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title: "Formes différentielles et théorème de Stokes"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/21-formes-differentielles-et-theoreme-de-stokes
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# Chapitre 21 — Formes différentielles et théorème de Stokes

Un théorème d’analyse a, en deux siècles, absorbé tous les autres de son espèce : le théorème fondamental de l’analyse, Green–Riemann (prouvé dans le volume de deuxième année), le théorème de la divergence de Gauss, le théorème du rotationnel de Kelvin–Stokes — chacun dit que l’intégrale d’une certaine dérivée sur une région égale l’intégrale de l’objet original sur le [bord](#def-b3-forms-boundary). Le langage des *[formes différentielles](#def-b3-forms-diffform)* en fait un seul énoncé, $\int_M\dd\omega = \int_{\partial
M}\omega$, et rend cet énoncé prouvable d’un seul coup. Ce chapitre construit le langage honnêtement — algèbre multilinéaire alternée, la [dérivée extérieure](#def-b3-forms-d), les [images réciproques](#def-b3-forms-pullback), l’[orientation](#def-b3-forms-orientation), l’intégration sur les sous-variétés du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#ch-b3-submanifolds) — prouve le théorème de Stokes, et encaisse les premiers chèques : les théorèmes d’intégrale classiques, le *[nombre d’enroulement](#def-b3-forms-winding)* qui faisait tourner en secret le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues), et, dans le problème de week-end, le théorème du point fixe de Brouwer. Tout au long, *lisse* signifie $\mathcal C^\infty$ ; toute application et toute forme est lisse sauf mention contraire. Cela ne coûte aucune généralité qui vaille à ce niveau et libère les mains.

## 21.1 Algèbre multilinéaire alternée

**Définition 21.1.**

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$. Une *forme $k$-linéaire alternée* sur $E$ est une application $\alpha\colon E^k \to \R$, linéaire en chaque variable, avec $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ dès que deux arguments sont égaux. Leur espace s’écrit $\Lambda^k
E^*$ ; par convention $\Lambda^0E^* = \R$. L’alternance force l’antisymétrie : échanger deux arguments change le signe (développer $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) =
0$), et plus généralement $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots,
v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots,
v_k)$ pour toute permutation $\sigma$.

**Exemple 21.2.**

Sur $E = \R^n$ : $\Lambda^1E^* = E^*$ est l’[espace dual](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#def-b3-banach-operator) ; le déterminant dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) canonique est une forme $n$-linéaire alternée, et la [Proposition 21.4](#prop-b3-forms-basis) montrera qu’il engendre $\Lambda^nE^*$ — la raison profonde pour laquelle le déterminant est unique à un scalaire près. Pour $k > n$, $\Lambda^kE^* = \{0\}$ : $k$ vecteurs sont liés, et développer l’un le long des autres tue $\alpha$ par alternance.

**Définition 21.3.**

Pour $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$, leur *produit extérieur* est la forme $k$-linéaire alternée

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

Alternance et multilinéarité sont celles du déterminant en ses colonnes.

**Proposition 21.4 (Base de Λk\Lambda^kΛk).**

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de $E$ de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) duale $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. Les formes

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

forment une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de $\Lambda^kE^*$ ; d’où $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. Explicitement, $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**Démonstration.** *Engendrement.* Soit $\alpha \in \Lambda^kE^*$ et $\beta
= \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, où $\alpha(e_I)$ abrège $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Les deux côtés sont $k$-linéaires et alternés, donc ils coïncident dès qu’ils coïncident sur tous les $k$-uplets $(e_{j_1}, \dots,
e_{j_k})$ avec $j_1 < \dots < j_k$ (la multilinéarité réduit aux uplets de vecteurs de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis), l’alternance aux uplets strictement croissants). Et $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})
= \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$ : pour $I = J$ la matrice est l’identité ; pour $I \neq J$ une ligne est nulle. Donc $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ pour tout $J$ : $\beta =
\alpha$. *Liberté.* Si $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, évaluer sur $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ donne $c_J = 0$. ∎

**Définition 21.5.**

Le [produit extérieur](#def-b3-forms-wedge) s’étend en une application bilinéaire $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$, déterminée par la bilinéarité et $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (concaténer et réordonner ; le produit est $0$ si $I \cap J \neq
\varnothing$). Elle est associative, et *anticommutative graduée* :

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**Démonstration.** Les deux propriétés se vérifient sur les éléments de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) et s’étendent par bilinéarité. Associativité : les deux parenthésages de $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ égalent le wedge de la famille concaténée de $1$-formes, par la formule du déterminant de la [Définition 21.3](#def-b3-forms-wedge) (développement de Laplace par blocs). La règle des signes : faire passer chacun des $\ell$ facteurs de $\beta$ devant les $k$ facteurs de $\alpha$ coûte un signe par transposition adjacente (échange de deux lignes du déterminant), d’où $(-1)^{k\ell}$ au total. ∎

**Proposition 21.6 (Image réciproque, cas linéaire).**

Une application linéaire $u\colon E \to F$ induit, pour chaque $k$, l’application linéaire $u^*\colon \Lambda^kF^*
\to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) =
\alpha(u(v_1), \dots, u(v_k))$. Elle vérifie $u^*(\alpha
\wedge \beta) = u^*\alpha \wedge u^*\beta$ et $(u \circ w)^*
= w^* \circ u^*$. De plus :

1. Si $\dim E = n$ et $u\colon E \to E$ , alors sur la droite $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
2. Si $\operatorname{rk}u < k$ , alors $u^* = 0$ sur $\Lambda^kF^*$ .

**Démonstration.** Les identités fonctorielles sont immédiates d’après les définitions (pour la règle du produit, vérifier sur les wedges de $1$-formes avec la formule du déterminant — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — puis étendre bilinéairement). (1) $u^*$ envoie la droite $\Lambda^nE^*$ (la [Proposition 21.4](#prop-b3-forms-basis)) dans elle-même, donc $u^*\alpha
= c\,\alpha$ avec $c$ indépendant de $\alpha \neq 0$ ; tester sur $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ et $(v_j) =
(e_j)$ donne $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Pour $v_1, \dots, v_k \in E$, les vecteurs $u(v_1),
\dots, u(v_k)$ vivent dans l’image de $u$, de dimension $<
k$ : ils sont linéairement dépendants, et une [forme alternée](#def-b3-forms-alternating) s’annule sur une famille liée (développer le vecteur lié le long des autres). ∎

## 21.2 Formes différentielles et dérivée extérieure

**Définition 21.7.**

Soit $U \subseteq \R^n$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology). Une *forme différentielle de degré $k$* sur $U$ est une application lisse $\omega\colon U \to
\Lambda^k(\R^n)^*$ ; dans la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de la [Proposition 21.4](#prop-b3-forms-basis) (en écrivant $\dd x_i$ pour $e_i^*$),

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

avec des coefficients lisses $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Leur espace est $\Omega^k(U)$ ; $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$. Une $0$-forme est une fonction ; une $1$-forme est un champ de formes linéaires (p.ex. la différentielle $\dd f$ d’une fonction) ; une $n$-forme est $a\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, l’intégrande naturelle du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ch-b3-product).

**Définition 21.8 (Dérivée extérieure).**

La *dérivée extérieure* est l’application linéaire $\dd\colon \Omega^k(U) \to
\Omega^{k+1}(U)$ définie par

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

Sur les $0$-formes, c’est la différentielle usuelle.

**Théorème 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ pour $\omega \in \Omega^k$ (la *règle de Leibniz graduée*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**Démonstration.** (a) Par bilinéarité il suffit de traiter $\omega = a\,\dd
x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Alors $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ et

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

et faire passer la $1$-forme $\dd b$ devant les $k$ facteurs de $\dd x_I$ coûte $(-1)^k$ (la [Définition 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)) : le second terme est $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Pour une fonction : $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$. Le coefficient est symétrique en $(i,j)$ par le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles mixtes (prouvé dans le volume de deuxième année ; $a$ est $\mathcal
C^\infty$), tandis que $\dd x_j \wedge \dd x_i$ est antisymétrique : en appariant les termes $(i,j)$ et $(j,i)$, tout s’annule. Pour une $\omega = \sum a_I\dd x_I$ générale : $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ par (a), et les deux termes s’annulent ($\dd(\dd x_I) = 0$ car le coefficient est constant). ∎

**Définition 21.10 (Image réciproque).**

Soit $\varphi\colon U \to V$ lisse ($U \subseteq \R^m$, $V
\subseteq \R^n$ [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)). L’*image réciproque* $\varphi^*\colon
\Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ est définie ponctuellement par l’image réciproque linéaire le long de la différentielle : $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. Concrètement, $\varphi^*$ substitue : $\varphi^*f = f \circ
\varphi$ sur les fonctions, $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$, et $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**Théorème 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ et $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$ : la [dérivée extérieure](#def-b3-forms-d) commute avec toute substitution lisse — l’identité qui en fait *la* dérivée de la théorie. (c) Si $\varphi\colon U \to V$ est lisse entre [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R^n$ et $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$, alors $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$.

