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title: "Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/8-espaces-de-banach-et-theoremes-fondamentaux
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# Chapitre 8 — Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux

L’analyse fonctionnelle étudie les espaces normés de dimension infinie à travers les opérateurs et fonctionnelles qui y vivent. Sa découverte fondatrice est que la *complétude*, via le théorème de Baire, force une forte uniformité : les familles d’opérateurs ponctuellement bornées sont bornées en norme (Banach–Steinhaus), les bijections [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ont des inverses [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (application ouverte), et les graphes détectent la continuité (graphe fermé). L’autre pilier, *Hahn–Banach*, n’a besoin d’aucune complétude — seulement du lemme de Zorn — et garantit que les espaces duaux sont assez riches pour voir chaque vecteur. Ce chapitre prouve les quatre théorèmes et les teste sur les espaces de suites classiques $\ell^p$, sur des calculs de duaux concrets, et sur une application véritablement surprenante : il existe des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-périodiques dont la série de Fourier *diverge* en un point — résolvant par la négative une question que la deuxième année avait laissée ouverte.

Tout au long, $E, F$ sont des espaces normés sur $K = \R$ ou $\C$ ; *espace de Banach* signifie espace normé [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

## 8.1 Opérateurs bornés ; espaces de suites

**Définition 8.1.**

$\mathcal L(E, F)$ désigne l’espace des applications linéaires *bornées* (= [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), deuxième année) muni de la *norme d’opérateur* $\vertiii T
= \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; elle est sous-multiplicative : $\vertiii{ST} \leq \vertiii
S\,\vertiii T$. Le *dual* est $E' =
\mathcal L(E, K)$.

**Proposition 8.2.**

Si $F$ est un espace de Banach, $\mathcal L(E, F)$ l’est aussi ; en particulier $E'$ est toujours un espace de Banach.

**Démonstration.** Soit $(T_n)$ de Cauchy pour $\vertiii\cdot$. Pour chaque $x$, $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ est de Cauchy dans $F$, convergente ; appeler la limite $Tx$. $T$ est linéaire (limites d’identités linéaires) ; en passant à la limite dans $\norm{T_nx - T_mx} \leq
\varepsilon\norm x$ ($n, m \geq N$) on obtient $\norm{T_nx -
Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ en [norme d’opérateur](#def-b3-banach-operator), et $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon <
\infty$. ∎

**Définition 8.3.**

Les espaces de suites classiques (sur $K$, indexés par $\N$) :

$$
\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n
\abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p <
\infty),
$$

$$
\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},
$$

et $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ muni de $\norm\cdot_\infty$. Que $\norm\cdot_p$ soit une norme suit de l’inégalité de Minkowski, prouvée dans le cas discret exactement comme dans le [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#ch-b3-lp) (ou en sommant l’inégalité de dimension finie de deuxième année). Tous sont des espaces de Banach, et $c_0$ est un sous-espace fermé de $\ell^\infty$ ([Exercice 8.3](#exo-b3-banach-3)).

![Boules unités des p-normes dans le plan, emboîtées quand p croît de 1 (losange) à 2 (disque) et 4 (superellipse) jusqu’à ∈fty (carré). La convexité de chaque boule est l’inégalité de Minkowski ; les coins en p = 1 et p = ∈fty sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’ dégénèrent d’un coup.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg)

*Boules unités des $p$-normes dans le plan, emboîtées quand $p$ croît de $1$ (losange) à $2$ (disque) et $4$ (superellipse) jusqu’à $\infty$ (carré). La convexité de chaque boule *est* l’inégalité de Minkowski ; les coins en $p = 1$ et $p = \infty$ sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’[Exercice 12.12](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/12-les-espaces-lp#exo-b3-lp-12) dégénèrent d’un coup.*

**Proposition 8.4 (Série de Neumann).**

Soit $E$ de Banach et $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ avec $\vertiii T < 1$. Alors $I - T$ est inversible dans $\mathcal L(E)$, avec $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente en [norme d’opérateur](#def-b3-banach-operator)). Par conséquent l’ensemble des opérateurs inversibles est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), et l’inversion y est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity).

**Démonstration.** La série converge absolument ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii
T^n$, géométrique) dans le Banach $\mathcal L(E)$ ([Proposition 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete) ; [Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). En télescopant, $(I -
T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, et de même de l’autre côté. Pour l’ouverture : si $S$ est inversible et $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$, alors $S + H = S(I +
S^{-1}H)$ avec $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : inversible. Continuité de l’inversion : l’expression en série donne $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ localement. ∎

**Exemple 8.5 (Une équation de Volterra, résolue par Neumann).**

Sur $E = \mathcal C(\intcc01)$, considérer l’équation intégrale

$$
u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t,
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu,
\quad (Tu)(x) = \int_0^xu .
$$

Ici $\vertiii T \leq 1$, donc pour $\abs\lambda < 1$ la [série de Neumann](#prop-b3-banach-neumann) s’applique directement : $u = (I - \lambda
T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. En calculant, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$, donc

$$
u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} =
\eu^{\lambda x} ,
$$

ce que la dérivation confirme. Mieux : $\vertiii{T^n} \leq
\frac1{n!}$ (le noyau itéré se contracte factoriellement), donc $\sum\lambda^nT^n$ converge pour *tout* $\lambda$ — l’opérateur $I - \lambda T$ est inversible pour tout $\lambda \in \C$, même si $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ éventuellement : ce qui compte est la décroissance spectrale des puissances, pas la première norme. Les opérateurs de Volterra ont cette décroissance factorielle intégrée ([Exercice 7.4](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) l’exploitait exactement), c’est pourquoi les problèmes de Cauchy ne souffrent jamais des phénomènes de résonance des problèmes aux limites ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/15-operateurs-compacts-et-theoreme-spectral#ch-b3-spectral)).

## 8.2 Hahn–Banach

**Théorème 8.6 (Hahn–Banach, forme analytique).**

Soit $E$ un espace vectoriel *réel*, $p \colon E \to \R$ *sous-linéaire* ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ et $p(tx) =
tp(x)$ pour $t \geq 0$), $F \subseteq E$ un sous-espace et $f
\colon F \to \R$ linéaire avec $f \leq p$ sur $F$. Alors $f$ s’étend en une $\tilde f \colon E \to \R$ linéaire avec $\tilde f \leq p$ sur $E$.

**Démonstration.** *Extension en une étape.* Soit $x_0 \notin F$ ; on étend $f$ à $F \oplus \R x_0$ en choisissant $\alpha = \tilde
f(x_0)$ correctement : on a besoin, pour tous $y \in F$, $t >
0$,

$$
f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0)
\quad\text{et}\quad
f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),
$$

ce qui après division par $t$ (sous-linéarité) se réduit à

$$
\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr]
\;\leq\; \alpha \;\leq\;
\inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].
$$

Un tel $\alpha$ existe ssi tout membre de gauche est $\leq$ tout membre de droite : en effet $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq
p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$, c’est-à-dire $f(v) -
p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$.

*Zorn.* Ordonner les extensions de $f$ dominées par $p$ (couples : sous-espace, fonctionnelle) par extension ; une chaîne a pour majorant l’union ; un élément [maximal](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-primemaximal) doit être défini sur tout $E$, sinon l’extension en une étape contredit la maximalité. ∎

**Corollaire 8.7.**

Soit $E$ un espace normé ($K = \R$ ou $\C$).

1. Toute $f \in F'$ ( $F$ un sous-espace) s’étend en $\tilde f \in E'$ avec $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm  f_{F'}$ .
2. Pour tout $x \neq 0$ il existe $f \in E'$ avec $\norm  f = 1$ et $f(x) = \norm x$ . En particulier $E'$ sépare les points de $E$ , et $\norm x = \sup_{\norm f \leq  1}\abs{f(x)}$ .
3. Pour un sous-espace fermé $F$ et $x \notin F$ , il existe $f \in E'$ s’annulant sur $F$ avec $f(x) =  d(x, F)$ et $\norm f \leq 1$ .

