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title: "Sous-variétés de ℝn"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn
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# Chapitre 20 — Sous-variétés de ℝn

Sphères, tores, groupes de rotations : les habitats naturels de la géométrie et de la mécanique ne sont pas des espaces vectoriels mais des *ensembles courbes qui paraissent plats de près*. Ce chapitre donne un sens précis à cette phrase — les sous-variétés de $\R^n$ — et le calcul pour travailler dessus. Le fondement est le théorème d’inversion locale, prouvé ici par le point fixe de Banach ; tout le reste est un changement de coordonnées : les quatre descriptions équivalentes d’une sous-variété (redressement local, ensembles de niveau, graphes, paramétrisations), les [espaces tangents](#def-b3-submanifolds-tangent), et l’optimisation sous contrainte par les [multiplicateurs de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — qui, en démonstration d’adieu, reprouve le théorème spectral pour les matrices symétriques en trois lignes de géométrie. Le problème de week-end construit le groupe de rotations $SO(3)$ et son double revêtement quaternionique : l’algèbre ($Q_8$ du [Chapitre 1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ch-b3-groups) devenu adulte) rencontrant la géométrie.

## 20.1 Le théorème d’inversion locale

**Théorème 20.1 (Théorème d’inversion locale).**

Soit $U \subseteq \R^n$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), $f \colon U \to \R^n$ de classe $\mathcal C^1$, et $a \in U$ avec $Df(a)$ inversible. Alors il existe des [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $V \ni a$, $W \ni f(a)$ tels que $f \colon V \to W$ est une bijection d’inverse $\mathcal C^1$, et

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

Si $f$ est $\mathcal C^k$, il en va de même de $f^{-1}$.

**Démonstration.** Normalisons : en remplaçant $f$ par $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a +
x) - f(a)\bigr)$, on peut supposer $a = 0$, $f(0) = 0$, $Df(0) =
I$ (l’énoncé général suit en composant avec les bijections affines). Écrivons $f(x) = x + g(x)$ : $Dg(0) = 0$, et par continuité de $Dg$ choisissons $r > 0$ avec $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ sur $\bar B(0, r)$ ; l’inégalité des accroissements finis donne $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12
\norm{x - x'}$ là.

*Bijectivité sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology).* Pour $y \in B(0,
\frac r2)$, résoudre $f(x) = y$ revient à trouver un point fixe de $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; $\Phi_y$ envoie $\bar B(0, r)$ dans elle-même ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) et est $\frac12$-lipschitzienne : Banach ([Théorème 7.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) fournit une unique solution $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$. De plus $f$ est injective sur $\bar B(0,r)$ :

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

Posons $W = B(0, \frac r2)$ et $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) (continuité), avec $f \colon V \to W$ bijective.

*Continuité et différentiabilité de l’inverse.* $(*)$ dit que $\varphi = f^{-1}$ est $2$-lipschitzienne. Fixons $y_0 = f(x_0)
\in W$ ; l’inversibilité de $A = Df(x_0)$ (sa distance à $I$ est $\leq \frac12$ : Neumann, [Proposition 8.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#prop-b3-banach-neumann)) et la différentiabilité de $f$ donnent, pour $y = f(x)$ près de $y_0$ :

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

en utilisant $(*)$ pour convertir $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ : $\varphi$ est différentiable en $y_0$ avec la différentielle inverse. Continuité de $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$ : composition d’[applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (l’inversion est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), [Proposition 8.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#prop-b3-banach-neumann)) : $\varphi \in \mathcal C^1$ ; le bootstrap de la même formule donne $\mathcal C^k$. ∎

**Théorème 20.2 (Théorème des fonctions implicites).**

Soit $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ de classe $\mathcal C^1$ près de $(a, b)$, $F(a,b) = 0$, et supposons la différentielle partielle $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ inversible. Alors il existe des [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $A \ni a$, $B \ni b$ et une application $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ avec

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

et $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$.

**Démonstration.** Appliquer le [Théorème 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) à $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$ : sa différentielle en $(a,b)$, triangulaire par blocs avec blocs diagonaux inversibles $I$ et $D_yF$, est inversible. L’inverse local est de la forme $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$ ; posons $\psi(x) = h(x, 0)$ : alors $F(x, y) = 0$ ssi $\Theta(x,y) = (x, 0)$ ssi $y = \psi(x)$, localement. La formule : dériver $F(x, \psi(x)) = 0$ par la règle de la chaîne. ∎

## 20.2 Sous-variétés : quatre définitions

**Théorème 20.3 (Caractérisations équivalentes).**

Soit $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$, et $k \geq
1$. Les assertions suivantes sont équivalentes, pour chaque point $a \in M$ (et $M$ est une *sous-variété de dimension $d$ de classe $\mathcal C^k$* si elles valent en tout $a \in M$) :

1. (*Redressement*) Il existe un difféomorphisme $\mathcal C^k$ $\Phi$ d’un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega \ni a$ sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega' \subseteq \R^n$ avec $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *Ensemble de niveau* ) Il existe une *submersion* $\mathcal C^k$ $F \colon \Omega \to  \R^{n-d}$ (c’est-à-dire $DF(x)$ surjective) sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega \ni a$ avec $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
3. ( *Graphe* ) À permutation des coordonnées près, $M$ est localement le graphe d’une application $\mathcal C^k$ $\psi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^{n-d}$ .
4. ( *Paramétrisation* ) Il existe une *immersion* $\mathcal C^k$ $\varphi \colon A  \subseteq \R^d \to \R^n$ ( $D\varphi(u)$ injective) avec $A$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) , $\varphi$ un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $A$ sur $M \cap \Omega$ pour un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega \ni a$ .

**Démonstration.** (1)$\Rightarrow$(2) : $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (dernières coordonnées de $\Phi$) : une submersion ($D\Phi$ inversible). (2)$\Rightarrow$(3) : $DF(a)$ surjective : un mineur $q
\times q$ de la jacobienne est inversible ($q = n - d$) ; après permutation des coordonnées, $D_yF(a)$ est inversible, et le théorème des fonctions implicites ([Théorème 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) exprime $M$ localement comme un graphe $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4) : $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : une immersion (différentielle $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injective), un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le graphe (inverse : la projection, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)). (4)$\Rightarrow$(1) : soit $\varphi(u_0) = a$ ; compléter $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ par un supplémentaire $E$ ($\dim E = n - d$) et définir $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ sur $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ est bijective (l’image contient $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ et $E$), donc $\Theta$ est un difféomorphisme local ([Théorème 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)) ; son inverse $\Phi$ redresse : près de $a$, les points de $M$ sont exactement les $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — pour cela, l’hypothèse d’[homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) dans (4) garantit que $M\cap\Omega$, pour $\Omega$ petit, ne contient pas d’autres feuilles ($\varphi(u') + v = m \in M$ proche de $a$ avec $v \neq 0$ petit doit être exclu : $m = \varphi(u'')$ pour un $u''$ près de $u_0$ par la propriété d’[homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et l’injectivité locale de $\Theta$ force $v = 0$). Alors $\Phi(M\cap\Omega) =
(A\times\{0\})\cap\Phi(\Omega)$ quitte à rétrécir. ∎

**Exemple 20.4.**

La sphère $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : ensemble de niveau de la submersion $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$) : une sous-variété $\mathcal C^\infty$ de dimension $n - 1$. Le tore dans $\R^3$ : ensemble de niveau de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} -
R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ($0 < r < R$). Le cône $\{x^2 + y^2 =
z^2\}$ n’est *pas* une sous-variété en $0$ ([Exercice 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). Groupes de matrices : $SL_n$ et $O_n$ sont des sous-variétés de $M_n(\R)$ (Exercices [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) et [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — le point de départ de la théorie de Lie.

