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title: "Représentations des groupes finis"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/5-representations-des-groupes-finis
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# Chapitre 5 — Représentations des groupes finis

Pour comprendre un groupe abstrait, le faire agir sur un espace vectoriel et utiliser l’algèbre linéaire — valeurs propres, traces, produits scalaires — sur l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action). Ce programme, la *théorie des [représentations](#def-b3-representations-rep)*, est étonnamment efficace pour les groupes finis sur $\C$ : toute [représentation](#def-b3-representations-rep) se scinde en [irréductibles](#def-b3-representations-rep) (Maschke), les [irréductibles](#def-b3-representations-rep) sont repérées par leurs *[caractères](#def-b3-representations-character)* (traces), et les [caractères](#def-b3-representations-character) satisfont des relations d’orthogonalité qui rendent les calculs mécaniques. Le chapitre construit ce calcul et ses premiers chefs-d’œuvre — [tables de caractères](#def-b3-representations-table) des petits groupes — et le problème du week-end récolte un théorème bien au-delà de la pure théorie des groupes : le théorème $p^aq^b$ de Burnside. Tout au long, $G$ est un groupe fini et tous les espaces vectoriels sont de dimension finie sur $\C$.

## 5.1 Représentations, Maschke, Schur

**Définition 5.1.**

Une *représentation* de $G$ est un morphisme $\rho \colon G \to GL(V)$ pour un $\C$-espace vectoriel $V$ ; $\dim V$ est son *[degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension)*. Un sous-espace $W \subseteq
V$ est *invariant* si $\rho(g)W \subseteq W$ pour tout $g$ ; la restriction fait de $W$ une *sous-représentation*. $\rho$ est *irréductible* si $V
\neq 0$ et ses seuls sous-espaces invariants sont $0$ et $V$. Un *morphisme* entre $(\rho, V)$ et $(\sigma, W)$ est une application linéaire $f\colon V \to W$ avec $f\rho(g) =
\sigma(g)f$ pour tout $g$ (équivariance) ; les $f$ bijectifs sont des *isomorphismes*.

**Exemple 5.2.**

(a) [Degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ : morphismes $G \to \C^\times$. (b) La *représentation régulière* : $V = \C^G$ de base $(e_h)_{h \in G}$, $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $\abs G$. (c) Une [action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) de permutation de $G$ sur un ensemble fini $X$ donne la *[représentation](#def-b3-representations-rep) de permutation* sur $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ agit sur $\C^n$ en permutant les coordonnées ; l’hyperplan $\{\sum x_i = 0\}$ est invariant : la *[représentation](#def-b3-representations-rep) standard*, de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n - 1$.

**Théorème 5.3 (Maschke).**

Tout sous-espace invariant $W$ d’une [représentation](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ admet un supplémentaire invariant. Par conséquent toute [représentation](#def-b3-representations-rep) est somme directe d’[irréductibles](#def-b3-representations-rep) (*semisimplicité*).

**Démonstration.** Soit $p \colon V \to V$ *une* projection d’image $W$ (choisir un quelconque supplémentaire). La moyenner sur le groupe :

$$
\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.
$$

Chaque terme envoie $V$ dans $W$ ($W$ invariant), et fixe $W$ point par point : pour $w \in W$, $\rho(g)^{-1}w \in W$, $p$ le fixe, et $\rho(g)$ le ramène — donc $\tilde p$ est encore une projection sur $W$. Elle est équivariante : pour $h \in G$, $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ réindexe la même somme. Donc $\ker
\tilde p$ est un supplémentaire invariant de $W$. En itérant sur les facteurs (dimension finie) on décompose $V$ en [irréductibles](#def-b3-representations-rep). ∎

**Théorème 5.4 (Lemme de Schur).**

Soit $f \colon V \to W$ un morphisme de [représentations](#def-b3-representations-rep) *[irréductibles](#def-b3-representations-rep)*. Alors $f = 0$ ou $f$ est un isomorphisme ; et si $(V,\rho) = (W,\sigma)$, alors $f = \lambda\,\mathrm{id}$ pour un $\lambda \in \C$. D’où $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ vaut $1$ si $V \cong W$, $0$ sinon.

**Démonstration.** $\ker f$ et $\operatorname{im} f$ sont invariants (équivariance), donc chacun est $0$ ou tout : soit $f = 0$, soit $f$ est injectif d’image pleine. Si $V = W$ : $f$ a une valeur propre $\lambda$ ($\C$ [algébriquement clos](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-closure)) ; $f -
\lambda\,\mathrm{id}$ est un morphisme non injectif $V \to V$, donc $0$. Pour le dénombrement de dimension quand $V \cong W$ : en fixant un isomorphisme $u$, tout morphisme $f$ donne l’endomorphisme $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : $f =
\lambda u$. ∎

## 5.2 Caractères et orthogonalité

**Définition 5.5.**

Le *caractère* de $(V, \rho)$ est $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$. Il vérifie $\chi_\rho(e) = \dim V$, $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (les traces sont invariantes par conjugaison) : les caractères sont des *fonctions de classe* — éléments de l’espace $\mathcal{CF}(G)$ des fonctions constantes sur les [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions), muni du produit scalaire hermitien

$$
\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G}
\overline{\varphi(g)}\,\psi(g).
$$

**Proposition 5.6.**

$\rho(g)$ est diagonalisable à valeurs propres racines de l’unité ; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$, et $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ avec égalité ssi $\rho(g)$ est scalaire. Les [caractères](#def-b3-representations-character) s’ajoutent sur les sommes directes : $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$.

**Démonstration.** $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ pour $N = \abs G$ (Lagrange) : $\rho(g)$ annule $X^N - 1$, scindé à racines [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), donc diagonalisable à valeurs propres $\lambda_i \in \mu_N$. Alors $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i =
\overline{\chi(g)}$, et $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i}
\leq \dim V$, avec égalité dans l’inégalité triangulaire ssi toutes les $\lambda_i$ sont égales, i.e. $\rho(g) =
\lambda\,\mathrm{id}$. Additivité sur les sommes directes : traces par blocs. ∎

**Lemme 5.7.**

Soient $(V, \rho)$, $(W, \sigma)$ des [représentations](#def-b3-representations-rep). L’opérateur de moyenne sur $\operatorname{Hom}(W, V)$,

$$
c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},
$$

est une projection sur $\operatorname{Hom}_G(W, V)$, et pour l’application $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ on a $\operatorname{tr}\Phi_g =
\chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$.

**Démonstration.** $c(A)$ est équivariant (réindexer la somme comme chez Maschke), et $c$ fixe les applications équivariantes (chaque terme égale $A$) : $c$ est une projection d’image $\operatorname{Hom}_G(W,
V)$. Trace : en bases, $\Phi_g(A) = BAC$ avec $B = \rho(g)$, $C
= \sigma(g)^{-1}$ ; sur la base $(E_{kl})$ des matrices, $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$, donc le coefficient de $E_{kl}$ dans $\Phi_g(E_{kl})$ est $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} =
\operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) =
\chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$, et $\chi_\sigma(g^{-1}) =
\overline{\chi_\sigma(g)}$. ∎

**Théorème 5.8 (Premières relations d’orthogonalité).**

Soient $\rho, \sigma$ *[irréductibles](#def-b3-representations-rep)*. Alors

$$
\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle =
\begin{cases}
1 & \text{si } \rho \cong \sigma,\\
0 & \text{sinon~:}
\end{cases}
$$

les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) forment une famille orthonormée dans $\mathcal{CF}(G)$.

**Démonstration.** La trace d’une projection est la dimension de son image :

$$
\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c
= \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g
= \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)}
= \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,
$$

et le lemme de Schur évalue le premier membre à $\delta_{\rho
\cong \sigma}$. ∎

**Corollaire 5.9.**

Décomposer $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ en [irréductibles](#def-b3-representations-rep) distincts ($V_i \not\cong V_j$). Alors $m_i =
\langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : les multiplicités — donc la [représentation](#def-b3-representations-rep) à isomorphisme près — sont déterminées par le [caractère](#def-b3-representations-character). De plus $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i
m_i^2$ ; en particulier $V$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep) ssi $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$.

**Démonstration.** $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ ([Proposition 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)) ; prendre les produits scalaires avec chaque $\chi_{V_i}$ et utiliser l’orthonormalité. Deux [représentations](#def-b3-representations-rep) de mêmes [caractères](#def-b3-representations-character) ont mêmes multiplicités, donc sont isomorphes. ∎

**Théorème 5.10 (La représentation régulière).**

Soient $\chi_1, \dots, \chi_r$ les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) distincts, de [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n_i = \chi_i(e)$. La [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) se décompose avec multiplicités $m_i = n_i$ ; par suite

$$
\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G,
\qquad
\sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).
$$

**Démonstration.** Le [caractère](#def-b3-representations-character) régulier : $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh =
h\}$, qui vaut $\abs G$ pour $g = e$ et $0$ sinon. Donc $m_i =
\langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle =
\frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$. Évaluer $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ en $e$ et en $g \neq e$ donne les deux identités affichées. ∎

**Théorème 5.11.**

Les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) forment une *base* orthonormée de $\mathcal{CF}(G)$ : le nombre de [représentations irréductibles](#def-b3-representations-rep) égale le nombre de [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $G$.

