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title: "Fonctions caractéristiques et théorème central limite"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/23-fonctions-caracteristiques-et-theoreme-central-limite
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# Chapitre 23 — Fonctions caractéristiques et théorème central limite

La [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des grands nombres dit que les moyennes convergent ; le théorème central limite dit *comment elles fluctuent* : l’erreur, amplifiée par $\sqrt n$, est asymptotiquement gaussienne — quelle que soit la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de départ. Cette universalité est le fait le plus profond des probabilités élémentaires, et sa preuve naturelle est fourier-analytique : la *[fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf)* (la transformée de Fourier d’une [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space)) convertit les sommes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) en produits, et la machinerie du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) — injectivité, points fixes [gaussiens](#def-b3-clt-gaussianvector) — convertit la convergence ponctuelle de ces produits en convergence des [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) (théorème de Lévy, prouvé en entier). Le chapitre s’achève sur les [vecteurs gaussiens](#def-b3-clt-gaussianvector) et la dérivation honnête des intervalles de confiance utilisés partout en statistique ; le problème de week-end donne la seconde preuve de Lindeberg du TCL, avec un taux d’erreur explicite.

## 23.1 Fonctions caractéristiques

**Définition 23.1.**

La *fonction caractéristique* d’une [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) réelle $X$ est

$$
\varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr]
= \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x)
\qquad (\xi \in \R)
$$

(le théorème de transfert la calcule depuis la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) ; pour une [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $f$, $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ dans la convention du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform)).

**Proposition 23.2.**

(a) $\varphi_X(0) = 1$, $\abs{\varphi_X} \leq 1$, et $\varphi_X$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$. (b) Si $X, Y$ sont *[indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence)* : $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$. (c) Si $\E\abs X^k < \infty$, alors $\varphi_X \in \mathcal
C^k$ avec $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ pour $j \leq
k$ ; en particulier, pour $X$ centrée dans $L^2$ de variance $\sigma^2$ :

$$
\varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} +
o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0).
$$

(d) Gaussienne : $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ a $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$.

**Démonstration.** (a) Les bornes sont immédiates ; continuité : $\abs{\varphi(\xi + h) - \varphi(\xi)} \leq
\E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ quand $h \to 0$ par convergence dominée, uniformément en $\xi$. La règle affine est une substitution. (b) $\eu^{\iu\xi(X+Y)} =
\eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$, et les [espérances](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de produits de variables [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) se factorisent ([Théorème 22.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-independence), appliqué aux parties réelles et imaginaires). (c) Dérivation sous l’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space), dominée par $\E\abs X^j$ ([Théorème 10.15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)) ; le développement de Taylor en $0$ est alors Taylor–Young pour la fonction $\mathcal C^2$ $\varphi$. (d) Pour $\mathcal N(0,1)$ : la transformée gaussienne ([Exemple 14.2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ex-b3-fouriertransform-gaussian) avec $a = \frac12$) donne $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd
x = \eu^{-\xi^2/2}$ ; le cas général par la règle affine. ∎

**Théorème 23.3 (Injectivité).**

Si $\varphi_X = \varphi_Y$, alors $X$ et $Y$ ont la même [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space). Plus précisément, pour $N \sim \mathcal N(0,1)$ indépendante de $X$ et $\varepsilon > 0$, la variable lissée $X + \varepsilon N$ a pour [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma)

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

déterminée par $\varphi_X$ seule ; faire $\varepsilon \to 0$ récupère la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de $X$.

**Démonstration.** $X + \varepsilon N$ a pour [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $p_\varepsilon(x) =
\E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$, où $g_\varepsilon$ est la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$ : en effet pour $B$ borélien, l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et Tonelli donnent $\P(X +
\varepsilon N \in B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x +
\varepsilon n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) =
\int_B\E[g_\varepsilon(t - X)]\dd t$ (substituer, puis Tonelli encore). Écrire $g_\varepsilon$ par inversion de Fourier de sa transformée ([Exercice 14.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-4), rescalée) : $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd\xi$, et Fubini (tout est dominé par le facteur [gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector)) :

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

une fonctionnelle de $\varphi_X$ seule. Si $\varphi_X =
\varphi_Y$ : $X + \varepsilon N$ et $Y + \varepsilon N$ ont même [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) pour tout $\varepsilon$ ; pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ quand $\varepsilon \to
0$ (convergence dominée, $X + \varepsilon N \to X$ pointwise sur l’espace produit), donc $\E f(X) = \E f(Y)$ pour toute telle $f$ — et cela détermine la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) : pour chaque $t$, encadrer $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ entre les rampes [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornées $f_k^\pm$ (égales à $1$ sur $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$, à $0$ au-delà de $t \pm
\frac1k$, affines entre) ; en passant à la limite dans $\E
f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ on obtient $F_X(t)
= F_Y(t)$ en tout $t$ où les deux sont [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), donc partout par continuité à droite et [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) des points de continuité communs (les deux $F$ ont dénombrablement beaucoup de sauts) ; des fonctions de répartition égales forcent des [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) égales ([Exercice 9.3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#exo-b3-measure-3), reposant sur le [Théorème 9.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#thm-b3-measure-uniqueness)). ∎

## 23.2 Convergence en loi

**Définition 23.4.**

$X_n$ *converge en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space)* (ou en distribution) vers $X$, noté $X_n \Rightarrow X$, si

$$
\E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr]
\qquad\text{pour toute } f\colon\R\to\R \text{ continue
bornée}.
$$

Équivalemment ([Exercice 23.4](#exo-b3-clt-4)) : $F_{X_n}(t) \to
F_X(t)$ en tout point de continuité $t$ de $F_X$. Les $X_n$ n’ont pas besoin de vivre sur un [espace probabilisé](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) commun : seules les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) comptent.

**Théorème 23.5 (Théorème de sélection de Helly).**

Toute suite $(F_n)$ de fonctions de répartition admet une sous-suite convergeant pointwise, en tout point de continuité de la limite, vers une $G \colon \R \to \intcc01$ croissante et [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à droite — éventuellement avec $G(+\infty) -
G(-\infty) < 1$ (de la masse peut s’échapper à l’infini).

**Démonstration.** L’extraction diagonale donne $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ pour tout rationnel $q$ (valeurs dans le compact $\intcc01$). Définir $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$ : croissante ; [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à droite (un infimum sur des [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) rationnels rétrécissants depuis la droite). En un point de continuité $t$ de $G$ : pour des rationnels $q_1 < t < q_2$,

$$
\ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t)
\leq \ell(q_2),
$$

par monotonie de chaque $F_{n_k}$. Depuis la définition de $G$ comme infimum et la monotonie de $\ell$ sur les rationnels : $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ dès que $s < q$. Prendre $s < q_1 < t$ donne $\ell(q_1) \geq G(s)$, et $\ell(q_2) \leq G(q_2)$ ; en faisant $s \uparrow t$ et $q_2
\downarrow t$, la continuité de $G$ en $t$ force le $\liminf$ et le $\limsup$ vers $G(t)$. ∎

**Lemme 23.6 (Tension depuis la fonction caractéristique).**

Pour toute [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $X$ et $u > 0$ :

$$
\P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\;
\frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi .
$$

**Démonstration.** Par Tonelli–Fubini (intégrande bornée, région finie en $\xi$) :

$$
\frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi
= \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr]
= 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr]
$$

(interpréter le crochet comme sa limite $0$ en $X = 0$). L’intégrande est positive ($\abs{\sin t} \leq \abs t$), et pour $\abs{uX} \geq 2$ : $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 -
\frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$. En ne gardant que l’événement $\{\abs{uX} \geq 2\}$ dans l’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space), on laisse au moins $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$, qui est l’affirmation. ∎

**Théorème 23.7 (Théorème de continuité de Lévy).**

Soient $(X_n)$ des [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) dont les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) convergent pointwise : $\varphi_{X_n}(\xi)
\to \varphi(\xi)$ pour tout $\xi$, où $\varphi = \varphi_X$ est la [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) d’une certaine [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $X$. Alors $X_n \Rightarrow X$.

**Démonstration.** *Tension.* Fixer $\varepsilon > 0$. Comme $\varphi$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $0$ avec $\varphi(0) = 1$, choisir $u > 0$ avec $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) <
\varepsilon$ ; par convergence dominée (intégrande bornée par $2$ sur le $[-u,u]$ fixe), la même intégrale pour $\varphi_{X_n}$ est $< 2\varepsilon$ pour $n$ grand : le [Lemme 23.6](#lem-b3-clt-tightness) donne $\P(\abs{X_n} \geq
\frac2u) \leq 2\varepsilon$ pour $n$ grand, et élargir la constante gère les finiment beaucoup d’autres : les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) sont *tendues* — aucune masse ne s’échappe.

*Sous-suites.* Soit $(F_{n_k})$ une sous-suite quelconque ; par Helly ([Théorème 23.5](#thm-b3-clt-helly)) extraire $F_{n_{k_j}} \to G$ aux points de continuité. La tension force $G(-\infty) = 0$, $G(+\infty) = 1$ ($G(\frac2u) -
G(-\frac2u) \geq 1 - 2\varepsilon$ aux points de continuité) : $G$ est une vraie fonction de répartition, d’une certaine variable $Y$. Alors $X_{n_{k_j}} \Rightarrow
Y$ ([Exercice 23.4](#exo-b3-clt-4), convergence en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) depuis les $F$), donc $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ *pointwise* ($x \mapsto \eu^{\iu\xi x}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, parties réelle et imaginaire séparément) ; en comparant avec l’hypothèse : $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$, et l’injectivité ([Théorème 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) donne $Y \sim
X$, c’est-à-dire $G = F_X$.

*Conclusion.* Toute sous-suite de $(F_n)$ a une sous-sous-suite convergeant vers la *même* $F_X$ (en ses points de continuité) ; donc $F_n(t) \to F_X(t)$ en tout point de continuité $t$ (une suite réelle dont toutes les sous-suites ont des sous-sous-suites de même limite converge) : $X_n \Rightarrow X$. ∎

## 23.3 Le théorème central limite

**Théorème 23.8 (Théorème central limite).**

Soient $(X_n)$ i.i.d. avec $\E X_1 = m$ et $\V(X_1) =
\sigma^2 \in \intoo0\infty$. Alors

$$
\frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal
N(0, 1) :
\qquad
\P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq
b\Bigr) \longrightarrow
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x
$$

pour tous $a < b$.