## 20.3 Espaces tangents

**Définition 20.5.**

Soit $M$ une $d$-sous-variété et $a \in M$. L’*espace tangent* $T_aM$ est l’ensemble des vecteurs vitesse $\gamma'(0)$ des courbes $\mathcal C^1$ $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ avec $\gamma(0) = a$.

**Proposition 20.6.**

$T_aM$ est un sous-espace vectoriel de dimension $d$ de $\R^n$, et :

1. si $M = F^{-1}(0)$ localement avec $F$ une submersion : $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. si $M$ est paramétrée par l’immersion $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ) : $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

**Démonstration.** Les courbes dans $M$ vérifient $F(\gamma(t)) = 0$ ; la règle de la chaîne en $0$ donne $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : $T_aM
\subseteq \ker DF(a)$. Réciproquement, le redressement ([Théorème 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) transporte les droites de $\R^d\times\{0\}$ en courbes de $M$ : tout vecteur d’un sous-espace de dimension $d$ est réalisé ; en comparant les dimensions ($\dim\ker DF(a) = n - (n - d) =
d$) on force l’égalité dans (1), et le même argument de transport donne (2) ($D\varphi(u_0)$ appliqué aux droites de $A$ ; dimensions encore). ∎

**Théorème 20.7 (Multiplicateurs de Lagrange).**

Soit $M = F^{-1}(0)$ avec $F = (F_1, \dots, F_q) \colon
\Omega \to \R^q$ une submersion $\mathcal C^1$, et $f \colon
\Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$. Si la restriction $f\restriction_M$ a un extremum local en $a \in M$, alors il existe d’uniques réels $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (*[multiplicateurs de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) avec

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**Démonstration.** Pour toute courbe $\gamma$ dans $M$ passant par $a$ : $t
\mapsto f(\gamma(t))$ a un extremum local en $0$, donc $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$ : $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([Proposition 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). Or $\ker DF(a)^\perp
= \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (l’identité rang/orthogonalité de l’année 2, ou [Exercice 13.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8) en dimension finie : $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$), qui est engendré par les gradients $\nabla F_i(a)$ — indépendants, car $DF(a)$ est surjective : les multiplicateurs existent et sont uniques. ∎

**Exemple 20.8 (Le théorème spectral, géométriquement).**

Soit $A$ une matrice réelle symétrique $n\times n$ et maximisons $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ sur la sphère $S^{n-1}$ (compacte : le maximum est atteint, en un certain $v_1$). Lagrange avec $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f =
2Ax$ et $\nabla F = 2x$ donnent $Av_1 = \lambda_1v_1$ — un vecteur propre, avec $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax,
x\rangle$. Restreignons $A$ à $v_1^\perp$ (invariant : $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle =
\lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) et itérons : une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de vecteurs propres. Le théorème spectral de l’année 2, reprouvé par pure optimisation — et l’ombre de dimension infinie du même argument a prouvé le [Lemme 15.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#lem-b3-spectral-existence).

**Méthode 20.9.**

Pour prouver qu’un ensemble est une sous-variété : l’exhiber localement comme $F^{-1}(0)$ avec $DF$ surjective *sur l’ensemble* (la voie la plus courante), ou comme un graphe. Pour calculer sa dimension et son [espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) : $d = n - q$ et $T_a = \ker DF(a)$. Pour optimiser dessus : Lagrange — toujours vérifier d’abord la compacité (ou la coercivité), pour qu’un extremum existe auquel le théorème puisse s’appliquer, et se souvenir que l’équation des multiplicateurs n’est que *nécessaire* : collecter tous les points critiques, puis comparer les valeurs. Pour les groupes de matrices, dériver les courbes en l’identité pour identifier les [espaces tangents](#def-b3-submanifolds-tangent).

## 20.4 Exercices

**Exercice 20.1 ★.**

(a) Vérifier que les suivants sont des sous-variétés $\mathcal C^\infty$ et donner leurs dimensions : $S^{n-1}$ ; l’hyperboloïde $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; le tore de l’[Exemple 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) Montrer que le cône $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ n’est pas une $2$-sous-variété en $0$ : déterminer le nombre de [composantes connexes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components) de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$, et comparer avec le nombre qu’un redressement ([Théorème 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) forcerait pour un plan privé d’un point.

**Solution de Exercice 20.1.**

(a) Chacun est $F^{-1}(0)$ pour une submersion : $\norm x^2 -
1$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ (gradient $2x \neq 0$) : dimension $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradient $(2x, 2y,
-2z) \neq 0$ sur l’hyperboloïde, où $x^2 + y^2 = 1 + z^2 >
0$) : dimension $2$ ; la fonction de tore $G = (\rho - R)^2
+ z^2 - r^2$, $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$, est $\mathcal
C^\infty$ près du tore ($\rho \geq R - r > 0$ là) avec $\nabla G \neq 0$ (sa composante en $z$ est $2z$, et où $z =
0$ la composante radiale est $2(\rho - R)\ne0$ car $\abs{\rho - R} = r$) : dimension $2$.

(b) Pour $\varepsilon$ petit, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ a exactement $2$ [composantes connexes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components) (nappes supérieure et inférieure épointées, chacune [connexe par arcs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-pathconnected) : relier via cercles et rayons). Si $C$ était une $2$-sous-variété en $0$, un redressement donnerait un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $C\cap\Omega$ sur un morceau [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) d’un plan envoyant $0$ sur un point $p$ ; les petits [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) épointés de $p$ dans le plan ont *une* composante, et les [homéomorphismes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) préservent le nombre de composantes des [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) épointés : contradiction.

**Exercice 20.2 ★.**

Calculer les [espaces tangents](#def-b3-submanifolds-tangent) : (a) $T_aS^{n-1}$ pour tout $a$ (réponse : $a^\perp$) ; (b) le plan tangent au tore de l’[Exemple 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) en un point arbitraire de l’équateur extérieur $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) la droite tangente à l’hélice $\varphi(t) = (\cos t,
\sin t, t)$ en $\varphi(t_0)$, en vérifiant le [Proposition 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Solution de Exercice 20.2.**

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) =
a^\perp$. (b) En $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla
G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, donc le plan tangent est $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\
(0, 0, 1)\bigr)$ : le plan vertical tangent à l’équateur extérieur. (c) L’hélice est une courbe plongée avec $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : la droite tangente en $\varphi(t_0)$ est $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, comme le prescrit le [Proposition 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Exercice 20.3 ★★.**

Soit $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (c’est-à-dire $z \mapsto
z^2$). (a) En quels points le [Théorème 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) s’applique-t-il ? (b) Montrer que $f$ est localement mais non globalement inversible sur $\R^2\setminus\{0\}$, et exhiber explicitement les deux inverses locaux définis sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $(1, 0)$ (les deux branches de racine carrée). (c) Même discussion pour l’application des [coordonnées polaires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ex-b3-product-polar) $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

**Solution de Exercice 20.3.**

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$ : le théorème s’applique en tout point sauf l’origine. (b) $f(-z) = f(z)$ : jamais injective sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ ; sur $\R^2\setminus\{0\}$ c’est un difféomorphisme local partout mais $2$-vers-$1$ globalement. Près de $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$, les deux inverses sont les deux branches de racine carrée : en notation complexe $w \mapsto \pm\sqrt w$ (branche principale), c’est-à-dire

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(c) Jacobien $r > 0$ : difféomorphisme local sur $\intoo0\infty\times\R$, mais $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ donne le même point : localement inversible (angle déterminé à $2\pi$ près sur un demi-plan), jamais globalement.

