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title: "La transformée de Fourier"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier
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# Chapitre 14 — La transformée de Fourier

Les séries de Fourier décomposent les signaux périodiques en harmoniques discrètes ; la *transformée* de Fourier fait de même pour les signaux sur toute la droite, avec un continuum de fréquences. Elle convertit la dérivation en multiplication, la convolution en produits, et les gaussiennes en gaussiennes — les raisons pour lesquelles elle résout les équations différentielles, anime le traitement du signal, et prouvera le théorème central limite au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/23-fonctions-caracteristiques-et-theoreme-central-limite#ch-b3-clt). Ce chapitre développe la théorie $L^1$ (Riemann–Lebesgue, inversion, injectivité), la [classe de Schwartz](#def-b3-fouriertransform-schwartz) où la transformée est une bijection parfaite, et la théorie $L^2$ (Plancherel : la transformée est, à une constante près, un opérateur unitaire), avec deux applications vitrines : l’équation de la chaleur, résolue de bout en bout dans le problème du week-end, et la formule de sommation de Poisson. Convention :

$$
\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .
$$

## 14.1 La transformée sur $L^1$

**Proposition 14.1.**

Pour $f \in L^1(\R)$ : $\hat f$ est bien définie, bornée ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et :

1. $\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ et $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
2. $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat  f(\lambda\xi)$ pour $\lambda > 0$ ;
3. si $xf \in L^1$ , alors $\hat f$ est $\mathcal C^1$ avec $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
4. si $f \in \mathcal C^1$ avec $f' \in L^1$ (et $f \to  0$ en $\pm\infty$ , automatique ici), alors $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
5. $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ pour $f, g \in L^1$ .

**Démonstration.** Bornitude : $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$. Continuité : DCT avec dominante $\abs f$ ([Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont)). (1), (2) : changements de variables ([Théorème 11.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-linearchange)). (3) : dérivation sous l’intégrale, dominante $\abs{xf}$ ([Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)). (4) : d’abord, $f(x) =
f(0) + \int_0^xf'$ a une limite en $\pm\infty$ ($f' \in L^1$), qui doit être $0$ ($f \in L^1$) ; puis intégration par parties sur $[-A, A]$ et $A \to \infty$. (5) : Fubini, légitime car $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ est absolument [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) ([Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution)) :

$$
\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)}
\eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).
$$

∎

**Exemple 14.2.**

La gaussienne : pour $a > 0$,

$$
\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) =
\sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :
$$

par l’ [Exercice 10.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#exo-b3-lebesgue-7) (le tour de l’EDO $F' =
-\frac\xi{2}F$, rescalé), ou par (3) : $g =
\widehat{\eu^{-ax^2}}$ satisfait $g'(\xi) =
-\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (intégration par parties), $g(0) =
\sqrt{\pi/a}$. Les gaussiennes sont des points fixes de la transformée à un scaling près — la raison profonde pour laquelle elles règnent sur le théorème central limite.

**Théorème 14.3 (Riemann–Lebesgue).**

Pour $f \in L^1(\R)$ : $\hat f(\xi) \to 0$ quand $\abs\xi \to
\infty$. Ainsi $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal
C_0(\R)$ (fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) s’annulant à l’infini).

**Démonstration.** Pour un indicateur d’intervalle, $\widehat{\mathbf 1_{\intcc
ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi}
\to 0$ ; d’où pour les fonctions en escalier. Les fonctions en escalier sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $L^1$ ([Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)(1) plus approximation des ensembles de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie par unions finies d’intervalles, [Exercice 9.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#exo-b3-measure-7)), et la transformée est $\norm\cdot_\infty$-$\norm\cdot_1$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : pour $\norm{f -
s}_1 < \varepsilon$, $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat
f(\xi)} \leq \varepsilon$. ∎

## 14.2 Inversion et injectivité

**Lemme 14.4 (Formule de multiplication).**

Pour $f, g \in L^1(\R)$ : $\displaystyle\int \hat f\,g =
\int f\,\hat g$.

**Démonstration.** Les deux côtés valent $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd
x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini : l’intégrale double de la valeur absolue est $\norm f_1\norm g_1$). ∎

**Théorème 14.5 (Inversion).**

Soit $f \in L^1(\R)$.

1. (Sommabilité gaussienne) Pour tout $x$, $$(f * g_\varepsilon)(x) =  \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,  \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi,  \qquad\text{où } g_\varepsilon(y) =  \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\,  \eu^{-y^2/4\varepsilon},$$ et $f * g_\varepsilon \to f$ dans $L^1$ quand $\varepsilon \to 0$.
2. Si de plus $\hat f \in L^1$, alors pour presque tout $x$ $$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat  f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$$ et $f$ admet un représentant continu.
3. (Injectivité) Si $\hat f = 0$ alors $f = 0$ p.p.

**Démonstration.** (1) Fixons $x$ et appliquons [Lemme 14.4](#lem-b3-fouriertransform-multiplication) à $f$ et $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$ : par l’ [Exemple 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) (avec la règle de modulation),

$$
\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\,
\eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),
$$

donc $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2}
\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y =
(f*g_\varepsilon)(x)$. Les $g_\varepsilon$ forment une approximation de l’identité : $g_\varepsilon \geq 0$, $\int g_\varepsilon = 1$ (intégrale gaussienne), se concentrant en $0$ ; la preuve du [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)(2) s’applique mot pour mot (seuls $\int g_\varepsilon = 1$ et la concentration intervenaient : pour la queue, $\int_{\abs y >
\delta}g_\varepsilon \to 0$) : $\norm{f * g_\varepsilon -
f}_1 \to 0$.

(2) Si $\hat f \in L^1$ : le membre de droite de (1) converge, par DCT (dominante $\abs{\hat f}$), vers $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ pour *tout* $x$, et cette fonction limite est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (DCT encore). D’autre part $f * g_\varepsilon \to f$ dans $L^1$, donc le long d’une sous-suite p.p. ([Théorème 12.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-complete)) : les deux limites coïncident p.p.

(3) $\hat f = 0$ annule le membre de droite de (1) : $f *
g_\varepsilon = 0$ pour tout $\varepsilon$, et $f *
g_\varepsilon \to f$ dans $L^1$ : $f = 0$ p.p. ∎

## 14.3 La classe de Schwartz

**Définition 14.6.**

La *classe de Schwartz* $\mathcal S(\R)$ est constituée des fonctions $\mathcal
C^\infty$ $f$ telles que $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ pour tous $m, n \geq 0$ (toutes les dérivées décroissent plus vite que toute puissance). Exemples : $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Clairement $\mathcal S \subseteq L^p$ pour tout $p$ (majorer par $C(1 + x^2)^{-1}$), et $\mathcal S$ est stable par dérivation, multiplication par des polynômes, et produits.

**Théorème 14.7.**

La transformée de Fourier envoie $\mathcal S(\R)$ bijectivement sur lui-même, avec inverse $\check g(x) =
\frac1{2\pi}\int g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$.

