---
title: "Équations différentielles ordinaires"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires
---

# Chapitre 19 — Équations différentielles ordinaires

L’année 2 a résolu les équations différentielles linéaires et énoncé le théorème de Cauchy–Lipschitz ; ce chapitre le démontre — deux fois plutôt qu’une : existence et unicité par le point fixe de Banach, structure globale par la théorie des [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) et le théorème d’[échappement des compacts](#thm-b3-ode-maximal). La théorie linéaire est ensuite reconstruite sur des fondations honnêtes ([résolvante](#thm-b3-ode-linearstructure), [wronskien](#thm-b3-ode-linearstructure), [exponentielle de matrice](#thm-b3-ode-matrixexp), Duhamel), et la seconde moitié du chapitre ouvre la théorie *qualitative* — [flots](#ex-b3-ode-planeclassification), équilibres, [fonctions de Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) et [stabilité par linéarisation](#thm-b3-ode-linearization) : comment comprendre des solutions qu’on ne calculera jamais. Le pendule, dans le problème de week-end, en est l’étude de cas éternelle. Tout au long du chapitre, $U \subseteq \R\times\R^d$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et $f \colon U \to \R^d$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; une *solution* de $x' = f(t, x)$ est une application $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ ($I$ un intervalle) de graphe [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans $U$ et vérifiant l’équation.

## 19.1 Cauchy–Lipschitz

**Définition 19.1.**

$f$ est *localement lipschitzienne en $x$* si tout point de $U$ admet un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $V$ et une constante $L$ tels que $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 -
x_2}$ pour $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. Si $f$ est $\mathcal
C^1$ (ou simplement si $\partial_xf$ existe et est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)), elle est localement lipschitzienne en $x$ : sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) convexe compact, l’inégalité des accroissements finis donne $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$.

**Théorème 19.2 (Cauchy–Lipschitz, version locale).**

Soient $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et [localement lipschitzienne](#def-b3-ode-lipschitz) en $x$, et $(t_0, x_0) \in U$. Il existe $T > 0$ tel que le problème de Cauchy

$$
x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0
$$

admet exactement une solution sur $[t_0 - T, t_0 +
T]$.

**Démonstration.** Choisissons $a, b > 0$ tels que $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar
B(x_0, b) \subseteq U$, sur lequel $\norm f \leq M$ et $f$ est $L$-lipschitzienne en $x$. Une fonction $\mathcal C^1$ est solution si et seulement si elle satisfait l’équation intégrale

$$
x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s
$$

(théorème fondamental de l’analyse, dans les deux sens). Soient $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$, $I = [t_0 - T, t_0 + T]$, et

$$
\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0}
\leq b\ \text{sur } I\},
$$

un fermé de l’espace de Banach $(\mathcal C(I, \R^d),
\norm\cdot_\infty)$ : [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Définition 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)). Définissons $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : pour $x \in \mathcal E$, $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ envoie $\mathcal E$ dans lui-même — et pour $x, y \in \mathcal E$ :

$$
\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t
L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x -
y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :
$$

une contraction. Le point fixe de Banach ([Théorème 7.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) fournit un unique point fixe dans $\mathcal E$ : existence, et unicité parmi les solutions restant dans $\bar B(x_0, b)$ — mais toute solution sur $I$ y demeure ($\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ tant que le graphe reste dans $Q$, argument de continuité) : unicité sur $I$. ∎

**Lemme 19.3 (Gronwall).**

Soit $u \colon I \to \intco0\infty$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), $t_0 \in I$, et supposons

$$
u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd
s\Bigr| \qquad (t \in I)
$$

avec $\alpha \geq 0$, $\beta > 0$. Alors $u(t) \leq
\alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ sur $I$.

**Démonstration.** Pour $t \geq t_0$ : posons $v(t) = \alpha +
\beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$, de sorte que $u \leq v$, $v' = \beta u \leq \beta v$, et $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq
v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$. Pour $t \leq t_0$, on applique le même argument à $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$. ∎

**Corollaire 19.4 (Unicité et dépendance continue).**

Sous les hypothèses du [Théorème 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz), deux solutions de $x' = f(t,x)$ qui coïncident en un point coïncident sur leur intervalle commun de définition. Quantitativement, si $x, y$ sont deux solutions de graphes [contenus](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans une région où $f$ est $L$-lipschitzienne en $x$, alors

$$
\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) -
y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .
$$

**Démonstration.** L’estimée : $u = \norm{x - y}$ vérifie $u(t) \leq u(t_0)
+ L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (soustraction des équations intégrales) ; Gronwall. Unicité globale : l’ensemble d’accord $\{t : x(t) = y(t)\}$ est fermé dans l’intervalle commun, non vide, et [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) — autour de tout point d’accord, on recouvre un morceau compact du graphe commun par un nombre fini de boîtes lipschitziennes et on applique l’estimée avec $u(t_1) = 0$ sur chacune : localement $x \equiv y$. Une partie non vide, ouverte et fermée d’un intervalle est l’intervalle tout entier. ∎

## 19.2 Solutions maximales

**Théorème 19.5 (Solutions maximales ; échappement des compacts).**

On suppose $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), [localement lipschitzienne](#def-b3-ode-lipschitz) en $x$.

1. Tout problème de Cauchy admet une unique solution *maximale* $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : toute autre solution passant par $(t_0, x_0)$ en est la restriction. L’intervalle est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) .
2. ( *Échappement* ) Pour tout compact $K \subseteq U$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $(t, x(t)) \notin K$ pour tout $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (et symétriquement en $T_-$ ) : *le graphe d’une [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal) finit par quitter tout sous-ensemble compact de $U$* . En particulier, pour $U = \R\times\R^d$ et $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ quand $t \to T_+^-$ ( *explosion* ).

**Démonstration.** (1) Soit $\mathcal S$ l’ensemble de toutes les solutions passant par $(t_0, x_0)$ ; d’après le [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) deux d’entre elles coïncident sur l’intersection de leurs intervalles, donc se recollent : sur $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$, on définit $x(t) = y(t)$ pour tout $y$ défini en $t$ : solution bien définie, manifestement maximale et unique. $J$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) : une solution définie en une extrémité pourrait être prolongée par le [Théorème 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) en cette extrémité.

(2) Supposons que l’affirmation échoue en $T_+$ : il existe $t_n \to T_+$ avec $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; cela force $T_+ < \infty$, sinon si $T_+ = \infty$ il n’y a rien à prouver ($K$ est borné en temps). On suppose donc $T_+ < \infty$. Compacité : des constantes uniformes $M, L, a, b$ fonctionnent pour toutes les données de Cauchy dans un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $K$ — concrètement, on recouvre $K$ par un nombre fini de boîtes $Q_i$ comme dans la preuve du théorème local et on prend $T^* > 0$ minimum des temps d’existence correspondants : toute donnée de Cauchy dans $K$ lance une solution vivant au moins $T^*$ au-delà de son instant initial. Appliqué en $(t_n, x(t_n))$ avec $t_n > T_+ - T^*/2$, cela prolonge $x$ au-delà de $T_+$ (le prolongement coïncide avec $x$ par unicité, puis le prolonge) : contradiction avec la maximalité. Donc le graphe quitte $K$ définitivement avant $T_+$. Pour $U = \R\times\R^d$ : si $\norm{x(t)}\not\to\infty$, une suite $t_n \to T_+$ maintient $(t_n, x(t_n))$ dans le compact $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : exclu. ∎

**Corollaire 19.6 (Existence globale sous croissance linéaire).**

Si $U = I\times\R^d$ ($I$ intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)) et $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ avec $\alpha, \beta$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), alors toute [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal) est définie sur tout $I$.

**Démonstration.** Sur un compact $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x +
\beta)$, donc par Gronwall (avec $\alpha, \beta$ bornées par $A, B$ là) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T -
t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : bornée. Si $T_+ < \sup I$, le graphe reste dans un compact de $I\times\R^d$ près de $T_+$ : contredit l’échappement ([Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). ∎

## 19.3 Systèmes linéaires

Dans toute cette section $A \colon I \to M_d(\R)$ et $b \colon I \to \R^d$ sont [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; le système est $x' = A(t)x + b(t)$ — croissance linéaire : toutes les [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) vivent sur tout $I$ ([Corollaire 19.6](#cor-b3-ode-globallinear)).

**Théorème 19.7 (Structure).**

Les solutions du système homogène $x' = A(t)x$ forment un espace vectoriel $S_H$ de dimension $d$ ; pour chaque $t_0$, l’évaluation $x \mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme $S_H \to \R^d$. La *résolvante* $R(t, s) \in GL_d(\R)$, définie par : $t \mapsto R(t, s)v$ est la solution de valeur $v$ en $s$, vérifie

$$
R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad
\partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),
$$

et le problème inhomogène est résolu par la *formule de Duhamel* :

$$
x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .
$$

Enfin le *wronskien* $w(t) = \det
R(t, s)$ obéit à la formule de Liouville $w' =
\operatorname{tr}A(t)\,w$, donc $w(t) =
\exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$.

