--- title: "Fonctions holomorphes" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 16 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes --- # Chapitre 16 — Fonctions holomorphes La différentiabilité complexe ressemble à une petite variation sur la théorie réelle — une limite, un quotient. C’est en réalité un univers différent. Une fonction différentiable *une seule fois* sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\C$ est automatiquement indéfiniment différentiable, analytique, déterminée sur tout un domaine par ses valeurs près d’un seul point, et contrainte par des principes globaux rigides (Liouville, [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) maximum). Tout cela découle d’un unique miracle, le théorème de Cauchy : l’intégrale d’une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) le long d’un chemin fermé dans un domaine étoilé s’annule. Ce chapitre démontre le miracle (argument de Goursat, sans régularité au-delà de la différentiabilité), en récolte les conséquences classiques, et règle un théorème que ce livre utilise à crédit depuis le [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#ch-b3-galois) : tout polynôme complexe non constant a une racine. Tout au long, $\Omega \subseteq \C$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), et $D(a, r)$ désigne le disque [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology). ## 16.1 Différentiabilité complexe **Définition 16.1.** $f \colon \Omega \to \C$ est *holomorphe* sur $\Omega$ si pour tout $z_0 \in \Omega$ $$ f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} $$ existe ($h \in \C^*$). Sommes, produits, quotients (dénominateurs non nuls), compositions de fonctions holomorphes sont holomorphes, avec les formules usuelles (les preuves de première–deuxième année sont verbatim : elles n’utilisent que les opérations de corps et les limites). $\mathcal H(\Omega)$ désigne l’ensemble des fonctions holomorphes sur $\Omega$. **Proposition 16.2 (Cauchy–Riemann).** Écrivons $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$. Alors $f$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) en $z_0$ si et seulement si $f$ est $\R$-différentiable en $z_0$ (comme application de deux variables réelles) et $$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{en } z_0 ; $$ de façon équivalente, la différentielle réelle est la multiplication par le nombre complexe $f'(z_0)$. **Démonstration.** La $\C$-différentiabilité dit $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ avec $c = f'(z_0)$ : une différentielle $\R$-linéaire qui est la multiplication par $c = a + \iu b$, c’est-à-dire de matrice $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(1, \iu)$ — exactement les relations affichées pour les dérivées partielles. Réciproquement une telle différentielle est $\C$-linéaire, et les définitions en $o(\abs h)$ coïncident. ∎ **Exemple 16.3.** Les polynômes en $z$, les fractions rationnelles hors de leurs pôles, et — par le théorème de dérivation terme à terme des séries entières de deuxième année, dont la preuve fonctionne identiquement sur $\C$ — toute somme d’une série entière $\sum a_n(z - a)^n$ à l’intérieur de son disque de convergence : [holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo), de dérivée $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (même rayon). En particulier $\exp z = \sum z^n/n!$ est entière ([holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\C$) avec $\exp' = \exp$. En revanche $z \mapsto \bar z$, $\abs z$, $\operatorname{Re}z$ ne sont nulle part [holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) (Cauchy–Riemann échoue partout) : l’holomorphie est une rigidité qui préserve orientation et angles, non une [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) régularité. ## 16.2 Intégrales de contour **Définition 16.4.** Un *chemin* est une application $\mathcal C^1$ par morceaux $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; il est *fermé* si $\gamma(a) = \gamma(b)$. Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur l’image de $\gamma$ : $$ \int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma) $$ (l’*inégalité ML* ; longueur $= \int_a^b\abs{\gamma'}$). L’intégrale est invariante par reparamétrisation $\mathcal C^1$ croissante et change de signe par renversement d’orientation. **Proposition 16.5 (Primitives).** Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega$, les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $f$ admet une *primitive* $F \in \mathcal H(\Omega)$ ($F' = f$) ; (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ dans $\Omega$. Dans ce cas $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ pour tout chemin. **Démonstration.** (i)$\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (règle de la chaîne, valide par morceaux), donc l’intégrale se téléscope en la différence des extrémités ; les chemins fermés donnent $0$. (ii)$\Rightarrow$(i) : fixons $z_*$ dans une [composante connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components), définissons $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ le long d’un chemin quelconque de $z_*$ à $z$ (bien défini : deux chemins diffèrent d’un chemin fermé) ; pour $h$ petit, en prenant le segment de $z$ à $z + h$, $$ \frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0 $$ par l’inégalité ML et la continuité de $f$ en $z$. ∎ **Définition 16.6 (Nombre de tours).** Pour un chemin fermé $\gamma$ et $z \notin \operatorname{im}\gamma$, l’*indice* est $$ \operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} . $$ C’est un *entier* : en posant $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, la fonction $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ a une dérivée nulle (par morceaux), donc est constante ; en $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, d’où $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Comme fonction de $z$, l’indice est continu sur $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergence dominée), donc constant sur chaque [composante connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components), et $0$ sur la composante non bornée (ML : l’intégrale tend vers $0$ quand $z \to \infty$). Pour le cercle $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ pour $z \in D(a,r)$ (calculer en $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; la constance fait le reste). ## 16.3 Théorème de Cauchy **Théorème 16.7 (Goursat).** Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $T \subseteq \Omega$ un triangle plein fermé. Alors $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (bord parcouru une fois, orientation quelconque). **Démonstration.** Posons $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$. En joignant les milieux des côtés, on découpe $T$ en quatre triangles de demi-taille $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$, et les arêtes intérieures s’annulent deux à deux : $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$. Choisissons $T_1$ parmi eux avec $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$, et itérons : une suite emboîtée $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ avec $$ \abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T). $$ L’intersection $\bigcap T_n$ est un unique point $z_0$ (compacts emboîtés de diamètres tendant vers $0$, le [Théorème 6.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#thm-b3-topology-compactprops)(3)). Différentiabilité en $z_0$ : donné $\varepsilon$, pour $n$ grand, sur $T_n$, $$ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n . $$ La partie affine a une primitive : son intégrale sur le fermé $\partial T_n$ s’annule (la [Proposition 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive)), il reste $$ \abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) . $$ Comparant avec $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ pour tout $\varepsilon$ : $I(T) = 0$. ∎ **Théorème 16.8 (Théorème de Cauchy, version étoilée).** Soit $\Omega$ *étoilé* par rapport à $c$ (tout segment $[c, z]$, $z \in \Omega$, est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans $\Omega$) — p. ex. convexe. Toute $f \in \mathcal H(\Omega)$ admet une primitive sur $\Omega$ ; par conséquent $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ pour *tout* chemin fermé $\gamma$ dans $\Omega$. **Démonstration.