--- title: "Opérateurs compacts et théorème spectral" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral --- # Chapitre 15 — Opérateurs compacts et théorème spectral La diagonalisation est le joyau de l’algèbre linéaire de dimension finie : une matrice symétrique possède une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de vecteurs propres. En dimension infinie ceci échoue pour les [opérateurs autoadjoints](#def-b3-spectral-selfadjoint) bornés en général — la multiplication par $x$ sur $L^2(\intcc01)$ n’a *aucune* valeur propre ([Exercice 15.6](#exo-b3-spectral-6)) — mais survit, sous une forme parfaite, pour les opérateurs *presque de dimension finie* : les [compacts](#def-b3-spectral-compact). Le théorème spectral pour les [opérateurs compacts](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoints](#def-b3-spectral-selfadjoint) est le théorème le plus utilisé de l’analyse fonctionnelle appliquée : il diagonalise les équations intégrales, anime l’[alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm), et (problème du week-end) résout la corde vibrante, produisant la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) en sinus de l’analyse de Fourier à partir de la pure théorie des opérateurs — avec $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ d’Euler tombant d’une formule de trace en cadeau de départ. Tout au long, $H$ est un [espace de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) sur $\C$ (ou $\R$ ; les énoncés s’adaptent), et les opérateurs sont bornés. ## 15.1 Opérateurs compacts **Définition 15.1.** $T \in \mathcal L(E, F)$ ($E, F$ de Banach) est *compact* si l’image $T(B)$ de la boule unité est relativement compacte dans $F$ — de façon équivalente, toute suite bornée $(x_n)$ admet une sous-suite avec $(Tx_{n_k})$ convergente. Les opérateurs de rang fini sont compacts (ensembles bornés en dimension finie) ; l’identité d’un espace de dimension infinie ne l’est jamais (théorème de Riesz, deuxième année). **Proposition 15.2.** Les [opérateurs compacts](#def-b3-spectral-compact) $\mathcal K(E, F)$ forment un sous-espace fermé de $\mathcal L(E, F)$, et un [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) bilatère : $S$ [compact](#def-b3-spectral-compact) $\Rightarrow$ $AS$ et $SB$ [compacts](#def-b3-spectral-compact) pour $A, B$ bornés. De plus, dans un [espace de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner), tout [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) est limite en [norme d’opérateurs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) de rang fini. **Démonstration.** Sous-espace : clair par la caractérisation séquentielle. [Idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) : les applications bornées envoient suites convergentes sur suites convergentes et bornées sur bornées. Fermeture : soit $T_n \to T$ avec $T_n$ [compact](#def-b3-spectral-compact), et $(x_k)$ bornée par $1$ ; une extraction diagonale rend $(T_nx_{k_j})_j$ convergente pour tout $n$ ; alors $(Tx_{k_j})$ est de Cauchy, car $$ \norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} , $$ en choisissant d’abord $n$ puis les indices. Approximation dans les [espaces de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) : soit $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), $K = \overline{T(B)}$ [compact](#def-b3-spectral-compact) ; pour $\varepsilon$ donné, recouvrir $K$ par un nombre fini de boules $B(y_i, \varepsilon)$ et soit $P$ la projection orthogonale sur $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (fermé : dimension finie). Alors $PT$ est de rang fini, et pour $\norm x \leq 1$ : en prenant $y_i$ avec $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$, $$ \norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon $$ ($y_i = Py_i$ ; $\vertiii P \leq 1$) : $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$. ∎ **Exemple 15.3.** (a) Opérateurs diagonaux sur $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) ssi $\lambda_n \to 0$ ([Exercice 15.2](#exo-b3-spectral-2)). (b) Opérateurs à noyau sur $\mathcal C(\intcc01)$ : [compacts](#def-b3-spectral-compact) par Ascoli ([Exercice 7.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-7)). (c) *Opérateurs de Hilbert–Schmidt* : pour $k \in L^2(\intcc01^2)$, $$ (T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y $$ définit un [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) sur $L^2(\intcc01)$ avec $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ ([Exercice 15.4](#exo-b3-spectral-4) : tronquer le développement en [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de $k$ exhibe $T_k$ comme limite d’opérateurs de rang fini). ## 15.2 Opérateurs autoadjoints **Définition 15.4.** $T \in \mathcal L(H)$ est *autoadjoint* si $T = T^*$ ([Exercice 13.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8)), i.e. $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ pour tous $x, y$. Alors $\langle x, Tx\rangle \in \R$ pour tout $x$ (égal à son conjugué). **Proposition 15.5.** Pour $T$ [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) : $$ \vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} . $$ Les valeurs propres de $T$ sont réelles, et les vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. **Démonstration.** Soit $M$ le supremum ; $M \leq \vertiii T$ par Cauchy–Schwarz. Réciproquement, l’identité de type polarisation $$ \langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle $$ (développer ; les termes croisés $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ par autoadjonction) donne, avec l’identité du parallélogramme, $$ 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr). $$ Pour $\norm x = 1$ avec $Tx \neq 0$, prendre $y = Tx/\norm{Tx}$ : $4\norm{Tx} \leq 4M$. Donc $\vertiii T \leq M$. Valeurs propres : $Tx = \lambda x$, $x \ne 0$ donne $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$. Orthogonalité : $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ avec $\lambda \neq \mu$ réels. ∎ ## 15.3 Le théorème spectral **Lemme 15.6 (Existence d’une valeur propre extrémale).** Soit $T \neq 0$ [compact](#def-b3-spectral-compact) et [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint). Alors $\vertiii T$ ou $-\vertiii T$ est une valeur propre de $T$. **Démonstration.** Par la [Proposition 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm), prendre des vecteurs unitaires $x_n$ avec $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$, où $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (passer à une sous-suite pour fixer le signe). Alors $$ \norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 . $$ Par compacité, une sous-suite $Tx_{n_k} \to y$ ; alors $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$, donc $x_{n_k} \to x = y/\mu$, un vecteur unitaire, et la continuité donne $Tx = \mu x$. ∎ **Théorème 15.7 (Théorème spectral pour les opérateurs compacts autoadjoints).** Soit $T$ un [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) sur un [espace de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$. 1. $H$ admet un système orthonormé $(e_n)_{n \in N}$ ($N$ fini ou dénombrable) de vecteurs propres de $T$, avec valeurs propres réelles non nulles $(\lambda_n)$, tels que $$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$$ et $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$. 2. Si $N$ est infini, $\lambda_n \to 0$ ; pour chaque $\delta > 0$ seuls un nombre fini de $n$ ont $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , et chaque espace propre $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , est de dimension finie. 3. En complétant $(e_n)$ par une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de $\ker T$ on obtient, lorsque $H$ est [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) , une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de $H$ faite de vecteurs propres : $T$ est diagonalisé. **Démonstration.