**Démonstration.** La linéarité de l’équation fait des solutions un espace vectoriel ; l’évaluation est linéaire, injective (unicité : une solution s’annulant en $t_0$ est $\equiv 0$) et surjective (existence) : dimension $d$. Les propriétés de la [résolvante](#thm-b3-ode-linearstructure) rephrasent l’unicité (les deux côtés de chaque identité résolvent le même problème de Cauchy) ; l’inversibilité vient de $R(s,t)R(t,s) = I$. Duhamel : on dérive la formule — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) +
\int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (la dérivation sous le signe d’intégration est légitime : l’intégrande est $\mathcal C^1$ en $t$ à dérivée [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $(t,s)$ ; ou bien on vérifie via l’équation intégrale). Liouville : $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ et $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (par l’équation intégrale), donc $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (développement de $\det$ en $I$) : $w'(t) =
\operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; on intègre l’EDO scalaire linéaire. ∎

**Théorème 19.8 (Exponentielle de matrice).**

Pour $A \in M_d(\C)$, la série $\eu^{A} =
\sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolument, dans toute norme sous-multiplicative), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ dès que $AB = BA$, et $t \mapsto \eu^{tA}$ est la [résolvante](#thm-b3-ode-linearstructure) du système constant : $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; elle est $\mathcal C^\infty$ avec $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} =
A\eu^{tA}$. De plus : si $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha
< 0$ pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$, alors $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ pour $t \geq
0$.

**Démonstration.** Convergence : $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$, sommable ([Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) dans l’algèbre de Banach $M_d$). Pour $A, B$ qui commutent : le produit de Cauchy des deux séries absolument convergentes se réarrange, via le binôme de Newton (valable quand $AB = BA$), en $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$. Dérivabilité, directement : $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} -
I}{h} \to \eu^{tA}A$ car $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A}
\leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} =
O(h)$. Donc $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ résout le problème de Cauchy définissant $R(t,s)v$. Borne spectrale : par la [forme de Jordan](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-jordan) ([Théorème 3.18](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-jordan)), $A = P(D +
N)P^{-1}$ avec $D$ diagonale portant les valeurs propres, $N$ nilpotente, et $DN = ND$. Alors $\eu^{tA} =
P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ avec $\vertiii{\eu^{tD}} \leq
\eu^{-(\alpha + \delta)t}$ pour un certain $\delta > 0$ ($t \geq 0$) et $\eu^{tN}$ polynomiale en $t$ (nilpotence) : le produit est $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (polynôme battu par $\eu^{-\delta t}$). ∎

**Exemple 19.9 (Le plan, classifié).**

Pour $x' = Ax$ avec $A \in M_2(\R)$ inversible, le portrait de phase près de $0$ est décidé par $\tau =
\operatorname{tr}A$ et $\delta = \det A$, via les valeurs propres $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 -
4\delta}}2$ :

- $\delta < 0$ : valeurs propres réelles de signes opposés — un *col* ; deux trajectoires entrent, deux sortent, toutes les autres passent. Toujours instable.
- $\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : valeurs propres réelles de même signe ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — un *nœud* , [stable](#def-b3-ode-stability) ssi $\tau < 0$ ; les trajectoires sont tangentes à la direction propre lente.
- $\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : valeurs propres complexes conjuguées $\frac\tau2 \pm  \iu\omega$ — une *spirale* (foyer), [stable](#def-b3-ode-stability) ssi $\tau < 0$ ; les solutions sont $\eu^{\tau t/2}\times$ rotations de période $\frac{2\pi}\omega$ .
- $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : valeurs propres purement imaginaires — un *[centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions)* : [orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) fermées (ellipses), stabilité sans stabilité asymptotique, exactement la frontière que le [Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization) ne peut trancher pour les systèmes non linéaires (l’équilibre bas du pendule, [Problème 19.1](#pb-b3-ode-1) , se situe ici).

La parabole frontière $\tau^2 = 4\delta$ porte les nœuds dégénérés (blocs de Jordan : trajectoires à une seule direction tangente). Tout se lit sur deux nombres — d’où le premier réflexe avant tout portrait de phase plan : calculer $\operatorname{tr}$ et $\det$ ; p.ex. $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscillateur amorti) : $\delta = 1 >
0$, $\tau = -c$ : spirale [stable](#def-b3-ode-stability) pour $0 < c < 2$, nœud [stable](#def-b3-ode-stability) pour $c \geq 2$ — sous-amortissement contre sur-amortissement, d’un coup d’œil.

## 19.4 Flots, équilibres, stabilité

Considérons maintenant l’équation *autonome* $x' = F(x)$, $F \colon \Omega \to \R^d$ [localement lipschitzienne](#def-b3-ode-lipschitz) sur l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega \subseteq \R^d$. On note $\varphi_t(x_0) = x(t)$ la [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal) avec $x(0) =
x_0$ (le *flot*) ; l’autonomie donne la propriété de groupe $\varphi_{t+s} =
\varphi_t\circ\varphi_s$ là où c’est défini (les deux côtés résolvent le même problème à l’instant $s$).

**Définition 19.10.**

Un *équilibre* est un point $\bar x$ tel que $F(\bar x)
= 0$ (donc $\varphi_t(\bar x) = \bar x$). Il est *stable* si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implique que la solution existe pour tout $t \geq 0$ avec $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar
x} < \varepsilon$ ; *asymptotiquement stable* si de plus $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ pour tout $x_0$ voisin de $\bar
x$.

**Théorème 19.11 (Fonctions de Lyapunov).**

Soit $\bar x$ un équilibre et $V \colon \mathcal V \to \R$ une fonction $\mathcal C^1$ sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar x$ telle que :

$$
V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ pour } x \neq \bar x,
\qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .
$$

Alors $\bar x$ est [stable](#def-b3-ode-stability). Si de plus $\dot V < 0$ hors de $\bar x$, alors $\bar x$ est asymptotiquement [stable](#def-b3-ode-stability).

**Démonstration.** Le long d’une solution, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) =
\dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ décroît. Étant donné $\varepsilon$ (assez petit pour que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq
\mathcal V$), soit $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} =
\varepsilon\} > 0$ (compacité, positivité) et choisissons $\delta < \varepsilon$ avec $V < m$ sur $B(\bar x, \delta)$ (continuité). Une solution partant de $B(\bar x, \delta)$ a $V(x(t)) < m$ pour tous les temps ultérieurs, donc ne peut jamais atteindre la sphère $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (où $V \geq m$) : elle reste dans la boule — et existe alors pour tout $t \geq 0$ : la solution demeure dans le compact $\bar B$, donc le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) ([échappement des compacts](#thm-b3-ode-maximal)) force $T_+ = +\infty$. Stabilité.

Cas asymptotique : soit $x(t)$ partant de $B(\bar x,
\delta)$ ; $V(x(t))$ décroît vers un $c \geq 0$. Si $c > 0$ : la trajectoire reste dans $K = \{x \in \bar B(\bar x,
\varepsilon): V(x) \geq c\}$, un compact qui exclut un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar x$ ($V$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec $V(\bar x) = 0 <
c$). Sur $K$, la fonction $\dot V$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), strictement négative, d’où $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compacité) ; alors $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurde, $V \geq
0$. Donc $c = 0$, et $x(t) \to \bar x$ (les points à distance $\geq \rho$ de $\bar x$ dans la boule ont $V \geq m_\rho >
0$). ∎

**Théorème 19.12 (Stabilité par linéarisation).**

Soit $F$ de classe $\mathcal C^1$, $F(\bar x) = 0$, $A =
DF(\bar x)$. Si toute valeur propre de $A$ vérifie $\operatorname{Re}\lambda < 0$, alors $\bar x$ est asymptotiquement [stable](#def-b3-ode-stability).

