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title: "Théorie de la mesure"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 3"
subject: math
language: fr
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/9-theorie-de-la-mesure
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# Chapitre 9 — Théorie de la mesure

Quelle est la longueur d’un sous-ensemble de $\R$ ? La réponse naïve — attribuer à tout ensemble une longueur invariante par translation prolongeant celle des intervalles — est *impossible* : la construction de Vitali, en fin de chapitre, produit un ensemble sans longueur cohérente. La théorie de la [mesure](#def-b3-measure-measure) est la retraite disciplinée : on se restreint à une classe riche d’ensembles *mesurables*, sur laquelle une longueur dénombrablement additive existe et est unique. Les récompenses sont immenses — l’intégrale de Lebesgue ([Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)), les espaces $L^p$ de l’analyse fonctionnelle, et toute la probabilité moderne ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability)) reposent sur les trois théorèmes prouvés ici : le lemme d’unicité de Dynkin, le théorème d’extension de Carathéodory, et l’existence de la [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

## 9.1 $\sigma$-algèbres

**Définition 9.1.**

Une *$\sigma$-algèbre* sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal A$ de sous-ensembles contenant $\varnothing$, stable par complémentation et par unions *dénombrables* (donc par intersections dénombrables, différences, et elle contient $X$). Le couple $(X, \mathcal A)$ est un *espace mesurable* ; les membres de $\mathcal A$ sont les *ensembles mesurables*. Pour toute famille $\mathcal E$ de sous-ensembles, $\sigma(\mathcal E)$ désigne la plus petite $\sigma$-algèbre contenant $\mathcal E$ (l’intersection de toutes — une intersection de $\sigma$-algèbres en est une).

**Définition 9.2.**

La *$\sigma$-algèbre de Borel* d’un espace topologique est $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{ouverts}\})$. Sur $\R$ : $\mathcal B(\R)$ est aussi engendrée par les intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), par les intervalles fermés, par les demi-droites $(-\infty, a]$, et par les demi-droites à extrémités rationnelles ([Exercice 9.1](#exo-b3-measure-1)) — chaque famille engendre les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) par opérations dénombrables, p. ex. tout [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R$ est une union dénombrable d’intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) à données rationnelles.

**Définition 9.3.**

Un *$\pi$-système* est une famille stable par intersections finies. Un *$\lambda$-système* (classe de Dynkin) est une famille $\mathcal D$ avec : $X \in
\mathcal D$ ; $A, B \in \mathcal D$, $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$ ; et $A_n
\uparrow A$, $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in
\mathcal D$.

**Théorème 9.4 (Lemme π\piπ–λ\lambdaλ de Dynkin).**

Si un $\lambda$-système $\mathcal D$ contient un $\pi$-système $\mathcal P$, alors $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$.

**Démonstration.** Soit $\mathcal D_0$ le plus petit $\lambda$-système contenant $\mathcal P$ (intersection de tous ceux-là) ; il suffit de montrer que $\mathcal D_0$ est une $\sigma$-algèbre, car alors $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal
D$. Un $\lambda$-système stable par intersections finies *est* une $\sigma$-algèbre : complémentaires ($X
\setminus A = X \setminus A$ avec $A \subseteq X$), unions finies ($A \cup B = X \setminus ((X\setminus
A)\cap(X\setminus B))$), et unions dénombrables via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. On prouve donc que $\mathcal D_0$ est un $\pi$-système, en deux étapes. Soit

$$
\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal
D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.
$$

$\mathcal D_1$ est un $\lambda$-système (les trois axiomes se vérifient en intersectant avec $P$ : p. ex. $(B\setminus
A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, une différence propre dans $\mathcal D_0$) et contient $\mathcal P$ ($\pi$-système) : $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. Soit maintenant

$$
\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal
D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.
$$

Par l’étape précédente, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; et $\mathcal D_2$ est un $\lambda$-système par la même vérification : $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, ce qui dit exactement que $\mathcal D_0$ est stable par intersections. ∎

## 9.2 Mesures

**Définition 9.5.**

Une *mesure* sur $(X, \mathcal A)$ est une application $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ avec $\mu(\varnothing) = 0$ qui est *$\sigma$-additive* : pour des $(A_n)_{n\in\N}$ deux à deux disjoints,

$$
\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).
$$

$(X, \mathcal A, \mu)$ est un *espace mesuré* ; $\mu$ est *finie* si $\mu(X) < \infty$, une *mesure de probabilité* si $\mu(X) = 1$, *$\sigma$-finie* si $X$ est une union dénombrable d’ensembles de mesure finie. Exemples : la mesure de comptage sur $(\N, \mathcal P(\N))$ ; la masse de Dirac $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; et, objet de ce chapitre, la [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter).

**Proposition 9.6.**

Soit $\mu$ une [mesure](#def-b3-measure-measure). (a) Monotonie : $A \subseteq B
\Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$. (b) Sous-additivité dénombrable : $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) Continuité par en bas : $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n)
\to \mu(A)$. (d) Continuité par en haut : $A_n \downarrow A$ *avec $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to
\mu(A)$.

**Démonstration.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) Disjoindre : $B_n = A_n
\setminus \bigcup_{k<n}A_k$ sont disjoints de même union, et $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$. (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus
A_{n-1})$ ($A_0 = \varnothing$) : les sommes partielles de $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ valent $\mu(A_n)$. (d) Appliquer (c) à $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ et soustraire de $\mu(A_1)$ — la finitude rend la soustraction légitime. Contre-exemple sans elle : $A_n = [n,
\infty)$ pour la [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) : $A_n \downarrow
\varnothing$ mais $\mu(A_n) = \infty$. ∎

**Théorème 9.7 (Unicité).**

Soient $\mu, \nu$ des [mesures](#def-b3-measure-measure) sur $\sigma(\mathcal P)$, $\mathcal P$ un $\pi$-système, avec $\mu = \nu$ sur $\mathcal
P$. S’il existe des $P_k \in \mathcal P$ avec $P_k \uparrow X$ et $\mu(P_k) < \infty$, alors $\mu = \nu$ sur tout $\sigma(\mathcal P)$.

**Démonstration.** Fixons $k$ et considérons les [mesures](#def-b3-measure-measure) finies $\mu_k(A) =
\mu(A \cap P_k)$ et $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ sur $\sigma(\mathcal P)$ : elles coïncident sur $\mathcal P$, car $P \cap P_k \in \mathcal P$ ($\pi$-système), et elles attribuent à $X$ la même valeur finie $\mu(P_k)$. La classe $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ est un $\lambda$-système : $X \in \mathcal D$ ; différences propres par soustraction (valeurs finies) ; limites croissantes par continuité par en bas ([Proposition 9.6](#prop-b3-measure-basics)(c)). Elle contient le $\pi$-système $\mathcal P$, donc Dynkin ([Théorème 9.4](#thm-b3-measure-dynkin)) donne $\mathcal D \supseteq
\sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ partout. Enfin, pour tout $A \in \sigma(\mathcal P)$, la continuité par en bas le long de $A \cap P_k \uparrow A$ donne $\mu(A) =
\lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$. ∎

## 9.3 Mesures extérieures et théorème de Carathéodory

**Définition 9.8.**

Une *mesure extérieure* sur $X$ est une application $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0,
\infty]$ avec $\mu^*(\varnothing) = 0$, monotone, et dénombrablement sous-additive. Un ensemble $A$ est *$\mu^*$-mesurable* (Carathéodory) s’il scinde additivement tout ensemble :

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)
\qquad \text{pour tout } E \subseteq X
$$

($\leq$ vaut toujours par sous-additivité ; le [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) est $\geq$).

**Théorème 9.9 (Carathéodory).**

Les ensembles $\mu^*$-mesurables forment une $\sigma$-algèbre $\mathcal M$, et $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ est une [mesure](#def-b3-measure-measure). De plus tout ensemble avec $\mu^*(N) = 0$ appartient à $\mathcal M$ (la [mesure](#def-b3-measure-measure) est *complète*).