**Démonstration.** Il ne reste que la complétude : soit $f \in \mathcal{CF}(G)$ orthogonal à tout $\chi_i$ ; on montre $f = 0$. Pour une [représentation](#def-b3-representations-rep) $(V,\rho)$, poser $T_{f,\rho} =
\frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$. Elle est équivariante : pour $h \in G$,

$$
\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g
\overline{f(g)}\rho(hgh^{-1})
= \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') =
T_{f,\rho}
$$

($f$ est une [fonction de classe](#def-b3-representations-character)). Si $\rho$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$, Schur donne $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ avec

$$
\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n}
= \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g)
= \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .
$$

Donc $T_{f,\rho} = 0$ sur toute [irréductible](#def-b3-representations-rep), d’où (sommes directes) sur *toute* [représentation](#def-b3-representations-rep) — en particulier sur la régulière. L’appliquer au vecteur de base $e_e$ : $0 =
T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs
G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$, forçant chaque $\overline{f(g)} =
0$. Ainsi la famille orthonormée $(\chi_i)$ engendre $\mathcal{CF}(G)$, dont la dimension est le nombre de [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions). ∎

**Corollaire 5.12 (Orthogonalité des colonnes).**

Pour $g, h \in G$ :

$$
\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) =
\begin{cases}
\abs{Z_G(g)} & \text{si } g, h \text{ sont conjugués},\\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
$$

**Démonstration.** Soient $g_1, \dots, g_r$ des représentants des classes, $c_j$ les tailles de classes. La matrice $r \times r$ $U_{ij} =
\sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ a des lignes orthonormées ([Théorème 5.8](#thm-b3-representations-orthogonality) écrite par classes : $\sum_j \frac{c_j}{\abs
G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$), i.e. $UU^* = I$ ; une matrice carrée avec $UU^* = I$ a aussi $U^*U =
I$ : les colonnes sont orthonormées, ce qui se déplie en l’identité affichée ($\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$, la relation orbite–stabilisateur pour la conjugaison). ∎

**Proposition 5.13 (Caractères de dimension un ; relèvement).**

(a) $G$ est abélien ssi toutes ses [représentations irréductibles](#def-b3-representations-rep) sont de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ ; le nombre de [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ de tout $G$ est $[G : D(G)]$ (ce sont les [caractères](#def-b3-representations-character) de l’abélianisé). (b) Si $N \trianglelefteq G$, les [représentations irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G/N$ se relèvent (composer avec $G \to G/N$) en exactement les [représentations irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G$ dont le noyau contient $N$.

**Démonstration.** (a) Si $G$ est abélien, chaque classe est un singleton : $r =
\abs G$, et $\sum n_i^2 = \abs G$ force tous les $n_i = 1$ ; réciproquement si tous les $n_i = 1$, la [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) est somme d’unidimensionnelles, donc $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ est simultanément diagonalisable, d’où commutative, et $\rho_{\mathrm{reg}}$ est fidèle : $G$ abélien. Les [représentations](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ sont des morphismes $G \to \C^\times$ à but abélien : elles se factorisent par $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ ([Exercice 1.9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-9)), et les [caractères](#def-b3-representations-character) distincts de l’abélien $G^{\mathrm{ab}}$ sont au nombre de $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (autant de classes, tous [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$). (b) Composer avec la projection préserve l’irréductibilité (les sous-espaces invariants se correspondent), et une [représentation](#def-b3-representations-rep) triviale sur $N$ se factorise par le quotient ([Théorème 1.3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-firstiso)). ∎

## 5.3 Tables de caractères

**Définition 5.14.**

La *table de caractères* de $G$ est la matrice $r \times r$ $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : lignes indexées par les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep), colonnes par les [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) (avec leurs tailles affichées). Les lignes sont orthonormées pour le produit pondéré, les colonnes orthogonales ([Corollaire 5.12](#cor-b3-representations-column)) : la table est sévèrement surdéterminée, ce qui la rend calculable.

**Exemple 5.15 (La table de S3S_3S3​).**

Classes : $e$ (taille $1$), transpositions ($3$), $3$-cycles ($2$) ; donc $r = 3$ [irréductibles](#def-b3-representations-rep), de [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n_i$ avec $\sum
n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$. [Degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ : triviale $\mathbf 1$ et signature $\varepsilon$. La dernière ligne suit de l’orthogonalité des colonnes (ou de $\chi_{\mathrm{std}} =
\chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$) :

$$
\begin{array}{c|ccc}
S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1\\
\chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1
\end{array}
$$

Vérification : $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}
\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : [irréductible](#def-b3-representations-rep).

**Exemple 5.16 (La table de S4S_4S4​).**

Classes : $e$ [1], transpositions [6], doubles transpositions [3], $3$-cycles [8], $4$-cycles [6] : cinq [irréductibles](#def-b3-representations-rep), $\sum
n_i^2 = 24$ avec deux de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$) : [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1, 1, 2, 3, 3$. Le [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ se relève de $S_4/V \cong S_3$ ([Proposition 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b), $V$ le groupe de Klein) ; [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ : la [représentation](#def-b3-representations-rep) standard et sa [torsion](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-torsion) par $\varepsilon$ :

$$
\begin{array}{c|ccccc}
S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] &
(1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\
\chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\
\chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1
\end{array}
$$

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ évalue la table de $S_3$ sur l’image de chaque classe mod $V$.) Toutes les vérifications d’orthogonalité de lignes et colonnes passent — en faire deux est l’échauffement de [Exercice 5.3](#exo-b3-representations-3).

**Méthode 5.17.**

Pour construire une [table de caractères](#def-b3-representations-table) : (1) lister les [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) et leurs tailles ; (2) compter les [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ via $G/D(G)$ et les écrire ; (3) trouver les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) restants par $\sum n_i^2 = \abs G$ (petite combinatoire d’entiers) ; (4) obtenir des [irréductibles](#def-b3-representations-rep) bon marché : relever des quotients, soustraire $\mathbf 1$ des [caractères](#def-b3-representations-character) de permutation (vérifier $\langle\chi,\chi\rangle =
1$), multiplier des [caractères](#def-b3-representations-character) connus par des [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ ; (5) terminer les lignes inconnues par orthogonalité des colonnes — chaque colonne est orthogonale aux colonnes déjà complètes, et la colonne $e$ porte les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension). Tout vérifier par un balayage d’orthogonalité complet.

![La représentation régulière de S_3, diagonalisée par blocs : ℂ(S_3) ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dimensions 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. En général ℂ(G) _i M_n_i(ℂ) : l’identité n_i2 = G est un énoncé sur des blocs matriciels.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-representations/fig-7b5373eb2027.svg)

*La [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) de $S_3$, diagonalisée par blocs : $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$, dimensions $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$. En général $\C[G] \cong \prod_i
M_{n_i}(\C)$ : l’identité $\sum n_i^2 = \abs G$ est un énoncé sur des blocs matriciels.*

## 5.4 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

(a) Montrer que les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $\Z/n\Z$ sont les $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$, $k = 0, \dots, n-1$, et écrire la [table de caractères](#def-b3-representations-table) de $\Z/4\Z$. (b) Vérifier les deux relations d’orthogonalité dessus — et reconnaître la matrice : où ce livre l’a-t-il déjà vue ?

**Solution de Exercice 5.1.**

(a) $\Z/n\Z$ est abélien : toutes les [irréductibles](#def-b3-representations-rep) sont de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ ([Proposition 5.13](#prop-b3-representations-onedim)), c’est-à-dire des morphismes $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$, déterminés par $\chi(\bar 1) = \omega$ avec $\omega^n = 1$ : les $n$ [caractères](#def-b3-representations-character) $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$. Pour $n = 4$ (classes $=$ éléments $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$) :

$$
\begin{array}{c|cccc}
& \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\
\hline
\chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu
\end{array}
$$

(b) Lignes : $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m
\eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (somme géométrique) ; colonnes de même. La matrice $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ est la matrice de la *transformée de Fourier discrète* — le même filtre en racines de l’unité que dans le chapitre de deuxième année sur les fonctions génératrices ; l’[orthogonalité des caractères](#thm-b3-representations-orthogonality) généralise la formule d’inversion de la TFD.

**Exercice 5.2 ★.**

Soit $G$ agissant sur un ensemble fini $X$ et $\chi$ le [caractère](#def-b3-representations-character) de la [représentation](#def-b3-representations-rep) de permutation $\C^X$. (a) Montrer $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ et $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{orbites}\}$ — le lemme de dénombrement de Burnside ([Exercice 1.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-5)) est un calcul de [caractères](#def-b3-representations-character). (b) Supposer l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) transitive, donc $\chi = \mathbf 1 +
\psi$. Montrer que $\psi$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep) ssi l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) est *$2$-transitive* (transitive sur les couples ordonnés de points distincts). *(Calculer $\langle\chi,\chi\rangle$ comme le nombre d’[orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) sur $X \times X$.)* (c) Conclure que la [représentation](#def-b3-representations-rep) standard de $S_n$ ($n \geq
2$) est [irréductible](#def-b3-representations-rep).