**Démonstration.** Centrer et normaliser : $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (i.i.d., moyenne $0$, variance $1$) et $T_n =
\frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$. Par [indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et la règle affine ([Proposition 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)) :

$$
\varphi_{T_n}(\xi) =
\varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n},
\qquad
\varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad
\rho(\eta)\to0 .
$$

Fixer $\xi$ et poser $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$, $b_n =
1 - \frac{\xi^2}{2n}$ : tous deux ont un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $\leq 1$ pour $n$ grand ($\abs{b_n} \leq 1$ dès que $\xi^2 \leq 4n$ ; $\abs{a_n} \leq 1$ toujours). L’inégalité élémentaire $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ pour $\abs a, \abs b
\leq 1$ (télescopage $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$) donne

$$
\Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 -
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr|
\leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 +
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr|
= \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr|
\longrightarrow 0,
$$

tandis que $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to
\eu^{-\xi^2/2}$ (logarithme réel). Donc $\varphi_{T_n}(\xi)
\to \eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ ([Proposition 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(d)) pour tout $\xi$ : Lévy ([Théorème 23.7](#thm-b3-clt-levy)) conclut $T_n \Rightarrow \mathcal
N(0,1)$. Les probabilités d’intervalles suivent car $F_{\mathcal N}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) partout. ∎

**Exemple 23.9 (Intervalles de confiance, honnêtement dérivés).**

Sonder $n$ électeurs indépendants ; $\hat p_n = S_n/n$ estime le vrai $p$, avec $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$. Le TCL donne, pour $n$ grand,

$$
\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq
\frac{z}{2\sqrt n}\Bigr)
\;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr|
\leq z\Bigr)
\longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),
$$

où $\Phi$ est la fonction de répartition gaussienne standard. Avec $z = 1.96$ : confiance asymptotique $95\%$, et une marge $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ exige $n \geq
\bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — le nombre derrière chaque << $\pm3$ points, $95\%$ >> qu’on lit ; comparer aux $5556$ de Bienaymé–Tchebychev ([Exercice 22.7](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#exo-b3-probability-7)). Le $\sqrt n$ est universel : pour diviser l’erreur par deux, quadrupler l’échantillon — la même [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) qui fixe le coût du [Monte-Carlo](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ex-b3-probability-sllnapps) ([Exercice 23.7](#exo-b3-clt-7)).

## 23.4 Vecteurs gaussiens

**Définition 23.10.**

Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \dots, X_d)$ est *gaussien* si toute combinaison linéaire $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ est une variable gaussienne réelle (éventuellement dégénérée). Sa [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) est déterminée par le vecteur moyen $m = (\E X_i)$ et la *matrice de covariance* $\Sigma =
\bigl(\operatorname{Cov}(X_i, X_j)\bigr)$ : en effet la [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) du vecteur, $\varphi_X(t) =
\E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$, est la valeur en $1$ de la fc de $\langle t, X\rangle$ :

$$
\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle -
\tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),
$$

et les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) $d$-dimensionnelles sont injectives (même preuve de lissage que le [Théorème 23.3](#thm-b3-clt-injectivity), gaussiennes coordonnée par coordonnée).

**Théorème 23.11.**

Soit $X$ un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector).

1. Toute image affine $AX + b$ est un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) .
2. Les composantes $X_i$ sont *[indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence)* si et seulement si $\Sigma$ est diagonale : pour des variables conjointement gaussiennes, non corrélées $=$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) .
3. Si $\Sigma$ est inversible, $X$ a pour [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}}  \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x -  m)\bigr)$ .

**Démonstration.** (1) Les combinaisons linéaires des composantes de $AX + b$ sont des fonctions affines de combinaisons linéaires de $X$ : gaussiennes (l’image affine d’une variable gaussienne est gaussienne). (2) Si $\Sigma$ est diagonale, la [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) se factorise : $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i -
\frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$, qui est la [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) de la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) produit ([Théorème 22.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-independence) lue via l’injectivité $d$-dimensionnelle) : les composantes sont [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence). La réciproque est l’annulation des covariances de variables $L^2$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence). (3) Diagonaliser $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ ($P$ orthogonal, $D > 0$ diagonale — [Exercice 20.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#exo-b3-submanifolds-8)) ; le vecteur $Y = P^{\mathsf
T}(X - m)$ est [gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) de covariance $D$ : par (2) ses composantes sont [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) $\mathcal N(0, d_i)$, donc $Y$ a la [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) produit ; pousser en avant par le $x = m + PY$ préservant le volume ([Théorème 11.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#thm-b3-product-linearchange), $\abs{\det P} = 1$) et réécrire l’exposant de façon invariante. ∎

**Théorème 23.12 (TCL multidimensionnel).**

Soient $(X_n)$ des *vecteurs* aléatoires i.i.d. de $\R^d$ de carré [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), d’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $m$ et de matrice de covariance $\Sigma$. Alors $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ converge en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) vers le [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(0,
\Sigma)$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 23.13.**

Presque tout est déjà entre nos mains. Pour chaque direction $t \in \R^d$, la variable réelle $\langle t,
\frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ est une somme normalisée de variables réelles i.i.d. de variance $t^{\mathsf
T}\Sigma t$, donc le calcul du [Théorème 23.8](#thm-b3-clt-clt) donne la convergence ponctuelle des [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) $d$-dimensionnelles vers $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$, la [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) de $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Définition 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector)). Ce que nous n’avons pas reprouvé est le théorème de continuité de Lévy *dans $\R^d$* : la sélection de Helly et l’estimée de tension se généralisent routinièrement (coordonnée par coordonnée), et cette réduction de Cramér–Wold est menée honnêtement dans tout cours de probabilités de master ; rien au-delà des méthodes de ce chapitre n’est nécessaire.

**Méthode 23.14.**

Pour identifier une [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) limite : calculer les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf), prendre la limite ponctuelle, la reconnaître (gaussienne $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$, Poisson $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$, exponentielle $\frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$, $\dots$) et invoquer Lévy. Le rituel en trois étapes ([indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) $\to$ produit ; Taylor en $0$ $\to$ limite exponentielle ; Lévy $\to$ convergence en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space)) prouve le TCL, la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de Poisson des événements rares ([Exercice 23.5](#exo-b3-clt-5)), et tout théorème limite classique de ce cours. Pour les énoncés p.s., revenir à la boîte à outils du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability) : les deux chapitres répondent à des questions différentes sur le même $S_n$.

## 23.5 Exercices

**Exercice 23.1 ★.**

Calculer les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) : uniforme sur $\intcc{-1}1$ ; exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ ; Poisson $\mathcal P(\lambda)$ ; binomiale $\mathcal B(n,
p)$. En déduire via le [Théorème 23.3](#thm-b3-clt-injectivity) que la somme de variables de Poisson [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) ($\lambda,
\mu$) est Poisson $(\lambda + \mu)$.

**Solution de Exercice 23.1.**

Uniforme sur $\intcc{-1}1$ : $\varphi(\xi) =
\frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x =
\frac{\sin\xi}{\xi}$ (égale à $1$ en $\xi = 0$). Exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ : $\varphi(\xi) =
\lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x =
\frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (la primitive s’annule en $+\infty$ car $\operatorname{Re}(\iu\xi - \lambda) < 0$). Poisson $\mathcal P(\lambda)$ : par le théorème de transfert pour les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) discrètes,

$$
\varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi
k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
= \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr)
= \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr).
$$

Binomiale $\mathcal B(n, p)$ : somme de $n$ Bernoulli [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), chacune de f.c. $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$, donc $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ ([Proposition 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(b)). Additivité de Poisson : si $X \sim \mathcal P(\lambda)$, $Y \sim \mathcal P(\mu)$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence),

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}
\eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} =
\eu{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)},
$$

la f.c. de $\mathcal P(\lambda + \mu)$ ; l’injectivité ([Théorème 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) identifie la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space).

**Exercice 23.2 ★★.**

(a) Montrer que $\varphi_X$ est à valeurs réelles si et seulement si $X$ et $-X$ ont la même [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) (une variable *symétrique*). (b) Supposer $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ pour un $\xi_0
\neq 0$. Montrer que $X$ est presque sûrement supportée sur une progression arithmétique $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ *(écrire $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ et calculer $\E[1 - \cos(\xi_0X - \theta)]$)*. En déduire que si $X$ a une [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), alors $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ pour tout $\xi \neq 0$.

**Solution de Exercice 23.2.**

(a) $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} =
\varphi_{-X}(\xi)$. Donc $\varphi_X$ est réelle si et seulement si $\varphi_X = \varphi_{-X}$, si et seulement si (injectivité, [Théorème 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) $X$ et $-X$ ont la même [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space). (b) Écrire $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$. Alors

$$
\E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr]
= 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta}
\varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 .
$$

L’intégrande est positive, donc $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ presque sûrement (une variable positive d’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) nulle s’annule p.s.), i.e. $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ p.s. : $X$ prend ses valeurs dans la progression arithmétique $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ presque sûrement. Si $X$ a une [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), cet ensemble dénombrable est négligeable pour Lebesgue, donc porte une probabilité $0$ — contradiction ; par conséquent $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ pour tout $\xi \neq 0$.

**Exercice 23.3 ★★.**

Soient $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ et $Y \sim
\mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence). Montrer $X + Y
\sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, et plus généralement que la famille gaussienne est [stable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#def-b3-ode-stability) sous sommes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et applications affines. Contraste : la somme de deux gaussiennes *dépendantes* est-elle toujours gaussienne ? ([Exercice 23.9](#exo-b3-clt-9).)

**Solution de Exercice 23.3.**

Par [indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et [Proposition 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics) :

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2}
= \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2},
$$

la f.c. de $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ ; l’injectivité conclut. La stabilité sous les applications affines est la règle affine ($aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b,
a^2\sigma_1^2)$, en autorisant le cas dégénéré $a = 0$), et la stabilité sous les sommes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) suit par récurrence sur le calcul ci-dessus. Pour des gaussiennes *dépendantes*, la somme n’est pas forcément gaussienne : dans [Exercice 23.9](#exo-b3-clt-9), $X$ et $Y =
\varepsilon X$ sont chacune standard gaussienne mais $X + Y$ s’annule avec probabilité $\frac12$ sans être p.s. nulle, donc n’est pas gaussienne.