**Démonstration.** $\mathcal M$ contient $\varnothing$ et est stable par complémentation (la condition définissante est symétrique en $A$, $X\setminus A$). *Unions finies* : soient $A, B \in
\mathcal M$ et $E$ arbitraire ; en scindant $E$ par $A$, puis chaque morceau par $B$ :

$$
\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) +
\mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).
$$

Les trois premiers morceaux recouvrent $E \cap (A \cup B)$, donc la sous-additivité donne $\mu^*(E) \geq
\mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : $A \cup
B \in \mathcal M$. Par induction, unions finies ; avec les complémentaires, les manipulations de disjonction finie sont disponibles.

*Additivité sur $\mathcal M$* : pour $A, B \in \mathcal
M$ disjoints et $E$ quelconque : $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) =
\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (scinder par $A$) ; par induction,

$$
\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
= \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k).
\tag{$*$}
$$

*Unions dénombrables* : soient $(A_k) \subseteq \mathcal
M$ disjoints (il suffit, par disjonction dans l’algèbre $\mathcal M$), $A = \bigsqcup A_k$, $E$ arbitraire. En utilisant $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ et la monotonie :

$$
\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) +
\mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr)
\geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
$$

par ($*$). Faire $n \to \infty$ et utiliser la sous-additivité dénombrable en sens inverse :

$$
\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)
\geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E) :
$$

toutes les inégalités sont des égalités. Cela prouve à la fois $A \in \mathcal M$ et, en prenant $E = A$, l’additivité dénombrable de $\mu^*$ sur $\mathcal M$.

*Ensembles nuls* : si $\mu^*(N) = 0$, alors pour tout $E$ : $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 +
\mu^*(E)$ : $N \in \mathcal M$. ∎

## 9.4 Mesure de Lebesgue sur $\R$

**Définition 9.10.**

La *mesure extérieure de Lebesgue* de $A \subseteq \R$ est

$$
\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) :
A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}
$$

(recouvrements dénombrables par intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)).

**Lemme 9.11.**

$\lambda^*$ est une [mesure extérieure](#def-b3-measure-outer), invariante par translations, et $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (la longueur) pour tout intervalle $I$.

**Démonstration.** [Mesure extérieure](#def-b3-measure-outer) : $\varnothing$ est recouvert par des intervalles arbitrairement petits ; la monotonie est claire ; sous-additivité : étant donné des recouvrements de chaque $A_n$ à $\varepsilon 2^{-n}$ de l’infimum, leur union recouvre $\bigcup A_n$ avec longueur totale $\leq \sum
\lambda^*(A_n) + \varepsilon$. Invariance par translation : translater les recouvrements.

Longueur : il suffit de traiter $I = \intcc ab$ (les autres types diffèrent par des extrémités, de [mesure extérieure](#def-b3-measure-outer) $0$ : les recouvrir par de tout petits intervalles ; puis encadrer $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq
\intoo ab$ par des comparaisons). $\lambda^*(\intcc ab) \leq
b - a$ : recouvrir par $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$. Réciproquement soit $\intcc ab \subseteq
\bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : par *compacité* (Borel–Lebesgue, [Théorème 6.16](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#thm-b3-topology-metriccompact)), un nombre fini d’intervalles suffit, disons $I_1, \dots, I_N$. On montre $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ par induction sur $N$ : choisir $I_{k_1} \ni a$ ; si $b_{k_1} > b$ c’est fini ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$) ; sinon le segment $\intcc{b_{k_1}}b$ est recouvert par les $N - 1$ intervalles restants, et l’induction donne $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k)
\geq b - b_{k_1}$, tandis que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} -
a$ : sommer. ∎

**Théorème 9.12 (Mesure de Lebesgue).**

Tout borélien de $\R$ est $\lambda^*$-mesurable. La restriction $\lambda$ de $\lambda^*$ à la $\sigma$-algèbre $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal
B(\R)$ (la *$\sigma$-algèbre de Lebesgue*) est l’unique [mesure](#def-b3-measure-measure) sur $\mathcal B(\R)$ attribuant à chaque intervalle sa longueur ; elle est invariante par translation et $\sigma$-finie.

**Démonstration.** Par le [Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory) il suffit de montrer que chaque demi-droite $A = \intoo{-\infty}c$ est $\lambda^*$-mesurable (les demi-droites engendrent $\mathcal
B$, [Définition 9.2](#def-b3-measure-borel)). Soit $E \subseteq \R$ avec $\lambda^*(E) < \infty$ et $\bigcup I_n \supseteq E$ un recouvrement avec $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) +
\varepsilon$. Chaque $I_n$ se scinde en les deux intervalles $I_n' = I_n \cap A$ et $I_n'' = I_n\setminus A$ (un intervalle moins une demi-droite est un intervalle) avec $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; les $I_n'$ recouvrent $E \cap A$ et les $I_n''$ recouvrent $E \setminus
A$ (élargir chacun en un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de longueur $\ell +
\varepsilon2^{-n}$ pour rester dans la définition), donc

$$
\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A)
\leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon
\leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .
$$

Unicité : deux [mesures](#def-b3-measure-measure) coïncidant avec la longueur sur le $\pi$-système des intervalles $\intoc ab$ (finies sur ceux-ci) coïncident sur $\sigma(\text{intervalles}) = \mathcal B$ par le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) avec $P_k =
\intoc{-k}k$. $\sigma$-finitude : $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎

**Théorème 9.13 (Régularité).**

Pour tout $A \in \mathcal L$ :

$$
\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{
ouvert}\}
= \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compact}\}.
$$

**Démonstration.** *Extérieure* : un recouvrement $\bigcup I_n$ avec $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ est un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ avec $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$ (sous-additivité) ; si $\lambda(A) = \infty$ l’énoncé est trivial. *Intérieure* : d’abord $A$ borné, $A \subseteq [-M, M]$. Choisir un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U \supseteq
([-M,M]\setminus A)$ avec $\lambda(U) \leq
\lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; alors $K = [-M,
M]\setminus U$ est compact, $K \subseteq A$, et

$$
\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U)
\geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) +
\varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .
$$

Pour $A$ général : $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuité par en bas) et appliquer le cas borné à l’intérieur. ∎

**Exemple 9.14.**

L’ensemble de Cantor ([Exercice 6.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#exo-b3-topology-10)) a $\lambda(C)
= 0$ : $C \subseteq C_n$, une union de $2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$, donc $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. Un ensemble nul non dénombrable — la cardinalité ne voit pas la [mesure](#def-b3-measure-measure). Réciproquement, les *ensembles de Cantor gras* ([Exercice 9.5](#exo-b3-measure-5)) sont d’intérieur vide et de [mesure](#def-b3-measure-measure) positive : la [topologie](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) ne voit pas non plus la [mesure](#def-b3-measure-measure). Le problème du week-end pousse ce jeu jusqu’à sa conclusion frappante : il existe des ensembles Lebesgue-mesurables qui ne sont pas boréliens.

**Théorème 9.15 (Vitali).**

Il n’existe pas de [mesure](#def-b3-measure-measure) sur *tous* les sous-ensembles de $\R$ qui soit invariante par translation et attribue à chaque intervalle sa longueur. En particulier $\mathcal L
\neq \mathcal P(\R)$ : des ensembles non mesurables existent.

**Démonstration.** Supposons $\mu$ une telle [mesure](#def-b3-measure-measure). Sur $\intcc01$, considérons l’équivalence $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; par l’*axiome du choix* on prend un représentant dans $\intcc01$ par classe : un ensemble $V$. Pour $q \in
\Q\cap\intcc{-1}1$, les translatés $V + q$ sont deux à deux disjoints (deux points de $V$ différant d’un rationnel seraient équivalents mais des représentants distincts) et

$$
\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q)
\subseteq \intcc{-1}2 :
$$

la première inclusion car tout $x \in \intcc01$ diffère de son représentant $v$ d’un rationnel $q = x - v \in
\intcc{-1}1$. Monotonie et $\sigma$-additivité donnent

$$
1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3,
\qquad\text{avec } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ pour tout } q .
$$

Une somme infinie de la constante $\mu(V)$ vaut $0$ ou $\infty$ : les deux bornes ne peuvent coexister. Donc aucune telle $\mu$ n’existe — et $V \notin \mathcal L$, puisque $\lambda$ sur $\mathcal L$ a toutes les propriétés utilisées. ∎

**Remarque 9.16.**

En $\R^3$ l’échec est plus spectaculaire : le paradoxe de Banach–Tarski décompose une boule en cinq morceaux qui se réassemblent, par rotations et translations, en *deux* boules de même rayon — donc même une [mesure](#def-b3-measure-measure) de volume finiment additive invariante par rotation sur tous les sous-ensembles de $\R^3$ n’existe pas. Les morceaux sont, bien sûr, non mesurables. La mesurabilité n’est pas une précaution bureaucratique ; c’est la frontière de la cohérence.

