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title: "Espaces complets : Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass
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# Chapitre 7 — Espaces complets : Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

La complétude — toute suite de Cauchy converge — est la propriété qui permet à l’analyse de *produire* des objets : points fixes de contractions, sommes de séries, solutions d’équations obtenues comme limites. Ce chapitre assemble les trois grandes machines d’existence de la théorie métrique. Le *théorème de Baire* montre qu’un espace [complet](#def-b3-complete-complete) ne peut être réunion dénombrable de morceaux négligeables, et fait apparaître des objets (fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) nulle part dérivables !) par un pur raisonnement de cardinalité. *Arzelà–Ascoli* identifie les parties compactes de $\mathcal C(K)$ et est le cheval de bataille de la compacité en analyse — le problème de fin de semaine s’en sert pour prouver le théorème d’existence de Peano pour les équations différentielles. *Stone–Weierstrass* montre que les polynômes, et bien d’autres, sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal C(K)$ : l’approximation devient une vérification [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic). En chemin on construit les [complétés](#thm-b3-complete-completion) et on prouve le théorème d’extension des applications uniformément [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), le pain quotidien des Chapitres [12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#ch-b3-lp), [13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#ch-b3-hilbert) et [14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/14-la-transformee-de-fourier#ch-b3-fouriertransform).

## 7.1 Espaces complets, complétés, extensions

**Définition 7.1.**

Un espace métrique est *complet* si toute suite de Cauchy converge (deuxième année : $\R^n$ est complet ; $\mathcal C(\intcc01)$ muni de $\norm\cdot_\infty$ est complet). Une partie fermée d’un espace complet est complète ; une partie complète d’un espace métrique quelconque est fermée.

**Démonstration.** Pour les deux énoncés : une suite de Cauchy du fermé $F$ converge dans $X$, et sa limite, adhérente à $F$, est dans $F$ ; une suite convergente-dans-$X$ d’une partie complète $A$ est de Cauchy, donc converge dans $A$, et les limites sont uniques. ∎

**Théorème 7.2 (Extension des applications uniformément continues).**

Soit $D \subseteq X$ [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), $Y$ [complet](#def-b3-complete-complete), et $f \colon D \to
Y$ uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Alors $f$ s’étend *uniquement* en une $\bar f \colon X \to Y$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et $\bar f$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity).

**Démonstration.** Unicité : deux extensions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) coïncident sur le [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) $D$, donc partout (l’ensemble d’accord $\{g = h\}$ est fermé : image réciproque de la diagonale fermée sous $x\mapsto(g(x),
h(x))$). Existence : pour $x \in X$ choisir $d_n \to x$, $d_n \in D$. La suite $(f(d_n))$ est de Cauchy : étant donné $\varepsilon$, la continuité uniforme fournit $\delta$ avec $d(u,v) < \delta
\Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$, et $(d_n)$ est de Cauchy. Définir $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ ; la limite ne dépend pas de la suite choisie (entrelacer deux d’entre elles). $\bar f$ prolonge $f$ (suites constantes) et hérite du [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de continuité : si $d(x, x') < \delta$, en approximant les deux par des points de $D$ à distance $< \frac{\delta -
d(x,x')}2$ on obtient $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq
\varepsilon$ à la limite — $\bar f$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). ∎

**Théorème 7.3 (Complété).**

Tout espace métrique $X$ s’immerge isométriquement comme [partie dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) d’un [espace métrique complet](#def-b3-complete-complete) $\hat X$, unique à isométrie près fixant $X$ point par point : son *complété*.

**Démonstration.** *Existence.* Soit $\mathcal X$ l’ensemble des suites de Cauchy de $X$, muni de la pseudo-distance

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

la limite existant car $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ rend la suite réelle de Cauchy. Soit $\hat X = \mathcal X/{\sim}$, en identifiant les suites à $D$-distance $0$ ; $D$ descend en une distance. Immerger $X$ par les suites constantes : une isométrie, d’image [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) (une suite de Cauchy est $D$-approximée par les constantes construites sur ses propres termes : $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k)
\to 0$ quand $k \to \infty$ par Cauchy). Complétude de $\hat
X$ : soit $(\xi^k)$ de Cauchy dans $\hat X$ ; par densité choisir $x_k \in X$ avec $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$ ; alors $(x_k)$ est de Cauchy dans $X$ (inégalité triangulaire via les $\xi$), définit un point $\xi \in \hat X$, et $D(\xi^k, \xi)
\leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (la distance de la constante $x_k$ à la classe de $(x_j)_j$ est $\lim_j d(x_k, x_j)$, petite pour $k$ grand).

*Unicité* : deux [complétés](#thm-b3-complete-completion) $\hat X_1, \hat X_2$ contiennent $X$ densément ; l’identité de $X$, une isométrie, est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), donc s’étend en $\hat X_1 \to \hat
X_2$ ([Théorème 7.2](#thm-b3-complete-extension)), encore une isométrie sur un ensemble [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) donc partout ; symétriquement dans l’autre sens, et les composées fixent le [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) $X$ : ce sont les identités. ∎

**Théorème 7.4 (Point fixe de Banach).**

Soit $X$ [complet](#def-b3-complete-complete), non vide, et $f \colon X \to X$ une *contraction* : $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ avec $k <
1$. Alors $f$ a un unique point fixe $x^*$, et toute [orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) converge vers lui, avec le taux explicite $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$.

**Démonstration.** (La deuxième année l’a prouvé ; on réenregistre l’argument en deux lignes pour l’autonomie.) L’[orbite](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#def-b3-groups-action) $x_{n+1} = f(x_n)$ vérifie $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$, donc est de Cauchy (série géométrique) ; sa limite $x^*$ est fixe (continuité de $f$), unique car deux points fixes satisfont $d
\leq k\,d$. Le taux : sommer la queue géométrique. ∎

**Exemple 7.5 (Perturber l’identité).**

Soit $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitzienne avec $k < 1$. Alors $\varphi = \mathrm{id} + g$ est un *[homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $\R^d$ sur $\R^d$*. Injectivité, avec un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) quantitatif :

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

La surjectivité est le théorème du point fixe : résoudre $\varphi(x) = y$ signifie $x = y - g(x)$, et $x \mapsto y -
g(x)$ est une $k$-contraction du [complet](#def-b3-complete-complete) $\R^d$ — une solution unique $x = \psi(y)$ existe pour tout $y$. L’inégalité affichée rend l’inverse $\psi$ lipschitzien de constante $\frac1{1-k}$ : un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), avec bornes explicites sur les deux [modules](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module). Cet énoncé d’apparence innocente est le moteur du théorème d’inversion locale ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/20-sous-varietes-de-rn#ch-b3-submanifolds)) : près d’un point où $Df$ est inversible, $f$ *est* une application linéaire inversible plus une petite perturbation lipschitzienne, et l’exemple d’aujourd’hui fait le reste. Il quantifie aussi la robustesse numérique : un système perturbé de moins que la marge de l’inverse reste solvable, la solution se déplaçant d’au plus $\frac{1}{1-k}$ fois la perturbation.

## 7.2 Le théorème de Baire

**Théorème 7.6 (Baire).**

Dans un [espace métrique complet](#def-b3-complete-complete), une intersection dénombrable d’[ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). De façon équivalente : si $X =
\bigcup_{n}F_n$ avec chaque $F_n$ fermé, alors quelque $F_n$ a un intérieur non vide.

**Démonstration.** Soit $(U_n)$ des [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) et $B_0 = B(x_0, r_0)$ une boule ouverte quelconque ; on trouve un point de $\bigcap U_n$ dans $B_0$. Inductivement : $U_{n}$ étant [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) et [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), il rencontre la boule ouverte $B_{n-1}$ en un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), qui contient une boule fermée $\bar B(x_n, r_n)$ avec $0 < r_n \leq
r_{n-1}/2$ et $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$. Les [centres](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) forment une suite de Cauchy ($x_m \in B_n$ pour $m
\geq n$, rayons $\to 0$) ; la limite $x$ est dans chaque $\bar
B(x_n, r_n)$ (fermeture), donc dans chaque $U_n$ et dans $B_0$. Pour la seconde forme : si aucun $F_n$ n’a d’intérieur, les $U_n = X \setminus F_n$ sont [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), et un point de $\bigcap U_n$ échappe à $\bigcup F_n = X$ : absurde. ∎

**Remarque 7.7.**

Vocabulaire : un ensemble est *nulle part [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior)* si son [adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) a un intérieur vide, *maigre* (première catégorie) s’il est réunion dénombrable d’ensembles nulle part [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). Baire : *un [espace métrique complet](#def-b3-complete-complete) n’est pas [maigre](#rem-b3-complete-meagre) en lui-même*, et le complémentaire d’un [ensemble maigre](#rem-b3-complete-meagre) est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). « [Maigre](#rem-b3-complete-meagre) » est une notion de petitesse orthogonale à la mesure (le [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure#ch-b3-measure) produira des [ensembles maigres](#rem-b3-complete-meagre) de mesure pleine), et les arguments de Baire prouvent l’*existence par abondance* : pour exhiber un objet sans la propriété P, montrer que les objets-P forment un [ensemble maigre](#rem-b3-complete-meagre).