**Démonstration.** (1) Cas réel : appliquer [Théorème 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) avec $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sous-linéaire) ; l’extension satisfait $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$, donc $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, et $\geq$ est la restriction. Cas complexe : soit $u = \operatorname{Re}f$, une fonctionnelle réelle avec $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; noter $f(x) =
u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (vérifier sur les parties réelle et imaginaire : $\operatorname{Im}f(x) =
-\operatorname{Re}f(\iu x)$). Étendre $u$ $\R$-linéairement avec la même borne, et poser $\tilde f(x) = \tilde u(x) -
\iu\tilde u(\iu x)$ : $\C$-linéaire (vérification directe sur la multiplication par $\iu$), prolonge $f$ ; norme : pour $x$ donné écrire $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$, alors $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde
u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$.

(2) Sur $F = Kx$ définir $f(tx) = t\norm x$ : norme $1$ sur $F$ ; étendre par (1). La formule de dualité : $\leq$ est claire, $\geq$ par cette $f$.

(3) Sur $F \oplus Kx$ définir $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; alors pour $t \neq 0$, $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq
\abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ sur le sous-espace ; étendre par (1). ∎

**Remarque 8.8.**

Par (2), l’application canonique $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, est une isométrie ([Exercice 8.10](#exo-b3-banach-10)) : tout espace normé s’assied dans son bidual. Les espaces avec $J$ surjective sont dits *réflexifs* ; le problème de fin de semaine montre que $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) est réflexif tandis que $\ell^1$ ne l’est pas.

## 8.3 La trilogie de Baire

**Théorème 8.9 (Banach–Steinhaus, bornitude uniforme).**

Soit $E$ un espace de *Banach*, $F$ normé, et $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ une famille avec $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ pour tout $x \in E$. Alors $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$.

**Démonstration.** Les ensembles $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ sont fermés (intersections d’images réciproques de boules fermées) et recouvrent $E$. Baire ([Théorème 7.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) donne $n_0$ et une boule $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. Pour $\norm z
< r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} +
\norm{T_ix_0} \leq 2n_0$, donc $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ pour tout $i$. ∎

**Corollaire 8.10.**

Si $E$ est de Banach et $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergent *ponctuellement* ($T_nx \to Tx$ pour chaque $x$), alors $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$, et $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$.

**Démonstration.** Les suites convergentes sont bornées : bornitude ponctuelle ; Banach–Steinhaus borne les normes par quelque $M$ ; alors $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ($T$ est linéaire comme limite ponctuelle), et la borne plus fine en passant au $\liminf$ dans $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$. ∎

**Théorème 8.11 (Séries de Fourier divergentes).**

Il existe des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-périodiques $f$ dont la série de Fourier diverge en $0$ : $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} =
\infty$. Mieux : de telles $f$ forment une [partie dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de $\mathcal C(S^1)$.

**Démonstration.** Travailler dans $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$, un espace de Banach, avec les fonctionnelles $\Lambda_N(f) =
S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (noyau de Dirichlet, deuxième année). Chaque $\Lambda_N$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avec

$$
\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd
t \;=\; L_N .
$$

($\leq$ est clair ; $\geq$ : prendre $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), $\norm
f_\infty \leq 1$, approximant $\operatorname{sign}D_N$ — le signe a un nombre fini de sauts ; lisser chaque saut sur un intervalle de longueur $\varepsilon$ change l’intégrale de $O(N\varepsilon)$.) Les *constantes de Lebesgue* $L_N$ tendent vers l’infini :

$$
L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}}
\,\dd t
\geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin
u}}{u}\,\dd u
$$

(en utilisant $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ sur $[0, \pi]$, puis en substituant $u = (N + \tfrac12)t$). En découpant en arches :

$$
\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u
\geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u =
\frac{2}{k\pi},
\qquad\text{donc}\qquad
L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k
\xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .
$$

Si toute $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) avait $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} <
\infty$, Banach–Steinhaus forcerait $\sup_N\norm{\Lambda_N} <
\infty$ : contradiction. Donc quelque $f$ — en fait un ensemble non [maigre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre), [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de $f$ (le complémentaire de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$, une réunion dénombrable de fermés qui, n’ayant pas d’intérieur par ce qui précède appliqué dans toute boule, est [maigre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)) — a $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$. ∎

**Théorème 8.12 (Application ouverte).**

Soient $E, F$ des espaces de Banach et $T \in \mathcal L(E,
F)$ *surjective*. Alors $T$ est ouverte : $T(B_E(0,1))
\supseteq B_F(0, c)$ pour quelque $c > 0$. Par conséquent un opérateur borné bijectif entre espaces de Banach a un inverse borné.

**Démonstration.** Écrire $B = B_E(0,1)$. La surjectivité donne $F = \bigcup_n
\overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire ([Théorème 7.6](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) donne un intérieur à $\overline{T(B)}$ : quelque $B_F(y_0, 4c) \subseteq
\overline{T(B)}$. Recentraliser en $0$ : pour $\norm y < 4c$, $y_0 + y$ et $y_0$ sont tous deux des limites d’images $Tu_k$, $Tv_k$ avec $u_k, v_k \in B$, donc $y = \lim T(u_k - v_k)$ avec $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq
\overline{T(2B)}$, c’est-à-dire $B_F(0, 2c) \subseteq
\overline{T(B)}$.

*Retirer l’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior)* (ici entre la complétude de $E$) : soit $\norm y < c$. Choisir $x_1 \in \frac12 B$ avec $\norm{y
- Tx_1} < c/2$ ($B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ mis à l’échelle $\frac12$) ; inductivement $x_k \in 2^{-k}B$ avec $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. La série $\sum x_k$ converge absolument dans le Banach $E$, vers $x \in
B$ (norme $< \sum 2^{-k} = 1$), et $Tx = y$ par continuité : $B_F(0, c) \subseteq T(B)$. L’ouverture de $T$ sur des [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) arbitraires suit par translation et mise à l’échelle ; pour le corollaire, l’ouverture de $T$ signifie que $T^{-1}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). ∎

**Corollaire 8.13 (Normes équivalentes).**

Si un espace vectoriel est [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) pour deux normes comparables ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$), les normes sont équivalentes.

**Démonstration.** L’identité $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ est bornée et bijective entre espaces de Banach : son inverse est borné. ∎

**Théorème 8.14 (Graphe fermé).**

Soient $E, F$ de Banach et $T \colon E \to F$ linéaire. Si le graphe $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ est fermé dans $E \times F$ (c’est-à-dire $x_n \to x$ et $Tx_n \to y$ impliquent $y =
Tx$), alors $T$ est borné.

**Démonstration.** $E \times F$ muni de $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ est de Banach ; $\Gamma$, un sous-espace fermé, est de Banach. La projection $\pi_E\colon \Gamma \to E$ est bornée et bijective, donc son inverse $x \mapsto (x, Tx)$ est borné ([Théorème 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)) : $\norm{Tx} \leq
\norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$. ∎

**Méthode 8.15.**

Quand atteindre quel théorème. *Hahn–Banach* : pour produire une fonctionnelle au comportement prescrit (normer un vecteur, s’annuler sur un sous-espace, étendre depuis un sous-espace) — pas de complétude nécessaire. *Banach–Steinhaus* : pour convertir de l’information ponctuelle en bornes uniformes — typiquement pour montrer qu’une opération limite est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), ou (contraposée) pour prouver une *divergence* pour quelque élément, comme pour les séries de Fourier. *Application ouverte / graphe fermé* : pour obtenir la continuité gratuitement à partir de la bijectivité [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) ou d’une propriété de fermeture du graphe — usage typique : comparer deux normes complètes, ou prouver une continuité automatique. Les trois théorèmes de Baire exigent la complétude *de la source* ; contre-exemples sinon ([Exercice 8.7](#exo-b3-banach-7)).