**Démonstration.** (a) Énoncés ponctuels sur les [images réciproques](#def-b3-forms-pullback) linéaires (la [Proposition 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), plus la règle de chaîne $D(\psi\circ\varphi)(x) =
D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Pour une $0$-forme $f$ : $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ est la règle de chaîne. Pour $\omega = a\,\dd y_I$ : en utilisant (a), $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, donc par la règle de Leibniz (le [Théorème 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) et $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$ :

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) Ponctuellement c’est exactement $u^*\alpha = (\det
u)\alpha$ sur les formes de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) (la [Proposition 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) avec $u =
D\varphi(x)$). ∎

**Exemple 21.12 (Coordonnées polaires).**

Pour $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$, $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$, donc

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

le jacobien de l’[Exemple 11.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ex-b3-product-polar) apparaissant par pure algèbre — sans théorie de la [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure). l’[Exercice 21.9](#exo-b3-forms-9) transforme cette remarque en énoncé : pour les intégrales orientées, la formule de changement de variables *est* la formule d’[image réciproque](#def-b3-forms-pullback).

## 21.3 Formes fermées et exactes ; le lemme de Poincaré

**Définition 21.13.**

$\omega \in \Omega^k(U)$ est *fermée* si $\dd\omega = 0$, *exacte* si $\omega = \dd\eta$ pour une $\eta \in
\Omega^{k-1}(U)$ (une *primitive* de $\omega$). Exacte $\Rightarrow$ fermée par $\dd^2 = 0$ ; la réciproque est une question sur la *forme* de $U$.

**Exemple 21.14 (La forme angulaire).**

Sur $U = \R^2 \setminus \{0\}$,

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

est [fermée](#def-b3-forms-closedexact) (calcul direct : l’[Exercice 21.4](#exo-b3-forms-4)) mais pas [exacte](#def-b3-forms-closedexact) : son intégrale le long du cercle unité vaut $2\pi
\neq 0$, tandis que les intégrales de [formes exactes](#def-b3-forms-closedexact) le long de courbes [fermées](#def-b3-forms-closedexact) s’annulent (la [Proposition 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). Localement, $\omega_\theta
= \dd\theta$ pour toute détermination lisse $\theta$ de l’angle polaire — d’où le nom et l’obstruction : aucune telle détermination n’existe sur tout $U$. Cette seule forme fait tourner le [nombre d’enroulement](#def-b3-forms-winding) (la [Section 21.6](#sec-21-6)) et, à travers lui, le théorème des [résidus](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#def-b3-residues-singularities) du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues).

**Théorème 21.15 (Lemme de Poincaré).**

Soit $U \subseteq \R^n$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et *étoilé* par rapport à $0$. Toute $k$-forme [fermée](#def-b3-forms-closedexact) sur $U$ ($k \geq 1$) est [exacte](#def-b3-forms-closedexact).

**Démonstration.** On construit un *opérateur d’homotopie* linéaire $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ avec

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

si $\dd\omega = 0$, alors $\omega = \dd(h\omega)$ et on a fini. Pour $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ poser

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(le chapeau supprime un facteur ; les intégrales sont lisses en $x$ par dérivation sous le signe intégral, le [Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff), toutes les dérivées étant dominées sur les compacts). Vérifier [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) est un calcul fait une fois dans une vie, donc on le fait en entier. Fixer $I$ et prendre $\omega = a\,\dd x_I$ (linéarité). D’abord,

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

le premier groupe rassemble les termes où $\dd$ frappe le facteur $x_{i_r}$ — le wedge $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ réassemble $\dd x_I$ avec un signe $(-1)^{r-1}$ qui annule le préfacteur, et les $k$ valeurs de $r$ donnent le facteur $k$ — tandis que le second groupe rassemble les termes où $\dd$ frappe l’intégrale (la règle de chaîne sort $t\,\partial_ja(tx)$). Ensuite, $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, et en appliquant la définition de $h$ en [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $k+1$, l’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) $j$ occupant la première place :

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

Les doubles sommes s’annulent dans $\dd(h\omega) +
h(\dd\omega)$, qui égale donc

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

par le théorème fondamental de l’analyse. L’étoilé est entré là où il devait : $tx \in U$ pour $t \in \intcc01$, de sorte que $a(tx)$ a un sens. ∎

**Remarque 21.16.**

Pour $k = 1$ et $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$, la primitive est $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — l’intégrale curviligne de $\omega$ le long du segment $[0,
x]$ : le théorème est le « un champ à jacobienne symétrique est un gradient » à plusieurs variables de l’Année 2, maintenant en tout [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension). La forme angulaire (l’[Exemple 21.14](#ex-b3-forms-angular)) montre que l’hypothèse sur $U$ n’est pas décorative : $\R^2\setminus\{0\}$ n’est pas étoilé, et là fermeture n’implique pas exactitude. Ce qui survit sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) général est mesuré par la *cohomologie de de Rham* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — voir l’[Exercice 21.12](#exo-b3-forms-12) pour le premier calcul non trivial.

## 21.4 Orientation et intégration sur les sous-variétés

Intégrer une $k$-forme demande un territoire $k$-dimensionnel orienté. Rappeler du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#ch-b3-submanifolds) (le [Théorème 20.3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) qu’une $k$-sous-variété $M \subseteq \R^n$ est localement l’image d’une paramétrisation régulière $\gamma\colon V \to M \cap
W$ ($V \subseteq \R^k$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), $\gamma$ un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur son image avec différentielle injective).

**Définition 21.17.**

Une *orientation* de $M$ est un choix, pour chaque $p \in M$, d’une des deux classes d’orientation de [bases](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) de l’[espace tangent](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$, qui est *localement cohérent* : autour de chaque point il existe une paramétrisation $\gamma$ dont le repère de coordonnées $(\partial_1\gamma, \dots, \partial_k\gamma)$ est positivement orienté en tout point de son domaine. De telles paramétrisations sont dites *directes*. $M$ est *orientable* si une orientation existe ; le ruban de Möbius montre que cela peut échouer. Toutes les sous-variétés de ce chapitre sont orientées.

**Définition 21.18 (Intégrale d’une forme).**

Soit $M$ une $k$-sous-variété orientée et $\omega$ une $k$-forme définie sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $M$, avec $\operatorname{supp}\omega \cap M$ compact. (a) Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ pour une seule paramétrisation directe, poser

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— le second membre étant l’intégrale de Lebesgue sur $V$ (le [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#ch-b3-product)) du coefficient $g$ de $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, qui est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact. (b) En général, choisir un nombre fini de paramétrisations directes $\gamma_i(V_i)$ recouvrant le compact $\operatorname{supp}\omega \cap M$ et une *[partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition)* subordonnée $(\chi_i)$ (le [Lemme 21.20](#lem-b3-forms-partition)), et poser $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, chaque terme calculé par (a). Pour une courbe ($k = 1$) paramétrée par $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ on écrit $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, sans exiger l’injectivité.

**Lemme 21.19 (Cohérence).**

La définition (a) ne dépend pas de la paramétrisation directe, et la définition (b) ne dépend ni du recouvrement ni de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition). De plus, si $\Phi$ est un difféomorphisme de [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de deux sous-variétés orientées avec $\Phi(M) = M'$, transportant un repère direct de $M$ vers un repère direct de $M'$ en un point de chaque composante de $M$, alors $\int_{M'}\omega = \int_M\Phi^*\omega$.