**Corollaire 7.8.**

(a) $\R$ est non dénombrable. (b) $\Q$ n’est pas une intersection dénombrable d’[ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R$, et un [espace métrique complet](#def-b3-complete-complete) non vide sans points isolés est non dénombrable.

**Démonstration.** (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sur un ensemble dénombrable rendrait quelque singleton d’intérieur non vide. (b) Si $\Q =
\bigcap_n V_n$ avec $V_n$ [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) (nécessairement [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), car $\supseteq \Q$), alors les $V_n$ et les complémentaires $\R\setminus\{q\}$, $q \in \Q$, forment une famille dénombrable d’[ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) d’intersection vide — contredisant Baire. Si $X$ est [complet](#def-b3-complete-complete) sans points isolés et dénombrable, $X =
\bigcup_{x \in X}\{x\}$ l’exhibe comme réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide (pas de points isolés) : Baire encore. ∎

**Théorème 7.9 (Les monstres de Weierstrass existent).**

Il existe des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $\intcc01$ dérivables en aucun point. Mieux : l’ensemble des $f \in \mathcal
C(\intcc01)$ ayant une dérivée (finie) en au moins un point est [maigre](#rem-b3-complete-meagre) dans $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$.

**Démonstration.** Pour $n \geq 1$ soit

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ avec } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

Si $f$ est dérivable en $x$, alors $f \in F_n$ pour quelque $n$ : le quotient $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ est borné pour $\abs h \leq \delta$ (dérivabilité : il tend vers $\abs{f'(x)}$) et borné par $2\norm f_\infty/\delta$ pour $\abs h \geq \delta$. Donc $\bigcup F_n$ contient toutes les fonctions quelque part dérivables, et il suffit de montrer chaque $F_n$ fermé d’intérieur vide.

*Fermé* : soit $f_k \to f$ uniformément, $f_k \in F_n$ avec témoins $x_k \to x$ (compacité, après extraction). Pour $h$ avec $x + h \in \intcc01$ : choisir $h_k \to h$ avec $x_k
+ h_k \in \intcc01$ (p. ex. $h_k = h + x - x_k$ tronqué) ; alors $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) -
f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$, en utilisant la convergence uniforme et la continuité de $f$ aux points pertinents : $f \in F_n$.

*Intérieur vide* : étant donné $f \in F_n$ et $\varepsilon > 0$, on trouve $g$ avec $\norm{g - f}_\infty \leq
\varepsilon$ et $g \notin F_n$. D’abord approximer $f$ à $\varepsilon/2$ près par une $\varphi$ affine par morceaux (continuité uniforme : interpoler sur une grille fine), de pentes bornées par quelque $M$. Ajouter une petite dent de scie : $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$, où $s_N(x)$ est le zigzag $\frac1N$-périodique d’amplitude $1$ et de pente $\pm 2N$. En tout $x$, d’un côté il y a $h$ arbitrairement petit avec la dent de scie contribuant une pente $\pm
2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ sur $[x, x+h]$ : le quotient différentiel de $g$ dépasse $\varepsilon N - M > n$ pour $N$ grand. Donc $g \notin F_n$, à toute distance uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$. Conclusion : $\bigcup F_n$ est [maigre](#rem-b3-complete-meagre) ; par Baire son complémentaire — formé de [fonctions nulle part dérivables](#thm-b3-complete-nowherediff) — est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal
C(\intcc01)$ : de telles fonctions existent *en abondance*. ∎

## 7.3 Arzelà–Ascoli

Tout au long, $K$ est un espace métrique *compact* et $\mathcal C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$, avec $\norm f_\infty =
\sup_K \norm{f(x)}$ : un espace [complet](#def-b3-complete-complete) (les limites uniformes de [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sont [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) — deuxième année).

**Définition 7.10.**

Une famille $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ est *équicontinue* si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{pour \emph{toutes} les } f \in \mathcal F
$$

(un seul $\delta$ pour toute la famille — p. ex. toute famille avec une constante de Lipschitz commune, ou un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de Hölder commun), et *bornée ponctuellement* si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ pour chaque $x$.

**Théorème 7.11 (Arzelà–Ascoli).**

Une partie $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ est relativement compacte (d’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) compacte) ssi elle est [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) et bornée ponctuellement. En particulier, toute suite [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) et bornée ponctuellement a une sous-suite uniformément convergente.

**Démonstration.** ($\Leftarrow$) Soit $(f_k)$ une suite de $\mathcal F$. $K$ métrique compact est *[séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable)* : pour chaque $n$, un nombre fini de boules de rayon $\frac1n$ recouvrent $K$ ([Théorème 6.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#thm-b3-topology-metriccompact)) ; leurs [centres](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/1-theorie-des-groupes#ex-b3-groups-actions) forment un ensemble [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dénombrable $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. Par bornitude ponctuelle et Bolzano–Weierstrass, extraire successivement des sous-suites convergeant en $x_1$, puis aussi en $x_2$, etc., et prendre la sous-suite *diagonale* $(g_j)$ : elle converge en tout point de $D$. L’[équicontinuité](#def-b3-complete-equicontinuous) promouvoit cela en Cauchy uniforme : étant donné $\varepsilon$, prendre $\delta$ comme dans la définition, recouvrir $K$ par un nombre fini de boules $B(x_i, \delta)$ avec $x_i \in D$ ($i \leq m$), et choisir $J$ assez grand pour que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ pour $j, j'
\geq J$, $i \leq m$. Pour $x \in B(x_i, \delta)$ arbitraire :

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

Donc $(g_j)$ est uniformément de Cauchy, et converge dans le [complet](#def-b3-complete-complete) $\mathcal C(K)$. Ainsi toute suite de $\mathcal F$ a une sous-suite convergente : $\bar{\mathcal F}$ est (séquentiellement, donc par [Théorème 6.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#thm-b3-topology-metriccompact)) compacte.

($\Rightarrow$) Si $\bar{\mathcal F}$ est compacte : la bornitude ponctuelle est claire (l’évaluation est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)). Pour l’[équicontinuité](#def-b3-complete-equicontinuous), recouvrir $\mathcal F$ par un nombre fini de boules $B(f_i, \varepsilon)$ de $\mathcal C(K)$ ; chaque $f_i$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Corollaire 6.17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#cor-b3-topology-heineborel)), donnant un $\delta$ commun pour $i \leq m$ ; alors pour $f \in B(f_i, \varepsilon)$ et $d(x,y) < \delta$ : $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon +
\norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

**Exemple 7.12.**

La boule unité fermée de $\mathcal C(\intcc01)$ n’est *pas* compacte ($f_n(x) = x^n$ n’a pas de sous-suite uniformément convergente : la limite ponctuelle est discontinue), et en effet $(x^n)$ n’est pas [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) en $1$. En revanche $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\
\operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ est compacte : bornée et $1$-lipschitz-équicontinue, et fermée. Ascoli explique *pourquoi* la compacité échoue en dimension infinie (Riesz, deuxième année) et quoi ajouter pour la restaurer : un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de continuité uniforme.

## 7.4 Stone–Weierstrass

**Lemme 7.13 (Dini).**

Soit $K$ compact et $(f_n)$ une suite *monotone* de fonctions réelles [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) convergeant *ponctuellement* vers une $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Alors la convergence est uniforme.

**Démonstration.** Disons $f_n \uparrow f$ ; soit $g_n = f - f_n \downarrow 0$, [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Étant donné $\varepsilon$, les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U_n =
\{g_n < \varepsilon\}$ croissent et recouvrent $K$ (convergence ponctuelle) ; extraire un sous-recouvrement fini : $K = U_{n_0}$ pour quelque $n_0$ (famille croissante), c’est-à-dire $0 \leq g_n < \varepsilon$ partout pour $n \geq
n_0$. ∎

**Lemme 7.14.**

Il existe une suite de *polynômes* $u_n$ avec $u_n(t) \to
\sqrt t$ uniformément sur $\intcc01$.

