--- title: "Modules sur un anneau principal" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal --- # Chapitre 3 — Modules sur un anneau principal L’algèbre linéaire sur un *anneau* au lieu d’un corps : ce petit changement d’hypothèse produit l’un des grands théorèmes d’unification de l’algèbre. Un [module](#def-b3-modules-module) sur $\Z$ est un groupe abélien ; un [module](#def-b3-modules-module) sur $K[X]$ est un espace vectoriel muni d’un endomorphisme. Le théorème de structure des [modules de type fini](#def-b3-modules-free) sur un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) classifie donc, d’un seul coup, tous les groupes abéliens [de type fini](#def-b3-modules-free) *et* tous les endomorphismes à similitude près — la réduction de Jordan, que la deuxième année obtenait par de délicates récurrences, tombe en corollaire, avec son frère plus subtil, la forme canonique *rationnelle*, valable sur tout corps. Le moteur calculatoire est la [forme normale de Smith](#thm-b3-modules-smith), une arithmétique des matrices digne d’Euclide. Tout au long, $A$ est un anneau commutatif, bientôt un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) ; « [module](#def-b3-modules-module) » signifie $A$-module. ## 3.1 Modules, modules libres **Définition 3.1.** Un *$A$-module* est un groupe abélien $(M, +)$ muni d’une multiplication scalaire $A \times M \to M$ vérifiant les axiomes d’espace vectoriel : $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$, $1x = x$. Sous-modules, quotients $M/N$, morphismes (applications $A$-linéaires), sommes directes $\bigoplus_i M_i$, et théorèmes d’isomorphisme se définissent et se démontrent mot pour mot comme pour les espaces vectoriels et les groupes abéliens ; en particulier $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ pour un morphisme $f$. **Exemple 3.2.** Les trois cas motivants. 1. $A = K$ un corps : les [modules](#def-b3-modules-module) sont les espaces vectoriels. 2. $A = \Z$ : les [modules](#def-b3-modules-module) sont exactement les groupes abéliens ( $nx$ est forcé à valoir $x + \dots + x$ ), les [sous-modules](#def-b3-modules-module) sont les sous-groupes. 3. $A = K[X]$ : un [module](#def-b3-modules-module) est un $K$ -espace vectoriel $V$ muni de l’application $K$ -linéaire $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — réciproquement, toute paire $(V, u)$ avec $u \in \mathcal L(V)$ devient un $K[X]$ -module par $P \cdot x = P(u)(x)$ . Les [sous-modules](#def-b3-modules-module) sont précisément les sous-espaces $u$ -stables. Un [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) de $A$ est exactement un [sous-module](#def-b3-modules-module) de $A$ ; un [anneau quotient](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) $A/I$ est un $A$-module. Contrairement aux espaces vectoriels, les [modules](#def-b3-modules-module) peuvent avoir de la *[torsion](#def-b3-modules-torsion)* : dans $\Z/6\Z$, l’élément $\bar 3 \ne 0$ est tué par $2 \neq 0$. **Définition 3.3.** $M$ est *de type fini* si $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ pour certains $x_i$. $M$ est *libre* de rang $n$ si $M \cong A^n$, i.e. s’il a une *base* (une famille génératrice $A$-linéairement indépendante). Tout $M$ de type fini est un quotient d’un [module](#def-b3-modules-module) libre : $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ envoie $A^n$ sur $M$. **Proposition 3.4 (Invariance du rang).** Si $A \neq 0$ et $A^m \cong A^n$, alors $m = n$. **Démonstration.** Choisir un [idéal maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ de $A$ ([Théorème 2.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-krull)) et poser $k = A/\mathfrak m$, un corps. Un isomorphisme $f \colon A^m \to A^n$ envoie $\mathfrak m A^m$ dans $\mathfrak m A^n$ (linéarité), donc induit un isomorphisme de quotients $$ A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{i.e.}\qquad k^m \cong k^n $$ comme $k$-espaces vectoriels (le quotient $A^m/\mathfrak m A^m$ est tué par $\mathfrak m$, donc l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) de $A$ se factorise à travers $k$ ; les images de la base standard forment une $k$-base). La théorie de la dimension sur le corps $k$ donne $m = n$. ∎ **Théorème 3.5 (Sous-modules des modules libres).** Soit $A$ un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) et $M \subseteq A^n$ un [sous-module](#def-b3-modules-module). Alors $M$ est [libre](#def-b3-modules-free) de rang $\leq n$. **Démonstration.** Récurrence sur $n$. Pour $n = 1$ : $M$ est un [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal), donc $M = (0)$ ([libre](#def-b3-modules-free) de rang $0$) ou $M = dA \cong A$ ($x \mapsto dx$ est injectif : anneau intègre). Pour $n > 1$ : soit $\pi \colon A^n \to A$ la dernière coordonnée. Alors $\pi(M)$ est un [idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal), $(0)$ ou $dA$. Si $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ et la récurrence s’applique. Sinon choisir $x_0 \in M$ avec $\pi(x_0) = d$. Tout $x \in M$ s’écrit de façon unique $$ x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi $$ ($\pi(x) \in dA$, donc le coefficient est dans $A$). Ainsi $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : la somme est directe car $\pi(ax_0) = ad = 0$ force $a = 0$. Par récurrence $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ est [libre](#def-b3-modules-free) de rang $\leq n - 1$ ; adjoindre $x_0$ (indépendant de $\ker\pi$ comme on vient de le voir) donne une base de $M$ de cardinal $\leq n$. ∎ **Remarque 3.6.** Par conséquent, sur un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) tout [module](#def-b3-modules-module) $M$ [de type fini](#def-b3-modules-free) a une *présentation finie* : une surjection $\varphi\colon A^n \to M$ a un noyau [libre](#def-b3-modules-free) de base $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$), et $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ où $C \in M_{n,k}(A)$ est la matrice dont les colonnes sont les $c_j$. Comprendre $M$ signifie comprendre une *matrice sur $A$* à changement de bases près en source et but — le sujet de la section suivante. ## 3.2 Forme normale de Smith **Définition 3.7.** Deux matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ sont *équivalentes* si $C = QBP$ avec $Q \in GL_n(A)$, $P \in GL_k(A)$ (inversibles *sur $A$* : déterminant dans $A^\times$). Des matrices de présentation équivalentes définissent des [modules](#def-b3-modules-module) isomorphes $A^n/\operatorname{im}$ (changer de bases dans $A^n$ et $A^k$). **Théorème 3.8 (Forme normale de Smith).** Soit $A$ un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) et $B \in M_{n,k}(A)$. Alors $B$ est équivalente à une matrice diagonale $$ \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 , $$ et les $d_i$ sont uniques à [associés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-divisibility) près : $d_1 \cdots d_i$ est un pgcd des mineurs $i \times i$ de $B$ (en particulier ce pgcd est un invariant d’équivalence). Les $d_i$ sont les *facteurs invariants* de $B$. **Démonstration.** *Existence.* Si $B = 0$, terminé. Sinon, considérer l’ensemble des idéaux $(b)$ engendrés par les entrées de matrices équivalentes à $B$ ; comme $A$ est [noethérien](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-noetherian), choisir une matrice $B'$ équivalente à $B$ et une entrée $d$ de $B'$ avec $(d)$ *[maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal)* dans cet ensemble. Amener $d$ en position $(1,1)$ par échanges de lignes et de colonnes. *Affirmation : $d$ divise toute entrée de $B'$.* D’abord, colonne 1 : si $b_{i1}$ n’est pas multiple de $d$, soit $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), donc $(e) \supsetneq (d)$. Le tour de la matrice $2 \times 2$ : en agissant sur les lignes $1$ et $i$ par $$ \begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr) $$ on produit une matrice équivalente avec entrée $e$ en position $(1,1)$ : cela contredit la maximalité de $(d)$. Donc $d$ divise la colonne 1, et symétriquement la ligne 1. En soustrayant des multiples de la ligne 1 et de la colonne 1 on les nettoie : $B'$ est équivalente à $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. Ensuite, $d$ divise toute entrée $b$ de $B''$ : ajouter la ligne de $b$ à la ligne 1 (opération élémentaire ; la nouvelle première ligne contient $d$ et des entrées en $b$), et répéter l’argument de nettoyage de colonne : un non-multiple améliorerait encore $(d)$. Maintenant récurrence sur la taille : $B''$, dont toutes les entrées sont divisibles par $d$, a une forme de Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ dont les entrées restent divisibles par $d$ (toute entrée d’un $QB''P$ est une $A$-combinaison d’entrées de $B''$) ; poser $d_1 = d$. *Unicité.