**Démonstration.** Soit $f \in \mathcal S$. En itérant [Proposition 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(3), $(\hat f)^{(n)} =
\widehat{(-\iu x)^nf}$ (chaque $x^kf \in L^1$) ; en itérant (4) avec $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (toutes les dérivées [intégrables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)), $(\iu\xi)^m\hat h =
\widehat{h^{(m)}}$. En combinant,

$$
\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)}
= \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr|
\leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty
$$

uniformément en $\xi$ : $\hat f \in \mathcal S$. Puisque $\hat f \in L^1$, l’inversion ([Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) vaut partout (les deux côtés continus) : $\check{\hat f} = f$, et symétriquement $\widehat{\check g} = g$ (la transformée check est $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$, préservant encore $\mathcal S$) : bijection. ∎

## 14.4 Plancherel et $L^2$

**Théorème 14.8 (Plancherel).**

Pour $f \in L^1 \cap L^2(\R)$ :

$$
\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .
$$

Par suite $\widehat{\phantom f}$ se prolonge de façon unique en une application linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\mathcal F \colon
L^2(\R) \to L^2(\R)$ avec $\norm{\mathcal Ff}_2 =
\sqrt{2\pi}\norm f_2$ ; $\mathcal F$ est bijective, avec $\mathcal F^{-1} = \frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ où $\sigma f = f(-\cdot)$, et elle préserve les [produits scalaires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) à un facteur $2\pi$ près.

**Démonstration.** Soit $f \in L^1\cap L^2$ et $h = f * \tilde f$ avec $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$. Alors $h \in L^1$ ([Théorème 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-convolution)), $h$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et bornée ([Exercice 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#exo-b3-lp-6) : $f, \tilde f \in L^2$), $h(0) =
\int f\bar f = \norm f_2^2$, et $\hat h = \hat
f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} =
\abs{\hat f}^2 \geq 0$ (calculer $\widehat{\tilde f} =
\overline{\hat f}$). Appliquons [Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(1) à $h$ en $x =
0$ :

$$
(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat
h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .
$$

Quand $\varepsilon \to 0$ : le membre de gauche tend vers $h(0)$ ($h$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée : $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) =
\int(h(-y) - h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ en scindant petit/grand $y$) ; le membre de droite croît vers $\frac1{2\pi}\int\hat h$ par MCT ($\hat h \geq 0$). D’où $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$, fini ou non *a priori* — et fini, prouvant à la fois l’appartenance et l’identité.

Prolongement : $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $L^2$ ([Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)) ; la transformée y est $\sqrt{2\pi}$-isométrique, donc se prolonge de façon unique en une isométrie-à-constante-près $\mathcal F$ sur $L^2$ ([Théorème 7.2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)). L’inversion pour $\mathcal S$ ([Théorème 14.7](#thm-b3-fouriertransform-schwartz)) se transfère par la même [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (les deux côtés $L^2$-continus) : $\mathcal F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ sur $\mathcal S$, donc sur $L^2$ : bijectivité. [Produits scalaires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) : polarisation à partir de l’identité des normes. ∎

**Théorème 14.9 (Sommation de Poisson).**

Soit $f \in \mathcal S(\R)$ ($f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec $\abs{f} +
\abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ suffit). Alors

$$
\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .
$$

**Démonstration.** Soit $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$ : la série converge normalement sur les compacts (décroissance de $f$), donc $F$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et $1$-périodique. Ses coefficients de Fourier (période $1$ : $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd
t$) :

$$
c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t
= \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)
$$

(la convergence normale justifie l’interversion ; la phase est $1$-périodique). La série $\sum_k\abs{c_k(F)}$ converge (décroissance de $\hat f$), donc la série de Fourier de $F$ converge normalement ; sa somme est une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de mêmes coefficients de Fourier que $F$, donc égale à $F$ (injectivité sur le cercle : la différence a des coefficients nuls, et le [Théorème 13.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier) donne zéro dans $L^2$, donc partout par continuité). On évalue en $x = 0$. ∎

**Exemple 14.10 (L’identité thêta).**

En appliquant Poisson à $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ($t > 0$), dont la transformée est $\hat f(\xi) =
t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ([Exemple 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) avec $a = \pi t$) :

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t}
= \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :
$$

l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Jacobi, clé de l’équation fonctionnelle du $\zeta$ de Riemann — et un accélérateur numérique spectaculaire : pour $t$ petit, le membre de gauche converge lentement, le membre de droite fulgurant.

**Méthode 14.11.**

Domaines de travail : $L^1$ — transformée définie ponctuellement, l’inversion exige $\hat f \in L^1$ ; $\mathcal S$ — tout est légal, prouver d’abord ici ; $L^2$ — transformée définie par [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) (pas par l’intégrale !), symétrie parfaite, comptabilité de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval). Pour calculer une transformée : se ramener à la table (indicateur, exponentielle, gaussienne) par les règles du [Proposition 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic) ; pour prouver une identité : l’établir sur $\mathcal S$ (ou $\mathcal
C_c^\infty$) et prolonger par [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) et continuité ([Méthode 12.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#met-b3-lp-toolkit)) ; pour résoudre une EDP ou EDO linéaire à coefficients constants : transformer, diviser, inverser.

![Le noyau de la chaleur g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t à trois temps : masse totale 1 pour toujours, hauteur t-1/2, largeur √ t. Convoler les données initiales avec cette gaussienne qui s’étale, c’est tout le contenu du problème du week-end ; en fréquence, le même tableau se lit g_t( ) = -t 2 — les hautes fréquences meurent d’abord, et cette asymétrie est la flèche du temps.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-fouriertransform/fig-22725c4b9b19.svg)

*Le [noyau de la chaleur](#pb-b3-fouriertransform-1) $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ à trois temps : masse totale $1$ pour toujours, hauteur $\sim t^{-1/2}$, largeur $\sim \sqrt t$. Convoler les données initiales avec cette gaussienne qui s’étale, c’est tout le [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) du problème du week-end ; en fréquence, le même tableau se lit $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — les hautes fréquences meurent d’abord, et cette asymétrie est la flèche du temps.*

## 14.5 Exercices

**Exercice 14.1 ★.**

Calculer les transformées de Fourier de : $\mathbf
1_{\intcc{-a}a}$ ; $\eu^{-a\abs x}$ ($a > 0$) ; la fonction tente $\max(0, 1 - \abs x)$ ; $\frac1{x^2 + a^2}$ *(utiliser l’inversion sur la seconde)*. Noter la table qui émerge.

**Solution de Exercice 14.1.**

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) =
\int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (valeur $2a$ en $0$). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a +
\iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} +
\frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$. Tente : $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$, donc sa transformée est $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 =
\bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$. Dernière : $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$, donc l’inversion ([Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) appliquée à $\eu^{-a\abs x}$ donne, après renommage des variables,

$$
\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) =
\frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .
$$

**Exercice 14.2 ★.**

Soit $f \in L^1$. Exprimer en termes de $\hat f$ les transformées de : $f(x - a)$, $f(x)\cos(bx)$, $f(ax + b)$, $\overline{f(-x)}$, $(f * f)(x)$. Vérifier chaque règle sur la gaussienne.