** Définissons $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$. Pour $z, z + h \in \Omega$ avec $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (vrai pour $h$ petit), le triangle de sommets $c, z, z+h$ est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans $\Omega$ (étoilé : chacun de ses points est sur un segment $[c, w]$ avec $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$) : Goursat donne $$ F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w, $$ et le calcul du quotient différentiel de la [Proposition 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive) fournit $F' = f$. L’annulation des intégrales sur les chemins fermés suit de la même proposition. ∎ **Théorème 16.9 (Formule intégrale de Cauchy).** Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$, $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$, et $C_r$ le cercle $\partial D(a,r)$ parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Alors pour tout $z \in D(a, r)$ : $$ f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w . $$ **Démonstration.** Fixons $z$ et définissons sur $\Omega$ $$ g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases} $$ $g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega$ et [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) hors de $z$. Goursat vaut pour $g$ sur tout triangle $T \subseteq \Omega'$, où $\Omega'$ est un disque légèrement plus grand que $\bar D(a,r)$ dans $\Omega$ : si $z \notin T$, directement ; si $z \in T$, découper $T$ en petits triangles ayant $z$ pour sommet plus des triangles évitant $z$ ; sur un triangle de sommet $z$ la borne ML donne $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ quand le triangle se rétrécit, et les morceaux restants s’annulent par Goursat — d’où $\int_{\partial T}g = 0$ dans tous les cas. La preuve du [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy) n’utilisait que cette propriété triangulaire : $g$ a une primitive sur le convexe $\Omega'$, donc $\int_{C_r}g = 0$, c’est-à-dire $$ \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) . $$ ∎ ## 16.4 Analyticité et sa cascade **Théorème 16.10 (Holomorphe === analytique).** Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $D(a, R) \subseteq \Omega$. Alors $$ f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{sur } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R), $$ les coefficients étant indépendants de $r$. Par conséquent $f$ est indéfiniment $\C$-différentiable, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$, et les *estimations de Cauchy* valent : $$ \abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} . $$ **Démonstration.** Pour $\abs{z - a} < r$ : développer le noyau de Cauchy en série géométrique $$ \frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}}, $$ normalement convergente en $w$ sur $C_r$ ($\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$) : intégrer terme à terme contre $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (la convergence uniforme justifie l’interversion) et appliquer le [Théorème 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula). Une série entière est indéfiniment différentiable avec $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (deuxième année), ce qui montre aussi que les $c_n$ ne dépendent pas de $r$. Les estimations : borner l’intégrale des coefficients par ML. ∎ **Exemple 16.11 (Les singularités dictent les rayons).** Pourquoi l’innocente fonction réelle $\frac1{1 + x^2}$ a-t-elle une série de Taylor en $x = 3$ ne convergeant que pour $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, alors que rien ne se passe de mal sur la droite réelle ? Parce que le théorème ci-dessus rend le rayon de convergence en $a$ égal à la distance de $a$ au point le plus proche où l’holomorphie échoue. Ici $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) exactement sur $\C\setminus\{\pm\iu\}$, donc le développement en $a = 3$ converge sur le plus grand disque évitant $\pm\iu$, de rayon $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — et ne peut converger sur un plus grand, car la somme étendrait $f$ holomorphiquement à un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\pm\iu$, où $\abs f \to \infty$. La théorie réelle voit le mystérieux rayon $\sqrt{10}$ ; le plan complexe voit deux pôles. Règle pratique : *pour trouver un rayon de convergence, localiser les singularités* — p. ex. la série de Taylor de $\tan$ en $0$ a pour rayon $\frac\pi2$ (zéros les plus proches de $\cos$), et la fonction génératrice de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (le [Problème 16.1](#pb-b3-holomorphic-1), partie VI) a pour rayon $2\pi$ (zéros non nuls les plus proches de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$). **Corollaire 16.12 (Liouville ; d’Alembert–Gauss).** Une fonction entière bornée est constante. Par conséquent tout polynôme non constant sur $\C$ a une racine : *$\C$ est [algébriquement clos](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-closure)*. **Démonstration.** Si $\abs f \leq M$ sur $\C$ : pour tout $a$ et $r$, $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$, et $f$ est constante (sur le [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\C$ : dérivée nulle implique localement constante — intégrer le long des segments). Si $P$ n’avait pas de racine, $1/P$ serait entière et bornée ($\abs{P(z)} \to \infty$ quand $\abs z \to \infty$ : le terme dominant domine, donc $\abs{1/P}$ est petit hors d’un grand disque et continu sur le disque compact) : constante — absurde pour $P$ non constant. (Le problème de week-end donne une seconde preuve élémentaire et les conséquences [algébriques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic).) ∎ **Théorème 16.13 (Zéros isolés ; théorème d’identité).** Soit $\Omega$ *[connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected)* et $f \in \mathcal H(\Omega)$, $f \not\equiv 0$. Alors tout zéro $a$ de $f$ a un *ordre* fini : $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ avec $g \in \mathcal H(\Omega)$, $g(a) \neq 0$, et les zéros de $f$ n’ont pas de point d’accumulation dans $\Omega$. Par conséquent, si deux [fonctions holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\Omega$ coïncident sur un ensemble ayant un point d’accumulation dans $\Omega$, elles coïncident partout. **Démonstration.** Soit $Z$ l’ensemble des points où toutes les dérivées de $f$ s’annulent. $Z$ est fermé (intersection de fermés) et [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) : si tous les $c_n = 0$ en $a$, le développement en série entière rend $f \equiv 0$ sur un disque autour de $a$. Connexité : $Z = \varnothing$ ou $Z = \Omega$ ; ce dernier est exclu par $f \not\equiv 0$. Donc en un zéro $a$, un coefficient est non nul : soit $m$ minimal avec $c_m \neq 0$ ; alors $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ sur un disque, et la somme définit $g$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) près de $a$ avec $g(a) = c_m \neq 0$ ; étendre $g = f/(z-a)^m$ hors de $a$ ([holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) là). Comme $g(a) \neq 0$ et $g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), $f$ n’a pas d’autre zéro dans un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $a$ : les zéros sont isolés, et un ensemble de points isolés n’a pas de point d’accumulation dans $\Omega$ (un point d’accumulation de zéros est un zéro — continuité — et ne serait pas isolé). Identité : appliquer à la différence, dont l’ensemble des zéros a un point d’accumulation, ce qui force la branche $Z = \Omega$. ∎ **Théorème 16.14 (Valeur moyenne et module maximum).** Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$. 1. (Valeur moyenne) Pour $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ . 2. (Principe du maximum) Si $\Omega$ est [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) et $\abs f$ atteint un maximum local en un point de $\Omega$ , alors $f$ est constante. Par conséquent, pour $\Omega$ borné et $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ . **Démonstration.