* Soit $D_i(B)$ un pgcd de tous les mineurs $i \times i$. Les opérations sur les lignes et colonnes, et plus généralement la multiplication par *toute* matrice, ne peuvent pas rétrécir le pgcd : les mineurs $i \times i$ de $QB$ sont des $A$-combinaisons de ceux de $B$ (développement de Cauchy–Binet ; ou directement : chaque ligne de $QB$ est une combinaison de lignes de $B$, et les mineurs sont multilinéaires en les lignes). Donc $D_i(QBP)$ et $D_i(B)$ se divisent l’un l’autre : $D_i$ est un invariant d’équivalence. Sur la forme diagonale, les mineurs $i \times i$ non nuls sont les produits de $i$ des $d_j$, et la divisibilité $d_1 \mid \dots \mid d_r$ fait de $d_1 \cdots d_i$ le pgcd. D’où $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ à unités près, et $d_i = D_i/D_{i-1}$ est déterminé. ∎ **Méthode 3.9.** Sur un [anneau euclidien](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$), la réduction de Smith est un algorithme — aucun argument de maximalité n’est nécessaire : amener l’entrée de plus petite taille euclidienne en position $(1,1)$ ; si elle ne divise pas une entrée de sa ligne ou colonne, une division euclidienne laisse un reste strictement plus petit là — l’y échanger et recommencer (terminaison : les tailles décroissent) ; quand elle divise toute sa ligne et colonne, les nettoyer ; si elle ne divise pas une entrée intérieure, ajouter cette ligne à la ligne $1$ et recommencer ; récurrence sur le bloc intérieur. En pratique sur des matrices entières : calculer $D_1 = \gcd$ des entrées, $D_2$, … via les mineurs pour les petites tailles, ou lancer l’algorithme. **Exemple 3.10 (Une réduction de Smith, en entier).** Réduire $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sur $\Z$. Le coin $1$ divise tout : nettoyer sa ligne et sa colonne ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$, puis $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$) : $$ M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} . $$ Dans le bloc intérieur, le coin $-3$ divise toutes les entrées : $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ et $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ le nettoient en $\operatorname{diag}(-3, 0)$. En ajustant les signes (multiplier une ligne par $-1$, opération légale) : $$ M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z . $$ Contrôle croisé par diviseurs déterminantaux : $D_1 = \gcd(\text{entrées}) = 1$ ; tout mineur $2\times2$ de $M$ est multiple de $3$ (p.ex. $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) et l’un vaut $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$. D’où $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$ : même réponse. Deux leçons : un facteur invariant nul enregistre la chute de rang (le conoyau ramasse un facteur [libre](#def-b3-modules-free) $\Z$), et la chaîne de divisibilité $1 \mid 3 \mid 0$ est le certificat de Smith — une réduction diagonale qui viole la chaîne (disons $\operatorname{diag}(2, 3)$, que l’imprudent peut produire de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ en s’arrêtant trop tôt : forme de Smith correcte $\operatorname{diag}(1, 6)$, car $D_1 = 1$ ici !) n’est pas terminée. ![Le sous-réseau L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (points rouges). La forme normale de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) est diag(1, 6) : dans la base adaptée f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2, on a L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, donc ℤ2/L ℤ/6ℤ — l’indice égale | | = 6, l’aire du domaine fondamental grisé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg) *Le sous-réseau $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (points rouges). La [forme normale de Smith](#thm-b3-modules-smith) de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ est $\operatorname{diag}(1, 6)$ : dans la base adaptée $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$, on a $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$, donc $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — l’indice égale $\abs{\det} = 6$, l’aire du domaine fondamental grisé.* ## 3.3 Le théorème de structure **Définition 3.11.** Soit $A$ un anneau intègre et $M$ un $A$-module. Le [sous-module](#def-b3-modules-module) de *torsion* est $$ T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ pour un certain } a \neq 0\} $$ (un [sous-module](#def-b3-modules-module) : si $ax = by = 0$ alors $ab(x + y) = 0$, $ab \ne 0$). $M$ est *sans torsion* si $T(M) = 0$, un *[module](#def-b3-modules-module) de torsion* si $T(M) = M$. **Théorème 3.12 (Structure des modules de type fini sur un PID).** Soit $A$ un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) et $M$ un $A$-module [de type fini](#def-b3-modules-free). Il existe un unique $r \in \N$ et des non nuls non inversibles $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$, uniques à [associés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-divisibility) près, avec $$ M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s). $$ De plus $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ et $M/T(M) \cong A^r$ : un [module de type fini](#def-b3-modules-free) *sans [torsion](#def-b3-modules-torsion)* sur un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) est [libre](#def-b3-modules-free). **Démonstration.** *Existence.* Présenter $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ ([Remarque 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) et mettre $C$ sous forme de Smith : après les deux changements de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. Écarter les facteurs où $d_i$ est une unité ($A/(d_i) = 0$) ; la chaîne de divisibilité survit. *L’identification de la [torsion](#def-b3-modules-torsion).* Dans la décomposition, $A^r$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) (un anneau intègre n’a pas de diviseurs de zéro) et chaque $A/(d_i)$ est de [torsion](#def-b3-modules-torsion) (tué par $d_i \ne 0$) ; une somme directe scinde la [torsion](#def-b3-modules-torsion) en conséquence : $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ et $M/T(M) \cong A^r$. *Unicité de $r$* : $M/T(M) \cong A^r$ ne dépend que de $M$, et la [Proposition 3.4](#prop-b3-modules-rank) fixe $r$. *Unicité des $d_i$* : il suffit de traiter le [module](#def-b3-modules-module) de [torsion](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$. Décomposer chaque $d_i$ en premiers et scinder par le théorème des restes chinois ([Théorème 2.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-crt) ; des premiers distincts engendrent des [idéaux comaximaux](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-crt)) : $$ A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr), $$ les *diviseurs élémentaires* $p^{k_{p,j}}$. Réciproquement les $d_i$ se reconstruisent à partir du multiensemble des [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) ($d_s =$ produit de la plus haute puissance de chaque premier, etc.), donc il suffit de prouver que le multiensemble $\{k_{p,j}\}_j$ est déterminé par $T$, pour chaque premier $p$. Fixer $p$ ; pour $j \geq 1$ considérer les $A/(p)$-espaces vectoriels $p^{j-1}T/p^jT$. Sur un facteur cyclique $A/(p^k)$ : $$ p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{si } j \leq k,\\ 0 & \text{si } j > k, \end{cases} $$ et sur un facteur $A/(q^k)$, $q \neq p$ : la multiplication par $p$ y est bijective ($p$ inversible mod $q^k$ : Bézout), donc le quotient est $0$. Les sommes directes passent : $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. Ces dimensions intrinsèques déterminent le multiensemble des exposants. ∎ **Corollaire 3.13 (Groupes abéliens de type fini).** Tout groupe abélien [de type fini](#def-b3-modules-free) est $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ avec $d_1 \mid \dots \mid d_s$, de façon unique. Tout groupe abélien *fini* est un produit de groupes cycliques d’ordre puissance de premier, unique comme multiensemble. **Exemple 3.14.** Les groupes abéliens d’ordre $p^n$ correspondent aux *partitions* de $n$ : pour $p^4$ : $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$, $(\Z/p)^4$ — cinq groupes, car $4$ a cinq partitions. Les ordres mixtes multiplient les comptes premier par premier (CRT) : il y a $5 \times 2$ groupes abéliens d’ordre $2^4 \cdot 3^2 = 144$. ## 3.4 Application : formes canoniques des endomorphismes Soit $K$ un corps, $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $u \in \mathcal L(V)$ ; faire de $V$ un $K[X]$-module via $P \cdot x = P(u)(x)$ ([Exemple 3.2](#ex-b3-modules-examples)). Ce [module](#def-b3-modules-module) est [de type fini](#def-b3-modules-free) (une $K$-base engendre) et de [torsion](#def-b3-modules-torsion) : pour chaque $x$, les $n+1$ vecteurs $x, u(x), \dots, u^n(x)$ sont $K$-liés, fournissant un polynôme annulateur non nul. **Définition 3.15.