** (2) d’abord. Si une infinité de vecteurs propres orthonormés $x_k$ avaient $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ : $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (orthogonalité, Pythagore) : aucune sous-suite convergente de $(Tx_k)$, contredisant la compacité de $T$ sur la suite bornée $(x_k)$. Ceci borne par un nombre fini, pour chaque $\delta$, la multiplicités totale des valeurs propres hors de $\intoo{-\delta}\delta$ ; la dénombrabilité et $\lambda_n \to 0$ s’ensuivent. (1) Soit $H_0$ l’enveloppe fermée de *tous* les vecteurs propres à valeurs propres non nulles, organisés (par (2) et Gram–Schmidt dans chaque espace propre de dimension finie, orthogonalité entre espaces propres par la [Proposition 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm)) en un système orthonormé $(e_n)$ de valeurs propres $\lambda_n \neq 0$. $T$ envoie $H_0$ dans $H_0$, et aussi $H_0^\perp$ dans $H_0^\perp$ : pour $y \perp H_0$ et $e$ un vecteur propre, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$. La restriction $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ est compacte autoadjointe sur l’[espace de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H_0^\perp$ ; si $T' \neq 0$, [Lemme 15.6](#lem-b3-spectral-existence) produit un vecteur propre de $T$ à valeur propre non nulle dans $H_0^\perp$ — impossible, de tels vecteurs vivent dans $H_0$. Donc $T' = 0$ : $H_0^\perp \subseteq \ker T$. Réciproquement $\ker T \perp$ chaque $e_n$ ($\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$) : $\ker T \subseteq H_0^\perp$, d’où $\ker T = H_0^\perp$ et la [décomposition orthogonale](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition). Le développement : pour $x = z + \sum_nc_ne_n$ ($z \in \ker T$, $c_n = \langle e_n, x\rangle$ ; [Théorème 13.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(1) sur $H_0$), la continuité de $T$ donne $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$. (3) $\ker T$, sous-espace fermé d’un espace [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), est [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) : il a une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée ([Proposition 13.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#prop-b3-hilbert-gramschmidt)) ; l’union est une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de $H$ par la décomposition de (1). ∎ **Théorème 15.8 (Alternative de Fredholm).** Soit $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) et $\lambda \in \R\setminus \{0\}$. 1. Si $\lambda$ n’est pas valeur propre, alors $T - \lambda I$ est bijectif d’inverse borné : pour tout $f$ , l’équation $Tx - \lambda x = f$ a exactement une solution, dépendant continûment de $f$ . 2. Si $\lambda$ est valeur propre, $Tx - \lambda x = f$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ssi $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , et la solution est unique à ce noyau (de dimension finie) près. **Démonstration.** Décomposer $x = z + \sum c_ne_n$ et $f = w + \sum d_ne_n$ selon le [Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) ($z, w \in \ker T$). L’équation se lit $$ -\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N). $$ (1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$ : par (2) du théorème spectral, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (les valeurs propres s’accumulent seulement en $0 \neq \lambda$). Résoudre : $z = -w/\lambda$, $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$, avec $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$ : une solution unique avec $\norm x \leq C\norm f$. (2) $\lambda = \lambda_{n}$ pour $n$ dans un ensemble fini $F$ : la résolubilité de $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ pour $n \in F$ exige $d_n = 0$, i.e. $f \perp e_n$ ($n \in F$), i.e. $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ; les $c_n$, $n \in F$, sont alors [libres](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free). ∎ **Exemple 15.9.** Sur $L^2(\intcc01)$, soit $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : un [opérateur de Hilbert–Schmidt](#ex-b3-spectral-examples) à noyau réel symétrique : [compact](#def-b3-spectral-compact) et [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint). Résoudre $Tf = \lambda f$ : la relation $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ montre que $u = Tf$ satisfait $u'' = -f$ (deux dérivations, légitimes pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et $Tf$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) pour $f \in L^2$ : convergence dominée), avec $u(0) = 0$ et $u'(1) = 0$. Donc les fonctions propres résolvent $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$ : $$ u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0), $$ et le théorème spectral affirme — sans aucune théorie de Fourier — que ces sinus forment une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de $L^2(\intcc01)$ après normalisation (le noyau de $T$ est $0$ : $Tf = 0$ force, par les deux dérivations, $f = 0$ p.p.). Le problème du week-end parcourt le même cercle d’idées pour la corde vibrante et extrait $\zeta(2)$ de la trace. **Méthode 15.10.** Étant donnée une équation intégrale ou différentielle : (1) la reformuler comme $(I - \lambda K)u = f$ ou $Ku = \lambda u$ avec $K$ un opérateur intégral ; (2) vérifier que $K$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) (noyau de Hilbert–Schmidt, ou Ascoli) et, si possible, [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) (noyau réel symétrique) ; (3) diagonaliser avec le théorème spectral ou invoquer l’[alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) pour la résolubilité ; (4) lire l’existence, l’unicité, la stabilité, et les formules en séries pour les solutions dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) propre. Les opérateurs différentiels sont non bornés, mais leurs *inverses* (opérateurs de Green) sont [compacts](#def-b3-spectral-compact) : toujours inverser d’abord. ## 15.4 Exercices **Exercice 15.1 ★.** (a) Montrer qu’un opérateur borné à image de dimension finie est [compact](#def-b3-spectral-compact). (b) Montrer que l’identité d’un espace normé est compacte ssi la dimension est finie (Riesz, deuxième année). En déduire qu’un [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) sur un espace de dimension infinie n’est jamais inversible d’inverse borné. **Solution de Exercice 15.1.** (a) $T(B)$ est un sous-ensemble borné de l’espace de dimension finie $\operatorname{im}T$ : relativement [compact](#def-b3-spectral-compact) par Heine–Borel ([Corollaire 6.17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#cor-b3-topology-heineborel), transporté par un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) linéaire avec $\R^n$). (b) $I$ [compact](#def-b3-spectral-compact) signifie que la boule unité fermée est compacte, ce qui par le théorème de Riesz (deuxième année) arrive exactement en dimension finie. Si un [compact](#def-b3-spectral-compact) $T$ avait un inverse borné $T^{-1}$, alors $I = T^{-1}T$ serait [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Proposition 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)) : impossible en dimension infinie. **Exercice 15.2 ★.** Soit $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ sur $\ell^2$, avec $(\lambda_n)$ bornée. (a) Montrer $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$. (b) Montrer que $T$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) ssi $\lambda_n \to 0$. *(Pour $\Leftarrow$, tronquer ; pour $\Rightarrow$, tester sur $(e_n)$.)* (c) Quand $T$ est-il [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) ? Vérifier le théorème spectral par inspection dans ce cas. **Solution de Exercice 15.2.** (a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, avec quasi-égalité sur les $e_n$ réalisant le sup. (b) ($\Leftarrow$) Les troncatures $T_N$ (garder $n \leq N$, zéro au-delà) sont de rang fini et $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : [compact](#def-b3-spectral-compact) par la [Proposition 15.2](#prop-b3-spectral-ideal). ($\Rightarrow$) Si $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ le long d’une sous-suite : $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : aucune sous-suite convergente de $(Te_{n_k})$. (c) $T^* =$ diagonale avec $(\bar\lambda_n)$ : [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) ssi tous les $\lambda_n \in \R$. Alors la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) standard $(e_n)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de vecteurs propres, valeurs propres $\lambda_n \to 0$ : le théorème spectral mot pour mot. **Exercice 15.3 ★★.