**Exercice 20.4 ★★.**

(Folium) Soit $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ et $\mathcal C =
F^{-1}(0)$. (a) Montrer que près de tout point de $\mathcal C$ autre que l’origine, $\mathcal C$ est une $1$-sous-variété, localement un graphe en $x$ ou en $y$ (lequel, où ?). (b) Calculer la droite tangente en $(\frac32, \frac32)$. (c) Que se passe-t-il à l’origine ? (Deux branches se croisent : exhiber deux courbes $\mathcal C^1$ dans $\mathcal
C$ passant par $0$ à vitesses indépendantes, et conclure qu’aucun redressement n’existe.)

**Solution de Exercice 20.4.**

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ s’annule ssi $y = x^2$ et $x = y^2$, c’est-à-dire $x^4 = x$ : en $(0,0)$ et $(1,1)$ ; seul $(0,0)$ est sur $\mathcal C$ ($F(1,1) = -1$). Donc sur $\mathcal C\setminus\{0\}$, $F$ est une submersion : une $1$-sous-variété, localement un graphe $y = \psi(x)$ où $F_y
= 3(y^2 - x) \neq 0$ et $x = \chi(y)$ où $F_x = 3(x^2 - y)
\neq 0$ (au moins l’un des deux hors de l’origine).

(b) En $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 -
\frac32)(1, 1) = \frac94(1,1)$ : droite tangente $x + y =
3$.

(c) La paramétrisation rationnelle $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ passe par $0$ en $t = 0$ avec vitesse $(3, 0)$ ; l’échange $x \leftrightarrow y$ (la courbe est symétrique, ou reparamétrer par $1/t$) donne une seconde courbe $\mathcal C^1$ passant par $0$ de vitesse $(0, 3)$. Deux directions tangentes indépendantes sont impossibles pour une $1$-sous-variété (son [espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) est une droite, [Proposition 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)) : $\mathcal C$ n’est pas une sous-variété à l’origine — un auto-croisement transverse.

**Exercice 20.5 ★★.**

Soit $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ vers l’espace $S_n$ des matrices symétriques. (a) Montrer $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ et que $DF(M)$ est surjective sur $S_n$ en tout $M \in O_n$ *(étant donné $S \in S_n$, essayer $H = \frac12MS$)*. (b) Conclure que $O_n = F^{-1}(I)$ est une sous-variété $\mathcal C^\infty$ compacte de dimension $\frac{n(n-1)}2$, avec $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, les matrices antisymétriques. (c) Montrer que $\eu^{tH} \in O_n$ pour tout $H$ antisymétrique : les directions tangentes s’intègrent en courbes dans le groupe.

**Solution de Exercice 20.5.**

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$. Pour $M \in O_n$ et $S$ symétrique, $H =
\frac12MS$ donne $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) =
S$ : surjective sur $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ avec $F$ une submersion (sur $S_n$, de dimension $\frac{n(n+1)}2$) en chacun de ses points : une sous-variété de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$. Compacte : fermée ($F$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)) et bornée (les colonnes sont des vecteurs unitaires). Tangent en $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (la transposition passe à travers la série ; les [exponentielles de matrices](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#thm-b3-ode-matrixexp) qui commutent se multiplient, [Théorème 19.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#thm-b3-ode-matrixexp)).

**Exercice 20.6 ★★.**

(a) Montrer que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ a pour différentielle $D\det(M)(H) =
\operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$, non nulle en tout $M \in SL_n$. (b) Conclure que $SL_n(\R)$ est une sous-variété de dimension $n^2 - 1$ avec $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) $GL_n(\R)$ est-il une sous-variété ? De quelle dimension ?

**Solution de Exercice 20.6.**

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1
+ \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ pour $M$ inversible (développement de $\det$ près de $I$ : le terme linéaire de $\prod(1 + \lambda_i)$) ; avec $\det M\cdot
M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) =
\operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)^{\mathsf
T}H\bigr)$, et la formule s’étend à tout $M$ par [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) et continuité. Sur $SL_n$, $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (sa valeur sur $H = M$ est $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots =
n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ avec $\det$ une submersion là (valeurs dans $\R$) : dimension $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ est un sous-ensemble *[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)* de $M_n(\R)$ ([Exercice 6.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#exo-b3-topology-8)) : une sous-variété de dimension pleine $n^2$ (redressement : la carte identité).

**Exercice 20.7 ★★.**

Par les [multiplicateurs de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) : (a) trouver les extrema de $f(x,y) = xy$ sur le cercle $x^2 +
y^2 = 1$ ; (b) montrer que parmi tous les vecteurs de probabilité $(p_1, \dots, p_n)$ (positifs, de somme $1$), l’entropie $-\sum p_i\ln p_i$ est maximisée exactement en la distribution uniforme ; (c) trouver le point de l’ellipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ le plus proche de $(1, 0)$, et vérifier l’équation des multiplicateurs géométriquement (alignement des [normales](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal)).

**Solution de Exercice 20.7.**

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ et $x^2 + y^2 = 1$ : $y =
2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ donnent $x^2 = y^2 =
\frac12$. Valeurs de $xy$ : $\pm\frac12$ : maximum $\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, minimum $-\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (l’ensemble de contrainte est compact : les extrema existent).

(b) Sur l’intérieur du simplexe ($p_i > 0$), Lagrange pour $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ avec contrainte $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ pour tout $i$ : tous les $p_i$ égaux, $p_i = \frac1n$, avec $H = \ln n$. Le maximum sur le simplexe compact est atteint ; s’il l’était sur le bord (quelque $p_i = 0$), la distribution vit sur $\leq n - 1$ points et par récurrence $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : le point critique intérieur est le maximum global — l’ignorance uniforme maximise l’entropie.

(c) Minimiser $(x-1)^2 + y^2$ sur l’ellipse compacte : $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Si $y \neq 0$ : $\lambda = 1$, alors $2(x - 1) = \frac x2$ donne $x =
\frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : distance$^2$ $=
\frac19 + \frac59 = \frac23$. Si $y = 0$ : $x = \pm2$, distances $1$ et $3$. Points les plus proches : $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, à distance $\sqrt{2/3} < 1$. L’équation des multiplicateurs dit que le segment de $(1,0)$ au point le plus proche est parallèle à $\nabla$(ellipse) : il rencontre l’ellipse orthogonalement, comme la géométrie l’exige.

**Exercice 20.8 ★★★.**

Rédiger pleinement l’[Exemple 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) : prouver par récurrence qu’une matrice réelle symétrique admet une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée de vecteurs propres, avec $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ les maxima contraints successifs du quotient de Rayleigh. Puis déduire les formules de Courant–Fischer de l’[Exercice 15.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#exo-b3-spectral-8) en dimension finie directement de cette construction.

**Solution de Exercice 20.8.**

Récurrence sur $n$ ; $n = 1$ trivial. La fonction de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ atteint son maximum $\lambda_1$ sur le compact $S^{n-1}$ en un certain $v_1$ ; Lagrange ([Théorème 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), sphère comme ensemble de niveau) donne $2Av_1 = 2\lambda v_1$, et $\lambda =
\langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$. L’hyperplan $v_1^\perp$ est $A$-invariant (symétrie : $\langle Av, v_1\rangle =
\langle v, Av_1\rangle = 0$) ; la restriction est symétrique, et la récurrence fournit une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) propre orthonormée $v_2,
\dots, v_n$ de $v_1^\perp$ avec valeurs propres $\lambda_2
\geq \dots \geq \lambda_n$, chacune le maximum de $f$ sur la sphère de l’orthocomplément restant. Courant–Fischer suit exactement comme dans l’[Exercice 15.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#exo-b3-spectral-8) : développer $x = \sum c_iv_i$ ; sur un espace-test de dimension $k$ intersecter avec $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (comptage de dimensions dans $\R^n$) pour obtenir $\min \leq
\lambda_k$, et $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ réalise $\min = \lambda_k$.