**Solution de Exercice 14.2.**

D’après la [Proposition 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic) : $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ ; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat
f(\xi + b)\bigr)$ ; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu
b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ($a > 0$) ; $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$ ; $\widehat{f * f} = \hat f^2$. Sur la gaussienne ($\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$) chaque règle est une vérification d’une ligne — p. ex. $\eu^{-(x-a)^2}$ a pour transformée $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$, que le calcul direct (compléter le carré) confirme.

**Exercice 14.3 ★★.**

(a) Montrer que $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf
1_{\intcc{-1}1}$ a pour transformée $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2$, et en déduire $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ par Plancherel — ou par inversion en $0$. Comparer le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1). (b) Calculer $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ via Plancherel appliqué à $\eu^{-\abs x}$.

**Solution de Exercice 14.3.**

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ a $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$ ; l’inversion en $x = 0$, où $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1)
= 2$ :

$$
2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2
\dd\xi
\ \Longrightarrow\
\int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,
$$

cohérent avec $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} =
\frac\pi2$ ([Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#pb-b3-lebesgue-1)).

(b) Plancherel pour $f = \eu^{-\abs x}$ : $\int\abs{\hat f}^2 =
2\pi\int\abs f^2$ se lit $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} =
2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$ : $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$.

**Exercice 14.4 ★★.**

(Algèbre du [noyau de la chaleur](#pb-b3-fouriertransform-1)) Avec $g_t(x) =
\frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : (a) vérifier $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ ; (b) en déduire la loi de semigroupe $g_t * g_s = g_{t+s}$ sans aucun calcul d’intégrale ; (c) montrer $\norm{g_t}_1 = 1$ et $\norm{g_t}_2^2 =
(8\pi t)^{-1/2}$.

**Solution de Exercice 14.4.**

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : par l’ [Exemple 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) avec $a = \frac1{4t}$, $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi
t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$. (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$, et la transformée est injective sur $L^1$ ([Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3)) : $g_t * g_s =
g_{t+s}$. (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (intégrale gaussienne) ; $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x =
\frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$.

**Exercice 14.5 ★★.**

Montrer que si $f \in L^1$ est paire et réelle, $\hat f$ est paire et réelle ; si $f$ est impaire et réelle, $\hat f$ est impaire et purement imaginaire. Que calcule $\hat f(0)$ ? En déduire que $f \geq 0$ force $\norm{\hat f}_\infty = \hat
f(0) = \int f$, et interpréter pour les [densités](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilité ([Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/23-fonctions-caracteristiques-et-theoreme-central-limite#ch-b3-clt) : une fonction caractéristique a un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $\leq 1$, atteint en $0$).

**Solution de Exercice 14.5.**

Pour $f$ réelle paire : $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (la partie sinus s’annule) : réelle et paire. Impaire : $\hat
f(\xi) = -\iu\int f\sin(\xi x)$ : impaire, purement imaginaire. $\hat f(0) = \int f$ : la masse totale. Si $f \geq
0$ : $\abs{\hat f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat
f(0)$, donc le sup est atteint en $0$. Pour une [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de probabilité, $\hat f(-\xi)$ est la fonction caractéristique du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/23-fonctions-caracteristiques-et-theoreme-central-limite#ch-b3-clt) : [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $\leq 1$ partout, $= 1$ à l’origine.

**Exercice 14.6 ★★★.**

(Non-surjectivité) Montrer que $\widehat{\phantom f}\colon
L^1 \to \mathcal C_0$ est injective et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), mais *pas* surjective, en trois étapes. (i) Injectivité ([Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) et continuité ($\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$), et $\mathcal C_0$ est un espace de Banach (fermé dans $\norm\cdot_\infty$). (ii) Si l’application était surjective, elle serait bijective, et le théorème de l’application ouverte ([Théorème 8.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#thm-b3-banach-openmapping)) donnerait une constante $C$ avec $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ pour tout $f \in
L^1$. (iii) Contredire ceci avec $f_n(x) = \frac{\sin
x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : sa transformée est (à des constantes près) la convolution $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} *
\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$-type trapèze — montrer $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniformément, tandis que $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ en comptant les arches de $\frac{\abs{\sin x}}x$ sur $[1, n]$ (où le second facteur est minoré), comme au [Théorème 8.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#thm-b3-banach-fourierdiverge).

**Solution de Exercice 14.6.**

(i) L’injectivité est [Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(3) ; la continuité est $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (à valeurs dans $\mathcal C_0$ par Riemann–Lebesgue) ; $\mathcal C_0$ est fermé dans la norme uniforme (limites uniformes de fonctions s’annulant à l’infini s’annulent à l’infini) : Banach.

(ii) Une bijection [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) entre espaces de Banach a un inverse continu ([Théorème 8.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#thm-b3-banach-openmapping)) : il existerait $C$ avec $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$.

(iii) Soit $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : un produit de deux fonctions $L^2$, et $O(x^{-2})$ à l’infini, donc $f_n \in L^1\cap L^2$. Comme $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ a pour transformée $L^2$ $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$, la formule du produit $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (valide pour $g,
h \in L^2$ avec $gh \in L^1$ ; la vérifier sur les fonctions de Schwartz par Fubini et prolonger par $L^2$-continuité des deux côtés via Plancherel) donne

$$
\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf
1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf
1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):
$$

un trapèze de hauteur $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$ : $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ pour tout $n$. Mais sur $[1,
n]$, $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$, donc

$$
\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x
\geq c\ln n
$$

(comptage d’arches, comme au [Théorème 8.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#thm-b3-banach-fourierdiverge)). La borne $\norm{f_n}_1
\leq C\pi$ échoue pour $n$ grand : non surjective. (L’image est un sous-espace [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) — par des arguments de type Stone–Weierstrass — mais propre de $\mathcal C_0$.)

**Exercice 14.7 ★★.**

(Dictionnaire régularité $\leftrightarrow$ décroissance) Prouver : $f \in L^1$ avec $\hat f(\xi) =
O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ pour un $\delta > 0$ implique que $f$ admet un représentant $\mathcal C^k$. Réciproquement $f
\in \mathcal C^k_c$ implique $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$. Illustrer les deux sens sur la fonction tente.

**Solution de Exercice 14.7.**

Si $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ : alors $\xi^j\hat
f \in L^1$ pour $0 \leq j \leq k$ ([intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) à l’infini par la décroissance, localement par continuité de $\hat f$). L’inversion ([Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)(2)) représente $f$ p.p. par $x \mapsto
\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$, et la dérivation sous l’intégrale (dominantes $\abs{\xi^j\hat f}$) rend ce représentant $\mathcal C^k$. Réciproquement pour $f
\in \mathcal C_c^k$ : en itérant [Proposition 14.1](#prop-b3-fouriertransform-basic)(4), $(\iu\xi)^k\hat f =
\widehat{f^{(k)}}$, donc $\abs{\hat f} \leq
\norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$. Fonction tente : [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact ($k = 0$ : transformée bornée), et sa transformée $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ renvoie, par le premier sens, un représentant $\mathcal C^0$ — les deux aigus : la tente n’est pas $\mathcal C^1$, et sa transformée ne décroît pas plus vite que $\xi^{-2}$.

