorème de décomposition exige vraiment que $F$ soit fermé). (b) Montrer que si $x_n \to x$ et $y_n \to y$ en norme, alors $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$, et repérer deux endroits du chapitre où cette continuité a été utilisée. **Solution de Exercice 13.3.** (a) L’équivalence est [Théorème 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) ($\bar F = (F^\perp)^\perp$, et $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$). Exemple : l’espace $F$ des suites finies est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^2$ (troncature) et propre : $F^\perp = \{0\}$ pourtant $F \neq \ell^2$ — pour un sous-espace non fermé, $H = F \oplus F^\perp$ échoue ostensiblement ($F \oplus \{0\} \neq H$). (b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (les suites convergentes sont bornées). Utilisé : dans [Théorème 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(1) pour voir $x - \lim S_N \perp e_k$, et dans [Théorème 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition) pour voir $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$. **Exercice 13.4 ★★.** Appliquer Gram–Schmidt à $1, x, x^2$ dans $L^2(\intcc{-1}1)$ ([mesure de Lebesgue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-lebesgueouter)) : obtenir les trois premiers polynômes de *Legendre* normalisés, et vérifier qu’ils coïncident avec $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ pour les polynômes de Rodrigues $P_n$ du [Problème 13.1](#pb-b3-hilbert-1). **Solution de Exercice 13.4.** $e_0 = \frac1{\sqrt2}$. Ensuite, $x \perp \mathbf 1$ déjà ($\int_{-1}^1x = 0$), et $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$. Puis $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (et $\perp e_1$ par parité), avec $$ \int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr). $$ Comparaison : $P_0 = 1$, $P_1 = x$, $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$, et $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ donne $\frac1{\sqrt2}$, $\sqrt{\frac32}x$, $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : exactement $e_0, e_1, e_2$. **Exercice 13.5 ★★.** Appliquer [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) ([Théorème 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) à $f(t) = t$ et $f(t) = t^2$ sur $\intcc{-\pi}\pi$ — désormais légitimement pour ces fonctions ([continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), mais auparavant l’identité exigeait un soin $\mathcal C^1$ par morceaux au saut de recollement) : retrouver $$ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} . $$ **Solution de Exercice 13.5.** Pour $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ et, en intégrant par parties, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ pour $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$. [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) : $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ Pour $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$, $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ($n \ne 0$). [Parseval](#thm-b3-hilbert-parseval) : $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} . $$ Aucune précaution $\mathcal C^1$ par morceaux n’est nécessaire : [Théorème 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier) couvre toute fonction $L^2$. **Exercice 13.6 ★★.** (a) Trouver $a \in L^2(\intcc01)$ tel que $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ pour tout $f$ ; calculer $\norm\varphi$ pour cette forme. (b) Montrer que l’évaluation $f \mapsto f(\frac12)$, définie sur le sous-espace $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$, n’est *pas* [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) pour $\norm\cdot_2$ : aucun représentant de Riesz n’existe (l’évaluation n’est pas une notion $L^2$). **Solution de Exercice 13.6.** (a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : le représentant est $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$, et $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ ([Théorème 13.4](#thm-b3-hilbert-riesz)). (b) Prendre les fonctions tente $f_n$ de pic $1$ en $\frac12$ et support de largeur $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ tandis que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : aucune constante $C$ ne peut donner $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$. L’évaluation ponctuelle est sans sens dans $L^2$ — les éléments sont des classes modulo les ensembles nuls — et ce calcul en est la raison quantitative. **Exercice 13.7 ★★★.** Soit $H$ [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) de [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb) $(e_n)$, et $(x_k)$ une suite bornée. (a) Montrer qu’une sous-suite converge *faiblement* : il existe $x$ avec $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ pour tout $y \in H$. *(Extraction diagonale sur les coefficients $\langle e_n, x_k\rangle$ ; assembler $x$ via Bessel et la bornitude uniforme des normes.)* (b) Montrer $e_n \rightharpoonup 0$ mais $\norm{e_n} = 1$ : les limites faibles peuvent perdre de la norme. Montrer $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ en (a). **Solution de Exercice 13.7.