**Démonstration.** (a) Soient $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ des paramétrisations directes dont les images contiennent $\operatorname{supp}\omega\cap M$. La transition $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ est un difféomorphisme entre les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) pertinents de $V, V'$ (lissité des transitions : le [Théorème 20.3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations), via la description en graphe local), et $\gamma = \delta\circ\tau$ là, donc $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (le [Théorème 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). Écrire $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ; alors (le [Théorème 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Les deux repères étant directs, $D\tau$ envoie une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) positive sur une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) positive : $\det D\tau > 0$, donc $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ et le théorème de changement de variables (le [Théorème 11.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-changeofvar)) donne $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$ : les deux intégrales coïncident. *Voici toute la raison d’être de l’[orientation](#def-b3-forms-orientation)* : sans le contrôle du signe, le jacobien et sa valeur absolue diffèrent et l’intégrale est mal définie. (b) Si $(\chi_i)$ et $(\tilde\chi_j)$ sont deux partitions admissibles (recouvrements inclus), alors par (a) et l’additivité finie, $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, chaque double terme calculable dans l’une ou l’autre carte. Le dernier énoncé : si $\gamma$ parcourt les paramétrisations directes de $M$, alors $\Phi\circ\gamma$ parcourt les paramétrisations directes de $M'$ (la comparaison d’[orientation](#def-b3-forms-orientation) est localement constante, et fixée en un point par composante), et $(\Phi\circ\gamma)^*\omega
= \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**Lemme 21.20 (Partitions de l’unité, cas compact).**

Soit $K \subseteq \R^n$ compact et $W_1, \dots, W_m$ des [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) recouvrant $K$. Il existe $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ avec $0 \leq \chi_i \leq 1$, $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ compact, et $\sum\chi_i = 1$ sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $K$.

**Démonstration.** Chaque $x \in K$ vit dans un certain $W_{i(x)}$ avec une boule [fermée](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$ ; la compacité extrait $x_1, \dots, x_N$ avec les boules $B(x_s,
r_{x_s})$ recouvrant $K$. Pour chaque $s$ prendre une bosse $\theta_s \in \mathcal C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ sur $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (régulariser l’indicatrice de la boule de rayon $\frac32r_{x_s}$, le [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)). Assigner chaque $s$ à un [indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) $i(s)$ avec $B(x_s, 2r_{x_s})
\subseteq W_{i(s)}$ et poser $\Theta_i = \sum_{i(s) =
i}\theta_s$. Sur l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j >
\tfrac12\} \supseteq K$, les fonctions $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ font le travail mais ne sont définies que là ; pour globaliser, soit $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ vérifiant $\rho = 0$ là où $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ et $\rho > 0$ là où $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (régulariser une coupure convenable de $1 - \sum_j\Theta_j$), et poser

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

Le dénominateur est partout $> 0$ et égale $\sum_j\Theta_j$ sur $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $K$ (chaque point de $K$ vit dans une boule $B(x_s, r_{x_s})$ où $\theta_s = 1$) ; là $\sum_i\chi_i = 1$. Supports et bornes sont clairs. ∎

## 21.5 Le théorème de Stokes

**Définition 21.21.**

Une *$k$-sous-variété à bord* $M \subseteq \R^n$ est un ensemble recouvert par des paramétrisations régulières de deux sortes : des *cartes intérieures* $\gamma\colon V \to M \cap W$ avec $V \subseteq \R^k$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), et des *cartes de bord* $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, où $H^k = \{u \in
\R^k : u_k \geq 0\}$ et $\gamma$ s’étend de façon lisse et régulière à l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $V$. Le *bord* $\partial M$ est l’ensemble des points atteints en $u_k = 0$ ; c’est une $(k-1)$-sous-variété sans bord, paramétrée par les applications $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Une [orientation](#def-b3-forms-orientation) de $M$ en induit une sur $\partial M$ par la règle de la *normale sortante d’abord* : en $p \in \partial M$, une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ est positive ssi $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ est une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) positive de $T_pM$, où $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ pointe hors de $M$ (dans une carte de bord : $\nu =
-\partial_k\gamma$, à des composantes tangentielles près — la classe d’[orientation](#def-b3-forms-orientation) ne les voit pas).

![La règle de la normale sortante d’abord : en chaque point du bord, placer le vecteur sortant en premier ; les bases qui le complètent en un repère positif de M orientent M. Pour un domaine plan muni de l’orientation standard, c’est la règle du sens trigonométrique de Green–Riemann.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-72fde623d17e.svg)

*La règle de la normale sortante d’abord : en chaque point du [bord](#def-b3-forms-boundary), placer le vecteur sortant $\nu$ en premier ; les [bases](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) qui le complètent en un repère positif de $M$ orientent $\partial M$. Pour un domaine plan muni de l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) standard, c’est la règle du sens trigonométrique de Green–Riemann.*

**Lemme 21.22 (Stokes sur le demi-espace).**

Soit $\eta$ une $(k-1)$-forme lisse sur $\R^k$ à support compact. Alors

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

où $H^k$ porte l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) standard de $\R^k$ et $\partial
H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite, qui est $(-1)^k$ fois l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) standard de $\R^{k-1}$.

**Démonstration.** D’abord la comptabilité d’[orientation](#def-b3-forms-orientation) : la normale sortante le long de $\partial H^k$ est $-e_k$, et

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

le repère $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ est positif pour l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite exactement lorsque $k$ est pair, d’où la comparaison annoncée. Par linéarité prendre $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$ ; alors $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (placer $\dd u_i$ dans son créneau coûte $i - 1$ échanges). Deux cas, tous deux par Tonelli–Fubini (le [Théorème 11.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-fubini)) et le théorème fondamental à une variable.

*Cas $i < k$.* En intégrant d’abord en $u_i$ sur $\R$ : $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (support compact), donc $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Et la restriction de $\eta$ à $\{u_k = 0\}$ contient le facteur $\dd u_k$, qui se restreint à $0$ ($u_k$ y est constant) : $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ aussi.

*Cas $i = k$.* En intégrant d’abord en $u_k$ sur $\intco0\infty$ :

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

Du côté du [bord](#def-b3-forms-boundary), $\eta$ se restreint à $f(u', 0)\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, et l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite étant $(-1)^k$ fois l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) standard, $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Les deux côtés coïncident. ∎

**Théorème 21.23 (Stokes).**

Soit $M \subseteq \R^n$ une $k$-sous-variété orientée compacte à [bord](#def-b3-forms-boundary), $\partial M$ portant l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite, et soit $\omega$ une $(k-1)$-forme lisse sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $M$. Alors

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

En particulier, si $\partial M = \varnothing$ : $\int_M\dd\omega = 0$.

**Démonstration.** Recouvrir le compact $M$ par un nombre fini d’images de cartes directes (intérieures ou de [bord](#def-b3-forms-boundary)), et prendre une [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ subordonnée aux [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) correspondants $W_i$ de $\R^n$ (le [Lemme 21.20](#lem-b3-forms-partition)), avec $\sum\chi_i = 1$ sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $M$. Sur ce [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\dd(\sum\chi_i) = 0$, donc

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

les deux côtés sont additifs, et il suffit de prouver le théorème pour une forme supportée dans l’image d’une seule carte.

*Carte intérieure.* Si $\operatorname{supp}\omega \cap
M \subseteq \gamma(V)$ avec $V$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) dans $\R^k$ : étendre $\eta = \gamma^*\omega$ par zéro à $\R^k$ (lisse, support compact dans $V$) et appliquer le [Lemme 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) avec le support loin de $\partial H^k$ (translater $V$ dans le demi-espace supérieur [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) — ou simplement répéter le calcul du cas $i < k$ sur tout $\R^k$) : $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$, et $\int_{\partial M}\omega = 0$ puisque $\omega$ s’annule près de $\partial M$.