**Méthode 9.17.**

Le *principe des bons ensembles* : pour prouver que tous les ensembles de $\sigma(\mathcal E)$ ont une propriété, montrer que les bons ensembles forment une $\sigma$-algèbre (ou un $\lambda$-système, si la propriété est de nature mesurique et $\mathcal E$ un $\pi$-système — alors Dynkin) contenant $\mathcal E$. Presque toute preuve de ce chapitre et du suivant en est un cas particulier. Pour prouver deux [mesures](#def-b3-measure-measure) égales : les vérifier sur un $\pi$-système engendrant plus la $\sigma$-finitude ([Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). Pour construire une [mesure](#def-b3-measure-measure) : construire une [mesure extérieure](#def-b3-measure-outer) par recouvrements et invoquer Carathéodory.

## 9.5 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

(a) Montrer que $\{A \subseteq X : A$ ou $X\setminus A$ est dénombrable$\}$ est une $\sigma$-algèbre : celle engendrée par les singletons. (b) Montrer que $\mathcal B(\R)$ est engendrée par chacune de : les intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) ; les intervalles fermés ; les demi-droites $\intoc{-\infty}a$ ; les demi-droites avec $a
\in \Q$. (c) La famille des *unions disjointes finies d’intervalles* $\intoc ab$ est-elle une $\sigma$-algèbre ? Une algèbre (stable par complémentation et unions finies) ?

**Solution de Exercice 9.1.**

(a) La complémentation échange les deux cas définissants. Une union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable ; si un membre est co-dénombrable, l’union l’est : la stabilité tient. Elle contient les singletons, et toute $\sigma$-algèbre les contenant contient tous les dénombrables (unions dénombrables) et leurs complémentaires : c’est $\sigma(\{\text{singletons}\})$.

(b) Écrivons $\mathcal B = \sigma(\text{ouverts})$. Tout [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) de $\R$ est une union dénombrable d’intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) à extrémités rationnelles (autour de chaque point rationnel de l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), un intervalle de rayon rationnel [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dedans), donc les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\in \sigma(\text{intervalles ouverts})
\subseteq \sigma(\text{données rationnelles})$. Conversions : $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ et réciproquement $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus
\intoc{-\infty}a$ ; demi-droites rationnelles : $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q >
a}\intoc{-\infty}q$. Chaque famille engendre les autres par opérations dénombrables : les quatre engendrent $\mathcal B$.

(c) Avec des extrémités finies seulement, la famille n’est même pas une algèbre : le complémentaire de $\intoc01$ contient des demi-droites non bornées. En autorisant les extrémités infinies ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo a{+\infty}$) elle devient une algèbre (complémentaires et unions finies de telles unions en sont), mais pas une $\sigma$-algèbre : $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ n’est pas une union finie d’intervalles non dégénérés.

**Exercice 9.2 ★.**

(a) Prouver l’inclusion–exclusion pour une [mesure](#def-b3-measure-measure) finie : $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, et la version à trois ensembles. (b) Donner un exemple montrant que la continuité par en haut ([Proposition 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) échoue sans l’hypothèse de finitude. (c) Montrer qu’un ensemble dénombrable a [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nulle. En déduire $\lambda(\Q) = 0$ et $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$.

**Solution de Exercice 9.2.**

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, donc $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (la finitude autorise la soustraction). Trois ensembles : appliquer la formule à deux ensembles deux fois,

$$
\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) +
\mu(A\cap B\cap C)
$$

(sommes sur les jeux d’indices évidents).

(b) Pour la [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter), $A_n = [n, +\infty)
\downarrow \varnothing$, mais $\lambda(A_n) = \infty \not\to
0$.

(c) Un point est [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans un intervalle de longueur $\varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$ ; la sous-additivité dénombrable tue les ensembles dénombrables. Donc $\lambda(\Q
\cap \intcc01) = 0$ et, par additivité, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : les irrationnels portent toute la longueur.

**Exercice 9.3 ★★.**

Soient $\mu, \nu$ des [mesures](#def-b3-measure-measure) de probabilité sur $\mathcal
B(\R)$ avec $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ pour tout $t \in \R$. Montrer $\mu = \nu$. (Cela fait de la *fonction de répartition* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ un invariant [complet](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — le fondement du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability).)

**Solution de Exercice 9.3.**

Les demi-droites $\intoc{-\infty}t$ forment un $\pi$-système (l’intersection de deux est la plus petite) engendrant $\mathcal B(\R)$ ([Exercice 9.1](#exo-b3-measure-1)). Les ensembles $P_k = \intoc{-\infty}k$ croissent vers $\R$ avec $\mu(P_k)
\leq 1 < \infty$ : le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) s’applique, et $\mu = \nu$ sur $\mathcal B(\R)$. Ainsi la fonction de répartition détermine la [mesure](#def-b3-measure-measure).

**Exercice 9.4 ★★.**

(Borel–Cantelli, version [mesure](#def-b3-measure-measure)) Soient $(A_n)$ mesurables avec $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, et $\limsup A_n =
\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (les points appartenant à une infinité de $A_n$). Montrer $\mu(\limsup A_n) = 0$. Application : pour presque tout $x \in \intcc01$, seul un nombre fini de $n$ satisfont $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ pour le $n$-ième rationnel $p/q_n$ d’une énumération de $\Q\cap\intcc01$.

**Solution de Exercice 9.4.**

Pour tout $N$, $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq
N}A_n$, donc $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq
N}\mu(A_n)$, la queue d’une série convergente : faire $N
\to \infty$. Application : avec $A_n = \{x \in \intcc01 :
\abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ($r_n$ le $n$-ième rationnel), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ est sommable : $\lambda(\limsup A_n) = 0$, c.-à-d. presque tout $x$ n’appartient qu’à un nombre fini de $A_n$. (Pourtant tout $x$ est limite de rationnels : l’enjeu est la *vitesse* $4^{-n}$.)

**Exercice 9.5 ★★.**

(Ensemble de Cantor gras) Reprendre la construction de Cantor sur $\intcc01$, mais à l’étape $n$ retirer de chacun des $2^{n-1}$ intervalles un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) *centré* de longueur $4^{-n}$ seulement. Montrer que le $K = \bigcap K_n$ résultant est compact, d’intérieur vide (aucun intervalle ne survit), et

$$
\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :
$$

un ensemble nulle part [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de [mesure](#def-b3-measure-measure) $\frac12$. En déduire un sous-ensemble *[maigre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* de $\intcc01$ de [mesure](#def-b3-measure-measure) pleine $1$, et un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de [mesure](#def-b3-measure-measure) $< \varepsilon$.

**Solution de Exercice 9.5.**

$K = \bigcap K_n$ est une intersection d’unions finies d’intervalles fermés : compact. À l’étape $n$ restent $2^n$ intervalles de longueur commune $\ell_n \leq 2^{-n}$ (chaque étape scinde et rétrécit) ; un intervalle $I \subseteq K$ serait [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans un seul intervalle d’étape $n$ pour tout $n$, forçant $\ell(I) = 0$ : intérieur vide. La [mesure](#def-b3-measure-measure) retirée vaut $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} =
\frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$, tous les retraits étant des intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) disjoints : $\lambda(K) =
\frac12$.