** (a) Soit $M = \sup_k\norm{x_k}$. Les suites scalaires $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ sont bornées par $M$ : une extraction diagonale produit $x_{k_j}$ avec $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ pour tout $n$. Pour chaque $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), donc $(\gamma_n) \in \ell^2$ et $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ ([Théorème 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval)(3)). Pour $y \in H$ : $$ \abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2}, $$ en utilisant le développement $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ et Cauchy–Schwarz sur la queue ; choisir $N$ puis $j$ : convergence faible vers $x$. (b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ pour tout $y$ (queues $\ell^2$) : $e_n \rightharpoonup 0$, pourtant $\norm{e_n} = 1$ : la norme n’est pas faiblement [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). En (a) : $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (sections finies et Bessel encore) : les limites faibles ne peuvent que perdre de la norme. **Exercice 13.8 ★★.** (Adjoints) Pour $T \in \mathcal L(H)$, montrer qu’il existe un unique $T^* \in \mathcal L(H)$ avec $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), et $\vertiii{T^*} = \vertiii T$. Calculer l’adjoint du décalage $S$ sur $\ell^2$, et prouver $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — en déduire $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$. **Solution de Exercice 13.8.** Pour $y$ fixé, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ est une forme linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; Riesz donne un unique $T^*y$ avec $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ pour tout $x$ — en conjuguant, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$. L’unicité rend $T^*$ linéaire ; $$ \norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y, $$ donc $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$, et $T^{**} = T$ donne l’égalité. Décalage : $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ avec $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : le décalage rétrograde. Noyau–image : $T^*y = 0$ ssi $\langle x, T^*y\rangle = 0$ pour tout $x$ ssi $\langle Tx, y\rangle = 0$ pour tout $x$ ssi $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; en prenant $\perp$ et en utilisant le [Théorème 13.3](#thm-b3-hilbert-decomposition), $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$. **Exercice 13.9 ★★.** Soit $a$ comme dans Lax–Milgram et de plus *symétrique*. Montrer que $u$ résout $a(u, \cdot) = \varphi$ ssi $u$ minimise $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$, et que le minimum est atteint en exactement un point. *(Compléter le carré : $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$.)* Application : redériver le théorème de projection pour les sous-espaces fermés à partir de Lax–Milgram. **Solution de Exercice 13.9.** Si $a(u, \cdot) = \varphi$ : pour tout $w$, $$ J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2, $$ strictement positif pour $w \neq 0$ : $u$ est l’unique minimiseur. Réciproquement, en un minimiseur la fonction $t \mapsto J(u + tw)$ (un polynôme quadratique en $t$) a une dérivée nulle en $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ pour tout $w$. Projection redérivée : pour un sous-espace fermé $F$, appliquer Lax–Milgram sur l’[espace de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) $F$ avec $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ($M = \alpha = 1$) et $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : un unique $p \in F$ avec $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ pour tout $v \in F$, i.e. $x - p \perp F$ — et par le cas symétrique, $p$ minimise $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ sur $F$ : la projection. **Exercice 13.10 ★★★.** (Le système de Haar) Sur $\intcc01$, soit $h_{0} = \mathbf 1$, et pour $n = 2^j + k$ ($j \geq 0$, $0 \leq k < 2^j$) : $$ h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr). $$ Montrer que $(h_n)_{n\geq0}$ est orthonormée dans $L^2(\intcc01)$, et totale. *(Orthogonalité : supports disjoints ou emboîtés ; totalité : les enveloppes finies contiennent toutes les fonctions en escalier dyadiques, qui sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) — via le [Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)(1) et l’approximation dyadique des intervalles.)* Le système de Haar est l’ancêtre des ondelettes. **Solution de Exercice 13.10.** Normalisation : $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$. Orthogonalité : deux fonctions de Haar distinctes ont soit des supports (intérieurs) disjoints (produit nul p.p.), soit le support de la plus fine [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans un demi-intervalle où la plus grossière est constante — alors l’intégrale du produit est cette constante fois $\int h_{\text{fine}} = 0$ ; contre $h_0 = \mathbf 1$, encore $\int h_n = 0$. Totalité : l’enveloppe de $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ est constituée des fonctions en escalier sur la grille dyadique de pas $2^{-J}$ ; les deux espaces ont dimension $2^J$ et les fonctions de Haar sont indépendantes (orthonormées) : l’enveloppe est *toutes* ces fonctions en escalier. Les fonctions en escalier dyadiques sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $L^2(\intcc01)$ : les [fonctions simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-simple) sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ([Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)(1)), les ensembles [mesurables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) s’approchent par unions finies d’intervalles ([Exercice 9.