*Carte de [bord](#def-b3-forms-boundary).* Si $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$ : avec $\eta = \gamma^*\omega$ étendue par zéro, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (le [Théorème 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), donc par la [Définition 21.18](#def-b3-forms-integral) :

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{Lemme 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

Il reste à identifier le second membre avec $\int_{\partial
M}\omega$. Le [bord](#def-b3-forms-boundary) est paramétré par $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$, et $\beta^*\omega$ est la restriction de $\eta$ à $\{u_k = 0\}$ ([image réciproque](#def-b3-forms-pullback) sous l’inclusion $u' \mapsto (u', 0)$ composée avec $\gamma$). La comparaison d’[orientation](#def-b3-forms-orientation) est le même $(-1)^k$ des deux côtés : le repère $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ siège dans l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite de $\partial M$ avec le signe $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculé dans la carte (le vecteur sortant se tire en arrière en $-e_k$), qui est exactement le signe reliant l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) induite de $\partial H^k$ à l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) standard de $\R^{k-1}$ (le [Lemme 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). Les deux conventions de signe s’annulent : $\int_{\partial H^k}\eta =
\int_{\partial M}\omega$. ∎

**Exemple 21.24 (Les théorèmes classiques).**

Soit $D \subseteq \R^2$ un domaine compact à [bord](#def-b3-forms-boundary) lisse, orienté standardement. Pour $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ : $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ - \partial_yP\bigr)\dd
x\wedge\dd y$, et Stokes se lit

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

*Green–Riemann*, prouvé pour des domaines élémentaires dans le volume de deuxième année et maintenant en généralité naturelle. Dans $\R^3$, Stokes appliqué à la $2$-forme de flux d’un champ de vecteurs sur un domaine compact donne le *théorème de la divergence* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$, et appliqué à une $1$-forme sur une surface à [bord](#def-b3-forms-boundary), le *théorème de Kelvin–Stokes* classique sur le rotationnel ; l’[Exercice 21.7](#exo-b3-forms-7) explicite les deux dictionnaires.

## 21.6 Le nombre d’enroulement

**Définition 21.25.**

Soit $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ une courbe lisse [fermée](#def-b3-forms-closedexact). Son *nombre d’enroulement* autour de $a$ est

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**Proposition 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$ ; comme fonction de $a$ elle est constante sur chaque [composante connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components) de $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ et nulle sur la composante non bornée. Pour $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi
t)$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**Démonstration.** Prendre $a = 0$ et écrire $\gamma = (x, y)$, $\rho =
\norm\gamma > 0$, $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$, de sorte que $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. En notation complexe soit $u(t) = \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$ ; alors $\abs u = 1$ et un calcul direct donne

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

puisque $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ et $\rho\rho' = xx' + yy'$. Donc $u$ est constante : $\gamma(t)
= \rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ avec $\abs c = 1$, et $\gamma(1) = \gamma(0)$ avec $\rho(1) = \rho(0)$ force $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$ : $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, i.e. $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. Comme fonction de $a$ sur le complémentaire [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de la courbe compacte, l’intégrale définissante est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (le [Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont), domination sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de chaque $a$) ; une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à valeurs entières est localement constante, donc constante sur les composantes. Pour $\norm a$ grand l’intégrande est $O(1/\norm a)$ uniformément en $t$, donc l’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) tend vers $0$ et s’annule sur la composante non bornée. Pour le cercle : $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ directement. ∎

**Remarque 21.27.**

Sous $\C \cong \R^2$, $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, donc $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$ : c’est l’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#ch-b3-residues), et la [Proposition 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) reprouve son intégralité et sa constance locale par des moyens de variables réelles — la moitié topologique du théorème des [résidus](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/17-series-de-laurent-et-theoreme-des-residus#def-b3-residues-singularities), maintenant appuyée sur Stokes.

**Proposition 21.28.**

Si $\omega = \dd f$ est [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U$ et $\gamma\colon\intcc01\to U$ est une courbe [fermée](#def-b3-forms-closedexact), alors $\int_\gamma\omega = 0$.

**Démonstration.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — la règle de chaîne identifie $\gamma^*(\dd f)$ à $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**Méthode 21.29.**

Calculer avec des formes : (1) mécaniser — les wedges se réordonnent avec des signes, $\dd$ différencie les coefficients en de nouveaux $\dd x_j$, les [images réciproques](#def-b3-forms-pullback) substituent ; faire confiance à l’algèbre, elle encode tout jacobien. (2) Pour intégrer une forme sur une sous-variété : paramétrer directement, tirer en arrière, intégrer le coefficient ; l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) est le seul piège — vérifier un repère. (3) Pour prouver une identité d’intégrale, chercher une forme de Stokes : l’intégrande est-elle [exacte](#def-b3-forms-closedexact) ? le domaine est-il un [bord](#def-b3-forms-boundary) ? (4) Pour comparer des intégrales sur deux sous-variétés « parallèles », appliquer Stokes à la région entre elles (l’argument de déformation, l’[Exercice 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) Une intégrale non nulle d’une [forme fermée](#def-b3-forms-closedexact) certifie une obstruction topologique — pas de primitive, pas de rétraction, pas d’extension sans zéro : c’est ainsi que le problème de week-end tue les rétractions de la boule.

## 21.7 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Sur $\R^3$, soit $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ et $\eta =
\dd x + y\,\dd z$. Calculer $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$ et $\dd(\omega\wedge\eta)$, et vérifier la règle de Leibniz graduée sur cet exemple.

**Solution de Exercice 21.1.**

En développant et en tuant les facteurs répétés :

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(en utilisant $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ et $-zy\,\dd x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). Ensuite $\dd\omega = \dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x =
\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z$ et $\dd\eta =
\dd y\wedge\dd z$. La règle de Leibniz graduée donne $\dd(\omega\wedge\eta) = \dd\omega\wedge\eta -
\omega\wedge\dd\eta$ ([degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) de $\omega$ égal à $1$), que l’on vérifie par développement direct des deux côtés.

**Exercice 21.2 ★.**

Identifier, sur $\R^3$, les trois incarnations de $\dd$ : pour $f \in \Omega^0$, $\dd f \leftrightarrow \nabla f$ ; pour la forme de travail $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y +
F_3\dd z$, $\dd\omega_F \leftrightarrow
\operatorname{curl}F$ ; pour la forme de flux $\sigma_F =
F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd z\wedge\dd x + F_3\,\dd
x\wedge\dd y$, $\dd\sigma_F \leftrightarrow
\operatorname{div}F$. Déduire de $\dd^2 = 0$ les identités $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ et $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**Solution de Exercice 21.2.**

Identification : $\dd f = \sum\partial_if\,\dd x_i
\leftrightarrow \nabla f$ ; pour $\omega_F = \sum F_i\dd
x_i$, $\dd\omega_F = \sum_{i<j}(\partial_iF_j -
\partial_jF_i)\,\dd x_i\wedge\dd x_j \leftrightarrow
\operatorname{curl}F$ ; pour $\sigma_F =
\sum(-1)^{i-1}F_i\,\dd x_1\wedge\dots\widehat{\dd
x_i}\dots\wedge\dd x_n$ (en dimension $3$), $\dd\sigma_F =
(\operatorname{div}F)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$. De $\dd^2 = 0$ : $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ et $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**Exercice 21.3 ★★.**

Décider si chaque $1$-forme est [fermée](#def-b3-forms-closedexact), [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur son domaine, et calculer une primitive lorsqu’il en existe une : (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ sur $\R^3$ ; (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ sur $\R^2\setminus\{0\}$ ; (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ sur le demi-plan $\{x > 0\}$.

**Solution de Exercice 21.3.**

(a) $\dd\omega = 0$ par Schwarz (coefficients $C^\infty$) ; primitive $f = x^2y + xz^2$ (intégrer le coefficient de $\dd x$ en $x$, corriger par les autres). (b) [Forme fermée](#def-b3-forms-closedexact) (calcul) ; [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur $\R^2\setminus\{0\}$ ? Non si elle était le $\omega_\theta$ angulaire, mais ici c’est $\frac{x\dd x + y\dd y}{x^2+y^2} = \frac12\dd\ln(x^2+y^2)$ : [exacte](#def-b3-forms-closedexact), primitive $\frac12\ln(x^2+y^2)$. (c) $\omega_\theta$ sur $\{x > 0\}$ : [exacte](#def-b3-forms-closedexact), primitive $\arctan(y/x)$ (ou $\theta$ polaire).

**Exercice 21.4 ★★.**

(La forme angulaire) Vérifier que $\omega_\theta$ (l’[Exemple 21.14](#ex-b3-forms-angular)) est [fermée](#def-b3-forms-closedexact) ; calculer $\int_\gamma\omega_\theta$ pour $\gamma$ le cercle de rayon $r$ autour de $0$ ; conclure que $\omega_\theta$ n’est pas [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur $\R^2\setminus\{0\}$, et que $\R^2\setminus\{0\}$ n’est étoilé par rapport à aucun de ses points (deux voies : via le [Théorème 21.15](#thm-b3-forms-poincare), et directement par la géométrie).

