--- title: "Extensions de corps et théorie de Galois" book: "Mathématiques universitaires — Licence 3" subject: math language: fr chapter: 4 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois --- # Chapitre 4 — Extensions de corps et théorie de Galois Toute équation se résout-elle par radicaux, comme le suggèrent la formule quadratique et les formules cubiques de Cardan ? Peut-on trisecter un angle à la règle et au compas ? Les deux questions, ouvertes pendant des siècles, reçoivent — négativement — leur réponse d’une seule idée d’Évariste Galois : attacher à tout polynôme un *groupe* fini de symétries de ses racines, et lire la réponse sur le groupe. Ce chapitre construit le dictionnaire : [extensions de corps](#def-b3-galois-extension) et [degré](#def-b3-galois-extension), [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting), [corps finis](#thm-b3-galois-finitefields), séparabilité, et la correspondance fondamentale de Galois. On en tire les applications classiques : les corps cyclotomiques, l’impossibilité de la trisection et de la duplication du cube, et le théorème que l’équation générale de [degré](#def-b3-galois-extension) $n \geq 5$ n’est pas [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux — où la simplicité de $A_n$ ([Théorème 1.33](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-ansimple)), démontrée dans le chapitre de théorie des groupes, ferme le compte tricentenaire ouvert par la formule du second [degré](#def-b3-galois-extension) et les tentatives de Cardan, Ferrari et leurs successeurs au seizième siècle. ## 4.1 Extensions, degré, algébricité **Définition 4.1.** Une *extension de corps* $L/K$ est un corps $L$ contenant $K$ comme sous-corps. Alors $L$ est un $K$-espace vectoriel ; sa dimension, le *degré* $[L:K]$, peut être finie ou infinie. Si $A \subseteq L$, on note $K(A)$ le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et $A$ ; pour $A = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$ on écrit $K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$. Une extension est *[simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple)* si $L = K(\alpha)$ pour un certain $\alpha$. **Théorème 4.2 (Tour des degrés).** Si $K \subseteq M \subseteq L$ sont des corps, alors $[L:K] = [L:M]\,[M:K]$ (avec la convention $\infty \cdot n = \infty$). **Démonstration.** Si l’un des [degrés](#def-b3-galois-extension) est infini, le produit l’est aussi (un $K$-espace de dimension finie ne peut contenir un sous-espace de dimension infinie, ni un quotient de dimension infinie). Si les deux sont finis, soit $(m_i)$ une $K$-base de $M$ et $(\ell_j)$ une $M$-base de $L$ : les produits $m_i\ell_j$ forment une $K$-base de $L$ (engendrer : tout $x \in L$ s’écrit $\sum a_j\ell_j$ avec $a_j \in M$, et chaque $a_j = \sum b_{ij}m_i$ ; indépendance : $\sum_{i,j} c_{ij}m_i\ell_j = 0$ se regroupe en $\sum_j\bigl(\sum_i c_{ij}m_i\bigr)\ell_j = 0$, d’où chaque coefficient $M$-linéaire s’annule, puis chaque $c_{ij}$). ∎ **Définition 4.3.** Soit $L/K$ une extension et $\alpha \in L$. L’élément $\alpha$ est *algébrique* sur $K$ s’il existe $P \in K[X]\setminus\{0\}$ avec $P(\alpha) = 0$ ; sinon il est *transcendant*. L’extension $L/K$ est *algébrique* si tout élément de $L$ est algébrique sur $K$. Le *polynôme minimal* $\mu_{\alpha, K}$ (ou $\mu_\alpha$) d’un $\alpha$ algébrique est le monique générateur de l’[idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) $\{P \in K[X] : P(\alpha) = 0\}$ (principal car $K[X]$ est un [PID](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd)) ; il est irréductible. **Théorème 4.4 (Extensions simples algébriques).** Soit $\alpha$ [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$ de [degré](#def-b3-galois-extension) $n = \deg\mu_\alpha$. Alors $K(\alpha) \cong K[X]/(\mu_\alpha)$ via $P \mapsto P(\alpha)$, et $\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}$ est une $K$-base de $K(\alpha)$ : $[K(\alpha):K] = n$. En particulier $\alpha$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) ssi $[K(\alpha):K] < \infty$. **Démonstration.** L’évaluation $K[X] \to K[\alpha]$, $P \mapsto P(\alpha)$, est un morphisme d’anneaux surjectif de noyau $(\mu_\alpha)$ : le premier théorème d’isomorphisme donne $K[\alpha] \cong K[X]/(\mu_\alpha)$. Comme $\mu_\alpha$ est irréductible, l’[idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) $(\mu_\alpha)$ est [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) et $K[\alpha]$ est un corps : donc $K[\alpha] = K(\alpha)$. La base des puissances modulo un polynôme de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ donne la $K$-base annoncée. Réciproquement si $[K(\alpha):K] = n < \infty$, les $n+1$ éléments $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ sont $K$-liés, d’où un polynôme annulateur. ∎ **Corollaire 4.5.** (a) Si $[L:K] < \infty$, alors $L/K$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic). (b) Les éléments de $L$ [algébriques](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$ forment un sous-corps (la *[clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) relative* de $K$ dans $L$). (c) Si $K \subseteq M \subseteq L$ avec $M/K$ et $L/M$ [algébriques](#def-b3-galois-algebraic), alors $L/K$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic). **Démonstration.** (a) Pour $\alpha \in L$, $K(\alpha) \subseteq L$ a [degré](#def-b3-galois-extension) fini, donc $\alpha$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) par le [Théorème 4.4](#thm-b3-galois-simple). (b) Si $\alpha, \beta$ sont [algébriques](#def-b3-galois-algebraic), $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)(\beta)$ a [degré](#def-b3-galois-extension) fini par la tour ($[K(\alpha):K] < \infty$ et $[K(\alpha,\beta):K(\alpha)] \leq \deg\mu_{\beta,K} < \infty$), donc tout élément de $K(\alpha, \beta)$ — en particulier $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha^{-1}$ — est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic). (c) Pour $\alpha \in L$, $\mu_{\alpha, M} = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ a coefficients dans $M$, chacun [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$ ; le corps $F = K(a_0, \dots, a_{n-1}, \alpha)$ a [degré](#def-b3-galois-extension) fini sur $K$ (tour + adjonction de $\alpha$), donc $\alpha$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$. ∎ **Exemple 4.6.** $[\Q(\iu):\Q] = 2$ ($\mu = X^2 + 1$) ; $[\Q(\sqrt[3]{2}):\Q] = 3$ ($X^3 - 2$ irréductible par [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria)) ; $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$ (tour : $[\Q(\sqrt2):\Q] = 2$, et $X^2 - 3$ reste irréductible sur $\Q(\sqrt2)$ car $3$ n’y est pas un carré). Un élément transcendant : $\pi$ sur $\Q$ (théorème de Lindemann, admis ici : sa démonstration dépasse ce cours) ; alors $\Q(\pi) \cong \Q(X)$, de [degré](#def-b3-galois-extension) infini. ## 4.2 Corps de décomposition ; clôture algébrique **Théorème 4.7 (Corps de décomposition).** Soit $P \in K[X]$ non constant. Il existe une extension $L/K$, unique à $K$-isomorphisme près, dans laquelle $P$ se scinde en facteurs linéaires et qui est engendrée sur $K$ par les racines de $P$ : le *corps de décomposition* de $P$ sur $K$. De plus $[L:K] \leq (\deg P)!$. **Démonstration.** *Existence.* Récurrence sur $n = \deg P$. Factoriser $P = P_1\cdots P_r$ en irréductibles ; adjoindre une racine $\alpha$ de $P_1$ via $K(\alpha) \cong K[X]/(P_1)$ ; dans $K(\alpha)[X]$, $P = (X - \alpha)Q$, et le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $Q$ sur $K(\alpha)$ (récurrence) est un [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $P$ sur $K$. *Unicité.* Soient $L, L'$ deux [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting), $P = c\prod(X - \alpha_i)$ dans $L$ et $P = c\prod(X - \alpha_i')$ dans $L'$. Un $K$-plongement $K(\alpha_1) \to L'$ envoyant $\alpha_1$ sur une racine $\alpha_j'$ de $P$ dans $L'$ (il en existe car $P$ a une racine dans $L'$) s’étend, par récurrence sur le nombre de racines, en un $K$-isomorphisme $L \to L'$ (les deux sont engendrés par les racines, et le plongement envoie racines sur racines). *Borne de [degré](#def-b3-galois-extension).* À chaque étape d’adjonction d’une racine d’un facteur irréductible de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$, le [degré](#def-b3-galois-extension) croît d’un facteur $d \leq n$ ; en $n$ étapes, $[L:K] \leq n!$. ∎ **Définition 4.8.** Un corps $K$ est *algébriquement clos* si tout $P \in K[X]$ non constant a une racine dans $K$ (équivalemment : se scinde en linéaires dans $K[X]$). Une *clôture algébrique* de $K$ est une extension [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) algébriquement close de $K$. **Théorème 4.9 (Steinitz).** Tout corps admet une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure), unique à isomorphisme près. **Démonstration.** *Existence (construction d’Artin).* Soit $R = K[(X_f)_f]$ l’anneau des polynômes en une indéterminée $X_f$ par monique non constant $f \in K[X]$, et $I$ l’[idéal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-ideal) engendré par tous les $f(X_f)$. $I$ est propre : une relation $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ n’implique qu’un nombre fini de polynômes ; dans un [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) commun $E$ de $f_1\cdots f_r$ choisir des racines $\alpha_i$ de $f_i$ et évaluer $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (les autres variables $\mapsto 0$) : $1 = 0$, absurde. Soit $\mathfrak m \supseteq I$ [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) ([Théorème 2.8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-krull) ; Zorn) et $K_1 = R/\mathfrak m$ : une [extension de corps](#def-b3-galois-extension) de $K$ dans laquelle tout $f \in K[X]$ non constant a une racine, à savoir $\bar X_f$, et qui est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$ (engendrée par les $\bar X_f$, chacun [algébrique](#def-b3-galois-algebraic)). Itérer : $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, où $K_{n+1}$ fait à $K_n$ ce que $K_1$ a fait à $K$, et poser $\Omega = \bigcup_n K_n$, un corps. Tout $g \in \Omega[X]$ non constant a ses coefficients finiment nombreux dans un certain $K_n$ ; un facteur irréductible de $g$ sur $K_n$ a une racine dans $K_{n+1} \subseteq \Omega$ : $\Omega$ est [algébriquement clos](#def-b3-galois-closure), et [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur $K$ (chaque $K_n$ l’est, par transitivité, [Corollaire 4.5](#cor-b3-galois-algclosed)) : $\Omega$ est une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure). *Unicité.* Soient $\Omega, \Omega'$ deux [clôtures algébriques](#def-b3-galois-closure). Considérer l’ensemble des paires $(E, \tau)$ où $K \subseteq E \subseteq \Omega$ et $\tau\colon E \to \Omega'$ est un $K$-plongement, ordonné par extension ; il est non vide ($(K, \mathrm{id})$) et inductif (réunion d’une chaîne), donc Zorn donne un [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) $(E_0, \tau_0)$. Si $E_0 \neq \Omega$, choisir $\alpha \in \Omega\setminus E_0$ : $\pi_{\alpha/E_0}$ s’envoie sur un polynôme sur $\tau_0(E_0)$ ayant une racine $\beta$ dans l’[algébriquement clos](#def-b3-galois-closure) $\Omega'$, et $\tau_0$ s’étend à $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), contredisant la maximalité. Donc il existe un $K$-plongement $\tau \colon \Omega \to \Omega'$ ; son image, isomorphe à $\Omega$, est algébriquement close, et $\Omega'$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) sur elle : pour $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se scinde sur $\tau(\Omega)$, donc $x \in \tau(\Omega)$. Ainsi $\tau$ est surjectif : un isomorphisme. ∎ **Remarque 4.10.