**Exercice 14.8 ★★★.**

(Inégalité de Heisenberg) Pour $f \in \mathcal S(\R)$ réelle avec $\norm f_2 = 1$, prouver

$$
\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot
\Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr)
\;\geq\; \frac14 ,
$$

avec égalité pour les gaussiennes. *(Écrire $1 = \int
f^2 = -\int x\,(f^2)'$ par parties, majorer par Cauchy–Schwarz, et convertir $\norm{f'}_2$ par Plancherel.)* Interprétation : un signal et son spectre ne peuvent pas être tous deux concentrés.

**Solution de Exercice 14.8.**

Intégration par parties ($f \in \mathcal S$ ; termes de bord nuls) :

$$
1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int
x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .
$$

Plancherel et $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ : $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$. En élevant au carré l’affichage :

$$
\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi}
\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .
$$

L’égalité exige l’égalité dans Cauchy–Schwarz : $f' =
\lambda xf$ avec $\lambda < 0$ (intégrabilité), i.e. $f(x) =
c\,\eu^{\lambda x^2/2}$ : les gaussiennes. Un signal concentré en $x$ (petit $\norm{xf}_2$) doit avoir un spectre étalé, et réciproquement : le principe d’incertitude.

**Exercice 14.9 ★★.**

Justifier l’ [Exemple 14.10](#ex-b3-fouriertransform-theta) en détail (hypothèses de Poisson pour la gaussienne), et utiliser l’identité pour évaluer $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ à six décimales avec trois termes. Combien de termes de la série *définissante* la même précision exigerait-elle en $t =
10^{-2}$, contre la série transformée ?

**Solution de Exercice 14.9.**

La gaussienne $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ est de Schwartz, donc [Théorème 14.9](#thm-b3-fouriertransform-poisson) s’applique, et $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ; en $\xi = 2\pi
k$ le membre de droite devient $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$ : l’identité thêta. En $t = 1$ :

$$
\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} +
\cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,
$$

précis à $6$ décimales avec trois termes ($\eu^{-9\pi}
\approx 5\cdot10^{-13}$). En $t = 10^{-2}$ : la série définissante exige $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$, i.e. $n
\gtrsim 23$ — environ $47$ termes — tandis que la série transformée est $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$, où déjà le terme $k = 1$ est $\sim 10^{-136}$ : un seul terme suffit.

**Exercice 14.10 ★★.**

(Fonctions à bande limitée) Soit $f \in L^2(\R)$ avec $\mathcal Ff$ supportée dans $\intcc{-\pi}\pi$. Montrer que $f$ admet un représentant dont chacune des valeurs est récupérable à partir d’échantillons : prouver l’*interpolation de Shannon* aux entiers,

$$
f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\,
\frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)}
\quad\text{dans } L^2,
$$

en développant $\mathcal Ff$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de Fourier de $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ ([Théorème 13.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier)) et en retransformant terme à terme.

**Solution de Exercice 14.10.**

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq
L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ ([mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie), donc l’inversion donne le représentant continu $f(x) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu
x\xi}\dd\xi$, avec

$$
f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal
Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal
Ff\rangle
$$

dans les notations du [Théorème 13.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier). En développant dans cette [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) : $\mathcal Ff =
\sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ dans $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$. Appliquer le $\mathcal F^{-1}$ $L^2$-continu terme à terme :

$$
\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf
1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x)
= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi
= \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,
$$

donnant $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ dans $L^2$ : un signal à bande limitée est déterminé par ses échantillons entiers — le théorème d’échantillonnage de Shannon.

**Exercice 14.11 ★★.**

(La transformée comme opérateur d’ordre quatre) Sur $\mathcal
S(\R)$, soit $\mathcal F f = \hat f$. (a) En utilisant la formule d’inversion, montrer $(\mathcal
F^2f)(x) = 2\pi\,f(-x)$, et en déduire $\mathcal F^4 =
(2\pi)^2\,\mathrm{id}$. (b) En déduire que toute valeur propre de $\mathcal F$ sur $\mathcal S$ appartient à $\{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$, et exhiber une fonction propre pour $+\sqrt{2\pi}$ *(quelle fonction de ce chapitre est proportionnelle à sa propre transformée ?)*. (c) Montrer que les fonctions paires satisfont $\mathcal F^2f
= 2\pi f$ et les impaires $\mathcal F^2f = -2\pi f$ ; produire une fonction propre pour la valeur propre $-\iu\sqrt{2\pi}$ à partir de $x\eu^{-x^2/2}$ en calculant sa transformée (dériver la transformée de la gaussienne).

**Solution de Exercice 14.11.**

(a) Inversion sur $\mathcal S$ : $f(x) =
\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi =
\frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$, i.e. $(\mathcal
F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$. En appliquant deux fois : $\mathcal
F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$.

(b) Si $\mathcal Ff = \lambda f$ avec $f \neq 0$ : $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$, donc $\lambda^4 =
(2\pi)^2$ : $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi},
\pm\iu\sqrt{2\pi}\}$. La gaussienne $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ a $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ ([Exemple 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian) en $a = \frac12$) : fonction propre pour $+\sqrt{2\pi}$.

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ égale $\pm2\pi f$ selon la parité. Pour $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$ : en dérivant $\hat
g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ avec la règle $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ :

$$
\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi}
\eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2}
= -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :
$$

une fonction propre pour $-\iu\sqrt{2\pi}$. (Les fonctions d’Hermite poursuivent le motif, cycleant à travers les quatre valeurs propres — l’horloge de Fourier discrète.)

**Exercice 14.12 ★★.**

(Autocorrélation et lemme de Wiener) Pour $f \in L^2(\R)$ définir $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ et l’*autocorrélation* $A_f = f * \tilde f$. (a) Montrer que $A_f$ est une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée avec $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ pour tout $x$ ([Exercice 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#exo-b3-lp-6) et Cauchy–Schwarz). (b) Montrer, d’abord pour $f \in L^1\cap L^2$, que $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$ : l’autocorrélation a une transformée positive — les spectres d’autocorrélations sont des spectres de puissance. (c) En déduire l’identité $\int_\R\abs{\hat
f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (inversion ; justifier son applicabilité quand $\hat f \in L^2$ a $\abs{\hat f}^2 \in L^1$), et l’évaluer pour $f = \mathbf
1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ en $x = 0$ : retrouver $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$.

**Solution de Exercice 14.12.**

(a) $\tilde f \in L^2$ avec $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$ ; [Exercice 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#exo-b3-lp-6) (exposants conjugués $p = q = 2$) rend $A_f = f * \tilde f$ bornée et uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), avec

$$
A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y,
\qquad A_f(0) = \norm f_2^2,
\qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot -
x)}_2 = A_f(0)
$$

par Cauchy–Schwarz.