## 8.4 Espaces duaux, concrètement

**Théorème 8.16.**

Isométriquement : $(c_0)' \cong \ell^1$ et $(\ell^1)' \cong
\ell^\infty$, via le crochet $\langle x, y\rangle = \sum_n
x_ny_n$.

**Démonstration.** On prouve $(c_0)' \cong \ell^1$ ; la seconde identification est l’[Exercice 8.5](#exo-b3-banach-5). À $y \in \ell^1$ associer $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ($x \in c_0$) : absolument convergente, avec $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_\infty\norm y_1$, donc $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. Réciproquement soit $\Lambda \in (c_0)'$ ; poser $y_n =
\Lambda(e_n)$ ($e_n$ les suites unitaires). Pour tout $N$, tester $x^{(N)} = \sum_{n \leq N}
\operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norme $\leq 1$ ; dans le cas complexe utiliser des facteurs unimodulaires $\bar y_n/\abs{y_n}$) : $\Lambda(x^{(N)}) =
\sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$. Donc $y \in
\ell^1$ avec $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$. Enfin $\Lambda =
\Lambda_y$ : les deux coïncident sur les $e_n$, donc sur les suites finies, [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $c_0$ (troncation : $\norm{x -
\sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ précisément parce que $x_n \to 0$) ; des fonctionnelles [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) coïncidant sur un [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) sont égales. La correspondance est linéaire, bijective, et isométrique ($\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ d’après les deux inégalités). ∎

## 8.5 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Calculer les [normes d’opérateur](#def-b3-banach-operator) : (a) les décalages $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ et $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ sur $\ell^2$ ; (b) l’opérateur de multiplication $M_a x = (a_nx_n)$ sur $\ell^2$, pour $a \in \ell^\infty$ ; (c) la fonctionnelle $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f -
\int_{1/2}^1f$ sur $\mathcal C(\intcc01)$ — montrer $\norm\Lambda = 1$ et que la norme n’est *pas* atteinte.

**Solution de Exercice 8.1.**

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ est une isométrie, $\vertiii S = 1$. Pour le décalage arrière : $\norm{S^*x}_2^2
= \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, avec égalité pour $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$.

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm
a_\infty^2\norm x_2^2$ ; tester $x = e_n$ donne $\vertiii{M_a}
\geq \abs{a_n}$ pour tout $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm
a_\infty$.

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm
f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$. Pour $\varepsilon > 0$ soit $f_\varepsilon$ égale à $1$ sur $[0, \frac12 - \varepsilon]$, $-1$ sur $[\frac12 + \varepsilon, 1]$, affine entre : $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ et $\Lambda(f_\varepsilon)
\geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$. Non atteinte : $\Lambda(f) = 1$ avec $\norm f_\infty \leq 1$ force $\int_0^{1/2}f = \frac12$ et $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$, c’est-à-dire (continuité, $\abs f \leq 1$) $f \equiv 1$ sur $[0, \frac12]$ et $f \equiv -1$ sur $[\frac12, 1]$ : contradiction en $\frac12$.

**Exercice 8.2 ★.**

Soit $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ inversible, et $S$ avec $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. Montrer que $S$ est inversible et estimer $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. Application : si un système linéaire $Tx = b$ est solvable avec $T$ inversible, une perturbation suffisamment petite de $T$ le garde uniquement solvable, avec une borne quantitative sur le changement de solution.

**Solution de Exercice 8.2.**

Écrire $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ avec $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S}
= \theta < 1$ : par [Proposition 8.4](#prop-b3-banach-neumann), $S$ est inversible avec $S^{-1} =
\sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T-S)\bigr)^nT^{-1}$, d’où

$$
\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq
\sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}}
= \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.
$$

Pour le système linéaire : $x_T = T^{-1}b$ et $x_S = S^{-1}b$ diffèrent d’au plus cette borne fois $\norm b$ — les petites perturbations d’un système inversible restent uniquement solvables, avec dépendance lipschitzienne de la solution en l’opérateur.

**Exercice 8.3 ★★.**

(a) Prouver que $\ell^1$, $\ell^\infty$ et $c_0$ sont des espaces de Banach, et que $c_0$ est l’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^\infty$ de l’espace des suites finies. (b) Montrer $\ell^p \subseteq \ell^q$ avec $\norm\cdot_q \leq
\norm\cdot_p$ pour $1 \leq p \leq q \leq \infty$, et que l’inclusion est stricte.

**Solution de Exercice 8.3.**

(a) $\ell^1$ : soit $(x^{(k)})$ de Cauchy. Chaque coordonnée est de Cauchy ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq
\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$) : soit $x_n =
\lim_kx^{(k)}_n$. Étant donné $\varepsilon$, pour $k, l \geq
K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq
\varepsilon$ pour tout $N$ ; faire $l \to \infty$, puis $N \to
\infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, et $x =
x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. $\ell^\infty$ : Cauchy pour $\norm\cdot_\infty$ est uniformément de Cauchy : converge uniformément vers une suite bornée. $c_0$ est fermé dans $\ell^\infty$ : si $x^{(k)} \to x$ uniformément avec $x^{(k)}_n \to_n 0$, alors $\abs{x_n} \leq \norm{x -
x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ donne $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; un sous-espace fermé d’un Banach est Banach. Suites finies : leur [adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) contient tout $x \in c_0$ (les troncatures convergent : $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) et est contenue dans le fermé $c_0$.

(b) Par homogénéité supposer $\norm x_p = 1$ : alors $\abs{x_n} \leq 1$ pour tout $n$, donc $\abs{x_n}^q \leq
\abs{x_n}^p$ et $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; pour $q =
\infty$, $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ directement. Stricte : $x_n = n^{-\alpha}$ avec $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ est dans $\ell^q \setminus \ell^p$ (séries de Riemann).

**Exercice 8.4 ★★.**

Soit $F \subseteq E$ un sous-espace fermé et $x \notin F$. En utilisant [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed), prouver la formule de dualité

$$
d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\
f\restriction_F = 0\bigr\}
$$

(noter : un *maximum*). En déduire que $F =
\bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : les sous-espaces fermés sont exactement les intersections de noyaux de fonctionnelles.

**Solution de Exercice 8.4.**

($\leq$) Si $\norm f \leq 1$ et $f\restriction_F = 0$ : pour tout $y \in F$, $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x -
y}$ ; prendre l’infimum. ($\geq$, atteint) [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) produit $f$ avec $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$, $f(x) = d(x, F)$ : le supremum est un maximum. Conséquence : $F \subseteq
\bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ trivialement, et un point $x \notin F$ est exclu de l’intersection par la fonctionnelle ci-dessus ($f(x) = d(x,F) > 0$, $F$ étant fermé).

**Exercice 8.5 ★★.**

Prouver $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isométriquement, en suivant le schéma du [Théorème 8.16](#thm-b3-banach-duals) (les suites finies sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^1$). Où l’argument casse-t-il pour $(\ell^\infty)'$

**Solution de Exercice 8.5.**

Pour $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} =
\abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, donc $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; tester sur $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : égalité. Réciproquement, étant donné $\Lambda \in
(\ell^1)'$, poser $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq
\norm\Lambda$, donc $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ et $\Lambda_y$ coïncident sur les suites finies, [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^1$ ($\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 =
\sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) : $\Lambda = \Lambda_y$. L’application $y \mapsto \Lambda_y$ est linéaire, isométrique, surjective. Pour $(\ell^\infty)'$ le même départ produit une suite $y_n = \Lambda(e_n)$, mais les suites finies ne sont *pas* [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^\infty$ (la suite constante $\mathbf 1$ est à distance $1$ de toutes), donc $\Lambda$ n’est pas déterminée par les $y_n$ — et en effet $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([Problème 8.1](#pb-b3-banach-1)).