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#exo-b3-measure-7)), et les intervalles par des dyadiques (extrémités bougent de $\leq 2^{-J}$). Par le [Théorème 13.7](#thm-b3-hilbert-parseval), le système de Haar est une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb). **Exercice 13.11 ★★.** ([Projections orthogonales](#thm-b3-hilbert-decomposition), caractérisées) Soit $H$ un [espace de Hilbert](#def-b3-hilbert-inner) et $P \in \mathcal L(H)$ avec $P^2 = P$, $P \neq 0$. Montrer l’équivalence de : (i) $P$ est la projection orthogonale sur $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ ([Exercice 13.8](#exo-b3-hilbert-8)) ; (iii) $\vertiii P = 1$. *(Pour (iii) $\Rightarrow$ (i) : si un $x \in (\ker P)^\perp$ avait $Px \neq x$, considérer $x + t(Px - x)$ — ou directement : pour $u \in \operatorname{im}P$ et $v \in \ker P$, développer $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ pour tout $t \in \R$ et conclure $\langle u, v\rangle = 0$.)* Exhiber une projection non orthogonale sur $\R^2$ et calculer sa norme. **Solution de Exercice 13.11.** (i) $\Rightarrow$ (ii) : pour la projection orthogonale, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insérer les décompositions $x = Px + (x - Px)$ etc. et tuer les termes croisés). (ii) $\Rightarrow$ (iii) : $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$, donc $\vertiii P \leq 1$, et $Pu = u$ sur l’image non nulle : $= 1$. (iii) $\Rightarrow$ (i) : $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algébriquement, de $P^2 = P$) ; prendre $u = Pu \in \operatorname{im}P$, $v \in \ker P$, $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ doit être $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ pour tout $t$, forçant $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (comparer les termes linéaires quand $t \to 0^\pm$) ; remplacer $v$ par $\iu v$ tue aussi la partie imaginaire : $\operatorname{im}P \perp \ker P$, ce qui est exactement l’orthogonalité de la projection. Exemple : $P(x, y) = (x + y, 0)$ sur $\R^2$ : $P^2 = P$, image l’axe des $x$, noyau la droite $y = -x$, et $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (atteint en $(1,1)/\sqrt2$) : une projection oblique a une norme $> 1$. (Pour la chronique, (ii) donne aussi (i) directement : $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ par l’ [Exercice 13.8](#exo-b3-hilbert-8).) **Exercice 13.12 ★★★.** (Théorème ergodique de von Neumann) Soit $U \in \mathcal L(H)$ *unitaire* ($U^*U = UU^* = I$), $F = \ker(U - I)$ l’espace des points fixes, $P$ la projection orthogonale sur $F$, et $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$. (a) Montrer $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ *(à partir de $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ et de l’unitarité)*, et en déduire $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$. (b) Montrer que $A_nx \to x$ pour $x \in F$, et $A_nx \to 0$ pour $x \in \operatorname{im}(U - I)$ *(télescopage)*, puis pour $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (borne uniforme $\vertiii{A_n} \leq 1$). (c) Conclure : $A_nx \to Px$ pour *tout* $x \in H$ — les moyennes temporelles convergent vers la projection sur les invariants. (d) Détailler pour $H = L^2(\R/\Z)$ et $Uf = f(\cdot + \alpha)$ avec $\alpha$ irrationnel : identifier $F$ (utiliser les séries de Fourier, [Théorème 13.9](#thm-b3-hilbert-fourier)) et en déduire que $\frac1n\sum_{k 0$ un *poids* continu sur l’intérieur de $I$ tel que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ pour tout $n$ ; on travaille dans $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ avec $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$. Gram–Schmidt appliqué à $1, t, t^2, \dots$ produit les *[polynômes orthogonaux](#pb-b3-hilbert-1)* $(p_n)$ pour $w$ (normalisation monique : $p_n = t^n + \cdots$). **Partie I — Théorie générale.** 1. Montrer que $p_n$ est orthogonal à tout polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $< n$ , et que $(p_0, \dots, p_n)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de $\R_n[t]$ . 2. (Récurrence à trois termes) Montrer qu’il existe des réels $a_n, b_n$ avec $$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$$ *(Développer $t\,p_n$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(p_k)_{k \leq n+1}$ et tuer les coefficients par orthogonalité, en utilisant $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$.)* 3. (Racines) Montrer que $p_n$ a $n$ racines *distinctes* , toutes intérieures à $I$ . *(Soit $t_1 < \dots < t_m$ les changements de signe intérieurs de $p_n$ ; si $m < n$, tester $p_n$ contre $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ et contredire l’orthogonalité.)* **Partie II — Legendre ($I = \intcc{-1}1$, $w = 1$).** On pose $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues). 4. Montrer $\deg P_n = n$ avec coefficient dominant $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , et, en intégrant par parties $n$ fois, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ pour tout polynôme $Q$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $< n$ : les $P_n$ sont (à normalisation près) les [polynômes orthogonaux](#pb-b3-hilbert-1) pour $w = 1$ . 5. Calculer $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ *(intégrer par parties $n$ fois contre soi-même et se ramener à une intégrale Bêta/Wallis, [Exercice 11.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#exo-b3-product-8))* . 