(b) Pour $f \in L^1\cap L^2$ : $\tilde f \in L^1$ aussi, et le théorème de convolution donne $\widehat{A_f} = \hat f\,
\widehat{\tilde f}$ ; en calculant, $\widehat{\tilde f}(\xi)
= \int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x =
\overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} =
\overline{\hat f(\xi)}$ : $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2
\geq 0$.

(c) Quand $\abs{\hat f}^2 \in L^1$, l’inversion s’applique à la [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $A_f$ (sa transformée est [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) ; [Théorème 14.5](#thm-b3-fouriertransform-inversion)) :

$$
A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2
\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .
$$

Pour $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ : $\hat f(\xi) =
\frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$, et en $x = 0$ :

$$
1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R
\Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi
= \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u
$$

($\xi = 2u$), i.e. $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd
u = \pi$ — l’intégrale favorite de Plancherel, retrouvée par autocorrélation.

## 14.6 Problème : l’équation de la chaleur sur la droite

**Problème 14.1.**

Problème du week-end — $\partial_tu =
\partial^2_{xx}u$, résolue de bout en bout

La chaleur se propage ; l’équation $\partial_tu =
\partial_{xx}^2u$ dit que sa [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) diffuse à un taux donné par la courbure locale du profil de température. Nous résolvons le problème de Cauchy sur $\R$ — étant donné $f$, trouver $u(t, x)$ pour $t > 0$ avec $u(0, \cdot) = f$ — prouvons les propriétés remarquables de la solution, et voyons pourquoi le temps ne peut pas être inversé. Tout au long, $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ est le *noyau de la chaleur* et $u(t, \cdot) = g_t * f$.

**Partie I — Dériver le noyau.** Travailler d’abord formellement : supposer $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ résout l’équation, et soit $\hat u(t, \xi)$ la transformée en $x$.

1. Montrer (formellement) $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ , d’où $\hat u(t,\xi) =  \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , et reconnaître $u(t) =  g_t * f$ ( [Exercice 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4) ). Ceci motive la *définition* de $u$ ; tout est désormais prouvé directement, pour $f \in \mathcal  C_b(\R)$ ( [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée) ou $f \in L^p$ .

**Partie II — Vérification.**

2. Montrer que pour $t > 0$ , $u(t, x) = \int  g_t(x-y)f(y)\dd y$ est bien définie pour $f \in  \mathcal C_b$ , et que $u$ est $\mathcal C^\infty$ en $(t, x)$ sur $\intoo0\infty\times\R$ *(dériver sous l’intégrale ; dominer les dérivées gaussiennes localement uniformément en $(t,x)$)* .
3. Vérifier $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ par calcul direct, et en déduire $\partial_tu =  \partial^2_{xx}u$ pour $t > 0$ .
4. (Condition initiale) Montrer que pour $f \in \mathcal  C_b$ , $u(t, x) \to f(x)$ quand $t \to 0^+$ , uniformément sur les compacts *(approximation de l’identité : scinder $\abs y \leq \delta$, $\abs y >  \delta$)* ; pour $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ), montrer $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
5. (Lissage instantané) Conclure : même pour $f$ seulement [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, la solution est $\mathcal  C^\infty$ pour tout $t > 0$ — la chaleur efface instantanément les rugosités. Calculer $u(t, \cdot)$ explicitement pour $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (une fonction d’erreur) et croquer son profil pour trois valeurs de $t$ .

**Partie III — Propriétés structurelles.**

6. (Positivité et comparaison) Si $f \geq 0$ alors $u >  0$ pour tout $t > 0$ (strictement, sauf si $f = 0$ p.p.) ; si $f_1 \leq f_2$ alors $u_1 \leq u_2$ . Un point froid se réchauffe instantanément : commenter.
7. (Conservation) Pour $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x =  \int f$ pour tout $t$ *(Tonelli)* — la chaleur totale est conservée.
8. (Dissipation) Pour $f \in L^1\cap L^2$ , montrer via Plancherel que $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ est décroissante, strictement sauf si $f = 0$ , et calculer sa limite quand $t \to \infty$ . Montrer de plus $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm  f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : la chaleur s’étale et meurt.
9. (Unicité, classe $L^2$ ) Soit $u$ une solution avec $u(t) \in L^2$ pour tout $t$ , $u \in \mathcal  C^1(\intoo0\infty, L^2)$ au sens naturel et $u(t)  \to f$ dans $L^2$ quand $t\to0$ ; en admettant que la transformée la convertit en $\partial_t\hat u =  -\xi^2\hat u$ ponctuellement p.p. en $\xi$ pour p.p. $t$ *(justifié en testant contre $\mathcal C_c^\infty$ en $\xi$ — esquisse)* , montrer $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , d’où l’unicité dans cette classe.

**Partie IV — La flèche du temps.**

10. Montrer que le problème *rétrograde* est mal posé : pour que la solution existe au temps $-s$ ( $s  > 0$ ) avec donnée $f$ au temps $0$ — i.e. pour que $f = g_s * h$ ait une solution $h \in L^2$ — il est nécessaire que $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : une condition extrême de décroissance sur $\hat f$ . Exhiber une $f \in L^2$ lisse explicite pour laquelle aucune solution rétrograde n’existe sur aucun intervalle de temps : prendre la fonction avec $\hat  f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ — identifier $f$ ( [Exercice 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1) ) et montrer $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ pour tout $s  > 0$ .
11. (Lissage vs. information) Expliquer en un court paragraphe, en utilisant les questions 5, 9 et 10, pourquoi le semigroupe de la chaleur $(f \mapsto g_t  * f)_{t\geq0}$ est injectif mais non surjectif sur $L^2$ , et pourquoi cela exprime l’irréversibilité de la diffusion.

**Partie V — Le théorème d’échantillonnage de Shannon.** Une fonction $f \in L^2(\R)$ est *à bande limitée* à $\Omega$ si $\hat f = 0$ p.p. hors de $\intcc{-\Omega}\Omega$ ; on note $PW_\Omega$ (espace de Paley–Wiener) pour celles-ci.