**Solution de Exercice 5.2.**

(a) La matrice de $\rho(g)$ dans la base $(e_x)$ est une matrice de permutation, de trace le nombre de $x$ avec $g\cdot x = x$. Alors

$$
\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g
\abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{orbites}\}
$$

par le lemme de dénombrement de Burnside ([Exercice 1.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-5)) — de façon équivalente, on calcule la multiplicité de la [représentation](#def-b3-representations-rep) triviale, dont l’espace isotypique est l’espace des vecteurs $G$-invariants, de dimension le nombre d’[orbites](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) (un indicateur par [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action)).

(b) Comme $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) =
\operatorname{Fix}_X(g)^2$, la partie (a) appliquée à $X \times
X$ donne $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs
G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{orbites sur }
X\times X\}$ ($\chi$ est réel). En écrivant $\chi = \mathbf 1 +
\psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitivité), donc $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$. L’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) sur $X\times X$ a la diagonale comme une [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) ; il y a exactement une autre [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) ssi $G$ est transitif sur les paires distinctes : $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ ssi $2$-transitive ([Corollaire 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)).

(c) $S_n$ est $2$-transitive sur $\{1,\dots,n\}$ (envoyer toute paire distincte n’importe où) : $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep).

**Exercice 5.3 ★.**

Reconstruire la table de $S_3$ depuis zéro en suivant la [Méthode 5.17](#met-b3-representations-table), puis vérifier deux relations d’orthogonalité de lignes et deux de colonnes dans la table de $S_4$ de [Exemple 5.16](#ex-b3-representations-s4). Décomposer le [caractère](#def-b3-representations-character) de permutation de $S_4$ agissant sur $\{1,2,3,4\}$ et le [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (carré pointwise) en [irréductibles](#def-b3-representations-rep).

**Solution de Exercice 5.3.**

$S_3$ : trois classes, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; les deux [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ sont $\mathbf 1, \varepsilon$ ($[S_3 :
A_3] = 2$) ; la troisième ligne $(2, a, b)$ suit de l’orthogonalité des colonnes avec la colonne de $e$ : $1 - 1 +
2a = 0$ et $1 + 1 + 2b = 0$ : $a = 0$, $b = -1$ — la table de [Exemple 5.15](#ex-b3-representations-s3).

Vérifications $S_4$ (lignes) : $\langle\chi_{\mathrm{std}},
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0
- 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12
+ 8 + 0) = 1$. Colonnes : $e$ contre $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 -
3 = 0$ ; $(1\,2)$ contre elle-même : $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 =
\abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$.

[Caractère](#def-b3-representations-character) de permutation sur $4$ points : $(4, 2, 0, 1, 0) =
\mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (comptages de points fixes ; soustraire la ligne du haut). Pour $\chi_{\mathrm{std}}^2 =
(9, 1, 1, 0, 1)$ :

$$
\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} =
1,\quad
\langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad
\langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad
\langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad
\langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:
$$

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 +
\chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensions : $9 = 1 + 2 + 3 + 3$).

**Exercice 5.4 ★★.**

Calculer les [tables de caractères](#def-b3-representations-table) de $D_4$ et de $Q_8$. Conclure que deux groupes non isomorphes peuvent avoir des [tables de caractères](#def-b3-representations-table) identiques — quelles données groupes-théoriques la table capture-t-elle néanmoins dans cette paire (ordres des [centres](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions), abélianisés, nombre d’involutions) ? Lesquelles *échoue*-t-elle à capturer ?

**Solution de Exercice 5.4.**

Les deux groupes ont cinq classes et le motif de [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $(1,1,1,1,2)$ (quatre [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ issus de l’abélianisé $\cong
(\Z/2\Z)^2$, puis $\sum n_i^2 = 8$). En ordonnant les classes $e$, $z$ (l’involution centrale : $r^2$, resp. $-1$), et les trois classes à deux éléments :

$$
\begin{array}{c|ccccc}
& e & z & C_1 & C_2 & C_3\\
\hline
\chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
\chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
\chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

(la dernière ligne par orthogonalité des colonnes). Tables identiques pour $D_4$ et $Q_8$, qui ne sont pas isomorphes ([Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#pb-b3-groups-1)). La table *capture* bien : $\abs
G$, tailles des classes, le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) ($\{g : \abs{\chi_i(g)} =
n_i\ \forall i\}$ : ordre $2$ dans les deux cas), l’abélianisé, tout le treillis des sous-groupes normaux (noyaux et intersections, [Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)). Elle échoue à capturer les ordres d’éléments : $D_4$ a cinq involutions, $Q_8$ en a une — le type d’isomorphisme est vraiment plus fin que la [table de caractères](#def-b3-representations-table).

**Exercice 5.5 ★★.**

[Table de caractères](#def-b3-representations-table) de $A_4$ : classes $e$ [1], doubles transpositions [3], et *deux* classes de $3$-cycles [4], [4]. (a) Expliquer le scindage des $3$-cycles (comparer les [centralisateurs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) dans $S_4$ et $A_4$, comme dans [Exercice 1.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-11)). (b) Trouver les trois [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ (via $A_4/V \cong
\Z/3\Z$) et le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ (restreindre $\chi_{\mathrm{std}}$ de $S_4$), et assembler la table. (c) Lire les sous-groupes normaux de $A_4$ sur la table (noyaux $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ et leurs intersections).

**Solution de Exercice 5.5.**

(a) Dans $S_4$, le centralisateur de $(1\,2\,3)$ a ordre $24/8
= 3$ : c’est $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$. Donc $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ a ordre $3$ et la classe de $A_4$ a $12/3
= 4$ éléments : les huit $3$-cycles se scindent en deux classes de $A_4$ (représentées par $(1\,2\,3)$ et son inverse).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ donne trois [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ ($\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; les classes de $3$-cycles s’envoient sur $\bar1, \bar2$) ; la restriction de $\chi_{\mathrm{std}}$ reste [irréductible](#def-b3-representations-rep) ($\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3
\cdot 1 + 0 + 0) = 1$) :

$$
\begin{array}{c|cccc}
A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] &
(1\,3\,2)\,[4]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\
\chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\
\chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0
\end{array}
$$

(c) Noyaux : $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (aucune autre entrée n’a [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $3$). Les sous-groupes normaux sont les intersections de noyaux ([Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)) : $\{e\}$, $V$, $A_4$ — en particulier $A_4$ n’a pas de [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) d’ordre $2$ ni d’indice $2$.

**Exercice 5.6 ★★.**

(a) Montrer que $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ est le noyau de la [représentation](#def-b3-representations-rep) sous-jacente ([Proposition 5.6](#prop-b3-representations-charbasics), cas d’égalité). (b) Montrer que tout [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) de $G$ est une intersection de noyaux de [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep). *(Représenter $G/N$ fidèlement : sa [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples).)* (c) En déduire : $G$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) ssi $\ker\chi_i = \{e\}$ pour tout [irréductible](#def-b3-representations-rep) non trivial $\chi_i$ — la simplicité se lit sur la [table de caractères](#def-b3-representations-table).

**Solution de Exercice 5.6.**

(a) Si $\chi(g) = \chi(e) = n$ : l’égalité dans $\abs{\chi(g)}
\leq n$ force $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ ([Proposition 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)) avec $n\lambda =
n$ : $\rho(g) = \mathrm{id}$. La réciproque est claire.

(b) Soit $N \trianglelefteq G$. La [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) de $G/N$ est fidèle ; la décomposer en [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G/N$ et les relever à $G$ ([Proposition 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b)) : [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) $\chi_{i_1}, \dots$ de $G$ dont les noyaux contiennent $N$ et dont le noyau *commun* est exactement l’image réciproque de $\{e\}$, i.e. $N$ (fidélité sur le quotient). Donc $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$.

(c) Si $G$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) : pour un [irréductible](#def-b3-representations-rep) non trivial $\chi$, $\ker\chi \trianglelefteq G$ n’est pas $G$ (une [représentation irréductible](#def-b3-representations-rep) triviale sur tout $G$ est le [caractère](#def-b3-representations-character) trivial), donc $\ker\chi = \{e\}$. Réciproquement, supposons tous les noyaux non triviaux triviaux, et soit $N \trianglelefteq G$ avec $N \neq G$. Dans l’expression de $N$ en (b) comme intersection de noyaux, un [caractère](#def-b3-representations-character) impliqué est non trivial (si tous étaient triviaux, l’intersection serait $G$), et son noyau est $\{e\}$ : $N = \{e\}$. Donc les seuls sous-groupes normaux sont $\{e\}$ et $G$.