Variante : retirer des intervalles centraux de longueur $\varepsilon 4^{-n}$ laisse un compact nulle part [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) $K^{(\varepsilon)}$ de [mesure](#def-b3-measure-measure) $1 - \frac\varepsilon2$. Alors $\bigcup_m K^{(1/m)}$ est [maigre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (union dénombrable d’ensembles nulle part [denses](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior)) de [mesure](#def-b3-measure-measure) $\geq \sup_m(1 -
\frac1{2m}) = 1$ : un [ensemble maigre](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/7-espaces-complets-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) de [mesure](#def-b3-measure-measure) pleine — et son complémentaire dans $\intoo01$ est un $G_\delta$ [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) de [mesure](#def-b3-measure-measure) $0$ (topologiquement gras, métriquement nul). Le complémentaire de $K^{(\varepsilon)}$ dans $\intoo01$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), de [mesure](#def-b3-measure-measure) $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$.

**Exercice 9.6 ★★.**

Soit $\mu$ une [mesure](#def-b3-measure-measure) sur $\mathcal B(\R)$, invariante par translations, avec $c = \mu(\intoc01) < \infty$. Montrer $\mu = c\,\lambda$ sur $\mathcal B(\R)$. *(Calculer $\mu$ sur les intervalles dyadiques en divisant $\intoc01$ en $2^n$ translatés, puis invoquer le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solution de Exercice 9.6.**

En découpant $\intoc01$ en $2^n$ translatés de $\intoc0{2^{-n}}$ : $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, donc $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} =
c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. Par invariance par translation et additivité, $\mu = c\lambda$ sur tout intervalle $\intoc
ab$ avec $b - a$ dyadique rationnel et $a$ quelconque ; un $\intoc ab$ général est une union croissante de tels ($b_k
\uparrow b$ par pas dyadiques depuis $a$), et la continuité par en bas prolonge l’égalité. Les intervalles $\intoc ab$ forment un $\pi$-système engendrant $\mathcal B(\R)$, avec $\intoc{-k}k \uparrow \R$ de [mesure](#def-b3-measure-measure) finie ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$) : le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) donne $\mu = c\lambda$ sur $\mathcal B(\R)$.

**Exercice 9.7 ★★.**

(Approximation) Soient $A \in \mathcal L$ avec $\lambda(A) <
\infty$ et $\varepsilon > 0$. Montrer qu’il existe une union *finie* d’intervalles $B$ avec $\lambda(A\,\triangle\,B)
< \varepsilon$ ($\triangle$ = différence symétrique). *(Régularité : encadrer $K \subseteq A \subseteq U$ et utiliser la structure de l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U$ comme union dénombrable d’intervalles, plus la compacité de $K$.)*

**Solution de Exercice 9.7.**

Par régularité ([Théorème 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) choisir $K
\subseteq A \subseteq U$ avec $K$ compact, $U$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (les deux approximations à $\varepsilon/2$, et $\lambda(U \setminus K)
= \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). Écrire $U$ comme union dénombrable disjointe d’intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $(I_n)$ (les composantes de l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology)) ; le compact $K$ est recouvert par un nombre fini, $K \subseteq B =
I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$. Alors $A \setminus B
\subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ et $B
\setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — partir de $\varepsilon/2$ pour atterrir sous $\varepsilon$.

**Exercice 9.8 ★★★.**

(Steinhaus) Soit $A \in \mathcal L$ avec $\lambda(A) > 0$. Montrer que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contient un intervalle autour de $0$. *(Se ramener à $\lambda(A) < \infty$ ; par une régularité du style de l’[Exercice 9.7](#exo-b3-measure-7), trouver un intervalle $I$ avec $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; alors pour $\abs t < \frac12\ell(I)$, les ensembles $A\cap I$ et $(A\cap I) + t$ sont tous deux dans un intervalle de longueur $\frac32\ell(I)$ et ont [mesure](#def-b3-measure-measure) totale $>
\frac32\ell(I)$ : ils doivent s’intersecter.)*

**Solution de Exercice 9.8.**

En remplaçant $A$ par $A \cap [-M, M]$ de [mesure](#def-b3-measure-measure) positive (un certain $M$ convient, par continuité par en bas), supposer $0 < \lambda(A) < \infty$. Prendre $U \supseteq A$ [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) avec $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ et décomposer $U
= \bigsqcup_nI_n$ en intervalles [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) disjoints : $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$. Si tout $n$ avait $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$, sommer donnerait $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ : un certain intervalle $I$ satisfait $\lambda(A\cap I) >
\frac34\ell(I)$. Poser $B = A \cap I$ et soit $\abs t <
\frac12\ell(I)$ : $B$ et $B + t$ sont tous deux dans l’intervalle $I \cup (I + t)$, de longueur $<
\frac32\ell(I)$. S’ils étaient disjoints : $\lambda(B) +
\lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ dépasserait la [mesure](#def-b3-measure-measure) de l’intervalle contenant — impossible. Donc $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : un $x
\in B$ s’écrit $x = y + t$ avec $y \in B$, et $t = x - y \in
A - A$. D’où $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2}
\subseteq A - A$.

**Exercice 9.9 ★★★.**

Montrer que tout $A \in \mathcal L$ avec $\lambda(A) > 0$ contient un sous-ensemble non mesurable. *(Intersecter $A$ avec les translatés $V + q$ de l’ensemble de Vitali : si tous les $A \cap (V+q)$ étaient mesurables, chacun serait nul par l’argument du [Théorème 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — Steinhaus ([Exercice 9.8](#exo-b3-measure-8)) aide : un ensemble mesurable de [mesure](#def-b3-measure-measure) positive dans $V + q$ donnerait $(V+q) -
(V+q) \supseteq$ un intervalle, contredisant que cet ensemble différence ne rencontre $\Q$ qu’en $0$ ; conclure par sous-additivité.)*

**Solution de Exercice 9.9.**

Les translatés de Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ partitionnent $\R$ (tout réel est équivalent à exactement un représentant). Supposons que tous les ensembles $B_q = A
\cap (V + q)$ soient mesurables. Deux éléments de $V + q$ diffèrent d’un irrationnel ou de zéro (deux représentants distincts sont inéquivalents), donc $B_q - B_q$ ne rencontre $\Q$ qu’en $\{0\}$ : il ne contient aucun intervalle, et Steinhaus ([Exercice 9.8](#exo-b3-measure-8)) force $\lambda(B_q) = 0$. Alors $\lambda(A) \leq
\sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, contredisant $\lambda(A) > 0$. Donc un certain $B_q \subseteq A$ est non mesurable.

**Exercice 9.10 ★★.**

Montrer qu’un $A \subseteq \R$ avec $\lambda^*(A) < \infty$ est Lebesgue-mesurable ssi pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U \supseteq A$ avec $\lambda^*(U \setminus
A) < \varepsilon$, ssi il existe un $G_\delta$ $G \supseteq
A$ avec $\lambda^*(G\setminus A) = 0$. (Donc les ensembles de Lebesgue sont des boréliens modulo les ensembles nuls.)

**Solution de Exercice 9.10.**

*Mesurable $\Rightarrow$ $\varepsilon$-approximation* : par régularité extérieure ([Théorème 9.13](#thm-b3-measure-regularity)) choisir un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $U
\supseteq A$ avec $\lambda(U) \leq \lambda(A) +
\varepsilon$ ; la mesurabilité autorise la soustraction $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq
\varepsilon$. *Version $\varepsilon$ $\Rightarrow$ version $G_\delta$* : prendre des $U_n$ avec $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ et $G = \bigcap
U_n$ : un $G_\delta$ avec $\lambda^*(G\setminus A) \leq
\lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *Version $G_\delta$ $\Rightarrow$ mesurable* : $G\setminus A$ est $\lambda^*$-nul, donc mesurable par complétude ([Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)), et $A = G \setminus
(G\setminus A)$ est mesurable ($G$ est borélien). Donc les ensembles de Lebesgue sont exactement « boréliens modulo nuls ».