12. Montrer que toute $f \in PW_\Omega$ coïncide p.p. avec la fonction $\mathcal C^\infty$ $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat  f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (justifier la régularité et l’identification), avec toutes les dérivées bornées : la limitation de bande est une forme extrême de régularité. Désormais $f$ désigne ce représentant.
13. Développer $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de Fourier de cet intervalle et identifier les coefficients comme des *échantillons* de $f$ : $$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z}  f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\,  \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}  \quad\text{dans } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$$
14. En déduire le *théorème d’échantillonnage* : pour $f \in PW_\Omega$, $$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi}  \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),  \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$$ avec convergence dans $L^2(\R)$ et uniformément sur $\R$ *(injecter la série de la question 13 dans la formule d’inversion et calculer l’intégrale élémentaire)* : un signal à bande limitée est entièrement déterminé par ses valeurs sur une grille de pas $\pi/\Omega$ — le taux de Nyquist.
15. Montrer que les fonctions $x \mapsto  \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , forment une famille orthogonale dans $L^2(\R)$ de norme constante $\sqrt{\pi/\Omega}$ , et en déduire l’identité d’énergie $\norm f_2^2 =  \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
16. (Repliement de spectre) Exhiber une $g \in  PW_{2\Omega}$ non nulle s’annulant en tout point d’échantillon $\frac{n\pi}\Omega$ *(considérer $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ et vérifier sa bande)* : échantillonner sous le taux de Nyquist perd de l’information — deux signaux différents peuvent partager tous les échantillons : l’effet stroboscopique des roues de chariot, mathématisé.
17. ( [Degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) de liberté) En utilisant les questions 14–15, justifier la règle d’ingénierie : un signal à bande limitée à $\Omega$ dont l’énergie est essentiellement portée par une fenêtre temporelle de longueur $T$ est décrit par environ $\frac{\Omega T}\pi$ échantillons réels — rendre « essentiellement » précis via l’identité d’énergie et la queue $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ .
18. (Vérifications de cohérence) Vérifier le théorème d’échantillonnage à la main sur deux membres de $PW_\Omega$ : (a) $f = \operatorname{sinc}(\Omega  \,\cdot)$ , dont les échantillons sont $\delta_{n0}$ ; (b) des signaux à bande étroite du type $f(x) =  \cos(\omega x)\operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — plus précisément, montrer que pour $f \in  PW_{\Omega'}$ avec $\Omega' < \Omega$ , la série au taux $\Omega$ reconstruit aussi $f$ (le sur-échantillonnage est inoffensif), en plongeant $PW_{\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ .

**Partie VI — Incertitude, deux fois encore.** L’inégalité de Heisenberg ([Exercice 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8)) borne *à quel point* $f$ et $\hat f$ peuvent être conjointement concentrées ; voici sa sœur du tout-ou-rien et sa saturation exacte.

19. Soit $f \in L^1$ avec $\operatorname{supp}f \subseteq  \intcc{-A}A$. Montrer que $\hat f$ est la somme d’une série entière partout convergente : $$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}  \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x,  \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$$ *(développer $\eu^{-\iu\xi x}$ et justifier l’interversion par convergence normale)* : la transformée est *réelle-analytique*, de rayon de convergence infini en tout point.
20. En déduire la dichotomie de support : une fonction réelle-analytique s’annulant sur un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) non vide s’annule identiquement *(l’ensemble où toutes les dérivées s’annulent est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et fermé — dérouler l’argument de Taylor)* ; conclure qu’aucune $f$ non nulle n’a à la fois $f$ et $\hat f$ à support compact, et que $PW_\Omega$ ne contient aucune fonction non nulle à support compact — les signaux à bande limitée durent pour toujours, et les signaux à temps limité fuient vers toutes les fréquences.
21. (Saturation de Heisenberg) Sur la famille gaussienne $f = \eu^{-ax^2}$ , calculer les deux facteurs de concentration et vérifier que le produit normalisé $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int  \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ vaut $\frac14$ pour *tout* $a$ — la famille d’égalité du [Exercice 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) en chair et en os ; expliquer par un argument de scaling pourquoi le produit doit être constant le long de la famille.
22. Expliquer la lecture physique ( [densités](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de position/impulsion d’un état quantique ; $\hbar$ dans la normalisation donne $\sigma_x\sigma_p \geq  \frac\hbar2$ ), et relier à travers le chapitre : lissage instantané (Partie II), irréversibilité (Partie IV), échantillonnage (Partie V), Heisenberg et la dichotomie de support sont cinq expressions d’une même loi — le comportement de $\hat f$ à l’infini légifère ce que $f$ peut faire n’importe où.

**Partie VII — L’algèbre du noyau, et un exemple solvable.**

23. (Semigroupe) Prouver l’*identité de Chapman–Kolmogorov* $g_t * g_s = g_{t+s}$ pour $t, s  > 0$ (via le théorème de convolution et l’injectivité de la transformée sur $L^1$), et en déduire $u(t + s) = g_s * u(t)$ : évoluer pendant le temps $t + s$ c’est évoluer pendant $t$, puis pendant $s$. Affiner la dissipation de la question 8 : en écrivant $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int  \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, montrer par Cauchy–Schwarz que $$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2  \quad\text{est convexe sur } \intoo0{+\infty} :$$ l’énergie $L^2$ ne diminue pas seulement, elle diminue de façon log-convexe.
24. (Où va la chaleur) Soit $f \geq 0$, $f \in L^1$, avec $\int x^2f(x)\dd x < \infty$. Montrer que pour tout $t > 0$ $$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x,  \qquad  \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x  = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$$ le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de chaleur ne bouge jamais, et la variance croît *linéairement* en temps — le scaling diffusif $x \sim \sqrt{2t}$, à relire quand le mouvement brownien apparaîtra au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability). *(Calculer les deux premiers moments de $g_t$ et utiliser Tonelli sur la convolution.)*
25. (La gaussienne, résolue de bout en bout) Pour $f(x) =  \eu^{-x^2}$, établir la forme fermée $$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\,  \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$$ et vérifier dessus, à la main : l’équation $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ; la conservation $\int u(t) = \sqrt\pi$ ; la loi de dissipation $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (comparer sa décroissance en $t^{-1/4}$ avec la décroissance en $t^{-1/2}$ de la norme uniforme de la question 8) ; et la croissance exacte de variance de la question 24. En $t = 6$ : le pic est tombé au $\frac15$ de sa hauteur initiale tandis que le profil est cinq fois plus large — même chaleur, étalée.

**Solution de Problème 14.1.**

**1.** En transformant l’équation en $x$ (formellement) : $\partial_t\hat u(t,\xi) =
\widehat{\partial^2_{xx}u} = (\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat
u$, une EDO en $t$ pour chaque fréquence : $\hat u(t,\xi) =
\eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$. Comme $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ ([Exercice 14.4](#exo-b3-fouriertransform-4)), le produit est la transformée de $g_t * f$.

**2.** $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm
f_\infty$ : bien définie. Sur $[t_0, T]\times[-A, A]$ : chaque dérivée mixte $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ est un polynôme en $(x - y)$ et $t^{-1}$ fois $\eu^{-(x-y)^2/4t}$, bornée pour $\abs y \geq 2A$ par $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$, une dominante [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) indépendante de $(t, x)$ dans la fenêtre (et bornée pour $\abs y \leq 2A$) : la dérivation répétée sous l’intégrale ([Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) s’applique : $u \in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$.

**3.** Avec $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi
t}}\eu^{-x^2/4t}$ :

$$
\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr)
= \partial^2_{xx}g_t
$$

(dériver deux fois en $x$ : $\partial_xg_t = -\frac
x{2t}g_t$, $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} -
\frac1{2t}\bigr)g_t$). Par la question 2 les dérivées passent sous l’intégrale : $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$.