**Démonstration.** On translate $\bar x$ en $0$ et on écrit $F(x) = Ax + g(x)$ avec $g(x) = o(\norm x)$ (différentiabilité $\mathcal C^1$). Choisissons $\alpha > 0$ avec $\vertiii{\eu^{tA}} \leq
C\eu^{-\alpha t}$ ($t \geq 0$ ; [Théorème 19.8](#thm-b3-ode-matrixexp)) et $r > 0$ avec $\norm{g(x)}
\leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ pour $\norm x \leq r$. Duhamel avec $b(s) = g(x(s))$ :

$$
x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,
$$

valable tant que $\norm{x(s)} \leq r$. Alors $u(t) =
\eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ vérifie

$$
u(t) \leq C\norm{x_0} +
\int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,
$$

donc Gronwall donne $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$, c’est-à-dire $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$. Si $\norm{x_0} < r/C$, la borne a priori maintient $\norm{x(t)} < r$ pour tout $t$ (argument de continuité/bootstrap : l’ensemble des temps où $\norm x \leq
r$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et fermé dans $\intco0{T_+}$ compte tenu de l’estimée stricte), la solution est globale, et elle converge vers $0$ exponentiellement : stabilité asymptotique. ∎

**Méthode 19.13.**

Face à une EDO : (1) existence/unicité — vérifier le [caractère](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/5-representations-des-groupes-finis#def-b3-representations-character) localement lipschitzien (souvent $\mathcal C^1$) ; (2) globalité — croissance linéaire, bornitude, ou un compact invariant via une [fonction de Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) ou une intégrale première ; à défaut, soupçonner une explosion et tester sur la caricature scalaire $x' = x^2$ ; (3) systèmes linéaires — [résolvante](#thm-b3-ode-linearstructure), Duhamel, et pour les coefficients constants la structure propre de $A$ ; (4) questions qualitatives — équilibres, linéariser, et chercher une [fonction de Lyapunov](#thm-b3-ode-lyapunov) (énergie, quand le système est mécanique) ou une intégrale première dont les niveaux piègent les trajectoires. Le problème de week-end déroule toute la méthode sur le pendule.

![Portrait de phase du pendule x'' = - x dans le plan (x, x') : courbes de niveau de l’énergie E = x'22 - x. Courbes fermées (bleu) : oscillations, E < 1 ; courbes courantes (orange) : rotations complètes, E > 1 ; entre elles la séparatrice (rouge), E = 1, reliant les équilibres instables (±π, 0). Le problème de week-end démontre tout ce que cette figure suggère.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-ode/fig-dd339003c539.svg)

*Portrait de phase du pendule $x'' = -\sin x$ dans le plan $(x, x')$ : courbes de niveau de l’énergie $E =
\frac{x'^2}2 - \cos x$. Courbes fermées (bleu) : oscillations, $E < 1$ ; courbes courantes (orange) : rotations complètes, $E > 1$ ; entre elles la *séparatrice* (rouge), $E = 1$, reliant les équilibres instables $(\pm\pi, 0)$. Le problème de week-end démontre tout ce que cette figure suggère.*

## 19.5 Exercices

**Exercice 19.1 ★.**

Résoudre explicitement et déterminer l’intervalle [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) : (a) $x' = x^2$, $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$, $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$, $x(0) = \frac12$. Réconcilier chaque réponse avec le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) et le [Corollaire 19.6](#cor-b3-ode-globallinear).

**Solution de Exercice 19.1.**

(a) Séparation des variables : $x(t) = \frac1{1 - t}$ sur $\intoo{-\infty}1$ : explosion en $T_+ = 1$, avec $x(t) \to
+\infty$ — exactement le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2). (b) $x(t) = \tan t$ sur $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosion aux deux extrémités. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$, globale : la solution reste dans $\intoo01$, ensemble borné, donc le graphe ne peut quitter tout compact de $\R\times\R$ en temps fini — $T_\pm = \pm\infty$. Noter que (a), (b) ne contredisent pas le [Corollaire 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) : $x^2$ et $1 + x^2$ ont une croissance superlinéaire.

**Exercice 19.2 ★.**

Soient $x, y$ solutions de $x' = f(t,x)$ avec $f$ globalement $L$-lipschitzienne en $x$ sur $\R\times\R^d$. (a) Montrer $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) -
y(0)}\eu^{L\abs t}$, et montrer par un exemple (linéaire !) que le facteur $\eu^{L\abs t}$ est atteint. (b) En déduire que l’application de [flot](#ex-b3-ode-planeclassification) $x_0 \mapsto x(t;
x_0)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), en fait lipschitzienne sur les ensembles bornés.

**Solution de Exercice 19.2.**

(a) C’est l’estimée du [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) avec $t_0 = 0$. Optimalité : pour $x' = Lx$ (globalement $L$-lipschitzienne), deux solutions diffèrent exactement de $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$. (b) L’estimée se lit : l’application de [flot](#ex-b3-ode-planeclassification) au temps $t$ est $\eu^{L\abs t}$-lipschitzienne en la condition initiale — continuité, uniformément pour $t$ dans les compacts ; sur les ensembles bornés pour un $f$ non globalement lipschitzien, on rejoue le même argument dans un tube compact autour des trajectoires avec la constante locale.

**Exercice 19.3 ★★.**

Montrer que chacun des suivants a toutes ses [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) globales sur $\R$, en citant le bon théorème : (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ avec $q$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (convertir en un système du premier ordre) ; (d) $x' = A(t)x$ avec $A$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et bornée — et donner la borne de Gronwall sur $\norm{x(t)}$.

**Solution de Exercice 19.3.**

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : borné, c’est-à-dire croissance linéaire avec $\alpha = 0$, $\beta = 1$ : le [Corollaire 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) sur $U = \R\times\R$. (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : encore sous-linéaire (en fait bornée sur les compacts de temps) : globale. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t)
& 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : linéaire à coefficients continus : globale (cadre du [Théorème 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure)). (d) Globale ; Gronwall comme dans le [Corollaire 19.6](#cor-b3-ode-globallinear) : $\norm{x(t)} \leq
\norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ avec $M =
\sup\vertiii{A}$.

**Exercice 19.4 ★★.**

(a) Calculer $\eu^{tA}$ pour $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 &
\lambda\end{smallmatrix}\bigr)$, et $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$. (b) Résoudre l’oscillateur forcé $x'' + x = \cos(\omega t)$ par Duhamel (forme système), pour $\omega \neq 1$ et $\omega
= 1$ : la résonance apparaît comme le terme séculaire $t\sin
t$.

**Solution de Exercice 19.4.**

(a) $A^2 = -I$ pour la première : $\eu^{tA} = \cos t\,I +
\sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin
t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$. Bloc de Jordan : $\lambda
I$ et $N$ commutent : $\eu^{tA} =
\eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 &
1\end{smallmatrix}\bigr)$. Troisième : $A^2 = I$ : $\eu^{tA}
= \cosh t\,I + \sinh t\,A$.

(b) Système $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0
\end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\
\cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel avec la [résolvante](#thm-b3-ode-linearstructure) de rotation donne les solutions particulières : pour $\omega \neq 1$, $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 -
\omega^2}$ (vérifier directement) ; pour $\omega = 1$ l’intégrale $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac
t2\sin t$ produit la croissance *séculaire* $x_p =
\frac t2\sin t$ : résonance — le forçage pompe de l’énergie à la fréquence naturelle et l’amplitude croît linéairement.

**Exercice 19.5 ★★.**

Pour l’équation scalaire $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Montrer que le [wronskien](#thm-b3-ode-linearstructure) $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de deux solutions vérifie $w' = -p\,w$ (Abel), et en déduire que deux solutions avec $w \neq 0$ quelque part forment une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis). (b) Étant donnée une solution non nulle $x_1$, trouver la solution générale par *réduction de l’ordre* : poser $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ et vérifier. Appliquer à $t^2x'' - 2x = 0$ sur $\intoo0{+\infty}$ avec $x_1(t) = t^2$.

**Solution de Exercice 19.5.**

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1'
- qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$, jamais nulle ou identiquement nulle. Si $w \neq 0$, les vecteurs $(x_i, x_i')(t_0)$ sont indépendants dans $\R^2$, et comme l’espace des solutions est de dimension $2$ ([Théorème 19.7](#thm-b3-ode-linearstructure) pour le système), $(x_1,
x_2)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis).

(b) Avec $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 =
x_1u$, $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$, et

$$
x_2'' + px_2' + qx_2
= u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) +
\Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} +
p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0
$$

(les termes croisés s’annulent exactement ; développer avec soin). Pour $t^2x'' - 2x = 0$, c’est-à-dire $x'' -
\frac2{t^2}x = 0$ ($p = 0$) avec $x_1 = t^2$ : $u = \int
t^{-4} = -\frac1{3t^3}$, donc $x_2 = -\frac1{3t}$ : solution générale $at^2 + \frac bt$.

**Exercice 19.6 ★★.**

(Logistique) Pour $x' = x(1 - x)$ : déterminer tous les équilibres et leur stabilité (par le [Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization) et directement) ; montrer que toute solution avec $x(0) \in \intoo01$ est croissante, globale, de limites $0$ et $1$ en $\mp\infty$ ; et résoudre explicitement pour confirmer. Montrer plus généralement que les solutions autonomes scalaires sont monotones, et conclure : pas de solutions périodiques non constantes en dimension $1$.