**Exercice 5.7 ★★.**

[Degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) pour $|G| = 8$ : montrer qu’un groupe non abélien d’ordre $8$ a le motif de [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $(1,1,1,1,2)$, et que sa [représentation](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ est fidèle. Plus généralement montrer qu’un groupe non abélien d’ordre $p^3$ a le motif $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ avec $p^2$ uns et $p - 1$ [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $p$. *(Utiliser $[G : D(G)]$ et $\sum n_i^2 = |G|$ ; ici $D(G)
= Z(G)$ a ordre $p$.)*

**Solution de Exercice 5.7.**

Ordre $8$ non abélien : le nombre de [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ est $[G : D(G)]$, un diviseur propre de $8$ (non abélien : $D(G)
\neq \{e\}$), et $\sum n_i^2 = 8$. Avec $k$ uns et les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) restants $\geq 2$ : $8 - k \equiv 0$ avec des carrés $\geq 4$, et $k \mid 8$, $k < 8$. $k = 4$ : un [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ — cohérent. $k
= 2$ : $6$ restants, pas une somme de carrés $\geq 4$. $k =
1$ : impossible, car $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ est un $2$-groupe abélien non trivial, car $G$ est un $2$-groupe avec $D(G) \neq G$ par résolubilité des $p$-groupes ([Exemple 1.30](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-solvableexamples)). Donc le motif est $(1,1,1,1,2)$. Fidélité de $\chi_5$ : les quatre [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ contiennent tous $D(G)$ dans leurs noyaux ; si $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ pour un [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) minimal $N$ ($N \subseteq D(G)$ ou non — prendre $N \subseteq \ker\chi_5$ non trivial), alors $N$ serait dans les cinq noyaux, dont l’intersection est triviale (la [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) est fidèle) : contradiction. Ordre $p^3$ non abélien : $Z(G)$ a ordre $p$ (ordre $p^2$ rendrait $G/Z$ cyclique, $G$ abélien), $G/Z(G)$ d’ordre $p^2$ est abélien, donc $D(G) \subseteq Z(G)$, et $D(G) \ne \{e\}$ : $D(G) = Z(G)$, donnant $p^2$ [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$. Les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) restants vérifient $\sum n_i^2 = p^3 -
p^2$ avec chaque $n_i > 1$ divisant $\abs G$ ([Problème 5.1](#pb-b3-representations-1), question 8) d’où $n_i \in
\{p\}$ ($n_i = p^2$ dépasserait : $p^4 > p^3 - p^2$) : exactement $p - 1$ [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $p$.

**Exercice 5.8 ★★★.**

Pour des groupes finis $G, H$ : montrer que les [fonctions de classe](#def-b3-representations-character) $\chi(g)\psi(h)$ sur $G \times H$, pour $\chi, \psi$ [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G, H$, sont exactement les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G \times H$. *(L’orthonormalité est un calcul direct ; la complétude en comptant les classes.)* En déduire la [table de caractères](#def-b3-representations-table) de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ et redériver la [Proposition 5.13](#prop-b3-representations-onedim) pour les groupes abéliens finis via le théorème de structure.

**Solution de Exercice 5.8.**

Définir, pour des [représentations](#def-b3-representations-rep) $\rho, \sigma$ de $G, H$ dans $V, W$, la [représentation](#def-b3-representations-rep) $\rho \boxtimes \sigma$ de $G \times
H$ sur $V \otimes W$ — concrètement, sur les matrices : $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ est le produit de Kronecker $\rho(g)\otimes \sigma(h)$, dont la trace est $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) =
\chi(g)\psi(h)$ (le produit de Kronecker de matrices $A \otimes
B$ a pour trace $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : sa diagonale est $a_{kk}b_{ll}$). Donc $\chi\psi$ est un [caractère](#def-b3-representations-character), et

$$
\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H}
= \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h}
\overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h)
= \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H
= \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.
$$

En particulier $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : chaque $\chi\psi$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep) ([Corollaire 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)). Ce sont $r_Gr_H$ [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) distincts ; les classes de $G\times H$ sont les produits de classes ($(g,h) \sim (g',h')$ composante par composante), donc il y en a $r_Gr_H$ : la liste est complète ([Théorème 5.11](#thm-b3-representations-numberirr)). Pour $(\Z/2\Z)^2$ : les quatre [caractères](#def-b3-representations-character) de signe $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — la table du bloc en haut à gauche de [Exercice 5.4](#exo-b3-representations-4). Un groupe abélien fini est un produit de groupes cycliques ([Corollaire 3.13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#cor-b3-modules-abelian)) ; ses [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) sont des produits des cycliques ([Exercice 5.1](#exo-b3-representations-1)) : tous de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$.

**Exercice 5.9 ★★★.**

La [table de caractères](#def-b3-representations-table) de $A_5$ (classes de tailles $1, 15, 20,
12, 12$ de [Exercice 1.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-11)) : (a) Montrer que les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) sont $1, 3, 3, 4, 5$ *(la seule solution de $\sum n_i^2 = 60$ avec $n_1 = 1$ et, en utilisant [Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)(c) avec la simplicité, aucun autre $n_i = 1$)*. (b) Construire le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $4$ ([action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) de permutation sur $5$ points) et le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $5$ (l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) sur les six $5$-sous-groupes de Sylow donne le [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $6 = 1 + 5$ ; vérifier l’irréductibilité), et compléter les deux lignes de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ par orthogonalité des colonnes : des entrées en nombre d’or $\frac{1\pm\sqrt5}2$ apparaissent sur les classes de $5$-cycles. (c) Vérifier sur la table finie que $A_5$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) ([Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)).

**Solution de Exercice 5.9.**

(a) $D(A_5) = A_5$ ([simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien), donc le seul [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ est $\mathbf 1$ ([Proposition 5.13](#prop-b3-representations-onedim)). Il faut $n_2^2 + n_3^2
+ n_4^2 + n_5^2 = 59$ avec chaque $n_i \geq 2$ ; en testant les carrés $4, 9, 16, 25, 36, 49$ : le seul multiensemble qui marche est $\{9, 9, 16, 25\}$ : avec plus grand carré $49$, le reste $10$ n’est pas une somme de trois carrés $\geq 4$ ; avec $36$, le reste $23$ non plus ($16 + 4 + 4 = 24$, $9 + 9 + 4 =
22$) ; avec plus grand $25$, on vérifie $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ marche et les variantes $25 + 25$, $25 + 16 + 16$, $25 + 16 +
4$ échouent ; avec plus grand $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$. [Degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) : $1, 3, 3, 4, 5$.

(b) Permutation sur $5$ points : points fixes $(5, 1, 2, 0,
0)$, donc $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ avec $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60}
= 1$ : [irréductible](#def-b3-representations-rep). [Action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) sur les six $5$-Sylow : une involution en fixe exactement $2$ (les [normalisateurs](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) sont diédraux d’ordre $10$, chacun contenant $5$ involutions : $30$ incidences pour $15$ involutions), un $3$-élément en fixe $0$ (pas d’ordre $3$ dans $D_5$), un $5$-élément en fixe exactement $1$ (il appartient à un unique Sylow) : [caractère](#def-b3-representations-character) de permutation $(6, 2, 0, 1, 1)$, et $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ avec norme $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : [irréductible](#def-b3-representations-rep). Deux lignes $(3, a, b, c, d)$, $(3, a', b', c',
d')$ restent. Normes de colonnes ([Corollaire 5.12](#cor-b3-representations-column)) : sur la classe de $(1\,2)(3\,4)$, $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; colonne contre $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a')
= 0$ : $a + a' = -2$, $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$. Sur les $3$-cycles, $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : $b =
b' = 0$. Sur chaque $5$-classe, $\abs Z = 5$ : la colonne contre $e$ lit $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') =
0$, donc $c + c' = 1$ ; et $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} =
\bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — le nombre d’or et son conjugué ; la seconde $5$-classe porte les valeurs échangées (les deux lignes doivent être orthogonales).

(c) Dans la table finie, aucune entrée d’une ligne non triviale n’égale son [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) hors de la première colonne : chaque noyau $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ est trivial. Par [Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)(c), $A_5$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple).

**Exercice 5.10 ★★.**

Soit $\rho$ une [représentation irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ et $z
\in Z(G)$. Montrer $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ avec $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ un morphisme (le *[caractère](#def-b3-representations-character) central*), et en déduire $|\chi(z)| = n$ pour $z$ central. Application : si $G$ a une [représentation irréductible](#def-b3-representations-rep) fidèle, alors $Z(G)$ est cyclique.

**Solution de Exercice 5.10.**

$\rho(z)$ commute avec tout $\rho(g)$ ($z$ est central), i.e. $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur) : $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$, et $z \mapsto
\lambda_z$ est multiplicatif : un morphisme $Z(G) \to
\C^\times$. Alors $\chi(z) = n\lambda_z$ avec $\abs{\lambda_z}
= 1$ (racine de l’unité) : $\abs{\chi(z)} = n$. Si $\rho$ est fidèle, $\lambda$ est injectif sur $Z(G)$ ($\rho(z) =
\mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$), donc $Z(G)$ s’injecte dans $\C^\times$ ; un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique ([Théorème 4.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-cyclic)).

