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title: "Topologie générale"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale
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# Chapitre 6 — Topologie générale

Le volume de deuxième année a mené l’analyse dans les espaces métriques : distances, boules, suites. Mais les notions fondamentales — continuité, compacité, connexité — ne mentionnent jamais la valeur numérique d’une distance, seulement la famille des *[ouverts](#def-b3-topology-topology)* qu’elle engendre. Ce chapitre prend cette famille comme objet primitif. Le gain n’est pas la généralité pour elle-même : les constructions quotients (le cercle comme $\R/\Z$, les espaces projectifs), les produits et les [topologies](#def-b3-topology-topology) de type faible de l’analyse fonctionnelle ne sont tout simplement pas des objets « métrique d’abord ». On reconstruit la continuité, puis on traite la compacité par recouvrements [ouverts](#def-b3-topology-topology) (en prouvant l’équivalence avec la définition séquentielle de deuxième année dans les espaces métriques), et la connexité — pour conclure par le théorème qu’une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) ne peut identifier $\R$ et $\R^2$ : la [topologie](#def-b3-topology-topology) distingue les dimensions.

## 6.1 Topologies, ouverts, continuité

**Définition 6.1.**

Une *topologie* sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal T$ de parties de $X$ — appelées *ouverts* — telles que : $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toute réunion d’ouverts est ouverte ; toute intersection *finie* d’ouverts est ouverte. Le couple $(X, \mathcal T)$ est un *espace topologique*. Les complémentaires d’ouverts sont *fermés*. Un *voisinage* de $x$ est un ensemble contenant un ouvert contenant $x$.

**Exemple 6.2.**

(a) Un espace métrique, avec les [ouverts](#def-b3-topology-topology) de deuxième année (réunions de boules [ouvertes](#def-b3-topology-topology)) : la *[topologie](#def-b3-topology-topology) métrique* ; des métriques différentes peuvent donner la même [topologie](#def-b3-topology-topology) (métriques équivalentes). Un espace dont la [topologie](#def-b3-topology-topology) provient d’une métrique est *métrisable*. (b) La [topologie](#def-b3-topology-topology) *discrète* (toutes les parties) et la [topologie](#def-b3-topology-topology) *indiscrète* $\{\varnothing, X\}$. (c) La [topologie](#def-b3-topology-topology) *cofinie* sur un ensemble infini : [ouvert](#def-b3-topology-topology) $=$ vide ou cofini. Non métrisable, comme on le verra ([Exercice 6.3](#exo-b3-topology-3)). (d) Sur $\R$, la [topologie](#def-b3-topology-topology) usuelle ; sur $\bar\R = \R \cup
\{\pm\infty\}$, la [topologie](#def-b3-topology-topology) de l’ordre engendrée par les demi-droites — faisant de « $x_n \to +\infty$ » un cas particulier de convergence ordinaire.

**Définition 6.3.**

Pour $A \subseteq X$ : l’*intérieur* $\mathring A$ est le plus grand [ouvert](#def-b3-topology-topology) [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans $A$ (réunion de tous) ; l’*adhérence* $\bar A$ le plus petit fermé contenant $A$ ; la *frontière* $\partial A = \bar A
\setminus \mathring A$. $A$ est *dense* si $\bar A = X$. On a $x \in \bar A$ ssi tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ rencontre $A$ (si un [voisinage](#def-b3-topology-topology) manque $A$, le complémentaire de son noyau [ouvert](#def-b3-topology-topology) est un fermé plus petit autour de $A$ ; et réciproquement).

**Définition 6.4.**

Une *base* de $\mathcal T$ est une famille $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ telle que tout [ouvert](#def-b3-topology-topology) est réunion de membres de $\mathcal B$ (p. ex. les boules [ouvertes](#def-b3-topology-topology) d’un espace métrique ; les intervalles [ouverts](#def-b3-topology-topology) de $\R$). Une famille $\mathcal B$ de parties de $X$ est une base d’*une* [topologie](#def-b3-topology-topology) ssi elle recouvre $X$ et, pour $B_1, B_2 \in \mathcal B$ et $x \in B_1 \cap B_2$, il existe $B_3 \in \mathcal B$ avec $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — alors les « réunions de membres » forment une [topologie](#def-b3-topology-topology), la [topologie](#def-b3-topology-topology) *engendrée* par $\mathcal B$.

**Définition 6.5.**

$f \colon X \to Y$ est *continue* si $f^{-1}(V)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) pour tout [ouvert](#def-b3-topology-topology) $V \subseteq Y$ — de façon équivalente, les images réciproques de fermés sont fermées ; de façon équivalente, pour tout $x$ et tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) $V$ de $f(x)$, $f^{-1}(V)$ est un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ (continuité *en* chaque $x$). Il suffit de vérifier sur une [base](#def-b3-topology-basis) de $Y$. Les composées d’applications continues sont continues. Un *homéomorphisme* est une bijection continue d’inverse continue ; la [topologie](#def-b3-topology-topology) étudie les propriétés préservées par les homéomorphismes.

**Proposition 6.6 (Continuité vs adhérence ; recollement).**

(a) $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ pour tout $A \subseteq X$. (b) Si $X = F_1 \cup F_2$ avec $F_1, F_2$ fermés et $f\colon X
\to Y$ se restreint continûment à chaque $F_i$, alors $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity).

**Démonstration.** (a) Si $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) : $f^{-1}(\overline{f(A)})$ est fermé et contient $A$, donc contient $\bar A$. Réciproquement, appliquer le critère à $A = f^{-1}(F)$, $F$ fermé : $f(\bar A) \subseteq
\overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$, donc $\bar A
\subseteq f^{-1}(F) = A$ : les images réciproques de fermés sont fermées. (b) Pour $F \subseteq Y$ fermé : $f^{-1}(F) =
(f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1}
(F)$, réunion de deux ensembles fermés dans $F_1$, resp. $F_2$, donc fermés dans $X$ ($F_i$ fermés : fermé-dans-fermé est fermé). ∎

**Définition 6.7.**

$X$ est *séparé* (ou *de Hausdorff*) si deux points distincts admettent des [voisinages](#def-b3-topology-topology) disjoints. Les espaces métriques sont séparés (boules de rayon $d(x,y)/2$). Une suite $(x_n)$ *converge* vers $x$ si tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ contient tous les $x_n$ sauf un nombre fini ; dans un espace séparé, les limites sont uniques (deux limites auraient des [voisinages](#def-b3-topology-topology) disjoints contenant chacun une queue). Dans un espace séparé, les points — donc les parties finies — sont fermés.

**Remarque 6.8.**

Dans les espaces métriques, les suites détectent tout : $x \in
\bar A$ ssi une suite de $A$ converge vers $x$ (prendre $x_n
\in A \cap B(x, 1/n)$), et $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi elle est séquentiellement [continue](#def-b3-topology-continuity). Dans les espaces généraux, les deux équivalences échouent ; les bons substituts des suites (filtres, filets) relèvent d’un cours plus avancé. On énoncera les résultats séquentiels dans les espaces métriques et les résultats par recouvrements en général — et on prouvera l’équivalence là où elle a lieu.

## 6.2 Sous-espaces, produits, quotients

**Définition 6.9.**

Trois façons de fabriquer de nouveaux espaces à partir d’anciens :

1. *Sous-espace* : sur $A \subseteq X$ , les [ouverts](#def-b3-topology-topology) sont les $U \cap A$ , $U$ [ouvert](#def-b3-topology-topology) dans $X$ — la [topologie](#def-b3-topology-topology) la plus grossière rendant l’inclusion [continue](#def-b3-topology-continuity) .
2. *Produit* : sur $X \times Y$ (et les produits finis), la [topologie](#def-b3-topology-topology) de [base](#def-b3-topology-basis) les *pavés [ouverts](#def-b3-topology-topology)* $U \times V$ ; sur un produit infini $\prod_i X_i$ , la [base](#def-b3-topology-basis) est formée des pavés $\prod U_i$ avec $U_i = X_i$ pour *tous les $i$ sauf un nombre fini* — la [topologie](#def-b3-topology-topology) la plus grossière rendant chaque projection [continue](#def-b3-topology-continuity) .
3. *Quotient* : si $\sim$ est une équivalence sur $X$ et $\pi\colon X \to X/{\sim}$ la projection, on déclare $V \subseteq X/{\sim}$ [ouvert](#def-b3-topology-topology) ssi $\pi^{-1}(V)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) — la [topologie](#def-b3-topology-topology) la plus fine rendant $\pi$ [continue](#def-b3-topology-continuity) .

**Proposition 6.10 (Propriétés universelles).**

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi les deux composantes $\pi_X \circ f$, $\pi_Y \circ f$ le sont (idem pour les produits arbitraires). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi $g \circ \pi
\colon X \to Z$ l’est.

**Démonstration.** (a) Nécessité : composées. Suffisance : il suffit de vérifier les images réciproques des pavés de [base](#def-b3-topology-basis) : $f^{-1}(U \times V)
= (\pi_Xf)^{-1}(U) \cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$, [ouvert](#def-b3-topology-topology) (nombre fini de facteurs $\neq X_i$ dans le cas infini). (b) Nécessité : composée. Suffisance : pour $W \subseteq Z$ [ouvert](#def-b3-topology-topology), $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology), ce qui, par définition de la [topologie quotient](#def-b3-topology-constructions), signifie que $g^{-1}(W)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology). ∎

**Exemple 6.11.**

Le quotient $\R/\Z$ (identifier $x$ et $x + n$) est homéomorphe au cercle $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : l’application $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passe à une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) $\R/\Z \to S^1$ ([Proposition 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)) ; son inverse est [continue](#def-b3-topology-continuity) par l’argument de compacité du [Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ci-dessous ([Exercice 6.5](#exo-b3-topology-5) détaille tout, y compris pourquoi $\R/\Z$ est [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) et [compact](#def-b3-topology-compact)). De même $[0,1]$ avec les extrémités collées est $S^1$, le carré avec les côtés opposés collés est le tore, et le collage est enfin un théorème, non un dessin.

## 6.3 Compacité

**Définition 6.12.**

Un *recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology)* de $X$ est une famille $(U_i)_{i\in I}$ d’[ouverts](#def-b3-topology-topology) avec $\bigcup U_i = X$. $X$ est *compact* s’il est [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) et si tout recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) admet un *sous-recouvrement fini*. De façon équivalente (en passant aux complémentaires) : toute famille de fermés avec la *propriété d’intersection finie* (toutes les sous-familles finies ont une intersection non vide) a une intersection totale non vide.