** $\C$ est [algébriquement clos](#def-b3-galois-closure) (d’Alembert–Gauss, démontré dans le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#ch-b3-holomorphic)). Une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) $\overline \Q$ de $\Q$ s’identifie au sous-corps de $\C$ des nombres [algébriques](#def-b3-galois-algebraic) ; elle est dénombrable, de [degré](#def-b3-galois-extension) infini sur $\Q$. On fixe désormais, quand c’est commode, une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) $\overline K$ de $K$ et l’on travaille à l’intérieur : tous les [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) et toutes les extensions [algébriques](#def-b3-galois-algebraic) considérés seront implicitement des sous-corps de $\overline K$. ## 4.3 Corps finis **Théorème 4.11.** Soit $p$ premier, $n \geq 1$, $q = p^n$. 1. Un [corps fini](#thm-b3-galois-finitefields) a pour cardinal une puissance de premier, et pour chaque $q$ il existe exactement un corps $\mathbb F_q$ à $q$ éléments à isomorphisme près : le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $X^q - X$ sur $\mathbb F_p$ . 2. Le *Frobenius* $F \colon x \mapsto x^p$ est un automorphisme de $\mathbb F_q$ , et le groupe des automorphismes de $\mathbb F_q$ est cyclique d’ordre $n$ , engendré par $F$ . 3. $\mathbb F_{p^m}$ se plonge dans $\mathbb F_{p^n}$ ssi $m \mid n$ . **Démonstration.** (1) Un [corps fini](#thm-b3-galois-finitefields) $E$ a caractéristique $p > 0$ et est un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension finie : $\abs E = p^n$. Son groupe multiplicatif a ordre $q - 1$, donc tout $x \in E$ vérifie $x^q = x$ : $E$ consiste en $q$ racines de $X^q - X$, d’où c’est un [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de celui-ci sur $\mathbb F_p$ — déterminant $E$ à isomorphisme près ([Théorème 4.7](#thm-b3-galois-splitting)). Réciproquement, dans un [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^q - X$, l’ensemble $E$ de ses racines est un *sous-corps* : $(x + y)^q = x^q + y^q$ en itérant le rêve du débutant $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), et $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$ ; il a exactement $q$ éléments car $X^q - X$ est [séparable](#def-b3-galois-separable) : sa dérivée est $qX^{q-1} - 1 = -1$ (car $p \mid q$), première avec lui, donc pas de racines multiples. Ainsi $L = E$ a $q$ éléments. (2) $F$ est un morphisme de corps (même rêve du débutant) et injectif (noyau trivial), donc un automorphisme sur le fini $\mathbb F_q$. Les points fixes de $F^k$ sont les racines de $X^{p^k} - X$, au nombre de $p^k$ : $F$ a ordre exactement $n$ dans $\operatorname{Aut}(\mathbb F_q)$. Or $\abs{\operatorname {Aut}(\mathbb F_q)} \leq n$ (un automorphisme est déterminé par l’image d’un générateur primitif de l’extension de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ sur $\mathbb F_p$) : le groupe est exactement $\langle F \rangle$, cyclique d’ordre $n$. (3) $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$ ssi $X^{p^m} - X$ divise $X^{p^n} - X$ ssi $m \mid n$ (critère de divisibilité des polynômes $X^{p^a} - X$ : écrire $n = mq + r$ et comparer les cardinaux des corps fixes de $F^m$ et $F^n$). ∎ **Théorème 4.12 (Cyclicité de Fq×\mathbb F_q^\timesFq×​).** Le groupe multiplicatif d’un [corps fini](#thm-b3-galois-finitefields) est cyclique. **Démonstration.** Soit $G = \mathbb F_q^\times$, d’ordre $q - 1$. Par le théorème de structure ([Corollaire 3.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#cor-b3-modules-abelian)), $G \cong \Z/d_1\Z \times \cdots \times \Z/d_s\Z$ avec $d_1 \mid \dots \mid d_s$. L’exposant de $G$ est $d_s$ : tout élément vérifie $x^{d_s} = 1$. Mais le polynôme $X^{d_s} - 1$ a au plus $d_s$ racines dans un corps, et $G$ en fournit $q - 1 = |G| = d_1\cdots d_s$ ; donc $d_1\cdots d_s \leq d_s$, forçant $s = 1$ et $G$ cyclique. (C’est le critère de [Exercice 3.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#exo-b3-modules-11).) ∎ **Exemple 4.13.** $\mathbb F_8 = \mathbb F_2[X]/(X^3 + X + 1)$ (le polynôme est irréductible sur $\mathbb F_2$ : pas de racine). Si $\omega = \bar X$, alors $\omega^3 = \omega + 1$, et $\mathbb F_8^\times = \langle \omega \rangle$ d’ordre $7$. Les sous-corps de $\mathbb F_{p^n}$ sont exactement les $\mathbb F_{p^d}$ pour $d \mid n$ (car $\mathbb F_{p^d} \subseteq \mathbb F_{p^n}$ ssi $X^{p^d} - X$ divise $X^{p^n} - X$ ssi $d \mid n$). Plus généralement, l’unique sous-corps de $\mathbb F_{q}$ de cardinal $p^d$ (quand $d \mid n$ et $q = p^n$) est le corps fixe de $\varphi^d$, où $\varphi$ est le [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $x \mapsto x^p$ ; le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p) = \langle \varphi \rangle$ est cyclique d’ordre $n$, ce qui rend la [correspondance de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) particulièrement transparente dans le cas fini : un unique sous-corps par diviseur de $n$. ## 4.4 Séparabilité et plongements **Définition 4.14.** Un polynôme irréductible $P \in K[X]$ est *séparable* s’il n’a pas de racine multiple dans une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) (équivalemment $P' \neq 0$, ou $\gcd(P, P') = 1$). Un [élément algébrique](#def-b3-galois-algebraic) est séparable si son [polynôme minimal](#def-b3-galois-algebraic) l’est ; une extension [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) est séparable si tout élément l’est. **Proposition 4.15.** Sur un corps de caractéristique $0$, tout irréductible est [séparable](#def-b3-galois-separable). Sur un [corps fini](#thm-b3-galois-finitefields), aussi. Plus généralement, un corps est *parfait* (tout irréductible est [séparable](#def-b3-galois-separable)) ssi il est de caractéristique $0$ ou, en caractéristique $p$, si le [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $x \mapsto x^p$ est surjectif. **Démonstration.** Si $P$ irréductible a une racine multiple, alors $\gcd(P, P') = P$ (car $\gcd$ est non trivial et $P$ irréductible), donc $P' = 0$. En caractéristique $0$, $P' = 0$ force $P$ constant. En caractéristique $p$, $P' = 0$ ssi $P \in K[X^p]$ : $P = \sum a_i X^{ip}$. Si le [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) est surjectif, $a_i = b_i^p$ et $P = (\sum b_i X^i)^p$, contredisant l’irréductibilité sauf si $\deg = 0$. Les [corps finis](#thm-b3-galois-finitefields) ont un [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) bijectif ([corps fini](#thm-b3-galois-finitefields)). Réciproquement, si $a \in K$ n’est pas une puissance $p$-ième, $X^p - a$ est irréductible (ou une puissance d’un irréductible inséparable) : $K$ n’est pas [parfait](#prop-b3-galois-perfect). ∎ **Proposition 4.16 (Nombre de plongements).** Soit $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ une extension finie [séparable](#def-b3-galois-separable) de $K$, et $\overline K$ une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure). Le nombre de $K$-plongements $L \hookrightarrow \overline K$ égale $[L:K]$. **Démonstration.** Récurrence sur $n$. Pour $L = K(\alpha)$ [séparable](#def-b3-galois-separable) de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$, les $K$-plongements $L \hookrightarrow \overline K$ correspondent bijectivement aux racines de $\mu_\alpha$ dans $\overline K$ : il y en a $d = [L:K]$ (séparabilité : $d$ racines distinctes, chacune définit un unique plongement par $\alpha \mapsto$ cette racine). En général, $L = M(\alpha_n)$ avec $M = K(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1})$ ; par récurrence $M$ a $[M:K]$ plongements dans $\overline K$. Chacun de ces plongements $\tau \colon M \to \overline K$ s’étend en $[L:M]$ plongements de $L$ : appliquer le cas [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) à $\mu_{\alpha_n, M}$ sur le corps $\tau(M)$, qui reste [séparable](#def-b3-galois-separable) (même [polynôme minimal](#def-b3-galois-algebraic), ou conjugué). Total : $[L:M][M:K] = [L:K]$ par la [tour des degrés](#thm-b3-galois-tower). ∎ **Théorème 4.17 (Élément primitif).** Toute extension finie [séparable](#def-b3-galois-separable) est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) : $L = K(\alpha)$ pour un certain $\alpha$ (un *élément primitif*). **Démonstration.** Si $K$ est infini : il suffit de traiter $L = K(\alpha, \beta)$. Soit $\mu_\alpha, \mu_\beta$ les minimaux, de racines $\alpha = \alpha_1, \dots, \alpha_r$ et $\beta = \beta_1, \dots, \beta_s$ dans $\overline K$ (distinctes par séparabilité). Choisir $c \in K$ évitant les finiement nombreuses valeurs $(\alpha_i - \alpha_1)/(\beta_1 - \beta_j)$ pour $i \geq 1$, $j \geq 2$ ; poser $\gamma = \alpha + c\beta$. Alors $K(\gamma) \subseteq K(\alpha, \beta)$, et $\beta$ est la seule racine commune de $\mu_\beta(Y)$ et $\mu_\alpha(\gamma - cY)$ (toute autre $\beta_j$ donnerait $\gamma - c\beta_j = \alpha_i$ pour un $i$, d’où $c = (\alpha_i - \alpha)/(\beta - \beta_j)$ interdit) : donc $\mu_{\beta, K(\gamma)}$ divise un polynôme de [degré](#def-b3-galois-extension) $1$, $\beta \in K(\gamma)$, $\alpha = \gamma - c\beta \in K(\gamma)$. Si $K$ est fini, $L$ aussi, et $L^\times$ est cyclique ([Théorème 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)) : un générateur $\alpha$ vérifie $L = K(\alpha)$. ∎ ## 4.5 La correspondance de Galois **Définition 4.18.** Une extension finie $L/K$ est *galoisienne* (ou *normale et [séparable](#def-b3-galois-separable)*) si elle est [séparable](#def-b3-galois-separable) et si tout polynôme irréductible de $K[X]$ ayant une racine dans $L$ se scinde entièrement dans $L$ (normalité). Le *groupe de Galois* est $$ \operatorname{Gal}(L/K) = \{\sigma \colon L \to L : \sigma \text{ automorphisme, } \sigma|_K = \mathrm{id}\}. $$ **Proposition 4.19.** Pour $L/K$ finie [séparable](#def-b3-galois-separable), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $L/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) ; (ii) $L$ est le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) d’un [polynôme séparable](#def-b3-galois-separable) sur $K$ ; (iii) $|\operatorname{Gal}(L/K)| = [L:K]$ ; (iv) le corps fixe $L^G = \{x \in L : \sigma(x) = x\ \forall \sigma \in G\}$ égale $K$, où $G = \operatorname{Gal}(L/K)$. **Démonstration.** (i)$\Rightarrow$(ii) : par l’élément primitif, $L = K(\alpha)$ ; $\mu_\alpha$ est [séparable](#def-b3-galois-separable) et se scinde dans $L$ (normalité, une racine $\alpha \in L$), et $L$ est engendré par les racines (les conjugués de $\alpha$ engendrent la même extension). (ii)$\Rightarrow$(iii) : tout $K$-plongement $L \hookrightarrow \overline K$ envoie racines sur racines, donc stabilise $L$ : c’est un élément de $\operatorname{Gal}(L/K)$. Par la [Proposition 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) il y en a $[L:K]$. (iii)$\Rightarrow$(iv) : $K \subseteq L^G$ toujours ; $L/L^G$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) de groupe $G$ (tout $\sigma \in G$ fixe $L^G$), donc $|G| = [L:L^G]$ par le sens (ii)$\Rightarrow$(iii) déjà prouvé pour le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) — plus proprement : par Artin ci-dessous, $[L:L^G] = |G|$ ; donc si $|G| = [L:K]$ alors $L^G = K$. (iv)$\Rightarrow$(i) : séparabilité de $L/K$ : pour $\alpha \in L$, le polynôme $\prod_{\sigma \in G/\operatorname{Stab}(\alpha)} (X - \sigma\alpha)$ est dans $K[X]$ (coefficients fixes par $G$, donc dans $L^G = K$), annule $\alpha$, et est [séparable](#def-b3-galois-separable) ; donc $\mu_\alpha$ est [séparable](#def-b3-galois-separable). Normalité : un $K$-plongement de $L$ dans $\overline K$ envoie $\alpha$ sur un conjugué $\sigma\alpha \in L$, donc stabilise $L$. ∎ **Lemme 4.20 (Artin).