**Exercice 8.6 ★★.**

Soient $E, F, G$ normés avec $E$ de Banach, et $B \colon E
\times F \to G$ bilinéaire, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) en chaque variable séparément. Montrer que $B$ est (conjointement) [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$. *(Appliquer Banach–Steinhaus à la famille $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq
1}$.)*

**Solution de Exercice 8.6.**

Pour chaque $x$ fixé, $y \mapsto B(x, y)$ est linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. Donc la famille $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq
\mathcal L(E, G)$ (chaque membre [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), par continuité en $x$) est ponctuellement bornée sur le Banach $E$ : Banach–Steinhaus ([Théorème 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) fournit $C$ avec $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ pour tous $\norm y \leq 1$ ; l’homogénéité en $y$ termine : $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$.

**Exercice 8.7 ★★.**

(a) Sur $E = \mathcal C(\intcc01)$, comparer $\norm\cdot_\infty$ et $\norm\cdot_1$ : l’identité $(E,
\norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ est bornée et bijective mais son inverse est non borné. Quelle hypothèse du [Corollaire 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) échoue (b) Exhiber une application linéaire discontinue d’un sous-espace [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de $\ell^2$ vers $K$ (p. ex. sur les suites finies), et expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème du graphe fermé.

**Solution de Exercice 8.7.**

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : l’identité est bornée et bijective. Son inverse est non borné : $f_n(x) = x^n$ a $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ mais $\norm{f_n}_\infty =
1$. Pas de contradiction avec [Corollaire 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) : $(\mathcal C(\intcc01),
\norm\cdot_1)$ n’est *pas* [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)) ; le corollaire exige la complétude des deux côtés.

(b) Sur l’espace $E_0$ des suites finies ([dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^2$), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ est linéaire et non bornée ($\varphi(e_n) = n$ avec $\norm{e_n}_2 = 1$). Le théorème du graphe fermé ne s’applique pas : $E_0$ n’est pas [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — et $\varphi$ n’a pas d’extension [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) à $\ell^2$, illustrant que la densité sans continuité uniforme est impuissante ([Théorème 7.2](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)).

**Exercice 8.8 ★★★.**

(Hellinger–Toeplitz) Soit $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ linéaire (partout définie) et *symétrique* : $\langle
Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ pour tous $x, y$, où $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$. Montrer que $T$ est borné. *(Graphe fermé : si $x_k \to x$ et $Tx_k \to
z$, tester contre $y$ arbitraire.)* Morale : les opérateurs symétriques non bornés — les hamiltoniens de la mécanique quantique — ne peuvent jamais être définis sur tout l’espace.

**Solution de Exercice 8.8.**

On vérifie l’hypothèse du graphe fermé. Soit $x_k \to x$ et $Tx_k \to z$ dans $\ell^2$. Pour tout $y$ :

$$
\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle
= \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle
= \langle Tx, y\rangle,
$$

en utilisant la continuité du produit scalaire dans chaque créneau (Cauchy–Schwarz) et la symétrie deux fois. Donc $z -
Tx$ est orthogonal à tout $y$, en particulier à lui-même : $z
= Tx$. Le graphe est fermé et $\ell^2$ est de Banach : $T$ est borné ([Théorème 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). Donc un opérateur symétrique défini sur *tout* $\ell^2$ est automatiquement borné ; les opérateurs symétriques véritablement non bornés (position, impulsion, hamiltoniens) doivent vivre sur des sous-espaces [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) propres.

**Exercice 8.9 ★★★.**

(Théorème de Pólya sur la quadrature) Pour chaque $n$, soit $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ une règle de quadrature sur $\mathcal C(\intcc01)$ ($x_{i,n} \in
\intcc01$, $w_{i,n} \in \R$). Montrer que $\Lambda_n(f) \to
\int_0^1f$ pour *toute* $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) si et seulement si : (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ pour tout polynôme $P$, et (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$. *(Calculer $\norm{\Lambda_n}$ ; utiliser Banach–Steinhaus et Weierstrass.)* Vérifier que les règles à poids *positifs* exactes sur les constantes satisfont (ii) automatiquement.

**Solution de Exercice 8.9.**

D’abord, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ est l’inégalité triangulaire ; $\geq$ en testant une $f$ affine par morceaux avec $\norm f_\infty \leq 1$ et $f(x_{i,n}) =
\operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpoler linéairement entre les nœuds finiment nombreux).

($\Rightarrow$) La convergence ponctuelle en toute $f$ implique (i), et la bornitude ponctuelle, donc Banach–Steinhaus ([Théorème 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) sur le Banach $\mathcal C(\intcc01)$ donne (ii).

($\Leftarrow$) Soit $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. Étant donné $f$ et $\varepsilon$, choisir un polynôme $P$ avec $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ ([Corollaire 7.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)) ; alors

$$
\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr|
\leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP -
\int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr|
\leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to
\varepsilon .
$$

Poids positifs, exactitude sur les constantes : $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1)
= \int_0^1 1 = 1$ pour les règles exactes sur les constantes — (ii) tient avec constante $1$.

**Exercice 8.10 ★★.**

Montrer que $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, est une isométrie linéaire (utiliser [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2)), et qu’elle est surjective quand $\dim E < \infty$. Montrer aussi que si $E'$ est [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) alors $E$ l’est. *(Choisir $x_n$ presque normant une suite [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de $E'$ et montrer que leur sous-espace engendré fermé est $E$, via [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)*

**Solution de Exercice 8.10.**

La linéarité de $J$ est formelle ; $\norm{J(x)} =
\sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ par [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). Si $\dim E = n$ : $\dim E'
= n$ (une [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) donne des fonctionnelles coordonnées), donc $\dim E'' = n$, et le $J$ injectif (isométrique) est surjectif. Séparabilité : soit $(f_n)$ [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $E'$ et choisir $\norm{x_n} = 1$ avec $\abs{f_n(x_n)} \geq
\frac12\norm{f_n}$. Soit $F =
\overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; si $F \neq E$, prendre $g \in E'$, $g \neq 0$, s’annulant sur $F$ ([Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)) ; choisir $f_{n_k} \to
g$ :

$$
\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})}
= \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}}
\geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),
$$

donc $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : contradiction. D’où $F = E$, et les combinaisons rationnelles (ou $\Q + \iu\Q$) des $x_n$ forment un [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dénombrable.

**Exercice 8.11 ★★.**

(Espaces quotients) Soit $E$ un espace de Banach et $F
\subseteq E$ un sous-espace *fermé*. Sur $E/F$ définir

$$
\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .
$$

(a) Montrer que c’est une *norme* bien définie sur $E/F$ (où entre la fermeture de $F$ ?), et que la projection $\pi
\colon E \to E/F$ a $\vertiii\pi \leq 1$ et envoie la boule unité ouverte sur la boule unité ouverte. (b) Montrer que $E/F$ est [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *(Utiliser le critère de séries de l’[Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b) : étant donné des classes $\bar x_k$ avec $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$, relever chacune en $x_k \in E$ avec $\norm{x_k} \leq
\norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ et sommer dans $E$.)* (c) Calculer : pour $E = c$ (suites convergentes) et $F =
c_0$, montrer $c/c_0 \cong K$ isométriquement via $\bar x
\mapsto \lim_nx_n$.