** Donner les détails de la propriété d’[idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) ([Proposition 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)) : si $S$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) et $A, B$ bornés, alors $ASB$ est [compact](#def-b3-spectral-compact). En déduire que si $ST = TS = I$ pour un $S$ borné, et $\dim H = \infty$, alors $T$ n’est pas [compact](#def-b3-spectral-compact) — et réconcilier avec [Exercice 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b). **Solution de Exercice 15.3.** Soit $(x_n)$ bornée. Alors $(Bx_n)$ est bornée ($\vertiii B < \infty$) ; la compacité de $S$ extrait $SBx_{n_k} \to y$ ; la continuité de $A$ donne $ASBx_{n_k} \to Ay$ : $ASB$ est [compact](#def-b3-spectral-compact). Si $ST = TS = I$ avec $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact) et $\dim H = \infty$ : $I = ST$ serait [compact](#def-b3-spectral-compact), contredisant [Exercice 15.1](#exo-b3-spectral-1)(b) — qui est le même énoncé vu de l’autre côté. **Exercice 15.4 ★★.** (Hilbert–Schmidt) Soit $k \in L^2(\intcc01^2)$ et $(e_n)$ une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. (a) Montrer que $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ *(Cauchy–Schwarz en la variable $y$, puis Tonelli)*. (b) Développer $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ dans $L^2$ du carré (justifier que les produits forment une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) là), et montrer que tronquer la somme donne des opérateurs de rang fini convergeant vers $T_k$ en [norme d’opérateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) : $T_k$ est [compact](#def-b3-spectral-compact). **Solution de Exercice 15.4.** (a) Par Cauchy–Schwarz en $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; intégrer en $x$ (Tonelli) : $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$. (b) La famille $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ est orthonormée dans $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli sépare l’intégrale double). Totale : si $h \perp$ tous les $e_{mn}$, alors pour chaque $m$, la fonction $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (dans $L^2$ par Cauchy–Schwarz et Tonelli) est orthogonale à tout $\overline{e_n}$ — et les conjugués $(\overline{e_n})$ forment une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) dès que $(e_n)$ en forme une (la conjugaison est une bijection isométrique de $L^2$ préservant l’orthogonalité et la totalité) — donc elle est $0$ p.p. ; puis pour p.p. $y$, $h(\cdot, y) \perp$ tout $e_m$ : $h(\cdot, y) = 0$ p.p. : $h = 0$ (Tonelli). Donc $(e_{mn})$ est une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) ; développer $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. La troncature $k_N$ (indices $\leq N$) donne $T_{k_N}$ de rang fini (image dans $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$), et par (a), $$ \vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 : $$ $T_k$ est une limite en [norme d’opérateurs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) de rang fini : [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Proposition 15.2](#prop-b3-spectral-ideal)). **Exercice 15.5 ★★.** Soit $T$ [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) avec $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ pour tout $x$ (opérateur *positif*). (a) Montrer que les valeurs propres sont $\geq 0$ et que $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$. (b) Prouver l’inégalité de Cauchy–Schwarz généralisée $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$. **Solution de Exercice 15.5.** (a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ sur un vecteur propre. La formule est [Proposition 15.5](#prop-b3-spectral-sanorm) avec toutes les valeurs $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : la valeur absolue est redondante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ est une forme sesquilinéaire hermitienne positive (éventuellement dégénérée) ; la preuve usuelle de Cauchy–Schwarz (développer $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ et prendre le discriminant) n’utilise jamais la définitude. **Exercice 15.6 ★★.** Sur $L^2(\intcc01)$, soit $(Mf)(x) = x\,f(x)$. (a) Montrer que $M$ est borné, [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), avec $\vertiii M = 1$, mais n’a *aucune* valeur propre. (b) Montrer que $M$ n’est pas [compact](#def-b3-spectral-compact) *(exhiber une suite bornée dont l’image n’a aucune sous-suite convergente, p. ex. des indicateurs normalisés d’intervalles se rétrécissant près de $1$ — ou invoquer le théorème spectral)*. (c) Où la preuve du [Lemme 15.6](#lem-b3-spectral-existence) casse-t-elle pour $M$ ? **Solution de Exercice 15.6.** (a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, et sur $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vecteurs unitaires), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : $\vertiii M = 1$ ; [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) car le multiplicateur est réel. Valeurs propres : $xf(x) = \lambda f(x)$ p.p. force $f = 0$ p.p. hors de l’ensemble nul $\{x = \lambda\}$ : $f = 0$ dans $L^2$. (b) Avec les mêmes $f_n$ : $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, tandis que $f_n \rightharpoonup 0$ (pour $g \in L^2$ fixé, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ par DCT). Si $Mf_{n_k} \to h$ en norme, alors $f_{n_k} \to h$, forçant $h = 0$ (limite faible) pourtant $\norm h = 1$ : aucune sous-suite convergente. (c) Dans [Lemme 15.6](#lem-b3-spectral-existence), précisément l’extraction « $Tx_{n_k} \to y$ » utilise la compacité ; pour $M$ les suites maximisantes se concentrent près de $x = 1$ et leurs images convergent faiblement vers $0$, jamais en norme : le vecteur propre au sommet du rayon numérique échoue simplement à exister. **Exercice 15.7 ★★.** (Volterra) Sur $L^2(\intcc01)$, soit $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$. (a) Montrer que $V$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) (Hilbert–Schmidt à noyau $\mathbf 1_{y < x}$) mais non [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) ; calculer $V^*$. (b) Montrer que $V$ n’a aucune valeur propre non nulle. *(De $Vf = \lambda f$ : $f$ a un représentant continu, puis est $\mathcal C^1$, et résout $\lambda f' = f$, $f(0) = 0$.)* (c) Conclure que la compacité seule ne produit aucun vecteur propre : l’autoadjonction dans [Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) est essentielle. **Solution de Exercice 15.7.** (a) $V = T_k$ avec $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Exercice 15.4](#exo-b3-spectral-4)). Son adjoint est l’opérateur à noyau $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; $V \neq V^*$ (tester sur $f = \mathbf 1$). (b) Si $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$ : $Vf$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\intcc01$ (convergence dominée dans $\int_0^x f$), donc $f = \frac1\lambda Vf$ a un représentant continu ; alors $Vf$ est $\mathcal C^1$ (théorème fondamental du calcul pour des intégrandes [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)), donc $f$ est $\mathcal C^1$, et $\lambda f' = f$ avec $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : $f = C\eu^{x/\lambda}$ avec $C = f(0) = 0$. (c) $V$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) sans aucune valeur propre sauf éventuellement $0$ ($Vf = 0$ force $f = 0$ p.p. en dérivant l’intégrale — donc pas même $0$) : la machinerie spectrale exige vraiment l’autoadjonction, pas seulement la compacité. **Exercice 15.8 ★★★.** (Courant–Fischer) Soit $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), *positif*, de valeurs propres $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (répétées par multiplicités, vecteurs propres $e_1, e_2, \dots$). Montrer : $$ \mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle . $$ *(Tester $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ ; pour la borne supérieure intersecter tout $V$ avec des espaces de type $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ : le comptage de dimension force une intersection non triviale.)