6. Montrer que les polynômes de Legendre normalisés forment une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc{-1}1)$ *(Weierstrass, [Corollaire 7.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass), plus [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de $\mathcal C$ dans $L^2$)* , et développer $f(t) = \abs t$ jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ : calculer la meilleure approximation quadratique $L^2$ de $\abs t$ . **Partie III — Hermite ($I = \R$, $w(t) = \eu^{-t^2}$).** On pose $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$. 7. Montrer que $H_n$ est un polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ de coefficient dominant $2^n$ , que $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , et que $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ *(parties encore)* . 8. Montrer que la famille d’Hermite est totale dans $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , en admettant un résultat du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) : si $g \in L^1(\R)$ a $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ pour tout $\xi$ , alors $g = 0$ p.p. *(Pour $f \perp$ tous les $H_n$, i.e. $\perp$ tous les polynômes : montrer que $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ est bien définie, développer l’exponentielle en série, justifier l’interversion par domination, et conclure que la transformée de Fourier de $f\eu^{-t^2}$ s’annule.)* **Partie IV — Quadrature de Gauss.** On fixe $n$, on note $t_1 < \dots < t_n$ les racines de $p_n$ (Partie I), et on définit les poids $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ où les $\ell_i$ sont les polynômes de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de l’interpolation de Lagrange aux $t_i$. 9. Montrer que la règle de quadrature $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ est exacte sur tous les polynômes de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n - 1$ (interpolation), et en fait — le miracle — sur tous les polynômes de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq 2n - 1$ : écrire $P = qp_n + r$ et utiliser l’orthogonalité sur le quotient $q$ . 10. Montrer que les poids sont positifs *(appliquer la règle à $\ell_i^2$, de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n - 2$)* , et en déduire du théorème de Polya ( [Exercice 8.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#exo-b3-banach-9) ) que la quadrature de Gauss converge : $Q_n(f) \to \int_I fw$ pour toute $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur un $I$ compact. 11. Pour $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calculer les nœuds $\pm\frac1{\sqrt3}$ et les poids $1, 1$ , et vérifier l’exactitude sur $1, t, t^2, t^3$ à la main. Comparer avec la règle des trapèzes sur les mêmes deux points d’évaluation. **Partie V — Chebyshev : les polynômes qui oscillent le mieux.** Maintenant $I = \intcc{-1}1$ et $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$. 12. Montrer que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ définit un polynôme $T_n$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ (établir $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ à partir d’une identité trigonométrique), de coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ ; et que la substitution $t = \cos\theta$ donne $$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$$ les $T_n$ sont les [polynômes orthogonaux](#pb-b3-hilbert-1) pour ce poids, et les développements de Chebyshev *sont* des séries de Fourier en cosinus déguisées. 13. Localiser explicitement les $n$ racines $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ et les $n + 1$ extrema $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ sur $\intcc{-1}1$ , où $T_n(s_j) = (-1)^j$ : le graphe *équi-oscille* entre $\pm1$ . 14. (Minimax) Montrer que parmi tous les polynômes *moniques* de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ , le polynôme $2^{1-n}T_n$ a la plus petite norme uniforme sur $\intcc{-1}1$ , à savoir $2^{1-n}$ — et qu’il est l’unique minimiseur. *(Si un monique $P$ avait $\sup\abs P < 2^{1-n}$, la différence $2^{1-n}T_n - P$, de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n-1$, alternerait en signe aux $n+1$ points d’équi-oscillation.)* 15. Application à l’interpolation : pour des nœuds $t_1 < \dots < t_n$ dans $\intcc{-1}1$ , l’erreur de l’interpolation de Lagrange d’une fonction $\mathcal C^n$ met en jeu $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Montrer que le choix des racines de Chebyshev comme nœuds minimise $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , et donner la borne résultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}\,n!}$ — comparer avec des nœuds équidistants (énoncer le phénomène de Runge comme histoire d’avertissement). 16. Vérifier $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ *(dériver $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ et prendre les limites $\theta \to 0, \pi$)* : des polynômes bornés par $1$ sur $\intcc{-1}1$ peuvent avoir une dérivée aussi grande que $n^2$ au bord (l’inégalité de Markov dit pas plus — énoncé seulement). Où dans l’intervalle la borne de dérivée n’est-elle que $O(n)$ ? 17. (Quadrature de Chebyshev–Gauss) Montrer que la règle de Gauss pour le poids $w$ aux $n$ racines de Chebyshev a des poids *égaux* $w_i = \frac\pi n$ *(exactitude sur $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus les sommes trigonométriques $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ pour $1 \leq j \leq n - 1$)* : la plus uniforme de toutes les quadratures. L’écrire pour $n = 3$ . **Partie VI — Christoffel–Darboux, entrelacement, et matrice de Jacobi.