** Pour $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ unitaire, la *matrice compagnon* est $$ C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} : $$ la matrice de la « multiplication par $X$ » sur $K[X]/(P)$ dans la base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$. **Théorème 3.16 (Frobenius : forme canonique rationnelle).** Il existe une unique suite de polynômes unitaires non constants $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (les *invariants de similitude* de $u$) telle que, comme $K[X]$-modules, $$ V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s): $$ dans une base convenable, $u$ a pour matrice diagonale par blocs $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. De plus : 1. $P_s = \mu_u$ (polynôme minimal) et $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polynôme caractéristique) ; en particulier $\mu_u \mid \chi_u$ *(Cayley–Hamilton redémontré)* et $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , donc $\chi_u$ et $\mu_u$ ont les mêmes facteurs irréductibles. 2. Deux endomorphismes (ou matrices carrées) sont semblables ssi ils ont les mêmes [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) . **Démonstration.** Le théorème de structure ([Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure)) appliqué au [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$ : le [module](#def-b3-modules-module) de [torsion](#def-b3-modules-torsion) $V$ se décompose avec [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) $P_i$, normalisés unitaires (les unités de $K[X]$ sont $K^\times$) ; aucune partie [libre](#def-b3-modules-free) n’apparaît ($V$ est de [torsion](#def-b3-modules-torsion)). Sur chaque facteur cyclique $K[X]/(P_i)$, la multiplication par $X$ a pour matrice $C_{P_i}$ dans la base des puissances de $\bar X$ : en concaténant les bases on obtient la forme par blocs. (1) L’annulateur de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ est $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (chaîne de divisibilité : $P_s$ est un multiple commun, et la classe de $1$ dans le dernier facteur est tuée exactement par $(P_s)$) : $\mu_u = P_s$. Pour $\chi_u$ : sur un facteur cyclique, $\chi_{C_P} = P$, par récurrence sur $m = \deg P$. En développant $\det(XI_m - C_P)$ suivant la première ligne (dont les entrées sont $X$, puis des zéros, puis $a_0$ en dernière colonne) : $$ \det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L , $$ où $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (même forme, une taille en moins) et $L$ est triangulaire de diagonale $(-1, \dots, -1)$, donc $\det L = (-1)^{m-1}$. Par récurrence le premier terme est $X\tilde P$, et le second est $a_0$ : le total est $X\tilde P + a_0 = P$ (cas de base $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$). Les déterminants multiplient sur les blocs : $\chi_u = \prod P_i$. Cayley–Hamilton : $\chi_u \in (\mu_u)$ car $P_s \mid$ chaque… réciproquement chaque $P_i \mid P_s$, donc $\chi_u = \prod P_i$ divise $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; et $\mu_u = P_s$ divise $\chi_u$ comme l’un de ses facteurs. (2) Des endomorphismes semblables sont des structures de [modules](#def-b3-modules-module) conjuguées, donc ont des invariants égaux (unicité dans le [Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure)) ; réciproquement des invariants égaux donnent des $K[X]$-modules isomorphes, et un isomorphisme de [modules](#def-b3-modules-module) est exactement une bijection linéaire entrelaçant les deux endomorphismes : une similitude. ∎ **Corollaire 3.17 (La similitude est insensible à l’extension de corps).** Soient $K \subseteq L$ des corps et $M, N \in M_n(K)$. Si $M$ et $N$ sont semblables sur $L$, elles le sont sur $K$. **Démonstration.** Les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ se calculent par la formule des mineurs de Smith ([Théorème 3.8](#thm-b3-modules-smith)) appliquée à la matrice de présentation $XI_n - M$ sur $K[X]$ — en effet le $K[X]$-module $V_M = K^n$ a pour présentation $XI_n - M$ : l’application $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, est surjective de noyau engendré par les colonnes de $XI_n - M$ (vérification directe : modulo ces colonnes, tout élément de $K[X]^n$ se réduit à un vecteur constant, et les vecteurs constants s’envoient bijectivement ; le problème du week-end le détaille). Les pgcd de polynômes ne changent pas sous extension de corps : si $d$ est le pgcd unitaire dans $K[X]$ d’une famille $(f_j)$, Bézout donne $d = \sum u_jf_j$ avec $u_j \in K[X]$, donc tout diviseur commun des $f_j$ *dans $L[X]$* divise $d$ ; comme $d$ est lui-même un diviseur commun, c’est le pgcd dans $L[X]$ aussi. D’où les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) de $XI_n - M$, quotients de pgcd de mineurs successifs, sont les mêmes sur $K$ et sur $L$ : $M, N$ ont les mêmes [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) sur $L$ ssi sur $K$ ; conclure par le [Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎ **Théorème 3.18 (Forme de Jordan, redérivée).** Supposer que $\chi_u$ se scinde sur $K$ (p.ex. $K = \C$). En appliquant à $V$ la décomposition en [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) (démonstration du [Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure)) au lieu des [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) : $$ V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr), $$ et dans la base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de chaque facteur, $u$ agit comme le bloc de Jordan $J_k(\lambda)$ : tout endomorphisme à polynôme caractéristique scindé a une base de Jordan, et le multiensemble de blocs $(\lambda, k)$ est unique. **Démonstration.** Les [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) du [module](#def-b3-modules-module) de [torsion](#def-b3-modules-torsion) $V$ sont les $(X - \lambda)^k$ avec $X - \lambda$ parcourant les facteurs irréductibles de $\mu_u$ (qui se scinde, car $\chi_u$ le fait et les deux ont les mêmes facteurs irréductibles, [Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). Dans $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$, poser $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ pour $j = 1, \dots, k$ : alors $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (avec $f_0 = 0$), i.e. $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : la matrice de $u$ sur $(f_1, \dots, f_k)$ est exactement $J_k(\lambda)$ (des uns au-dessus de la diagonale). L’unicité du multiensemble des [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) est le [Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎ **Remarque 3.19.** La hiérarchie des formes canoniques est désormais transparente : la forme *rationnelle* existe sur tout corps et détecte la similitude de façon absolue ([Corollaire 3.17](#cor-b3-modules-descent)) ; la forme de *Jordan* en est le raffinement quand $\chi_u$ se scinde. Les démonstrations par dénombrement de dimensions du théorème de Jordan données en deuxième année sont absorbées : toute la combinatoire était l’arithmétique du [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$. ## 3.5 Exercices **Exercice 3.1 ★.** (a) Montrer que $\Q$ n’est pas [de type fini](#def-b3-modules-free) comme $\Z$-module. (b) Montrer que $\Q$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) mais non [libre](#def-b3-modules-free). (c) Pourquoi aucun des deux énoncés ne contredit-il le [Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure) ? **Solution de Exercice 3.1.** (a) Si $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$, soit $d$ un dénominateur commun des $q_i$ : toute combinaison vit dans $\frac1d\Z$, mais $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. Contradiction. (b) Sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) : $nq = 0$ avec $n \neq 0$ force $q = 0$ dans $\Q$. Non [libre](#def-b3-modules-free) : deux rationnels non nuls $\frac ab, \frac cd$ satisfont la relation non triviale $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$, donc une base a au plus un élément ; $\Q \cong \Z$ rendrait $\Q = \Z q$ cyclique, mais $\frac q2 \notin \Z q$. (Et $\Q \neq 0$.) (c) Le [Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure) suppose la *génération finie*, que (a) nie : pas de contradiction — plutôt, $\Q$ montre que l’hypothèse est nécessaire dans l’énoncé « sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [libre](#def-b3-modules-free) ». **Exercice 3.2 ★.