**4.** $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) -
f(x)\bigr)\dd y$. Pour un compact $K$ et $\varepsilon$ : la continuité uniforme de $f$ sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $K$ donne $\delta$ avec $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ pour $x \in
K$, $\abs y \leq \delta$ ; la queue contribue $\leq 2\norm
f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm
f_\infty\,$masse au-delà de $\delta$, qui est $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z
\to 0$ quand $t \to 0$. Pour $f \in L^p$ : $\norm{u(t) - f}_p
\leq \int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski/Jensen comme au [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)), scinder de la même façon via le [Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-density)(3).

**5.** Le lissage instantané est la question 2 ($u(t)$ est $\mathcal C^\infty$ pour $t > 0$ sans aucune régularité de $f$ utilisée). Pour $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ :

$$
u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y
= \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z
= \frac12\Bigl(1 +
\operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr),
\qquad \operatorname{erf}(s) =
\frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :
$$

un échelon lissé dont la zone de transition s’élargit comme $\sqrt t$ (profils en $t_1 < t_2 < t_3$ : rampes de plus en plus plates à travers $(0, \frac12)$).

**6.** L’intégrande $g_t(x-y)f(y)$ est $\geq 0$ et le noyau est strictement positif : $u(t,x) = 0$ forcerait $f =
0$ p.p. La monotonie en $f$ est la monotonie de l’intégrale. Un endroit où $f = 0$ sur un intervalle a encore $u(t, \cdot)
> 0$ pour tout $t > 0$ : la chaleur se propage à vitesse infinie (toute positivité n’importe où est ressentie partout instantanément).

**7.** Tonelli ($g_t(x-y)\abs{f(y)}$ est [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sur $\R^2$) : $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x -
y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$.

**8.** Plancherel : $2\pi\norm{u(t)}_2^2 =
\int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$, décroissante en $t$ (ponctuellement), strictement sauf si $\hat f = 0$ p.p. ($= f = 0$), avec limite $0$ quand $t\to\infty$ par DCT. Et $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 =
\frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$.

**9.** Pour $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$, $t \mapsto
\langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ est $\mathcal C^1$ de dérivée $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle =
\langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle =
\langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — précisément, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ transfère l’équation. Puis pour p.p. $\xi$, la fonction absolument [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ a pour dérivée $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ au sens intégré : elle est constante, et en faisant $t \to 0$ ($\hat u(t) \to \hat f$ dans $L^2$, p.p. le long d’une sous-suite) : $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ p.p. Deux solutions dans la classe ont la même transformée : elles sont égales.

**10.** $f = g_s * h$ avec $h \in L^2$ force $\hat f =
\eu^{-s\xi^2}\hat h$, i.e. $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in
L^2$. Prendre $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ : alors $f(x) =
\frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ ([Exercice 14.1](#exo-b3-fouriertransform-1), inversion), une fonction $L^2$ parfaitement lisse ; mais $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi}
\to \infty$ : $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ pour tout $s >
0$. Le profil de Cauchy n’est *jamais* le résultat d’une diffusion antérieure.

**11.** Le semigroupe de la chaleur multiplie les transformées par $\eu^{-t\xi^2}$, qui ne s’annule nulle part : injectif — formellement, aucune information n’est détruite. Mais son image est constituée de fonctions dont les transformées décroissent comme $\eu^{-t\xi^2}$ : un sous-espace minuscule, dense-mais-propre de $L^2$ (la question 10 montre que même d’excellentes fonctions en sont exclues). Inverser amplifierait la fréquence $\xi$ par $\eu^{t\xi^2}$ : non borné, donc instable contre toute perturbation. La diffusion est irréversible non parce que l’application oublie, mais parce que son inverse ne peut pas être continu — une flèche du temps faite d’analyse fonctionnelle.

**12.** $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)
\subseteq L^1$ (Cauchy–Schwarz sur un intervalle borné), donc $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat
f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ est définie partout, et la dérivation sous l’intégrale (dominée par $\Omega^k\abs{\hat
f} \in L^1$ sur la bande) la rend $\mathcal C^\infty$ avec $\abs{F^{(k)}} \leq
\frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ partout. Et $F =
f$ p.p. : les deux côtés ont la même transformée, et la transformée est injective sur $L^2$ ([Théorème 14.8](#thm-b3-fouriertransform-plancherel) et son prolongement $L^2$).

**13.** Les exponentielles $\xi \mapsto \eu^{-\iu
n\pi\xi/\Omega}$, $n \in \Z$, forment une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ ([Théorème 13.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-fourier), rescalée). Le coefficient de $\hat f$ le long de la $n$-ième est

$$
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi
= \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot
\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\,
\eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),
$$

par la formule de la question 12 en $x =
\frac{n\pi}\Omega$ : le développement annoncé tient dans $L^2$ de la bande.

**14.** Injecter le développement dans la formule d’inversion de la question 12 ; l’échange somme–intégrale est la continuité du couplage $L^2$ contre $\frac1{2\pi}
\eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (de norme $L^2$ $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$, indépendante de $x$ — d’où l’uniformité) :

$$
f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot
\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi
= \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)
\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),
$$

puisque $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu
u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$.

**15.** En lisant le calcul de la question 14 à l’envers, la transformée de $s_n =
\operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ est $\hat s_n =
\frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf
1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$. Plancherel :

$$
\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi}
\Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega
\eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi =
\frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :
$$

une famille orthogonale de norme constante $\sqrt{\pi/\Omega}$. En prenant les normes dans le développement de la question 14 : $\norm f_2^2 =
\frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$.

**16.** $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}
(\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ s’annule en tout point de grille $\frac{n\pi}\Omega$ (y compris $0$, par la limite) et n’est pas identiquement nulle. Sa bande : écrire $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} -
\eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ ; la modulation par $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ décale la transformée de $\mp\Omega$, donc $\hat g$ est supportée dans $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (en fait dans l’union de deux bandes décalées) : $g \in PW_{2\Omega}$, invisible à l’échantillonnage au taux $\Omega$ — le repliement de spectre incarné.

**17.** Par la question 15 les échantillons portent l’énergie démocratiquement : $\norm f^2 =
\frac\pi\Omega\sum \abs{f(n\pi/\Omega)}^2$. Si l’énergie du signal hors de la fenêtre temporelle $\intcc{-T/2}{T/2}$ est $\leq \varepsilon^2\norm f^2$, les échantillons hors de la fenêtre satisfont (à des termes de bord contrôlés par la borne uniforme de la question 12 près) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}
\abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x >
T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$ : tronquer la série d’échantillonnage aux $\approx \frac{\Omega T}\pi$ indices dans la fenêtre reconstruit $f$ à une erreur relative $\approx\varepsilon$ près. D’où le produit temps–bande-passante $\frac{\Omega T}{\pi}$ compte les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) de liberté réels effectifs du signal — la règle derrière chaque format audio.

**18.** (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ a pour échantillons $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) =
\delta_{n0}$ : la série se réduit à son terme $n = 0$, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — le théorème reproduit son propre noyau. (b) Si $\hat f$ est supportée dans $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq
\intcc{-\Omega}\Omega$, chaque étape des questions 13–14 court mot pour mot avec la plus grande bande $\Omega$ (le développement de $\hat f$ sur le plus grand intervalle reste légitime) : échantillonner plus vite que son propre taux de Nyquist ne change rien à la reconstruction — le sur-échantillonnage est inoffensif, et en pratique bénéfique (des noyaux de reconstruction à décroissance plus rapide peuvent alors être utilisés).