**Théorème 6.13 (Premières propriétés).**

Soit $X$ [compact](#def-b3-topology-compact).

1. Une partie fermée de $X$ est compacte ; une partie compacte d’un [espace séparé](#def-b3-topology-hausdorff) est fermée.
2. L’image [continue](#def-b3-topology-continuity) d’un [espace compact](#def-b3-topology-compact) dans un [espace séparé](#def-b3-topology-hausdorff) est compacte. En particulier une $f\colon X  \to \R$ [continue](#def-b3-topology-continuity) est bornée et atteint ses bornes.
3. Une suite décroissante de parties fermées non vides de $X$ a une intersection non vide.

**Démonstration.** (1) Soit $F \subseteq X$ fermé et $(U_i)$ un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) de $F$ (par des [ouverts](#def-b3-topology-topology) de $X$) : en ajoutant $X
\setminus F$ on obtient un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) de $X$ ; un sous-recouvrement fini, privé de $X \setminus F$, recouvre $F$. La séparation du sous-espace est claire. Réciproquement soit $K \subseteq Y$ [compact](#def-b3-topology-compact), $Y$ [séparé](#def-b3-topology-hausdorff), et $y \notin K$ : pour chaque $x \in K$ choisir des [ouverts](#def-b3-topology-topology) disjoints $U_x \ni
x$, $V_x \ni y$ ; un nombre fini de $U_x$ recouvrent $K$, et l’intersection des $V_x$ correspondants est un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $y$ disjoint du recouvrement de $K$, donc de $K$ : le complémentaire de $K$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology).

(2) Si $(V_j)$ recouvre $f(X)$, alors $(f^{-1}(V_j))$ recouvre $X$ ; un sous-recouvrement fini en bas provient du sous-recouvrement fini en haut. L’image est séparée comme sous-espace. Pour $f$ réelle : $f(X)$ est compacte dans $\R$, donc fermée et bornée (recouvrement par $(-n, n)$ pour la bornitude ; fermée par (1)), et une partie fermée bornée contient son supremum.

(3) Si $\bigcap F_n = \varnothing$, les [ouverts](#def-b3-topology-topology) $X \setminus
F_n$ recouvrent $X$ ; un nombre fini suffit, donc quelque $F_{n_0} = \varnothing$ (la suite décroît) — contradiction. ∎

**Corollaire 6.14.**

Une *bijection* [continue](#def-b3-topology-continuity) d’un [espace compact](#def-b3-topology-compact) vers un [espace séparé](#def-b3-topology-hausdorff) est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity).

**Démonstration.** L’inverse est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi les images directes de fermés sont fermées ; un fermé $F$ est [compact](#def-b3-topology-compact) ([Théorème 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)), son image est compacte (2), donc fermée (1) dans la cible séparée. ∎

**Théorème 6.15 (Produits finis).**

Un produit fini d’[espaces compacts](#def-b3-topology-compact) est [compact](#def-b3-topology-compact).

**Démonstration.** Il suffit de traiter $X \times Y$. La séparation s’hérite (séparer dans une coordonnée). Soit $(W_i)$ un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) de $X \times Y$ ; on peut supposer les $W_i$ des pavés de [base](#def-b3-topology-basis) $U_i \times V_i$ (raffiner : chaque point est dans un pavé [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans quelque $W_i$ ; un sous-recouvrement fini de pavés en donne un de $W_i$). Fixons $x \in X$ : la *tranche* $\{x\}\times Y \cong Y$ est compacte, donc un nombre fini de pavés $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ la recouvrent, avec $x \in U_j$ pour tout $j$ ; alors $U^x =
\bigcap_{j \leq k} U_j$ est un [voisinage](#def-b3-topology-topology) [ouvert](#def-b3-topology-topology) de $x$ avec $U^x \times Y$ recouvert par un nombre fini de pavés (le *lemme du tube* : pour $(x', y) \in
U^x \times Y$, $y \in V_j$ pour quelque $j$ puisque les pavés recouvraient $\{x\}\times Y$ au niveau $y$, et $x' \in U^x
\subseteq U_j$, donc $(x', y) \in U_j \times V_j$). Un nombre fini de $U^x$ recouvrent alors le [compact](#def-b3-topology-compact) $X$ ; les collections finies de pavés correspondantes recouvrent $X
\times Y$. ∎

**Théorème 6.16 (Compacité dans les espaces métriques).**

Pour un espace métrique $(X, d)$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $X$ est [compact](#def-b3-topology-compact) (Borel–Lebesgue) ;
2. toute suite de $X$ admet une sous-suite convergente ( [compacité séquentielle](#thm-b3-topology-metriccompact) — définition de deuxième année) ;
3. $X$ est complet et *totalement borné* : pour tout $\varepsilon > 0$ , un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$ recouvrent $X$ .

**Démonstration.** (1)$\Rightarrow$(2) : Soit $(x_n)$ sans sous-suite convergente. Alors chaque $x \in X$ admet une boule ouverte $B_x$ ne contenant $x_n$ que pour un nombre fini d’indices $n$ (sinon une sous-suite convergerait vers $x$ : prendre des rayons $1/k$). Un nombre fini de $B_x$ recouvrent $X$, donc seuls un nombre fini d’indices $n$ existent : absurde.

(2)$\Rightarrow$(3) : Complétude : une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge (deuxième année). Totalement borné : si un $\varepsilon$ n’admet pas de recouvrement fini, choisir inductivement $x_{n+1}$ hors de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ : la suite vérifie $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ pour $m \neq n$, pas de sous-suite de Cauchy, donc pas de sous-suite convergente.

(3)$\Rightarrow$(1) : D’abord, (3) implique (2) : étant donné $(x_n)$, recouvrir $X$ par un nombre fini de boules de rayon $1$ : l’une, $B_1$, contient une sous-suite ; recouvrir $X$ par des boules de rayon $1/2$ : l’une en contient une sous-sous-suite ; itérer et diagonaliser : la sous-suite diagonale est de Cauchy (deux termes au-delà de l’étape $k$ sont dans une boule commune de rayon $2^{-k}$, au facteur $2$ près habituel), donc converge. Soit maintenant $(U_i)$ un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) et supposons qu’il n’y ait pas de sous-recouvrement fini. *Argument du nombre de Lebesgue* : pour chaque $n$, quelque boule $B(y_n, 2^{-n})$ n’est pas recouverte par un nombre fini de $U_i$ — en effet, recouvrir $X$ par un nombre fini de boules de rayon $2^{-n}$ ; si chacune était finiment recouverte, $X$ le serait. Par (2), une sous-suite $y_{n_k} \to y$ ; choisir $i$ avec $y \in U_i$ et $r > 0$ avec $B(y, r) \subseteq U_i$. Pour $k$ grand, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$ : recouverte par *un* $U_i$ — contradiction. ∎

**Corollaire 6.17 (Heine–Borel ; Heine).**

(a) Une partie de $\R^n$ est compacte ssi elle est fermée et bornée. (b) Une [application continue](#def-b3-topology-continuity) d’un espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) vers un espace métrique est uniformément [continue](#def-b3-topology-continuity).

**Démonstration.** (a) Fermée et bornée $\Rightarrow$ contenue dans un cube $[-M,M]^n$, qui est [compact](#def-b3-topology-compact) : $[-M, M]$ l’est (séquentiellement, par Bolzano–Weierstrass — ou directement par dichotomie pour les recouvrements), et le [Théorème 6.15](#thm-b3-topology-tychonoff) traite le produit ; appliquer alors le [Théorème 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1). Réciproquement une partie compacte est fermée ([Théorème 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)) et bornée (recouvrement par des boules concentriques).

(b) Soit $f \colon X \to Y$, $\varepsilon > 0$. Les boules $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ avec $f\bigl(B(x,
2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ recouvrent $X$ ; extraire un sous-recouvrement fini $B(x_j,
\delta_{x_j})$ et poser $\delta = \min_j \delta_{x_j}$. Si $d(x, x') < \delta$ : $x \in B(x_j, \delta_{x_j})$ pour quelque $j$, et alors $x, x' \in B(x_j, 2\delta_{x_j})$, donc $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$. ∎

**Définition 6.18.**

$X$ est *localement compact* s’il est [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) et si tout point admet un [voisinage](#def-b3-topology-topology) [compact](#def-b3-topology-compact) ($\R^n$ ; [ouverts](#def-b3-topology-topology) de $\R^n$ ; espaces discrets — mais pas $\Q$, voir [Exercice 6.9](#exo-b3-topology-9)). Tout espace localement [compact](#def-b3-topology-compact) s’immerge dans un [compact](#def-b3-topology-compact) : la *compactification d’Alexandroff* $\hat X = X \cup \{\infty\}$, dont les [ouverts](#def-b3-topology-topology) sont ceux de $X$ ainsi que les complémentaires (dans $\hat X$) des parties [compactes](#def-b3-topology-compact) de $X$. On vérifie les axiomes directement ; $\hat X$ est [compact](#def-b3-topology-compact) (un recouvrement a un membre contenant $\infty$, dont le complémentaire est [compact](#def-b3-topology-compact), recouvert par un nombre fini d’autres) et [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) (séparer $x$ de $\infty$ par un [voisinage](#def-b3-topology-topology) [compact](#def-b3-topology-compact) de $x$ et son complémentaire). Exemple : $\hat\R \cong S^1$, et $\widehat{\R^n} \cong S^n$ par projection stéréographique ([Exercice 6.11](#exo-b3-topology-11)).

## 6.4 Connexité

**Définition 6.19.**

$X$ est *connexe* s’il n’est pas réunion de deux [ouverts](#def-b3-topology-topology) non vides disjoints — de façon équivalente, ses seules parties à la fois [ouvertes](#def-b3-topology-topology) et fermées sont $\varnothing$ et $X$ ; de façon équivalente, toute [application continue](#def-b3-topology-continuity) $X \to \{0, 1\}$ (discret) est constante. Une partie est connexe si elle l’est comme sous-espace.

**Théorème 6.20.**

1. Les parties [connexes](#def-b3-topology-connected) de $\R$ sont exactement les intervalles.
2. Les images [continues](#def-b3-topology-continuity) d’ensembles [connexes](#def-b3-topology-connected) sont [connexes](#def-b3-topology-connected) (d’où le théorème des valeurs intermédiaires : une application réelle [continue](#def-b3-topology-continuity) sur un [espace connexe](#def-b3-topology-connected) a un intervalle pour image).
3. Si $(A_i)$ sont [connexes](#def-b3-topology-connected) avec un point commun, $\bigcup A_i$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) . Si $A$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) et $A  \subseteq B \subseteq \bar A$ , alors $B$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) .
4. Les produits finis d’ [espaces connexes](#def-b3-topology-connected) sont [connexes](#def-b3-topology-connected) .