** (1) est la formule de Cauchy au [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) : paramétrer $C_r$. (2) Supposons $\abs f \leq \abs{f(a)}$ sur $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$. Si $f(a) = 0$, $f \equiv 0$ près de $a$. Sinon, pour $0 < r \leq \rho$, la valeur moyenne donne $$ \abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} : $$ l’intégrande [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) non négative $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ a moyenne nulle, donc s’annule : $\abs f$ est *constante* $= \abs{f(a)} \ne 0$ sur le disque. Une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) de [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) non nul constant sur un disque est constante : dériver $P^2 + Q^2 = \text{const}$ donne $PP_x + QQ_x = 0$ et $PP_y + QQ_y = 0$ ; en substituant les relations de Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$, $Q_y = P_x$ dans la seconde équation on obtient le système linéaire $$ P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0, $$ dont le déterminant est $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$, donc $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ sur le disque : $f$ constante là. Le théorème d’identité propage la constance à tout $\Omega$. Forme au bord : $\abs f$ atteint son sup sur le compact $\bar\Omega$ ; un maximum intérieur rend $f$ constante, et le sup est atteint sur le bord dans tous les cas. ∎ **Théorème 16.15 (Théorème de convergence de Weierstrass).** Si $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ convergent vers $f$ uniformément sur tout sous-ensemble compact de $\Omega$, alors $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformément sur les compacts, pour tout $k$. **Démonstration.** $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Pour tout triangle fermé $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergence uniforme sur le compact $\partial T$ ; Goursat pour les $f_n$). Par l’argument du [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy), $f$ a des primitives locales (les disques sont convexes ; seule la propriété triangulaire a été utilisée), c’est-à-dire $f = F'$ localement avec $F$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) ; $F$ est analytique (le [Théorème 16.10](#thm-b3-holomorphic-analytic)), donc aussi $f = F'$ : [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo). (C’est le *théorème de Morera* : [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à intégrales triangulaires nulles implique [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo).) Dérivées : pour $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ et $z \in \bar D(a, r)$, la formule de Cauchy pour les dérivées (dériver le [Théorème 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula) sous l’intégrale, ou utiliser la formule des coefficients) donne $$ \abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0 $$ uniformément sur $\bar D(a,r)$ ; recouvrir un compact par un nombre fini de tels disques, et itérer pour les $k$ plus élevés. ∎ ![Formule de Cauchy : les valeurs d’une fonction holomorphe à l’intérieur d’un disque sont une moyenne pondérée de ses valeurs sur le cercle bord. Tout ce qui est rigide dans l’holomorphie — analyticité, Liouville, principe du maximum — se déploie à partir de cette unique identité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-holomorphic/fig-9bf653c7459a.svg) *Formule de Cauchy : les valeurs d’une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) *à l’intérieur* d’un disque sont une moyenne pondérée de ses valeurs sur le cercle bord. Tout ce qui est rigide dans l’holomorphie — analyticité, Liouville, principe du maximum — se déploie à partir de cette unique identité.* **Méthode 16.16.** La boîte à outils quotidienne. Pour prouver qu’une fonction est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) : l’exhiber comme série entière, composition, limite localement uniforme (le [Théorème 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)), ou intégrale à paramètre [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) (l’[Exercice 16.7](#exo-b3-holomorphic-7) — dériver sous $\int$ ou appliquer Morera–Fubini). Pour prouver des identités : les prouver sur un segment ou un sous-domaine et invoquer le théorème d’identité. Pour borner : [estimations de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) sur le plus grand cercle disponible. Pour prouver constance/non-existence : Liouville ou le principe du maximum. Toujours savoir *où* la fonction est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) et *quels* disques tiennent dans $\Omega$. ## 16.5 Exercices **Exercice 16.1 ★.** (a) En quels points $z \mapsto \bar z$, $\abs z^2$, $\operatorname{Re}z$ sont-elles complexe-différentiables ? [Holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) ? (b) Montrer que $P(x, y) = x^2 - y^2$ est la partie réelle d’une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\C$, trouvée explicitement, et déterminer *toutes* ces fonctions. **Solution de Exercice 16.1.** (a) $\bar z$ : $P = x$, $Q = -y$, donc $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : nulle part $\C$-différentiable. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$, $Q = 0$ : Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$ : différentiable en $0$ seulement — et [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) nulle part (pas d’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : nulle part. (b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ convient. Toutes les solutions : si $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ avec $f, g$ [holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur le [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\C$, alors $h = f - g$ a $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann donne $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ est une constante imaginaire. Réponse : $f(z) = z^2 + \iu c$, $c \in \R$. **Exercice 16.2 ★.** Calculer à partir des définitions : $\int_{C}z^n\,\dd z$ pour tout $n \in \Z$, $C$ le cercle unité ; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ le long du segment $[0, 1+\iu]$ et le long du chemin en deux segments passant par $1$ : conclure que $\bar z$ n’a pas de primitive sur aucun [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de ces chemins. **Solution de Exercice 16.2.** Sur le cercle unité $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ : $$ \int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases} $$ Pour $\bar z$ : le long de $[0, 1+\iu]$, $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$. Le long de $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$. Valeurs différentes entre les mêmes extrémités : par la [Proposition 16.5](#prop-b3-holomorphic-primitive), $\bar z$ n’a pas de primitive sur aucun [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) contenant les deux chemins. **Exercice 16.3 ★★.** (a) Montrer que le logarithme principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ($\arg \in \intoo{-\pi}\pi$) est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ de dérivée $\frac1z$ *(primitive de $\frac1z$ sur le plan découpé étoilé : le [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy) ; fixer la constante)*. (b) Montrer qu’aucun logarithme continu n’existe sur $\C^*$ *(son obstruction sans dérivée : l’[indice](#def-b3-holomorphic-index) du cercle unité)*. (c) Développer $\log(1 + z)$ en série entière sur $D(0,1)$. **Solution de Exercice 16.3.