**Exercice 23.4 ★★.**

(a) Prouver l’équivalence dans la [Définition 23.4](#def-b3-clt-cid) : si $\E f(X_n) \to \E f(X)$ pour toute $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, alors $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ aux points de continuité *(encadrer $\mathbf
1_{\intoc{-\infty}t}$ entre deux rampes en escalier [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity))* ; et réciproquement *(approximer une $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée par des sommes de fonctions en rampe, ou conditionner sur une grille fine de points de continuité)* — la réciproque peut être traitée d’abord pour $f$ uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), puis en général. (b) Montrer que $X_n \Rightarrow c$ (une constante) implique $X_n \to c$ en probabilité.

**Solution de Exercice 23.4.**

(a) *Implication directe.* Soit $t$ un point de continuité de $F_X$ et $\delta > 0$. Prendre les rampes [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $f^-$ ($= 1$ sur $\intoc{-\infty}{t-\delta}$, $0$ à partir de $t$, affine entre) et $f^+$ ($= 1$ sur $\intoc{-\infty}t$, $0$ à partir de $t + \delta$, affine entre) ; alors $f^- \leq
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$, donc

$$
\E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n),
$$

et les termes extrêmes convergent vers $\E f^\pm(X)$, eux-mêmes encadrés entre $F_X(t - \delta)$ et $F_X(t +
\delta)$. En laissant $n \to \infty$ puis $\delta \to 0$ et en utilisant la continuité de $F_X$ en $t$ : $F_{X_n}(t) \to
F_X(t)$.

*Réciproque.* Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, $M =
\sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. Les points de continuité de $F_X$ sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ($F_X$ a au plus dénombrablement beaucoup de sauts), donc choisir des points de continuité $a < b$ avec $F_X(a) < \varepsilon$ et $1 - F_X(b) < \varepsilon$. Sur le compact $\intcc ab$ la fonction $f$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : choisir des points de continuité $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m
= b$ de $F_X$ avec oscillation de $f$ au plus $\varepsilon$ sur chaque $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$, et poser $g = \sum_j
f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$. Alors $\abs{f - g}
\leq \varepsilon$ sur $\intoc ab$, $\abs g \leq M$, et pour $T = X_n$ ou $X$ :

$$
\bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon +
2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr).
$$

De plus $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) -
F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (somme finie de termes convergents, tous les $t_j$ étant des points de continuité), et $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$, $1 - F_{X_n}(b) \to
1 - F_X(b) < \varepsilon$. En assemblant : $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon +
8M\varepsilon$ ; laisser $\varepsilon \to 0$.

(b) La fonction de répartition de la constante $c$ est $\mathbf 1_{\intco c\infty}$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sauf en $c$. Pour $\varepsilon > 0$, les points $c - \varepsilon$ et $c +
\frac\varepsilon2$ sont des points de continuité, donc

$$
\P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c -
\varepsilon) + 1 - F_{X_n}\bigl(c +
\tfrac\varepsilon2\bigr) \to 0 + 0 = 0.
$$

**Exercice 23.5 ★★.**

([Loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des événements rares) Soit $X_n \sim \mathcal B(n,
p_n)$ avec $np_n \to \lambda > 0$. Montrer, via les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) et le [Théorème 23.7](#thm-b3-clt-levy), que $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$. Vérification numérique : comparer $\P(X = 0)$ pour $\mathcal B(100,
0.02)$ et $\mathcal P(2)$.

**Solution de Exercice 23.5.**

Poser $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$, donc $\varphi_{X_n}(\xi) =
(1 + z_n)^n$ ([Exercice 23.1](#exo-b3-clt-1)) et $\abs{z_n} \leq 2p_n
\to 0$ (noter $p_n = \frac{np_n}n \to 0$). Les deux $1 + z_n$ et $\eu^{z_n}$ ont [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) au plus $1$ : $\abs{1 + z_n} =
\abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ par l’inégalité triangulaire, et $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)}
\leq 1$. L’inégalité de télescopage $\abs{a^n - b^n} \leq
n\abs{a - b}$ (preuve de [Théorème 23.8](#thm-b3-clt-clt)) et la borne de série entière $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq
\abs z^2\eu^{\abs z}$ donnent

$$
\bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n -
\eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq
4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 .
$$

Comme $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to
\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$, on conclut $\varphi_{X_n}(\xi)
\to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ pour tout $\xi$ : la f.c. de $\mathcal P(\lambda)$, et Lévy ([Théorème 23.7](#thm-b3-clt-levy)) donne $X_n \Rightarrow \mathcal
P(\lambda)$. Numériquement : $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) =
0\bigr) = 0{,}98^{100} = \eu^{100\ln 0{,}98} \approx
\eu^{-2{,}020} \approx 0{,}1326$, tandis que $\P\bigl(\mathcal
P(2) = 0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0{,}1353$ : deux pour cent d’écart déjà à ce $n$ grossier.

**Exercice 23.6 ★★.**

(a) Un dé équitable est lancé $n = 1000$ fois ; approximer la probabilité que le total dépasse $3600$ (moyenne $3500$, variance par lancer $\frac{35}{12}$). (b) Pour $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$, approximer $\P(45 \leq S \leq 55)$ par le TCL avec la correction de continuité ($\pm\frac12$), et commenter l’effet de la correction.

**Solution de Exercice 23.6.**

(a) Un lancer a moyenne $\frac72$ et variance $\frac{35}{12}$, donc $S$ a moyenne $3500$, variance $\frac{35000}{12} \approx
2916{,}7$ et écart-type $\approx 54{,}0$. Par le TCL,

$$
\P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54{,}0} > 1{,}85\Bigr)
\approx 1 - \Phi(1{,}85) \approx 0{,}032 :
$$

environ $3\%$ de chance. (b) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ : moyenne $50$, écart-type $5$. Avec la correction de continuité,

$$
\P(45 \leq S \leq 55) \approx
\Phi\Bigl(\frac{55{,}5 - 50}{5}\Bigr) -
\Phi\Bigl(\frac{44{,}5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1{,}1) - 1
\approx 0{,}729,
$$

contre la valeur [exacte](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/21-formes-differentielles-et-theoreme-de-stokes#def-b3-forms-closedexact) $0{,}7287$ ; sans la correction, $2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683$, à presque cinq points. La correction compte parce que $S$ est une variable de réseau : l’atome $\P(S = k)$ est bien approché par la masse gaussienne de $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$, et tronquer l’intervalle aux entiers $45$ et $55$ jette un demi-atome à chaque extrémité.

**Exercice 23.7 ★★.**

(Erreur de [Monte-Carlo](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ex-b3-probability-sllnapps)) Dans le cadre du [Problème 22.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#pb-b3-probability-1), question 11, avec $g \in
L^2(\intcc01^d)$, soit $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ et $I =
\int g$. Montrer

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr)
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2),
$$

et en déduire la barre d’erreur asymptotique $95\%$ $\pm
1.96\,\sigma/\sqrt n$ — indépendante de la dimension $d$. Comparer avec la règle du point milieu déterministe en dimension $d$ (erreur $\sim n^{-2/d}$ pour des intégrandes $\mathcal C^2$) : à partir de quelle dimension l’échantillonnage aléatoire l’emporte-t-il ?

**Solution de Exercice 23.7.**

Les variables $g(U_k)$ sont i.i.d. (images [mesurables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) de variables i.i.d.), de carré [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), de moyenne $I$ (théorème de transfert, [Exercice 11.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#exo-b3-product-9)) et de variance $\sigma^2$. Si $\sigma > 0$, le [Théorème 23.8](#thm-b3-clt-clt) appliqué à elles est exactement la convergence indiquée

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) =
\frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n}
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)
$$

(si $\sigma = 0$, $g$ est p.s. constante et le premier membre s’annule identiquement). D’où $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq
1{,}96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0{,}95$ : la barre d’erreur $\pm 1{,}96\,\sigma/\sqrt n$ ne voit la dimension $d$ qu’à travers la constante $\sigma$, jamais à travers le taux en $n$. La règle du point milieu à $n$ nœuds en dimension $d$ a pour maille $n^{-1/d}$ et une erreur d’ordre $n^{-2/d}$ pour des intégrandes $\mathcal C^2$. Le $n^{-1/2}$ de [Monte-Carlo](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ex-b3-probability-sllnapps) décroît plus vite que $n^{-2/d}$ exactement quand $\frac12 >
\frac2d$, i.e. $d > 4$ : à partir de la dimension $5$, l’échantillonnage aléatoire bat asymptotiquement la grille — la malédiction de la dimensionnalité épargne les méthodes probabilistes, ce qui explique pourquoi [Monte-Carlo](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ex-b3-probability-sllnapps) domine l’intégration en grande dimension.

**Exercice 23.8 ★★★.**

(Slutsky) Supposer $X_n \Rightarrow X$ et $Y_n \to c$ en probabilité ($c$ constante). Montrer $X_n + Y_n \Rightarrow
X + c$ et $Y_nX_n \Rightarrow cX$. *(Travailler avec les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) et la borne $\abs{\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi
c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq \E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} -
1}$, scinder sur $\abs{Y_n - c} \leq \delta$.)* Application : dans l’[Exemple 23.9](#ex-b3-clt-confidence), justifier le remplacement de l’inconnue $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ par $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}$.

**Solution de Exercice 23.8.**

*Somme.* Pour $\xi$ fixé :

$$
\bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} -
\eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr|
= \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} -
\eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr|
\leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| .
$$

Scinder sur l’événement $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$ : là, $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (la corde est plus courte que l’arc) ; le complémentaire contribue au plus $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$. Donc le $\limsup$ est $\leq \abs\xi\,\delta$ pour tout $\delta >
0$ : la différence tend vers $0$. Comme $\E\eu^{\iu\xi X_n}
\to \varphi_X(\xi)$, on obtient $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to
\eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$, et Lévy ([Théorème 23.7](#thm-b3-clt-levy)) donne $X_n + Y_n \Rightarrow X +
c$.

*Produit.* D’abord, $cX_n \Rightarrow cX$ : $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to
\varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$. Ensuite, $(Y_n -
c)X_n \to 0$ en probabilité : les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des $X_n$ sont tendues (leurs f.c. convergent vers une f.c. ; voir l’étape de tension de [Théorème 23.7](#thm-b3-clt-levy)), donc étant donné $\varepsilon > 0$ choisir $M$ avec $\P(\abs{X_n} > M) \leq
\varepsilon$ pour tout $n$ ; alors

$$
\P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq
\P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} >
\frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) .
$$

Écrire $Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ et appliquer la partie somme (dont la preuve n’utilisait que $Y_n' := (Y_n -
c)X_n \to 0$ en probabilité, avec constante $0$) : $Y_nX_n
\Rightarrow cX$.