**Démonstration.** Partout on utilise le critère $\{0,1\}$ : $f \colon X \to
\{0,1\}$ [continue](#def-b3-topology-continuity) doit être constante.

(1) Une non-intervalle $A$ manque quelque $c$ entre $a, b \in
A$ : $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ déconnecte. Réciproquement soit $I$ un intervalle et $f \colon
I \to \{0,1\}$ [continue](#def-b3-topology-continuity) avec $f(a) = 0$, $f(b) = 1$, $a < b$. Soit $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ ; la continuité en $c$ force $f(c) = 0$ (limite de valeurs $0$ : tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $c$ rencontre $\{f = 0\}$ ; $\{f=0\}$ est fermé) puis $c < b$ avec $f \equiv 1$ sur $(c, b]$, donc $f(c) = 1$ par le même argument de fermeture sur $\{f = 1\} \ni c$ : contradiction.

(2) Une $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ [continue](#def-b3-topology-continuity) donne $g \circ f$ constante, donc $g$ est constante sur l’image.

(3) Une $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ [continue](#def-b3-topology-continuity) est constante sur chaque $A_i$, avec la même valeur au point commun. Pour l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) : $f \colon B \to \{0,1\}$ est constante $= c$ sur $A$ ; tout $x \in B \subseteq \bar A$ est dans l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) de $A$, et $f^{-1}(f(x))$ est un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ (image réciproque d’un [ouvert](#def-b3-topology-topology)), qui doit rencontrer $A$ : $f(x) = c$.

(4) Pour $X \times Y$ et $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ : deux points $(x,y), (x',y')$ sont joints par le « coude » $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$, réunion de deux ensembles [connexes](#def-b3-topology-connected) (homéomorphes à $Y$, $X$) se rencontrant en $(x, y')$ : par (3) et (2), $f$ coïncide sur les deux points. ∎

**Définition 6.21.**

$X$ est *connexe par arcs* si deux points quelconques sont joints par un *chemin* ([application continue](#def-b3-topology-continuity) $\gamma \colon [0,1] \to X$). [Connexe](#def-b3-topology-connected) par arcs implique [connexe](#def-b3-topology-connected) : deux valeurs d’une $f \colon X \to
\{0,1\}$ [continue](#def-b3-topology-continuity) en $x, y$ sont des valeurs de la constante $f\circ\gamma$ ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(1)–(2)). Les parties convexes d’espaces normés sont [connexes](#def-b3-topology-connected) par arcs (segments) ; de même $\R^n \setminus \{0\}$ pour $n \geq 2$ (contourner l’origine), et $S^n$ pour $n \geq 1$ (projeter des chemins depuis $\R^{n+1}\setminus \{0\}$).

**Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue).**

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S =
\bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0,
y)$, $\abs y \leq 1$, est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$). Alors $S$ est *[connexe](#def-b3-topology-connected)* — [adhérence](#def-b3-topology-interior) de la [connexe](#def-b3-topology-connected) $\Gamma$, image [continue](#def-b3-topology-continuity) de $(0, 1]$ ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)) — mais *pas [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected)* : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; [Exercice 6.9](#exo-b3-topology-9) rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.

![La sinusoïde du topologue : le graphe de 1x (rouge) s’accumule sur tout le segment \0\×(-1,1) (bleu). La réunion est connexe mais non connexe par arcs : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-topology/fig-f1cdfcf49061.svg)

*La [sinusoïde du topologue](#ex-b3-topology-sinecurve) : le graphe de $\sin\frac1x$ (rouge) s’accumule sur tout le segment $\{0\}\times[-1,1]$ (bleu). La réunion est [connexe](#def-b3-topology-connected) mais non [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini.*

**Définition 6.23.**

La *composante connexe* de $x
\in X$ est la réunion de toutes les parties [connexes](#def-b3-topology-connected) contenant $x$ — la plus grande ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)). Les composantes partitionnent $X$ et sont fermées (les [adhérences](#def-b3-topology-interior) d’ensembles [connexes](#def-b3-topology-connected) sont [connexes](#def-b3-topology-connected)). $X$ est *totalement discontinu* si toutes les composantes sont des singletons ($\Q$ ; l’ensemble de Cantor du problème de fin de semaine).

**Théorème 6.24.**

$\R$ n’est homéomorphe à aucun $\R^n$ avec $n \geq 2$.

**Démonstration.** Supposons $h \colon \R \to \R^n$ un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity). En retirant un point : $\R \setminus \{0\}$ est homéomorphe à $\R^n \setminus \{h(0)\}$. Or $\R\setminus\{0\}$ est disconnexe, tandis que $\R^n\setminus\{\text{point}\}$ est [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) pour $n \geq 2$ ([Définition 6.21](#def-b3-topology-pathconnected) ; translater le point en $0$) : la connexité est un invariant d’[homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) — contradiction. (Que $\R^2 \not\cong \R^3$ demande des invariants plus fins — [topologie](#def-b3-topology-topology) [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) ; le problème de fin de semaine montre le danger : des *surjections [continues](#def-b3-topology-continuity)* $\R \to \R^2$ existent.) ∎

**Méthode 6.25.**

Pour prouver qu’un ensemble est [connexe](#def-b3-topology-connected) : l’exhiber comme image [continue](#def-b3-topology-continuity), réunion d’ensembles [connexes](#def-b3-topology-connected) se chevauchant, [adhérence](#def-b3-topology-interior), ou produit ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)) ; pour les parties d’espaces normés, prouver la connexité par arcs avec des chemins explicites (segments, arcs, coudes). Pour prouver que deux espaces ne sont *pas* homéomorphes : trouver un invariant topologique qui diffère — compacité, connexité, nombre de composantes, ou composantes après suppression d’un ensemble fini bien choisi (l’astuce du [Théorème 6.24](#thm-b3-topology-rnotr2) : elle prouve aussi $[0,1)
\not\cong (0,1)$ et $S^1 \not\cong [0,1]$).

## 6.5 Exercices

**Exercice 6.1 ★.**

(a) Lister toutes les [topologies](#def-b3-topology-topology) sur $\{a, b\}$, les classer à [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) près, et déterminer lesquelles sont [connexes](#def-b3-topology-connected) et lesquelles sont [séparées](#def-b3-topology-hausdorff). (b) Dans $\R$ ([topologie](#def-b3-topology-topology) usuelle), calculer intérieur, [adhérence](#def-b3-topology-interior) et frontière de $\Q$, de $[0,1) \cup \{2\}$, et de $\{1/n : n \geq 1\}$.

**Solution de Exercice 6.1.**

(a) Quatre [topologies](#def-b3-topology-topology) sur $\{a,b\}$ : indiscrète $\{\varnothing, X\}$ ; discrète ; les deux [topologies](#def-b3-topology-topology) de *Sierpiński* $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ et $\{\varnothing, \{b\}, X\}$. Les deux dernières sont homéomorphes (échanger $a, b$) : trois classes. [Connexes](#def-b3-topology-connected) : toutes sauf la discrète (seule la [topologie](#def-b3-topology-topology) discrète contient un clopen propre non vide). [Séparées](#def-b3-topology-hausdorff) : seule la discrète (dans les autres, le seul [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $b$ est $X$, ou celui de $a$).

(b) $\Q$ : intérieur $\varnothing$ (tout intervalle contient des irrationnels), [adhérence](#def-b3-topology-interior) $\R$ (densité), frontière $\R$. $[0,1) \cup \{2\}$ : intérieur $(0,1)$, [adhérence](#def-b3-topology-interior) $[0,1]\cup\{2\}$, frontière $\{0, 1, 2\}$. $\{1/n\}$ : intérieur $\varnothing$, [adhérence](#def-b3-topology-interior) $\{1/n\}\cup\{0\}$, frontière l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) elle-même.

**Exercice 6.2 ★.**

(a) Montrer que $f\colon X \to Y$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ssi $f^{-1}(B)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) pour tout $B$ d’une [base](#def-b3-topology-basis) fixée de $Y$. (b) Montrer que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ n’est pas [continue](#def-b3-topology-continuity) mais est *[continue](#def-b3-topology-continuity) à droite*. Vérifier que les intervalles [semi-ouverts](#def-b3-topology-topology) $[a, b)$ forment une [base d’une topologie](#def-b3-topology-basis) sur la source $\R$ (la *droite de Sorgenfrey*), que cette [topologie](#def-b3-topology-topology) est strictement plus fine que l’usuelle, et qu’une fonction $\R \to \R$ (cible usuelle) est [continue](#def-b3-topology-continuity) depuis la droite de Sorgenfrey ssi elle est [continue](#def-b3-topology-continuity) à droite en tout point.

**Solution de Exercice 6.2.**

(a) Tout [ouvert](#def-b3-topology-topology) $V \subseteq Y$ est une réunion $\bigcup B_j$ d’ensembles de [base](#def-b3-topology-basis), et $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$ : si ces derniers sont [ouverts](#def-b3-topology-topology), le premier l’est ; la réciproque est triviale.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ n’est pas [ouvert](#def-b3-topology-topology) : $f$ n’est pas [continue](#def-b3-topology-continuity) ; la continuité à droite en chaque point est claire ($f$ est localement constante à droite de tout point). Les ensembles $[a, b)$ satisfont le critère de [base](#def-b3-topology-basis) ([Définition 6.4](#def-b3-topology-basis)) : $[a,b)\cap[c,d) =
[\max(a,c), \min(b,d))$. La [topologie](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey est plus fine que l’usuelle, car $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c,
b)$ ; strictement : $[0,1)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) pour Sorgenfrey, pas pour l’usuelle. Continuité depuis la droite de Sorgenfrey en $x$ : un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey de $x$ contient un ensemble de [base](#def-b3-topology-basis) $[a, b) \ni x$, donc contient $[x, b)$ — la condition de continuité se lit : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ avec $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ dès que $x \leq t < x + \delta$. C’est exactement la continuité à droite en $x$.