* En déduire que les valeurs propres dépendent monotonement de $T$ ($T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$). **Solution de Exercice 15.8.** Écrire $x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$, donc $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. *Borne inférieure* : sur la sphère unité de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : le max sur $V$ du min est $\geq \mu_k$. *Borne supérieure* : soit $\dim V = k$ et $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, de codimension $k - 1$ (son orthogonal est $V_{k-1}$) ; $V \cap W_k \neq \{0\}$ (une application linéaire $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de rang $\leq k - 1$ a un noyau non trivial), et un $x$ unitaire dans $V\cap W_k$ a $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : le min sur $V$ est $\leq \mu_k$. Ensemble : la première formule ; la seconde se prouve symétriquement (tester $W = W_k$ ; pour un $W$ arbitraire de codimension $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ donne un vecteur unitaire avec $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonie : $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ ponctuellement se transfère à travers $\max\min$. **Exercice 15.9 ★★.** En utilisant le [Théorème 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm) pour $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ ([Exemple 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) : pour quels $\lambda \in \R$ l’équation intégrale $$ f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x) $$ a-t-elle une solution unique $f \in L^2$ pour tout $g \in L^2$ ? Que se passe-t-il aux valeurs exceptionnelles ? **Solution de Exercice 15.9.** Réécrire $f - \lambda Tf = g$. Pour $\lambda = 0$ : $f = g$, toujours [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) de façon unique. Pour $\lambda \neq 0$ : c’est $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$, et par l’[alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Théorème 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)) avec les valeurs propres $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ ([Exemple 15.9](#ex-b3-spectral-minxy)) : résolubilité unique pour tout $g$ ssi $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ pour tout $n$, i.e. $$ \lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). $$ En un $\lambda$ exceptionnel $= (n+\frac12)^2\pi^2$ : les solutions existent ssi $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, et sont alors uniques à l’addition de multiples de ce sinus près. **Exercice 15.10 ★★★.** Soit $S$ le décalage sur $\ell^2$ ([Exercice 8.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#exo-b3-banach-1)). (a) Montrer que $S$ n’a aucune valeur propre, tandis que tout $\lambda$ avec $\abs\lambda < 1$ est valeur propre de $S^*$ (trouver les vecteurs propres explicitement, suites géométriques). (b) Ni $S$ ni $S^*$ n’est [compact](#def-b3-spectral-compact) : vérifier via un test à la [Exercice 15.2](#exo-b3-spectral-2) sur $(e_n)$. (c) Commenter : pour des opérateurs non [autoadjoints](#def-b3-spectral-selfadjoint), non [compacts](#def-b3-spectral-compact), le paysage des valeurs propres peut être n’importe quoi depuis le vide jusqu’à un disque plein — la notion qui survit est le *spectre*, étudié dans un cours ultérieur. **Solution de Exercice 15.10.** (a) $Sx = \lambda x$ : en comparant les coordonnées, $0 = \lambda x_1$ et $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; si $\lambda \ne 0$ alors $x_1 = 0$ et par récurrence $x = 0$ ; si $\lambda = 0$, $Sx = 0$ force $x = 0$ ($S$ isométrique). Aucune valeur propre. $S^*x = \lambda x$ se lit $x_{n+1} = \lambda x_n$ : $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, dans $\ell^2$ exactement quand $\abs\lambda < 1$ : un disque [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) plein de valeurs propres. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : l’image de la suite bornée $(e_n)$ n’a aucune sous-suite de Cauchy ; de même $S^*e_{n+1} = e_n$. Ni l’un ni l’autre n’est [compact](#def-b3-spectral-compact). (c) Pour les [opérateurs compacts](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoints](#def-b3-spectral-selfadjoint) les valeurs propres capturent tout ([Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)) ; en lâchant l’une ou l’autre hypothèse, les valeurs propres peuvent s’évanouir entièrement ($S$, Volterra) ou remplir un disque ($S^*$) : l’objet robuste est le spectre $\{\lambda : T - \lambda I \text{ non inversible}\}$, dont la théorie appartient à un cours ultérieur. **Exercice 15.11 ★★.** (Racines carrées) Soit $T$ [compact](#def-b3-spectral-compact), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), positif ($\langle x, Tx\rangle \geq 0$) sur un [espace de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner) $H$, avec décomposition spectrale $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ($\mu_n > 0$). (a) Définir $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$ ; montrer que $S$ est [compact](#def-b3-spectral-compact), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), positif, avec $S^2 = T$. (b) Prouver l’unicité : tout $R$ [compact](#def-b3-spectral-compact) positif [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) avec $R^2 = T$ préserve les espaces propres de $T$ *($RT = R^3 = TR$ : $R$ commute avec $T$, donc $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$)*, et sur $\ker(T - \mu)$, $R$ est un opérateur positif dont le carré est $\mu\,\mathrm{id}$ sur un espace de dimension finie : le diagonaliser là et conclure $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ sur chaque espace propre, d’où $R = S$. (c) Calculer $\sqrt G$ pour l’opérateur de la corde $G$ du [Problème 15.1](#pb-b3-spectral-1) : quel noyau a les valeurs propres $\frac1{n\pi}$ sur la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) en sinus ? (Exprimer $\sqrt G$ comme limite $L^2$ de noyaux ; aucune forme fermée n’est requise.) **Solution de Exercice 15.11.** (a) $S$ est l’opérateur diagonal de coefficients $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Exercice 15.2](#exo-b3-spectral-2)(b), transporté à la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(e_n)$ complétée par $\ker T$, où $S = 0$), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) (diagonale réelle), positif ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), et $S^2 = T$ terme à terme. (b) $R$ commute avec $T = R^2$ ; pour un vecteur propre $x$ de $T$ de valeur propre $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, donc l’espace propre de dimension finie $E_\mu = \ker(T - \mu)$ est $R$-stable. Sur $E_\mu$, $R$ est symétrique positif avec $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : ses valeurs propres $\rho$ satisfont $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$ : toutes égales à $\sqrt\mu$, et un opérateur diagonalisable à une seule valeur propre est scalaire : $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ sur $E_\mu$. Sur $\ker T$ : $\norm{Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Donc $R$ coïncide avec $S$ sur $\ker T$ et sur chaque espace propre, dont l’enveloppe fermée est $H$ (théorème spectral) : $R = S$. (c) $\sqrt G$ agit comme $\frac1{n\pi}$ sur $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ : c’est l’opérateur à noyau $$ k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi}, $$ la série convergeant dans $L^2(\intcc01^2)$ (coefficients $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; les noyaux de sommes partielles donnent les approximations de rang fini). Aucune forme fermée élémentaire n’est nécessaire : le côté spectral *est* l’opérateur. **Exercice 15.12 ★★★.