** Soit $G$ un groupe fini d’automorphismes d’un corps $L$, et $K = L^G$. Alors $L/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) de groupe $G$, et $[L:K] = |G|$. **Démonstration.** Pour $\alpha \in L$, le polynôme $P = \prod_{\sigma \in G/\operatorname{Stab}(\alpha)}(X - \sigma\alpha)$ est dans $K[X]$ (les coefficients sont $G$-invariants), monique, [séparable](#def-b3-galois-separable), et annule $\alpha$ : $L/K$ est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) [séparable](#def-b3-galois-separable). De plus $L$ est normale sur $K$ (tout $K$-plongement envoie $\alpha$ sur un conjugué $\sigma\alpha \in L$). Ainsi $L/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois). Or $G \subseteq \operatorname{Gal}(L/K)$, donc $|G| \leq |\operatorname{Gal}(L/K)| = [L:K]$. Pour l’autre inégalité, on invoque l’indépendance des caractères de Dedekind : des morphismes de groupes distincts $\chi_i \colon L^\times \to L^\times$ sont $L$-linéairement indépendants comme applications $L \to L$. En particulier les $|G|$ automorphismes de $G$ sont $K$-linéairement indépendants, donc $\dim_K L \geq |G|$. Combinant les deux inégalités : $[L:K] = |G|$ et $G = \operatorname{Gal}(L/K)$. ∎ **Théorème 4.21 (Correspondance fondamentale de Galois).** Soit $L/K$ [galoisienne](#def-b3-galois-galois) finie de groupe $G = \operatorname{Gal}(L/K)$. Il y a une bijection $$ \{\text{sous-corps } K \subseteq M \subseteq L\} \;\longleftrightarrow\; \{\text{sous-groupes } H \leq G\}, $$ donnée par $M \mapsto \operatorname{Gal}(L/M)$ et $H \mapsto L^H$, inverses l’une de l’autre. De plus : 1. $H_1 \subseteq H_2 \iff L^{H_1} \supseteq L^{H_2}$ (renversement des inclusions) ; 2. $[L:L^H] = |H|$ et $[L^H:K] = [G:H]$ ; 3. $H$ est [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) dans $G$ ssi $L^H/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) , et alors $\operatorname{Gal}(L^H/K) \cong G/H$ . **Démonstration.** Pour $H \leq G$, le lemme d’Artin donne $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$ et $[L:L^H] = |H|$. Pour un sous-corps $M$, $L/M$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) : [séparable](#def-b3-galois-separable) (sous-extension d’une [séparable](#def-b3-galois-separable)) et normale (tout $M$-plongement de $L$ dans $\overline K$ est un $K$-plongement, donc un élément de $G$, qui stabilise $L$). Le groupe $\operatorname{Gal}(L/M) \leq G$ a pour corps fixe $M$ par la [Proposition 4.19](#prop-b3-galois-galoisorder)(iv). Les deux applications sont donc mutuellement inverses. (1) est clair par construction. (2) : $[L:L^H] = |H|$ et la [tour des degrés](#thm-b3-galois-tower) donnent $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = |G|/|H| = [G:H]$. (3) : pour $\sigma \in G$, le conjugué $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$. Donc $H$ est [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) dans $G$ ssi $\sigma(L^H) = L^H$ pour tout $\sigma$ ssi tout $K$-plongement de $L^H$ (restriction d’un élément de $G$) stabilise $L^H$ ssi $L^H/K$ est normale (la séparabilité est automatique). Alors le morphisme de restriction $G \to \operatorname{Gal}(L^H/K)$ est surjectif (tout automorphisme de $L^H/K$ s’étend à $L$ car $L/L^H$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois)) de noyau $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$, d’où $\operatorname{Gal}(L^H/K) \cong G/H$. ∎ ![La correspondance de Galois renverse les inclusions : aux sous-corps K ⊂eq M_i ⊂eq L répondent les sous-groupes \e\ ⊂eq H_i = Gal(L/M_i) ⊂eq G = Gal(L/K), avec (L:M_i) = |H_i| et (M_i:K) = (G:H_i).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-galois/fig-87f8fb1239dc.svg) *La [correspondance de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) renverse les inclusions : aux sous-corps $K \subseteq M_i \subseteq L$ répondent les sous-groupes $\{e\} \subseteq H_i = \operatorname{Gal}(L/M_i) \subseteq G = \operatorname{Gal}(L/K)$, avec $[L:M_i] = |H_i|$ et $[M_i:K] = [G:H_i]$.* ## 4.6 Extensions cyclotomiques **Définition 4.22.** Soit $n \geq 1$. Le $n$-ième *polynôme cyclotomique* est $$ \Phi_n(X) = \prod_{\substack{1 \leq k \leq n\\ \gcd(k,n)=1}} \bigl(X - \eu^{2\iu\pi k/n}\bigr) \in \C[X]. $$ Le $n$-ième *corps cyclotomique* est $\Q(\zeta_n)$ où $\zeta_n = \eu^{2\iu\pi/n}$. **Théorème 4.23.** $\Phi_n \in \Z[X]$ est irréductible sur $\Q$, de [degré](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$. L’extension $\Q(\zeta_n)/\Q$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) de groupe $(\Z/n\Z)^\times$, via $\sigma_k \colon \zeta_n \mapsto \zeta_n^k$ pour $\gcd(k,n) = 1$. **Démonstration.** $X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X)$ (partition des racines selon l’ordre). Par récurrence de Möbius, $\Phi_n \in \Z[X]$ (diviser dans $\Z[X]$ par les $\Phi_d$ unitaires pour $d < n$). Irréductibilité : soit $P$ le facteur irréductible unitaire de $\Phi_n$ dans $\Z[X]$ annulant $\zeta = \zeta_n$, et $q$ un premier ne divisant pas $n$. On montre que $\zeta^q$ est aussi racine de $P$. Sinon $P$ et $\Phi_n$ donneraient, modulo $q$, un facteur commun avec $X^n - 1$ et sa dérivée $nX^{n-1}$ (via $(\zeta^q$ racine de $\Phi_n/P$), d’où une racine multiple de $X^n - 1$ mod $q$, impossible car $q \nmid n$. Donc tous les $\zeta^k$ avec $\gcd(k,n)=1$ (produits de tels premiers) sont racines de $P$ : $P = \Phi_n$. Galois : $\Q(\zeta_n)$ est le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $X^n - 1$ ([séparable](#def-b3-galois-separable), $nX^{n-1}$ premier à $X^n-1$ en caractéristique $0$). Le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) s’injecte dans $(\Z/n\Z)^\times$ via $\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^{k(\sigma)}$, et l’ordre $[\Q(\zeta_n):\Q] = \deg\Phi_n = \varphi(n) = |(\Z/n\Z)^\times|$ force la surjectivité. ∎ ## 4.7 Règle et compas **Définition 4.24.** Identifier le plan à $\C$ ; partir de $\{0, 1\}$. Un point est *constructible* s’il s’obtient par un nombre fini d’intersections de droites passant par deux points déjà construits et de cercles centrés en un point construit de rayon une distance de deux points construits. **Théorème 4.25 (Wantzel).** $z \in \C$ est [constructible](#def-b3-galois-constructible) ssi il existe une tour $\Q = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_r$ avec $[F_{i+1} : F_i] = 2$ et $z \in F_r$. En particulier, un [nombre constructible](#def-b3-galois-constructible) est [algébrique](#def-b3-galois-algebraic) de [degré](#def-b3-galois-extension) une puissance de $2$ sur $\Q$. **Démonstration.** ($\Rightarrow$) Les coordonnées de l’intersection de deux droites passant par des points à coordonnées dans un sous-corps $F \subseteq \R$ résolvent un système linéaire sur $F$ : elles restent dans $F$. Les intersections droite–cercle et cercle–cercle conduisent, après élimination de la partie linéaire (soustraire les deux équations de cercles donne une droite), à une équation quadratique sur $F$ : les nouvelles coordonnées vivent dans $F$ ou dans $F(\sqrt d)$ pour un $d \in F$, $d > 0$. Par récurrence, tout point construit a ses coordonnées dans une tour d’extensions quadratiques de $\Q$ ; et $z = x + \iu y$ est dans une tour quadratique aussi (adjoindre $\iu$ : une étape quadratique de plus). Conséquence sur le [degré](#def-b3-galois-extension) : $[\Q(z):\Q]$ divise $[F_r : \Q] = 2^r$ ([loi de la tour](#thm-b3-galois-tower)). ($\Leftarrow$) Les [nombres constructibles](#def-b3-galois-constructible) forment un corps : sommes et différences par parallélogrammes (les parallèles sont [constructibles](#def-b3-galois-constructible) : abaisser et relever deux perpendiculaires — la perpendiculaire classique par un point utilise un cercle et deux arcs) ; produits et quotients par des configurations d’intercept de Thalès (données les longueurs $a, b$, construire $ab$ et $a/b$ avec des triangles semblables sur deux rayons). Et le corps est stable par racines carrées : pour $a > 0$, le cercle de diamètre $1 + a$ et la perpendiculaire au point de jonction se rencontrent à hauteur $\sqrt a$ (relation altitude–moyenne géométrique dans un triangle rectangle) ; pour un complexe $w = \rho\eu^{\iu\theta}$, construire $\sqrt\rho$ et bissecter $\theta$ (la bissection d’angle est une construction au compas). Les parties réelle et imaginaire des membres d’une tour quadratique sont donc [constructibles](#def-b3-galois-constructible) par récurrence sur la tour : chaque étape adjoint des racines d’une quadratique, exprimables par opérations de corps et une racine carrée d’un nombre déjà construit (la formule quadratique ; en caractéristique $0$). ∎ **Corollaire 4.26.** Les trois problèmes classiques sont insolubles à la règle et au compas : 1. *Duplication du cube* : $\sqrt[3]2$ a [degré](#def-b3-galois-extension) $3$ , non puissance de $2$ . 2. *Trisection de l’angle* : trisecter $60^\circ$ demande $\cos 20^\circ$ , racine de l’irréductible $8X^3 - 6X - 1$ : [degré](#def-b3-galois-extension) $3$ . 3. *Quadrature du cercle* : $\sqrt\pi$ est transcendant ( $\pi$ l’est — théorème de Lindemann, admis ici : sa preuve relève d’un cours de théorie de la transcendance). De plus, le $n$-gone régulier est [constructible](#def-b3-galois-constructible) ssi $\varphi(n)$ est une puissance de $2$ (Gauss–Wantzel ; le « si » utilise la méthode du problème du week-end, le « seulement si » est le [Théorème 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) appliqué à $\zeta_n$, de [degré](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$). Pour $n = 7$ : $\varphi(7) = 6$ : le heptagone régulier est impossible ; pour $n = 17$ : $\varphi(17) = 16 = 2^4$ : [constructible](#def-b3-galois-constructible) — le problème du week-end le construit. **Démonstration.** (1) $X^3 - 2$ est irréductible ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria)). (2) De $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ avec $3\theta = 60^\circ$ : $8c^3 - 6c = 1$ pour $c = \cos 20^\circ$ ; le cubique $8X^3 - 6X - 1$ n’a pas de racine rationnelle (les candidats $\pm1, \pm\frac12, \pm\frac14, \pm\frac18$ échouent), donc est irréductible : [degré](#def-b3-galois-extension) $3$. Un angle de $60^\circ$ général est [constructible](#def-b3-galois-constructible), donc un trisecteur construirait $c$. (3) Si $\sqrt\pi$ était [constructible](#def-b3-galois-constructible), il serait [algébrique](#def-b3-galois-algebraic), donc aussi $\pi$. L’énoncé sur le $n$-gone : le [degré](#def-b3-galois-extension) de $\zeta_n$ est $\varphi(n)$ ([Théorème 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred)) ; la nécessité suit de Wantzel ; pour la suffisance, le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois), abélien d’ordre $2^m$, admet une chaîne de sous-groupes d’indice $2$ (un $2$-groupe fini le fait : [Exercice 1.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-10)), dont les corps fixes forment une tour quadratique aboutissant à $\Q(\zeta_n)$ ([Théorème 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)) ; conclure par le [Théorème 4.25](#thm-b3-galois-wantzel). ∎ ## 4.8 Résolubilité par radicaux **Définition 4.27.** Une extension $L/K$ est *radicale* s’il existe une tour $K = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_m = L$ avec $K_{i+1} = K_i(\sqrt[n_i]{a_i})$ pour certains $a_i \in K_i$, $n_i \geq 1$. Un polynôme $P \in K[X]$ est *[résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux* si son [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans une extension radicale de $K$. **Lemme 4.28.