**Exercice 6.3 ★.**

Sur un ensemble infini muni de la [topologie](#def-b3-topology-topology) cofinie, montrer : deux [ouverts](#def-b3-topology-topology) non vides se rencontrent toujours (donc l’espace n’est pas [séparé](#def-b3-topology-hausdorff), donc non métrisable) ; toute suite injective converge vers *tout* point. Où la preuve d’unicité des limites utilise-t-elle la séparation

**Solution de Exercice 6.3.**

Deux [ouverts](#def-b3-topology-topology) non vides ont des complémentaires finis, donc leur intersection a un complémentaire fini : non vide (l’ensemble est infini) — aucun couple de points n’a de [voisinages](#def-b3-topology-topology) disjoints : non [séparé](#def-b3-topology-hausdorff), donc non métrisable ([Définition 6.7](#def-b3-topology-hausdorff)). Soit $(x_n)$ injective et $x$ arbitraire : un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ contient un [ouvert](#def-b3-topology-topology) cofini $U$ ; les points finiment nombreux de $X\setminus U$ sont atteints par au plus un nombre fini d’indices (injectivité), donc une queue de la suite est dans $U$ : $x_n \to x$, pour *tout* $x$. La preuve d’unicité a besoin de deux [voisinages](#def-b3-topology-topology) disjoints pour séparer deux limites alléguées — précisément ce qui échoue ici.

**Exercice 6.4 ★★.**

(a) Montrer que les projections $\pi_X, \pi_Y$ d’un produit sont [continues](#def-b3-topology-continuity) et *[ouvertes](#def-b3-topology-topology)* (images d’[ouverts](#def-b3-topology-topology) sont [ouvertes](#def-b3-topology-topology)), mais pas fermées en général ($\{xy = 1\}$ dans $\R^2$). (b) Montrer qu’une suite dans un produit dénombrable $\prod_n
X_n$ d’espaces métriques converge ssi chaque coordonnée converge, et que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n,
y_n))$ métrise la [topologie produit](#def-b3-topology-constructions). (c) Sur $\R^\N$, montrer que la « [topologie](#def-b3-topology-topology) boîte » (tous les produits d’[ouverts](#def-b3-topology-topology) sont [ouverts](#def-b3-topology-topology)) est strictement plus fine : la suite $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge vers $0$ pour la [topologie produit](#def-b3-topology-constructions) mais pas pour la [topologie](#def-b3-topology-topology) boîte.

**Solution de Exercice 6.4.**

(a) La continuité est par construction ([Définition 6.9](#def-b3-topology-constructions)). Ouverture : un [ouvert](#def-b3-topology-topology) $W \subseteq X \times Y$ est réunion de pavés $U_i\times
V_i$, et $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (les pavés non vides se projettent sur leurs facteurs), [ouvert](#def-b3-topology-topology). Pas fermée : $H =
\{(x,y) : xy = 1\}$ est fermé dans $\R^2$ (image réciproque de $\{1\}$ sous le produit continu), mais $\pi_X(H) =
\R\setminus\{0\}$ n’est pas fermé.

(b) ($\Rightarrow$) Les projections sont [continues](#def-b3-topology-continuity). ($\Leftarrow$) Soit $x^{(k)} \to x$ composante par composante et $W = \prod U_n$ un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de [base](#def-b3-topology-basis) de $x$, avec $U_n =
X_n$ sauf pour $n \in F$ fini. Pour chaque $n \in F$, $x_n^{(k)} \in U_n$ pour $k \geq K_n$ ; pour $k \geq \max_F
K_n$, $x^{(k)} \in W$. La formule $d$ définit une métrique (chaque somme est une, à la vérification standard près que $\min(1, d_n)$ l’est) ; ses boules : $B_d(x, 2^{-N})$ contient le pavé de [base](#def-b3-topology-basis) $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ pour $N'$ convenable (la queue $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ est petite), et réciproquement tout pavé de [base](#def-b3-topology-basis) contient une $d$-boule : les deux [topologies](#def-b3-topology-topology) ont les mêmes [voisinages](#def-b3-topology-topology) de chaque point.

(c) Pour la [topologie produit](#def-b3-topology-constructions), $x^{(k)} \to 0$ par (b). L’[ouvert](#def-b3-topology-topology) boîte $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ contient $0$, mais $x^{(k)} \notin U$ pour tout $k$ (la $n$-ième coordonnée $1/k \geq 1/n$ quand $n \geq k$) : aucune queue n’entre dans $U$. La [topologie](#def-b3-topology-topology) boîte est strictement plus fine et n’est pas une [topologie](#def-b3-topology-topology) de type produit pour la convergence.

**Exercice 6.5 ★★.**

Le cercle, de trois façons. Montrer que les suivants sont homéomorphes deux à deux, avec des applications explicites : (i) $S^1 \subseteq \R^2$ ; (ii) $\R/\Z$ ([topologie quotient](#def-b3-topology-constructions)) ; (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$. *(Pour (ii) : montrer que $\R/\Z$ est [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) — relever deux classes à des représentants à distance $\leq \frac12$ — et que $\pi([0,1])$ est tout, donc le quotient est [compact](#def-b3-topology-compact) ; puis utiliser le [Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo).)*

**Solution de Exercice 6.5.**

$\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, est [continue](#def-b3-topology-continuity), surjective, et constante sur les classes modulo $\Z$ : elle induit une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) $\bar\varphi \colon
\R/\Z \to S^1$ ([Proposition 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)). La projection $\pi$ est *ouverte* : pour $U \subseteq \R$ [ouvert](#def-b3-topology-topology), $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology), donc $\pi(U)$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology). [Séparé](#def-b3-topology-hausdorff) : soit $\bar x \neq \bar
y$ ; choisir des représentants avec $\delta =
\min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ ; les images des intervalles de rayon $\delta/3$ autour de $x$ et $y$ sont [ouvertes](#def-b3-topology-topology) (ouverture de $\pi$), contiennent $\bar x, \bar y$, et sont disjoints (deux points antécédents seraient à moins de $2\delta/3$ l’un de l’autre mod $\Z$). [Compact](#def-b3-topology-compact) : $\R/\Z =
\pi([0,1])$, image [continue](#def-b3-topology-continuity) d’un [espace compact](#def-b3-topology-compact) ([Théorème 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Maintenant $\bar\varphi$ est une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) d’un [espace compact](#def-b3-topology-compact) vers le [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) $S^1$ : un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

Pour (iii) : le composé $[0,1] \hookrightarrow \R
\xrightarrow{\pi} \R/\Z$ est continu, surjectif, et identifie exactement $0 \sim 1$ : il induit une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ d’un [espace compact](#def-b3-topology-compact) (image [continue](#def-b3-topology-continuity) de $[0,1]$ sous la projection quotient) vers un [espace séparé](#def-b3-topology-hausdorff) : un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity). En composant : les trois espaces sont homéomorphes.

**Exercice 6.6 ★★.**

Soit $X$ un espace métrique. (a) Montrer qu’une réunion finie de parties [compactes](#def-b3-topology-compact) est compacte, et qu’une intersection quelconque l’est. (b) Si $K$ est [compact](#def-b3-topology-compact), $F$ fermé, $K \cap F = \varnothing$, montrer $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$ ; donner un contre-exemple avec deux fermés disjoints. (c) Montrer que $X$ est [compact](#def-b3-topology-compact) ssi *toute* $f
\colon X \to \R$ [continue](#def-b3-topology-continuity) est bornée. *(Si une suite n’a pas de sous-suite convergente, construire une fonction [continue](#def-b3-topology-continuity) non bornée supportée près de ses termes ; ou utiliser des fonctions du type $x \mapsto d(x, \cdot)$ — une voie propre : si $(x_n)$ n’a pas de point d’accumulation, l’ensemble $\{x_n\}$ est fermé et discret, et $f(x_n) = n$ s’étend continûment par des moyens sans Tietze : $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ pour $r_n$ assez petits.)*

**Solution de Exercice 6.6.**

(a) Un recouvrement de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restreint en un recouvrement de chaque $K_j$ : un nombre fini d’[ouverts](#def-b3-topology-topology) par morceau suffit. Une intersection $\bigcap K_i$ est fermée dans le [compact](#def-b3-topology-compact) $K_{i_0}$ (les [compacts](#def-b3-topology-compact) sont fermés dans l’espace métrique ambiant), donc compacte.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) ($1$-lipschitzienne) et strictement positive sur $K$ ($d(x, F) = 0$ signifie $x \in
\bar F = F$) ; sur le [compact](#def-b3-topology-compact) $K$ elle atteint un minimum $m >
0$ : $d(K, F) \geq m$. Contre-exemple sans compacité : $F_1 =
\{n : n \geq 2\}$ et $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ sont fermés, disjoints, à distance $\inf_n \frac1n = 0$.

(c) Si $X$ est [compact](#def-b3-topology-compact), toute $f$ [continue](#def-b3-topology-continuity) est bornée ([Théorème 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Réciproquement, si $X$ n’est pas [compact](#def-b3-topology-compact), prendre $(x_n)$ sans sous-suite convergente ([Théorème 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)) ; en passant à une sous-suite on peut supposer les $x_n$ deux à deux distincts, et aucun point de $X$ n’est point d’accumulation de la suite, donc

$$
r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq
n\}\bigr)\Bigr) > 0,
$$

et les boules $B(x_n, r_n)$ sont deux à deux disjointes (un point commun des $n$-ième et $m$-ième donnerait $d(x_n, x_m) <
r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$). Définir

$$
f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x,
x_n)}{r_n}\Bigr):
$$

en chaque $x$ au plus un terme est non nul, et $f(x_n) = n$. Continuité en $x$ : soit $y_k \to x$ ; chaque valeur $f(y_k)$ est soit $0$ soit une valeur de bosse unique $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$. Si quelque indice $n$ apparaît infiniment souvent, le long de cette sous-suite $f(y_k) =
\mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$, qui égale $f(x)$ (si $x \in B(x_n, r_n)$, toute la queue est dans cette boule ouverte et aucun autre indice n’apparaît ; si $x
\notin B(x_n, r_n)$ alors $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, puisque $x$, adhérent à la $n$-ième boule, n’est dans aucune autre boule ouverte). Si $n_k \to \infty$ : $d(y_k, x_{n_k})
< r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, donc $x_{n_k} \to x$, faisant de $x$ un point d’accumulation de $(x_n)$ — exclu ; ce cas ne concerne donc qu’un nombre fini de $k$. Dans tous les cas $f(y_k) \to f(x)$ : $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity), et non bornée.