** (Décomposition en valeurs singulières) Soit $T \in \mathcal L(H)$ *[compact](#def-b3-spectral-compact)*, pas nécessairement [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint). (a) Montrer que $T^*T$ est [compact](#def-b3-spectral-compact), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), positif ; soit $(e_n)$ une famille orthonormée de vecteurs propres avec $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ (les *valeurs singulières*), complétée par $\ker(T^*T) = \ker T$ (prouver cette égalité). (b) Poser $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ ; montrer que $(f_n)$ est orthonormée, et établir la *SVD* : $$ Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H), $$ avec convergence dans $H$. (c) En déduire : $\vertiii T = \max_ns_n$ ; $T$ est limite en [norme d’opérateurs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) de rang fini (redémontrant le [Proposition 15.2](#prop-b3-spectral-ideal) en sens inverse pour les [espaces de Hilbert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-inner)) ; et pour l’opérateur de Volterra $V$ du [Exercice 15.7](#exo-b3-spectral-7), qui n’a aucune valeur propre, expliquer pourquoi la SVD existe néanmoins et quels en sont les ingrédients (identifier $V^*V$ comme un opérateur à noyau de type corde — calculer ses valeurs propres explicitement est le territoire du [Exercice 15.9](#exo-b3-spectral-9)). **Solution de Exercice 15.12.** (a) $T^*T$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) (produit d’un borné et d’un [compact](#def-b3-spectral-compact), [Exercice 15.3](#exo-b3-spectral-3)), [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) ($(T^*T)^* = T^*T$), positif ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$). Noyau : $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, et réciproquement : $\ker T^*T = \ker T$. Le théorème spectral fournit les $(e_n)$ orthonormés avec $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$, engendrant $(\ker T)^\perp$. (b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$. Développer $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ avec $x_0 \in \ker T$ ([Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) dans l’enveloppe fermée plus le noyau) ; en appliquant le $T$ continu : $$ Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n, $$ la série convergeant car ses sommes partielles sont de Cauchy ($\norm{\sum_{NN}s_n^2\cdot\norm x^2$, et $s_n \to 0$). (c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$, atteinte au $e_n$ maximisant : $\vertiii T = \max s_n$. Tronquer la SVD au rang $N$ laisse un opérateur de norme $\sup_{n>N}s_n \to 0$ : approximation de rang fini. L’opérateur de Volterra n’a aucune valeur propre ([Exercice 15.7](#exo-b3-spectral-7)), mais $V^*V$ en a : $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ est un opérateur à noyau symétrique positif (noyau $1 - \max(x,y)$, un noyau de Green de type corde), dont les couples propres — calculés via le problème aux limites $-u'' = \lambda^{-1}u$, $u'(0) = u(1) = 0$, i.e. la famille du [Exercice 15.9](#exo-b3-spectral-9) — donnent les valeurs singulières $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$. La SVD vit sur *deux* familles orthonormées précisément parce que $V$ fait tourner sa géométrie propre : aucun vecteur propre, pourtant une structure diagonale parfaite entre deux [bases](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) différentes. ## 15.5 Problème : la corde vibrante et $\zeta(2)$ **Problème 15.1.** Problème du week-end — opérateur de Green, base en sinus, et formule de trace Nous résolvons le problème aux valeurs propres de la corde vibrante à extrémités fixes — $-u'' = \nu u$, $u(0) = u(1) = 0$ — par théorie des opérateurs, obtenons la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée en sinus sans aucun calcul de Fourier, et évaluons $\zeta(2)$ en comparant deux expressions pour la *trace* de l’opérateur de Green. On définit, sur $L^2(\intcc01)$, $$ (Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr). $$ **Partie I — L’opérateur de Green.** 1. Montrer que $g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) , symétrique, avec $0 \leq g \leq \frac14$ , et que $G$ est [compact](#def-b3-spectral-compact) et [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) ( [Exemple 15.3](#ex-b3-spectral-examples) (c)). 2. Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), montrer que $u = Gf$ est $\mathcal C^2$ avec $$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$$ *(écrire $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ et dériver deux fois)*. Réciproquement, si $u \in \mathcal C^2$ avec $u(0) = u(1) = 0$, alors $G(-u'') = u$ : $G$ inverse l’opérateur de la corde. 3. Montrer $\ker G = \{0\}$ *(si $Gf = 0$ avec $f \in L^2$ : tester contre des $\varphi$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), transférer $G$ par symétrie/Fubini sur $\varphi$, et utiliser le lemme fondamental [Corollaire 12.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#cor-b3-lp-fundlemma) — ou régulariser)* , et que $G$ est un opérateur positif : $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . *(Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ avec $u = Gf$, par parties ; conclure par [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma).)* **Partie II — Diagonalisation : la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) en sinus.** 4. Montrer que les fonctions propres de $G$ à valeur propre $\lambda \ne 0$ sont, à scalaires près, les solutions de $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ *(une fonction propre a un représentant continu — $Gf$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) pour $f \in L^2$, pourquoi ? — donc est $\mathcal C^2$ par bootstrap de la question 2)* . 5. Résoudre le problème aux limites : les valeurs propres de $G$ sont $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), avec fonctions propres normalisées $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; vérifier l’orthonormalité par intégration directe comme test de cohérence. 6. Conclure du [Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) et de la question 3 que $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ est une *[base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis)* orthonormée de $L^2(\intcc01)$ — ni Stone–Weierstrass, ni série de Fourier nécessaires. Développer $f(x) = x(1-x)$ dans cette [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) et écrire [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pour elle. **Partie III — La formule de trace et $\zeta(2)$.** 7. Prouver les deux identités $$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{et}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$$ Pour la seconde (la *formule de trace*) : développer $g(x, \cdot)$, pour $x$ fixé, dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(e_n)$ — montrer que les coefficients sont $\lambda_ne_n(x)$, de sorte que $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ dans $L^2$. Ici les sinus sont explicites : vérifier directement que $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ converge *uniformément* sur le carré (comparer avec $\sum \frac2{n^2\pi^2}$), donc sa somme est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et, ayant les mêmes développements $L^2$ en $y$ pour chaque $x$, égale $g(x,y)$ partout. Poser $y = x$ et intégrer terme à terme. 8. Calculer $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$, et conclure $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{i.e.}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$$ la somme d’Euler issue d’une trace d’opérateur. 9. Redériver $\zeta(2)$ d’une troisième façon : appliquer [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) en sinus à la fonction constante $\mathbf 1$ , calculer $\sum_{n \text{ impair}}\frac1{n^2}$ , et conclure. Puis comparer les mécanismes : en quel sens l’argument de trace des questions 7–8 est-il « [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) appliqué au noyau entier d’un coup » ? **Partie IV — La corde vibre.** 10. (Séparation des variables, synthétisée) Pour $f \in L^2$, définir $$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$$ Montrer que la série converge dans $L^2(\intcc01)$ pour chaque $t$, que $t\mapsto u(t, \cdot)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à valeurs dans $L^2$, et que pour $f$ dans l’enveloppe d’un nombre fini de $e_n$ elle résout l’équation des ondes $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ avec $u(0) = f$, $\partial_tu(0) = 0$, extrémités fixes. Les valeurs propres $n^2\pi^2$ sont les fréquences au carré : les harmoniques de la corde — expliquer l’interprétation musicale du [Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral) en un paragraphe. **Partie V — Dividendes variationnels : la méthode de la puissance, stabilité de Weyl, et une borne rigoureuse sur $\pi$.