*Application.* Par la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) forte des grands nombres ([Théorème 22.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-slln)), $\hat p_n \to p$ p.s., donc par continuité $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 -
\hat p_n)} \to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ p.s., d’où $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ en probabilité. La règle produit de Slutsky promeut $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}
\Rightarrow \mathcal N(0,1)$ en $\frac{S_n -
np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot
\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ : l’intervalle de confiance *utilisable* $\hat p_n \pm
1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$, construit à partir des données seules, conserve son niveau asymptotique $95\%$.

**Exercice 23.9 ★★★.**

Soit $X \sim \mathcal N(0,1)$ et $\varepsilon$ indépendante avec $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$ ; poser $Y =
\varepsilon X$. (a) Montrer $Y \sim \mathcal N(0,1)$ et $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$. (b) Montrer que $X$ et $Y$ ne sont *pas* [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), et que $(X, Y)$ n’est pas un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) *(calculer $\P(X + Y = 0)$)*. (c) Morale : le [Théorème 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) exige la gaussianité conjointe — << gaussiennes non corrélées >> seules ne prouvent rien.

**Solution de Exercice 23.9.**

(a) En scindant l’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) sur les deux valeurs de $\varepsilon$ ([indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence)) : pour $B$ borélien, $\P(Y \in
B) = \frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in
B)$, car $-X \sim X$ ($\mathcal N(0,1)$ est symétrique) : $Y
\sim \mathcal N(0,1)$. Et $\operatorname{Cov}(X, Y) =
\E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 =
0$. (b) $\abs Y = \abs X$, donc $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq
2) = 0$ tandis que $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) >
0$ : pas [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence). Si $(X, Y)$ était un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector), $X + Y = (1 + \varepsilon)X$ serait une variable gaussienne réelle ([Définition 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) avec $t =
(1,1)$) ; mais $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) =
\frac12$, alors qu’une variable gaussienne n’a d’atome que si elle est p.s. constante — et $X + Y$ égale $2X \neq 0$ p.s. sur $\{\varepsilon = 1\}$. Contradiction : $(X, Y)$ n’est pas [gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector). (c) Chaque marginale est gaussienne et la covariance s’annule, pourtant l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) échoue — parce que la *paire* n’est pas conjointement gaussienne. Le [Théorème 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) ne peut pas être affaibli en « marginales gaussiennes ».

**Exercice 23.10 ★★.**

La [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de Cauchy a pour [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac1{\pi(1 + x^2)}$. (a) Montrer que sa [fonction caractéristique](#def-b3-clt-cf) est $\eu^{-\abs\xi}$ ([Exercice 14.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) et inversion). (b) Montrer que si $X_1, \dots, X_n$ sont i.i.d. Cauchy, alors $\frac{S_n}n$ est encore Cauchy — la *même* [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) : la moyenne ne se concentre jamais. (c) Réconcilier avec les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des grands nombres et le TCL : quelles hypothèses échouent ? (Calculer $\E\abs{X_1}$.)

**Solution de Exercice 23.10.**

(a) [Exercice 14.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) calcule $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$ ; les deux membres étant [intégrables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), l’inversion de Fourier ([Théorème 14.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#thm-b3-fouriertransform-inversion)) retourne ce résultat :

$$
\int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} =
\eu^{-\abs\xi},
$$

qui est exactement $\varphi_X(\xi)$ pour une variable de Cauchy $X$. (b) Par [indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), $\varphi_{S_n}(\xi) =
\bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$, donc $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) =
\eu^{-\abs\xi}$ : la moyenne empirique $\frac{S_n}n$ est encore Cauchy standard pour tout $n$ (injectivité). La moyenne ne se concentre jamais : ses fluctuations au temps $10^6$ sont celles d’une seule observation. (c) $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 +
x^2} = +\infty$ : la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de Cauchy n’est pas [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), donc la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) forte des grands nombres ([Théorème 22.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-slln)) ne s’applique pas, et le TCL (qui demande une variance finie) encore moins. Ici leurs conclusions échouent vraiment, pas seulement leurs preuves. Contrôle de cohérence : $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ n’est pas différentiable en $0$, comme [Proposition 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(c) le prédit par contraposée pour une variable non [intégrable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1).

**Exercice 23.11 ★★.**

([Lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) [stables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#def-b3-ode-stability) en germe) Soient $(X_n)$ i.i.d. Cauchy standard ([Exercice 23.10](#exo-b3-clt-10)). (a) Montrer que pour tous $a, b > 0$, $aX_1 + bX_2$ a la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de $(a + b)X_1$ : la famille de Cauchy est *strictement [stable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#def-b3-ode-stability)* d’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) $1$. (b) Montrer que la famille gaussienne est strictement [stable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#def-b3-ode-stability) d’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) $2$ : $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 +
b^2}\,X_1$ pour $X_i$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$. (c) Expliquer, via les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) de la forme $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, pourquoi la stabilité d’[indice](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#def-b3-holomorphic-index) $\alpha$ force la normalisation $n^{1/\alpha}$ pour les sommes, et ce que cela dit sur les bassins d’attraction du TCL : quelles sommes i.i.d. peuvent converger, après normalisation affine, vers une [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de Cauchy plutôt qu’une gaussienne ?

**Solution de Exercice 23.11.**

(a) $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) =
\eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} =
\varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ ([indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et [Exercice 23.10](#exo-b3-clt-10)) ; l’injectivité identifie les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space).

(b) $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2}
\eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$ : la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$.

(c) Si $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, alors $S_n
= X_1 + \dots + X_n$ a $\varphi_{S_n} =
\eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$, et $S_n/n^{1/\alpha}$ a $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ de nouveau : auto-reproduction [exacte](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/21-formes-differentielles-et-theoreme-de-stokes#def-b3-forms-closedexact) sous l’échelle $n^{1/\alpha}$ — $\sqrt n$ pour la gaussienne ($\alpha = 2$), $n$ lui-même pour Cauchy ($\alpha = 1$, [Exercice 23.10](#exo-b3-clt-10)(b)). Une somme de variables i.i.d. ne peut converger (après normalisation affine) que vers une [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) [stable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#def-b3-ode-stability) sous de telles convolutions ; le TCL dit qu’une variance finie force le bassin [gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector), et le bassin de Cauchy est réservé aux [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) à queues si lourdes que $\E X^2 = \infty$ et même $\E\abs X
= \infty$ — p.ex. des sommes de variables de Cauchy elles-mêmes. L’universalité a plusieurs îles, indexées par l’exposant de queue $\alpha \in \intoc02$.

**Exercice 23.12 ★★.**

(La fonction de répartition empirique) Soient $(X_n)$ i.i.d. de fonction de répartition $F$, et $F_n(t) =
\frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$. (a) Fixer $t$. Montrer que $n F_n(t) \sim \mathcal B(n,
F(t))$, que $F_n(t) \to F(t)$ p.s. ([Théorème 22.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-slln)), et que

$$
\sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow
\mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) .
$$

(b) En quel $t$ la variance asymptotique est-elle maximale ? Interpréter : la médiane est l’endroit où une répartition empirique est le plus difficile à épingler. (c) Pour $F$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), montrer que la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ ne dépend pas de $F$ *(se ramener à des variables uniformes via l’[Exercice 22.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#exo-b3-probability-1))* — le miracle sans distribution derrière le test de Kolmogorov–Smirnov ; aucun calcul de cette [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) n’est demandé.

**Solution de Exercice 23.12.**

(a) Les indicateurs $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ sont i.i.d. Bernoulli de paramètre $p = F(t)$ : leur somme $nF_n(t)$ est binomiale $\mathcal B(n, p)$ ; la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) forte donne $F_n(t)
\to p$ p.s., et le TCL ([Théorème 23.8](#thm-b3-clt-clt)) appliqué aux mêmes indicateurs (variance $p(1-p)$) donne la limite gaussienne indiquée.

(b) $p(1 - p)$ est [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) en $p = \frac12$, i.e. où $F(t)
= \frac12$ : à la *médiane*. Estimer des probabilités de queue est asymptotiquement facile (variance $\to 0$ quand $p \to 0, 1$) ; la région médiane porte le plus grand bruit statistique — la courbe empirique oscille le plus au milieu.

(c) Pour $F$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), les variables $U_k = F(X_k)$ sont i.i.d. uniformes sur $\intoo01$ ([Exercice 22.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#exo-b3-probability-1)), et la monotonie de $F$ donne, en notant $G_n$ la fonction de répartition empirique des $U_k$ :

$$
\sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)}
= \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u}
= \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} :
$$

la première égalité car $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq F(t)\}$ à des événements négligeables près (monotonie ; l’inégalité stricte ne peut échouer que sur les parties plates de $F$, où les deux membres sont inchangés), et la seconde car une $F$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), allant de $0$ à $1$, atteint toute valeur de $\intoo01$ (théorème des valeurs intermédiaires), et les extrémités n’ajoutent rien ($G_n(0) - 0 = 0$ et $G_n(1) - 1
= 0$). Le second membre n’implique que des uniformes : une seule [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) pour toutes les $F$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity).

## 23.6 Problème : la preuve de Lindeberg du TCL, avec un taux

**Problème 23.1.**

Problème de week-end — la méthode de remplacement

Lindeberg (1922) a prouvé le théorème central limite par une idée d’une simplicité désarmante : *échanger les summands un par un contre des gaussiennes* et contrôler chaque échange par un développement de Taylor. La méthode n’a besoin d’aucune analyse de Fourier, produit un taux d’erreur explicite, et alimente aujourd’hui les preuves d’universalité à travers la théorie des probabilités. Soient $(X_i)$ i.i.d., centrées, $\V(X_1) = 1$, avec $\beta
= \E\abs{X_1}^3 < \infty$ ; soient $(N_i)$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$, [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) des $X_i$ (existence : [Théorème 22.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-existence)). Poser

$$
T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n},
\qquad
G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1).
$$

**Partie I — L’identité d’échange.** Fixer $f \in \mathcal C^3_b(\R)$ (trois dérivées [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornées ; $M_3 = \sup\abs{f'''}$). Pour $0 \leq i \leq n$ définir les sommes hybrides

$$
H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots +
N_n}{\sqrt n},
$$

donc $H_n = T_n$ et $H_0 = G_n$.