**Exercice 6.7 ★★.**

(Nombre de Lebesgue) Soit $(U_i)$ un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) d’un espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) $X$. Montrer qu’il existe $\delta > 0$ tel que toute partie de diamètre $< \delta$ est contenue dans un seul $U_i$. *(Sinon choisir $A_n$ de diamètre $< 1/n$ dans aucun $U_i$, et un point d’accumulation de $x_n \in A_n$ choisis.)* En déduire à nouveau le théorème de Heine ([Corollaire 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)(b)).

**Solution de Exercice 6.7.**

Supposons qu’aucun $\delta$ ne marche : pour chaque $n$ il existe $A_n$ de diamètre $< 1/n$ [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans aucun $U_i$ ; choisir $x_n \in A_n$. Par compacité ([Théorème 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)), une sous-suite $x_{n_k} \to x$ ; choisir $i$ et $r > 0$ avec $B(x, r)
\subseteq U_i$. Pour $k$ grand : $d(x_{n_k}, x) < r/2$ et $1/n_k < r/2$, donc $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k)
\subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradiction. Heine : étant donné $\varepsilon$, recouvrir $Y$ par des boules $B(y, \varepsilon/2)$ ; les images réciproques forment un recouvrement [ouvert](#def-b3-topology-topology) de $X$ ; soit $\delta$ un nombre de Lebesgue : si $d(x, x') < \delta$, la paire $\{x, x'\}$ a un diamètre $< \delta$, est dans une image réciproque, et $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$.

**Exercice 6.8 ★★.**

(a) Montrer que $GL_n(\R)$ est une partie ouverte [dense](#def-b3-topology-interior) de $M_n(\R)$, et qu’elle est disconnexe : le signe du déterminant la sépare en (au moins) deux morceaux. Montrer en revanche que $GL_n(\C)$ est [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected). *(Pour $A, B \in GL_n(\C)$ : $\lambda \mapsto
\det\bigl((1 - \lambda)A + \lambda B\bigr)$ est un polynôme, non identiquement nul, donc a un nombre fini de racines dans $\C$ : choisir un chemin de $\lambda$ dans $\C$ de $0$ à $1$ les évitant.)* (b) Prouver la densité : $A + \varepsilon I$ est inversible pour $\varepsilon > 0$ petit.

**Solution de Exercice 6.8.**

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) ($\det$ est polynomiale, [continue](#def-b3-topology-continuity)). Disconnexe : $\det$ l’envoie sur $\R\setminus\{0\}$, et un [espace connexe](#def-b3-topology-connected) a des images [continues](#def-b3-topology-continuity) [connexes](#def-b3-topology-connected) ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) ; $\R\setminus\{0\}$ n’est pas un intervalle. $GL_n(\C)$ : pour $A, B$ inversibles, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A +
\lambda B\bigr)$ est un polynôme en $\lambda$ avec $p(0),
p(1) \neq 0$, donc non identiquement nul : il a un nombre fini de racines dans $\C$. Le plan privé d’un nombre fini de points est [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) (contourner les points), donc il existe un chemin $\lambda(t)$ de $0$ à $1$ avec $p(\lambda(t)) \neq 0$ : $t \mapsto (1-\lambda(t))A +
\lambda(t)B$ est un chemin dans $GL_n(\C)$.

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ s’annule pour au plus $n$ valeurs de $\varepsilon$ : des matrices inversibles $A + \varepsilon I \to A$ quand $\varepsilon \to 0$ : densité.

**Exercice 6.9 ★★.**

(a) Montrer que les [composantes connexes](#def-b3-topology-components) de $\Q$ sont les singletons, et que $\Q$ n’est pas [localement compact](#def-b3-topology-locallycompact) (un [voisinage](#def-b3-topology-topology) [compact](#def-b3-topology-compact) de $0$ dans $\Q$ contiendrait $[-r, r]\cap
\Q$, dont l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) dans $\Q$ n’est pas compacte : couper en un irrationnel). (b) Compléter l’[Exemple 6.22](#ex-b3-topology-sinecurve) : aucun chemin ne joint $(0,0)$ à $\Gamma$. *(Si $\gamma = (\gamma_1,
\gamma_2)$ est un tel chemin, soit $t^* = \sup\{t :
\gamma_1(t) = 0\}$ ; pour $t > t^*$ le point se déplace sur le graphe ; choisir $t_k \downarrow t^*$ avec $\gamma_1(t_k) \to
0$ frappant des abscisses où $\sin$ vaut alternativement $\pm1$ — le théorème des valeurs intermédiaires les fournit — contredisant la continuité de $\gamma_2$ en $t^*$.)*

**Solution de Exercice 6.9.**

(a) Soit $A \subseteq \Q$ contenant $p < q$ et choisir un irrationnel $\alpha \in (p, q)$ : $A = (A \cap (-\infty,
\alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ scinde $A$ en deux morceaux non vides relativement [ouverts](#def-b3-topology-topology) : $A$ est disconnexe. Les composantes sont des singletons. La compacité locale échoue : un [voisinage](#def-b3-topology-topology) [compact](#def-b3-topology-compact) $V$ de $0$ dans $\Q$ contient $[-r, r]\cap\Q$ pour quelque $r > 0$, qui est fermé dans $V$, donc [compact](#def-b3-topology-compact) ; mais une suite de rationnels dans $[-r,r]$ convergeant (dans $\R$) vers un irrationnel n’a pas de sous-suite convergeant *dans $\Q$* : contradiction avec [Théorème 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact).

(b) Soit $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ un chemin avec $\gamma(0) = (0,0)$ et $\gamma(1) \in \Gamma$. L’ensemble $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ est fermé et ne contient pas $1$ ; soit $t^*$ son supremum, donc $\gamma_1(t^*) = 0$ et $\gamma_1 > 0$ sur $(t^*, 1]$. Par continuité de $\gamma_2$ en $t^*$, choisir $\delta$ avec $\abs{\gamma_2(t) -
\gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ pour $t \in [t^*, t^* + \delta]$. Fixer $t_0 = t^* + \delta$ (on peut supposer $\leq 1$) : $\gamma_1(t_0) > 0$, et $\gamma_1$ prend toute valeur de $(0,
\gamma_1(t_0)]$ sur $[t^*, t_0]$ (théorème des valeurs intermédiaires, [Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)). Choisir $k$ grand avec $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} <
\gamma_1(t_0)$ et $b_k = \frac1{3\pi/2 + 2k\pi} <
\gamma_1(t_0)$ : il existe $s, s' \in (t^*, t_0]$ avec $\gamma_1(s) = a_k$, $\gamma_1(s') = b_k$ ; comme les points sont sur le graphe, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) = 1$ et $\gamma_2(s') = -1$. Les deux ne peuvent être à moins de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$ : contradiction. $S$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) mais non [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected).

**Exercice 6.10 ★★★.**

L’ensemble de Cantor des tiers médians $C = \bigcap_n C_n$, où $C_0 = [0,1]$ et $C_{n+1}$ retire le tiers médian [ouvert](#def-b3-topology-topology) de chaque intervalle de $C_n$. (a) Montrer $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in
\{0,2\}\bigr\}$, et que $C$ est [compact](#def-b3-topology-compact), d’intérieur vide, et sans point isolé (*[parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect)*). (b) Montrer que $C$ est totalement discontinu. (c) Montrer que $x \mapsto (a_n(x))_n$ est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) $C \to \{0,2\}^\N$ ([topologie produit](#def-b3-topology-constructions) sur l’espace discret à deux points) ; en déduire que $C$ est non dénombrable, et que $C \times C \cong C$.

**Solution de Exercice 6.10.**

(a) $C_n$ consiste exactement en les $x$ admettant un développement ternaire avec chiffres dans $\{0, 2\}$ jusqu’au rang $n$ (induction : retirer les tiers médians retire le premier chiffre $1$, etc. ; les extrémités ont deux développements, dont un sans $1$), donc $C = \bigcap C_n$ est l’ensemble des sommes $\sum a_n3^{-n}$, $a_n \in \{0,2\}$. [Compact](#def-b3-topology-compact) : chaque $C_n$ est une réunion finie d’intervalles fermés ; $C$ est fermé dans $[0,1]$. Intérieur vide : $C
\subseteq C_n$, une réunion d’intervalles de longueur $3^{-n}$ ; un intervalle intérieur de longueur $\ell > 0$ tiendrait dans l’un d’eux pour tout $n$. [Parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) : étant donné $x \in C$ et $m$, retourner le chiffre $a_m$ : le nouveau point est dans $C$, distinct, à moins de $2\cdot3^{-m}$ de $x$.

(b) Si $x \neq y \in C$, leurs développements diffèrent d’abord à quelque rang $k$ ; entre eux se trouve un intervalle de tiers médian retiré (le trou au rang $k$ séparant le chiffre $0$ du chiffre $2$), fournissant un point $c \notin C$, $x <
c < y$ (disons) : $C = (C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap
(c, \infty))$ scinde toute partie contenant les deux points. Les composantes sont des singletons.

(c) L’application des chiffres $\beta\colon x \mapsto
(a_n(x))$ est une bijection sur $\{0,2\}^\N$ (existence et unicité des développements $\{0,2\}$ : des suites de chiffres distinctes donnent des points à distance $\geq 3^{-k} > 0$ où elles diffèrent d’abord, comme dans [Problème 6.1](#pb-b3-topology-1), question 1). Elle est [continue](#def-b3-topology-continuity) : $\abs{x - y} < 3^{-m}$ force l’accord des $m$ premiers chiffres (même calcul), donc $\beta$ envoie de petites boules dans des pavés de [base](#def-b3-topology-basis). Une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) du [compact](#def-b3-topology-compact) $C$ vers le produit [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ; le produit est [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) : séparer en une coordonnée différente). Non dénombrabilité : diagonale de Cantor sur $\{0,2\}^\N$. Enfin $\{0,2\}^\N
\times \{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ par entrelacement des chiffres (un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) : continuité composante par composante dans les deux sens), donc $C \times C \cong C$.

**Exercice 6.11 ★★★.**

Projection stéréographique : depuis le pôle nord $N = (0,
\dots, 0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$, l’application $\sigma(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) $S^n \setminus \{N\} \to \R^n$ (donner l’inverse explicitement). En déduire que $S^n$ est homéomorphe à la [compactification d’Alexandroff](#def-b3-topology-locallycompact) $\widehat{\R^n}$, et que retirer *n’importe quel* point de $S^n$ laisse un espace homéomorphe à $\R^n$.