**Solution de Exercice 8.11.**

(a) Bien définie : $d(x, F)$ ne dépend que de $\bar x$ (translater $x$ par $F$ ne change pas la distance). Homogénéité et inégalité triangulaire passent de $\norm\cdot$ via l’infimum. La séparation demande la fermeture : $\norm{\bar x} = 0$ signifie $d(x, F) = 0$, c’est-à-dire $x
\in \bar F = F$, c’est-à-dire $\bar x = 0$. $\vertiii\pi \leq
1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$. Boule ouverte sur boule ouverte : si $\norm{\bar x} < 1$, quelque représentant a $\norm{x - y} < 1$ ; réciproquement $\pi(B_E(0,1)) \subseteq
B_{E/F}(0,1)$ par l’inégalité de norme — donc $\pi$ est ouverte, le cas modèle du théorème de l’application ouverte.

(b) Soit $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ et relever avec $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : alors $\sum\norm{x_k} < \infty$, donc $s = \sum_kx_k$ converge dans le Banach $E$ ([Exercice 7.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)), et la continuité de $\pi$ donne $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : toute série absolument convergente de $E/F$ converge, ce qui équivaut à la complétude (même exercice).

(c) L’application $\lambda(x) = \lim_nx_n$ est linéaire $c
\to K$, s’annule exactement sur $c_0$, donc induit une bijection linéaire $c/c_0 \to K$. Isométrie : $d(x, c_0) =
\abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : soustraire de $x$ la suite $x
- \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$, laissant $\lambda(x)\mathbf
1$ de norme $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : pour $y \in c_0$, $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} =
\abs{\lambda(x)}$.

**Exercice 8.12 ★★.**

(Projections bornées et sous-espaces complémentés) Soit $E$ un espace de Banach et $P \colon E \to E$ linéaire avec $P^2 =
P$ (une projection [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic)), $V = \operatorname{im}P$, $W
= \ker P$. (a) Supposer $P$ bornée. Montrer que $V$ et $W$ sont fermés et $E = V \oplus W$ avec la décomposition $x = Px + (x - Px)$. (b) Réciproquement, supposer $E = V \oplus W$ avec *les deux* $V, W$ fermés, et soit $P$ la projection sur $V$ le long de $W$. Montrer que $P$ est bornée. *(Graphe fermé : si $x_n \to x$ et $Px_n \to z$, alors $z \in V$, $x_n - Px_n \to x - z \in W$, et l’unicité de la décomposition identifie $z = Px$.)* (c) En déduire l’*équivalence* : un sous-espace $V$ admet une projection bornée ssi il est fermé et a un complément [algébrique](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-algebraic) fermé — et noter (sans preuve) que des sous-espaces fermés sans cette propriété existent ($c_0$ dans $\ell^\infty$ est l’exemple classique) : les espaces de Hilbert, où $V^\perp$ marche toujours ([Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#ch-b3-hilbert)), sont l’exception, non la règle.

**Solution de Exercice 8.12.**

(a) $W = \ker P$ est fermé (image réciproque de $0$ sous une [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)) ; $V = \operatorname{im}P = \ker(I -
P)$ (en effet $Px = x$ ssi $x \in \operatorname{im}P$, en utilisant $P^2 = P$), fermé de même. Tout $x$ se scinde en $Px + (x - Px)$ avec $Px \in V$, $x - Px \in W$, et $V \cap W
= 0$ ($x = Px = 0$) : $E = V \oplus W$.

(b) L’argument du graphe : soit $x_n \to x$ et $Px_n \to z$. Alors $z \in V$ ($V$ fermé, $Px_n \in V$) et $x_n - Px_n \to
x - z \in W$ ($W$ fermé). Donc $x = z + (x - z)$ avec $z \in
V$, $x - z \in W$ ; par unicité de la décomposition, $z =
Px$. Le graphe de $P$ est fermé, $E$ est de Banach : $P$ est bornée ([Théorème 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)).

(c) (a) et (b) ensemble sont l’équivalence. Dans un espace de Hilbert tout $V$ fermé a le complément fermé $V^\perp$ ([Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/13-espaces-de-hilbert#ch-b3-hilbert)) : tout sous-espace fermé est complémenté. Dans les Banach généraux cela échoue — $c_0$ n’a pas de complément fermé dans $\ell^\infty$ (théorème de Phillips, hors de nos outils) — donc les projections bornées sont un privilège, et le théorème du graphe fermé est exactement la comptabilité qui convertit les scindages géométriques en opérateurs bornés.

## 8.6 Problème : la dualité des espaces $\ell^p$

**Problème 8.1.**

Problème de fin de semaine — $(\ell^p)' =
\ell^q$, réflexivité, et l’étrangeté de $\ell^\infty$

Fixer $1 < p < \infty$ et soit $q$ l’exposant conjugué, $\frac1p + \frac1q = 1$. Le crochet tout au long est $\langle
x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$.

**Partie I — Hölder et Minkowski pour les suites.**

1. (Inégalité de Young) Pour $a, b \geq 0$ montrer $ab  \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , en utilisant la concavité de $\log$ ou en étudiant $t \mapsto  \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
2. (Hölder) En déduire : $\abs{\langle x, y\rangle} \leq  \norm x_p\norm y_q$ pour $x \in \ell^p$ , $y \in  \ell^q$ ; identifier le cas d’égalité.
3. (Minkowski) En déduire l’inégalité triangulaire pour $\norm\cdot_p$ . *(Écrire $\abs{x_n + y_n}^p \leq  \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} +  \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ et appliquer Hölder à chaque terme.)*
4. Prouver que $\ell^p$ est [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) et que les suites finies y sont [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) .

**Partie II — La dualité $(\ell^p)' =
\ell^q$.**

5. Pour $y \in \ell^q$ , montrer que $\Lambda_y(x) =  \langle x, y\rangle$ définit $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ avec $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , et, en testant sur $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenablement tronqué et normalisé), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
6. Réciproquement, étant donné $\Lambda \in (\ell^p)'$ , poser $y_n = \Lambda(e_n)$ ; montrer $y \in \ell^q$ avec $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ *(tester sur des troncatures comme à la question 5 et laisser croître la longueur de troncature)* , et conclure $\Lambda = \Lambda_y$ : l’application $y \mapsto  \Lambda_y$ est un isomorphisme isométrique $\ell^q  \to (\ell^p)'$ .
7. En déduire que $\ell^p$ est *réflexif* pour $1 <  p < \infty$ : en composant les deux dualités, tout élément de $(\ell^p)''$ vient de $\ell^p$ ; vérifier soigneusement que le composé est le $J$ canonique.

**Partie III — $\ell^1$ et $\ell^\infty$ sont des animaux différents.**

8. Montrer que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) et $c_0$ sont [séparables](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) , mais $\ell^\infty$ ne l’est pas. *(Les suites indicatrices non dénombrables de parties de $\N$ sont deux à deux à distance $1$.)*
9. Déduire de l’ [Exercice 8.10](#exo-b3-banach-10) que $(\ell^1)'  \cong \ell^\infty$ mais $(\ell^\infty)' \not\cong  \ell^1$ : $\ell^1$ n’est *pas* réflexif. *(Si $(\ell^\infty)'$ était $\ell^1$, il serait [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), forçant $\ell^\infty$ [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable).)*
10. (Une limite de Banach, explicitement) Sur $\ell^\infty_\R$ , soit $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 +  \dots + x_n}{n}$ . Montrer que $p$ est sous-linéaire, et que sur le sous-espace $c$ des suites convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ satisfait $\mathrm{LIM}  \leq p$ . Étendre par Hahn–Banach en $\mathrm{LIM}  \colon \ell^\infty_\R \to \R$ et montrer : $\mathrm{LIM}$ est positive ( $x \geq 0 \Rightarrow  \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante par décalage ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), prolonge la limite, et satisfait $\liminf x \leq  \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
11. Montrer qu’une telle $\mathrm{LIM}$ , vue dans $(\ell^\infty)'$ , n’est *pas* de la forme $\Lambda_y$ pour aucun $y \in \ell^1$ ; conclure à nouveau $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . *(Évaluer sur les suites unitaires $e_n$, puis sur la suite constante $1$.)*
12. Évaluer $\mathrm{LIM}$ sur $(0,1,0,1,\dots)$ , et montrer qu’aucune extension *multiplicative* invariante par décalage de la limite ne peut exister *(considérer $x = (0,1,0,1,\dots)$ et $x\cdot  Sx$ où $S$ est le décalage)* .