**Solution de Exercice 21.4.**

Calcul direct de $\dd\omega_\theta = 0$ hors de l’origine (numérateur et dénominateur). Sur le cercle $\gamma(t) =
(\cos t, \sin t)$, $\gamma^*\omega_\theta = \dd t$, donc $\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi \neq 0$ : non [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur $\R^2\setminus\{0\}$ (les intégrales de [formes exactes](#def-b3-forms-closedexact) sur les courbes [fermées](#def-b3-forms-closedexact) s’annulent, [Proposition 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). $\R^2\setminus\{0\}$ n’est étoilé par rapport à aucun de ses points (tout rayon depuis un point $p \neq 0$ sort de $U$ en passant par l’origine ou son opposé) ; le lemme de Poincaré ([Théorème 21.15](#thm-b3-forms-poincare)) ne s’applique donc pas.

**Exercice 21.5 ★★.**

(Forme d’aire d’une hypersurface) Soit $M \subseteq \R^n$ une hypersurface orientée compacte dont l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) est donnée par un champ de [normales](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) unitaires $\nu$ ($(w_1,
\dots, w_{n-1})$ positive ssi $(\nu, w_1, \dots,
w_{n-1})$ positive dans $\R^n$). Montrer que la $(n-1)$-forme $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ se restreint sur $M$ à la *forme d’aire* : pour une paramétrisation directe $\gamma$, $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots \wedge\dd u_{n-1}$, où $G = ({}^t
D\gamma)(D\gamma)$ est la matrice de Gram. *(Noter que $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ et carrer ce déterminant.)* Calculer $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**Solution de Exercice 21.5.**

Pour une paramétrisation directe $\gamma$, $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1,\dots,e_{n-1}) =
\det(\nu,\partial_1\gamma,\dots,\partial_{n-1}\gamma)$. Comme $(\partial_1\gamma,\dots,\partial_{n-1}\gamma)$ est directe et $\nu$ unitaire [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal), ce déterminant égale $\pm$ le volume du parallélépipède, c’est-à-dire $\sqrt{\det G}$ avec le bon signe ([orientation](#def-b3-forms-orientation)). D’où $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u$. Sur $S^2$, $\nu = x$ et l’aire vaut $4\pi$.

**Exercice 21.6 ★★.**

Calculer $\int_{S^2}\omega$ pour $\omega = x\,\dd y\wedge\dd
z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$ : (a) directement en coordonnées sphériques ; (b) via Stokes sur la boule unité. En déduire $\operatorname{vol}(B^3) =
\frac{4\pi}3$ à partir de l’aire de $S^2$, et généraliser : $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$, cohérent avec le [Théorème 11.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-ballvolume).

**Solution de Exercice 21.6.**

(a) En coordonnées sphériques, $\omega =
\sin\theta\,\dd\theta\wedge\dd\varphi$ (à facteur près) : $\int_{S^2}\omega = 4\pi$. (b) $\dd\omega =
3\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$ ; Stokes sur la boule donne $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$, d’où $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$. Généralisation : $\dd(\sum(-1)^{i-1}x_i\dd x_{\hat i}) = n\,\dd x_1\wedge
\dots\wedge\dd x_n$, donc $n\operatorname{vol}(B^n) =
\operatorname{area}(S^{n-1})$.

**Exercice 21.7 ★★.**

(Les dictionnaires) Dériver soigneusement du [Théorème 21.23](#thm-b3-forms-stokes) : (a) le théorème de la divergence dans $\R^3$ (combiner l’[Exercice 21.2](#exo-b3-forms-2) et l’[Exercice 21.5](#exo-b3-forms-5)) ; (b) le théorème de Kelvin–Stokes $\int_S\langle\operatorname{curl}F,
\nu\rangle\,\dd S = \oint_{\partial S}\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$ pour une surface orientée compacte à [bord](#def-b3-forms-boundary) dans $\R^3$. Vérifier que les conventions d’[orientation](#def-b3-forms-orientation) coïncident sur la demi-sphère supérieure bordée par l’équateur.

**Solution de Exercice 21.7.**

(a) Théorème de la divergence : $\int_\Omega\operatorname{div}
F = \int_{\partial\Omega}\langle F,\nu\rangle\,\dd S$ via $\dd\sigma_F = (\operatorname{div}F)\,\mathrm{vol}$ et Stokes, $\sigma_F$ restreinte au [bord](#def-b3-forms-boundary) étant la forme d’aire ([Exercice 21.5](#exo-b3-forms-5)). (b) Kelvin–Stokes : $\int_S\langle\operatorname{curl}F,\nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F,\tau\rangle\,\dd\ell$ via $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$. Sur le hémisphère supérieur borné par l’équateur, la normale sortante du [bord](#def-b3-forms-boundary) induit l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) antihoraire vue du haut.

**Exercice 21.8 ★★.**

(Identités de Green) Pour $u, v$ lisses sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) d’un domaine compact $\Omega \subseteq \R^n$ à [bord](#def-b3-forms-boundary) lisse, prouver

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

En déduire : une [fonction harmonique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/18-applications-conformes-et-theoreme-de-lapplication-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) sur $\Omega$ s’annulant sur $\partial\Omega$ s’annule identiquement, et deux [fonctions harmoniques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/18-applications-conformes-et-theoreme-de-lapplication-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) aux mêmes valeurs au [bord](#def-b3-forms-boundary) coïncident — unicité dans le problème de Dirichlet du [Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/18-applications-conformes-et-theoreme-de-lapplication-de-riemann#ch-b3-conformal).

**Solution de Exercice 21.8.**

Identités de Green : appliquer le théorème de la divergence à $u\nabla v$ et $u\nabla v - v\nabla u$. Si $u$ est harmonique et $u|_{\partial\Omega} = 0$, prendre $v = u$ : $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$, donc $\nabla u = 0$, $u$ constante, nulle au [bord](#def-b3-forms-boundary). Unicité de Dirichlet : la différence de deux solutions harmoniques de même trace est harmonique nulle au [bord](#def-b3-forms-boundary).

**Exercice 21.9 ★★.**

(Changement de variables, forme orientée) Soit $\varphi\colon U \to V$ un difféomorphisme d’[ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R^n$ avec $\det D\varphi > 0$, et $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact dans $V$. Montrer que l’identité d’[image réciproque](#def-b3-forms-pullback) $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ est équivalente au théorème de changement de variables (le [Théorème 11.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-changeofvar)) pour de tels $\varphi$, et expliquer exactement où est passée la valeur absolue sur le jacobien.

**Solution de Exercice 21.9.**

$\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
(f\circ\varphi)\det(D\varphi)\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ ([Théorème 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)). Intégrer et utiliser $\det D\varphi > 0$ : $\det =
\abs{\det}$, d’où la formule de changement de variables. La valeur absolue a disparu parce que l’[orientation](#def-b3-forms-orientation) fixe le signe du jacobien.

**Exercice 21.10 ★★★.**

(Déformation) Soit $\omega$ une $2$-forme *[fermée](#def-b3-forms-closedexact)* sur $\R^3\setminus\{0\}$ et $S_r$ la sphère de rayon $r$ centrée en $0$. Montrer que $\int_{S_r}\omega$ ne dépend pas de $r >
0$ *(appliquer Stokes à la coquille entre deux rayons ; veiller aux deux [orientations](#def-b3-forms-orientation) de [bord](#def-b3-forms-boundary))*. Appliquer à la *forme d’angle solide*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

vérifier qu’elle est [fermée](#def-b3-forms-closedexact), calculer $\int_{S_r}\omega =
4\pi$, et conclure qu’elle est [fermée](#def-b3-forms-closedexact) mais non [exacte](#def-b3-forms-closedexact) sur $\R^3\setminus\{0\}$ — la sœur bidimensionnelle de $\omega_\theta$, et le [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) géométrique de la loi de Gauss en électrostatique.

**Solution de Exercice 21.10.**

Sur la coquille entre $S_r$ et $S_R$, Stokes donne $\int_{S_R}\omega - \int_{S_r}\omega = \int\dd\omega = 0$ si $\omega$ est [fermée](#def-b3-forms-closedexact) (attention aux [orientations](#def-b3-forms-orientation) : la normale sortante sur le [bord](#def-b3-forms-boundary) intérieur est $-\nu$). Donc $\int_{S_r}\omega$ est indépendante de $r$. Pour la forme d’angle solide, $\dd\omega = 0$ hors de $0$ (calcul) ; $\int_{S_r}\omega = 4\pi$ (aire) ; non [exacte](#def-b3-forms-closedexact) car l’intégrale sur $S^2$ est non nulle.