** Lister les groupes abéliens d’ordre $360$ à isomorphisme près, sous les deux formes [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) et [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith). Combien y a-t-il de groupes abéliens d’ordre $p^5$ ? **Solution de Exercice 3.2.** $360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. Partitions : de $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; de $2$ : $(2), (1,1)$ ; de $1$ : $(1)$. D’où $3 \times 2 \times 1 = 6$ groupes. [Diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) : | $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ | | --- | --- | | $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ | (Pour passer aux [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) : le plus grand $d_s$ collecte la plus haute puissance de chaque premier, et ainsi de suite.) D’ordre $p^5$ : autant que de partitions de $5$, à savoir $7$. **Exercice 3.3 ★.** Calculer la [forme normale de Smith](#thm-b3-modules-smith) sur $\Z$ de $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}, $$ et identifier les groupes abéliens $\Z^2/B\Z^2$ et $\Z^3/C\Z^3$. **Solution de Exercice 3.3.** $B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$. [Facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$, $d_2 = 8/2 = 4$ : forme de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$, et $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$. $C$ : diagonale mais *pas* de Smith ($2 \nmid 3$). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$. Donc $d = (1, 6, 12)$ et $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — de façon cohérente avec le CRT : $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$. **Exercice 3.4 ★★.** Soit $L \subseteq \Z^n$ un sous-groupe de rang $n$ de base les colonnes de $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$. Montrer que $\Z^n/L$ est fini de cardinal $\abs{\det B}$, et que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ pour les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) $d_i$ de $B$. Illustrer avec $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$. **Solution de Exercice 3.4.** Écrire $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ avec $Q, P \in GL_n(\Z)$ ([Théorème 3.8](#thm-b3-modules-smith) ; aucun $d_i$ nul car $\det B \neq 0$). Alors $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (l’isomorphisme composé $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ envoie $B\Z^n$ sur $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). Son cardinal est $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$, car $\det Q, \det P = \pm 1$. Pour $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$, $D_1 = 1$, $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$, de cardinal $\abs{\det B} = 6$. **Exercice 3.5 ★★.** Soit $A$ un anneau intègre. (a) Vérifier que $T(M)$ est un [sous-module](#def-b3-modules-module) et que $M/T(M)$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion). (b) Montrer que l’[idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ de $K[X,Y]$, comme $K[X,Y]$-module, est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) mais non [libre](#def-b3-modules-free) : le théorème de structure a vraiment besoin de l’hypothèse [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd). **Solution de Exercice 3.5.** (a) [Sous-module](#def-b3-modules-module) : fait dans la [Définition 3.11](#def-b3-modules-torsion). Si $a(x + T(M)) = 0$ dans $M/T(M)$ avec $a \neq 0$, alors $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ pour un certain $b \neq 0$, et $ba \neq 0$ (anneau intègre), donc $x \in T(M)$ : la classe est nulle. $M/T(M)$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion). (b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) (un [sous-module](#def-b3-modules-module) de l’anneau intègre $K[X,Y]$ agissant sur lui-même). Supposons qu’il soit [libre](#def-b3-modules-free) ; deux éléments $P, Q$ satisfont $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$, une relation non triviale quand $P \ne Q$ sont non nuls, donc une base a un élément : $(X, Y) = (P)$ principal — contredisant [Exercice 2.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#exo-b3-rings-6)(a). Sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) et [de type fini](#def-b3-modules-free) ($X, Y$ engendrent), pourtant non [libre](#def-b3-modules-free) : sur le [non-PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) $K[X,Y]$, le théorème de structure échoue. **Exercice 3.6 ★★.** (a) Montrer que $2\Z$ n’a pas de supplémentaire direct dans le $\Z$-module $\Z$ : les [sous-modules](#def-b3-modules-module) des [modules libres](#def-b3-modules-free) sont [libres](#def-b3-modules-free) ([Théorème 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), mais ils n’ont pas besoin d’être des facteurs directs. (b) Montrer que si $M \subseteq A^n$ ($A$ un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd)) vérifie : $A^n/M$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion), alors $M$ *est* un facteur direct. **Solution de Exercice 3.6.** (a) Si $\Z = 2\Z \oplus C$, la projection $\Z \to \Z/2\Z$ se restreint en un isomorphisme $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ serait un sous-groupe de $\Z$ dont l’élément non nul $x$ vérifie $2x \in C \cap 2\Z = 0$. Mais $\Z$ est sans [torsion](#def-b3-modules-torsion) : $C = 0$, forçant $\Z = 2\Z$ — faux. (b) $A^n/M$ est [de type fini](#def-b3-modules-free) et sans [torsion](#def-b3-modules-torsion), donc [libre](#def-b3-modules-free) ([Théorème 3.12](#thm-b3-modules-structure)) : $A^n/M \cong A^r$ de base $f_1, \dots, f_r$. Choisir des antécédents $y_i \in A^n$ des $f_i$ et poser $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. Tout $x \in A^n$ a $\pi(x) = \sum a_if_i$, donc $x - \sum a_iy_i \in M$ : $A^n = M + F$. Si $\sum a_iy_i \in M$, appliquer $\pi$ donne $\sum a_if_i = 0$, d’où tous les $a_i = 0$ (base) : $M \cap F = 0$. Donc $A^n = M \oplus F$. **Exercice 3.7 ★★.** Résoudre dans $\Z^2$ le système $$ \begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases} $$ pour quelles paires $(b_1, b_2)$ des solutions existent, en utilisant la forme de Smith de [Exercice 3.3](#exo-b3-modules-3) (changements de variables inversibles des deux côtés). **Solution de Exercice 3.7.** La réduction de [Exercice 3.3](#exo-b3-modules-3) était effective : avec $$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} $$ (opération de ligne $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, opérations de colonne $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ puis $C_2 \leftarrow -C_2$). En posant $y = R^{-1}x$ (une bijection de $(\Z/20\Z)^2$, $R$ étant inversible sur $\Z$), le système $Bx \equiv b \pmod{20}$ est équivalent à $$ 2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}. $$ La congruence $ky \equiv c \pmod{20}$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ssi $\gcd(k, 20) \mid c$ : des solutions existent ssi $2 \mid b_1$ et $4 \mid b_2 - 3b_1$, i.e. *$b_1$ pair et $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$*. Quand c’est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) il y a $2 \times 4 = 8$ solutions modulo $20$. **Exercice 3.8 ★★.** (a) Déterminer tous les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) et [formes de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) possibles d’une matrice nilpotente $4 \times 4$, triés par la partition de $4$ qu’ils réalisent. (b) Exhiber deux matrices $4\times4$ complexes de mêmes polynômes caractéristique *et* minimal qui ne sont pas semblables, et prouver que pour $n \leq 3$ cela ne peut arriver. **Solution de Exercice 3.8.