**Exercice 5.11 ★★.**

(Projections isotypiques) Soit $(V, \rho)$ une [représentation](#def-b3-representations-rep) de $G$ et $\chi_i$ un [caractère](#def-b3-representations-character) [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n_i$. Définir

$$
p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G}
\overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).
$$

(a) Montrer que $p_i$ est $G$-équivariant, et calculer sa restriction à une [sous-représentation](#def-b3-representations-rep) [irréductible](#def-b3-representations-rep) $W
\subseteq V$ de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi_j$ : c’est $\delta_{ij}\,
\mathrm{id}_W$ *(Schur ; prendre les traces pour identifier le scalaire)*. (b) En déduire que $p_i$ est une projection sur la somme $V_i$ de toutes les [sous-représentations](#def-b3-representations-rep) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ (la *composante isotypique*), que $\sum_ip_i =
\mathrm{id}_V$, et que la décomposition $V = \bigoplus_iV_i$ est canonique — contrairement au scindage plus fin de chaque $V_i$ en [irréductibles](#def-b3-representations-rep). (c) Pour la [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) de $S_3$ et le [caractère](#def-b3-representations-character) signature $\varepsilon$, écrire $p_\varepsilon$ explicitement comme élément de l’algèbre du groupe et vérifier $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ à la main.

**Solution de Exercice 5.11.**

(a) Équivariance : $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ réindexe la somme ($g \mapsto hgh^{-1}$, et $\chi_i$ est une [fonction de classe](#def-b3-representations-character)) : $p_i$ commute avec l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action). Sur une [irréductible](#def-b3-representations-rep) $W$ de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi_j$, Schur fait de la restriction un scalaire $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ; en prenant les traces,

$$
\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g
\overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i,
\chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}
$$

(première orthogonalité) : $\lambda = \delta_{ij}$.

(b) Décomposer $V$ en [irréductibles](#def-b3-representations-rep) (Maschke) : $p_i$ agit comme l’identité sur les facteurs de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ et comme $0$ sur tous les autres, donc $p_i$ est la projection sur leur somme $V_i$ le long de la somme du reste ; l’image $V_i$ ne dépend pas de la décomposition choisie (c’est l’ensemble des vecteurs fixés par $p_i$, défini sans choix). $\sum_ip_i$ agit comme l’identité sur chaque facteur [irréductible](#def-b3-representations-rep) : c’est $\mathrm{id}_V$. Le scindage plus fin de $V_i \cong
W_i^{\oplus m_i}$ implique le choix d’une base de $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : il n’est pas canonique.

(c) Pour $\varepsilon$ ([degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$) : $p_\varepsilon =
\frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$, i.e. dans l’algèbre du groupe

$$
p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3)
+ (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .
$$

En élevant au carré : le coefficient de $g$ dans $p_\varepsilon^2$ est $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) =
\frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 =
\frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : $p_\varepsilon^2 =
p_\varepsilon$. (Son image dans la [représentation régulière](#ex-b3-representations-examples) est la droite engendrée par $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : la [représentation](#def-b3-representations-rep) signature apparaît avec multiplicités $1$, comme le demande la théorie générale.)

**Exercice 5.12 ★★.**

(Lire une table) La [table de caractères](#def-b3-representations-table) d’un certain groupe $G$ d’ordre $24$ est partiellement connue : elle a $5$ classes, de tailles $1, 6, 8, 6, 3$, et des [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1, 1, 2, 3, 3$. (a) Retrouver la table complète : les deux [caractères](#def-b3-representations-character) linéaires (un trivial ; l’autre prend la valeur $-1$ exactement sur les classes de tailles $6$ et $6$), puis le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ via l’orthogonalité des colonnes avec la colonne de l’identité, puis les deux [caractères](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ de même (l’un est $\chi_2\chi_4$). (b) Identifier $G$ ($\cong S_4$ : comparer les classes aux types de cycles), et extraire de la table les sous-groupes normaux via [Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6) : noyaux de $\chi_2$ (indice $2$ : $A_4$) et de $\chi_3$ (le Klein $V_4$), et rien d’autre que $\{e\}, G$. (c) Expliquer comment la table montre $G/V_4 \cong S_3$ *(quels [caractères](#def-b3-representations-character) se factorisent à travers le quotient ?)*.

**Solution de Exercice 5.12.**

(a) Ordonner les classes $e$ [1], transpositions [6], $3$-cycles [8], $4$-cycles [6], doubles transpositions [3]. Le second [caractère](#def-b3-representations-character) linéaire est $\chi_2 = \varepsilon$ avec valeurs $1, -1, 1, -1, 1$. Pour le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ $\chi_3$, l’orthogonalité de chaque colonne avec la colonne de l’identité ($\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ pour $g \neq e$) donne, sur les transpositions : $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) =
0$ ; le tour de signature $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (un [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ multiplié par un linéaire reste [irréductible](#def-b3-representations-rep) — même norme) fait s’annuler $\chi_4 + \chi_5$ sur les classes impaires : $\chi_3 = 0$ là. Sur les $3$-cycles : $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ avec $\chi_5 = \chi_4$ sur les classes paires ; la colonne de $c_3$ avec elle-même donne des données en $\abs{\chi_3}^2$ ; en résolvant le petit système (utiliser aussi l’orthogonalité de ligne de $\chi_3$ avec $\mathbf 1$ et $\varepsilon$) : $\chi_3
= (2, 0, -1, 0, 2)$, puis $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ et $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$. La table complète :

|  | $e$ | $6\,t$ | $8\,c_3$ | $6\,c_4$ | $3\,v$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi_3$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
| $\chi_4$ | $3$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $-1$ |

(Toutes les lignes ont norme $1$ ; toutes les colonnes sont orthogonales : les vérifications passent.)

(b) Les données de classes $1, 6, 8, 6, 3$ avec ces [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) sont celles de $S_4$ (types de cycles $e$, $2$, $3$, $4$, $2{+}2$). Noyaux : $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (classes $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$, indice $2$) ; $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = classes $e, v$ : le groupe de Klein $V_4$, d’ordre $4$, [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal). $\chi_4, \chi_5$ sont fidèles ($\chi_i(g) = n_i$ seulement en $e$). Intersections de noyaux : $\{e\}$, $V_4$, $A_4$, $G$ — par [Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)(b) ce sont *tous* les sous-groupes normaux de $S_4$.

(c) Les [caractères](#def-b3-representations-character) avec $V_4 \subseteq \ker$ sont $\chi_1,
\chi_2, \chi_3$ : ils se factorisent par $G/V_4$, un groupe d’ordre $6$ possédant des [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) $1, 1, 2$ — la table de $S_3$. Comme la table du quotient *est* un invariant complet parmi les deux groupes d’ordre $6$ ($\Z/6\Z$ aurait six [caractères](#def-b3-representations-character) linéaires), $G/V_4 \cong
S_3$ : le quotient est visible dans la table comme le bloc des lignes contenant $V_4$ dans leur noyau.

## 5.5 Problème : le théorème $p^aq^b$ de Burnside

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — résolubilité des groupes d’ordre $p^aq^b$

Burnside montra en 1904 que tout groupe dont l’ordre a au plus deux facteurs premiers est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) — un énoncé sur les groupes abstraits dont les seules démonstrations connues pendant un demi-siècle passaient par la théorie des [caractères](#def-b3-representations-character). Ce problème construit la démonstration en entier, en assemblant le [Chapitre 1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ch-b3-groups) (résolubilité), le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#ch-b3-modules) ([modules de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) sur $\Z$) et ce chapitre. Tout au long, $\chi_1, \dots, \chi_r$ sont les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $G$, $n_i = \chi_i(e)$.

**Partie I — Entiers [algébriques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic).** Un *entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic)* est une racine d’un polynôme *unitaire* de $\Z[X]$.

1. Montrer que $\alpha$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) ssi l’anneau $\Z[\alpha]$ est un $\Z$ -module [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) .
2. En déduire que les entiers [algébriques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) forment un sous-anneau de $\C$ . *(Si $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ sont [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free), $\Z[\alpha, \beta]$ l’est aussi, et les [sous-modules](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) des $\Z$-modules [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) sont [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free), par le [Théorème 3.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-submodule).)*
3. Montrer qu’un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) *rationnel* est un entier. *(Théorème des racines rationnelles.)*
4. Montrer que toute valeur de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi(g)$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) .

**Partie II — Les relations de sommes de classes.** Fixer une [irréductible](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ et de [caractère](#def-b3-representations-character) $\chi$. Pour une [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) $C$, soit $S_C
= \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$.