**Exercice 20.9 ★★★.**

(Inégalité de Hadamard) Pour $M \in GL_n(\R)$ de colonnes $c_1, \dots, c_n$ :

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

avec égalité ssi les colonnes sont orthogonales. *(Se ramener à des colonnes de norme $1$ par homothétie ; maximiser $\det$ sur le produit compact de sphères $(S^{n-1})^n$ ; en un maximiseur, Lagrange dans chaque colonne séparément donne $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$, et $\nabla_{c_i}\det$ est la $i$-ème colonne de $\operatorname{com}(M)$ : en déduire que $M^{\mathsf T}M$ est diagonale, donc $= I$, donc $\det = \pm1$.)* Lecture géométrique : le volume d’un parallélépipède est au plus le produit des longueurs de ses arêtes.

**Solution de Exercice 20.9.**

Homothétier chaque colonne en norme $1$ divise $\abs{\det}$ par $\prod\norm{c_i}$ : il suffit de prouver $\abs{\det M}
\leq 1$ quand toutes les colonnes sont unitaires, avec égalité ssi $M \in O_n$. La fonction $\det$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le compact $(S^{n-1})^n$ : elle atteint un maximum $m \geq
\det I = 1 > 0$ en un certain $M$. En fixant toutes les colonnes sauf la $i$-ème, $\det$ est linéaire en $c_i$ de gradient la $i$-ème colonne de $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange sur la $i$-ème sphère : $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. L’identité $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) =
\det(M)\,I$ se lit $\langle c_j,
\operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle =
\det(M)\,\delta_{ij}$, c’est-à-dire $\lambda_i\langle c_j,
c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; en prenant $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$, puis $j \neq i$ donne $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : les colonnes sont orthonormales, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$. Donc $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ toujours, avec égalité exactement pour des colonnes orthogonales (remettre à l’échelle) : le volume d’un parallélépipède est [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal), pour des longueurs d’arêtes données, quand les arêtes sont perpendiculaires.

**Exercice 20.10 ★★.**

Près de lesquels de ses points le cercle $S^1$ est-il un graphe $y = \psi(x)$ ? Un graphe $x = \chi(y)$ ? Vérifier la caractérisation par graphe ([Théorème 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) explicitement en $(1, 0)$, et expliquer en une phrase pourquoi *une certaine* permutation de coordonnées suffit toujours mais aucune n’est toujours adaptée.

**Solution de Exercice 20.10.**

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ fonctionne près de tout point avec $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ près de tout point avec $x \neq 0$ ; en $(1, 0)$ : le graphe $x = \sqrt{1 - y^2}$ sur $y \in \intoo{-1}1$, qui est le [Théorème 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) avec les coordonnées échangées. Une certaine permutation fonctionne toujours car la droite tangente, étant unidimensionnelle, ne peut être simultanément verticale et horizontale — mais elle peut être l’une ou l’autre, donc aucun choix fixe de coordonnée « dépendante » ne sert en tout point.

**Exercice 20.11 ★★.**

(Le groupe orthogonal comme sous-variété, quantitativement) (a) Montrer que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ est compact : borné (chaque colonne est un vecteur unitaire, donc $\norm M \leq \sqrt n$ pour la norme euclidienne de matrice) et fermé. (b) Montrer que son [espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) en $I$ est l’espace des matrices antisymétriques, de dimension $\frac{n(n-1)}2$, et en un $A \in O_n$ général : $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$. (c) En déduire que l’application $t \mapsto A\exp(tK)$ est, pour chaque $K$ antisymétrique, une courbe dans $O_n$ passant par $A$ de vitesse $AK$ *(vérifier $\exp(tK) \in O_n$ via $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ et $\exp(-X)\exp(X) = I$)* : tout vecteur tangent est réalisé par une courbe explicite, sans théorème des fonctions implicites.

**Solution de Exercice 20.11.**

(a) L’application définissante $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $O_n = F^{-1}(0)$ est fermé ; les colonnes d’une matrice orthogonale sont des vecteurs unitaires, donc la norme euclidienne ([Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-finitefields)) vaut exactement $\sqrt n$ : borné. Compact par Heine–Borel dans $M_n(\R) \cong
\R^{n^2}$.

(b) $O_n$ est l’ensemble de niveau $F = 0$ étudié dans le chapitre : $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, surjective sur les matrices symétriques en chaque $A \in
O_n$ (étant donné $S$ symétrique, prendre $H =
\frac12AS$), donc $O_n$ est une sous-variété de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ avec

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
antisymétrique}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

en $A = I$ ce sont les matrices antisymétriques.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (les deux matrices $\pm
tK$ commutent, donc le produit des exponentielles est l’exponentielle de la somme) : $\exp(tK) \in O_n$, et $\gamma(t) = A\exp(tK)$ est une courbe dans $O_n$ avec $\gamma(0) = A$, $\gamma'(0) = AK$. Comme $K$ parcourt les matrices antisymétriques, $AK$ balaye $T_AO_n$ : l’exponentielle réalise tout l’[espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) par des courbes explicites — le raccourci de groupe de Lie que le [Problème 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) exploite pour $SO(3)$.

**Exercice 20.12 ★★.**

(Points critiques de la distance) Soit $M \subseteq \R^n$ une sous-variété et $p \notin M$. Montrer que si $x_0 \in M$ minimise la distance à $p$ (un tel point existe quand $M$ est fermée et non vide — pourquoi ?), alors

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*(dériver $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ le long des courbes dans $M$)*. En déduire : le point le plus proche sur une sphère se trouve sur le rayon passant par le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) ; et utiliser la condition pour calculer la distance de $p =
(2, 0)$ à la parabole $y = x^2$ (se ramener à une cubique et la résoudre numériquement à trois chiffres).

**Solution de Exercice 20.12.**

Existence : intersecter $M$ avec une grande boule fermée autour de $p$ pour obtenir un compact non vide ; la distance [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) y atteint son minimum, et les points hors de la boule sont plus loin. Condition du premier ordre : pour une courbe $\gamma$ dans $M$ avec $\gamma(0) = x_0$, la fonction $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ est différentiable avec un minimum en $0$ :

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

et $\gamma'(0)$ balaye $T_{x_0}M$ : $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$. Sphère $S(c, r)$ : l’[espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) en $x_0$ est $(x_0 - c)^\perp$, donc $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ se trouve sur la droite passant par $c$ et $p$, à distance $r$ de $c$ — le point sur le rayon, comme la géométrie l’exige. Parabole : en $x_0 = (x, x^2)$ la tangente est engendrée par $(1, 2x)$ ; l’orthogonalité à $p
- x_0 = (2 - x, -x^2)$ se lit

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

avec une unique racine réelle ($x \mapsto 2x^3 + x$ est strictement croissante) $x \approx 0.835$ ; alors $x_0
\approx (0.835, 0.698)$ et $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 +
0.698^2} \approx 1.358$.

## 20.5 Problème : $SO(3)$ et les quaternions

**Problème 20.1.**

Problème de week-end — rotations, le groupe $S^3$, et le double revêtement

Les quaternions $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — l’algèbre dont le groupe des unités contient le $Q_8$ du [Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#pb-b3-groups-1) — paramétrisent les rotations tridimensionnelles en double : l’application « conjuguer par un quaternion unitaire » est un morphisme surjectif $S^3 \to SO(3)$ de noyau $\{\pm1\}$. Nous construisons tout. Rappel/définition : la multiplication est $\R$-bilinéaire avec $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm
k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; le conjugué de $q = t +
x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ est $\bar q = t -
x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; $N(q) = q\bar q =
t^2 + x^2 + y^2 + z^2$.