**Démonstration.** Définir $u_0 = 0$, $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$ : des polynômes. Par induction $0 \leq u_n(t)
\leq \sqrt t$ sur $\intcc01$ : en l’accordant pour $n$,

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

puisque $\sqrt t + u_n \leq 2$ ; et $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. Donc $(u_n(t))$ est croissante, bornée par $\sqrt t$ : elle converge ponctuellement, et la limite $\ell(t)$ satisfait $\ell
= \ell + \frac12(t - \ell^2)$ : $\ell(t) = \sqrt t$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Dini ([Lemme 7.13](#lem-b3-complete-dini)) promeut en uniforme. ∎

**Théorème 7.15 (Stone–Weierstrass, version réelle).**

Soit $K$ un [espace compact](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-compact) ([séparé](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-hausdorff)) et $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ une *sous-algèbre* (stable par sommes, produits, multiplications scalaires) qui *contient les constantes* et *sépare les points* (pour $x \neq y$, quelque $f \in \mathcal A$ a $f(x) \neq f(y)$). Alors $\mathcal
A$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$.

**Démonstration.** Soit $\bar{\mathcal A}$ l’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), encore une algèbre (les produits de limites uniformes sur des ensembles bornés convergent).

*Étape 1 : $\bar{\mathcal A}$ est un treillis*, c’est-à-dire stable par $\max$ et $\min$. Comme $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$ et $\min$ de même, il suffit que $f \in
\bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$ : avec $M = \norm f_\infty > 0$, $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, et [Lemme 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) donne des polynômes $u_n$ avec $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformément ; les polynômes en des membres de l’algèbre (avec terme constant : les constantes y sont) restent dans $\bar{\mathcal A}$.

*Étape 2 : interpolation en deux points.* Pour $x \neq y$ et $a, b \in \R$, quelque $g \in \mathcal A$ a $g(x) = a$, $g(y) = b$ : prendre $h$ séparant $x, y$ et poser $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

*Étape 3.* Soit $f \in \mathcal C(K)$, $\varepsilon > 0$. Pour chaque paire $x, y$ choisir $g_{x,y} \in \mathcal A$ avec $g_{x,y}(x) = f(x)$, $g_{x,y}(y) = f(y)$ (étape 2 ; pour $x =
y$ prendre la constante $g_{x,x} = f(x)$). Fixer $x$ : pour chaque $y$, l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ contient $y$ ; la compacité extrait $y_1, \dots,
y_m$ avec $K = \bigcup V_{y_j}$, et $h_x = \min_j g_{x, y_j}
\in \bar{\mathcal A}$ (étape 1) vérifie $h_x < f +
\varepsilon$ partout, $h_x(x) = f(x)$. Faire varier $x$ : $W_x
= \{h_x > f - \varepsilon\}$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), contient $x$ ; extraire $x_1, \dots, x_l$ recouvrant $K$, et $h = \max_i h_{x_i} \in
\bar{\mathcal A}$ vérifie $f - \varepsilon < h < f +
\varepsilon$ : $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. Donc $f
\in \bar{\mathcal A}$. ∎

**Corollaire 7.16.**

(a) (*Weierstrass*) Les polynômes sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal C(\intcc ab, \R)$ ; les polynômes en $n$ variables sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal C(K, \R)$ pour $K \subseteq \R^n$ compact. (b) (*Version complexe*) Si $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ est une sous-algèbre contenant les constantes, séparant les points, et *stable par conjugaison*, elle est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). (c) (*Version trigonométrique*) Les polynômes trigonométriques $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans l’espace des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-périodiques muni de $\norm\cdot_\infty$.

**Démonstration.** (a) Les polynômes forment une algèbre avec constantes ; les fonctions coordonnées séparent les points de $\R^n$. (b) Les parties réelle et imaginaire $\frac{f + \bar f}2$, $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ des membres de $\mathcal A$ forment une algèbre réelle $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ avec constantes ; elle sépare les points ($f(x) \ne f(y)$ force $\operatorname{Re}f$ ou $\operatorname{Im}f$ à séparer). Appliquer le théorème réel et recombiner. (c) Voir les fonctions $2\pi$-périodiques comme $\mathcal
C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$, compact : [Exercice 6.5](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#exo-b3-topology-5)) ; l’algèbre engendrée par $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ et les constantes est stable par conjugaison et sépare les points du cercle ($\eu^{\iu t}$ est injective dessus). Appliquer (b). ∎

**Remarque 7.17.**

La version trigonométrique répare, et généralise largement, le trou laissé dans le chapitre Fourier de deuxième année : la densité des polynômes trigonométriques dans $(\mathcal
C(S^1), \norm\cdot_2)$ suit a fortiori ($\norm\cdot_2 \leq
\norm\cdot_\infty$ à la constante de normalisation près), ce qui fera du système de Fourier une *[base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis)* orthonormée dans le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#ch-b3-hilbert), prouvant enfin Parseval en toute généralité.

## 7.5 Exercices

**Exercice 7.1 ★.**

(a) Montrer que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ muni de $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ n’est *pas* [complet](#def-b3-complete-complete) : les fonctions $f_n$ égales à $0$ sur $\intcc0{\frac12}$, $1$ sur $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$, affines entre, sont $\norm\cdot_1$-Cauchy sans limite [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). (b) Montrer qu’un espace normé dans lequel toute série absolument convergente converge est [complet](#def-b3-complete-complete). *(Extraire d’une suite de Cauchy une sous-suite avec $\norm{x_{n_{k+1}} -
x_{n_k}} \leq 2^{-k}$.)*

**Solution de Exercice 7.1.**

(a) Pour $m \geq n$, $f_n - f_m$ s’annule hors d’un intervalle de longueur $\frac1n$ et est bornée par $1$ : $\norm{f_n -
f_m}_1 \leq \frac1n \to 0$ : de Cauchy. Si $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ avec $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : pour $\alpha < \frac12$ fixé, $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f -
f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ($f_n \equiv 0$ là pour $n$ grand), donc $f \equiv 0$ sur $[0, \frac12)$ (continuité) ; de même $f \equiv 1$ sur $(\frac12, 1]$ : aucune fonction [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ne fait les deux. Donc l’espace est incomplet — le [complété](#thm-b3-complete-completion) est $L^1$, construit dans le [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#ch-b3-lp).

(b) Soit $(x_n)$ de Cauchy ; choisir $n_1 < n_2 < \cdots$ avec $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$. La série $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolument, donc converge ; ses sommes partielles sont $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$, donc $(x_{n_k})$ converge, et une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge.

**Exercice 7.2 ★.**

En utilisant Baire : (a) montrer qu’un espace normé [complet](#def-b3-complete-complete) n’a pas de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) ([algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic)) dénombrable — en déduire que l’espace des polynômes n’est [complet](#def-b3-complete-complete) pour *aucune* norme ; (b) montrer que si une suite de $f_n \colon \R \to \R$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) converge ponctuellement vers $f$, l’ensemble des points de continuité de $f$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). *(Pour (b) : admettre ou prouver que $\Omega_\delta =
\{x : \operatorname{osc}_x f < \delta\}$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), et montrer qu’il est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) en utilisant $F_{N} = \{x:
\abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m \geq N\}$, fermés recouvrant $\R$ ; travailler dans une boule fermée arbitraire pour appliquer Baire.)*

**Solution de Exercice 7.2.**

(a) Supposer $E$ [complet](#def-b3-complete-complete) avec [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $(e_n)_{n\in\N}$ et soit $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ : fermé (les sous-espaces de dimension finie sont [complets](#def-b3-complete-complete), donc fermés — deuxième année), d’intérieur vide : si $B(x, r)
\subseteq F_n$, prendre $v \notin F_n$ ; alors $x +
\frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r) \setminus F_n$, absurde. Or $E
= \bigcup F_n$ (tout vecteur est combinaison finie) : contredit Baire ([Théorème 7.6](#thm-b3-complete-baire)). L’espace $\R[X]$ a la [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) dénombrable $(X^n)$, donc aucune norme ne le rend [complet](#def-b3-complete-complete).