**Solution de Exercice 19.6.**

Équilibres $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (instable — les solutions voisines s’éloignent, comme le montre la forme explicite), $f'(1) = -1 < 0$ : asymptotiquement [stable](#def-b3-ode-stability) ([Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization) en dimension $1$). Pour $x(0) \in \intoo01$ : $f > 0$ là, donc tant que la solution reste dans $\intoo01$ elle croît ; elle ne peut jamais atteindre $0$ ni $1$ (unicité : ce sont des trajectoires), donc elle y reste, est bornée — d’où globale — et croît vers une limite $L \in
\intoc{x(0)}1$. Si $f(L) \neq 0$, alors $x' \geq c > 0$ près de la limite, forçant $x$ au-delà de $L$ : donc $f(L) = 0$, $L = 1$ ; symétriquement $x \to 0$ en $-\infty$. Explicitement $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ confirme tout. En général : si une solution autonome scalaire avait $x'(t_0) = 0$, alors $x(t_0)$ est un équilibre et l’unicité force $x$ constante ; sinon $f(x(t))$ garde un signe fixe (elle ne s’annule jamais, et $t \mapsto f(x(t))$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)) : $x$ est strictement monotone — donc une solution périodique non constante est impossible.

**Exercice 19.7 ★★.**

(Intégrales premières) Soit $H \colon \Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$ et considérons le système hamiltonien plan $x' = \partial_yH$, $y' = -\partial_xH$. (a) Montrer que $H$ est constante le long des solutions. (b) Pour $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : montrer que toutes les solutions sont globales et bornées, et que l’origine est [stable](#def-b3-ode-stability) (Lyapunov : $H$) bien que la linéarisation ($\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$) ne soit *pas* asymptotiquement [stable](#def-b3-ode-stability) : la linéarisation peut être non concluante.

**Solution de Exercice 19.7.**

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y +
H_y(-H_x) = 0$. (b) Les ensembles de niveau de $H = \frac{y^2}2 +
\frac{x^4}4$ sont compacts ($H$ coercive), donc les solutions sont piégées dans des compacts : globales et bornées ([Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)). Stabilité de $(0,0)$ : $V = H$ est définie positive ($H = 0$ seulement à l’origine) avec $\dot V = 0$ : [Théorème 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov). La linéarisation $x' = y$, $y' = 0$ a la matrice nilpotente non diagonalisable de valeur propre $0$ : le [Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization) est muet (son hypothèse $\operatorname{Re}\lambda < 0$ échoue), et de fait le système linéarisé est instable ($y_0 \ne 0$ dérive) tandis que le non linéaire est [stable](#def-b3-ode-stability) : la linéarisation en un équilibre non hyperbolique ne prouve rien.

**Exercice 19.8 ★★★.**

(Pendule amorti) $x'' + cx' + \sin x = 0$, $c > 0$ ; système : $x' = y$, $y' = -\sin x - cy$. (a) Montrer que $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ vérifie $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : l’origine est [stable](#def-b3-ode-stability). (b) $\dot V$ s’annule sur tout l’axe $y = 0$ : le critère strict de Lyapunov échoue. Prouver quand même la stabilité asymptotique, par linéarisation ([Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization)) : calculer les valeurs propres de la matrice linéarisée en $(0,0)$ et vérifier $\operatorname{Re} < 0$ pour tout $c > 0$. (c) Que se passe-t-il à l’équilibre $(\pi, 0)$ ? Calculer la linéarisation et conclure (une valeur propre positive : instabilité — on peut utiliser l’énoncé d’instabilité de façon informelle ou produire une solution s’échappant explicite du système linéaire).

**Solution de Exercice 19.8.**

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) +
y\sin x = -cy^2 \leq 0$, et $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ est définie positive sur $\{\abs x < 2\pi\}$ autour de l’origine : [stable](#def-b3-ode-stability) ([Théorème 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov)). (b) La matrice linéarisée en $(0,0)$ est $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
-c\end{smallmatrix}\bigr)$, de polynôme caractéristique $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : racines $\frac{-c \pm \sqrt{c^2
- 4}}2$ — toutes deux réelles négatives si $c \geq 2$, complexes de partie réelle $-\frac c2 < 0$ si $0 < c < 2$. Dans tous les cas $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : le [Théorème 19.12](#thm-b3-ode-linearization) donne la stabilité asymptotique (malgré le $\dot V$ dégénéré). (c) En $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$, linéarisation $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$, caractéristique $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : racines de signes opposés ($\lambda_+\lambda_- = -1$). Le long du vecteur propre instable, le système linéaire a la solution explicitement s’échappant $\eu^{\lambda_+t}v_+$ avec $\lambda_+ > 0$ : le pendule inversé est instable pour tout amortissement.

**Exercice 19.9 ★★.**

(Frontière d’unicité) Pour $\alpha \in \intoo01$, montrer que le problème $x' = \abs x^{\alpha}$, $x(0) = 0$ a une infinité de solutions (adapter [Problème 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), Partie III). Montrer au contraire que pour $\alpha = 1$ (c’est-à-dire $x' = \abs x$) la solution passant par $0$ est unique, et identifier précisément quelle hypothèse du [Théorème 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) distingue les deux cas.

**Solution de Exercice 19.9.**

Pour $\alpha \in \intoo01$ : outre $x \equiv 0$, chaque

$$
x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\
\bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c,
\end{cases}
$$

est $\mathcal C^1$ et résout l’équation (l’exposant $\frac1{1-\alpha} > 1$ fait s’annuler la dérivée en $c$) : un continuum de solutions passant par $(0,0)$. Pour $\alpha =
1$ : $x \mapsto \abs x$ est globalement $1$-lipschitzienne ($\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$), donc le [Théorème 19.2](#thm-b3-ode-cauchylipschitz) s’applique et la seule solution passant par $0$ est $x \equiv 0$. La frontière est exactement la condition de Lipschitz locale en $0$ : $\abs x^\alpha$ a des quotients de différences non bornés là pour $\alpha < 1$.

**Exercice 19.10 ★★★.**

(Les bornes a priori piègent les solutions) Soit $F \colon
\R^d \to \R^d$ [localement lipschitzienne](#def-b3-ode-lipschitz) avec $\langle F(x),
x\rangle \leq 0$ dès que $\norm x \geq R$. (a) Montrer que la boule fermée $\bar B(0, R)$ est positivement invariante : les solutions partant de l’intérieur y restent pour $t \geq 0$. *(Si $\norm{x(t_2)} > R$, considérer le dernier instant $t_1 < t_2$ avec $\norm{x(t_1)} = R$ et étudier $\frac{\dd}{\dd
t}\norm{x(t)}^2$ sur $\intcc{t_1}{t_2}$.)* (b) En déduire l’existence globale vers l’avant pour les données dans la boule. Traiter ensuite le système de gradient $x' = -\nabla G(x)$, $G \in \mathcal C^2$ avec $G(x) \to
+\infty$ quand $\norm x \to \infty$ : montrer que $G$ décroît le long des solutions, que chaque solution reste dans le sous-niveau (borné) $\{G \leq G(x_0)\}$, et conclure l’existence globale vers l’avant.

**Solution de Exercice 19.10.**

(a) Supposons $\norm{x(t_2)} > R$ pour un $t_2 > 0$ avec $\norm{x(0)} \leq R$, et soit $t_1 = \sup\{t \leq t_2 :
\norm{x(t)} \leq R\}$ : alors $\norm{x(t_1)} = R$ et $\norm{x(t)} > R$ sur $\intoc{t_1}{t_2}$. Sur cet intervalle $g(t) = \norm{x(t)}^2$ a $g'(t) = 2\langle x(t),
F(x(t))\rangle \leq 0$ (l’hypothèse s’applique : $\norm{x(t)} \geq R$), donc $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : contradiction. La boule est positivement invariante. (b) Une solution piégée dans la boule compacte ne peut avoir $T_+ < \infty$ ([Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2)) : globale vers l’avant. Système de gradient : $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) =
\langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2
\leq 0$ : $G$ décroît, donc la solution reste dans $\{G \leq
G(x_0)\}$, qui est borné (coercivité : hors d’une grande boule, $G > G(x_0)$) et fermé : compact. L’échappement est impossible : toute solution d’un système de gradient coercif est globale vers l’avant, glissant indéfiniment vers le bas.

**Exercice 19.11 ★★.**

(Explosion par comparaison) Considérer $x' = x^2 + t^2$, $x(0) = 1$. (a) Montrer que la [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal) existe sur un certain $\intco0{T_+}$ avec $T_+ < \infty$ : comparer avec $y' =
y^2$, $y(0) = 1$ *(prouver le lemme de comparaison nécessaire : si $x' \geq F(x)$ et $y' = F(y)$ avec $x(0)
\geq y(0)$, alors $x \geq y$ là où les deux vivent)*, et en déduire $T_+ \leq 1$. (b) Borner $T_+$ par en bas : sur $\intcc01$, $x' \leq x^2 +
1$ ; comparer avec la supersolution $z' = z^2 + 1$, $z(0) =
1$, résolue par $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$, et conclure $T_+ \geq \frac\pi4$. (c) Assembler $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ et formuler la morale : c’est la croissance superlinéaire du second membre qui tue l’existence globale (l’[Exercice 19.3](#exo-b3-ode-3) en étant le contrepoint), la frontière étant la convergence de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$.