**Partie I — L’algèbre $\mathbb H$ et le groupe $S^3$.**

1. Vérifier que $\mathbb H$ est une $\R$ -algèbre associative de [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) $\R$ , que $\overline{pq} =  \bar q\,\bar p$ , et que $N(pq) = N(p)N(q)$ *(une voie propre : représenter $q$ comme la matrice complexe $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, $q =  \alpha + \beta\mathrm j$, et utiliser $\det$)* .
2. En déduire que tout $q \neq 0$ est inversible ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ) : $\mathbb H$ est un corps (non commutatif), et $S^3 = \{N(q) = 1\}$ est un groupe — et une $3$ -sous-variété compacte de $\R^4$ ( [Exemple 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ).

**Partie II — Le morphisme de rotation.** Identifier $\R^3$ aux *quaternions purs* $P =
\{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$, et pour $q \in
S^3$ définir $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$.

3. Montrer que $\rho_q$ envoie $P$ dans $P$ *(les quaternions purs sont ceux avec $\bar v =  -v$)* , est $\R$ -linéaire, préserve la norme, et que $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ est un morphisme de groupes $S^3 \to O(3)$ .
4. Calculer le noyau : $\rho_q = \mathrm{id}$ ssi $q$ commute avec $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ ssi $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
5. Écrire $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ avec $u \in P$ , $N(u) = 1$ (pourquoi est-ce toujours possible pour $q \in S^3$ ?). Montrer que $\rho_q$ fixe $u$ et, sur le plan $u^\perp\cap P$ , agit comme la rotation d’angle $\theta$ *(calculer $\rho_q(w)$ pour $w \perp u$ en utilisant $uw =  -wu$ pour des unités pures orthogonales — prouver cette identité depuis la table de multiplication, ou depuis $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$)* .
6. Conclure : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (chaque $\rho_q$ est une rotation d’axe et d’angle comme calculés — déterminant $+1$ par continuité de $q \mapsto \det\rho_q$ sur le $S^3$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected), ou directement), et $\rho$ est *sur* $SO(3)$ : toute rotation de $\R^3$ a un axe (prouver : une matrice orthogonale réelle $3\times3$ de $\det = 1$ a la valeur propre $1$ — considérer le polynôme caractéristique) et est donc un certain $\rho_q$. Résumé : $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**Partie III — $SO(3)$ comme sous-variété ; Rodrigues.**

7. Montrer que $SO(3)$ est une sous-variété compacte de dimension $3$ de $M_3(\R)$ avec $T_ISO(3) =$ les matrices antisymétriques ( [Exercice 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; la condition de déterminant sélectionne une union de composantes).
8. Pour la matrice antisymétrique $A_u$ associée à $u  \in \R^3$ ($A_uv = u\wedge v$, le produit vectoriel), prouver la *formule de Rodrigues* : $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(depuis $A_u^3 = -A_u$ : scinder la série exponentielle le long des puissances de $A_u$)*, et l’identifier comme la rotation d’axe $u$ et d’angle $\theta$. En déduire que $\exp$ envoie les matrices antisymétriques *sur* $SO(3)$.
9. Relier les deux paramétrisations : montrer que $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ avec $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ est un groupe à un paramètre de rotations dont la dérivée en $t = 0$ est $A_u$ — les exponentielles quaternionique et matricielle racontent la même histoire à demi-vitesse et pleine vitesse respectivement.

**Partie IV — Le double revêtement, ressenti.**

10. Montrer que le chemin $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , est une boucle dans $SO(3)$ (son image $\rho_{q(t)}$ revient à l’identité) dont le relèvement quaternionique n’est *pas* une boucle : $q(2\pi) = -q(0)$ . En continuant jusqu’à $t = 4\pi$ on ferme le relèvement. Expliquer en un court paragraphe ce que cela dit : une rotation de $2\pi$ n’est pas continûment défaisable tandis qu’une rotation de $4\pi$ l’est (le tour de ceinture), car les boucles de $SO(3)$ sont détectées dans son double revêtement $S^3$ .
11. En déduire aussi le dividende pratique : composition des rotations = multiplication des quaternions ( $4$ multiplications de données au lieu de $9$ , aucune dérive hors orthogonalité) — vérifier sur la composition de deux quarts de tour autour de $\mathrm i$ et $\mathrm j$ : calculer l’axe et l’angle du produit.

**Partie V — La matrice explicite : Euler–Rodrigues.** Écrire $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$, de sorte que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =
1$.

12. Calculer $\rho_q(\mathrm i)$ en entier depuis la table de multiplication ; puis obtenir $\rho_q(\mathrm j)$ et $\rho_q(\mathrm k)$ par la substitution cyclique $\mathrm i \to \mathrm j \to  \mathrm k \to \mathrm i$, $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(la justifier : cycler $\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k$ s’étend en un automorphisme de $\mathbb  H$, car les relations définissantes sont cycliquement symétriques)*. Conclure que la matrice de $\rho_q$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k)$ est la *matrice d’Euler–Rodrigues* $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$
13. (Lire une rotation à rebours) Montrer que $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ dans les notations des questions 5 et 8. En déduire un algorithme récupérant $\pm q$ d’une matrice de rotation $R$ : l’angle depuis la trace ; l’axe depuis la partie antisymétrique quand $0 < \theta < \pi$ ; et, quand $\theta = \pi$, prouver et utiliser l’identité $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$.
14. Évaluer $R_q$ pour le produit $q =  \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ de la question 11 : une matrice de permutation apparaît. Identifier la rotation et réconcilier avec l’axe et l’angle trouvés à la question 11.

**Partie VI — À l’intérieur de $S^3$ : $SU(2)$, [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions), exponentielles.**

15. Montrer que la [représentation](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/5-representations-des-groupes-finis#def-b3-representations-rep) matricielle de la question 1 (notée $\Phi$) se restreint en un isomorphisme de groupes de $S^3$ sur le *groupe unitaire spécial* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ *(pour la surjectivité, écrire les équations $U^{-1} = U^*$ et $\det U = 1$ pour une matrice complexe $2\times2$ générale)*.
16. Montrer que la partie réelle est un invariant de conjugaison sur $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar  p) = \operatorname{Re}q$ pour tout $p \in S^3$ — et, réciproquement, que deux quaternions unitaires de même partie réelle sont conjugués dans $S^3$ *(se ramener à déplacer un axe pur unitaire sur un autre, ce que la Partie II fournit)* . Décrire les [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $S^3$ géométriquement ; traduire dans $SU(2)$ (ensembles de niveau de la trace) ; et projeter par $\rho$ : deux rotations sont conjuguées dans $SO(3)$ si et seulement si elles ont le même angle $\theta \in \intcc0\pi$ .
17. Définir $\exp$ sur $\mathbb H$ par la série exponentielle ; vérifier la convergence absolue, via $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ pour $\abs q =  \sqrt{N(q)}$. Montrer, pour un pur unitaire $u$ et $\theta \in \R$, $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ en déduire que $\exp$ envoie l’hyperplan $P$ sur $S^3$, et vérifier que $\rho_{\exp(su)} =  \eu^{2sA_u}$ : le phénomène de demi-angle de la question 9 encore.
18. Pour des quaternions purs $v, w$ prouver la règle de produit $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , d’où l’identité de [commutateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) $vw - wv =  2\,v\wedge w$ ; prouver aussi $[A_v, A_w] =  A_{v\wedge w}$ pour les matrices de la question 8. Conclure que la dérivée de $\rho$ en $1$ le long des courbes $t \mapsto \exp(tv)$ est l’isomorphisme linéaire $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sur les matrices antisymétriques, et qu’il transporte le [commutateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) quaternionique vers le [commutateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) matriciel.