(b) Fixer $\delta > 0$ et une boule ouverte non vide $B$ ; on trouve dans $B$ un point de $\Omega_\delta = \{x :
\operatorname{osc}_xf < \delta\}$, où $\operatorname{osc}_xf
= \inf_{V \ni x}\operatorname{diam} f(V)$. ($\Omega_\delta$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) : si $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ pour un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $V \ni x$, tout $y \in V$ a une oscillation $<
\delta$.) Les ensembles

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

sont fermés (intersections d’images réciproques de fermés) et recouvrent $\R$ (la convergence ponctuelle rend $(f_n(x))$ de Cauchy). Appliquer Baire dans le [complet](#def-b3-complete-complete) $\bar B$ : quelque $F_N \cap \bar B$ contient une boule $B' = B(x_0, \rho)$. En faisant $m \to \infty$ : $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ sur $B'$. Par continuité de $f_N$ en $x_0$, rétrécir en $B'' \ni
x_0$ où $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$ ; alors pour $x \in B''$,

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$, donc $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$. Ainsi chaque $\Omega_\delta$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) ; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — l’ensemble des points de continuité — est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) par Baire.

**Exercice 7.3 ★★.**

(a) Montrer que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ($a >
1$) est une contraction de $[\sqrt a, +\infty)$ et identifier son point fixe — méthode d’Héron. Estimer le nombre d’itérations pour une précision $10^{-12}$ partant de $x_0 =
a$, pour $a = 2$. (b) (Équation de Kepler) Pour $0 \leq e < 1$ et $m \in \R$, montrer que $x = m + e\sin x$ a une unique solution, dépendant continûment de $m$.

**Solution de Exercice 7.3.**

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ envoie $[\sqrt a, \infty)$ dans lui-même (AM–GM : $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} =
\sqrt a$), et $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0,
\frac12)$ là : une $\frac12$-contraction lipschitzienne d’un ensemble fermé ([complet](#def-b3-complete-complete)). Point fixe : $x = f(x) \iff x^2 =
a$ : $x^* = \sqrt a$. Taux ([Théorème 7.4](#thm-b3-complete-banach)) : $d(x_n, \sqrt a) \leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$. Pour $a = 2$, $x_0 = 2$ : $d(x_1, x_0) = \frac12$, donc $n = 40$ garantit $2^{-40} < 10^{-12}$. (En réalité la méthode de Newton converge quadratiquement : une poignée d’itérations suffisent ; l’estimation de contraction est pessimiste mais gratuite.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ est $e$-lipschitzienne avec $e < 1$ sur le [complet](#def-b3-complete-complete) $\R$ : unique point fixe $x(m)$. Pour deux paramètres :

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

donc $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$ : même lipschitzienne en $m$.

**Exercice 7.4 ★★.**

(a) Soit $X$ [complet](#def-b3-complete-complete) et $f \colon X \to X$ telle qu’une itérée $f^p$ est une contraction. Montrer que $f$ a un unique point fixe. Application : l’opérateur intégral $T$ sur $\mathcal C(\intcc0a)$, $Tf(x) = \int_0^x f$, satisfait $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — en déduire que $u = g + \lambda
Tu$ est solvable pour tout $\lambda$. (b) (Edelstein) Soit $K$ *compact* et $f\colon K \to K$ avec $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ pour $x \neq y$. Montrer que $f$ a un unique point fixe, mais que le taux de contraction peut se perdre : sur $X = [1, +\infty)$ ([complet](#def-b3-complete-complete), non compact), $f(x) = x + \frac1x$ n’a pas de point fixe malgré des distances strictement décroissantes.

**Solution de Exercice 7.4.**

(a) Soit $x^*$ l’unique point fixe de $f^p$. Alors $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$ : $f(x^*)$ est un point fixe de $f^p$, donc $f(x^*) = x^*$. Un point fixe de $f$ en est un de $f^p$ : l’unicité se transfère. Pour $T$ : par induction $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (chaque intégration ajoute un facteur $\frac xk$), donc $\norm{T^p}
\leq a^p/p!$. L’application $S(u) = g + \lambda Tu$ satisfait $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$, de norme $\leq
\abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ : quelque $S^p$ est une contraction, et $S$ a un unique point fixe : l’équation de Volterra $u = g + \lambda Tu$ est uniquement solvable pour *tout* $\lambda$.

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le compact $K$ : elle atteint son minimum en quelque $x_0$. Si $f(x_0)
\neq x_0$, alors $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) <
d(x_0, f(x_0)) = \min\varphi$ : absurde. Unicité : deux points fixes $x \ne y$ donneraient $d(x,y) = d(f(x), f(y)) <
d(x,y)$. Sans compacité : $f(x) = x + \frac1x$ sur $[1,
\infty)$ satisfait, pour $x < y$, $f(y) - f(x) = (y -
x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y - x$, pourtant $f(x) > x$ toujours : pas de point fixe — la décroissance stricte des distances est plus faible qu’un facteur de contraction uniforme.

**Exercice 7.5 ★★.**

(a) Deux [applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) vers un [espace séparé](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-hausdorff) coïncidant sur une [partie dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) coïncident partout ; où cela a-t-il été utilisé dans le chapitre (b) Soit $D \subseteq X$ [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) et $f \colon D \to Y$ une bijection isométrique sur une [partie dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) d’un $Y$ [complet](#def-b3-complete-complete), avec $X$ [complet](#def-b3-complete-complete). Montrer que $f$ s’étend en une bijection isométrique $X \to Y$. En déduire à nouveau l’unicité des [complétés](#thm-b3-complete-completion).

**Solution de Exercice 7.5.**

(a) L’ensemble $A = \{g = h\}$ est l’image réciproque de la diagonale $\Delta_Y$ sous $x \mapsto (g(x), h(x))$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ; $\Delta_Y$ est fermée car $Y$ est [séparé](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-hausdorff) (pour $y_1 \neq
y_2$, des [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) disjoints donnent un pavé [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) autour de $(y_1, y_2)$ disjoint de la diagonale, donc le complémentaire de $\Delta_Y$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)) : donc $A$ est fermé, contient un [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), égale $X$. Utilisé : unicité dans [Théorème 7.2](#thm-b3-complete-extension), donc dans l’unicité des [complétés](#thm-b3-complete-completion).

(b) $f$, une isométrie, est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : elle s’étend en $F\colon X \to Y$ ([Théorème 7.2](#thm-b3-complete-extension)), encore isométrique (la relation $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ tient sur un [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de paires et les deux côtés sont continus). De même $f^{-1}\colon f(D) \to X$ s’étend en $G \colon Y \to X$. Le composé $G \circ F$ est continu et fixe le [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) $D$ : c’est $\mathrm{id}_X$ (partie (a)) ; symétriquement $F \circ G =
\mathrm{id}_Y$. Donc $F$ est une bijection isométrique. Unicité des [complétés](#thm-b3-complete-completion) : appliquer ceci à $D = X$ densément assis dans deux [complétés](#thm-b3-complete-completion).

**Exercice 7.6 ★★.**

Lesquelles des familles suivantes sont [équicontinues](#def-b3-complete-equicontinuous), bornées ponctuellement, relativement compactes dans $\mathcal
C(\intcc01)$

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

Justifier chaque réponse par Ascoli ou une suite contre-exemple.

**Solution de Exercice 7.6.**

$\{\sin(nx)\}$ : bornée ponctuellement par $1$ ; *pas* [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) : en $x = 0$, $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ avec $\frac\pi{2n} \to 0$, violant tout $\delta$ commun pour $\varepsilon = \frac12$. Pas relativement compacte (nécessité d’Ascoli, [Théorème 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)).

$\{x^n\}$ : bornée ; pas [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) en $1$ : $1 - (1 -
\delta)^n \to 1$ quand $n \to \infty$ pour $\delta$ fixé. Pas relativement compacte — cohérent, sa limite ponctuelle est discontinue, donc aucune sous-suite ne converge uniformément.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$ : l’inégalité des accroissements finis rend la famille $1$-lipschitzienne, donc [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) ; bornée : relativement compacte par Ascoli. (Pas compacte : elle n’est pas fermée — les limites uniformes n’ont pas besoin d’être $\mathcal C^1$ ; son [adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) est les fonctions $1$-lipschitziennes de norme $\leq 1$.)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$ : [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) ; bornée ponctuellement ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$) ; et fermée sous les limites uniformes (l’inégalité de Lipschitz et la valeur en $0$ passent aux limites) : compacte.