** (a) Le plan découpé $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ est étoilé par rapport à $1$, et $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : le [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy) fournit une primitive $L$ avec $L(1) = 0$. Alors $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ avec $c = 1$ (en $z = 1$). Écrivant $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ et $z = \abs z\eu^{\iu v}$ avec $v$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), $v(1) = 0$, $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ($v$ est un argument continu de $z$ sur le [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\Omega$, donc son image évite les multiples impairs de $\pi$ — aucun point de $\Omega$ n’est sur $\R_-$ — et, contenant $v(1) = 0$, reste dans $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ est l’argument principal) : $L = \log$. (b) Si $g$ était un logarithme continu sur $\C^*$ : $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ satisfait $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$, donc $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$, et par continuité $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ pour un entier $k$ fixe. Alors $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ et $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : contradiction. (c) Sur $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — les deux membres s’annulent en $0$ et ont pour dérivée $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (l’[Exemple 16.3](#ex-b3-holomorphic-examples)) ; une primitive est unique à constante près sur le disque [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected). **Exercice 16.4 ★★.** (a) Soit $f$ entière avec $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$. Montrer que $f$ est un polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq n$ *([estimations de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) sur de grands cercles)*. (b) Soit $f$ entière avec $\operatorname{Re}f$ bornée supérieurement. Montrer que $f$ est constante *(considérer $\eu^{f}$)*. (c) En déduire le « petit Picard pour les applications affines » : une fonction entière omettant un demi-plan est constante. **Solution de Exercice 16.4.** (a) Développer en $0$ (rayon $\infty$) : par les [estimations de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic) sur $C_r$, $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ quand $r \to \infty$ pour $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$. (b) Si $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ est entière avec $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante par Liouville. Alors $g' = f'g = 0$ avec $g$ non nulle : $f' = 0$, et $f$ est constante. (c) Si $f$ omet le demi-plan $H$, une application affine $w \mapsto \alpha w + \beta$ envoie $\C\setminus H$ dans $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; appliquer (b) à $\alpha f + \beta$. **Exercice 16.5 ★★.** (a) Soit $f$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur un $\Omega$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\ni 0$ avec $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ pour tout $n$ assez grand. Déterminer $f$. (b) Existe-t-il une $f$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\C^*$ satisfaisant $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ pour tout $n \geq 1$ ? Justifier. (c) Exhiber deux [fonctions holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) distinctes sur $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ coïncidant sur $D(0,1)$ : où le théorème d’identité utilise-t-il la connexité ? **Solution de Exercice 16.5.** (a) $g(z) = f(z) - z^2$ s’annule aux points $\frac1n$, qui s’accumulent en $0 \in \Omega$ : par le théorème d’identité ($\Omega$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected)), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$. (b) Oui : $f(z) = z\cos(\pi/z)$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\C^*$ (composition) et $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$. Pas de contradiction avec (a) : le point d’accumulation $0$ des nœuds d’interpolation n’appartient *pas* à $\C^*$, donc le théorème d’identité se tait — deux fonctions distinctes ($z\cos(\pi/z)$ et, disons, celle d’une autre interpolation) peuvent partager ces valeurs. (c) $f \equiv 0$ partout, versus $g = 0$ sur $D(0,1)$ et $g = 1$ sur $D(3,1)$ : [holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur l’union non [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected), égales sur $D(0,1)$, différentes. L’argument ouvert-fermé du théorème d’identité a besoin de la connexité pour propager d’une composante à l’autre — et ne le peut pas. **Exercice 16.6 ★★.** Soit $f$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur le disque unité [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\mathbb D$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\bar{\mathbb D}$, avec $\abs f \equiv 1$ sur le cercle bord. (a) Si $f$ n’a pas de zéro dans $\mathbb D$, montrer que $f$ est constante *(appliquer le principe du maximum à $f$ et à $1/f$)*. (b) Donner un exemple avec un zéro où $f$ n’est pas constante. **Solution de Exercice 16.6.** (a) Par le principe du maximum appliqué sur le domaine borné : $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$. Comme $f$ n’a pas de zéro, $1/f$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\mathbb D$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur l’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), de [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) bord $1$ : de même $\abs{1/f} \leq 1$, c’est-à-dire $\abs f \geq 1$. Donc $\abs f \equiv 1$ : le [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) atteint un maximum intérieur, et le [Théorème 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2) force $f$ constante. (b) $f(z) = z$ : [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) bord $1$, zéro à l’origine, non constante — le zéro bloque exactement l’argument $1/f$. **Exercice 16.7 ★★.** (Holomorphie sous l’intégrale) Soit $\mu$ une [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) finie sur un espace $X$ et $g \colon X\times\Omega \to \C$ avec : $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ pour chaque $x$, $g$ [mesurable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) en $x$, et $\abs g \leq h(x)$ avec $h$ [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), localement uniformément en $z$. Montrer que $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\Omega$. *(Morera : les intégrales triangulaires s’annulent par Fubini et Goursat ; continuité par convergence dominée. Puis appliquer à $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ sur $\{\operatorname{Re}z > 0\}$.)* **Solution de Exercice 16.7.** Continuité de $G$ : convergence dominée avec dominateur $h$ (borne localement uniforme). Holomorphie par Morera (établi dans le [Théorème 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) : pour un triangle fermé $T$ dans un disque où $\abs g \leq h$, $$ \int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0, $$ l’interversion par Fubini ($\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$) et l’annulation intérieure par Goursat. Pour $\Gamma$ : sur la bande $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ($0 < a \leq b$), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$, [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sur $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (la [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) n’est que $\sigma$-finie, mais l’argument n’a besoin que du dominateur [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)). Par le théorème d’identité, l’équation fonctionnelle $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$, prouvée sur $\intoo0{+\infty}$ (l’[Exemple 10.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma)), vaut sur tout le demi-plan. **Exercice 16.8 ★★★.** (Gauss–Lucas) Soit $P \in \C[X]$ non constant. Montrer que toute racine de $P'$ est dans l’enveloppe convexe des racines de $P$. *(Écrire $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ en un zéro $z$ de $P'$ qui n’est pas zéro de $P$, prendre les conjugués, et lire une combinaison convexe.)* Illustrer sur $P = z^3 - 1$. **Solution de Exercice 16.8.** Écrire $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (le [Problème 16.1](#pb-b3-holomorphic-1)). Soit $P'(z) = 0$. Si $P(z) = 0$, alors $z$ est l’un des $a_k$ : dans l’enveloppe. Sinon, la dérivée logarithmique donne $$ 0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ; $$ en conjuguant, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ avec $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$, une combinaison convexe des racines. Pour $P = z^3 - 1$ : racines les racines cubiques de l’unité, $P' = 3z^2$ avec racine double $0$ — le barycentre du triangle équilatéral. **Exercice 16.9 ★★★.