5. Montrer que $S_C$ est équivariant, donc $S_C =  \omega_C\,\mathrm{id}$ avec $$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}  \qquad (g_C \in C \text{ un représentant quelconque}).$$
6. Montrer que $S_CS_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,S_{C''}$ où $a_{CC'C''} \in \N$ compte, pour un $z \in C''$ fixé, les paires $(x, y) \in C  \times C'$ avec $xy = z$ . En déduire que les $\omega_C$ vérifient $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
7. Conclure que chaque $\omega_C$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) .
8. En déduire la *divisibilité de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-finitefields)* : $n_i$ divise $\abs G$ pour tout [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [irréductible](#def-b3-representations-rep) . *(Calculer $\frac{\abs G}{n}$ comme entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) rationnel.)*

**Partie III — Le critère de simplicité de Burnside.**

9. Soit $\chi$ [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ et $C$ une classe avec $\gcd(\abs C, n) = 1$ . En utilisant Bézout et les questions 4–7, montrer que $\frac{\chi(g_C)}{n}$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) .
10. Supposer de plus $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Montrer que c’est impossible : l’entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $\alpha =  \chi(g_C)/n$ a tous ses *conjugués* de [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $\leq 1$ , donc le produit des conjugués $N$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) rationnel avec $0 < \abs N < 1$ . Conclure : soit $\chi(g_C) = 0$ , soit $\rho(g_C)$ est scalaire.
11. (Critère de Burnside) Soit $C \neq \{e\}$ une [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de taille *puissance de premier* $p^k  > 1$ , et supposer $G$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien. L’orthogonalité des colonnes sur la colonne de $C$ contre celle de $e$ donne $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Montrer qu’un certain $\chi_i$ non trivial avec $p \nmid n_i$ a $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; par la question 10, $\rho_i(g_C)$ est scalaire ; dériver une contradiction avec la simplicité. Conclure : *aucun [groupe simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien n’a de [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de taille puissance de premier $> 1$.*

**Partie IV — Le théorème.**

12. Soit $\abs G = p^aq^b$ avec $a + b \geq 1$ . Si $G$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) , montrer qu’il est abélien : choisir $z \neq e$ dans le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) d’un $q$ -sous-groupe de Sylow ( [Théorème 1.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-pfixed) ) et considérer la taille de sa [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) $[G : Z_G(z)]$ , une puissance de $p$ ; appliquer la question 11.
13. Conclure par récurrence sur $\abs G$ : *tout groupe d’ordre $p^aq^b$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived)* (Burnside). Pourquoi l’argument casse-t-il pour trois premiers — et le doit-il, étant donné $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot  5$ ?

**Partie V — La [table de caractères](#def-b3-representations-table) de $A_5$.** Le plus petit groupe que le théorème de Burnside ne peut toucher mérite son portrait complet ; tout ce qui suit n’utilise que ce chapitre et [Exercice 1.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-11).

14. Rappeler de [Exercice 1.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-11) les cinq [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de $A_5$ : $\{e\}$ , les $15$ doubles transpositions, les $20$ $3$ -cycles, et deux classes de $12$ $5$ -cycles chacune, représentées par $c =  (1\,2\,3\,4\,5)$ et $c^2$ . Expliquer pourquoi les $5$ -cycles se scindent en deux classes de $A_5$ alors qu’ils forment une seule classe de $S_5$ .
15. Montrer que les [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) de $A_5$ sont exactement $1, 3, 3, 4, 5$ : utiliser $\sum_in_i^2 = 60$ avec $r = 5$ classes, et le fait que $A_5$ est [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) ( $D(A_5) = A_5$ ), donc le [caractère](#def-b3-representations-character) trivial est son seul linéaire ; puis éliminer tout autre multiensemble *(écrire $59$ comme somme de quatre carrés d’entiers $\geq 2$ : vérifier qu’il n’y a qu’une façon avec des [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) plausibles)* .
16. Soit $\pi$ le [caractère](#def-b3-representations-character) de permutation de $A_5$ sur $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , avec valeurs $5, 1, 2, 0, 0$ sur les cinq classes. Calculer $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ et $\langle\pi,  \pi\rangle$ , et en déduire que $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $4$ , avec valeurs $4, 0, 1,  -1, -1$ .
17. Même jeu sur les $10$ paires non ordonnées $\{i, j\}$ : les comptages de points fixes sont $10, 2, 1, 0, 0$ . Calculer $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ et $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , en déduire la décomposition $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 +  \chi_5$ , et obtenir l’ [irréductible](#def-b3-representations-rep) $\chi_5$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $5$ avec valeurs $5, 1, -1, 0, 0$ .
18. Les deux [irréductibles](#def-b3-representations-rep) restants $\chi_2, \chi_3$ ont [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ . L’orthogonalité des colonnes (chaque colonne non identité contre celle de l’identité, et chaque colonne avec elle-même) détermine leurs valeurs hors des $5$ -cycles : montrer $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ sur les doubles transpositions et $0$ sur les $3$ -cycles.
19. Sur les classes de $5$-cycles, poser $x = \chi_2(c)$ et $y = \chi_2(c^2)$ ; par symétrie on peut prendre $\chi_3(c) = y$, $\chi_3(c^2) = x$. De la colonne de $c$ appairée avec celle de l’identité et avec celle de $c^2$, dériver $x + y = 1$ et $xy = -1$ (et vérifier la valeur $x^2 + y^2 = 3$ donnée par la colonne de $c$ avec elle-même), d’où $$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 -  \sqrt5}2\Bigr\} :$$ le nombre d’or et son conjugué. Assembler la [table de caractères](#def-b3-representations-table) complète de $A_5$.
20. Lancer les vérifications : la norme de ligne de $\chi_2$ vaut $1$ (utiliser $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , et la divisibilité de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-finitefields) (question 8) pour les cinq [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) . Où dans la table voit-on une différence avec $S_5$ , dont toutes les valeurs de [caractères](#def-b3-representations-character) sont des entiers rationnels ?
21. Déduire de la table seule que $A_5$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) : un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) est une réunion de [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) contenant $e$ dont le cardinal divise $60$ — vérifier qu’aucune sous-somme propre de $1 + 15 +  20 + 12 + 12$ contenant le terme $1$ ne divise $60$ . Recouper avec le critère de la question 11 : vérifier qu’aucune classe de $A_5$ n’a taille puissance de premier $> 1$ .
22. (Coda icosaédrale) $A_5$ est le groupe des rotations de l’icosaèdre, et les [représentations](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ sont les deux [actions](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) géométriques sur $\R^3$ . Vérifier l’identité de trace : une rotation d’angle $\theta$ a pour trace $1 + 2\cos\theta$ , et $1 +  2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Expliquer sans calcul pourquoi l’autre [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ doit porter la valeur conjuguée : le [groupe de Galois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-galois) de $\Q(\sqrt5)/\Q$ agit sur toute la [table de caractères](#def-b3-representations-table) (entrée par entrée), en permutant les [caractères](#def-b3-representations-character) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) .

**Partie VI — Compléments : une borne centrale et le carré tensoriel.**

23. (Plus fin qu’une divisibilité) Soit $\chi$ [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$. Montrer que $\abs{\chi(z)} = n$ pour tout $z \in Z(G)$ *(lemme de Schur : $\rho(z)$ est scalaire, d’ordre fini)*, et déduire de $\langle\chi,  \chi\rangle = 1$ la borne $$n^2 \leq [G : Z(G)] .$$ Montrer que les groupes non abéliens d’ordre $8$ ont des [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) $1, 1, 1, 1, 2$ *(cinq [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) ; écrire $8$ comme somme de cinq carrés)* et atteignent l’égalité $4 = [G :  Z(G)]$ ; vérifier la borne sur $A_5$, dont le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) est trivial.
24. (Carré tensoriel de $\chi_2$) Pour $g$ d’ordre fini, $\rho(g)$ est diagonalisable à valeurs propres racines de l’unité ; en déduire les formules de [caractères](#def-b3-representations-character) $$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2,  \qquad  \chi_{\Lambda^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$$ Les appliquer à $\chi_2$ de $A_5$ *(noter que $g^2$ parcourt la classe de $c^2$ quand $g$ parcourt celle de $c$, et réciproquement)* : montrer $\Lambda^2\chi_2 =  \chi_2$ et $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 +  \chi_5$, d’où $$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$$ Interpréter $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ géométriquement via le produit vectoriel sur $\R^3$.
25. (Audit final de la table) Vérifier numériquement : l’orthogonalité des colonnes entre les deux colonnes de $5$ -cycles ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), la valeur $5 =  \abs{Z_{A_5}(c)}$ pour la colonne de $c$ contre elle-même, et l’annulation du [caractère](#def-b3-representations-character) régulier $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ sur chacune des quatre colonnes non identité de la table.

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** Si $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 =
0$ ($c_i \in \Z$), alors $\alpha^n \in \Z\text{-span}(1, \dots,
\alpha^{n-1})$, et par récurrence toute puissance l’est : $\Z[\alpha]$ est engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$. Réciproquement soit $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$. Écrire $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ avec $M = (m_{ij}) \in
M_m(\Z)$ : le vecteur $g = (g_i)$ vérifie $(\alpha I - M)g =
0$ ; en multipliant par la comatrice, $\det(\alpha I -
M)\,g_i = 0$ pour tout $i$, et comme $1 \in \Z[\alpha]$ est une combinaison $\Z$-linéaire des $g_i$, $\det(\alpha I - M) =
0$ : $\alpha$ est racine du unitaire $\det(XI - M) \in \Z[X]$.