**Exercice 7.7 ★★★.**

(Opérateurs intégraux compacts) Soit $k \in \mathcal
C(\intcc01^2)$ et, pour $f \in \mathcal C(\intcc01)$, $Tf(x)
= \int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$. (a) Montrer que $T$ envoie la boule unité de $\mathcal
C(\intcc01)$ sur un ensemble équicontinu et uniformément borné ; conclure que $T$ est un *opérateur compact* : les images d’ensembles bornés sont relativement compactes. (b) En déduire que si $(f_n)$ est bornée, $(Tf_n)$ a une sous-suite uniformément convergente, et que $T$ ne peut être une bijection d’inverse [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). *(L’image de la boule unité serait un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) compact de $0$ dans $\mathcal
C(\intcc01)$ : interdit par le théorème de Riesz de deuxième année.)*

**Solution de Exercice 7.7.**

(a) Pour $\norm f_\infty \leq 1$ : $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$, et

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

où $\omega_k$ est un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de continuité uniforme de $k$ sur le carré compact (Heine) : l’image de la boule unité est uniformément bornée et [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous), donc relativement compacte (Ascoli). Par linéarité tout ensemble borné a une image relativement compacte : $T$ est un opérateur compact.

(b) L’énoncé de sous-suite est la définition de compacité relative appliquée à $\{Tf_n\}$. Si $T$ était bijective d’inverse [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), alors $T(B(0,1)) \supseteq B(0,
\varepsilon)$ pour quelque $\varepsilon > 0$ ($T^{-1}$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en $0$) ; la boule fermée $\bar B(0,\varepsilon)$, partie fermée du compact $\overline{T(B(0,1))}$, serait compacte — impossible dans le $\mathcal C(\intcc01)$ de dimension infinie par le théorème de Riesz (deuxième année).

**Exercice 7.8 ★★.**

Prouver ou infirmer, pour $f_n \colon \intcc01 \to \R$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : (a) $f_n \downarrow 0$ ponctuellement $\Rightarrow$ uniformément (Dini — le reprouver) ; (b) même chose sans monotonie ; (c) même chose avec monotonie mais $f$ discontinue ; (d) même chose avec monotonie, limite [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), mais sur $\intoo01$.

**Solution de Exercice 7.8.**

(a) Dini : voir [Lemme 7.13](#lem-b3-complete-dini) — l’argument de recouvrement. (b) Faux : la bosse mobile $f_n(x) = \max(0, 1
- \abs{nx - 1})$ tend vers $0$ ponctuellement (pour $x > 0$, $f_n(x) = 0$ dès que $n > 2/x$ ; $f_n(0) = 0$) mais $\norm{f_n}_\infty = 1$. (c) Faux : $f_n(x) = x^n$ décroît vers la discontinue $\mathbf 1_{\{1\}}$ ; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)} x^n = 1$. (d) Faux : $x^n \downarrow 0$ ponctuellement sur le non-compact $\intoo01$, avec $\sup_{(0,1)}x^n = 1$. Chaque hypothèse de Dini est nécessaire.

**Exercice 7.9 ★★.**

(a) (Les moments déterminent) Soit $f \in \mathcal
C(\intcc01)$ avec $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ pour tout $n
\in \N$. Montrer $f = 0$. *(Approximer $f$ uniformément par des polynômes et calculer $\int f^2$.)* (b) Montrer que les polynômes pairs sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal
C(\intcc01)$ mais *pas* dans $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ ; où l’hypothèse de Stone–Weierstrass échoue-t-elle (c) L’algèbre engendrée par $x \mapsto \eu^{\iu x}$ seule (sans $\eu^{-\iu x}$) est-elle [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\mathcal C(S^1,
\C)$ *(Considérer $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd
t$.)*

**Solution de Exercice 7.9.**

(a) Par linéarité $\int_0^1 fP = 0$ pour tout polynôme $P$. Choisir $P_n \to f$ uniformément ([Corollaire 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)) : $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$, et la [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $f^2 \geq 0$ d’intégrale nulle s’annule identiquement.

(b) Sur $\intcc01$ : les polynômes en $x^2$ forment une algèbre avec constantes, séparant les points ($x \mapsto x^2$ est injective sur $\intcc01$) : [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) par Stone–Weierstrass. Sur $\intcc{-1}1$ : $x^2$ prend des valeurs égales en $\pm
x$, et de même tout polynôme en $x^2$ : une limite uniforme d’une telle suite est une fonction paire. Si des fonctions paires $g_n$ convergeaient uniformément vers l’identité, alors $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ pour tout $x$ : absurde — pas [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior). L’hypothèse de séparation échoue sur les paires $\{x, -x\}$.

(c) Non. Pour $f$ dans l’algèbre $\mathcal A$ engendrée par les constantes et $\eu^{\iu t}$ — combinaisons linéaires de $\eu^{\iu nt}$, $n \geq 0$ — on a $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (chaque $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$). $\Lambda$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) pour $\norm\cdot_\infty$ ($\abs{\Lambda(f)}\leq
2\pi\norm f_\infty$), donc $\Lambda$ s’annule sur $\bar{\mathcal A}$ ; mais $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq
0$ : $\eu^{-\iu t} \notin \bar{\mathcal A}$. (Stone–Weierstrass ne s’applique pas : $\mathcal A$ n’est pas stable par conjugaison — et l’obstruction est précisément celle que la théorie des fonctions holomorphes systématisera dans le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/16-fonctions-holomorphes#ch-b3-holomorphic).)

**Exercice 7.10 ★★★.**

(Bornitude uniforme, version métrique) Soit $X$ un [espace métrique complet](#def-b3-complete-complete) et $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ une famille *ponctuellement* bornée : $\sup_{f \in \mathcal F}\abs{f(x)} < \infty$ pour chaque $x$. Montrer qu’il existe un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) non vide $U \subseteq X$ sur lequel $\mathcal F$ est *uniformément* bornée : $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$. *(Considérer $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall
f\}$.)* C’est le moteur de Banach–Steinhaus dans le [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux#ch-b3-banach).

**Solution de Exercice 7.10.**

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ est une intersection de fermés : fermé. La bornitude ponctuelle donne $X = \bigcup_n F_n$. Baire ([Théorème 7.6](#thm-b3-complete-baire)) fournit $n_0$ avec $U =
\mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ : sur $U$, $\abs f \leq
n_0$ pour toute $f \in \mathcal F$ simultanément.

**Exercice 7.11 ★★.**

($\mathcal C^1$ a besoin de sa propre norme) Sur $E =
\mathcal C^1(\intcc01, \R)$ considérer $\norm f_{\mathcal C^1}
= \norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$. (a) Montrer que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ est [complet](#def-b3-complete-complete) *(une suite $\mathcal C^1$-Cauchy a $f_n \to f$ et $f_n'
\to g$ uniformément ; identifier $g = f'$ en passant à la limite dans $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$)*. (b) Montrer que $(E, \norm\cdot_\infty)$ n’est *pas* [complet](#def-b3-complete-complete) : exhiber une limite uniforme de fonctions $\mathcal
C^1$ qui n’est pas dérivable (p. ex. des approximations lisses de $\abs{x - \tfrac12}$). (c) Déduire de (a), (b) et du cercle d’idées de l’application ouverte — ou directement — qu’aucune constante $C$ ne satisfait $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ sur $E$ : exhiber une suite le prouvant. La dérivation est non bornée ; c’est la falaise derrière [Théorème 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).

**Solution de Exercice 7.11.**

(a) Une suite de Cauchy pour $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ est uniformément de Cauchy avec ses dérivées : $f_n \to f$ et $f_n' \to g$ uniformément, avec $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). En passant à la limite (la convergence uniforme le permet sous l’intégrale) dans $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ on obtient $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ : $f$ est $\mathcal C^1$ avec $f' = g$, et $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$. [Complet](#def-b3-complete-complete).

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ est une limite uniforme de fonctions $\mathcal C^1$, p. ex. $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ ($\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ par la borne de quantité conjuguée), pourtant $h \notin E$ : la norme sup sur $E$ n’est pas complète — son [complété](#thm-b3-complete-completion) est $\mathcal C(\intcc01)$.

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ a $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$ : aucun $C$ n’existe. (Conceptuellement : si la dérivation était bornée pour la norme sup, les deux normes de (a)–(b) seraient équivalentes, rendant $(E, \norm\cdot_\infty)$ [complet](#def-b3-complete-complete) — contredisant (b). Cette non-bornitude est exactement pourquoi les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) génériques peuvent n’être dérivables nulle part, [Théorème 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).)