** Soit $f$ entière et doublement périodique : $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ pour tout $z$. Montrer que $f$ est constante. *(Borner $f$ sur le carré fondamental compact, puis partout ; Liouville.)* Morale : les fonctions elliptiques non constantes doivent avoir des pôles — le thème du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues). **Solution de Exercice 16.9.** Le carré unité fermé $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ est compact : $M = \sup_K\abs f < \infty$. Tout $z \in \C$ diffère d’un point de $K$ d’un élément de $\Z + \iu\Z$ (soustraire les parties entières), et $f$ est invariante sous ces translations (itérer les deux relations) : $\abs f \leq M$ sur $\C$. Liouville : $f$ est constante. D’où toute fonction méromorphe doublement périodique non constante — les fonctions elliptiques de la théorie classique — doit avoir des pôles. **Exercice 16.10 ★★.** (a) Montrer que $P = \operatorname{Re}f$ d’une $f$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) satisfait la propriété de la moyenne $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ et est *harmonique* : $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (dériver Cauchy–Riemann ; utiliser le [Théorème 16.10](#thm-b3-holomorphic-analytic) pour la régularité requise). (b) En déduire le principe du maximum pour les parties réelles de [fonctions holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur des domaines bornés. **Solution de Exercice 16.10.** (a) Prendre les parties réelles dans la formule de la moyenne (le [Théorème 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(1)). Régularité : $f$ est analytique, donc $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; dériver Cauchy–Riemann : $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (symétrie de Schwarz des dérivées secondes) : $\Delta P = 0$. (b) Si $\operatorname{Re}f$ atteignait un maximum intérieur sur un $\Omega$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) : $g = \eu^f$ a $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ atteignant un maximum intérieur, donc $g$, d’où $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$, est constante (le [Théorème 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2)). Sur un domaine borné avec continuité jusqu’au bord, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$. **Exercice 16.11 ★★★.** (Réflexion de Schwarz) Soit $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$, $I = \intoo{-1}1$, et $f$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\Omega^+$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega^+\cup I$, *à valeurs réelles sur $I$*. Définir $$ F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases} $$ (a) Montrer que $F$ est bien définie et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$, et [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\Omega^\pm$ *(pour $\Omega^-$ : vérifier Cauchy–Riemann pour $\overline{f(\bar z)}$, ou développer $f$ en série entière locale et conjuguer les coefficients)*. (b) Montrer que $F$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur tout $\Omega$ par le critère de Morera : $\int_{\partial T}F = 0$ pour tout triangle $T \subseteq \Omega$ *(découper les triangles en $I$ et pousser leurs côtés horizontaux hors de l’axe de $\varepsilon$, en utilisant la continuité uniforme)*. (c) En déduire : une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur le disque, réelle sur un diamètre, satisfait $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; et une [fonction holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) non constante ne peut être à valeurs réelles sur aucun [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) non vide de son domaine ([connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected)). **Solution de Exercice 16.11.** (a) Les deux formules coïncident sur $I$ ($z = \bar z$ et $f$ réelle là : $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$), et $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega^-\cup I$ comme composition d’[applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $F$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Omega$. Holomorphie sur $\Omega^-$ : près de $z_0 \in \Omega^-$, développer $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ près de $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; alors $$ \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n, $$ une série entière convergente : [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo). (b) Les triangles évitant $I$ sont traités par Goursat dans $\Omega^\pm$. Pour un triangle rencontrant $I$, le couper par l’axe réel en au plus trois triangles/quadrilatères, chacun avec un côté sur $I$ ; pour un tel morceau $P$ [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans, disons, $\overline{\Omega^+}$, l’[intégrale de contour](#def-b3-holomorphic-contour) est la limite quand $\varepsilon \to 0^+$ de l’intégrale sur des translatées de type $P + \iu\varepsilon$ (la continuité uniforme de $F$ sur le morceau compact fait converger les intégrales de bord, le côté sur $I$ étant approché par le haut), et chaque translatée est dans $\Omega^+$ où Goursat donne $0$. En sommant les morceaux : $\int_{\partial T}F = 0$. Morera (le critère dans le [Théorème 16.15](#thm-b3-holomorphic-weierstrassconv)) : $F$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $\Omega$. (c) Sur le disque, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) par le calcul de (a) et coïncide avec $f$ sur le diamètre, ensemble à points d’accumulation : $G = f$ partout (théorème d’identité). Si $f$ était réelle sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) non vide $U$ : sur $U$ les deux dérivées partielles de $Q = \operatorname{Im}f$ s’annulent, et Cauchy–Riemann transfère cela à $P = \operatorname{Re}f$ ($P_x = Q_y = 0$, $P_y = -Q_x = 0$), donc $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ sur $U$ : $f$ est constante sur $U$, d’où partout par le théorème d’identité ($\Omega$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected)). **Exercice 16.12 ★★.** (L’équation de Pythagore complexe) Trouver tous les couples de fonctions *entières* avec $f^2 + g^2 = 1$. (a) Montrer que $h = f + \iu g$ est entière et sans zéro, et que toute fonction entière sans zéro est $\eu^{\varphi}$ pour une $\varphi$ entière *($h'/h$ est entière, donc a une primitive sur le $\C$ étoilé ; ajuster la constante et montrer que $h\eu^{-\varphi}$ est constante)*. (b) Conclure $f = \cos\varphi$, $g = \sin\varphi$ avec $\varphi$ entière, et vérifier la réciproque. Quelles sont les solutions entières de $f^2 + g^2 = 0$ ? **Solution de Exercice 16.12.** (a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$, donc $h = f + \iu g$ ne s’annule jamais (son cofacteur devrait exploser). Pour $h$ entière sans zéro : $h'/h$ est entière, et $\C$ est étoilé, donc elle a une primitive $\varphi_0$ (le [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy)) ; alors $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ avec $c \neq 0$, et en absorbant une constante $\log c$ dans $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (n’importe quel logarithme complexe de $c$) : $h = \eu^{\varphi}$. (b) Avec $h = \eu^{\varphi}$ et $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ : $$ f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} . $$ En écrivant $\varphi = \iu\psi$ avec $\psi = -\iu\varphi$ entière, cela lit $f = \cos\psi$, $g = \sin\psi$ : les solutions entières sont exactement les couples $(\cos\psi, \sin\psi)$ avec $\psi$ entière, et la réciproque est l’identité $\cos^2 + \sin^2 = 1$. Pour $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ dans l’anneau intègre $\mathcal H(\C)$ ($\C$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) : des diviseurs de zéro violeraient le théorème d’identité) : $g = \pm\iu f$ avec $f$ entière arbitraire. ## 16.6 Problème : le théorème fondamental de l’algèbre, deux fois **Problème 16.1.** Problème de week-end — $\C$ est algébriquement clos : preuve de d’Alembert, preuve de Liouville, et la récolte Soit $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$, $n \geq 1$. Nous prouvons deux fois que $P$ a une racine, puis recueillons ce que l’algèbre attend depuis le [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#ch-b3-galois). **Partie I — Coercivité et le minimum.