**Solution de Exercice 19.11.**

(a) Lemme de comparaison : soit $w = x - y$ sur l’intervalle commun ; $w(0) \geq 0$ et $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) =
c(t)w$ avec $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ bornée sur les intervalles de temps compacts ($F$ [localement lipschitzienne](#def-b3-ode-lipschitz)) ; alors $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$, donc $w
\geq 0$ partout. Avec $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explose en $1$, et $x \geq y$ tant que $x$ vit ; si $T_+ >
1$, alors $x$ serait finie en $t = 1$ tout en dominant $y \to
\infty$ : absurde. $T_+ \leq 1$.

(b) La comparaison inversée (même lemme, rôles échangés) : sur $\intcc01\cap\intco0{T_+}$, $t^2 \leq 1$ donne $x' \leq
x^2 + 1$, tandis que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ vérifie $z' = z^2 + 1$, $z(0) = 1 = x(0)$ : d’où $x \leq z$ tant que les deux sont définies. Comme $z$ est finie sur $\intco0{\frac\pi4}$, $x$ ne peut exploser avant $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$.

(c) Ensemble : $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numériquement $T_+ \approx 0.96$). Morale : pour $x' = F(t, x)$ avec $F$ superlinéaire en $x$, les solutions explosent en temps fini dès que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (la solution de comparaison atteint l’infini en ce temps fini) ; la croissance linéaire, où l’intégrale diverge, force l’existence globale ([Exercice 19.3](#exo-b3-ode-3)). C’est la même intégrale d’Osgood que dans [Problème 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#pb-b3-complete-1), qui gouverne maintenant l’échappement à l’infini plutôt que l’échappement depuis zéro.

**Exercice 19.12 ★★★.**

(Théorème de comparaison de Sturm) Soient $q_1 \leq q_2$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur un intervalle $I$, et $u \neq 0$ solution de $u'' + q_1u = 0$, $v \neq 0$ solution de $v'' + q_2v = 0$. (a) Établir l’identité du [wronskien](#thm-b3-ode-linearstructure) : avec $W = uv' - u'v$, $W' = (q_1 - q_2)\,uv$. (b) (Sturm) Montrer qu’entre deux zéros consécutifs $a < b$ de $u$, soit $v$ s’annule quelque part dans $\intoo ab$, soit $q_1 = q_2$ et $v \propto u$ là *(supposer $u > 0$ sur $\intoo ab$ et $v > 0$ aussi ; intégrer (a) de $a$ à $b$ et inspecter les signes des termes de bord $W(a), W(b)$)*. (c) En déduire : les solutions de $u'' + qu = 0$ avec $q \geq
m > 0$ s’annulent au moins une fois dans tout intervalle de longueur $\pi/\sqrt m$ (comparer avec $v'' + mv = 0$) ; les solutions avec $q \leq 0$ s’annulent au plus une fois sur $\R$. Tester les deux sur $q \equiv \pm1$.

**Solution de Exercice 19.12.**

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 -
q_2)\,uv$.

(b) Soient $a < b$ zéros consécutifs de $u$ ; normalisons $u >
0$ sur $\intoo ab$ (donc $u'(a) > 0$, $u'(b) < 0$ — non nuls par unicité, car $u(a) = u'(a) = 0$ forcerait $u \equiv
0$). Supposons que $v$ n’a pas de zéro dans $\intoo ab$ ; normalisons $v > 0$ là (d’où $v(a), v(b) \geq 0$ par continuité). Intégrons (a) :

$$
W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .
$$

Mais $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ et $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : donc $W(b) - W(a) \geq 0$. Égalité partout : $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ avec $uv > 0$ sur l’intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) force $q_1 = q_2$ là ; et $W(a) = W(b) =
0$ force $v(a) = v(b) = 0$ ; alors $W \equiv 0$ sur $\intcc ab$ (sa dérivée s’annule), c’est-à-dire $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ sur $\intoo ab$ : $v \propto u$.

(c) Prendre $q_1 = m$ et $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$, dont les zéros consécutifs sont distants de $\pi/\sqrt m$, et $q_2
= q \geq m$ : par (b), toute solution $v$ de $v'' + qv = 0$ s’annule dans chaque intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de longueur $\pi/\sqrt m$ (dans l’alternative dégénérée $q \equiv m$, $v
\propto u$ s’annule aussi). Si au contraire $q \leq 0$ : appliquer (b) avec $q_1 = q$, $u = v$, et $q_2 = 0$ avec la solution sans zéro $\mathbf 1$ de $v'' = 0$. Si $v$ avait deux zéros consécutifs, (b) forcerait soit un zéro de $\mathbf 1$ entre eux, soit le cas dégénéré $\mathbf 1
\propto v$ — tous deux absurdes : $v$ s’annule au plus une fois. Tests : pour $q = 1$, $\sin t$ s’annule tous les $\pi =
\pi/\sqrt1$, comme prédit ; pour $q = -1$, $\sinh t$ s’annule exactement une fois et $\eu^t$ jamais — au plus un zéro, comme prédit.

## 19.6 Problème : le pendule, complètement résolu

**Problème 19.1.**

Problème de week-end — oscillations, rotations, séparatrice, et la période

L’équation du pendule $x'' = -\sin x$ — comme système : $x' = y$, $y' = -\sin x$ sur $\R^2$ — est la drosophile de la dynamique : [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) à écrire, impossible à résoudre par des formules élémentaires, et pourtant complètement compréhensible par la méthode qualitative. Soit $E(x, y) = \frac{y^2}2 -
\cos x$ (l’*énergie*).

**Partie I — Structure globale.**

1. Montrer que toutes les [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) sont globales (définies sur $\R$ ) : utiliser $\dot E = 0$ et le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal) . Équilibres : $(k\pi, 0)$ ; classifier leurs linéarisations (type [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) pour $k$ pair, col pour $k$ impair).
2. Montrer que les trajectoires sont [contenues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans les ensembles de niveau $\{E = E_0\}$ , et les esquisser/décrire selon la valeur de $E_0 \in  \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (équilibres), $-1 <  E_0 < 1$ (courbes fermées autour de $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (la séparatrice passant par $(\pm\pi,  0)$ ), $E_0 > 1$ (graphes au-dessus de $x$ : rotations).
3. Prouver que l’équilibre bas $(0,0)$ est [stable](#def-b3-ode-stability) mais *pas* asymptotiquement [stable](#def-b3-ode-stability) . *(Lyapunov avec $V = E + 1$ ; non asymptotique : la conservation de l’énergie piège les [orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) sur des courbes de niveau éloignées de l’origine.)*

**Partie II — Oscillations et leur période.** Fixons $-1 < E_0 < 1$ et écrivons $E_0 = -\cos a$ avec $a \in
\intoo0\pi$ (l’amplitude).

4. Montrer que la solution avec $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscille : $x(t) \in \intcc{-a}a$ , et l’ [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) est la courbe fermée $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Justifier que la solution est périodique : l’ [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) est une courbe compacte sans équilibre, parcourue à vitesse minorée — en faire un argument (la solution revient à son point initial en temps fini, puis l’unicité force la périodicité).
5. Établir la formule de la période $$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x -  \cos a)}}$$ *(sur un quart d’[orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action), $y = \frac{\dd x}{\dd t}  > 0$ et séparer les variables ; justifier la convergence impropre en $x = a$)*.
6. (Petites oscillations) Substituer $\sin\frac x2 =  \sin\frac a2\,\sin\varphi$ et montrer $$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 -  k^2\sin^2\varphi}},  \qquad k = \sin\frac a2$$ (une intégrale elliptique complète). En déduire par convergence dominée que $T(a) \to 2\pi$ quand $a \to  0^+$ : la limite harmonique, indépendante de l’amplitude — l’isochronisme approximatif de Galilée, avec sa correction exacte $T(a) =  2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (développer l’intégrande et intégrer terme à terme, en justifiant par convergence normale).
7. Montrer que $T(a) \to +\infty$ quand $a \to \pi^-$ *(minorer l’intégrande près de $\varphi =  \frac\pi2$ quand $k \to 1$, ou appliquer la convergence monotone)* : en approchant la séparatrice, le pendule ralentit sans borne.