** Retour à un poids général ; $h_k = \norm{p_k}^2$ ($p_k$ monique), $b_k = h_k/h_{k-1}$. 18. (Norme minimale) Montrer que parmi tous les polynômes *moniques* de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ , l’orthogonal $p_n$ est l’unique de norme $L^2(w)$ minimale — identifier la minimisation comme une projection orthogonale sur $\R_{n-1}[t]$ ( [Théorème 13.2](#thm-b3-hilbert-projection) ou la projection de dimension finie de deuxième année). La propriété minimax de la question 14 est le même énoncé avec $L^\infty$ à la place de $L^2$ : même héros, deux normes. 19. (Christoffel–Darboux) Prouver, par récurrence sur $n$ via la récurrence à trois termes, l’identité $$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$$ et sa forme confluente ($y \to x$) : $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$. 20. En déduire que $p_n$ et $p_{n+1}$ n’ont aucune racine commune, et qu’en toute racine $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Conclure l’ *entrelacement* des racines : entre deux racines consécutives de $p_{n+1}$ se trouve exactement une racine de $p_n$ . 21. (Matrice de Jacobi) Soit $J_n$ la matrice tridiagonale symétrique $n\times n$ de diagonale $a_0, \dots, a_{n-1}$ et d’entrées hors diagonale $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Montrer par récurrence que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , donc les racines de $p_n$ sont les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle — redémontrant en une ligne qu’elles sont réelles, et (avec l’entrelacement ci-dessus) liant les [polynômes orthogonaux](#pb-b3-hilbert-1) au monde spectral du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#ch-b3-spectral) . 22. (Synthèse) Assembler le dictionnaire pour les trois familles classiques (Legendre, Hermite, Chebyshev) : intervalle, poids, formule définissante, récurrence à trois termes, norme, et l’habitat naturel de chacune (quadrature et approximation sur les compacts ; analyse gaussienne ; minimax et méthodes de Fourier en cosinus). Une phrase sur ce que la théorie générale (Parties I, VI) a donné qu’aucun calcul individuel ne pouvait. **Partie VII — Le terme d’erreur, et le noyau derrière les poids.** Ici $I$ est compact et $f \in \mathcal C^{2n}(I)$. 23. (Formule d’erreur de Gauss) Soit $Hf$ l’interpolant d’Hermite de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq 2n - 1$ coïncidant avec $f$ et $f'$ aux nœuds $t_1, \dots, t_n$ (prouver son existence et l’erreur ponctuelle $$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$$ par l’argument usuel de fonction auxiliaire). En déduire, en intégrant cette identité contre $w$ et en serrant entre les extrema de $f^{(2n)}$, que $$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{pour un certain } \xi \in I,$$ avec $h_n = \norm{p_n}^2$ comme en Partie VI : la quadrature de Gauss erre d’une $2n$-ième dérivée, pondérée par la norme au carré du polynôme orthogonal monique. 24. (Les poids sont des valeurs de Christoffel) En utilisant le noyau reproduisant $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ et l’exactitude de $Q_n$ jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n - 2$, prouver $$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$$ chaque poids est la valeur en son nœud de la *fonction de Christoffel* — positivité des poids (question 10) encore, maintenant avec une formule exacte. Vérifier qu’elle retrouve $w_1 = w_2 = 1$ pour $n = 2$, $I = \intcc{-1}1$, $w = 1$. 25. (Tout se vérifie sur une intégrale) Pour le poids de Chebyshev et $n = 3$ nœuds, calculer les deux côtés de $$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$$ donc l’erreur de quadrature est exactement $\frac{\pi}{32}$ ; puis vérifier que la formule d’erreur de la question 23 prédit précisément cette valeur (ici $f^{(6)} = 6!$ est constante, et $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$) : théorie et calcul s’accordent jusqu’au dernier chiffre. **Solution de Problème 13.1.** **1.** Gram–Schmidt garantit $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ et $p_n \perp p_k$ ($k < n$), d’où $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. Les $p_k$, de [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) strictement croissants, sont indépendants : une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis). **2.** $t\,p_n$ est monique de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n + 1$ : développer $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ avec $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$. Pour $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ ([degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $k + 1 < n$). Donc $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$, la récurrence annoncée, avec $$ b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{inférieurs}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 . $$ **3.** Soit $t_1 < \dots < t_m$ les points intérieurs à $I$ où $p_n$ change de signe, et $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (avec $q = 1$ si $m = 0$). Alors $p_nq$ a un signe constant sur $I$ et n’est pas p.p. nul : $\int_Ip_nq\,w \neq 0$. Si $m < n$, ceci contredit $p_n \perp \R_{n-1}[t]$. Donc $m = n$ : $p_n$ a $n$ racines intérieures distinctes (il en a au plus $n$ en tout). **4.