**Exercice 7.12 ★★★.**

(Lemme de Croft) Soit $f\colon\intoo0\infty\to\R$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et supposons que pour tout $x > 0$, $f(nx) \to 0$ quand l’entier $n \to \infty$. Montrer que $f(t) \to 0$ quand $t \to
+\infty$. *(Fixer $\varepsilon > 0$ ; les ensembles $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ sont fermés et recouvrent $\intoo0\infty$ ; Baire dans quelque intervalle $\intcc ab$ donne $N$ et un sous-intervalle $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ ; alors les dilatés $\bigl[na', nb'\bigr]$, $n \geq N$, recouvrent tout un [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $+\infty$ une fois $n(b' - a') \geq a'$.)* Où l’hypothèse « pour tout $x$ » (pas seulement $x$ rationnel) est-elle utilisée

**Solution de Exercice 7.12.**

Fixer $\varepsilon > 0$. Chaque $F_N$ est une intersection sur $n \geq N$ d’images réciproques du fermé $\intcc{-\varepsilon}\varepsilon$ sous la [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto
f(nx)$ : fermé. L’hypothèse dit que tout $x > 0$ est dans quelque $F_N$. Par Baire appliqué dans le [complet](#def-b3-complete-complete) $\intcc ab$ (n’importe quels $0 < a < b$), quelque $F_N$ est [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans un sous-intervalle ; étant fermé, il contient un intervalle $\intcc{a'}{b'}$ avec $0 < a' < b'$. Alors pour tout $n \geq
\max(N, \frac{a'}{b' - a'})$, les intervalles $\intcc{na'}{nb'}$ et $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ se chevauchent ($nb' \geq (n+1)a'$), donc

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

et tout $t \geq n_0a'$ s’écrit $t = nx$ avec $n \geq N$, $x
\in \intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ : $\abs{f(t)} \leq
\varepsilon$. Donc $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq
\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : $f \to 0$. L’hypothèse complète est nécessaire car $F_N$ doit *recouvrir* une valeur d’intervalle de $x$ — avec seulement les $x$ rationnels la réunion des $F_N$ est dénombrable et Baire ne donne rien ; il existe d’ailleurs des contre-exemples continus s’annulant le long de tous les rayons rationnels mais pas à l’infini.

## 7.6 Problème : le théorème d’existence de Peano

**Problème 7.1.**

Problème de fin de semaine — existence de solutions de $x' = f(t, x)$ sans Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (deuxième année ; reprouvé dans le [Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#ch-b3-ode)) exige $f$ lipschitzienne en $x$. Peano (1890) : *la continuité de $f$ suffit déjà pour l’existence* — mais pas l’unicité. On le prouve avec les polygones d’Euler et Ascoli. Cadre : $f \colon R \to \R^d$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le rectangle $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times
\bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$, $M = \sup_R\norm f$, et

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{si } M = 0 \text{ le problème est trivial}).
$$

**Partie I — Polygones d’Euler.** Pour $n \geq
1$, subdiviser $[t_0, t_0 + T]$ par $t_k = t_0 + kT/n$ ($0
\leq k \leq n$) et définir $\varphi_n$ affine par morceaux : $\varphi_n(t_0) = x_0$ et, sur $[t_k, t_{k+1}]$,

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. Montrer par induction que $\varphi_n$ est bien définie, avec $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ sur $[t_0, t_0 + T]$ — donc les points d’évaluation restent dans $R$ . *(C’est là qu’entre $T \leq  b/M$.)*
2. Montrer que chaque $\varphi_n$ est $M$ -lipschitzienne.
3. Déduire d’Arzelà–Ascoli ( [Théorème 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) qu’une sous-suite $(\varphi_{n_j})$ converge uniformément sur $[t_0, t_0  + T]$ vers quelque $\varphi$ , elle-même $M$ -lipschitzienne avec $\varphi(t_0) = x_0$ .

**Partie II — La limite résout l’équation.** Définir le *défaut* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ hors des nœuds de grille.

4. Montrer que $f$ est uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $R$ , et en déduire : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ et tout $t$ non nœud, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . *(Sur $(t_k, t_{k+1})$, $\varphi_n'(t) = f(t_k,  \varphi_n(t_k))$, et $(t, \varphi_n(t))$ est à distance $(1 + M)\,T/n$ de $(t_k,  \varphi_n(t_k))$.)*
5. Établir la forme intégrale : pour tout $t$, $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ l’intégrande du milieu étant [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) par morceaux.
6. Passer à la limite le long de $(n_j)$ : montrer $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *uniformément* (continuité uniforme de $f$ encore), et conclure $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. En déduire que $\varphi$ est $\mathcal C^1$ sur $[t_0,  t_0 + T]$ et résout $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; étendre la construction à $[t_0 - T, t_0]$ (renversement du temps). *C’est le théorème de Peano.*

**Partie III — L’unicité échoue vraiment.** Considérer $x' = 2\sqrt{\abs x}$, $x(0) = 0$, sur $\R$.

8. Vérifier que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) mais pas lipschitzienne sur aucun [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $0$ .
9. Vérifier que $x \equiv 0$ et, pour tout $c \geq 0$, $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ sont toutes solutions passant par $(0,0)$ : un continuum de solutions distinctes.
10. Où l’argument d’itération de Picard (point fixe de Banach) casse-t-il pour cette $f$

**Partie IV — Limites de la méthode.**

11. Montrer que le théorème de Peano échoue en dimension infinie : on admet (ou on peut prendre sur foi) l’exemple classique de Dieudonné dans l’espace $c_0$ des suites nulles ; à la place, prouver l’ingrédient de dimension finie qui y échoue : la boule unité fermée de $c_0$ (norme sup) n’est pas compacte — exhiber une suite bornée sans sous-suite convergente, et expliquer quelle étape de la partie I casse.
12. Résumer : quelles hypothèses donnent l’existence l’existence et l’unicité ? Énoncer précisément les deux théorèmes (Peano ; Cauchy–Lipschitz) côte à côte.

**Partie V — Osgood : unicité au-delà de Lipschitz.** Soit $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), croissante, avec

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(\text{divergence en } 0),
$$

et supposons que $f$ satisfait $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ sur $R$.

13. Vérifier que $\omega(r) = Lr$ qualifie (Lipschitz), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (étendue par continuité, pour $r$ petit) qualifie bien qu’elle ne soit *pas* $O(r)$ , et que $\omega(r) = 2\sqrt r$ ne qualifie pas. Calculer l’intégrale dans chaque cas.
14. Soient $x_1, x_2$ solutions de l’équation sur $[t_0,  t_0 + T]$ avec $x_1(t_0) = x_2(t_0)$, et $\delta(t) =  \norm{x_1(t) - x_2(t)}$. Montrer, à partir des formes intégrales seules, que pour $t_0 \leq s \leq t$ : $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (Théorème d’Osgood) Supposer $\delta(t_1) > 0$ pour quelque $t_1$, et soit $\tau = \sup\{t \leq t_1 :  \delta(t) = 0\}$. Pour $s \in \intoo\tau{t_1}$, poser $u(t) = \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$. Montrer $\delta \leq u$, $u' = \omega(\delta) \leq  \omega(u)$, et en déduire $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ Faire $s \downarrow \tau$ et dériver une contradiction avec la divergence de l’intégrale. Conclure : les *solutions passant par une condition initiale commune coïncident* — unicité sous la condition d’Osgood.
16. Tirer les conséquences : l’unicité Cauchy–Lipschitz est le cas $\omega(r) = Lr$ ; l’équation $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ (étendue par $0$ en $0$ ) a des solutions uniques bien que son second membre ne soit pas lipschitzien en $0$ ; et pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ la convergence de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ est exactement ce qui laisse une solution quitter $0$ en temps fini — apparier la valeur de l’intégrale $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ avec le comportement d’échappement de $x_c$ .