**Partie IV — Épilogue : pourquoi la réflexivité compte.**

13. En utilisant [Corollaire 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) et la question 6, montrer que toute suite bornée de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) a une sous-suite $(x^{(k)})$ qui converge *faiblement* : $\Lambda(x^{(k)})$ converge pour toute $\Lambda \in  (\ell^p)'$ . *(Extraction diagonale sur les dénombrablement coordonnées ; identifier la limite faible dans $\ell^p$ en utilisant la bornitude uniforme des normes et Hölder.)* Montrer par exemple ( $e_n$ dans $\ell^1$ , contre des éléments bien choisis de $\ell^\infty$ ) que cela échoue dans $\ell^1$ : la compacité faible est un privilège des [espaces réflexifs](#rem-b3-banach-bidual) .

**Partie V — La [topologie](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) faible au travail, et la surprise de Schur.** Écrire $x^{(k)} \rightharpoonup x$ dans un espace normé $E$ (*convergence faible*) quand $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ pour toute $\Lambda \in
E'$.

14. Compléter le recensement : montrer $(c_0)' \cong  \ell^1$ isométriquement, par le schéma des questions 5–6 (que remplacent les suites tests ?). Assembler la chaîne $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty  \to \dots$ de duaux successifs et marquer où la réflexivité échoue.
15. Montrer que toute suite faiblement convergente d’un espace de Banach est bornée : voir les $x^{(k)}$ à travers l’immersion canonique $J$ comme fonctionnelles sur $E'$ et appliquer Banach–Steinhaus ( [Théorème 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — sur quel espace de Banach, et pourquoi la complétude y est disponible
16. Montrer que dans $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ ssi $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ et $x^{(k)}_n \to  x_n$ pour chaque coordonnée $n$ *(un sens utilise Banach–Steinhaus via l’immersion canonique ; pour l’autre, approximer $y \in \ell^q$ par des suites finies)* . En déduire $e_k \rightharpoonup 0$ dans $\ell^2$ tandis que $\norm{e_k}_2 = 1$ : les limites faibles peuvent perdre de la masse.
17. Montrer que la norme est faiblement [semi-continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) inférieurement : $x^{(k)}  \rightharpoonup x$ implique $\norm x \leq  \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(choisir une fonctionnelle normante pour $x$, [Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* .
18. (Radon–Riesz dans $\ell^2$ ) Montrer que dans $\ell^2$ , la convergence faible jointe à la convergence des normes implique la convergence en norme *(développer $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$)* . Donner un contre-exemple au même énoncé sans l’hypothèse de norme.
19. (Schur, étape 1) Soit $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ dans $\ell^1$ et supposer, par contradiction, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ le long d’une sous-suite. Montrer d’abord que $x^{(k)}_n \to 0$ pour chaque $n$ (quelles fonctionnelles ?), puis construire récursivement des indices $k_1 < k_2 <  \cdots$ et des entiers $0 = N_0 < N_1 < N_2 <  \cdots$ tels que la masse de $x^{(k_j)}$ se concentre sur le bloc $B_j =  \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ : $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$
20. (Schur, étape 2) Définir $y \in \ell^\infty$ par $y_n  = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ pour $n  \in B_j$ . Montrer $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq  \frac{8\delta}{10}$ et dériver une contradiction avec $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Conclure le *théorème de Schur* : dans $\ell^1$ , les suites faiblement convergentes convergent en norme.
21. En déduire que $(e_k)$ n’a pas de sous-suite faiblement convergente dans $\ell^1$ (sa seule limite candidate est $0$ , coordonnée par coordonnée — puis appliquer Schur), retrouvant l’échec de compacité faible de la question 13 ; et résoudre le paradoxe apparent : dans $\ell^1$ les convergences faible et en norme des *suites* coïncident, pourtant les *[topologies](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)* faible et en norme diffèrent et les ensembles bornés échouent encore à être séquentiellement faiblement compacts — pas de contradiction, seulement l’échec de la réflexivité.
22. (Tableau de synthèse) Pour $E \in \{c_0,\ \ell^1,\  \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabuler : le [dual](#def-b3-banach-operator) ; la séparabilité ; la réflexivité ; si les suites bornées admettent des sous-suites faiblement convergentes ; et une propriété signature de chaque espace, justifiée en une ligne depuis ce problème.

**Partie VI — Compléments : points les plus proches, convergence moyennée, la valeur d’une limite de Banach.**

23. (Points les plus proches : un dividende de la réflexivité) Soit $F$ un sous-espace fermé de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) et $x \in \ell^p$ . Montrer que $d = \operatorname{dist}(x, F)$ est *atteint* : extraire d’une suite minimisante une sous-suite faiblement convergente (question 13), garder la limite faible dans $F$ en construisant, via Hahn–Banach, une fonctionnelle s’annulant sur $F$ mais pas en un point hors de $F$ , et conclure avec la question 17. Puis montrer que le privilège n’est pas universel : dans $c_0$ , pour $\Lambda(x) =  \sum_n2^{-n}x_n$ , prouver que $\norm\Lambda = 1$ n’est pas atteint sur la boule unité, établir la formule de distance $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) =  \abs{\Lambda(x)}$ , et en déduire qu’aucun $x \notin  \ker\Lambda$ n’a de point le plus proche dans l’hyperplan fermé $\ker\Lambda$ .
24. (Banach–Saks dans $\ell^2$) Soit $x^{(k)}  \rightharpoonup 0$ dans $\ell^2_{\R}$ avec $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. Construire une sous-suite $(y_j)$ avec $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq  \frac1j$ pour tous $i < j$, et en déduire $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2  \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ après extraction, les moyennes de Cesàro convergent en *norme*. Vérifier sur $(e_k)$, dont les moyennes ont pour norme $\frac1{\sqrt m}$ : la convergence faible, inutile pour la suite elle-même (question 16), devient convergence en norme pour les moyennes.
25. (La valeur d’une limite de Banach) Soit $L$ une limite de Banach quelconque (question 10) et $A_mx =  \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Montrer $L(A_mx)  = L(x)$ et $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup  A_mx$ ; en déduire que *toutes* les limites de Banach coïncident sur les suites périodiques, avec pour valeur la moyenne sur une période — $\frac13$ sur $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , cohérent avec la $\frac12$ de la question 12. Puis montrer que l’accord échoue en général : pour la suite par blocs $x$ égale à $1$ sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair et $0$ ailleurs, montrer que les moyennes de Cesàro oscillent entre $\leq \frac13$ et $\geq  \frac23$ , et construire deux limites de Banach $L_\pm$ avec $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq  L_+(x)$ *(étendre depuis $c \oplus \R x$ avec les valeurs extrêmes admissibles $\pm$ : vérifier que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ est dominée par le sous-linéaire $p$ de la question 10)* .

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** Pour $a, b > 0$ : par concavité de $\log$, $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq
\tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponentier. (Si $ab = 0$ l’inégalité est triviale.) Égalité ssi $a^p = b^q$.

**2.** On peut supposer $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogénéité). Alors

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n}
\leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p +
\frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1.
$$

L’égalité demande $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ pour tout $n$ et l’alignement des phases de $x_ny_n$.