1. Écrire $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ et $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ avec $W_i =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{j<i}X_j +  \sum_{j>i}N_j\bigr)$ , et noter que $W_i$ est indépendante de la paire $(X_i, N_i)$ . Justifier.
2. Taylor avec reste intégral ou de Lagrange : pour tous réels $w, h$ : $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h -  \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq  \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$$
3. Appliquer la question 2 deux fois ($h =  \frac{X_i}{\sqrt n}$ et $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ en $w = W_i$), prendre les [espérances](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space), et utiliser l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) plus l’égalité des deux premiers moments de $X_i$ et $N_i$ pour montrer $$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr|  \leq \frac{M_3}{6}\cdot  \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}},  \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 =  \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$$
4. Télescoper sur $i$ et conclure la *borne de Lindeberg* : $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$$

**Partie II — Des $f$ lisses au TCL.**

5. Montrer que $\E f(T_n) \to \E f(N)$ pour toute $f  \in \mathcal C_b^3$ , et monter à toutes les $f$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornées : étant donnés une telle $f$ et $\varepsilon$ , construire $f_\varepsilon \in  \mathcal C^3_b$ avec $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty  \leq \varepsilon$ sur un grand intervalle — p.ex. convoler $f$ avec une bosse $\mathcal C^\infty$ ( [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization) ) — et traiter les queues par la tension ( $\V(T_n) = 1$ et Bienaymé–Tchebychev). Conclure $T_n \Rightarrow  \mathcal N(0, 1)$ : le théorème central limite, reprouvé.
6. Où la preuve a-t-elle utilisé que les $X_i$ sont *identiquement* distribuées ? Montrer que c’est à peine le cas : énoncer et prouver la version pour des $X_i$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) , centrées, non identiques avec $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ et moments d’ordre trois, obtenant l’erreur $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3 +  \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ — le vrai théorème de Lindeberg sous sa forme de Lyapunov.

**Partie III — Dividendes quantitatifs.**

7. (Fonctions de répartition) Soit $t \in \R$ et approximer $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ par dessus et par dessous par des rampes $\mathcal  C^3_b$ de largeur $\delta$ (les construire, avec $M_3 = O(\delta^{-3})$). En combinant avec la Partie I, dériver la borne à deux termes $$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) -  \Phi(t)\bigr| \;\leq\;  \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} +  C_2\,\delta  \qquad (\text{tout } \delta > 0),$$ avec des constantes explicites (le terme $C_2\delta$ utilise que $\Phi$ a une [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) bornée par $\frac1{\sqrt{2\pi}}$), et optimiser $\delta \sim  n^{-1/8}$ pour obtenir un taux uniforme d’ordre $n^{-1/8}$. (L’optimal $n^{-1/2}$ — Berry–Esseen — demande des outils plus fins ; le point est un taux *explicite* par échange élémentaire.)
8. (De Moivre–Laplace, quantifié) Spécialiser à $X_i  = 2B_i - 1$ (signes de pièces équitables) : comparer la conclusion avec l’estimée locale du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#pb-b3-product-1) , question 7 — que donne chaque méthode que l’autre ne donne pas ?
9. (Universalité) Expliquer en un paragraphe pourquoi la méthode de remplacement montre plus que le TCL : toute statistique de la forme $\E  f(\text{somme})$ avec $f$ lisse est insensible, à l’ordre $n^{-1/2}$ , à la *[loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) entière* des summands au-delà de ses deux premiers moments — le « principe d’invariance » qui sous-tend les résultats modernes d’universalité (matrices aléatoires, polynômes aléatoires), dont le TCL est la première instance.

**Partie IV — Lissage poussé : meilleurs taux.** La perte de $n^{-1/2}$ ($f$ lisse) à $n^{-1/8}$ (fonctions de répartition) venait de facturer $f'''$ en norme sup. Les hybrides peuvent en réparer une partie : ils contiennent des summands [gaussiens](#def-b3-clt-gaussianvector), et les gaussiennes *lissent*.

10. (Une gaussienne cachée) Pour $1 \leq i \leq n - 1$, $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ ou $\frac{N_i}{\sqrt n}$, et $\theta \in \intcc01$, écrire $W_i + \theta h =  A + Z$ avec $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt  n}$. Montrer que $Z \sim \mathcal N\bigl(0,  \frac{n-i}n\bigr)$ est indépendante de la paire $(A, h)$, et en déduire, pour toute $g$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) dans $L^1(\R)$, $$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr]  \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\;  \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$$
11. Combiner la question 10 avec la forme intégrale du reste de Taylor, $$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 +  \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta  h)\,h^3\,\dd\theta,$$ pour refaire les questions 3–4 : pour $f \in  \mathcal C^3_b$ avec de plus $f''' \in L^1(\R)$, $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot  \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +  \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$$ *(la question 10 traite les échanges $i \leq n  - 1$ — utiliser $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq  2\sqrt n$ — et la borne grossière de la question 3 traite le dernier)*. Vérifier que les rampes de la question 7 satisfont $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} =  K_1\delta^{-2}$ tandis que $M_3 = K\delta^{-3}$, les injecter, et optimiser $\delta$ : le taux uniforme de fonction de répartition s’améliore en $O(n^{-1/6})$.
12. (Apparier un moment de plus) Supposer de plus $\E  X_1^3 = 0$ et $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ . Calculer $\E N_1^3$ et $\E N_1^4$ , développer à l’ordre quatre, et prouver le long des mêmes lignes que le taux de fonction de répartition devient $O(n^{-1/4})$ *(maintenant $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ et $M_4 = K'\delta^{-4}$ ; choisir $\delta =  n^{-1/4}$)* .
13. (L’obstruction) Supposer que les $k$ premiers moments de $X_1$ coïncident avec les [gaussiens](#def-b3-clt-gaussianvector) ( $k  = 2$ toujours ; $k = 3$ exactement quand $\E X_1^3  = 0$ ; $k \geq 4$ essentiellement jamais, car $\E  N_1^4 = 3$ ). Vérifier que le schéma des questions 10–12 délivre le taux de fonction de répartition $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ , en équilibrant $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ contre $\delta$ , et observer que l’exposant n’approche la valeur de Berry–Esseen $\frac12$ que quand $k \to \infty$ . Expliquer en quelques phrases pourquoi la méthode d’échange sature : chaque échange est facturé en valeur absolue, tandis que la voie de Fourier (inégalité de lissage d’Esseen) exploite l’oscillation de la différence des [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf) et atteint $C\beta n^{-1/2}$ avec seulement trois moments.

**Partie V — Deux dimensions : le TCL multidimensionnel, par échange.** Soient maintenant les $X_i$ des *vecteurs* aléatoires i.i.d. centrés de $\R^2$ de matrice de covariance $\Sigma$ et $\beta' =
\E\norm{X_1}^3 < \infty$ (norme euclidienne).

14. ( [Vecteurs gaussiens](#def-b3-clt-gaussianvector) , en ordre) Diagonaliser $\Sigma  = PDP^{\mathsf T}$ ( [Exercice 20.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#exo-b3-submanifolds-8) ) et poser $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ . Pour $Z = (Z^1,  Z^2)$ une paire de gaussiennes standard [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) ( [Théorème 22.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-existence) ), montrer que $N = CZ$ est un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) ( [Définition 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) ) d’ [espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $0$ , de covariance $\Sigma$ , avec $\gamma' = \E\norm N^3  < \infty$ ; et que $G_n = \frac{N_1 + \dots +  N_n}{\sqrt n}$ a pour [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $\mathcal N(0, \Sigma)$ *exactement* pour des copies i.i.d. $N_i$ .
15. (Taylor en deux variables) Pour $f \colon \R^2 \to  \R$ de classe $\mathcal C^3$ avec $M_3 =  \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} <  \infty$, prouver $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w),  h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle  \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} +  \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\,  \norm h^3$$ *(étudier $t \mapsto f(w + th)$ sur $\intcc01$)*.
16. (Le TCL dans $\R^2$) Faire tourner le schéma de remplacement sur les hybrides vectoriels $H_i$ : montrer que les termes d’ordre un et deux s’annulent (moyennes et covariances coïncident), télescoper, et monter comme à la question 5 (tension depuis $\E\norm{T_n}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ ; mollification maintenant dans $\R^2$, [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)) pour conclure : pour toute $f \colon \R^2 \to \R$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, $$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr)  \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal  N(0, \Sigma) :$$ le [Théorème 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) en dimension $2$, avec un taux pour les $f$ lisses et sans analyse de Fourier.
17. (Cramér–Wold, et une fluctuation jointe) En déduire que $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle  \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ pour tout $t \in \R^2$ fixé. Application : pour des $(\xi_i)$ réels i.i.d., centrés, $\E\xi_1^2 = 1$, $\E\xi_1^6 < \infty$ (de sorte que la Partie V s’applique à $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$), montrer $$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\  \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\  \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$$ moyenne empirique et second moment empirique fluctuent conjointement de façon gaussienne — indépendamment à la limite si et seulement si $\E\xi_1^3 = 0$ ([Théorème 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)).

**Partie VI — La méthode delta.**

18. Soient $(\hat\theta_n)$ des [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) avec $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow  \mathcal N(0, \sigma^2)$ pour un paramètre réel $\theta$, et $g$ différentiable en $\theta$. Prouver la *méthode delta* : $$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,  g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$$ *(écrire $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +  \eta(x))(x - \theta)$ avec $\eta \to 0$ en $\theta$ ; montrer $\hat\theta_n \to \theta$, puis $\eta(\hat\theta_n) \to 0$, en probabilité ; conclure avec Slutsky, [Exercice 23.8](#exo-b3-clt-8), et [Exercice 23.4](#exo-b3-clt-4)(b))*.
19. Applications. (a) Pour des $(\xi_i)$ réels i.i.d. d’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $\mu$ et de variance $\sigma^2$, et $\bar X_n = \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$ : montrer $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal  N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ quand $\mu \neq 0$, et que pour $\mu = 0$ l’énoncé correct vit à une autre échelle : $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ avec $N \sim \mathcal N(0,1)$ (identifier la fonction de répartition de la limite). (b) (Stabilisation de la variance) Pour $\hat p_n$ la fréquence de succès d’un échantillon $\mathcal  B(1, p)$, $p \in \intoo01$ : montrer que $g(p) =  \arcsin\sqrt p$ satisfait $$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$$ *quel que soit* $p$ — une barre d’erreur asymptotique [libre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) du paramètre inconnu ; comparer avec l’[Exemple 23.9](#ex-b3-clt-confidence).