** $(t^2 - 1)^n$ a [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n$ ; $n$ dérivées laissent [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$, avec coefficient dominant $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$. Pour $\deg Q < n$, intégrer par parties $n$ fois : tous les termes de bord contiennent une dérivée d’ordre $< n$ de $(t^2-1)^n$, qui s’annule en $\pm1$ (racine d’ordre $n$) ; après $n$ étapes l’intégrande porte $Q^{(n)} = 0$. **5.** Avec $u = (t^2 - 1)^n$ : $$ (2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t , $$ ($u^{(2n)} = (2n)!$ ; termes de bord nuls comme en question 4). Et $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ ([Exercice 11.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#exo-b3-product-8)). En combinant : $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$. **6.** Les polynômes sont $\norm\cdot_\infty$-denses dans $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, [Corollaire 7.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)), les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sont $L^2$-denses ([Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)), et $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : les enveloppes polynomiales sont totales, donc les $P_n$ normalisés forment une [base hilbertienne](#def-b3-hilbert-onb). Développement de $\abs t$ : le coefficient contre $P_0$ est $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; contre $P_1$ : $0$ (parité) ; contre $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$. Meilleure approximation quadratique : $$ \abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 . $$ **7.** De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ et Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; la récurrence donne [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ et coefficient dominant $2^n$. Pour $m < n$, intégrer par parties $n$ fois dans $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2}\bigr)^{(n)}$ : les termes de bord (polynôme $\times$ $\eu^{-t^2}$) s’annulent en $\pm\infty$, laissant $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$. Pour $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$, donc $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$. **8.** Soit $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ orthogonal à tout polynôme, et $g = f\eu^{-t^2}$. Alors $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Pour $\xi \in \R$, développer $\eu^{-\iu\xi t}$ : les sommes partielles sont dominées car $$ \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty $$ (la dernière série converge : $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$, donc les termes sont $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$). L’intégration terme à terme ([Corollaire 10.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#cor-b3-lebesgue-additivity) appliqué à la série absolue, puis Fubini pour les séries) donne $$ \int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 , $$ chaque intégrale étant de type $\langle t^k, f\rangle_w = 0$. Par l’injectivité admise de la transformée de Fourier ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform)), $g = 0$ p.p., donc $f = 0$ p.p. : la famille d’Hermite (dont les enveloppes sont les polynômes) est totale. **9.** Exactitude jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n - 1$ : pour un tel $P$, $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exactement, donc $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$. [Degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq 2n - 1$ : diviser $P = qp_n + r$, $\deg q \leq n - 1$, $\deg r \leq n-1$ ; alors $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ($p_n \perp \R_{n-1}[t]$), tandis que $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ puisque les nœuds sont les racines de $p_n$. Égal. **10.** $\ell_i^2$ a [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n - 2 \leq 2n - 1$ et $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$. Polya ([Exercice 8.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#exo-b3-banach-9), transporté à $I$ avec poids) : la condition (i) tient — chaque polynôme est intégré exactement une fois $2n - 1 \geq$ son [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) ; condition (ii) : $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$, bornée : $Q_n(f) \to \int fw$ pour toute $f \in \mathcal C(I)$, $I$ compact. **11.** Monique $p_2 = t^2 - \frac13$ (de l’ [Exercice 13.4](#exo-b3-hilbert-4)) : nœuds $\pm\frac1{\sqrt3}$. Poids : $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$, et $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; par symétrie $w_2 = 1$. Exactitude : $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$. La règle des trapèzes à deux points (nœuds $\pm1$, poids $1, 1$) n’est exacte que jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ : sur $t^2$ elle renvoie $2$ au lieu de $\frac23$. Même coût, deux [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) d’exactitude en plus : le dividende des nœuds orthogonaux. **12.** De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ avec $T_0 = 1$, $T_1 = t$ ; la récurrence donne des polynômes de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ de coefficient dominant $2^{n-1}$ ($n \geq 1$). En substituant $t = \cos\theta$ ($w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$) : $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ pour $m \neq n$, $= \pi$ pour $m = n = 0$, $= \frac\pi2$ sinon (produit-en-somme). [Degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) et orthogonalité deux à deux identifient les $T_n$ avec la sortie de Gram–Schmidt à scalaires près ; un développement de Chebyshev de $f$ est exactement la série de Fourier en cosinus de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$. **13.