**Partie VI — Taux, schémas, entonnoirs.**

17. (Lemme de Grönwall intégral) Soient $e, \eta \geq 0$ [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur $[t_0, t_0+T]$ avec $e(t) \leq  \int_{t_0}^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ pour tout $t$. Montrer $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *(poser $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$, noter $G' \leq LG + \sup\eta$, et dériver $\eu^{-Lt}G(t)$)*.
18. (Euler converge avec un taux) Supposer maintenant $f$ $L$-lipschitzienne en $x$ et $L'$-lipschitzienne en $t$ sur $R$. Combinant la borne de défaut de la question 4 (rendue quantitative : $\norm{\Delta_n}  \leq (L' + LM)T/n$) avec la question 17, prouver $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ où $\varphi$ est *la* solution : avec des données lipschitziennes toute la suite converge, avec un taux explicite — pas besoin de sous-suites. Pourquoi l’unicité promeut-elle la convergence sous-séquentielle en convergence pleine même sans ce calcul
19. (Le schéma choisit) Pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) =  0$ : montrer que tout polygone d’Euler est identiquement zéro, donc le schéma converge vers la solution $x \equiv 0$ ; mais démarré en $x(0) =  \varepsilon > 0$ il converge (quand $n \to \infty$ , puis $\varepsilon \to 0$ ) vers $t \mapsto t^2$ , une solution *différente* passant par l’origine. La non-unicité resurgit comme sensibilité du schéma numérique aux perturbations.
20. Montrer que l’ensemble $\mathcal S$ de *toutes* les solutions de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ sur $[t_0, t_0+T]$ (valeurs dans $\bar B(x_0, b)$ ) est non vide (partie II), uniformément $M$ -lipschitzien, et fermé dans $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; conclure par Ascoli que $\mathcal S$ est *compact* . (Le théorème de Kneser ajoute que $\mathcal S$ est [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) ; on ne le prouvera pas.)
21. Vérifier le phénomène de Kneser sur l’exemple : pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , sur $[0, 1]$ , montrer $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ avec $x_\infty \equiv 0$ *(pour toute solution, poser $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ et intégrer $(\sqrt  x)' = 1$ sur $\{x > 0\}$)* , que $c \mapsto x_c$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $\intcc0\infty$ ( [compactification d’Alexandroff](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-locallycompact) , c’est-à-dire $c = \infty$ collé comme limite) vers $\mathcal C([0,1])$ , et conclure que $\mathcal S$ est bien compact et [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) — un entonnoir en forme de segment.
22. (Ensembles atteignables) Déduire de la question 20 que pour chaque $t$ fixé, l’ *ensemble atteignable* $\mathcal S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ est compact ; le calculer pour l’exemple de la question 21 et vérifier qu’il est aussi [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) : $\mathcal S(t)  = \intcc0{t^2}$ — tout état intermédiaire est atteint par quelque solution.

**Partie VII — Compléments : dépendance, optimalité, et un schéma calculé à la main.**

23. (Dépendance [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)) Supposer $f$ $L$-lipschitzienne en $x$ sur $R$, et soient $x, y$ deux solutions de valeurs initiales $x_0, y_0$ en $t_0$. En adaptant la preuve de la question 17 à l’inégalité $e(t) \leq  \norm{x_0 - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$, montrer $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ et vérifier sur $x' = Lx$ que la borne est atteinte : Grönwall est optimal. En déduire à nouveau l’unicité ($x_0 = y_0$), et que le flot $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ est lipschitzien, de constante $\eu^{LT}$, là où il est défini.
24. (Osgood est optimal) Réciproquement, soit $\omega$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), croissante, positive sur $\intoo0\infty$, avec $\omega(r) \to 0$ quand $r \to 0^+$ mais $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ et étendre $f(x) = \omega(\abs x)$ par $f(0) = 0$. Montrer que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd  r}{\omega(r)}$ est une bijection croissante de $\intoc0{1}$ sur $\intoc0{\Omega(1)}$, que son inverse $g$ résout $g' = \omega(g)$ avec $g(0^+) = 0$, et que $g$, étendue par $0$ pour $t \leq 0$, est une solution $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ passant par $(0, 0)$ distincte de $x \equiv 0$ *(pour $g'(0) = 0$, borner $\frac{g(t)}t$ par $\omega(g(t))$)*. Conclure : l’hypothèse de divergence de la question 15 n’est pas une commodité mais la frontière exacte de l’unicité ; retrouver la partie III depuis $\omega(r) = 2\sqrt r$, $\Omega(x) = \sqrt x$.
25. (Euler calculé à la main) Pour $x' = x$, $x(0) = 1$ sur $[0, 1]$ : montrer que le polygone d’Euler satisfait $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. Prouver le développement $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ donc l’erreur en $t = 1$ est $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$ : le taux $O(\frac1n)$ de la question 18, avec la constante exacte. Vérifier numériquement pour $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.59374$ contre $\eu \approx  2.71828$, une erreur $0.12454$ à comparer avec $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$.

**Solution de Problème 7.1.**

**1.** Induction sur $k$ : si $\norm{\varphi_n(t_k) -
x_0} \leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$, le point $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ est dans $R$, donc la pente $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ est définie, de norme $\leq M$ ; alors pour $t \in [t_k, t_{k+1}]$, $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0)
\leq MT \leq b$.

**2.** Chaque morceau affine a une pente de norme $\leq
M$ ; une fonction affine par morceaux à pentes bornées par $M$ est $M$-lipschitzienne (chaîner via les nœuds).

**3.** La famille $(\varphi_n)$ est bornée ponctuellement (valeurs dans $\bar B(x_0, b)$) et [équicontinue](#def-b3-complete-equicontinuous) (constante de Lipschitz commune $M$) : Ascoli ([Théorème 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) extrait $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ uniformément sur $[t_0, t_0 + T]$. Les bornes passent à la limite : $\varphi$ est $M$-lipschitzienne, $\varphi(t_0) = x_0$.

**4.** $R$ est compact et $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : uniformément [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Corollaire 6.17](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#cor-b3-topology-heineborel)) ; soit $\delta(\varepsilon)$ un [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module). Pour $t$ non nœud $\in
(t_k, t_{k+1})$ : $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, et les deux points d’évaluation de $f$ diffèrent de $\abs{t -
t_k} \leq T/n$ en temps et $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ en espace. Pour $n \geq n_0$ avec $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ : $\norm{\Delta_n(t)}
\leq \varepsilon$.

**5.** Sur chaque $[t_k, t_{k+1}]$, $\varphi_n$ est affine, donc $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) =
\int_{t_k}^{t_{k+1}} \varphi_n'(s)\dd s$, la dérivée étant la pente constante ; en sommant sur les morceaux (et en coupant le dernier en $t$) : $\varphi_n(t) = x_0 +
\int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$. En écrivant $\varphi_n' =
f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (intégrandes [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) par morceaux, un nombre fini de sauts) on obtient l’affichage.

**6.** Étant donné $\varepsilon$ : pour $j$ grand, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty <
\delta(\varepsilon)$, donc $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) -
f(s, \varphi(s))} \leq \varepsilon$ pour tout $s$ : convergence uniforme des intégrandes, et $\int_{t_0}^t
f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to \int_{t_0}^tf(s,
\varphi(s))\dd s$ uniformément en $t$. Aussi $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq
T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to 0$ (question 4). En passant à la limite dans l’identité de la question 5 : $\varphi(t) =
x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$.

**7.** L’intégrande $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), donc le second membre est $\mathcal C^1$ en $t$ de dérivée $f(t, \varphi(t))$ : $\varphi$ résout le problème de Cauchy sur $[t_0, t_0 + T]$. Pour la moitié gauche, poser $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sur le rectangle réfléchi avec la même borne $M$ ; une solution $\psi$ de $y'
= g(t,y)$, $y(t_0) = x_0$ sur $[t_0, t_0 + T]$ donne $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$ résolvant l’équation originale sur $[t_0 - T, t_0]$ ; les deux moitiés se recollent en une solution $\mathcal C^1$ (les deux dérivées unilatérales en $t_0$ valent $f(t_0, x_0)$). — *Théorème de Peano* : une $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) admet une solution locale par toute condition initiale.

**8.** La continuité est claire. Lipschitz près de $0$ échoue : $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$, et $2\sqrt h \leq L
h$ est faux pour $h < 4/L^2$.

**9.** Pour $t \leq c$ : $x_c \equiv 0$ résout. Pour $t
\geq c$ : $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} =
2\sqrt{\abs{x_c}}$. En $t = c$ les dérivées unilatérales valent toutes deux $0$ : $x_c$ est $\mathcal C^1$ et résout globalement, avec $x_c(0) = 0$ pour tout $c \geq 0$ — avec $x \equiv 0$, un continuum de solutions par l’origine.