**Exercice 9.11 ★★.**

(Continuité le long des limites monotones, et sa netteté) (a) Montrer que pour des ensembles mesurables, $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou pour les ensembles), et que si $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$, aussi $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$. (b) Exhiber, pour la [mesure de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) sur $\R$, une suite avec $\mu(A_n) = 1$ pour tout $n$ mais $\mu(\limsup A_n) =
0$ : l’hypothèse de finitude dans la seconde inégalité n’est pas décorative. (c) En déduire : si $\sum\mu(A_n) < \infty$ alors $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli encore), et si les $A_n$ croissent ou décroissent (avec $\mu(A_1) < \infty$ dans le cas décroissant), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$.

**Solution de Exercice 9.11.**

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ est une union croissante des ensembles $B_N = \bigcap_{n\geq
N}A_n$, donc $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuité par en bas) ; et $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq
N}\mu(A_n)$, dont la limite est $\liminf\mu(A_n)$. Pour le $\limsup$ : appliquer le même aux complémentaires dans l’ambiant de [mesure](#def-b3-measure-measure) finie $U = \bigcup A_n$ — la continuité par en haut sur les $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ décroissants exige $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$, et donne $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$.

(b) L’intervalle mobile $A_n = \intcc n{n+1}$ : tout point n’appartient qu’à au plus deux des $A_n$ et à aucun éventuellement, donc $\limsup A_n = \varnothing$ ; pourtant $\mu(A_n) = 1$. Ainsi $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 =
\mu(\limsup A_n)$ : sans enveloppe de [mesure](#def-b3-measure-measure) finie, la seconde inégalité de (a) échoue — la masse s’échappe à l’infini, où aucun ensemble fixe ne peut la rattraper.

(c) Si $\sum\mu(A_n) < \infty$ : $\mu(C_N) \leq
\sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ et $\limsup A_n = \bigcap
C_N$ a [mesure](#def-b3-measure-measure) $\leq \inf\mu(C_N) = 0$. Cas monotones : croissant est la continuité par en bas ; décroissant avec $\mu(A_1) < \infty$ est la continuité par en haut — tous deux prouvés dans les propriétés de [base](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-basis) du [Chapitre 9](#ch-b3-measure) ; le contre-exemple $A_n = \intco
n\infty$ (décroissant vers $\varnothing$ avec $\mu \equiv
\infty$) montre que la finitude est à nouveau essentielle.

**Exercice 9.12 ★★★.**

(Théorème d’Egorov) Soient $\mu(X) < \infty$ et $f_n \to f$ ponctuellement, toutes mesurables (à valeurs réelles). Pour $k, N \geq 1$ poser

$$
E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)}
\leq \tfrac1k\Bigr\} .
$$

(a) Montrer que pour $k$ fixé, $E_{k,N} \nearrow X$ lorsque $N \to \infty$, et en déduire des $N_k$ avec $\mu(X
\setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$. (b) Conclure le *théorème d’Egorov* : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un mesurable $A$ avec $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ tel que $f_n \to f$ *uniformément sur $A$* — la convergence ponctuelle est une convergence uniforme hors d’un ensemble arbitrairement petit. (c) Montrer que le théorème échoue sur $(\R, \lambda)$ : les bosses mobiles $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergent ponctuellement vers $0$ mais uniformément sur aucun complémentaire d’un ensemble de [mesure](#def-b3-measure-measure) finie. Où (a) a-t-il utilisé $\mu(X) < \infty$ ?

**Solution de Exercice 9.12.**

(a) Les ensembles $E_{k,N}$ croissent avec $N$ (moins de contraintes), et tout $x$ satisfait éventuellement $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ pour tout $n \geq N(x)$ (convergence ponctuelle) : $\bigcup_NE_{k,N} = X$. Continuité par en bas : $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, donc $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; choisir $N_k$ en conséquence.

(b) Soit $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : $\mu(X\setminus A) \leq
\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. Sur $A$ : pour tout $k$, tous les $n \geq N_k$ satisfont $\sup_A\abs{f_n - f}
\leq \frac1k$ — exactement la convergence uniforme sur $A$.

(c) Pour la bosse mobile, la convergence uniforme sur $A$ exige que $A$ évite éventuellement chaque $\intcc n{n+1}$ — plus précisément $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ force $A \cap
\intcc n{n+1}$ vide pour $n$ grand, donc $X \setminus A$ contient une queue $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$, de [mesure](#def-b3-measure-measure) infinie. En (a), la finitude convertissait « $E_{k,N}\nearrow X$ » en « les [mesures](#def-b3-measure-measure) des complémentaires tendent vers $0$ » : la continuité par en haut a besoin d’un démarrage fini, et sur les espaces de [mesure](#def-b3-measure-measure) infinie l’échappée à l’infini est précisément ce qu’elle ne voit pas.

## 9.6 Problème : l’escalier de Cantor–Vitali et un ensemble mesurable non borélien

![L’escalier de Cantor–Vitali : constant sur chaque trou de l’ensemble de Cantor, mais montant de 0 à 1 de façon continue. Sa dérivée s’annule presque partout — toute la montée se produit sur un ensemble nul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-57afe3544bc9.svg)

*L’escalier de Cantor–Vitali : constant sur chaque trou de l’ensemble de Cantor, mais montant de $0$ à $1$ de façon [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity). Sa dérivée s’annule presque partout — toute la montée se produit sur un ensemble nul.*

**Problème 9.1.**

Problème du week-end — l’escalier du diable, et $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

On construit la *fonction de Cantor–Vitali* (escalier du diable), on l’utilise pour transporter pathologiquement la [mesure](#def-b3-measure-measure), et on conclut par un théorème qu’aucun argument mou n’offre : il existe des ensembles Lebesgue-mesurables qui ne sont pas boréliens. Notations : $C$ est l’ensemble de Cantor, $C_n$ son $n$-ième étage ($2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$), et tout $x \in C$ a des chiffres ternaires $x = \sum 2b_n3^{-n}$, $b_n \in \{0,1\}$ ([Exercice 6.10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#exo-b3-topology-10)).

**Partie I — L’escalier.** Définir $c_0(x) =
x$ et $c_{n+1}$ à partir de $c_n$ par

$$
c_{n+1}(x) = \begin{cases}
\tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt]
\tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt]
\tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1.
\end{cases}
$$

1. Montrer que chaque $c_n$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) , croissante, avec $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , et que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq  \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
2. En déduire que $(c_n)$ converge uniformément vers une $c$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) croissante avec $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ ( *la* fonction de Cantor–Vitali), qui satisfait les mêmes relations auto-similaires que les $c_{n+1}$ ci-dessus.
3. Montrer que $c$ est constante sur chaque [composante connexe](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-components) de $\intcc01\setminus C$ , et que pour $x =  \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : l’escalier lit les chiffres de Cantor en binaire (la fonction $g$ du [Problème 6.1](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#pb-b3-topology-1) , rendue monotone et globale).
4. En déduire que $c$ est dérivable, avec $c' = 0$, en tout point de $\intcc01\setminus C$ : $c' = 0$ *$\lambda$-presque partout* ([Exemple 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). Conclure que le théorème fondamental du calcul échoue pour $c$ : $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (l’intégrale portant sur l’ensemble de [mesure](#def-b3-measure-measure) pleine où $c' = 0$ ; en anticipant le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue), les ensembles nuls n’affectent pas les intégrales). Quelle hypothèse du théorème fondamental $\mathcal  C^1$ est violée ?
5. Montrer que $c(C) = \intcc01$ : l’ensemble nul $C$ est envoyé *sur* un ensemble de [mesure](#def-b3-measure-measure) pleine.

**Partie II — L’[homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) tordu.** Soit $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$.

6. Montrer que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ est un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (strictement croissant, continu, surjectif).
7. Montrer que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr)  = \tfrac12$ : sur chaque trou de longueur $\ell$ , $h$ agit comme une application affine de pente $\tfrac12$ , et les trous ont longueur totale $1$ .
8. En déduire $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : l’image homéomorphe d’un ensemble nul peut avoir [mesure](#def-b3-measure-measure) positive. (Où cela contredit-il l’intuition naïve sur la « taille » ?)