**Partie VII — Structure globale.**

19. (Pas de section [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ) Supposer $s \colon SO(3)  \to S^3$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec $\rho \circ s =  \operatorname{id}$ . Pour la boucle $R(t) =  \rho_{q(t)}$ de la question 10, poser $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ pour $t \in  \intcc0{2\pi}$ . Montrer que $\varepsilon$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à valeurs dans $\{\pm1\}$ , et en dériver une contradiction : il n’y a pas de choix global continu d’un quaternion unitaire représentant chaque rotation.
20. (Le modèle de la boule) Soit $\bar B \subseteq \R^3$ la boule fermée de rayon $\pi$ et $E(v) = \eu^{A_v}$ , avec $E(0) = I$ . Montrer que $E$ envoie $\bar B$ sur $SO(3)$ , est injective sur la boule ouverte, et sur la sphère frontière identifie exactement les antipodes : $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T}  - I$ , sans autres coïncidences. Ainsi $SO(3)$ est la boule avec points antipodaux du bord collés — l’espace projectif $\mathbb{RP}^3$ — et un diamètre devient la boucle non contractile de la question 10.
21. Montrer que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} =  \rho_{pq\bar p}$ ; que les involutions de $SO(3)$ (les $R \neq I$ avec $R^2 = I$ ) sont exactement les demi-tours $\rho_w$ avec $w$ un quaternion pur unitaire ; et que le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $SO(3)$ est trivial.
22. Montrer que toute rotation est un produit de deux demi-tours : pour $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ , choisir un pur unitaire $w  \perp u$ , vérifier que $w' = qw$ est encore un quaternion pur unitaire, et vérifier $\rho_q =  \rho_{w'}\rho_w$ . Où se situent les deux axes, et quel angle font-ils ?
23. Conclure le résumé topologique : $SO(3)$ est compact et [connexe par arcs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-pathconnected) (donner deux preuves : image [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $S^3$ sous $\rho$ ; image de $\exp$ ), tandis que $O(3)$ a exactement deux [composantes connexes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components) , chacune homéomorphe à $SO(3)$ .
24. (Une composition, trois façons) Soient $R_1$ la rotation d’angle $\frac\pi2$ autour de l’axe des $z$ et $R_2$ la rotation d’angle $\frac\pi2$ autour de l’axe des $x$ . Calculer l’axe et l’angle de $R_2R_1$ : (i) en multipliant les deux matrices $3\times3$ et en utilisant trace/partie antisymétrique (Partie V) ; (ii) en multipliant les quaternions unitaires correspondants $q_2q_1$ . Vérifier que les deux réponses coïncident : angle $\frac{2\pi}3$ , axe $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
25. (La transformée de Cayley) Pour $K$ antisymétrique, montrer que $I + K$ est inversible et $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ avec $-1$ jamais valeur propre de $C(K)$ ; montrer que $K \mapsto C(K)$ est une bijection des matrices antisymétriques sur $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$, d’inverse $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$. (Une carte rationnelle de $SO(n)$, compagne de l’$\exp$ transcendant de l’[Exercice 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).)

**Solution de Problème 20.1.**

**1.** L’application $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ avec $\alpha
= t + \iu x$, $\beta = y + \iu z$ : on vérifie que $1,
\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ vont vers $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}\iu & 0\\ 0 &
-\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, dont les produits reproduisent la table des quaternions : l’application est un morphisme d’algèbres injectif, donc $\mathbb H$ hérite de l’associativité ; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 =
\det$ est multiplicative, et la conjugaison correspond à l’adjointe-transposée, donnant $\overline{pq} = \bar q\bar
p$. [Centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) : commuter avec $\mathrm i$ force $y = z = 0$, avec $\mathrm j$ force $x = 0$ : $\R$.

**2.** $q\bar q = N(q)$ : pour $q \neq 0$, $q^{-1} =
\bar q/N(q)$ : une algèbre à division. Sur $S^3$ : $N(pq) =
1$ et $N(q^{-1}) = 1$ : un groupe ; et $S^3 \subseteq \R^4$ est la sphère unité : une $3$-sous-variété compacte.

**3.** $v$ est pur ssi $\bar v = -v$ ; alors $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : $\rho_q$ préserve $P$. La linéarité est claire ; $N(qv\bar
q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : une isométrie de $(P, N) \cong
(\R^3, \norm\cdot^2)$ : $\rho_q \in O(3)$. Et $\rho_{pq}(v)
= pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p =
\rho_p(\rho_q(v))$ : un morphisme.

**4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ ssi $qv = vq$ pour tout pur $v$, ssi $q$ commute avec $\mathrm i, \mathrm j,
\mathrm k$, ssi $q$ est central (question 1) : $q \in
\R\cap S^3 = \{\pm1\}$.

**5.** Écrire $q = t + p$ ($t \in \R$, $p$ pur) : $1 =
N(q) = t^2 + N(p)$, donc $t = \cos\frac\theta2$ et $p =
\sin\frac\theta2\,u$ avec $N(u) = 1$ pour un certain $\theta$ (si $p = 0$, $q = \pm1$ agit trivialement). Comme $u^2 = -N(u) = -1$, $q$ et $u$ commutent, et $\rho_q(u) =
qu\bar q = uq\bar q = u$ : l’axe. Pour des unités pures $w
\perp u$ : la règle de produit $vw = -\langle v, w\rangle +
v\wedge w$ (développer en coordonnées depuis la table) donne $uw = u\wedge w = -wu$. Alors

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

en utilisant $uwu = -u^2w = w$ et les formules de double-angle : la rotation d’angle $\theta$ dans le plan orienté $(w, u\wedge w)$.

**6.** Chaque $\rho_q$ est une rotation autour de $u$ d’angle $\theta$ : dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) orthonormée $(u, w,
u\wedge w)$ sa matrice a pour déterminant $+1$ : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$. Surjectivité : une matrice $R \in SO(3)$ a $1$ comme valeur propre, car

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

donc $\det(R - I) = 0$. Prendre un vecteur propre unitaire $u$ ; $R$ préserve $u^\perp$ et s’y restreint en une rotation d’un certain angle $\theta$ (orthogonal plan, déterminant $1$) : $R = \rho_q$ pour $q =
\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$. Avec la question 4 et le premier théorème d’isomorphisme ([Théorème 1.3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-firstiso)) : $SO(3) \cong
S^3/\{\pm1\}$.

**7.** $O_3$ est une sous-variété compacte de dimension $3$ ([Exercice 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)) ; $\det$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) dessus à valeurs dans $\{\pm1\}$, donc $SO(3) =
O_3\cap\{\det = 1\}$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et fermé dans $O_3$ : une union de [composantes connexes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components), donc elle-même une $3$-sous-variété compacte, avec le même [espace tangent](#def-b3-submanifolds-tangent) en $I$ : les matrices antisymétriques.

**8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u,
v\rangle u - v$ ($u$ unitaire), donc $A_u^3v =
u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 =
-A_u$. En scindant la série exponentielle par les [résidus](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#def-b3-residues-singularities) des puissances modulo la relation $A^3 = -A$ :

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

Sur $u$ : $A_uu = 0$ : fixe. Sur $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 -
\cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : la rotation d’axe $u$, angle $\theta$ — Rodrigues. Toute rotation a cette forme (question 6) : $\exp$ est surjective de l’espace des matrices antisymétriques sur $SO(3)$.

**9.** Avec $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : la question 5 montre que $\rho_{q(t)}$ est la rotation d’axe $u$ et d’angle $t$, c’est-à-dire $\rho_{q(t)} =
\eu^{tA_u}$, dont la dérivée en $t = 0$ est $A_u$. Le quaternion court à demi-angle — la trace analytique du double revêtement.

**10.** $\rho_{q(t)}$ est la rotation autour de $\mathrm k$ d’angle $t$ : en $t = 2\pi$ elle revient à l’identité — une boucle dans $SO(3)$. Son relèvement vérifie $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : le chemin relevé n’est *pas* fermé ; seulement en $t = 4\pi$ $q$ revient à $1$. Interprétation : la boucle des rotations complètes n’est pas contractile dans $SO(3)$ — son relèvement se termine sur l’autre feuille du revêtement — tandis que la double boucle l’est ; un corps attaché à son environnement par des sangles (le tour de ceinture) revient à un état non tordu après $4\pi$ mais pas après $2\pi$. Les groupes de rotations se souviennent de la parité des tours [complets](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ; $S^3$, [simplement connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/18-applications-conformes-et-theoreme-de-lapplication-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected), est là où cette mémoire vit.