**Partie VII — Poisson, par la même méthode : le théorème de Le Cam.** Le remplacement connaît une seconde classe d’universalité : les sommes de beaucoup d’événements indépendants *rares*. Pour les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) sur $\N$ la bonne distance est la *variation totale*,

$$
d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\,
\abs{\mu(A) - \nu(A)} .
$$

20. Montrer que $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) =  \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) -  \nu(\{k\})}$ , et prouver la borne de couplage : pour *toute* paire $(X, Y)$ de [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $\mu$ et $\nu$ sur le même espace, $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ .
21. Calculer exactement, pour $p \in \intoo01$ : $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal  P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$$
22. (Le Cam, par échange) Soient $X_i \sim \mathcal  B(1, p_i)$ et $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$, les $2n$ variables [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) ; $S = X_1 + \dots + X_n$, et rappeler $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal  P(\lambda)$ avec $\lambda = \sum_ip_i$ ([Exercice 23.1](#exo-b3-clt-1)). Échanger une coordonnée à la fois dans les hybrides entiers $H_i = Y_1 + \dots +  Y_i + X_{i+1} + \dots + X_n$ : montrer, pour tout $A \subseteq \N$, $$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq  d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal  P(p_i)\bigr),$$ et conclure l’*inégalité de Le Cam* : $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\text{loi de } S,\ \mathcal  P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$$
23. Dividendes. (a) Pour $p_i = \frac\lambda n$ : la borne est $\frac{\lambda^2}n$ — la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des événements rares ( [Exercice 23.5](#exo-b3-clt-5) ) montée à un taux explicite, uniforme sur tous les événements, et valable pour des $p_i$ inégaux aussi. (b) $500$ lettres sont livrées, chacune s’égarant indépendamment avec probabilité $\frac1{500}$ : borner l’erreur du modèle de Poisson de paramètre $1$ , et estimer la probabilité qu’aucune lettre ne s’égare. (c) Clore le problème : comparer les deux classes d’universalité rencontrées ici — gaussienne (beaucoup de petites contributions étalées ; deux moments appariés ; Taylor) et Poisson (beaucoup de contributions rares ; une moyenne appariée ; un couplage exact en variation totale) — et la seule méthode de remplacement derrière les deux.
24. (Erreur relative et transformée log) Soient $(X_n)$ i.i.d., positives, d’[espérance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) $\mu > 0$, de variance $\sigma^2$, et $\bar X_n$ la moyenne empirique. Montrer par la méthode delta que $$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr)  \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$$ le paramètre asymptotique de $\ln\bar X_n$ est le *coefficient de variation* $\sigma/\mu$ — erreur relative, sans échelle. En déduire un intervalle de confiance $95\%$ pour $\mu$ de la forme multiplicative $\bar  X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}$, et expliquer quand il est préférable à l’additif.
25. (Le troisième moment oriente l’erreur) Pour $X  \sim$ Bernoulli( $p$ ) centrée, calculer $\E\bigl[(X - p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ . En utilisant l’analyse de la Partie IV (l’erreur d’échange est pilotée par les moments d’ordre trois), expliquer pourquoi l’approximation normale de $\mathcal B(n, p)$ est asymétrique pour $p \neq  \frac12$ — dépassant d’un côté, sous-estimant de l’autre — et pourquoi $p = \frac12$ bénéficie du taux plus rapide à moments appariés. Vérifier le signe de l’asymétrie numériquement sur $\mathcal  B(20, 0.1)$ contre $\mathcal N(2, 1.8)$ : comparer $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ avec la masse gaussienne de $\intoo{-\infty}{0.5}$ .

**Solution de Problème 23.1.**

**1.** La famille $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ est indépendante : les deux blocs sont indépendants l’un de l’autre par construction et chaque bloc est i.i.d. $W_i$ est une [fonction mesurable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) des seules variables $(X_j)_{j<i}$ et $(N_j)_{j>i}$, toutes distinctes de $X_i$ et $N_i$ : par le principe de coalition ([Théorème 22.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-independence)), $W_i$ est indépendante de la paire $(X_i, N_i)$. Les décompositions $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ et $H_{i-1} = W_i +
\frac{N_i}{\sqrt n}$ sont immédiates d’après les définitions : passer de $H_i$ à $H_{i-1}$ échange le seul terme $X_i$ pour $N_i$.

**2.** Taylor–Lagrange à l’ordre $3$ : il existe $c$ entre $w$ et $w + h$ tel que

$$
f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12 f''(w)h^2 + \tfrac16 f'''(c)h^3,
$$

et $\abs{f'''(c)} \leq M_3$ donne la borne.

**3.** En soustrayant les deux développements au point de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) commun $w = W_i$ :

$$
f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} +
\frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i,
\qquad
\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot
\frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} .
$$

Passer aux [espérances](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space). Par la question 1, $f'(W_i)$ et $f''(W_i)$ sont [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) de $(X_i, N_i)$, donc les [espérances](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) mixtes se factorisent :

$$
\begin{align*}
\E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &=
\E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0,
\\
\E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &=
\E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 :
\end{align*}
$$

les deux premiers moments de $X_i$ et $N_i$ *coïncident*, et seul le reste survit :

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq
\frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} .
$$

Le moment d’ordre trois [gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) : $\gamma = \E\abs{N_1}^3 =
2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x
= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u =
\frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (substitution $u = x^2/2$, puis $\Gamma(2) = 1$).

**4.** Télescopage $\E f(T_n) - \E f(G_n) =
\sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ et application de la question 3 à chacun des $n$ termes :

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} =
\frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .
$$

**5.** $G_n$ est $\mathcal N(0,1)$ *exactement* pour tout $n$ (somme normalisée de gaussiennes standards [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), [Exercice 23.3](#exo-b3-clt-3)), donc $\E f(G_n) =
\E f(N)$ et la question 4 se lit $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)}
\leq \frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ pour $f \in
\mathcal C^3_b$. *Passage au cas général.* Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, $M = \sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. Choisir $A \geq 1$ avec $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$ : Tchebychev avec $\V(T_n) = 1$ donne $\P(\abs{T_n} > A) \leq
\varepsilon$ pour tout $n$, et de même $\P(\abs N > A) \leq
\varepsilon$. Soit $\chi$ de classe $\mathcal C^\infty$ avec $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq
\mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (plateau lisse, obtenu en régularisant $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$, [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)) ; $g = f\chi$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact, donc uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et sa régularisée $g_\eta = g * \rho_\eta$ est $\mathcal C^\infty$ à dérivées de tous ordres bornées avec $\norm{g -
g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ pour $\eta$ assez petit. Pour $T = T_n$ ou $N$, comme $f = g$ sur $\intcc{-A}A$ et $\abs{f - g} \leq 2M$ partout :

$$
\bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq
\E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty
\leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq
(2M + 1)\,\varepsilon .
$$

En combinant avec $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ (la question 4 s’applique : $g_\eta \in \mathcal C^3_b$) :

$$
\limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq
2(2M + 1)\,\varepsilon ,
$$

et $\varepsilon$ était arbitraire : $\E f(T_n) \to \E f(N)$ pour toute $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, i.e. $T_n \Rightarrow
\mathcal N(0,1)$.

**6.** L’équidistribution n’entrait que par une phrase : « $X_i$ et $N_i$ ont les mêmes deux premiers moments ». Soient donc $X_1, \dots, X_n$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), centrées, de variances $\sigma_i^2$ et moments d’ordre trois finis, $s_n^2
= \sum_i\sigma_i^2 > 0$, et $N_i \sim \mathcal N(0,
\sigma_i^2)$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) de tout le reste. Définir les hybrides avec la normalisation $s_n$ : $H_i =
\frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$. Au $i$-ième échange, $\E X_i = \E N_i = 0$ et $\E X_i^2 = \E N_i^2 =
\sigma_i^2$ tuent encore les termes en $f'$ et $f''$, et le reste donne (en utilisant $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ par homothétie) :

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 +
\sigma_i^3\gamma\bigr) .
$$

Télescopage :

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) -
\E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n
\Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) .
$$

Comme $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (inégalité des moyennes de puissance, i.e. Jensen pour $t
\mapsto t^{3/2}$ appliqué à $X_i^2$), le second membre est au plus $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot
\frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$ : sous la *condition de Lyapunov* $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3
\to 0$, les sommes normalisées convergent en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) vers $\mathcal N(0,1)$ — le TCL sans équidistribution.

**7.** Soit $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ avec $\int\rho = 1$ et posons $\psi(x) =
\int_x^1\rho(s)\dd s$ : $\psi$ est $\mathcal C^\infty$, décroissante, $\psi = 1$ sur $\R_-$, $\psi = 0$ sur $\intco1\infty$ ; soit $K = \norm{\psi'''}_\infty$. Pour $t \in \R$ et $\delta > 0$ définir $\psi_\delta(x) =
\psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ et $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta +
1\bigr)$ : ce sont des fonctions $\mathcal C^3_b$ de dérivée tierce bornée par $K/\delta^3$, et

$$
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq
\tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq
\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} .
$$

Borne supérieure : par la question 4 appliquée à $\psi_\delta$ (avec $M_3 = K/\delta^3$),

$$
\P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq
\E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n},
$$

car $\Phi$ est lipschitzienne de constante $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ (sa [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) est bornée par $\frac1{\sqrt{2\pi}}$). La borne inférieure symétrique via $\tilde\psi_\delta$ donne l’estimation à deux termes

$$
\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} +
\frac{\delta}{\sqrt{2\pi}}
\qquad(\delta > 0\ \text{arbitraire}).
$$

Les deux termes s’équilibrent lorsque $\delta^{-3}n^{-1/2}
\asymp \delta$, i.e. $\delta = n^{-1/8}$ : tous deux sont alors $O(n^{-1/8})$, un taux uniforme explicite valable pour tout $n$. (Le taux optimal de Berry–Esseen $C\beta/\sqrt n$ demande l’inégalité de lissage de Fourier ; l’échange troque la netteté contre une élémentaire complète.)