**Exercice 21.11 ★★.**

Soit $\gamma$ une courbe lisse [fermée](#def-b3-forms-closedexact) dans $\R^2\setminus\{0\}$ avec $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. Montrer $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ pour *toute* $1$-forme [fermée](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ sur $\R^2\setminus\{0\}$ *(écrire $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ par l’[Exercice 21.12](#exo-b3-forms-12))*. Interprétation : sur le plan épointé, le [nombre d’enroulement](#def-b3-forms-winding) est la seule obstruction à l’annulation des périodes.

**Solution de Exercice 21.11.**

Par l’[Exercice 21.12](#exo-b3-forms-12), $\omega = c\,\omega_\theta +
\dd f$ avec $c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. Donc $\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta + 0 =
n\cdot 2\pi\cdot\frac{c}{1} = n\int_{S^1}\omega$ (car $\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi n$). L’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) de parcours est la seule obstruction aux périodes sur le plan épointé.

**Exercice 21.12 ★★★.**

(Premier calcul de de Rham) Montrer que toute $1$-forme [fermée](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ sur $U = \R^2\setminus\{0\}$ s’écrit de façon unique

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

définir $f(p)$ en intégrant $\omega - c\,\omega_\theta$ le long d’un chemin de $(1,0)$ à $p$ (morceau radial puis arc circulaire), montrer que le résultat est indépendant des choix précisément parce que la période sur $S^1$ s’annule, et vérifier $\dd f = \omega - c\,\omega_\theta$. Conclure : $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, engendré par la forme angulaire.

**Solution de Exercice 21.12.**

Poser $c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ et $\eta = \omega -
c\,\omega_\theta$ : $\int_{S^1}\eta = 0$. Définir $f(p)$ en intégrant $\eta$ le long d’un chemin de $(1,0)$ à $p$ (segment radial puis arc) ; l’indépendance du chemin suit de $\int_{S^1}\eta = 0$ et de la fermeture de $\eta$ (Stokes sur des secteurs). Alors $\dd f = \eta$, d’où $\omega =
c\,\omega_\theta + \dd f$. Unicité de $c$ par intégration sur $S^1$. Donc $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, engendré par $\omega_\theta$.

## 21.8 Problème : le théorème du point fixe de Brouwer

**Problème 21.1.**

Problème de week-end — pas de rétraction, pas d’évasion

Le théorème de Brouwer affirme que *toute [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de la boule unité [fermée](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B = \bar B^n
\subseteq \R^n$ dans elle-même a un point fixe* — l’un des grands théorèmes des mathématiques, avec des conséquences de la théorie des jeux (équilibres de Nash) à l’analyse matricielle. La preuve par [formes différentielles](#def-b3-forms-diffform) est la plus propre connue : Stokes montre que la sphère n’est pas une rétractée de la boule, et tout s’ensuit. Tout au long, $S =
S^{n-1} = \partial\bar B$, $n \geq 2$, et

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(le chapeau supprime le facteur).

**Partie I — L’instrument de [mesure](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#def-b3-measure-measure).**

1. Calculer $\dd\sigma$ , et déduire de Stokes (le [Théorème 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) que $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ , où $S$ porte l’ [orientation](#def-b3-forms-orientation) de [bord](#def-b3-forms-boundary) de la boule.
2. Pour $n = 2$ et $n = 3$ , identifier la restriction de $\sigma$ à $S$ avec les formes de longueur d’arc et d’aire (l’ [Exercice 21.5](#exo-b3-forms-5) avec $\nu(x) = x$ ) et recalculer $\int_S\sigma$ directement.
3. Soit $W \subseteq \R^N$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et $\varphi\colon W  \to \R^n$ lisse avec $\norm{\varphi(x)} = 1$ pour tout $x \in W$ . Montrer que $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(Différentier $\norm\varphi^2 = 1$ : l’image de $D\varphi(x)$ vit dans l’hyperplan $\varphi(x)^\perp$, de dimension $n - 1$ ; puis appliquer la [Proposition 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2).)*
4. Où est la faille dans la « preuve » suivante que $\int_S\sigma = 0$ : « $S$ est compacte sans [bord](#def-b3-forms-boundary) , et $\sigma$ restreinte à $S$ est une forme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) dessus, donc [fermée](#def-b3-forms-closedexact) , donc $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{quelque chose}) = 0$ par Stokes » ? (Pointer le mot faux.)
5. Expliquer en un paragraphe la stratégie de la Partie II : que va-t-on intégrer, sur quoi, et d’où viendra la contradiction.

**Partie II — Pas de rétraction lisse.** Supposer, par l’absurde, que $r$ est une *rétraction lisse* de la boule sur sa sphère : $r$ est lisse sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar B$, $r(\bar B) \subseteq S$, et $r(x) =
x$ pour tout $x \in S$.

6. Justifier $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(sur $S$, $r$ se restreint à l’identité : si $\gamma$ est une paramétrisation directe d’un morceau de $S$, alors $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. En utilisant Stokes sur $\bar B$ , montrer $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. Montrer $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (question 3 appliquée à $\varphi = r$ ), et conclure : *il n’existe pas de rétraction lisse $\bar B \to S$* .
9. Régler le cas exclu $n = 1$ à la main : montrer directement qu’aucune [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to \{-1, 1\}$ ne fixe les deux extrémités, et nommer le théorème utilisé.

**Partie III — Brouwer lisse.** Soit $g$ lisse sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ avec $g(\bar B)
\subseteq \bar B$ et *aucun* point fixe dans $\bar B$.

10. Montrer $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. Pour $x \in \bar B$ soit $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ et soit $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ l’intersection du rayon $\{x + tu(x) : t  \geq 0\}$ avec $S$. Résoudre le quadratique $\norm{x + tu}^2 = 1$ et obtenir $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. Montrer que la quantité sous le radical est *strictement* positif sur $\bar B$ : si $1 - \norm x^2 + \langle  x, u(x)\rangle^2 = 0$ alors $\norm x = 1$ et $\langle x, u(x)\rangle = 0$ , i.e. $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , i.e. $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ; par Cauchy–Schwarz avec $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq 1$ , cela force $g(x) = x$ — exclu. En déduire que $r$ est lisse sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ .
13. Montrer $r(\bar B) \subseteq S$ et $r(x) = x$ pour $x \in S$ *(pour $\norm x = 1$, vérifier $t(x)  = 0$ en utilisant $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$, qui suit de $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$)* . Conclure avec la Partie II : *toute application lisse de $\bar  B$ dans elle-même a un point fixe.*

**Partie IV — Brouwer continu.** Soit $f\colon\bar B\to\bar B$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sans point fixe.

14. Montrer $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} >  0$ , et produire une application *polynomiale* $p\colon\R^n\to \R^n$ avec $\sup_{\bar B}\norm{p - f} < \varepsilon/2$ (Stone–Weierstrass, le [Théorème 7.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , coordonnée par coordonnée — justifier le passage de l’approximation scalaire à vectorielle).
15. L’application $p$ peut quitter la boule ; poser $g =  \frac{p}{1 + \varepsilon/2}$ . Montrer $g(\bar B)  \subseteq \bar B$ et $\sup_{\bar B}\norm{g - f} <  \varepsilon$ .
16. En déduire une contradiction avec la Partie III et conclure : *toute [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\bar  B^n \to \bar B^n$ a un point fixe.*
17. Montrer par des exemples que le théorème échoue sur : la boule ouverte ; la sphère $S$ ; un anneau fermé. Quelle propriété de $\bar B$ chaque contre-exemple perd-il ?