**11.** Quarts de tour : $q_{\mathrm i} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$, $q_{\mathrm j} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$. Produit (en appliquant d’abord le tour en $\mathrm j$) :

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

de norme $1$, avec $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta =
\frac{2\pi}3$, et axe $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k}{\sqrt3}$ (partie pure normalisée). Deux quarts de tour successifs autour d’axes orthogonaux font une rotation de $120^\circ$ autour de la grande diagonale du cube — le coût de quatre multiplications réelles, l’orthogonalité préservée exactement : pourquoi les logiciels de vol et les moteurs graphiques composent les rotations via les quaternions.

**12.** Depuis la table, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ et $\mathrm{ki} = \mathrm j$, donc

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

En multipliant par $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ avec la règle scalaire–vecteur $(t_1 +
p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle +
t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$, où $p_1 = (a, d, -c)$ et $p_2 = (-b, -c, -d)$ : la partie scalaire est $-ab - (-ab)
= 0$ (pur, comme il se doit), et la partie vectorielle est

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr) :
$$

la première colonne de $R_q$. L’application cyclique $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) =
\mathrm k$, $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ préserve les relations $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 =
\mathrm{ijk} = -1$ (le mot $\mathrm{ijk}$ est cycliquement invariant à la relation $\mathrm{ijk} =
\mathrm{jki}$ près, qui vaut dans tout anneau : conjuguer $\mathrm{ijk} = -1$ par l’inversible $\mathrm i$), donc $\sigma$ s’étend en un automorphisme de $\R$-algèbre, et $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. En déroulant, l’image de $\mathrm j$ est la formule de la première colonne après la substitution $(b, c, d) \to (c,
d, b)$ avec la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) renommée $\mathrm i \to \mathrm j \to
\mathrm k \to \mathrm i$, qui est exactement la seconde colonne affichée ; un tour de plus donne la troisième.

**13.** En sommant la diagonale, $\operatorname{tr}R_q
= 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norme unitaire), et avec $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 +
2\cos\theta$. Partie antisymétrique : les trois entrées indépendantes de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ sont $4ab, 4ac,
4ad$ (aux positions $(3,2), (1,3), (2,1)$), donc $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ avec $m =
2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u =
\sin\theta\,u$. Algorithme : $\theta =
\arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; si $0 < \theta < \pi$, lire $u$ sur $\frac{R - R^{\mathsf
T}}{2\sin\theta}$ et poser $q = \pm(\cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2 u)$ ; si $\theta = 0$, $q = \pm1$. Pour $\theta = \pi$ : $a = 0$, et Rodrigues (question 8) donne $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) =
2uu^{\mathsf T} - I$, c’est-à-dire $R + I = 2uu^{\mathsf
T}$ ; toute colonne non nulle de $R + I$, normalisée, est $\pm u$, et $q = \pm u$.

**14.** Avec $a = b = c = d = \frac12$ : toutes les entrées diagonales s’annulent, $2(bc - ad) = 0$, $2(bd +
ac) = 1$, $2(bc + ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) =
0$, $2(cd + ab) = 1$ :

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

la permutation cyclique $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. Sa trace est $0 = 1 + 2\cos\theta$, donc $\theta =
\frac{2\pi}3$, et elle fixe $(1,1,1)$ : la rotation de $120^\circ$ autour de la grande diagonale — précisément la réponse de la question 11, maintenant visible comme la matrice qui cycle les axes de coordonnées.

**15.** Sur la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) on vérifie $\Phi(\bar q) =
\Phi(q)^*$ (la matrice de $\bar q$ a $\alpha' =
\bar\alpha$, $\beta' = -\beta$, qui est la conjuguée transposée de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). D’où $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ et $\det\Phi(q)
= \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : pour $q \in S^3$, $\Phi(q) \in SU(2)$, et $\Phi$ est un morphisme injectif (question 1). Surjectivité : soit $U =
\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma &
\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ avec $\det U = 1$ ; alors $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, et $U^{-1} = U^*
= \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\
\bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ force $\delta = \bar\alpha$, $\gamma = -\bar\beta$, puis $1 =
\det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : $U = \Phi(q)$ pour le quaternion unitaire $q$ de coordonnées $\alpha = a +
\iu b$, $\beta = c + \iu d$. Donc $S^3 \cong SU(2)$.

**16.** Les scalaires réels sont centraux et $N(p) =
1$ donne $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$, donc $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q
+ \bar q$ : la partie réelle est invariante. Réciproquement soient $\operatorname{Re}q =
\operatorname{Re}q' = a$ ; alors les parties pures ont la même norme $\sqrt{1 - a^2} = s$. Si $s = 0$, $q = q' =
\pm1$. Si $s > 0$, écrire $q = a + su$, $q' = a + su'$ avec $u, u'$ purs unitaires ; la question 6 fournit une rotation portant $u'$ sur $u$, c’est-à-dire $p \in S^3$ avec $\rho_p(u') = u$, puis $pq'\bar p = a +
s\rho_p(u') = q$. Les classes de $S^3$ sont donc $\{1\}$, $\{-1\}$, et pour chaque $a \in \intoo{-1}1$ la $2$-sphère $\{a + su : u \text{ pur unitaire}\}$ de rayon $s$. Sous $\Phi$, $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$ : les classes de $SU(2)$ sont les ensembles de niveau de la trace. En projetant : si $q' =
pq\bar p$ alors $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; réciproquement $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} =
\rho_{pq\bar p}$ force $q' = \pm pq\bar p$ (noyau), donc $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$, c’est-à-dire $\cos\frac{\theta'}2 =
\abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} =
\cos\frac\theta2$ pour les angles dans $\intcc0\pi$ : des rotations conjuguées ont des angles égaux. Réciproquement, des angles égaux permettent des représentants de même partie réelle non négative, conjugués par ce qui précède : dans $SO(3)$, la [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) d’une rotation est exactement son angle.

**17.** $N$ est multiplicative, donc $\abs\cdot$ est une norme multiplicative sur $\mathbb H \cong \R^4$ et $\abs{q^k} = \abs q^k$ : la série $\sum q^k/k!$ converge absolument dans l’espace de dimension finie (donc [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)), dominée par $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. Pour un pur unitaire $u$ : $u^2 = -1$, donc $(\theta
u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ et $(\theta u)^{2m+1} =
(-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; en scindant la série,

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

Tout $q \in S^3$ est $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ avec $\alpha \in \intcc0\pi$ (question 5) : $q = \exp(\alpha
u)$, donc $\exp(P) = S^3$. Enfin $\exp(su) = \cos s + \sin
s\,u = q(2s)$ dans la notation de la question 9, et $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ là : $\rho_{\exp(su)} =
\eu^{2sA_u}$.

**18.** En développant $vw$ coordonnée par coordonnée avec la table : les produits $\mathrm i\cdot\mathrm i =
-1$, … donnent le scalaire $-(v_1w_1 + v_2w_2 +
v_3w_3)$, et les produits mixtes ($\mathrm{ij} = \mathrm
k$, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$, …) donnent le vecteur $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$. En soustrayant le produit inversé : $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (les parties scalaires s’annulent, les produits vectoriels s’additionnent). Pour les matrices, avec $a\wedge(b\wedge
c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

Dérivée : $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (la conjugaison est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et nie les quaternions purs), donc

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

la différentielle est $v \mapsto 2A_v$, une bijection linéaire de $P$ sur les matrices antisymétriques, et $[2A_v,
2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} =
2A_{[v,w]}$ montre qu’elle transporte le [commutateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) quaternionique vers le [commutateur](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) matriciel.