**10.** L’itération de Picard pose $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_0^t f(x(s))\dd s$ et a besoin de $\norm{\Phi(x) -
\Phi(y)} \leq k\norm{x - y}$ avec $k < 1$ sur une boule convenable — ce qui suit d’une borne de Lipschitz sur $f$, transférée sous l’intégrale. Ici $\sqrt\cdot$ n’admet aucune borne de Lipschitz près de $0$, et aucun choix d’intervalle ou de boule ne le répare. Et en effet aucune preuve d’unicité ne pourrait réussir : l’unicité est *fausse* (question 9).

**11.** Dans $c_0$, les vecteurs unitaires $e_n$ satisfont $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ pour $n \neq m$ : aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc la boule unité fermée n’est pas compacte. L’étape qui casse est l’extraction (question 3) : Ascoli pour $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ exige que les valeurs vivent dans un espace où les ensembles bornés sont relativement compacts — vrai dans $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), faux dans $c_0$.

**12.** *Peano* : $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) au [voisinage](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $(t_0, x_0)$ dans $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ il existe une solution $\mathcal C^1$ de $x' = f(t,x)$, $x(t_0) = x_0$, sur quelque $[t_0 - T, t_0 + T]$. *Cauchy–Lipschitz* ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/19-equations-differentielles-ordinaires#ch-b3-ode)) : si de plus $f$ est localement lipschitzienne en la variable $x$, la solution est *unique*. La paire $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ sépare les deux théorèmes.

**13.** $\omega(r) = Lr$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$ : qualifie. $\omega(r) = r\log\frac1r$ : $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr]
\to +\infty$ : qualifie — pourtant $\omega(r)/r =
\log\frac1r \to \infty$ : pas lipschitzien. $\omega(r) =
2\sqrt r$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = 1 < \infty$ : échoue.

**14.** Soustraire les deux formes intégrales et prendre les normes avec le [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) d’Osgood : $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$.

**15.** $\tau$ est bien défini ($\delta(t_0) = 0$) avec $\delta(\tau) = 0$ et $\delta > 0$ sur $\intoc\tau{t_1}$. Fixer $s \in \intoo\tau{t_1}$. Alors $u$ est $\mathcal C^1$, $u(s) = \delta(s) > 0$, $u \geq \delta$ sur $[s, t_1]$, et $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$. Diviser et intégrer :

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
\leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .
$$

Le second membre est borné, tandis que le premier $\to
+\infty$ quand $s \downarrow \tau$ (divergence en $0$) : contradiction. Donc $\delta \equiv 0$ : unicité.

**16.** Lipschitz est $\omega = Lr$ : unicité retrouvée. Pour $x' = x\log\frac1{\abs x}$ : le second membre satisfait le [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) d’Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ près de $0$ : solutions uniques. Pour $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — le « budget d’Osgood » pour grimper de $0$ à la hauteur $h^2$ est exactement le temps $h$, et en effet $x_c(c + h) = h^2$.

**17.** $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ vérifie $G' \leq LG + \sup\eta$. Alors $\bigl(\eu^{-Lt}(G + \tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' \leq 0$ : $e(t)
\leq G(t) \leq \frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$.

**18.** Défaut quantitatif : $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n
+ LMT/n$. Soustraire les identités intégrales et utiliser la borne de Lipschitz avec la question 17 : la borne $O(1/n)$ énoncée. Même sans taux : toute sous-suite de $(\varphi_n)$ a une sous-sous-suite convergeant (Ascoli + partie II) vers *une* solution, que l’unicité force à être $\varphi$ : une suite dont toutes les sous-suites ont des sous-sous-suites de même limite converge.

**19.** Depuis $\varphi_n(t_k) = 0$ : la pente $0$ donne $\varphi_n \equiv 0$. Depuis $\varepsilon > 0$ : sur $[\varepsilon', \infty)$ la fonction $2\sqrt x$ est lipschitzienne, donc Euler converge vers $(t +
\sqrt\varepsilon)^2$ ; faire $\varepsilon \to 0$ atterrit sur $t^2$, pas sur $0$.

**20.** Non vide : partie II. Toute solution satisfait $\norm{x'} \leq M$ : $\mathcal S$ est uniformément $M$-lipschitzienne et bornée. Fermée : passer à la limite dans la forme intégrale. Ascoli : $\mathcal S$ est compacte.

**21.** Toute solution est croissante avec $x(0) = 0$. Soit $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ ; pour $t > c$, $(\sqrt x)' =
1$, donc $x = x_c$. La famille se réduit à $\{x_c : c \in
[0,1]\}$ (avec $x_1 = 0$), image [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) du compact [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) $[0,1]$ : compacte et [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected).

**22.** L’évaluation $\operatorname{ev}_t$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), donc $\mathcal S(t)$ est compacte et [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected). Pour l’exemple : $x_c(t) = (t - c)_+^2$ balaye $\intcc0{t^2}$.

**23.** Soustraire les formes intégrales : $e(t) \leq d
+ \int_{t_0}^t L\,e$ ; Grönwall donne $e(t) \leq
d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Optimalité sur $x' = Lx$. Unicité pour $d
= 0$. Le flot est $\eu^{LT}$-lipschitzien en la condition initiale.

**24.** $\Omega$ est une bijection croissante ; son inverse $g$ résout $g' = \omega(g)$ avec $g(0^+) = 0$. Étendue par $0$ pour $t \leq 0$, $g$ est une solution $\mathcal C^1$ distincte de $0$ : quand l’intégrale converge, l’unicité échoue. Pour $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $g(t) = t^2$, et les translations donnent la famille $x_c$.

**25.** Avec pas $h = \frac1n$ : $\varphi_n(1) = (1 +
\frac1n)^n$. Le développement $n\log(1+\frac1n) = 1 -
\frac1{2n} + O(n^{-2})$ donne $(1+\frac1n)^n =
\eu(1-\frac1{2n}+O(n^{-2}))$ : erreur $\frac{\eu}{2n} +
O(n^{-2})$. Numériquement $n = 10$ : $1.1^{10} \approx
2.59374$ contre $\eu \approx 2.71828$, erreur $0.12454$ vs $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$.

En détail pour Osgood et les taux (questions 13–18) : le [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) $\omega(r) = Lr$ donne l’intégrale divergente $\int_0\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$, tandis que $2\sqrt r$ donne $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = 1 < \infty$, ce qui explique exactement pourquoi $x_c$ peut quitter $0$ en temps fini $h$ pour atteindre la hauteur $h^2$. La preuve d’Osgood construit une majorante $u \geq \delta$ d’équation différentielle $u' \leq \omega(u)$ ; diviser par $\omega(u)$ et intégrer produit une borne inférieure de l’intégrale de $\frac{\dd r}{\omega(r)}$ par $t_1 - \tau$, qui explose quand le bord inférieur $\delta(s)$ tend vers $0$. Grönwall intégral suit en dérivant $\eu^{-Lt}G$ : le facteur exponentiel est optimal, atteint par $x' = Lx$. Avec des données lipschitziennes, le défaut d’Euler est $O(\frac1n)$, et Grönwall le convertit en erreur $O(\frac1n)$ sur la solution ; l’unicité promeut en outre la convergence sous-séquentielle (Ascoli) en convergence de toute la suite.

Pour l’entonnoir de solutions (questions 19–22) : le schéma d’Euler, démarré exactement en $0$, reste en $0$ (pente nulle) ; démarré en $\varepsilon > 0$, il converge vers $(t +
\sqrt\varepsilon)^2$, qui tend vers $t^2$ quand $\varepsilon \to 0$ — sensibilité numérique de la non-unicité. L’ensemble $\mathcal S$ de toutes les solutions est fermé (passage à la limite dans la forme intégrale), borné et équicontinu (borne $M$), donc compact par Ascoli. Pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$, $\mathcal S = \{x_c : c \in
[0,1]\}$ est l’image [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) d’un segment, donc compacte et [connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-connected) ; la section $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ montre que tout état intermédiaire est réalisé.

Pour l’optimalité et le calcul explicite (questions 23–25) : la dépendance lipschitzienne en la condition initiale suit de Grönwall avec terme constant $\norm{x_0 - y_0}$. Quand $\int_0\frac{\dd r}{\omega(r)}$ converge, l’inverse de $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ fournit une solution non nulle partant de $0$ : la divergence est la frontière exacte. Enfin $(1+\frac1n)^n =
\eu(1-\frac1{2n}+O(n^{-2}))$ confirme le taux $O(\frac1n)$ avec constante exacte $\frac\eu2$, vérifiée numériquement pour $n = 10$.