** Soit $A$ un [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) *positif* de valeurs propres $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ et vecteurs propres orthonormés $(u_n)$ ; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$. Les formules min–max sont le [Exercice 15.8](#exo-b3-spectral-8) ; ici on les dépense. 11. (Méthode de la puissance) Pour $x \neq 0$ écrire $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$. Montrer $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), en déduire la chaîne $$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$$ et prouver que si $\langle u_1, x\rangle \neq 0$, alors $R(A^kx) \to \mu_1$ : itérer l’opérateur sur tout vecteur générique calcule la valeur propre maximale — la méthode de la puissance de l’analyse numérique, certifiée. 12. (Stabilité de Weyl) Pour $A, B$ [compacts](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoints](#def-b3-spectral-selfadjoint) positifs, déduire du [Exercice 15.8](#exo-b3-spectral-8) que $$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{pour tout } n :$$ le spectre entier est $1$-lipschitzien en la [norme d’opérateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) — les valeurs propres de grands systèmes symétriques peuvent être calculées à partir d’approximations avec une erreur garantie. 13. Appliquer la borne de Rayleigh à $G$ avec la fonction test $u(x) = x(1-x)$ : résoudre $-w'' = u$, $w(0) = w(1) = 0$ pour obtenir $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$, calculer $$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$$ et conclure la borne *rigoureuse* $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, i.e. $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$. 14. Une étape de la chaîne de la question 11, sur la même fonction test : en utilisant $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$, calculer $$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$$ et conclure $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ : deux intégrales, quatre chiffres corrects. (Chaque itération ultérieure élève approximativement au carré la précision : l’écart spectral $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ entraîne une convergence géométrique.) **Partie VI — La trace de $G^2$, et $\zeta(4)$.** 15. Montrer que $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ *(développer $g$ sur la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) produit $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ de $L^2(\intcc01^2)$ — une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb), cf. l’ [Exercice 15.5](#exo-b3-spectral-5) — et appliquer [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sur le carré ; la question 7 identifie les coefficients)* . 16. Calculer l’intégrale double : $$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$$ 17. Conclure $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; expliquer, sans calcul, comment les traces des puissances supérieures $G^k$ produisent $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ pour tout $k \geq 1$ , et pourquoi les valeurs impaires $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ sont structurellement hors de portée de cette machine. 18. ($\pi$ par en dessous) De $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ déduire $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$, et assembler avec la question 14 le verdict bilatéral $$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$$ obtenu entièrement à partir de l’arithmétique de la corde vibrante. Quel côté converge plus vite si l’on utilise des traces plus élevées $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$, et pourquoi ? **Partie VII — Forçage et résonance.** Fixer $\nu \in \R$ et considérer la corde forcée $-u'' - \nu u = f$, $u(0) = u(1) = 0$, avec $f \in L^2$ et $c_n = \langle e_n, f\rangle$. 19. Supposer $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$. Montrer que $$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$$ converge dans $L^2$ et uniformément sur $\intcc01$ *(Cauchy–Schwarz entre $(c_n)$ et les queues de $\sum n^{-4}$, avec $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$)*, et qu’elle satisfait $u = Gf + \nu Gu$ — la forme en coordonnées explicites de l’[alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) ([Théorème 15.8](#thm-b3-spectral-fredholm)), avec unicité. 20. Supposer $\nu = m^2\pi^2$ . Montrer que $u = Gf + \nu Gu$ a une solution ssi $c_m = 0$ , unique à l’addition de multiples de $e_m$ près. Lecture physique : pousser une balançoire exactement à sa propre fréquence. 21. Pour $\nu < \pi^2$ , montrer que l’opérateur de solution $R_\nu\colon f \mapsto u$ est borné sur $L^2$ de norme $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , [compact](#def-b3-spectral-compact) , [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) , et positif : toute l’analyse spectrale redémarre, décalée de $\nu$ . 22. (Synthèse) Compiler le dictionnaire de ce problème : valeur propre $\leftrightarrow$ fréquence au carré (harmoniques) ; trace $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norme de Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; [alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm) $\leftrightarrow$ résonance ; min–max $\leftrightarrow$ bornes variationnelles ( $\pi < 3.1437$ à partir d’un polynôme). Un seul opérateur intégral, cinq chapitres d’analyse encaissés. **Partie VIII — Trois derniers échos.** 23. ($\zeta(6)$, pour rien) L’identité de [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) de la question 6 a donné $\sum_{n\text{ impair}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. Scinder $\zeta(6)$ en $n$ impairs et pairs et conclure $$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$$ sans nouvelle intégrale : la machine de la question 17 (traces de $G^3$) aurait produit la même valeur au prix d’un noyau itéré — [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sur une fonction bien choisie est ici la voie moins chère. 24. (L’état fondamental est positif) Soit $A$ un [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint) positif sur $L^2(\intcc01)$ donné par un noyau continu symétrique $k > 0$ sur $\intoo01^2$ , de plus grande valeur propre $\mu_1$ . Montrer : (a) tout maximiseur du quotient de Rayleigh est une fonction propre de $\mu_1$ ; (b) si $u$ en est une, alors $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , avec inégalité *stricte* si $u$ prend les deux signes sur des ensembles de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) positive — donc $u$ a un signe constant p.p., et $u = \mu_1^{-1}Au$ ne s’annule jamais sur $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ est une valeur propre *[simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple)* . Vérifier chaque affirmation sur $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , et chaque $e_n$ , $n \geq 2$ , étant orthogonal à $e_1$ , doit changer de signe (il le fait : $n - 1$ zéros intérieurs). 25. (Distance au spectre, et le prix de la résonance) Pour $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$, montrer que l’opérateur de solution $R_\nu$ de la question 19 est borné, [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), [compact](#def-b3-spectral-compact), avec $$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$$ la norme étant atteinte sur le mode le plus proche. Puis quantifier la balançoire de la question 20 : un forçage avec $f = e_1$ en $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produit $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$, une amplification par $\frac1\varepsilon$ de la réponse statique $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — à un pour cent sous le fondamental ($\varepsilon = 10^{-2}$), la corde répond cent fois plus fort. **Solution de Problème 15.1.** **1.