**Partie III — La séparatrice.**

8. Pour $E_0 = 1$, $y = 2\cos\frac x2$ sur la branche supérieure : séparer les variables et intégrer pour trouver la solution explicite $$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$$ (avec $x(0) = 0$, $y(0) = 2$). Vérifier directement qu’elle résout l’équation du pendule, et calculer ses limites et les limites de $y(t)$ quand $t \to  \pm\infty$.
9. Conclure : l’ [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) séparatrice relie le col $(-\pi, 0)$ (quand $t \to -\infty$ ) au col $(\pi,  0)$ (quand $t \to +\infty$ ) mais n’atteint ni l’un ni l’autre en temps fini — cohérent avec l’unicité (pourquoi atteindre un col en temps fini contredirait-il le [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ?).

**Partie IV — Rotations, et le tableau [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).**

10. Pour $E_0 > 1$ : montrer que $y$ ne s’annule jamais, que $x$ est strictement monotone et globale avec $x(t) \to \pm\infty$, et que $t \mapsto y(t)$ est périodique de période $$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}  \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$$
11. Assembler le portrait de phase [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (la figure du chapitre) avec justification pleine de chaque trait, et écrire un résumé en dix lignes de la méthode : énergie, ensembles de niveau, compacité, unicité — comment chaque théorème du chapitre est entré en jeu. Où a-t-on jamais eu besoin d’une formule pour la solution générale ?

**Partie V — La fonction période sous la loupe.**

12. Prouver les moments de Wallis $$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi  = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$ par récurrence (intégration par parties), développer l’intégrande de la question 6 par la série du binôme, et justifier l’intégration terme à terme pour obtenir la série complète $$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0}  \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n}  = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64}  + O(k^6)\Bigr),  \qquad k = \sin\frac a2 .$$
13. Passer à l’amplitude : $$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} +  \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$$ *(substituer le développement de $\sin\frac a2$ et collecter)*. L’isochronisme échoue à l’ordre $a^2$, et l’échec est maintenant quantifié jusqu’à l’ordre $a^4$.
14. Montrer que $a \mapsto T(a)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et strictement croissante sur $\intoo0\pi$ , et conclure avec les questions 6–7 que $T$ est une bijection de $\intoo0\pi$ sur $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : toute période supercritique est réalisée par exactement une amplitude.
15. (Arithmétique d’horloger) Un pendule réglé à amplitude nulle garde le temps [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) ; montrer que lancé à l’amplitude $a$ il retarde de la fraction $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ du temps [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) , et calculer la dérive pour $a = 0.2$ rad : environ $216$ secondes par jour. (Les joues cycloïdales de Huygens et les petites amplitudes constantes des échappements sont l’une et l’autre des réponses à ce nombre.)
16. Revenir à la période de rotation $\tau$ de la question 10 : montrer que $\tau$ est strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ quand $E_0 \to 1^+$ (convergence monotone), et que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0)  \to 2\pi$ quand $E_0 \to +\infty$ (convergence dominée) : le tournoiement rapide est asymptotiquement une rotation [libre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) à la vitesse angulaire $\sqrt{2E_0}$ .

**Partie VI — La méthode exportée : Lotka–Volterra.** La recette du pendule — intégrale première, courbes de niveau compactes, unicité — résout un écosystème. Fixons $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ et considérons, sur le quadrant [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $Q =
\intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$,

$$
x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad
y' = y\,(\delta x - \gamma)
$$

($x$ proies, $y$ prédateurs).

17. Montrer que $Q$ est invariant — les axes sont des unions d’ [orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) , explicitement calculables, qu’aucune solution ne peut croiser ( [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) ) — et que l’unique équilibre dans $Q$ est $(x_*, y_*) =  \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
18. Montrer que $$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y -  \alpha\ln y$$ est une intégrale première, que $H = f(x) + g(y)$ avec $f, g$ strictement convexes et propres sur $\intoo0{+\infty}$ avec minima en $x_*$, $y_*$, et en déduire que toutes les [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) dans $Q$ sont globales.
19. Montrer que pour $h > h_* = H(x_*, y_*)$ l’ensemble de niveau $\{H = h\}\cap Q$ est une courbe fermée autour de l’équilibre : deux branches [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $y_\pm(x)$ sur un intervalle compact $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , recollées aux extrémités — l’analogue des ovales du pendule.
20. Prouver que toute [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) non d’équilibre dans $Q$ est périodique : établir la circulation dans le sens antihoraire à travers les quatre régions découpées par les droites $x = x_*$ et $y = y_*$ , borner le temps de traversée de chaque arc par une intégrale à singularité en racine carrée convergente (comme à la question 5), et conclure par l’unicité (comme à la question 4).
21. (Loi des moyennes de Volterra) Si $T$ est la période d’une telle [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action), montrer que $$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta,  \qquad  \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$$ les moyennes temporelles égalent les valeurs d’équilibre, quelle que soit l’amplitude *(intégrer $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ sur une période)*.
22. (Le paradoxe de la pêche) Récolter les deux espèces au taux $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : le système garde sa forme avec $\alpha - \varepsilon$ et $\gamma  + \varepsilon$ à la place de $\alpha$ et $\gamma$ . Que deviennent les populations moyennes ? Expliquer l’observation de d’Ancona (1914–1918) : quand la pêche adriatique diminua pendant la guerre, la proportion de prédateurs (requins) dans les prises *augmenta* — et pourquoi une pêche modérée favorise les proies.
23. Écrire la morale en dix lignes : quels théorèmes du chapitre alimentent chaque étape, ce qui remplace l’énergie du pendule, et pourquoi ni l’un ni l’autre système n’a eu besoin — ni n’admet — d’une solution élémentaire en forme fermée.
24. (Modulation de vitesse) Dans le régime de rotation $E_0 > 1$ , montrer que $y = x'$ oscille entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (en $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) et $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (en $x \equiv 0$ ), que la moyenne temporelle de $y$ sur une période vaut exactement $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , et que le rapport de modulation $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ quand $E_0  \to \infty$ : la rotation rapide est asymptotiquement uniforme.
25. (Monotonie de la période de rotation) Montrer que $\tau(E_0)$ est $\mathcal C^1$ et strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ *(dériver sous le signe d’intégration, avec domination sur tout $\intco{1 + \delta}\infty$)* , avec $\tau \to \infty$ quand $E_0 \to 1^+$ et $\tau  \to 0$ quand $E_0 \to \infty$ . Assembler le tableau de bifurcation [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) du pendule le long de l’axe d’énergie : équilibres en $E_0 = -1$ , librations de période croissante de $2\pi$ à $\infty$ sur $-1 <  E_0 < 1$ , la séparatrice en $E_0 = 1$ , et rotations de période décroissante de $\infty$ à $0$ au-delà.

**Solution de Problème 19.1.**

**1.** $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x +
y\sin x = 0$ : l’énergie est une intégrale première. Sur une [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal), $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ est bornée ; alors $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} +
t\sup\abs y$ croît au plus linéairement : sur tout intervalle de temps fini la trajectoire reste dans un compact de $\R^2$, donc le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal)(2) force $T_\pm =
\pm\infty$. Équilibres $(k\pi, 0)$ ; linéarisation $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\
\mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ avec $-\cos(k\pi) = \mp1$ : valeurs propres $\pm\iu$ pour $k$ pair (type [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions), non concluant en soi) et $\pm1$ pour $k$ impair (col).

**2.** $E$ constante le long des solutions confine chaque trajectoire à un ensemble de niveau $\{y^2 = 2(E_0 +
\cos x)\}$. Pour $E_0 = -1$ : seulement les points $(2k\pi,
0)$. Pour $-1 < E_0 < 1$ : en écrivant $E_0 = -\cos a$, l’ensemble est une union disjointe de courbes fermées $y =
\pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sur $x \in [2k\pi - a, 2k\pi +
a]$, une autour de chaque équilibre [stable](#def-b3-ode-stability). Pour $E_0 = 1$ : les courbes $y = \pm2\cos\frac x2$ joignant les cols consécutifs — la séparatrice — avec les cols eux-mêmes. Pour $E_0 > 1$ : deux graphes $y =
\pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$, définis pour tout $x$, ne touchant jamais $y = 0$.

**3.** $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ s’annule en $(0,0)$, est positive sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) épointé ($\abs x < 2\pi$), et $\dot V = 0 \leq 0$ : le [Théorème 19.11](#thm-b3-ode-lyapunov) donne la stabilité. Pas asymptotique : la solution passant par $(a, 0)$ ($0 < a$ petit) reste sur la courbe de niveau $E = -\cos a$, dont la distance à l’origine est positive (la courbe ne rencontre l’axe des $x$ qu’en $\pm a$) : $\varphi_t(a, 0) \not\to
(0,0)$.