**Solution de Exercice 6.11.**

Pour $y \in \R^n$, poser

$$
\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 -
1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.
$$

On vérifie $\norm{\tau(y)} = 1$, $\tau(y) \neq N$, et $\sigma(\tau(y)) = y$, $\tau(\sigma(x)) = x$ : $\sigma$ et $\tau$ sont mutuellement inverses, toutes deux [continues](#def-b3-topology-continuity) (formules rationnelles à dénominateurs non nuls) : $S^n
\setminus\{N\} \cong \R^n$. Étendre en $\hat\sigma \colon S^n
\to \widehat{\R^n}$ par $N \mapsto \infty$ : une bijection, [continue](#def-b3-topology-continuity) en tout point de $S^n\setminus\{N\}$, et en $N$ : un [voisinage](#def-b3-topology-topology) de [base](#def-b3-topology-basis) de $\infty$ est $\widehat{\R^n}\setminus
K$, $K$ [compact](#def-b3-topology-compact), $K \subseteq \bar B(0, R)$ ; comme $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to
\infty$ quand $x_{n+1} \to 1$, l’ensemble $\{x \in S^n :
x_{n+1} > 1 - \eta\}$ s’envoie hors de $\bar B(0,R)$ pour $\eta$ petit : continuité. Une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) du [compact](#def-b3-topology-compact) $S^n$ vers le [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) $\widehat{\R^n}$ est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity). Retirer un autre point $p$ : une rotation de $S^n$ envoie $p$ sur $N$ (les rotations sont des [homéomorphismes](#def-b3-topology-continuity)), se ramenant au cas calculé : $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$.

**Exercice 6.12 ★★★.**

(La [sinusoïde du topologue](#ex-b3-topology-sinecurve)) Soit

$$
T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\}
\cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .
$$

(a) Montrer que $T$ est [compact](#def-b3-topology-compact), et que c’est l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) de la partie graphe. (b) Montrer que $T$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) *(le graphe est [connexe](#def-b3-topology-connected) comme image [continue](#def-b3-topology-continuity) ; son [adhérence](#def-b3-topology-interior) reste [connexe](#def-b3-topology-connected))*. (c) Montrer que $T$ n’est *pas* [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) : aucun chemin continu ne joint $(0,0)$ à $(1, \sin1)$. *(Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ est un tel chemin, soit $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; juste après $t^*$, $\gamma_1$ prend toutes les petites valeurs positives (théorème des valeurs intermédiaires), donc $\gamma_2$ oscille entre $\pm1$ sur tout intervalle $(t^*, t^* + \delta)$ — contredire la continuité en $t^*$.)* (d) Conclure que la connexité par arcs est strictement plus forte que la connexité, et montrer qu’aucun tel exemple ne peut être [ouvert](#def-b3-topology-topology) dans $\R^n$ : une partie *ouverte* [connexe](#def-b3-topology-connected) de $\R^n$ est [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) *(l’ensemble des points joignables à un point de [base](#def-b3-topology-basis) par un chemin est [ouvert](#def-b3-topology-topology) et fermé dans le domaine)*.

**Solution de Exercice 6.12.**

(a) $T$ est borné, et fermé : une limite de points de $T$ d’abscisses $\to x_0 > 0$ reste sur le graphe (localement fermé) par continuité de $\sin\frac1x$ sur $\intoc01$ ; une limite d’abscisses $\to 0$ a une ordonnée dans $\intcc{-1}1$, donc est dans le segment. [Compact](#def-b3-topology-compact) par Heine–Borel ([Corollaire 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)). [Adhérence](#def-b3-topology-interior) du graphe $\Gamma$ : tout point $(0, y)$, $y \in \intcc{-1}1$, est limite de points du graphe — résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ (la fonction balaye $\intcc{-1}1$ sur chaque intervalle $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$) : $\bar\Gamma =
T$.

(b) $\Gamma$ est l’image [continue](#def-b3-topology-continuity) de la [connexe](#def-b3-topology-connected) $\intoc01$ sous $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : [connexe](#def-b3-topology-connected) ; et l’[adhérence](#def-b3-topology-interior) d’un ensemble [connexe](#def-b3-topology-connected) est [connexe](#def-b3-topology-connected) ([Théorème 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)) : $T = \bar\Gamma$ est [connexe](#def-b3-topology-connected).

(c) Supposer $\gamma\colon\intcc01\to T$ [continue](#def-b3-topology-continuity) avec $\gamma(0) = (0,0)$, $\gamma(1) = (1, \sin1)$, et soit $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ : par continuité $\gamma_1(t^*) = 0$ et $\gamma_1 > 0$ sur $\intoc{t^*}1$. Pour tout $\delta > 0$, l’intervalle $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ a $\gamma_1$ prenant toutes les valeurs de quelque $\intoc0\eta$ (théorème des valeurs intermédiaires, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$) ; en particulier il contient des abscisses de la forme $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ et $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ pour $k$ arbitrairement grand, où $\gamma_2 = \pm1$. Donc sur tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) droit de $t^*$, $\gamma_2$ prend les deux valeurs $1$ et $-1$ : $\gamma_2$ n’a pas de limite en $t^{*+}$, contredisant la continuité. Aucun chemin n’existe.

(d) $T$ est [connexe](#def-b3-topology-connected) mais non [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected) : les deux notions diffèrent. Pour $U \subseteq \R^n$ [ouvert](#def-b3-topology-topology) [connexe](#def-b3-topology-connected) et $a \in U$, soit $V$ l’ensemble des points de $U$ joignables à $a$ par un chemin dans $U$. $V$ est [ouvert](#def-b3-topology-topology) : autour de $x \in
V$ une boule $B(x, r) \subseteq U$ est étoilée, et en concaténant le chemin vers $x$ avec un segment on atteint tout point de la boule. $V$ est fermé dans $U$ : si $x \in U
\setminus V$, le même argument de boule montre $B(x, r) \cap
V = \varnothing$ (un point de $V$ dans la boule joindrait $a$ à $x$). Non vide ($a \in V$), [ouvert](#def-b3-topology-topology) et fermé dans le [connexe](#def-b3-topology-connected) $U$ : $V = U$. La sinusoïde échappe à cela en étant fermée d’intérieur vide : son « mauvais » point $(0,0)$ n’a aucune boule dans $T$ pour pontifier les oscillations.

La [sinusoïde du topologue](#ex-b3-topology-sinecurve) reste l’exemple canonique séparant connexité et connexité par arcs : fermée d’intérieur vide, elle échappe au critère [ouvert](#def-b3-topology-topology) qui force les deux notions à coïncider dans $\R^n$.

## 6.6 Problème : l’ensemble de Cantor et une courbe de remplissage

**Problème 6.1.**

Problème de fin de semaine — les courbes de Peano existent, et pourquoi ce ne sont pas des homéomorphismes

En 1890 Peano stupéfia l’analyse avec une *surjection [continue](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$ : une courbe remplissant un carré. On en construit une à mains nues à partir de l’ensemble de Cantor $C$ de l’[Exercice 6.10](#exo-b3-topology-10) (dont les résultats sont librement utilisables), puis on prouve qu’aucune telle application ne peut être injective : les carrés ne sont pas des courbes. Tout au long, les éléments de $C$ s’écrivent $x = \sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ avec chiffres $b_n(x) \in \{0, 1\}$.

**Partie I — Lire les chiffres continûment.**

1. Montrer que si $x, y \in C$ vérifient $\abs{x - y} <  3^{-m}$ , alors $b_n(x) = b_n(y)$ pour tout $n \leq m$ . *(Si le premier chiffre différent est $b_k$, alors $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j}  = \frac1{3^k}$.)*
2. En déduire que chaque fonction-chiffre $b_n \colon C  \to \{0, 1\}$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) , et retrouver l’ [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) $C \cong \{0,1\}^\N$ de l’ [Exercice 6.10](#exo-b3-topology-10) (c).

**Partie II — Une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) $C \to
[0,1]^2$.**

3. Définir $g \colon C \to [0,1]$ par $g(x) = \sum_{n\geq1}  b_n(x)\,2^{-n}$ (lire les chiffres de Cantor en binaire). Montrer que $g$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) (utiliser la question 1) et surjective. Est-elle injective
4. Définir $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ par $$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\  \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$$ (chiffres impairs pour l’abscisse, pairs pour l’ordonnée). Montrer que $\Phi$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) et surjective.

**Partie III — Combler les trous : la courbe de Peano.**

5. Le complémentaire $[0,1] \setminus C$ est une réunion dénombrable d’intervalles [ouverts](#def-b3-topology-topology) disjoints $(u, v)$ (les tiers médians retirés) dont les extrémités sont dans $C$. Définir $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ par $f =  \Phi$ sur $C$, étendue *affinement* sur chaque trou : $$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) +  \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v),  \qquad t \in (u, v).$$ Montrer que $f$ est bien définie et surjective sur $[0,1]^2$.
6. Montrer que $f$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) en tout point de $[0,1]  \setminus C$ (localement affine), et en tout point de $C$ : étant donné $\varepsilon$ , choisir $m$ avec $2^{-m} < \varepsilon/2$ et utiliser la question 1 pour contrôler $\Phi$ sur $C$ près de $x$ , puis vérifier que l’interpolation affine ne peut s’échapper : sur un trou $(u,v) \subseteq (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , les valeurs $f(t)$ sont sur le segment $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , les deux extrémités proches de $\Phi(x)$ . Conclure : $f$ est une *surjection [continue](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$ .
7. En déduire des surjections [continues](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^n$ pour tout $n \geq 2$ , et $\R \to \R^2$ .

**Partie IV — Mais jamais injective.**

8. Montrer qu’une *injection* [continue](#def-b3-topology-continuity) $f \colon  [0,1] \to [0,1]^2$ serait un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur son image ( [Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ).
9. Montrer que $[0,1]$ et $[0,1]^2$ ne sont pas homéomorphes : retirer un point bien choisi et comparer la connexité ( [Méthode 6.25](#met-b3-topology-connectargument) ).
10. Conclure : une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ ne peut jamais être injective — une injective rendrait $[0,1]^2 = f([0,1])$ homéomorphe à $[0,1]$ par la question 8, contredisant la question 9. Où exactement la compacité de $[0,1]$ est-elle entrée dans l’argument
11. (Couronnement) Assembler la morale : il existe une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) mais pas de bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ . Que dit cela de la « dimension » comme notion topologique ? Formuler précisément un théorème prouvé dans ce problème et un énoncé plausible qui reste hors de nos outils (invariance du domaine).