** 1. Montrer que $\abs{P(z)} \to +\infty$ quand $\abs z \to \infty$ : précisément, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ pour $\abs z \geq R_0$ convenable. 2. En déduire que $\abs P$ atteint un minimum global sur $\C$ : il existe $z_0$ avec $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ *(compacité d’un grand disque fermé, le [Corollaire 6.17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#cor-b3-topology-heineborel))* . **Partie II — La descente de d’Alembert.** Supposons, par l’absurde, $P(z_0) \neq 0$. 3. Développer $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ comme polynôme en $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ avec $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , $S$ un polynôme. 4. Choisir la direction de descente : pour $t > 0$ petit, poser $h = t\,\omega$ où $\omega^k = -1/c_k$ (pourquoi un tel $\omega$ existe-t-il ? — *prouver* l’existence de racines $k$-ièmes de tout nombre complexe via la forme polaire, indépendamment du théorème en cours de démonstration). Montrer $$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$$ pour $t$ petit, avec une constante $C$ explicite. 5. Conclure $\abs{Q(t\omega)} < 1$ pour $t$ petit — contredisant la minimalité de $\abs{P(z_0)}$ . D’où $P(z_0) = 0$ : *tout polynôme complexe non constant a une racine* (d’Alembert–Argand). **Partie III — Le one-liner de Liouville, en entier.** 6. Rédiger soigneusement la preuve du [Corollaire 16.12](#cor-b3-holomorphic-liouville) : si $P$ n’a pas de racine, vérifier que $1/P$ est entière, bornée (quantifier, en utilisant la question 1), donc constante, et conclure. Comparer les deux preuves : quels ingrédients chacune utilise-t-elle ? (La compacité apparaît dans les deux — où ?) **Partie IV — La récolte.** 7. Montrer que tout $P \in \C[X]$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ se scinde : $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ avec $\sum m_i = n$ *(récurrence, division euclidienne par $(X - \alpha)$)* . 8. Montrer que les polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont les linéaires et les quadratiques à discriminant négatif *(apparier les racines conjuguées)* ; en déduire que tout polynôme réel de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) impair a une racine réelle, et donner une seconde preuve, d’ordre théorique, de ce dernier fait (théorème des valeurs intermédiaires) — en vérifiant qu’elles s’accordent sur $X^3 - X - 1$ . 9. En déduire les dettes que ce livre peut maintenant rembourser : (i) tout endomorphisme d’un espace vectoriel $\C$ non nul de dimension finie a une valeur propre, donc toute matrice complexe a une [forme de Jordan](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-jordan) (le [Théorème 3.18](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-jordan) ) ; (ii) le corps $\bar\Q$ des nombres [algébriques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) utilisé dans la [Remarque 4.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#rem-b3-galois-closureexamples) est bien une [clôture algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-closure) de $\Q$ . 10. (Finale) Localiser où chaque preuve casserait sur un corps comme $\Q(\iu)$ : quelles étapes utilisent l’existence de racines $k$ -ièmes (question 4), et lesquelles utilisent la compacité ou la complétude (questions 2 et 6) ? Conclure en cinq lignes : le théorème est authentiquement *analytique* — toute preuve invoque quelque part la complétude ou la connexité de $\R$ — même si son énoncé est purement [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) . **Partie V — L’échelle de rigidité des fonctions entières.** Liouville est le premier barreau d’une échelle ; nous grimpons. 11. ([Estimations de Cauchy](#thm-b3-holomorphic-analytic)) À partir de la formule de Cauchy sur le cercle de rayon $r$ autour de $a$, prouver $$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$$ et retrouver Liouville comme le cas $n = 1$, $r \to \infty$. 12. (Croissance polynomiale) Montrer qu’une $f$ entière avec $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ pour tout $z$ est un polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\leq m$ *(tuer les coefficients de Taylor au-delà de $m$ avec la question 11)* . 13. (Partie réelle bornée) Montrer qu’une $f$ entière avec $\operatorname{Re}f$ bornée supérieurement est constante *(appliquer Liouville à $\eu^{f}$)* . 14. (Double périodicité) Soit $f$ entière avec $f(z + 1) = f(z)$ et $f(z + \iu) = f(z)$ pour tout $z$ . Montrer que $f$ est constante. Conclure : une fonction « elliptique » non constante doit avoir des singularités — la raison historique pour laquelle les pôles entrent en analyse complexe. 15. (Image [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ) Montrer que l’image d’une fonction entière non constante est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\C$ : si $f(\C)$ manque un disque $D(a, r)$ , alors $\frac1{f - a}$ est entière et bornée. (Picard a prouvé que l’image manque au plus *un point* ; la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) est le niveau que nos outils atteignent.) 16. (Propre $\Rightarrow$ polynôme) Supposons $f$ entière et $\abs{f(z)} \to \infty$ quand $\abs z \to \infty$ . Montrer : les zéros de $f$ sont en nombre fini ( $z_1, \dots, z_p$ , avec multiplicités $m_i$ ) ; le quotient $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ est entier et sans zéro ; $1/g$ a une croissance polynomiale, donc (question 12) est un polynôme, nécessairement constant (sans zéro) ; conclure que $f$ est un polynôme. Ainsi parmi les fonctions entières, les polynômes sont exactement les propres — $\eu^z$ échoue à la propreté le long de $\R_-$ . **Partie VI — Ombres harmoniques et une moyenne de Gauss.** 17. Soit $f = u + \iu v$ [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology). Vérifier que $u = \operatorname{Re}f$ satisfait la propriété de la moyenne $$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$$ (partie réelle de la formule de Cauchy), et en déduire le principe du maximum pour $u$ sur un domaine borné, avec la même preuve de connexité que pour $\abs f$. 18. (Moyenne de Gauss) Pour $a \in \C$ et $r > 0$ avec $\abs a \neq r$, prouver $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$$ *(si $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ est la partie réelle d’un logarithme [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) du disque fermé — pourquoi en existe-t-il un ? — donc la question 17 s’applique ; si $\abs a < r$ : factoriser $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu \theta}}$ et réutiliser le premier cas)*. 19. ([Mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure) de Mahler) Pour $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$, en déduire la *formule de Jensen pour les polynômes* : $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$$ la moyenne géométrique de $\abs P$ sur le cercle unité lit les racines hors du disque. Vérifier sur $P = X^2 - X$ et sur $P = 2X - 1$. 20. (Nombres de Bernoulli) Définir les coefficients $B_n$ par $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ près de $0$ (pourquoi le membre de gauche est-il analytique en $0$ ?). Dériver la récurrence $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calculer $B_0, \dots, B_6$ , et montrer $B_{2k+1} = 0$ pour $k \geq 1$ *(la fonction $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ est paire)* . Ces nombres tariferont chaque $\zeta(2k)$ dans le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues) . 21. (Réalité) Montrer qu’une fonction entière prenant des valeurs réelles sur $\R$ satisfait $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ partout *(comparer les coefficients de Taylor en $0$, ou appliquer le théorème d’identité à $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$)* ; en déduire à nouveau que les racines non réelles des polynômes réels viennent par paires conjuguées (appariement de la question 8, reprouvé analytiquement). 