**4.** Sur la courbe de niveau $C_a$ : pas d’équilibre ($y = 0$ force $x = \pm a$ avec $\sin(\pm a) \neq 0$ pour $0
< a < \pi$), donc la vitesse $\norm{(y, -\sin x)}$ a un minimum strictement positif $m$ sur le compact $C_a$. Suivons la solution depuis $(a, 0)$ : dans le demi-plan inférieur $x' = y < 0$, donc $x$ décroît de $a$ à $-a$ en temps fini (les intégrales de quart/demi-période convergent : analyse de la question 5), atteignant $(-a,
0)$ ; par la symétrie $(x, y) \mapsto (x, -y)$, $t \mapsto
-t$ de l’équation, le demi-plan supérieur est parcouru en retour en le même temps $\frac T2$ : la solution revient en $(a, 0)$ au temps $T$. L’unicité ([Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) propage alors : $x(t + T) =
x(t)$ pour tout $t$ : périodique.

**5.** Sur la branche où $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x
- \cos a)}$ et $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; intégrer $x$ de $-a$ à $a$ donne la demi-période, et la symétrie $x \mapsto
-x$ divise encore l’intégrale par deux :

$$
T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .
$$

Convergence en $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x)
+ O((a-x)^2)$ avec $\sin a > 0$ : l’intégrande se comporte comme $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$, [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1).

**6.** Avec $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$, $k =
\sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2)
= 2k^2\cos^2\varphi$ et $\frac12\cos\frac x2\,\dd x =
k\cos\varphi\,\dd\varphi$, donc

$$
T(a) = 4\int_0^{\pi/2}
\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .
$$

Quand $a \to 0^+$, $k \to 0$ : pour $k \leq k_0 < 1$ l’intégrande est dominée par $(1 -
k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\intcc0{\pi/2}$ : la convergence dominée donne $T \to 4\cdot\frac\pi2 =
2\pi$. Développement de $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 +
\frac{3u^2}8 + \cdots$ avec $u = k^2\sin^2\varphi$ (convergence normale pour $k < 1$) et $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

$$
T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :
$$

l’isochronisme ne tient qu’au premier ordre ; la période croît avec l’amplitude.

**7.** Quand $k \uparrow 1$ les intégrandes croissent vers $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$, dont l’intégrale diverge : par convergence monotone, $T(a)
\to +\infty$ quand $a \to \pi^-$.

**8.** Sur la branche $y = 2\cos\frac x2$ ($\abs x <
\pi$) : $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; avec $u =
\frac x2$, $\int\frac{\dd u}{\cos u} =
\ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$, donc $t =
\ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$, c’est-à-dire

$$
x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi,
\qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} =
\frac{2}{\cosh t} .
$$

Vérification via l’énergie : avec $\theta = \arctan\eu^t$, $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$, donc $\cos x = -\cos4\theta
= -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ et $E = \frac{y^2}2 - \cos x =
\frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : la trajectoire est sur la séparatrice, et dériver $y^2 = 2(1 +
\cos x)$ où $y > 0$ reproduit $y' = -\sin x$. Limites : $x
\to \pm\pi$ et $y \to 0$ quand $t \to \pm\infty$.

**9.** L’[orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) tend vers le col $(\pi, 0)$ vers l’avant et $(-\pi, 0)$ vers l’arrière mais n’arrive jamais : si elle atteignait $(\pi, 0)$ en un temps fini $t^*$, deux [solutions maximales](#thm-b3-ode-maximal) distinctes — la solution séparatrice et la solution constante au col — passeraient par le même point $(t^*, (\pi, 0))$, contredisant le [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness). Les cols ne sont approchés qu’asymptotiquement.

**10.** Pour $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq
2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ garde son signe, et $\abs{x'} = \abs y
\geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ est strictement monotone, globale (question 1), avec $x(t) \to \pm\infty$. Comme $y(t)
= \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ et $\cos$ est $2\pi$-périodique, $y$ reprend sa valeur chaque fois que $x$ avance de $2\pi$ ; le temps nécessaire est

$$
\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} =
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
$$

(substitution ; périodicité) : $y$ est $\tau$-périodique — le pendule tourne avec un taux de rotation asymptotiquement constant $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ pour les grandes énergies.

**11.** La méthode, dans l’ordre : l’*énergie* ($\dot E = 0$) réduit le [flot](#ex-b3-ode-planeclassification) bidimensionnel à des courbes de niveau unidimensionnelles ; la *bornitude* de $y$ sur chaque niveau plus l’[échappement des compacts](#thm-b3-ode-maximal) donne l’existence globale ; la *compacité* des niveaux fermés donne des bornes de vitesse et donc la périodicité ; l’*unicité* convertit le premier retour en périodicité exacte, interdit l’arrivée en temps fini aux cols, et sépare les types d’[orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) ; la *linéarisation et Lyapunov* classent les équilibres ; l’*intégrale de période* est analysée avec les théorèmes de convergence du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue). À aucun moment n’avons-nous possédé — ni eu besoin — d’une solution générale en forme fermée : la théorie qualitative a extrait chaque trait du mouvement de l’équation elle-même.

**12.** Parties : $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi
\cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2}
\sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1}
- W_n)$, donc $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; avec $W_0 =
\frac\pi2$ et $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} =
\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (scinder $(2n)! =
2^nn!\prod(2j-1)$), la récurrence donne la valeur affichée. Série du binôme : $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ avec $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$, rayon $1$. Pour $k \leq k_0 < 1$ et $u = k^2\sin^2\varphi$, la série $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalement en $\varphi$ ($c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$), donc l’intégration terme à terme dans la formule de la question 6 est légitime :

$$
T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n
= 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n}
= 2\pi\sum_{n\geq0}
\Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .
$$

Avec $c_0 = 1$, $c_1 = \frac12$, $c_2 = \frac38$ : $T(a) =
2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$, le reste uniforme pour $k \leq k_0$ (queue dominée par une série géométrique).

**13.** $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} +
O(a^5)$, donc

$$
k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6),
\qquad
k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,
$$

et

$$
\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 -
\frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} +
O(a^6)
= 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,
$$

puisque $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072}
= \frac{11}{3072}$.

**14.** Dans la forme elliptique de la question 6, $a
\mapsto k = \sin\frac a2$ est une bijection [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) strictement croissante de $\intoo0\pi$ sur $\intoo01$, et pour chaque $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ l’intégrande $(1 -
k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ est strictement croissante en $k$ : $T$ est strictement croissante. Continuité : sur $k
\leq k_0 < 1$ l’intégrande est dominée par la [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $(1 -
k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$, donc la convergence dominée s’applique le long de $k' \to k$. Avec les limites $T \to
2\pi$ quand $a \to 0^+$ (question 6) et $T \to +\infty$ quand $a \to \pi^-$ (question 7), la stricte monotonie et le théorème des valeurs intermédiaires font de $T$ une bijection de $\intoo0\pi$ sur $\intoo{2\pi}{+\infty}$.

**15.** Une horloge compte les oscillations ; réglée à amplitude nulle, elle comptabilise la période harmonique $2\pi$ par oscillation (dans l’unité de temps du pendule). Lancée à l’amplitude $a$, la période vraie est $T(a) =
2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : l’horloge comptabilise $2\pi$ tandis que $T(a)$ s’écoule réellement, donc elle retarde de la fraction

$$
\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .
$$

Pour $a = 0.2$ rad (environ $11.5$ [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension)) : $\frac{a^2}{16}
= \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$, et un jour a $86400$ s : l’horloge perd $86400/400 = 216$ secondes — quelque trois minutes et demie — par jour. D’où les deux remèdes historiques : imposer une amplitude constante minuscule (l’échappement), ou cintrer la contrainte pour que la période soit exactement indépendante de l’amplitude (les joues cycloïdales de Huygens, 1657).

**16.** Dans $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd
x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ l’intégrande est, pour chaque $x$ fixé, strictement décroissante en $E_0$ : $\tau$ est strictement décroissante. Quand $E_0 \downarrow 1$ les intégrandes croissent point par point vers $\bigl(2(1 + \cos
x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$, dont l’intégrale sur $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ($\cos\frac x2$ s’annule à l’ordre un en $\pm\pi$) : la convergence monotone donne $\tau(E_0) \to +\infty$. Quand $E_0 \to +\infty$ :

$$
\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi
$$

par convergence dominée (pour $E_0 \geq 2$ l’intégrande est au plus $\sqrt2$). Donc $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : un tour prend le temps d’une rotation [libre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) à la vitesse $\sqrt{2E_0}$, le potentiel réduit à une ride — en accord avec le taux de rotation de la question 10.

**17.** Les axes portent les solutions explicites $t
\mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ et $t \mapsto (0,
y_0\eu^{-\gamma t})$, avec l’équilibre $(0, 0)$ : ce sont des unions d’[orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action). Le champ est $\mathcal C^1$, donc localement lipschitzien ; une solution partant de $Q$ qui toucherait un axe passerait par un point de l’une de ces [orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) et, par le [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness), coïnciderait avec elle — impossible, l’une vivant sur l’axe et l’autre non. Donc $Q$ est invariant dans les deux sens du temps. Équilibres dans $Q$ : $x > 0$ force $\alpha - \beta y = 0$ et $y > 0$ force $\delta x - \gamma = 0$ : le point unique $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta,
\frac\alpha\beta\bigr)$.