**Partie V — Dividendes.**

18. (Perron–Frobenius, existence) Soit $A$ une matrice $n\times n$ à entrées toutes $> 0$ , et $\Delta =  \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i = 1\}$ . Montrer que l’application $x \mapsto  Ax/\norm{Ax}_1$ est bien définie et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Delta$ , que $\Delta$ est homéomorphe à une boule [fermée](#def-b3-forms-closedexact) de $\R^{n-1}$ ( [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) radial depuis un compact convexe d’intérieur non vide dans son enveloppe affine), et conclure que $A$ a un vecteur propre à entrées strictement positives et valeur propre $> 0$ .
19. En déduire que toute matrice stochastique à entrées positives (colonnes de somme $1$ ) a un vecteur de probabilité stationnaire $\pi = A\pi$ — le vecteur de type PageRank. (L’unicité vaut aussi mais demande d’autres outils.)
20. (Boule chevelue, mise en place) Soit $v$ lisse sur un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $S = S^{n-1}$ avec $\langle v(x),  x\rangle = 0$ et $\norm{v(x)} = 1$ pour $x \in S$ (un *champ tangent unitaire* ). Pour $t \in \R$ poser $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . Montrer $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ sur $S$ : $F_t$ envoie $S$ dans la sphère $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. Montrer que $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ est un *polynôme* en $t$ *(chaque fonction coefficient de $F_t^*\sigma$ dans une carte est polynomiale en $t$, à coefficients lisses dans la variable de carte ; l’intégration est linéaire)* .
22. Montrer que pour $\abs t$ petit, $F_t$ est un difféomorphisme de $S$ sur $\sqrt{1+t^2}\,S$ : injectivité pour $t\operatorname{Lip}(v) < 1$ ; difféomorphisme local par le théorème d’inversion locale (le [Théorème 20.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift) en cartes) ; image ouverte et [fermée](#def-b3-forms-closedexact) dans la sphère cible [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected). En déduire, en utilisant le [Lemme 21.19](#lem-b3-forms-consistency) et le redimensionnement $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ sous $x \mapsto \lambda x$ (le vérifier), que $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{avec le signe } + \text{ pour } t  \text{ petit}$$ ([orientation](#def-b3-forms-orientation) préservée par continuité depuis $t =  0$).
23. Conclure (Milnor) : si $n$ est *impair* , $(1 +  t^2)^{n/2}$ n’est pas un polynôme en $t$ , or il coïncide avec le polynôme $P(t)/\int_S\sigma$ près de $0$ — contradiction. D’où *les sphères de dimension paire $S^{n-1}$ ($n$ impair) ne portent aucun champ tangent unitaire* , et, en normalisant et lissant (convoluer composante par composante et projeter — justifier les deux étapes), aucun champ tangent continu nulle part nul : tout vent sur Terre laisse un point calme.
24. (Les sphères impaires se peignent librement) Exhiber sur $S^{2m-1} \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ un champ tangent unitaire lisse explicite : $v(x) =  \iu x$ en notation complexe, i.e. $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ Vérifier la tangence et la longueur unité, et conclure que la dichotomie de parité de la question 23 est tranchante : une sphère est peignable exactement lorsque sa dimension est impaire. Où l’argument polynomial de la question 22 casse-t-il pour $n$ pair ?
25. (Zéros issus du comportement au [bord](#def-b3-forms-boundary) ) Soit $f \colon  \bar B^n \to \R^n$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ pour tout $x \in S^{n-1}$ . Montrer que $f$ s’annule quelque part dans $\bar B^n$ . *(Sinon, $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ envoie $\bar B$ continûment dans $S \subseteq \bar B$ ; appliquer Brouwer à $g$ et contredire l’hypothèse au [bord](#def-b3-forms-boundary).)* En déduire le *critère de surjectivité* : une [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ avec $\frac{\langle F(x),  x\rangle}{\norm x} \to +\infty$ lorsque $\norm x  \to \infty$ est surjective — l’ancêtre de dimension finie des arguments de coercivité de l’analyse non linéaire.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** Calcul : $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\dd x_i
\wedge \dd x_1\wedge\dots\widehat{\dd x_i}\dots\wedge\dd
x_n = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ (chaque terme reconstitue le volume avec le signe $(-1)^{i-1}\cdot
(-1)^{i-1} = 1$). Stokes sur $\bar B$ avec $\partial\bar B
= S$ : $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$.

**2.** Pour $n = 2$, $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$ restreinte à $S^1$ est la forme de longueur d’arc (avec $\nu = (x,y)$) ; $\int_{S^1}\sigma = 2\pi$. Pour $n = 3$, $\sigma = x\,\dd y\wedge\dd z + \cdots$ est la forme d’aire de $S^2$ ; $\int = 4\pi$.

**3.** Différentier $\sum_i\varphi_i^2 = 1$ : $\sum_i\varphi_i\partial_j\varphi_i = 0$ pour tout $j$, donc $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq
\varphi(x)^\perp$. Dimension au plus $n-1$. La forme $n$-linéaire $\dd\sigma$ s’annule sur toute famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $< n$ : d’où $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ ([Proposition 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2)).

**4.** Le mot faux est « [exacte](#def-b3-forms-closedexact) » (implicite dans « $= \dd(\text{something})$ ») : une forme de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) top sur une variété sans [bord](#def-b3-forms-boundary) est toujours [fermée](#def-b3-forms-closedexact), mais pas nécessairement [exacte](#def-b3-forms-closedexact). Stokes donne $\int_S\dd\eta = 0$, pas $\int_S\alpha = 0$ pour une [forme fermée](#def-b3-forms-closedexact) quelconque. Ici $\sigma|_S$ est [fermée](#def-b3-forms-closedexact) non [exacte](#def-b3-forms-closedexact).

**5.** On intégrera $r^*\sigma$ sur $S$. Par la question 6 cela égale $\int_S\sigma > 0$. Par Stokes (question 7) cela égale $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$. Par la question 3 (avec $\varphi = r$) et $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$, l’intégrande s’annule : intégrale nulle. Contradiction.

**6.** Sur $S$, $r(x) = x$, donc pour toute paramétrisation directe $\gamma$ de $S$, $r\circ\gamma =
\gamma$, d’où $(r\circ\gamma)^*\sigma = \gamma^*\sigma$ : $\int_S r^*\sigma = \int_S\sigma$.

**7.** Stokes ([Théorème 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) sur le compact $\bar B$ à [bord](#def-b3-forms-boundary) $S$ : $\int_S r^*\sigma =
\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([Théorème 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)). Or $r(\bar B) \subseteq
S$, donc $\norm{r} = 1$ et la question 3 donne $r^*(\dd\sigma) = 0$. Ainsi $\int_S\sigma = 0$, contredisant la question 1. Il n’existe pas de rétraction lisse $\bar B
\to S$.

**9.** Pour $n = 1$, $S = \{-1,1\}$ et $\bar B =
\intcc{-1}1$. Une [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) fixant $\pm1$ et à valeurs dans $\{\pm1\}$ contredit le théorème des valeurs intermédiaires (l’image serait [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected), donc un intervalle, mais $\{\pm1\}$ est disconnexe si les deux points sont atteints).

**10.** La fonction $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le compact $\bar B$, strictement positive (pas de point fixe) : son minimum $\delta$ est $> 0$.

**11.** Le rayon $\{x + t u(x) : t \geq 0\}$ avec $u
= (x-g(x))/\norm{x-g(x)}$ rencontre $S$ quand $\norm{x +
tu}^2 = 1$. Développer : $t^2 + 2t\langle x,u\rangle +
\norm x^2 - 1 = 0$. Discriminant $\Delta = 4(\langle x,u
\rangle^2 + 1 - \norm x^2) \geq 0$. La racine positive est $t = -\langle x,u\rangle + \sqrt{\langle x,u\rangle^2 + 1
- \norm x^2}$ (l’autre est $\leq 0$).

**12.** Si le radicande s’annule, alors $\norm x = 1$ et $\langle x,u\rangle = 0$, d’où $\langle x, x-g(x)\rangle
= 0$, soit $\langle x,g(x)\rangle = 1$. Cauchy–Schwarz avec $\norm x = 1$ et $\norm{g(x)} \leq 1$ force $g(x) =
x$, exclu. Le radicande est donc $> 0$ sur $\bar B$, et $t$ est $C^\infty$ (racine d’un polynôme à discriminant strictement positif) : $r$ est lisse au [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\bar
B$.

**13.** Par construction $r(\bar B) \subseteq S$. Pour $\norm x = 1$, $\langle x, u(x)\rangle = 1 - \langle x,
g(x)\rangle \geq 0$ (car $\langle x,g\rangle \leq \norm
g \leq 1$), donc $t(x) = -\langle x,u\rangle +
\abs{\langle x,u\rangle} = 0$ : $r(x) = x$. Ainsi $r$ est une rétraction lisse, interdite par la Partie II. Tout auto-endomorphisme lisse de $\bar B$ a un point fixe.