**3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} +
\abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sommer et appliquer Hölder ($p$ contre $q$, notant $(p - 1)q = p$) :

$$
\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm
y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};
$$

si $\norm{x + y}_p \neq 0$, diviser par $\norm{x+y}_p^{p/q}$ et utiliser $p - \frac pq = 1$.

**4.** Complétude : comme pour $\ell^1$ ([Exercice 8.3](#exo-b3-banach-3)), limites coordonnée par coordonnée plus borne uniforme de queue. Densité des suites finies : $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n >
N}\abs{x_n}^p \to 0$.

**5.** Hölder donne $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. Tester : $x^{(N)}_n =
\abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ pour $n
\leq N$ : $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ et $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$, d’où $\norm{\Lambda_y} \geq
\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \to \norm y_q$.

**6.** Poser $y_n = \Lambda(e_n)$. Avec les mêmes vecteurs tests, $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q}
\leq \norm\Lambda$ pour tout $N$ : $y \in \ell^q$. Les fonctionnelles $\Lambda$ et $\Lambda_y$ coïncident sur les suites finies [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) : $\Lambda = \Lambda_y$. Avec la question 5, $y \mapsto \Lambda_y$ est un isomorphisme isométrique $\ell^q \cong (\ell^p)'$.

**7.** Soit $\xi \in (\ell^p)''$. En composant avec l’isométrie $\ell^q \cong (\ell^p)'$, $\xi$ définit un élément de $(\ell^q)'$, qui (question 6 avec $p, q$ échangés) est $\Lambda_z$ pour un unique $z \in \ell^p$. Alors $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n = J(z)(\Lambda_y)$ : $\xi = J(z)$, $J$ est surjective — $\ell^p$ est réflexif.

**8.** Les suites finies à entrées rationnelles sont dénombrables et [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dans $\ell^p$ ($p < \infty$) et dans $c_0$. Dans $\ell^\infty$ : la famille $\{\mathbf 1_A : A
\subseteq \N\}$ est non dénombrable avec $\norm{\mathbf 1_A -
\mathbf 1_B}_\infty = 1$ pour $A \neq B$ : pas de [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) dénombrable.

**9.** Si $\ell^1$ était réflexif, alors $(\ell^\infty)'
\cong J(\ell^1)$ serait [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) ; par [Exercice 8.10](#exo-b3-banach-10), la séparabilité du [dual](#def-b3-banach-operator) forcerait $\ell^\infty$ [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable) — contredisant la question 8. Donc $\ell^1$ n’est pas réflexif.

**10.** Homogénéité de $p$ claire ; sous-additivité : $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$. Sur $c$ : les moyennes de Cesàro d’une suite convergente convergent vers sa limite, donc $p(x) = \lim x =
\mathrm{LIM}(x)$ là. Hahn–Banach ([Théorème 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) étend $\mathrm{LIM}$ à $\ell^\infty_\R$ avec $\mathrm{LIM} \leq p$. Positivité : pour $x \geq 0$, $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq
p(-x) \leq 0$. Invariance par décalage : les moyennes de $x -
Sx$ se télescopent en $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$, donc $p(\pm(x - Sx)) = 0$ et $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. Bornes : $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$, et appliquer à $-x$ pour la borne inférieure.

**11.** $e_n \in c_0$, donc $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$. Si $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ avec $y \in \ell^1$, alors $y_n =
0$ pour tout $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; mais $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. Donc $(\ell^\infty)' \neq
\ell^1$.

**12.** Pour $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf
1$, donc $2\,\mathrm{LIM}(x) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) =
\frac12$. Si $\varphi$ était multiplicative et invariante par décalage : $x\cdot Sx = 0$ donne $\varphi(x)^2 = 0$, donc $\varphi(x) = 0$ ; mais $\varphi(x) + \varphi(Sx) = 1$ donne $2\varphi(x) = 1$ : contradiction.

**13.** Soit $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. Les coordonnées sont bornées par $M$ : une extraction diagonale donne une sous-suite avec $x^{(k)}_n \to x_n$ pour tout $n$. Alors $x
\in \ell^p$ (bornes de sections finies). Convergence faible : pour $y \in \ell^q$, découper en tête finie + queue Hölder. Dans $\ell^1$ cela échoue : $(e_n)$ est bornée, toute sous-suite converge coordonnée par coordonnée vers $0$, mais tester contre $y_{n_k} = (-1)^k$ fait diverger $\Lambda_y(e_{n_k})$.

**14.** $(c_0)' \cong \ell^1$ par le schéma des questions 5–6 avec tests $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots,
\operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$. Chaîne des duaux : $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$, $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ : la réflexivité échoue dès la première étape ($c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$).

**15.** $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ est une famille de fonctionnelles bornées sur le Banach $E'$ ; pour chaque $\Lambda$, $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ converge, donc est bornée. Banach–Steinhaus sur $E'$ donne $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$, et $J$ est isométrique : $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$.

**16.** ($\Rightarrow$) Bornitude : question 15 ; coordonnées : les $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) Approximer $y \in \ell^q$ par des suites finies et utiliser la bornitude. Pour $e_k$ dans $\ell^2$ : bornée, coordonnée par coordonnée $\to 0$, donc $e_k \rightharpoonup 0$, pourtant $\norm{e_k} = 1$.

**17.** Prendre $\Lambda$ avec $\norm\Lambda = 1$ et $\Lambda(x) = \norm x$ ([Corollaire 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)) : $\norm x =
\lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm{x^{(k)}}$.

**18.** Dans $\ell^2$, $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 =
\norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)},
x\rangle + \norm x_2^2$. Convergence faible de $\Lambda_x$ et convergence des normes : le second membre $\to 0$. Contre-exemple sans convergence de normes : $e_k
\rightharpoonup 0$, $\norm{e_k} = 1 \not\to 0$.

**19.** Convergence coordonnée : appliquer $\Lambda_{e_n}$. Construction des blocs : choisir $k_j$ assez grand pour que la tête jusqu’à $N_{j-1}$ porte moins de $\frac\delta{20}$ de masse, puis $N_j$ assez grand pour que la queue au-delà de $N_j$ porte moins de $\frac\delta{20}$ : le bloc $B_j$ porte tout sauf $\frac\delta{10}$.

**20.** Avec $y_n = \operatorname{sign}(x^{(k_j)}_n)$ sur $B_j$ : $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq
\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq
\frac{4\delta}5 > 0$, contredisant $x^{(k)}
\rightharpoonup 0$. Donc les suites faiblement nulles de $\ell^1$ sont nulles en norme : théorème de Schur.

**21.** Une sous-suite faiblement convergente de $(e_k)$ aurait pour limite $0$ (coordonnées), donc par Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — mais les normes valent $1$. Pas de paradoxe : Schur dit que les suites ne distinguent pas les [topologies](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) faible et en norme dans $\ell^1$, mais la [compacité séquentielle](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#thm-b3-topology-metriccompact) faible de la boule est une propriété plus forte, équivalente à la réflexivité.

**22.** Tableau : $c_0$ [dual](#def-b3-banach-operator) $\ell^1$, [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), non réflexif, pas de cpt. faible seq. ($e_1+\dots+e_k$) ; $\ell^1$ [dual](#def-b3-banach-operator) $\ell^\infty$, [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), non réflexif, pas de cpt. faible seq. ($e_k$, Schur) ; $\ell^p$ [dual](#def-b3-banach-operator) $\ell^q$, [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), réflexif, cpt. faible seq. oui ; $\ell^\infty$ [dual](#def-b3-banach-operator) $\supsetneq\ell^1$, non [séparable](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/4-extensions-de-corps-et-theorie-de-galois#def-b3-galois-separable), non réflexif. Signatures : $c_0$ — bidual $\ell^\infty$ ; $\ell^1$ — Schur ; $\ell^p$ — réflexivité ; $\ell^\infty$ — non-séparabilité et limites de Banach.