**Partie V — L’arithmétique de l’ensemble de Cantor.**

12. Prouver que $C + C = [0, 2]$ : étant donné $t \in [0,  1]$ , écrire $t = \sum_n d_n3^{-n}$ avec chiffres $d_n  \in \{0, 1, 2\}$ et scinder chaque chiffre en $d_n =  a_n + b_n$ avec $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; conclure que $\frac C2 + \frac C2 = [0, 1]$ *(quelle partie de $[0,1]$ est $\frac C2$, en termes de chiffres ternaires ?)* , puis redimensionner. Aucune retenue n’est jamais nécessaire — dire pourquoi c’est le nœud.
13. Interpréter géométriquement : la « poussière de Cantor » $C \times C \subseteq \R^2$ , d’intérieur vide, projette une ombre *pleine* sur la diagonale : la projection $(x, y) \mapsto x + y$ l’envoie sur $[0,  2]$ . Noter aussi l’auto-similarité $C = \frac C3 \cup  \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ , l’équation derrière tout dessin de $C$ .
14. Montrer que l’entrelacement des chiffres définit un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) $C \to C \times C$ , et en déduire $C  \cong C^n$ pour tout $n$ — l’ensemble de Cantor est son propre carré, cube, … Quels espaces familiers partagent cette propriété
15. Montrer que $\frac14 \in C$ *(calculer son développement ternaire : $\frac14 = \sum_{k\geq1}  2\cdot3^{-2k}$)* bien que $\frac14$ ne soit extrémité d’aucun intervalle retiré ; en déduire — en comptant les extrémités — que les extrémités forment une partie dénombrable propre de $C$ .
16. Montrer que l’application de lecture binaire $g$ de la question 3 est au plus $2$ -vers- $1$ , et décrire exactement quels points de $[0,1]$ ont deux antécédents. ( $g$ écrase $C$ sur $[0,1]$ en collant dénombrablement de paires : l’ombre combinatoire de l’escalier de Cantor qu’on retrouvera dans le [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#ch-b3-measure) .)

**Partie VI — Ensembles [parfaits](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) [compacts](#def-b3-topology-compact) : Cantor partout.** Un espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) non vide $P$ est *[parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect)* s’il n’a pas de point isolé.

17. Soit $P$ [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) [compact](#def-b3-topology-compact) et $x \in P$ , $r > 0$ . Montrer que la boule $B(x, r)$ contient deux points $y_0 \neq y_1$ de $P$ , et donc deux boules fermées *disjointes* $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1,  \rho)$ dans $B(x, r)$ , centrées en des points de $P$ , de rayon $\rho \leq r/4$ aussi petit qu’on veut. Expliquer pourquoi la perfection (pas de points isolés) est exactement ce qui permet de répéter ce scindage à l’ *intérieur* de chacune des deux nouvelles boules.
18. Itérer : construire des fermés $F_w \neq \varnothing$ indexés par les mots binaires finis $w$ , avec $F_{w0},  F_{w1} \subseteq F_w$ disjoints et $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w}  \operatorname{diam}P$ . Montrer que pour tout mot infini $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ l’intersection $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ est un singleton $h(\varepsilon)$ *(propriété d’intersection finie du [compact](#def-b3-topology-compact) $P$)* .
19. Montrer que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ est injective et [continue](#def-b3-topology-continuity) , et conclure : *tout espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) est non dénombrable* — en fait de cardinalité au moins celle de $\{0,1\}^\N$ . Retrouver : $[0,1]$ et $C$ sont non dénombrables.
20. Montrer que $h$ est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur son image *(injection [continue](#def-b3-topology-continuity) depuis un [compact](#def-b3-topology-compact), [Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))* : tout espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contient une copie homéomorphe de l’ensemble de Cantor. L’ensemble de Cantor n’est pas une curiosité mais le germe universel de la perfection compacte.
21. En déduire que tout espace métrique [compact](#def-b3-topology-compact) dénombrable a un point isolé, et en exhiber un où les points isolés sont [denses](#def-b3-topology-interior) mais pas tout : $K = \{0\} \cup  \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
22. (Cantor–Bendixson pour $\R$ ) Soit $F \subseteq \R$ fermé. Appeler $x$ un *point de condensation* de $F$ si tout [voisinage](#def-b3-topology-topology) de $x$ rencontre $F$ de façon non dénombrable. Montrer que les points de condensation d’un $F$ fermé non dénombrable forment un [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) fermé non vide $P$ , et que $F \setminus P$ est dénombrable *(recouvrir les non-points de condensation par dénombrablement d’intervalles rationnels rencontrant $F$ dénombrablement)* . Conclure : toute partie fermée de $\R$ est dénombrable ou a la cardinalité du continu — l’hypothèse du continu vaut pour les fermés.

**Partie VII — Codas : régularité, et éloignement de la perfection.**

23. (Régularité de Hölder de la courbe) Poser $\alpha =  \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$, et noter l’identité $3^\alpha = \sqrt2$. En utilisant la question 1, montrer que $$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x -  y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$$ puis propager l’estimation à travers les trous affines : montrer que la courbe de Peano $f$ de la question 6 vérifie $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq  6\abs{t - s}^\alpha$ sur tout $[0,1]$ *(traiter une paire dans le même trou par interpolation, puis une paire générale en passant par les points extrêmes de $C \cap [t, s]$)*.
24. (L’exposant $\frac12$ est un mur) Montrer qu’aucune surjection $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ ne peut être $\alpha$ -Hölder avec $\alpha > \frac12$ : découper $[0,1]$ en $N$ intervalles, borner les diamètres de leurs images, et compter les points de la grille $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , qu’un ensemble de diamètre $< \frac1M$ peut contenir ; choisir $M$ d’ordre $N^\alpha$ et laisser $N \to  \infty$ . Situer notre courbe ( $\alpha \approx 0.3155$ ) par rapport au mur, et noter sans preuve que la courbe de Hilbert atteint l’exposant critique $\frac12$ .
25. (Ensembles dérivés : mesurer l’imperfection) Pour $F$ fermé dans $\R$, soit $F'$ l’ensemble des points d’accumulation de $F$ (une partie fermée), et itérer : $F^{(0)} = F$, $F^{(i+1)} = (F^{(i)})'$. Vérifier que $$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup  \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$$ est un [compact](#def-b3-topology-compact) dénombrable avec $K' = \{0\} \cup  \{\frac1m\}$, $K'' = \{0\}$, $K''' = \varnothing$ *(vérifier que le $m$-ième amas vit dans l’intervalle $(\frac1m, \frac1{m-1})$, donc les amas ne s’entrelacent pas)*, et que ses points isolés sont [denses](#def-b3-topology-interior) dans $K$, comme le prédit la question 21. Décrire l’induction produisant, pour tout $j$, un [compact](#def-b3-topology-compact) dénombrable $K_j$ avec $K_j^{(j)} = \{0\}$ et $K_j^{(j+1)} = \varnothing$, et contraster avec les ensembles [parfaits](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) de la question 22, pour lesquels la dérivation ne bouge jamais : le rang fini est l’exact opposé de la perfection.

**Solution de Problème 6.1.**

**1.** Supposons que les développements de $x, y \in C$ diffèrent d’abord au rang $k \leq m$, disons $b_k(x) = 1$, $b_k(y) = 0$. Alors

$$
x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j}
= \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:
$$

contraposée : $\abs{x - y} < 3^{-m}$ force l’accord jusqu’au rang $m$.

**2.** Par la question 1, $b_n$ est constante sur $C \cap
(x - 3^{-n}, x + 3^{-n})$ : localement constante, donc [continue](#def-b3-topology-continuity). L’application $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) (composante par composante, [Proposition 6.10](#prop-b3-topology-universal)(a)) et bijective (unicité des développements $\{0,2\}$) ; du [compact](#def-b3-topology-compact) $C$ vers un [espace séparé](#def-b3-topology-hausdorff), c’est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**3.** Continuité : si $\abs{x - y} < 3^{-m}$, les $m$ premiers chiffres coïncident, donc $\abs{g(x) - g(y)} \leq
\sum_{n > m}2^{-n} = 2^{-m}$. Surjectivité : tout $t \in
[0,1]$ a un développement binaire $t = \sum b_n2^{-n}$, et $t
= g\bigl(\sum 2b_n3^{-n}\bigr)$. Non injective : $g$ identifie les deux points de Cantor de chiffres $(0,1,1,1,\dots)$ et $(1,0,0,\dots)$ — tous deux d’image $\frac12$ (l’ambiguïté dyadique $0.0111\ldots_2 = 0.1000\ldots_2$).

**4.** Chaque composante de $\Phi$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) par la même estimation (ses chiffres sont une sous-suite des $b_n$). Surjectivité : étant donné $(s, t) \in [0,1]^2$, choisir des chiffres binaires $(c_n)$ de $s$ et $(d_n)$ de $t$, et entrelacer : le point $x \in C$ avec $b_{2n-1}(x) = c_n$, $b_{2n}(x) = d_n$ satisfait $\Phi(x) = (s,t)$.

**5.** Les trous sont deux à deux disjoints d’extrémités dans $C$, donc la formule définit $f$ sans ambiguïté sur $[0,1]$ ; aux extrémités d’un trou la formule affine renvoie $\Phi(u)$, $\Phi(v)$ : cohérent avec $f = \Phi$ sur $C$. Surjectivité : déjà $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$. **6.** En $t_0 \notin C$ : $t_0$ est dans un trou [ouvert](#def-b3-topology-topology) où $f$ est affine : [continue](#def-b3-topology-continuity). En $x \in C$ : on enregistre d’abord deux estimations.

*(i) Sur $C$* : si $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$, $y \in C$, alors les chiffres coïncident jusqu’à $M$, donc chaque composante de $\Phi(y) - \Phi(x)$ est au plus $\sum_{n >
\lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} = 2^{-\lfloor M/2\rfloor}$.

*(ii) À travers un trou* : un trou $(u,v)$ retiré à l’étape $k$ a longueur $3^{-k}$, et ses extrémités ont des chiffres coïncidant jusqu’au rang $k - 1$, donc $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor
(k-1)/2\rfloor}$.

Maintenant soit $\abs{t - x} < 3^{-M}$ avec $t$ dans un trou $(u, v)$ d’étape $k$, et disons $u$ l’extrémité du côté de $x$. Alors

$$
\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty
\leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty
+ \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty
\leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\,
2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .
$$

Pour $k \geq M$ le dernier terme est $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2
\rfloor}$ ; pour $k < M$, comme $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$,

$$
3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M}
= \sqrt2\; 2^{-M/2}.
$$

Dans tous les cas $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq
C\,2^{-M/2}$ : $M \to \infty$ prouve la continuité en $x$. Donc $f$ est une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$.