** Continuité : $\min$ et $\max$ sont continus ; symétrie : échanger $x, y$ n’échange ni $\min(x,y)$ ni $1 - \max(x,y)$. Bornes : $0 \leq g$, et des bornes de type $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ donnent $g \leq \frac14$ (pour $u = \max$ : $\min \leq u$ donc $g \leq u(1-u) \leq \frac14$). $g \in L^2(\square)$ : Hilbert–Schmidt, d’où $G$ [compact](#def-b3-spectral-compact) ([Exercice 15.4](#exo-b3-spectral-4)) ; le noyau est réel symétrique : $G$ [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint). **2.** En scindant en $y = x$ : $$ u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y . $$ Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), dériver (produit et théorème fondamental) : $$ u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(les termes de bord s'annulent)}, $$ et $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$ ; clairement $u(0) = u(1) = 0$. Réciproquement si $u \in \mathcal C^2$ s’annule aux deux extrémités, $w = u - G(-u'')$ satisfait $w'' = 0$, $w(0) = w(1) = 0$ : $w$ est affine et s’annule deux fois, donc $w = 0$. **3.** Soit $Gf = 0$, $f \in L^2$. Pour $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ : $\psi = G(-\psi'')$ par la question 2, donc $$ \langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0 $$ ($G$ [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint)) : par le lemme fondamental ([Corollaire 12.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#cor-b3-lp-fundlemma)), $f = 0$ p.p. Positivité : pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), avec $u = Gf$, $$ \langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ; $$ pour $f \in L^2$, approcher dans $L^2$ par des $f_n$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : les deux côtés passent à la limite ($G$ borné). **4.** Si $Gu = \lambda u$, $\lambda \neq 0$ : $Gu$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ($\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$, et le noyau est uniformément continu), donc $u$ a un représentant continu ; puis les formules de la question 2 montrent $Gu \in \mathcal C^2$, donc $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ avec $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ et $u(0) = u(1) = 0$. **5.** $-\lambda u'' = u$, $u(0) = 0$ : $u = A\sin(x/\sqrt\lambda)$ ($\lambda$ positif : par la question 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ sur les vecteurs propres). $u(1) = 0$ force $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ : $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$, fonctions propres $\sin(n\pi x)$, normalisées $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ($\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$). Vérification d’orthogonalité : $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ s’intègre à $0$ pour $m \neq n$. **6.** $\ker G = \{0\}$ (question 3), donc [Théorème 15.7](#thm-b3-spectral-spectral)(1) donne $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ : les sinus sont une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01)$. Pour $f(x) = x(1 - x)$ : $$ c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ impair},\\ 0 & n \text{ pair},\end{cases} $$ (deux intégrations par parties). [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) : $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ impair}}\frac{32}{n^6\pi^6}$, i.e. $\sum_{n\text{ impair}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$. **7.** $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$. Pour $x$ fixé, les coefficients de $g(x, \cdot)$ : $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$, donc $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ dans $L^2$. La série explicite $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ converge normalement sur le carré ($\abs{\text{terme}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$) : sa somme est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et pour chaque $x$ elle a les mêmes coefficients $L^2(\dd y)$ que $g(x, \cdot)$ : les deux fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) coïncident pour tout $(x, y)$. En posant $y = x$ et en intégrant (la convergence normale permet l’intégration terme à terme) : $$ \int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n . $$ **8.** $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$, donc $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$ : $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **9.** Pour $f = \mathbf 1$ : $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$ : $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ pour $n$ impair, $0$ pour $n$ pair. [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) : $1 = \sum_{n\text{ impair}}\frac{8}{n^2\pi^2}$, donc $\sum_{n\text{ impair}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$, et $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (les termes pairs sont $\frac14\zeta(2)$). Comparaison : [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) pour une $f$ somme $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ ; la formule de trace intègre la diagonale du *noyau*, ce qui revient à sommer [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sur une famille orthonormée entière d’un coup — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — et est donc aveugle à tout choix particulier de fonction test. **10.** $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ avec $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ : pour chaque $t$ la série converge dans $L^2$ (développement orthonormé, [Théorème 13.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval)(3)) ; la borne de queue $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ est uniforme en $t$, et chaque somme partielle est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $t$ (un nombre fini de cosinus) : $t \mapsto u(t,\cdot)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à valeurs dans $L^2$. Pour $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ : chaque mode $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ satisfait $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ appliqué à lui, s’annule en $x = 0, 1$, a pour valeur $\sin(n\pi x)$ et dérivée temporelle $0$ en $t = 0$ : la somme finie résout tout. Musicalement : le mouvement de la corde est une superposition d’*ondes stationnaires* $e_n$, dont les fréquences $n\pi$ sont le fondamental et ses harmoniques ; le théorème spectral dit que toute forme initiale se décompose de façon unique en ces tons purs, les coefficients $c_n$ étant le timbre. Entendre une corde, c’est calculer un développement orthonormé. **11.** Avec $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ : $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2}\sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz dans $\ell^2$). D’où les rapports $m_{p+1}/m_p$ sont croissants en $p$ ; comme $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$, $\frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ et $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$, la chaîne suit, chaque terme $\leq \mu_1$ car $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ terme à terme. Convergence : si $a_1 > 0$ (en écrivant le poids total de la valeur propre maximale comme $a_1$), alors $$ \mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1, $$ par convergence dominée des sommes (rapports $< 1$) : la méthode de la puissance converge pour tout vecteur de départ non orthogonal à l’espace propre [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal). **12.** Ponctuellement, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$, donc $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ pour tout $x$. En injectant ceci dans la formule max–min du [Exercice 15.8](#exo-b3-spectral-8) : $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$, et symétriquement en $A, B$ : $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ pour tous les $n$ d’un coup. **13.** $-w'' = x - x^2$ s’intègre en $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (avec $w(0) = 0$), et $w(1) = 0$ donne $c = \frac1{12}$ : $$ w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu . $$ Puis $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$, et avec $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ : $$ \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} . $$ Donc $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$, i.e. $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$ : $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (vraie valeur $\pi^2 = 9.8696$). Un polynôme, une intégrale, un chiffre. **14.