**19.** En appliquant $\rho$ : $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, donc $\varepsilon(t) \in \ker\rho =
\{\pm1\}$ (question 4). Comme produit des [applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto s(R(t))$ et $t \mapsto q(t)^{-1} =
\bar{q(t)}$, $\varepsilon$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur l’intervalle [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $\intcc0{2\pi}$ à valeurs dans la paire discrète $\{\pm1\}$ : elle est constante, disons $\varepsilon(t)
\equiv \varepsilon$. Mais $R(0) = R(2\pi) = I$, donc $s(R(0)) = s(R(2\pi))$, tandis que $s(R(0)) =
\varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ et $s(R(2\pi)) =
\varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : contradiction. Aucune section [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) n’existe : l’ambiguïté de signe $\pm q$ est globale, non un défaut d’une formule particulière.

**20.** *Surjectivité :* tout $R \in SO(3)$ est $\eu^{\theta A_u}$ pour un certain $u$ unitaire et $\theta
\in \intcc0{2\pi}$ (questions 6 et 8) ; si $\theta > \pi$, Rodrigues donne $\eu^{\theta A_u} = \eu{(2\pi -
\theta)A_{-u}}$ (tous deux valent $I + \sin\theta A_u + (1
- \cos\theta)A_u^2$, et $A_{-u} = -A_u$ avec $\sin(2\pi -
\theta) = -\sin\theta$, $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$), donc $R = E(v)$ avec $\norm v \leq \pi$. *Injectivité à l’intérieur :* si $E(v) = E(v') \neq I$ avec $\norm v, \norm{v'} < \pi$, la question 13 récupère le même angle $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ depuis la trace et, comme $\sin\theta \neq 0$, le même axe depuis la partie antisymétrique : $v = v'$ ; et $E(v) = I$ force $\theta \in \{0\}$ sur la boule ouverte. *Bord :* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ ne dépend de $u$ qu’à travers $uu^{\mathsf T}$, d’où $E(\pi u) =
E(-\pi u)$ ; réciproquement $2uu^{\mathsf T} - I =
2u'u'^{\mathsf T} - I$ appliqué à $u$ donne $u = \langle
u', u\rangle u'$, donc $u' = \pm u$. Intérieur et bord ne se rencontrent jamais (trace $> -1$ contre $= -1$). Donc $E$ induit une bijection [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de la boule-avec-collage-antipodale — compacte — sur $SO(3)$ : un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$. Un diamètre de $\pi u$ à $-\pi u$ a des extrémités collées : c’est une boucle dans $SO(3)$, et sa description par $E$ correspond à la famille de rotations autour de $u$ de la question 10 balayant un tour [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

**21.** $\rho$ est un morphisme et $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, donc $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; par la question 16, conjuguer une rotation préserve son angle et fait tourner son axe par $\rho_p$. Involutions : $\rho_q^2
= \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ ssi $q^2 = \pm1$. Si $q^2
= 1$ alors $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (scalaires centraux, donc cette factorisation est valide) et $q =
\pm1$ dans l’anneau à division $\mathbb H$, donnant $\rho_q = I$, exclu ; $q^2 = -1$ avec $q = a + su$ donne $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$, donc $a = 0$, $s = 1$ : $q$ est un pur unitaire $w$, et $\rho_w$ est le demi-tour autour de $w$ (angle $\pi$, question 5). [Centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) : si $\rho_q$ commute avec tout $\rho_p$, alors $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, donc $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ avec $\varepsilon(p) \in
\{\pm1\}$ ; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar
p)q^{-1}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le $S^3$ [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) et vaut $1$ en $p = 1$, d’où $\equiv 1$ : $q$ commute avec tout $S^3$, donc avec tout $\mathbb H$ (remettre à l’échelle), donc $q
\in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (question 1) et $\rho_q = I$ : le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) est trivial.

**22.** Comme $u \perp w$ sont des purs unitaires, $uw
= u\wedge w$ est pur (question 18), donc

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

est pur, de norme $\abs q\abs w = 1$. Alors $w'w = qw\cdot
w = qw^2 = -q$, et

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

Les deux axes $w$ et $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ se trouvent dans le plan $u^\perp$ orthogonal à l’axe de rotation, et $\langle w',
w\rangle = \cos\frac\theta2$ : ils font le demi-angle $\frac\theta2$. C’est la génération classique : deux demi-tours autour d’axes se rencontrant à l’angle $\frac\theta2$ se composent en la rotation d’angle $\theta$ autour de leur perpendiculaire commune.

**23.** La compacité est la question 7. Connexité par arcs : $SO(3) = \rho(S^3)$ est l’image [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de la sphère [connexe par arcs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-pathconnected) ; alternativement, pour $R =
\eu^{A}$ avec $A$ antisymétrique (question 8), $t \mapsto
\eu^{tA}$ est un chemin dans $SO(3)$ de $I$ à $R$ (orthogonal car $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, déterminant $1$ par continuité depuis $t = 0$). Pour $O(3)$ : $\det$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\{\pm1\}$, donc $O(3)$ est disconnexe, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ pour tout $D$ fixe avec $\det D = -1$ (p.ex. $D = -I$), et la multiplication à gauche par $D$ est un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : exactement deux composantes, chacune une copie de $SO(3)$. Le $\rho$ deux-vers-un, sans section par la question 19, est ainsi un double revêtement honnête d’un groupe compact [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) par le $S^3$ [simplement connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/18-applications-conformes-et-theoreme-de-lapplication-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) — la géométrie derrière le tour de ceinture.

**24.** (i) Matrices :

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

Trace $0 = 1 + 2\cos\theta$ donne $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$. Partie antisymétrique $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ a des entrées encodant $\sin\theta\,(v_3,
-v_2, v_1)$-wise l’axe : ici $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, qui se lit (dictionnaire de la Partie V $A_v$) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ ; avec $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v =
\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$. (ii) Quaternions : $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k
= \frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, et

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

($ik = -j$). Donc $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta =
\frac{2\pi}3$, et la partie vectorielle $\frac12(i - j +
k)$ a pour direction $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — la même réponse, la voie quaternionique ne demandant qu’une ligne de multiplication au lieu d’un produit matriciel : la raison pratique pour laquelle les logiciels de vol composent les attitudes dans $S^3$.

**25.** $I + K$ inversible : $(I + K)v = 0$ donne $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (l’antisymétrie tue le second terme) : $v = 0$. Orthogonalité de $C = C(K)$ : en utilisant $(I \pm
K)^{\mathsf T} = I \mp K$ et le fait que les quatre matrices $I \pm K$, $(I \pm K)^{-1}$ commutent (expressions polynomiales en $K$, plus limites) :

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

Déterminant : $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, donc $\det C = 1$ : $C \in
SO(n)$. Pas de valeur propre $-1$ : $Cv = -v$ signifie $(I
- K)w = -(I + K)w$ pour $w = (I + K)^{-1}v$, c’est-à-dire $2w = 0$ : $v = 0$. Inversion : depuis $C(I + K) = I - K$, résoudre $K(I + C) = I - C$ ; comme $-1 \notin
\operatorname{Sp}C$, $I + C$ est inversible et $K = (I -
C)(I + C)^{-1}$, qui est antisymétrique dès que $C$ est orthogonale sans valeur propre $-1$ (transposer l’expression et utiliser $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C -
I)(C + I)^{-1} = -K$). Les deux applications sont mutuellement inverses par construction : une paramétrisation rationnelle globale du morceau [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de $SO(n)$ évitant la valeur propre $-1$ — pas de série, pas de trigonométrie, et en dimension $3$ c’est la substitution de demi-angle $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ en déguisement.