**19.** Développer $\eu^{-\iu\xi x} =
\sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ dans l’intégrale ; sur $\intcc{-A}A$ la série converge normalement ($\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$), donc l’intégration terme à terme est légitime :

$$
\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k,
\qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .
$$

La borne rend la série convergente pour tout $\xi$ complexe ; autour de tout point $\xi_0$, en regroupant (convergence absolue) on obtient une série entière en $\xi - \xi_0$ : $\hat f$ est réelle-analytique de rayon infini partout.

**20.** Soit $g$ réelle-analytique sur $\R$ (série de Taylor convergeant vers $g$ près de chaque point) et $Z =
\{\xi : g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$. $Z$ est fermé (intersection d’ensembles fermés) ; il est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), car en $\xi_0 \in Z$ le développement de Taylor local de $g$ est la série nulle, donc $g$ s’annule identiquement près de $\xi_0$, avec toutes ses dérivées. Si $g$ s’annule sur un intervalle, $Z \neq \varnothing$ ; par connexité de $\R$, $Z
= \R$ : $g \equiv 0$. Maintenant si $f \neq 0$ avait un support compact avec $\hat f$ : la question 19 rend $\hat f$ réelle-analytique, s’annulant hors d’un compact, donc sur des intervalles : $\hat f \equiv 0$, donc $f = 0$ p.p. par injectivité — contradiction. De même une $f \in PW_\Omega$ non nulle ne peut être à support compact (échanger les rôles de $f$ et $\hat f$ via l’inversion) : les signaux à bande limitée ne meurent jamais, les signaux à temps limité occupent un spectre non borné.

**21.** Pour $f = \eu^{-ax^2}$ : $\norm f_2^2 =
\sqrt{\frac\pi{2a}}$ et $\int x^2\abs f^2 =
\frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (second moment gaussien) ; $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ ([Exemple 14.2](#ex-b3-fouriertransform-gaussian)) et

$$
\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi =
\frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2
\eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a}
= \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .
$$

Produit normalisé : $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot
\frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$, indépendant de $a$. Le scaling explique la constance : remplacer $f$ par $f(\lambda\cdot)$ multiplie $\int
x^2\abs f^2/\norm f^2$ par $\lambda^{-2}$ et $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2/\norm f^2$ par $\lambda^{2}$ : le produit est un invariant de dilatation, et les gaussiennes forment une seule [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) de dilatation.

**22.** Avec $\abs f^2$ la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) de position et $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) d’impulsion d’un état quantique (les unités physiques insèrent $\hbar$), [Exercice 14.8](#exo-b3-fouriertransform-8) se lit $\sigma_x\sigma_p
\geq \frac\hbar2$ : aucun état n’est pointu dans les deux observables. À travers le chapitre, une seule loi porte cinq habits : la chaleur lisse instantanément car $\eu^{-t\xi^2}$ annihile les hautes fréquences (Partie II) ; le flot ne peut courir à rebours car les restaurer est non borné (Partie IV) ; un signal à bande limitée est assez rigide pour vivre sur une grille dénombrable (Partie V) ; aucune fonction ne bat le plancher de Heisenberg ; et aucune fonction n’est à support compact des deux côtés de la transformée (questions 19–20). Ce que $\hat f$ fait à l’infini gouverne ce que $f$ peut faire n’importe où.

**23.** $g_t$ et $g_s$ sont dans $L^1$ avec $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (calcul de la question 1), donc le théorème de convolution donne $\widehat{g_t *
g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} =
\widehat{g_{t+s}}$ ; deux fonctions $L^1$ de même transformée coïncident p.p. (injectivité, via le théorème d’inversion — ici les deux côtés sont continus, donc coïncident partout) : $g_t * g_s = g_{t+s}$. Par suite $u(t
+ s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (associativité de la convolution, Tonelli). Log-convexité : soit $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (Plancherel, question 8). Pour $t = \frac{t_1 + t_2}2$, écrire

$$
\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2
= \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},
$$

et Cauchy–Schwarz donne $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq
\sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$ : $\ln N$ est midpoint-convexe, et étant [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (convergence dominée en $t$), convexe ; de même $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$. Décroissance avec un logarithme convexe : le flot de la chaleur ne peut pas perdre d’énergie d’un coup puis stagner.

**24.** Moments du noyau : $\int g_t = 1$ (question 7 avec $f = g_s$, ou directement l’intégrale gaussienne), $\int x\,g_t(x)\dd x = 0$ (intégrande impaire), et, en substituant $x = 2\sqrt t\,v$,

$$
\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x
= \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .
$$

En substituant $x = z + y$ dans la convolution et en notant $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (chacun de $\int\abs z^kg_t$, $\int\abs y^kf$ est fini pour $k \leq 2$, en utilisant $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$), Fubini et Tonelli s’appliquent aux intégrales de moments ci-dessous :

$$
\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd
y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,
$$

qui est la première affirmation ; et

$$
\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y
= 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,
$$

la seconde. Les moyennes s’additionnent, les variances s’additionnent, et le noyau contribue moyenne $0$ et variance $2t$ : après le temps $t$ la chaleur s’est étalée sur une largeur d’ordre $\sqrt{2t}$ — la distance croît comme la racine carrée du temps, signature de la diffusion (et des chemins browniens du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability)).

**25.** Côté transformée : $\hat f(\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$, donc $\hat u(t,\xi) =
\sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$, qui est la transformée de $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (le dictionnaire gaussien $\eu^{-ax^2} \mapsto
\sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ avec $a = \frac1{1+4t}$) : la forme fermée. Vérification directe, avec $\sigma = 1 + 4t$ :

$$
\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma}
\Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr)
= \partial^2_{xx}u ,
$$

les deux côtés calculés à partir de $\partial_xu =
-\frac{2x}\sigma\,u$. Conservation : $\int u(t) =
\sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ pour tout $t$. Dissipation :

$$
\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x
= \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2}
= \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},
$$

donc $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$, décroissante à logarithme convexe (question 23) ; la norme $L^2$ décroît comme $t^{-1/4}$, exactement la moitié de l’exposant $t^{-1/2}$ de $\norm{u(t)}_\infty$ — cohérent avec $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ et la conservation de $\norm u_1$. Variance : $\int x^2u(t) =
\frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 =
\frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$, comme la question 24 le prédit ($\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$, $\int f = \sqrt\pi$). En $t = 6$ : $\sigma = 25$, hauteur du pic $u(6, 0) = \frac15$ contre $u(0,0) = 1$, échelle de largeur $\sqrt\sigma = 5$ fois l’initiale, et $\int u =
\sqrt\pi \approx 1.7725$ tout du long : la tache est cinq fois plus basse, cinq fois plus large, et pas une calorie n’est manquante.