**18.** Le long d’une solution,

$$
\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' +
\Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y'
= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) +
(\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .
$$

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ a $f'' = \gamma/x^2 > 0$, $f'$ s’annulant seulement en $x_*$, et $f \to +\infty$ en $0^+$ et en $+\infty$ : strictement convexe et propre, minimum $f(x_*)$ ; de même $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$, minimum $g(y_*)$. Donc $H \geq h_*$ avec égalité seulement en $(x_*, y_*)$, et chaque sous-niveau $\{H \leq h\}\cap Q$ est compact : $f(x) \leq h - g(y_*)$ confine $x$ à un intervalle compact de $\intoo0{+\infty}$ par propreté, de même $y$, et l’ensemble est fermé dans $\R^2$ car $H \to +\infty$ au bord de $Q$. Une [solution maximale](#thm-b3-ode-maximal) reste sur son ensemble de niveau compact, donc ne peut quitter tout compact en temps fini : le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal) la rend globale.

**19.** Fixons $h > h_*$ et posons $c = h - g(y_*) >
f(x_*)$. Comme $f$ décroît strictement de $+\infty$ à $f(x_*)$ sur $\intoc0{x_*}$ et croît strictement de nouveau vers $+\infty$ sur $\intco{x_*}{+\infty}$, l’équation $f(x)
= c$ a exactement deux racines $x_- < x_* < x_+$, et $\{f
\leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$. Pour $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ a exactement deux racines $y_-(x)
< y_* < y_+(x)$, [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $x$ (inverses des restrictions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) strictement monotones de $g$ de chaque côté de $y_*$), avec $y_\pm(x) \to y_*$ quand $x \to x_\pm$ ; en $x
= x_\pm$ l’unique solution est $y = y_*$. Donc $\{H =
h\}\cap Q$ est l’union des graphes de $y_+$ et $y_-$ sur $\intcc{x_-}{x_+}$, recollés en $(x_\pm, y_*)$ : une courbe fermée autour de $(x_*, y_*)$ — l’analogue des ovales du pendule.

**20.** Soit $C_h = \{H = h\}\cap Q$ avec $h > h_*$ : le seul équilibre de $Q$ est hors de $C_h$, donc le champ ne s’annule jamais dessus. Signes : $x' = \beta x(y_* - y)$, $y' = \delta y(x - x_*)$ : le mouvement va à droite sous la droite $y = y_*$, vers le haut à droite de $x = x_*$, à gauche au-dessus, vers le bas à gauche — circulation antihoraire. Suivons la solution depuis un point $(x_0,
y_-(x_0))$ de la branche inférieure ouverte, où $x' > 0$ : le temps pour atteindre le coin droit $B = (x_+, y_*)$ est

$$
\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* -
y_-(x)\bigr)} .
$$

Près de $x_+$, choisissons $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; pour $x \in \intcc{x'}{x_+}$, $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ -
x)$ ($f'$ croissante et positive au-delà de $x_*$), tandis que la relation de niveau et l’inégalité de Taylor donnent $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_*
- y_-(x))^2$ sur la plage compacte en $y$ de $C_h$ : d’où $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ avec $c > 0$, et l’intégrande est $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) — la convergence de la question 5, transposée. Ailleurs sur la branche l’intégrande est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Donc $B$ est atteint en temps fini ; là $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$, l’[orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) entre dans la région $x > x_*$, $y > y_*$, grimpe au coin supérieur $(x_*, y_+)$ par l’estimée symétrique (rôles de $f$ et $g$ échangés), et ainsi de suite autour des quatre arcs : après un temps fini $T > 0$ la solution revient à son point de départ. Par le [Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness) elle est $T$-périodique — l’argument de la question 4, mot pour mot.

**21.** Sur une [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) $T$-périodique dans $Q$, $t
\mapsto \ln x(t)$ est $\mathcal C^1$ et $T$-périodique, donc

$$
0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t
= \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t
= \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,
$$

donnant $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; de même $0 =
\int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ donne $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$. Les moyennes temporelles sont les valeurs d’équilibre, pour toute [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) quelle que soit l’amplitude — une loi de conservation que personne n’a introduite à la main.

**22.** Avec la récolte le système est encore de forme Lotka–Volterra, avec paramètres $\alpha - \varepsilon$, $\beta$, $\gamma + \varepsilon$, $\delta$ (l’équilibre intérieur persiste car $\varepsilon < \alpha$). La question 21 appliquée au nouveau système :

$$
\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta}
\ \ (\text{moyenne des proies croît}),
\qquad
\bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta}
\ \ (\text{moyenne des prédateurs décroît}) :
$$

une récolte indifférenciée déplace l’équilibre vers les proies. Les données de d’Ancona se lisent à l’envers : la guerre a réduit la pêche, $\varepsilon$ a chuté, donc la moyenne des prédateurs $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ a monté et celle des proies a baissé — une plus grande fraction de requins dans les prises, exactement ce que les marchés adriatiques ont enregistré. C’est le principe de Volterra, le même mécanisme derrière les paradoxes des pesticides : abattre les deux niveaux trophiques profite au niveau mangé.

**23.** La recette, les deux fois : (i) une intégrale première — $E$ pour le pendule, $H$ ici, trouvée en séparant $\dd y/\dd x$ — effondre le plan sur des courbes ; (ii) propreté et compacité des ensembles de niveau donnent l’existence globale via le [Théorème 19.5](#thm-b3-ode-maximal) ; (iii) la géométrie des niveaux — ovales, de la forme de $\cos$ là-bas et de la stricte convexité de $f$ et $g$ ici — se lit sur l’intégrale, non sur le [flot](#ex-b3-ode-planeclassification) ; (iv) un champ non nul sur un ovale compact plus des singularités de coin [intégrables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) force un temps de retour fini ; (v) l’unicité ([Corollaire 19.4](#cor-b3-ode-uniqueness)) convertit le retour en périodicité et interdit l’arrivée en temps fini aux équilibres ; (vi) les dividendes — développements de la période, lois des moyennes — viennent des théorèmes de convergence appliqués aux intégrales résultantes. Ni $x'' =
-\sin x$ ni Lotka–Volterra n’admettent de solution élémentaire en forme fermée (intégrales elliptiques dans un cas, courbes de niveau transcendantes dans l’autre), et à aucun moment on n’en a eu besoin : l’équation elle-même, interrogée qualitativement, a livré le mouvement tout entier.

**24.** Sur un niveau d’énergie $E_0 > 1$, $y^2 =
2(E_0 + \cos x) > 0$ : extrêmes de $y^2$ en $\cos x =
\pm1$, donnant les bornes énoncées, atteintes en $x \equiv
0, \pi$. Moyenne temporelle sur une période $\tau =
\tau(E_0)$ : $x$ avance de exactement $2\pi$, donc

$$
\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) -
x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .
$$

Le rapport des vitesses extrêmes est $\sqrt{\frac{E_0 +
1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : à haute énergie la ride $\pm1$ du potentiel est négligeable face à $E_0$, et le pendule tourne presque uniformément — la planche à laver s’aplatit.

**25.** Sur $E_0 \geq 1 + \delta$, l’intégrande de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 +
\cos x)}}$ est dominée par $(2\delta)^{-1/2}$ et sa dérivée en $E_0$

$$
\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}
= -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}
$$

par $(2\delta)^{-3/2}$, toutes deux [intégrables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1) sur le compact $\intcc{-\pi}\pi$ : la dérivation sous le signe d’intégration ([Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) s’applique et donne $\tau'(E_0) < 0$ (l’intégrande est strictement négative) : strictement décroissante, $\mathcal C^1$. Limites : quand $E_0 \to \infty$, $\tau \leq
\frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; quand $E_0 \to 1^+$ : écrire $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; l’intégrande croît quand $E_0$ décroît, donc par convergence monotone

$$
\tau(E_0) \;\nearrow\;
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}}
= +\infty,
$$

l’intégrale limite divergeant en $x = \pm\pi$ (là $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$, un $\frac1{\abs\cdot}$ non [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1)) : la période explose en approchant la séparatrice, en accord avec $T(a) \to \infty$ de la Partie II du côté libration. L’axe d’énergie se lit : repos en $E_0 = -1$ ; librations, $2\pi \nearrow
\infty$, sur $\intoo{-1}1$ ; la séparatrice infiniment lente en $E_0 = 1$ ; rotations, $\infty \searrow 0$, au-delà. Une intégrale, toute la vie du pendule.