**Partie III — Un ensemble mesurable non borélien.**

9. Par l’ [Exercice 9.9](#exo-b3-measure-9) , choisir un $W  \subseteq h(C)$ non mesurable. Montrer que $Z =  h^{-1}(W) \subseteq C$ est Lebesgue-mesurable. *(C’est un sous-ensemble d’un ensemble nul ; complétude, [Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)*
10. Montrer que l’image réciproque d’un borélien par une [application continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) est borélienne. *(Principe des bons ensembles : $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal  B\}$ est une $\sigma$-algèbre contenant les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) — attention au sens de l’application.)*
11. Conclure que $Z$ n’est *pas* borélien : s’il l’était, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ serait borélien (appliquer la question 10 au $h^{-1}$ continu), donc mesurable — contradiction. Par conséquent $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ et la complétude agrandit véritablement le monde borélien.
12. Exhiber une fonction Lebesgue-mesurable $g$ et une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) $\varphi$ telles que $g \circ  \varphi$ n’est pas Lebesgue-mesurable : la mesurabilité, à la différence de la continuité, ne se compose pas. *(Prendre $g = \mathbf 1_Z$ et $\varphi = h^{-1}$, en anticipant la définition des fonctions mesurables du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue) : les images réciproques de boréliens sont des ensembles de Lebesgue. Où faut-il être prudent sur la $\sigma$-algèbre utilisée sur le but ?)*

**Partie IV — Épilogue.**

13. Ordonner les classes suivantes par inclusion stricte et justifier chaque stricte par un exemple de ce chapitre et de son problème : ensembles dénombrables ; boréliens nuls ; ensembles de Lebesgue nuls ; boréliens ; ensembles de Lebesgue ; ensembles arbitraires.

**Partie V — La [mesure](#def-b3-measure-measure) de Cantor : masse sur un ensemble nul.** L’escalier est la fonction de répartition d’une [mesure](#def-b3-measure-measure) remarquable, que l’on construit maintenant avec les outils du chapitre.

14. (Lebesgue–Stieltjes, existence) Soit $F\colon\R\to\R$ croissante, [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), bornée. Sur les intervalles [semi-ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) définir $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) =  F(b) - F(a)$ et, pour $A \subseteq \R$, $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) -  F(a_k)\bigr) : A \subseteq  \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ Montrer que $\mu_F^*$ est une [mesure extérieure](#def-b3-measure-outer) et que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(imiter l’argument de compacité du [Théorème 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue), en élargissant chaque $\intoc{a_k}{b_k}$ en un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) à $F$-coût $\leq \varepsilon2^{-k}$ — où utilise-t-on la continuité de $F$ ?)*.
15. Montrer que tout borélien est $\mu_F^*$ -mesurable au sens de Carathéodory *(comme dans le cas Lebesgue, il suffit de tester les demi-droites ; suivre la preuve de l’application du [Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* , de sorte que $\mu_F = \mu_F^*$ restreinte à $\mathcal B(\R)$ est une [mesure](#def-b3-measure-measure) avec $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : la *[mesure](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes* de $F$ .
16. Appliquer ceci à l’escalier ($F = c$ étendue par $0$ sur $\R_-$ et $1$ sur $\intco1\infty$) : la *[mesure](#def-b3-measure-measure) de Cantor* $\mu$. Montrer $\mu(\R) = 1$, que chaque trou de l’ensemble de Cantor est $\mu$-nul ($c$ y est constante), et conclure $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ $\mu$ et $\lambda$ vivent sur des supports disjoints ($C$ et son complémentaire). Deux [mesures](#def-b3-measure-measure) dans cette position sont dites *mutuellement singulières*, noté $\mu \perp \lambda$.
17. Montrer que $\mu$ n’a pas d’atomes : $\mu(\{x\}) = 0$ pour tout $x$ *(continuité de $c$)* . Une [mesure](#def-b3-measure-measure) de probabilité sans atome portée par un compact Lebesgue-nul : comparer avec les seules [mesures](#def-b3-measure-measure) vues jusqu’ici.
18. (Pile ou face déguisé) Pour un mot $(\varepsilon_1,  \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , soit $C_{\varepsilon}$ l’ensemble des $x \in C$ dont les chiffres ternaires satisfont $b_i(x) = \varepsilon_i$ pour $i \leq m$ (l’une des $2^m$ pièces de Cantor de profondeur $m$ ). Montrer $\mu(C_\varepsilon) =  2^{-m}$ *(l’escalier monte de $2^{-m}$ sur cette pièce : utiliser la partie I, question 3)* . La [mesure](#def-b3-measure-measure) de Cantor est la loi d’une suite infinie de piles ou faces équitables lue en ternaire — le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/22-probabilites-fondements-et-loi-des-grands-nombres#ch-b3-probability) rendra cela exact.
19. Prouver l’auto-similarité : pour tout borélien $A$, $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) +  \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ où $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(vérifier sur les intervalles engendrant $\intoc ab$ via les relations auto-similaires de $c$, puis invoquer l’unicité, [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*.
20. Montrer que la réflexion $s(x) = 1 - x$ préserve $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(via $c(1 - x) = 1  - c(x)$, qui suit de la symétrie de la construction — le prouver)* .
21. Calculer les deux premiers moments de $\mu$, c.-à-d. d’un point aléatoire $X$ de loi $\mu$ (les intégrales peuvent être traitées comme limites de sommes sur les pièces de profondeur $m$, en anticipant le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)) : la symétrie donne $\int  x\,\dd\mu = \frac12$, et l’auto-similarité donne $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38,  \qquad\text{d'où}\qquad  \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ Comparer avec la loi uniforme sur $\intcc01$ (variance $\frac1{12}$) : la masse de Cantor, poussée vers les bords, s’étale *davantage*.
22. Montrer que le *support* (topologique) de $\mu$ — le plus petit fermé de [mesure](#def-b3-measure-measure) pleine — est exactement $C$ .
23. (Synthèse) L’escalier $c$ est continu et croissant mais échoue au théorème fondamental du calcul (partie I) ; la [mesure](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ est une probabilité, sans atome, singulière par rapport à $\lambda$ . Expliquer en un court paragraphe comment ce sont deux faces d’un même phénomène, et énoncer la morale générale : les fonctions croissantes correspondent aux [mesures](#def-b3-measure-measure) ( $F  \leftrightarrow \mu_F$ ), la dérivabilité p.p. correspond à la « partie absolument [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) », et $c$ est le témoin standard qu’un $F$ continu peut ne porter *aucune* partie absolument [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) .
24. (Le [module](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/3-modules-sur-un-anneau-principal#def-b3-modules-module) de continuité optimal) Soit $s =  \frac{\ln 2}{\ln 3}$. Montrer que $c$ est höldérienne d’exposant $s$ : $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s}  \qquad (x, y \in \intcc01),$$ et qu’aucun exposant $t > s$ ne peut convenir, même localement. En déduire la forme mesurique : pour tout $x$ et tout $r \in \intoc01$, $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(Comparer une grille triadique de profondeur $m$ avec l’échelle de $\abs{x - y}$ ; la question 18 donne la montée sur chaque pièce. L’exposant $s$ est la dimension de Hausdorff de $C$, comme le diront des cours ultérieurs.)*
25. (L’auto-similarité caractérise $\mu$) Prouver la réciproque de la question 19 : si $\nu$ est une [mesure](#def-b3-measure-measure) de probabilité sur $\mathcal B(\R)$ portée par $\intcc01$ et satisfaisant $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2)  \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ alors $\nu = \mu$. *(Itérer la relation $m$ fois pour étaler $\nu$ sur les $2^m$ pièces de Cantor de profondeur $m$, estimer $\nu(\intoc ab)$ contre le nombre de pièces dans $\intoc ab$, et faire $m \to  \infty$ ; conclure avec le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)*

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** Induction. Continuité : les trois formules coïncident aux jonctions ($\frac12c_n(1) = \frac12$ et $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$) ; chaque morceau est continu. La monotonie et les valeurs au bord sont héritées. Pour l’estimation de contraction : sur $[0,\frac13]$, $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x)
\leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; sur le tiers médian la différence est $0$ ; sur le tiers droit, même chose qu’à gauche.