**2.** Si $\Z[\alpha]$ est engendré par les puissances de $\alpha$ jusqu’à $n-1$ et $\Z[\beta]$ par celles de $\beta$ jusqu’à $m - 1$, alors $\Z[\alpha,\beta]$ est engendré par les $nm$ produits $\alpha^i\beta^j$ (réduire tout monôme). Les sous-anneaux $\Z[\alpha + \beta]$ et $\Z[\alpha\beta]$ sont des $\Z$-sous-modules du $\Z$-module [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) $\Z[\alpha, \beta]$, donc [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) ($\Z[\alpha,\beta]$, engendré par $nm$ éléments, est image de $\Z^{nm}$ ; un [sous-module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) se tire en arrière en un [sous-module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de $\Z^{nm}$, [libre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) de rang $\leq nm$ par [Théorème 3.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#thm-b3-modules-submodule), et son image engendre). Par la question 1, $\alpha + \beta$ et $\alpha\beta$ sont des entiers [algébriques](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**3.** Si $\frac pq$ ([irréductible](#def-b3-representations-rep)) est racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$, le théorème des racines rationnelles (dénominateurs : $p^n =
-q(\cdots)$) donne $q \mid p^n$, donc $q = \pm1$.

**4.** $\chi(g)$ est une somme de racines de l’unité ([Proposition 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)), chacune un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (racine de $X^N - 1$) ; conclure par la question 2.

**5.** Pour $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} =
\sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ($C$ est une classe). Par Schur, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; en prenant les traces, $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$.

**6.** $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) =
\sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ avec $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times
C' : xy = z\}$. La conjugaison par $h$ bijectionne les solutions pour $z$ avec celles pour $hzh^{-1}$ : $a$ est une [fonction de classe](#def-b3-representations-character) à valeurs dans $\N$, donc $S_CS_{C'} =
\sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$. En substituant $S_C =
\omega_C\,\mathrm{id}$ partout et en identifiant les scalaires : $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$.

**7.** Soit $M$ le $\Z$-module engendré par $1$ et tous les produits $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; par la question 6 tout tel produit se réduit à une combinaison $\Z$-linéaire de $1$ et des $\omega_C$ : $M$ est [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free), et $\omega_C M
\subseteq M$ pour chaque $C$. En particulier $\Z[\omega_C]
\subseteq M$ est [de type fini](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-free) ([sous-module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module), comme en question 2), et la question 1 fait de $\omega_C$ un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**8.** Pour un [irréductible](#def-b3-representations-rep) $\chi$ de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $n$ :

$$
\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle
= \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)}
= \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)}
= \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .
$$

Chaque $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (question 4), donc le second membre en est un (questions 2, 7) ; il est rationnel, donc un entier (question 3) : $n \mid \abs G$.

**9.** Bézout : $u\abs C + vn = 1$ avec $u, v \in \Z$. Alors

$$
\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} +
v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),
$$

un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**10.** Supposer $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ et poser $\alpha = \chi(g_C)/n$. Toutes les valeurs $\chi(g)$ vivent dans $\Q(\zeta_N)$, $N = \abs G$ (sommes de racines $N$-ièmes de l’unité). Pour $\sigma \in
\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : $\sigma$ envoie racines de l’unité sur racines de l’unité ($\sigma(\zeta^k) =
\zeta^{ak}$, [Théorème 4.23](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-cyclotomicirred)), donc $\sigma(\chi(g_C))$ est encore une somme de $n$ racines de l’unité : $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; de plus $\sigma(\alpha)$ est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (même [polynôme minimal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) qu’$\alpha$). Le produit $P = \prod_\sigma
\sigma(\alpha)$ est fixé par tout le [groupe de Galois](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-galois), donc rationnel ([Théorème 4.21](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-fundamental)(1)), et c’est un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) avec

$$
0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1
$$

(aucun facteur ne s’annule : $\sigma(\alpha) = 0$ forcerait $\alpha = 0$). Cela contredit la question 3. Donc $\chi(g_C) =
0$ ou $\abs{\chi(g_C)} = n$, et dans ce dernier cas $\rho(g_C)$ est scalaire ([Proposition 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)).

**11.** Orthogonalité des colonnes ($C \neq \{e\}$) : $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$, i.e. $1 +
\sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$. Si tout $\chi_i$ non trivial avec $p \nmid n_i$ s’annulait en $g_C$, alors en regroupant le reste par leur facteur $p$ :

$$
-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i}
\frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},
$$

un entier [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) — contredisant la question 3. Donc un certain $\chi_i$ non trivial a $p \nmid n_i$ et $\chi_i(g_C)
\neq 0$ ; comme $\abs C = p^k$, $\gcd(\abs C, n_i) = 1$, et la question 10 fait de $\rho_i(g_C)$ un scalaire. Or $G$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien : $\chi_i$ est fidèle ([Exercice 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)), et $Z_i = \{g :
\rho_i(g) \text{ scalaire}\}$ est un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) (l’image réciproque sous $\rho_i$ des scalaires, qui forment un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) — voire central — de l’image) contenant $g_C \neq e$ : $Z_i = G$. Alors $\rho_i(G)$ est abélien et fidèle, rendant $G$ abélien : contradiction. *Aucun [groupe simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien n’a de [classe de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) de taille puissance de premier $> 1$.*

**12.** Soit $G$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) d’ordre $p^aq^b$. Si $b = 0$ ($G$ un $p$-groupe) : $Z(G) \neq \{e\}$ ([Théorème 1.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-pfixed)) est [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal), donc $Z(G) = G$ : abélien. Sinon prendre $Q$ un $q$-Sylow et $z \in Z(Q)
\setminus\{e\}$ ([Théorème 1.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#thm-b3-groups-pfixed) encore). Alors $Q
\subseteq Z_G(z)$, donc la classe de $z$ a taille $[G :
Z_G(z)]$ divisant $[G : Q] = p^a$ : une puissance de $p$. Si la taille est $1$, $z \in Z(G)$ : le [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) est un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) non trivial, donc $Z(G) = G$, abélien. Si la taille est $p^k > 1$ : la question 11 l’interdit pour $G$ [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien. Dans les deux cas un [groupe simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) d’ordre $p^aq^b$ est abélien ($\cong \Z/p\Z$).

**13.** Récurrence sur $\abs G$ ($\abs G = 1$ : [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived)). Si $G$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple), la question 12 le rend abélien, donc [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived). Sinon prendre $N$ un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) non trivial propre : $\abs N$ et $\abs{G/N}$ sont encore de la forme $p^{a'}q^{b'}$ et plus petits, donc $N$ et $G/N$ sont [résolubles](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) par récurrence, et $G$ est [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived) ([Proposition 1.29](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#prop-b3-groups-derived)). — Avec trois premiers, l’étape clé échoue : l’indice d’un Sylow n’est plus une puissance de premier, donc la classe d’un élément central d’un Sylow n’a pas forcément taille puissance de premier. Et un échec est inévitable : $A_5$, d’ordre $2^2\cdot3\cdot5$, est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) et non [résoluble](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-derived).

**14.** Les classes et tailles sont [Exercice 1.11](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#exo-b3-groups-11)(a). La classe de $S_5$ de $c$ a taille $24$ ; si elle restait une seule classe de $A_5$, le dénombrement orbite–stabilisateur donnerait $\abs{Z_{A_5}(c)}
= 60/24$, non entier — concrètement, $Z_{S_5}(c) = \langle
c\rangle$ a ordre $5$ et vit dans $A_5$, donc la classe de $A_5$ de $c$ a taille $60/5 = 12$ : la classe de $S_5$ se scinde en deux ($c$ et $c^2$ sont conjugués dans $S_5$ par une permutation impaire seulement).

**15.** Un seul [caractère](#def-b3-representations-character) linéaire : une [représentation](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1$ se factorise par $G/D(G)$, et $D(A_5) = A_5$ ($A_5$ est [simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) non abélien, et $D(A_5)$ est [normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal), non trivial — $A_5$ n’est pas abélien). Donc $n_1 = 1$ et $n_2^2 + n_3^2 +
n_4^2 + n_5^2 = 59$ avec chaque $n_i \geq 2$. Carrés disponibles : $4, 9, 16, 25, 36, 49$. Une somme de quatre d’entre eux égale à $59$ : le plus grand doit être $25$ ($36 +
4 + 4 + 9 = 53$ n’ajuste pas : $36 + 16 + 4 + 4 = 60$, $36 + 9
+ 9 + 4 = 58$, $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — aucune combinaison avec $36$ ou $49$ ne marche), et $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (la seule façon : $16 + 16 + 4 = 36$, $25 + 9 + 4 = 38$, $25 +
4 + 4 = 33$) : [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1, 3, 3, 4, 5$.

**16.** $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 +
15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (une [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) — le dénombrement de Burnside), et $\langle\pi, \pi\rangle =
\frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : $\pi$ contient le [caractère](#def-b3-representations-character) trivial une fois, et son autre constituant est un seul [irréductible](#def-b3-representations-rep). Donc $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ est [irréductible](#def-b3-representations-rep), de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $4$, avec valeurs $4, 0, 1, -1, -1$.

**17.** Sur les paires, un élément fixe $\{i,j\}$ ssi il fixe ou échange $i, j$ : les comptages sont $10$ ($e$), $2$ ($t = (1\,2)(3\,4)$ fixe $\{1,2\}, \{3,4\}$), $1$ ($(1\,2\,3)$ fixe $\{4,5\}$), $0, 0$. Alors $\langle\pi_{10},
\pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : trois constituants [irréductibles](#def-b3-representations-rep), chacun une fois. Et $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20)
= 1$, $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 +
20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : donc $\pi_{10} = \mathbf 1 +
\chi_4 + \chi$ avec $\chi$ [irréductible](#def-b3-representations-rep) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $10 - 1 - 4 =
5$ et valeurs $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1,
-1, 0, 0)$.