** (a) Un $u$ nilpotent a $\mu_u = X^k$ ; les [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) sont $X^{k_1} \geq \dots$, un bloc de Jordan $J_{k_i}(0)$ par part d’une partition de $4$ : | partition | [forme de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) | [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) | | --- | --- | --- | | $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ | | $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ | | $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ | | $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ | | $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ | (b) Prendre $u = J_2\oplus J_2$ et $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : tous deux ont $\chi = X^4$, $\mu = X^2$, mais des [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) différents — non semblables ([Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)) ; on peut aussi comparer les rangs : $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$. Pour $n \leq 3$ : $\chi$ et $\mu$ déterminent, pour chaque valeur propre $\lambda$ (sur un corps de scindage), la taille totale $m_\lambda \leq 3$ des blocs $\lambda$ et le plus grand bloc $r_\lambda$ ; une partition de $m \leq 3$ est déterminée par sa plus grande part ($m = 3, r = 2$ force $(2,1)$, etc.). Donc les [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) coïncident, et le [Corollaire 3.17](#cor-b3-modules-descent) descend la similitude au corps de base. **Exercice 3.9 ★★★.** Soit $u \in \mathcal L(V)$, $\dim V = n$. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents : (i) $V$ est un $K[X]$-module cyclique (il existe $x$ avec $V = K[u]x$, un *vecteur cyclique*) ; (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ dans le [Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). En déduire qu’une [matrice compagnon](#def-b3-modules-companion) a un vecteur cyclique, et déterminer quand une matrice diagonale en a un. **Solution de Exercice 3.9.** (i)$\Rightarrow$(ii) : si $V = K[u]x$, alors $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$, et $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (un polynôme tue $x$ ssi il tue tout $V = K[u]x$, car $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). Donc $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; comme $\mu_u \mid \chi_u$ et $\deg\chi_u = n$, l’unitarité donne $\mu_u = \chi_u$. (ii)$\Rightarrow$(iii) : $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ et $\mu_u = P_s$ ([Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)) ; l’égalité des degrés force $s = 1$. (iii)$\Rightarrow$(i) : $V \cong K[X]/(P_1)$ est cyclique, engendré par l’antécédent de $\bar 1$. Une [matrice compagnon](#def-b3-modules-companion) est le cas $V = K[X]/(P)$ lui-même : $x = \bar 1$, i.e. $e_1$, est cyclique. Pour une matrice diagonale $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$, $\mu = \prod_{\lambda \text{ distincts}} (X - \lambda)$ ; ils s’accordent ssi les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts : une matrice diagonale a un vecteur cyclique ssi ses entrées diagonales sont deux à deux distinctes (alors $x = (1, \dots, 1)$ marche : Vandermonde). **Exercice 3.10 ★★★.** Pour $M \in M_n(\Z)$ vue comme endomorphisme de $\Z^n$, démontrer la formule d’indice : si $\det M \ne 0$, alors $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$, et en déduire que $M \in GL_n(\Z)$ ssi $\det M = \pm 1$. Application : le groupe $\Z^2$ a exactement $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ sous-groupes d’indice $m$. *(Compter les matrices sous forme de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$, $ad = m$, $0 \leq b < d$.)* **Solution de Exercice 3.10.** Smith : $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; [Exercice 3.4](#exo-b3-modules-4) donne $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$. Si $\det M = \pm 1$ : la formule d’adjointe $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ a des entrées entières, donc $M \in GL_n(\Z)$ ; réciproquement $MM^{-1} = I$ donne $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ dans $\Z$, donc $\det M = \pm1$. Sous-groupes d’indice $m$ dans $\Z^2$ : un tel sous-groupe $L$ a rang $2$ (indice fini) et une base unique sous *forme normale de Hermite* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ est caractérisé par $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$, $a$ par $\pi_1(L) = a\Z$ (premières coordonnées), et $b$ est alors unique modulo $d$ ; normaliser $a, d > 0$ et $0 \leq b < d$. L’indice est $ad = m$. Dénombrement : pour chaque diviseur $d \mid m$ ($a = m/d$), il y a $d$ choix de $b$ : total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$. **Exercice 3.11 ★★.** (Équations $x^k = e$ dans les groupes abéliens) Soit $G$ un groupe abélien fini de [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$. (a) Montrer que pour tout $k \geq 1$, $$ \#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) . $$ (b) En déduire : un groupe abélien fini est cyclique si et seulement si pour tout $k$, l’équation $x^k = e$ a au plus $k$ solutions. (c) Retrouver la cyclicité des sous-groupes finis de $K^\times$ ($K$ un corps, [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#ch-b3-galois)) : pourquoi le polynôme $X^k - 1$ garantit-il le critère de (b) ? **Solution de Exercice 3.11.** (a) Par le théorème de structure, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, et $x^k = e$ se découple coordonnée par coordonnée. Dans $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ a exactement $\gcd(k, d)$ solutions ($x$ doit être un multiple de $d/\gcd(k,d)$, et il y en a $\gcd(k, d)$). Multiplier sur les facteurs. (b) Si $G = \Z/d_s\Z$ est cyclique ($s = 1$), le compte est $\gcd(k, d_s) \leq k$. Si $s \geq 2$ : prendre $k = d_1$ ; le compte est $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (chaque $\gcd$ égale $d_1$ par la chaîne de divisibilité) : l’équation $x^{d_1} = e$ a plus de $d_1$ solutions. (c) Dans un corps, $X^k - 1$ a au plus $k$ racines ([Chapitre 2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#ch-b3-rings) : un polynôme non nul de degré $k$ sur un anneau intègre), donc tout sous-groupe fini $G \leq K^\times$ satisfait le critère de (b) : $G$ est cyclique — la démonstration structurelle en une ligne de la cyclicité de $\mathbb F_q^\times$, complétant la démonstration par dénombrement du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#ch-b3-galois). **Exercice 3.12 ★★★.** (Les matrices élémentaires engendrent) (a) Montrer que $M \in M_n(\Z)$ est inversible dans $M_n(\Z)$ ssi $\det M = \pm1$. (b) Montrer que $SL_2(\Z)$ est engendré par les deux matrices élémentaires $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ et $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(Lancer l’algorithme d’Euclide sur la première colonne de $M \in SL_2(\Z)$ par multiplications à gauche par des puissances de $E, F$, en atteignant $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; finir à la main — noter $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) Expliquer le lien avec la réduction de Smith : sur $\Z$, des opérations sur les lignes et colonnes de déterminant $1$ suffisent à diagonaliser, aux signes près. **Solution de Exercice 3.12.** (a) Si $MN = I$ avec $N$ entière : $\det M\det N = 1$ avec les deux entiers, donc $\det M = \pm1$. Réciproquement si $\det M = \pm1$, la formule des cofacteurs $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ a des entrées entières. (b) La multiplication à gauche par $E^{-k}$ soustrait $k$ fois la ligne $2$ de la ligne $1$ ; par $F^{-k}$, $k$ fois la ligne $1$ de la ligne $2$. Étant donné $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$, la première colonne $(a, c)$ est un vecteur unimodulaire ($\gcd(a, c) = 1$ : il divise $\det M = 1$). Lancer Euclide sur $(a, c)$ par ces opérations de lignes : après un nombre fini d’étapes la colonne devient $(\pm1, 0)$. La matrice est maintenant $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr) = \pm E^{b}$ (le déterminant est resté $1$). Il reste à écrire $-I$ dans les générateurs : $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (vérifier le carré de la matrice de rotation). En déroulant, $M$ est un mot en $E^{\pm1}, F^{\pm1}$. (c) L’algorithme de Smith ([Méthode 3.9](#met-b3-modules-smith)) utilise exactement de telles opérations de lignes et de colonnes (plus échanges et changements de signe, eux-mêmes produits d’opérations élémentaires à signes près) : sur $\Z$, on diagonalise par des matrices de $SL_n(\Z)$ (à signes près). ## 3.6 Problème : le commutant et le bicommutant **Problème 3.1.** Problème du week-end — forme rationnelle, commutant, bicommutant Soit $K$ un corps, $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \geq 1$, et $u \in \mathcal L(V)$. On étudie le *commutant* $$ \mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\}, $$ une sous-algèbre de $\mathcal L(V)$ contenant $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$, et l’on démontre la formule de dimension de Frobenius et le théorème du bicommutant : $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. Tout au long, $V$ est le $K[X]$-module défini par $u$, de [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ et de décomposition cyclique $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$, $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$, $n_i = \deg P_i$ ([Théorème 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). **Partie I — La matrice de présentation $XI - M$, et échauffements.