**14.** $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f-x} > 0$ par le même argument de compacité. Stone–Weierstrass ([Théorème 7.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) coordonnée par coordonnée fournit un polynôme vectoriel $p$ avec $\sup_{\bar B}\norm{p-f} < \varepsilon/2$.

**15.** $\norm{p(x)} \leq \norm{f(x)} + \varepsilon/2
\leq 1 + \varepsilon/2$, donc $g = p/(1+\varepsilon/2)$ envoie $\bar B$ dans $\bar B$. Et $\norm{g-f} \leq
\norm{p-f} + \norm{p}\cdot\frac{\varepsilon/2}{1+\varepsilon/2}
< \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$.

**16.** Si $g$ n’a pas de point fixe, la Partie III s’applique ( $g$ est polynomiale, donc lisse) : contradiction. Donc $g$ a un point fixe $x_0$, et $\norm{f(x_0)-x_0} \leq \norm{f-g} + \norm{g(x_0)-x_0} <
\varepsilon$, contredisant la définition de $\varepsilon$ sauf si $f$ a un point fixe. Brouwer continu. Contre-exemples : boule ouverte (pas compacte) ; sphère (homéomorphe à elle- même sans point fixe via une rotation) ; anneau fermé (rétraction sur le cercle extérieur).

**17.** $Ax$ a des coordonnées strictement positives si $x \in \Delta$ et $A > 0$ coefficientwise, donc $\norm{Ax}_1 > 0$ et la carte $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ est bien définie et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\Delta$. $\Delta$ est compact convexe d’intérieur non vide dans l’hyperplan $\sum x_i = 1$, homéomorphe à une boule [fermée](#def-b3-forms-closedexact) de $\R^{n-1}$ (projection radiale depuis un point intérieur). Brouwer donne un point fixe $v = Av/\norm{Av}_1$, d’où $Av
= \lambda v$ avec $\lambda = \norm{Av}_1 > 0$ et $v > 0$.

**18.** Si $A$ est stochastique (colonnes de somme $1$) à entrées positives, le point fixe de la question 17 vérifie $\lambda = 1$ (car $\sum_i(Av)_i = \sum_j A_{ij}
v_j$ avec $\sum_i A_{ij} = 1$), d’où $\pi = v/\sum v_i$ est une probabilité stationnaire.

**19.** $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x,
v(x)\rangle + t^2\norm{v}^2 = 1 + t^2$ car $\langle x,v
\rangle = 0$ et $\norm v = 1$ sur $S$.

**20.** Dans une carte, les coefficients de $F_t^*\sigma$ sont des polynômes en $t$ (car $F_t$ est affine en $t$) à coefficients lisses en la variable de carte ; l’intégration (linéaire) préserve le [caractère](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/5-representations-des-groupes-finis#def-b3-representations-character) polynomial : $P(t)$ est un polynôme.

**21.** Injectivité pour $t\operatorname{Lip}(v) <
1$ : si $F_t(x) = F_t(y)$, alors $\norm{x-y} =
\abs t\norm{v(x)-v(y)} \leq \abs t\operatorname{Lip}(v)
\norm{x-y}$. Difféomorphisme local par le théorème d’inversion locale ([Théorème 20.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift)) dans les cartes. Image ouverte et [fermée](#def-b3-forms-closedexact) dans la sphère cible [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) : surjectivité. Avec [Lemme 21.19](#lem-b3-forms-consistency) et le scaling $\sigma_{\lambda x} = \lambda^n\sigma_x$, on a $P(t) =
\pm(1+t^2)^{n/2}\int_S\sigma$, le signe $+$ pour $t$ petit (continuité depuis $t = 0$).

**22.** Si $n$ est impair, $(1+t^2)^{n/2}$ n’est pas un polynôme, mais coïncide près de $0$ avec le polynôme $P(t)/\int_S\sigma$ : contradiction. Les sphères $S^{n-1}$ de dimension paire ($n$ impair) n’admettent pas de champ tangent unitaire. Par régularisation (convolution composante par composante puis projection sur $x^\perp$ et normalisation), aucun champ tangent continu non nul non plus : boule chevelue.

**23.** Sur $S^{2m-1} \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$, $v(x) = \iu x$ (soit $(-y_1,x_1,\dots,-y_m,x_m)$) vérifie $\langle v,x\rangle = 0$ et $\norm v = \norm x = 1$. Les sphères impaires sont peignables. Pour $n$ pair, $(1+t^2)^{n/2}$ est un polynôme : pas de contradiction.

**24.** Si $f$ ne s’annule pas et $\langle f(x),x
\rangle \geq 0$ sur $S$, alors $g(x) =
-f(x)/\norm{f(x)}$ envoie $\bar B$ continûment dans $S
\subseteq \bar B$. Brouwer donne un point fixe $x_0 =
g(x_0) \in S$, d’où $\langle f(x_0), x_0\rangle =
-\norm{f(x_0)} < 0$, contredisant l’hypothèse de [bord](#def-b3-forms-boundary). Donc $f$ s’annule quelque part dans $\bar B$.

**25.** Pour $y \in \R^n$ fixé, poser $f(x) = F(x) -
y$. L’hypothèse $\langle F(x),x\rangle/\norm x \to
+\infty$ implique $\langle f(x),x\rangle \geq 0$ sur $S(0,R)$ pour $R$ grand. La question 24 donne un zéro de $f$ dans $\bar B(0,R)$ : $F(x) = y$. Surjectivité.

Les identités de formes se vérifient sur les monômes $a_I\,\dd x_I$ puis s’étendent par linéarité. Toute démonstration de Stokes se ramène, via une [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition), au cas du demi-espace, traité par Fubini et le théorème fondamental en une variable. L’[orientation](#def-b3-forms-orientation) du [bord](#def-b3-forms-boundary) (normale sortante d’abord) fixe les signes des théorèmes classiques (Green, divergence, Kelvin–Stokes). L’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) de parcours est entier par monodromie de l’argument, et localement constant hors de la courbe. Brouwer combine l’intégrale non nulle de $\sigma$ sur la sphère avec l’annulation forcée de $r^*(\dd\sigma)$ pour toute rétraction $r$.

Les identités de formes se vérifient sur les monômes $a_I\,\dd x_I$ puis s’étendent par linéarité. Toute démonstration de Stokes se ramène, via une [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition), au cas du demi-espace, traité par Fubini et le théorème fondamental en une variable. L’[orientation](#def-b3-forms-orientation) du [bord](#def-b3-forms-boundary) (normale sortante d’abord) fixe les signes des théorèmes classiques (Green, divergence, Kelvin–Stokes). L’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) de parcours est entier par monodromie de l’argument, et localement constant hors de la courbe. Brouwer combine l’intégrale non nulle de $\sigma$ sur la sphère avec l’annulation forcée de $r^*(\dd\sigma)$ pour toute rétraction $r$.

Les identités de formes se vérifient sur les monômes $a_I\,\dd x_I$ puis s’étendent par linéarité. Toute démonstration de Stokes se ramène, via une [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition), au cas du demi-espace, traité par Fubini et le théorème fondamental en une variable. L’[orientation](#def-b3-forms-orientation) du [bord](#def-b3-forms-boundary) (normale sortante d’abord) fixe les signes des théorèmes classiques (Green, divergence, Kelvin–Stokes). L’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) de parcours est entier par monodromie de l’argument, et localement constant hors de la courbe. Brouwer combine l’intégrale non nulle de $\sigma$ sur la sphère avec l’annulation forcée de $r^*(\dd\sigma)$ pour toute rétraction $r$.

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Les identités de formes se vérifient sur les monômes $a_I\,\dd x_I$ puis s’étendent par linéarité. Toute démonstration de Stokes se ramène, via une [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition), au cas du demi-espace, traité par Fubini et le théorème fondamental en une variable. L’[orientation](#def-b3-forms-orientation) du [bord](#def-b3-forms-boundary) (normale sortante d’abord) fixe les signes des théorèmes classiques (Green, divergence, Kelvin–Stokes). L’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) de parcours est entier par monodromie de l’argument, et localement constant hors de la courbe. Brouwer combine l’intégrale non nulle de $\sigma$ sur la sphère avec l’annulation forcée de $r^*(\dd\sigma)$ pour toute rétraction $r$.

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La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la [partition de l’unité](#lem-b3-forms-partition) et la réduction au demi-espace constituent le squelette de toute preuve honnête de Stokes. La cohérence des [orientations](#def-b3-forms-orientation), le rôle de la partition