22. (La morale) Assembler l’échelle de rigidité : bornée $\Rightarrow$ constante ; polynomialement bornée $\Rightarrow$ polynôme ; propre $\Rightarrow$ polynôme ; manquant un disque $\Rightarrow$ constante ; doublement périodique $\Rightarrow$ constante. Contraster en un court paragraphe avec les fonctions réelles $\mathcal C^\infty$ (fonctions bosselées, le [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization) ) : pourquoi l’holomorphie, condition purement locale, impose-t-elle une loi et un ordre globaux ? **Partie VII — Dernière récolte.** 23. (Inégalité de Landau) Pour $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$, prouver la moyenne $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (orthogonalité des $\eu^{\iu k\theta}$), puis, en utilisant la borne ponctuelle $\log t \leq t - 1$ pour comparer les moyennes de $\log\abs P^2$ et $\abs P^2$, déduire de la question 19 que $$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$$ le produit des racines hors du disque unité est contrôlé par la taille $\ell^2$ des coefficients (traiter les racines *sur* le cercle en appliquant l’inégalité à $P(rX)$ et en faisant $r \to 1$). Vérifier sur $X^2 - X$. 24. (Les nombres de Bernoulli croissent factoriellement) Montrer que le rayon de convergence de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ est *exactement* $2\pi$ : au moins $2\pi$ car $z/(\eu^z - 1)$ s’étend holomorphiquement à $D(0, 2\pi)$, au plus $2\pi$ car la somme resterait sinon bornée près de $2\pi\iu$, où $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$. En déduire $$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$$ les nombres de Bernoulli croissent factoriellement. En admettant $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (la récurrence de la question 20, poussée plus loin), comparer $\abs{B_{12}} \approx 0{,}25311$ avec la prédiction plus fine $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0{,}25305$ en $k = 6$ — quatre chiffres concordants d’une loi asymptotique que le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues) prouvera exactement, via $\zeta(2k)$. 25. (Les racines bougent continûment) Soit $(P_j)$ monique de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ avec coefficients convergeant vers ceux de (monique) $P$ . Prouver la *borne de Cauchy* : toute racine d’un monique $Q = X^n + \sum_{k m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ quand $r \to \infty$, donc $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ est un polynôme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) au plus $m$. **13.** $g = \eu^f$ est entière avec $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante par la question 11. Alors $0 = g' = f'g$ avec $g$ sans zéro : $f' = 0$ et $f$ est constante. **14.** Soit $M = \sup_K\abs f$ sur le carré unité fermé compact $K$. Tout $z$ diffère d’un point de $K$ d’un élément de $\Z + \iu\Z$ (soustraire les parties entières), et itérer les deux relations de périodicité laisse $f$ inchangée : $\abs f \leq M$ sur tout $\C$, et la question 11 rend $f$ constante. Donc une fonction non constante invariante sous le réseau ne peut être entière : les fonctions elliptiques de la théorie classique doivent porter des pôles — la porte historique du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues). **15.** Si $f(\C)$ manque le disque $D(a, r)$, alors $\abs{f(z) - a} \geq r$ pour tout $z$, donc $g = 1/(f - a)$ est entière avec $\abs g \leq 1/r$ : constante par Liouville, d’où $f$ constante. Contraposée : l’image d’une fonction entière non constante rencontre tout disque — elle est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\C$. **16.** Choisir $R$ avec $\abs f \geq 1$ hors de $D(0, R)$. Les zéros de $f$ sont dans le compact $\bar D(0, R)$ ; s’ils étaient infinis, ils s’y accumuleraient, et le [Théorème 16.13](#thm-b3-holomorphic-identity) forcerait $f \equiv 0$ — impossible. Les appeler $z_1, \dots, z_p$, avec multiplicités $m_1, \dots, m_p$, poser $M = \sum m_i$ et $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$. En factorisant chaque zéro hors de la série entière, $g = f/\Pi$ est entière et sans zéro. Pour $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ et $\abs f \geq 1$, donc $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; sur le disque compact restant $1/g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), donc bornée : $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ partout. Par la question 12, $1/g$ est un polynôme ; sans zéro, donc par la question 7 c’est une constante non nulle $c$ : $f = \frac1c\Pi$ est un polynôme. Réciproquement, la question 1 rend tout polynôme non constant propre. Et $\eu^z$ est honnêtement exclu : le long de $\R_-$, $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ tandis que $\abs z \to \infty$. **17.** Paramétrer le [Théorème 16.9](#thm-b3-holomorphic-formula) au [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) : avec $w = a + r\eu^{\iu\theta}$, $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$, $$ f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ; $$ prendre les parties réelles donne la propriété de la moyenne de $u$. Si $u$ atteint un maximum en un point intérieur du [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ atteint un maximum intérieur, donc $\eu^f$ est constante par le [Théorème 16.14](#thm-b3-holomorphic-maximum)(2), et $u = \log\abs{\eu^f}$ est constante. Sur un domaine borné avec continuité jusqu’au bord, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$, exactement comme pour $\abs f$. **18.** *Cas $\abs a > r$.* Choisir $R$ avec $r < R < \abs a$ : sur le disque convexe $D(0, R)$ la fonction $a - z$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) et sans zéro, et $z \mapsto -1/(a - z)$ a une primitive $L$ là (le [Théorème 16.8](#thm-b3-holomorphic-cauchy)) ; après ajustement de la constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ donne $\eu^L = a - z$ : un logarithme [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) existe, et $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$. Propriété de la moyenne de la question 17 en $0$, rayon $r$ : $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a . $$ *Cas $\abs a < r$.* De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$, la moyenne égale $\log r$ plus la moyenne de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$. La substitution $\theta \mapsto 2\pi - \theta$, puis — en écrivant $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$, $\rho < 1$, le cas $a = 0$ étant trivial — le décalage $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (tous deux préservent les moyennes sur une période) transforment cela en la moyenne de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : le premier cas avec $(a, r) = (1, \rho)$, qui donne $\log 1 = 0$. Total : $\log r = \log\max(\abs a, r)$ dans les deux cas. **19.** $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$, chaque racine répétée selon sa multiplicité ; en moyennant en $\theta$ et en appliquant la question 18 avec $r = 1$ à chaque racine hors du cercle unité on obtient $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$. Vérifications. Pour $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ la formule prédit $\log 2$ ; directement, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ et la moyenne de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ est $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : moyenne $\log 2$. Pour $P = X^2 - X = X(X - 1)$ la racine $1$ est *sur* le cercle ; la formule prédit $0$. Directement, la moyenne de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ est $0$, et avec $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ : $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u . $$ La substitution $u = 2v$ et $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ donnent $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (chaque moitié égale $J/2$ par les symétries de $\sin$), donc $J = -\pi\log 2$ (les intégrales impropres convergent, $\log\sin$ étant [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) aux extrémités) : la moyenne est $\log2 - \log2 = 0$. La formule survit aux racines sur le cercle. **20.