** 1. Soit $M \in M_n(K)$ et soit $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ l’application envoyant $(Q_1, \dots, Q_n)$ sur $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Montrer que $\varphi$ est un morphisme surjectif de $K[X]$ -modules et que toute colonne de $XI_n - M$ vit dans $\ker\varphi$ . 2. Montrer que, modulo les colonnes de $XI_n - M$ , tout élément de $K[X]^n$ est congruent à un vecteur constant *(réduire les degrés en utilisant $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* , et en déduire $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : le [module](#def-b3-modules-module) $V_M$ a pour matrice de présentation $XI_n - M$ . Retrouver le point de départ du [Corollaire 3.17](#cor-b3-modules-descent) : les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ sont les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) non unités de $XI_n - M$ . 3. Calculer les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) de : une matrice scalaire $\lambda I_n$ ; une matrice diagonale à entrées diagonales distinctes ; le bloc de Jordan $n \times n$ $J_n(0)$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ pour $n = 3$ . 4. Montrer que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ . **Partie II — Morphismes entre [modules](#def-b3-modules-module) cycliques.** 5. Soient $P, Q$ unitaires non constants. Montrer qu’un $K[X]$ -morphisme $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ est déterminé par $f(\bar 1)$ , et que $\bar c \in K[X]/(Q)$ peut servir de $f(\bar 1)$ ssi $P\bar c = 0$ dans $K[X]/(Q)$ . 6. En déduire $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ de dimension $\deg \gcd(P, Q)$ sur $K$. *(Montrer que les solutions $\bar c$ de $P\bar c = 0$ dans $K[X]/(Q)$ forment le [sous-module](#def-b3-modules-module) cyclique engendré par $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$.)* 7. Démontrer la *formule de Frobenius* : $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(Un $v$ qui commute est exactement un $K[X]$-endomorphisme de $V$ ; décomposer $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ en matrices de morphismes $V_j \to V_i$ et utiliser la chaîne de divisibilité.)* 8. En déduire $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , avec égalité ssi $u$ est cyclique ( $s = 1$ ), et calculer $\dim\mathcal C(u)$ pour $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : les deux extrêmes de la formule. 9. Vérifier la formule de Frobenius directement pour $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ en calculant le commutant explicitement comme matrices $3\times3$ . **Partie III — Le théorème du bicommutant.** Soit $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; on prouve $w \in K[u]$. 10. Montrer $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , et que tout $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ commute avec $u$ — donc l’inclusion à prouver, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , est un véritable affûtage de $w \in \mathcal C(u)$ . 11. Supposer d’abord que $u$ est *cyclique* , $V = K[u]x$ . Montrer directement que $\mathcal C(u) = K[u]$ *(évaluer un $v$ qui commute sur $x$ : $v(x) = P(u)x$ pour un certain $P$, et comparer $v$ avec $P(u)$ sur la base $u^k x$)* , et conclure le théorème dans ce cas. 12. Retour au cas général. Pour chaque $i$ , soit $\pi_i \colon V \to V_i$ la projection le long des autres facteurs. Montrer $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , et en déduire que $w$ préserve chaque $V_i$ et commute avec $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; conclure via la question 11 appliquée au $u_i$ cyclique : il existe des polynômes $Q_i$ avec $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ . 13. Il reste à coller les $Q_i$ en un seul polynôme. Pour $i \leq j$ (donc $P_i \mid P_j$ ), montrer que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , est un $K[X]$ -morphisme bien défini *(ce qu’il faut vérifier est que $R(u)x_j = 0$ implique $R(u)x_i = 0$)* , et que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , étendu par $0$ sur les autres facteurs, vit dans $\mathcal C(u)$ . 14. En utilisant $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$, montrer $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ pour $i \leq j$. En déduire que $Q = Q_s$ vérifie $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ pour tout $i$, donc $w = Q(u)$ sur chaque $V_i$, donc sur $V$ : $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$ 15. (Coda) En déduire du théorème : si $v$ commute avec *toute* matrice qui commute avec $u$ , et $u$ est cyclique, alors $v$ est un polynôme en $u$ ; et donner un exemple montrant que $\mathcal C(u) = K[u]$ échoue pour $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — où exactement la cyclicité entre-t-elle ? **Partie IV — Dividendes des [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius).** La forme canonique rationnelle est une machine ; voici cinq de ses sorties classiques. 16. (Transposée) Montrer que toute $M \in M_n(K)$ est semblable à sa transposée ${}^tM$ . *(Les opérations qui amènent $XI - M$ sous forme de Smith, transposées, amènent $XI - {}^tM$ à la même forme de Smith : [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) égaux.)* 17. (Descente de la similitude) Soient $K \subseteq L$ une extension de corps et $M, N \in M_n(K)$ . Montrer que si $M$ et $N$ sont semblables sur $L$ , elles le sont sur $K$ . *(La forme de Smith de $XI - M$ calculée dans $K[X]$ est encore une forme de Smith dans $L[X]$ — pourquoi les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) ne changent-ils pas ?)* Conséquence digne d’être mémorisée : deux matrices réelles conjuguées dans $GL_n(\C)$ le sont dans $GL_n(\R)$ . 18. (Classification des nilpotents) Soit $u$ nilpotent. Montrer que le nombre de blocs de taille $\geq k$ dans sa décomposition en blocs de Jordan nilpotents égale $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , et en déduire : les classes nilpotentes de $M_n(K)$ , pour tout corps $K$ , sont en bijection avec les partitions de $n$ . Combien de classes nilpotentes dans $M_5(K)$ ? 19. (Une paire concrète) Déterminer les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) de la dérivation $D\colon P \mapsto P'$ agissant sur l’espace $K_{n-1}[X]$ des polynômes de degré $< n$ : (a) pour $K = \Q$ ; (b) pour $K = \mathbb F_p$ avec $p < n$ *(en caractéristique $p$, $(X^p)' = 0$ : calculer $\ker D^k$ et utiliser la question 18)* . 20. ( [Classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) En utilisant les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) , montrer que toute classe de $GL_2(\mathbb F_q)$ est d’exactement l’un des quatre types : centrale $aI$ ; diagonalisable à deux valeurs propres distinctes $a \neq b$ dans $\mathbb F_q^\times$ ; non [semi-simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) de polynôme minimal $(X - a)^2$ ; cyclique de polynôme caractéristique irréductible. 21. Compter les classes de chaque type et conclure : $GL_2(\mathbb F_q)$ a exactement $q^2 - 1$ [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) . *(Compter les quadratiques unitaires irréductibles sur $\mathbb F_q$ ; paires non ordonnées $\{a, b\}$ ; se souvenir que l’inversibilité contraint les termes constants.)* 22. (Cyclique est générique) Montrer que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ échoue à être cyclique ssi $M$ est scalaire, et en déduire qu’une matrice $2\times2$ uniformément aléatoire sur $\mathbb F_q$ est cyclique avec probabilité $1 - q^{-3}$ . Énoncer l’heuristique analogue pour $M_n$ et $q$ grand (aucune démonstration requise) : les matrices non cycliques sont rares — c’est pourquoi la partie III du [Problème 3.1](#pb-b3-modules-1) n’a nécessité un vrai travail qu’au-delà du cas générique. **Partie V — Compléments.** 23. ( [Centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) du commutant) Montrer que le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de l’algèbre $\mathcal C(u)$ est exactement $K[u]$ *(combiner les deux inclusions de la partie III)* . En déduire que $\mathcal C(u)$ est commutative ssi $u$ est cyclique — retrouvant le cas d’égalité de la question 8 par une voie purement structurelle. 