** $T_n(t) = 0$ ssi $\cos n\theta = 0$ ssi $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : les $n$ racines distinctes $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$. Extrema : $\abs{T_n} \leq 1$ sur $\intcc{-1}1$, avec $T_n(s_j) = (-1)^j$ aux $n + 1$ points $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : équi-oscillation parfaite. **14.** $2^{1-n}T_n$ est monique de norme uniforme $2^{1-n}$. Si un monique $P$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ avait $\sup\abs P < 2^{1-n}$, la différence $D = 2^{1-n}T_n - P$ aurait [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n - 1$ (termes dominants s’annulent) pourtant alternerait en signe en $s_0 > \dots > s_n$ (là $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ domine $P$) : au moins $n$ zéros — $D \equiv 0$, contradiction. Pour l’unicité à l’égalité, le même $D$ satisfait $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; un polynôme non nul de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n-1$ ne peut avoir $n$ contraintes extrémales faiblement alternées sans $n$ racines comptées correctement (si $D(s_j) = 0$ pour un $s_j$ intérieur, ce zéro est double dans le comptage car $D$ garde un signe localement) : encore $D \equiv 0$. **15.** La formule d’erreur de Lagrange (Rolle, deuxième année) donne $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$, donc l’erreur uniforme est au plus $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{n!}\,\sup\abs\omega$, et $\omega$ est monique de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ : par la question 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ avec égalité ssi les nœuds sont les racines de Chebyshev. D’où la borne optimale $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$. Avec des nœuds équidistants, $\sup\abs\omega$ est exponentiellement plus grand près des extrémités, et interpoler même $\frac1{1 + 25t^2}$ y diverge quand $n \to \infty$ (phénomène de Runge) ; les nœuds de Chebyshev sont le remède. **16.** En dérivant $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta}$, qui tend vers $n^2$ quand $\theta \to 0$ et vers $(-1)^{n+1}n^2$ quand $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$. Aux points intérieurs, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : le souffle quadratique ne vit qu’aux bords (borne intérieure de Bernstein versus borne globale de Markov). **17.** Soit $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ et $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ pour $1 \leq j \leq n-1$. Alors $$ S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] . $$ Pour $j$ pair le numérateur s’annule : $S_j = 0$. Pour $j$ impair le numérateur est $-2$, et $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$, donc l’expression entière est $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : purement imaginaire, $S_j = 0$ encore. D’où la règle à poids égaux $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ intègre $T_0$ ($\sum w_i = \pi = \int w$) et tue $T_1, \dots, T_{n-1}$ exactement comme $\int T_jw = 0$ : elle est exacte jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n - 1$. Les poids exacts jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n-1$ en des nœuds donnés sont uniques ([base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de Lagrange) : les poids de Gauss sont tous $\frac\pi n$. Pour $n = 3$ : nœuds $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ et $$ \int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr], $$ exacte jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $5$. **18.** Pour un monique $P$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ : $P = p_n + r$ avec $r \in \R_{n-1}[t]$, et $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (question 1), donc $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$, avec égalité ssi $r = 0$ : $p_n$ est le résidu de projection orthogonale de $t^n$ sur $\R_{n-1}[t]^\perp$, i.e. le polynôme monique le plus proche du sous-espace qu’il doit éviter. Le $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev répond à la même question pour la norme uniforme : moindre déviation de zéro, une fois en $L^2(w)$, une fois en $L^\infty$. **19.** Écrire $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$. [Base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ puisque $p_1 = t - a_0$. Étape : en supposant l’identité pour $n - 1$, $$ (x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ; $$ substituer $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ et $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ dans le second terme : les contributions $a_n$ s’annulent, et les contributions $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ annulent le terme d’induction ; ce qui survit est $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$. La forme confluente suit en faisant $y \to x$ (les deux côtés sont polynomiaux en $y$). **20.