** Écrire $u = x - x^2$, donc $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ et, en utilisant $\int u^2 = \frac1{30}$, $\int u^3 = \frac1{140}$, $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ : $$ \norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} . $$ D’où $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$, et par la question 11 ceci est encore $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ : $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$, i.e. $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — quatre chiffres (et l’itérée suivante en donnerait environ huit, l’erreur se contractant de $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ par étape). **15.** La famille $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ est une [base hilbertienne](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#def-b3-hilbert-onb) de $L^2(\intcc01^2)$ (orthonormalité par Tonelli ; totalité comme au [Exercice 15.5](#exo-b3-spectral-5)). Par la question 7, pour $x$ fixé : $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$, donc le coefficient de $g$ sur $e_m\otimes e_n$ est $$ \langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} . $$ [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) dans le carré : $$ \iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 . $$ **16.** Par symétrie de $g$, $$ \iint g^2 = 2\iint_{y 0$ pour tout $n$ (la suite $n^2\pi^2 \to \infty$ évite $\nu$ d’une marge), et $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ pour $n$ grand. Convergence $L^2$ : les coefficients $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ sont de carré sommable (dominés par $\frac{\abs{c_n}}\delta$). Convergence uniforme : les normes uniformes des queues sont bornées par $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Vérification : $Gf + \nu Gu$ a pour coefficient $e_n$ $$ \lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} : $$ exactement les coefficients de $u$, donc $u = Gf + \nu Gu$ ; unicité car une différence $v$ de solutions satisfait $v = \nu Gv$, i.e. $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ pour tout $n$ : $v = 0$. **20.** Comme à la question 19, l’équation $u = Gf + \nu Gu$ est équivalente à la famille d’équations de coefficients $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$, $n \geq 1$. Pour $n = m$ le membre de gauche est $0$ : la résolubilité force $c_m = 0$, et alors $\langle e_m, u\rangle$ est [libre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) tandis que tous les autres coefficients sont déterminés : les solutions forment la droite $u_0 + \R e_m$. Résonance : un forçage avec une composante sur le mode propre pompe de l’énergie dedans sans borne — la balançoire poussée à sa propre fréquence. **21.** De la formule de la question 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (pour $\nu < \pi^2$ la valeur propre la plus proche est $\pi^2$), avec égalité approchée sur $f = e_1$ : [norme d’opérateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) $\frac1{\pi^2 - \nu}$. Compacité : $R_\nu$ est la limite en norme de ses troncatures de rang fini (les coefficients de queue $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$) ; l’autoadjonction et la positivité se lisent sur la forme diagonale (tous les coefficients $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$). $R_\nu$ a pour valeurs propres $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ : l’analyse des Parties I–VI redémarre mot pour mot. **22.** Le dictionnaire : *valeur propre* $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ fréquence au carré $n^2\pi^2$ de la $n$-ième harmonique ; *trace* $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ; *norme de Hilbert–Schmidt* $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; *[alternative de Fredholm](#thm-b3-spectral-fredholm)* $\leftrightarrow$ résonance de la corde forcée ; *min–max* $\leftrightarrow$ estimations variationnelles, jusqu’à $\pi < 3.1437$ à partir d’un polynôme. Derrière chaque appariement, le même objet : un seul [opérateur compact](#def-b3-spectral-compact) [autoadjoint](#def-b3-spectral-selfadjoint), diagonalisé une fois, exploité de cinq façons. **23.** En scindant selon la parité et en substituant $n = 2m$ dans la partie paire, $$ \zeta(6) = \sum_{n\text{ impair}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64}, $$ donc $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ et $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$. La voie par la trace calculerait $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ comme $\iint g\,g_2$ avec le noyau itéré $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — trois intégrations de polynômes par morceaux ; [Parseval](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#thm-b3-hilbert-parseval) sur $x(1-x)$ n’en a demandé qu’une. **24.** (a) Diagonaliser : $v = \sum_na_nu_n$ (plus une composante éventuelle de noyau, sur laquelle $\langle v, Av\rangle$ ne gagne rien et $\norm v^2$ croît, donc un maximiseur n’en a pas). Alors $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$, avec égalité ssi $a_n = 0$ dès que $\mu_n < \mu_1$ : un maximiseur gît dans l’espace propre de $\mu_1$. (b) Pour tout $u$, $$ \langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0, $$ l’intégrande étant ponctuellement non négative. Si $P = \{u > 0\}$ et $N = \{u < 0\}$ ont tous deux une [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) positive, alors sur $P\times N$ l’intégrande égale $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ sur un ensemble de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) positive : inégalité stricte. Une fonction propre de $\mu_1$ $u$ maximise le quotient de Rayleigh, et $\abs u$ a la même norme, donc la strictesse exhiberait $R(\abs u) > \mu_1$ — impossible ; d’où $u$ a un signe constant p.p., disons $u \geq 0$. Alors $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ pour tout $x \in \intoo01$ ($k(x,\cdot) > 0$ et $u \neq 0$). (c) Si l’espace propre avait dimension $\geq 2$, il contiendrait deux fonctions propres *orthogonales* $u, v$, chacune de signe constant et ne s’annulant pas à l’intérieur par (b) ; mais alors $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — contradiction. Sur la corde : $k = g > 0$ sur le carré [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ est bien [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ est positif sur $\intoo01$ ; et chaque $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$, $n \geq 2$, orthogonal au $e_1$ positif, doit s’intégrer à zéro contre lui, donc change de signe — comme le confirment ses $n - 1$ zéros intérieurs $\frac kn$. **25.** Comme $n^2\pi^2 \to \infty$, le minimum $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ est atteint, en quelque mode $m$, et $d > 0$ car $\nu$ évite le spectre. La formule diagonale de la question 19 donne $$ \norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2, $$ avec égalité pour $f = e_m$ : $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$, l’inverse de la distance de $\nu$ au spectre — le principe général du résolvant, ici en coordonnées explicites. L’autoadjonction se lit sur les coefficients diagonaux réels ; la compacité suit comme à la question 21 (les coefficients tendent vers $0$, donc les troncatures de rang fini convergent en norme). Prix de la résonance : pour $f = e_1$ et $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$, la formule donne $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$, contre la réponse statique $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ : amplification $\frac1\varepsilon$. En $\varepsilon = 10^{-2}$ la réponse est $100$ fois la réponse statique — et elle diverge quand $\varepsilon \to 0$, ce qui est l’alternative de la question 20 vue du côté borné : plus la fréquence de forçage est proche d’une fréquence naturelle, moins l’inverse est borné.