** Soit $K$ contenant une racine primitive $n$-ième de l’unité $\zeta$, i.e. $\zeta$ d’ordre $n$ dans $K^\times$, et $a \in K^\times$. Alors $K(\sqrt[n]a)/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) de groupe *cyclique*. Réciproquement — non utilisée ci-dessous — toute extension cyclique de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ est de cette forme. De plus $K(\zeta_n)/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) de groupe *abélien*, pour tout $K$ de caractéristique $0$. **Démonstration.** $X^n - a$ est [séparable](#def-b3-galois-separable) ($\gcd$ avec $nX^{n-1}$ : $a \neq 0$) et se scinde dans $K(\alpha)$, $\alpha^n = a$ : ses racines sont les $\zeta^k\alpha \in K(\alpha)$. Donc $K(\alpha)/K$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) ; l’application $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)/\alpha \in \mu_n = \langle \zeta\rangle$ est un morphisme injectif ($\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha)/\alpha \cdot \alpha) = (\sigma(\alpha)/\alpha)\,(\tau(\alpha)/\alpha)\,\alpha$), donc $G$ s’injecte dans un groupe cyclique : il est cyclique. L’extension cyclotomique $K(\zeta_n)/K$ est le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $X^n - 1$, [séparable](#def-b3-galois-separable) en caractéristique $0$ ; un automorphisme envoie $\zeta_n$ sur $\zeta_n^k$ avec $\gcd(k, n) = 1$, et la composition des morphismes $k$ est multiplicative : le groupe s’injecte dans $(\Z/n\Z)^\times$, abélien. ∎ **Théorème 4.29 (Résolubilité par radicaux).** Soit $K$ de caractéristique $0$ et $P \in K[X]$. Si $P$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux, alors le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) de $P$ ([groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) de son [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) sur $K$) est un [groupe résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). **Démonstration.** Soit $L$ le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $P$, [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans une [extension radicale](#def-b3-galois-radical) $K = F_0 \subseteq \dots \subseteq F_r = R$ avec $F_{i+1} = F_i(\alpha_i)$, $\alpha_i^{n_i} \in F_i$. Poser $N = \operatorname{lcm}(n_1, \dots, n_r)$ et adjoindre d’abord $\zeta_N$ : $K' = K(\zeta_N)$ est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) sur $K$ de groupe abélien (lemme), donc [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). Remplacer chaque étape par $F_i' = F_i(\zeta_N)$ : on a une tour $K' = F_0' \subseteq \dots \subseteq F_r' = R'$ où chaque étape $F_{i+1}'/F_i'$ est cyclique par le lemme (les racines de l’unité sont déjà dans $F_i'$). Passer à une clôture [galoisienne](#def-b3-galois-galois) $N$ de $R'/K$ contenant $L$ : le groupe $\operatorname{Gal}(N/K)$ admet une filtration dont les quotients successifs sont abéliens (d’abord le quotient cyclotomique, puis les quotients cycliques des étapes [radicales](#def-b3-galois-radical), éventuellement après avoir normalisé chaque étape par les conjugués) : $G = \operatorname{Gal}(N/K)$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ([Proposition 1.29](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#prop-b3-groups-derived)). Or $\operatorname{Gal}(L/K)$ est un quotient de $G$ (restriction, surjective car $L/K$ est normale), donc [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). ∎ **Corollaire 4.30.** L’équation générale de [degré](#def-b3-galois-extension) $n \geq 5$ n’est pas [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux. Plus précisément, il existe des polynômes de [degré](#def-b3-galois-extension) $5$ sur $\Q$ (p.ex. $X^5 - 4X + 2$) dont le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) est $S_5$, non [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). Le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) de l’équation générale est $S_n$ (les racines sont indéterminées, le corps de base est le corps des fractions des polynômes symétriques) ; $S_n$ n’est pas [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) pour $n \geq 5$ ([Corollaire 1.34](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#cor-b3-groups-snnotsolvable)). Pour un exemple concret sur $\Q$ : $P = X^5 - 4X + 2$ est irréductible ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria) en $2$) ; il a exactement trois racines réelles (étude de $P'$, comme dans [Exercice 4.11](#exo-b3-galois-11)) ; la conjugaison complexe induit une transposition dans le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) $G \leq S_5$, et l’irréductibilité donne un $5$-cycle : $G = S_5$. Ainsi le [Théorème 4.29](#thm-b3-galois-solvable) interdit la résolubilité par radicaux — le même $S_5$ dont la simplicité de $A_5$ (volume des groupes) a frappé sa cible. **Remarque 4.31.** La réciproque du [Théorème 4.29](#thm-b3-galois-solvable) est vraie en caractéristique $0$ (admis ici) : si le [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived), le polynôme est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux. La démonstration construit une tour en inversant le [Lemme 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps) : une [suite de composition](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-jordanholder) à quotients cycliques se réalise par des adjonctions de radicaux (après avoir adjoint les racines de l’unité nécessaires). C’est le sens « [groupe résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) $\Rightarrow$ équation [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) » qui justifie le vocabulaire de [Exemple 1.30](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-solvableexamples), et qui fait de la simplicité de $A_5$ l’obstruction définitive pour le [degré](#def-b3-galois-extension) cinq. ## 4.9 Exercices **Exercice 4.1 ★.** Montrer $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$, que $\Q(\sqrt2 + \sqrt3) = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$, et calculer le [polynôme minimal](#def-b3-galois-algebraic) de $\sqrt2 + \sqrt3$ sur $\Q$. **Solution de Exercice 4.1.** $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ : de $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ ($a, b \in \Q$), le carré donne $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$, donc $ab = 0$ et $a^2 + 2b^2 = 3$. Si $b = 0$ alors $a^2 = 3$ impossible dans $\Q$ ; si $a = 0$ alors $2b^2 = 3$ impossible. Donc $X^2 - 3$ reste irréductible sur $\Q(\sqrt2)$, $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q(\sqrt2)] = 2$ et $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$ par la tour. Soit $\gamma = \sqrt2 + \sqrt3$. Alors $(\gamma - \sqrt2)^2 = 3$ donne $\gamma^2 - 2\gamma\sqrt2 + 2 = 3$, puis $\gamma^2 - 1 = 2\gamma\sqrt2$, $(\gamma^2 - 1)^2 = 8\gamma^2$, d’où $\gamma^4 - 10\gamma^2 + 1 = 0$. Le polynôme $X^4 - 10X^2 + 1$ est irréductible sur $\Q$ : pas de racine rationnelle ($\pm1$ échouent) ; une factorisation $(X^2 + aX + b)(X^2 - aX + c)$ force $b + c - a^2 = -10$, $a(c-b) = 0$, $bc = 1$. Si $a = 0$ alors $b + c = -10$, $bc = 1$, discriminant $100 - 4 = 96$ non carré dans $\Q$. Donc $[\Q(\gamma):\Q] = 4 = [\Q(\sqrt2,\sqrt3):\Q]$, d’où égalité des corps. **Exercice 4.2 ★.** Soit $\alpha = \sqrt[3]2$. Montrer que $\Q(\alpha)/\Q$ n’est pas normale (exhiber un plongement $\Q(\alpha) \to \C$ dont l’image n’est pas $\Q(\alpha)$), déterminer le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^3 - 2$ et $[L:\Q]$, et vérifier $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$ : pour les extensions non [galoisiennes](#def-b3-galois-galois), le groupe d’automorphismes peut être bien plus petit que le [degré](#def-b3-galois-extension). **Solution de Exercice 4.2.** Les racines de $X^3 - 2$ sont $\alpha = \sqrt[3]{2}$, $\alpha j$, $\alpha j^2$ avec $j = e^{2i\pi/3}$. L’évaluation envoyant $\alpha$ sur $\alpha j$ définit un $\Q$-plongement $\Q(\alpha) \to \C$ d’image $\Q(\alpha j)$, qui n’est pas $\Q(\alpha)$ (l’un est réel, l’autre non) : $\Q(\alpha)/\Q$ n’est pas normale. Le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) est $L = \Q(\alpha, j)$. $[\Q(\alpha):\Q] = 3$ et $[L:\Q(\alpha)] = 2$ ($j$ racine de $X^2 + X + 1$, irréductible sur $\R \supseteq \Q(\alpha)$) : $[L:\Q] = 6$. Tout automorphisme de $\Q(\alpha)$ envoie $\alpha$ sur une racine dans $\Q(\alpha)$, donc seulement $\alpha$ : $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$, d’ordre $1 \ll 3$. **Exercice 4.3 ★.** Construire $\mathbb F_9$ comme $\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ et trouver un générateur de $\mathbb F_9^\times$. Lister les polynômes moniques irréductibles de [degrés](#def-b3-galois-extension) $1, 2, 3$ sur $\mathbb F_2$, et vérifier $X^8 - X = X(X+1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ sur $\mathbb F_2$. **Solution de Exercice 4.3.** $X^2 + 1$ n’a pas de racine dans $\mathbb F_3$ ($0\mapsto1$, $1\mapsto2$, $2\mapsto2$) : irréductible. $\mathbb F_9 = \mathbb F_3[i]$ avec $i^2 = -1$. L’élément $1+i$ : $(1+i)^2 = 2i$, $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4 = 2$, $(1+i)^8 = 4 = 1$, et aucun ordre plus petit ne donne $1$ parmi les diviseurs de $8$ sauf $8$ : générateur de $\mathbb F_9^\times$. Sur $\mathbb F_2$ : moniques irréductibles de [degré](#def-b3-galois-extension) $1$ : $X$, $X+1$. [Degré](#def-b3-galois-extension) $2$ : $X^2+X+1$ seul ($X^2+1=(X+1)^2$, $X^2+X=X(X+1)$). [Degré](#def-b3-galois-extension) $3$ : $X^3+X+1$ et $X^3+X^2+1$ (sans racine, donc irréductibles). L’identité $X^8 - X = X(X+1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ suit du [Théorème 4.11](#thm-b3-galois-finitefields) (produit des minimaux des éléments de $\mathbb F_8$) et de l’unicité de la factorisation. **Exercice 4.4 ★★.** (a) Trouver toutes les racines primitives modulo $7$ et modulo $11$ (i.e. générateurs de $\mathbb F_7^\times$, $\mathbb F_{11}^\times$). (b) Montrer que pour $p$ impair, $x \in \mathbb F_p^\times$ est un carré ssi $x^{(p-1)/2} = 1$ (critère d’Euler), et retrouver le critère pour $-1$ du [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#pb-b3-rings-1). **Solution de Exercice 4.4.** (a) $\mathbb F_7^\times$ d’ordre $6$. Un générateur a ordre $6$ : $3^1=3$, $3^2=2$, $3^3=-1$, $3^6=1$, ordre $6$. De même $5$ : $5^1=5$, $5^2=4$, $5^3=-1$. Pas $2$ ($2^3=1$ mod $7$). $\mathbb F_{11}^\times$ d’ordre $10$ : $2^5 = 32 \equiv -1$, $2^{10}=1$, ordre $10$. Aussi $6, 7, 8$ (vérifier les ordres). (b) Le morphisme $x \mapsto x^2$ de $\mathbb F_p^\times$ a noyau $\{\pm1\}$ (ordre $2$) et image d’indice $2$, le sous-groupe des carrés. Or $x^{(p-1)/2} = \pm1$ pour tout $x \neq 0$ (car $(x^{(p-1)/2})^2 = x^{p-1} = 1$), et cette valeur vaut $1$ exactement sur le sous-groupe d’indice $2$ des carrés (noyau de $x \mapsto x^{(p-1)/2}$). Pour $-1$ : $(-1)^{(p-1)/2} = 1$ ssi $(p-1)/2$ est pair ssi $p \equiv 1 \pmod 4$, comme dans le [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#pb-b3-rings-1). **Exercice 4.5 ★★.** Montrer que $\mathbb F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n} = \mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$ et $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n} = \mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}(m,n)}}$ dans une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) fixée $\bar{\mathbb F}_p$, et décrire $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ pour $m \mid n$. **Solution de Exercice 4.5.