24. (Quelles dimensions apparaissent ?) Déduire de la formule de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ pour tout $u$ . Puis déterminer l’ensemble exact des valeurs prises par $\dim \mathcal C(u)$ quand $u$ parcourt $\mathcal L(V)$ avec $\dim V = 4$ : montrer que c’est $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ *(énumérer les suites de degrés $n_1 \leq \dots \leq n_s$ sommant à $4$ et réaliser chacune par un nilpotent)* . En particulier $12$ et $14$ , bien que de la bonne parité, ne sont pas atteints : la contrainte de parité est nécessaire mais non suffisante. 25. ([Équation aux classes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#cor-b3-groups-classeq) de $GL_2(\mathbb F_3)$) Pour $q = 3$, calculer la taille de chaque [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de la question 20 via orbite–stabilisateur : le centralisateur d’une $M$ *cyclique* dans $GL_2(\mathbb F_q)$ est le groupe des unités de $K[M]$ (question 11). Identifier $K[M]$ dans les trois types non centraux, lister les trois quadratiques unitaires irréductibles sur $\mathbb F_3$, et vérifier l’[équation aux classes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ avec $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, comme prédit par la question 21. **Solution de Problème 3.1.** **1.** $\varphi$ est additive, et $K[X]$-linéaire : $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, la structure de [module](#def-b3-modules-module) de $V_M$ étant $X \cdot v = Mv$. Elle est surjective : les vecteurs constants donnent tout $K^n$. La colonne $j$ de $XI - M$ est $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$, dont l’image est $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$. **2.** Modulo les colonnes, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : tout vecteur de polynômes se réduit, par récurrence sur le degré [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal), à un vecteur *constant* $c \in K^n$. Si le vecteur original est dans $\ker\varphi$, alors $\varphi(c) = c = 0$ (sur les constantes, $\varphi$ est l’identification $K^n = V_M$), donc le vecteur vit dans l’espace des colonnes : $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$. D’où $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, et Smith sur $K[X]$ (tous les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) non nuls, leur produit étant $\det(XI - M) = \chi_M$) donne $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : les $f_i$ non constants sont les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius), calculables comme quotients de pgcd de mineurs ([Théorème 3.8](#thm-b3-modules-smith)). **3.** $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ est déjà de Smith : invariants $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, $n$ d’entre eux. Entrées diagonales distinctes : $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ à [modules](#def-b3-modules-module) deux à deux [comaximaux](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-crt), donc le CRT comprime en le seul cyclique $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : un invariant, $\chi$. $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ force un seul invariant $X^n$. $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : [diviseurs élémentaires](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$ : invariants $P_1 = X \mid P_2 = X^2$. **4.** $P \mapsto P(u)$ envoie $K[X]$ sur $K[u]$, de noyau $(\mu_u)$ par définition du polynôme minimal : $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$, de dimension $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$. **5.** La $K[X]$-linéarité force $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$. La classe $\bar 1$ vérifie $P \bar 1 = 0$, donc $P f(\bar 1) = 0$ est nécessaire. Réciproquement si $P\bar c = 0$, alors $f(\bar Q) = Q\bar c$ est bien défini ($Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ multiples de $P\bar c = 0$) et $K[X]$-linéaire. **6.** Soit $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$, $Q = gQ'$ avec $\gcd(P', Q') = 1$. Dans $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclide, $\gcd(P', Q') = 1$). Donc les $\bar c$ admissibles forment le [sous-module](#def-b3-modules-module) engendré par $\bar{Q'}$, dont l’annulateur est $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : ce [sous-module](#def-b3-modules-module) est $\cong K[X]/(g)$. Avec la question 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, de dimension $\deg\gcd(P,Q)$. **7.** $v$ commute avec $u$ ssi $v$ commute avec tout $P(u)$, ssi $v$ est $K[X]$-linéaire : $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$. En écrivant les morphismes de $V = \bigoplus_j V_j$ comme matrices $(f_{ij})$, $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (composer avec injections et projections), la question 6 donne $$ \dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k , $$ en utilisant la chaîne de divisibilité ($\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$) et, pour la dernière étape, que $\min(i,j) = k$ arrive pour exactement $2(s - k) + 1$ paires $(i, j)$. **8.** Comme $2(s-k)+1 \geq 1$, $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$, avec égalité ssi $s = 1$, i.e. ssi $u$ est cyclique ([Exercice 3.9](#exo-b3-modules-9)). Pour $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$, tous les $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correct, car $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$. **9.** Formule : invariants $(X, X^2)$, donc $s = 2$, $n_1 = 1$, $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. Directement : dans la base $(e_1, e_2, e_3)$ avec $u e_2 = e_1$, $ue_1 = ue_3 = 0$, écrire $Au = uA$ pour $A = (a_{ij})$ donne les conditions $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ et $a_{11} = a_{22}$ : cinq paramètres [libres](#def-b3-modules-free) $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$. **10.** Un polynôme $P(u)$ commute avec tout ce qui commute avec $u$ (c’est une somme de puissances de $u$) : $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. Et $u \in \mathcal C(u)$, donc tout $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ commute avec $u$. **11.** Soit $V = K[u]x$ et $v \in \mathcal C(u)$. Écrire $v(x) = P(u)x$ (cyclicité). Pour $y = Q(u)x$ arbitraire : $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. Donc $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$. Alors $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (commuter avec tout $K[u]$ est la même chose que commuter avec $u$). Le théorème vaut dans le cas cyclique. **12.** $\pi_i$ est $K[X]$-linéaire (la décomposition est une somme directe de [sous-modules](#def-b3-modules-module)), donc $\pi_i \in \mathcal C(u)$, et $w$ commute avec lui : $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$. La restriction $w_i = w\restriction_{V_i}$ commute avec le cyclique $u_i = u\restriction_{V_i}$ (question 10), et $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (question 11) : $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ pour un certain $Q_i \in K[X]$. **13.** Bonne définition de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : si $R(u)x_j = 0$ alors $P_j \mid R$, et $P_i \mid P_j$ donne $P_i \mid R$, donc $R(u)x_i = 0$ ($\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$). $\eta_{ij}$ est alors $K[X]$-linéaire par construction, et $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ est une composition de $K[X]$-morphismes $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$. **14.** Évaluer $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ en $x_j$ : le membre de gauche est $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; le membre de droite est $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. D’où $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ pour tout $i \leq j$. En particulier, avec $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, donc $Q(u)$ et $Q_i(u)$ s’accordent sur $V_i$ (que $P_i(u)$ tue). Par conséquent $w = Q(u)$ sur chaque $V_i$, donc sur $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$, et avec la question 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. **15.** La première assertion est les questions 10–14 (ou, pour $u$ cyclique, la question 11 seule). Pour $u = \mathrm{id}$, $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ a dimension $n^2$, tandis que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. Donc $\mathcal C(u) = K[u]$ échoue gravement ; pourtant le théorème du bicommutant vaut ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de l’algèbre des matrices est les scalaires). La cyclicité est ce qui rend le *seul* commutant déjà polynomial ; le *double* commutant est polynomial toujours. **16.