**8.** Pour $X_i = 2B_i - 1$ (signes équitables) : centrées, variance $1$, et $\abs{X_i} = 1$ donc $\beta = 1$. La question 7 borne alors $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n}
\leq t) - \Phi(t)}$ explicitement et uniformément pour *tout* $n$ fini — un énoncé global, non asymptotique, sur la fonction de répartition. L’estimation locale de [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#pb-b3-product-1), question 7, donne au contraire l’asymptotique [exacte](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/21-formes-differentielles-et-theoreme-de-stokes#def-b3-forms-closedexact) d’un atome individuel, $\P(S_{2n} =
2k) \sim \frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$ : elle résout des probabilités de taille $n^{-1/2}$, bien en dessous de la résolution $n^{-1/8}$ de la question 7, mais elle est ponctuelle, asymptotique (pas d’erreur explicite à $n$ fixe) et liée à cette [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de réseau particulière. Précision locale contre uniformité globale : les deux méthodes sont complémentaires, et sommer l’estimation locale sur $k \in
\intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ retrouve de Moivre–Laplace sur des intervalles — avec un taux plus fin, mais seulement pour cette [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space).

**9.** L’argument d’échange n’utilisait rien sur la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des $X_i$ au-delà de $\E X_i = 0$, $\E X_i^2 = 1$ et la finitude de $\E\abs{X_i}^3$ : si l’on remplaçait les gaussiennes $N_i$ par toute autre famille i.i.d. de mêmes deux premiers moments et de moment d’ordre trois fini, le même télescopage bornerait $\abs{\E f(\mathrm{somme}_X) - \E
f(\mathrm{somme}_Y)}$ par $O(n^{-1/2})$ pour toute $f$ lisse. Les statistiques lisses de grandes sommes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) sont donc *universelles* : à une erreur quantifiée près, elles ne dépendent de la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) des termes de la somme que par deux nombres. C’est le principe d’invariance : prouver un théorème limite pour la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) la plus calculable (la gaussienne, où tout est exact), puis le transférer à toutes les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) par échange. Le même schéma — avec des sommes remplacées par des fonctionnelles plus élaborées — guide la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) du demi-cercle de Wigner pour les matrices aléatoires, l’universalité des racines de polynômes aléatoires, et une grande part de la probabilité moderne ; le théorème central limite en est la première et la plus [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) instance.

**10.** $Z$ est une fonction borélienne des seules $(N_{i+1}, \dots, N_n)$, tandis que $A = W_i + \theta h - Z$ et $h$ sont des fonctions des variables restantes de la famille indépendante $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ : par le principe de coalition ([Théorème 22.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#thm-b3-probability-independence)), $Z$ est indépendante de $(A, h)$. Comme somme des $N_j/\sqrt n \sim
\mathcal N(0, \frac1n)$ [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), $Z \sim \mathcal
N(0, s^2)$ avec $s^2 = \frac{n-i}n$ ([Exercice 23.3](#exo-b3-clt-3)), de [densité](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) bornée par $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$. La [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) de $((A, h), Z)$ est le produit des deux [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) marginales, donc Tonelli (transfert) fige le premier bloc : avec $G(a) =
\E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z
\leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ pour tout $a$,

$$
\E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] =
\E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq
\frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3
= \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 .
$$

**11.** La forme intégrale de Taylor s’obtient en intégrant $f(w + h) - f(w) = h\int_0^1f'(w + \theta
h)\,\dd\theta$ par parties deux fois en $\theta$. En prenant les [espérances](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) dans le $i$-ième échange, les ordres $0$, $1$, $2$ s’annulent exactement comme à la question 3, et les deux restes (pour $h = X_i/\sqrt n$ et $N_i/\sqrt n$) sont bornés, pour $i \leq n - 1$, par la question 10 avec $g = f'''$ :

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\;
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1}
\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}
= \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}}
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} .
$$

En sommant, avec $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} =
\sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$, et en ajoutant la borne de la question 3 pour le dernier échange ($i = n$, plus aucune gaussienne) :

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +
\frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} .
$$

Rampes : $\psi_\delta'''(x) =
\delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$, donc $M_3 = K\delta^{-3}$ avec $K = \norm{\psi'''}_\infty$ et $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2}
\norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (substitution). Le sandwich de la question 7 donne alors

$$
\sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac1{\delta^2\sqrt n} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot
\frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} .
$$

En $\delta = n^{-1/6}$ les premier et troisième termes sont $O(n^{-1/6})$ et le médian $O(n^{-1})$ : un taux uniforme $O(n^{-1/6})$, strictement meilleur que le $n^{-1/8}$ de la question 7 — la moitié gaussienne de l’hybride a fait le lissage supplémentaire.

**12.** $\E N_1^3 = 0$ (intégrande impaire), et une intégration par parties donne $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ ($\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x = 3\int x^2\varphi$). Pour $f$ de classe $\mathcal C^4$ à dérivées bornées, développer chaque échange à l’ordre quatre : les termes d’ordre trois portent le facteur $\E X_i^3 - \E N_i^3 = 0$ (l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) les factorise comme à la question 3), donc seul le reste d’ordre quatre $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w +
\theta h)h^4\dd\theta$ survit, avec $\int_0^1
\frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ et $\E h^4 =
\beta_4n^{-2}$ ou $3n^{-2}$. La question 10 (avec $g =
f^{(4)}$) borne les échanges $i \leq n - 1$, et en sommant comme à la question 11 :

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} +
\frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} .
$$

Avec $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ et $M_4 = K'\delta^{-4}$, la borne de fonction de répartition devient $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} +
\frac\delta{\sqrt{2\pi}}$ ; en $\delta = n^{-1/4}$ les termes extrêmes sont $O(n^{-1/4})$ et le médian $O(n^{-1})$ : taux $O(n^{-1/4})$.

**13.** Avec $k$ moments appariés le reste survivant par échange est d’ordre $\E\abs h^{k+1} \asymp
n^{-(k+1)/2}$ ; la borne gaussienne cachée charge $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ et la somme sur les échanges contribue le facteur $2n$, donnant $\asymp
\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\, n^{-(k-1)/2}$ pour $f$ lisse. Les rampes coûtent $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp
\delta^{-k}$, donc l’erreur de fonction de répartition est $\asymp \delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$, équilibrée en $\delta = n^{-(k-1)/(2k+2)}$ : taux $n^{-(k-1)/(2k+2)}$, qui vaut $n^{-1/6}$ pour $k = 2$, $n^{-1/4}$ pour $k = 3$, et ne tend vers $n^{-1/2}$ que lorsque $k \to \infty$ — mais $k \geq 4$ forcerait $\E X_1^4 = 3$ et au-delà, i.e. une [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) qui imite déjà la gaussienne. La saturation est structurelle : l’échange ajoute $n$ erreurs d’échange *en valeur absolue*, renonçant à toute annulation entre échanges. La preuve de Fourier compare les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf), où les erreurs apparaissent avec leurs phases oscillantes ; l’inégalité de lissage d’Esseen convertit $\abs{\varphi_{T_n} - \varphi_N}$, intégrée contre $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$, en une borne de fonction de répartition au seul coût logarithmique, et livre le $C\beta n^{-1/2}$ de Berry–Esseen à partir de trois moments. Le remplacement troque l’optimalité contre la robustesse — et, comme le montre la Partie VII, contre la portabilité.

**14.** $\Sigma$ est symétrique semi-définie positive ; avec $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ ($P$ orthogonale, $D \geq 0$ diagonale, [Exercice 20.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#exo-b3-submanifolds-8)), la symétrique $C =
P\sqrt DP^{\mathsf T}$ vérifie $C^2 = \Sigma$. Pour tout $t
\in \R^2$, $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle =
(Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ est une combinaison linéaire de gaussiennes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence), donc gaussienne ([Exercice 23.3](#exo-b3-clt-3)) : $N = CZ$ est un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) ; sa moyenne est $0$ et sa covariance $\E[NN^{\mathsf T}] =
C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} =
\Sigma$. Moments : $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} +
\abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ (convexité de $x^3$ sur $\R_+$), et chaque coordonnée est une gaussienne réelle à moments de tous ordres ([Exercice 11.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/11-mesures-produit-fubini-changement-de-variables#exo-b3-product-10)) : $\gamma' < \infty$. Enfin chaque $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt
n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ est une somme normalisée de $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ i.i.d., donc exactement $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ : $G_n$ est un [vecteur gaussien](#def-b3-clt-gaussianvector) de moyenne $0$ et covariance $\Sigma$, et sa [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) est $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Définition 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) : la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) est déterminée par ces données).

**15.** Posons $\phi(t) = f(w + th)$, $t \in \intcc01$ : $\phi$ est $\mathcal C^3$ avec

$$
\phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w +
th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq
M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} +
\abs{h_2})^3 .
$$

Taylor–Lagrange à l’ordre $3$ pour $\phi$ entre $0$ et $1$ donne la première inégalité ; Cauchy–Schwarz donne $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$, d’où la constante $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$.

**16.** Définir $H_i$ et $W_i$ comme à la question 1, maintenant dans $\R^2$ ; l’argument de coalition est inchangé. Au $i$-ième échange, les termes d’ordre un donnent $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/
\sqrt n = 0$ et les termes d’ordre deux donnent $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk}
- \Sigma_{jk}) = 0$ : moyennes et covariances coïncident. La question 15 borne les deux restes :

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 +
\E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}}
= \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}},
$$

et le télescopage sur les $n$ échanges :

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E
f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' +
\gamma')}{3\sqrt n},
\qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{exactement} .
$$

Passage au cas général : $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 =
\operatorname{tr}\Sigma$ (les termes croisés s’annulent par [indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) et centrage), donc $\P(\norm{T_n} > A) \leq
\operatorname{tr}\Sigma/A^2$, et de même pour $N$ : tension. Étant donnée $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée et $\varepsilon
> 0$, multiplier par un plateau lisse $\chi$ égal à $1$ sur la boule de rayon $A$ et supporté dans le rayon $A + 1$ (régulariser un indicateur dans $\R^2$, [Théorème 12.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#thm-b3-lp-regularization)) ; $g = f\chi$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à support compact, donc sa régularisée bidimensionnelle $g_\eta$ est $\mathcal
C^\infty$ à dérivées de tous ordres bornées avec $\norm{g -
g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ pour $\eta$ petit. La chaîne à trois $\varepsilon$ de la question 5 se transporte mot pour mot : $\E f(T_n) \to \E f(N)$ pour toute $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée $\R^2 \to \R$. C’est [Théorème 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) pour $d = 2$, maintenant prouvé — l’échange contourne le théorème de Lévy bidimensionnel que le chapitre avait laissé admis.