**7.** Pour $[0,1]^n$ : scinder les chiffres de $x \in C$ en $n$ sous-suites entrelacées et répéter les questions 4–6. Pour $\R \to \R^2$ : soit $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) (redimensionner $f$). Définir $F$ sur $[m, m + \frac12]$ ($m \in \Z$) comme une copie de $h$ redimensionnée pour remplir $[-(m+1), m+1]^2$ pour $m \geq 0$ (et symétriquement pour $m < 0$), et sur $[m + \frac12, m +
1]$ comme le segment affine joignant les valeurs d’extrémité : $F$ est [continue](#def-b3-topology-continuity) (recollement, [Proposition 6.6](#prop-b3-topology-gluing)(b)) et son image contient $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$.

**8.** $[0,1]$ est [compact](#def-b3-topology-compact) et $[0,1]^2$ [séparé](#def-b3-topology-hausdorff) : une injection [continue](#def-b3-topology-continuity) est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur son image ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**9.** Retirer $\frac12$ : $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ est disconnexe. Si $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ était un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity), $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ serait disconnexe aussi ; mais le carré moins un point est [connexe par arcs](#def-b3-topology-pathconnected). Contradiction : $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.

**10.** Par la question 8, une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) injective serait un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity), contredisant la question 9. La compacité est entrée dans [Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo). Sans compacité : $[0,
2\pi) \to S^1$ est une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) non [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity).

**11.** Prouvé ici : *il existe une surjection [continue](#def-b3-topology-continuity), mais pas de bijection [continue](#def-b3-topology-continuity), de $[0,1]$ sur $[0,1]^2$ ; en particulier $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.* La dimension est un invariant d’[homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) (au moins $1$ vs $2$), non de surjection [continue](#def-b3-topology-continuity). L’invariance du domaine demande la [topologie](#def-b3-topology-topology) [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic), hors de ce cours. **12.** En ternaire, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} :
a_n \in \{0, 1\}\}$ (diviser les chiffres $\{0,2\}$ donne $\{0,1\}$). Pour $t \in [0,1]$, prendre un développement ternaire $t = \sum_nd_n3^{-n}$, $d_n \in \{0,1,2\}$, et scinder chaque chiffre en $d_n = a_n + b_n$ avec $a_n, b_n
\in \{0,1\}$ : alors $t \in \frac C2 + \frac C2$. Aucune retenue ne se propage. L’inclusion réciproque est claire. Redimensionner par $2$ : $C + C = [0,2]$.

**13.** $(x, y) \mapsto x + y$ envoie $C \times C$ sur $C + C = [0,2]$ : la poussière (intérieur vide, [Exercice 6.10](#exo-b3-topology-10)) projette une ombre pleine. Auto-similarité : $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +
\frac23\bigr)$.

**14.** Via $C \cong \{0,1\}^\N$ (question 2), l’entrelacement des chiffres est une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) dans les deux sens $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to
\{0,1\}^\N$. Donc $C\times C \cong C$ et $C^n \cong C$. Les espaces familiers ne partagent pas cela ($\R^2 \not\cong
\R$) ; les produits infinis oui.

**15.** $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = \frac14$ : le développement ternaire de $\frac14$ est $0.\overline{02}$, donc $\frac14 \in C$ sans être extrémité d’un intervalle retiré. Les extrémités sont dénombrables, $C$ non dénombrable (question 19).

**16.** $g$ est au plus $2$-vers-$1$ : l’ambiguïté dyadique $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ donne exactement deux antécédents aux rationnels dyadiques de $(0,1)$. Squelette combinatoire de l’escalier de Cantor du [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#ch-b3-measure).

**17.** $x$ non isolé donne $y_0 \neq x$ dans $B(x,
r/2)$ ; $y_0$ non isolé donne $y_1$. Des $\rho \leq
\min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3, \frac r4\bigr)$ rendent $\bar B(y_0, \rho)$ et $\bar B(y_1, \rho)$ disjointes dans $B(x, r)$. La perfection maintient la récursion indéfiniment.

**18.** Construire $F_w$ par induction : $F_\varnothing
= P$, scinder chaque boule en deux boules fermées disjointes de diamètre $\leq 2^{-\abs w}\operatorname{diam}P$. Pour $\varepsilon$ infini, l’intersection emboîtée est un singleton $h(\varepsilon)$ (propriété d’intersection finie du [compact](#def-b3-topology-compact) $P$).

**19.** $h$ est injective (mots différant se séparent en $F_{w0}, F_{w1}$) et [continue](#def-b3-topology-continuity) (diamètres $\to 0$) : tout [compact](#def-b3-topology-compact) métrique [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) est non dénombrable — $[0,1]$ et $C$ parmi eux.

**20.** $h$ est une injection [continue](#def-b3-topology-continuity) du [compact](#def-b3-topology-compact) $\{0,1\}^\N$ vers $P$ : [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur l’image ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)). Tout [compact](#def-b3-topology-compact) métrique [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contient une copie de Cantor.

**21.** Un [compact](#def-b3-topology-compact) métrique dénombrable a un point isolé (question 19). Dans $K = \{0\}\cup\{\frac1n : n
\geq 1\}$ les $\frac1n$ sont isolés et [denses](#def-b3-topology-interior), $0$ ne l’est pas.

**22.** Les non-points de condensation se recouvrent par dénombrablement d’intervalles rationnels à trace dénombrable sur $F$ : $F \setminus P$ dénombrable. $P$ est [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) fermé non vide si $F$ est non dénombrable. L’arbre des questions 17–19 dans $P$ donne $\abs P \geq \mathfrak c$ : tout fermé non dénombrable de $\R$ a cardinalité $\mathfrak
c$.

**23.** Si $3^{-(m+1)} \leq \abs{x-y} < 3^{-m}$, les chiffres coïncident jusqu’à $m$, donc chaque coordonnée de $\Phi$ partage $\lfloor m/2\rfloor$ chiffres binaires de tête : $\norm{\Phi(x)-\Phi(y)}_\infty \leq
2\abs{x-y}^\alpha$ avec $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ (car $3^\alpha = \sqrt2$). Propager aux trous affines ($\norm{f(t)-f(s)} \leq 2\abs{t-s}^\alpha$) et aux paires générales via les extrémités de $C \cap [t,s]$ : $\norm{f(t)-f(s)}_\infty \leq 6\abs{t-s}^\alpha$.

**24.** Si $F$ est $\alpha$-Hölder surjective avec $\alpha > \frac12$, découper $[0,1]$ en $N$ intervalles : chaque image a diamètre $O(N^{-\alpha})$. Choisir une grille de pas $M \sim N^\alpha$ : chaque cellule de grille tient dans au plus une image, d’où $(M+1)^2 \leq N$, impossible pour $N$ grand. Notre courbe ($\alpha \approx 0.3155$) est sous le mur ; Hilbert atteint $\frac12$.

**25.** Les amas $\frac1m + \frac1n$ ($n > m^2$) occupent des intervalles disjoints $(\frac1m,
\frac1{m-1})$. $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$, $K'' =
\{0\}$, $K''' = \varnothing$ ; points isolés [denses](#def-b3-topology-interior). Induction : coller des copies réduites de $K_j$ le long de $\frac1m$ pour obtenir $K_{j+1}$ de rang $j+1$. Un [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) est l’opposé : $P' = P$, et Cantor–Bendixson (question 22) scinde tout fermé en un noyau [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) et un reste dénombrable.

En résumé pour les questions 17–22 : la perfection d’un [compact](#def-b3-topology-compact) métrique $P$ permet de scinder récursivement toute boule en deux boules fermées disjointes centrées dans $P$, d’où une injection [continue](#def-b3-topology-continuity) $h \colon \{0,1\}^\N \to P$ qui, par compacité, est un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur l’image — toute perfection compacte contient Cantor, et en particulier est non dénombrable. Cantor–Bendixson décompose alors tout fermé de $\R$ en un noyau [parfait](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#prop-b3-galois-perfect) (de cardinalité du continu s’il est non vide) et un reste dénombrable, de sorte que l’hypothèse du continu vaut pour les fermés : aucun fermé de $\R$ ne peut avoir une cardinalité strictement entre $\aleph_0$ et $\mathfrak c$.

Pour la régularité de Hölder (questions 23–24) : l’exposant $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3}$ apparaît naturellement de l’identité $3^\alpha = \sqrt2$, qui couple le pas ternaire de $C$ au pas binaire des coordonnées de $\Phi$. La borne $2\abs{x-y}^\alpha$ sur $C$ se propage aux interpolations affines des trous (où le rapport de longueurs élevé à la puissance $\alpha \leq 1$ diminue) et aux paires générales via un découpage en trois (côté gauche, cœur dans $C$, côté droit), d’où le facteur $6$. Le mur $\alpha = \frac12$ est une obstruction de dimension pure : une application $\alpha$-Hölder envoie $N$ intervalles sur des ensembles de diamètre $O(N^{-\alpha})$, qui ne peuvent couvrir une grille de pas $N^{-\alpha}$ en dimension $2$ que si $N^{2\alpha}
\lesssim N$, c’est-à-dire $\alpha \leq \frac12$.

Pour les questions 6–10 (continuité de la courbe de Peano et absence d’injectivité) : le contrôle local des chiffres sur $C$ (question 1) donne la continuité de $\Phi$ et de l’interpolation affine sur les trous ; le facteur $2^{-M/2}$ domine uniformément. L’injectivité est bloquée par la compacité : une injection [continue](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ serait un [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) sur l’image ([Corollaire 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)), mais retirer un point intérieur de $[0,1]$ déconnecte la source sans déconnecter le carré. La compacité de $[0,1]$ est donc l’ingrédient critique qui transforme une bijection [continue](#def-b3-topology-continuity) en [homéomorphisme](#def-b3-topology-continuity) — sans elle, $[0, 2\pi) \to S^1$ offre un contre-exemple classique.

Ainsi la « dimension » se révèle être un invariant topologique fin ([homéomorphismes](#def-b3-topology-continuity)) mais non un invariant de surjection [continue](#def-b3-topology-continuity) : Peano construit le pont, Cantor–Bendixson et l’obstruction de Hölder en marquent les rives.