** Dans une [clôture algébrique](#def-b3-galois-closure) fixée, $\mathbb F_{p^m} = \{x : x^{p^m} = x\}$ et de même pour $n$. L’intersection est $\{x : x^{p^m} = x = x^{p^n}\}$. Or $x^{p^a} = x$ et $x^{p^b} = x$ ssi $x^{p^{\gcd(a,b)}} = x$ (les ordres du [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields)) : d’où $\mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$. Le compositum $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n}$ est le plus petit corps contenant les deux, donc $\mathbb F_{p^k}$ avec $m \mid k$, $n \mid k$, minimal : $k = \operatorname{lcm}(m,n)$. Pour $m \mid n$, $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p) = \langle\varphi\rangle$ d’ordre $n$ avec $\varphi(x) = x^p$. Le sous-groupe $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ est $\langle\varphi^m\rangle$, d’ordre $n/m$. **Exercice 4.6 ★★.** Soit $I_d(q)$ le nombre de polynômes moniques irréductibles de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ sur $\mathbb F_q$. Démontrer $$ X^{q^n} - X \;=\; \prod_{d \mid n}\ \prod_{P \text{ irred. monique, } \deg P = d} P , \qquad\text{d'où}\qquad q^n = \sum_{d \mid n} d\, I_d(q). $$ En déduire $I_1, I_2, I_3, I_4$ explicitement, et $I_d(q) \geq 1$ pour tout $d$ (donc les extensions $\mathbb F_{q^d}/\mathbb F_q$ existent comme quotients $\mathbb F_q[X]/(P)$ pour tout $d$). **Solution de Exercice 4.6.** Dans $\overline{\mathbb F}_q$, $X^{q^n} - X = \prod_{a \in \mathbb F_{q^n}}(X-a)$. Le [polynôme minimal](#def-b3-galois-algebraic) $P$ d’un $a \in \mathbb F_{q^n}$ a [degré](#def-b3-galois-extension) $d \mid n$ ([Théorème 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)), et $P$ divise $X^{q^n} - X$. Réciproquement tout monique irréductible $P$ de [degré](#def-b3-galois-extension) $d \mid n$ a une racine dans $\mathbb F_{q^d} \subseteq \mathbb F_{q^n}$, donc divise $X^{q^n}-X$. Les irréductibles distincts sont premiers entre eux et le produit est [séparable](#def-b3-galois-separable) : la factorisation annoncée. Comparer les [degrés](#def-b3-galois-extension) : $q^n = \sum_{d\mid n} d\,I_d(q)$. Conséquences : $I_1 = q$ ; $q^2 = I_1 + 2I_2$ donne $I_2 = \frac{q^2-q}{2}$ ; $q^3 = I_1 + 3I_3$ donne $I_3 = \frac{q^3-q}{3}$ ; $q^4 = I_1 + 2I_2 + 4I_4$ donne $I_4 = \frac{q^4-q^2}{4}$. Existence : $nI_n = q^n - \sum_{d\mid n,\, d 0$ pour $n \geq 1$. **Exercice 4.7 ★★.** Déterminer $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt2,\sqrt3)/\Q)$ et le treillis complet des corps intermédiaires. Même question pour le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ — que remarque-t-on ? **Solution de Exercice 4.7.** $L = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$ est le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2-2)(X^2-3)$, [séparable](#def-b3-galois-separable) : galoisien de [degré](#def-b3-galois-extension) $4$ ([Exercice 4.1](#exo-b3-galois-1)). Un automorphisme envoie $\sqrt2 \mapsto \pm\sqrt2$ et $\sqrt3 \mapsto \pm\sqrt3$ : au plus $4$ choix, et $|G| = 4$ les réalise tous : $G \cong (\Z/2\Z)^2$, avec éléments $\mathrm{id}$, $\sigma$ ($\sqrt2 \mapsto -\sqrt2$), $\tau$ ($\sqrt3 \mapsto -\sqrt3$), $\sigma\tau$. Sous-groupes d’ordre $2$ : $\langle\sigma\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, de corps fixes $\Q(\sqrt3)$, $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\sqrt6)$ (noter que $\sigma\tau$ fixe $\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$). Le treillis : $\Q$ en bas, les trois quadratiques au milieu, $L$ en haut — et rien d’autre ([Théorème 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)). Pour $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ : le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) est le *même* $L$ ($\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$), donc la réponse est identique : la [correspondance de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) est un invariant de l’*extension*, non du polynôme choisi pour la présenter. **Exercice 4.8 ★★.** (Le cubique, résolu par son groupe) Soit $P = X^3 + pX + q \in \Q[X]$ irréductible de racines $x_1, x_2, x_3$ et de [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Soit $\delta = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ et $\Delta = \delta^2 = -4p^3 - 27q^2$ (admettre cette identité classique ou la vérifier en développant les fonctions symétriques). (a) Montrer $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong A_3$ ou $S_3$, selon que $\Delta$ est ou n’est pas un carré dans $\Q$. (b) Avec $j = \zeta_3$, définir les résolvantes de Lagrange $u = x_1 + jx_2 + j^2x_3$ et $v = x_1 + j^2x_2 + jx_3$. Montrer $u^3 + v^3 = -27q$ et $uv = -3p$, et résoudre pour $u^3, v^3$ : les formules de Cardan sortent. Où a-t-on utilisé la résolubilité de $S_3$ ? **Solution de Exercice 4.8.** (a) $G$ agit fidèlement et transitivement (irréductibilité) sur les trois racines : $G \hookrightarrow S_3$ avec $3 \mid |G|$ : $G \cong A_3$ ou $S_3$. Tout $\sigma \in G$ permute les $x_i$, et $\sigma(\delta) = \varepsilon(\sigma)\,\delta$ ($\delta$ est alterné en les racines). Si $\Delta$ est un carré dans $\Q$ : $\delta \in \Q^\times$ (noter $\delta \neq 0$ : [séparable](#def-b3-galois-separable)), donc $\varepsilon(\sigma) = 1$ pour tout $\sigma$ : $G \subseteq A_3$, d’où $= A_3$. Sinon : $\delta \notin \Q$, donc un certain $\sigma$ a $\varepsilon(\sigma) = -1$ : $G = S_3$. (Dans les deux cas $\Q(\delta) = L^{G \cap A_3}$.) (b) Avec $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ : $u + v = 2x_1 - (x_2 + x_3) = 3x_1$. Aussi $uv = \sum_i x_i^2 + (j+j^2)\sum_{i 0$ : $\eta_0 = \frac{\sqrt5 - 1}{2}$, d’où $\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$, et $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt5}{2}$. Le groupe $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_5)/\Q) \cong (\Z/5\Z)^\times$ est cyclique d’ordre $4$ : il a un *unique* sous-groupe d’ordre $2$ ($\{\pm1\}$, i.e. $\zeta \mapsto \zeta^{\pm1}$), donc $\Q(\zeta_5)$ a un unique sous-corps quadratique ([Théorème 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), qui contient $\eta_0 \notin \Q$ : c’est $\Q(\eta_0) = \Q(\sqrt5)$. Constructibilité : $\cos\frac{2\pi}5$ vit dans la tour quadratique $\Q \subseteq \Q(\sqrt5)$, et $\zeta_5$ une étape quadratique au-dessus : le [Théorème 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) construit le pentagone. **Exercice 4.10 ★★★.** Soit $K = \mathbb F_p(S, T)$ (fractions rationnelles en deux indéterminées) et $L = K(S^{1/p}, T^{1/p})$. (a) Montrer $[L:K] = p^2$ et que $\alpha^p \in K$ pour tout $\alpha \in L$. (b) En déduire que $L/K$ n’est *pas* [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) : aucun élément primitif n’existe — l’inséparabilité est fatale au [Théorème 4.17](#thm-b3-galois-primitive). **Solution de Exercice 4.10.** (a) Écrire $s = S^{1/p}$, $t = T^{1/p}$. $X^p - S$ est irréductible sur $K = \mathbb F_p(S,T)$ ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria) en l’[élément premier](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-divisibility) $S$ de l’[UFD](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-pidufd) $\mathbb F_p(T)[S]$, ou [degré](#def-b3-galois-extension) en $S$). Après adjonction de $s$, $Y^p - T$ reste irréductible sur $K(s)$ ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria) en $T$) : $[L:K] = p^2$. Tout $\alpha \in L$ s’écrit $\sum_{i,j=0}^{p-1} a_{ij} s^i t^j$ avec $a_{ij} \in K$ ; le [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $x \mapsto x^p$ (morphisme en caractéristique $p$) donne $\alpha^p = \sum a_{ij}^p S^i T^j \in K$. (b) Si $L = K(\gamma)$, alors $\deg\mu_\gamma = p^2$. Mais $\gamma^p \in K$ force $\mu_\gamma$ à diviser $X^p - \gamma^p = (X-\gamma)^p$, donc $\deg \mu_\gamma \leq p < p^2$ : contradiction. Aucun élément primitif : l’inséparabilité est fatale au [Théorème 4.17](#thm-b3-galois-primitive). **Exercice 4.11 ★★★.** Soit $P = X^5 - 4X + 2$ et $G$ son [groupe de Galois](#def-b3-galois-galois) sur $\Q$, agissant sur les $5$ racines. (a) Montrer que $P$ est irréductible, et en déduire $5 \mid \abs G$ ; conclure que $G$ contient un $5$-cycle (Cauchy, [Théorème 1.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-cauchy)). (b) Montrer, en étudiant les variations de $x \mapsto x^5 - 4x + 2$, que $P$ a exactement $3$ racines réelles ; en déduire que la conjugaison complexe se restreint en une transposition dans $G$. (c) Montrer qu’un sous-groupe de $S_5$ contenant une transposition et un $5$-cycle est $S_5$ *(conjuguer la transposition par des puissances du cycle)*. Conclure $G \cong S_5$ et, avec le [Théorème 4.29](#thm-b3-galois-solvable), que $P$ n’est pas [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux. **Solution de Exercice 4.11.** (a) [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria) en $2$ ($2 \mid 4, 2$ ; $4 \nmid 2$) : $P$ irréductible. Si $\alpha$ est une racine, $[\Q(\alpha):\Q] = 5$ divise $[L:\Q] = \abs G$ ($L$ le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting)) : Cauchy ([Théorème 1.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-cauchy)) donne un élément d’ordre $5$ dans $G \leq S_5$ ; dans $S_5$, seuls les $5$-cycles ont ordre $5$ (les ordres sont les ppcm des longueurs de cycles). (b) $P'(x) = 5x^4 - 4$ s’annule en $\pm(4/5)^{1/4} \approx \pm 0{,}946$ : un maximum local puis un minimum local. Valeurs : $P(-2) = -22 < 0$, $P(0) = 2 > 0$, $P(1) = -1 < 0$, $P(2) = 26 > 0$ : trois changements de signe, et au plus trois racines réelles (deux points critiques) : exactement $3$ racines réelles, donc une paire de racines complexes conjuguées. Prendre le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) $L$ dans $\C$ : la conjugaison complexe envoie $L$ sur lui-même (elle permute les racines, qui engendrent $L$) et fixe $\Q$, donc définit un élément de $G$ ; elle fixe les trois racines réelles et échange les deux autres : une transposition. (c) Soit $\tau = (a\,b)$ et $\sigma$ un $5$-cycle dans $G$. Une certaine puissance $\sigma^k$ envoie $a$ sur $b$ ($k \ne 0 \bmod 5$), et $\sigma^k$ est encore un $5$-cycle : en renommant, supposer $\sigma = (1\,2\,3\,4\,5)$ et $\tau = (1\,2)$. En conjuguant, $\sigma^m\tau\sigma^{-m} = (\sigma^m(1)\ \sigma^m(2))$ : les transpositions adjacentes $(1\,2), (2\,3), (3\,4), (4\,5), (5\,1)$ sont toutes dans $G$ ; les transpositions adjacentes engendrent $S_5$ (toute transposition $(i\,j)$ est produit de transpositions adjacentes, et les transpositions engendrent). Donc $G = S_5$, non [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ([Corollaire 1.34](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#cor-b3-groups-snnotsolvable)), et le [Théorème 4.29](#thm-b3-galois-solvable) conclut : $X^5 - 4X + 2$ n’est pas [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par radicaux. **Exercice 4.12 ★★★.** (Le quartique diédral) Soit $\alpha = \sqrt[4]2$ et $L = \Q(\alpha, \iu)$, le [corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) de $X^4 - 2$ sur $\Q$. (a) Montrer $[L : \Q] = 8$ et que $G = \operatorname{Gal}(L/\Q)$ est engendré par $\sigma\colon \alpha \mapsto \iu\alpha,\ \iu \mapsto \iu$ et la conjugaison complexe $\tau$, avec $\sigma^4 = \tau^2 = e$ et $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$ : $G \cong D_4$. (b) Lister le treillis des sous-groupes de $D_4$ (dix sous-groupes) et apparier chacun à son corps fixe ; vérifier en particulier que $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\iu)$, $\Q(\iu\sqrt2)$ sont les trois sous-corps quadratiques, et localiser $\Q(\alpha)$, $\Q(\iu\alpha)$, $\Q(\sqrt2, \iu)$. (c) Quels corps intermédiaires sont galoisiens sur $\Q$ ? Apparier la réponse aux sous-groupes normaux de $D_4$, et expliquer pourquoi $\Q(\alpha)/\Q$ échoue tandis que $\Q(\sqrt2)/\Q$ réussit. **Solution de Exercice 4.12.