**2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq
2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : la série des incréments converge uniformément, donc $c_n \to c$ uniformément ; $c$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), croissante, $c(0) = 0$, $c(1) = 1$ (tout préservé par limites uniformes), et le passage à la limite dans la récurrence définissante montre que $c$ elle-même satisfait les trois identités auto-similaires.

**3.** Par l’identité du milieu, $c \equiv \frac12$ sur $\intcc{\frac13}{\frac23}$, le premier trou. Chaque trou de $C$ est l’image du premier trou sous une composition des deux contractions affines $x \mapsto \frac x3$, $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; les identités transportent la constance en conséquence (avec pour valeurs les rationnels dyadiques). Pour la formule des chiffres, prendre $x =
\sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ : si $b_1 = 0$ alors $x \in
[0,\frac13]$ et $c(x) = \frac12c(3x)$ avec $3x$ de chiffres $(b_2, b_3, \dots)$ ; si $b_1 = 1$ alors $x \in [\frac23,
1]$ et $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, même décalage. Par induction, les $N$ premiers chiffres binaires de $c(x)$ sont $b_1, \dots, b_N$ pour tout $N$ : $c(x) = \sum_n
b_n2^{-n}$.

**4.** Hors de $C$, $c$ est localement constante : dérivable de dérivée $0$. Comme $\lambda(C) = 0$ ([Exemple 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), $c' = 0$ presque partout. Pourtant $c(1) - c(0) = 1$ : le théorème fondamental sous sa forme $\mathcal C^1$ exige que $c$ soit dérivable *partout* avec dérivée [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) (ou au moins intégrable, plus continuité absolue — voir [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)) ; $c$ n’est pas dérivable aux points de $C$, et plus fondamentalement $c$ échoue à la *continuité absolue* : elle monte sur un ensemble nul.

**5.** Étant donné $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in
\intcc01$ ($\beta_n \in \{0,1\}$), le point $x =
\sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ a $c(x) = y$ par la question 3 : $c(C) = \intcc01$, un ensemble de [mesure](#def-b3-measure-measure) $1$ — l’ensemble nul $C$ porte, via $c$, tout l’intervalle.

**6.** $h$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), et strictement croissante ($x$ l’est, $c$ est croissante) ; $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, donc par le théorème des valeurs intermédiaires $h$ est une bijection [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de $\intcc01$ ; une bijection [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) d’un compact vers un [espace de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-hausdorff) est un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) ([Corollaire 6.14](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**7.** Sur un trou $(u, v)$ (longueur $\ell$), $c$ est constante, donc $h$ est affine de pente $\frac12$ : $h((u,v))$ est un intervalle de longueur $\frac\ell2$. Les trous sont disjoints et $h$ est injective : les images sont disjointes, de [mesure](#def-b3-measure-measure) totale $\frac12\sum\ell =
\frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$.

**8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ et $h(C)$ est compact (image [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)), donc mesurable, avec

$$
\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 -
\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 =
\tfrac12 .
$$

Un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) peut gonfler un ensemble nul jusqu’à la [mesure](#def-b3-measure-measure) $\frac12$ : la « taille topologique » (catégorie, dimension) et la « [mesure](#def-b3-measure-measure) » sont transportées par les [homéomorphismes](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) de façons très différentes — seule la première est un invariant topologique.

**9.** $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ a $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : un ensemble nul, donc Lebesgue-mesurable par complétude ([Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)).

**10.** Soit $\varphi$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) et $\mathcal D = \{B :
\varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. Les images réciproques commutent avec les complémentaires et les unions dénombrables, donc $\mathcal D$ est une $\sigma$-algèbre ; elle contient les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) (continuité) : $\mathcal D
\supseteq \mathcal B$ — les images réciproques de boréliens par des [applications continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) sont boréliennes.

**11.** Si $Z$ était borélien, appliquer la question 10 à $\varphi = h^{-1}$ [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) : $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) =
W$ serait borélien, donc Lebesgue-mesurable — contredisant le choix de $W$. Donc $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal
B$ : la $\sigma$-algèbre de Lebesgue contient strictement celle de Borel.

**12.** $g = \mathbf 1_Z$ est Lebesgue-mesurable ($Z
\in \mathcal L$) et $\varphi = h^{-1}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity), mais $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ n’est pas mesurable : $g \circ \varphi$ n’est pas Lebesgue-mesurable. La prudence requise : « fonction Lebesgue-mesurable » signifie que les images réciproques de boréliens *boréliens* atterrissent dans $\mathcal L$ ; composer exige que les images réciproques d’ensembles de *Lebesgue* soient de Lebesgue, ce que la continuité n’accorde pas (ici $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ bien que $\varphi$ soit un [homéomorphisme](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity)).

**13.** Les chaînes, avec témoins de stricte :

$$
\{\text{dénombrables}\} \subsetneq \{\text{boréliens nuls}\}
\subsetneq \{\text{Lebesgue nuls}\} \subsetneq \mathcal L
\subsetneq \mathcal P(\R),
\qquad
\{\text{boréliens nuls}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq
\mathcal L .
$$

Témoins : $C$ est borélien, nul, non dénombrable (premier écart) ; $Z$ est Lebesgue-nul mais non borélien (deuxième et, dans $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$, sixième) ; un Cantor gras est borélien, nulle part [dense](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior), de [mesure](#def-b3-measure-measure) positive (séparant nuls et boréliens) ; le $V$ de Vitali n’est pas dans $\mathcal L$ (dernier écart). [Mesure](#def-b3-measure-measure), [topologie](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) et cardinalité tranchent $\mathcal P(\R)$ selon des lignes véritablement distinctes.

**14.** [Mesure extérieure](#def-b3-measure-outer) : $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (recouvrir par un intervalle s’évanouissant), la monotonie est claire, et la sous-additivité dénombrable suit en épissant des recouvrements $\varepsilon2^{-k}$-optimaux, exactement comme pour $\lambda^*$. Le recouvrement à un intervalle donne $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$. Réciproquement soit $\intoc ab \subseteq
\bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. Par continuité de $F$, choisir $b_k' > b_k$ avec $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$, et $a' \in \intoo ab$ avec $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$. Le compact $\intcc{a'}b$ est recouvert par les [ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $\intoo{a_k}{b_k'}$ : un nombre fini suffit, et l’argument de chaînage du [Théorème 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (marcher de $a'$ à $b$ à travers des intervalles se chevauchant, en télescopant les $F$-incréments, la monotonie absorbant les chevauchements) donne $F(b) - F(a') \leq
\sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) +
\varepsilon$. Faire $\varepsilon \to 0$ : égalité. (La continuité de $F$ est ce qui a permis d’ouvrir les intervalles à un $F$-coût arbitrairement petit.)

**15.** Il suffit de prouver que chaque demi-droite $H_t = \intoc{-\infty}t$ est Carathéodory-mesurable, car les ensembles mesurables forment une $\sigma$-algèbre ([Théorème 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) et les demi-droites engendrent $\mathcal B$. Étant donné $A$ et un recouvrement $\varepsilon$-optimal $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$ : chaque intervalle se scinde en $\intoc{a_k}{t\wedge
b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (un morceau éventuellement vide), avec des $F$-coûts s’additionnant exactement à $F(b_k)
- F(a_k)$ ; les premiers morceaux recouvrent $A \cap H_t$, les seconds $A \setminus H_t$. D’où $\mu_F^*(A\cap H_t) +
\mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, et l’inégalité inverse est la sous-additivité. En restreignant la [mesure](#def-b3-measure-measure) résultante à $\mathcal B$ : la [mesure](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$.

**16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (continuité de la [mesure](#def-b3-measure-measure) le long de $\intoc{-n}n$). Sur un trou $\intoo uv$ de $C$, $c$ est constante, donc tout sous-intervalle [semi-ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) est $\mu$-nul et le trou aussi (union dénombrable) ; hors de $\intcc01$, $c$ est constante aussi. Donc $\mu(\R\setminus C) = 0$, $\mu(C) = 1$, tandis que $\lambda(C) = 0$ ([Exemple 9.14](#ex-b3-measure-cantor)) : chacune de $\mu, \lambda$ est portée par un ensemble que l’autre déclare nul — mutuellement singulières.