**18.** Écrire $a, a'$ pour les valeurs de $\chi_2,
\chi_3$ en $t$, et $b, b'$ en $s = (1\,2\,3)$ ; les quatre sont réelles ($t$ et $s$ sont conjugués à leurs inverses). Colonne $t$ contre colonne $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 =
0$, donc $a + a' = -2$ ; colonne $t$ avec elle-même : $1 + a^2
+ a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$, donc $a^2 + a'^2 = 2$ ; d’où $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ donne $aa' = 1$ et $a = a' =
-1$. Colonne $s$ contre $e$ : $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ donne $b + b' = 0$ ; colonne $s$ avec elle-même : $1 + b^2 +
b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}{20} = 3$ donne $b = b' = 0$.

**19.** Colonne $c$ contre colonne $e$ : $1 + 3(x + y) +
4(-1) + 5\cdot0 = 0$, donc $x + y = 1$. Colonne $c$ contre colonne $c^2$ (classes distinctes, orthogonales) : $1 + xy +
yx + 1 + 0 = 0$, donc $xy = -1$. Ainsi $x, y$ résolvent $T^2 -
T - 1 = 0$ : $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ avec $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$. Cohérence : $x^2 + y^2 =
(x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — matchant l’identité de colonne sur elle-même $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$. La table :

|  | $e$ | $15\,t$ | $20\,s$ | $12\,c$ | $12\,c^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\varphi$ | $\bar\varphi$ |
| $\chi_3$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\bar\varphi$ | $\varphi$ |
| $\chi_4$ | $4$ | $0$ | $1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $5$ | $1$ | $-1$ | $0$ | $0$ |

**20.** $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 +
0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 +
36}{60} = 1$, en utilisant $\varphi^2 + \bar\varphi^2 =
(\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$. De même $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 +
12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$. Divisibilité de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#thm-b3-galois-finitefields) : $1, 3, 3, 4, 5$ divisent tous $60$. Les valeurs irrationnelles $\varphi, \bar\varphi$ sont la différence visible avec $S_5$ : dans $S_5$ tout élément est conjugué à tous les générateurs de son groupe cyclique de même type de cycle — en particulier $c \sim c^2$ — forçant des valeurs de [caractères](#def-b3-representations-character) rationnelles (voire entières) ; dans $A_5$ le scindage des $5$-cycles ouvre la porte à $\Q(\sqrt5)$.

**21.** Un [sous-groupe normal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-normal) $N$ est une réunion de classes, contient $e$, et $\abs N \mid 60$. Les sommes candidates : $1{+}15 = 16$, $1{+}20 = 21$, $1{+}12 = 13$, $1{+}24 = 25$, $1{+}15{+}20 = 36$, $1{+}15{+}12 = 28$, $1{+}15{+}24 = 40$, $1{+}20{+}12 = 33$, $1{+}20{+}24 = 45$, $1{+}12{+}12 = 25$, $1{+}15{+}20{+}12 = 48$, $1{+}15{+}20{+}24
= 60 - 12 = \dots$ listant toutes les sous-sommes propres contenant $1$ : aucune de $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45,
48, \dots$ ne divise $60$ sauf $1$ lui-même : $N = \{e\}$ ou $A_5$. Simplicité, lue sur cinq nombres. Et le critère de la question 11 est visible aussi : les tailles de classes $15 =
3\cdot5$, $20 = 4\cdot5$, $12 = 4\cdot3$ sont toutes composées de deux premiers — aucune classe puissance de premier, exactement comme le critère de Burnside l’exige d’un [groupe simple](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple).

**22.** Une rotation de $\R^3$ d’angle $\theta$ a pour valeurs propres $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : trace $1 + 2\cos\theta$. Pour $\theta = \frac{2\pi}5$ : $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$, donc la trace est $1
+ \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$. L’élément non trivial $\tau$ de $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ appliqué entrée par entrée à une [table de caractères](#def-b3-representations-table) envoie [caractères](#def-b3-representations-character) sur [caractères](#def-b3-representations-character) (il commute avec l’algèbre définissante : $\tau\circ\chi$ est le [caractère](#def-b3-representations-character) de la [représentation](#def-b3-representations-rep) obtenue en transportant les matrices par $\tau$ sur les entrées, ou abstraitement : les relations d’orthogonalité sont $\Q$-rationnelles, donc $\tau$ permute leurs solutions) ; $\tau$ fixe $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (valeurs rationnelles) et doit donc échanger $\chi_2$ et $\chi_3$ : le second [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $3$ porte les valeurs conjuguées, sans calculer de matrice. Géométriquement, les deux [représentations](#def-b3-representations-rep) sont l’[action](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) icosaédrale et sa composée avec un automorphisme extérieur de $A_5$ (conjugaison par une transposition), qui échange les deux classes de $5$-cycles.

**23.** Pour $z \in Z(G)$, $\rho(z)$ commute avec tout $\rho(g)$, donc par le lemme de Schur $\rho(z) = \lambda\,
\mathrm{id}$ ; comme $z$ a ordre fini, $\lambda$ est une racine de l’unité, et $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$. Alors

$$
\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle
= \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2
\geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2
= \abs{Z(G)}\,n^2,
$$

i.e. $n^2 \leq [G : Z(G)]$. Un groupe non abélien d’ordre $8$ ($D_4$ ou $Q_8$) a cinq [classes de conjugaison](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions), donc cinq [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) [irréductibles](#def-b3-representations-rep) avec $\sum n_i^2 = 8$ ; la seule façon d’écrire $8$ comme somme de cinq carrés $\geq 1$ est $1 + 1 +
1 + 1 + 4$ : [degrés](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $1, 1, 1, 1, 2$. Les deux groupes ont un [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) d’ordre $2$, et le [caractère](#def-b3-representations-character) de [degré](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-extension) $2$ atteint l’égalité : $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — la borne est optimale. Pour $A_5$, $Z = \{e\}$ et la borne lit $n^2 \leq 60$ : satisfaite par $1, 3, 3, 4, 5$ avec de la marge ($25 \leq 60$), comme il se doit car l’égalité forcerait (par la même chaîne) $\chi$ à s’annuler hors du [centre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions).

**24.** $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ pour $m$ l’ordre de $g$, donc $\rho(g)$ est annihilé par $X^m - 1$, scindé à racines [simples](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-simple) sur $\C$ : diagonalisable, avec valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ racines de l’unité, dans une base propre $(e_i)$. Les produits $e_ie_j$ ($i \leq j$) forment une base propre de $\operatorname{Sym}^2V$ avec valeurs propres $\lambda_i\lambda_j$, et $e_i \wedge e_j$ ($i
< j$) une de $\Lambda^2V$ ; comme

$$
\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j
= \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2
= \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,
$$

et la somme symétrique ajoute $\sum_i\lambda_i^2$ au lieu de la soustraire, les deux formules suivent. Pour $\chi_2 = (3,
-1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ sur les classes $(e,
(2,2)\text{-}, 3\text{-cycles}, c, c^2)$ : élever au carré envoie les doubles transpositions sur $e$, les $3$-cycles sur des $3$-cycles, la classe de $c$ sur celle de $c^2$ et réciproquement ($c^{-1} \sim c$ dans $A_5$, donc $c^4 \sim
c$). D’où $\chi_2(g^2)$ lit $(3, 3, 0, \bar\varphi,
\varphi)$, et, en utilisant $\varphi^2 = \varphi + 1$, $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

$$
\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2,
\qquad
\operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .
$$

En décomposant ce dernier, avec les tailles de classes $1, 15,
20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 +
15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle =
\frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle =
\frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle =
\frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$, et de même pour $\chi_3$. Donc $\operatorname{Sym}^2\chi_2 =
\mathbf 1 + \chi_5$ (dimensions $6 = 1 + 5$) et $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensions $9 = 1 + 3 + 5$). Géométrie : l’isomorphisme équivariant $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$, $u \wedge v \mapsto u
\times v$, est exactement $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ pour un groupe de rotations ; le facteur $\mathbf 1$ du carré symétrique est la forme quadratique invariante $x^2 + y^2 +
z^2$, et $\chi_5$ vit sur l’espace de dimension cinq des tenseurs symétriques de trace nulle (quadratiques harmoniques).

**25.** Colonne de $c$ contre colonne de $c^2$ :

$$
1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi +
(-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,
$$

comme l’exige l’orthogonalité pour des classes distinctes ($\varphi \bar\varphi = -1$). Colonne de $c$ contre elle-même : $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 +
1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$. [Caractère](#def-b3-representations-character) régulier $\sum_in_i\chi_i$ sur les quatre colonnes non identité :

$$
1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad
1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,
$$

sur doubles transpositions et $3$-cycles, et sur la classe de $c$ (celle de $c^2$ est son conjugué galoisien) :

$$
1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,
$$

en utilisant $\varphi + \bar\varphi = 1$. La table passe chaque audit : c’est la [table de caractères](#def-b3-representations-table) de $A_5$.