** (a) $X^4 - 2$ est irréductible ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#thm-b3-rings-criteria) en $2$) : $[\Q(\alpha):\Q] = 4$ ; $\iu \notin \Q(\alpha) \subseteq \R$, donc $[L : \Q(\alpha)] = 2$ et $[L:\Q] = 8$. L’extension est [galoisienne](#def-b3-galois-galois) ([corps de décomposition](#thm-b3-galois-splitting) d’un [polynôme séparable](#def-b3-galois-separable) : les racines sont $\iu^k\alpha$), donc $\abs G = 8$. Un automorphisme envoie $\alpha$ sur l’une des quatre racines et $\iu$ sur $\pm\iu$ : au plus $8$ applications, toutes réalisées. Les $\sigma$ et $\tau$ indiqués ($\sigma$ d’ordre $4$ : $\sigma^2(\alpha) = -\alpha$, $\sigma^4 = e$ ; $\tau$ d’ordre $2$) vérifient $$ \tau\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha) = \tau(\iu\alpha) = -\iu\alpha = \sigma^{-1}(\alpha), \qquad \tau\sigma\tau(\iu) = \iu\cdot(-1)(-1) = \iu , $$ plus soigneusement : $\tau\sigma\tau(\iu) = \tau\sigma(-\iu) = \tau(-\iu) = \iu = \sigma^{-1}(\iu)$. Donc $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$ : la présentation de $D_4$. (b) Les dix sous-groupes de $D_4 = \langle\sigma, \tau\rangle$ : $\{e\}$ ; cinq d’ordre $2$ : $\langle\sigma^2\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma^2\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, $\langle\sigma^3\tau\rangle$ ; trois d’ordre $4$ : $\langle\sigma\rangle$, $\{e, \sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\}$, $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\}$ ; et $D_4$. Corps fixes ([degré](#def-b3-galois-extension) $=$ indice) : $\{e\} \leftrightarrow L$ ; sous-groupes d’ordre $2$ $\leftrightarrow$ les cinq corps quartiques $$ \langle\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\alpha),\quad \langle\sigma^2\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\iu\alpha), \quad \langle\sigma^2\rangle \leftrightarrow \Q(\sqrt2, \iu),\quad \langle\sigma\tau\rangle \leftrightarrow \Q\bigl((1+\iu)\alpha\bigr),\quad \langle\sigma^3\tau\rangle \leftrightarrow \Q\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) . $$ Vérifications : $\tau$ fixe le réel $\alpha$ ; $\sigma^2\tau$ envoie $\alpha \mapsto -\alpha$ et $\iu \mapsto -\iu$, fixant $\iu\alpha$ ; et comme $\sigma\tau(\alpha) = \iu\alpha$, $\sigma\tau(\iu) = -\iu$ : $$ \sigma\tau\bigl((1+\iu)\alpha\bigr) = (1 - \iu)\,\iu\alpha = (1 + \iu)\alpha, \qquad \sigma^3\tau\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) = (1 + \iu)(-\iu)\alpha = (1 - \iu)\alpha : $$ chaque réflexion fixe son générateur, et le corps fixe, de [degré](#def-b3-galois-extension) $4 =$ indice, est exactement le corps qu’il engendre (le générateur est racine de $X^4 + 8$, irréductible). Sous-groupes d’ordre $4$ $\leftrightarrow$ les trois corps quadratiques : $\langle\sigma\rangle \leftrightarrow \Q(\iu)$ ($\sigma$ fixe $\iu$) ; $\{e, \sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\} \leftrightarrow \Q(\sqrt2)$ (les quatre fixent $\alpha^2$ à des signes près : $\tau(\sqrt2) = \sqrt2$, $\sigma^2(\alpha^2) = (-\alpha)^2$) ; $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\} \leftrightarrow \Q(\iu\sqrt2)$ ($\sigma\tau(\iu\alpha^2) = (-\iu)(\iu\alpha)^2 = \iu\alpha^2$). (c) Galoisien sur $\Q$ $\leftrightarrow$ sous-groupes normaux de $D_4$ : $\{e\}$, $\langle\sigma^2\rangle$ (le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions)), les trois sous-groupes d’ordre $4$, et $D_4$ — donc les corps intermédiaires galoisiens sont $L$, $\Q(\sqrt2, \iu)$, les trois corps quadratiques, et $\Q$. Les cinq corps quartiques fixés par des réflexions non [normales](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) ne sont pas galoisiens : $\Q(\alpha)$ contient une racine de $X^4 - 2$ mais pas $\iu\alpha$ (il est réel) — la conjugaison par $\sigma$ envoie $\langle\tau\rangle$ sur $\langle\sigma^2\tau\rangle$, exactement comme elle envoie $\Q(\alpha)$ sur $\Q(\iu\alpha)$ : la non-normalité du sous-groupe *est* l’existence d’un corps conjugué. ## 4.10 Problème : Gauss et le 17-gone régulier **Problème 4.1.** Problème du week-end — constructibilité du 17-gone Le 30 mars 1796, Gauss, âgé de dix-neuf ans, montra que le $17$-gone régulier est [constructible](#def-b3-galois-constructible) — le premier progrès sur la question depuis l’Antiquité. On reconstruit son calcul avec les outils de ce chapitre. Poser $\zeta = \eu^{2\iu\pi/17}$, $L = \Q(\zeta)$, $G = \operatorname{Gal}(L/\Q)$. **Partie I — Le groupe et sa filtration.** 1. Justifier : $[L:\Q] = 16$ , $G \cong (\Z/17\Z)^\times$ , cyclique d’ordre $16$ . Vérifier que $3$ engendre $(\Z/17\Z)^\times$ *(calculer les puissances de $3$ modulo $17$ : $3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, \dots$)* . 2. Soit $\sigma \in G$ avec $\sigma(\zeta) = \zeta^3$ , et $H_k = \langle \sigma^{2^k}\rangle$ pour $k = 0, \dots, 4$ . Montrer que $G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset H_3 \supset H_4 = \{e\}$ avec chaque indice $[H_k : H_{k+1}] = 2$ , et que les corps fixes $\Q = L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset L_3 \subset L_4 = L$ forment une tour d’extensions quadratiques. 3. Conclure *a priori* , en utilisant le [Théorème 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) , que $\zeta$ — donc le $17$ -gone — est [constructible](#def-b3-galois-constructible) . Le reste du problème rend la tour explicite. **Partie II — Les périodes de longueur $8$.** Définir les *périodes de Gauss* $$ \eta_0 = \sum_{k \text{ pair}} \zeta^{3^k \bmod 17} = \zeta^{1} + \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16} + \zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2}, \qquad \eta_1 = \sum_{k \text{ impair}} \zeta^{3^k \bmod 17}. $$ 4. Montrer que $\eta_0, \eta_1$ sont fixés par $H_1$ et échangés par $\sigma$ ; en déduire $\eta_0, \eta_1 \in L_1$ et qu’ils sont les deux racines d’une quadratique sur $\Q$ . 5. Calculer $\eta_0 + \eta_1 = -1$ . Montrer $\eta_0\eta_1 = -4$ *(chaque produit $\zeta^a\zeta^b$ est un certain $\zeta^c$, $c \neq 0$ ; compter combien de fois chaque $c$ apparaît, ou argumenter que le produit est un entier rationnel fixé par $G$, égal à la somme sur les $64$ produits, et utiliser que chaque résidu non nul apparaît également souvent)* . 6. En déduire $\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2$ , $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}2$ (identifier lequel est lequel numériquement : $\eta_0 \approx 1{,}56$ ), et $L_1 = \Q(\sqrt{17})$ . **Partie III — Périodes de longueur $4$ et $2$.** Définir $$ \beta_0 = \zeta + \zeta^{13} + \zeta^{16} + \zeta^{4},\quad \beta_1 = \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12},\quad \beta_2 = \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^{8} + \zeta^{2},\quad \beta_3 = \zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} + \zeta^{6}. $$ 7. Montrer $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$ , $\beta_1 + \beta_3 = \eta_1$ , et que $\beta_0, \beta_2$ sont fixés par $H_2$ , échangés par $\sigma^2$ . 8. Calculer $\beta_0\beta_2 = -1$ et $\beta_1\beta_3 = -1$ *(développer : les seize exposants obtenus couvrent $1, \dots, 16$ exactement une fois)* . 9. En déduire $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (vérifier le signe numériquement : $\beta_0 \approx 2{,}05$ ) et la formule analogue pour $\beta_1$ ; d’où $L_2 = \Q(\beta_0)$ , quadratique sur $L_1$ . 10. Soit $\gamma_0 = \zeta + \zeta^{16} = 2\cos\frac{2\pi}{17}$ et $\gamma_1 = \zeta^{13} + \zeta^4$ . Montrer $\gamma_0 + \gamma_1 = \beta_0$ et $\gamma_0\gamma_1 = \beta_1$ , de sorte que $\gamma_0 = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$ . 11. Assembler la chaîne de formules exprimant $\cos\frac{2\pi}{17}$ par des racines carrées emboîtées, et donner un contrôle décimal ( $\cos\frac{2\pi}{17} \approx 0{,}93247$ ). **Partie IV — Épilogue.** 12. Où exactement l’argument a-t-il utilisé que $17$ est un *premier de Fermat* ( $17 = 2^{2^2} + 1$ ) ? Montrer que pour un premier $p$ , le $p$ -gone régulier est [constructible](#def-b3-galois-constructible) ssi $p = 2^{2^t} + 1$ pour un certain $t$ *(si $p - 1 = 2^m$, montrer que $m$ doit lui-même être une puissance de $2$)* . 13. En déduire la liste complète des $n$ -gones réguliers [constructibles](#def-b3-galois-constructible) pour $n \leq 20$ , en utilisant le critère de Gauss–Wantzel du [Corollaire 4.26](#cor-b3-galois-impossible) . **Partie V — Sommes de Gauss et réciprocité quadratique.** Les périodes de la partie II cachent un trésor. Pour un premier impair $p$, le *symbole de Legendre* $\bigl(\frac ap\bigr)$ vaut $+1$ si $a$ est un carré non nul mod $p$, $-1$ sinon, $0$ si $p \mid a$ ; [Exercice 4.4](#exo-b3-galois-4)(b) (critère d’Euler) donne $\bigl(\frac ap\bigr) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$, d’où la multiplicitivité. Écrire $\zeta = \eu^{2\iu\pi/p}$, $p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$, et définir la *somme de Gauss* $$ g \;=\; \sum_{a=1}^{p-1}\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^a . $$ 14. Montrer $\sum_{a=1}^{p-1}\bigl(\frac ap\bigr) = 0$ (autant de carrés que de non-carrés), et démontrer la forme alternative $g = \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2}$ *(chaque carré non nul est atteint deux fois, et $\sum_{a}\zeta^a = 0$)* . Pour $p = 17$ : relier $g$ aux périodes de la partie II — montrer $g = \eta_0 - \eta_1$ *(les carrés mod $17$ sont exactement les puissances paires du générateur $3$)* . 15. Démontrer $g^2 = p^*$ : développer $$g^2 = \sum_{a,b\neq0}\Bigl(\frac{ab}p\Bigr) \zeta^{a+b} = \sum_{c}\ \sum_{a \neq 0}\Bigl(\frac{a(c - a)}p\Bigr)\zeta^{c}$$ (poser $b = c - a$), substituer $c - a = at$ pour évaluer la somme intérieure comme $\bigl(\frac{-1}p\bigr)(p - 1)$ pour $c = 0$ et $-\bigl(\frac{-1}p\bigr)$ sinon, et conclure avec la question 14. Vérifier numériquement : pour $p = 17$, $(\eta_0 - \eta_1)^2 = 17$ (partie II). 16. En déduire $\sqrt{p^*} \in \Q(\zeta_p)$ , et conclure que l’ *unique* sous-corps quadratique de $\Q(\zeta_p)$ est $\Q(\sqrt{p^*})$ — unique car $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q)$ est cyclique ( [Théorème 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) ) et un groupe cyclique a exactement un sous-groupe d’indice $2$ . (Tout corps quadratique se plonge dans un certain corps cyclotomique — c’est le premier cas du théorème de Kronecker–Weber, dont la forme générale est bien plus lointaine.) 17. Soit maintenant $q \neq p$ un autre premier impair. En travaillant dans l’anneau $\Z[\zeta]$ modulo $q$, démontrer $$g^q \equiv \Bigl(\frac qp\Bigr)\,g \pmod{q\Z[\zeta]}$$ *(rêve du collégien : $(x + y)^q \equiv x^q + y^q$ mod $q$ dans tout anneau commutatif ; alors $g^q \equiv \sum_a\bigl(\frac ap\bigr)^q\zeta^{aq}$, réindexer $b = aq$ et extraire $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$)*. 18. D’autre part, $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ ; en utilisant le critère d’Euler mod $q$, en déduire $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g \pmod{q\Z[\zeta]}$, puis — en multipliant les deux expressions de $g^q$ par $g$ et en utilisant $g^2 = p^*$, inversible mod $q$ — conclure $$\Bigl(\frac qp\Bigr) = \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr) .$$ *(Pourquoi une congruence entre les entiers $\pm p^*$ modulo $q\Z[\zeta]$ implique-t-elle leur égalité ? Intersecter avec $\Z$.)* 19. Déplier $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) = \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr)$ et $\bigl(\frac{-1}q\bigr) = (-1)^{(q-1)/2}$ pour obtenir la *loi de réciprocité quadratique* : $$\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigl(\frac qp\Bigr) = (-1)^{\frac{p-1}2\cdot\frac{q-1}2} .