**17.** Pour $g \colon \R \to \R$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée, la carte $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) bornée sur $\R^2$, donc la question 16 donne $\E g(\langle
t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$ : toute projection converge en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space), et $\langle t, N\rangle \sim
\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$. (C’est le sens facile de Cramér–Wold : la convergence jointe implique la convergence de toutes les images linéaires.) Application : $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ sont des vecteurs i.i.d. centrés ($\E\xi_1^2 = 1$), avec entrées de covariance $\V(\xi_1) = 1$, $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) =
\E\xi_1^3$ et $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$ ; le moment d’ordre trois $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 +
\E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ est fini dès que $\xi_1 \in
L^6$. La question 16 livre la limite gaussienne jointe affichée, et [Théorème 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) : les deux coordonnées limites sont [indépendantes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence) exactement lorsque la covariance $\E\xi_1^3$ s’annule — pour les [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) symétriques, moyenne empirique et variance empirique se découplent asymptotiquement.

**18.** Écrire $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +
\eta(x))(x - \theta)$ où $\eta(x) = \frac{g(x) -
g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ pour $x \neq \theta$ et $\eta(\theta) = 0$ : la différentiabilité en $\theta$ signifie précisément $\eta(x) \to 0$ lorsque $x \to \theta$. *Étape 1 :* $\hat\theta_n \to \theta$ en probabilité : pour $\varepsilon > 0$ et tout $A > 0$, éventuellement $\varepsilon\sqrt n \geq A$, donc $\P(\abs{\hat\theta_n -
\theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt
n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (les fonctions de répartition convergent aux points de continuité $\pm A$), et le second membre tend vers $0$ lorsque $A \to \infty$. *Étape 2 :* $\eta(\hat\theta_n)
\to 0$ en probabilité : étant donné $\varepsilon' > 0$, choisir $\delta$ avec $\abs\eta \leq \varepsilon'$ sur $\abs{x - \theta} \leq \delta$ ; alors $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon') \leq
\P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$. *Étape 3 :*

$$
\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) =
g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) +
\eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) .
$$

Par la règle produit de Slutsky ([Exercice 23.8](#exo-b3-clt-8), avec la suite $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ en probabilité et $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$ convergente en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space)), le second terme converge en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) vers $0\cdot\mathcal N(0,
\sigma^2) = 0$, donc vers $0$ en probabilité ([Exercice 23.4](#exo-b3-clt-4)(b)) ; le premier converge en [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) vers $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ (Slutsky encore, ou la règle affine pour les [fonctions caractéristiques](#def-b3-clt-cf)) ; la règle somme de Slutsky les assemble : la limite est $\mathcal
N(0, g'(\theta)^2\sigma^2)$.

**19.** (a) Le TCL donne $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ ; la méthode delta avec $g(x) = x^2$, $g'(\mu) = 2\mu$, donne $\sqrt n(\bar X_n^2 -
\mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — dégénérée (limite $0$) lorsque $\mu = 0$. Dans ce cas la fluctuation vit une échelle au-dessus : $n\bar X_n^2 =
(\sqrt n\,\bar X_n)^2$, et pour $t > 0$

$$
\P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq
\sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow
\Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) -
\Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2
\leq t) :
$$

$n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$, le carré d’une gaussienne ([loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) du « khi-deux ») — lorsque la dérivée première meurt, le terme d’ordre deux de Taylor dicte une limite non gaussienne. (b) Ici $\sqrt n(\hat p_n - p)
\Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ et $g(p) =
\arcsin\sqrt p$ a $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$, donc $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$ : la limite est $\mathcal
N(0, \frac14)$ pour tout $p \in \intoo01$. Sur l’échelle $\arcsin$ la barre d’erreur asymptotique à $95\%$ est $\pm
\frac{0{,}98}{\sqrt n}$, connue à l’avance — alors que dans [Exemple 23.9](#ex-b3-clt-confidence) la largeur impliquait le $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ inconnu, à majorer par $\frac12$ ou à estimer : la transformation *stabilise* la variance.

**20.** Soit $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ et $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$, de sorte que $\sum_k\Delta_k = 0$. Pour tout $A \subseteq \N$ : $\mu(A) -
\nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in
A^*}\Delta_k$, avec égalité en $A = A^*$ ; et comme les parties positive et négative de $(\Delta_k)$ ont même masse totale, $\sum_{A^*}\Delta_k = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Échanger $\mu, \nu$ traite le signe : $d_{\mathrm{TV}}(\mu,
\nu) = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Couplage : pour tout $A$,

$$
\mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y),
$$

et prendre le supremum sur $A$.

**21.** Les deux [lois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) chargent : $k = 0$ : $1 - p$ contre $\eu^{-p}$, avec $\eu^{-p} > 1 - p$ ; $k = 1$ : $p$ contre $p\,\eu^{-p} < p$ ; $k \geq 2$ : $0$ contre le reste Poisson $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$. D’où

$$
d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p -
p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] =
\tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}),
$$

et $1 - \eu^{-p} \leq p$ donne la borne $p^2$.

**22.** Écrire $H_{i-1} = W_i + X_i$ et $H_i = W_i +
Y_i$ avec $W_i = \sum_{j<i}Y_j + \sum_{j>i}X_j$, indépendante de la paire $(X_i, Y_i)$ (coalitions). Pour $A
\subseteq \N$, en conditionnant sur les valeurs dénombrables par [indépendance](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-independence),

$$
\P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k
\in A),
$$

et de même pour $H_i$ avec $Y_i$. En soustrayant, avec $c_k
= \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ et $\Delta_k = \P(X_i =
k) - \P(Y_i = k)$ de somme nulle :

$$
\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} =
\Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq
\tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} =
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal
P(p_i)\bigr) .
$$

Télescopage de $H_0 = S$ à $H_n = \sum_iY_i \sim \mathcal
P(\lambda)$ ([Exercice 23.1](#exo-b3-clt-1), itéré) et question 21 :

$$
\abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq
\sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq
\sum_{i=1}^np_i^2
\qquad\text{pour tout } A :
$$

l’inégalité de Le Cam. (La borne de couplage de la question 20 offre une voie alternative : coupler chaque paire sur une seule uniforme de sorte que $\P(X_i \neq Y_i) \leq
p_i^2$ et borner $\P(S \neq \sum Y_i)$ ; l’échange n’exige aucune construction.)

**23.** (a) Avec $p_i = \frac\lambda n$ : $d_{\mathrm{TV}}(\text{loi de }S, \mathcal P(\lambda))
\leq \frac{\lambda^2}n$. Cela affine [Exercice 23.5](#exo-b3-clt-5) trois fois : une erreur explicite à chaque $n$ fini, l’uniformité sur tous les événements $A$ à la fois (pas un intervalle à la fois), et pas besoin de $p_i$ égaux — seulement $\sum_ip_i^2$ petit, p.ex. $\sum
p_i^2 \leq \lambda\max_ip_i$ : *beaucoup d’événements rares, aucun dominant*. (b) Ici $n = 500$, $p_i =
\frac1{500}$, $\lambda = 1$ : le modèle de Poisson se trompe d’au plus $500\cdot\frac1{500^2} = 0{,}002$ sur tout événement ; en particulier, en prenant $A = \{0\}$,

$$
\P(\text{aucune lettre égarée}) = \Bigl(1 -
\frac1{500}\Bigr)^{500},
\qquad
\Bigl|\P(\text{aucune lettre égarée}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq
0{,}002,
$$

donc la réponse est $\eu^{-1} \approx 0{,}368$ à $0{,}002$ garanti près (le vrai écart est d’environ $4\cdot10^{-4}$). (c) Le problème se referme sur une méthode à deux régimes. Lorsque $n$ contributions comparables portent chacune une variance $\frac1n$, apparier *deux* moments contre la gaussienne rend les erreurs d’échange $o(\frac1n)$ chacune : les sommes deviennent gaussiennes — avec Taylor comme outil de comparaison locale. Lorsque $n$ contributions sont des indicateurs de probabilité $p_i$, apparier la *moyenne* contre un atome de Poisson fait coûter $p_i^2$ chaque échange : les comptages d’événements rares deviennent Poisson — avec la variation totale comme comparaison locale [exacte](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/21-formes-differentielles-et-theoreme-de-stokes#def-b3-forms-closedexact). Mêmes hybrides, même télescope, estimation locale différente : le remplacement est une stratégie, pas un théorème, et les limites gaussienne et Poisson en sont les deux plus anciens dividendes.

**24.** Le TCL donne $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$, et $g(x) = \ln x$ est différentiable en $\mu > 0$ avec $g'(\mu) = \frac1\mu$ : la méthode delta (Partie VI) livre $\sqrt n(\ln\bar X_n -
\ln\mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$. En dépliants l’intervalle $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq
\frac{1{,}96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ par exponentiation :

$$
\mu \in \bar X_n\cdot
\eu^{\pm1{,}96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}
\qquad\text{avec probabilité asymptotique } 95\%
$$

(en pratique $\sigma/\mu$ est remplacé par sa version empirique, Slutsky comme dans [Exercice 23.8](#exo-b3-clt-8)). L’intervalle multiplicatif est le naturel lorsque les données sont positives avec des erreurs proportionnelles à leur taille — revenus, concentrations, demi-vies : quantités qui vivent sur une échelle logarithmique, où des intervalles additifs symétriques pourraient même traverser zéro.

**25.** $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) =
p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$. Dans l’analyse d’échange (Partie IV), le terme d’erreur principal après appariement de deux moments porte le moment d’ordre trois *signé* : pour $p < \frac12$ il est positif (la [loi](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#def-b3-probability-space) penche à droite : rares grandes excursions au-dessus de la moyenne), et l’approximation normale déplace systématiquement la masse — sous-estimant la queue gauche courte et surestimant la droite — avec une erreur d’ordre $n^{-1/2}$ ; en $p = \frac12$ le moment d’ordre trois s’annule, la Bernoulli imite la gaussienne à l’ordre trois, et le taux s’améliore (question des moments appariés de la Partie IV). Numériquement : $\P(S = 0) = 0{,}9^{20} =
0{,}1216$, tandis que la gaussienne $\mathcal N(2, 1{,}8)$ donne $\Phi\bigl(\frac{0{,}5 - 2}{\sqrt{1{,}8}}\bigr) =
\Phi(-1{,}118) \approx 0{,}132$ : la courbe normale, ignorante du mur en $0$ et de l’asymétrie vers la droite, met trop de masse en bas — le signe prédit de l’erreur, visible à $n = 20$.