** $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ est entière et vaut $1$ en $0$ : sa réciproque est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) près de $0$ (sur $\abs z < 2\pi$ en fait, les autres zéros les plus proches de $\eu^z - 1$ étant $\pm2\iu\pi$), donc $\frac z{\eu^z-1}$ est analytique en $0$. En multipliant les deux séries et en lisant le coefficient de $z^n$, $n \geq 1$, dans $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ : $$ \sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 . $$ Successivement : $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac12$, $B_2 = \frac16$, $B_3 = 0$, $B_4 = -\frac1{30}$, $B_5 = 0$, $B_6 = \frac1{42}$. Parité : avec $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$, $$ F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) : $$ $F$ est paire, donc $B_{2k+1} = 0$ pour $k \geq 1$ (le seul coefficient impair $B_1$ a été absorbé par $+\frac z2$). Pointeur vers l’avant : $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ donne $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$, donc les coefficients de Laurent de la cotangente — d’où, par le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues), chaque $\zeta(2k)$ — sont tarifés par les nombres de Bernoulli : $$ \zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} . $$ **21.** Écrire $f = \sum_nc_nz^n$ (rayon $\infty$) ; alors $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ est entière. Sur $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$, donc $g$ et $f$ coïncident sur un ensemble à points d’accumulation dans le [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\C$ : le [Théorème 16.13](#thm-b3-holomorphic-identity) donne $g \equiv f$, c’est-à-dire $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (de façon équivalente : tous les $c_n$ sont réels). Pour un polynôme réel $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$, et la même identité appliquée aux dérivées réelles $P', P'', \dots$ préserve les multiplicités : les racines non réelles s’apparient — l’appariement de la question 8, reprouvé analytiquement. **22.** L’échelle, assemblée : bornée $\Rightarrow$ constante (11) ; dominée par $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polynôme (12) ; partie réelle bornée supérieurement $\Rightarrow$ constante (13) ; doublement périodique $\Rightarrow$ constante (14) ; image manquant un disque $\Rightarrow$ constante (15) ; propre $\Rightarrow$ polynôme (16). Chaque barreau est la formule de Cauchy : la valeur en un point est une moyenne de cercle, donc tous les coefficients de Taylor sont tarifés par la taille de $f$ sur de grands cercles, et un plafond de croissance anéantit les coefficients en masse. Rien de tel ne contraint les fonctions réelles $\mathcal C^\infty$ : une fonction bosselée (le [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)) est bornée, à support compact et sauvagement non constante, et ses dérivées en tout point hors du support s’annulent toutes sans que la fonction s’annule nulle part à proximité. La régularité ne couple pas du tout les dérivées en des points distincts ; l’holomorphie enchaîne chaque dérivée à une seule intégrale sur un cercle lointain. Une condition locale avec un informateur global — voilà pourquoi les fonctions entières obéissent à la loi et à l’ordre. **23.** En développant $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ et en moyennant on tue tout terme $k \neq l$ : la moyenne est $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$. Supposons d’abord que $P$ n’a pas de zéro sur le cercle unité, donc $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). La borne $\log t \leq t - 1$ appliquée à $t = \abs P^2/N$ donne, après moyenne, $$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0, $$ donc la moyenne géométrique de $\abs P$ est au plus $\sqrt N$ ; la question 19 identifie cette moyenne géométrique comme $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : l’inégalité de Landau. Racines sur le cercle : choisir $r > 1$ distinct de tout $\abs{\alpha_i}$ ; le polynôme $P(rX)$, de racines $\alpha_i/r$ hors du cercle unité et de coefficients $a_kr^k$, satisfait l’inégalité ; les deux membres sont continus en $r$, et faire $r \to 1^+$ donne le cas général. Sur $X^2 - X$ : racines $0$ et $1$, donc le membre de gauche est $1$, et le membre de droite est $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : vrai, avec de la marge. **24.** Écrire $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ avec $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ entière, $g(0) = 1$. Comme $\eu^z = 1$ exactement sur $2\pi\iu\Z$, $g$ n’a pas de zéro dans $D(0, 2\pi)$ (pour $0 < \abs z < 2\pi$ car $\eu^z - 1 \neq 0$, en $0$ par $g(0) = 1$), donc $h = 1/g$ est [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $D(0,2\pi)$ et sa série de Taylor en $0$ — par définition $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge sur tout le disque : $\rho \geq 2\pi$. Si $\rho > 2\pi$, la somme $S$ serait [holomorphe](#def-b3-holomorphic-holo) sur $D(0,\rho)$, et elle coïncide avec $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ sur $0 < \abs z < 2\pi$ ; les deux sont [holomorphes](#def-b3-holomorphic-holo) sur l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$, donc par le théorème d’identité elles coïncident là. Mais quand $z \to 2\pi\iu$, $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numérateur $\to 2\pi$, dénominateur $\to 0$) tandis que $S$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $2\pi\iu$ : contradiction. D’où $\rho = 2\pi$ exactement, et la formule de Hadamard donne $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; les coefficients impairs étant nuls à partir de $n = 3$, le $\limsup$ est porté par les [indices](#def-b3-holomorphic-index) pairs, ce qui est la formule énoncée avec $n = 2k$. Numériquement en $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3{,}7858\cdot10^9$ et $2\cdot12! = 958\,003\,200$, donc $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0{,}25305$, contre $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0{,}25311$. Le rapport, $1{,}00025$, est exactement $\zeta(12)$ aux chiffres affichés : la formule de calcul des résidus $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues) explique à la fois le facteur $2$ et le petit excès. **25.** Borne de Cauchy : si $\abs z > 1 + M$ avec $M = \max_k\abs{q_k}$, alors $$ \Bigl|\sum_{k 0$ : toutes les racines sont dans $\overline D(0, 1+M)$. Les coefficients des $P_j$ convergent, donc sont bornés par un certain $M$ : toutes les racines de tous les $P_j$ (et de $P$) sont dans le compact $K = \overline D(0, 1 + M)$. Soit $v_j \in K^n$ un vecteur listant les racines de $P_j$ avec multiplicité (question 7). Toute sous-suite de $(v_j)$ a une sous-sous-suite convergeant vers un certain $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; les coefficients de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires de $v_j$ — [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) — donc le long de cette sous-suite ils convergent vers les coefficients de $\prod_i(X - \beta_i)$ ; mais ils convergent vers ceux de $P$ par hypothèse, donc $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : toute limite sous-séquentielle de $(v_j)$ est une permutation du vecteur de racines de $P$. Si la distance d’appariement $\delta_j = \min_\sigma\max_i\,\abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ ne tendait pas vers $0$, une sous-suite garderait $\delta_j \geq \varepsilon$ tandis que ses vecteurs de racines convergent vers une permutation des racines de $P$ — forçant $\delta_j \to 0$ le long d’elle : contradiction. Donc les multi-ensembles de racines convergent. Netteté : $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ a pour racines $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : la racine double bouge de $\sqrt\varepsilon$, p. ex. de $10^{-2}$ pour $\varepsilon = 10^{-4}$. En général, si $\alpha$ est une racine $m$-uple, alors près de $\alpha$ on a $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$, donc une perturbation de taille $\varepsilon$ déplace le cluster de racines d’environ $\varepsilon^{1/m}$ : continuité de Hölder d’exposant $\frac1m$ et pas mieux — voilà pourquoi un solveur numérique près d’une racine double ne retient que la moitié des chiffres de travail.