$$ La vérifier sur $(p, q) = (17, 3)$ en listant les carrés mod $17$ et mod $3$, et l’utiliser pour décider en trois lignes si $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ($383$ est premier, $219 = 3\cdot73$). **Partie VI — Compter les polynômes irréductibles : le théorème des nombres premiers de $\mathbb F_q[X]$.** Fixer une puissance de premier $q$ et soit $N_q(n)$ le nombre de polynômes moniques *irréductibles* de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ sur $\mathbb F_q$ ; rappeler de [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) la factorisation de $X^{q^n} - X$ et l’identité $q^n = \sum_{d\mid n}d\,N_q(d)$, que l’on inverse, réinterprète et exploite maintenant. 20. (Mots) Appeler un mot $w \in \mathbb F_q^n$ *primitif* s’il n’est pas une puissance $u^{n/d} = u\cdots u$ d’un mot $u$ strictement plus court, et soit $A(d)$ le nombre de mots primitifs de longueur $d$ . Montrer que tout mot de longueur $n$ est de façon unique une puissance d’un mot primitif d’une certaine longueur $d \mid n$ , de sorte que $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$ ; en comparant avec [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) , conclure $A(d) = d\,N_q(d)$ pour tout $d$ , et expliquer cette coïncidence par une bijection explicite : un élément $\alpha \in \mathbb F_{q^d}$ de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ a pour [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) de [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $(\alpha, \alpha^q, \dots, \alpha^{q^{d-1}})$ exactement $d$ éléments distincts, et les éléments de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ correspondent $d$ -à- $1$ aux irréductibles de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ . 21. Démontrer la *formule d’inversion de Möbius* : si $f(n) = \sum_{d\mid n}g(d)$ pour tout $n$, alors $g(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)\,f(n/d)$, où $\mu$ est la fonction de Möbius ($\mu(m) = (-1)^{\#\text{facteurs premiers}}$ si $m$ est sans carré, $0$ sinon) *(lemme clé : $\sum_{d \mid m}\mu(d) = 0$ pour $m > 1$ — apparier les diviseurs avec et sans un premier fixé)*. En déduire $$N_q(n) = \frac1n\sum_{d \mid n}\mu(d)\,q^{n/d} .$$ 22. Montrer $N_q(n) \geq \frac1n\bigl(q^n - 2q^{n/2}\bigr) > 0$ pour tout $n \geq 1$ : une nouvelle démonstration que $\mathbb F_{q^n}$ existe pour tout $n$ . Interpréter le terme dominant : un polynôme monique aléatoire de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ est irréductible avec probabilité $\sim \frac1n$ — l’analogue [parfait](#prop-b3-galois-perfect) du théorème des nombres premiers, avec $\log x$ échangé contre $n$ ; vérifier numériquement pour $q = 2$ , $n \leq 4$ ( [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) liste les comptes). 23. Démontrer le compagnon multiplicatif de la question 21 : $$\prod_{\substack{\pi \text{ monique irred.}\\ \deg\pi = n}}\pi \;=\; \prod_{d \mid n} \bigl(X^{q^d} - X\bigr)^{\mu(n/d)}$$ *(inversion de Möbius dans le groupe abélien des fractions rationnelles non nulles)* ; le vérifier à la main pour $q = 2$, $n = 2$ : $(X^4 - X)/(X^2 - X) = X^2 + X + 1$. **Partie VII — Deux codas.** 24. (Le second supplément) La méthode de la partie V calcule aussi $\bigl(\frac2q\bigr)$. Soit $\omega = \eu^{2\iu\pi/8}$ et $g = \omega + \omega^{-1}$. Montrer $g^2 = 2$ *($\omega^2 = \iu$)* ; puis, pour un premier impair $q$, démontrer dans $\Z[\omega]$ modulo $q$ que $$g^q \equiv \omega^q + \omega^{-q} \pmod{q\Z[\omega]},$$ et que le membre de droite égale $g$ si $q \equiv \pm1 \pmod 8$ et $-g$ si $q \equiv \pm3 \pmod 8$. En comparant avec $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr)g$ comme dans la question 18, conclure $$\Bigl(\frac2q\Bigr) = (-1)^{(q^2-1)/8},$$ en vérifiant que $(q^2 - 1)/8$ est pair exactement quand $q \equiv \pm1 \pmod 8$. Vérifier : $2$ est un carré mod $7$ et mod $17$ ($3^2$ et $6^2$), pas mod $3$ ni mod $5$. 25. (La fonction zêta de $\mathbb F_q[X]$) Démontrer l’identité de séries formelles en $t$ : $$\prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)} = \frac1{1 - qt}$$ *(factorisation unique en irréductibles moniques : développer chaque facteur en série géométrique et compter les moniques de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$)*. Retrouver l’identité $q^m = \sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$ de [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) en prenant les logarithmes. Vérifier le coefficient de $t^2$ à la main pour $q = 2$, et utiliser la formule de la question 21 pour calculer $N_2(6) = 9$, en vérifiant $2^6 = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9$. **Solution de Problème 4.1.** **1.** $\Phi_{17}$ est irréductible ([Théorème 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred), ou [Exemple 2.26](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#ex-b3-rings-eisenstein) pour un indice premier) : $[L:\Q] = \varphi(17) = 16$ et $G \cong (\Z/17\Z)^\times$, cyclique d’ordre $16$ ([Théorème 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Puissances de $3$ mod $17$ : $$ 3,\ 9,\ 10,\ 13,\ 5,\ 15,\ 11,\ 16,\ 14,\ 8,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\ 6,\ 1 $$ — seize valeurs distinctes : $3$ engendre. **2.** $G = \langle\sigma\rangle$ cyclique d’ordre $16$ ; $H_k = \langle\sigma^{2^k}\rangle$ a ordre $2^{4-k}$, et $[H_k : H_{k+1}] = 2$. Par le théorème fondamental ([Théorème 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), $L_k = L^{H_k}$ vérifient $[L_k : \Q] = [G : H_k] = 2^k$ : chaque $[L_{k+1}:L_k] = 2$. **3.** $\zeta \in L = L_4$ se trouve au sommet d’une tour d’extensions quadratiques de $\Q$ : par le [Théorème 4.25](#thm-b3-galois-wantzel), $\zeta$ est [constructible](#def-b3-galois-constructible) ; le $17$-gone a pour sommets $\zeta^k$. **4.** $\sigma^2$ multiplie les exposants par $9$ ; les exposants de $\eta_0$ sont les puissances paires de $3$, $$ \{3^{2k} \bmod 17\} = \{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2\}, $$ un ensemble stable sous multiplication par $9 = 3^2$ ; donc $\eta_0$ (et de même $\eta_1$) est fixé par $H_1 = \langle\sigma^2\rangle$ : $\eta_0, \eta_1 \in L_1$, un corps quadratique. $\sigma$ envoie les puissances paires sur les impaires : il échange $\eta_0, \eta_1$. Donc $\eta_0 + \eta_1$ et $\eta_0\eta_1$ sont fixés par tout $G$ : rationnels ; $\eta_0, \eta_1$ sont les racines d’une quadratique rationnelle. **5.** $\eta_0 + \eta_1 = \sum_{c=1}^{16}\zeta^c = -1$. Le produit se développe en $64$ termes $\zeta^{a + b}$, $a$ dans l’ensemble pair, $b$ dans l’impair. Aucun terme n’est $\zeta^0$ : $b = -a$ est impossible, car $-1 = 16 = 3^8$ est une puissance *paire*, donc $-a$ reste dans l’ensemble pair. Ainsi $\eta_0\eta_1 = \sum_{c \neq 0} n_c\zeta^c$ avec $\sum n_c = 64$ ; appliquer $\sigma$ fixe $\eta_0\eta_1$ (il échange les facteurs) et permute les $\zeta^c$ transitivement sur tous les $c \neq 0$, donc tous les $n_c$ sont égaux : $n_c = 4$ et $\eta_0\eta_1 = 4\sum_{c\neq0}\zeta^c = -4$. **6.** $\eta_{0,1}$ résolvent $Y^2 + Y - 4 = 0$ : $\frac{-1 \pm \sqrt{17}}2$. Numériquement, en groupant les exposants conjugués, $\eta_0 = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{17} + \cos\tfrac{4\pi}{17} + \cos\tfrac{8\pi}{17} + \cos\tfrac{16\pi}{17}\bigr) \approx 1{,}56 > 0$ : $\eta_0 = \frac{-1+\sqrt{17}}2$, $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}2$, et $L_1 = \Q(\eta_0) = \Q(\sqrt{17})$. **7.** Les ensembles d’exposants : $\beta_0$ : $\{1, 13, 16, 4\}$ = puissances $3^{4k}$ ; $\beta_2$ : $\{9, 15, 8, 2\} = 9 \times$ cet ensemble. Réunion : l’ensemble pair : $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$ ; de même $\beta_1 + \beta_3 = \eta_1$. La multiplication par $13 = 3^4$ stabilise chaque ensemble d’exposants de $\beta_i$ : fixé par $H_2 = \langle\sigma^4\rangle$ ; et $\sigma^2$ ($\times 9$) envoie $\{1,13,16,4\}$ sur $\{9, 15, 8, 2\}$ : échange $\beta_0, \beta_2$. **8.** En développant $\beta_0\beta_2$, les seize sommes d’exposants $$ \{1,13,16,4\} + \{9,15,8,2\} = \{10,16,9,3,\ 5,11,4,15,\ 8,14,7,1,\ 13,2,12,6\} $$ couvrent $1, \dots, 16$ exactement une fois : $\beta_0\beta_2 = \sum_{c\ne0}\zeta^c = -1$. En appliquant $\sigma$ (qui envoie $\beta_0 \mapsto \beta_1$, $\beta_2 \mapsto \beta_3$ : exposants $\times 3$) : $\beta_1\beta_3 = \sigma(\beta_0\beta_2) = -1$. **9.** $\beta_0, \beta_2$ résolvent $Y^2 - \eta_0 Y - 1 = 0$, donc $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (numériquement $\beta_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} + 2\cos\frac{8\pi}{17} \approx 2{,}05 > 0$, le signe $+$). De même $\beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2 \approx 0{,}344$ (le contrôle numérique fixe encore le signe). $L_2 = L_1(\beta_0)$, quadratique sur $L_1$. **10.** $\gamma_0 + \gamma_1 = \zeta + \zeta^{16} + \zeta^{13} + \zeta^4 = \beta_0$. Et $$ \gamma_0\gamma_1 = (\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13} + \zeta^4) = \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} = \beta_1 . $$ Donc $\gamma_0, \gamma_1$ résolvent $Y^2 - \beta_0Y + \beta_1 = 0$ ; numériquement $\gamma_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} \approx 1{,}865 > \gamma_1 \approx 0{,}185$ : $\gamma_0 = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$. **11.** En chaînant : $$ \eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2, \quad \beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2, \quad \beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2, \quad \cos\frac{2\pi}{17} = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}4 . $$ Numériquement : $\sqrt{17} \approx 4{,}1231$, $\eta_0 \approx 1{,}5616$, $\eta_1 \approx -2{,}5616$, $\beta_0 \approx 2{,}0494$, $\beta_1 \approx 0{,}3441$, $\beta_0^2 - 4\beta_1 \approx 2{,}8234$, et $\cos\frac{2\pi}{17} \approx \frac{2{,}0494 + 1{,}6803}4 \approx 0{,}93242$ — contre $\cos\frac{2\pi}{17} = 0{,}93247\dots$ : le petit écart est de l’arrondi dans les affichages intermédiaires ; en portant plus de chiffres on retrouve $0{,}932472$. **12.** La construction demandait $[L:\Q] = p - 1$ puissance de $2$, pour qu’une chaîne complète de sous-groupes d’indice $2$ existe. Si $p = 2^m + 1$ est premier et $m = ab$ avec $a$ impair $> 1$ : $x + 1 \mid x^a + 1$ en $x = 2^b$ montre que $2^b + 1$ divise proprement $p$ — impossible. Donc $m$ est une puissance de $2$ : $p = 2^{2^t} + 1$, un *premier de Fermat* ($3, 5, 17, 257, 65537$, …). Réciproquement pour un tel $p$, $\varphi(p) = 2^{2^t}$ et l’argument des questions 1–3 (ou [Corollaire 4.26](#cor-b3-galois-impossible)) s’applique : le $p$-gone régulier est [constructible](#def-b3-galois-constructible) ssi $p$ est un premier de Fermat. **13.** $\varphi(n)$ est une puissance de $2$ exactement quand $n = 2^a p_1\cdots p_r$ avec des premiers de Fermat distincts $p_i$ (multiplicativité de $\varphi$ ; une puissance de premier impair $p^k$, $k \geq 2$, contribue le facteur $p \nmid 2^m$). Pour $n \leq 20$, les $n$-gones réguliers [constructibles](#def-b3-galois-constructible) sont $$ n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 $$ avec valeurs respectives $$ \varphi(n) = 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 8,\ 8,\ 16,\ 8 . $$ Les impossibles sont $n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19$, où $\varphi(n) = 6, 6, 10, 12, 6, 6, 18$ a un facteur premier impair. **14.