**17.** $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0}
\mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ par continuité de $c$ : pas d’atomes. Donc $\mu$ est une [mesure](#def-b3-measure-measure) de probabilité sans atome portée par un compact Lebesgue-nul — ni diffuse-à-densité comme les restrictions de $\lambda$, ni atomique comme les [mesures](#def-b3-measure-measure) de comptage : une troisième espèce.

**18.** La pièce $C_\varepsilon$ s’étend sur un intervalle ternaire $I_\varepsilon$ de longueur $3^{-m}$, et la partie I question 3 montre qu’à travers $I_\varepsilon$ l’escalier monte exactement de $2^{-m}$ (les $m$ premiers chiffres binaires de $c$ sont figés à $\varepsilon$, le reste balaye tout). D’où $\mu(C_\varepsilon) =
\mu(I_\varepsilon) = c(\text{extrémité droite}) -
c(\text{extrémité gauche}) = 2^{-m}$ : les cylindres de chiffres de profondeur $m$ ont tous masse $2^{-m}$, la loi de $m$ pièces équitables.

**19.** Le membre de droite définit la [mesure](#def-b3-measure-measure) borélienne $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x
\mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ évaluée en $A$ — [mesure](#def-b3-measure-measure) de probabilité. Ponctuellement, avec $c$ globalement étendue, on vérifie cas par cas ($x \leq 0$ ; les trois tiers ; $x
\geq 1$) l’identité

$$
c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),
$$

p. ex. sur $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 +
\frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$. Évaluer $\nu$ sur $\intoc
ab$ donne donc $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$, et deux [mesures](#def-b3-measure-measure) finies coïncidant sur le $\pi$-système des intervalles [semi-ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) coïncident sur $\mathcal B$ ([Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)) : $\nu = \mu$.

**20.** Par induction sur $n$ : $c_0(1-x) = 1 -
c_0(x)$, et si $c_n$ a la symétrie, alors pour $x \in
\intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x)
- 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 -
c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; le tiers médian se reflète autour de $\frac12$ ; le tiers droit est le cas gauche réfléchi. À la limite $c(1-x) = 1 - c(x)$. Image directe : $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) =
c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ sans atome, question 17, donc les conventions de bord ne coûtent rien) $= (1 - c(a)) - (1 -
c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : $s_*\mu = \mu$ par unicité.

**21.** Soit $X \sim \mu$ (les intégrales de fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-continuity) contre $\mu$ existent comme limites de sommes de type Riemann sur les pièces de profondeur $m$, chacune de masse $2^{-m}$, avec erreur d’échantillonnage $\leq
\operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/10-lintegrale-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue) systématisera ceci). Symétrie : $1
- X \sim X$, donc $\E X = \frac12$. Auto-similarité : $X$ a la loi de $\frac Y3$ avec probabilité $\frac12$ et de $\frac{Y+2}3$ avec probabilité $\frac12$, $Y \sim \mu$, donc

$$
\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\,
\frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},
$$

d’où $\E X^2 = \frac38$ et $\operatorname{Var}X = \frac38
- \frac14 = \frac18$. La loi uniforme a variance $\frac1{12}
< \frac18$ : la masse de Cantor colle aux extrémités.

**22.** $C$ est fermé et $\mu(C) = 1$. Si un [ouvert](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology) $I$ rencontre $C$ en $x$, les pièces de profondeur $m$ contenant $x$ se rétrécissent vers $x$, donc une certaine $I_\varepsilon \subseteq I$ et $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : aucun fermé plus petit ne peut porter $\mu$. Les points hors de $C$ ont des voisinages-trous de $\mu$-mesure $0$. Donc $\operatorname{supp}\mu = C$ exactement.

**23.** Un phénomène, deux dialectes. La partie I dit que la croissance de $c$ est invisible à sa dérivée : $c' =
0$ p.p., toute la montée concentrée sur l’ensemble nul $C$. La partie V dit que la [mesure](#def-b3-measure-measure) associée $\mu_c$ met toute sa masse sur ce même ensemble nul : $\mu_c \perp \lambda$, donc aucune densité $f \geq 0$ ne peut satisfaire $\mu_c(A)
= \int_Af\,\dd\lambda$ — une densité force l’annulation sur les $\lambda$-nuls. Le dictionnaire : $F$ croissant borné $\leftrightarrow$ [mesure](#def-b3-measure-measure) finie $\mu_F$ (questions 14–15) ; $F$ une intégrale de sa dérivée $\leftrightarrow$ $\mu_F$ a une densité (le cas « absolument continu ») ; et en général $F'$, qui existe p.p. pour $F$ monotone (théorème de différentiation de Lebesgue, au-delà de ce chapitre), ne récupère que la partie densité. L’escalier est l’extrême : continu, de dérivée $0$ p.p. — sa [mesure](#def-b3-measure-measure) est *purement singulière*, et le théorème fondamental du calcul, loin d’échouer par accident, échoue d’exactement la quantité $\mu_c(\R) = 1$ de masse singulière.

**24.** Fixer $x < y$ dans $\intcc01$ et choisir $m
\geq 0$ avec $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. À travers tout intervalle triadique $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ l’escalier monte d’au plus $2^{-m}$ : un tel intervalle est soit l’une des $2^m$ pièces de $C_m$, où la montée est exactement $2^{-m}$ (question 18), soit [contenu](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/2-anneaux-et-arithmetique#def-b3-rings-content) dans l’[adhérence](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-interior) d’un seul trou d’un étage $\leq m$, où $c$ est constante. Comme $y - x \leq 3^{-m}$, l’intervalle $\intcc xy$ rencontre au plus deux intervalles triadiques consécutifs de profondeur $m$, donc

$$
c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m}
= 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s}
< 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s}
= 4\,(y - x)^{s},
$$

en utilisant $3^{s} = 2$ et $3^{-m} < 3(y - x)$. Optimalité : les extrémités $u < v$ d’une pièce de Cantor de profondeur $m$ satisfont $v - u = 3^{-m}$ et $c(v) - c(u) = 2^{-m} =
(v - u)^{s}$ ; une borne de Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq
K(v - u)^{t}$ avec $t > s$ forcerait $K \geq 2^{-m}3^{mt} =
(3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (car $3^{t} > 3^{s} = 2$), et tout sous-intervalle de $\intcc01$ contient de telles pièces, donc l’échec est aussi local. Forme mesurique : $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r)
\leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (valeurs de $c$ étendues à $\R$ comme en question 16 ; $\mu$ sans atomes, question 17).

**25.** Écrire $S_0(x) = \frac x3$ et $S_1(x) =
\frac{x+2}3$ ; l’hypothèse dit $\nu = \frac12(S_0)_*\nu +
\frac12(S_1)_*\nu$. En itérant $m$ fois,

$$
\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu,
\qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.
$$

Comme $\nu$ est portée par $\intcc01$ et $S_w(\intcc01) =
I_w$, la pièce de Cantor de profondeur $m$ indexée par $w$, chaque $(S_w)_*\nu$ est une [mesure](#def-b3-measure-measure) de probabilité portée par $I_w$ ; les $2^m$ pièces sont des intervalles fermés deux à deux disjoints de longueur $3^{-m}$. Fixer $\intoc ab$ et soit $N_m$ le nombre de pièces $I_w \subseteq \intoc ab$. Une pièce rencontrant $\intoc ab$ sans y être contenue doit contenir $a$ ou $b$, et un point n’appartient qu’à une pièce, donc

$$
2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.
$$

La même double inégalité vaut pour $\mu$ (la question 19 donne l’itération identique), avec le même décompte $N_m$. D’où $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1}
\to 0$ : $\nu$ et $\mu$ coïncident sur le $\pi$-système des intervalles [semi-ouverts](https://one-course.com/books/math/5/fr/chapter/6-topologie-generale#def-b3-topology-topology), et toutes deux sont des [mesures](#def-b3-measure-measure) de probabilité, donc le [Théorème 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) donne $\nu = \mu$. La [mesure](#def-b3-measure-measure) de l’escalier est ainsi *le* point fixe du schéma de moyenne à deux applications — l’énoncé mesurique de l’auto-similarité de $C$.