** Si $P(XI - M)Q = S$ est une réduction de Smith ($P, Q$ inversibles sur $K[X]$), en transposant on obtient ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : même forme de Smith, donc $XI - M$ et $XI - {}^tM$ ont les mêmes [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith), i.e. $M$ et ${}^tM$ ont les mêmes [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) ([Corollaire 3.17](#cor-b3-modules-descent)) : elles sont semblables. **17.** Les [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ sur $L$ sont les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) de $XI - M$ dans $L[X]$. Une réduction de Smith de $XI - M$ sur $K[X]$ — $P, Q$ inversibles sur $K[X]$, diagonale avec la chaîne de divisibilité — est *aussi* une réduction de Smith valide sur $L[X]$ ($P, Q$ restent inversibles : leurs déterminants sont des constantes non nulles), et les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) unitaires sont uniques : les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) calculés sur $K$ et sur $L$ coïncident. Donc $M \sim_L N$ ssi elles ont les mêmes [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) ssi $M \sim_K N$. En particulier des matrices réelles $\C$-conjuguées sont $\R$-conjuguées — un énoncé souvent démontré analytiquement (spécialiser un $P + \iu Q$ inversible), ici structurellement. **18.** Décomposer $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ en blocs de Jordan nilpotents. Dans un bloc de taille $m$, $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, donc $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ si $m \geq k$, $0$ sinon. En sommant sur les blocs : $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$. La suite des rangs détermine donc le multiensemble $(m_t)$ — une partition de $n$ — et réciproquement chaque partition est réalisée : classes nilpotentes $\leftrightarrow$ partitions de $n$, sur tout corps. $M_5$ : $p(5) = 7$ classes ($5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$). **19.** (a) Sur $\Q$ (ou tout corps de caractéristique $0$), $D^n = 0$, $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ est nilpotente d’indice $n$ sur un espace de dimension $n$, donc cyclique d’unique invariant $X^n$ ($x = X^{n-1}$ engendre : ses dérivées itérées engendrent). (b) Sur $\mathbb F_p$ avec $p < n$ : $D^p = 0$, car la $p$-ième dérivée de tout monôme $X^m$ porte le facteur $m(m-1)\cdots(m-p+1)$, un produit de $p$ entiers consécutifs, donc $\equiv 0 \bmod p$. Écrire $n = ap + r$, $0 \leq r < p$. Alors $\ker D^k$ est engendré par les monômes $X^m$ avec $D^kX^m = 0$ ; en comptant les exposants $m < n$ par leur résidu mod $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ pour $0 \leq k \leq p$, donc $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$. Par la question 18, la partition a $a$ blocs de taille exactement $p$ et (si $r > 0$) un bloc de taille $r$ : [invariants de similitude](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. La caractéristique change la forme canonique de l’opérateur le plus familier des mathématiques. **20.** $M \in GL_2$ a $s \in \{1, 2\}$ [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith). Si $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ($a \neq 0$ : inversibilité), i.e. $M = aI$, central. Si $s = 1$ : $M$ est cyclique de caractéristique $=$ polynôme minimal $\chi$ de degré $2$, et les classes correspondent aux $\chi$ possibles avec $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ scindé à racines distinctes $a \neq b$ (compagnon $\sim$ diagonale) ; $\chi = (X - a)^2$ (compagnon, non [semi-simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple)) ; $\chi$ irréductible. Exactement un type chacun — les [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) sont un invariant complet. **21.** Central : $q - 1$ choix de $a$. Valeurs propres scindées distinctes : paires non ordonnées $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$, $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ classes. Minimal $(X-a)^2$ : $q - 1$ classes. Quadratiques irréductibles à terme constant non nul : toutes les quadratiques irréductibles conviennent (leurs racines sont non nulles), et il y a $\frac{q^2 - q}2$ moniques irréductibles de degré $2$ (les $q^2$ moniques de degré $2$ moins les $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ scindés). Total : $$ (q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 . $$ **22.** Si $M$ n’est pas cyclique, $s = 2$ et $M$ est scalaire (la dichotomie de la question 20 vaut dans $M_2$, inversible ou non : deux [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith) de degré $1$ avec $P_1 \mid P_2$ et $P_1 = P_2$ force $M = aI$). Les scalaires sont au nombre de $q$ parmi les $q^4$ matrices : probabilité cyclique $1 - q^{-3}$. En général le lieu non cyclique de $M_n$ est où les mineurs $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ partagent un facteur — une condition algébrique propre — donc sa proportion est $O(1/q)$-petite pour $q$ grand : les matrices avec $\chi = \mu$ sont la règle, et l’argument de collage de la partie III est le prix payé pour les exceptions. **23.** Un élément du [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $\mathcal C(u)$ vit dans $\mathcal C(u)$ et commute avec tout élément de $\mathcal C(u)$, i.e. vit dans $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (question 14). Réciproquement $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, et tout $P(u)$ commute avec tout $v \in \mathcal C(u)$ (un tel $v$ commute avec $u$, donc avec chaque puissance de $u$) : $K[u]$ est central dans $\mathcal C(u)$. D’où $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$. Par conséquent $\mathcal C(u)$ est commutative ssi $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; dans ce cas $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, tandis que la question 8 donne $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : donc $n_s = n$ et $s = 1$, i.e. $u$ est cyclique. Réciproquement, pour $u$ cyclique la question 11 donne $\mathcal C(u) = K[u]$, commutative. Structurellement : une algèbre de matrices égale à son propre [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) est exactement une algèbre de polynômes $K[u]$ d’un $u$ cyclique. **24.** Chaque coefficient $2s - 2i + 1$ dans la formule de Frobenius est impair, donc $$ \dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^{s}(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^{s} n_i = n \pmod 2 . $$ Pour $n = 4$, les suites de degrés possibles $n_1 \leq \dots \leq n_s$ des [facteurs invariants](#thm-b3-modules-smith), sommant à $4$, sont $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 1, 1, 1)$ ; chacune est réalisée, p.ex. par le nilpotent avec $P_i = X^{n_i}$ (la chaîne de divisibilité vaut automatiquement). La formule donne, respectivement, $$ 1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 . $$ Donc l’ensemble des valeurs est $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : des nombres pairs de la bonne parité, mais $12$ et $14$ n’apparaissent jamais — entre les suites quasi cycliques et le $n^2$ du scalaire il y a un trou. **25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$. Type central : $I$ et $2I$, deux classes de taille $1$. Dans les trois autres types $M$ est cyclique (question 20), donc son centralisateur dans $GL_2$ est le groupe des éléments inversibles de $\mathcal C(M) = K[M]$ (question 11), et la taille de classe $=48/\abs{K[M]^\times}$ par orbite–stabilisateur. Valeurs propres scindées distinctes : seule la paire $\{1, 2\}$, une classe ; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (CRT sur $\chi = (X-1) (X-2)$), unités $2 \cdot 2 = 4$, taille $48/4 = 12$. Minimal $(X - a)^2$, $a \in \{1, 2\}$ : deux classes ; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, unités $q^2 - q = 6$ (terme constant de l’unité $\neq 0$ après centrage), taille $48/6 = 8$. $\chi$ irréductible : les moniques irréductibles de degré $2$ sur $\mathbb F_3$ sont au nombre de $(9 - 3)/2 = 3$, à savoir $$ X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2, $$ (pas de racines dans $\mathbb F_3$ : vérifier $0, 1, 2$) ; trois classes, $K[M] \cong \mathbb F_9$, unités $q^2 - 1 = 8$, taille $48/8 = 6$. [Équation aux classes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#cor-b3-groups-classeq) : $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; et $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, en accord avec la question 21.