** La forme confluente donne $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ partout. En une racine $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$, donc $p_n(x_0) \neq 0$ (pas de racines communes). Entre des racines consécutives $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (toutes [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), Partie I), $p_{n+1}'$ a des signes opposés, donc aussi $p_n$ : une racine de $p_n$ gît dans chacun des $n$ interstices — et cela épuise ses $n$ racines : entrelacement. **21.** En développant $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ le long de la dernière ligne : $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$, avec $D_0 = 1$, $D_1 = t - a_0$ : la récurrence et les germes du monique $p_n$, donc $D_n = p_n$. Racines de $p_n$ = valeurs propres de la $J_n$ symétrique : réelles, et [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) par la question 19 — la quadrature de Gauss est la théorie spectrale d’une matrice tridiagonale déguisée, l’ombre de dimension finie du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#ch-b3-spectral). **22.** Dictionnaire : | | Legendre | Hermite | Chebyshev | | --- | --- | --- | --- | | intervalle | $\intcc{-1}1$ | $\R$ | $\intcc{-1}1$ | | poids | $1$ | $\eu^{-t^2}$ | $(1-t^2)^{-1/2}$ | | formule | Rodrigues | $(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ | $\cos(n\arccos t)$ | | norme$^2$ | $\frac2{2n+1}$ | $2^nn!\sqrt\pi$ | $\pi, \frac\pi2$ | | habitat | quadrature | calcul gaussien | minimax | (chacun avec sa récurrence à trois termes : forme générale pour Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$, $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$). La théorie générale a fourni ce qu’aucune famille isolée ne montre : réalité et entrelacement des racines, positivité des poids de quadrature, la [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) existence de la récurrence et de Christoffel–Darboux — conséquences de l’orthogonalité seule, uniformes en le poids. **23.** Existence : l’application linéaire $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$, $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$, est injective (un $P$ dans le noyau a $n$ racines doubles et [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq 2n - 1$, donc $P = 0$) entre espaces de dimension égale $2n$ : bijective. Erreur ponctuelle : fixer $t$ non nœud et choisir $K$ pour que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ s’annule en $s = t$. Alors $g$ s’annule aux $n + 1$ points distincts $t, t_1, \dots, t_n$, et $g'$ s’annule aussi en chaque $t_i$ (à la fois $f - Hf$ et $p_n^2$ y ont des zéros doubles). Rolle donne $n$ zéros de $g'$ strictement entre les zéros consécutifs de $g$ — distincts des nœuds — donc $g'$ a $2n$ zéros distincts ; en appliquant Rolle $2n - 1$ fois de plus on produit $\xi_t$ avec $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$. Comme $\deg Hf \leq 2n - 1$ et $p_n^2$ est monique de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n$, $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$, d’où $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — et l’identité est triviale aux nœuds. Intégration : $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ($Hf$ coïncide avec $f$ aux nœuds) et $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ par exactitude jusqu’au [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2n - 1$ (question 9), donc l’erreur de quadrature est $\int(f - Hf)\,w$. Avec $m, M$ les extrema de $f^{(2n)}$ sur $I$, l’identité ponctuelle serre $$ \frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} , $$ et le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $f^{(2n)}$ livre $\xi$. (Pour Legendre avec $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$, donc l’erreur est $f^{(4)}(\xi)/135$.) **24.** Le noyau reproduit $\R_{n-1}[t]$ : en développant $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ on obtient $$ \int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i) $$ pour tout $q$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n - 1$. Prendre $q = \ell_i$ : le membre de gauche égale $\ell_i(t_i) = 1$. Mais $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ est un polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$, sur lequel $Q_n$ est exacte (question 9), et il s’annule en tout nœud $t_j \neq t_i$ (facteur $\ell_i$), donc $$ 1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} . $$ La somme est $> 0$ (son terme $k = 0$ est $1/h_0 > 0$) : la formule annoncée, et la positivité encore. Vérification ($n = 2$, Legendre) : $p_0 = 1$, $h_0 = 2$, $p_1 = t$, $h_1 = \frac23$ ; en $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$, $$ K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1, $$ comme trouvé à la question 11. **25.** En substituant $t = \cos\theta$, l’intégrale est $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, [Exercice 11.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#exo-b3-product-8)). La règle Chebyshev–Gauss $n = 3$ (question 17) a pour nœuds $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$, $\cos\frac\pi2 = 0$, $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ et des poids égaux $\frac\pi3$ : $$ Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} . $$ Prédiction : le polynôme orthogonal monique de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ est $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$, avec $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; et $f = t^6$ a $f^{(6)} = 720 = 6!$ constante, donc la question 23 donne l’erreur $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sans dépendance en $\xi$ restante, la formule est forcée d’être exacte, et elle l’est.