**23.** Suite minimisante $(f_k)$ bornée : sous-suite faiblement convergente $f_{k_j} \rightharpoonup f$ (question 13). Si $f \notin F$, Hahn–Banach produit $\Lambda$ s’annulant sur $F$ avec $\Lambda(f) = 1$ : $0 =
\Lambda(f_{k_j}) \to 1$, contradiction. Donc $f \in F$, et par semi-continuité inférieure faible $\norm{x - f} = d$. Dans $c_0$ : $\norm\Lambda = 1$ pour $\Lambda(x) =
\sum_n2^{-n}x_n$ n’est jamais atteint (une suite nulle non nulle ne peut saturer $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ pour tout $n$) ; la formule de distance $\operatorname{dist}(x,
\ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ implique qu’aucun point le plus proche n’existe hors de $\ker\Lambda$.

**24.** Extraire $(y_j)$ avec $\abs{\langle y_i,
y_j\rangle} \leq \frac1j$ pour $i < j$ (chaque crochet tend vers $0$ par convergence faible). Alors $\norm{\frac1m\sum_j y_j}_2^2 \leq \frac{C^2+2}m \to 0$ : moyennes de Cesàro convergentes en norme (Banach–Saks). Sur $(e_k)$ : $\norm{\frac1m(e_1+\dots+e_m)}_2 =
\frac1{\sqrt m}$.

**25.** $L(A_mx) = L(x)$ par linéarité et invariance par décalage. Les bornes $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup
A_mx$ suivent de la positivité. Sur les suites $T$-périodiques, $A_Tx$ est la constante égale à la moyenne de période : toutes les limites de Banach coïncident. Pour la suite par blocs (uns sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair) : les moyennes de Cesàro oscillent entre $\leq \frac13$ et $\geq
\frac23$. Étendre depuis $c \oplus \R x$ avec $\Lambda_\pm(y
+ tx) = \lim y \pm t\,p(\pm x)$ dominées par $p$ : deux limites de Banach $L_\pm$ avec $L_-(x) \leq \frac13 <
\frac23 \leq L_+(x)$.

Compléments détaillés pour les parties IV–VI.

Sur la convergence faible (questions 13–16) : l’extraction diagonale sur les coordonnées d’une suite bornée de $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) produit une limite coordonnée $x$ qui appartient à $\ell^p$ par les bornes de sections finies $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p \leq M^p$. Pour vérifier la convergence faible contre tout $y \in \ell^q$, découper le crochet en une tête finie (qui tend vers $0$ coordonnée par coordonnée) et une queue contrôlée par Hölder et la bornitude uniforme des normes. Dans $\ell^1$ le même raisonnement échoue : $(e_n)$ est bornée, toute sous-suite converge coordonnée par coordonnée vers $0$, mais le crochet contre la suite de signes alternés $(-1)^k$ sur les indices extraits diverge. Banach–Steinhaus appliqué aux $J
x^{(k)}$ sur le [dual](#def-b3-banach-operator) $E'$ (qui est toujours [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)) convertit la convergence des crochets en bornitude des normes : toute suite faiblement convergente est bornée.

Sur Schur (questions 19–21) : la construction récursive des blocs isole la masse de chaque $x^{(k_j)}$ sur un intervalle d’indices $B_j$ disjoint des précédents, en tuant d’abord la tête (convergence coordonnée) puis la queue (convergence de la série définissant la norme $\ell^1$). Le signe de $y$ sur chaque bloc récupère presque toute la norme, contredisant la convergence faible vers $0$. Ainsi dans $\ell^1$ les convergences faible et en norme des suites coïncident — pourtant les [topologies](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) diffèrent (les [voisinages](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) faibles ne sont jamais bornés en norme) et la boule unité n’est pas séquentiellement faiblement compacte, ce qui est cohérent avec la non-réflexivité.

Sur les points les plus proches et Banach–Saks (questions 23–24) : la réflexivité fournit une sous-suite faiblement convergente d’une suite minimisante ; Hahn–Banach empêche la limite faible de sortir de $F$ (sinon une fonctionnelle s’annulant sur $F$ séparerait) ; la semi-continuité inférieure faible de la norme donne l’atteinte. Dans $c_0$ la fonctionnelle $\Lambda(x) =
\sum_n 2^{-n}x_n$ n’atteint pas sa norme sur la boule unité (une suite nulle ne peut saturer $\abs{x_n} = \norm
x_\infty$ pour tout $n$), et la formule de distance $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ implique qu’aucun point hors de $\ker\Lambda$ n’a de projection sur cet hyperplan fermé. Banach–Saks dans $\ell^2$ extrait une sous-suite presque orthogonale (chaque crochet croisé $< \frac1j$) dont les moyennes de Cesàro tendent vers $0$ en norme, convertissant la convergence faible en convergence en norme pour les moyennes — visible sur $(e_k)$ où $\norm{\frac1m\sum_{j=1}^m e_j}_2 =
\frac1{\sqrt m}$.

Sur les limites de Banach (question 25) : $L(A_mx) = L(x)$ par linéarité et invariance par décalage, et les bornes $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ suivent de la positivité appliquée aux queues. Sur les suites périodiques, $A_Tx$ est la suite constante égale à la moyenne de période : toutes les limites de Banach coïncident. Pour la suite par blocs égale à $1$ sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair, les moyennes de Cesàro en $N = 3^j$ oscillent entre $\leq
\frac13$ ($j$ impair) et $\geq \frac23$ ($j$ pair). L’extension depuis $c \oplus \R x$ avec les valeurs extrêmes $\pm p(\pm x)$ est dominée par le sous-linéaire $p$ (sous-additivité sur $y \pm sx$), et Hahn–Banach produit deux limites de Banach $L_\pm$ séparant $x$ : hors du monde périodique (et plus généralement presque-convergent), une limite de Banach est un véritable choix.

Détails supplémentaires pour les parties I–III. L’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ se lit comme la concavité de $\log$ (ou comme le minimum de $t \mapsto
\frac{t^p}p + \frac1q - t$ en $t = 1$ quand $b = 1$). Hölder s’en déduit par sommation après normalisation, et Minkowski en écrivant $\abs{x_n+y_n}^p \leq
(\abs{x_n}+\abs{y_n})\abs{x_n+y_n}^{p-1}$ puis en appliquant Hölder avec l’exposant conjugué (noter $(p-1)q = p$). La dualité $(\ell^p)' = \ell^q$ repose sur le test $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (tronqué) : le crochet récupère $\sum\abs{y_n}^q$ tandis que la norme $\ell^p$ est $(\sum\abs{y_n}^q)^{1/p}$, d’où $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ après passage à la limite sur la longueur de troncature. La réciproque pose $y_n =
\Lambda(e_n)$ et utilise les mêmes tests pour obtenir $y
\in \ell^q$ ; l’accord sur les suites finies [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) donne $\Lambda = \Lambda_y$. La réflexivité suit en composant les deux dualités et en vérifiant que le composé est le $J$ canonique. La non-séparabilité de $\ell^\infty$ (famille non dénombrable de suites indicatrices à distance mutuelle $1$) bloque la réflexivité de $\ell^1$ via [Exercice 8.10](#exo-b3-banach-10). Les limites de Banach, construites par Hahn–Banach depuis le sous-linéaire $p(x) =
\limsup\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$, vivent hors de $\ell^1$ (elles s’annulent sur les $e_n$ mais pas sur $\mathbf 1$) et illustrent concrètement $(\ell^\infty)' \supsetneq
\ell^1$.