** Les carrés forment l’image du morphisme d’élévation au carré sur le cyclique $(\Z/p\Z)^\times$, d’indice $2$ : $\frac{p-1}2$ carrés, $\frac{p-1}2$ non-carrés, donc les symboles somment à $0$. Alors $$ \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2} = 1 + 2\sum_{b \text{ carré} \neq 0}\zeta^b = 1 + \sum_{b\neq0}\Bigl(1 + \Bigl(\frac bp\Bigr)\Bigr) \zeta^b = \sum_{b}\zeta^b + g = g, $$ en utilisant $1 + \bigl(\frac bp\bigr) = \#\{a : a^2 = b\}$ et $\sum_{b=0}^{p-1}\zeta^b = 0$. Pour $p = 17$ : les carrés mod $17$ sont les puissances paires du générateur $3$, i.e. les exposants apparaissant dans $\eta_0$ (Partie II), donc $g = \sum_{\text{$k$ pair}}\zeta^{3^k} - \sum_{\text{$k$ impair}} \zeta^{3^k} = \eta_0 - \eta_1$. **15.** Avec $b = c - a$ ($a, b$ parcourent les résidus non nuls, $c = a + b$ tous les résidus) : $$ g^2 = \sum_c\zeta^c\sum_{a\neq0,\,a\neq c} \Bigl(\frac{a(c-a)}p\Bigr) . $$ Pour $c = 0$ : $\bigl(\frac{-a^2}p\bigr) = \bigl(\frac{-1}p\bigr)$, sommé sur $p - 1$ valeurs. Pour $c \neq 0$ : substituer $c - a = at$, i.e. $t = c/a - 1$ ; quand $a$ parcourt les résidus non nuls, $t$ parcourt bijectivement les résidus $\neq -1$ (inverser : $a = c/(1 + t)$). Le terme devient $\bigl(\frac{a^2t}p\bigr) = \bigl(\frac tp\bigr)$, et $$ \sum_{t \neq -1}\Bigl(\frac tp\Bigr) = -\Bigl(\frac{-1}p\Bigr) $$ (la somme totale s’annule par la question 14). D’où $$ g^2 = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\Bigl[(p-1) - \sum_{c\neq0}\zeta^c\Bigr] = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\,p = p^* , $$ en utilisant $\sum_{c\neq0}\zeta^c = -1$ et le critère d’Euler $\bigl(\frac{-1}p\bigr) = (-1)^{(p-1)/2}$. Pour $p = 17$ : $(\eta_0 - \eta_1)^2 = (\eta_0 + \eta_1)^2 - 4\eta_0\eta_1 = 1 + 16 = 17$, en accord avec la Partie II. **16.** $g^2 = p^*$ exhibe $\sqrt{p^*} = \pm g \in \Q(\zeta_p)$, donc $\Q(\sqrt{p^*})$ est un sous-corps quadratique. Unicité : les sous-corps de [degré](#def-b3-galois-extension) $2$ correspondent, par la [correspondance de Galois](#thm-b3-galois-fundamental), aux sous-groupes d’indice $2$ du cyclique $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong (\Z/p\Z)^\times$, et un groupe cyclique d’ordre pair a exactement un tel sous-groupe (les carrés). Tout corps quadratique est $\Q(\sqrt{d})$ avec $d$ sans facteur carré, et en combinant les corps $\Q(\sqrt{p^*})$, $\Q(\iu) \subseteq \Q(\zeta_4)$ et $\Q(\sqrt2) \subseteq \Q(\zeta_8)$ dans un $\Q(\zeta_N)$ commun on capture tout $\sqrt d$ : le cas quadratique de Kronecker–Weber. **17.** Dans tout anneau commutatif, $(x + y)^q = x^q + y^q + q(\cdots)$ : les coefficients binomiaux $\binom qk$, $0 < k < q$, sont divisibles par le premier $q$. En itérant sur les $p - 1$ termes de $g$ : $$ g^q \equiv \sum_{a}\Bigl(\frac ap\Bigr)^{q}\zeta^{aq} = \sum_a\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^{aq} \pmod{q\Z[\zeta]}, $$ ($q$ impair : le symbole est inchangé). Réindexer $b = aq$ : $a = q^{-1}b$ et $\bigl(\frac{q^{-1}b}p\bigr) = \bigl(\frac{q}p\bigr)\bigl(\frac bp\bigr)$ (multiplicativité ; $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$ car le symbole d’un inverse égale le symbole) : $g^q \equiv \bigl(\frac qp\bigr)g$. **18.** $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ exactement (question 15), et le critère d’Euler dans $\Z$ donne $(p^*)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr) \pmod q$, d’où mod $q\Z[\zeta]$ : $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g$. En comparant avec la question 17 et en multipliant par $g$ : $$ \Bigl(\frac qp\Bigr)p^* \equiv \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr)p^* \pmod{q\Z[\zeta]} . $$ Les deux membres sont des entiers rationnels ; leur différence, $0$ ou $\pm2p^*$, vit dans $q\Z[\zeta] \cap \Z = q\Z$ (un entier $m \in q\Z[\zeta]$ a $m/q \in \Q \cap \Z[\zeta] = \Z$, ce dernier parce que $1, \zeta, \dots, \zeta^{p-2}$ est une $\Q$-base dont les coordonnées rationnelles lisent l’intégralité). Comme $q \nmid 2p^*$ ($q$ impair, $q \neq p$), la différence est $0$ : $\bigl(\frac qp\bigr) = \bigl(\frac{p^*}q\bigr)$. **19.** Par multiplicativité, $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) = \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr) = (-1)^{\frac{q-1}2\cdot\frac{p-1}2}\bigl(\frac pq\bigr)$, donc la question 18 lit $\bigl(\frac qp\bigr)\bigl(\frac pq\bigr) = (-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}$ : la réciprocité. Contrôle $(17, 3)$ : l’exposant $\frac{16}2\cdot\frac22 = 8$ est pair, donc les deux symboles doivent coïncider ; les carrés mod $3$ sont $\{1\}$ et $17 \equiv 2$ : $\bigl(\frac{17}3\bigr) = -1$ ; les carrés mod $17$ sont $\{1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13\}$ et $3$ en est absent : $\bigl(\frac3{17}\bigr) = -1$. Produit $+1$, comme prédit. Pour $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$ : $\bigl(\frac{219}{383} \bigr) = \bigl(\frac3{383}\bigr)\bigl(\frac{73}{383}\bigr)$. Premier : $383 \equiv 3 \pmod4$ et $3 \equiv 3$ : la réciprocité donne $\bigl(\frac3{383}\bigr) = -\bigl(\frac{383}3\bigr) = -\bigl(\frac23\bigr) = -(-1) = +1$. Second : $73 \equiv 1 \pmod 4$ : $\bigl(\frac{73}{383}\bigr) = \bigl(\frac{383}{73}\bigr) = \bigl(\frac{18}{73}\bigr) = \bigl(\frac2{73}\bigr)$ ($18 = 2\cdot3^2$), et $73 \equiv 1 \pmod 8$ fait de $2$ un carré mod $73$ (loi supplémentaire, prouvable par $g = \zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt2$ dans $\Q(\zeta_8)$ par la même méthode) : $+1$. Total $+1$ : la congruence est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). **20.** Existence et unicité de la racine primitive : si $w$ a pour ensemble de périodes $\{d : w = u^{n/d},\ \abs u = d\}$, le minimal tel $d_0$ divise toute autre période $d$ (si $w$ est à la fois une $d$-puissance et une $d'$-puissance, il est une $\gcd(d, d')$-puissance : comparer les lettres aux indices coïncidant modulo le pgcd, via Bézout), et le bloc de longueur $d_0$ est primitif. En triant les $q^n$ mots par la longueur de leur racine primitive : $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$. Comme $A$ et $d\,N_q(d)$ satisfont la même récurrence avec les mêmes valeurs pour $n = 1$ (chacun se détermine inductivement à partir de $q^n = \sum_{d\mid n}(\cdot)$), ils sont égaux : $A(d) = d\,N_q(d)$. Bijection : un élément $\alpha$ de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ donne le mot $w_\alpha$ des coefficients de… mieux, directement : les éléments de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$ dans $\overline{\mathbb F_q}$ sont les racines des $N_q(d)$ irréductibles de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$, chacun contribuant ses $d$ racines distinctes (séparabilité) : $d\,N_q(d)$ éléments de [degré](#def-b3-galois-extension) $d$, matchant le dénombrement $q^n = \sum_{d\mid n}\#\{\text{éléments de degré } d \text{ dans } \mathbb F_{q^n}\}$ — le même crible, une fois sur les mots, une fois sur les éléments de corps. **21.** Lemme : $\sum_{d \mid m}\mu(d) = \mathbf 1_{m=1}$. Pour $m > 1$ fixer un premier $p \mid m$ : les diviseurs sans carré de $m$ s’apparient en $\{d, pd\}$ avec $p \nmid d$, et $\mu(pd) = -\mu(d)$ : la somme s’annule. Alors, pour $f(n) = \sum_{e\mid n}g(e)$ : $$ \sum_{d \mid n}\mu(d)\,f\bigl(\tfrac nd\bigr) = \sum_{d \mid n}\mu(d)\!\!\sum_{e \mid n/d}\!\!g(e) = \sum_{e \mid n}g(e)\!\!\sum_{d \mid n/e}\!\!\mu(d) = g(n) . $$ Avec $f(n) = q^n$ et $g(n) = nN_q(n)$ ([Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6)) : $N_q(n) = \frac1n\sum_{d\mid n}\mu(d)\,q^{n/d}$. **22.** Le terme $d = 1$ est $q^n$ ; tout autre terme a $\abs{\mu(d)q^{n/d}} \leq q^{n/2}$, et grossièrement $\sum_{d \mid n, d > 1}q^{n/d} \leq \sum_{j \leq n/2}q^j < 2q^{n/2}$ (géométrique, $q \geq 2$). Donc $nN_q(n) > q^n - 2q^{n/2} \geq 0$ pour $n \geq 1$ : des irréductibles de tout [degré](#def-b3-galois-extension) existent, et $\mathbb F_q[X]/(\pi) = \mathbb F_{q^n}$ est (re)construit — existence avec un recensement. La proportion d’irréductibles parmi les $q^n$ moniques de [degré](#def-b3-galois-extension) $n$ est $\frac1n(1 + O(q^{-n/2}))$ : le théorème des nombres premiers de $\mathbb F_q[X]$, avec $n$ jouant le rôle de $\log x$. Pour $q = 2$ les comptages $2, 1, 2, 3$ de [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) matchent la formule : p.ex. $N_2(4) = \frac14(2^4 - 2^2) = 3$. **23.** Dans le groupe abélien multiplicatif des fractions rationnelles non nulles sur $\mathbb F_q$, poser $F(n) = X^{q^n} - X$ et $G(n) = \prod_{\deg\pi = n}\pi$ ; [Exercice 4.6](#exo-b3-galois-6) dit $F(n) = \prod_{d\mid n}G(d)$. L’argument de Möbius de la question 21, écrit multiplicativement (les exposants s’ajoutent exactement comme les sommes), donne $G(n) = \prod_{d \mid n}F(d)^{\mu(n/d)}$. Pour $q = 2$, $n = 2$ : $G(2) = \frac{X^4 - X}{X^2 - X} = \frac{X(X^3 - 1)}{X(X - 1)} = X^2 + X + 1$, l’unique irréductible quadratique sur $\mathbb F_2$, comme il se doit. **24.** $\omega^2 = \iu$ et $\omega^{-2} = -\iu$, donc $g^2 = \omega^2 + 2 + \omega^{-2} = 2$. Rêve du débutant dans l’anneau commutatif $\Z[\omega]/q\Z[\omega]$ : $g^q = (\omega + \omega^{-1})^q \equiv \omega^q + \omega^{-q}$. La valeur de $\omega^q + \omega^{-q}$ ne dépend que de $q \bmod 8$ : pour $q \equiv \pm1$, $\omega^q + \omega^{-q} = \omega^{\pm1} + \omega^{\mp1} = g$ ; pour $q \equiv \pm3$, en utilisant $\omega^4 = -1$, $\omega^{3} = -\omega^{-1}$ et $\omega^{-3} = -\omega$, donc $\omega^q + \omega^{-q} = -g$. D’autre part $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,2^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr) g \pmod{q\Z[\omega]}$ par le critère d’Euler mod $q$. En comparant et multipliant par $g$ : $2\bigl(\frac2q\bigr) \equiv \pm2 \pmod{q\Z[\omega]}$ ; si les signes différaient, $q$ diviserait $4$ dans $\Z[\omega]$, donc dans $\Z$ ($q\Z[\omega] \cap \Z = q\Z$ : coordonnées sur la base $1, \omega, \omega^2, \omega^3$), impossible pour $q$ impair. Donc $\bigl(\frac2q\bigr) = +1$ ssi $q \equiv \pm1 \pmod 8$. Contrôle de parité : $q = 8k \pm 1$ donne $(q^2 - 1)/8 = 2k(4k \pm 1)$, pair ; $q = 8k \pm 3$ donne $(q^2 - 1)/8 = 8k^2 \pm 6k + 1$, impair : la formule $(-1)^{(q^2-1)/8}$ encode le scindage. Numériquement : $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ ($7 \equiv -1$), $6^2 = 36 \equiv 2 \pmod{17}$ ($17 \equiv 1$) ; les carrés mod $3$ sont $\{0, 1\}$ et mod $5$ sont $\{0, 1, 4\}$, aucun ne contenant $2$ ($3 \equiv 3$, $5 \equiv -3 \pmod 8$). **25.** Tout monique $f \in \mathbb F_q[X]$ se factorise uniquement en $\prod_\pi\pi^{e_\pi}$ sur les irréductibles moniques : en triant par [degré](#def-b3-galois-extension), $$ \sum_{f \text{ monique}}t^{\deg f} = \prod_\pi\ \sum_{e \geq 0}t^{e\deg\pi} = \prod_\pi\bigl(1 - t^{\deg\pi}\bigr)^{-1} = \prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)}, $$ tous les produits $t$-adiquement légitimes (seuls les [degrés](#def-b3-galois-extension) $\leq m$ touchent le coefficient de $t^m$, et il y a finement d’irréductibles de chaque [degré](#def-b3-galois-extension)). Le premier membre est $\sum_m q^mt^m = (1 - qt)^{-1}$ : l’identité. Logarithmes : $-\log(1 - qt) = \sum_m\frac{q^m}mt^m$, tandis que $\sum_nN_q(n)\bigl(-\log(1 - t^n)\bigr) = \sum_nN_q(n)\sum_k\frac{t^{nk}}k$ ; le coefficient de $t^m$ donne $\frac{q^m}m = \sum_{dk = m} \frac{N_q(d)}k = \frac1m\sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$, i.e. $q^m = \sum_{d\mid m}d\,N_q(d)$. Contrôle à la main, $q = 2$, coefficient de $t^2$ : $N_2(1) = 2$, $N_2(2) = 1$, et $(1 - t)^{-2}(1 - t^2)^{-1} = (1 + 2t + 3t^2 + \dots)(1 + t^2 + \dots)$ a pour coefficient de $t^2$ $3 + 1 = 4 = 2^2$. Enfin, la formule de la question 21 avec les diviseurs $1, 2, 3, 6$ : $$ N_2(6) = \tfrac16\bigl(2^6 - 2^3 - 2^2 + 2\bigr) = \tfrac{54}6 = 9, $$ et en effet $1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9 = 2 + 2 + 6 + 54 = 64 = 2^6$.